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Full text of "Zeitschrift für Mathematik und Physik"

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ZEITSCHKIFT 


PUB 


MATHEMATIK  UND  PHYSIK. 


BEGRÜNDET    1866    DURCH 


0.  SCHLÖMILCH. 


FRÜHER   HERAUSGEGEBEN   VON    0.  ScHLÖMILCH    (1866—1896), 
B.  WiTZSCHEL  (1866—1869),  M.  GantOR  (1869—1896),  E.  Kahl  (1860-1892). 


GEGENWARTIG  HERAUSGEGEBEN 

VON 

Db.  B.  MEHMKE  uin)  Db.  IL  CANTOR. 


43.  BAND. 


MIT  IN  DSN  TEXT  GEDRÜCKTEN  FIGUREN  UND  7  LITHOGRAPHIERTEN  TAFELN. 


LEIPZIG, 

VERLAG  VON  B.  G.  TEUBNER. 

1898. 

/, 


•  •  « 


]>rack  Ton  B.  O.  Teubner  in  Dresden. 


Inhalt. 


Arithmetik  nnd  Analjrsis.  Seite 

(l)er  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  mit  Hilfe 
infinitesimaler  Transformationen  und  höherer  komplexer  Zahlen. 
Von  Bees 66,  121,  277 

Hilfstafel  zur  Auflösung  quadratischer  Gleichungen  mit  reellen  Wurzeln.    Von 

K.  Mehmke 80 

Bemerkung  über  einen  Satz  der  Differentialrechnung.     Von  Q.  Kowalewski  116 

Bemerkungen    zu  dem  Mittelwertsatz  für  ein  System  von  n  Integralen.    Von 

Q.  Kowalewaki 118 

loer  die  kubinchen  und  biquadratischen  Gleichungen,  von  denen  eine  Wurzel 
durch    rational   ausführbare  Wurzelausziehungen   gefunden  werden 

kann.    Von  X.  Th.  Vahlen 167 

Problem  der  16  Pensionatsdamen.    Von  A.  F.  H.  Mertelsmann   .    .    .  329 


Geometrie. 

fber  Rollkurven  und  Rollflächen.    Von  M.  Disteli 1 

^T  die  Mercator^sche  Projektion.    Von  H.  B.  Timerding 320 

Zur  Hesseschen  Konstruktion  einer  Fläche  zweiter  Ordnimg  aus  neun  Punkten. 

Von  J.  Thomae 836 

GraphlBehes  und  meehanisehes  Rechnen.    Zeichenapparate. 

Harmonische  Analyse  mittelst  des  Polarplanimeters.    Von  8.  Finsterwalder    86 

Perapektiv-Reisser.    Von  B.  Brauer 163 

•>ar  les  types  les  plus  g^n^rauz  d'dquations  repr^sentables  par  trois  syst^mes 
de  cercles  on  de  droites  cot^s.    Application  aux  ^quations  quadra- 

tiques.    Par  M.  d'Ooagne 269 

tber  den   Traktoriographeu   von  Kleritj   und   das   Stangenplanimeter.    Von 

A.  Korselt j 312 

£/gänzende  Bemerkungen  zu  vorstehendem  Aufsatze.    Vom  Herausgeber  .    .317 
Nachtrag  zu   dem  Aufsatze:    ,,Über  einen  Mechanismus,   durch  den  ein  be- 
liebiger Winkel  in  eine  beliebige  ungerade  Anzahl  gleicher  Teile 
geteilt  werden  kann^^  (diese  Zeitschrift  Bd.  42).    Von  A.  Korselt  .  318 
n>er  einen  Apparat   zur  Auflösung   numerischer  Gleichungen  mit  vier  oder 

fünf  Gliedern.    Von  K.  Mehmke 338 

Mechanik  (einsclil.  Kinematik). 

'ber  RoUkuTven  und  Rollflächen.    Von  M.  Disteli 1 

fVr  die   angenäherte  Geradführung  mit  Hilfe  eines  ebenen  Gelenkvierecks. 

Von  R.  Müller 36 


IV  Inhalt. 

Seito 

Zur  graphischen  Behandlung  der  Kräfte  im  Räume.    Von  W.  Stftokel      .     .    62 
Die  Bewegung  eines  starren  Körpers.    (Eine  Übung  in  der  Ausdehnungslehre.) 

Von  J.  Lüroth 243 

Berichtigungen  dazu 340 

Elastizitftts*  und  Festigkeitslehre. 

Aufgabe  3.    Von  8.  Finsterwalder 64 

Über  Spannungszustände,   bei   denen   ein  Spannungspotential   und  zugleich 

ein  Verschiebungspotential  besteht.    Von  Q.  Holamfiller  .    .    .    .216 

Physik. 

Die  räumliche  und  zeitliche  Ausbreitung  der  Gravitation.    Von  Faul  Qerher     93 

über  das  Foucaultsche  Pendel.    Von  K.  Th.  Vahlen 166 

Über  elliptische  Anamorphose  in  der  dioptrischen  Abbildung.    Von  Ludwig 

Matthiessen 305 

Angewandte  Mathematik  und  Physik. 

Über  die  mathematische  Bestimmung  der  Helligkeit  in  Räumen  mit  Tages- 
beleuchtung,  insbesondere  Gemäldesälen  mit  Deckenlicht.  Von 
B.  Mehmke 41 

Zur  Berechnung   der  Senkungen   der   Knotenpunkte   eines  Fachwerks.    Von 

E.  Hammer    .    .  *\ 68 

Zur  Ausgleichung  eines   durch  Längenmeasungen   bestimmten  Punktes.    Von 

E.  Hammer 105 

Theoretische  und  experimentelle  Untersuchungen  über  die  Kreiselbewegungen 
der  rotierenden  Langgeschosse  während  ihres  Fluges.  Von  Carl 
CranB 133,  169 

Die  Variabilität  der  Lebewesen  und  das  Gausssche  Fehlergesetz.  Von  F.  Ludwig  230 


Beilage  zu  Heft  4  und  5:  Verzeichnis  von  Abhandlungen  aus  der  angewandten 
Mathematik,  die  im  Jahre  1897  in  technischen  Zeitschriften  erschienen 
sind.    Zusammengestellt  von  R.  Mehmke. 


Über  Rollkurven  und  Rollflftoi^n.. 


Von 

Dr.  M.  DiSTELi 

in  Winierthur. 


Hierzu  Tafel  I  Fig.  1—4. 


Die  in  der  Kinematik  als  Rollf lachen  bekannten  krummen 
Flächen  bilden  die  Grundkörper  der  sogenannten  unrunden  Räder,* 
die  dazu  dienen,  eine  gleichförmige  Rotationsbewegung  der  einen 
Welle  in  eine  ungleichförmige  der  anderen  Welle  umzusetzen.  Sie 
sind  im  allgemeinen  Cylinder-,  Kegel-  oder  windschiefe  Regelflächen, 
je  nachdem  die  Axen  der  Wellen  zu  einander  parallel  sind,  oder  sich 
im  Endlichen  schneiden,  oder  sich  kreuzen.  Die  Übertragung  der 
Bewegung  der  einen  Welle  auf  die  andere  geschieht  dann  in  der 
Weise,  dass  die  beiden  Rollflächen  R^  und  R^  sich  um  ihre  Axen 
Oj  und  O9  drehen  und  gleichzeitig  aufeinander  rollen,  wobei  jedoch 
^  im  Falle  der  gekreuzten  Axen  zu  der  rollenden  noch  eine  gleitende 
Bewegung  beider  Flächen  aneinander  hinzutreten  wird,  welcher  Be- 
wegungsvorgang  als  Schroten**  der  Flächen  bezeichnet  worden  ist. 
Diese  gleitende  Bewegung  kann  dadurch  beseitigt  werden,  dass  man 
eine  oder  beide  Flächen  zugleich  eine  Translationsbewegung  längs 
der  Axen  ausfahren  lässt;  in  diesem  Falle  gehen  dann  die  eine  oder 
beide  Flächen  in  allgemeine  Schraubenregelflächen  über,  wobei  die 
Punkte  kürzester  Distanz  der  Erzeugenden  von  der  Axe  Schrauben- 
linien von  veränderlichem  Radius  und  veränderlicher  Steigung  be- 
schreiben und  der  Richtungskegel  kein  Umdrehungskegel  mehr  ist. 
Zwei  solchermaßen  gestaltete  Flächen  sind  dann  wieder  befähigt, 
ohne  Gleiten  zu  rollen. 

Die  Aufgabe,  durch  gleichförmige  Rotationsbewegung  einer  Welle 
eine  ungleichförmige  an  einer  zweiten  Welle  hervorzubringen,  wird 
durch  die  Aufsuchung  der  entsprechenden  Rollflächen  kinematisch  voll- 
ständig   gelöst.      Zur    Übertragung    einer    bestimmten    mechanischen 

*  Vergl.  Barmester,  Lehrbuch  der  Kinematik,  1.  Bd.  2.  Lief    Leipzig  1886. 
S.  370  flg.  und  die  dort  angegebenen  Litteratumachweise. 
^  Vergl.  Beuleaaz,  Theoretische  Kinematik,  S.  83  flg. 

Zeitaehrift  f.  Mathematik  a.  Physik.  43.  Jahrg.  1898.  1.  Heft. 


2  über  Roll  kurven  und  Rollflächen. 

Arbeit  def  einen  Welle  auf  die  andere  sind  dagegen  beide  Grund- 
körper mit  Zähnen  zu  verseheja^  die  so  zu  formen  sind^  dass  beim 
Gleiten  entsprechender  Zahnflah|£eii  aufeinander  die  Bewegung  kon- 
tinuierlich und  möglichst  ;gedau' so  vor  sich  geht,  als  ob  eben  die 
Flachen  Rj  und  R^  der  «t&UBdkörper  aufeinander  rollen  würden. 

Die  drei  Artea  *^ow  tFlächen  sollen  im  Folgenden  nach  dem  näm- 
liehen  einheitliLK^/ Gesichtspunkt  behandelt  werden;  immerhin  mit 
besonderem  *Xachdruck  darauf,  durch  die  Untersuchung  gleichzeitig 
auch  zur "•^:raptischen  Darstellung  der  in  Rede  stehenden  Gebilde  zu 
g^lalig^V.-* 


•  • 


*  « 


TeUL 

A.  Parallele  Axen. 

1. 

Im  Falle  paralleler  Axen  o^  und  o^  sind  R^  und  R^  Crlinderflächen 
und  ihre  Untersuchung  beschrankt  sich  auf  diejenige  ihrer  Xonnal- 
schnitte.  Diese  Spurkurven,  welche  die  Teilkreise  der  runden  Rader 
vertreten,  fuhren  den  Xamen  Rollkurven  und  sollen  an  Stelle  der 
Cvlinder  in  der  Folge  durch  die  Bezeichnung  Rj  und  R^  gekenn- 
zeichnet wenlen. 

Sollen  zwei  solche  Rollkurven  sich  in  ihrer  gemeinschaftlichen 
Ebene  um  feste  Punkte  (\  und  (^  drehen  und  gleichzeitig  aufeinander 
rollen,  so  muss  nach  einem  Euler 'sehen  Theorvm  die  Berührung  der- 
selben stets  auf  der  Centralen  OjO*  stattfinden.  Ist  P  der  zwischen 
Oy  und  iL  liegende  momentane  Berührungspunkt  bi^ider  Kurven,  so 
Wahlen  wir  O^i*  als  positive  Richtung  einer  Polaraxe  .*,,  eWnso  O^P 
als  positive  Richtung  einer  Polaraxe  .1^;  dann  können  auf  i\  und  o* 
stets  zwei  positive  Axenrichtungen  x^  und  r^  so  fixiert  werden,  dass 
von  ihnen  aus  gesehen  beide  Scheiben  sich  gleichieitig  l>ei  Berührong 
von  aussen  in  positivem  Sinne  drehten.  Bezeichnet  jetzt  2a  die 
Distanz  der  Wellen winkel  i\  und  <)*,  Tj  und  ^^  eWnso  r.  und  ^  die 
Polarkoonlin«ten  entsprtvhender  Punkte  1\  und  1\^  d.h. solcher  Punkte 
beider  Kurven,  die  einmal  gleichreit  ig  durch  die  Centrale  gehen,  O^j 
und  dj  die  in  positivem  Sinn  genu^ss^Mien  Winkel  der  Radienvektoren 
gegtni  ihre  Tangenttn,  so  wird  bei  gleiohzritliTer  Rotation  beider 
Kurven  der  BiTührmiiTspunlit  P  viie  Ctinrale  <'jO^  durv*lilsufen  und 
zwar  eine  Strtvke  dersiUnn,  d:e  c-^v.j  ir.iitrhalb  ootr  CAr.i  ausst-rhalb, 
oder  zum  Ttil  ir.!.ejh&IU  ur.d  mm  Teil  ausstrha]^  dtr  Kijrenzteu 
Strecke  ihih  lieiTt,  ie  i.Äcl.^um  die  Hirührur^  Kidtr  Scheiben  stets 
von  aussen,  stris  von  iv.iun,  o*ur  wbwtvhstlnd  v\^r.  a;;sMi;  und  innen 
erfolgt 

Bezeichnet  mau  femer  i'wei  um  <'j  ur.d  (•*  U-^^^hrit  Wne  Kreise, 
die  sich  auf  dt-r  Cer*trale  berühre;;,   ais   uu  EK  nu  :;t*  r.pAar,  so  be- 


a\ 


Von  Dr.  M.  Distku.  3 

<tt'lien  zwischen   den    Polarkoordinaten   zweier   entsprechender   Punkte 
itiles  Paares  die  Gleichungen: 

1)  r^  +  rg  -=  2a, 

2)  r^  dg>i  —  rg  dg^g  =  0. 

Die  Elemente  jedes  Paares  bilden  ein  Parr  von  Rollkurven  für 
konstantes  Verhältnis  der  Winkelgeschwindigkeiten  ©j  und  Oj  beider 
KoTTen;  denkt  man  sich  jetzt  die  Ebene  derselben  doppelt  und  über 
rinander  gelegt,  so  gelangt  man  zu  den  allgemeinsten  Paaren  von  RoU- 
kurren  nach  folgendem  Satz: 

Durchläuft  ein  Punkt  P  die  Centrale  0^0^  nach  einem 
willkürlichen  Gesetze,  während  die  mit  0^  und  0^  fest  ver- 
oundenen  Ebenen  sich  um  0^  und  0^  gegenseitig  so  drehen, 
als  ob  die  momentan  durch  P  gehenden  Kreise  des  Paares 
aufeinander  rollen  würden,  so  beschreibt  Pin  beiden  Ebenen 
zwei  entsprechende  Rollkurven  R^  und  Rg. 

Seien  Wm  und  Wir^  ebenso  «(^siiUnd  w^r  die  normal  zur  Centrale 
wirkenden  resp.  in  diese  fallenden  Komponenten  der  Geschwindigkeiten 
*r^  und  w^y  mit  denen  bei  gleichzeitiger  Drehung  beide  Kurven  R^  und 
Rj  durch  den  Punkt  P  laufen,  so  ist: 

dtp,  d<pm 

dr,  dr, 

ilso  nach  den  Gleichungen  1)  und  2): 

Wm—  W2n=  Ö, 


«•'^mit 


iVir  +  W2r  =  0, 


Wl  n     ,     Win 


+  ^  =  tg«'i  +  tg*»  =  o, 


Wir  ICir 


O)  'ö'j  -|-  'd'g  =  Ä. 

Femer  folgt:  2,9  *     .      « 

Wtn+Wlr=^wl„+  wir, 

4)  ds^  =  ds^. 

Nach  3)  berühren  sich  also  R^  und  R^  in  P,  nach  4)  rollen  sie 
Jti  der  Drehung  um  0^  und  0^  aufeinander,  folglich  genügen  die  Be- 
-ingungsgleichungen  1)  und  2),  um  zwei  Kurven  als  zusammengehörige 
äoUkurven  zu  charakterisieren. 

Um  nun  von  der  angegebenen  mechanischen  Erzeugungsweise  zu 
^er  konstruktiven  zu  gelangen,  denken  wir  uns  zwei  Rollkurven  mit 
Berührung  von  aussei^  in  richtiger  Lage.  In  diesen  Kurven  entspricht 
'ann  der  Folge  von  Radien  0^1,  b^,  c^  , , ,  der  ersten  in  ganz  bestimmter 
»Veise  die  Folge  von  Radien  a^,  62;  ^s  •  •  •  ^^^  zweiten;  denkt  man  sich 
:in  die  Kurven   weg  und  bringt   das   zweite  Radiensystem    derart  an 

1* 


4  Über  Rollkurven  und  Rollflächen. 

den  Punkt  0^,  dass  die  positiven  Axen  x^y  y^,  z^  mit  den  positiven 
Axen  x^,  y^,  s^  zusammenfallen,  so  haben  wir  am  Punkte  Oj  zvirei 
vereinigte  Büschel  von  gleichem  oder  entgegengesetztem  Drehungssinn, 
je  nachdem  Berührung  von  aussen  oder  innen  vorausgesetzt  wird.  Um 
die  gegenseitige  Abhängigkeit  entsprechender  Strahlen  zu  veranschau- 
lichen, bringe  mau  beide  Büschel  mit  einem  beliebigen  um  0^  be- 
schriebenen Kreise  D  zum  Schnitt,  so  erhält  man  auf  diesem  zwei 
Punktreihen  J^i JBi Cj . . .,  Ä^B^C^, , ,  Verbindet  man  jetzt  entsprechende 
Punkte  durch  geradlinige  Sehnen,  so  umhüllt  die  Gesamtheit  derselben 
eine  bestimmte  Kurve  P  und  umgekehrt  vermittelt  jede  Kurve  F  die 
geometrische  Abhängigkeit  zweier  Strahlsysteme  am  Punkte  0^ 

Bezeichnet  aber  A^^A^  die  zu  A^A^  unendlich  benachbarte  Sehne, 
welche  ihr  also  in  ihrem  Berührungspunkt  mit  der  Enveloppe  F  be- 
gegnet und  sind  q>^  und  tp^  die  Polarwinkel  der  Radien  O^A^  und  O^A^ 
gegen  eine  beliebige  Polaraxe  x,  so  besteht  beim  Kreis  bekanntlich  die 
Proportion:  a^  _  A,A,'  _  d^ 

A^F        A^A^         dq>^ 

Teilt  man  daher  die  Radien  O^A^  und  O^A^  je  durch  einen 
Punkt  Pj  und  P,  im  umgekehrten  Verhältnis  der  Tangentenabschnitte 
A^F  und  A^F,  indem  man  P^P  parallel  O^A^  und  P^P  parallel  O^A^^ 
zieht,  so  ist  zunächst  für  die  Radien  Vektoren  r^  und  r^  der  Punkte  Pj 
und  Pg  die  Bedingung  2)  erfüllt: 

Da  jetzt  nach  Gleichung  1): 

r^  -f  r^  «=  2a 

sein  soll,  so  hat  man  dem  um  O^  beschriebenen  Kreis  D  den  Radius 
2a  zu  erteilen.     Man  gelangt  somit  zu  folgendem  Ergebnis: 

Ist  F  eine  vollkommen  willkürliche  Kurve,  die  in  der 
Ebene  eines  Kreises  D  liegt,  so  bringe  man  die  Tangente 
irgend  eines  ihrer  Punkte  F  in  A^^  und  A^  mit  D  zum  Schnitt 
und  ziehe  P^F  parallel  zum  Radius  O^A^y  P^F  parallel  zum 
Radius  O^A^.  Durchläuft  jetzt  F  die  ganze  Kurve  F,  so  be- 
schreiben die  Punkte  P^  und  P,  entsprechende  Rollkurven 
für  0|  als  Drehpunkt  und  den  Radius  des  Kreises  D  als 
Gentraldistanz. 

Den  Kreis  D  bezeichnen  wir  fortan  als  Distanzkreis,  die 
Kurve  F  als  Teilungskurve  der  Rollkurven  R. 

2. 

Zum  Zwecke  einer  genaueren  graphischen  Darstellung  der  Kurven  R^ 
und  R^  soll  jetzt  die  Konstruktion  der  Tangente  und  des  Krümmungs- 
radius in  den  Punkten  P^  und  P|  abgeleitet  werden.  Sind  die  Radien- 
systeme an  den  Punkt  0  gebracht,  so  bezeichne  in  Fig.  1  (Taf.  I)  u  den 
Winkel  der  Normalen  n  der  Teilungskurve  gegen  die  Polaraxe,  2v  den 


Von  Dr.  M.  Disteli.  5 

Winkel,  unter  dem  die  Sehne  Ä^A^  von  0  aus  gesehen  wird.  Ferner 
seien  m^,  a^;  co^,  sr,;  o^^  n^  Winkelgeschwindigkeiten  und  -Beschleunig- 
ungen der  Radien  OA^,  OA^  und  der  Normalen  n,  so  ist  zunächst: 

Ist  nun  A  der  Mittelpunkt  der  Tangente  A^A^,  so  nehmen  wir 
ihn  zum  Anfangspunkt  eines  Koordinatensystems,  dessen  positive 
Axe  x'  von  A  nach  A^^  dessen  positive  Axe  j/  von  A  nach  0  ge- 
richtet ist.  Bezeichnen  nun  zur  Abkürzung  die  absoluten  Längen 
folgender  fünf  Strecken  mit  Buchstaben,  nämlich: 

A^I^n,    A^F=^m,    A^A^^2s,    AF^e,    AO^f, 

so  erhält  jede  dieser  Strecken  durch  ihre  Bezeichnung  zugleich  be- 
stimmtes Vorzeichen.  Die  Tangente  A^A^  kann  nun  auf  unendlich 
viele  Arten  längs  der  Kurve  F  bewegt  werden ,  da  aber  die  Be- 
wegungsrichtung der  Punkte  P^  und  P,  von  dem  Bewegungsgesetz  der 
Tangente  A^A^  durchaus  unabhängig  sein  muss,  so  kann  zur  Fixierung 
bestimmter  Verhältnisse  die  Annahme: 

n  m  . 

*        2a  *        2a 

^^'  0»,        n  8  . 

09,        m  ^       2a 

gemacht  werden,  nach  welcher  somit  die  Winkelgeschwindigkeit  der 
Tangente  A^A^  ihrer  Länge  proportional  ist. 

Auf  dem  Distanzkreis  bewegen  sich  infolgedessen  die  Punkte  A^ 
und  A^  mit  den  Geschwindigkeiten: 

Wi  =  2acDi  =  n,    W^  =  2aai,  =  m. 

Es  sei  femer  K  der  Krümmungsmittelpunkt  der  Teilungskurve  für 
den  Punkt  Fy  Q^  und  Q^  seien  die  Schnittpunkte  der  Normalen  n  mit 
0J|  und  OA^y  dann  wird  für  eine  unendlich  kleine  Drehung  der 
Tangente  A^A^  um  den  Punkt  K  in  positivem  Sinne  die  Strecke  n 
wachsen^  falls  K  auf  der  begrenzten  Strecke  FQ^  liegt;  dagegen  die 
Strecke  m  wird  wachsen^  so  lange  K  auf  der  unbegrenzten  Strecke 
FQ^  postiert  wird.  Wenn  daher  mit  Pj  und  Pg  die  tangentialen  Be- 
schleunigungen der  Punkte  A^  und  A^  bezeichnet  werden,  so  ist: 

Pi  =  2a%^  =  -^  '  -^  =  KQ^  sin  t;  =  KL^, 

P,  =  2a«,  =-^^.  ll^-  ^^8  ^^^^  =  ^^2' 

wenn  Z^^  und  Z^  die  Eusspunkte  der  Lote  von  K  auf  die  Raiend  OA^ 
und  OA^  bedeuten.* 


*  VergV  Mannheim:  Göomdtrie  Cinematique,  S.  44  flg.    Paris  1S94. 


g  über  Rollkunen  und  Rollflächen. 

E«  ist  daher  h.  _  !^  _  ^  m, 

d.h.  Pj  und  P,  haben  gleiches  und  zwar  positives  Vorzeichen  nur  so 
lange  K  auf  der  begrenzten  Strecke  QiQ^  liegt. 

Bewegt  sich  demnach  die  Tangente  A^A^  längs  der 
Teilungskurve  mit  der  Winkelgeschwindigkeito^,  welche  ihrer 
Länge  proportional  ist,  so  sind  die  tangentialen  Geschwin- 
digkeiten, mit  denen  ihre  Endpunkte  auf  dem  Distanzkreis 
gleiten,  gleich  den  vom  Berührungspunkt  gebildeten  Ab- 
schnitten der  Tangente  und  ihre  tangentialen  Beschleunig- 
ungen der  Grösse  und  dem  Sinne  nach  gleich  den  Entfern- 
ungen des  Krümmungsmittelpunktes  der  Teilungskurve  von 
ihren  Radien. 

Bedeuten  jetzt  wieder  tviny  Wir  und  W2n}  «'»r  die  normalen  und 
radialen  Komponenten  der  Geschwindigkeiten  w^  und  w^  der  Punkte  P^ 
und  Pg,  so  folgt  aus  der  Gleichung: 


also: 
und  da 


« 

^l 

- 

2a — i — 

=-2a 

»0 

u 

« 

2a  — 7— 
m  +  n 

=  2a 

«».. 

<».' 

\n 

— 

m  •  n 

W 

♦"lOl 

*■»•"»  = 

■0, 

tt'l ,  = 

w»». 

Die  doppelten  normalen  Geschwindigkeitskomponenten 
der  Punkte  P^  und  P,  sind  also  gleich  dem  harmonischen 
Mittel  aus  den  Geschwindigkeiten  der  Punkte  A^^  und  A^  und 
gleich  ihren  parallel  zur  Tangente  der  Teilungskurve  ge- 
messenen doppelten  Entfernungen  vom  Bertihrungsradius  01^. 

Aus  den  oben  stehenden  Werten  von  r^  und  r^  ergeben  sich  nun 
auch  die  radialen  Komponenten,  nämlich: 


dr,         a 

CDj  TT  j  —  CD,  W, 

dr.         a 

•j  «1  -  «»i  *j  • 

»«' 

Um  diese  Ausdrücke  zu  konstruieren,  beachte  man,  dass 


n 

«ff 

ist,  so  wird: 

Von  Dr.  M,  Disteli.  7 

2  n-ftn  2 

Aus  der  Definitionsgleichung  dieser  Strecke  GK  geht  aber  hervor, 
dass  in  allen  Fällen  der  Punkt  G  der  vierte  harmonische  zum  Punkte 
F  in  Bezug  auf  das  Punktepaar  QiQ^  ist  und  daher  gefunden  wird, 
indem  man  OG  parallel  zur  Sehne  P^A  zieht. 

Fallt  K  mit  G  zusammen,  so  sind  die  radialen  Geschwindigkeits- 
komponenten der  Punkte  P^  und  Pg  gleich  Null,  d.h.  diese  bewegen 
sich  momentan  auf  Kreisen  um  den  Punkt  0.  Es  ist  daher  G  der- 
jenige Punkt  der  Ebene,  um  welchen  die  Sehne  Ä^A^  gedreht  werden 
musS;  wenn  das  Verhältnis  ihrer  Abschnitte  d.h.  auch  das  Verhältnis 
der  Winkelgeschwindigkeiten  co^  und  o^  sich  momentan  nicht  ändern 
soll.  Mit  der  Bezeichnung  Geschwindigkeitscentrum  für  den  Punkt  G 
ergiebt  sich  demnach  für  die  Punkte  Pj  und  P,: 

Die  doppelten  radialen  Geschwindigkeitskomponenten 
der  Punkte  P,  und  Pg  sind  gleich  der  Entfernung  des  Ge- 
schwindigkeitscentrums G  vom  Krümmungsmittelpunkt  der 
Teilungskurve. 

Ist  demnach  die  Teilungskurve  F  sowie  ihre  Evolute  E  gegeben, 
so  können  ftr  jedes  Punktepaar  der  Rollkurven  die  Tangenten  durch 
Abstechen  zweier  Strecken  angegeben  werden.  Es  ist  aber  leicht  ein- 
zusehen, dass  diese  Konstruktion,  die  zunächst  kinematisch  begründet 
ist,  auch  eine  geometrische  Bedeutung  hat. 

Es  ist  nämlich: 

^"         n  +  w  FQi  +  F(^^     °  2  ^    ' 

^ir---^^G, 

somit  •  tg^,  FG 

tgr     "*  ""  kg' 

Fällt  daher  iL  mit  F  zusammen,  so  ist  d^^  =^  n  —  r,  d.h.  wenn  die 
Kurve  F  eine  Spitze  besitzt,  so  steht  die  Tangente  der  Rollkurve  zur 

Rückkehrtangente  normal.    Fällt  K  mit  G  zusammen,   so  ist  '^i  =  ^, 

t  2 

d.h.  die  Tangente  steht  zum  Radius  )\  normal;  fällt  endlich  K  mit 
dem  unendlich  fernen  Punkt  J/ von  n  zusammen,  so  ist  &^  =  0,  d.  h.  wenn 
die  Teilungskurve  eine  Wendestelle  besitzt,  der  ein  unendlich  grosser 
Krümmungsradius  zukommt,  so  geht  die  Tangente  der  Rollkurve  durch 
den  Punkt  0.  Bezeichnet  man  daher  die  den  Punkten  G,  U,  F,  K 
entsprechenden  Tangenten  von  R^  mit  g,  n,  /*,  k,  so  sagt  obige 
Gleichung  nichts  anderes  aus  als  die  Gleichheit  der  Doppelverhältnisse 

(c/ufk)  ^  (G  ÜFK). 

Es  ist  also  die  Reihe  der  Krümmungsmittelpunkte  K 
auf  der  Normalen  n  projektiv  zum  Büschel  der  Tangenten  am 
Punkte  Pj. 


8  Über  RoUkui-vcn  und  Rollflächen. 

Die  Konstruktion  der  Geschwindigkeit  w^  ist  daher  nichts  anderes 
als  die  einfachste  Konstruktion  dieser  Projektivität. 

Soll  endlich  die  Linie  FP^  gerade  die  Tangente  der  Kurve  R^ 
in  Pj  sein,  so  bleibt  bei  einer  unendlich  kleinen  Verschiebung  des 
Punktes  F  der  Inhalt  des  Parallelogrammes  FP^OP^  ungeandert.  Es 
ist  dann  -^j  =  ä  —  2v^  oder  falls  man 

KG^FG^Q 

setzt,  wo  Q  den  Krümmungsradius  von  F  bedeutet: 

2 1 


oder  ijp^ 


FG 

F 

2 ^_ 

cos'  V 


Diese  Gleichung  sagt  aus,  dass  die  Teilungskurve  im  Punkte  jP 
von  derjenigen  Ellipse  oskuliert  wird,  welche  OF  zum  Durchmesser 
und  PxPi  zu  Brennpunkten  hat. 

Wird  also  ein  Parallelogramm  OP^FP^  derart  um  die 
feste  Ecke  0  gedreht,  dass  Inhalt  und  Umfang  2a  konstant 
bleiben,  indessen  die  Ecken  P^  und  P,  Kurven  von  gleicher 
Bogenlänge  beschreiben,  so  sind  die  Bahnen  derselben  Ort  der 
Brennpunkte  aller  Ellipsen  von  der  konstanten  Hauptaxe  2aj 
welche  mit  dem  Parallelogramm  konzentrisch  bleiben  und 
fortgesetzt  die  Bahn  der  Ecke  F  oskulieren. 

Soll  nun  im  weiteren  in  dem  Punkte  Pj  der  Kurve  B^  der 
Krümmungsradius  q^  konstruiert  werden,  so  ist  dazu  die  Kenntnis 
von  vier  aufeinanderfolgenden  Tangenten  der  Kurve  F,  d.h.  die  An- 
gabe des  zweiten  Krümmungsmittelpunktes  K^  erforderlich.  Bezeichnet 
man  dann  die  daraus  entspringende  Beschleunigung,  mit  welcher  sich 
Pi  auf  dem  Badius  OA^  bewegt,  durch  jpir,  so  ergiebt  sich  die 
Beschleunigung  des  Punktes  Pj  nach  dem  Coriolis'schen  Satze* 
wie  folgt: 

Bezeichnet  pn  die  Beschleunigung  des  momentan  mit  Pj  zu- 
sammenfallenden Punktes  der  Geraden  OÄ^j  so  ist  die  Beschleunigung 
Pif  mit  der  sich  der  Punkt  Pj  auf  seiner  Bahn  R^  bewegt,  gleich  der 
geometrischen  Summe  der  Beschleunigungen  pik  und  jpir,  vermehrt  um 
die  Zusatzbeschlamigungi?!,!—  2wirca^^  die  senkrecht  zur  Geraden  0-4^ 
steht  und  mit  der  um  einen  rechten  Winkel  im  Sinne  von  Oj  gedrehten 
Geschwindigkeit  Wir  gleich  gerichtet  ist. 

Um  zunächst  die  Beschleunigung  pir  zu  finden,  bezeichne  man 
(Fig.  1  Taf.I)  mit  G'  den  Schnittpunkt  der  Normalen  w"  der  vom  Punkte  6r 

*  Vergl.  Burmester  a.  a.  0.  Bei.  I  Lief  3,  S.  77G. 


Von  Dr.  M.  Disteli.  9 

beschriebenen  Kurve  6  mit  der  Normalen  n'  der  Evolute  E  im  Punkte  K. 
Um  die  Lage  dieses  Punktes  &  zu  bestimmen,  beachte  man,  dass 

Es  ist  aber  '" 

Da  aber  A  die  Pusspunktskurve  von  F  beschreibt,  so  ist: 

df 


du~^      ^' 


1    d(r^r^)         r^-r^ 


a       du  -^1^ 

und  daher  ^ 


GK 


au  f  '^1'^ 


Also 


2 

Die  erste  Strecke  wird  der  Grösse  und  Richtung  nach  erhalten, 
indem  man  durch  G  die  Parallele  zu  A^A^  zieht  und  mit  OF  in  G^ 
zum  Schnitt  bringt.  Die  zweite  Strecke  hat  das  Vorzeichen  von  GK^ 
sie  ist  mit  GK  proportional,  d.h.  die  Gerade  G^&'hat  eine  von  der 
Lage  von  K  unabhängige  Richtung,  die  sich  leicht  konstruieren  lässt, 
mdem  man  AQ  ^  QiQ%  macht  und  aus  G^  auf  A^Q  das  Lot  fallt. 

Ist  nun  G^  gefunden,  so  folgt  aus  der  Gleichung 

w,r--\GK: 

Fallt  Z"'  mit  6r'  zusammen,  so  istj)ir  =  0,  d.h.  6r'  ist  derjenige 
Punkt,  um  welchen  die  Normale  n  gedreht  werden  muss,  falls  die 
Geschwindigkeitskomponenten  Wir  und  w^r  sich  momentan  nicht  an- 
dern sollen.     Man  kann  daher  G^  das  Beschleunigungscentrum  nennen. 

Das  Vorzeichen  der  Strecke  KG^  ergiebt  sich  jedesmal  aus  der  Figur, 
nämlich  als  positiv  oder  negativ  bezüglich  ri  je  nachdem  FG  zunimmt  oder 
abnimmt;  ist  sodann  auf  der  Normalen  n'  der  Evolute  E  der  Erüm- 
mungsmittelpunkt  JT'  gegeben  und  liegt  er  wie  in  Fig.  1  (Taf  I)  mit 
K  auf  der  entgegengesetzten  Seite  von  G',  so  ist  ff'JT'  eine  positive 
Strecke,  d.h.  pir  eine  positive  Beschleunigung;  liegt  K!  mit  K  auf 
der  gleichen  Seite  von  6r',  so  ist  G'Jf'  eine  negative  Strecke,  also 
Ptr  eine  negative  Beschleunigung.  Aus  dem  Vorstehenden  ergiebt 
sich  daher: 

Die  doppelten  radialen  Beschleunigungskomponenten 
der  Punkte  P,  und  P,  sind  gleich  den  Projektionen  der  Ent- 
fernung des  Beschleunigungscentrums  G^  vom  zweiten  Erüm- 
mungsmittelpunkt  JT'  auf  die  Radien  OA^  und  OA^. 


10  über  Rollkurven  und  Rollflächen. 

Zur  Bestimmung  der  Beschleunigung  j!)ijb  betrachten  wir  jetzt  den 
momentan  mit  Pj  zusammenfallenden  Punkt  der  Geraden  OÄ^,  so  be- 
wegt sich  dieser  auf  einem  mit  D  konzentrischen  Kreise  K  mit  der 
tangentialen  und  radialen  Beschleunigung: 

welche    sofort    angegeben    werden    können.      Ferner    ergiebt   sich   als 
Zusatzbeschleunigung : 

Die  Zusatzbeschleunigung  pi,  ist  also  doppelt  so  gross 
und  gleich  gerichtet  wie  der  zwischen  rj  und  n^  liegende  Ab- 
schnitt der  im  Punkte  Kir  auf  r^  errichteten  Normalen. 

Setzt  man  daher  die  beiden  radialen  und  normalen  Komponenten 
zusammen,  so  sind  die  Strecken  P^Pir  und  P^Pm  die  Komponenten 
der  gesuchten  Beschleunigung: 

Bedeutet  endlich  pij=  P^Pxq  die  in  die  Richtung  von  n^  fallende 
Komponente  von  p^,  so  ist  q^  =  P^  Ä'^  =  -^  der  gesuchte  Krümmungs- 
radius von  J?^  im  Punkte  P^.  Da  die  Komponenten  von  p^  sich  nach 
Konstruktion  linear  aus  der  Strecke  GK  und  (r'A"'  zusammensetzen, 
so  ergiebt  sich  ohne  weiteres,  dass  der  Endpunkt  der  Beschleunigung, 
also  P  und  der  zweite  Krümmungsmittelpunkt  K^  bei  unveränderter 
Lage  der  Radien  sowie  der  Punkte  F  und  G  zwei  zu  einander  affine 
Punktebenen  erfüllen,  sodass  der  Satz  von  Coriolis  nichts  anderes 
ist  als  die  einfachste  geometrische  Ausdrucksform  für  die  Konstruktion 
entsprechender  Punktepaare  der  beiden  affinen  Ebenen. 

Durchläuft  der  Punkt  K  die  ganze  Normale  w,  so  durchläuft  der 
Punkt  (r'  die  Gerade  G^G^-^  fällt  daher  K  mit  G  zusammen,  so  deckt 
sich  G'  mit  Gq  und  es  haben  daher  die  Kurven  G  und  E  in  6r 
eine  gemeinschaftliche  Normale.     Man  schliesst  daher: 

Die  Kurven  E  und  6  berühren  sich  überall  da,  wo  sie 
sich  schneiden  und  die  gemeinschaftlichen  Tangenten  der 
Berührungsstellen  treffen  die  Kurve  F  in  denjenigen  Punkten, 
denen   die  extremen  Werte  der  Radien  r^  und  r,  entsprechen. 

Bestimmten  Lagen  der  Krümmungsmittelpunkte  K  und  K^  werden 
spezielle  Werte  des  Krümmungsradius  q^  entsprechen.  Soll  nämlich  die 
Komponente  pi^  den  Wert  Null  erreichen,  so  kann  man  auf  der  Geraden 
n'  einen  bestimmten  Punkt  W  angeben,  in  welchen  K'  verlegt  werden 
muss,  damit  dieser  Umstand  eintritt.  Die  Gesamtheit  dieser  Punkte 
W  erfilUt  dann  eine  bestimmte  Kurve  W,  welche  der  zweiten  Evo- 
lute E'  der  Teilungskurve  in  einer  bestimmten  Anzahl  von  Punkten 
begegnen  wird. 


Von  Dr.  M.  Dirtkli.  H 

Die  Schnittpunkte  der  Kurven  E'  und  W  führen  somit  zu 
denjenigen  Punkten  der  Teilungskurye,  denen  ein  Wende- 
punkt der  Kurve  R^  entspricht. 

Im  allgemeinen  wird  der  entsprechende  Punkt  Pg  der  Kurve  B^ 
kein  Wendepunkt  sein,  vielmehr  entspringen  die  Wendepunkte  dieser 
Kurve  aus  einer  zweiten  Kurve  W,  die  in  analoger  Weise  entsteht. 

Der  Krümmungsradius  pj  nimmt  d^egen  den  Wert  Null  an, 
sobald  der  Punkt  £'  ins  Unendliche  rückt,  ohne  dass  gleichzeitig  auch 
K  sich  im  Unendlichen  befindet.     Man  schliesst  daraus: 

Hat  die  Kurve  F  in  -F  eine  Spitze  zweiter  Art,  oder 
einen  Wendepunkt,  der  zugleich  auch  ein  Wendepunkt  ihrer 
Evolute  E  ist,  so  haben  die  Kurven  R,  und  R^  in  Pj  und  Pg 
je  eine  Spitze  erster  Art. 

Da  femer  die  beiden  Beschleunigungen  p^  und  p^  unter  sich  eben- 
falls in  projektiver  Abhängigkeit  sind,  so  bestehen  auch  zwischen 
ihren  Komponenten  Beziehungen,  die  leicht  aufzustellen  sind. 

Projiziert  man  nämlich  den  Linienzug  F^KirPuPPi  Skxxf  die  Tan- 
gente und  Normale  von  Rj,  so  folgt: 

Pit  =  — — cosO*!—  (2a}^Wir  +  riÄ,)8in'9'i  +  i)i  r  cos -0", , 

Pip«  ^^~^8ind'i+  (2oitVir+  r^ TTj) cos ^1  +  2>i r sin ^1 , 

und  analog  für  p^t  uhd  p^^.     Da  aber 

-^j  +  ^,«ä;    pir^  +  P2r  =  0,     riOi  — r,a)2=-0; 
also  auch  ,  ^ 

80  ergiebt  sich  ohne  weiteres: 

Pu  —  Pit  ^0 
und 


d.h. 


Diese  ebenfalls  von  Euler  aufgestellte  Gleichung  gilt  für  Be- 
rührung der  Kurven  R,  und  R^  von  aussen,  für  Berührung  von  innen 
sind  beide  positiven  Zeichen  durch  die  negativen  zu  ersetzen. 

Nach  dem  Vorigen  lassen  sich  nun  die  Kurven  R^  und  R^  auch 
dann  konstruieren,  wenn  für  jedes  korrespondierende  Radienpaar  die 
Geschwindigkeiten  und  Beschleunigungen  der  Punkte  A^  und  A^  bekannt 
sind.  Bewegt  sich  beispielsweise  Ai  auf  dem  Kreise  D  gleichförmig, 
indessen  A^  sich  so  bewegen  soll,  dass  ein  Punkt  ^3,  der  mit  A^ 
durch  eine  starre  Linie  verbunden  ist,  sich  im  horizontalen  Durch- 
messer von  D  nach  vorgeschriebenem  Gesetze  bewegt,  so  ist  zu  jeder 
Lage  von  A^  diejenige  von  A^  bestimmt,  ebenso  die  Geschwindigkeiten 


12  Über  Rollkurven  und  llollflächen. 

und  Beschleunigungen  dieser  Punkte.  Die  beiden  Kurven  B|  und  B^, 
welche  die  verlangte  Übertragung  der  Bewegung  hervorbringen, 
können  daher  durch  Punkte  und  Tangenten  konstruiert  werden. 

3. 

Um  die  Kurven  R,  und  R^  auch  durch  ihre  Gleichungen  in  Polar- 
koordinaten darzustellen,  was  insbesondere  im  Falle  einer  transcen- 
denten  Kurve  F  von  Vorteil  sein  kann,  hat  man  nach  dem  Vor- 
angegangenen neben  der  Gleichung: 

1)  r,  +  r^^2a 

nocli  «ine  endliche  Gleichung  zwischen  den  Winkeln  q)^  und  qp,: 

2)  9(Vu<P2)-0 

uIm  gegeben  anzunehmen  und  mittelst  der  Bedingungsgleichung: 

auM  dioMen  drei  Gleichungen  entweder  r^  und  9^  oder  r^  und  q>^  zu 
(tliiuiuitMen.     Setzt  man  nun 

g)j  «  u  +  i',     g?, «  u  —  V, 

Mi»  goht  dio  (Hoiehung  2)  Aber  in  eine  Gleichung: 

F(u,  v)  -  0, 

ii\  wi^ohor  man  jt^tzt  14  und  r  als  Koordinaten  der  Teilungskurve  F 
uutYuMMini  kann.  Ut  zunilchst  F  durch  eine  Gleichung  in  den  recht- 
wiukligt^u  laiiit^ukoordinaten  U|  und  v^  gegeben,  so  findet  man  ihre 
HK'W  UU^iolumg  in  den  Koordinaten  u  und  v  durch  die  Substitutionen: 

1  cos  14 

*  2  a     cos  V 

^*"^'  1       Bin« 


vr 


2a      C08  V 

[\it  lU^K^vgvn  V  durch  polare  Linienkoordinaten  r  und  u  ausgedrückt, 
>v    ^viuiH^  I.VÄ  r~2acosi> 

«   vx  VI.0U«  uuk   dio  UUnohung  in  den  Koordinaten  u  und  v  zu  erhalten. 
Vi    »iiUvi    uuvu  «.  H.  auH  der  Gleichung  des  Punktes,  der  im  Abstände 
,    .    V'4UMijf*l^\ukt  lUif  <ler  Polaraxe  x  liegt: 

aooHi»    ■  hoosu  =*  0 

.  ^    A.w>olUoh  \\\  diM\  Koordinaten  u  und  y. 
. .,    uu  duvtou  ISiukt  oin  Kreis  vom  Radius  2ro  beschrieben, 
K  »vUuuii  lu  tiuioukoordinaten  die  Form: 


Von  Dr.  M.  Disteli. 


13 


Durch  obige  Substitutionen  geht  sie  über  in  die  Gleichung: 

a  cos  V  —  b  cos  t«  ^  r^  =  0, 

je  nachdem  als  Ausgangslage  die  eine  oder  andere  derjenigen  beiden 
Tangenten  des  Kreise»  gewählt  wird;  welche  auf  der  Polaraxe  normal 
stehen.  Will  man  dagegen  umgekehrt  von  den  Koordinaten  u  und  v 
zu  rechtwinkligen  Linienkoordinaten  übergehen ^  so  hat  man: 


zu  substituieren.  * 

Da  nun  im  weiteren: 


cosw  =  — 


cos  t;  =  + 


u. 


1 


2al/«,'+t3,« 


OD, 


HO, 


a>. 


OD. 


1  + 


-1- 


so  wird  nun: 


4) 


dv 
du 

dv 
du 


5) 


6) 


Dazu 


9»!  =  M  +  V, 
♦•«=«(1+1^)5 

F(u,  v)  =  0. 


Eliminiert  man  daher  aus  den  Gleichungen  4)  und  6) 
resp.  5)  und  6)  die  Parameter  u  und  r,  so  sind  die  Re- 
sultanten der  Elimination  allemal  die  Gleichungen  zweier 
entsprechender  Rollkurven. 

Im  allgemeinen  wird  man  durch  beide  Eliminationen  dieselbe 
Gleichung  in  Polarkoordinaten  finden  ^  d.  h.  R^  und  R^  sind  im  all- 
gemeinen Teile  ein  und  derselben  Kurve  R.  Ist  F  eine  algebraische 
Kurve,  so  ist  es  auch  die  Kurve  R^  deren  Ordnung  sich  leicht  be- 
stimmen lässt. 

Sei  V  die  Ordnung  und  11  die  Klasse  von  F^  so  existieren  zunächst 
zwischen  F  und  D2i/  gemeinschaftliche  Schnittpunkte  S,  wobei  jedesmal 
der  eine  der  beiden  Punkte  P  nach  0,  der  andere  nach  S  tällt^  d.h.: 

1.  Der  Punkt  0  ist  im  allgemeinen  ein  2i/-facher  Punkt 
von  R. 

Findet  dagegen  im  Schnittpunkt  S  zugleich  Berührung  zwischen 
F  und  D  statt;  so  sondert  sich  die  Gerade  OS  zweimal  aus.  Es 
ergiebt  sich  daher: 

2.  Jede  einfache  Berührung  zwischen  F  und  D  reduziert 
die  Ordnung  der  Kurve  R  um  zwei  Einheiten. 


14  über  Rollkurven  und  Hollflächen. 

Jeder  Strahl  durch  0  trifft  ferner  D  in  zwei  Punkten,  von 
welchen  aus  je  (i  Tangenten  an  F  gelegt  werden  können.  Es  liegen 
also  auf  jedem  Strahl  durch  0  noch  2(1  weitere  Punkte  der 
Kurve  B,  dh.: 

3.  Die  Ordnung  der  Kurve  R  ist  n  »=  2(i/  +  /a). 

Fällt  dagegen  einer  der  Punkte  S  in  einen  der  Kreispunkte  J 
und  c7i  im  Unendlichen,  so  wird  die  Konstruktion  des  Punktes  P  auf 
OS  unbestimmt,  d.h.: 

4.  Jedesmal  wenn  die  Kurve  F  durch  die  Kreispunkte 
geht,  reduziert  sich  die  Ordnung  von  R  wieder  um  zwei 
Einheiten. 

Die  Kurven  F  und  D  haben  ferner  2ft  gemeinschaftliche  Tan- 
genten; berühren  sich  F  und  D  selber  nicht ^  so  fallen  die  beiden 
Punkte  P  ins  Unendliche.     Daraus  folgt: 

5.  Von  0  aus  gehen  im  allgemeinen  2ft  Asymptoten- 
richtungen der  Kurve  R  nach  den  auf  D  liegenden  Berührungs- 
punkten der  gemeinsamen  Tangenten  der  Kurven  F  und  D. 

Ein  unendlich  ferner  Punkt  von  R  kann  aber  noch  in  anderer 
Weise  entstehen.  F  selbst  hat  v  Asymptoten,  welche  D  in  v  Punkte- 
paaren treffen,  deren  Radien  der  Kurve  R  auf  der  unendlich  fernen 
Geraden  begegnen.    Wir  schliessen  daraus: 

6.  Die  Geraden  von  0  nach  den  Schnittpunkten  des 
Distanzkreises  mit  den  Asymptoten  der  Teilungskurve  sind 
2v  weitere  Asymptotenrichtungen  der  Kurve  R. 

Damit  sind  die  2w  unendlich  fernen  Punkte  von  R  aufgezählt. 
Legt  man  nun  insbesondere  aus  den  Kreispunkten  J  und  J^  die  Tan- 
genten an  die  Kurve  F,  welche  sich  paarweise  in  den  Brennpunkten 
derselben  begegnen,  so  sind  die  Geraden  OJ  und  OJ^  die  Asymptoten 
des  Distanzkreises  und  es  fallen  daher  die  aus  den  vorigen  Tangenten 
entspringenden  Schnittpunkte  dieser  Strahlen  mit  R  paarweise  zu- 
sammen. OJ  und  OJi  sind  daher  fi-fache  Tangenten  von  R,  mit 
anderen  Worten: 

7.  Der  Punkt  0  ist  im  allgemeinen  ein  /i-facher  Brenn- 
punkt von  R. 

Die  angegebenen  Anzahlen  können  Modifikationen  erleiden,  falls 
die  Kurve  F  zum  Kreise  D  entweder  im  Endlichen  oder  in  den  Kreis- 
pimkteu  in  besonderer  Beziehung  steht;  es  kann  R  auch  eine  zirkuläre 
Kurve  werden,  falls  F  die  unendlich  ferne  Gerade  berührt. 

Schliessen  wir  im  Folgenden  besondere  Lagen  zwischen  P  und  D, 
sowie  Wendepunkte  der  Teilungskurve,  d.h.  retrograde  Bewegungen 
beider  RoUkurven  aus,  so  wird  man  sagen  können: 

Aus  jeder  ganz  innerhalb  des  Kreises  D  liegenden,  geschlossenen 
Kurve  F  entspringen  zwei  Kurven  R,  und  R^  för  Berührung  von 
aussen.  Ist  F  nach  aussen  stetig  konvex  und  besitzt  F  zudem  eine 
durch  0  gehende  Symmetrieaxe,  so   sind  R^  und  R^  geschlossene,  zu 


Von  Dr.  M.  Disteli.  15 

dieser  Axe  symmetrisch  liegende  Ovale.  Da  aber  R,  mit  seiner  Ebene 
umgewendet  werden  muss^  so  sind  nach  der  Umwendung  R|  und  B^ 
koDgruente  Kurven. 

Ist  dagegen  F  nach  aussen  stetig  konkav,  so  muss  F  eine  be- 
stimmte Anzahl  von  Rückkehrtangenten  besitzen.  Durchläuft  nun  die 
Tangente  einmal  die  ganze  Kurve  F;  so  hat  sie  sich  um  eine  gerade 
oder  ungerade  Anzahl  von  zwei  rechten  Winkeln  gedreht,  je  nachdem 
die  Anzahl  der  Rückkehrtangenteu  gerade  oder  ungerade  ist.  Im  ersten 
Fälle  sind  R^  und  R^  zwei  getrennte  geschlossene  Kurven^  im  zweiten 
Falle  setzen  sich  R^  und  R^  zu  einer  einzigen  geschlossenen  Kurve 
zusammen,  und  wenn  die  Tangente  A^A^  die  Kurve  F  zum  zweiten 
Mal  durchläuft,  so  beschreibt  Pj  den  Teil  R^  imd  P,  den  Teil  Rj. 
Die  Kurven  R^  und  R^  sind  also  in  Deckung,  d.  h.  nach  der  Um- 
wendung  von  R^  sind  Rj  und  R,  symmetrisch  gleich.  Es  ergiebt 
sich  daher: 

Jede  ganz  im  Innern  von  D  liegende  nach  aussen  konvexe 
geschlossene  Linie  F  mit  orthogonaler  Symmetrieaxe  durch 
0  führt  auf  zwei  getrennte  kongruente  Rollkurven;  jede  nach 
aussen  konkave  Kurve  F  mit  ungerader  Anzahl  von  Spitzen 
ergiebt  symmetrisch  gleiche  Rollkurven. 

Liegt  F  ganz  ausserhalb  von  D,  so  werden  die  Kurven  R  sich 
im  allgemeinen  ins  Unendliche  erstrecken,  es  sei  deim,  dass  F  und  D  keine 
gemeinschaftlichen  reellen  Tangenten  haben.  Dieser  letztere  Fall  tritt 
eiu,  wenn  F  nach  aussen  stetig  konkav  ist  und  zwischen  zwei  auf- 
einander folgenden  Spitzen  den  Kreis  D  berührt.  Da  in  diesem  Falle 
die  Differenz  der  Radien vektoren  r^  imd  r^  konstant  ist,  so  rollen  R^ 
uud  Rj  bei  Berührung  von  Innen. 

In  dem  Falle,  wo  F  teils  innerhalb  teils  ausserhalb  von  D  liegt, 
bilden  R^  und  R^  einen  zusammenhängenden  Linienzug,  der  befähigt 
A  mit  sich  selbst  zu  rollen,  teils  für  innere  teils  äussere  Berührung. 
Im  allgemeinen  werden  die  Kurven  R  keine  vollständigen  Umdrehungen 
ausfähren,  sondern  einander  nur  innerhalb  bestimmter  Winkelräume 
treiben  können,  welche  durch  die  nach  den  unendlich  fernen  Punkten 
laufenden  Radien  begrenzt  sind,  in  welchen  die  Teile  R^  und  R^  zu- 
sammenhängen. Neben  diesem  reellen  können  noch  imaginäre  Be- 
standteile auftreten,  herrührend  von  denjenigen  Teilen  von  F,  deren 
Tangenten  D  nicht  erreichen,  ja  die  ganze  Kurve  R  kann  imaginär 
werden,  ohne  dadurch  in  ihrer  Existenz  aufzuhören. 

Es  ist  femer  evident,  dass  jedes  Rollkurvenpaar  aus  unendlich 
vielen  Teilungskurven  F  abgeleitet  werden  kann,  die  alle  aus  der 
ursprünglichen  dadurch  hervorgehen,  dass  das  eine  der  beiden  Radien- 
^jsteme  um  den  Punkt  0  um  einen  beliebigen  Winkel  vor-  oder  rück- 
wärts gedreht  wird. 

Teilt  man  femer  die  vom  Schnittpunkt  Aq  der  Polaraxe  mit  dem 
Kreise  D  gemessenen  Bogen  A^A^   und  A^A^  jeder  Tangente  von  F 


16  Tber  Rollkurven  und  Rollflächen. 

stets  im  gleichen  konstanten  Verhältnis^  so  entsteht  eine  neue  Enre 
loppe  P';  deren  Tangenten  vom  Berührungspunkt  im  gleichen  Ver- 
hältnis geteilt  werden,  wie  diejenigen  der  Kurve  F.  Die  aus  zw«! 
entsprechenden  Tangenten  der  Kurven  P  und  F'  hervorgehenden  Punkte- 
paare PiPj  und  P^P^  haben  daher  gleiche  Radienvektoren,  aber  ver- 
schiedene Polarwinkel,  mit  anderen  Worten: 

Ersetzt  man  in  den  Polargleichungen  zweier  Rollkurven 
die  Polarwinkel  ^^  und  q>^  durch  ntp^  und  ng)^,  so  erhält  man 
jedesmal  eine  Gruppe  unendlich  vieler  neuer  Rollkurven- 
paare. 

Will  man  nun  auch  die  Abweichung  ^^  der  Tangente  gegen  den 
Radiusvektor,  sowie  den  Krümmungsradius  q^  im  Punkte  Pj  der 
Kurve  R,  durch  Rechnung  finden,  so  beachte  man,  dass 

Wir  ^  —  a^j^-Op, 

sodass,  wenn  die  aufeinander  folgenden  Ableitungen  von  v  nach  u  mit 
v\  t/',  t?'"  bezeichnet  werden, 

erhalten  wird. 

Aus  dieser  Gleichung  folgt  jetzt: 

du  ■"      (i-t,'«)t^t;"* 
und  somit  für  den  Krümmungsradius  q^\ 

ds 


\du) 


du  

du        du 
wobei  /  /7ä  \ « 

N^  (l_i;'2)[(l^ü'*)(l+ V')  +  t/"]  +  (1+  3vY' 

ZU  setzen  ist. 

Ersetzt  man  in  diesem  Ausdruck  für  Qj^  den  Winkel  v  durch  —  i') 
so  geht  9j  in  9),,  d^^  in  d'^  und  daher  q^  in  q^  über. 

Schliesst  also  beispielsweise  die  Tangente  der  Kurve  R^  gegen  die 

■WM  -^_  Mf 

Tangente  der  Teilungskurve  den  konstanten  Winkel  -x  — «  ein,  so  ist: 

^j  =  Ä  —  (r  —  a),     -ö",  «=  (1?  —  a); 
also: 

9i  +  ^1  "*  ^  +  («*  +  «);     92  +  ^2  "=  **  —  «; 
d.h.  es  ist  dann  auch 


Von  Dr.  M.  Distkli.  •  17 

Zur  Bestimmung  der  Teilungskurve  hat  man  die  Oleichung: 

TTTI cotg(t;-a), 

woraus  sich  als  Oleichung  der  Kurve  F  ergiebt: 

co8'(m  —  Uq)  =  -  cos  {v  —  «). 

Es  wird  sich  zeigen,  dass  dies  die  Oleichung  eines  Kegelschnittes 
ist,  der  D  doppelt  berührt,  indessen  R^  und  R,  kongruente  Kegel- 
H^hnitte  sind,  die  0  zum  gemeinschaftlichen  Brennpunkt  haben. 

Ein  Wendepunkt  der  Kurve  R^  entsteht  nun,  wenn  N  ver- 
schwindet.    Diese  Oleichung       JV"  =  0 

stellt  in  den  Koordinaten  u  und  v  eine  neue  Enveloppe  N  dar,  welche 
die  Kurve  W  zur  zweiten  Evolute  besitzt.  Den  Schnittpunkten  der 
Kurven  E'  und  W  korrespondieren  dann  die  gemeinsamen  Tangenten 
der  Kurven  F  und  N,  welche  somit  zu  den  Wendepunkten  der  Kurve 
Rj  fuhren. 

Verschwindet  die  Oleichung  N^O  identisch,  so  fallt  die  Kurve  N 
mit  der  Kurve  F  zusammen  und  jeder  Punkt  von  Rj  ist  ein  Wende- 
punkt, d.  fa.  Rj  ist  eine  Oerade.  In  diesem  Falle  ist  daher,  falls  die 
Polaraxe  normal  zur  Oeraden  R^  steht: 

also:  ^ 

-^f-  =  tg  (ii  +  v)d(ii  +  v), 
öder 

7)  1-v'^       7^  ,- 

^  C08(tt-fr) 

Bezeichnet  also  2b  den  Abstand  der  Oeraden  R|  von  0,  so  ist 

r,  =  a(l-t/)=     ^^ 


cos  9, 
die  Gleichung  von  R^,  d.h.  es  ist 

a 
zu  setzen.    Unter  dieser  Voraussetzung  nimmt  7)  die  Form  an: 

b '  -^i^  =  a  cos  (u  +  v)-  b, 

welche  Gleichung  durch  Integration   die  Oleichung  der  Teilungskurve 
F  ergiebt,  nämlich  im  Falle  der  äusseren  Berührung: 

e»(« —  >)-{-  g— »(K  —  r)    ^     &co8(u-f  r)~a 
2  fc  —  a  cos  (i*  +  v) 

Wo  zur  Abkürzung,  da  6  <  a, 

h  ^^ 

jp^tzt  wurde. 

Zaitechrift  f.  MAthem»tik  a.  Physik.  43.  Jabrg.  1898.  1.  Heft.  2 


lg  über  HoUkurven  und  Rollflächen. 

Setzt  man  in  dieser  Gleichung: 

2b  2b 


cos(w  +  i;) 


r^  2a  —  r, 

und  ti  —  V  =  9?2;  ^^  erhält  man  die  Gleichung  der  Rollkurve  B,: 


n=2 


n  +  b 

^  2 


Diese  Kurve,  welche  ganz  im  Endlichen  liegt,  besitzt,  in  0  einen 
doppelten  Windungspunkt,  sodass  mit  Annäherung  der  rotierenden 
Geraden  B^  an  Og  die  Winkelgeschwindigkeit  o^  unendlich  gross  wird. 
Rotiert  umgekehrt  R^  mit  konstanter  Winkelgeschwindigkeit  g7,  um 
Oj,  so  wird  mit  Annäherung  der  Geraden  R^  an  die  Axe  0^0^  die 
Winkelgeschwindigkeit  ©j  unendlich  klein.  Die  Verzeichnung  der  Kurve 
geschieht  am  einfachsten  mit  Hilfe  des  Krümmungsradius^  der  sich 
nach  der  Proportion:  ^  ^ 

leicht  konstruieren  lässt.  Wählt  man  nun  als  Kurve  R^  ein  reguläres 
Fünfeck,  welches  dem  Kreis  vom  Radius  2b  umschrieben  ist,  so  ist 
die  Entfernung  0^0^==  2a  derart  zu  bestimmen,  dass  auch  R^  eine 
aus  fünf  kongruenten  Bogen  bestehende  Kurve  ist.    Der  zu  jedem  der 

fünf  Bogen  gehörende  halbe  Centriwinkel  hat  daher  den  Wert  —  und 

zur  Bestimmung  des  Verhältnisses  /l  =  ,-   dient  daher  die  Gleichung: 


n 


yjitZIi.ri  yit^i.^  C08--1 


l—X  C08  — 


welche,  nach  bekannter  Näherung  aufgelöst,  ergiebt,  dass 

2a  -  2,15547  ...  26 
gewählt  werden  muss. 

Im  Folgenden  mögen  noch  einige  spezielle  Falle  betrachtet  werden, 
wo  die  Teilungskurve  F  a  priori  durch  eine  Gleichung  in  den  Koordi- 
naten u  und  V  gegeben  ist. 

Es  sei: 
a)  JP«=  r  —  nti  =  0, 

wo  n  eine  beliebige  Zahl  bedeutet.    In  diesem  Falle  ist 

r^^  a(i-'  n),     r^«  a(l  +  w);  * 

d.h.  die  Kurven  R^  und  R^  sind  Kreise,  auf  welchen  sich  die  Punkte 
Pj  und  Pg  ™^*  ^^^  gleichen  Geschwindigkeit 

t(?i  «  Wi  „  =-  a  (1—  w*) 

bewegen.    Legt  man   nun   durch   die  Punkte  (^^  und    Q^   den  mit  D 
konzentrischen  Kreis  Q,  so  ist  sein  Radius: 


Von  Dr.  M.  Distelx.  19 

r  =^  r^—  ri  =  n-2a, 

also  konstant  für  jede  Lage  des  Paares  Q^  Q^.  Dieser  Kreis  wird  in 
^j  und  Q^  berührt  von  den  Kreisen  Pj  und  P,,  welche  P,  resp.  P^ 
zum  Mittelpunkt  und  r^  resp.  r^  zum  Radius  haben.  Beide  Kreise 
schneiden  sich  im  Punkte  F,  und  da  dieser  Punkt  sich  auf  den  Kreisen 
?!  und  P,  mit  der  gleichen  Geschwindigkeit  bewegt,  mit  welcher  die 
Mittelpunkte  Pj  und  Pj  derselben  auf  den  Kreisen  R^  und  R^  fort- 
schreiten,  so  rollen  die  Kreise  Pj  und  P^  gleichzeitig  auf  dem  Kreise  Q. 
Es  ergiebt  sich  somit  bezüglich  der  Kurve  F  folgendes  Resultat:* 
Bewegen  sich  zwei  Punkte  A^  und  A^  auf  einem  Kreise 
vom  Radius  2a  mit  proportionalen  Geschwindigkeiten 

TT,  ""  CO,  ■"  1  -  n' 

so  umhüllt  die  Sehne  A^A^  eine  Epicykloide  oder  Hypo- 
ejkloide,  je  nachdem  n  im  Intervall  (—1)  bis  (+1)  liegt  oder 
nicht  Die  nämliche  Kurve  wird  auch  beschrieben  von  einem 
Punkte  Fj  der  entweder  einem  Kreis  Pj  vom  Radius: 

ri-=a(l-n), 

oder  einem  solchen  P^  vom  Radius: 

rg  =  a(l  +  n) 

angehört,  welcher  für  äussere  resp.  innere  Berührung  rollt 
auf  einem  festen  Kreis  Q  vom  Radius  der  Differenz: 

r  =  r,—  ri  =  2a-n. 

Da  im  weiteren  — —  konstant  bleibt,  so  fällt  K  mit  G  zusammen, 

CO,  ' 

d.h.:  6  ist  die  Evolute  E  von  F.    Da  aber  der  Punkt  G  die  Strecke 

QiQi  wieder  im  Verhältnis  —  teilt,  während  die  Punkte  Q^  und  Q^  den 

festen  Kreis  Q  durchlaufen,  so  ist  auch  G  eine  Gykloide,  die  gegen  F 
um  einen  rechten  Winkel  im  positiven  Sinn  gedreht  und  im  Verhältnis 
n:l  verjüngt  ist. 

Da  femer  K  mit  G  zusammenfallt  und  überdies  t<?i  r  =  0  also 
auch  pif  =  0  ist,  so  liegt  Ä"'  in  Gq.  Die  Kurve  Gq  ist  daher  die 
zweite  Evolute  E'  von  F,  die  somit  mit  der  Originalkurve  bezüglich 
des  Punktes  0  ähnlich  und  ähnlich  gelegen  und  im  Verhältnis  n^ :  1 
verjüngt  ist. 

Bewegen  sich  daher  zwei  Punkte  A^  und  A^  auf  einem 
Kreise  D   vom   Radius   2a   mit  proportionalen  Geschwindig- 

TT,  ""  «,"*  1-4' 

80  wird  der  erste  Krümmungsmittelpunkt  von  P  vom  Be- 
rührungspunkt und  der  zweite  Krümmungsmittelpunkt  vom 

•  Vergl.  Burmester  a.  a.  0.  Bd.1, 1.  Lief.  S.  166  flg. 


20  Über  Rollkurven  und  RoUfläctieu. 

ersten  durch  die  Radien  der  Punkte  J.^  und  Ä^  harmonisch  ge- 
trennt. Ist  f  der  momentane  Abstand  der  Tangente  Ä^A^  von 
0,  so  sind         ^_^.(i__^2)     und     p'«/.w(l-n«) 

die  Längen  des  ersten  und  zweiten  Krümmungsradius. 

b)  Die    Teilungskurve   F    werde    gebildet     von    einem    Strahl- 
büschel am  Punkte  F, 

Da  jetzt  für  alle  Punkte  P  der  Kurve  R: 

0P±PF^2a 

ist,  so  sind  R^  und  R^  zwei  in  Drehung  befindliche  Ellipsen 
oder  Hyperbeln,  je  nachdem  F  innerhalb  oder  ausserhalb  des 
Kreises  D  liegt.  Die  Sehnen  Pj  P,  jedes  Paares  entsprechender 
Punkte  P  bilden  das  Durchmesserbüschel  des  Kegelschnittes;  die  Tan- 
genten in  zwei  korrespondierenden  Punkten  P  sind  daher  parallel 
nämlich  zur  Tangente  Ä^^A^  normal.    Denn  da 

FO  =  KGy   so  ist  tg ^1  =  —  tg v,   also  d'^  =  n  —  i\ 
Es  ist  daher  q.  _l  /«       ^  j_  « 

d.  h.  es  ist  du  der  Kontingenzwinkel  der  Kurve  R  und  es  ergiebt  sich 
daher  hier  eine  direkte  Bestimmung  des  Krümmungsradius  q^  ohne 
Kenntnis  der  Beschleunigung  p^,  des  Punktes  Pj,  nämlich: 


Qi- 


^t 


8mt7 

Trägt  man  daher  die  Geschwindigkeit  w^  auf  dem  Brennstrahl 
PjF  von  Pj  nach  W^  ab  und  zieht  W^K^  normal  zu  PiF^^  so  trifft 
diese  Normale   die  Ellipsennormale  n^  im  Krümmungsmittelpunkt  K^. 

Bezeichnet  also  n  die  Länge  der  Ellipsennormale,  a  ihren  Winkel 
gegen  die  ßrennstrahlen  Pj  0  und  Pj  F,  so  ist: 

n  =  ivi »    und    cos  «  =  sin  t?, 

Daher  ,  tr,  n 

n  ^  Wr  cos  s.    also    p,  =  — .-^  =  — =- 

der  bekannte  Ausdruck  für  den  Krümmungsradius. 

Verlegt  man  zur  Ermittelung  der  Gleichung  der  Kurve  R  den 
Punkt  F  in  den  Abstand  2  c  auf  die  Polaraxe,  so  heisst  in  den  Ko- 
ordinaten u  und  V  die  Gleichung  des  Strahlbüschels  F: 

F  t^  a  cos  V  —  c  cos  w  =  0. 


SOD 

nit  ist 

»•i 

d.h.: 

»•» 

1) 

rj-r, -sin*  t* 

/  ^       c  sin  M  \ 

all ; —  1 

y^         a  sin  ü  y 

(^    ,    c  sin  w  \ 
1-^ : I 
asinv  J 


a^sin^i;  —  c^sin^a. 


Von  Dr.  M.  Distbli.  21 

Aus  der  Gleichung  des  Büschels  folgt  anderseits: 

2)  a^sin^v  —  c*sin*w  ^  a^—  c^ 
und  endlich  ergiebt  sich  aus  der  Gleichung: 

3)  a  —  c  cos  g>i  =  r^  sin'  v. 

Multipliziert  man  daher  die  drei  Gleichungen  mit  einander,  so  er- 
hält man  die  Gleichung  der  beiden  vereinigten  Ellipsen  R: 

f  = = , 

*■         a  —  c  cos  tpi  a  —  c  coa  cjpj 

wo  a  und  b  die  Halbaxen,  c  die  lineare  Exzentrizität  bedeutet. 

Ist  wie  gewöhnlich  die  grosse  Halbaxe  a,  sowie  das  Verhältnis 
der  grossten  zur  kleinsten  Winkelgeschwindigkeit  gegeben  und  mit  a 
bezeichnet,  so  folgt  aus  der  Gleichung: 

a  —  c 


a-\-c 


=  CD 


^«1^^  ^        «« «4  ^«  L»  #« ^M  ^m  ^ 


c  =  a  -r-, — f     also  auch     6  =  2« 


m 


wonach  die  beiden  entsprechenden  Ellipsen  gezeichnet  werden  können. 
Wird  jetzt  die  Ellipse  B^  mit  dem  Brennpunkt  F  festgehalten,  in- 
dessen die  Ellipse  R^  mit  dem  Radiensystem  um  den  Winkel  2  a  in 
positivem  Sinne  gedreht  wird,  wodurch  der  Brennpunkt  F  in  die  Lage 
F  gelangen  m^e,  so  findet  man  als  Gleichung  der  neuen  Kurve  F': 

-F'=  a  cos(ü  —  a)  —  ccos(n  —  a)  =  0, 

der  wir  schon  früher  begegnet  sind.  Da  die  Kurve  F'  aber  jetzt  ein 
geometrisches  Erzeugungsgesetz  besitzt,  indem  sie  umhüllt  wird  vom 
einen  Schenkel  eines  Winkels  von  der  konstanten  Öffnung  a,  dessen 
anderer  Schenkel  stets  durch  den  Punkt  F  geht,  und  dessen  Scheitel 
den  Kreis  D  durchläuft,  so  ist  sie  nach  einem  Poncelet'schen  Theorem 
eine  Ellipse,  welche  F  und  -F'  zu  Brennpunkten  hat  und  den  Kreis  D 
doppelt  berührt. 

Wählt  man  somit  als  Teilungskurve  eine  D  doppelt  be- 
rQhrende  Ellipse,  so  sind  auch  die  Rollkurven  R^  und  R,  kon- 
gruente Ellipsen  von  der  Hauptaxe  2a,  welche  0  zum  ge- 
meinsamen und  je  einen  Brennpunkt  von  F  zum  anderen 
Brennpunkt  haben. 

Den  Teilungskurven 

JF=  acosnt;  —  ccosnu  ^  0 
♦entspricht  nun  die  Gruppe  der  Rollkurven: 

*       a — c  cos  n  <Pi 
die  wohl  die  am  längsten  bekannte  Kurvengruppe  dieser  Art  darstellt. 


22  Über  Rollkurven  und  Rollflächcn. 

Für  n  =  2  beispielsweise  hat  F  die  Gleichung: 
j  a  cos  2t;  —  c  cos  2u  =  0, 

(a cos  V  —  Ya c cos w)(a cos v  +  Yac cos  w)  =  "    J"    ^ 

welche  Gleichung  ausdrückt,  dass  das  Produkt  der  Abstände  jeder 
Tangente  von  zwei  festen  JPunkten  der  Polaraxe  konstant  ist,  d.h. 
dass  die  Eurre  F  eine  Ellipse  ist,  deren  Brennpunkte  im  Abstände 

2y  =  ±  2Väc 

von  0  auf  der  Polaraxe  liegen.     Da  ihre  Halbaxenquadrate 

a? -=  2(a  +  c)a    und    /?•=:  2(a  —  c) a 

sind,  so  hat  die  Ellipse  F  den  Kreis  D  zum  Ort  rechtwinkliger 
Tangentenpaare.  Die  aus  F  entspringenden  Kurven  B^  und  R^  sind 
zwei  doppelt  orthogonal- symmetrische  Kurven  vierter  Ordnung,  welche 
sich  in  Deckung  befinden. 

Für  w  =  ö-  ^«^*  dagegen  F  die  Gleichung: 

a  cos  -  —  c  cos  -  =  0, 
welcher  man  die  Form: 

acost; cosw 


o,  a 


geben   kann,  und   welche   somit   einen  Kreis  darstellt,   welcher  seinen 
Mittelpunkt  M  im  Abstände  , 

26  =  -- 

a 

von  0  auf  der  Polaraxe  und  den  Radius: 

2ro=2^^  =  2(a-fc) 

hat,  d.h.  den  Kreis  D  berührt. 

Diesem  Kreis  als   Teilungskurve  entspricht  daher  als  Rollkurve 
die  Kurve  vierter  Ordnung  mit  Knotenpunkt  und  Schleife: 


a  —  c  cos  —■  a^Yah  cos  -^ 

welcher  wir  im  folgenden  Beispiel  nochmals  begegnen  werden. 

c)  Die  Teilungskurve  F  ist  ein  um  den  Punkt  M  beschriebener 
Kreis  vom  Radius  2^^,  welcher  ganz  im  Innern' von  D  liegt. 

Figur  2  (Taf.  I)  zeigt  die  konstruktive  Ausführung  und  Zeichnung 
der  Rollkurven  durch  Punkte  und  Tangenten  mittelst  der  Geschwindig- 
keiten Win  und  Wir-  Das  Gesamterzeugnis  ist  eine  algebraische  Kurve 
sechster  Ordnung  mit  Doppelpunkt  und  Brennpunkt  in  0,  welche  aus 
zwei  getrennten  symmetrisch  gleichen  und  geschlossenen  Ovalen  be- 
steht   Dreht  sich  R^  gleichförmig  um  den  Punkt  0^,  so  erreicht  Txnt 


Von  Dr.  M.  Dibteli.  23 

jedem  Umlauf  die  Winkelgeschwindigkeit  ©,  ein  Maximum  und  ein 
Minimum,  nämlich  dann,  wenn  der  kleinste  resp.  grösste  Radius  r^ 
die  Centrale  passiert.  Um  diese  beiden  extremen  Werte  von  r  zu 
finden,  welche  aber  jetzt  nicht  mehr  in  die  nämliche  Richtung  fallen 
wie  bei  der  Ellipse,  beachte  man,  dass  in  diesem  Falle  zwischen  den 
Karren  Gr  und  E  Berührungen  stattfinden,  d.h.,  dass  G  mit  dem 
Mittelpunkt  M  von  F  zusammenfallen  muss.  Bezeichnet  also  H  den 
Schnittpunkt  der  Tangente  Ä^^Ä^  mit  der  Centrale  OMy  so  bilden  auf 
dieser  Tangente  die  Punktepaare  A^A^  und  FH  eine  harmonische 
Gruppe,  mit  anderen  Worten,  der  Punkt  H  besitzt  in  Bezug  auf  beide 
Kreise  F  und  D  die  nämliche  Polare. 

Es  sind  somit  die  gesuchten  Stellen  H  die  Grenzpun'kte 
des  durch  die  Kreise  F  und  D  bestimmten  Kreisbüschels. 

Legt  man  daher  aus  den  beiden  Grenzpunkten  H  die  Tangenten- 
paare h^  und  Aj  ^^  ^^^  Kurve  F,  so  erhält  man  durch  diese  die 
extremen  Werte  der  Radien  r^  oder  r,.  Die  beiden  Punkte  H  sind 
nur  so  lange  reell,  als  der  Kreis  F  ganz  innerhalb  oder  ganz  ausser- 
halb von  D  liegt,  in  beiden  Fällen  befindet  sich  der  eine  der  Punkte  H 
ausserhalb,  der  andere  innerhalb  von  F,  d.h.  die  Kurven  R^  und  R^ 
haben  nur  einen  grössten  und  einen  kleinsten  Radius,  also  keine  Wende- 
punkte. Sind  iVj  und  M^^  ebenso  N^  und  M^  die  Endpunkte  dieser 
extremen  Radien,  so  liegen  sie  in  gleicher  auf  der  Kurve  gemessener 
Entfernung,  von  denjenigen  Punkten  J^  und  X^  resp.  J^  und  L^,  denen 
der  Radius  a  zukommt,  und  welche  den  Umfang  der  Kurven  halbieren. 
Dreht  sich  der  Radius  der  Kurve  R^  im  schraffierten  Teil,  so  durch- 
läuft der  Radius  von  R^  den  entsprechenden  nicht  schraffierten  Teil. 
Ist  das  Verhältnis  der  grössten  zur  kleinsten  Winkelgeschwindigkeit 
und  überdies  der  Winkel  zwischen  dem  grössten  und  kleinsten  Kurven- 
radius vorgegeben,  so  ist  dadurch  der  Kreis  F  vollkommen  bestimmt 
und  die  Kurven  R^  und  R,  können  demnach  verzeichnet  werden. 

Verlegt  man  den  Mittelpunkt  M  von  F  in  den  Abstand  26  von 
0  auf  die  Polaraxe,  so  heisst  die  Gleichung  des  Kreises  vom  Radius 
2rß  je  nachdem  der  Durchmesserendpunkt  26  +  Zr^  oder  2b  —  2 r^  als 
Anfangspunkt  figuriert: 

1)  F  =  a  cos  ü  —  6  cos  u^^Tq^  0, 

sodass  beide  Zeichen  von  r^  den  nämlichen  Kreis  darstellen.   Es  ist  nun: 


2) 


a  sin  v  —  h  sin  u 
aB\nv-\'b  siu  u 

f      a=s f 

*  Sin  V 


oder  da  nach  1)  und  für  das  obere  Zeichen  von  r^: 

(a sin r  —  6 sinw)(a sin  t;  -f  6  sin u)  =  a*  —  6* -f  r^*  —  2arQ  cos  i*, 
3)  r^  •  fj  sin^t;  =  a*  —  6*  +  r^*  —  2ar^  cos  v. 


24  über  Rollkurven  und  Rollflachen. 

Anderseits  folgt  aus  der  Gleichung: 

(p^^u  +  v, 

4)  a  —  b  cos^i  —  r^cos  v  =-r2  sin*y, 

also  durch  Multiplikation  von  3)  und  4): 

r^{a  —  b  cos  tp^  —  r^  cos  v)  =  a*  —  6*  +  r^^  —  2arQ  cos  v, 
d.h.: 

5)  r^r^cos V  =  a*  —  fc*  —  r^  (a  —  6  cos  9)1)  +  r^^  =  -E  +  r^*. 

Eliminiert  man  jetzt  zwischen  4)  und  5)  den  Parameter  r,  so  folgt: 

6)  rj*sin*  y  =^r2{a  —  fecos  q>^)  —  E  —  Tq*  =  H  —  r^, 

und'  indem  man  schliesslich  5)  quadriert  und  zu  6)  addiert ,  die 
Resultante  der  Elimination  in  der  Form: 

E^  -  r^^L  =  0, 

Z  =  rg  —  2  -B  —  -ff  =  (r^  —  a  —  fe  cos  gpj)*  +  6'sin'g)i. 
zu  setzen  ist. 

Diese  Gleichung,  welche  die  vereinigten  Kurven  R^  und  R^  zu- 
gleich darstellt,  reduziert  sich  för  r^^O  auf  die  Ellipse  E,  fär  ^0=00 
auf  die  rein  imaginäre  Linie  L.    Berührt  speziell  F  den  Distanzkreis 

so  sondert  sich  die  Polaraxe  zwei  Mal  aus  und  es  erscheint  die  im  vorigen 
Beispiel  aufgestellte  Gleichung  der  beiden  vereinigten  Kurven  vierter 
Ordnung: 

7) 


n- 


a^—ab         Tr  a^—ab 


a  —  Yab  cos  -^* 


J['         a  +  y^bcosfj 


Der  Schar  von  Teilungskurven: 

a cos nti  —  b cos wv  ^  r^,  =  0 
entpricht  im  weiteren  die  Schar  der  Rollkurven: 
wo  E,'-r,'L,=^0, 

E^  =  a*— 6^—  r^{a  —  icosn^i), 

bedeutet.  ^'  =  K-  «  -  6co8«9,)*+  6»8in*«9>. 

Werden  also  speziell  die  von  der  Polaraxe  aus  gemessenen  Bogen 
A^A^  und  A^A^  halbiert,  so  ist  n  =  2  zu  setzen  und  die  Gleichung 
der  neuen  Teilungskurve  F'  ist  daher 

Q^jgj.  acos2t;--  6cos2t*  T  '"o^O 

(a  cos  y  —  j/aft  cos  %i){a  cos  v  +  }/ab  cos  n)  =  ^  (a  —  6  ±  O; 

d.h.  die  Schar  der  konzentrischen  Kreise  um  den  Punkt  M  trans- 
formiert sich  in  eine  Schar  konfokaler  Ellipsenpaare,  deren 
Brennpunkte  im  Abstände: 


Von  Dr.  M.  Disteli.  25 

2y^±2yab 

von  0  auf  der  Pölaraxe  liegen.  Jedes  dieser  Ellipsenpaare  führt  im 
aUgemeinen  auf  eine  Kurve  R  von  der  achten  Ordnung  mit  vierfachem 
Punkt  und  Doppelbrennpunkt  in  0  mit  der  Gleichung: 

{[a*  —  6*  —  rj  (a  —  6  cos  2  g>^)Y  —  r^^Kr^  —  a  —  6  cos  2  y^)* 
+  6«8in«2yi]=0. 

Speziell  für  r^  =  6  —  a  erhält  man  als  Kurve  F'  die  beiden  Brenn- 
punkte des  konfokalen  Systems: 

a  cos  V  —  Yäh  cos  w  «  0     und     a  cos  v  +  Yab  cos  w  =«  0 

»omit  als  Rollkurven  zwei  kongruente  doppelt  gelegte  Ellipsen. 

Wird  dagegen  rQ=='  a  —  h  gesetzt,  so  folgt  als  Gleichung  von  F': 

(a  sin  V  —Yah  sin  u)  {a  sin  r  +  l/a  6  sin  u)  =  0, 

welche  aussagt,  dass  D  der  Hauptkreis  der  Ellipse  F'  ist,  d.h.,  dass 
F'  den  Distanzkreis  doppelt  berührt.  Die  Kurve  R  zerföllt  daher 
in  die  nämlichen  zwei  Ellipsen,  die  aber  nicht  mehr  doppelt  gelegt 
sind,  und  je  einen  der  beiden  Brennpunkte  von  F'  zum  Brennpunkt 
haben.  Die  Gleichungen  dieser  Kurven  ergeben  sich  entweder  aus  oben 
stehender  Gleichung  8)  oder  einfacher  aus  Gleichung  7),  in  welcher 
die  Spezialisierung  r^^  a--b   bereits   ausgeführt  und  daher  nur  der 

Winkel  ^  durch  q>^  zu  ersetzen  ist.  Die  Kurve  R  hat  demnach  die 
Gleichunir: 

\  a  —  |/a  6  008  9j  /  \  a  +  ]/«  &  cos  9j  / 

welche  in  der  That  die  beiden  fraglichen  Ellipsen  R|  und  R,  darstellt. 

4. 

Betrachten  wir  schliesslich  noch  den  Fall,  wo  der  eine  der  beiden 
fixen  Drehpunkte^  z.B.  Oj  ins  Unendliche  fällt,  d.h.,  wo  die  Kurve  R^ 
eine  Parallelverschiebung  ausführt,  indessen  die  andere  R|  sich  um  ein  im 
Endlichen  liegendes  Centrum  dreht,  so  bleibt  das  bisher  angewandte 
Verfahren  auch  jetzt  in  allen  Teilen  fortbestehen.  Der  Distanzkreis 
wird  zur  geraden  Linie  D,  der  Punkt  Oj  geht  über  in  die  Normalen- 
richtung  der  Linie  D. 

Ist  (Figur  3  Taf.  I)  F  die  gegebene  Teilungskurve,  so  schneidet 
irgend  eine  ihrer  Tangenten  die  Gerade  D  in  einem  im  Endlichen 
liegenden  Punkt  A^^  indessen  der  Punkt  A^  im  Unendlichen  liegt. 
Zieht  man  daher  die  zagehörigen  Radien  aus  0,  d.h.  aus  0^,  so  liegt 
OA^  der  ganzen  Ausdehnung  nach  im  Unendlichen.  Aus  dem  Radius 
OA^  ergiebt  sich  nun  zunächst  der  Punkt  Pj,  indem  man  diesen 
Radius  mit  der  Mittelsenkrechten  der  Strecke  FÄ^  zum  Schnitt  bringt, 
und  es  entsteht  auf  diese  Weise  die  Kurve  R^^  also  die  Zahnstange. 


26  t^er  Rollkurven  und  Rollflächen. 

Beachtet  man  aber,  dass  jedes  Mal  die  Strecke  P^F  sowohl  der  Grösse 
als  der  Richtung  und  dem  Sinne  nach  übereinstimmt  mit 

SO  erhält  man  demnach  auch  die  Kurve  B^  oder  das  Rad,  indem  man 
alle  Strecken  P^F  parallel  zu  sich  selbst  an  einen  beliebigen  Dreh- 
punkt Og  verschiebt. 

Wendet  man  zur  Konstruktion  der  Tangenten  in  P^  und  P,   das 
frühere  Verfahren   an,   so   ist  zunächst  die  normale  Geschwindigkeits- 
'  komponente  Win  zu  suchen.     Man  ziehe  also  PiF^  parallel  Ä^A^  bis 
zum  Radiusvektor  OF  der  Teilungskurve,  so  ist 

v^as  auch  ohne  weiteres  klar  ist,  das  W^  =  n  die  Geschwindigkeit  ist, 
mit  welcher  der  Punkt  Äj^  die  Linie  D  durchläuft.  Um  femer  die 
radiale  Komponente  zu  erhalten,  gebe  man  zunächst  auf  der  Nor- 
malen n  von  F  das  Geschwindigkeitscentrum  G  an.  Es  ist  aber  der  vierte 
harmonische  Punkt  zu  F  bezüglich  des  Paares  QiQ^  der  gesuchte 
Punkt  O,  d.h.,  da  Q^  im  Unendlichen  liegt,  G  ist  der  symmetrische 
Punkt  zu  F  bezüglich  des  Punktes  Q^.  Ist  sodann  K  der  Krümmimgs- 
mittelpunkt  der  Stelle  JF,  so  ist 

^i^r-^GK 

die  normale  Komponente  von  tv^.  Sie  ist  auf  dem  Radius  des  Punktes 
Pj  nach  0  hin  aufzutragen,  wenn  K  mit  F  auf  der  nämlichen  Seite 
von  G  liegt  und  umgekehrt. 

Durch  ebenso  leichte  Modifikation  findet  man  auch  die  Krüm- 
mungsradien pi  und  Q^,  indessen  soll  hier  nur  noch  die  analytische 
Formulierung  der  Aufgabe  kurz  erwähnt  werden. 

Man  wähle  auf  der  Geraden  D  irgendwo  den  Pol  Og,  nehme  die 
positive  Richtung  der  Geraden  D,  welche  wir  zur  x-Axe  machen, 
nach  links,  die  positive  Axe  y  durch  0,  nach  unten.  Ebenso  wähle 
man  0,  als  Pol,  D  als  Polaraxe  x  eines  Koordinatensystems  für  polare 
Linienkoordinaten.     Ist  dann  in  Bezug  auf  dieses  System: 

die  Gleichung  der  Teilungskurve  P  und  bezeichnet  D  den  Fusspunkt 
des  von  Oj  auf  die  Tangente  A^A^  gefällten  Lotes,  so  ist: 

du         ' 

und  man  hat  daher  zunächst  für  die  rechtwinkligen  Koordinaten  x 
und  y  des  Punktes  P^: 


1)  x^ 


r  nu) 


cos  U  C08  tt 


gy.  9     _    rcosu-^  rsinu   ^  dx 

*  »^  cob'u  dw 


Von  Dr.  M.  Disteli.  27 

Diese  beiden  Gleichungen  ergeben  somit  die  Kurve  B^^  mittelst 
einer  Parameterdarstellung  durch  den  Winkel  u. 

Für  die  Polarkoordinaten  der  Kurve  B^  dagegen  hat  man,  falls 
der  Einfachheit  der  Schreibweise  halber  die  Winkel  9,  von  der  positiven 
y-Axe  aus  in  positivem  Sinne  gerechnet  werden: 

2r  :=2t/-— f-^^^^i 

^  ^  du    \  COBM   /' 

9>,  -  2w, 
för  welche  Gleichungen  man  einfacher  schreibt: 


3)  r, 


«I9, 


f 


(?) 


COB-^ 
2 


Wird  Bj  noch  mit  der  Ebene  umgelegt,  so  stellen  die  Gleich- 
ungen 1),  2)  und  3)  zwei  entsprechende  BoUkurven  dar. 

a)  Wählt  man  beispielsweise  als  Teilungskurve  F  einen  Kreis, 
dessen  Mittelpunkt  im  Abstände  a  nach  positiver  Seite  der  y-Axe 
liegt  und  der  D  nicht  schneidet,  also  mit  einem  Badius  r^  <  a,  so 
heisst  seine  Gleichung: 


r  =  asmu  —  r^. 


Daher  hat  man  als  Gleichungen  der  Kurve  B^: 


a  Bin  tt  —  r« 


008  u 


a  —  Tf^  Bin  u 


cob'u      ' 
för  die  Kurve  B^  dagegen  die  Gleichung  in  Polarkoordinaten: 


r.  = 


a-r^sin   ^ 


'  1  +  COB  9, 

Ist  speziell  der  Badius  r^ »  0,  d.  h.  F  ein  Strahlbüschel,  so  er- 
hält die  Kurve  B^  die  Gleichung: 

die  Kurve  B|  dagegen: 

a 

*  1  -f-  COB  9, 

Diese  Gleichungen  stellen  daher  zwei  kongruente  Parabeln 
vom  Halbparameter  a  dar,  welche  y  zur  gemeinschaftlichen  Hauptaxe 
baben  und  sich  in  der  Mitte  der  Strecke  O^F  berühren.  Wird 
die  untere  Parabel  parallel  zur  Linie  D  verschoben  und  soll  sie  von 
der  obem  stets  berührt  werden,  so  hat  sich  diese  um  ihren  Brenn- 
punkt 0,  zu  drehen.  Für  die  Parabel  B^  ist  F  der  Brennpunkt,  D 
die  Leitlinie  und  die  Konstruktion  ergiebt  ohne  weiteres  die  bekannten 
ErzengungsweiseU;  sowie  Tangente  und  Krümmungsradius. 


28  trber  Rollknrven  und  Rollflitchen. 

b)  Umgekehrt  sei  die  Kurve  B^  gegeben^  etwa  als  eine  Ellipse 
mit  y  als  Hauptaxe^  mit  der  grossen  Axe  2  a  und  der  linearen  Ex- 
zentrizität 2ej  so  heisst  ihre  Gleichung: 


r«  = 


a*-c^ 


*         a  —  c  cos  9, 
Da  ferner  9),=  2W;  so  folgt  für  die  Kurve  R^: 


1)  !/  =  ^2  = 


a^'-c^ 


ferner  ist 


a  —  c  cos  2  tt  ' 


dx   _       __        a*~-c^ 
d2u        ^  ~~    a  —  c COB 2 w 


somit  durch  Integration  mit  der  Konstanten  Null: 

X  a  COS  2  tf  —  c 


2)  cos 


I/o«  —  c«        a  —  c  cos  2  u 


oder  indem  man  aus  1)  und  2)  den  Parameter  2n  eliminiert  und  die 
kleine  Halbaxe  1/^2  _   2  ^  j 

setzt  als  Gleichung  der  Kurve  R^: 

y  «=  a  -f  c cos  l^y 

Die  Kurve  R^  ist  also  eine  Cosinuslinie^  welche  die  Ellipse  im 
Scheitel  der  grossen  Axe  berührt.  Die  Kurven  sind  also  schon  in 
richtiger  Lage,  da  sie  beide  zur  Axe  y  symmetrisch  sind  und  eine 
ümlegung  um  diese  Axe  keine  Lagenveränderung  bewirkt. 

c)  Ist  dagegen  die  Gleichung  der  Kurve  R^  durch  rechtwinklige 
Punktkoordinaten  gegeben^  etwa  als  Kettenlinie^  deren  Hauptaxe  mit  y 
zusammenfällt,  d.h.  durch  die  Gleichung: 

X  X 

so  hat  man  zunächst  ihre  Parameterdarstellung  aufzustellen,  in  welcher 
der  Winkel  11  der  Teilungskurve  als  Parameter  figuriert.  Nach 
früherem  ist  aber 

aus  welcher  Gleichung  durch  Integration  folgt: 

X 

tg  (»  -  "0)  =-  e '  • 

Wird  nun  die  Konstante  m^  derart  bestimmt,  dass  für  m  =  0  auch 
.c  =  0  wird,  so  ergiebt  sich: 

t-  =  tg(«+^) 
und  daher: 


Von  Dr.  M.  Disteli.  29 


y  =  I  [tg(w  +  J)  +  COtg^W  +  J)J; 


oder 

c 

y  = 

^       COS  2  u 

Substituiert    man    hierin    y^^r^]    2t«  =  gp^i    ^^    erhält    man    die 
Gleichung  der  Kurve  R^  in  Polarkoordinaten: 


^2  = 


Als  Kurve  R^  erscheint  daher  die  Scheiteltangente  der  Ketten- 
linie R^.  Die  Kettenlinie  ergiebt  sich  somit  als  Spezialfall  der  schon 
froher  erhaltenen  Rollkurve  zu  einer  Geraden^  unter  der  Voraussetzung, 
(lass  die  Distanz  2  a  ins  Unendliche  gewachsen  ist.  Anderseits  ist  der 
Bewegungsvorgang  nichts  anderes  als  eine  kinematische  Illustration  zu 
dem  bekannten  Satze: 

Fällt  man  vom  Fusspunkt  der  Ordinate  auf  der  x-Axe 
das  Lot  auf  die  Tangente  der  Kettenlinie,  so  ist  das  Stück 
der  Tangente  von  diesem  Fusspunkt  bis  zum  Berührungs- 
punkt gleich  der  Länge  des  Bogens  von  diesem  Berührungs- 
punkt bis  zum  Scheitel  der  Kurve. 

Der  Inhalt  des  von  der  Ordinate,  der  Tangente  und  ihrem  Lote 
gebildeten  Dreieckes  ist  aber  anderseits  die  Hälfte  vom  Inhalt  der 
über  der  Kettenlinie  stehenden  Fläche.  Auch  dieser  Satz  folgt  hier 
ganz  unmittelbar.  Aus  den  Gleichungen  der  RoUkurven  dieses  Ab- 
schnittes ergiebt  sich  nämlich: 

ydx  ^  y^d2u  =  r^d^^y 

oder 

dF,=  2dF^:, 

d.h.:  Die  von  der  Kurve  Rj,  der  Geraden  D  und  den  Ordi- 
naten  irgend  zweier  Punkte  von  Rj  begrenzte  Fläche  I\  hat 
allemal  doppelt  so  grossen  Inhalt,  wie  der  über  dem  ent- 
sprechenden Bogen  der  Kurve  Rj  stehende  Sektor  F^, 

B.  Divergente,  sich  sohneidende  Axen. 

.      5. 

Die  Fachen  R^  und  R^  sind  in  diesem  Falle  Kegelflächen.  Seien 
0^  und  0^  die  beiden  gegebenen  Axen,  die  sich  in  0  schneiden,  und 
2j3  der  von  ihnen  eingeschlossene  vorläufig  spitze  Winkel,  so  denken 
wir  uns  die  Axen,  sowie  die  um  diese  beschriebenen  Systeme  koaxialer 
Hotationskegel  mit  der  um  0  beschriebenen  Einheitskugel  geschnitten. 
Es  seien  Oy^  und  0,  die  Schnittpunkte  der  Axen  mit  der  Kugel,  der 
Meridian  dieser  Axen  sei  der  Anfangsmeridian  oder  die  Centrale,  P  sei 
ein  auf  dem  direkten  Bogen  0^0^  liegender  Punkt,  so  sollen  0^  und  0, 
die  Pole  und   OP^   sowie  OP^  die   sphärischen   Polaraxen  x^  und  x^ 


30  tjber  Rollkurven  und  Rollflilchen. 

zweier  Polarkoordinatensysieme  auf  der  Kugel  bilden.  Sind  dann  c^ 
und  cc^  die  sphärischen  Radien  ^  gpj  und  (p^  die  sphärischen  Anomalien 
irgend  zweier  Punkte  Pj  und  P,  der  Kugel  ^  so  mögen  sie  ent- 
sprechende Punkte  heissen,  wenn  die  durch  sie  gehenden  Kxeise 
der  Kugel  von  den  Mittelpunkten  0^  und  0|  sich  auf  der  Centrale 
0^0^  berühren,  und  wenn  beim  Rollen  dieser  Kreise  aufeinander  und 
um  die  Punkte  0^  und  Oj,  P^  und  P^  gleichzeitig  durch  die  Centrale 
gehen. 

Heisst  man  zwei  solche  Kreise  der  Systeme  um  0^  und  0^,  die 
sich  auf  der  Centrale  berühreui  ein  Elementenpaar,  so  sind  ent- 
sprechende Punkte  jedes  Paares  definiert  durch  die  beiden  Gleichungen: 

1)  ai  +  a,-2/J, 

2)  sin  aj^dq>i  —  sin  a^dip^  =  0. 

Von  diesen  speziellen  RoUkurvenpaaren  für  konstantes  Verhältnis 
der  Winkelgeschwindigkeiten  gelangt  man  nun  wieder  zu  den  all- 
gemeinsten durch  folgende  Überlegung,  bei  der  man  sich  die  Ein- 
heitskugel doppelt  und  in  sich  yerschiebbar  zu  denken  hat: 

Durchläuft  ein  Punkt  P  die  sphärische  Centrale  OiO^ 
nach  irgend  einem  Gesetz  und  dreht  man  die  mit  den  beiden 
Kreissystemen  fest  verbundenen  Kugelflächen  um  die  Axen 
0^  und  O2  derart,  als  ob  die  momentan  durch  P  gehenden 
Kreise  jedes  Paares  aufeinander  rollen  würden,  so  beschreibt 
P  auf  beiden  Kugelflächen  zwei  entsprechende  sphärische 
Rollkurven. 

Seien  Win  und  w%n  die  Komponenten  der  Geschwindigkeiten  tc^ 
und  W2  normal  zur  Centrale  gemessen,  mit  denen  die  Kurven  R|  und 
R^  durch  den  Punkt  P  auf  der  Kugelfläche  laufen,  iVia  vmd  tVfa  die 
Komponenten  in  der  Centralen,  so  folgt  zunächst  wegen  der  Gleichung  1): 

femer  infolge  Gleichung  2): 

dop.  .  dq>m  /v 

also:  ^ 

Aus   diesen  beiden  Gleichungen  zwischen  den  Komponenten  folgt 

weiter:  i?L- +  ^f!^  «  0 

d.h.:  «^1«      «^««        ' 

3)  ^i  +  ^,«3r; 

durch  Quadrieren  und  Addieren  dagegen  folgt: 

sin'  «1  dq>^*  +  da^  -=  sin*  er,  eiy,*  -f  da^\ 

4)  ds^ «  dSy 


Von  Dr.  M.  Disteli.  31 

Entsprechende  Bogenelemente  berühren  sich  also  auf  der  Centrale 
ind  haben  gleiche  Länge,  d.  h.  die  vom  Punkte  P  beschriebenen  Kurven 
ij  und  Rj  rollen  aufeinander,  indem  sie  sich  drehen. 

Die  Bedingungsgleichungen  1)  und  2)  genügen  daher,  um  Rj  und 
t  als  entsprechende  sphärische  RoUkurven  zu  charakterisieren. 

Die  über  zwei  sphärischen  Rollkurven  stehenden  Kegel  aus  dem 
Mittelpunkte  der  Kugel  sind  entsprechende  Rollkegel.  Da  jede  in  0 
konzentrische  Kugel  aus  zwei  Rollkegeln  sphärische  Rollkurven 
ichneidet,  so  folgt: 

Die  unendlich  fernen  Querschnitte  entsprechender  Roll- 
kegel sind  entsprechende  ebene  Rollkurven. 

Diese  Eigenschaft  der  unendlich  fernen  Quei-schnitte  folgt  auch 
schon  aus  dem  Umstände,  dass  die  unendlich  ferne  Ebene  die  einzige 
des  Raumes  ist,  die  auf  beiden  Axen  o^  und  o^  zugleich  normal  steht. 

Um  nun   zur   geometrischen  Erzeugung  entsprechender  Rollkegel 
ni  gelangen,   kann    man   ein    dem  früheren   analoges  Verfahren   e^/ 
jchlagen.    Die  von  den  Axen  o^  und  o^  nach  entsprechenden  Erzeu^^j^. 
Jen  pj  und  p^   gehenden  Ebenen  bilden  zwei  Büschel  von  hestL^j^^j. 
Abhängigkeit  und  ungleichem  oder  gleichem  Drehungssinn,  je  \«chdem 
lie  Kegel    sich    von    aussen   oder    innen   berühren.     Verschi  v . 
äaher  beide  Büschel  an  eine  beliebige  Axe  o  derart,   dass  d,* "  p^ntte 
Üj  und    Og   in    den     nämlichen   Punkt   0,    und    die   ®ii*®P^echenden 
Dalbaxen  o^  und  o,  verkehrt  aufeinander  fallen,   so  kann  ma*     •  i    ^^ 
Abhängigkeit    beider  Ebenbüschel  A^,  B^,  Ci-..   und   ^,  .ß    n 
Jadurch    vorstellen,    dass    man    sie    mit    einem   um  0  ^^^Ciij  i^^^^j^ 
Kegel  A  vom  halben  Öfifhungswinkel  2/J  schneidet  und  ^ntsp^    t^^^^^ 
Bchnittlinien  a^ft^q . . .   und   a^h^c^, . ,   durch  Ebenen    verbinck,.     jj-^ 
Gesamtheit  dieser  Ebenen  umhüllt  dann  einen  bestimmten  Kegel  ^  ^^^ 
omgekehrt    definiert  jeder  Kegel  0  an  der  Axe  o  zwei  von  einaL.^gj. 
abhängige  Ebenensysteme.    Beschreibt  man  jetzt   um  0  die  Einheitt., 
^el,  so   trifPt  sie  den  Kegel  A  nach  einem  Kreise  D,  dessen  Ebene 
fai  Kegel  4>  nach  einer  Kurve  P   schneidet.     Aus   dieser  entspringt 
jetzt  ein  bekanntes  Paar  ebener  Rollkurven  Ri*  und  R»,,  mit  welchen 
Üe  gesuchten    sphärischen   Rollkurven  R^  und  R^  in  einfacher  Weise 
KDsammenhängen. 

Ist  nämlich  (Figur  4  Taf.  I)  O^  der  Mittelpunkt  von  D,  0,  der 
nreite  Schnittpunkt  der  positiven  Halbaxe  o  mit  der  Einheitskugel, 
Ä,  der  aus  0,  über  D  beschriebene  Gegenkegel  zu  A,  A^A^  eine 
Tangente  von  F,  Pi,,  Pj,  das  aus  ihr  entspringende  Punktepaar 
der  ebenen  Kurven  Ri,  und  Rj,;  Pu  und  F%j  die  in  der  Richtung 
der  Axe  o  auf  A,  projizierten  Punkte  Pi,  und  P»,,  so  besteht  die 
Proportion: 

dqp,  O^Pie  OiPiJ 


32  Über  Rollkurven  und  Rollflächen. 

Sind  daher  Pj  und  Pj  die  Schnittpunkte  der  nach  Px/j  und  Pj, 
gehenden  Eugelradien  mit  der  Einheitskugel,  so  ergiebt  sieh  weitei 

O^T%d  ^  8in(Q,P,)  ^  dtp^ 

und  da  0^F^-\-  OgP,-=  2/J,  so  folgt: 

O^P^-^^a^    und     O^P^'=^a^, 

also  sind  P^  und  Pj  Punkte  entsprechender  Rollkurven. 

Da  nun  anderseits  die  Linie  FPu  parallel  0,-4,  und  -FPj] 
parallel  0,^,  so  werden  somit  entsprechende  Rollkegel  nach  folgend« 
Konstruktion  erhalten: 

Man  beschreibe  aus  den  zwei  Punkten  0  und  0,,  deren  Distan 
auf  0  der  Längeneinheit  gleich  ist,   die  Kegel  A  und  A,  mit   2/3  udi 

-  —  als  halben  OShungswinkeln,  so  durchschneiden  sie  sich  in  einei 

5«!eise  D. 

^Ist   dann  P   eine   beliebige  Kurve   dieser  Ebene,  so  zieh 
man  ??^  J®^®  Tangente  ^i-4^  derselben  FPi^  parallel  O^A^  un 
FF      T>rallel  O^A^,    Durchläuft  jetzt  die  Tangente  A^A^  di 
gan^z'e  /^^^®  ^?  ^^  beschreiben  die  Strahlen  OPi^und  ÖPs 
zwei  eif^P^®^^®^^®  Rollkegel. 

jj^  .  -au  für  die  ebenen  Rollkurven  die  Tangenten  in  den  Punkte 
P  und  ^  '^^  angeben  kann,  so  kennt  man  die  Tangenten  auch  in  de 
Punkten  ^^*^  ^^^  "^^-^^  ^'^^  ^*^^  ^^^^  auch  die  Tangentialebenen  d< 
Kegel  R  '  ""^^  ^  angeben. 

jjj  dieser  Weise  entstehen  die  gesuchten  Paare  von  Kegelfläche 
jj^j^  Y^  rmeidung  der  schwierigen  und  konstruktiv  unbequemen  Koi 
g^j^i^cionen  auf  der  Kugeloberfläche  selbst.  Je  nachdem  die  Kurve 
jyy  2-  \n  Innern  oder  ganz  ausserhalb  von  D  liegt,  werden  R,^  und  \ 
g&iZ  getrennte  Teile  eines  und  desselben  Kegels  R  werden,  die  n\ 
bei  Berührung  von  aussen  oder  von  innen  aufeinander  rollen. 

Liegt  dagegen  F  teils  im  Innern  und  teils  ausserhalb  des  Kreises  I 
so  hängen  R^  und  R^  zusammen,  wobei  der  Kegel  R  die  Axe  o  zi 
mehrfachen  Erzeugenden  haben  muss.  Der  Kegel  rollt  dann  mit  dei 
kongruenten  teils  für  Berührung  von  aussen,  teils  für  Berührung  tc 
innen,  wobei  der  Wechsel  beim  Durchgang  der  gemeinschaftliche 
Berührungslinie   entweder  durch  die  Axe  o^  oder  durch  o,  stattfinde 

Wächst  der  Winkel  2/J  gegen  ~?  so  geht  die  Ebene  des  Kreises 

durch  den  Kugelmittelpunkt;  wird  2ß>  -^y    so   sinkt  sie  unter  de] 

selben  und  der  Kegel  A^  wird  ein  spitzer  Kegel,  in  allen  Fällen  ab< 
bleibt  die  Konstruktion  die  nämliche. 

Will  man  die  Gleichungen  der  Rollkurven  R^  und  R^  auf  d< 
Einheitskugel    in    sphärischen   Polarkoordinaten   aufstellen,    so  möge 


Von  Dr,  M.  Distkli.  33 

zunächst  q>^  und  91^,  u  und  v  in  der  Ebene  des  Kreises  D  die  frühere 
Bedeutung  haben.    Alsdann  folgt  aus  der  Bedingungsgleichung  2): 

BinoTj  dq>^ 

sin  or,        d  (p^ 

sin  a,  —  Bin  er,  dqp,  —  d<p^ 

sin  a^  -f-  sin  er,  ^y,  -f*  ^9i 

q\  tg(g,-p)  _        dr  __  , 

Eliminiert  man  daher  aus  den  je  drei  Gleichungen: 

die  Parameter  u  und  i\,  so  erhält  man  als  Resultanten  die 
Gleichungen  entsprechender  Rollkurven  auf  der  Kugelober- 
fläche. 

Auch  hier  wird  im  allgemeinen  die  nämliche  Gleichung  beide 
Kurven  zugleich  ausdrücken,  sodass  jede  als  Teil  der  Gesamtkurve  R 
aufzufassen  ist. 

Wenn  die  Gleichungen  der  aus  der  Teilungskurve  F  entstehenden 
ebenen  Rollkurven  Ri,  und  R2«  schon  bekannt  sind,  so  kann  durch 
ein&che  Substitution  aus  ihrer  Gleichung: 

Rir,  9)  =  0 

die  Gleichung  der  sphärischen  Kurven  erhalten  werden. 
Aus  obiger  Gleichung  2)  ergiebt  sich  nämlich: 

linor,                .     ^/^       dv\ 
7 — ^—^  =-  sm  p  1 1 7- ) 

und  da  2a  =  sin2/J  =  2sin/Jcos/J 

den  Radius  von  D  darstellt,  so  ist  nach  früherem: 

'^  \        du/        cos  p 

sodass 

"°  Bin  oTj  r^ 


Bin 
cos 


wird,  woraus  folgt,  dass  in  die  Gleichung  der  ebenen  Rollkurve 

4)  r-  =  cotgai  +  tg/S 

'1 

in  substituieren  ist,  um  daraus  die  Gleichung  der  sphärischen  Rollkurve 
zu  erhalten. 

Wählen  wir  in  einem  ersten  Beispiel  als  Kurve  F  ein  Strahlen- 
^>iischel,  so  ist  die  resultierende  Kurve  Ri«  eine  Ellipse  mit  der 
grossen  2a  Axe  und  0^  und  F  als  Brennpunkten.    Daraus  folgt,  dass  die 

ZciUchtift  f.  lf«th«matiku.  Physik.  43.  Jahrg.  1898.  I.Heft.  3 


34  t'^^er  Rollkurven  und  Rollflächen. 

Projektion  dieser  Ellipse  auf  den  Gegenkegel  Aj  ebenfalls  eine  EiUipse 
ist  und  ferner,  dass  ihr  projicierender  Kegel  aus  0  die  Axe  o  als 
Fokalstrahl  besitzt;  d.h.: 

Zwei  kongruente  Kegel  zweiten  Grades,  die  sich  um  ent- 
sprechende Fokalstrahlen  drehen,  sind  auch  hier  die  ein- 
fachsten Bollkegel,  die  auftreten  können. 

Um  zu  der  Gleichung  der  zugehörigen  sphärischen  Kegelschnitte 
zu  gelangen,  verlegen  wir  den  Punkt  F  auf  die  Polaraxe  des  Kreises 
D  in  den  Abstand  2c  von  0^.  Bedeuten  dann  ß  und  8  die  Winkel, 
unter  denen  die  Strecken  2  a  und  2  c  aus  dem  zweiten  Schnittpunkt  O^ ' 
der  negativen  Halbaxe  o  mit  der  Kugel  gesehen  werden,  so  besteht 
die  Gleichung:  ^        ^^^ 

c        tgT 
und  da 


ist,  so  folgt:  ^      _  j 


a  =  sin  /S  cos  ß 
c  =  cos*/5tgJ, 


Es  ist  somit 

F  =  sin  /S  cos  ß  cos  v  —  cos*/J  tg  d  cos  w  «  0 

die    Gleichung   des  Büschels,   und    daher   durch   Einsetzen    der  Werte 
von  a  und  c  die  Gleichung  der  Ellipse  Ri«: 

_  C08p(8in*p  — C08*ptgd) 
^       sin  ß  —  cos  ß  ig  <S  cos  <p^ 

Führt  man  jetzt  die  in  4)  stehende  Substitution  aus,  so  erhält 
man  nach  leichter  Reduktion  als  Gleichung  der  sphärischen  Ellipse  R^: 

,         cos  2  ^  —  cos  2 13 

^  ^        sin  2  p  —  sin  2  ^  •  cos  tp^ 

Aus  dieser  Gleichung  folgt,  dass  ß  +  d  und  ß  —  8  die  extremen 
Werte  des  sphärischen  Radius  cti  sind,  d.h.,  dass  2d  die  sphärisclie 
Exzentrizität  bedeutet.  Man  erhält  daher  den  zweiten  Fokalstrahl 
des  Kegels  R,  indem  man  den  Strahl  O^F  in  F^  mit  der  Kugel 
schneidet  und  F^  mit  0  verbindet.  Das  sphärische  Büschel  F  besteht 
daher  nicht  aus  Grosskreisbogen,  sondern  die  Ebenen  desselben  ent- 
halten den  Punkt  Oj.  Dagegen  sind  Pj  und  P,  allemal  Endpunlcto 
eines  sphärischen  Durchmessers  und  ihre  Tangenten  stehen  zu  den 
Bogen  des  Büschels  F  normal. 

Es  ist  klar,  dass  dem  Kurvensysteme: 

F  '=^  sin/Scos/Scosnt;  —  cos^/Stg^cosnu  =  0 

die  Gruppe  der  sphärischen  Rollkurven 

,  _        cos  2S  —  cos  2  ß 

^    ^        sin  2ß  —  sin  2dcos  n<]pj 

entspricht,    welche   wie    bei    der   Ellipse   mit  ihren  entsprechenden   in 
Deckung  liegen. 


Von  Dr.  M.  Disteu.  35 

Setzen  wir  endlich  als  Kurve  F  eine  Kurve  der  Schar  voraus,  die 
dnrch  Winkelteilung  aus  einem  Kreise  entsteht,  dessen  Mittelpunkts- 
abstand 2b,  und  dessen  Radius  2rQ  beträgt,  und  nehmen  wir  zudem 
an,  o^  und  o^  seien  zu  einander  rechtwinklige  Axen,  also 

2^  =  1' 

SO  hat  man: 

1 

6  =  ~tg*, 

zu  setzen,  sodass  die  Gleichung  von  F  die  Form  erhält: 

F  =  -  cos  n  r  —  -  tg  tf  cosn  w  +   -  tg  6  =  0. 

Die    sphärischen  Rollkurven   haben   dann  eine  Gleichung  von   der 
Form:  .   , 

wo 

E  =»  cotg  «1  cos  2  d  —  (1  —  sin  2  d  cos  w  gpj), 

und 

L  =  (I  +  sin  2  d  cos  n  <p^)  cotg^a^  —  2  cos  2  d  cotg  of^  +  (1  —  sin  2  d  cos  n  yj 

bedeuten. 


:j' 


über  (Ue  angenäherte  Oeradführung  mit  Hilfe 
eines  ebenen  Oelenkvierecks. 

Von 

Dr.  R  Müller, 

Profeitor  «n  der  IVchniBchen  Hochschule  711  Braunschweiff. 


Hierzu  Taf  II  Fig.  1  -  4. 

Von  einem  Gelenkviereck  sagt  man  bekanntlich,  es  bewirke  eine 
angenäherte  «-punktige  Geradführung,  wenn  ein  bestimmter 
Punkt  der  Koppelebene  eine  Bahnkurve  beschreibt,  die  von  einer  ge- 
wissen Geraden  zwischen  n  aufeinander  folgenden  Schnittpunkten  Dur 
verschwindend  wenig  abweicht;  dabei  ist  n  höchstens  gleich  sechs. 
Liegen  die  n  Schnittpunkte  einander  unendlich  nahe,  so  möge  die 
Geradführung  als  eine  n -punktig  genaue  bezeichnet  werden.  Dann 
ist  zwar  die  theoretische  An  Schlußstrecke  unendlich  klein,  in  Wirk- 
lichkeit kann  man  aber  auch  in  diesem  Falle  ein  ganz  beträchtliches 
Kurvenstück  von  der  Anschlussgeraden  nicht  unterscheiden. 

In  einem  frühereu  Aufsatze*  habe  ich  die  Konstruktion  der 
w -punktig  genauen  Geradführung  —  insbesondere  für  n  =  6  —  ein- 
gehend behandelt.  Im  Folgenden  wird  gezeigt,  wie  man  von  hier  aus 
den  Übergang  zur  bloss  angenäherten  Geradfährung  findet,  und  wie 
man  auf  diese  Weise  zu  Lösungen  gelangt,  die  vor  den  früher  erhaltenen 
vom  praktischen  Standpunkte  aus  den  Vorzug  verdienen. 

1.  Die  Kurve  der  Balischen  Punkte.  Wir  gehen  aus  von 
irgend  einem  Gelenkviereck  AB-B-4  mit  dem  festen  Gliede  AB;  für  die 
beliebig  gewählte  Koppellage  AB  ist  der  Pol  5ß,  der  Wendekreis  w 
und  auf  ihm  der  Ball  sehe  Punkt  K  —  der  augenblicklich  einen  Un- 
dulationspunkt  beschreibt  —  in  bekannter  Weise  konstruiert  worden 
(Fig.  1).  Zeichnen  wir  in  der  Koppelebene  alle  Kreise,  die  im  Verlaufe 
der  Bewegung   zu  Wendekreisen  werden,   so  umhüllen  diese  einerseits 

•  Beiträge  zur  Theorie  des  ebenen  Gelenln'ierecks,  diese  Zeitschrift  42.  Jahr- 
gang S.  247. 


Von  Dr.  R.  Müller.  37 

die  Polkurve  p,  anderseits  den  Ort  u  der  Ballselien  Punkte  (Fig.  la). 
Dann  erstreckt  sich  auf  der  einen  Seite  von  u  ein  Gebiet  von  System- 
punkten, von  denen  jeder  zwei  benachbarten  Wendekreisen  angehört. 
Jeder  dieser  Punkte  erzeugt  also  eine  Bahnkurve  mit  zwei  dicht  auf- 
einander folgenden  luflexionen,  die  zu  einem  scheinbar  geradlinigen 
Kurvenstück  verschmelzen,  wenn  wir  den  Systempunkt  hinreichend 
nahe  an  u  annehmen.  Das  eben  Gesagte  gilt  z.  B.  von  den  Punkten  31 
und  i,  die  wir  auf  der  Bahnnormale  ^K  des  Punktes  K  gewählt 
haben;  der  Punkt  L  liefert  eine  angenäherte  vierpunktige  Gerad- 
tuhning. 

In  der  Koppelebene  giebt  es  im  allgemeinen  eine  bestimmte  An- 
zahl von  Punkten,  deren  Bahnkurven  eine  fünf  punktig  berührende 
Tangente  besitzen.*  Solche  Punkte  liegen  immer  auf  je  drei  imendlich 
benachbarten  Wendekreisen,  sind  also  Spitzen  der  Kurve  ii.  In  jedem 
Punkte,  der  sich  in  der  Nähe  einer  Spitze  innerhalb  des  von  der  Kurve 
f(  begrenzten  Gebietes  befindet,  schneiden  sich  drei  aufeinander  folgende 
Wendekreise;  die  zugehörige  Bahnkurve  hat  also  kurz  nacheinander 
drei  Inflexionen,  und  wir  gelangen  zu  einer  angenäherten  fün^unktigen 
ßeradföhrung,  wenn  die  Entfernung  des  beschreibenden  Punktes  von 
jener  Spitze  hinreichend  klein  ist. 

2.  Konstruktion  der  fünfpunktig  genauen  und  der  an- 
genäherten fünfpunktigen  Geradführung.  Bei  der  wirklichen 
Ausf&hrung  der  zuletzt  angedeuteten  Konstruktion  würde  die  Ermittel- 
ung der  Systempunkte  mit  fünfpunktig  berührenden  Bahntangenten 
erhebliche  Schwierigkeiten  bereiten.  Es  empfiehlt  sich  deshalb,  nicht 
ein  beliebiges  Gelenk viereck  in  einer  beliebigen  Koppellage  zu  Grunde 
zu  l^en,  sondern  von  vom  herein  die  Figur  so  anzuordnen,  dass  der 
Ballsche  Punkt  momentan  eine  Bahnstelle  mit  fünfpunktig  be- 
röhrender Tangente  durchläuft.  Dann  müssen  die  Winkel,  welche  die 
vier  Seiten  des  Vierecks  augenblicklich  mit  einer  gewissen  Geraden 
einschliessen,  einer  einfachen  Bedingung  genügen.^  Eine  daraus 
folgende  Konstruktion  haben  wir  bereits  an  anderer  Stelle  mit- 
geteilt.*** 

In  Figur  2  ist  ein  anderer  Weg  eingeschlagen  worden.  Hier  ist 
nämlich  die  Aufgabe  gestellt,  mit  Hilfe  eines  Gelenkvierecks  in  all- 
gemeinster Weise  eine  Kurve  zu  beschreiben,  die  von  der  gegebenen 
Geraden  g  im  Punkte  K  fünfpunktig  berührt  wird.  Von  dem  gesuchten 
Viereck  dürfen  wir  den  einen  Arm,  etwa  A-4,  noch  willkürlich  an- 
nehmen, und  zwar  in  der  Lage,  die  er  haben  soll,  wenn  der  gerad- 
gefBhrte  Punkt  sich   in  K  befindet.     Durch  diese  Daten  ist  die  Be- 


•  a.  a.  0.  S.  260. 
••  a.  a.  0.  S.  260  Gleichung  25. 

**•  Konstruktion  der  Biirmestersclien  Punkte  für  ein  ebenes  Gelenkviereck, 
zweite  Mitteilung,  diese  Zeitschrift  38.  Jahrgang  B.  131. 


38      tber  die  aiigeuäherte  Geradführung  mit  Hilfe  eines  ebenen  Gelenkvicrecks. 

wegung  der  Koppelebene  für  fünf  unendlich  benachbarte  Lagen  be- 
stimmt, und  es  giebt  ausser  A  und  K  noch  zwei  andere  Systempunkte  B 
und  B^,  welche  augenblicklich  Bahnstellen  mit  fünfpunktig  berühi'endein 
Krümmungskreise  durchlaufen;  sie  bilden  zusammen  mit  A  und  K  die 
vier  Burmesterschen  Punkte  der  betrachteten  Systemlage.  Die  früher 
von  uns  abgeleitete  Konstruktion  der  Punkte  B  und  B*  gestaltet  sich 
gegenwärtig  noch  etwas  einfacher  als  im  allgemeinen  Falle,  weil  dem 
Punkte  K  ein  unendlich  grosser  Krümmungskreis  entspricht  * 

Wir  bestimmen  zunächst  den  Pol  $  als  Schnittpunkt  von  A^4  mit  dem  iu 
/T  zu  g  errichteten  Lote,  ziehen  Aip  _L  g  bis  ÄK,  ^3  -L  $'t>  his  zu  dersellieu 
Geraden,  legen  durch  $  zu  $3  eine  Parallele,  welche  ^A  in  %,  ^K  in  Ü 
schneidet,  und  errichten  in  21  und  $t  Lote  bez.  zu  '^Ä  und  ^K.  Treffen  sich 
diese  in  ^,  so  geht  durch  ^  die  Polbahntangente  t,  und  der  Kreis  d,  der  $X 
zum  Durchmesser  hat,  ist  der  gemeinschaftliche  Krümmungskreia  der  Kreis- 
punktkurven m  und  fi  für  die  betrachtete  und  die  umgekehrte  Bewegung.  Wir 
ziehen  femer  3®|j^§  bis  ^JJÄ",  ®©X^®  bis  zur  Polbahnnormale  n  und  be- 
stimmen den  Schnittpunkt  %  von  S®  mit  d.  Dann  ist  ^d  ein  Durchmesser  des? 
zweiten  Krümmungskreises  der  Kurve  m  in  ihrem  Doppelpunkte  $,  und  ihr 
Fokalzentrum  würde  sich  ergeben  durch  Halbierung  der  nicht  gezeichneten 
Strecke  $2f.  Der  Ball  sehe  Punkt  der  betrachteten  Systemlage  fällt  gegenwärtig? 
mit  K  zusammen ;  die  Gerade  $  K  ist  folglich  die  Fokalaxe  der  Kurve  fi.  Macheu 
wir  daher  im  Kreise  S  die  Sehne  ^ip@  =  ^Ä',  so  ist  der  Mittelpunkt  von  ^@  das 
Fokalzentrum  von  fi.  Die  nicht  gezeichnete  Verbindungslinie  der  beiden  Fokal- 
zentren schneidet  die  Polbahnnormale  n  im  Punkte  D,  den  wir  in  unserer  Figur 
als  Mittelpunkt  der  Strecke  %0,*  erhalten  haben,  wobei  O'  den  Schnittpunkt  von  65 
mit  n  bezeichnet.  Nach  einem  bei  anderer  Gelegenheit  bewiesenen  Satze**  befinden 
sich  in  jeder  Lage  eines  komplan  bewegten  starren  ebenen  Systems  die  vier  Bur- 
mesterschen Punkte  mit  den  Punkten  ^  und  Cl  auf  einem  Kegelschnitt,  der 
in  $  die  Verbindungslinie  dieses  Punktes  mit  dem  Bai  Ischen  Punkte  berührt. 
Gegenwärtig  gehört  aber  der  Bausche  Punkt  K  selbst  mit  zu  den  Burmester- 
schen Punkten;  jener  Kegelschnitt  zerfilllt  also  in  die  Geraden  ^Ä"  und  ÜA, 
und  die  gesuchten  Punkte  B,  B*  liegen  demnach  auf  üiA.  ~  Die  weitere  Kon- 
struktion erfolgt  nach  der  früher  gegebenen  Regel:  Wir  bestimmen  die  Schnitt- 
punkte «,  SB  und  dl  von  ©g  bez.  mit  51  ft,  <P3  und  mit  der  Parallelen  durch  X 
zu  ^Ä,  ziehen  zu  ^^  die  Parallelen  ^%  und  SB 9(2  bez.  zu  t  und  n  und  be- 
zeichnen mit  59,  Sß*  die  Schnittpunkte  der  Geraden  X9l  mit  dem  Kreise  d,  Daoii 
trifft  OÄ  die  Geraden  $»,  ^©*  bez.  in  B,  B\ 

Den  Punkten  B  und  B*  entsprechen  zufolge  der  bekannten  qua- 
dratischen Verwandtschaft  die  Krämmungsmittelpunkte  B  und  B*;  wir 
finden  sie  z.  B.  unter  Benutzung  des  Wendepols  W,  in  welchem  die 
Geraden  n  und  g  sich  schneiden.  Als  Lösung  der  gestellten  Aufgabe 
erhalten  wir  somit  die  beiden  Vierecke  ABjB^I  und  AB*jB*-4.  In  Ver- 
bindung mit  dem  ersten  beschreibt  der  Punkt  K  die  Kurve  x  (Fig.  2  a); 

*  Konstruktion  der  Burmesterschen  Punkte  für  ein  ebenes  Gelenkvierock. 
crßte  Mitteilung,  diese  Zeitschrift  37.  Jahrgang  S.  213.  In  der  obigen  Figur  2 
sind  möglichst  dieselben  Buchstaben  gebraucht,  wie  in  der  Figur  2  des  an- 
geführten Aufsatzes. 

**  Über  die  Bewegung  eines   starren  ebenen  Systems   durch  fünf  unendlich 
benachbarte  Lagen ,  diese  Zeitschrift  37.  Jahrgang  S.  147. 


Von  Dr.  R.  Müller.  39 

das  zweite  erteilt  ihm  eine  Bewegung  in  der  Kurve  x*,  die  sich  der 
Geraden  g  so  innig  anschmiegt^  dass  auch  ihr  sechster  Schnittpunkt 
mit  9  in  die  scheinbar  endliche  Anschlußstrecke  hineinfällt  (Fig.  2). 

Figur  2  a  zeigt  den  Übergang  von  der  gefundenen  fün^unktig 
genauen  GeradfÜhrung  zu  einer  angenäherten  f&nfpunktigen:  In  der 
Koppelebene  ABK^  die  in  Figur  2b  besonders  gezeichnet  ist,  um- 
hüllen die  sämtlichen  Wendekreise  wie  vorhin  die  Kurven  p  und  w. 
Innerhalb  des  von  i«  begrenzten  Oebietes  ist  der  Punkt  L  angenommen 
worden  —  in  unserer  Figur  auf  dem  durch  die  Spitze  K  gehenden 
Wendekreise  u*;  die  zugehörige  Bahnkurve  A  befindet  sich  in  Figur  2vl, 
und  zwar  der  Deutlichkeit  wegen  ein  wenig  nach  der  Seite  verschoben. 
Sie  besitzt  eine  auffallend  gestreckte  Gestalt  und  genügt  den  An- 
forderungen einer  angenäherten  Geradführung  jedenfalls  besser,  als 
die  daneben  stehende  Bahnkurve  x  des  Punktes  JST.  —  Das  Gebiet,  in 
welchem  der  Punkt  L  gewählt  werden  kann,  ist  im  vorliegenden 
Falle  beschränkter,  als  bei  der  vierpunktigen  Geradführung;  wir 
dürfen  ihn  z.  B.  nicht  mehr  auf  der  Normale  des  Punktes  K  a)mehmen, 
wie  in  Figur  1.*  Am  zweckmässigsten  verwenden  wir,  wie  in  Figur  2a, 
einen  Punkt  des  Wendekreises  w;  dann  wird  nämlich  die  etwas  um- 
ständliche Konstruktion  der  Kurve  ti  ganz  überflüssig. 

3.  Sechspunktige  Geradführung.  Da  die  Konstruktion  der 
sechspunktig  genauen  Geradführung  bereits  in  allgemeinster  Weise  er- 
ledigt ist,**  so  haben  wir  nur  noch  zu  zeigen,  wie  sich  von  hier  aus 
der  Übergang  zur  angenäherten  Geradführung  gestaltet.  Dazu  genügt 
aber  die  Betrachtung  eines  speziellen  Falles;  wir  wählen  als  Beispiel 
die  bekannte  Geradführung  von  Tscheb ischeff  (Fig.  3).  Bei  dieser 
ist  das  Gelenk  Viereck  ABjBJ.  gleicharmig,  und  es  verhält  sich: 

^B:AB:A-4-=l:3:4. 

Gelangt  dann  die  Koppel  in  die  gezeichnete  Lage,  in  der  sie  zum 
festen  Gliede  parallel  ist,  so  beschreibt  ihr  Mittelpunkt  A'  eine  Bahn- 
stelle mit  sechspunktig  berührender  Tangente.  Jetzt  schneiden  sich  in 
K  vier  unendlich  benachbarte  Wendekreise,  und  die  unmittelbar  vorher- 
gehenden und  folgenden  Wendekreise  umhüllen  ein  Kurvenstück  m, 
«las  ein  von  Kreisen  freies  Gebiet  einschliesst,  während  durch  jeden. 
Punkt  ausserhalb  u  zwei  solcher  Kreise  gehen  (Fig.  3  a).  Um  zu  einer 
angenäherten  sechspunktigen  Geradführung  zu  gelangen,  müssten  wir 
in  der  Koppelebene  einen  Punkt  angeben  können,  in  welchem  sich 
vier  verschiedene  Kreise  der  Schar  schneiden  —  ein  solcher  Punkt  ist 
jedoch  in  unserer  Figur  nicht  vorhanden. 

Hier  müssen  wir  nun  bedenken,  dass  die  Singularität,  welche 
^egenwärtig  die  Kurve  u  im  Punkte  K  darbietet,  aus  der  Vereinigung 


•  V, 


Veigl.  Allievi,  cinematica  della  biella  plana,  Xapolil895,  p.  59. 
•*  Vergl.  die  Anmerkung  auf  S.  36. 


40  Ülier  die  angenäherte  Geradfiihrung  etc.    Von  Dr.  K.  Müllkk. 

von  zwei  Spitzen  entsteht.  Wir  können  aber  diese  Singularität  wieder 
in  zwei  Spitzen  auflösen ^  wenn  wir  unser  Gelenkviereck  in  geeigneter 
Weise  ein  wenig  verändern.  Zu  dem  Zwecke  haben  wir  in  Figur  4 
die  Koppelstrecke  AB  ein  wenig  vergrössert,  die  drei  übrigen  Glieder 
aber  unverändert  gelassen.  Für  die  dargestellte  Koppellage,  die  zum 
festen  Gliede  parallel  ist,  bezeichnet  K  wiederum  den  Ballschen  Punkt, 
der  jetzt  ausserhalb  Ali  liegt  und  einen  blossen  ündulationspunkt  be- 
schreibt. Dann  umhüllen  die  Wendekreise  in  der  Umgebung  von  K 
ein  Kurvenstück  m,  das  zur  Geraden  ^K  symmetrisch  ist  und  in  der 
unmittelbaren  Nähe  von  K  zwei  Spitzen  besitzt  (Fig.  4  a).  Jeder 
Systempunkt  innerhalb  des  von  der  Kurve  ti  begrenzten  krummlinigen 
Dreiecks  liegt  gleichzeitig  auf  vier  Wendekreisen  und  durchläuft  folg- 
lich dicht  nacheinander  vier  Wendepunkte,  wie  z.  B.  der  Punkt  N,  der 
sich  auf  der  Normale  ^K  des  Punktes  K  befindet,  und  dessen  Bahn- 
kurve in  Figur  4  parallel  nach  unten  verschoben  ist.  Der  Punkt  L^ 
der  auf  ^K  dem  Punkte  K  sehr  nahe  liegt,  liefert  eine  angenäherte 
vierpunktige  Geradführung;  um  eine  angenäherte  sechspunktige  Gerad- 
fiihrung zu  erhalten,  werden  wir  den  beschreibenden  Punkt  zwischen 
L  und  Nj  etwa  in  M  annehmen.  Wie  die  Figur  zeigt,  ist  in  diesem 
Fall  die  scheinbare  Anschlußstrecke  erheblich  grösser,  als  bei  der 
sechspunktig  genauen  Geradführung  der  Figur  3. 

Aus  unseren  Darlegungen  ergiebt  sich  demnach,  dass  überhaupt 
die  angenäherte  n-punktige  Geradführung  im  allgemeinen 
längere  Anschlußstrecken  liefert,  als  die  entsprechende 
n-punktig  genaue.  Um  aber  zu  einer  solchen  angenäherten 
Geradführung  zu  gelangen,  ist  der  bequemste  Weg  immer 
der,  dass  man  zunächst  eine  n-punktig  genaue  Geradführung 
konstruiert  und  diese  in  der  angegebenen  Weise  nachträg- 
lich in  eine   angenäherte  umwandelt. 


über  die  mafhematisohe  Bestimmung  der  Helligkeit 
in   Räumen    mit    Tagesbeleuchtung,    insbesondere 

Gem&ldesälen  mit  Deckenlicht 

Von 

R.  Mehmke 

in  Stattgart. 


Hierzu  Tafel  DI  und  IV. 


Die  folgenden  Untersuchungen  sind  auf  Anregung  des  verstorbenen 
Geh,  Baurats  Ed.  Wagner  in  Darmstadt  entstanden,  der  ihre  Ergeb- 
nisse für  das  Handbuch  der  Architektur  zu  verwerten  wünschte  und 
auch  zum  Teil  verwertet  hat,*  nachdem  ich  sie  ohne  die  mathe- 
matischen Entwickelungen  bereits  Ende  1890  im  Mittelrheinischen 
Architekten-  und  Ingenieur  verein,  Ortsverein  Darmstadt,  mitgeteilt 
hatte.  Neu  hinzu  gekommen  i^t  jedoch  die  Anwendung  des  „Be- 
leuchtungsvektors" mit  dessen  Einfährung  ich  einen  Portschritt  gemacht 
zu  haben  glaube. 

Kam  es  ursprünglich  nur  darauf  an,  Methoden  für  die  unmittel- 
bare praktische  Verwendung  zu  gewinnen,  so  scheint  mir  jetzt  aus 
dem  Gebotenen  auch  Nutzen  für  den  Unterricht  gezogen  werden  zu 
können,  insofern  z.  B.  die  Konstruktion  der  Linien  gleicher  Helligkeit 
auf  einer  (etwa  zur  Fensterwand  schrägen)  Wand  eines  Gemälde- 
kabinets  mit  Seitenlicht  eine  gute  Übung  für  Fortgeschrittene  in  der 
darstellenden  Geometrie  ist  und  sich  auch  manche  leichteren  Aufgaben 
demselben  Gebiet  entnehmen  lassen,  während  die  Bestimmung  von 
absolut  oder  relativ  hellsten  Punkten  Beispiele  für  die  Auflösung  trans- 
cendenter  numerischer  Gleichungen  liefert. 

A.  Allgemeiner  Teil. 

1.  Geschichtliche  Bemerkungen. 

Eine  Theorie  der  Beleuchtung  sowohl  von  Gemäldesälen  mit 
Deckenlicht,  als  mit  Seitenlicht  scheint  zuerst  Ed.  Magnus  aufgestellt 


*  Handbuch    der   Architektur,    4.  Teil,   6.  Halbband,    4.  Heft,    S.  227  — 231, 
•-^^1-263,  1893. 


42  Tber  die  mathematische  Bestimmung  der  Helligkeit  etc. 

zu  haben:  Zeitschrift  für  Bauwesen,  Bd.  14,  S.  202—219,  1864  (Wieder- 
gäbe  eines  Ende  1863  in  der  Kunstakademie  zu  Berlin  gehaltenen  Yor- 
♦  träges);  eine  besondere  Schrift  von  Magnus  mit  dem  Titel  „Entwurf 
zum  Bau  eines  Kunstmuseums^'  ist  1866  erschienen.  Magnus  geht 
von  richtigen  Gedanken  aus,  ist  aber  als  Maler  zu  wenig  mathe- 
matisch gebildet,  um  dieselben  in  mathematisches  Gewand  kleiden  und 
durchführen  zu  können.  A.  Tiede  hat  darauf  einen  ursprünglich  mit 
Seitenlicht  versehenen  Saal  des  alten  Museums  in  Berlin  zu  einem 
Deckenlichtsaal  umgestaltet  und  die  Grundsätze ,  nach  denen  er  die 
Dimensionen  des  Deckenlichts  festgestellt  hatte,  in  der  Zeitschrift  für 
Bauwesen,  Bd.  21,  S.  186— 194,  1871  mitgeteilt.  Auch  ist  der  ent- 
sprechende Abschnitt  über  Museen  im  Deutschen  Bauhandbuch,  Bd.2; 
2.  Teil,  S.  508  flg.,  1884,  von  Tiede  bearbeitet  worden.  Wissenschaft- 
lich bleibt  Tiede  eher  hinter  Magnus  zurück,  statt  über  ihn  hinaus 
zugehen.  Die  Frage  erweitert  und  mathematisch  in  Angriff  genommen 
haben  R.  Mentz  (Beiträge  zur  Frage  der  Beleuchtung  durch  Ober- 
licht und  Seitenlicht,  mit  spezieller  Rücksichtnahme  auf  Oberlichtsiile 
und  Seitenkabinette  in  Gemäldegalerien,  Deutsche  Bauzeitung  Bd.  18, 
S.  488— 491,  499—501,  1884;  Berechnung  der  Tagesbeleuchtung 
inuenn*  Räume  und  Maßstäbe  dazu,  Deutsche  Bauzeitung  Bd.  21, 
S.  257— 260,  1887)  und  K.  Mohrmann  (Ül)er  die  Tagesbeleuchtung 
innerer  Räume,  Berlin  1885).  Beide  legen  zwar  das  Lambertsche 
Fundiunentalgesetz  der  Beleuchtungslehre  zu  Grunde,  verlassen  aber, 
um  vermeintliche  mathematische  Schwierigkeiten  zu  umgehen,  den 
richtigen  Wt^  bald  wieder,  weshalb  sie  auch  zu  manchen  falschen  Er- 
gebnissen kommen.  Eine  gewisse  Unklarheit  findet  sich  sogar  in  einer 
zu  uusenMU  Gegenstand  in  I^ziehung  stehenden  Abhandlung  des  Phy- 
sikers Leonhard  Weber  (Beschreibung  des  Raumwinkelmessers,  Zeit- 
schrift filr  Instrumentenkunde,  4.  Jahrg.,  S.343 — 347,  1884),  von  wo 
sie,  zu  einem  vollständigen  Irrtum  geworden  und  die  Ausbildung  un- 
riohtigiT  Methoden  verursachend,  in  eine  Arbeit  F.  v.  Grubers  (Ver- 
soi'gung  der  Gebäude  mit  Sonnenwärme  und  Soimenlicht,  11.  Versorgung 
der  Gebäude  mit  Sonnenlicht,  Wochenschrift  des  österreichischen  In- 
gtniieur-  und  Aivhitektenvennns,  13.  Jahrgang,  S,277 — 282,  285—291, 
18S$\  in  das  Handbuoh  der  An^hitektur  ^3.  Teil,  Bd.  3.,  1.  Heft, 
S.  15  —  23»  lv^900  und  ändert*,  hier  nicht  in  Betracht  kommende  Schriften 
flWrgt^gnngtMi  ist. 

Dass  die  wiederholt  erfolglos  behandelte  Aufgabe,  die  Erhellung 
eines  Fläohenebnnont.s  d\m*h  eine  g^^radlinig  begrenzte  reflektierende 
Fläche  f.u  bostinuuon,  auf  die  mau  naturgeuniss  immer  wieder  stosseu 
wus>te,  schon  17(W  \on  Lambert  in  seiner  Photonietria  isiehe  Lam- 
berts rbotomelrie,  deut^Nob  hei'ausgt^geben  von  £.  Anding,  I.Heft; 
t>stwald>  Klassiker  Xr,  Sl,  S.  ,\U  ;\8^  mittelst  Integralrechnung  er- 
UNÜgt  \>onlen  »nr  und  C\\.  \\  iener  1SS4  (^im  L  Bd.  seines  Lehrbuchs 
der   dai^toUeudon    GiMUutne,    Xr.  4;>r\   $.401—402'!   Lamberts   Er- 


Von  R.  Mehmke. 


43 


gebnis  auf  einfache  Weise  reiu  geometrisch  abgeleitet  hat,  ist  uubeachtet 
geblieben. 

2.  Annahmen. 

Gewisse  vereinfachende  Annahmen  sind  nötig.  Mit  meinen  Vor- 
gängern setze  ich  voraus,  dass,  wenn  es  sich  z.B.  um  die  Abstufungen 
der  Helligkeit  auf  einer  Wand  eines  Gemäldesaales  mit  Deckenlicht 
handelt: 

1.  das  von  den  Wänden  und  dem  Boden  zurückgestrahlte  Licht 
dem  durch  die  Deckenöffnung  einfallenden  Lichte  gegenüber 
vernachlässigt  werden  dürfe, 

2.  von  allen  Punkten  der  untersuchten  Wand  das  Himraelsgew^ölbe 
durch  die  Deckenöffnung  frei  gesehen  werden  könne, 

3.  die  Beleuchtung  nicht  durch  direktes  Sonnenlicht  erfolge, 

4.  die  Teile  des  Himmelsgewölbes,  welche  die  verschiedeneu 
Stellen  der  Wand  beleuchten,  gleichförmige  Beleuchtungsstärke 
und  gleichförmiges  Rückstrahlungs vermögen  besitzen,  und 
endlich 

5.  das  Lambert  sehe  Gesetz  unbeschninkt  giltig  sei. 

3.  Beleuchtung    eines     Flächenelements    durch     eine 
reflektierende  Fläche.    Raumwiukel. 

Wird  ein  Flächenelement  f  durch  ein  anderes  dF^  das  Licht 
zurQckstrahlt,  beleuchtet,  so  ist  bekanntlich  nach  dem  Lambertschen 


Flg.  1. 


Fig.  2. 


Gesetze  die  Erhellung   von  f  durch   dF  proportional  dem  Ausdruck: 


rfF. 


cos  e  cos  i 


I 


,.s 


'siehe  Fig.  1).  Steht  dem  Elemente  f  eine  reflektierende  Fläche  F  mit 
♦'udlicher  Ausdehnung  gegenüber,  so  muss  man  letztere  in  Elemente  dF 
zerlegen,  den  Einfluss  eines  jeden  Elementes  auf  f  bestimmen  und  alle 
diese  Einflüsse  summieren.  Es  hat  aber  für  den  Fall,  dass  F  gleich- 
förmige Beleuchtungsstärke  und  gleichförmiges  Rückstrahlungsvermögen 


44  f'ber  die  niathematiäche  Bestimmung  der  Helligkeit  etc. 

besitzt,  schon  Lambert  (a.  a.O.  S.  37)  folgendes  gezeigt:  Beschreibt 
man  aus  dem  Mittelpunkte  p  von  f  eine  Kugel  mit  beliebigem  Halb- 
messer und  nennt  man  F^  die  Zentralprojektion  von  F  aus  p  auf  die 
Kugeloberfläche  (siehe  Fig.  2,  in  der  alles  im  Schnitt  dargestellt  ist), 
so  wird  f  durch  F  ebenso  stark  beleuchtet,  wie  durch  F,  voraus- 
gesetzt, dass  Beleuchtungsstärke  und  Rückstrahlungsvermögen  von  F 
und  F'  gleich  sind.  Wird  der  Halbmesser  der  Hilfskugel  gleich  1  ge- 
setzt, die  Entfernung  des  Schwerpunktes  s  der  Fläche  F'  vom  Kugel- 
uiittelpunkt  j;  mit  q,  der  Neigungswinkel  der  Geraden  ps  gegen  die 
Ebene  von  /*  mit  a  bezeichnet,  so  findet  man,  dass  die  Erhellung  von 
f  durch  F\  also  auch  durch  F  proportional  ist: 

F^.  Q  sin  a. 

Auf  ein  Element  dF  von  F  kommt  nämlich  —  wegen  r  =  l, 
cos«  =^1  —  nach  dem  Lambertschen  Gesetze  der  Betrag  dF*-  cos/,  der 
gleich  dem  Momente  von  dF  in  Bezug  auf  die  Ebene  von  f  ist,  wenn 
man  sich  die  Fläche  F  gleichmässig  mit  Masse  von  der  Dichtigkeit  1 
belegt  denkt;  die  Summe  dieser  Momente  ist  aber  gleich  derjenigen 
der  im  Schwerpunkt  s  vereinigten  Masse  F\  Durch  Multiplikation  des 
gefundenen  Ausdrucks  mit  der  Beleuchtungsstärke  imd  dem  (auch 
Albedo  genannten)  Rückstrahlungsvermögen  von  F  würde  man  die 
Beleuchtungsstärke  von  f  erhalten;  wir  wollen  aber  von  diesen  Fak- 
toren, die  als  Konstanten  zu  betrachten  sind,  künftig  absehen. 

Es  muss  hier  ein  öfters  begangener  Fehler  berührt  werden.  Mohr- 
mann nennt  F*  die  zu  F  gehörige  beleuchtende  Nutzfläche  und  setzt 
indem  er  den  Faktor  q  übersieht,  die  Erhellung  von  f  einfach  dem 
Produkte  F'  sin«  proportional.  L.  Weber  nennt  das  Verhältnis  der 
Fläche  F  zur  Oberfläche  4n  der  ganzen  Einheitskugel  den  Raumwinkel 
der  Pyramide  bezw.  der  Kegelfläche,  welche  durch  die  vom  Kugel- 
mittelpunkt nach  dem  Runde  der  Fläche  F  gehenden  Strahlen  be- 
grenzt wird,  und  jr» 

--  sin  a 
An 

den  ,,reduzierten  Ilaumwinkel",  den  er  als  Maß  der  Erhellung  von  /' 
durch  F  betraohtet.*  Webers  Raumwinkelmesser  (siehe  die  Be- 
schreibung ft.  ft.  0.  S.  »^6)  hat  auch  Eingang  in  die  Praxis  gefunden. 
l>a  tler  Schwerpunkt  der  Fläche  F*  immer  innerhalb  der  Kugel  liegt, 
also  Q  <  \  int,  erhält  mau  durch  Weglassen  von  g  ein  zu  grosses  Re- 
!<uUat,  Widlto  man  z.  B.  die  Erhellung  eines  Flächeuelementes  durch 
eine  damit  pandlele  unendlich  ausgedehnte  ebene  reflektierende  Fläche 
uuttolst  den  „reduzierten  Uaumwinkels**  bestimmen,  so  erhielte  man 
das  l)oj»pelte   des  wirklichen  Wertes,  denn  es  bedeckt  in  diesem  Falle 

•  Wt^bor  doHiiiort  alltM'Uin^v  don  Wiukol  «  nicht  genauer,  sondern  spricht 
nur  \ou  oinom  »»unttUnvn  Klo\u(ion*>vinkel'*  i^tlie  Ebene  von  f  ist  wagerecht  ge- 
duoht\  W\\  wÜHHto  ttbor  nicht,  wolchor  andere  Winkel,  als  der  oben  eingeführte, 
^'nuuut  »oin  k^^unto 


Von  K.  Mehmkk.  45 

F  eine  Halbkugel   und  wird  somit  p  =  ^j   weil    der   Flächenschwer- 

punkt  einer  solchen  in  der  Mitte  des  betreffenden  Halbmessers  liegt. 
Ist  F  eine  yerhältnismässig  kleine  und  nicht  langgestreckte  Fläche,  so 
mag  der  Fehler  gering  sein  und  darum  Webers  Raumwinkelmesser 
in  der  Praxis  unbedenklich  Anwendung  finden.  Immerhin  darf  man 
eine  Prilfüng  dieses  Punktes  verlangen.  Ich  weiss  wohl,  dass  Weber 
selbst  den  angegebenen  Ausdruck  nur  als  angenähert  richtig  hinstellt, 
aber  unbekümmert  darum  haben  die  späteren  Autoren  denselben  als 
allgemein  giltig  angesehen.  Es  muss  noch  gesagt  werden,  dass  die 
auf  diesem  Irrtum  beruhenden  Konstruktionen,  die  z.  B.  v.  Gruber  a.  a.O. 
abgeleitet  hat,  keineswegs  einfacher  sind,  als  die  beim  Festhalten  an 
Lamberts  Gesetz  sich  ergebenden. 

4.  Beleuchtungsraum.    Beleuchtungsvektor. 

Ein  anderes  Maß  für  die  Erhellung  eines  Elementes  f  durch  eine 
reflektierende  Fläche  F  mit  gleichförmiger  Beleuchtungsstärke  und 
^gleichförmigem  Rückstrahlungsvermögen,  dessen  wir  uns  im  folgenden 
immer  bedienen  wollen,  hat  Chr.  Wiener  (a.a.O.  Nr. 484,  S. 399  bis 
401)  eingeführt. 

Projiziert  man  F^  (Fig.  2)  senkrecht  auf  die  Ebene  von  f  und 
nennt  man  F"  die  Projektion,  dF"  die  Projektion  eines  Elementes  dF' 
vonF',  sowd  dF"^dF'-cosi. 

Daher  ist  die  durch  f  von  F^  empfangene  Beleuchtungsstärke  pro- 
portional J?"',  somit  auch  proportional  F":  ä,  welchen  Quotienten  Wiener 
den  Beleuchtungsraum  der  Fläche  F'  gegenüber  dem  Elemente  f 
nennt.  Zu  einer  unbegrenzten,  mit  /'  parallelen  ebenen  Fläche,  wie 
m  der  über  f  stehenden  Hälfte  der  Einheitskugel  gehört  der  Be- 
leuchtungsraum l'j  in  jedem  anderen  Falle  ist  der  Beleuchtungsraum  <  1. 
Wer  Webers  Bezeichnungsweise  (die  nach  dem  früher  Bemerkten 
nicht  älter  ist,  als  die  Wienersche,  sondern  aus  dem  gleichen  Jahre 
stammt),  beibehalten  will,  sollte  wenigstens,  um  mit  Lamberts  Be- 
leuchtungslehre  in  Übereinstimmung  zu  bleiben,  den  Begriff  des  „redu- 
zierten Raumwinkels"  dahin  abändern,  dass  er  diesen  nicht  gleich 

^    '  sin  a,    sondern  deich     -  -  •  o  sin  a 

setzte,  wodurch  der  reduzierte  Kaumwinkel  gleich  -  des  Beleuchtungs- 
raumes nach  Wiener  würde.  Weber  drückt  Raumwinkel  auch  in 
Quadratgraden  aus,  von  denen  41253  auf  die  ganze  Eugeloberfläche 
flehen.  Auf  eine  zu  /'  parallele  reflektierende  Fläche  mit  einem  Raum- 
winkel von  1  Web  er  sehen  Quadratgrad  kommt  daher  annähernd  ein 
Wienerscher  Beleuchtungsraum  von  0,0001,  und  dem  reduzierten 
Raumwinkel  von  50  Quadratgraden,  den  nach  Herm.  Cohn  ein  guter 


46  l^ber  die  mathematische  Bestimmung  der  Helligkeit  etc. 

Platz  in  gewöhnlichen  Schulräumen  mindestens  haben  sollte  (vergl. 
Weber  a.a.O.  S.347)  entspricht  ungefähr  der  Beleuchtungsraum  0,005. 

Hat  man  die  Beleuchtungsstärken  mehrerer  Flächenelemente 
/i  /i, .  . .,  die  von  derselben  reflektierenden  Fläche  F  beleuchtet  werden 
und  denselben  Mittelpunkt  p,  aber  verschiedene  Stellimg  besitzen^  mit 
einander  zu  vergleichen,  so  leistet  ein  Begriff  gute  Dienste^  der  jetzt 
erklärt  werden  soll.  Man  denke  sich  von  p  in  der  Richtung  nach 
dem  Schwerpunkt  s  der  Fläche  F^  einen  Vektor  von  der  Länge  F^q  :  ic 
abgetragen;  er  soll  der  Beleuohtangsvektor  der  reflektierenden  Fläche  F 
in  Bezug  auf  den  Punkt  /;  heissen.  Wie  man  sofort  sieht,  ist  der 
Wienersche  Beleuchtungsraum  der  reflektierenden  Fläche 
F  in  Bezug  auf  das  Flächenelement  f  gleich  der  Längenzahl 
der  senkrechten  Projektion  des  zum  Mittelpunkt  von  f  ge- 
hörigen Beleuchtungsvektors  der  Fläche  F  auf  die  Normale 
von  /'. 

Aus  einer  bekannten  Eigenschaft  des  Schwerpunktes  folgt  weiter: 

Besteht  7^' aus  mehreren  Teilen,  so  ist  der  Beleuchtungs- 
vektor von  F  die  geometrische  Summe  der  zu  jenen  Teilen 
gehörigen  Beleuchtungsvektoren. 

5.  Anwendung  auf  Innenräume  mit  Tagesbeleuchtung, 

Nach  einem  Lambertschen  Satze  (a.a.O.  S.37,  Lehrsatz  4),  von  dem 
unter  Nr.  3  bereits  ein  besonderer  Fall  benützt  worden  ist,  beleuchten 
zwei  reflektierende  Flächen  mit  gleicher  Beleuchtungsstärke  und  gleichem 
Rückstrahlungsvermögen  ein  Flächenelement  /'  gleich  stark,  wenn  beide 
Flächen  aus  dem  Mittelpunkte  von  /'  durch  denselben  Strahlenkegel 
bezw.  durch  dieselbe  Strahlenpyramide  projiziert  werden.  Daher  würde, 
um  wieder  das  Beispiel  eines  Gemäldesaales  mit  Deckenlicht  zu  nehmen, 
die  Helligkeit  an  jeder  Stelle  des  Saales  dieselbe  bleiben,  wenn  man 
die  Deckenöffnung  durch  eine  leuchtende  ebene  Fläche  ersetzte,  deren 
Beleuchtungsstärke  und  deren  Rückstrahlungsvermögen  natürlich  denen 
des  fraglichen  Teiles  des  Himmelsgewölbes  gleichkommen  müssten. 
Von  dieser  Vorstellung  ist  ohnehin  Gebrauch  zu  machen,  wenn  die 
Deckenöffnung  durch  mattgeschliffenes  Glas  geschlossen  ist.  Der  damit 
erreichte  Vorteil  besteht  darin,  dass  man  es  jetzt  bei  allen  Punkten 
des  untersuchten  Raumes  mit  einer  und  derselben  leuchtenden  Fläche, 
und  nicht  mehr  mit  einem  von  Punkt  zu  Punkt  wechselnden  Stück 
des  Himmelsgewölbes  zu  thun  hat.  (Wie  sich  von  selbst  versteht, 
kommt  bei  einer  seitlichen  Lichtöffnung,  wenn  sich  das  Flächenelement 
f  oberhalb  der  Fensterbank  befindet,  nur  der,  über  der  wi^erechten 
Ebene  durch  f  liegende  Teil  der  Lichtöflftiung  in  Betracht;  vergl. 
Wagner  a.a.O.) 

Beschränken  wir  uns  zunächst  auf  geradlinig  begrenzte  Licht- 
öflhungen  von  sonst  beliebiger  Gestalt,  dann  ist  der  Wienersche  Be- 


Von  R.  Meiiuke. 


47 


leuchtungsraum  eines  beliebigen  Vielecks  zu  bestimmen.  Das  (nach 
einer  Bemerkung  unter  Nr.  1  schon  1760  von  Lambert  angegebene, 
TOü  Chr.  Wiener  a.a.O.  einfacher  hergeleitete)  Ergebnis  ist: 


^^  =  9»  (VlCOSÄx  +  ^2  COSÄj  H h  g)nCOsan) 


^S^'i^^''^'' 


s 


wobei  ^i,g>ff  ' '  '  g>n  die  Winkel  bedeuten,  unter  denen  die  n  Seiten 
des  Vielecks  aus  dem  Mittelpunkt  von  /'  erscheinen,  während  a,-  den 
Neigungswinkel  der  Ebene  von  q>i  gegen  die  Ebene  von  /'  bezeichnet. 
Von  den  Winkeln  (p  ist  angenommen,  dass  sie  in  Teilen  des  Halb- 
messers ausgedrückt  seien;  sind  sie  aber  in  Graden  gegeben,  so  muss 
man  durch  360  (bezw.  durch  400  bei  Anwendung  sogenannter  neuer 
Teilung),  statt  durch  2ä  dividieren.  Die  Winkel  a  sind  so  zu  nehmen, 
tlass  jeder  auf  der  von  der  leuchtenden  Fläche  abgewendeten  Seite  des 
zugehörigen  Winkels  (p  liegt. 

Es  kann  der  Beleuchtungsraum  B  mit  Hilfe  der  analytischen  Geo- 
metrie durch  Rechnung,  oder,  was  im  allgemeinen  vorzuziehen 
sein  wird,  unter 
Anwendung     der 

darstellenden  * 

Geometrie    durch  3 

Zeichnung        be- 
stimmt    werden.  2 
Die  in  letzterem 
Falle  notige  Ver- 
wandlung        der       1 
Winkel  ^ 

in  Strecken  bezw.  q * ^'  d.s \'      ^° 

'iif      graphische 

Ermittelung  der  Quotienten  9<:2ä  lässt  sich  mittelst  einer  auf  Paus- 
papier gezeichneten  Archimedischen  Spirale  sehr  bequem  ausführen. 
Hat  man  (Fig.  3)  auf  einem  Stück  Pauspapier  einen  flachen  Winkel 
'i^ff/  in  eine  Anzahl  gleicher  Teile,  z.  B.  10,  geteilt,   auf  dem   ersten 

^^1  Yq  ^cr  halben  Längeneinheit,  auf  dem  zweiten  —  u.  s.w.,  zu- 
letzt auf  oq'  die  halbe  Längeneinheit  abgetragen  und  die  Endpunkte 
Jurch  eine  stetige  Kurve  verbunden,  so  genügt  es,  den  erhaltenen 
Apparat  so  auf  den  gegebenen  Winkel  q>  zu  legen,  dass  —  gleichen 
Eneugungseinn  bei  Winkel  und  Spirale  vorausgesetzt  —  oq  den  ersten 
Nihenkel  von  g)  deckt;  die  Spirale  wird  dann  auf  dem  anderen  Schenkel 
'^  Stück  9> :  2ä  abschneiden. 

Wir  stellen  uns  jetzt  die  Aufgabe,  den  Beleuchtungsvektor  eines 
ueleckß  in  Bezug  auf  einen  beliebigen  Punkt  j;  des  Raumes  zu  kon- 
•^truieren.    Wie  oben   seien   die  Winkel,    welche  je  zwei   aufeinander 


J 


48  t'ber  die  mathematische  Bestimmung  der  Helligkeit  etc. 

folgende  Strahlen  von  ^;  nach  den  Ecken  des  Vielecks  einschliessen 
der  Reihe  nach  mit  q>^,  9>2;  •  •  •;  T'n  bezeichnet.  Die  senkrechte  Proj 
jektion  des  gesuchten  Beleuchtungsyektors  v  auf  die  Normale  de^ 
Flächenelementes  /*  muss  eine  Länge  gleich  dem  Beleuchtungsraum  dd 
Vielecks,  also  nach  dem  Obigen  gleich 

^^  cos  «1  +  ^*  cos  ao  H \--~-  cos  a« 

haben.  Errichtet  man  senkrecht  auf  der  Ebene  des  Winkels  g?,-,  uiiJ 
zwar  auf  der  dem  Vieleck  zugewendeten  Seite,  einen  Vektor  i\  v(m 
der  Länge  tpi :  2ä,   so    ist   dessen  Projektion   auf  die   Normale  von  / 

g^^i«^-  9>,cosar.2;r. 

Da  nun  die  Projektion  der  geometrischen  Summe  mehrerer  Vektoren 
auf  irgend  eine  Gerade  gleich  der  Summe  der  Projektionen  jeneE 
Vektoren  auf  dieselbe  Gerade  ist,  so  hat  die  geometrische  Summe  deij 
Vektoren  t\,  r^, . .  .,  ü«,  und  offenbar  auch  kein  anderer  Vektor,  di<j 
verlangte  Eigenschaft.     Also: 

Der  Beleuchtuugsvektor  v  einer  geradlinig  begrenzte!^ 
Fläche  in  Bezug  auf  einen  beliebigen  Punkt  2?  wird  gefunden 
wenn  man  in  p  auf  den  Verbindungsebenen  dieses  Punkte: 
mit  den  Begrenzungsstrecken  der  Fläche,  die,  aus  j)  gesehen 
unter  den  Winkeln  g^j,  qo^,...,  9>»  erscheinen  mögen,  Lote  er 
richtet,  in  letzteren  (immer  auf  der,  der  leuchtenden  Flächt 
zugewendeten  Seite)  die  Vektoren  i\j  r^,  .  .  .,  i?^  von  der 
Längen  ^^     ^^  ^^ 

(die  aus  den  Winkeln  9^,  ^, .  .  .,  y»  auf  die  früher  angegeben«] 
Art  mittelst  einer  im  voraus  gezeichneten  Archimedischeij 
Spirale  erhalten  werden)  aufträgt  und  diese  Vektoren  geo^ 
metrisch  addiert  (d.h.  wie  Kräfte  zu  einer  Resultante  zu 
sammensetzt). 

Der  Beleuchtuugsvektor  einer  beliebig  begrenzten  Fläche  lässi 
sich  mit  jeder  gewünschten  Genauigkeit  bestimmen,  indem  man  di^ 
vorhei*gehende  Konstruktion  auf  ein  ihrem  Rande  einbeschriebenrt 
Viehvk  mit  genügend  kleinen  Seiten  anwendet 

Alles  dies  gilt  filr  gi'krümmte  Flächen  so  gut  wie  für  ebene. 

(K  Beispiel:    Beleuchtung  durch  ein  seitliches  Fenster. 

Ks  hai\dle  sich  darum,  die  Erhellung  einer  Pultflache  in  dem  be 
Uebigt^u  Ihmkte  />  duix^h  das  in  Figur  4  in  Gnmd-  und  Aufriss  dar 
g^^sMUo  Fenster  «u  Iwurteileu,  wol>ei  das  in  p  sichtbare  Stuck  des 
Hiunnels  Urtoh  unten  durch  die  Ebene  von  p  nach  einem  zur  Fenster 
wand  (uiralleleu  DaohtJrst  In^reuxt  sein  möge.  Die  vierseitige  Licht 
pyi'Änude,   deivn  Spitte  p   ist,   hat   zwei   zur  Aufrissebene,   zwei   zul 


Von  R.  Mkhmke. 


49 


Gruodrissebene  senkrechte  Seitenflächen.    Die  in  den  ersteren  liegenden 
Kanten  Winkel  sollen  g^^und  tp^,  die  übrigen  q>^  und  g>^  heissen.    Die  wahre 
Grösse  dieser  Winkel  lässt  sich  durch  Drehen  ihrer  Ebenen  (etwa  um 
die  Spuren  mit  der  äusseren  Fensterwand)  in  Parallelstellung  mit  der 
Grundriss-  bezw.  Aufrissebene  finden.  (Die  Scheitel  der  Winkel  kommen 
dadurch  beziehentlich  in  die 
Lagen  p^,  pj,  p^,  p^.)    Die 
Vektoren    v^  und   v^   werden 
parallel  zur  Aufrissebene ,  die 
Vektoren  v^  und   t\  parallel 
7>ur  Grundrissebene,  weshalb 
♦Tstere  im  Aufriss,    letztere 
im    Gnindriss     in     wahrer 
Länge  erscheinen.  Der  Grund- 
riss  des  resultierenden  Vek- 
tors r  ist  mit  v\  der  Aufriss 
mit  p"  bezeichnet;  v^  und  r^ 
für    sich     zusammengesetzt, 
j?eben  eine  zur  Aufrissebene 
parallele,  r,  und  i?^  eine  wage- 
rechte   Komponente    von   v. 
Die  Pultfläche   wurde    unter 
sonst    gleichen     Umständen 
'lie  grösstmögliche  Helligkeit 
zeigen,   wenn    sie    senkrecht 
zu  dem  gefundenen  Beleuch- 
tungsvektor   V    wäre.      Der 
ihr    zukommende    Wien  er- 
sehe Beleuchtungsraum  wäre 
Jann     gleich     der     wahren 
Lange  von  v;  die  Zeichnung 
hat  —  bei  Benützung  einer 
für  die  Längeneinheit  400mm 
konstruierten  Archimedischen 
Spirale,  von  der  jedoch  nur 
ein  kurzes  Stück  nötig  war  — 
ungefähr   die  Länge  14  mm, 
aLso   den   Beleuchtungsraum 
0,035  ergeben.     Bei  anderer 
Xeigung  der  Pultfläche  muss 
«ler  Vektor  v   auf  ihre   Normale   projiziert    werden.     Für    eine   wage- 
rechte Fläche  liefert  die  Zeichnung  (durch  die  etwa  7  mm  lange  lot- 
rechte Komponente    von  v)   einen   Beleuchtungsraum   vom   ungefähren 
Betrage  0,018.    Sind  bloss  wagerechte  Flächen  auf  ihre  Helligkeit  zu 
untersuchen,  so  brauchen  die  Vektoren  v^  und  v^  nicht  konstruiert  zu 

Zritwhrift f. Mathematik u. Physik.  4». Jahrg.  1898.  I.Heft  4 


Pz, 


o() 


über  die  mathematische  Bestimmung  der  Helligkeit  etc. 


werden,  weil  sie  keinen  Beitrag  zur  lotrechten  Komponente  von  r 
geben;  die  Zeiehenarbeit  vermindert  sich  dann  um  die  Hälfte.  Bei 
mehreren  Fenstern  sind  für  jedes  einzelne  die  Konstruktionen  aus- 
zuführen und  die  erhaltenen  Beleuchtungs  Vektoren  geometrisch  (bezw. 
die  Beleuchtungsriiume  arithmetisch)  zu  addieren. 


B.  Anwendung  auf  Gem&ldesäle  mit  Deckenlicht. 

7.  Beleuchtungsstärke  einer  beliebigen  Stelle  einer  Wand. 

Wir  wollen  uns  auf  die  Untersuchung  einer  Saalwand  und  auf 
den  Fall  einer  rechteckigen  Deckenöflftiung  mit  einem  Paare  zur  Wand 
paralleler  Seiten  beschränken. 

Bei  Fragen  wie  der,  welchen  Einfluss  auf  die  Helligkeit  das  Vor- 
wärtsneigen eines  Bildes  um  einen  gegebenen  Winkel  hat,  ist  es 
nötig,  den  Beleuchtungsvektor  zu  konstruieren.  Die  Ausführung 
stimmt  mit  der  unter  Nr.  6   beschriebenen  ganz  überein,    denn  kippt 


Fig.  5. 


Fig.  6. 


•    • 


Aufriss 


Seitenriss. 


man  den  Saal  in  Gedanken  um  eine  Bodenkante,  so  wird  das  Decken- 
fenster zu  einem  seitlichen. 

Einfacher  ist  die  Bestimmung  des  Beleuchtungsraumes  12  der 
Deckenöfiftiung,  deren  Ecken  w,  w,  m^,  n^  heisen  sollen,  in  Bezug 
auf  irgend  ein,  an  der  Stelle  p  gelegenes  Element  der  Wand.  Die 
Formel  in  Nr.  5  ergiebt: 


27t 


g^COSCfi, 


WO  q)  und  g>^  die  Winkel  bezeichnen,  unter  denen  die  zur  Wand 
parallelen  Seiten  mn  und  m^n^  der  Öffnung  aus  p  gesehen  erscheinen, 
«  und  «1  die  spitzen  Winkel  der  Ebenen  von  (p  und  g>^  mit  der  Wand.* 
Hat   man   mittelst   der  dem  Seitenriss  (Fig.  6)  entnommenen  Höhen  h 

•  Magnus  hat  irrtümlicherweise  (ofi  —  a)  als  Maß  der  Helligkeit  in  p  be- 
trachtet, Mentz  dagegen  (cos«!—  cosaj)  als  Maß  für  die  Erhellung  durch  eine 
zur  Wand  senkrechte  Lamelle  der  Lichtpyramide. 


Von  R.  Mehmk«. 


51 


und  \  der  Dreiecke  mnp  und  m^n^p  die  wahre  Grösse  der  Winkel  (p  und 
g>j  im  Aufriss  (Fig.  5)  bestimmt  und  daraus  mit  Hilfe  der  Archimed- 
ischen Spirale  die  Strecken  q>:  2x  und  (p^',2n  abgeleitet,  so  genügt 
es,  letztere  im  Seitenriss  von  p  aus  in  den  Geraden  pm  und/?»»!  (Fig. 7) 
abzutragen  und  auf  die  Wand  zu  projizieren;  der  Unterschied  der 
Projektionen,  mit  der  Längeneinheit  der  verwendeten  Spirale  gemessen, 
giebt  den  gesuchten  Beleuchtungsraum  R. 

Um  12  durch  Rechnung  zu  bestimmen,  kann  man  ein  Gartesisches 
Koordinatensystem,  etwa  mit  der  Schnittlinie  der  Wand  und  der  Decke 
als  X'kxe  und  der  Lotrechten  durch  die  Projektion  des  Mittelpunktes 
der  Deckenöffnung  auf  die  Wand  als  ^-Axe  annehmen.  Wird  die 
halbe  Länge  der  Deckenöffiiung  —  unter  Länge  die  zur  untersuchten 
Saal  wand  parallele  Abmessung  verstanden  —  mit  l,  die  halbe  Breite 
derselben  mit  6,  die  Entfernung  des  Mittelpunktes  der  Deckenöffiiung 
von  der  Wand  (gleich  der  halben  Saalbreite  bei  regelmässiger  Anord- 
nung) mit  V  bezeichnet,  so  ist: 


2) 


3) 


V-h 

z 
h'-\-h 

z 
V-h 
sin  a 
6'+& 


4)     fp 


tga- 
tgai  = 

*      smoj        coflofj 


Fig.  7. 


cosa 

z 


wo 


5) 


tgz  = 


Z  +  a? 


tg^  = 


^li=Ar-'  tg*i= 


l  —  x 
l-x 


a 


.» 


Bei  der  Ausrechnung  genügen  für  gewöhnlich  dreistellige  Lo- 
garithmen. 

Die  Helligkeit  in  irgend  einem  Punkte  der  Wand  hängt  von  den 
Koordinaten  dieses  Punktes,  den  Abmessungen  des  Deckenlichts  und 
der  Saalbreite  ab,  mit  anderen  Worten:  der  Beleuchtungsraum  B  ist 
eine  Funktion  der  fünf  Veränderlichen  a:,  j?,  Z,  fc,  6',  die  wir  mit 
f(Xf  sSyljhj  6')  bezeichnen  wollen. 

Aus  den  Gleichungen  4)  und  5)  folgt: 


6) 


9i-  arctg^^  +  arctg  -^ 


Setzt  man  diese  Werte,  sowie 


cosa 


V 


cos  a,  =  7-? 


in  die  erste  Gleichung  ein,  so  kommt  als  ein  Ausdruck  der  fraglichen 
Funktion: 

4* 


öl> 


TUer  <lic  niatlieniatische  Bcstiuimung  der  Hellijfkeit  etc. 


7) 


worin 


8) 


U  =  fix,  z,l,h,  b') 

=  /-n  («'-^  tg  '~\  ~  +  ««•  tg  -7-) 


h^+  y{b'-  hy+  z-,    A.  =  +  V{h'+  />)"*+  Z-: 


8.  Linien  gleicher  Helligkeit. 

Wir  deiikeu  uns  in  jedem  Punkte  der  Wand  senkrecht  zu  ihr  den 
als  Strecke  dargestellten  Beleuchtungsraum  der  Deckenöffhung  in  Be- 


Fig.8 


O    O    O   !0  .0   «  » 

%  g I gs^i 


I  •    \^N 

\ 


Höhe 


U 


zug  auf  diesen  Punkt  abgetragen.  Die  Endpunkte  erf&Uen  eine  (offen- 
bar zur  »/r- Ebene  symmetrische)  Fläche,  deren  Gestalt  eine  klare  Vor- 
stellung von  den  Abstufungen  der  Beleuchtungsstärke  oder^  falls 
überall  gleiches  Kückstrahlungsvermögen  vorausgesetzt  wird,  von  den 
Abstufungen  der  Helligkeit  auf  der  Wand  giebt.  In  Bezug  auf  das  in 
Nr.  7  eingeführte  Koordinatensystem  hat  die  betrachtete  Fläche  die 
Gleichung  */  -  f\x\  r  K  mit  /*(.r,  ^"^  als  der  durch  7)  definierten  Funktion: 
sie  ist  also  transcendent.  Behufs  Darstellung  dieser  Fläche  denke  man 
sich  die  Wand  mit  einem  Netz  von  lotrechten  und  wagerechten  Linien 
überzogen,  die  einander  etwa  in  1  m  Abstand  folgen,  und  bestimme 
für  die  Knotenpunkte  entweder  graphisch  oder  durch  Rechnung  nach 
Nr.  7    den   Beleuchtungsraum    der  Deokenöffnung.    Trägt   man    immer 


Von  R.  Mehmke.  53 

für  die  Punkte  einer  und  derselben  Lotrechten  oder  einer  und  der- 
selben Wagerechten  die  zugehörigen  Strecken  im  Seitenriss  bezw.  im 
Grundriss  ab  —  die  Wand  als  Aufrissebene  gedacht  —  und  verbindet 
man  die  Endpunkte  durch  eine  stetige  Kurve^  so  ergeben  sich  die 
Schnitte  der  gesuchten  Fläche  mit  einer  Reihe  von  zur  Seitenebene 
bezw.  zur  Grundrissebene  parallelen  Ebenen.  Man  erhält  daraus  in 
einfachster  Weise  die  Schnitte  der  Fläche  mit  beliebigen  zur  Wand 
parallelen  Ebenen,  deren  Aufrisse  Linien  gleicher  Helligkeit  sind. 
Figur  8  zeigt  ein  (von  mir  gezeichnetes  und  bereits  von  Wagner  a.  a.  0. 

verwendetes)  Beispiel;  es  betrifft  die  in  ttj:  n.  Gr.  dargestellte  Lang- 
wand eines  Saales  yon  16,60  m  Länge,  9,10  m  Breite  und  7,85  m  Höhe; 
(las  Deckenlicht  hat  12,20  m  Länge  und  4,70  m  Breite.  (Drei  weitere 
Ton  mir  bezw.  nach  meiner  Angabe  durchgeführte  Beispiele,  darunter 
zwei  Gemäldekabinette  mit  Seitenlicht,  findet  man  a.a.O.  S. 230,  252, 
253).  Mohrmann  und  Menz  haben  (a.  a.  0.)  auch  schon  Linien  gleicher 
Helligkeit  gezeichnet,  aber  nicht  richtig. 

9.  Relativ  hellste  Punkte  in  Wagerechten 

und  Senkrechten. 

Für  Punkte  in  einer  beliebigen  wagerechten  Linie  der  Wand  ist 
:  wie  auch  h  und  h^  konstant.  Durch  partielle  Ableitung  nach  x  er- 
hält man  aus  Gleichung  7)  nach  leichter  Umformung 

QN    if II ^/ 1 1 ^\ 

Wegen  h  <  Ä^  ist   die  Klammergrösse  immer  positiv,  weshalb  t^ 

das  Vorzeichen  von  —x  hat,  also  die  Punktion  /*  oder  mit  anderen 
Worten  die  Helligkeit  von  der  Mitte  —  der  5'-Axe  —  nach  beiden 
Seiten  hin  fortwährend  abnimmt. 

Auch  in  jeder  senkrechten  Linie  der  Wand  befindet  sich  ein  relativ 
hellster  Punkt.  Man  bestimmt  ihn  graphisch  mit  Hilfe  einer  senk- 
rechten Tangente,  die  man  im  Seitenriss  an  den  betreffenden  senkrechten 
Schnitt  der  unter  Nr.  8  eingefiihi-ten  Helligkeitsfläche  legt.  Die  Tiefe  z 
tnnes  solchen  Punktes  unter  der  Decke   ist  Wurzel  der  transcendenten 

^ileichung  ^  ^=  0,   die   ausführlich   hier   anzuschreiben  überflüssig   ist, 

wie  auch  der  Beweis  übergangen  werden  soll,  dass  nur  eine  Wurzel 
vorhanden  ist  und  ihr  wirklich  ein  Maximum  von  /'  entspricht. 
Mentz  hat  angenommen,  der  Ort  dieser  Punkte  sei  eine  wagerechte 
<ierade,   die    er  Intensitätspolare  nennt.     Wäre  das  richtig,    so  dürfte 

-.  X  nicht   enthalten  oder   es   luüsste  -. — r- =^ ' — ^  -  0  sein,    d.h.  es 
':  ^  cxcz       czcx  ' 

konnte  p^  nicht  von  z  abhängen,   entgegen   dem,   was  der  obige  Aus- 

df 
Jnick  för  J-  zeigt.     Der  fragliche,   in  Fig.  8  punktiert   eingezeichnete 


54  t^bcr  die  mathematische  Bestimmung  der  Helligkeit  etc. 

Ort  ist  also  eine  (zur  ;2r-Axe  symmetrische  transcendente)  Kurve,  über 
die  noch  bemerkt  werden  möge,  dass  sie  von  dem  hellsten  Punkte  dei 
Wand  nach  beiden  Seiten  fäUt,  entweder  unmittelbar,  oder  nachdem 
sie  (vergl.  Fig.  8)  sich  etwas  über  den  hellsten  Punkt  erhoben  hat,  und 
sich  beiderseits  je  einer  schiefen  Geraden  asymptotisch  nähert.  Wünscht 
man  zu  einzelnen  Abscissen  x  die  Ordinaten  der  betreflPenden  Kurven- 
punkte zu  berechnen,  was  allerdings  ein  mühsames  Geschäft  ist,  so 
mag  man  (mit  Anwendung  der  früheren  Bezeichnungen)  die  Gleichung 

~  =  0  nach  Multiplikation  mit  27tz  auf  die  Form 

^c^\      {^^^^^  sin*«  +  sin^^  ^^iX\  —  ^i)  cos^crj  =  fp^  cosaj  sin^a^ 
[  +  sin^  cos(x  —  ^)  cos'« 

bringen,  jedesmal  den  graphisch  gefundenen  Näherungswert  von  s  ein- 
setzen und  sich  dabei  der  in  dieser  Zeitschrift,  Bd.  36,  S.  158  flg.,  1891, 
beschriebenen  'Methode  —  Anwendung  der  Additionslogarithmen  und 
Berechnung  von  Korrektionen  durch  Proportionalteile  —  bedienen.  Die 
„vorbereitenden"  Gleichungen  werden  dann,  abgesehen  von  den 
früheren  2)— 5)* 

.  ^v       (A  =  logtp^  +  -Elogp^  +  log  cosa  +  21og  sin« 

I  +  -B31og  cosffi  +  J^log  sin^i  +  JElog  cos(;i;i  —  ^'i), 

jgs      I A^  =  logqpi®  +  ElogQ^ 4-  log cosofj  +  21og  sin«, 

(  +  £3 log  cosa  +  -Blog  sin 9  +  J^^log  cos (2  —  ^), 

und  die  „Schlussgleichung",  aus  der  die  Korrektion  von  log  z  ge- 
funden wird: 

jg.       IB+  ED^  +  3 log  cos«!  +  log  sin^i  +  log  cosC^i  —  *i) 

\  +  £3 log  cos«  +  J5^log  sinqp  +  -Elog  cos (2  —  ^)  =  0. 

10.  Hellster  Punkt  der  Wand. 

Aus  dem  Vorhergehenden  folgt,  dass  in  der  senkrechten  Mittellinie 
der  Wund  ein  graphisch  leicht  zu  bestimmender  hellster  Punkt  vor- 
handen ist,   dessen  Tiefe  z  unter  der  Decke  der  für  x  =  0  gebildeten 

transoendenten  Gleichung  ^:,=-0,  nämlich 


14) 


genügt,   wt>  h  und  Aj   die  in  8)  angegebenen  Funktionen  von  z  sind. 

•  9"  UtHlontet  do«  in  Onulon  ttus^Hlnlckteu  Winkel  9,  ^*  die  auf  den 
Ho|^u  von  ilor  liÄn^r*^  1  kommoiide  Zahl  von  Unulen,  E  die  dekadische  Er- 
jfiln36un#f  do»  naotitol^nulon  Logarithmus«  B  den  Wert,  den  die  Tafel  der 
Additiontjlojfftrithmou  kvuu  Aiyurnont  .1  liefert. 


Von  R.  Mehmke.  55 

Mentz  hat  behauptet,  wenn  die  Deckenöffiiung  vergrössert  werde,  so 
gehe  der  hellste  Punkt  der  Wand  in  die  Höhe.  Das  ist  nur  teilweise 
richtig,  denn  es  kann,  wie  sich  zeigen  wird,  die  Vergrösserung  der 
Deckenöffiiung  auch  in  solcher  Weise  vorgenommen  werden,  dass  der 
hellste  Punkt  an  seiner  Stelle  bleibt  oder  sogar  nach  unten  rQckt. 
Die  analytische  Untersuchung  der  Abhängigkeit  der  Lage  des  hellsten 
Punktes  der  Wand  yon  den  Abmessungen  des  Deckenlichtes  bei  ge- 
gebener Breite  des  Saales,  obwohl  in  der  Theorie  so  einfach,  hat  an- 
gesichts der  ungefügen  Ausdrücke  in  14)  nichts  Verlockendes.  Um 
in  dieser  Sache  klar  zu  sehen,  habe  ich  für  die  konstante  Saalbreite 
2h'  =  10  w  und  für  die  Längen  21  =  0,  2,  4,  6, . . .,  18,  20,  00  sowie 
eine  hinreichende  Zahl  verschiedener  Breiten  der  Deckenöffhung  die 
Tiefe  des  hellsten  Punktes  berechnet  und  als  Ordinate  zu  der  als 
Äbscisse  angenommenen  jedesmaligen  Breite  der  Deckenöflnung  auf- 
getrs^en,  wodurch  die  Kurven  in  Tafel  ÜI  entstanden  sind  Diese 
Kurven  zeigen  aufs  Deutlichste,  dass  bei  gleichbleibender  Länge  der 
Deckenöffnung  der  hellste  Punkt  in  der  That  nach  oben  rückt,  wenn 
ihre  Breite  vergrössert  wird,  und  zwar  um  so  schneller,  je  grösser  die 
ursprüngliche  Breite  war,  dass  dagegen  der  hellste  Punkt  nach  unten 
rückt,  wenn  die  Breite  beibehalten,  die  Länge  vergrössert  wird.  Wie 
man  weiter  sieht,  hat  die  Veränderung  der  Länge  einen  verhältnis- 
mässig geringen  Einfluss  auf  die  Höhenlage  des  hellsten  Punktes.  Lässt 
man  bei  gegebener  Breite  2b  der  Decken öffiiuug  die  Länge  in  Gedanken 
ober  alle  Grenzen  hinaus  wachsen,  so  rückt  der  hellste  Punkt  nur  bis 
zu  einer  bestimmten  endlichen  Tiefe  hinunter.  Denn  für  a;  =  0,  i  =  00 
erhält  man  q>  '=  q>^=  n  oder 

R  =  f(z)  =  y  (cos  a  -  cos  aO  =  ^  (^  -  1), 

™'*  h^  ==  (6'  -  by  +  z\  h,^=^  {V  +  by  +  z\ 

und  als  Gleichung,  aus  der  z  zu  berechnen  ist,  ergiebt  sich 

woraus  man  mit  den  Abkürzungen 

V-h  ^  f/,     //  -f  6  =-  (?i 

findet:  a 

«5  aß 


15)  3^ 

^  a*  +  ^i 

Durch  Einsetzen  dieses  Wertes  in  den  obigen  Ausdruck  für  li  erhält 
man  als  obere  Grenze  für  den  Beleuchtungsraum  im  hellsten  Punkte 
der  Wand  bei  gegebenem  6: 

16)  .  B='  "'^-*^ 


5()  Über  die  mathematische  I>t«timmun«;  der  Helligkeit  etc. 

UDd   als  grössten  Wert  hieryon  bei  a  =  0,   also  i'=-  6,   d.  h.  im  Falle 
eines  die  ganze  Saalbreite  einnehmenden  Deckenlichtes: 

Aus  Tafel  III  ist  Tafel  IV  abgeleitet^  die  den  Zweck  hat,  för  einen 
Saal  von  10  m  Breite  und  beliebigen  Abmessungen  des  Deckenlichts 
bis  zu  20  m  Länge  und  10  m  Breite  augenblicklich  die  Höhenlage  des 
hellsten  Punktes  zu  liefern.  Man  sucht  den  gegebenen  Wert  der 
Länge  21  des  Deckenlichts  auf  dem  wagerechten  Maßstabe,  denjenigen 
der  Breite  2  h  auf  dem  senkrechten  Maßstabe,  geht  von  dem  ersteren 
Punkte  senkrecht  herunter  bis  zu  der  Wagerechten  durch  den  letzteren 
und  liest  an  der  durch  den  erhaltenen  Punkt  gehenden  Kurve  die  ge 
suchte  Tiefe  des  hellsten  Punktes  der  Wand  unter  der  Decke  ab.  Die 
Tafel  kann  natürlich  auch  Anwendung  finden,  wenn  die  Saalbreite 
grösser  oder  kleiner  als  10  m  ist,  denn  bei  proportionaler  Vergrösser- 
ung  oder  Verkleinerung  aller  Abmessungen  ändert  sich  die  Tiefe  des 
hellsten  Punktes  unter  der  Decke  im  gleichen  Verhältnis. 

Die  Anschauungen  von  Magnus  über  die  Lage  des  hellsten 
Punktes  stimmen  mit  unseren  Ergebnissen  ebenfalls  nicht  überein.  So 
schätzte   Magnus   bei   einem    quadratischen    Saal   von    25'  Höhe  und 

35'  Breite,  dessen  Deckenlicht  —  der  Saalbreite  einnimmt,  die  Boden- 

höhe  des  hellsten  Punktes  auf  8',  welche  Höhe  er  als  die  angenehmste 
fiir  den  Beschauer  ansieht.  Bei  10  m  Breite  und  den  angegebenen 
Verhältnissen  ergiebt  sich  aber  für  den  hellsten  Punkt  etwa  2,64  m, 
also  bei  35'  Breite  9,24'  Deckentiefe  oder  15,76'  Bodenhöhe,  also  fast 
das  Doppelte  des  von  Magnus  geschätzten  Wertes,  ja  es  wäre  sogar 
durch  unendliche  Verlängerung  des  Saales  und  des  Deckenlichtes  nicht 
möglich,  den  hellsten  Punkt  auf  die  von  Magnus  verlangte  Höhe  von 
8'  herunter  zu  bringen,  da  bei  den  obigen  Verhältnissen 

fli  =  2a,     3«  =  35' 
ist,  also  Gleichung  15):      ^      n  r^ 

d.h.  13,5'  Bodenhöhe  für  den  hellsten  Punkt  liefert. 

Bei  der  Konstruktion  der  Tafel  III  genügte  die  graphische  Be- 
stimmung der  zu  verschiedenen  Wertepaaren  /,  h  gehörigen  Werte  von 
z  nicht,  sondern  es  musste  die  Genauigkeit  durch  Rechnung  erhöbt 
werden.     Es  wurde  dabei  folgender  Weg  eingeschlagen.     Für 


h'-  h 
tga-     ,    , 

:           b'-h 

h       - 

h'+  h 

cos  «         sin  cc 

'        COS  er, 

Sin  cTi 

Von  K.  Mehmke.  57 

geht  Gleichung  14)   nacli  Multiplikation  mit  /  und  Trennung  der  po- 
sitiven und  negativen  Glieder  über  in 

17)    ^l^sin'atg^  +  sin^^j  cos-äj  =  ^iSin^aitgV'i+  sin*^cos*a. 

Die  Anwendung  der  Additionslogarithmen  führt  zur  Aufstellung 
der  vorbereitenden  Gleichungen: 

JA  ==  log^^+^logp*^+  21og8ina  +  logtg^  +  £21ogsin^i 

^      \  +^21ogcosai 

und 

^1=  log  ^^1  +  ^log  (f^+2  log  sin  «1  +  log  tg  ti  +  t^2log  sintl; 

< 

+  JE21ogcosa, 

sowie  der  Schlussgleichung: 

JB  +  EB^  +  21ogsin^i+  21ogcosai  +  £21ogsiny 
+  -B21ogco8a  =- 0. 

Die  graphisch,  mitunter  auch  nur  durch  Schätzung  gefundenen 
Näherungswerte  z  wurden  in  diese  Gleichungen  eingesetzt ,  worauf  sich 
durch  Anwendung  der  Methode  der  Proportionalteile  aus  der  Schluss- 
gleichung eine  Korrektion  von  log^  ergab.  Vom  Hersetzen  eines 
Zahlenbeispieles  glaube  ich  absehen  zu  dürfen. 


19) 


20) 


Zur  Berechnung  der  Senkungen  der  Knotenpunkte 

eines  Faohwerks. 

Von 

E.  Hammkk 

in  Stuttgart 


In  der  Abhandlung  „Berechnung  der  Durchbiegungen  und  der 
Nebenspannungen  der  Fach  werksträger"  (Zeitschrift  für  Bauwesen, 
herausgegeben  im  Preussischen  Ministerium  der  öffentlichen  Arbeiten, 
Jahrgang  4g,  1898,  Heft  I  bis  III,  S.lll  flg.)  macht  der  Verfasser, 
Baurat  A.  Francke,  von  folgendem  Verfahren  Gebrauch: 

Nach  Ermittelung  der  Hauptspannungen  S  der  einzelnen  Fach- 
werksglieder kann  man  die  Längenänderungen  der  Seiten  jedes  der 
Fachwerksdreiecke  einfach  berechnen.  Sind  a^h^c  die  Seitenlängen 
eines  spannungslosen  Dreiecks, 

«i  =»  a  +  ^a,    6i  =  ft  +  ^hy     c^-=  c  +  Je 

die  durch  die  Spannungen  Saj  St,  So  im  belasteten  Zustand  geänderten 
Seitenlängen,  so  ist,  wenn  F^^  Fb,  Fe  die  Querschnittszahlen  der  Stabe 
(i,  by  c  und  Eay  Et,  Fe  ihre  Elastizitätsmaße  sind: 

^  »Sa  .1  Sb  ^  ^e 

J(t  =■  -^ — r,  ?      Jh  =-  -^, — T.  }       Ac  == 


Fa    Ka  Fb    Eö  Fc'Ec 

Damit  kann  man  die  Winkeländerungen  des  Dreiecks  ((?,&,  c) 
infolge  der  Belastung  bestimmen,  und  aus  ihnen  lassen  sich  einfach 
die  Riehtungsänderungen  (Neigungsänderungen)  der  einzelnen  Gurtungs- 
glieder zusammensetzen,  womit  die  gesuchten  Einsenkungen  der 
Knotenpunkte  unmittelbar  bekannt  sind. 

Es  handelt  sieh  also  um  Berechnung  der  Winkeländerungen  eines 
Dreiecks  aus  gegebenen  kleinen  Veränderungen  zweier  Seiten.  Herr 
Francke  erhält  zur  Berechnung  dieser  Winkeländerungen  mit  den  Be- 
zeichnungen: 2n      a  +  h  +  r^ 

äs,  -    «4  -f  />,  +  c,  (siehe  oben\ 

J,  //,  C  dio  Winkel   dv»   ursprünglichen,    A^,  JS,,  Q  Winkel    in  dem 
voriinderton  DriMOok,  /♦'  Inhalt  tles  einen  oder  andern  Dreiecks, 


Von  E.  Hammer.  59 

a^A.-A,    ß^B,-B,    y^C^-C 

und  mit  Hilfe  der  Grössen 

^Ä  =  s{s  -  a)(Si  -  &j)(Si  -  cj  -  Si(Si  -  a^Xs  -  b)(s  -  c), 
Jb  =  s(s  —  b)(si  -  c^) (s,  -  a,)  -  5i(Sj  -  6i)(s  -  c) (s  -  a), 
Jc=  s(s  —  c)(5,  —  aj)(5,  -  6,)  -  s,(Si  -  0(s  -  a)(s  -  b) 

für  die  gesuchten  Winkeländerungen  die  Gleichungen: 

Tv  ^j         r,         dB  de 

F'bc       '^        i*  •  ca        '        F '  ab 

Diese  Berechnung  ist  aber  offenbar  nicht  bequem;  man  muss  die 
Zahler  der  Brüche  in  I),  die  als  Differenzen  grosser  Zahlen  entstehen, 
viel  zu  scharf,  mit  vielstelligen  Logarithmen  berechnen,  wenn  das  Re- 
sultat genügend  ausfallen  soll.  Man  hat  zur  Berechnung  von  Ja^  ^b, 
de  nicht  weniger  als  8  Logarithmen  scharf  (z.B.  6 — 7  stellig)  auf- 
zuschlagen und  dazu  sechs  Zahlen  schaif  aufzusuchen,  um  schliesslich 
aUenfalls  mit  dem  Rechenschieber  nach  I)  rechnen  zu  können.  Eine 
Ersparnis  an  Rechenarbeit  gegen  das  Verfahren,  das  Dreieck  (a,  by  c), 
und  sodann  das  Dreieck  (a,,  6^,  cj  mit  der  vorhin  angegebenen  Zahl 
von  Logarithmendezimalen  direkt  aufzulösen  (also  z.B.  A  und  Ä^ 
&ekt  auf  0",  5  zu  rechnen  und  daraus  a  ^  A^  —  A  z\x  bilden)  wird  gar 
nicht  mehr  erzielt.  Dazu  entbehrt  die  Rechnung  nach  I)  der  Probe, 
die  man  bei  der  eben  angegebenen  nächstliegenden  Rechnungsweise  in 
den  Winkelsummen  erhalt. 

Da  ich  der  Ansicht  bin,  dass  man  bei  ähnlichen  Dingen, 
d.  h.  überall  in  der  praktischen  Differentialrechnung,  sich  durch- 
aus des  Rechenschiebers  statt  der  yielziffrigen  Logarithmentafel 
bedienen  sollte,  wobei  nur  die  Formeln  entsprechend  herzurichten  sind, 
so  möchte  ich  mir  gestatten,  far  diese  Rechnung  folgende  Form  vor- 
zuschlagen. Differentiiert  man,  um  aus  Ja,  zJb,  Je  die  Veränderung 
dA  an  A  zu  berechnen,  die  Gleichung 

2bc  cos  A  =  b^+  c^—  a*, 

so  erhalt  man   leicht  für  a  (=  JA)  die  Gleichung  (ich   behalte  die 
Bezeichnungen  des  Herrn  Francke  bei): 

a  =  — r— =  (Ja  —  cos  CJb  —  cos  Bjc), 

die  sich  mit  c  =  — = — y-  und    .    p  .   ^,  ==  cotg  C  +  cotff  B  auf  die  viel 
einfachere  und  symmetrische  Form  bringen  lässt: 

(Ja       db\       ,     ,,    ,   /Ja       Jc\      i      Tj 
^__jcotgC'  +  (^  ___jcotgl/. 


60  Zur  nereclinung  der  Senkungen  der  Knotenpunkte  etc. 

Diese  Form  halte  ich  im  vorliegenden  Fall  für  die  heste*;  sie 
setzt  allerdings  Yoraus,  dass  die  Winkel  des  ursprünglichen  Dreiecks 
oder  hesser  gleich  ihre  cotg  ehenfalls  bekannt,  also  aus  a,byC  be- 
rechnet oder  sonstwie  ermittelt  seien.  Da  es  auf  grosse  Genauigkeit 
in  diesen  cotg  der  Dreieckswinkel  nicht  ankommt,  so  kann  man  sie 
sich,  wenn  sie  im  Fall  des  Fachwerks  nicht  a  priori  bekannt  sind 
(45®,  90®,  60®)  mittelbar  dadurch  bestimmen,  dass  man  in  der  Zeichnung 
die  Hohen  der  Dreiecke  zieht,  an  der  Rechenschieber -Maßstabkante  die 
Höhen  und  Seitenabschnitte  abliest,  um  mit  dem  Rechenschieber  die 
cotg -Brüche  sofort  bilden  zu  können. 

Die  Formelgruppe,  die  ich  an  Stelle  yon  I.  vorschlagen  möchte, 
ist  also  (die  gesuchten  Winkelveränderungeu  a,  /3,  y  wie  oben  in  Halb- 
messerteilen): 

_-     Jc0tg7.  +  (^-    --yJcotgA 

Die  Gleichungen  H)  verifizieren  sich  damit  sehr  einfach,  dass 

«  +  /j  -f  y  =-  0 

sein  muss,  was  der  Anblick  bestätigt,  da  in  den  sechs  Ausdrücken, 
die  rechts  auftreten,  nur  drei  verschiedene  Werte  je  mit  entgegen- 
gesetzten Zeichen  vorhanden  sind,  und  dass  bei  ähnlicher  Veränder- 
ung des  Dreiecks,  also  Gleichheit  und  Gleichzeichigkeit  der  Verhältnisse 

— ,  ---,  — ,  die  Werte  von  a,  /3,  y  verschwinden  müssen,  was  eben- 

falls  der  Anblick  von  H)  bestätigt. 

Man  hat  zur  Anwendung  der  Gleichimgen  H)  nur  die  drei  Verhältnis- 
zahlen   -9,9         mit  dem  Rechenschieber  in  Dezimalbruchform  zu 
a       h       c 

verwandeln,  die  Diflferenz  je  zweier  zu  bilden,  diese  wieder  mit  Hilfe 
des  Schiebers  mit  der  cotg  des  nicht  gleich  benannten  Winkels  zu 
multiplizieren  und  je  zwei  dieser  Produkte  (mit  dem  richtigen  Vor- 
zeichen) zu  addieren  (wobei  man  sich,  um  des  Vorzeichens  sicher  zu 
sein,  nur  zu  merken  braucht,  dass  in  den  Klammem  in  II.  die  dem 
Winkel  gleich  benannte  Seite  voransteht),  um  sofort  die  Winkeländerungen 
in  Halbmesserteilen  zu  haben.  Man  wird  kaum  eine  bequemere  Rech- 
nung dafür  finden  können;  ein  bestimmtes  Dreieck  lässt  sich  ganz  gut 
in  einer  Minute  so  durchrechnen. 

Nehmen  wir  als  Zahlenbeispiel  das  folgende  (absichtlich  eines, 
bei  dem  die  Beziehungen  so  einfach  sind,  dass  selbst  die  IL  entbehrlich 

*  Vor^l.  oiuen  AutHat/.  dos  Verfassers  in  Zeitschr.  für  Vermess.  1895,  S.  165; 
foruer  Lehrbuch  dor  Trijf onometric ,  2.  Aufl.  18U7,  S.  405, 


Von  E.  Hammek.  61 

wären):  Die  Katheten  eines  gleichschenklig  rechtwinkligen  Dreiecks  seien 
4000,0  und  4000,0  mm  lang,  die  Hypotenuse  also  4000 1/2  «  5656,86  mm. 

Die  Katheten   werden   um  je  4^0  mm  verlängert  [die  Maße  sind  ganz 

willkürhch  angenommen,  eine  Streckung  um  j^  kommt  bei  Fachwerken 

aus  Eisen  ja  nicht  in  Betracht,  nur  etwa  ööqä);  ^^^  Hypotenuse  um  3,0  mm 

verlängert.  Welche  Winkel  erhält  das  Dreieck  statt  der  ursprünglich 
vorhandenen  45^  45®  und  90®? 

Es   ist    hier  cotg-B  =  cotg  C  =  1 ,     cotg^  =  0;  also  aus  H)   mit 

6  =  c  =  4000,  Jh  =  Jc  =  +  4,0;  a  =  5657,  /1a  =  +  3,0: 

\  5657        4000/ ' 

(»der  nach  Ablesung  des  ersten  Bruchs  am  Rechenschieber  (ich  habe 
hier  den  50  cm -Schieber  benutzt,  obwohl  für  die  Praxis  der  25  cm- 
^chieber  auch  hier  ausreicht): 

m  Winkelmaß: 

a"  =  -  0,000939^.    206265"  =  -  193;'  =  -  3'  14". 

Die  Änderungen  der  Winkel  B  und  C  sind  hier  selbstverständlich 

/j  =  y=_i„  =  +  l'  37"; 
nach  Anblick  von  II)  wird  in  der  That: 

^  =  J' =  4^  -  öÄt  =  + 0,000469, 

Rechnet  man  direkt  mit  Logarithmen,  so  findet  man  mit 
"  =  5,656854,  6  =  c  =  4,000000,  also  a,  -  5,659854,  b,  --  t\  -  4,004000 : 

.     A,         5,659854       ,  , 
""^2=8,008000'    *•''• 

A^  =  44^58'  22", ,     oder     a  =  -  3'  14" 
^ie  oben,  u.  s.  w. 

Ist  das  Dreieck  ursprimglich  rechtwinklig 

(cotg^  =  0,    cotg^  =  ^) 

oder  ursprünglich  gleichschenklig  (z.  B.  cotg-B  =  cotgC),  so  ver- 
ein&cht  sich  natürlich  die  Anwendung  von  U)  noch  sehr. 

Selbstyerstandlich  berührt  alF  das  Vorstehende  die  von  Herrn 
Irancke  a.a.O.  aufgestellten  Gleichungen  zur  Ausrechnung  der  linearen 
Durchbieguügen  mit  Hilfe  der  a  (s.z.B.  Sp.  114  und  115)  in  keiner  Weise; 
man  sollte  sich  nur  zur  Rechnung  dieser  y  wieder  unbedingt  des 
Rechenschiebers  bedienen,  der  für  solche  Dinge  viel  Zeit  und  Mühe 
pJ^part. 


62  Kleinere  Mitteilungen. 

Zur  ^aphischen  Behandlung  der  Kr&fte  im  Raome. 

Von  W.  Btäokel  in  Charlottenburg. 

A.  Die  Zusammensetzung  der  Kräfte  im  Baume  lässt  sich  be- 
kanntlich in  der  Weise  durchführen ,  dass  man  jede  Kraft  in  zwei  Komponenten 
zerlegt,  von  denen  die  erste  in  einer  Ebene  E  liegt,  während  die  andere  ent- 
weder senkrecht  zu  E  oder  parallel  zu  einer  Geraden  G  oder  durch  einen 
fixierten  Punkt  0  läuft.  Der  Kürze  wegen  seien  diese  Methoden  hier  mit  Ortho- 
gonal-, Parallel-  resp.  Centralreduktion  (J?,  G  resp.  0)  bezeichnet. 

Zur  Konstruktion  der  Central axe  empfiehlt  sich  die  Orthogonal- 
reduktion. Man  setze  die  vorliegenden  Kräfte  zunächst  vermittelst  fi[rifte- 
polygons  so  zusammen,  als  ob  sie  alle  in  demselben  Punkte  angriffen.  Die 
hierbei  resultierende  Kraft  sei  im  folgenden  kurzweg  die  Wertresultante  (Bg) 
genannt.  Wählt  man  jetzt  E_LB„^  so  liefert  die  Orthogonalreduktion  (£,  B^) 
eine  Kraft  gleich  und  parallel  Btp  und  ein  Moment  in  der  Ebene  E,  Die 
gewonnene  Wirkungslinie  von  B^  ist  dann  nach  der  Definition  der  Central- 
axe  mit  derselben  identisch.  —  Zur  zeichnerischen  Ausführung  ist  diese  Methode 
nicht  geeignet,  da  die  Kräfte  meist  schon  in  einem  bestimmten  orthogonalen 
Projektionssystem  dargestellt  vorliegen  werden.  Man  führe  daher  zunächst  in 
dem  gegebenen  System  die  Orthogonalreduktion  aus,  wodurch  man  zwei  sich 
senkrecht  kreuzende  Kräfte  K^  und  K^  erhält.  Wendet  man  jetzt  erst  auf 
K^  und  K^  die  oben  beschriebene  Centralaxenkonstruktion  an,  so  ergiebt  sich 
eine  sehr  einfache  Ausführung.  Nach  einem  Satz  von  Möbius*  schneidet  die 
Centralaxe  die  kürzeste  Entfernung  der  Aktionslinien  von  K^  und  TT«.  Ist 
hier  i>  der  Durchstosspunkt  von  K^  durch  die  Projektionsebene,  so  stellt 
das  Lot  DJ  von  I>  auf  K^  die  kürzeste  Entfernung  von  K^  und  S^  dar.  Die 
Richtung  der  Centralaxe  ist  bekannt,  sie  ist  der  Wertresultante  Jß«  parallel. 
Es  handelt  sich  also  nur  noch  um  die  Lage  von  C  {CD :  C J).  Denkt  man 
sich  jetzt  die  Orthogonalreduktion  (l^'XÜ»,  Bj)  ausgeführt,  so  erkennt 
man,  dass  CDiDJ ^  Ki^iK^^  ist,  wobei  ÜTi^und  Kf^  die  Komponenten 
von  K^  und  A'^  parallel  B^  sind.  üTi«:  A"s«  erhält  man  aber  leicht,  wenn 
man  im  Kräftedreieck  (A'^,  IT«,  Bj)  von  der  Ecke  (A"^,  S^)  auf  2?«  ein  Lot 
föUt,  in  dem  Verhältnis  der  auf  B^  gebildeten  Hühenabschnitte.  Ist  der 
Punkt  C  festgelegt,  so  ist  die  Centralaxe  nach  Lage  und  Richtung  bestinuni 

B.  Die  Zerlegung  der  Kräfte  im  Räume.  Allgemeines  Prinzip: 
Handelt  es  sich  um  irgend  eine  Zerlegung  einer  Kraft  in  Komponenten,  die 
in  vorgeschriebenen  Geraden  liegen,  so  denke  man  sich  die  Kraft  zunächst 
in  beliebige  leicht  bestimmbare  Hüfskomponenten  zerlegt.  Jede  der  gesuchten 
Komponenten  kann  man  jetit  als  algebraische  Summe  der  durch  den  Ein- 
fiuss  der  einzelnen  Hilfskomponenten  in  den  gegebenen  Qeraden  hervor- 
gerufenen Kräfte  darstellen.  Die  gewünschte  Zerlegung  ist  also  durchführbar, 
wenn  sich  Hilf^omponenten  finden  lassen,  durch  die  sich  einerseits  die 
gegebene  Kraft  leicht  ersetten  lässt,  und  von  denen  anderseits  die  Zer- 
legungsverhältnisse (^auf  die  absoluten  Grüssen  kommt  es  hierbei  nicht  an) 
nach  den   gegebenen   Geraden   bekannt  sind.     Derartige  Hüfskomponenteo 

•  Siehe  hierüWr  K.  Th  Vuhle«,  die^e  Zeitschrift  Bd  45 »  S.  160,  1897. 


Kleinere  Mitteilungen.  63 

• 

ktnn  man  sich  verschaffen  als  Resultanten  von  Kräftezusammensetzungen, 
indem  man  in  den  vorgeschriehenen  Geraden  Kräfte  zweckentsprechend  an- 
limmt  und  reduziert.     Anwendungen  des  Prinzips: 

1.  Zerlegung  einer  Kraft  A"  nach  6  beliebigen  gegen  einander 
rindschiefen  Geraden. 

Liegt  eine  bestinunte  Projektionsebene  E  bereits  vor,  so  wende  man 
lie  Parallehreduktion  (E,  iC)  an.  Man  wähle  in  E  zwei  gleiche  und  ent- 
gegengesetzt gerichtete  Kräfte  B^  und  B^  in  derselben  Wirkungslinie  und 
leriege  IS^  nach  den  drei  ersten  der  in  E  liegenden  vorgeschriebenen 
^irkongslinien,  B^  nach  den  drei  anderen.  Jeder  der  so  in  E  entstandenen 
Kräfte  entspricht  eine  Kraft  in  dem  Parallelsystem,  da  die  Resultante 
kider  in  eine  bestimmte  Raumrichtung  fallen  muss.  Als  Gesamtresultante 
ergiebt  sich  eine  Kraft  S^K.  Wiederholt  man  das  Verfahren  dreimal  unter 
immer  verschiedener  Wahl  von  B^  und  B^ ,  so  erhält  man  drei  zu  K  parallele 
Hilfskomponenten  mit  den  oben  verlangten  Eigenschaften. 

2.  Konstraktion  der  Ebene,  in  der  eine  Kraft  if  liegen  muss, 
wenn  sie  nach  fünf  gegebenen  Geraden  zerlegbar  sein  und  durch 
einen  festen  Punkt  0  gehen  soll. 

Diese  Konstruktion  gestaltet  sich  zu  einer  Spezialisierung  der  vorigen, 
nur  wird  statt  der  Parallelreduktion  die  Centralreduktion  (A',  0)  angewendet. 
Die  Spezialisierung  besteht  darin,  dass  die  eine  der  in  E  liegenden  Kraft- 
gnippen  jetzt  nur  noch  aus  zwei  Kräften  besteht,  weshalb  B^  durch  den 
^hnittpunkt  derselben  laufen  muss.  Durch  zweimalige  Anwendung  der 
beschriebenen  Zusammensetzung  erzielt  man  hier  zwei  durch  0  laufende 
nach  den  fünf  Richtungen  zerlegbare  Kräfte  S^  und  6'",  welche  die  gesuchte 
Ebene  bestimmen. 

Spezialfall:  Soll  K  eine  gegebene  Richtung  haben,  so  liegt  0  im  ün- 
eodlichen,  und  es  wird  die  Parallelreduktion  angewendet. 

Um  zu  begrOnden,  dass  der  Ort  der  Kraft  K  im  vorliegenden  Falle 
^iüe  Ebene  ist,  braucht  man  nur  zu  beweisen,  dass  man  durch  eine  dritte 
^ezasammensetzung  eine  Kraft  erhält,  die  in  der  durch  5'  und  S^^  be- 
stimmten Ebene  liegt. 

Man  denke  sich  zu  diesem  Zweck  S^  und  S^^  zu  einer  Resultante  ^S^  ver- 
^gt.  Dieselbe  Kraft  S  würde  man  auch  erhalten,  wenn  man  zuerst  die  an- 
gcQonmienen  Kräfte  E/—  B^  und  i2/'=  B^^  zu  l^^  =  jRj  zusanmiensetzte  und 
öurch  Zerlegung  von  jB^  und  JRg  in  der  bisher  immer  verfolgten  Art  die  Bildung 
^onS  bewirkte.  Es  folgt  dies  aus  dem  eingangs  aufgestellten  allgemeinen  Zer- 
^^P&gsprinzips.  Da  nun  die  Kraft  S  aus  S^  und  /S"  resultiert,  muss  sie  in  der 
^nrch  5'  und  6'"  bestimmten  Ebene  liegen.  Es  haben  also,  wie  verlangt  war, 
^^\  Bedaktionen  drei  in  einer  Ebene  liegende  Kräfte  ergeben. 

3.  Die  Zerlegung  einer  Kraft  nach  vier  vorgeschriebenen  Ge- 
^^den.  Hier  muss  die  Wirkungslinie  der  anzunehmenden  Kräfte  i2^  ==»  72^ ,  da- 
^"^  in  der  Ebene  E  Gleichgewicht  herbeigeführt  werden  kann,  durch  die 
^^ttpnnkte  je  zweier  in  E  gelegener  Wirkungslinien  laufen.  Soll  also  die 
^niftüTeine  bestimmte  Richtung  haben,  oder  durch  einen  bestimmten  Punkt 
li^lien,  so  ist  ihre  Lage  durch  Anwendung  des  unter  1.  angegebenen  Verfahrens 


(J4  Kleinere  Mitteilungen. 

eindeutig  bestimmt,  da  nur   zwei  Annahmen  von  R^^^B^  möglich  sind,  die 
beide,  wie  leicht  ersichtlich,  dasselbe  Resultat  liefern. 

4.  Die  Zerlegung  einer  Kraft  JT nach  drei  vorgeschriebenen  Ge 
raden.  £8  sei  hier  nur  der  für  die  Theorie  des  räumlichen  Fachwerks  wichtige 
Kall  behandelt,  dass  sich  die  vierWirkungslinien  in  einem  Punkte  schneidet) 
und  für  den  allgemeineren  Fall  auf  „Henneberg,  Statik  der  starren  Systeme 
verwiesen.  Eine  Spezialisierung  des  bisherigen  Konstruktionsvorganges  empfieUt 
sich  bei  der  vorliegenden  Aufgabe  nicht,  sondern  die  Kraft  if  und  die  Gerader 
(rp  (r^  und  (f  3  werden  jetzt  durch  Horizontal-  und  Vertikalprojektion  dargestellt 
\^K\  K*\  (rj'j  {r/'  etc.)  —  Statt  der  räumlichen  werden  nun  zwei  ebene  Zer 
leguQgen  nacheinander  ausgeführt,  derart,  dass  man  z.  B.  die  Schnittlinie  i\ 
der  Ebenen  {KGi  und (ChG^)  konstruiert  und  K  zuerst  nach  G und  &j,  daraui 
die  in  (?  entstandene  Hilfskraft  H  nach  <K  und  G^  zerlegt.  Zur  AuffinduB^ 
der  Projektionen  von  G  bringe  man  eine  zur  Horizontalebene  vertikale  Hil£s 
ebene  mit  sämtlichen  Kraftrichtungen  zum  Schnitt  (Schnittpunkte  1,  2,  3, 4) 
Die  Projektionen  von  1,  2,  3^  4  sind  leicht  konstruierbar.  Zieht  man  dani{ 
l**l**uud  2"3^  so  ist  der  Schnittpunkt  ^""  ein  Punkt  der  VertikalprojektioJ 
der  g^ttchteu  i«eraden  (?.  Denkt  man  sich  das  Kräfteviereck  z.  B.in  der  Hori 
£v>atiilprojektion  koustnüert,  .<o  erkennt  man,  dass  die  entsprechende  Diaga 
uale  desselben  der  Geraden  (r*  parallel  sein  muss.  Die  ohnehin  schon  meisi 
w^ni^  übersichtlichen  KrcSftepläne  werden  bei  dieser  Konstruktion  von  Hilfs 
ti^in^a  frei  gehalten. 

y  Die  Zerlegung  eines  Kräftesvstems,  das  aus  zwei  gegen; 
eiu  ander  windschief  liei^eudeu  Kräften  feiner  sogenannten  Dvade 
besteht»  nach  sechs  vorjreschriebenen  Geraden. 

*"*■   Dtttvh  «weiiuali^  AuwenduuiT  voa  1^. 

b^  IMu  etx\5ns  kürieres  Verfahreu  sei  hier  nur  angedeutet:  Man  weni 
iuuik'h^t  auf  vUc  ^e^ebene  Dvavle  viie  Orthoi^^CLalreduktion  (£",  G)  an,  die  einj 
Äeue  l\>i*vle  ^Ar,s  K.-^  erv:iebt  Dauu  ttihre  man  viermal  ein«  Zusammensetzung 
aii^öLOiwmxciier  KritV  aus*  vi;e  Je  eiue  Knitt  parallel  K^  tmd  «ine  zweite  in  de| 
NV  ickuit^^iuie  \v*w  IC^'  er^iebr.  Durch  die  so  entstandenexL  vier  Dvmden  kann  mai 
^'^^  ^e^ebeue  Pvavlc  ersetieu*  w\fi»a  tu^a  a^x'hmal^  das  ailg^meiiie  Zerlegongs 

r.^  .»6v'«  cdSü^^tv  V^s  5UÄ  K^ai^  *:<frdi<r  Wass«rt«häit«r  von  dei 
b\n?«  4i.tv»«j^  Kv^c;ix:oö;jkotv^t^  ^-jim  \^tii^^»ic  Am*  ^wfbi»em  Vohimea  uni 
^^^iy^urft  yfihnyn  k^^vj^^  s^-^L  sc  k\.*ü<ru.vns  w>*cd>fn,.  oass  aassdiiiesslicl 
•i»^^  iu/va  A.^^»tKn  t^i»>^»fw'av'u>jt  ia  \r*tv.ärv,'a*k*tt  V^njÜÄue  Zog^annungei 
A>et  injiit^  t^vxu:t^Njw^Ma«u'i^vti  A^L  •K-.>x«,'a^  ^-ijr^a*!  aII«  Spaawnngen  h 
hii  vUtft»»slKu.<^  ',\  'j^sv^t  * '» -^t  \kV«*  ^vfs<I)^vivi<*tt.  IVawitTsprecliend  sol 
i^vö  ivr  o>ci^  Ix'siiJt  N^Nit  ijLt.^NlcB<  jkiXit.  D*ir  Beoiilrer  wird  an  einei 
K,-.  w  >vi'  i-i-ci  \^;.vu.  i^','  ^cii  iv»t  ,*^>vr-«  F:i»i^^n  iir  Rx|^p«s  ausgehen 
aa.'^%»»Vi:ij^*  ^>i  .>!»  »k-  V>^t<tt  u  t;<$.  he  \n*A^JL'i  ä-*  ^ocaCÄni«fa5rp«s  besitzen  1 
Vi»  S^iCvu^;»  ^'»  »K    i<  <   V^iti^  •uV  vii    '«v.s'   ^v'fn»io»i.':«?$iij:r   im»£   a«r  jenes  det 


Über  die  automorphe  Transformation  einer  Summe 
von    Quadraten    mit    Hilfe    infinitesimaler    Trans- 
formationen und  höherer  komplexer  Zahlen. 

Von 

Professor  Beez 

in  Plauen  i.V. 


Einleitnng. 

In  meiner  Abhandlung  „Zur  Theorie  der  Vektoren  und  Qua- 
ternionen"*  habe  ich  versucht,  eine  Lücke  in  der  wissenschaftlichen 
ßegrQudung  des  Quatemionenkalküls  auszufällen  und  ihn  zugleich 
von  einer  Voraussetzung  zu  befreien,  welche  seiner  Ausdehnung  auf  mehr 
als  vier  Einheiten  entgegensteht.  Sodann  habe  ich  die  Multiplikations- 
tafeln der  reinen  Quaternionensysteme  von  8,  16  und  32  Einheiten  in 
eiWnso  aufgestellt  und  die  Bedingungen  erörtert,  die  erfüllt  sein 
üiilssen,  damit  das  Produkt  zweier  konjugierter  Quaternionen  gleich 
Jt  Norm  des  Quaternions  werde.  Zum  Schluss  bin  ich  des  näheren 
äaf  den  engen  Zusammenhang  eingegangen,  welcher  zwischen  der 
Xorin  eines  Quaternions  von  2""~^  Einheiten  und  den  schiefen  Deter- 
minanten Cayleys  von  ^f ~     +1   unabhängigen  Elementen  besteht. 

Diese  Determinanten  spielen  bekanntlicb  bei  der  Lösung  des  Problems 
der  linearen  orthogonalen  Substitution  oder  der  automorphen  Trans- 
formation einer  Summe  von  Quadraten  eine  hervorragende  Rolle.  In 
der  vorliegenden  Arbeit  soll  das  gleiche  Problem  mit  Hilfe  von  Vek- 
toren und  Quaternionen  gelöst  und,  soweit  es  angeht,  noch  eine  dritte 
Methode  benutzt  werden,  welche  theoretisch  auf  eine  beliebige  Zahl 
Ton  Veränderlichen  angewendet  werden  kann,  praktisch  aber  in  der 
Hauptsache  schon  bei  n » 4  versagt,  nämlich  die  Methode  der  in- 
finitesimalen Transformationen  von  Sophus  Lie. 

*  Siehe  diese  Zeitschrift  41.  Jahrgang. 

Zeiteehriftf.  Mathematik  a.  Physik.  48.  Jahrg.  1898.  2.  Heft.  5 


werde,  dann  ist:  ,,  .      ,,  ,.      , 


66       Über  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

§1. 

Die  Transformation  Bweier  Quadrate  in  sich  selbst. 

Um  die  Summe  zweier  Quadrate  Xq^+  x^^  in  die  Summe  Xq^+  x/* 
zu  transformieren,  hat  man  statt  Xq  und  x^  bezüglich  zu  setzen: 

l  a?j  =  (IiqXq-j-  c^iiXi 
und  die  Koeffizienten  a  so  zu  bestimmen,  dass 

2)  {       V+V    =1, 

Xq      -T  Xi      ""^  ^Jq      '     *^L 

und  der  Punkt  Xq,  x^  des  Kreises  Xq^+  x^^  =  c  in  einen  anderen  Punkt 
desselben  Kreises  xj,  x^  übergeführt  oder  transformiert.  Es  entspricht 
also  diese  Transformation  der  Drehung  einer  Ebene  um  einen  festen 
Punkt  in  derselben,  bei  welcher  jeder  Punkt  der  Ebene  einen  Kreis 
um  den  festen  Punkt  beschreibt.  Die  Gleichungen  1)  an  und  für  sich, 
d.  h.  ohne  Rücksicht  auf  die  Gleichungen  2)  stellen  die  sogenannte  all- 
gemeine lineare  homogene  kontinuierliche  Transformationsgruppe  in 
zwei  Veränderlichen  dar.*  Sie  ist  viergliedrig,  d.h.  sie  enthält  vier 
von  einander  unabhängige  oder  wesentliche  Parameter  üqq,  a^^^  a^j^,  a^y 
wenn  keine  Bedingungsgleichung  zwischen  denselben  stattfindet,  drei- 
gliedrig, wenn  eine  Bedingungsgleichung  gegeben  ist,  z.B.: 

In  unserem  Falle,  sobald  also  neben  den  Gleichungen  1)  auch  die 
Gleichungen  2)  Bestand  haben,  ist  die  Gruppe  eingliedrig.  Die  Koefli 
zienten  a,k  lassen  sich  dann  sämtlich  als  Punktionen  eines  einzigeu 
Parameters  darstellen.  Die  Gruppeneigenschaft  der  Transformation  1) 
ohne  Berücksichtigung  der  Bedingungen  2)  ergiebt  sich  daraus,  dass 
zwei  aufeinander  folgende  Transformationen  wiederum  eine  Trans- 
formation derselben  BeschaflFenheit  geben.  Wendet  man  auf  die  Traus 
formation  1)  eine  neue  Transformation  derselben  Art: 

Xq      =    Oqq  Xq     +    Oq^  X^  , 


1*) 

an,  so  ergiebt  sich,  wenn 


3) 


gesetzt  wird: 


«Ol  ^0  +  «11  ^1  "=  ^u 


•  Siehe  S.  Lie,  Theorie  der  TransformatioDsgruppen  I,  678. 


Von  Prof.  Bek«. 


67 


i) 


^0    ■■  CqqXq-T  CqiXij 
^1    **  ^0  ^0  "r  ^1  »^1 » 

also  eine  Transformation^  die  von  derselben  BeschaiBTenheit  ist  wie  1). 
Damach  bilden  die  Transformationen  1)  eine  Gruppe.  Die  identische 
Transformation 


Xq     Xq^ 


Xi  =  Xi 

tritt  ein,  wenn  «oo'^'öu^'l,  «lo'^^oi^^O  ^^^*  ^^^  inverse  Trans- 
formation oder  diejenige  Transformation,  welche  den  Punkt  Xq,  x^  in 
den  Punkt  x^y  x^  zurückführt,  lautet: 


•*'0 


A- 


a, 


Ol 


«10    ^f,     _^ 


^^i' 


''  X  ' 


»00^1-%  «10 


1  i 


Denn  setzt  man  für  x^y  x^  ihre  Werte  aus  1),  so  kommt: 


^0       ^o; 


Zwei  Transformationen  der  Gruppe  1)  sind  im  allgemeinen  nicht 
mit  einander  vertauschbar.  Lässt  man  auf  die  Transformation  1)  mit 
den  Parametern  a  die  Transformation  1*)  die  mit  den  Parametern  h 
folgen,  so  kommt  die  Transformation  4),  deren  Koeffizienten  Ca  durch 
die  Gleichungen  3)  bestimmt  werden.  Lässt  man  dagegen  auf  die 
i' Transformation  1*)  die  a- Transformation  1)  folgen,  so  ergiebt  sich, 


wenn: 


5) 


^00 


"Ol 


«00^00+  «Ol  ^10? 

«00*^01+ «Ol  ^n 


^0  —  «10*^00+  «11^10» 
^ll'=  «10*01+  «11^1 

gesetzt  wird:  f  ir  "-  r  'r  -k  c   rr 

I    •*'0   ~~  ^00  '*'0  ^  ^01  '^X  } 
\    X^    =  C^f^  Xq  -\-  C^^Xy 

Die  Transformation  4^^)  ist  der  Transformation  4)  nur  dann  gleich, 


wenn 


^00  ^001 


'Ol 


'Ol» 


^10  ■"  ^07       ^11   ~"  ^1' 


Diese  Bedingungen  sind  erfüllt,  sobald 

_     &.0 


6) 


«Ol 

«00  -«11 


«^01 
^00-^1 


«00  '^oo 


ist.  Nun  ergeben  sich  aus  2)  zwei  yerschiedene  Wertsysteme  der 
Koeffizienten  a,'k  -  Denn  da  das  Quadrat  der  Determinante  der  Koeffi- 
zienten: 


68       über  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

A^«(aooön-aoi»io)*=l 
ist,  so  hat  man  die  beiden  Fälle  zu  unterscheiden: 

»oo»ii-«oi»io  =  -1- 
Hieraus  in  Verbindung  mit  2)  ergiebt  sich,  dass  man  entweder 


7) 
oder 

»11      »007      »Ol           »10           V^      »ooS 

7*) 

»11            »oo;           »01  ==»10       >^1      »00* 

zu  setzen  hat.     Schreibt  man   cos  t  f{ir  üqq,   so  erhält  man  die  beiden 
eingliedrigen  Gruppen: 

{xJ  =  x^t  cos  t  —  X.  sin  t, 
^1      aj^sm^  +  x^cost 
und 

i^n'  =  ^n  COS  t  +  X.  sin  t, 
f      •  /         / 
'X{=.XQsmt  —  it^cos^. 


Die  Transformationen  der  Gruppe  8)  sind  mit  einander  vertausch- 
bar, denn  für  eine  6 -Transformation  ist: 


9)  ^1  -  K,       *01  =  -  ^10  =  -  Vi  -  ^00^ 

also:  I 

=  —  1  =  -, — ; 

«Ol  ^01 

^foo  "~~«11    __   Q   __    ^0  ~^11 
«Ol  ^01 

entsprechend  den  Gleichungen  6).  Die  Transformationen  der  Gruppe  8*) 
dagegen  sind  nicht  mit  einander  vertauschbar,  denn  in  diesem  Falle  ist 
zwar:  ^ 

«Ol  ^i  ' 

aber  nicht:  ,        , 

«00 -«11  ^  Oqo  — Pii 

«Ol  ^1 

wenn  nicht  »oo'^^oo;  »oi  ==  ^oi  oder  die  6 -Transformation  identisch  ist 
mit  der  «-Transformation.  Man  kann  dies  leicht  an  den  Gleichungen  8) 
und  8*)  selbst  verifizieren.  Wenn  man  auf  die  Transformation  8)  mit 
dem  Parameter  t  eine  zweite  ebensolche  Transformation  mit  dem 
Parameter  t'  folgen  lässt,  also: 

Xq"=  Xq  cost^—  x^'smt\ 

a;/'=  irQ'8in^'+  x^'cost^ 

annimmt,  so  kommt  nach  Einführung  der  Werte  Xq  und  a?/  aus  8): 

I  j:"o"=  ^0  cos (^  +  ^')  -  i^i  sin  {t  +  t') 
^  \  xj^^  Xq  sin  (t  +  t')  +  x^  cos(t  +  V). 


12) 


Von  Prof.  Beez.  69 

Setzt  man  also  4  _\  *'      /'' 

11)  t  +  t=^t , 

so  wird:  ^0"^  ^0  ^^^  ^"~  ^1  ^^°  ^ "> 

0:/'=  ^Fq  sin  <"+  ^1  cos  ^''. 

Der  neue  Parameter  <''  "ändert  sich  nicht,  wenn  man  t  mit  ^'  ver- 
tauscht. Die  Gleichung  10),  welche  den  Parameter  ^"  aus  den  Para- 
metern t  und  t'  finden  lehrt,  stellt  ebenfalls  eine  Gruppe  dar,  die  so- 
genannte Parametergruppe.  Beiläufig  erwähnt  gilt  der  Satz  yon  der 
Vertauschbarkeit  der  Transformationen  der  Gruppe  der  Rotationen  in 
der  Ebene  überhaupt  für  alle  eingliedrigen  kontinuierlichen  Gruppen, 
so  z.B.  auch  für  die  Rotationen  des  Raumes  um  eine  feste  Axe. 
Zwei  Transformationen  der  Gruppe  8*)  dagegen  sind  nicht  miteinander 
Tertauschbar.  Denn  lässt  man  auf  die  Transformation  8*)  eine  zweite 
mit  dem  Parameter  t'  folgen,  nämlich: 

Xq^-^  iCo'cosf'-f  a?/sinf', 

Xi"=  Xo'sin  ^'—  a:/co8^', 
so  findet  man: 

Xq'=  a?ocos  (t  —  V)  +  x^  sin(^  —  V) 

a:/'«=  —  x^smit  —  t^)  +  x^  co8(^  —  ^') 

Da  das  Vorzeichen  von  sin(^  — ^')  sich  ändert,  wenn  man  t  mit 
r  vertauscht,  oder  die  Reihenfolge  der  beiden  Transformationen  um- 
kehrt, so  ist  ersichtlich,  dass  zwei  Transformationen  der  Gruppe  8*) 
nicht  mit  einander  vertauscht  werden  können.  Auch  bemerkt  man 
sofort,  dass  die  Gruppe  8*)  die  identische  Transformation  nicht  be- 
sitzt und  jed6  Transformation  zugleich  ihre  eigene  inverse  ist.  Setzt 
man  nämlich  ^'=  ^,  so  kommt  x^=  x^^,  x^  =  —  x^.  Eine  zwei- 
malige Anwendung  der  Transformation  8*)  mit  demselben  Parameter 
fährt  also  den  Punkt  x  in  sich  selbst  zurück.  Die  Gruppe  8*)  ent- 
hält mithin  diskontinuierliche  Untergruppen  von  der  Periode  2.  Be- 
zeichnet man   eine  bestimmte   Transformation  der  Gruppe  8*   mit   T, 

so  ist  TT T^ 1 

folgUch  auch  j^ 

y  =  2^' 

also  die  Transformation  zugleich  ihre  eigene  inverse. 

Die  geometrische  Bedeutung  der  Formeln  8)  und  8*)  ist  unschwer 
zu  erkennen.  Man  beziehe  den  Punkt  M  einer  Ebene  auf  zwei  recht- 
winklige Koordinatensysteme  x^Ox^  und  x^Ox^  (siehe  Fig.  1),  welche 
denselben  Koordinatenanfang  0  besitzen.  Das  erste  sei  um  den  Ko- 
ordinatenanfang drehbar,  das  zweite  dagegen  fest.  Die  Koordinaten 
des  Punktes  M  mögen  in  dem  ersten  System  mit  x^  und  x^,  im 
zweiten  mit  x^  und  x^  bezeichnet  werden.  Im  Augenblick  des  Zu- 
sammenfallens  beider  Systeme  —  in  der  Anfangslage  —  ist  x^  ===  x^^ 
Jf/^Xj  oder  es   findet  die  „identische  Transformation"  statt.     Dreht 


70       (  bcr  (He  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

man  aber  das  erste  System  durch  den  Winkel  t  in  der  der  Bewegung 
des  Uhrzeigers  entgegengesetzten  Richtung^  so  ist  im  Falle  8)  (siehe 

Fig.  1):  ^j^  0P'=  OQ-PR  =  Xocost-  x^sint, 

x^^MF'^  FQ  +  MB  -  Xosin^  +  ar^cos^. 
Für  t  -=^0  erhält  man  die  identische  Transformation  : 

Xq  =  Xqj      X^  ==  fl/j. 

Setzt  man  —  t  für  t,  so  erhält  man  die  inverse  Transformation: 

Xq  =  Xq  cos  t  +  Xi  sin  t, 

x/=  —  Xq sin  t  +  Xi  cos  t. 
Im  zweiten  Falle  (siehe  Fig.  1)  ist: 

ro'=  OP'^  0Q  +  PR^x^eost  +  x^sint, 

r/«  MP'=  PQ-  MR  -  Xosin^  -  x^cos^. 
Für  t  «=  0  kommt  ^  it_  ^ 

x^  =      x^. 

Die  Gruppe  8*)  besitzt  also  nicht  die  identische  Transformation, 
sondern  die  symmetrische.    Setzt  man  jetzt  —  ^  für  ^^  so  erhält  man 

iij"=  x^cost  —  x^  sinty 

a\'  =  —  or^sin^  —  Xjcosf, 

also  nicht  die  inxerse  Transformation.  Diese  ist  vielmehr,  wie  wir 
schon  oben  bemerkt  haben,  mit  der  ursprünglichen  identisch.  Lässt 
man  h  Transformationen  der  Gruppe  8)  mit  den  Parametern  t^^  t^,..tm 
aufeinander  folgen,  so  ergiebt  sich: 

Xo<^^  -  XoCt^(i„  <i    +...+  g  +  jriSm(/i,<,  +  ..H-^.), 
x/-^  •  -  x^s\n(t^  +  /,+  ••  +  O  +  x^cos{t^  +  t^+' . '+Q 
und  wenn  alle  i  einander  gleich  sind: 

Xo^*^  ■=  r^QosHi  —  x^ sin w/, 

.i\^*^  -    x^  sin  N  ^  +  x^  cos  N  t. 

Bt'i   der  Orup)>e  S*")  dagegen   hat  man  zwischen  den  Transforma- 
tionen g^'rader  und  uug^^rader  Onlnung  zu  unterscheiden.     Man  findet: 

.1  o  ^       -*\)  cos  ^j  -r  *i  sin  /j , 

.t\>  *'  -  X^  cos  \J^  —  *,  —  ^'^  4-  Xj  sin  [t^  —  h  —  O  ^^^-y 

1                       X,  ^^^      x^  sin  L  —  X.  cos  L , 
14  \       {  .  

^         I  ^ *      x^iiiu (t^ "  ^3      t^^  —  Xj owii' t^-  K  —  t^\ 

Di«^  TtÄnsitonttÄtivntou    sind    «aoh    dem    Typus   S*^    zusammen- 

^»e«^t^t.  w^un  niÄU  Z^,  t^  t^  etc.  als  Parameter  ansieht«  wogegen  die 
Trakii^formAtiotiou  c^^mder  Orxluuui:: 

•    *  ^  V 


13) 


Von  Prof.  Brez. 


71 


^0*  =  «bcos^  —  tj  —  asjsin^  —  t^, 


V*'  =  *"o  cos  (<4  —  <j  +  <»  —  h)  +  Xi  sin  («4  —  <s  +  «,  -  <i)  etc. , 


a^jW  =  Xosin^  —  ^^  +  aJi  cos^j  —  ^,, 


^3  +  ^2  -  ^i)  +  iriC08(^4  -  ^j  +  ^  -  t^)^ 


sobald   man   <i  — ^i,   ^4—^3   als    aufeinander    folgende    Parameter   an- 
nimmt, nach  dem  Typus  8)  gebildet  erscheinen. 

Setzt  man  jetzt  alle   t  einander  gleich,   so   erhalten   alle  Trans- 
formationen ungerader  Ordnung  die  Form: 

Xq  =  XQCOst  +  x^sint, 
x^  =  x^mit  —  x^  cosi. 
Die  gerader  Ordnung  dagegen: 


^0  —  ^0* 

fl/J      ^^^     X-*  m 


Wir  können  also  sagen:    Die  Transformationen  8)  bedeuten  eine 
Drehung   der  Ebene  um   den  Koordinatenanfang  durch   den  Winkel  t^ 


Flg.  1. 


Fig.  2. 


Xl 


T^ 


Q    P 


die  Transformationen  8*)  aber  eine  Umklappung  der  Ebene  mit  nach- 
folgender Drehung  derselben  um  den  Winkel  t  Die  erstgenannten 
Transformationen  bilden  eine  einzige  kontinuierliche  Gruppe,  die  letzt- 
genannten sind  dagegen  zusammengesetzt  aus  einer  diskontinuierlichen 
Gruppe  von  der  Periode  2  und  zwei  kontinuierlichen  Gruppen,  von 
denen  die  eine  nach  dem  Typus  8),  die  andere  nach  dem  Typus  8*) 
gebildet  ist. 

Beide  Transformationsgruppen  sowohl  8)  als  8*)  lassen  den  Koordi- 
natenanfang Xq=0,  Xj  =  0  unverändert;  ebenso  auch  die  Entfernung 
zweier  Punkte  x^^  x^  und  y^,  y^.  Denn  wendet  man  auf  beide  zugleich  die 
Transformation  1),  2)  an,  so  kommt: 

( W-  yoY  +  W~  yiO* = [«00(^0  -  yo)  +  %(^  -  yi)J' 

+  [«10(^0-  yo) + »11  (^1-  yi)]'=  (^0-  yo)'+  (-^i-  yiY- 


15) 


72       f^bcr  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  ek. 


Da  zwei  Figuren  kongruent  oder  symmetrisch  sind,  wenn  die 
gerade  Verbindungslinie  je  zweier  Punkte  der  einen  Figur  dieselbe  Länge 
hat,  wie  die  Verbindungslinie  der  entsprechenden  Punkte  in  der  anderen 
Figur,  so  transformieren  die  Gleichungen  1),  2),  also  auch  8),  8*)  jede 
Figur  in  eine  kongruente  bez.  symmetrische. 
Eine  gerade  Linie 
16)  Ixq+  mxi  =  l 

geht  durch  die  Transformationen  8)  imd  8*)  in  eine  andere  Gerade 

über,  wobei  im  Falle  8): 

[    V=  Icoat  +  msin^, 

w'=  i  sin  ^  +  mcos^, 

?'=ico8^  +  msin^, 
m'=*  iBUit  —  mcoBt 


17) 
im  Falle  8'): 


18) 


Wenn  also: 


MO  iNt  aueli: 


ist.     Für   i  —  w -=  0   ist   in   beiden  Fällen   auch   r=  w'=  0,   d.h.  die 
unendlich  entfernte  Gerade  bleibt  bei  beiden  Transformationen  erhalten. 
Auch  das  Paar  der  imaginären  Kreispunkte  bleibt  bei  8)  unverändert. 
Denn  es  ist: 

{jCq+  iXi)      {x^cost  —  x^sint)  +  i(XoSin^  +  XiCost) 

■-  (-^0+  'Xi)(cos^+  isin^), 
(Xq—  iXi)      (x^cost  —  ix^sinf)  —  {(x^sint  +  x^cost) 
-    (-^o""  *^i)(cos^  —  »sin/). 

Xi  —  iXi  --'  0, 

O-o'  "  fx/-  0. 

Diifj^ttgcm  wenden  durch  die  Transformation  8*)  die  unendlich  ent- 
|'itnilt<n  imaginliron  Kroispunkte  mit  einander  vertauscht.    Denn 
(tn  |h1  !        ^  ^  ^.  f  I  jj^,^i^  _  (xqCos/  +  jrjsinO  +  i(xi8in<  —  j-^cos^ 

"^  (Xß—  ia"j)(cos/  +  isin/\ 
(.1,/      ixi)  --  (.r^jCosf  +  TisinH  —  1(^0^^'^^  ~  x^cost) 
--  ^r^^+  f  jj)(cos/  —  /sin/\ 

K«  m»lii'U  also  durch  die  Transformation  8*)  die  Ereispunkte: 


111) 


If   u  )u  utiuli  (ll)or  in 


•'0  1  '-^1 


0, 

0, 

0, 
0 


20) 


Von  Prof.  Bebz.  73 

Wenn  das  bewegliche  Koordipatensystem  nur  um  einen  unendlich 
kleinen  Winkel  aus  der  Anfangslage  gedreht  wird,  so  erhalten  wir 
eine  sogenannte  „infinitesimale  Transformation".  Wir  leiten  dieselbe 
aus  den  Gleichungen  1)  und  2)  ab.  Wir  variieren  1)  in  der  Weise, 
dass  die  Grössen  Xq  und  x^  ungeändert  bleiben  und  nur  die  Eonstanten 
an  einen  unendlich  kleinen  Zuwachs  erhalten.     Dies  giebt: 

< 
dXi'^XQda^f^+ x^da^^. 

Die  Variationen   der  Eonstanten   sind  aber  nicht  unabhängig  von 
einander,  sondern  an  das  Bestehen  der  Gleichungen  2)  geknüpft. 
Diese  geben,  wenn  sie  ebenfalls  variiert  werden: 

«Ol  *  «Ol  +  »11  *  »11  =  0, 

öoo*»oi+  »oi*»oo+  »io*»n+  »ii*»io=  0. 

Im  Moment  des  Zusammenfallens  beider  Svsteme  ist: 

dx^^^dx^,     Sx^^öx^,    a^^a^^^l,    a^Q=%i^O. 
Daher  ist: 

folglich,  wenn  man  6a^Q=-8t  setzt: 

8xq^=  —  Xidtf 
Sx^  =  XqÖL 

Wir  können  selbstverständlich  diese  infinitesimalen  Transforma- 
tionen auch  aus  den  endlichen  Gleichungen  8)  und  8*)  ableiten  ^  wenn 
wir  sie  nach  t  difiFerentiieren,  und  sodann  t  =  0  setzen.  Aus  8)  er- 
giebt  sich  durch  Differentiation  nach  t: 

{8xq  =  —  (a^osin^  +  XiCOst)dt  ==  —x^dt, 
8xi=^      {xQC0Bt  —  XiSint)8t-=     XQÖt, 
aus  8*)  ebenfalls: 

j  dxQ-=  (—  ic^sin^  +  ic^cos^)^^  =  —x^öty 
I  Jx/=  (     x^ao^t  +  x^smt)Si  =      XqSI. 

Da  för  t  =  0,  Xq  =  Xq,  x^=x^j  8xq  =  Sx^,  8x^=8x^  wird,  so 
erhält  man  aus  22)  sowohl  als  aus  22*)  sofort  die  Gleichungen  der 
infinitesimalen  Transformation  21),  wenn  ^  =  0  gesetzt  wird.  Man 
erkennt  aber  auch  zugleich  —  was  bei  weitem  wichtiger  ist  — ,  wie 
man  umgekehrt  aus  der  infinitesimalen  Transformation  22)  die  end- 
lichen Transformationen  von  8)  und  8*)  erhalten  kann.  Vertauscht  man 
nämlich  das  Variationszeichen  8  mit  dem  Differentialzeichen  d,  so  kann 
-2)  auch  schreiben: 


74       l^bnr  ilin  atitomoqjhe  Tranflformation  einer  Siunme  von  Quadraten  etc. 


23) 


und  22)  oder  22*): 


23«) 


dt     ~       *" 
dXi   _ 


dt    "       ^0' 
d.r,'  , 

dt        ""^1» 


wt^loho  als  dio  DiffertMitialgleichuDgen  der  endlichen  Transformation 
anyi\iaohon  sind,  aus  denen  sich  durch  Integration  die  endlichen  Trans- 
ft>rnmtionon  seibat  ergeben.  Man  hat  also,  um  von  der  infinitesimalen 
Trau^forumtion  y.ur  endlichen  Transformation  überzugehen^  in  der  in- 
tinitt'sinialou  l^ransformation  statt  der  Variationszeichen  die  Differential- 

»oiehon,  statt   der  Koordinaten  x^  und  .r^ xj  und  x^'  einzufahren 

und  das  erhaltene  simultane  System  so  zu  integrieren,  dass  für  t  ^  0 
w  i^ler  x^  -  x^  und  »r/     .i\  werde. 

Zur  Ausführung  dieser  Integration  bieten  sich  drei  verschiedene 
>Ye|Xt^  dar. 

t  Zui^rst  nSmlioh  kai\n  man  die  Veränderlichen  x^  und  x^',  da  sie 
V\mkti\Mieu  von  t  sind«  in  Reihen  entwickeln,  die  nach  steigenden 
IVl^'Ut^'n  von  t  g^H^rdnet  sind.  Nach  dem  Maclaurinschen  Satze  ist  z.B.: 

Kxlr  1-0  ;iWr  i^^t: 


V 


V 


iW 


w 


^ 


'i» 


J  .  * 


V  ' 


'^'^ 


^c* 


V^sS 


'4 


I 

4     -1 


I  '«A   ;*\ *'»'»«,'' 


-I 


^•. 


"'i 


^     '..  ,V«>' 


*        *>>'        N 


«iV 


41*1»    V  v»M    •  'i  v»i     ii    #■♦ »     v;m  »v,m  .>    %  v'i-  i*.  «»^    i»*^  -1*^:  '»•.\»J7  ▼■ 


.OTTUa- 


1     «^  t 


♦.M 


»IV 


•  «f. 


Vtfc  rl*   i'i*f   Srfi^biire 


♦.»'.»  *  -i^  z*  \ 


Von  Prof  Bkkz.  76 

df  __  df  dx^   ,    df  dx^ 
dt       dx^   dt        5ä^    dt  ' 

so   erhalt  man  nach  Einführung  der  Werte  von  -^  und  -^-  aus  23): 

d/_       df^_       df 
dt'^^^dx,      ^la^/ 

iMrelcIier  Ausdruck  mit  <p{t)  bezeichnet  werden  soll.  Dieses  ist  das 
Symbol  der  allgemeinen  infinitesimalen  Transformationen^  aus  denen  sich 
die   besonderen  ^^ 

~j^  =  —  ^1  ==  9^  ^o> 

dx^ 

dadurcli    ergeben,   dass   man   statt  f  der  Reihe  nach  Xq  und  Xi  setzt. 
Man   erkennt  leicht,  dass  dann: 

u.  a.  f.  ist.     Man  kann  also  statt  der  Reihe  24)  auch  schreiben: 

« 

Auf  dieselbe  Weise  wird  auch  die  Reihe  fttr  x^  gebildet. 

rL     Bei    der    zweiten   Methode    der    Integration    stellt    man    die 
Differentialgleichungen  23)  in  der  Form: 

d  xJ        dx/        , . 

26)  -^  ==^^^dt 

auf  und  sucht  zunächst  aus 

dx^        dx^^ 


ÄJj  X^ 


ein   von  ^  freies  Integral.    Ein  solches  ist: 

27)  a:o'*a;  +  a?/*  =  c*, 

^^orin   c  eine  Eonstante  bedeutet.    Hieraus  bestimmt  man  etwa: 


xl^y(?-x^^ 
und  bat  also  ,    ,  ,    , 

^  =  — "^^^-^  =  rf^, 

folglich: 

28)  a^^c  sin  a^o  +  <  =  dj 

wobei  ^  GU^^  zweite  Eonstante  darstellt.    Hieraus  folgt: 


Xi  =  ccosc', 


76        t'^ber  die  automorphe  Transfbmiation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

iXa^  c  sin  (c'—  t) 
und  wegen  27):    ""  ^ 

x^^=  ccos(c'—  t). 

Da  für  ^  «  0  Xq   in  Xq,  x^  in  x^  übergeht,  so  hat  man: 

X(.=  c  sin  c\ 

30)  ' 

folglich  aus  29)  und  30): 

x^  «=  Xq  cos  t  —  x^  sin  f , 

rCj'  =  Xq  sin  f  +  ic^  cos  ^. 

ni.  Da  die  Gleichungen  23)  ein  sogenanntes  d'Alembertsches 
System  bilden,  so  ergiebt  sich  die  dritte  Integrationsmethode  wie 
folgt.     Man  setze  zunächst: 

31)  X^x^+k,x^^u\ 

32)  -5«  =  ,u\ 

worin  Ag,  Aj,  q  noch  näher  zu  bestimmende  Eonstante  bedeuten.    Inte- 
griert man  die  letzte  Gleichung  mit  der  Bedingung,  dass  fQr  t  =  Q 

.,         ,  ,  («')o=^o^o+il,ai 

wird,  so  kommt 

33)  K'=(AoJ-o+A,Ji)e?'. 

Nun  ist:  riw'      ,  d.r,'  ,   ,  rfj-.' 

rf<  ~  *«  rf;   +  *«  d< 

=  -  K^i  +  A,Xo'  =  p(Aoa-o'+  AiV)» 

'^'^'^  -»-«'(A,  -  pAo)  -  ^.'(^  +  9K)  =  0. 

Da  j-g'  und  x/  unabhängig  von  einander  sind,  so  zerfallt  diese 
Gleichung  in  die  beiden  anderen: 

-  A„p  +  A,  =  0, 

Ao+pA,  =  0, 

welche  nur  neben  einander  bestehen  können,  wenn  die  Determinante 

i      1     ^    =-(p»+l)  =  0 

ist.     Darnach  ist  also:     ,  ,, — - 

I         p  =  4- V—  1, 


\  Ao :  ^1  =  1 :  p  =  —  p  :  1. 


Stützt  man  nun  in  die  Gleichung  33),  die  man  auch  schreiben  kann: 
(ur  x^  und  .r/  die  Werte: 


Ji       ^'irt''ü  ~^"  *'ii«^i« 


i         "'10*' 0-     "11  ••1 

so  ergiebt  sich,  da  die  Koeffizienten  von  j\,  und  x^  verschwinden  müssen: 


Von  Prof.  Bekz.  77 

oder  i^renn  man  einen  der  Werte  von  XqI  X^  aus  34)  einführt: 

papi  —  a^i«  —  c?'. 

Da  nun  p  zwei  Werte  —  nennen  wir  sie  zunächst  p,  und  q^  —  hat, 
so  findet  man  zur  Bestimmung  von  a^o  und  aj^  die  beiden  Gleichungen: 


1     P«»01-»i0=(>8«^'> 


und  zur  Bestimmung  von  a^^  und  o^j: 

—  c?«'. 
Aus  diesen  Gleichungen  erhalten  wir  die  Koeffizienten  a,«  wie  folgt: 


36)  (  ^'"°»~""° 


37) 


Setzt  man  schliesslich  für  p,  und  pj  ihre  Werte  +  y—  1  und  —  ]/—  1 
ein.  so  kommt:  ajo  =  a,,  =  cos  <, 

a^j  =  —  a^Q  =  —  sin  t. 
Um  die  endlichen  Transformationen  8*)  aus  dem  Gleichungssysteme: 

dt     ~         ^1' 
€lx,'  f 

dt    "^0 

abzuleiten,   hat  man  diese  mit  der  Bedingung  zu  integrieren,  dass  fUr 
f  -  0  Xo  =  ^o>  ^i'  =  —  ^1  werde. 

I.   !Nach   der  ersten  Methode  stellt  man  das  Integral  in  der  Form 
♦finer  nach  steigenden  Potenzen  von  t  geordneten  Reihe  auf  [s.  19)]: 

Man  erkennt  leicht,  dass,  wenn  man  das  Symbol: 

f_äf_     f  cf  f  cf 

^'^  dt"^^  cxj  ~^^  dx,' 

benützt,  diese  Reihe  auch  geschrieben  werden  kann: 


7C. 


^  Von  Prof.  Bäkz.  79 

zwischen  gewöhnlichen  komplexen  Orössen,  nämlich  8) 

(p^d  +  i^i)  =  (^0  +  *^i)(co8 1  +  i  sin  t), 

(xq  +  ix^)  =  (Xq  —  ia?i)(cos  t  +  i  sin  t), 

man   allgemein  die  komplexe   Grösse  y^  +  iyi  mit  y, 
)^  sin^  =  aj,  so  kann  man  die  erste  Gleichung  auch  ab- 

j  y^  —  iy^  =  y  setzt^  die  zweite  Gleichung: 

X  =  xa. 

'hunfif  , 

°  X  ^xa 

allein  uns  beschäftigen  wollen,  lässt  nun  sofort  erkennen, 
.ie  Transformationen  8)  eine  eingliedrige  Gruppe  bilden,  da 
«4*=  1  ist; 

die  Transformationen  der  Gruppe  mit  einander  vertausch- 
ind. 

-sst  man  auf  die  Transformation  oi  -=-  xa  eine  zweite  a:"=  olh 

Tgiebt   sich   a/'  ==  {x(i)b  =  x(ab),   oder   da  ah  wieder  eine 

komplexe   Zahl  ist,    die   mit  c   bezeichnet  werden   mag, 

'  Gleichung  c  =^  ab  heisst  die  Parametergleichung  der  Gruppe. 

ie  Parameter  Cq,  c^  und  a^,  a^  und  \^  \  finden   und   stellt 

ine   Gruppe   dar  wie  od  =  xa.     Man  kann  also  sagen,  die 

=  xa  ist  ihre  eigene  Parametergruppe.    Die  Transformationen 

'  sind  femer  miteinander  vertauschbar.    Denn  lässt  man  auf 

::en  3:^'=  ic'a,  so  kommt  rr"=  xia,  welches  von  ic''=  xah  nicht 

i  ist,  da  ha  =  ah.   Die  Vertauschbarkeit  der  Transformationen 

genau  zusammen  mit  der  Vertauschbarkeit  der  Faktoren  in 

ikt  zweier  gewöhnlicher  komplexer  Zahlen.  Die  Transformation 

wobei   die  Faktoren  in  beliebiger  Folge  geschrieben  werden 

stellt  also   ebenfalls   eine  automorphe  Transformation  zweier 

dar^  bei   denen  aber  die  Parameter  in  bilinearer  Verbindung 

Denn  die  Entwickelung  giebt: 

^/^  K^i  +  öti 60)^0+  K^o-  »i^)^i; 
d  man  hierin  a^==  6^,  a^  =  ^i  =  &i8i  so  erhält  man  die  Cayleysche 
. mation:        ^,_  ^^, _  j^^,)^^ _  2\\,x„ 

«/  =  2  &o  6«  «0        +  (60«  -  h*)^v 


(Fortsetzung  folgt.) 


Hilfstafel  zur  Auflösung  quadratischer  Gleichungen 

mit  reellen  Wurzeln. 

Von 

R.  Mehmke 

in  Stuttgart. 


Die  algebraische  Auflösung  einer  numerischen  Gleichung  zweiten 
Grades  nach  der  bekannten  elementaren  Formel  empfiehlt  sich  nicht, 
ausser  wenn  die  Koeffizienten  ganz  einfache  Zahlen  sind  und  zugleicli 
eine  Quadrattafel  benützt  wird.  Sind,  wie  es  häufig  der  Fall  ist,  di« 
Logarithmen  der  Koeffizienten  gegeben  und  von  den  Wurzeln  dei 
Gleichung  ebenfalls  die  Logarithmen  verlangt,  so  wäre  bei  Anwendung 
jener  Formel  ein  viermaliges  Aufschlagen  der  Logarithmentafel  nötig 
Zweimaliges  Aufschlagen  genügt  bei  Mollweides  bekannter  Auflösung 
mit  Hilfe  goniometrischer  Funktionen.  Um  mit  einmaligem  Auf 
schlagen  auszukommen,  hat  Gauss  eine  besondere  Hilfstafel  berechnen 
lassen,  die  man  in  Vega-Hülsses  Sammlung  mathematischer  Tafeb: 
in  der  Ausgabe  von  1840,  Tafel  XII,  S.  636-678  findet,  Sie  bestelil 
in  drei  mit  />,  i\  F  überschriebenen  Zusatzkolonnen  zu  der,  ebenfalli 
aus  ilrei  Kolonnen  mit  den  Vberschriften  Ä,  By  C  zusammengesetzte!] 
Gaussischen  Tafel  der  L eone  11  i sehen  oder  sogenannten  Additioiis 
logarithmen.  Diese  Gaussische  Tafel  ist  meines  Wissens  nicht  wiedei 
abgedruckt  worden.  Ich  glaube  nicht,  dass  man  daraus  schliessoil 
darf,  sie  hätte  keinem  wirklichen  Bedürfnis  entsprochen,  denn  qua- 
dratische Gleichungen  kommen  in  der  angewandten  Mathematik  häufig 
genug  vor.  Es  leidet  aber  jene  Tafel  an  einigen  Mängeln.  Infolg« 
der  Venjuickung  mit  den  Additionslogarithmen  und  weil  mehr  Fällti 
unterschieden  werden  als  nötig  ist,  hat  sie  zu  viele  Kolonnen;  auch 
sind  die  Rechenvorschrit\eu  für  die  einzelnen  Fälle  einander  sehr  un^ 
ähnlieh  und  das  Aufschlagen  ist  unbequem.  Ich  habe  vor  einer  Reih« 
von  Jahren  eine  Hilfstafel  zur  Auflösung  quailratischer  Gleichungen 
mit  reellen  Wurzeln  konstruiert,  die  mir  vor  der  Gaussischen  folgende 
Vorzüge  lu  haben  scheint: 

1.  Man  hat,  wenn  mau  sie  benützt,  bloss  zwei  Fälle  zu  unter 
scheiden»  statt,  wie  bei  Gauss,  deren  drei. 


Von  R.  Mehmke.  81 

2.  Die  Formeln  und   das  Bechenschema   sind   in  beiden  Fällen 
dieselben. 

3.  Der  Gebrauch   der  Tafel  ist  bequem^  weil  man  direkt  in  sie 
eingeht. 

Die  Tafel  besteht  aus  zwei;  den  genannten  beiden  Fällen  ent- 
sprechenden Teilen  yon  derselben  Einrichtung  wie  die  Logarithmen- 
tafeln. Auch  nach  dem^  letztes  Jahr  erfolgten  Erscheinen  der  ^^  Tafeln 
Eur  Berechnung  der  reellen  Wurzeln  sämtlicher  trinomischer  Gleich- 
ungen'' Ton  Oundelfingier;  einer  modifizierten  Erweiterung  der  er- 
wähnten Gaussischen  Tafel^  ist;  wie  ich  glaube ^  die  Veröffentlichung 
meiner  Tafel  nicht  überflüssig.  Ich  gebe  dieselbe  hier  mit  drei  Stellen, 
um  zunächst  ihre  Einrichtung  zu  zeigen  und  weil  diese  geringe  Zahl 
Ton  Stellen  bei  manchen  Anwendungen  schon  ausreicht.  Auch  wenn 
man  rier  oder  f&nf  Stellen  ansetzte ,  wäre  die  Tafel  noch  auf  einem 
Terhaltnismässig  kleinen  Raum  unterzubringen. 

Die  Unterschiede  zwischen  dieser  Tafel  und  der  Gaussischen  wie 
aueh  den  genannten  und  den  alteren  Tafeln  zur  Auflösung  trinomischer 
Gleichungen  (Lambert,  Barlow,  Eulik,  Guldberg)  beabsichtige 
ich  später  zu  besprechen  und  bei  dieser  Gelegenheit  neue  Entwürfe, 
auch  Yon  Tafeln  zur  Auflösung  quatemomischer  Gleichungen^  vorzulegen. 

Ableitung  der  Fonneln. 

Die  aufzulösende  Gleichung  habe  die  Gestalt: 

1)  ao^ ±  6a;  —  c  =  0,    oder  aber    aa;*  ±  6a;  +  c  =  0, 

wo  a,  6  und  c  positiv  sein  sollen.  Es  werden  also  die  beiden  Fälle 
, Absolutglied  negativ"  und  „  Absolutglied  positiv''  unterschieden.    Setzt 

man 

2)  a;=±i---    bezw.    a;  =  =F  x — ' 

f  -^  b   y  ^  b    y 

»)  geht  die  Gleichung  durch  Multiplikation  mit  y* :  c  über  in 

3)  y'-y-|T  =  0,    bezw.    y-f/-Jf-0. 

Wir  wollen 

4)  logy  =  t; 

als  Funktion  von 

5)  u  =  log(y*  —  y)    bezw.    u  =  log  (y  -  y*) 

^trachten.  Dass  dies  möglich  ist,  wird  unten  noch  gezeigt  werden. 
Diese  beiden  Funktionen  sind  in  den  beiden  Teilen  der  Hilfstafel  dar- 
gestellt.    Zufolge  Gleichung  3)  muss 

6)  u-log-^4 

geDommen  werden,  damit  der  zugehörige,  aus  dem  ersten  bezw.  zweiten 
Teile  der  Tafel  zu  bestimmende  Wert  von  v  =  log  y,  in  2)  eingesetzt, 

ZtitKbrift  f.  HftUtem*iik  u  Physik.  4S.  Jahrg   1898.  9.  Heft.  6 


g2     Hilfstafel  zur  Auflösung  quadratischer  Gleichungen  mit  reellen  Wurzeln. 

eine  Wurzel  der  gegebenen  Gleichung  liefert.    Bezeichnet  man  diese 
Wurzel  mit  x^^  so  ergiebt  sich 

V    log  (±  ^)  =-  log  I  -  V     l>oz^-    log  (T  Xi)  -=  log  I  -  V. 

Die  andere  Wurzel^  x^,  erhält  mau  mit  Hilfe  der  Beziehung 

c     1  c 

XiXa'==' bezw,    X|  a^i  =»  — , 

namlicn  . 

8)  log(:Fa;i)  =  t;  +  log-. 

Es  wird  übrigens,  wenn  man  zur  Abkürzung: 

setzt, 

10)  -^  »  -• 

Die 

Bechonyorachriften 

lassen  sich  nun  zusammenfassen  wie  folgt. 
Berechne  logd  =  logc  -  log6, 

logc  =  log6  —  loga, 

tt  =  logd  — logc, 

suche  zu  diesem  Werte  von  u  den  Wert  von  v  im  ersten  oder  zweite« 
Teile  der  Hilfstafel ,  je  nachdem  das  Absolutglied  der  gegebenen 
Oleichung  negativ  oder  positiv  ist,  dann  wird 

log(±  Xi)  =  log  d  —  ü,    bezw.    log  (q:  a;,)  =  log  d  —  v, 

log  {T^)^v  +  log  e. 

Es  gilt  bei  Xj^  und  x^  das  {^tere}  Zeichen,  je  nachdem  in  der  ge 
gebenen  Gleichung  beim  zweiten  Qliede  das  +  oder  —  Zeichen  vor 
banden  ist. 

Bei  der  Ausrechnung  mag  man  sich  der  folgenden  Anordnung 
bedienen.  Zur  Verdeutlichung  des  Ganges  der  Rechnung  sind  di^ 
Reihen,  nach  der  Ordnung  ihres  Auftretens,  durch  romische  Ziffenl 
bezeichnet  und  die  mit  ihnen  vorzunehmenden  Operationen  rechterhanj 
angegeben  worden.  j^^^  j 

iog&         n 
logc         m 


logd 

iv=i  -n 

V 

VII 

löge 

V  -  n    III 

u  VI  =  IV-  V 


iog(±*i)b«zw.iog(Tic,)        vin  =  iv  -vn 

log(q:Äi)  IX    -VII+V. 


Von  R.  Mehmkx. 


83 


HJlfsUfel  rar  Auflösmiir  quadratiseher  Olelchiuigen  mit  reellen  Wnneln» 

1.  Absolutglied  negativ  (v  wächst  mit  ti). 


» 

V    0 

1 

2 

8 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

D 

7 

0000 

001 

001 

001 

001 

001 

002 

002 

003 

003 

1 

8 

004 

006 

007 

008 

011 

013 

016 

020 

025 

031 

7 

9 

088 

047 

057 

068 

082 

098 

116 

186 

158 

182 

27 

0 

209 

288 

268 

301 

886 

371 

408 

446 

486 

527 

41 

1 

568 

611 

664 

699 

743 

789 

884 

881 

927 

974 

48 

2 

1022 

069 

117 

166 

214 

262 

311 

860 

409 

468 

49 

3 

607 

566 

605 

655 

704 

764 

803 

853 

903 

952 

60 

4 

2  002 

052 

102 

152 

201 

251 

301 

351 

401 

451 

2. 

Absolutglied  positiy  (v  nimmt  ab; 

wenn  u  ^ 

p^ächst). 

u 

t?  0 

1 

2 

3    4 

5 

6 

7    8 

9 

D 

7. 

9. 

999 

999 

999  999 

999 

998 

998  997 

997 

1 

8- 

996 

994 

993 

991  989 

986 

982 

976  970 

960 

12 

90 

948 

947 

945 

943  942 

940 

938 

987  935 

933 

2 

91 

931 

928 

926 

924  921 

919 

916 

914  911 

908 

4 

9*2 

904 

901 

898 

894  890 

886 

881 

877  871 

866 

6 

9-3 

860 

854 

847 

839  830 

821 

809 

796  779 

754 

9-39 

754 

750 

747 

743  738 

733 

727 

719  699 

Beispiele. 
1.  Fall;  Absolutglied  negatiy. 

log  c  0  •  555 
logb  0-691 
logg    0  219 

logd    9-864-10 

V    0-081 
löge    0-472 


0. 


u    9-392-10 

log(-rc09-783-lO 
log    x^  0-553. 


lOiw^.aj» 


2.  Fall;  Absolutglied  positiy. 

W'^^'X  +  W'^ 

logc  0-929 
log  6  1-536 
logg    1-203 

logd    9-393-10 
V     9-938-10 
löge     0-333 


-0. 


u    9060-10 

logiCi   9-455-10 
logo;^  0-271. 


6 


34  Hilfstafel  zur  Auflösung  quadratischer  Grleichungen  etc.    Von  R.  Mzhmxb. 


Zur  weiteren  Brl&utenmg  der  Tafel 

diene  folgendes.  Wie  die  logarithmische  Darstellung^  der  Funktion 
jBf  —  y*—  y  in  Fig.  1  erkennen  lässt,  ist  v  =  log  y  eine  einwertige  Funktion 
Ton  u»>log(y*— y),  die  mit  abnehmendem  u  der  Null,  mit  wachsendem 

ti  dem  Werte  -^u  sich  unbegrenzt  nähert,  entsprechend  dem  Umstand^ 
dass  die  zugehörige  Kurve  die  n^ative  ti-Axe  und  die  (gestrichelt  ge- 
zeichnete) Gerade  zur  Gleichung  f?  =  ^ti  zu  Asymptoten  hat.   Der  erste 

Teil  der  Tafel  liefert  zu  jedem  Wert  Ton  u  zwischen  7-000  — 10  und 
5-000  den  zugehörigen  Wert  der  in  Rede  stehenden  Funktion  v 
mit  drei  Dezimalen.    Für  i«  >  7  •  000  — 10  ist  bis  auf  drei  Dezimalen 


Pig.l. 


Pig». 


+  U 


y  j  +1^ 

>-^-l  9.308-10 


richtig  r^OOOO,  filr  t«>  5-000  ebenfalls  bis  auf  [drei  Dezimalen 
richtig  r  =*     M^ 

Das  logarithmische  Bild  der  Funktion  z  =  y  —  y*  in  Fig.  2  zeigt, 
dass  V '  -  log  y  eine  zweiwertige  Funktion  Ton  n  =  log^  —  y*)  ist ,  yoraus- 
ge«»et2t»  dass  m  unter  dem  (^ri^ten  Werte  Ton  l<^(y  — y*),  nämlich 

Uvgl  =9-8979400-10 

lieg*.  Mit  KQcksicht  auf  die  Genauigkeit  und  bequeme  Interpolation 
ist  im  zweiten  Teile  der  Tafel  derjenige  Funktionsxweig  dargestellt 
worden»  der  die  kleineren  Tafelditferenzen  giebt  Er  entspricht  dem 
Teil  der  Kurve  rechts  von  ihrem  höchsten  Punkt,  der  in  der  That  Yon 
den  l\uralleleu  zur  r-Axe  irnter  günstigeren  Winkeln  gesdmitten  wird, 
als  der  Teil  liwk»  vom  höi'hsten  Punkt  AUervlings  hat  diese  Wahl 
den  Nachteil»  das*  man  eine  mit  wachsendem  Argument  abnehmende 
F\xuktiv>u  erh:iU.  Ks  hiitte  t^Wnsv^  gut  der  andere  Fnnktionszweig 
tabuUert  wer\U'«  kC^iuion.  Kn  dem  c  mit  n  wachst,  aber  es  wiren  dann 
die  TafrldiftVreiuea  betniohtlich  grCvsser  geworvlen. 

Krgiebt  sich  m  ^  9  Si^T^^Mi^V  h\  d\  bei  dreistelliger  Rechnung 
M  >>  9'3iV<      U\  so  siiul  die  Wumlu  der  vorg^^t-gten  Oleichong  imaginär. 

♦  CN>c  ^lie  lvx-ti:'ri^nK<v'vu  Ur.vWr  u»u  bu>iV:«^ttea  eia^r  Veränderiichen  und 

Gl^fichaagen  mit  ^u'cr  t  uK  Jl  4tiucv»  ^"^^-li^ch  *u'*:iVi,,.tt-^  CivilLnÄeniear  Bd.  35 
S.  «ftT,  lS«i^- 


Harmonisohe  Analyse  mittelst  des  Polarplanimeters. 


Von 

S.  FiNSTERWALDER 
in  Mllnohen. 


Wer  häufig  in  die  Lage  kommt,  graphisch  gegebene  Funktionen 
harmonisch  zu  analysieren,  oder  mit  anderen  Worten,  in  eine  Fourier- 
sche  Reihe  zu  entwickeln,  wird  sich  wohl  eines  der  zu  diesem  Zwecke 
konstruierten   Integrierapparate   (harmonische   Analysatoren)   bedienen, 
wie  solche  heutzutage  in  sehr  vollkommener  Form  von  Goradi  nach 
den  Orundsätzen  von  Sharp   und  Henri ci*  hergestellt  werden.     Für 
den  aber,    der  nur  gelegentlich  solche  Entwickelungen  vorzunehmen 
hktj  verlohnt   sich   die   Anscha£Fung   eines   solchen   komplizierten  In- 
strumentes  nicht,  und  fQr  ihn  mag  es  von  Wert  sein  zu  wissen,  dass 
man  auch  mittelst  eines  gewöhnlichen  Polarplanimeters  eine  mechani- 
sche Bestimmung  der  Koeffizienten  der  Fouri ersehen  Reihe  vornehmen 
kann,  wenn   schon  dieselbe   die  Zeichnung  von  eben   so  viel  Kurven 
roraussetzt,  als  Koeffizienten  zu  bestimmen   sind.    Letzterer  Umstand 
dürfte  von   der  Verfolgung  des  an  sich  so  naheliegenden  Gedankens, 
das  in  allen  Händen   befindliche  Integrierinstrument  auch  für  diesen 
Zweck  auszunützen,  abgeschreckt  haben**    Dabei  übersah  man  aber, 
wie  einfach  jene  Kurven  zu  zeichnen  sind,  und  dass  bei  gehöriger  An- 
ordnung das  Zeichnen   derselben   kaum   mehr  Mühe  erfordert  wie  das 
Umfahren   mit   dem   Planimeter.     Da   zudem    der   Grad   der   bei   der 
graphischen  Integration  erreichbaren  Genauigkeit  ein  sehr  hoher  ist, 
und  wohl  für  die  praktischen  Bedürfnisse  ausreichen  wird,  so  empfiehlt 
sich  das  Verfahren  für  alle  jene,  welche  graphische  Prozesse  den  rech- 
nerischen vorzuziehen  pflegen,  also  vor  allem  für  die  Techniker.    Frei- 
lieh werden  Solche,  bei  denen  das  Umgekehrte  der  Fall  ist  (Astronomen, 
Öeodaten  und  Meteorologen),   viel  lieber  zu  einer  rechnerischen  Aus- 
wertung der  bestimmten  Integrale   schreiten,   welche  für  viele  Fälle 

*  Vergl.  hierzu:  W.  Djck,  Katalog  mathematiischer  und  mathematisch -phy- 
sikalischer Apparate,  München  1892,  namentlich  den  darin  (S.  125)  enthaltenen 
Aufeatz:  Über  Instrumente  zur  Harmonischen  Analyse  von  0.  Henrici.  Die 
nunmehr  von  Coradi  adoptierte  Form  des  Analysators  ist  darin  noch  nicht 
erwähnt.    Dieselbe  ist  ein  Meisterstück  in  Anordnung  und  Ausführung. 

^  Vergl.  dagegen  die  Anmerkung  am  Schlüsse. 


86 


Harmonische  Analyse  mittelst  des  Polarplanimeters. 


der  Praxis  durch  tabellarische  Behelfe  recht  handlich  gestaltet  werden 
kann. 

Es  sei  die  zu  analysierende  Kurve  y » f{x)  in  dem  Intervalle 
von  X  =^0  bis  x  ^  a  zeichnerisch  gegeben.  Unter  bestimmten ,  aller- 
dings sehr  weiten  Voraussetzungen  ^  von  welchen  hier  nur  die  Ein- 
deutigkeit, Endlichkeit  und  abteilungsweise  Stetigkeit  der  Funktion 
f(x)  und  ihrer  ersten  Ableitung  genannt  werden  mögen  ^  lasst  sich  für 
f{x)  die  im  gegebenen  Bereich  konvergente  Reihe  ansetzen: 

y==A^+A^co8 |-^co8  2-;;-+-4jCOs3-^: — I |-A»cosn— :r-  + 


a 


a 
2xn 


a 


+Bj^  sm h  B^sin  2 h^j  sin3 1 {-Besinn  -^7-  + 


a 


a 


Flg.  L 


Dc<a 


Hierbei  ist: 


0 


^.  =  |y;cos(n!^)rfx;      B,  =  lfysin{n'-^)ä 


X. 


0  0 

Je  zwei  unter  einander  stehende   Glieder  der  Reihe    können  in 
eines  vereinigt  werden;  so  ist: 

-4„cosn-^  +Äsinn-^  =  A»cos(w-^ a„\^ 


wobei: 
und: 


A«  =  VäJ  +  B,' 
cos  ««  =  -r^ ;    sin  a,  =  .  - ;    tg  a 


"^   A« 


A»'     "        A, 

ist.  Nach  diesen  Vorbemerkungen  über  ganz  bekannte  Dinge  soll  zur 
graphischen  Ermittelung  der  Koeffizienten  übergegangen  werden.  Das 
konstante  Glied  A^  stellt  den  Mittelwert  der  Funktion  f{x)  im  Intervall 


Von  S.  FniaTBmwALDRB. 


87 


0  <  3!  <  a  dar  und  lässt  Bich  in  der  Weise  bestimmen,  dass  man  die 
Fläche  OABC  mit  dem  Planimeter  ausmisat  und  durch  die  Länge  des 
Interralles  a  dividiert. 

um  die  Koeffizienten  A^  und  £,  zu  erhalten,  denke  ich  mir  die 
Zeichenebene  samt  der  darauf  befindlichen  Kurve  y  ^^  f(x)  auf  einen 
KreiscjUnder  vom  TTmfang  a  so  aufgewicknet,  daas  die  X-Axe  auf 
die  Basis  des  Cylinders  zu  liegen  kommt.  Wenn  die  beiden  Ordinaten 
am  Beginn  und  am  ScUuss  dee  Intervallee  flbereinstimmen,  bildet  die 
Karre  auf  dem  Gylinder  einen  geschlossenen  Linieuzng.  Wäre  dies 
nicht  der  Fall,  so  mflsste  man  zur  Schliessung  des  Zuges  ein  Stflck 
Uantellinie  hinzunehmen.  Es  wDrde  dann  der  Linienzug  an  der 
SchhesBui^Batelle  eine  ähnliche  Stetigkeitsnnterbrechung  aufweisen,  wie 
solche  in  endlicher  Anzahl  auch  in  den  übrigen  Teilen  der  Kurve  vor- 
kommen  könnten.  Ich  projiziere  nun  diesen  Linienzug  auf  zwei  zu 
einander  rechtwinklige 

Ebenen  E^E,  durch  die  "«■  »■ 

Are  des  Gylinders.  Die 
eine  Ebene  £,  geht 
durch  diejenige  Mantel- 
linie  des  Gylinders,  auf 
welche  die  Anfaugs- 
bezw.  Endordinate  auf- 
getragen wurde.  Die 
andere  E,  steht  senk- 
rwht  zur  eben  defi- 
nierten Ebene.  Die  bei- 
den Projektionen  bilden 
wieder  geschlossene 
Lmienzflge,  und  der 
Ton  ihnen  umgrenzte 
Flicheumbalt  giebt 
oach  DiTisiOQ  mit  dem 
halben  Gylinderumfang 
die  gesuchten  Koeffizienten  Um  dies  zu  beweisen,  beachten  wir,  dass 
die  Projektionen  di,  bezw  dx,  des  Elementes  dx  der  auf  dem  Gylinder- 
umfang aufgewickelten  X  Axe  auf  die  Ebene  £, . 
dx,  =  dxsm 1 

wf  die  Ebene  E^:  da^  =  rfa;-coB— — 

projiziert  werden.  Das  von  der  Projektion  der  Kurve  umschlossene  Flächen- 

Anmerkuag.  In  der  Fifpir  sind  die  positiv  gezählten  Flftchen  von  links 
a»ch  recbta,  die  negativ  geiählten  von  rechtB  nach  litiks  achraffiert;  die  Pfeil- 
■pitzen  an  den  Kurven  geben  den  Umfahrungssinn  für  das  Planimeter  unter  der 
^'onouetanng  an,  daas  der  Sinn  entgegengesetzt  dem  Uhrzeiger  positive  Plaui- 
■MtcraUeiangen  giebt. 


gg  Harmonische  Analyse  mittelst  des  Polarplanimeters. 

stück  iSsst  sich  durch  Snmmation  der  Elemente  ydxi  bezw.  ydx^  findcD, 
wobei  EU  beachten  ist^  dass  jene  Elemente^  welche  der  Rückseite  des 
Gyliuders  entsprechen ,  negativ  zu  nehmen  sind,  wie  es  der  Rückläufig- 
keit der  zugehörigen  Elemente  dx^  bezw.  doc^  entspricht.  Die  Elemente 
jfrfjTi  bezw.  ydjg  sind  aber  keine  anderen  als  jene,  welche  in  den  Inte- 
gralen der  Koeffizienten  A^  und  B^  nämlich: 

a  a 

yaa;cos und       1  ydxsin 

0  0 

vorkommen.  Man  übersieht  unmittelbar,  dass  in  diese  Integrale  die 
einzelnen  Elemente  auch  genau  mit  demselben  Vorzeichen  eingehen, 
wie  bei  der  Zusammensetzung  des  FUbheninhaltes  der  Projektion  des 
Liuienmugee. 

Die  Ermittelung  der  folgenden  Reihenkoeffizienten  lasst  sich  auf 
ganz  ähnliche  Art  bewirken,  um  zum  Beispiel  A^  und  B^  zu  erhalten, 
denke  ich  mir  die  Zeichenebene  samt  der  Kurve  y  =  f(x)  auf  einen 

l\Uuder  vom  Umfang  ^  derart  aufgewickelt,  dass  die  X-Axe  den  Um- 

fmng  der  Basis  zweimal  umschliessi  Aus  dem  Flacheninhalt  der  Pro- 
jektionen dieses  neuen  Linienzuges  auf  dieselben  zwei  zu  einander 
»imkrechten   Ebenen   können   die   Koeffizienten  A^  und  B^  wiederum 

durch  Division  mit       gefunden  werden.     Ganz  ahnlidi  verfahrt  man 

Wi  Aufsuchung  der  folgenden  Koeffizienten«  Um  beispielsweise  Am 
and  1^  tu  finden,  hatte  man  die  Kurve  y  =»  f{x)  auf  einen  Cylinder 

vxxui  Umfiutg      denurt  aufzutragen,  dass  die  X-Axe  die  Basis  n-mal 

um$ohUngtv  D«^r  Beweis  l&s^t  sich  durch  einfache  Wiederholung  der 
Schlüsse  ftlhreiu  dio  Wi  der  Ableitung  der  analogen  Prozedur  für  die 
IVtsttimmung  der  Ki>efficienton  A^  und  B^  angewoidet  wurden.  Der 
rut^f^g^hieti  be$hi^ht  nur  darin,  dass  jeut  zum  Bogen  x  auf  dem  Basis* 

kn*i$  ein  iVntriwittkol  ••    "  -  gt^hi^rL 

l>h^  Vt^rtieicKnmus  der  Kurv>Ni«  deren  FÜdieninhahe  die  Beihen- 
Vv>eiS«ü"^«t<n  hetfi^ro*  w^t>?  »weh  dem  aucecebecen  V^rUunen  kdneswegs 
Wsv^v,v>t^T^  uw^ittÄr.ulioh.  Sie  lasset  «ich  aber  noch  ganz  aheUich  ver- 
^r.taoh<>n^  wv^r.n  man  f^^u^^.tio  rni^s^lact^it^  beachtet: 

Sun   ^i;o  Kurx'e  t  -    ;\.:^   auf  %vr.  CNiir.oer  to»  Cm£uig  —  auf- 

t;:^«^C"%  W.-:^  ::',Än  ^^,<ts>«*V.v  Tx^ri'.er  ir.  de^r  K:cit5itr«  d»  F-Axe  auf 
4«»  %  *  t;fto>^  ^-^.r^r^r«  ur«d  dux^  Kurre  n\ii  de^r  J^Mldb£tm  Absdaen  [und 
**,rxvr>r„^.v:i'<r»  iVir«^*:^^:*/  *;:f  o^r,  iNV.r.^^f-r  vo.ni  üniaisge  «  softragen. 
»"^N'  r»cv,^f^  pfs?;>,rV  X  \\c  >i^;rv5  ^v.i'Ä^r.  ONlir.,^«-  «eViifiils  n-mal  um- 
^*-:.,?«Bi*^rK  IV:  rV)<.V.**v„..>.Äi^5  ^icr  iV^vki,.'::?«^  iitts*r  Kunden  auf  die 
K^?Ä/»r,  KSw,^5",  >a,rsi  *>M;r,  r.ur  *  r,vfci  :?o  cr^cij«  al^  Kei»  Ueinen  Cy- 
.v:.     Vtä  ^V'^"   K*vtY,j..^T,tv'^;x  •<»  ^v,.;  rs»  i-z  <-riAli<3i.  k«l  aan  dann 


••«  •* 


Von    S.  ForSTERWALDSB. 


89 


Fig.  8. 


r/. 


die  Flächeninhalte  nicht   mit   dem   halben  Gylinderumfange,   sondern 
mit  dem  ^-fachen    des   Cylinderumfanges    zu    dividieren.      Auf   diese 

IE 

Weise  lassen   sich  alle  Kurven,  deren  Projektionen  die  Reihenkoeffi- 
zienten geben,  auf  einen  Cylinder  auftragen. 

Zur  wirUichen  Verzeichnung  der  Projektionen  schlägt  man  dann 
am  besten  folgendes  Verfahren  ein: 

Man  teilt  den  Cylinderumfang  in  eine  solche  Anzahl  von  gleichen 
Teilen,  dass  die  Ordnungszahlen  der  Reihenkoeffizienten  als  Faktoren 
in  dieser  Anzahl  enthalten  sind,  z.  B.  in  60  Teile,  wenn  man  sich  auf 
die  ersten  sechs  cos-  und  sin -Glieder  be- 
schränkt, oder  in  24,  wenn  man  Qur  bis 
zu  den  vierten  Gliedern  gehen  will.  Dann 
zieht  man  in  der  Projektion  die  Er- 
zengenden des  Oylinders,  die  zu  diesen 
Teilpunkten  gehören.  Diese  geben  ein 
erstes  System  von  Parallel-Linien.  Ein 
zweites  zu  diesem  senkrechtes  Parallel- 
Liniensystem  wird  nun  dadurch  erhalten, 
dass  man  die  Ordinaten  der  Kurve,  die 
zu  diesen  Teilpunkten  gehören,  in  verti- 
kaler Richtung  aufträgt  und  horizontale 
lonien  durch  die  Teilpunkte  zieht.  Man 
hat  dabei  die  Vorsicht  zu  gebrauchen, 
dass  man  die  Parallel-Linien  —  etwa 
durch  verschiedene  Farben  —  ausein- 
ander halt,  welche  den  einzelnen  auf- 
steigenden und  absteigenden  Ästen  der 
Kurve  entsprechen.  Zu  dem  so  ge- 
fundenen Parallel -Liniennetz  sind  nun 
die  Kurven,  deren  Flächeninhalte  die 
Koeffizienten  Ä^  und  V^  geben,  einfache  Diagonalkurven;  und  zwar  ist 
die  Kurve,  welche  Ä^  giebt,  jene  Diagonalkurve,  die  beim  Punkte  (^ 
in  der  Mitte  der  Projektion  des  Cylinderumfanges  beginnt,  während 
die  zum  Koeffizienten  B^  gehörige  ihren  Anfang  bei  ü^  am  Rande  der 
Projektion  des  Gylinders  nimmt.  Die  Kurven  fär  die  höheren  Koeffi- 
zienten lassen  sich  in  ähnlicher  Weise  als  Diagonalkurven  des  Netzes 
finden.  Man  hat  nur,  um  Ä^  und  B^  zu  finden,  von  den  Teilpunkten 
des  Cylinderumfanges  und  den  zugehörigen  Erzeugenden  die  ungeraden 
zu  unterdrücken,  und  die  geraden  beizubehalten.  Bei  den  Koeffizienten 
-^1  und  B^  werden  alle  Teilpunkte  unterdrückt,  die  nicht  durch  3  teil- 
t>v  sind,  bei  den  Koeffizienten  A^  und  JB4  jene,  die  nicht  durch  4 
teilbar  sind  und  so  fort.  Man  sieht  also,  dass  nach  Verzeichnung 
des  Parallel -Liniennetzes  die  Konstruktion  der  gewünschten  Kurven 
nur  mehr    auf   die  Verbindung    der    gehörig    gewählten    Netzpunkte 


90  Harmonische  Analyse  mittelst  des  Polarplanimeters. 

hinauskommt.  Um  die  Reihenkoeffizienten  zu  bestimmen ,  hat  man 
die  so  gezeichneten  Kurven  mit  dem  Planimeter  zu  umfahren  und  die 

ermittelten  Flächeninhalte  durch  den  halben  Umfang  ^  imd  die  Ordnungs- 
zahl des  Koeffizienten  zu  dividieren. 

Es  soll  noch  darauf  hingewiesen  werden^  dass  mit  Hilfe  unserer 
Methode  auch  die  Möglichkeit  gegeben  ist,  die  Grössen  A»  und  o« 
[Amplitude  und  Phasenverschiebung]  direkt  zu  bestimmen.  Die  ver- 
schiedenen Diagonalkurven  ein  und  desselben  Parallel-LiniennetzeS;  die 
nicht  gerade  von  den  Punkten  ü^  oder  ü^  ausgehen^  stellen  nämlich, 
wie  leicht  ersichtlich  ^  die  Projektionen  der  Cylinderkurve  auf  Ebenen 
dar,  welche  gegen  die  ursprüngliche  Projektionsebene  E^  unter  ver- 
schiedenen Winkeln  ß  geneigt  sind.  Der  Flächeninhalt  einer  solchen 
Projektion  ist  dann  durch  fydx^  gegeben^  wo 

wird«  Dieser  Fl&cheninhalt  F^  lasst  sich  nach  Entwickelung  des  Sinus 
unter  dem  Int^ralzeichen  auch  in  der  Form  schreiben: 

cos  /J  •  jR,  —  sin/J  --4«. 
Wahlen  wir  den  Winkel  ß  so,  dass  der  Flacheninhalt  der  Pro- 
jektion gerade  —  0  wird,  d.  h.  dass  die  positiven  und  negativen  Teile 
des  Flä<dieninhaltes  sich  aufheben^  so  kann 

gesetii  werden.  Der  Winkel  fl  stimmt  dann  mit  dem  Phasenwinkel 
««  Qberein. 

Betrachten  wir  die  Projektion  auf  eine  Ebene,  welche  den  Winkel 
«  ■  it«  90^  mit  der  Ausgangsebene  einscUiesst,  so  wird  der  Flächen- 
inhalt derselben: 

oosuBn-    sin«  .<i,-^sina«*B«+  eosa^J^^yA»*  +  jB«*=  A«. 

Eis  ist  dies  offenbar  der  absolut  grosste  Wert,  welchen  der  Flächen- 
inhalt der  Projektion  der  Cylinderkurve  auf  irgend  eine  Ebene  annehmen 

kann,    Diester  Flächeninhalt  dividiert  durch  den  --fachen  Umfang  des 

CvUnders  giebt  die  Amplitude  A»^  der  Winkel  a,  den  die  zugehörige 
iSnoj^'ktionselHmf^  mit  tler  ars|>rüngliclien  einschliesst,  giebt  die  Phasen- 
v^rsichiebunit  ««  •    90*  ^  «, 

Rei  der  wirklichen  Ausfuhrung  mflsste  man  so  vorgehen  ^  dass 
man  tui^cliM  jene  beiden  Dia^^^nalkurren  aussucht,  wekhe  am  nächsten 
«len  FlA<'h<'nitthalt  0  geben.  Die  eine,  tum  Winbd  ß^  gehörige,  giebt 
ein<^n  iK^iü^-en,  die  andere  tu  ß^  gehdrii^e  ein€si  negativen  Inhalt 
Z^  i^hen  ß^  und  ß^  int^rtv>liert  man  den  Winkel  ^  «=  c«  nach  Maßgabe 
der  Flächeninhalt^^.  Man  ^ucht  dann  die  Projektiooi  auf  die  Ebene^ 
die  den  Wuikd  ß  90^  <^m9ch\\c^i  und  erhiüt  ans  ihr  A^  Das  direkte 
Aufsuchen  der  Di^\»valkune  mit  gri^sst^^m  Inhalt  wQrde  f&r  den 
l'i^a^M'nv^  inkcl  eine  fia\9  untureicht>nde  Bestimmung  geben,  da  sich  in 


Fig.  4. 


Von   S.  FlN8TBRWAI«DBB.  91 

der  Nähe  des  Maximums  der  Inhalt  mit  dem  Phasenwinkel  kaum  mehr 
ändert. 

um  die  Genauigkeit  der  harmonischen  Analyse  mittelst  des  Plani- 
meters  praktisch  zu  erproben^  habe  ich  einen  aus  zwei  Geraden  be- 
stehenden Linienzug  yon  beistehender  Form  in  eine  Fouriersche  Beihe 
entwickelt  und  folgende  Formel  erhalten: 

y  =  —  6,4460  cos  16®a;  —  1,4690  sin  16*^a; 

-  0,3647  cos  SO^a;  +  0,6318  sin  SO^x 
~  0,3242  cos  46®ic  -  0,3242  sin  46*»a; 

-  0,2786  cos  etf^x  +  0,1679  sin  SO^x 

-  0,0166  cos  T5^x  -  0,0584  sin  Ib^x 
~  0,1621  cos  90^a;  +  0,0000  sin  90*>a;  +  •  •  • 

[cos(n-210^)-l]cos(n-15®-a;)+--- 

H-  -^j— sin (»'210®) -sin (n- 16*^-0?)  -I 

Die  graphische  Ermittelung  der  Koeffizienten  nahm  ich  in  doppelter 
Weise  vor.  Zunächst  an  einem  CyHnder  von  24  cm  Umfang,  wobei 
sich  für  die  ersten  vier  Paare  von  Gliedern  nachstehende  Werte  ergaben: 

y  =  -  5,422  cos  U^x  -  1,483  sin  16^x 

-  0,855  cos  30**^;  +  0,615  sin  BO^x 

-  0,330  cos  A6^x  -  0,328  sin  ib^x 

-  0,270  cos  eO^a;  +  9,155  sin  M^x. 

Rechnet  man  f&r  24  gleich  verteilte  Ordinaten  die  Summe  der 
ersten  vier  Paare  der  Reihenglieder  nach  der  genauen  Formel  und  ver- 
gleicht man  sie  mit  den  Werten,  welche  aus  der  graphisch  ermittelten 
Formel  folgen^  so  ergiebt  sich  ein  mittlerer  Fehler  (Wurzel  aus  dem 

mittleren  Fehlerquadrat)  von  0,028  cm,  oder  —  der  grössten  Ordinaten- 

differenz.  Die  so  erreichte  Genauigkeit  erscheint  um  so  befriedigender, 
als  die  ersten  vier  Paare  von  Gliedern  die  analysierte  gebrochene 
Linie  überhaupt  nur  mit  einem  mittleren  Fehler  von  0,182  cm  dar- 
stellen können,  neben  welchem  der  unterschied  der  rechnerischen  und 
der  graphischen  Entwickelung  beinahe  verschwindet,  um  aber  zu 
sehen,  wie  weit  sich  die  Genauigkeit  der  Methode  steigern  lässt,  habe 
ich  den  gleichen  Linienzug  nur  mit  doppelt  vergrosserten  Ordinaten  und 
mit  einem  auf  60  cm  ausgedehnten  Abscissenintervall  nochmals  analy- 
siert und  dabei  die  lithographisch  reproduzierte  Yorzeichnung  der  Pro- 
jektion der  60  Erzeugenden  eines  Cylinders  von  60  cm  Umfang  benützt  * 

*  Bei  Benützung  einer  solchen  lithographischen  Unterlage  darf  man  natür- 
lich nicht  ausser  Acht  lassen,  den  Papiereingang  durch  Umfahning  einer  ge- 
eigneten Probefläche  von  bekanntem  Inhalt,  etwa  des  lithographierten  recht- 
^kigen  (Jmiisses  des  Cylinders  zu  bestimmen  und  in  Rechnung  zu  ziehen.  Die 
bei  den  beschriebenen  Versuchen  notwendigen  Flächenmessungen  und  Rechnungen 
^i  mein  Assistent  Herr  R.  Lutz  in  dankenswerter  Weise  ausgeführt. 


92     Hannonische  Analyse  mittelst  Polarplanimeters.    Von  S.  Finstebwaldee. 

Es  ergaben  sich  nun  folgende  Werte  für  die  ersten  sechs  Paare 
Ton  Gliedern: 

y  =  -  5,486cos(15*a;)  -  1.460 sin (lö^a;) 

-  0,369  co8(30*»a;)  +  0,628  8in(80®a?) 

-  0,320  cos  (Ab^x)  -  0,325  sin  (45®a:) 

-  0,271  cos  (60^0;)  +  0,lö6sin(60*»a;) 

-  0,01 5  cos  (75«a;)  -  0,0M  sin  (75®x) 

-  0,158  cos  (QO'^ic)  -  0,002  sin  (90®a;). 

Die  Übereinstimmung  mit  den  gerechneten  Werten  ist  nun  noch 
yiel  besser  geworden  ^  nur  der  erste  Koeffizient  weicht  noch  um  0,009  cm 
ab,  sonst  kommen  keine  grösseren  Differenzen  als  0,004  cm  mehr  vor. 
Freilich  beansprucht  die  Aufsuchung  der  zwölf  Koeffizienten  auch  die 
Tagesleistung  eines  gewandten  Zeichners. 

Die  auseinandergesetzte  Methode  ist  durch  einen  Konstruktions- 
versuch  zur  Herstellung  eines  Harmonischen  Analysators,  den  0.  Henrici 
an  der  früher  citierten  Stelle  S.  129  unter  dem  Spezialtitel:  ,,  Neues 
Instrument^'  beschreibt,  ziemlich  vorgebildet  und  mit  Rücksicht  auf 
den  rein  mathematischen  Inhalt  hätte  die  Veröffentlichung  derselben 
leicht  unterlassen  werden  können.  Ich  habe  mich  indessen  auf  den 
Standpunkt  gestellt,  dass  den  Technikern  eine  ihnen  gelegene  Methode 
nicht  vorenthalten  werden  soll. 


Anmerkung:  Während  des  Satzes  vorstehender  Zeilen  wurde  ich  vom 
Herausgeber  der  Zeitschrift  auf  eine  Arbeit  von  Perry  und  Hunt:  „The  Develop- 
ment of  Arbitrary  Funktions",  Phil.  Magazine  Vol.  XL  6  Ser.  July-December  1895, 
S.  606  — 511,  aufinerksam  gemacht,  welche  den  Hinweis  auf  eine  Note  des  erst- 
genannten Verfassers  in:  ,,The  Electrician^*  vom  28.  Juni  1895  enthält.  Nach 
Letzterer  geht  die  Grundidee  des  auseinandergesetzten  Verfahrens  auf  keinen 
Geringem  als  Clifford  zurück,  von  dessen  Schülern  am  Finsbury  Technical  College 
dasselbe  praktisch  ausgearbeitet  und  erprobt  wurde.  Die  Herren  Perry  und 
Hunt  haben  das  Verfahren  in  der  erstgenannten  Arbeit  auf  die  Auswertung  von 
Integralen  von  der  Form:  a 

Jy'Q{x)dx, 

0 

worin  Q{x)  eine  bekannte,  y  eine  graphisch  gegebene  Funktion  von  x  ist,  aus- 
gedehnt. Der  Wunsch ,  die  Methode  weiteren  Kreisen  zugänglich  zu  machen ,  mag  es 
rechtfertigen,  dass  ich  unter  den  auseinandergesetzten  Verhältnissen  die  Publikation 
meiner  Mitteilung  nicht  zurückgezogen  habe. 


Die  r&tmiliche  und  seitliche  Ausbreitung 

der  Gravitation« 

Von 

Paul  Gerber 

in  Stargfttd  in  Pommern. 


L  Das  GmndgeaetB. 

Die  GravitatioiiBerscheinungen  zeigen  die  einzigen  an  getrennten 
Körpern  bestehenden  Wirkungen,  f&r  die  man  noch  keinen  Anteil  des 
zwischenliegenden  Raumes^  d.h.  kein  Vorhandensein  sich  von  Ort  zu 
Ort  mitteilender  Veränderungen  in  ihm  nachweisen  kann,  um  so  be- 
greiflicher ist  die  Hoffiiung^  dass  es  schliesslich  einmal  gelingen  werde^ 
den  fehlenden  Nachweis  zu  führen.  Nur  darf  man  die  Sache  nicht  so 
betrachten^  wie  wenn  an  der  Scheinbarkeit  jener  Ausnahme  nicht  zu 
zweifeln  sei.  Alle  bekannten  und  yerstandenen  Beobachtungen  drangen 
riehnehr  zum  Gegenteil.  Es  muss  daher,  falls  dies  dennoch  bloss  auf 
mangelnder  Erfahrung  oder  unyollsföndiger  Analyse  beruht,  erst  dar- 
gethan  werden,  dass  es  Thatsachen  giebt,  die  unsere  bisherige  Auf- 
fassong  nach  entgegengesetzter  Seite  berichtigen  und  er^üizen.  Dazu 
ut  es  vor  allem  nötig,  jede  Hypothese  fem  zu  halten,  die  mehr  an- 
nimmt, als  dass  in  dem  Räume  zwischen  zwei  gravitierenden  Massen 
etwas  geschehe,  das  teil  an  der  Gravitation  hat.  Wegen  früherer  ähn- 
licher, doch  unzureichender  Behandlungen  der  hier  erörterten  Frage 
sei  auf  das  der  69.  Naturforscherversammlung  erstattete  Referat  über 
Femwirkungen  von  Drude  verwiesen. 

Zwei  gravitierende  Massen  geben  sich  als  solche  durch  den  Wider- 
stand zu  erkennen,  den  sie  einer  Vergrösserung  ihres  Abstandes  ent- 
gegensetzen. Damit  müssen  also,  während  sie  selbst  in  Ruhe  oder  in 
Bewegung  sein  können,  die  etwa  vorhandenen  Vorgänge  in  dem  Räume 
zwischen  ihnen  zusammenhängen.  Offenbar  ist  mit  der  Lage  oder  mit 
ihr  und  dem  momentanen  Bewegungszustande  der  Massen,  soweit 
äussere  Einflüsse  ausgeschlossen  sind,  nicht  nur  der  eine,  örtliche 
Widerstand,  sondern  auch  die  Reihe  aller  bis  ins  Unendliche  folgenden 
Widerstände  bestimmt.  Die  zu  ihrer  Überwindung  notwendige  Arbeit 
ist  also  ebenso  wie  der  einzelne  Widerstand  selbst  eine  die  Gravitation 


^  Die  räumliche  und  zeitliche  Ausbreitung  der  Gravitation. 

dutfakterisierende  Grösse.  Bloss  sie  kann  hier^  wo  es  darauf  ankommt, 
ob  mit  der  Gravitation  sich  im  Räume  unter  Zeitverlust  ausbreitende 
Verinderungen  yerbunden  sind^  als  Grundgrösse  angesehen  werden. 
Dom  es  hat  dem  Begriffe  nach  keinen  Sinn^  von  der  raumlichen  Fort- 
pflanzung des  Widerstandes  oder  der  Anziehung  zu  reden^  da  Wider- 
stand und  Anziehung  als  solche  nur  an  den  Orten  vorhanden  sind,  wo 
sich  die  Massen  befinden.  Aber  wenn  von  einem  Vorgänge  ausgesagt 
wirdy  er  brauche  Zeit^  um  von  einem  nach  einem  anderen  Ort  zu  ge- 
langen, so  heisst  dies^  er  hört  an  dem  ersten  Orte  zu  existieren  auf, 
ohne  in  demselben  Augenblick  sogleich  an  dem  zweiten  Orte  zu  sein; 
daher  würde  die  in  dem  Vorgänge  enthaltene  Energie  zeitweise  ver- 
schwinden^ wenn  sie  nicht  durch  die  zwischen  den  beiden  Orten  ge- 
legenen Punkte  hindurchginge.  Sie  ist  gleich  der  genannten  Arbeit, 
sobald  der  Vorgang  zur  Gravitation  zweier  in  den  Orten  befindlichen 
Massen  gehört^  da  er  dann  ebenfalls  von  deren  Lage  und  momentanem 
Bew^pingszustande  abhangt  und  diese  nicht  zwei  verschiedene  Energi^ 
grossen  bedingen  können. 

Nun  werde,  indem  zur  Unterscheidung  die  eine  Masse  die  an- 
liehende,  die  andere  die  angezogene  heisse,  unter  dem  Potential  V  der 
anziehenden  Masse  auf  die  angezogene  m  der  auf  die  Einheit  der 
zweiten  Masse  entfallende  Teil  der  Arbeit  verstanden,  die  zu  leisten 
ist,  damit  sich  die  Massen  bis  ins  unendliche  von  einander  entfernen, 
die  mithin  insgesamt  Vm  betrage.  !Pür  den  Punkt,  in  dem  sich  die 
festgehalten  gedachte  Masse  m  befindet,  und  dessen  Koordinaten,  be- 
zogen auf  die  ebenfaUs  festgehaltene  anziehende  Masse,  x,  y,  z  seien, 
kann  man  nach  der  in  Machs  Prinzipien  der  Wärmelehre  beschriebenen 
Methode  V  berechnen,  indem  man  es  gleich  dem  Mittelwert  aller 
in  nächster  Umgebung  des  Punktes  herrschenden  Potentiale  setzt 
V  ist  ja  keine  gerichtete  Grösse  und  fiir  eine  gq^bene  Lage  unver- 
änderlich in  der  Zeit.  Es  sei  in  m  gleich  /(x,  y,  js)  und  fOr  einen 
Naohbarpunkt  irleich 

Ferner  bedeute  ^^^^^^-.^^^^ 

das  Gewicht  des  Nachbarjurnktes  im  Mittelwert,  das  bei  Nahwirkungen 
mit  wachsender  Entfernung  schnell  abnimmt    Dann  findet  man 

///tU  »'+  k'4.l*)dhdkdl 


—  « 


EntwiokoU    uiaii  /'   niioh   der    Taylorschen    Reihe    bis    zur    zweiten 
Poton«,  und  iutogriert  man  um  den  I\inkt  x,  y,  z  herum,  so  wird 


Von  Paul  Gebbkb.  95 


r  « 

fffi 


df 


,dx 

—  X 


Ä  +  I^Ä;  + -|^i) <p (VF+F+P) dÄdidZ  =^  0, 


—  X 

/  / /i (>^ÄM-  **  +  l^)  V dh dJc dl  ==  fffv {Vh^+h^+l')k^dhdJcdl 


—  «  —  oo 


=  fffv  {VV+Jc^+l^)PdhdJcdl 
Es  bleibt,  wenn  man  «/  t/  «/ 


00 

=  n 


Jff(p(yh*+k*+V)dhdkdl 


also 


'^  "^  2  Vdfa?»  "^  dy^  "^  d  W 
«l«F  ,   d'^y  ,   d*V      ^ 


«la;*   '    dy*       dz^ 

Aq8  dieser  Gleichung  folgt  auf  bekannte  Weise  ^  wenn  ia  eine 
Konstante  bezeichnet  und  r  der  Abstand  der  Massen  ist, 

r 
Hieraus  ergiebt  sich  das  Newtonsche  Oraritationsgesetz.     Denn 

^=  -  gilt  auch  noch  in  dem  Augenblick,  da  man  die  Massen  loslässt. 

Die  Zunahme  yon  Vm  stimmt  mit  der  erscheinenden  lebendigen  KxsSi  dT 
fiberein  ^  und  darum  enthalt  T  in  jenem  Augenblick  ebenso  wenig  wie 
^  die  Änderung  von  r  in  der  Zeit.  Folglich  hat  ;man  nach  den  all- 
gemeinen Lagrangeschen  Bewegungsgleichungen,  indem  man  an  Stelle 
der  äusseren  auf  die  Masse. m  wirkenden  Kraft  den  negatiyen  Wert 
der  Ton  ihr  ausgeübten  Kraft  setzt,  für  die  Beschleunigung  von  m 

m  dr       dr  r* 

Das  Newtonsche  Gesetz  schreibt  die  Potentiale  yor,  die  die 
Massen  in  jeder  Lage  erreichen,  wenn  ihnen  die  zu  deren  Zustande- 
kommen erforderliche  Zeit  zur  Verfügung  steht.  Diese  Bedingung  ist 
UQmer  erftUt,  sobald  die  Massen  in  ihrer  gegenseitigen  Entfernung 
festgehalten  werden.  Sie  hört  auf  bei  eingetretener  freier,  einander 
^tgegen  gerichteter  Bewegung,  falls  jene  Zeit  eine  endlich  bemessene 
Grösse  hat.    Zwei  Umstände  sind  dabei  yon  Einfluss.     Erstens  muss 


96  I^ie  räumliche  and  zeitliche  Ausbreitung  der  Gravitation. 

zwar  im  Abstände  r  —  Ar  der  Massen,  wo  Ar  bei  wachsendem  \ 
positiv,  bei  abnehmendem  negativ  ist,  das  Potential  sich  in  der  im 
umgekehrten  Verhältnis  zu  r  —  Ar  stehenden  Grösse  zu  bilden  anfangen^ 
weil  sonst  nicht  einzusehen  wäre,  wie  sich  dieses  Verhältnis  bei  dei 
Ruhe  der  Massen  zu  erfQllen  vermöchte.  Aber  es  gelangt  nicht  so- 
gleich zur  Wirkung  an  t»,  da  der  es  bedingende  Vorgang  von  der  an 
ziehenden  Masse  ausgeht  und  Zeit  braucht,  um  bis  zur  angezogenes 
Masse  fortzuschreiten.  Selbstverständlich  findet  ein  Fortschreiten  dei 
gedachten  Art  auch  von  der  angezogenen  zur  anziehenden  Masse  statt 
ähnlich  wie  zu  jeder  Wärmeausstrahlung  zwischen  zwei  Körpern  ein^ 
Gegenstrahlung  gehört.  Das  bei  dem  Abstände  t  —  ^t  von  der  an- 
ziehenden Masse  ausgehende  Potential  bethätigt  sich  also  in  m  erst  i\ 
einer  um  bi  späteren  Zeit,  nachdem  der  Abstand  gleich  r  geworden 
ist.  Zweitens  würde  das  Potential  wohl  bei  Femwirkung  unmittelb 
in  seinem  vollen  Betrage  erscheinen-,  sind  jedoch  Raum  und  Zeit 
der  vorausgesetzten  Art  mit  im  Spiel,  so  hat  es  auch  eine  gewii 
Dauer  nötig,  damit  es,  bei  m  angelangt,  dieser  Masse  sich  mitt«il< 
d.  h.  den  ihm  entsprechenden  Bewegungszustand  von  m  hervomiiV. 
Denn  nur  die  Annahme  von  Femwirkungen  lässt  ünstetigkeit  in  d 
Erscheinungen  zu;  ihre  Ersetzung  durch  die  Annahme  von  Nahwirk 
ungen  hat  vor  allem  den  Zweck,  die  sich  an  den  übrigen  physikalischei 
und  chemischen  Verändenmgen  bewährende  Stetigkeit  auch  in  die  Auf 
fassung  der  Gravitation  einzuführen.  Wie  sich  daher  beim  Stosse  di( 
Stosskraft  aus  succ.  Elementarstössen  zusammensetzt,  so  geschieh! 
die  Übertragung  des  als  Potential  anlangenden  Vorganges  auf  m  durc 
schnell  aufeinander  folgende  Differentialpotentiale.  Wenn  die  Masse 
ruhen,  geht  die  Bewegung  des  Potentials  mit  ihrer  eigenen  Geschwindig 
keit  an  m  vorüber;  dann  bemisst  sich  sein  auf  m  übertragener  We 
nach  dem  umgekehrten  Verhältnis  zum  Abstände.  Wenn  die  Massei 
aufeinander  zueilen,  verringert  sich  die  Zeit  der  Übertragung,  mithi 
der  übertragene  Potentialwert  im  Verhältnis  der  eigenen  Geschwindig 
keit  des  Potentials  zu  der  aus  ihr  und  der  Geschwindigkeit  der  Massen 
bestehenden  Summe,  da  das  Potential  in  Bezug  auf  m  diese  Gksanit 
geschwindigkeit  hat. 

Das  Potential  bewegt  sich  ausser  mit  seiner  Geschwindigkeit  ( 
noch  mit  der  Geschwindigkeit  der  anziehenden  Masse,  von  der  es  aus- 
geht. Der  Weg  r  —  ^r^  den  die  beiden  sich  entgegenkommenden  Be- 
wegungen, die  des  Potentials  und  die  der  angezogenen  Masse,  in  dei 
Zeit  ^t  zurücklegen,  beträgt  daher 

während  r  =  cL.t  ist.     Also  erhält  man  für  den  Abstand,  bei  dem  sich 
das  Potential  zu  bilden  anfängt,  und  dem  es  umgekehrt  proportioDalj 


Von  Paul  Gbrbkh.  97 

Weil  ferner  die   Geschwindigkeit,  mit  der   die  Bew^pingen  an  ein- 
ander yorbeigehen,  den  Wert 

Mj  fallt  das  Potential  wegen  des  Zeitverbrauches  zu  seiner  Mitteilung 
an  m  auch  proportional 


Ar 


aas.    Man  findet  so 


/,      1  Ar\« 
Ar 


Solange  der  Weg  Ar  kurz  und  deshalb  ^  gegen  c   klein    ist,   darf 


man  dafär  j-  setzen.    Dadurch  wird 


1  dr\^' 


(-IS) 


woraus  mit  Hülfe  des  binomischen  Satzes  bis  zur  zweiten  Potenz  folgt 


''-f['+lr:+^©l- 


Hier  ist  in  dem  Ausdruck  f&r  V  nicht  bloss  r,  sondern  auch  die 
Ableitong  von  r  nach  der  Zeit  enthalten.  Darum  ergiebt  sich  ver- 
iQoge  der  allgemeinen  Lagrangeschen  Bewegungsgleichungen  fär  die 

B^Ueimigung  von  m,  wenn  j^  mit  r'  bezeichnet  wird, 


«  dr      m  di   df*  ^  dr 


Die  Annahme,  dass  ^  im  Vergleich  mit  c  klein  ist,  trifft  im  Ge- 
biet der  gewöhnlichen  Gravitationserscheinungen  zu;  sonst  könnte  das 
Newtonsche  Gesetz  sich  nicht  an  bewegten  Massen  in  dem  Maße 
bewahrheiten,  wie  es  dies  thut.  Aber  unter  besonderen  Bedingungen, 
z.  B.  durch  eine  den  Massen  yon  aussen  erteilte  Anfangsgeschwindigkeit^ 

Jtann  ^  so  gross  werden,  dass  weder  -^  ihm   gleich  gesetzt  werden 

^rf,  noch  die  Entwickelung  der  binomischen  Reihe  bis  zur  zweiten 
Potenz  genügt.  Die  abgeleitete  Formel  hat  daher  nur  Gültigkeit,  wenn 
die  grayitierenden  Massen  ein  freies,  nach  aussen  hin  unabhängiges 
System  bilden.  In  diesem,  übrigens  vor  der  Hand  wichtigsten  Falle 
^^^stimmt  sie  die  Veränderung,  die  das  Newtonsche  Gesetz  dadurch 
erleidet,  dass  sich  die  Potentiale  zwischen  den  Massen  nicht  momentan, 
8ondem  mit  Zeitrerlust  ausbreiten. 

2«ttMhim  f.  KatheiBAtik  n.  Physik.  48.  Jfthrg.  1898.  S.  Heft.  7 


98  ^ie  räumliche  und  zeitliche  Ausbreitung  der  Gravitation. 

2.  Die  Fortpflansungsgesohwindigkeit. 

Je  nachdem  die  Beobachtungen  f&r  die  in  die  vorige  Rechnung 
eingeführte  Grösse  c  einen  endlichen  oder  einen  unendlich  grossen 
Wert  liefern,  findet  man  mehr  oder  weniger  sicher,  dass  die  Potentiale 
gravitierender  Massen  Zeit  brauchen,  um  die  zwischen  diesen  liegenden 
Abstände  zu  durchschreiten,  oder  dass  eine  solche  zeitliche  Ausbreituiut 
nicht  existiert,  mithin  die  Gravitation  auf  wahrer  Femwirkung  beruht 
Besonders  bedarf  es  der  Erfüllung  zweier  Forderungen.    Erstens  sind 

wegen  des  Übergewichtes  von  c  über  ^  die  c  enthaltenden  Glieder  des 

Ausdruckes  für  die  Beschleunigung  der  Masse  m  von  dem  ganzen  Aus- 
drucke abzusondern  und  mit  den  Thatsachen  vergleichbar  zu  machen; 
zweitens  ist  die  Grössenart  zu  ermitteln,  durch  die  das  Vorhandensein 
eines  endlichen  Wertes  von  c  zu  erkennen  sein  muss,  und  daraufhin 
dann  die  Erfahrung  zu  prüfen.  Da  der  Schauplatz  der  Thatsachen 
nur  das  Planetensystem  sein  kann,  stelle  man  sich  als  die  anziehende 
Masse  die  Sonne,  als  die  angezogene  einen  Planeten  vor.  Zur  Ver- 
einfachung werde  dessen  Bewegung  auf  die  Sonne  als  Anfangspunkt 
der  Koordinaten  bezogen,  sodass  die  Eonstante  [i  im  Verhältnis  der 
Summe  der  Massen  zur  anziehenden  Masse  vergrössert  gedacht  werden 
muss. 

Man  setze  i  /"^  V-  ^  ^  _  TT 

c*\dtj       c*   dt*  ~~  ^' 

Also  ist 

'^.  -  -  fr  (.  -  F), 

woraus  durch  Multiplikation  der  einen  Gleichung  mit  y  und  der 
anderen  mit  x  und  durch  Subtraktion  folgt 

d»y  d*x       rt 

Dies  ist  die  auch  bei  der  Ableitung  der  Eigenschaften  und  der 
Bahn  der  Planetenbewegung  aus  dem  Newtonschen  Gesetze  ent- 
stehende Gleichung,  die  durch  Integration  und  Einführung  von  Polar- 
koordinaten, wenn  &•  der  Winkel  zwischen  dem  Radiusvektor  und  der 
positiven  Abscissenaxe  ist  und  L  eine  Eonstante  bedeutet,  ergiebt 

add"  -r 

r* =a  Jj 

^  dt     ^• 

Setzt  man  den  hierin  enthaltenen  Wert 


dt  =  r!4^, 


femer 


Von  Paul  GhERssB.  99 

% 

^ .  fl.    „«  j    y 

r 

in  die  Gleichungen  f&r 


—  =  cos  d"     und     —  =  sin  ^ 
r  r 


-?-r     und     -5-4- 
dt*  dt* 

ein,  so  lauten  diese 

rf^__«£(1^20sin^rfd. 
Hit  den  Eonstanten  M  und  J^  wird  durch  Integration 


dx  a 


^  ^~ii y~är  ^  ^  ^®*'  findet  man  aus  den  beiden  letzten  Gleich- 


ungen 
r  = 


^_  ^af^-  i ^Fco8»de\sm9  +  \^N+  I  ^Fsin^d^Jccse' 


Die  Int^prale  im  Nenner  nehmen  nach  und  nach  andere  und 
andere  Werte  an,  falls  F  nicht  verschwindet.  Setzt  man  voraus,  man 
wisse  ihren  Wert  zu  einer  bestimmten  Zeit,  so  kann  man  sagen,  dass 
der  Planet  sich  zu  dieser  Zeit  auf  einer  durch  jene  Gleichung  be- 
schriebenen Ellipse  befinde.  Ist  deren  halbe  grosse  Aze  a,  ihre  halbe 
kleine  Axe  6,  die  numerische  Exzentricitat  €  und  der  Winkel  von  a 
mit  der  positiven  Abscissenaxe  o,  und  löst  man  die  Gleichungen  für 

r  =-  a(l  —  «)>    ^"^  ^(1  +  0 

und  r  ==  —  nach 
a 

LyM+l  ^Fcosd^dd^    und    N  +  1  ^Fsin^dd^ 
auf,  so  erhält  man 

M  +  I  j^Fcosd'd^  =  —  jyäiiBmm, 

N+  I  ^Fsind-dd^^      ^VaTiCOSö. 

Man   sieht,    indem    man    die    Unveränderlichkeit    von   -=    beachtet, 
dass  sich   die  Bewegung   des  Planeten  so  deuten  lässt,  wie  wenn  er 

7* 


L^b 


100  ^^  räumHche  und  zeitiiche  Ausbreitung  der  Gravitation. 

auf  einer  Ellipse  einhergehe^  deren  s  und  a  sich  stetig  verändern. 
Nur  für  den  Fall,  dass  JP»0  ist,  hört  diese  Veränderung  auf.  Sie 
ist  es  also,  wodurch  das  Vorhandensein  eines  endlichen  Wertes  von 
c  in  Wirkung  kommt.  Man  erhält  f&r  JP,  sobald  man  die  beiden  letzten 
Gleichungen  nach  t  differenziert,  den  Wert  von  L  einsetzt  und  die 
eine  durch  

cosd-h-^^ 

0 

die  andere  durch  ,/ — 

sind"«^-^ 

dividiert,  -       j     ja  j     j^ 

F—       BincD  a£    a^        Bconm  dm   dt 


F^ 


cos^  dt  de-        co8<&    dt  dd" 
008  0  dB    dt        e  sin  CO  dm   dt 


sind  dt  dd'        sind     dt  dd 
Durch  Gleichsetzung  beider  Ausdrücke  ergiebt  sich  mit  a  »  0-  —  o 

de  ,  dm 

woraus  rückwärts  folgt 

•p s       dt    dm 

cOs«  dd"    dt 

um    mittelst   dieses  Wertes   eine  nur  Beobachtungsgrossen  ent- 

/2m 

haltende  Gleichung  für  -^  zu  gewinnen,  stelle  man  F  durch  die  Ab- 
leitungen von  r  nach  t  dar.  Man  hat,  wieder  mit  Berücksichtigung 
der  ünveränderlichkeit  von  -^y  ausserdem  mit  Benutzung  der  Formeln 

de  .  dm 

^==-6tanga^, 

r^'-^^L    und    L^h^: 
dt  ya 

a 

r  = 


l'\-e  cos  a 
dr  ar^ (  de  .       dO-    ,        ,       d<o\ 

ar* /  .  dm  dd"    ,  dm\ 

=  - -p-^- «cosatanga-gj- £8in«^  +  £8ma-g^j 

atr*    .       d9 


eVaük     . 
— T-^sma, 


Von  iVuC/GsBiiEB.  101 

d*r  yäji    .       de    ,    »yöii    '  ' :  iCfi^  .     el/ou  da 

»        -         ,  ^     . 

eVau    .        .  da   ,    sVau  dd"     "  sVai      ''da 

•  ••  • : 

sYaiik    ,       ,  da    ,    $a  sVaii  da 

sVaä  da    .    su 

=  —  -jT — -  TTT  +  -T  cos  «. 

bcoBa   dt    '    r* 


Also  ist 


da 


o'c'  '    6c"coßa  dt         r 


Daher  lautet  die  gesuchte  Gleichung  fOr 


dt 


BT^Va     da  ds'aii    .  •  ^irVaü  da  .    Geu 

ii/ur^nrf  dr  6*c*  6c* cos«    dt   *      r 


6» 


&VfftC08a  dt 

oder  nach  Einsetzung  von  r  =  — rn r-  und  6  ■»  a  V'l  —  «^  und 

^^  a  (1  +  €  cos  «)  ' 

nach  Division  durch     '^J^^ 

&y|[AC08a 


di-=  -  a(l-Oc'(^+'^^^")d?"-^ ?L^(l4.,cos«)«ßin«a 


cosa 


8 


■I 5 — ^ — (1 +«  cosa)' COS*  a. 

a?(l-e«)«c" 

Wenn  man  den  so  berechneten  Wert  der  Geschwindigkeit  -^  mit 

den  Beobachtungen  vergleichen  will,  hat  man  zu  berücksichtigen,  dass 
die  Bechnung  nur  einen  einzigen  Planeten  voraussetzt.  Daher  können 
allein  Perihelbewegungen  in  Betracht  kommen,  die  nicht  aus  Stönmgen 
entstehen.  Solche  sind  bloss  beim  Merkur  bekannt,  in  einem  Betrage  von 
etwa  41"  in  einem  Jahrhundert.  Diese  Kleinheit  schliesst  von  vorn- 
herein jede  erÜEihrungsmassige  Feststellung  der  stetigen  Veränderlich- 

keit  von  ^  aus.     Also  ist  über  eine  längere  Zeit  hin  zu  integrieren. 

In  der  letzten  Gleichung  kommt  nur  £,  nicht  auch  -^  vor;  und  sofern 

die  Änderungen  von  s  gegen  s  selbst  verschwinden,  kann  man  dieses 
als  konstant  ansehen.    Es  genügt  danach  als  Grenzen  der  Integration 

da 

tf  =  0  nnd  a  ^27C  zu  wählen,  da  ~jr  bei  jedem  folgenden  Umlauf  die 
Werte  des  vorigen  Umlaufes  sehr  annäherungsweise  wiederholt. 


102  ^^^  iHumliche  und  zeitlich« ^Ausb/eitang  der  Gravitation. 


•  ••    •   •    • 

dm 

un 


Man   multipli4eiv9\ai«  ^;|GHteichung  ftbr  -j^  mit  dt  und  setze  i 
zweiten  und  im'  anffen^  Gliede  der  rechten  Seite 


•   •    •   •        •  S  8 


•    ••' 


•      • 


•  \  • 


dt^  j^d» J?(izi5!_(rfa  +  de). 

fi^(14-«C0Ba)* 

Durch  passende  Ordnung  und  Division  ergiebt  sich 

-7- — ^-iT-T  (1  +  f  COB  «)  cos'« TT — ^-r—i  sura  cofl« 

de, «(^-'•)'''       . ^ÜZfV rf«. 

^H /^      «V    t(l+gCOBc) /4      «V    .(l+CC08c)COB»tt4-     .^     ^    ,sm'g( 

Dividiert  man  Zähler  und  Nenner  durch 


COBff 


r«> 


a(l-€«)c"      c» 

ordnet  man  nach  steigenden  Potenzen  von  cosa,  und  setzt  man  zur 
Abkürzung  -  «cos«  +  2cos««  +  Sfcos»«  =  v, 

3  B  cos  «  —  2  cos^a  —  3c  cos'«  =  w, 

80  wird  ^ 

de»  =  --| da. 

-  +  2  +  W 

y 
Angenähert  erhalt  man 


d&  "= 


[T^"(f^']"- 


Für   die   Perihelbewegung  ^    Ti^rend   eines   Umlaufes    ergiebt   sich 
daher  sk 


■/[TT7 


oder,  weil  ®      *"  ^ 

VW  ^  —  3«*co8*o  +  8  «  cos*«  +  4(3  «^  —  1)  cos*«  — 12 6  oos^a 

—  9  «*co8*a, 

Daraus  folgt 


Beachtet  man,  dasa  t  sehr  Uein  ist,  so  sieht  man,  dass  das 
■weite  Glied  unter  der  Wurzel  gegen  das  erste  verschwindet  Der  für 
d§9  gewiUte  Nahenmgsausdruck  ist  danach  noch  zu  genau,  d.Ii.  f^ 
hatte  von  vornherein  veraachlSssigt  werden  dürfen.    Mithin  wird 


Von  Paul  Qbbbkb.  103 

y  ^ 

wo  aus   demselben   Grunde  2y  gegen      J'    unberücksichtigt    bleiben 
kann.    Man  erhalt  daher  schliesslich 


Hierin  ist 


T* 


wenn  t  die  Umlaufszeit  des  Planeten   bedeutet.     Speziell  für  Merkur 

gelten  folgende  Werte: 

a  =  0,3871.149.10«km, 

B  «  0,2056, 

r  =  88  Tage, 

^  =  4,789.10-^. 

c  =  305500  km/sec. 


Man  findet  damit 


Die  kleinste  bisher  gefundene  Geschwindigkeit  des  Lichtes  hat 
Foucault  erhalten,  gleich  298000  km/sec;  die  grösste  ergiebt  sich 
nach  der  Methode  von  Römer  aus  den  neuesten  Beobachtungen  zu 
308000  km/sec;  die  Geschwindigkeit  der  elektrischen  Wellen  fand 
Hertz  in  seinen  Versuchen  320000  km/sec.  Also  stimmt  die  Ge- 
schwindigkeit, mit  der  sich  das  Grayitationspotential  aus- 
breitet, mit  der  Geschwindigkeit  des  Lichtes  und  der 
elektrischen  Wellen  überein.  Darin  liegt  zugleich  die  Bürg- 
schaft, dass  diese  Geschwindigkeit  existiert. 

Freilich  wird  niemand  in  Abrede  stellen,  dass  die  Perihelbewegung 
des  Merkur  von  41"  in  einem  Jahrhundert  auch  durch  andere,  noch 
unbekannte  Umstände  bedingt  sein  könnte,  so  dass  es  eine  endliche 
Geschwindigkeit  des  Gravitationspotentials  nicht  zu  geben  brauchte. 
Man  hat  aber  zu  bedenken,  dass  die  hier  hauptsächlich  entscheidende, 
übrigens  auch  die  Abweichung  von  allen  früheren  Ergebnissen  ähn- 
licher Untersuchungen  bedingende  Formel  für  die  Abhängigkeit  des 
Potentials  von  einer  solchen  Geschwindigkeit  auf  völlig  naturmässigem, 
nicht  erst  durch  schwierige  Hypothesen  führendem  Wege  gewonnen 
ist.  Es  wäre  daher  ein  sonderbarer  Zufall,  wenn  die  41  Sekunden 
<le8  Merkur  gerade  die  Licht-  und  Elektrizitätsgeschwindigkeit  lieferten, 
ohne  mit  einer  räumlich -zeitlichen  Ausbreitung  der  Gravitation  etwas 
zu  thon  zu   haben,  da   doch   das  Medium,   worin  diese  Ausbreitung 


104     Die  räumliche  und  zeitliche  Ansbreitung  der  Gravitation.  Von  Paul  Gubex. 

nnd  die  Bewegung  des  Lichtes  und  der  elektrischen  Wellen  erfolgen^ 
derselbe  zwischen  den  Weltköipem  sich  erstreckende  Baum  ist. 
Nicht  einmal  die  yerhaltnismassig  grosse  Perihelbewegung,  die  man 
mit  dem  gefundenisn  Werte  von  c  für  die  Venus  erhalt,  nämlich 
8"  in  einem  Jahrhundert,  kam?  als  stichhaltiger  Einwand  gelten*, 
oder  eine  Beyision  der  Störungen  dieses  Planeten  müsste  die  Möglich- 
keit jener  Zahl  endgtlltig  ausschliessen.  Es  sei  daran  erinnert,  dass 
die  Berechnungen  der  säkularen  Beschleunigung  des  Mondes  zwischen 
6"  und  12"  zu  schwanken  vermochten.  Im  übrigen  ergeben  sich  lauter 
unmerklich  kleine  Perihelbewegungen.  Sie  betragen  nach  den  aus 
den  gebräuchlichen  Tabellen  leicht  zu  entnehmenden  Beobachtungs- 
werten  bei  der  Erde  in  einem  Jahrhundert  3",6,  beim  Monde  (f\06j 
beim  Mars  l^^S,  beim  Jupiter  0",06|  beim  Saturn  (y',01,  beim 
Uranus  0'S002  und  beim  Neptun  (f^fiOOl. 


Zur  Ausgleichung  eines  durch  Längenmessnngen 

bestinimten  Punktes.* 

Von 

E.  Hammkb 

in  BUittK»rt 


Eine  nur  unter  besondem  Verhältnissen  praktisch  anwendbare 
Methode  der  Einschaltui^  eines  Neupunktes  in  ein  Netz  gegebener 
trigonometrischer  Punkte  ist  die  der  direkten  Messung  der  Strecken 
zwischen  dem  Neupunkte  und  einigen  gegebenen  Punkten.  Gleichwohl 
wird  diese  Methode  der  Punktbestimmung  (die  eigentlich  nicht  mehr 
trigonometrisch  heissen  sollte,  weil  sie  keine  Winkelmessui^  erfordert 
und  weil  auch  die  Rechnung  selbstverständlich  nicht  notwendig  tri- 
gonometrisch gef&hrt  werden  muss)  in  den  Lehrbüchern  der  Geodäsie 
und  in  einzelnen  Eatasteranweisimgen  neben  den  üblichen  Methoden 
der  Bestimmung  durch  Winkelmessung  angefahrt,  und  sie  bietet  in 
der  That  jedenfalls  theoretisches  und  methodisches  Interesse. 

Die  Bezeichnung:  ,,Bestimmung  durch  Bogenschnitt'',  die 
neuerdings  für  diese  Aufgabe  aufgekommen  ist,  halte  ich  deshalb  für 
nicht  glücklieh,  weil  auch  das  Bückwärtseinschneiden  eine  Bestimmung 
durch  Bogenschnitt  isi 

1.  Einleitung. 

Jede  Messung  zur  Bestimmung  eines  Neupunktes,  sei  es  beim 
;,£inschneiden^  Winkelmessung  auf  einem  der  gegebenen  Punkte 
oder  Winkelmessung  auf  dem  zu  bestimmenden  Punkt,  sei  es  bei  der 
uns  hier  beschäftigenden  Aufgabe  die  Messung  der  Strecke  zwischen 

*  Dia  folgende  methodische  Notiz  war,  als  Fortsetzung  eines  Aufsatzes  über 
gr&pldsche  Ausgleichung  von  vorw&rts  oder  rückwärts  eingeschnittenen  Punkten, 
for  die  Zeitschrift  für  Yermessungswesen  (vergleiche  daselbst  Jahrg.  1896,  S.  611; 
1897,  8. 249)  bestimmt.  Da  sie  aber  dort  immer  wieder  zurückgestellt  werden 
mosste,  möchte  ich  sie  in  der  „Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik"  veröffent- 
lichen, deren  neues  Programm  ja  auch  solche  einfache  praktische  Dinge  mit 
omÜMft 


lf)0     ^'T  Aai([loIcbung  eines  durch  LängenmeBBUDgen  beBtünmten  Punktes. 

«iiiKin  (j^^KhBiion  und  dem  zu  beBtimmenden  Punkt,  liat  den  Zwect, 
«cifiMii  )>liiiiiii)<ttriBchen  „Ort"  für  den  zu  bestimmenden  Punkt  fest- 
■MiUmun;  \mm  Vorwärtseinscbneiden  sind  diese  Örter  gerade 
(«iiii>iii,  diu  von  gegebenen  Punkten  ausgehen;  beim  Rückwärts- 
uiiiHi'.tinuidun  (donken  wir  uns  Winkel  gemessen)  Kreisbögen,  die 
dlriir  ffitgobHittin  Strecken  als  Sebnen  und  mit  den  gemessenen  Winkeln 
hIh  l'itrijilitiriuwinkeln  beschrieben  werden;  bei  der  Bestimmung  durch 
I<Jtiit(*""ii'""'^"K  endlich  sind  es  Kreisbögen,  die  gegebene  Punkte 
KU  Millulpuiikton  und  die  gemessenen  Strecken  zu  Halbmessern  haben. 
Wttnil  diii  Entfernungen  des  Punktes  von  zwei  gegebenen  Punkten 
i/iiliiuiiauii  Miiid,  HO  int  er  einfach  planimetrisch  bestimmt,  wie  man  ikn 
K.  I(.  hIh  NUlianingspunkt  ftlr  das  folgende  zu  berechnen  hat;  sind  da- 
uiit/tui  dl«  Kiitfnruungon  nach  mehr  als  zwei  gegebenen  Punkten 
u(iili"<M'<ii ,  Ko  hiuidolt  ea  sich  um  eine  Au^leichuugsaufgabe,  die 
iiii:|iiii>i'Im<i|i  itdor  graphisch  gelöst  werden  kann.  Die  rechnerische 
A  iinululcliiiiiM  ixt  aU  habsches  ein&ches  Beispiel  für  Termittelnde 
HtHilii(iiliiiliig'<i>  Mohon  mehr&cb  behandelt  worden,  vergl.  z.  B.  Jordan, 
||itiiilt>iii>ti  ■Ikc  Vt>rm«88.  II,  3.  Aufl.,  S.  198-199  („Bogenschnitt  mit 
AutiKttihOiiiiig"i  wültoi  es  sich  um  Au^leichung  von  Abstichen  aas 
ntiiixii  l'liHi  in  kU'iiieni  MnßsUb  handelt);  Koll,  Ueth.  der  kl. Qu.  1893, 
H  IUI)  Hg  |„Ilogt>i))(i>huitt  gemessener  Längen'^;  Anweisung  IX  f9r 
iltM  iiiiiiiHaiBiOiim  trig.  und  polyg.  Arbeiten,  2.  Aufl.,  1894,  Trig.  Form. 23. 
l„lli'Hi'ii«t»lniltt  ^'">  MpssungsUnien",  S.  335  flg.^;  F.  G.  Gauss,  die 
IHH  llMil  l"'l,v«.  »twhnn«gen,  2.  Aufl.,  1893,  a  138,  140,  143  flg. 
i\t,\\  htil)\  «tiaiumm''nh!tngeud  S.  514  flg.  i „Bogenschnitt  aus  Elein- 
llii(ti|i">  Kiut<  gra)thit>ohe  Anf^eichung  dagegen,  die  nicht  auf  fehler- 
ui^i^tmdi>  l'tvii'okv  aioh  ütittien  würde,  ist  meined  Wissens  bisher  nicht 
uiiki'  h\>'''"i>i*  *'*"'  i*"''  mM)le  daher  diese,  ab  hier  besonders  an- 
.>.U.t>tlu>t>,  *W  Ki'^tiung  meiu««  in  d«r  ersten  Anmerkung  dtierten 
\t,l-.uU»a  i\[\\\v  ^rMjihiM'he  Au^eichunu:.  mitteilen.  Zum  Vergleich 
,1  (  iUt>  vi'slutwisohe  Aus^eiehuKg  nebst  einiges  Bemakunsea  aber 
y  .Ml  il'Uktn  tVttlor  v>.«nuii^\s«t3t.  uud  imr  sofort  mit  Übergang 
,  n  iimm  /«Uln»Wisj>iel  .^.ler  Eiztaohbeit  halber,  da  es  ja  nur  auf 
Kv  VI'  iK.i.Uh  Httkvvhtmi,  mit  cur  einer  aVrwiiüisisen  Messung). 

•  \..  Ii  ..  U  Vvu  Wfii.:^;  ;■.,-/:,  .^r  t;.r:l..i  £i  l-.x  -V:it«ilniigen  dei 
k,  W  jj.Ia  ^  ,-  .„i  lu>i.i..;*  \  R»^i  X\":,  W^fs  1**T,  *i»f  «ij-  ssjfikrtiche  -Ab- 
'^M.J>nuM  iil-  '  .;i.4i>',..iv-i:<'  -Vi-ar.-f ""i -T^  jvof!*«.  iii,  »■:fv«  läj*  sw  hiei  besthäf- 
^.T','iil\  \uI(,  .  ■•■  .  i.~-.:  ii-i:i;.S  »-.ri  ,".;;  V(i.ri:('-".i:^  äi  r:iiÄm:Adr*tonniiiieii. 
''  ••  '>■  ■'  \'  .-'-.j  r,-.;  .'.s  v.-T-siT^  .•■i:;  r';i-"i--^  i::i::««.-ii;;»»eii  Pnntt 
,'  ■  ^^  M\',  i:j  Tu«  i:;  !  .j-^T  ,»  t*  t::t  jwi»^  Aa&ati  ni 
.ln-1--.^-    •_-    if-    ;.i.s..-i-^    fr.T   ^ ;;awss-:^,i«»*wt    1896,  be- 

.-     — ..    ■-•.;    ;!;    f^r    (.3.-.^  »-i^-T*   l^JV'ii  frti-;:i.tz     **^.  i.  B.  in 
^»-  ,.''    —  i,\  3>.\   l.tf    t**    ÄV' 


Von  E.  ELuniE«. 


107 


2.  Die  Aufgabe. 

Es  sind,  auf  ebenem  Gelände,  das  auch  in  sonstiger  Beziehung 
fär  direkte  Längenmessung  gfinstig  ist  (z.  B.  Strassen  u.  dergl.),  die  drei 
Punkte  B,  W,  Z  durch  ihre  Koordinaten  gegeben: 


B 

W 

Z 


+  23740,40 
+  24349,08 
+  23955,13 


+  4728,44 
+  5041,11 
+  5613,97 


Um  den  Neupunkt  N  zu  bestimmen,  sind  seine  Entfernungen  von 
B,  W,  Z  direkt  gemessen  und  es  ist  als  unmittelbares  Ergebnis  ge- 
funden worden:  BN^L,^  522,60; 

WN  -  ij,  =  367,59; 
ZJV^=  1^  =  439,99; 
was  sind  die  Koordinaten  Ton  N  (des  ausgeglichenen  Punktes)? 

8.  BeohnexiBOhe  AuBg^eiohniig. 

Es  seien  (x,  y)  die  Koordinaten  des  gesuchten  Punktes  N,  {Xq,  y^) 
die  Koordinaten  eines  Naherungspunktes  N^  (zu  berechnen  mit  Be- 
Datzung  von  zwei  der  gemessenen  Entfernungen),  so  dass  also  mit 

X^  Tq  +  X 


1) 


noch  die  Verbesserungen  x,  y  der  Koordinaten  von  N^  auf  ^  zu  bestimmen 
sind. 

Aus  den  Verbesserungsgleichungen  {L  sind  die  ausgeglichenen 

Langen): 

(  L,^  L,  +  v^^y^x  -  x,y  +  {y  ^y,y 


2) 


l  h--L^+%-  y{x -x,\  +  {y- y.y 


sieht  man  sofort,  dass^  mit  Benutzung  des  Näherungspunktes  (x^yQ)  zur 
Durchführung  der  Rechnung,  die  Koeffizienten  und  Absolutglieder  der 
linear  gemachten  Verbesserungsgleichungen  zu  berechnen  sind  aus: 

«0  —  Xk 


3) 


o*= 


6»  = 


Lo^k 


cos(JSr^o), 


LOfk 
.    U^  Lo^k  —  Lk] 


aa(KNX 


J 


108  Zu'  Ausgleichung  eines  durch  Längenmessungen  bestimmten  Punktes. 


dabei  ist  je  K=^  B^W,  Z  zu  setzen  und  £0,  k  bedeutet  den  Abstand 
zwischen  dem  Näherungspunkt  {x^  y^)  und  dem  fest  gegebenen  Punkt 

K{^  J5,  W,  Z). 
Die  zweite  Form  für  a«  und  hu  ist  noch  angeschrieben,  weil  man 
ohnehin  die  Z^,  k  mit  Benutzung  der  Richtungswinkel  {KN^  rechnen 
wird  (von  ganz  kleinen  Abmessungen  abgesehen^  bei  denen  die  Quadrat- 
tafel ausreichen  würde).  Nimmt  man  hier  nach  vorlaufiger  Naherungs- 
rechnunflc  &n: 
4)      *  «:„=  + 24007,70  1^0= +  5177,30, 

SO  erhält  man  nach  3)^  wenn  die  Absolutglieder  nur  auf  1  cm  gerechnet 

werden,  nämlich: 

l^^U,i-I^^  522,42  -  522,60  =  -  0,18, 
Zg «  Xo,«  -  A  =-  367,54  -  367,59  =  -  0,05, 
?3  =  Xo,8  -  is  =  439,82  -  439,99  =  -  0,17, 

und  wenn  die  Koeffizienten  a,  h  auf  zwei  Stellen  abgerundet  werden, 

die  Yerbesserungsgleichungen: 

|i?i  =  +  0,51  X  +  0,86  y  -  0,18, 
v,  =  -  0,93  X  +  0,37  y  -  0,05, 
Vj  =  +  0,12a;  -  0,99 y  -  0,17; 
dabei  sind  or,  y  und  {  in  Metern  genommen,   was  hier  ofiFenbar  nicht 
zu  unbequemen  Zahlen  führt. 

Was  nun  die  Gewichte  angeht,  so  denken  wir  uns  die  L  zunächst 

einmal  nur  mit  unregelmässigen  Fehlem  behaftet  (proportional  yX 
anzusetzen),  also  die  Gewichte  umgekehrt  proportional  X;  nimmt  man 
L  in  Kilometern,  so  wird: 


6) 


0,68 
1 

0,87 

1 
0,44 


=  2,7, 
=  2,3 


mit  abBichtlich  starker  Abnmdung  und  nach  der  Angabe   so,  dass 
ff  «x  1  der  Strecke  1000  m  entapricbt. 

Mit    diesen  Zahlen  erhält  man   durch  Rechenschieber-Rechnung 
ili«  Normalgleichungen: 


7) 


j     2,88  X 
1-0,37« 


0,37  y  -  0,10  =  0. 
+  4,01  y  +  0,03  =  0. 

(||t<  Aufl»«ung  giebt: 

y 0,01m  (P,=  3,96), 

a;  =  4.0,03m   (P.=  2,85), 

[pvv\  =  0,131, 

somit  m.  F.  der  Gewichtseinheit 


[pH] -0,134; 


■S) 


m=--|/-J4?i—±  0,36  m. 


Von  E.  HAxmE.  109 

Ln  ganzen  wird  also: 

^=  iro+  «  =  +  24007,73  ±  0,21, 
y  =  %+»  =  + 5177,29    ±0,18. 


9)  N 


4.  Begelm&saige  Fehler. 

Hier  fallen  vor  allein  die  unerwartet  grossen  m.  F.  auf;  ±  0,36  m 
unregelmassiger  m.  F.  f&r  1000  m  würde  meinen  Fehler  von  m^  (un- 
regelm.  m.  F.  pro  Meter)  »  ±  1,16  cm  entsprechen,  wahrend  unter 
günstigen  Verhältnissen  gute  Lattenmessung  leicht  mit  m^  (unregelm. 
m.F.pro  Meter) »±  1mm  und  noch  weniger  zu  machen  ist.  Rechnen 
w  hier  die  Verbesserungen  v  der  einzelnen  Messungen  aus,  so  geben 
die  Verbesserungsgleicliungen  5): 

It?^  =  —  I65  cm, 
t?,  t=  —  8  cm, 
f?j  «=  —  16  cm, 

[somit  [pvv]  »  0,132,  genügend  stimmend  mit  8)],  abo  alle  v  negativ 
und  yiel  grösser  als  (bei  der  selbstverständlichen  Festhaltung  der  An- 
nahme, dass  die  relative  Lage  der  gegebenen  Punkte  vollständig  genau 
sei)  der  Fehler  der  Längenmessung  erwarten  lässt. 

Ist  es  hier  nicht  gerechtfertigt  an  den  L  eine  konstante  Ver- 
besserung anzubringen,  z.B.  die  Annahme  zu  machen,  dass  ein  Latten- 
meter nicht  mit  dem  Eoordinatenmeter  übereinstimme?  Ein  Lattenmeter 
wäre  hier  (relativ)  zu  kurz,  denn  die  mit  den  Latten  erhaltenen  Zahlen 
sind  zu  gross.  Das  Verhältnis  der  einzelnen  v  zu  den  zugehörigen  L 
ist  der  Reihe  nach  rund        111 

82Ö0'     46ÖÖ'     28ÖÖ' 

das  Mittel  w&ce  ungefähr  ^^  und  mit  um  soviel  verkürzten  L  könnte 

man  die  Ausgleichung  wiederholen.  Auch  abgesehen  von  einer  Ver- 
schiedenheit der  Läi^e  des  Lattenmeters  und  Eoordinatenmeters  ist  be- 
kanntlich, bei  Latten  von  genau  richtiger  Länge,  bei  Messung  auf 
ebenem  Boden  (und  noch  mehr  bei  Absenkeln)  eine  kleine  negative 
konstante  Korrektion  der  Messungszahlen  erforderlich,  allerdings  nicht 
so  gross,  wie  oben  berechnet,  sondern  nur 

bis 


6000  6000 

der  Lange.    Nimmt  man  oben  als  Reduktionszahl  der  Messungszahlen 

-  -~  an,  d.  h.  ändert  die  L  von   522,60,   367,59  und  439,99  auf 

522,47,  367^    und   439,88   und   wiederholt  mit   diesen    Zahlen  die 
Ausgleichung,  so  findet  man  einen  Punkt  N,  dessen  Abscisse  zwar  nur 

tun  einige  cm  (etwa  3)  grösser  wird  als  oben,   und  dessen  Ordinate 
etwa  1  om  kleiner  ausfällt;   aber  die  m.  F.  sinken   selbstverständlich 


\\Q   Zur  Ausgleichung  eines  durch  Längenmessungen  bestimmten  Punktes. 

sehr  bedeutend.  Ob  man  ein  solches  Verfahren  thatsachlich  schon  bei 
drei  Messungen  rechtfertigen  könnte^  ist  fraglich;  wenn  aber  viele 
Strecken  vorliegen  und  alle  v  dasselbe  Vorzeichen  bekommen,  ins- 
besondere die  -^  ungefähr  auf  einen  gemeinsamen  Wert  hinweisen,  so 

ist  der  Neupunkt  in  der  That  schärfer  bestimmt,  ab  aus  den  un- 
mittelbaren L  hervorgehen  würde.  In  dem  Beispiel  von  Eoll  (Meth. 
d.  kl.  Qu.,  S.  127)  mit  den  Ergebnissen 

v,=  +  0,07, 
i?,-~0,24, 

t^s  ^  +  0,08, 
t?4--0,18, 
f;^  =  -  0,18 

(die  L  sind   der   Reihe   nach   332,   272,  247,  270,  417  m)  wäre  ein 

Abzug  von  etwa  -^^  an  den   L  gerechtfertigt.     Ganz  ohne   Willkür 

würde  es  bei  einem  solchen  konstanten  Koeffizienten  nicht  abgehen; 
aber  man  käme  auf  diesem  Wege  jedenfalls  zu  ebenso  zutrefiFenden 
oder  selbst  bessern  Resultaten,  als  wenn  man  nur  dadurch  Rücksicht 
auf  die  konstanten  Fehler  nimmt,  dass  man  statt  der  obigen  einfachen 
Gewichtsannahme  q 

die  also  nur  auf  den  unregelmässigen,  proportional  ^Xsich  ver- 
grössernden  Messungsfehler  Rücksicht  nimmt.  Gewichte  für  die  Längen- 
messungen  ansetzt,  die  nach 

oder  besser 

11)  ^  mL=Vk^L  +  ]c^L^ 

zugleich  Rücksicht  auf  die  konstanten  Fehler  der  Längenmessung 
nehmen  sollen.  Es  ist  mit  den  gewöhnlichen  Mitteln  (ohne  Eom- 
parator)  z.  B.  Normalmeter  und  dem  oft  verwendeten   Stangenzirkel, 

oft  nicht  leicht  die  Länge  einer  Latte  auch  nur  auf  —  mm  festzustellen 

und  die  indirekte  Vergleichung  zweier  Lattenpaare  durch  Messung  der- 
selben günstigen  Strecke  mit  scharfen  Endpunkten  unter  Anwendung  der 
beiden  Lattenpaare,  wobei  das  eine  z.B.  bei  zwei  Messungen  119,45  und 
119,46  m,  das  zweite  aber  119,50  und  119,49  lieferte,  giebt  über  den 
(relativen)  regelmässigen  Fehler  leicht  schärfer  Aufschluss  als 
direkte  Vergleichung  mit  den  oft  nur  vorhandenen  bescheidenen  Mitteln; 
in  dem  eben  angeführten  Beispiel  wären  die  Längen  an  dem  zweiten 
Lattenpaare  um  25  mm  auf  120  m  kürzer  (die  Zahlen  sind  grosser) 
als  an  dem  ersten  und  es  wäre  von  den  durch  die  zweiten  gelieferten 


Von  E.  Hammse.  Hl 

1 

Vessungszahlen  abzuziehen,   um   sie   mit   Zahlen,   die   das  erste 

gegeben  hat,  vergleichbar  zu  machen.  Freilich  ist  dies  nur  eine  re- 
lative Korrektion^  über  den  absoluten  Betrag  des  regelmässigen  Latten- 
fehlers,  und  also  nach  weniger  über  den  regelmässigen  Gesamtfehler 
kr  Messung  ist  damit  durchaus  nichts  entschieden.  Aber  man  wird 
in  der  vorliegenden  Ausgleichungsaufgabe  mit  Verwendung  eines  solchen 
konstanten,  empirisch  bestimmten  Koeffizienten  der  regelmässigen 
Verbesserung,  wo  eine  solche  durch  die  v  entschieden  angedeutet  ist, 
wie  schon  bemerkt,  leicht  Ergebnisse  bekonmien,  die  richtiger  sind, 
als  wemi  man  die  L  unverändert  lässt  und  nur  Gfewichte  ansetzt,  die 
nach  11)  zugleich  auf  den  regelmässigen  Fehler  Rücksicht  nehmen 
soUen.  Nach  der  Preussischen  Katastervorschrifb  würden  z.B.  in  der 
obenstehenden  Aufgabe  (Gelände  I)  die  Strecken  Gewichtszahlen  gleich 
2,86,  4,71,  3,69  statt  der  oben  angenommenen  1,9,  2,7,  2,3  erhalten; 
die  Zahlen  der  ersten  Gewichtsannahme  verhalten  sich  wie  1 : 1,6 : 1,3, 
die  der  zweiten  (der  oben  gemachten)  wie  1:1,4:1,2;  an  den  Koordi- 
naten f&r  N  würde  so  auch  mit  den  ersten  Gewichten  kaum  etwas 
gegen  oben  g^ndert  und  jedenfalls  würde  an  den  m.  F.  nicht  viel  ge- 
ändert. Insbesondere  würden  die  m.  F.  von  x  und  y  entschieden  zu 
gross  ausfallen,  wenn  die  Punkte  B,  TT,  Z  als  sehr  gut  bestimmt  be- 
kannt sind  und  die  Messung  der  Strecken  L  z.  B.  sicher  nicht  mit 
einem  grossem  (unregelmässigen)  Fehler  als  ±2yL  ^t^  behaftet  ist. 

5.  GhraphiBOhe  Ansgleiohung. 

Hier  scheint  mir  nun  die  graphische  Ausgleichung  den  Vorteil 
ZQ  bieten,  dass  sie  auf  den  ersten  Blick  alle  wünschenswerte  Auskunft 
auch  über  einen  etwaigen  merklichen  konstanten  Fehler  bietet  (selbst- 
Terstandlich  kann  man  auch  bei  rechnerischer  Ausgleichung  den  kon- 
nten Fehler  leicht  absondern;  immerhin  ist  diese  Anschaulichkeit  des 
graphischen  Verfahrens  sehr  willkommen). 

Durch  eines  der  gemessenen  Z,  z.  B.  Lt  =  KN^  ist  als  plani- 
metrischer  Ort  des  Neupunktes  N  ein  Kreis  um  den  gegebenen  Punkt 
^  als  Mittelpunkt  und  mit  Lt  als  Halbmesser  fes^elegt.  Es  sei  nun 
wieder  nahe  bei  N  zunächst  ein  Punkt  Nq  fest  angenommen,  um 
dessen  Verbesserung  es  sich  handelt.  In  der  Nähe  von  Nq  wird  man 
f&r  eine  kurze  Strecke  den  Kreis  um  K  ersetzen  können  durch  die 
Richtung  seiner  Tangente;  diese  steht  senkrecht  auf  dem  Halbmesser, 
d.h.  die  Richtimg  der  Tangente  erhält  man  durch  einen  Richtungs- 
winkel der  sich  von  (KN^)  um  90®  unterscheidet.  Diese  Richtungs- 
^kel,  {KNq)  braucht  man  ohnehin  zur  Rechnung  der  Entfernungen 
^\\  da  KN  gemessen  ist,  hat  man  in  {KN^  —  KN)  auch  unmittel- 
bar den  Abstand  jener  Tangente  von  Nq  gegen  K  hin  (wirklich  gegen 
üf  hin  oder,  von  K  aus,  über  Nq  hinaus,  je  nachdem  die  angegebene 
Differenz  positiv   oder  negativ  ist).     Wenn   die    auf    solche  Art  er- 


112     Zur  Ausgleichung  eines  durch  Längenmessungen  besidmmten  Punktes. 


«g.i. 


haltene  Ausgleichungsfigur^    wenn  z.  B.  die  Entfernungen  AP,  BF^ 
CPy  BF  von  den  gegebenen  Punkten  A^  B,  C,  B  aus  gemessen  sind^ 

die  Form  von  Figur  1 
hätte,  so  wäre  an  der 
Berechtigung  einer  kon- 
stanten Yerbessenm^ 
der  Längenmesgungen 
(hier  dann  mit  dem 
Vorzeichen  +)  doch 
kaum  zu  zweifeln,  mag 
nun  diese  konstante 
Abweichung  wirkücl 
in  einer  Differenz  zwi^ 
sehen  Lattenmeter  und 
Eoordinatenmeter  oda 
in  irgend  einer  an- 
deren Quelle  regelmässiger  Fehler  ihren  Ursprung  haben. 

In  dem  in  den  Abschnitten  8,  und  8.  behandelten  Beispiel  hat  man 
folgende  Daten  zum  Auftragen  der  Bestinmiungslinien  fQr  N  (dei 
Tangenten  an  die  Kreise  um  B,  Wy  jS). 

|a:o=+24007,70|yo--  +  51"^ 


223.17  ^D 


Näherungspunkt : 


N. 


Richtungswinkel:  (^^o)  = 

somit 
R.W.  der  Tangente   ^{KN^)  ±90^^ 

Strecken  zum  Näherungspunkt:  KNq== 
Gemessene  Strecken:  KN  ^ 

Abstand  der  Tangente  von  N^, 

gegen  K  hin,  = 


'(  (BNo) 
.  -  59«,2 

1 

149»,  2 

1=  158«,2 
248»,2 

522,42 
522,60 

367,54 
367,59 

-0,18 

0,05 

1   {ZJfo) 
1=276^ 


i 


6^9 


439,82 
439,99 

-0,17 


Mit  diesen  Richtungswinkeln  und  Abständen  werden  die  Tangentei 
in  dasselbe  Netz  im  Maßstab  1 :  10  eingetragen,  wie  es  in  dem  obei 
zitierten  Aufsatz  des  Verfassers,  Zeitschrift  für  Vermess.  1896,  S.GIJ 
angegeben  und  verwendet  ist  (Randteilung  in  Graden,  Koordinaten 
teilung  nur  nach  Dezimetern,  nicht  nach  Centimetern,  also  Net: 
mit  cm-,  nicht  den  verwirrenden  mm -Linien).  Man  erhält  damit  die  ii 
Figur  2  stark  ausgezogenen  Linien. 

Wählt  man  ihnen  entsprechend  rasch  nach  Gutdünken  dei 
Punkt  N  aus,  so  ist  man  geneigt,  ihn  mit  etwa 

""  £=  +  24007,80,    y  =  +  5177, 28, 

also  mit  einer  gegen  das  Resultat  9)  etwas  grossen  Abscisse  anzusetzen 


Von  E.  Hamh^b. 


113 


Man  liat  aber^  wenn  man  sich  [vv]  gebildet  denkt,  zu  beachten,  dass 
mit  Entfernung  des  Punktes  von  der  Linie  (TT)  das  v^^  sehr  rasch 
wächst,  während  gleichzeitig  r^  und  ^3  nur  sehr  langsam  abnehmen. 
Man  wird  also  mit  N  doch  möglichst  nahe  bei  ( W)  bleiben  und  da- 
mit ein  Resultat  erhalten,  das  von  9)  praktisch  kaum  abweicht.  Eine 
Konstruktion  des  der  Methode  der  kleinsten  Quadrate  entsprechen- 
den Punktes  (vergl.  3.),  wie  sie  Bertot  u.a.  gegeben  haben,  empfiehlt 


Fig.  s. 


W 


\;-v-oV  i  : 


10, 


sich   auch  hier  nicht,   vernichtet  vielmehr  z.T.  die  Vorzüge  der  gra- 
phischen Ausgleichung. 

In   die  Figur   eingetragen   sind  nun  hier,   dem  Vorstehenden  ent- 
sprechend, aber  auch  noch  starke  Linien  —  —  — ;  diese  entstehen  durch 

Verkürzung  der  L  um  das  konstante  Maß  ---  von  L,   d.  h.  um   die 

oben   berechneten  Beträge   13,  9  und   11  cm,   und  neben  ihnen  sind 

noch  feine  Linien ,   die  von   mir  so   genannten   Nebenlinien 

(siehe   den  oben  angefahrten  Aufsatz  und  6.)  eingetragen.     Man  sieht 
hier  auf  einen  Blick,  dass  die  Verschiebung  der  — —  auf  die 

Zeltsehrift f. MAtbemAtikn. Physik.  48. Jahrg.  1898.  S.Heft  g 


114     Zur  Ausgleichung  eines  durch  Längenmessungen  bestimmten  Punktes. 

als  Bestmmungslinien  an  den  Koordinaten  des  zu  wählenden  Punktes  1^ 
praktisch  so  gut  wie  nichts  verändert^  auch  mit liest  man  ab: 

a;  =  +  24007, 76, 

5=^  +  5177,28; 

vergl.  dazu  die  Bemerkungen  zur  rechnerischen  Ausgleichung. 

Auch  bei  dieser  einfachen  graphischen  Ausgleichung  ist  es  ab 
Übungsaufgabe  für  Studierende  (nicht  im  Sinne  wirklicher  Anwendung 
bei  Ausgleichungen)  ganz  empfehlenswert,  flQr  eine  Anzahl  Ton  Punkt- 
annahmen in  der  Umgebimg  Ton  Nq  die  v  abzumessen  (sei  es  die  auf 
oder  — sich  gründenden)  und  je  die  [pvv]  zu  bilden,  end- 
lich aus  den  so  für  jene  Punkte  gewonnenen  Zahlen  Linien  gleicher 
[pvv]  empirisch  zu  konstruieren.  Wer  Ton  mittlerer  Fehlerellipse  noch 
nichts  gehört  hat,  wird  so  sehr  einfach  auf  sie  hingewiesen. 

6.  Nebenlinien.    SohluBsbemerkungen. 

(Soldnersche  und  Qausssche  Koordinaten.) 

Auch  hier  wird  zweifellos  die  volle  Anschaulichkeit  der  graphischen 
Ausgleichung  erst  erreicht  durch  die  Nebenlinien,  die  die  verschiedene 
Wertigkeit  der  einzelnen  Bestimmungslinien  graphisch  zum  Ausdruck 

bringen;  sei  es,  dass  man  sie  auf bezieht  und  dann  in  ihre  Abstände 

auch  den  konstanten  Fehlerteil  mit  aufnimmt,  oder  auf und  sich 

hier  wesentlich  auf  den  unregelmässigen  Fehler  beschränkt.  In  der 
obigen  Figur  2  ist  dies  mit  der  Annahme: 

unregelmässiger  Fehler  »=  ±  1,5 1/^  d^öi 

geschehen  und  zwar  bezogen  auf  —  —  — ,  bei  denen  der  regelmässige 
Fehler  im  wesentlichen  beseitigt  sein  wird.  Die  Abstände  der  Neben- 
linien   von  den  entsprechenden  Hauptlinien  werden 

l,5yö23,     1,5^368"    und     1,5VU0, 

also  ±34,  ±29  und  ±  32  mm.  Dass  man  sich  hier  wieder  zur  Ein- 
tragung von  Haupt-  und  Nebenlinien  zweckmässig  eines  Parallellineals 
bedient,  das  die  Parallelverschiebungen  direkt  einstellen  lässt  (vergl 
Zeitschrift  für  Vermessungsw.  1896,  S.  616),  braucht  wohl  kaum  be- 
sonders hervorgehoben  zu  werden. 

Wenn  auch  auf  die  Aufgabe  der  Ausgleichung  überschüssiger 
Streckenmessungen  zur  Bestimmung  der  Lage  eines  Punktes  praktisch 
nicht  viel  Gewicht  zu  legen  ist,  so  sei  doch  noch  daran  erinnert,  dass 
man  gelegentlich  solche  Streckenmessung  mit  Vorwärts  •  oder  Rückwärts- 
schnitten kombinieren  kann,  indem  der  eine  oder  andere  der  ge- 
gebenen Punkte  nahe  und  für  die  Längenmessung  bequem  liegt 
Bei  graphischer  Ausgleichung  ist  diese  Kombination  besonders  einfach. 

Zum  Schluss  sei  auch  noch  besonders  angeführt,  dass  man  bei 
der  Punktbestimmung  durch  Streckenmessung  sehr  leicht  (etwas  be- 
quemer als  bei   der  Winkelmessung)  Rücksicht  nehmen  kann  auf  die 


Von  E.  Habimeb.  115 

Verschiedenheit  der  Streckenverzerrong  in  verschiedenen^  von  einem 
Punkt  ausgehenden  Richtungen^  wenn  die  Punkte  sich  auf  ein  System 
Soldnerscher  Koordinaten  (oder  ein  anderes^  nicht  winkeltreues  System) 
beziehen.  Wenn  die  Ordinate  der  Messungsstelle  sehr  gross  ist^  so 
kann  ja  die  Yerstreckung,  die  wie  ein  mit  der  Richtung  der  ge- 
messenen Strecke  reränderlicher  konstanter  Fehler  wirkt^  sogar  für 
gewohnliche  Lattenmessung  fühlbar  werden;  z.B.  ist  im  Soldner  sehen 
System  mit  y  =  90  km  der  Maximalwert  der  Verstreckung  des  Bogen- 

differentials  bereits  rund  >  also  neben  den  andern  konstanten  Fehlem 

der  Längenmessung  wohl  filhlbar.  Diese  diflferentielle  Verstreckung  ist  bei 
Soldner  Null  in  der  Richtung  senkrecht  zur  rc-Axe  (Richtungswinkel  90® 

und  270°)  und  erreicht  ihr  Maximum,  in  Bruchform  r^;  in  der  Richtung 

der  X'Axe  (Richtungswinkel  0®  und  180®);  in  beliebiger  Richtung 
(Winkel  a  mit  der  x-Axe)  beträgt  sie  endlich 

Diese,  für  verschiedene  Richtungen  verschiedene,  prozentische  Ver- 
grosserung  der  gemessenen  Strecken  wäre  vor  ihrer  Einführung  in  die 
Rechnung  anzubringen,  wenn  man  bei  besonders  scharfer  Längen- 
messung und  bei  grosser  Entfernung  der  Messungsstelle  von  der  x-Axe^ 
80  bis  100  km  z.  B.,  überhaupt  auf  sie  Rücksicht  nehmen  will;  selbst- 
Terstandlich  gilt  dies  sowohl  für  rechnerische  als  fQr  graphische  Aus- 
gleichung. Bei  Qaussschen  Koordinaten  statt  Soldnerschen  ist  diese 
Projektionsvergrösserung  der  gemessenen  (jedenfalls  kurzen,  nur  einige 
hundert  Meter  langen)  Strecken  für  alle  dieselbe  und  kann,  wenn  sie 
überhaupt  berücksichtigt  werden  soll,  mit  der  sonst  etwa  als  zweck- 
mässig sich  zeigenden  konstanten  Veränderung  dieser  Strecken  zu- 
sammen gemessen  werden.  Wäre  also  die  Punkteinschaltung  durch 
Langenmessung  (statt  der  durch  Winkelmessung)  praktisch  wichtig,  so 
wäre  hier  ebensowenig  oder  weniger  als  dort  die  Soldnersche  Abbildung 
im  Vorteil  gegen  die  Gausssche  und  es  ist  nicht  richtig,  wenn  in 
der  geodätischen  Litteratur  (im  Anschluss  an  die  frühere  Entwickelung 
Jordans,  vergl.  z.B.  Handbuch  der  Vermessungskunde,  2.  Auflage  1878, 
2.  Band  S.296,  S.Auflage  des  S.Bandes,  1890,  S.  285-287)  immer  noch 
das  Gegenteil  behauptet  wird. 


f 


116  Kleinere  Mitteilungen. 

Bemerknng  ftber  einen  Satz  der  Differentialrechnnng. 

Von  G.  Kowalewsld  in  Leipzig. 

Gauss  (vergl.  Kr 0 necker,  Vorlesungen  über  die  Theorie  der  einfachen 
und  vielfachen  Integrale,  herausgegeben  von  E.Netto,  l.Vorl.  S.  12)  definiert 
einmal  die  Stetigkeit  einer  Funktion  in  dem  folgenden  Sinne: 

„Geht  X  von  x^  bis  x^  und  nimmt  y  für  diese  beiden  Werte  der  Variablen 
die  Werte  y^  und  y^  an,  dann  giebt  es  zwischen  x^  und  Xy^  jedesmal  ein  x\  für 
welches  die  Funktion  den  zwischen  y^  und  y^  beliebig  gewählten  Wert  j^'  erhält/^ 

Gegenwärtig  gilt  bekanntlich  die  von  Dirichlet  (Grelle,  Bd.  4,  S.  159) 
gegebene  Definition,  welche  den  Begriff  mehr  einschränkt,  sodass  eine  Funktion, 
welche  die  von  Gauss  angegebene  Eigenschaft  hat,  nicht  notwendig  in  dem 
heutigen  Sinne  stetig  zu  sein  braucht.  Eine  grosse  Klasse  von  solchen  Funk- 
tionen bilden  z.B.  alle  Derivierten  von  stetigen  Funktionen. 

Im  folgenden  soll  ftlr  Funktionen,  die  nur  der  Gaussschen  Forderang 
genügen,  ein  Satz  bewiesen  werden,  der  in  dei*  Differentialrechnung  fiir 
stetige  Funktionen  bewiesen  wird.    Er  lautet: 

Hat  eine  Funktion  f{x)  in  dem  Intervall  (a . . .  &)  einschliesslicli 
der  Grenzen  die  von  Gauss  angegebene  Eigenschaft,  besitzt  sie 
ferner  an  jeder  Stelle  im  Innern  des  Intervalls  eine  bestimmte 
Derivierte  und  ist  /'(a)  =  /'(2>),  so  giebt  es  zwischen  a  und  h  eine 
Stelle  I,  an  welcher  die  Derivierte  verschwindet. 

Dass  f{x)  im  Innern  von  (a . . .  2»)  eine  bestimmte  Derivierte  besitzt,  soll 
(im  Anschluss  an  Dini,  Grundlagen  für  eine  Theorie  der  Funktionen  einer 

reellen  veränderlichen  Grösse,   Seite  93,  §  72)  bedeuten,    dass  für  jedes  % 

fix  4- 9)-^  fix) 
zwischen  a  und  h  der  Grenzwert  von   -     -~i~  — -    endlich    oder   unendlich 

gross,  aber  von  bestimmtem  Vorzeichen,  ist;  gleichviel,  ob  d  positiv  oder 
negativ  sich  der  Null  nähert. 

Konstruiert  man  um  die  Stelle  c  «=  — ~  mit  einer  beliebigen  positiven 

Grösse  b  l  nur  muss  b  <  -~—  sein  j   ein  Intervall    (c  —  e  .  .  .  c  +  0   ^^ 

greift  aus  demselben  zwei  Werte  x\  x"  heraus,  so  kann  möglicherweise 
f(/)  =  /*(«")  sein.  Wenn  dagegen  f{x^)  ^  f(p^^')  ist,  so  ist  eine  Differenzen 
fix*)  —  /"o,  f{x*^)  —  ^,  wo  fo=^f((i)  =  f(b)  sein  soll,  von  Null  verschieden. 
Es  sei  z.B.  /"(^f')  — /J)<0.  Dann  kann  man  zwei  Werte  c^,  c^  so  zwischen 
f(x')  und  f{x^^)  wählen,  dass  c^  — /"q,  c^  —  fo  beide  von  Null  verschieden 
sind  und  dasselbe  Vorzeichen  haben.  (^Man  braucht  nur  C|,  c^  genügend  nahe 
an  f(x!)  zu  wählen.)  Weil  f(x)  die  Gausssche  Eigenschaft  hat,  giebt  es 
zwischen  x'  und  o;"  zwei  Stellen  x^,  arg,  sodass  f(xi)  =  Cj,  f(x^)  =  c^  ist. 
Dann  sind  also  auch  f(xi)  —  fo^  f{^2)~~fo  beide  von  einander  und  von  Null 
verschieden  und  haben  dasselbe  Vorzeichen.     Ausserdem  ist 

c  —  c  <  a^j  <  arg  <  c  +  f, 
wenn  die  Bezeichnung  so  gewählt  wird,  dass  x^^  <  x^  ist.     Wenn  nun 


Kleinere  Mitteilungen.  117 


i  Z' W  -  /•  I  >  I  fi^f)  -  fo 
ist,  so  liegt  /*(jCj)  zwischen  /q=  f(a)  und  /"(aJi),  mithin  giebt  es  zwischen  a 

und  jj  eine  Stelle  x^\  sodass  /*(V)  =  fi^f)  ist  (a  <»-,'<  irj<  a;,<  c  +  e). 

hn  FaUe  |  f(jc,)  -  /o  |<  |  fix^)  -  /o  |  Hegt  f{x,)  zwischen  /"(x,)  und  /^  -  /"(ft), 

folglich  giebt  es  zwischen  x,  und  &  eine  Stelle  x^^  so  dass  /"(xj)  =  /"(^i)  ist 

(c  —  e  <  Xj  <  x,  <  rri'<  6). 

Es  hat  sich  also  ergeben ,  dass  einer  der  folgenden  drei  Fälle  eintritt: 
Entweder  ist  f(x')  =  /"(x")  oder  /"(x/)  =  f{x^)  oder  /"(x,')  =  f{x^'),  wobei 
c— e<x'<x"<c+c,    c  — €<Xi<x/<6,    a<x,'<x,<c  +  ff. 

Dies  können  wir  so  ausdrücken: 

Ist  f{a)  =  f{h)  und  hat  f(x)  in  dem  Intervall  (a . . .  6)  mit  Einschluss 
der  Grenzen  die  Gauss  sehe  Eigenschaft,  so  giebt  es  zu  einer  beliebig  ge- 
wallten positiTen  Grösse  £   ein  ganz  innerhalb  (a...b)  gelegenes  Intervall 

(«,...  6|)  von  der  Grösse  &i  —  ^i  <  — « — h  e  derart,  dass  f(a^)  =  f{\)  ist. 

Diesen  Schluss  kann  man. ohne  Ende  wiederholen.  Zu  einer  beliebig 
gewählten  positiven  Grösse  C|  findet  man  dann  ein  ganz  innerhalb  (oj . . .  &i) 

liegendes  Intervall  (Of . . .  &j)  von  der  Grösse  6,  —  o,  <  -— „"^  +  ^i   derart, 

dASS  ^(O})  ^  /^(^i)  ^^^  ^^d  ^^  ^^^*    "^^^  diese  Weise  gewinnt  man  eine  un- 
endliche Beihe  von  Intervallen 

(a . . .  6),   (oj . . .  &i),  . . .  (a«  . . .  6»),  . . ., 
wo  jedes   ganz  in   dem  vorhergehenden  enthalten  ist  und  hinsichtlich  der 
Grösse  die  Ungleichungen  bestehen: 

&«  —  »«< 2 *"  **-*  •         (»» =  1»  2, . . .) 

Sind  die  £,  £j,...  so  gewählt,  dass  ««— i  = — "^  — ^^^^  ist,  so  er- 
kennt man  leicht,  dass  /3\»r 

&•-«.<  (J)  (&  -  a) 

wird,  dass  also  lim  (&«  —  a«)  =  0  wird.    Dann  aber  giebt  es  einen  Punkt  g, 

»SS  OD 

der  in  allen  jenen  Intervallen  enthalten  ist,  sodass  a«,  <  |  <  6«  ist.     Wir 
haben  also  das  Resultat: 

Hat  f(x)  in  dem  Intervall  (a . . .  &)  einschliesslich  der  Grenzen  die 
Gansssche  Eigenschaft  und  ist  f{o)'=f(p)j  so  existiert  im  Innern  von 
(a . . .  6)  eine  Stelle  £,  um  welche  sich  Intervalle  (a„  .-.&«)  von  beliebiger 
Eleinheit  konstruieren  lassen  derart,  dass  /"(a«)  »  fip»)  ist. 

Ziehen  wir  jetzt  unsere  Voraussetzung  über  die  Derivierte  von  f(x) 
in  Betracht,  so  ergiebt  sich,  da  die  beiden  Quotienten 

f{fln)-m)        A&O-/*«) 


1       TL = » 


wenn  sie   nicht  verschwinden,   entgegengesetzte  Zeichen    haben,    dass  nur 
r({)  —  0  sein  kann. 

Als  Beispiel  einer  Funktion,  welche  unseren  Voraussetzungen  genflgt, 
ohne  überall  stetig  zu  sein,  führen  wir  die  folgende  an,  in  welcher  die 
Qoadratwarzeln  positiv  sein  sollen. 


WS  Kleinere  MitteiluDgen. 

-  f(x)  ^2x  +  (sin  jy+  V^l^,    (x  <  0). 

Hier  ist  f(l)  =  /"(—  l)  =  1).  An  der  Stelle  a;  ==  0  ist  eine  Unstetig- 
keit,  während  die  Gauss  sehe  Eigenschaft  offenbar  besteht  and  der  vorwärts 
und  rückwärts  gebildete  Differentialqaotient  gleich  -f  <^  ist. 


Bemerknngen  zu  dem  Mittelwertisatz  für  ein  System 

von  n  Integralen. 

Von  G.  Kowalewaki  in  Leipzig. 

In  Heft 8  des  vorigen  Jahrgangs  habe  ich  den  Satz  aufgestellt,  dass  fürn 
b 

Integrale  Jq>i(f)dt  (*  ==  1,  2 . . .  w),  wo  die  q>i  reelle  und  von  a  bis  6  stetige 

a 

Funktionen  sind,  n  Gleichungen  bestehen: 

6 

f<p,it)dt  =  [it<Pi(ii)  +  •■■  +  J^Vi{t»)]Q>  -  «)• 

a 

Dabei  sind  A^ , . . .  >l„  positive  Grössen  mit  der  Summe  A^  H h  ^  =  ^ 

und  ^j ,  f^...tft  gewisse  Werte  aus  dem  Intervall  (a . . .  b).  Durch  eine  ein- 
fache Variablenänderung  k^ann  man  auch  den  allgemeineren  Satz  beweisen, 
dass  unter  denselben  Voraussetzungen  n  Gleichungen 

b  6 

fipi(t)F(t)dt  =  [k,ip^(f,)  +  . . .  +  Xn9>i{Q]fF(t)dt 

a  a 

bestehen,  vorausgesetzt,  dass  F(i)  von  a  bis  b  stetig  ist  und  keinen  Zeieben- 
wechsel  erleidet. 

Für  n  =  2  bin  ich  zu  diesem  Satze  durch  ein  Theorem  von  Weier- 
strass  gefflhrt  worden,  welches  Hermite  in  seinem  Cours  von  1882  (ge- 
halten an  der  Faculte  des  sciences)  in  der  7.  Vorlesung  (Seite  63  der  Aus- 
gabe von  Andoyer)  entwickelt  mit  Hilfe  von  Betrachtungen,  die  der  Statik 

angehöre!.     Setzt  man  f(t)  =  9p(^)  +  i^f(t)  und 

b  b 

fF(t)f{t)dt^ljifF(t)ät, 

a  a 

WO  F(t)  von  a  bis  b  sein  Zeichen  nicht  ändern  soll,  so  sagt  (nach  Hermite) 
der  Satz  von  Weierstrass  aus,  dass  (i  das  Affix  eines  Punktes  ist,  der 
innerhalb  jedes  die  sämtlichen  Punkte  f(f)  (a  <  ^  ^  &)  umschliessenden  con- 
vexen  Gontours  liegt.  Will  man  also  mit  Hilfe  des  Weierstrass  sehen 
Satzes  so  viel  wie  möglich  über  die  Lage  des  Punktes  (a  aussagen,  so  moss 
man  den  engsten  con  vexen  Contour  aufsuchen,  welcher  die  Punkte  f(t)  ent- 
hält. Jeder  convexe  Bereich,  der  die  Punkte  f(f)  enthält,  muss  auch  ihre 
Verbindungsstrecken  enthalten.  Wenn  also  die  Gesamtheit  aller  Verbindungs- 
strecken  von  je  zweien  der  Punkte  f{t)  oder,  wie  man  sich  ausdrücken  kann, 


Kleinere  Mitteilungen.  119 

aller  Seimen  der  Kurve  f(()  selbst  einen  convexen  Bereich  erzeugen  würde, 
so  wäre  dies  offenbar  der  engste  convexe  Bereich,  der  die  Punkte  f{{)  ent- 
hält. Man  würde  in  diesem  Falle  sagen  können,  der  Punkt  ft  liege  in  diesem 
Bereich  oder,  was  dasselbe  ist,  auf  einer  Sehne  der  Kurve  f{().  Dies  wäre 
aber  auch  das  Maximum  von  dem,  was  man  mit  Hilfe  des  Weierstrass- 
schen  Satzes  über  die  Lage  von  fi  aussagen  kann.  Bei  einer  Kurve,  die  sich 
zeichnen  iSsst,  ist  es  evident,  dass  die  Sehnen  einen  convexen  Bereich  bilden. 
Wenn  man  aber  ^{()  und  ^{i)  nur  als  stetig  voraussetzt,  so  lässt  es  sich 
Dicht  so  leicht  einsehen.  Ich  habe  deshalb  in  der  in  Heft  3  veröffentlichten 
Arbeit  unter  Umgehung  dieses  Hilfssatzes,  nach  dessen  Beweis  ich  mich 
ein&ch  auf  das  Theorem  von  Weierstrass  hätte  stützen  können,  direkt 
bewiesen,  dass  \l  ein  Punkt  auf  einer  Sehne  der  Kurve  f(i)  ist,  was  ja 
anmittelbar  in  meinen  Gleichungen 

b  6 

a  a 

b  b 

Mt)F(t)dt  =  [X,^(t,)  +  XM^,)]fF(t)dt 

a  b 

^die  in  jener  Arbeit  allerdings  nur  für  F{f)  =  1  abgeleitet  werden)  ent- 
halten ist.  Später  bemerkte  ich,  dass  in  eben  jener  Arbeit  auch  der  Beweis 
des  Satzes  implicite  enthalten  ist,  dass  die  Sehnen  von  f(t)  einen  convexen 
Bereich  bilden.     Sind  nämlich 

(«.=  /"(«.),    li  +  X^  =  l,    A5  +  A,  =  l,    a<Ji<h,    ai,^^0,    A5,A,>0) 
irgend  zwei  Punkte   des   von   den   Sehnen  erzeugten  Bereiches,  so  ist  ihre 
Verhindungsstrecke  durch 

«l(^Wl  +  ^«2)  +  «2(^8«>8  +  ^4«4)    («11 ««  >  0,  Xj  +  X,  «  1) 

dargestellt.  Da  hier  aber  »lAj  +  «i^  +  XjAj  +  Xj  A4  =  1  ist,  so  lässt  sich  auf 
Grand  der  AusfOhrungen  in  Heft  3  schliessen,  dass  diese  Verhindungsstrecke 
nur  Punkte  enthält,  die  wieder  auf  einer  Sehne  liegen.  Der  durch  die  Sehnen 
von  f(t)  erzeugte  Bereich  hat  also  die  Eigenschaft,  dass  die  Yerbindungs- 
^eeke  von  irgend  zweien  seiner  Punkte  ganz  zu  dem  Bereich  gehört. 
Dadurch  ist  aber  ein  convexer  Bereich  charakterisiert. 

In  Wirklichkeit  sagt  also,  wenn  man  diesen  Hilfssatz  kennt,  der 
Weierstrasssche  Satz  dasselbe  aus  wie  mein  Mittelwertsatz  für  n  »  2. 
^  aber  dieser  Hilfssatz  nirgends,  soweit  mir  Darstellungen  des  Weier- 
strass sehen  Satzes  bekannt  sind,  erwähnt  wird  und  auch  keineswegs  selbst- 
Terständlich  zu  sein  scheint,  so  glaube  ich  auch  in  dem  Falle  n  =  2  eine 
kleine  Ergänzung  des  Weierstrassschen  Satzes  gebracht  zu  haben,  während 
die  Verallgemeinerung  auf  n  >  2  neu  sein  dürfte. 

Im  folgenden  mache  ich  eine  Anwendung  von  dem  allgemeinen  Mittel- 
wertsatz auf  drei  Funktionen,  die  so  gewählt  werden: 

9,(0  =  1^(0, 


120  Kleinere  Mitteilungen. 

Es  ergiebt  sich: 


a 
b 


f^{t)dt  =  [k,i>(t^)  +  i, ,/,(/,)  +  iMhMb  -  «)> 


a 

b 


f<pitM*)dt  =  [iMfiMti)  +  ^v(^)i>{h)  +  hv{h)f(f»)]Q>-"^- 


a 


Multipliziert  man  die  beiden  ersten  Gleichungen  und  subtrahiert  daTon 
die  dritte,  nachdem  man  sie  vorher  mit  6  —  a  =  (6  —  a) (Aj  +  ilj  +  ^)  ni^^i' 
pliziert  hat,  so  kommt  nach  gehöriger  Reduktion: 

6  6  6 

f(p(t)dt  'J^{t)dt  -{h-  a)fq>(t)ilf{i)dt 

a  a  a 

=  -  (6  -  ay^lihi^Pi  -  Vt)(*'  -  **)i 

t,* 

WO  ^1=  ^{j'i)^  9>i  ^  v(h)  sein  soll.  Aus  dieser  Gleichung  lässt  sieb  ein 
bemerkenswerter  Schluss  ziehen.  Sind  ip{t)^  ^(t)  so  beschaffen,  dass  sie 
beide  fortwährend  wachsen  oder  beide  fortwährend  abnehmen,  wenn  t  das 
Interrall  (a...  &)  von  a  nach  b  durchläuft,  so  haben  die  Differenzen  ipi  —  9h 
^i~-~  ^k  dasselbe  Vorzeichen  und,  da  die  kfXk'^0  sind,  so  ist 

I,* 
folglich  die  rechte  Seite  der  Gleichung  sicher  nicht  positiv,  mithin: 

6  6  b 

S<p{t)dt  ■fi>(t)di  <{b-  a)fv(t)ii,(f)dt. 

a  a  a 

Wenn  dagegen  q>(t)  fortwährend  zunimmt,  ^(t)  aber  abnimmt  oder 
umgekehrt,  so  kommt  die  Ungleichung: 

6  6  6 

f9(t)dt  ■f^it)dt  >  (a  -  b)fq>it)i,(t)dt, 

a  a  a 

weil  dann  die  Differenzen  g>i —  tpt^  ^i —  ^k  entgegengesetzte  Zeichen  haben, 
ihr  Produkt  also  negativ  ist. 

Diese  wichtigen  Ungleichungen,  welche  sich  in  so  einfacher  Weise  ans 
dem  Mittel wertsatz  f ür  n  =  3  ableiten  lassen,  rühren  von  Tschebyscheff 
her,  wie  Hermite  in  dem  oben  citierten  Cours  von  1882  (S.  47)  mitteilt 
Einen  Beweis,  der  sich  auf  die  Betrachtung  des  Doppelintegrals 

6   6 


Sflvi^)  -  ^(jfMH^iy)  -  '*{y)]dxdy 


a  a 


stützt,  findet  man  im  American  Journal  of  Mathen^atics  (vol.  VU,  S.  377l 
Dort  wird  auch  eine  Reihe  von  interessanten  Anwendungen,  namentlich 
auf  elliptische  Integrale,  vorgeführt. 


über  die  automorphe  Transformatioii  einer  Summe 
von    Quadraten    mit   Hilfe    infinitesimaler    Trans- 
formationen und  höherer  komplexer  Zahlen. 

Von 

Professor  Beez 

in  Plaaen  i.  Y. 


(FortBetiting.) 


§2. 

Die  automorphe  Transformatioii  der  Summe 

von  drei  Qnadraten. 

Um  die  Summe  von  drei  Quadraten  Xf^+  x^^-^  x^^  in  die  Summe 
dreier  anderer  Quadrate  x^^+  x^^+  y,'*  überzufiihren,  hat  man 

Xq  =  (IqqXq  +  ^Q\Xi  +  Oif^X^j 

1)  x^^  a^^x^  +  a^^x^  +  »is^, 

ra  setzen  und  den  Koeffizienten  aik  die  Bedingung  aufzuerlegen,  dass 


2) 


«HO*  +  «10*  +  «JO*  =*  1 ;       «00»01  +  «lO^ll  +  «20Ö21  "  0; 


a. 


2 


Ol 


+  V+a,,*=^l, 


^\.    Infolge  davon  ist: 


«00^^02  +  «10»1«  +  «20«2«  =  0; 
«Ol  »02  +  ^n^\2  +  ^1«22  =  0 


A»  = 


also 


a 


00 


a, 


Ol 


a, 


02 


«10 

«a 

«11 

0,0 

«»i 

"n 

A 

=  ±1. 

=1, 


Wir  beschranken  uns  auf  die  Betrachtung  des  ersten  Falles  A  =  +  1 
und  nehmen  überdies  an,  dass  die  identische  Transformation  Xq  =  Xq, 
V=^p  x^^x^  für  ajQ=aii  =  05,»=  0  imd  a;i  =  0,  wenn  Tc  von  i 
verschieden  ist,  eintritt.  Die  inverse  Transformation,  durch  welche  der 
Pnnkt  J  wieder  in  den  Punkt  x  zurückgeführt  wird,  ist: 

ZcitMlizifIf.  Mathematik  n.  Physik.  43.  Jahrg.  1898.  3.  Heft. 


122    t^ber  die  automorphe  Transfonnation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

3)  V=%<+<*ii^i'+«2i5a'. 

Denn  setzt  man  in  3)  die  Werte  Ton  Xq,  x^^  x^  aus  1)  ein,  so  er- 
hält man  Xq"^  Xq,  x^^^x^,  x^^=^x^. 

Die  Gleichungen  1)  bilden  eine  dreigliedrige  Gruppe,  da  zwischen 
den  neuen  Koeffizienten  aik  sechs  Gleichungen  stattfinden,  sie  also  als 
Funktionen  von  drei  wesentlichen  oder  unabMngigen  Parametern  an- 
gesehen werden  können.  Die  Transformation  1),  2)  lässt  den  Koordinaten- 
anfang, den  Abstand  eines  Punktes  von  demselben,  die  Entfernung 
zweier  Punkte,  die  unendlich  entfernte  Ebene,  den  unendlich  entfernten 
imaginären  Kreis  oder  den  imaginären  Kegel  x^  +  x^  +  x^=0  un- 
verändert, ausserdem  aber  auch  noch  die  Ebene  k^x^  +  k^x^  -^-  l^x^  =  c 
wie  sich  später  ergeben  wird,  wenn  die  drei  wesentlichen  Parameter 
^n;  ^17  K  eingeführt  worden  sind.  Zur  geometrischen  Deutung  der 
Gleichungen  1)  nehmen  wir  zwei  rechtwinklige  Axensysteme  mit  ge- 
meinschaftlichem Koordinatenanfang  an,  von  denen  das  eine  fest  das 
andere  um  den  Koordinatenanfang  drehbar  sei.  Die  Koordinaten  eines 
Punktes  M  mögen  in  dem  ersten  x^^  x^,  x^j  in  dem  zweiten  x^^  x^,  x, 
sein.  Dann  bestehen  zwischen  den  beiderlei  Koordinaten  die  Gleich- 
ungen 1),  welches  dieselben  sind  wie  bei  der  gewöhnlichen  Koordinaten- 
transformation,  und  den  Übergang  von  einem  rechtwinkligen  System 
zu  einem  anderen  mit  demselben  Koordinatenanüang  vermitteln.  Ist  die 
Änderung  in  der  Lage  des  beweglichen  Systems  g^en  die  Ajifangs- 
lage  nur  eine  unendlich  geringe,  so  ändern  sich  die  Koeffizienten  a^i 
unendlich  wenig,  während  x^y  x^,  x^  unverändert  bleiben.  Man  hat 
also  die  Gleichungen  1)  zu  variiren  und  dabei  auf  die  Gleichungen  2( 
Bücksicht  zu  nehmen,  sodann  die  beiden  Systeme  zusammenfallen  zu 
lassen,  wobei  a;,«!,  aa^'O,  wenn  h  von  %  verschieden  ist.  Wir  er 
halten  aus  2): 

8a^  =  daji  =  da„  =  0,    Sa^^  +  da^^  -=  0,     Sa^^  +  8a^^  ==  0,        | 

da^j  +  6a^^  =  0. 
Wir  können  daher  den  infinitesimalen  Transformationen   folgend^ 
Gestalt  geben: 


4) 


Setzen  wir  die  Variationen: 

daoi,     dai2,     öa^^^ 
die  durch  cyklische  Vertauschung  der  Indices  0,  1,  2  in  einander  über- 
gehen, bezügUch  gleich      ^^g^^    ^j^^     ^^g^^ 

worin  dt  eine  unabhängige  unendlich  kleine,  A^,  A^,  A,  beliebige  end- 
liche Grössen  bedeuten,  so  sind  die  Variationen  von  Xq,  x^^  x^'  für  t^Oi 


Von  Prof.  Bebz. 


128 


und  die  Variation  einer  beliebigen  Funktion  fipo^,  Xi,z^,  t)^ 


j.^      (of  dx^         df  dx^         df  äx;\j. 


6-) 


wird 

oder  nach  den  willkürlichen  Eonstanten  geordnet: 

Wir  bestimmen  nun  in  derselben  Reihenfolge  wie  in  §  1  die  end- 
lichen Transformationen  nach  den  dort  angegebenen  drei  verschiedenen 
Integrationsmethoden. 

I.  Setzen  wir  den  Koeffizienten  Ton  df  in  6): 

so  finden  wir  die  endlichen  Transformationen  in  der  Form: 

7)  a:/«  Xi  +  ttpxi  +  -gy  fp^Xi  +  37  9'a;.  H 

Nun  ist: 

Setzt  man  Ao*4-  ^i*+  ^*='  A*  so  üt  also: 
und  es  kommt:  9%  =  ÄV^o.etc. 

ainhi         •      i  —  cosht 

« 

Durch  Einführung  der  Werte  von  q>XQ  und  qp'xo  erhält  man  endlich: 


8) 


woraus  durch  cjklische  Yertauschung  der  Indices  0,  1,  2: 


9* 


124     f^ber  die  automorpüe  Transformation  einer  Samme  von  Quadraten  etc. 

,_     Yi    t    1— coB^t    ,    ,     flinÄ<\   ,        /.   .    1  —  coBht        .     sinftf  \ 
Xf  —  r^  ^AqX,       ^,        h  Ai      ^     J'T'^Y'i^       ji  ^0      J     / 

+  r,(l-(V+V)T?^)- 
Die  Formeln  8)  gehen  ^  sobald  man 

Aq ~  —  Xi,    A|  =      yi,    ^1  '^^  ~~  ^1 
in  die  Euler  sehen  Oleichimgen  über,  die  wir  in  der  Vektorengleichung 

9)  p'~  piCosO"  —  (p  —  piCosd)(cos9  +  JctQ^sinfp)^, 

worin  •    •      i  ?  - 

g'^x'  +  iy'  +  ke', 

Qi-^i  +  iyi  +  ^^i7 
cos  d  «  xx^  +  yy^  +  si^i  ==  ^a?i  +  yVi  +  J?'^i, 
zusammengefesst  haben.  Wenn  A^jj  A^,  X^  unveränderliche  Werte  haben 
und  nur  t  sich  ändern  kann,  so  stellen  die  Gleichungen  8)  eine  ein- 
gliedrige Gruppe  mit  vertauschbaren  Transformationen  dar.  Dies  lässt 
sich  am  einfachsten  mittelst  obiger  Vektorengleichung  9)  nachweisen. 
Man  erkennt  leicht,  dass  der  Ausdruck 

sobald  man  fär  x^y  a:/,  x^  ihre  Werte  aus  8)  einfahrt,  in 

übergeht,  dass  also  der  letztere  Ausdruck  eine  sogenannte  Invariante 
der  Transformation  ist.**    Dasselbe  ist  auch  der  Fall  mit 

^iX  +  yxy  +  z^Zy 

dem  entsprechenden  Eul ersehen  Ausdruck.  Da  nun  derselbe  gleich 
cosO"  ist,  so  ergiebt  sich,  dass,  wenn  x^^y^,  e^  als  konstant  angenommen 
werden,  auch  cos^  unverändert  bleibt.  Lässt  man  daher  auf  die  Trans- 
formation:       I  Q.    ,    /  o.\/  .    7  •        •       \ 

(>=  Picosd"  +  (9~  Pi  cos  d")  (cos  9+  kiQiSmtp) 
eine  zweite  Transformation: 

p"=  picosd"  +  (p'— PjCOsO')(cos9'+  Ätpjsing)') 
folgen,  so  erhält  man  eine  Transformation  derselben  Art: 

•  1.  c.  S.  64, 1. 
•♦  S.  diese  Zeitschrift  41.  Jahrg.  S.  64. 


Von  Prof.  Bbbz.  125 

p"=«  piCosO"  +  (p  —  PiCOS'&)[co8(9)  +  9)')  +  iipisin(g)  +  ^')]; 

die  Gleichungen  8)  stellen  also  eine  Gruppe  yon  Transformationen  dar 
und  zwar  eine  eingliedrige^  da  nur  ein  wesentlicher  Parameter  t  vor- 
handen ist^  eine  sogenannte  ,^  eingliedrige  Untergruppe  ^^ 

Da  i  und  f  vertauscht  werden  können^  so  folgt^  dass  zwei 
Transformationen  der  Qmppe  8)  mit  einander  vertauscht  werden  können, 
sobald  Iq,  X^y  A^  ihre  Werte  nicht  ändern.  Ist  letzteres  jedoch  nicht 
der  Fall;  so  lässt  sieh  aus  G-leichung  9)  die  Qruppeneigenschaft  der 
Transformation  8)  nicht  ablesen.  Hierzu  eignet  sich  aber  in  ganz  vor- 
züglicher Weise  die  Quatemionenform*  der  Eulerschen  Transformation: 

10)  «'-i«2, 

• 

m'=*  hix*—  l'y'+  is/y 
q-=^  d  +  Tiia  —  lch  +  ic. 

Denn  lässt  man  auf  10)  die  Transformation: 

«"=  Y«v 

folgen^  so  kommt: 

11)  „"=i,.i.»gg' 

Setzen  wir  hierin  q^=  q",  woraus  —?  —  ^  ä^  folgt,  so  lässt  sich 
11)  auch  schreiben: 

12)  «"=^«2", 

welche  Gleichung  eine  Transformation  derselben  Art  wie  10)  darstellt. 
Die  Transformationen  10)  bilden  also  eine  Gruppe.  Zwei  aufeinander 
folgende  Transformationen  sind  aber  nicht  mit  einander  vertauschbar. 
da  im  allgemeinen  q*q  nicht  gleich  qq'  ist.  Die  Parametergleichung 
j"—  qq'  stellt  ebenfaUs  eine  Gruppe  dar  und  lehrt**  aus  den  Para- 
metern der  beiden  zusammensetzenden  Transformationen  die  Parameter 
der  resultierenden  Transformation  zu  finden. 

Dieselben  Resultate  erhält  man,  wenn  man  die  allgemeinen  Theoreme 
der  Lieschen  Transformationstheorie***  auf  den  vorliegenden  Fall  an- 
wendet.    Es  genügen  zu  diesem  Zwecke  folgende  Sätze: 

1.  Zu    jeder    rgliedrigen   Gruppe    gehören   r   von   einander   un- 
abhängige infinitesimale  Transformationen  (S.  67). 

2.  Enthält  eine  rgliedrige  Gruppe  der  Veränderlichen  x^x^,  * ,  Xn 
die  r  infinitesimalen  Transformationen: 


^  8.  diese  Zeitschrift,  41.  Jahrg.  S.  78. 
••  L  c.  8.  79. 
***  S.  Lie,  Theorie  der  Transformationsgrappen. 


126    ^er  die  automorphe  Transformation  einer  Samme  von  Quadraten  etc. 


13) 


1 


so  bestehen  zwischen  diei^en  infinitesimalen  Transfonnationeii 
Beziehungen  yon  der  Form: 

r 

14)  .    9»(9yO-Vy(9?*/0='^'^*y9./i 

1 
wodie  CkY$  numerische  Eonstante  bedeuten  (S.  150). 

3.  Das  Bestehen  dieser  Beziehungen  ist  notwendig  und  hin- 
reichend, damit  r  unabhängige  .infinitesimale  Transformationen 
eine  rgliedrige  Gruppe  erzeugen  (S.  158). 

4.  Die  endlichen  Transformationen  einer  rgliedrigen  Gruppe 
7i7  9«  •  •  •  9r  shid  dann  und  nur  dann  mit  einander  yertausch- 
bar,  wenn  alle  Ausdrücke 

15)  (9,-9*)  «  ^>i{q>k)  -  q>k{9i) 
verschwinden  ■  (S.  260). 

Um  diese  Eriterien  auf  die  vorliegende  Frage  anwenden  zu  können, 
hat  man  zunächst  zu-  untersuchen,  wie  viel  unabhängige  Parameter 
die  Transformation  8)  besitzt.  Es  scheint  auf  den  ersten  Blick^  als 
ob  deren  vier  vorhanden  wären,  nämlich  Aq,  A^,  X^  und  t  Doch  be- 
merkt man  leicht,  dass  t  sofort  in  Wegfall  kommt,  sobald  man: 

iL  =  -^1   i.  =it   iL  =  ^t 

einfährt.     Es  geht  dann  beispielsweise  die  erste  Gleichung  in  8)  in 
die  folgende  über: 

E 


16) 


^Xi\hih gl *i  ~'^l 

Dasselbe  Resultat  hätte  man  auch  erzielt,  wenn  man  in  den 
Formeln  8)  <  =  1  gesetzt  hätte.  Die  identische  Transformation  tritt 
ein  für  Z^^  =  Z^  =»  ^^  «  0,  wodurch  auch  B^  =  0  wird.  Die  Trans- 
formation 16)  ist  eine  sogenannte  kanonische  Form  der  endlichen 
Transformation,  welche  nur  wesentliche  Parameter  enthält.  Für  die 
kanonische  Form  der  endlichen  Transformation  hat  Li e  die  allgemeine 
Form  aufgestellt: 

1 7)  x!  =  z,  +2*  A»St ,  +2  r^  <P*  i^yi)  +■•• 

1  ky 

t  =  1,  2. . .  w. 


*  fcei(^i~^«)  sind  gegebene  Funktionen  von  x^^  x^,  ,.Xm. 


Von  Prof.  Bbbz.  127 

Sie  ergiebt  sich  aus  der  Formel  7): 

dadurch,  dass  man  /  =»  1 

9kf-^tki(x^...x:)'^,  ft  =  1,  2  . . .  r 

setzt    In  unserem  Falle,  wo  n  =  r  =  3  ist,  würden  wir  bei   der  ein- 
mal gewählten  Bezeichnung: 

18')  g>f^  ^9af+  ^i9if+  ^i9if, 

^      f,     df    ,   ^     df    ,f,     df  df  df 

f^'f^  ^0  0^  +  En^  +  &«^  ==  "-  't  ^  +  a;o^. 

erhalten.    Die  S;^!  haben  also  folgende  Werte: 

boo  ^      ^  >     Soi '^      ^7     5»  ~  "^i; 

bio  '^        ^>      ©11  ^^        ^  f      bij  =       ^o> 

Setzt  man  nun  in  18)  die  Werte  von  g)^fy  tp^fy  q>^f  ein,  so  kommt: 

+  (*o£t»  +  ^1  bW  +  ^8  b2«)  "g^ 

folglich:  * 

q>Xi=^  AQfo<+  Ai6i*+  ^^iii^^k^ktki- 

0 

Es  ist  also  wie  oben  7*: 

Femer:  ® 

9>'^i«  (^9o+  ^i9>i+  ^»^2)(^o&)<+  *iSw+  ^iti), 

worin  der   erste   eingeklammerte  Ausdruck   als  Operations-  nicht   als 
Multiplikationszeichen  aufzufassen  ist.     Die  Ausführung  ergiebt: 

tp^Xi^  V9>o&)<+  ^^i9ofo<+  AoAj9of2< 

+  AiAo9>ito<+  V9i5i<  +  AiAg9),S2.- 

^  insbesondere: 


128    ^^^^  ^e  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

-veie   oben  7*.     Aus  der  kanonischen  Form  16)  erhält  man  die  Euler- 
sclxe^  wenn  man: 

setzt.  Um  nun  zu  beweisen^  dass  die  Transformationen  8)  eine  drei- 
gliedrige Gruppe  bilden,  haben  wir  aus  den  drei  infinitesimalen  Trans- 
formationen: df  df 

die  drei  KlammerausdrQcke  (^oT'i);  (^i^s);  (9a ?o)  ^  bilden.     Es  ist: 

(9o9i)  ==  9o(9i)  —  9^1(90)1 

9>o(9i)  =  ^1  g-^^ ' 

•'^"''  (VoVi)  =  ^i  ^  -  ^0  ^  =  9>«. 

Die  drei  numerischen  Koeffizienten  c^^«  haben  hier  die  Werte: 

Ebenso  findet  man:         /^  «,  \      « 

C9i  9^8)  =  9>o> 

(^'«^'o)  ="  9^11 
<w=-0,     Cioi  =  l,    e",«  =  0. 

Ua  nun  die  Ausdrücke  {q>iq>k)  n&ch  der  Formel  14)  gebildet  sind, 
joiU^^')^  nicht  yerschwinden,  so  folgt,  dass  die  Gleichungen  8)  eine  drei- 
4UoUi*i|^^  Uruppe  darstellen,  deren  Transformationen  nicht  mit  ein- 
^\\\V>K  YtM*tuusehbar  sind. 

II  V\\\  die  zweite  Integrationsmethode  in  Anwendung  brin^n  zu 
^vMkiioUi  habon  wir  gemäss  den  infinitesimalen  Transformationen  5)  das 

^lUiulUuo  System: 

^mXkWh   uud   mit   der  Bedingung   zu   integrieren,   dass   fftr    f  ==.  Q: 

VVu    suchen   zwei  Integrale,  welche/  nicht  enthalten.      Diese 
.    ^i.i^iJc    ^ud    zugleich  Losungen   der  partiellen  Differential' 


»4 


I  k   «.•♦ 


Von  Prof.  Bbsz.  129 

die  zwei  gesucliten,  von   t  freien  Integrale,  zugleich  Invarianten  der 
Transformation,  sind: 
o)  Xq    ~t  x^    ~t  x^    =  Cf 

4)  Aoa?o'  +  liXi'  +  A,arg'=  q, 

wo  c  und  c^'  Eonstante  bedeuten.    Aus  3)  und  4)  ergeben  sich  durch 
Differentiation: 
3*)  x^dx^+  x^'dxi'+  x^dx^^  0, 

4»)  k^dx^+l^dx^+k^dx^^Q 

und  hieraus 

ciXa  :  (ix^  m  (iXa  ^^  "4**^i        i*^  "  "0  j        2  0  *    10        Ol  ^ 

der  Gleichung  1)  entsprechend.     Setzt  man  femer  der  Reihe  nach: 

5)  xj^+x,''+x,'^^f 
und 

6)  .  ^o«o'+^^i'+^V=/; 
so  dass  im  ersten  Falle: 

im  zweiten 

a/-       ,  df       .  df  ^j 

ist,  80  .verschwindet  in  beiden  Fällen  durch  Einsetzung  der  vor- 
stehenden Werte  die  Gleichung  2)  identisch.  Aus  den  Gleichungen  3) 
und  4)  bestimmt  man  nun  zunächst: 

,     z,(c,^XoV)       1.1/5 

und  _ 

wo  2f  den  Wert  hat: 

M^(c-  Xo")ik,'+  X,')  -  (c,  -  AoOl 
Hieraus  findet  man: 

gesetzt  wird. 

Zufolge  der  Gleichung  2): 


i,  a?j  —  Zj  Ä| 
uat  man  nun:  ,    , 

^ ^  ^l 

mit  der  Bedingung  zu  integrieren,  dass  för  <«=0,  x^^x^^  x^^x^, 
•'i'— j^  werde.     Setzen  wir  zur  Abkürzung: 


190  über  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

(A»c-0(V+V)  =  »»*, 
so  geht  sie  in  die  einfachere: 

8)  **'^'''        -  =  dt 
ober,  woraus  man  durch  Quadratur  erhält: 

9)  iaicsin  *''^«'~'''^'  =  <  +  c', 

WO  d  eine  weitere  Konstante  bedeutet.    Aus  Gleichung  9)  folgt  weiter: 

10)  Vx^-  q  A^,  ==  m  sin  Ä  (^  +  c') 
und  daher: 

11)  Vm«-(AV-^'lo)* -  w  cos Ä(^  +  e\ 

Nun  ist  aber  wegen  2)  und  8): 

Ä 1      • 

also 

12)  mcosÄ(^  +  (/;-=  h{l^x^-  X^xi\ 

Für  ^  «  0  findet  sich  aus  10)  und  12): 

m  sin  Ä  c' =  Ä^x^  —  Cj  Aq, 
m  cosÄc'  =  hiji^x^  -    ^1^)- 

Die  Entwickelung  des  Ausdruckes  s]nA(^  +  c')  ergiebt: 

l?x^  —  CjAq««  msinA^cosAc'+  mcos&^sinAc', 

folglich  mit  Berücksichtigung  von  13): 

h^Xfl—  Cik^^h(Ji^x^—  l^x^)smht  +  (Ä^a;^—  CiAo)cosÄf, 
woraus: 

h^Xfl «  Ä^wT^ cos ht  +  c^ Iq(1  —  cosÄ^j  +  h(X^x^  —  Ajai^)  sinfe^ 

folgt.    Setzt  man  hierin  fQr  C|  seinen  Wert  aus  4),  so  erhält  man: 

Ä«Xo'=  h^XQCOshi  +  ^o('^^o+  '^1^1+  '^«•^»)(1—  cos  Af)  +  h{k^x^—X^x^)sinU 
^  Xq[Iq*(1~-  cos  ht)  +  Ä*cosAf]  +  j:|[iloAi(l— cosA^)  +  Äij8inAfl 

+  «rsE^o^jCl""  cosAf)  —  A>l^sinA^]y 

woraus  sich  ohne  Mühe  die  erste  Gleichung  in  8): 

*•'- ^o(i- (V+ V)^^^)  +  ^.  (Vx^^^  +  ^-^l 

,         /j   j    1  — C08*f         ,    sinÄM 

wieder  ableiten  lasst. 


13) 


Von  Prof.  Bbbz. 


131 


in.  um  das  System  der  Differentialgleichungen: 


1) 


dt 
da?/ 


nach  der  d'AJembertschen  Methode  zu  integrieren,  hat  man  zu  setzem 

2)  a^Xo'  +  a^  x^  +0^0^'«  u\ 

du'  ; 


3) 


worin  ffo>  ^1;  ^9  (^  TLO(Ai  näher  zu  bestimmende  Eonstante  sind.     Inte- 
griert man  die  Gleichung  2)  und  bestimmt  die  Integrationskonstante 

wird,  so  erhalt  man: 

Aas  2)  und  3)  ergiebt  sich: 

welche  durch  Einsetzung  der  Werte  von  -^9   -^f  -^  aus  1)  in 

< 

übergeht.    Wegen  der  Unabhängigkeit  der  Variablen  x   zerfällt  diese 
Gleichung  in  die  drei  anderen: 

6)  I  —  ^2«^o+(>  «1+ ^o^^s^O, 

l      AiOo— ^o«i+ P  «2  =  0^ 
welche  nur  dann  nebeneinander  bestehen  können,  wenn  die  Determinante 

gleich  Null  ist.     Die  Gleichung 

hat  drei  Wurzeln,  pj  =0,  p^  =  iA,  P2  =^  ~~  *^  ^^^  ®s  ist: 

8)  o^:  «1 :  er,  =-  (»A^  +  A^Aj :k^X^—  qX^x  q^+  A,*. 
Nun  ist  nach  4): 

9)  w'=  («0^0'+  fh^i  +  «2^2')  =  (««2^0+  «i^l  +  cf2^)ß^'- 
Setzt  man  hierin  für  Xq^  a:/,  x^  ihre  Werte: 

a;/«  a^oiCo  +  a,irc4  +  a^^x^, 

X^  =  ^20^0    •    ^il^l    >    ^2^ 


132  Über  die  automorphe  Transformation  etc.    Von  Prof.  Bbez. 

und  berücksichtigt,  dass  die  x  Yon  einander  unabhängig  sind,  so  er- 
halt man: 

«0^00+  ^«10+  «2Ö^<0="  «^0«^'» 

10)  «o^^oi  +  «1^11  +  «t^^ii  ^  «1«^^ 

Da  nun  q  drei  verschiedene  Werte  hat,  so  haben  wir  im  ganzen 
neun  Gleichungen  zur  Bestimmung  der  9  Koeffizienten  a^.  Man  findet 
z.B.  ago,  a^o,  cl^q  aus  der  ersten  Gleichung  in  10)  mit  Beachtung  der 
Gleichungen  4),  wodurch  sie  in: 

(PA|  +  ^o^)(«oo-  ^^0  +  (^1^  -  9K>io+  (q'+  V)«20=  0 
übergeht,  wenn  man  für  q  nacheinander  0,  t'A,  —  ih  einsetzt: 

^o(«oo  —  1)  +  ^i«io+  ^««0=  0» 
{iH,+  Ao^sX^oo  -  ß'*0  +  (^1  *«  +  *'ÄAo)aio  +  (*'  +  ^>2o  =  0, 
(-  ihl,  +  AoA,)(aoo-  e-*0  +  Hi^,+  iA^o)«io+  (- ä*+ V)«io « «• 

Nach  Beseitigung  der  imaginären  Ausdrücke  findet  man  die  drei 
reellen  Gleichungen: 

'^o'^^oo+  '^i'^a^io""  (**—  V)^2o"^  AqAjCOSÄ^  —  Ä^^sinÄf, 
ÄAia^Q—  ÄA^ttio^  AA|C0S&t  +  A^AgSinÄ^. 

Die  Auflösung  dieser  drei  Gleichungen  ergiebt: 

7    .     ,      -    «  1— COBÄ* 

ttQQ  =  cos  nt  +  Aq' -Ti } 

.        1  — C08Ä*         .      sin^t 

-   j    1— coBÄ*    ,    j      sinAt 

übereinstimmend  mit  den  in  I.  und  IT.  gefundenen  Resultaten.  Auf 
dieselbe  Weise  findet  man  aus  der  zweiten  und  dritten  ^Gleichung  in 
10  die  richtigen  Werte  von  a^^,  a^j,  Oj^;  «qj,  aTi,,  a^,. 


CFortsetsong  folgt.) 


Theoretisohe  und  experimentelle  Untersuchungen 

über  die  Kreiselbewegungen  der  rotierenden  Lang- 

gesohosse  während  ihres  Fluges. 

Von 

Prof.  Dr.  Carl  Cranz 

in  Stuttgart. 


A.  Einleitung. 

Die  von  Magnus*  auf  Grund  der  Kreiseltheorie  aufgestellte  und 
durch  zahlreiche  Versuche  unterstützte  Erklärung  för  die  nicht  un- 
beträchtliche regelmässige  Rechts-  bezw.  Linksabweichung  von  Lang- 
geschossen, die  aus  Gewehren  oder  Geschützen  mit  rechts-  bezw.  links- 
gewundenen Zügen  verfeuert  werden,  ist  nahezu**  allgemein  angenommen. 
Darüber  jedoch,  nach  welchen  Gesetzen  die  mitunter  mit  dem 
blossen  Auge  wahrzunehmenden  Ereiselbewegungen  der  Ge- 
schossaxe  vor  sich  gehen,  welcher  Art  diese  Bewegungen 
sind,  welche  Wirkungen  sie  zur  Folge  haben,  herrscht  eine 
grosse  Meinungsverschiedenheit. 

a)  Magnus  selbst,  sowie  später  Kummer***  —  Letzterer  aus 
Anlass  seiner  grundlegenden  Untersuchungen  über  die  Komponenten 
des  Luftwiderstands  und  die  Lage  des  Angriffspunkts  auf  der  Geschoss- 

*  Magnus,  ,,Über  die  Abweichung  der  Geschosse".  Abh.  d.  Berl.  Akad.  1852 
■1.  Pogg.Annal.LXXXVIII,  1;  auch  bes.  ersch.,  Verlag  von  Dümmler,  Berlin  1860. 
I>ie  Erklärung  von  Magnus  ist  kurz  die  folgende:  Da  das  Langgeschoss  rasch 
rotiert  und  die  Resultante  der  Luftwiderstände  bei  der  üblichen  Form  der  Ge- 
schosse nicht  im  Schwerpunkt,  sondern  vor  demselben  auf  der  Axe  angreift,  so 
st  Anlass  zu  einer  Präzessionsbewegung  der  Axe  um  den  Schwerpunkt  gegeben; 
<iie  Axe  beschreibt  einen  Kegel  um  die  Richtung  des  Luftwiderstandes  herum; 
al^  hebt  sich  anfangs  die  Geschossspitze  und  wendet  sich  nach  rechts.  Folglich 
^kt  der  Luftwiderstand  mehr  gegen  die  linke  Seite  des  Geschosses,  wie  gegen 
ein  Bchiefgehaltenes  Brett  oder  ein  Segel  und  drückt  das  Geschoss  aus  der  an- 
{^lichen  Sehnssebene  nach  rechts  heraus. 

**  Betreffs  abweichender  Meinungsäusserungen  vergl  :  a)  Hilken  und 
Zwenger,  „Die  Erziehung  der  Eiiyährig-Freiwilligen''.  Verlag  von  Liebel  1894,  S.  79, 
Nr. 3.  --  b)  A.  Dähne,  „Neue  Theorie  der  Flugbahnen  von  Langgeschossen". 
Berlin  1888  bei  Eisenschmidt.  —  c)J.  Altmann,  österr.  Artill.- Lieutenant,  „Er- 
klärung und  Berechnung  der  Seitenabweichung  rotierender  Geschosse".  Wien  1897 
^i  Seidel.    Darüber  siehe  weiter  unten. 

•••  Abh.  d.  BerL  Akad.  Mai  1876 ;  Nachtrag  1876. 


04    Fheoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier. Langgeschosse  etc. 

Axe  — y  sprechen  die  Vermutung  aus^  selbst  bei  grossen  Flugzeiten 
tjche  die  Präzessionsbewegung  der  Oeschossaxe  so  langsam  vor  sich, 
daMi  höchstens  eine  halbe  Pendelung  möglich  sei^  dass  also  die  6e- 
«choftMipitze  nur  Zeit  habe^  sich  zu  heben,  rechts  zu  wenden  und  etwa 
ai>ch  2U  senken,  bevor  das  öeschoss  am  Boden  aufschlagt.  Eine 
l^oüse  Zahl  militärischer  Schriftsteller  äusserten  sich  in  ähnlicher  Weise. 
lu  einer  neueren  und  besonders  viel  benützten  ,, Waffenlehre '^*  findet 
»ich  die  Bemerkung:  ,,. . .  die  Geschwindigkeit  dieser  kegelförmigen 
i'eudelung  ist  so  gering,  dass  die  Geschossaxe  auch  bei  den 
KrÖKsten  Schussweiten  bezw.  Flugzeiten  keine  volle  Um- 
fjrfchungy  sondern  in  der  Regel  nur  eine  Schwingung  von 
itfcniger  als  90  bis  höchstens  180  Orad  macht.  Die  Geschoss- 
Apitze  bleibt  stets  auf  der  rechten  Seite  der  Schussebene  und 
du  rebläuft  bei  grossen  Schussweiten  oder  kleinen  Erhöhungen  eine  oder 
ttwUrere  Kurven  cykloidischer  Art  um  die  Berührende  der  Flugbahn, 
bfei  kleinen  Schussweiten  oder  grossen  Erhöhungen  dagegen  nur  einen 
Krurrhteil  einer  Cykloide.  (Anmerkung:  „Die  Vorgänge,  Ursachen  und 
IVirkungen  der  kegelförmigen  Geschosspendelung  sind  so  verwickelt 
und  überdies  grossenteils  noch  so  wenig  aufgeklärt,  dass  hier  nur 
diese  allgemeine  Andeutung  derselben  gegeben  werden  kann.  Es 
iut  zu  hoffen,  dass  die  photographischen  Augenblicks -Aufnahmen 
fliegender  Geschosse  und  der  Luftbewegungen  in  ihrer  nächsten  Um- 
gebung —  Mach,  Salcher,  Boys  — ,  sowie  die  Herstellung  von 
Lichtbildern  in  der  inneren  Höhlung  fliegender  Geschosse  —  Neesen  — 
zur  Klärung  der  noch  ungelösten  Fragen  wesentlich  beitragen  wer- 
den.;, .  /'  Diese  Angaben  sind  in  Übereinstimmung  mit  den  Re> 
«ultaten  analytischer  Berechnungen,  wie  sie  u.  a.  von  zwei  hervorragen- 
den Ballistikem,  Oberst  Ritter  von  Wuich**  und  Hauptmann 
Hftupt*^  ausgeführt  wurden,  von  Wuich  erhalt  als  Resultat:  „Bei 
ItechtS' (Links-)  Rotation  und  Luftwiderstandsmittelpunkt  vor  (hinter) 
4lam  Schwerpunkt,  bezw.  Rechts -(Links-)  Rotation  und  Luftwiderstands- 
ruittelpnnkt  hinter  (vor)  dem  Schwerpunkt  befindet  sich  die  Geschoss- 
tufitixe  stets  rechts  (bezw.  links)  von  der  durch  die  Bahntangente  ge- 
|4»K(ten  Vertikalebene.'' 

Stellt  nämlich  (Fig.  1)  S  den  Schwerpunkt  des  Geschosses  und 
di«  E»>ene  durch  8  und  1^  J\  Tj . . .  die  Vertikalebene  dar,  welche  bei 
f#;tiigedachtem  Schwerpunkt  S  durch  die  aufeinander  folgenden  Flugbahn- 

•  K.Wille,  General 2.D.,  „Waffenlehre",  BerKnlS96 bei EiBenschmidt, 8.266. 

•♦  X.  V.  Wuich,   „Lehrbuch  der  äusseren  Ballistik *\  Wienl8S6  bei  Seidel". 
M   Zffiß  flg.;  bes.  Tergl.  S.  413. 

♦**  F.  Haupt,  Hauptmann  ä  1.  s.  des  Generalstabs  d.  deutschen  Armee,  „Mathe- 
rr**ti«/:he  Theorie  der  Flugbahnen  gezogner  Geschosse  ^  Berlin  1876,  Yossische  Buch- 
tstufilnng,  veryl.  besonders  S.  97.  Über  die  weitere  Litteratnr  des  Gegenstandes 
7*rfif\,  Cranz,  „Kompendium  der  theoretischen  Äusseren  Ballistik'',  Leipzig  1896 
J^i  H  (}.  Teubner,  S.  466  bis  468. 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Cbakz. 


136 


Fangenien  STq^  ST^...  gelegt  ist,  so  sind  die  aufeinander  folgenden 
Lagen  der  Geschosslängsaxe  durch  ST^^  ^-^i;  SA^y  SÄ^ . . .  repräsentiert^ 
fo  dass  die  Geschossspitze  die  Raumkurve  TqAiA^A^,,.  beschreibt; 
)der,  was  dasselbe  ist,  denkt  man  sich  (Fig.  2)  eine  Zeichnungsebene 
enkrecht  zur  Tangente  ST  der  Flugbahn  gelegt  und  die  Bahn  der 
ieschossspitze  auf  diese  im  BAum  yeranderliche  Zeichnimgsebene  pro- 
iziert,  so  beschreibt  bei  Rechtsrotation  die  Spitze  (ftlr  einen  Beobachter, 
ler  dem  Geschoss  folgen  würde)  die  Kurve  1234...;  der  Beobachter 
rürde  somit  die  Geschossspitze  in  Spirallinien  sich  immer  weiter  von 
ler  Vertikalebene  durch  die  Tangente  entfernen  sehen. 

Zu   einem    etwas    andern    Ergebnis    wird    Haupt   gefQhrt,     der 
dasselbe  wie  folgt  zusammenfasst:    ;,Die  Geschossspitze,  welche  zuerst 


Fig  1. 


Flg.«. 


b  der  Tangente  der  Flugbahn  lag,  weicht,  nachdem  letztere  an- 
pefangen  hat  sich  zu  senken,  nach  rechts  aus  und  beschreibt,  immer 
•«chts  bleibend,  eine  oder  mehrere  Kurven  von  cykloidischer  Form 
on  dieselbe,  bei  geringen  Entfernungen  aber  oder  hohen  Elevationen 
KT  Mörser  nur  einen  Bruchteil  einer  solchen  Kurve.  Am  Ende  einer 
eden  CyUoide  treffen  Geschossspitze  unÜ  Tangente  der  Flugbahn  wieder 
"Kämmen.  Je  grösser  die  Geschwindigkeit  der  Hauptaxe  ist,  desto 
Koalier  durchläuft  sie  natürlich  diese  Gykloiden  und  desto  geringer 
^  ihr  mittlerer  Ausschlag.  Abgesehen  von  dieser  Bewegung  in  grossen 
^Uoidenform^en  Bogen  vibriert  die  Geschossspitze  in  fast  unendlich 
Üeinen  Cykloiden  auf  und  nieder."  Durch  die  Figur  3,  welche  dem 
Bauptschen  Werke  mit  geringen  Abänderungen  entnommen  ist,  wird 
^  Ergebnis  weiterhin  erläutert;  XOZ  ist  eine  vertikale  Zeichnungs- 
rolle, senkrecht  zu  der  Vertikalebene  durch  die  Anfangstangente  der 


138  Theoret  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgescboj^se  eTi 

Geschoss  glich  von  hinten  gesehen  einer  rasch  sich  drehenden  Scheib 
Ton  wechselndem  Durchmesser.  Ein  Geschoss  überschlug  sich  soga 
etwa  1000  m  vor  der  Mündung . . ."  S.  104  und  105  wird  sodann  hi 
schrieben,  wie  „die*^  Pendelungen  das  Geschoss  aus  der  Schusseben 
seitlich  ablenken.  ^^Die  Ablenkungswerte  nehmen  im  allgemeine! 
mit  einer  Verlängerung  des  Geschosses  ab  und  mit  einer  YerstarkuDi 
des  Dralls  zu.'' 

Hier  scheinen  ebenfalls  Widersprüche  vorzuliegen: 

Die  Pendelungen  sollen  um  die  Flugbahn  herum  erfolgen,  gefa^ 
dabei  unter  Umstanden  sehr  schnell  vor  sich,  so  dass  das  Geschoß 
wie  eine  Scheibe  erscheinen  kann.  Wie  sind  dann  SeitenabweichuDeei 
des  ganzen  Geschosses  etwa  nur  nach  rechts  möglich? 

Femer,  die  Pendelungen  sind  „um  so  starker,  je  grösser  die  G^ 
schwindigkeit;  um  so  kleiner,  je  grösser  der  Drall  ist'';  anderseitj 
sind  die  Abweichungen  „um  so  grösser,  je  starker  der  Drall"  (un^ 
je  grösser  die  Geschwindigkeit)  ist.  Man  müsste  also  schliessen:  j 
kleiner  die  Pendelungen  sind,  um  so  grösser  sind  die  Abweichungen 
Also  je  kleiner  die  Ursache,  um  so  grösser  die  Wirkung?  Wi^ 
können  dann  die  Pendelungen  die  Abweichungen  verursachen? 

Mit  den  folgenden  Versuchen   und  Berechnungen  hoiBTe   ich  dit-^ 
Widersprüche  als  nur  scheinbar  entwirrt  und  gezeigt  zu  haben,  das 
und    wie    die    erwähnten     verschiedenartigen    Anschauunge 
unter  sich  und  mit  der  Theorie  in  Einklang  gebracht  werde 
können. 

Die  Lösung  der  Widersprüche  liegt  darin,  dass  bisher  manni^ 
fach  verschiedene  Wirkungen  derselben  Ursache  zugeschrieben 
wurden* 

Man  hat  zweierlei  Arten  von  Geschosspendelungen  zu 
unterscheiden,  welche  beide  ganz  verschiedenen  Gesetzen  unter 
worfen  sind  und  zwei  verschiedene  Gruppen  von  Wirkungen 
zur  Folge  haben;  die  Prazessionsbewegungen  und  die  Nutatious 
bewegungen. 

B.  Veraacbe. 

1.  Zunächst  lag  mir  daran,  die  Geschosspendelungen,  welche  Iw 
ArtUleriegeschossen  nur  selten  und  nur  unter  bestimmten  Umstäiiiien 
genau,  bei  Infanteriegeschossen  wohl  niemals  beobachtet  wurden,  f^- 
das  blosse  Auge  wahrnehmbar  zu  machen.     Ich  versuchte  dies  Tor 

•  2.  B,  die  ^zweifellos  richtigeir'  Heydeu  reich  sehen  Beobachtung^sergelmisje 
sind  folgendenuassen  ri  ch t  i j?  zu  deuten:  Die  auf  S.  95  erwähnten  Pendeluiig^'D. 
welche  die  Treölahiirkeit  beeinflussen,  sind  nicht  identisch  mit  den  S.  104e^ 
wähnten,  welche  die  Seitenabweichung  bewirken.  Die  von  S.  95  können,  v^ßc 
man  will,  ab  ..Xebenschwinguugon**  von  denjenigen  S.  104  angesehen  werden, 
schwerlich  al>er  kommen  iu  denen  S.  95  weiten?  Nebenschwingongen  hinzn.  Kf* 
jenigen  von  S.  95  erfolgen  meisten«  nicht  um  die  Tangente  herum,  vielmehr  di^ 
Jen  igen  von  S.  104. 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Csanz. 


139 


Fig.  4. 

A 


erst  durch  Verlängerung  des  11  mm  Geschosses^  welches  dem  früheren 
deutschen  Infanteriegewehr  M./71  •  zugehörte;  es  lassen  sich  ja  be- 
kannt) ix^h  bei  günstiger  Abend-  oder  Morgenbeleuchtung  selbst  die 
Infanteriegeschosse  in  ihrem  ganzen  Flug  mitunter  mit  dem  blossen 
Auge  verfolgen.  Da  bei  dem  normalen  Geschoss  die  Pendelungen 
mutmasslich  sehr  schnell  vor  sich  gehen ,  so  suchte  ich  die  Pendelungen 
zu  yerlangsamen;  es  wurden  kräftige  Messingstäbe  von  6  mm  Kaliber 
und  von  3,  5,  7  bis  21  cm  Länge  in  die  Bleigeschosse  eingelötet 
(Fig.  4)  und  diese  verlängerten  Geschosse  verfeuert.  Trotzdem ,  dass 
drei  Beobachter*  von  verschiedenen  Standpunkten  aus  aufmerksam  den 
Flug  der  Geschosse  verfolgten,  war  nur  wenig  von  denselben  zu  sehen; 
die  Gesichtswinkel  wurden  in  zu  kurzer  Zeit  ungünstig  klein.  Dagegen 
Termochte  ich  von  einer  Yerdeckung  aus,  über  welche  die  Geschosse 
wegflogen,  sehr  deutlich  die  Pendelungen  mit  dem  Gehör  wahr- 
zunehmen; dieselben  hörten  sich  etwa  wie  scharfe  kräftige  Flügel- 
schlage eines  vorüberfliegenden  Vogels  an.  Je  länger  die 
Geschosse  gewählt  wurden,  um  so  langsamer  erfolgten  die 
regebnässigen  Stösse,  deren  Anzahl  pro  Sekunde  mit  der 
Uhr  geschätzt  werden  konnte  und  besser  mit  der  aus  der 
Theorie  sich  ergebenden  Formel  für  die  Periode  Tj  der 
Xutationsbewegungen,  als  mit  derjenigen  für  die  Periode  T 
der  Prazessionsbewegungen  übereinstimmte.  (Obgleich  die 
ZOge  des  Infanteriegewehres  M./71  rechtsgewunden  sind, 
zeigte  sich  dabei  starke  Linksabweichung;  es  lässt  sich 
dieser  Umstand  leicht  damit  erklären,  dass  der  Angriffs- 
punkt der  Luftwiderstandsresultanten  wegen  der  besonderen 
Form  dieser  verlängerten  Geschosse  hinter  dem  Schwer- 
punkt S  ia  L  liegen  musste.) 

War  nun  bei  diesen  Pendelungen,  die  gehört  wurden, 
der  Sinn  linksläufig,  so  handelte  es  sich  der  Ereiseltheorie  gemäss  um 
Pmzessionabewegungen,  also  um  diejenigen  konischen  Pendelungen, 
welche  den  bekannten  langsamen  Bewegungen  des  Kreisels,  sowie  dem 
sehr  langsamen  Umlauf  der  Erdaxe  um  die  Normale  zur  Ekliptik  in  rund 
26000  Jahren  entsprechen;  war  dagegen  der  Sinn  rechtsläufig,  so 
waren  es  ohne  Zweifel  Nutationsbewegungen ;  und  da  bezüglich  aller 
Geachosspendelungen,  über  deren  Beobachtung  ich  Zahlenangaben  er- 
halten konnte,  insbesondere  auch  bezüglich  der  Nee  senschen  Versuche 
die  Rechnung  zeigte,  dass  die  beobachtete  Anzahl  von  Pendelungen 
pro  Sekunde  weit  besser  der  Formel  für  I\  als  der  für  T  entspricht,  so 
lag  die  Vermutung  nahe,  dass  dies  bei  kleinen  Geschwindigkeiten  all- 
gemein zutreffe,  dass  diejenigen  Geschosspendelungen,  welche 
sich  der  Beobachtung  durch  das  Auge  zunächst  darbieten  und 


/ 


x 


•  Den  Herren  Prof.  Lachenmaier  und  Dr.  Vogt  bin  ich  für  ihre  Mithilfe  bei 
fliesen  Yersachen  (Nr.  1  u.  2)  zu  Dank  verpflichtet. 

10* 


140    Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc 

welche  auch  Herr  Neesen  beobachtet  hat,  meist  Nutatioas- 
bewegungen,  nicht  Präzessionsbewegungen  sind.  Es  war  deshalb 
von  Wert,  die  Pendelungen  wirklich  zu  sehen. 

2.  Es  wurde  bei  Nacht  geschossen;  die  erwähnten  verliingei-ten 
Geschosse  des  Infanteriegewehrs  M./71  waren  an  ihrem  vorderen  Ende 
mit  einem  Feuerwerkskörper  (Schwärmer),  oder  aber  —  dem  Rat- 
schlag eines  Bekannten  zufolge  —  mit  einem  Drahtnetzchen  versehen, 
das  ein  Stück  Phosphor  enthielt;  die  Schwärmer  wurden  entzündet 
und  sodann  die  Geschosse  abgefeuert^  der  Phosphor  entzündete  sich 
beim  Flug  von  selbst.  Die  Pendelungen  traten  zwar  deutlich  hervor, 
und  es  sind  beide  Methoden  für  die  Gewinnung  erster  allgemeiner 
Anhaltspunkte  bei  der  Beurteilung  von  Geschosspendelungen  oder  für 
die  Demonstration  einer  Flugbahn  zu  empfehlen;  allein,  da  nur  die 
Geschossspitze  sichtbar  war,  so  lag  keine  Gewissheit  darüber  vor,  ob 
und  wann  das  Geschoss  sich  nach  hinten  überschlagen  habe.  Aus 
diesem  Grunde  kehrte  ich  zur  Beobachtung  bei  Tage  zurück. 

3.  Auf  Grund  der  Formel  für  T^  konstruierte  ich  ein  kleines  ge- 
zogenes Mörserniodell  der  Art,  dass  bei  einer  Anfangsgeschwindig- 
keit Vq  der  Translationsbewegung  von  20  bis  30  m/sec  1  bis  2  Pendel 
ungen  pro  Sek.  wahrnehmbar  sein  mussten,  falls  sich  überhaupt  Pendel- 
ungen zeigten.  Länge  des  Mörsers  30  cm;  äusserer  Durchmesser  5  cm: 
die  Drall -Länge  niusste  sehr  klein  gewählt  werden  —  7  cm  —  um 
genügende  Rotationsgeschwindigkeit  r  um  die  Längsaxe  des  Geschosses 
zu  erzielen,  dagegen  die  Geschosslänge  sehr  bedeutend,  damit  das  Ver- 
hältnis A:  C  genügend  gross  war  (0  Trägheitsmoment  um  die  Längs- 
axe, A  dasselbe  um  eine  Senkrechte  zur  Axe  durch  den  Schwerpunkt): 
das  Geschoss,  das  stets  wieder  von  neuem  benutzt  wurde,  bestand  in 
seinem  hinteren  Teil  aus  der  zum  Muttergewinde  des  Laufs  gehörigen 
Schraubenspindel  und  war  vorn  „ogival"  zugespitzt;  es  wurden  ver- 
schiedene Geschosslängen  verwendet,  bis  zu  17  Kalibern  (Näheres  siehe 
Beispiele  w.  u.).     Die  Ladung  bestand  aus  Schiessbaum  wolle, 

-,  -  •  •  •  bis  2  g. 

Die  Züge  waren  links  gewunden. 

Schon  die  ersten  Schüsse  ergaben,  dass  die  Geschosspendelungen 
wegen  der  kleinen  Translationsgeschwindigkeit  aufs  deutlichste  mit 
dem  Auge  wahrnehmbar  und  zu  verfolgen  und  ihre  Zahl  pro  Sek. 
mit  Hilfe  eines  mit  Hemmungsvorrichtung  versehenen    Chronometers. 

der  noch  -^  Sek.  anzeigte,  leicht  annähernd  zu  bestimmen  war;  die  Zeit 

einer  vollen  Pendelung  änderte  sich  nämlich  im  Verlauf  derselben  Flug- 
bahn nicht  wahrnehmbar,  wegen  der  kleinen  Schussweite  von  höchstens 
50  m  und  der  kleinen  Anfangsgeschwindigkeit. 

Mit  diesem  Mörsermodell  wurden  ca.  100  Schiessversuche  aus- 
geführt und  Beobachtungen  angestellt,  die  zum  Teil  im  Folgenden  auf- 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Cbanz. 


141 


c^eföhrt  sind;  jede  einzelne  Nummer  ist  ein  Beweis  dafür,  dass  die- 
jenigen Geschosspendelungen,  welche  bei  grossem  Drall- 
winkel und  kleiner  Anfangsgeschwindigkeit  zunächst  in  die 
Erscheinung  treten,  nichts  anderes  sind  als  die  Nutationen. 
Da  naturgemäss  ohne  weitere  Hilfsmittel  an  dem  fliegenden  Ge* 
schoss  keine  exakten  absoluten  Messungen  ausgeführt  werden  können, 

Fig.  5. 


'      ^/"^^ 


.:>-/r*  '/<^  ^\^,J^  ^  ^^  //V.  N/9»;,>  - 


so  stellte  ich,  stets  paarweise,  Vergleichs  versuche  an  auf  Grund 
der  Formeln  (s.  w.  u.)  für  die  Periode  T  und  Amplitude  Ä  der  Prä- 
zessionsbewegungen : 

I)     T^^^%  II)     A  =  Yp+{p,-my, 

Ct      q 
^0  f^       '  "-  und  für  die  Periode   T|  und  Amplitude  A^    der   Nu- 

tationsbewegungen : 

A       Cr 

Fig.  6. 


y^/J  ^/\  *^^  1  f^/^J  l'.^\^J;v..  ...-'n''*»"'^''  v/  ,«>.  »  v^  /^  V  '«^'^x//  t  — •  '^f^y^'^  ^  ^^f  »/ 


Hier  ist  M  das  Luft  Widerstandsmoment  bezüglich  des  Schwerpunkts 
-ir-Äj,  wo  \  den  Abstand  zwischen  Schwerpunkt  und  Angrifl's- 
punkt  L  der  Luftwiderstandsresultanten  auf  der  Geschossaxe  darstellt, 
'*/  die  horizontale  Geschwindigkeit  des  Schwerpunkts,  s^  ein  seitlicher 


142  Theoret.  u.  exporim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc 

Anfangsstoss,  der  auf  die  Axe  an  der  Mündung  ausgeübt  wird^  ^o  —  Q 
der  Winkel  zwischen  der  Anfangsrichtung  der  Flugbahntangente  und 
deren  Richtung  zur  Zeit  t 

Es  wurden  verschiedene  Versuchsanordnungen  getroflfen,  bei  denen 
die  Grössen  Ä^C,r  etc.  verändert  wurden;  solche  Versuchspaare  wurden 
bevorzugt,  welche  bei  derselben  Änderung  einer  Grösse  entgegengesetzte 
Änderung  von  T  und  T^  bezw.  von  A  und  A^  geben  und  damit  eine 
Entscheidung  über  die  Frage  „Nutation  oder  Präzession?"  herbeiführen 
mussten. 

a)  Schüsse  unter  Abgangswinkel  45^;  Anfangsgeschwindigkeit 
Vq  « 21  m.  Die  Geschossbahn  wurde  sowohl  von  hinten  als  von  der 
Seite  betrachtet.  Es  zeigte  sich,  dass  die  Geschossaxe  durchschnittlich 
sieh  seihst  parallel  weiterging,  nur  gegen  das  Ende  der  Flugbahn  sich 
die  Axe  mehr  nach  dem  Horizont  zuneigte.  Hierbei  beschrieb  um  den 
Schwerpunkt  als  Spitze  die  Geschossaxe  Doppelkegel  im  Sinne 
des  Dralls,  also  linkshiufig;  die  Geschossspitze  bewegte  sich  in  zahl 
reichen  kreisilhnlichen  Bogen  (in  der  Fig.  6  angedeutet).  Die 
Amplituden  dieser  Bogen  zur  selben  Zeit  wechselten  von  Schuss  zu 
Sohuss  nicht  wenig,  zwischen  ca.  5®  und  30®;  im  Verlauf  derselben 
Flugbahn  nahm  stets  die  Amplitude  der  Pendelungen  zu.  Die  Geschoss- 
spitze blieb  bei  diesen  Pendelungen  durchweg  über  der  Flugbahn- 
tangente; stets  schlug  deshalb  das  Geschoss  zuerst  mit  dem  hinteren 
Ende  auf  dem  Boden  auf;  einmal  blieb  das  Geschoss  sogar  in  dieser 
Lage  im  Boden  stecken,  die  Geschossspitze  schief  nach  oben  gerichtet 

Die  Dauer  einer  Prazessionspendelung  ist  berechnet  T=22  Sek^ 
die  Dauer  einer  Xutationspendelung  berechnet  T^^Oßb  Sek.,  beob- 
achtete Dauer  0,5  bis  0,75  Sek.  Es  handelt  sich  somit  um  Xutationen; 
die  sehr  laugsame  Prazession  äusserte  sich  offenbar  nur  darin,  dass 
die  MittoUage  der  Geschossaxe  im  Verlauf  des  Flugs  sich  etwas,  um 
ca.  1;A  nach  dem  Horizont  zu  neigte,  die  Spitze  des  Greschosses  sich 
senkte. 

Bei  Schüssen  unter  anderen  Abgangswinkeln  dieselbe  sekundliche 
Zahl  von  IVndelunijtni, 

M  Auch  btn  Schuss  vertikal  aufwärts,  wo  zur  Prazession? 
Wwe^nnig  kein  Anlass  gegeWn  war,  Wieb  die  Zahl  und  Amplitude  der 
Nutationon  diest^W, 

c^  Schüsse  mit  iwei  gleich  schweren,  aber  verschieden 
lar.vren  Geschiv^sen  gleicher  Antar.irsiresohwindiirkeit  i  Ansatz  an  dem 
Insohoss  oiners^^its  von  Eisor.,  anderste ts  Ton  Holz,  gleichen  Kalibers^ 
Dit  Vorlr.;  irerur.g  dos  Gesohv^s^es  erzoi^gt  nach  Formel  I  grosseres  h.^ 
ir.  M ,  *l<o  kloir.oros  T:  r.Svh  III,  wo  i:u  Xer.ner  das  erste  Glied  sehr 
f.'vr'^itVt,  Tfini  durch  iv^e  Ver:7rc^^ruvi:  k*t\:.eTV>  C:^4,  also  ffrosseres  Tj 
«rrc.irt.    Die  Ixvtv^i.htiir.ir  crv^b  Iviin  KTirrorv^n  Goschoss  die  Pendelungs- 

ivriv^v^.o   "^  S<'k,  Vir:i  Tir-Ctrer.    1   Sts,  entsirtvhend  Fv>rmel  HI. 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Cranz.  143 

d)  Der  Geschossschwerpunkt  wurde  variiert.  Erster  Schuss 
mit  Schwerpunkt  in  der  Oeschosamitte  (ebenda  eine  verschiebbare  Blei- 
masse),  an  der  Geschossspitze  eine  kleine  Eorkscheibe,  damit  sicher 
der  Luftwiderstand  an  der  Spitze  angreift;;  zweiter  Schuss,  Bleimasse 
und  Eorkscheibe  vertauscht.  Dadurch  war  beide  mal  h^  nahezu  gleich 
gross,  aber  von  entgegengesetztem  Vorzeichen;  femer  das  zweite  Mal  Ä 
grösser  als  das  erste  Mal,  die  andern  Grössen  unverändert.  Waren 
also  die  Pendelungen  Präzessionen,  so  musste  nach  I  deren  sekundliche 
Zahl  unverändert  bleiben,  aber  der  Umlaufssinn  wurde  umgekehrt; 
waren  es  dagegen  Nutationen,  so  blieb  der  Sinn  unverändert,  dagegen 
wurde  die  ümlaufszeit  grösser. 

Beobachtet  wurde  das  letztere. 

e)  Trägheitsmoment  C  variiert.  An  der  Geschossspitze 
wurden  der  Reihe  nach  drei  gleich  schwere  Eorkscheiben  von  immer 
l^osserem  Durchmesser  senkrecht  angebracht  und  je  mit  gleicher 
Ladung  unter  45^  geschossen;  in  I)  wächst  dann  sowohl  C  als  M  pro- 
portional dem  Quadrat  des  Radius,  also  bleibt  T  konstant;  in  III)  wird 
C  grosser,  also  T^  successiv  kleiner;  beobachtet  wurde  letzteres;  die 
Pendelungen  erfolgten  immer  schneller,  waren  ^.^  ^ 

bei  der  breitesten  Scheibe  von  6  cm  Durch- 
messer kaum  mehr  zu  zählen.  Dasselbe  bei 
vertikalem  Schuss. 

f)  Nur  M  variiert.  Um  einen  be- 
sonders überzeugenden  Vergleichsversuch  zu 
erzielen,  bei  welchem  die  Formeln  I)  und  11) 
entgegengesetzte  Resultate  liefern  mussten  und 
nur  eine  einzige  Grösse,  der  Luftwiderstand 
in  Jf,  sich  ändert,  wurden  an  der  Spitze  des 
Geschosses  senkrecht  zur  Axe  zugleich  zwei  Metallscheiben  von  der 
Form  der  Figur  7  aufgesteckt.  Erstens  wurde  die  eine  so  gestellt,  dass 
bei  beiden  Scheiben  die  Flügel  B  übereinanderstanden,  und  geschossen; 
das  zweite  Mal  die  eine  so  gedreht,  dass  die  Flügel  B  der  einen  über 
den  Ausschnitten  Ä  der  andern  standen,  folglich  die  volle  Scheibe 
sich  dem  Luftwiderstand  entgegensetzte.  Nach  I)  wurde  im  zweiten 
Fall  der  Nenner  31  gegenüber  dem  ersten  Fall  vergrössert  (im  Ver- 
hrütnis  3 : 2),  also  T  im  selben  Verhältnis  verkleinert.  Nach  III)  wurde 
der  Nenner  ein  wenig  verkleinert,  T^  vergrössert.  Thatsächlich  zeigte 
sich  das  letztere  (15  Pendelungen  in  5  Sek.,  gegen  vorher  17).  Das- 
selbe bei  schiefem  und  vertikalem  Schuss. 

g)  Es  wurde  der  Reihe  nach  mit  -^  i  -i  •  •  •  2  g  Ladung  geschossen 

(schief  und  vertikal),  die  Zahl  der  Pendelungen  pro  Sekunde  nahm  zu, 
aber  auch  die  Amplitude;  nach  der  Formell!)  für  Präzessionsbewegung 
würde  die  Amplitude  A  abnehmen,  nach  IV)  nimmt  .4^  mit  Sq  zu;  es 
fand  sich  bei  vertikalem  Schuss: 


[44    Tii«oret  u.  cxperim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse ek. 

Im»!  ^,  gjiadung,  Amplit.  i. höchst. Punkt  ca. 5^b.  Aufschi,  am  Boden  ca.lO^, 

}}    4  w  jf  >7  )f  »  ^^ ;  w         w         fy         ^*^  i 

„   -J  „        „  „  „  über  90<>,  „        „    grosse  Ampi, 

,,  2 ,,  „  Überschlagen  des  Geschosses  bald  nach  Verlassen  des  Laufs, 
Herabfallen  unter  vollen  Rotationen  um  den  Schwerpunkt  in  nahezu 
vertikaler  Ebene. 

h)  In  einem  hohen  Saal^  der  oben  eine  Öffnung  besitzt^  wurde 
vertikal  aufwjirts  geschossen,  und  von  der  Öffnung  aus  die  Geschoss- 
bewegung, speziell  die  Bahnen  der.  Geschossspitze,  während  der  ein- 
zelnen Pendelungen  von  oben  betrachtet.  Es  zeigten  sich  Kurven 
ähnlich  der  in  Figur  42  (siehe  Heft  4  d.  Zeitschr.). 

G.  Theorie. 

Eine  analytische  Theorie  der  Ereiselbewegungen  rotierender  Lang 
geschosse  hat  der  Verfasser  früher  (I.e. §28)  unter  Voraussetzung  des 
quadratischen  Luftwiderstandsgesetzes  gegeben.  Dieselbe  soll  im  Folgen- 
den anter  weniger  beschränkenden  Annahmen  von  neuem  durchgeführt 
werden:  erstens  gilt  die  folgende  Theorie  für  jedes  beliebige  Luft- 
widerstandsgesetz,  zweitens  ist  angenommen,  dass  die  Geschossaie 
im  Anfang  der  Flugbahn  einen  seitlichen  Stoss  erleide,  der  speziell 
auch  Null  sein  kann;  ferner,  dass  anfangs  die  Tangente  und  die  6e- 
«»chossaxe  nicht  zusammenfallen. 

Die  Bewegung  des  Geschosses  kann,  wie  bekannt,  zerlegt  gedacht 
werden  in  eine  Translationsbewegung  des  Schwerpunkts,  die  so 
vor  sich  geht,  wie  wenn  im  Schwerpunkt  alle  äusseren  Kräfte,  parallel 
v<^rsetzt,  angreifen  würden,  und  in  eine  Drehung  des  Geschosses  um 
den  Schwerpunkt,  wobei  diese  Drehung  in  derselben  Weise  erfolgt, 
wie  wenn  der  Schwerpunkt  im  Räume  relativ  fest  wäre.  Beide  Be- 
w<rtruLgen  sind  von  einander  abhängig,  worin  der  Grund  für  die 
Kor/-pliziertheit  des  Problems  und  für  die  Unmöglichkeit  liegt,  das- 
t^['/ti  in  aller  Strenge  zu  lösen.  Diese  gegenseitige  Abhängig- 
i  *rit  leuchtet  auch  ohne  Rechnung  sofort  ein:  Je  grosser  die  Schwank- 
'-r,;^en  l^eznglich  der  Bahntangente  sind,  welche  die  Greschossaxe 
j^ri'yii^/h  um  den  Schwerpunkt  vollführt,  um  so  grösser  werden  die 
C/;,*>fr*<^liieile  des  Luftwiderstands  gegenüber  dem  Geschoss,  welches 
üL*ri.r  ^*:']ii*f  Langseite  diesem  Widerstände  darbietet,  um  so  mehr  also 
v*./d  die  Flugbahn  des  Schwerpunkts  abgeändert:  andererseits,  je 
y,;..ser  die  Krümmung  der  Flugbahn  ist,  um  so  mehr  ändert  sich  der 
'•'»,/*rl  z^i-m-hen  der  Richtung  der  Bahnt;ingente  in  einem  beliebigen 
i\  m\  MrA  zwischen  der  Richtung  der  Anfangstangente,  um  so  grösser 
k..f>'j  w^r'ien  die  Amplituden  bei  den  Kreiselbewegungen  der  Geschoss- 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Crahz.  145 

Diese  wechselseitige  Abhängigkeit  der  beiden  Bewegungen  nötigt 
dazu,  ein  passendes  Näherungsverfahren  einzuschlagen;  lässt  doch  schon 
die  (für  die  Praxis  wichtigste)  Aufgabe,  welche  gewöhnlich  als  das 
^balUstische  Problem"  im  engeren  Sinne  bezeichnet  wird,  diejenige 
nämlich,  bei  welcher  von  der  Botation  des  Geschosses  um  den  Schwer- 
punkt abstrahiert  und  das  Qeschoss  als  Massenpunkt  betrachtet  wird, 
bekanntermassen  keine  strenge  Lösung  zu.  Das  im  Folgenden,  wie 
in  der  früheren  Arbeit,  angewendete  Verfahren  besteht  nun  darin,  dass 
die  Gleichungen  der  Translationsbewegung  zunächst  ohne  Rücksicht 
auf  die  Rotationsbewegung  näherungsweise  gelöst,  sodann  die  be- 
treffenden Ausdrücke  in  die  Gleichungen  der  Rotationsbewegung  ein- 
gesetzt und  diese  integriert  werden.  Die  so  gewonnenen  Integrale 
werden  dann  —  falls  dazu  fortgeschritten  werden  soll,  die  Geschoss- 
ahweichungen  infolge  der  Rotationsbewegungen  zu  berechnen  —  rück- 
wärts wieder  dazu  verwendet,  die  Gleichungen  der  Translationsbeweg- 
UDg  nachträglich  mit  gewissen  Eorrektionsgliedem  zu  versehen.  Es 
ist  dies  ein  Verfahren,  wie  es  in  ähnlicher  Weise  bei  Störungsrechnungen 
der  Astronomie  Anwendung  findet. 

Durch  die  Mitte  0  der  Geschütz-  oder  Gewehrmündung  seien 
drei  feste  Eoordinatenaxen  Oxy  Oy,  Os  gelegt;  die  Axe  Ox  horizontal 
und  positiv  in  der  Schussrichtung;  Oy  ebenfalls  horizontal  und  positiv 
nach  links  (die  Ausdrücke  rechts,  links,  oben,  unten  durchweg  bezüg- 
lich des  Schützen  gebraucht);  die  z-Axe  vertikal,  positiv  nach  oben. 
Der  Geschossschwerpunkt  S  habe  nach  t  Sekunden,  vom  Verlassen  der 
Mündung  an  gerechnet,  die  Koordinaten  xy0]  durch  S  denke  man  sich 
drei  Axen  Sx,  Sy,  Sz  parallel  und  gleichsinnig  mit  Ox,  Oy,  Oz  ge- 
legt, sowie  drei  andere  Axen  Sx^^  Sy^^  Sz^,  welch  letztere  mit  dem 
Geschoss  fest  verbunden  sind  und  Hauptträgheitsaxen  vorstellen  (die 
Figur  8  ist  gezeichnet  für  einen  Beobachter,  welcher  von  der  linken 
Seite  der  Flugbahn  aus  nach  dem  Geschoss  sieht,  also  geht  für  diesen 
Sx  nach  links,  Sy  nach  vorn,  Sz  nach  oben).  Die  Axe  Sz^  sei  die 
Langsaxe  des  Geschosses,  das  als  Kreiscylinder  mit  aufgesetzter  Spitze 
zu  denken  ist;  ihre  Neigung  gegen  die  Horizontalebene  Sx,  Sy  möge 
^  sein;  positiv,  falls  die  Geschossaxe  sich  oberhalb  dieser  Ebene  xSy 

befindet,  negativ,  wenn  unterhalb,  somit  <)C  jsrS;?!  =  —  — 'S*.    Die  beiden 

anderen,  im  Geschoss  festen  Axen  Sx^,  Sy^  seien  auf  Sz^^  senkrecht; 
die  Ebene  x^Sy^  schneide  die  Horizontalebene  xSy  nach  SÄ  und 
<)iySÄ  sei  mit  0  bezeichnet,  ^  gezählt  von  der  -f  j/-Axe  zur  -f  x-Axe; 
tn^Uich  sei  <)ZÄ8xi'^  q>y  und  zwar  sei  der  positive  Drehungssinn  von 
(p  dadurch  festgelegt,  dass  bei  wachsendem  tp  einem  Beobachter,  der 
von  S  aus  in  der  Richtung  der  Geschossaxe  Sz^  sieht,  das  Geschoss 
und  mit  ihm  die  Ebene  x^Sy^  rechtsläufig,  im  Sinn  der  Uhrzeiger- 
bewegung sich  dreht,  also  in  der  Weise,  wie  es  bei  den  deutschen  Ge- 
schützen mit  ihren  rechtsläufig  gewundenen  Zügen  der  Fall  ist.    Durch 


146    Theoret  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  etc 


die  Angabe  von  &,  cp,  ^  ist  in  jedem  Augenblick  die  Lage  des  Ge- 
schosses bezüglich  des  Schwerpunkts  S  festgelegt;  anfangs  liege  die 
Geschossaxe  in  der  Schussebene  ^rr/Sj?  und  sei  gegen  den  Horizont  am 
den  wahren  Abgangswinkel  d'Q  geneigt,  auch  falle  anfangs  Sz^  mit 
Sä  zusammen;  so  dass  fiir  ^  =  0:^  =  0,  9)«=0,  d'  ^  d'Q. 

Py  g,  r  seien  wie  üblich  die  Komponenten  der  variablen  Dreh- 
geschwindigkeit  um  die  beweglichen  Axen  Sxi,  Sy^,  Sz^'^  dabei p  positiv 
für   eine   Drehung  um   Sx^  von  Sy^  nach  Sg^y  q  für  eine   Drehung 


um   Sy^  von   Sz^^  nach  Sx^,  r  für   eine   Drehung   um   S^^   von   Sx^ 
nach  Sy^. 

.  Weiterhin  sei  m  die  Geschossmasse;  X,  F,  Z  die  Komponenten 
summen  aller  auf  das  Geschoss  wirkenden  äusseren  Kräfte  mit  Aus; 
nähme  der  Schwerkraft  bezüglich  Sxy  Sy^.Sz]  X,,  Y^  Z^  dasselbe  be- 
züglich der  beweglichen  Axen  Sx^,  St/„  Sz^  und  Z,  My  JVdie  entsprechenden 
Momentensummen;  A,  -B,  C  die  Trägheitsmomente  um  Sx^^  ^Vn  Sz^, 
Dann  sind  die  Gleichungen  für  die  Translationsbewegung  des  Schwer- 
punkts: 


1) 


m 


'dJ^  =^-^'      ^^di^^  ^' 


m 


dt 


^^  Z—mg 


und  diejenigen  für  die  Rotation  um  den  Schwerpunkt  nach  Euler: 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Gbanz. 


147 


2) 


dabei  ist 


dp 
dt 


^(B^C)qr^L,     B-^^^  =^  {C --Ä)rp  +  M, 


dr 


3) 


o.      '  dTp  dd' 

I?  =  —  cos  &  •  Sin  q)  -  -^  —  cos  q)  •  -,— ; 

^  d^   ,      .  dd- 

g  =  —  cos  d-  •  cos  9  •  ;.  +  sin  ip 


r  = 


dt 

dt^^'^'^'-dr 


dt^ 


woraus  auch  folgt: 


3a)    cosd •  -^  =  —  p •  sin 9  —  g • 


dt 


cos  9, 


d» 
~di 


«  —  pcosg?  +  qsinq). 


X, 

Vi 

^1 

X 

«1 

h,  ]    Cj 

y 

(h 

^1  ^» 

z 

«8 

&» 

<?8 

Die    Kosinus    a^o^a^\h^h^c^<^c^    der    Winkel 
zwischen   den    beweglichen   Axen    der    oc^PiZ^  und 
den   festen   xy0   (vergl.  das   Schema)   hängen    mit 
den  Winkeln  g?,  ^,  d  durch  die  Eul  er  sehen  Formeln      -^ 
zusammen: 

a^  =  —  sin  -ö*  •  cos  V'  •  sin  g)  +  sin  ^  •  cosqp 

&!  =  —  sin  ^  •  cos  tif  •  cosgj  —  sin  ^  •  sin  gj 

Ci  =  cos  d'  •  cos  f 

Oj  =  sin  ^  •  sin  ^  •  sin  q>  +  cos  f  •  cos  9 
4)  {  ^2  =  sin  d-  •  sin  V^  cosy  —  cos  ^  •  sin  9) 

c^  =  —  cos  <&  •  sin  ^ 

ttj  «  cos  'd'  •  sin  9 

63  =  cos  "&  •  cos  q> 

C3  =  sin  &. 

Die  Kräfte,  welche  auf  das  Geschoss  wirken,  sind  die  Schwer- 
kraft, der  normale  Luftwiderstand,  die  Luftreibung  oder  der  tangen- 
tielle  Widerstand  (Poissonscher  Effekt),  und  die  Wirkung  der  an 
dem  Geschoss  adhärierenden  Luft  gegenüber  der  Luft,  in  welcher  sieh 
dasselbe  bewegt  (Magnus-Effekt).  Die  Schwerkraft  kommt  in  den 
Gleichungen  2)  nicht  vor,  da  die  Resultante  der  Schwerkräfte  durch 
»S*  geht. 

Die  normalen  Luftwiderstände  gegen  die  einzelnen  Teile  der  Ge- 
schossoberfläche setzen  sich  zu  einer  Resultante  zusammen,  welche  in 
einem  yariablen  Punkt  L  der  Geschossaxe,  SL  =  \,  angreift;  diese 
Resultante  sei  in  ihre  Komponenten,  Wp  und  IT,,  parallel  und  senk- 
recht zur  Geschossaxe  Sz^  zerlegt  gedacht;  der  Winkel  zwischen  W^ 
und  Sx^  sei  ß.  Die  Grössen  Wpj  Ws  und  \  variieren  in  wenig  ein- 
facher Weise  mit  dem  Winkel  a  zwischen  Geschossaxe  Sz^  und  Flug- 
lahntangente STy  die  Tabellen  I,  11  und  IV  (siehe  Heft  4  dieser 
Zeitschr.)  geben  für  verschiedene  Winkel  a  und  verschiedene  Geschoss- 
längen diese  Werte,  wie  sie  nach  den  Formeln  von  Kummer  berechnet 


148    Theoret.  u.  cxperini.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschof^se  etc. 


Fig.  9. 


+  *, 


„X. 


o 

•s 

in 


sind.  Bezüglich  des  tangentielleu  Luftwiderstandes  haben  Poisson  und 
Heim  für  Kugeln  rechnerisch  nachgewiesen,  dass  er  ein  nur  minimaler 
sein  könne;  die  oben  angefilhrten  Versuche  haben  weiterhin  bewiesen, 
dass  auch  fdr  die  jetzigen  Langgeschosse  die  Wirkung  der  Luft 
reibung  zum  mindesten  erheblich  kleiner  ist,  als  diejenige  des  normalen 
Widerstands;  es  ist  deshalb  im  folgenden  von  der  Wirkung  der  Luft- 
reibung abstrahiert;   es  könnte  dieselbe  auch  erst   dann  in  Rechnung 

gezogen  werden,  wenn 
Versuche  über  die  oveu- 
tuelle  zeitliche  Abnahme 
der  Rotationsgeschwin- 
digkeit um  die  Längs- 
axe  vorlägen. 

Der     Effekt    von 
Magnus  endlich  kommt 
fär  Langgeschosse  wohl 
nur  bezüglich  derTrdns- 
lationsbewegung     und 
überhaupt  nur  dann  in 
Betracht,  wenn  die  Ge- 
schossaxe     gegen     die 
Bahntangente  betriioht- 
—  lieh    geneigt    ist.     So 
soll   im   Folgenden  — 
wie  dies  von  den  Bal- 
listikem,   die  sich  bis- 
her rechnerisch  mit  den 
Geschosspendelungen 
befassten,      stets     ge- 
schehen   ist   —  ausser 
der  Schwerkraft  nur  der  normale  Luftwiderstand  in  die  Rechnung  ein- 
bezogen werden.     Es  ist  danach: 

Xi=Tr,.cos/3,     Y^^Ws'sinß,    Z^^W^\ 

ferner  ist,    da   der  Angriffspunkt  x^y^z^   der  Luftwiderstandsresultante 
auf  der  Axe  S^j  liegt: 

L  =  Zy^Y^-y^Z^^      3,Y^-=     Ä^-TTrsin/J 

5)  M=-x^Z^  — z^X^==-z^X^=-\'W.'Q>osß 

Deshalb  und  wegen  Ä  =  B  giebt  die  dritte  Gleichung  2)    /.  ==^' 

die  Komponente  der  Rotationsgeschwindigkeit  um  die  Geschossaxe  ist 
also  konstant. 

Es    ist   nun   cosj3,  sin/3,   X,    Y,  Z  zu  bilden.     Die  Kosinus  der 
Winkel  zwischen  der  Bahntangente  und  den  festen  Axen  sind: 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Crank. 


149 


dx      dy 


dz 

dn'      ds'      ds^ 

die  Ebene  durch  die  Tangente  ST  und  die  Geschossaxe  Sz^  soll  den 
Winkel  ß  mit  der  Sx^-Axe  bilden,  somit  erhält  man  aus  dem  recht- 
winkligen Dreikant  Ärr^,  ST,  SW,  (wo  SW,\Ws  durch  S): 

i  cos{ST^Sxi)  --  sin  a .  cos/J 

dx  .        dy 


=  «'rfs  +  "«d«  +  «»rf7-' 


dz 


Fig.  10. 


j  co8(Sr"/SyJ  -  sina-  sin/J 


dy 


dz 


h-.i.  +  h/.'+hT. 


3  ds 


oder 


ß 


W.  l^ß    % 


Ia      (     dx    .        dy    .        dz\ 

femer    ist   fiir   den  Winkel  a   zwischen 

ST  und  5^1 : 

-^.  dx  .       dy  .       dx 

und  endlich  ist: 

Damit   erhalten   die   sechs   Gleichungen  1)  und  2)  für  die  Trans- 
lation und  Rotation  die  folgende  Form: 


8) 


9) 


m 


d^x 
dt 


I  =  «1  •  W.'  cos/J  +  h  •  W.'  sin/J  +  q  •  Tr, 


d^y 


m  •  -^^ -  a,.  Tr,-  cos/J  +  b^-  Wr  sin/J  +  Cg-  TJ'i, 

w  •  ^^T  ==  ÖS*  ^^*-  COS/J  +  &3.  IT..  sin/J  +  Cj-  Wp  —  w</ 


10) 


(dabei   der  Luftwiderstand  negativ  zu  rechnen). 

In  der  That  hängen,  wie  oben  bemerkt ,  die  beiden  Bewegungen 
wechselseitig   von    einander    ab,    denn    die   Gleichungen  9)    enthalten 

öi«s . . .,  also  wegen  4)  die  Winkel  -ö",  V'?  ^^^  di®  Gleichungen  10)  ent- 

dx       dy      dz 

halten     ^   ^     j„^     j  • 
as       ff«      «« 

Dem  angeführten  Plan  zufolge  werden  zunächst  die  Gleichungen  9) 
für  die  Translationsbewegung  des  Schwerpunkts  ohne  Rücksicht  auf 
die  Rotation  gelöst;  eine  solche  Lösung  ist  z.B.  in  dem  Siacci- 
Kruppschen  System  von  Gleichungen  gegeben: 


150  Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 

Hier  bedeutet  o  den  Horizontalneigungswinkel  der  Tangente  in  dem 
Punkt  (xz),  der  nach  t  Sekunden  erreicht  ist;  die  Werte  X^FjT,  Y  sind 

jP  •  1  206   ' 

aus  Tabellen  zu   entnehmen;  x  =  ^^^   '      ;  P  Geschossgewicht    in   kg, 

R^x  der  Querschnitt  des  Geschosses  in  qcm,  d  das  Gewicht  von  1  cbm 
Luft,  X  ein  Faktor,  der  von  der  Spitzenform  abhängt  und  für  normale 
Kruppsche  Geschosse  ==  1  ist.  Man  kann  auf  diese  Weise  für  irgend 
eine  Zeit  t  die  Lage  {x,g)  des  Geschosses  berechnen;  y  ist  dabei  =  0. 

Noch  einfacher  ist  es,  nach  der  graphischen  Methode  des 
Verfassers*  die  Flugbahn  zu  konstruieren;  es  lassen  sich  dann  die  zu- 
sammengehörigen Zeiten  t,  Abscissen  x,  Ordinaten ;?,  Tangentenwinkel  a, 
Bahngeschwindigkeiten  v  leicht  entnehmen. 

Es  sei  vorausgesetzt,  dass  dies  geschehen  sei,  dass  man  also  für 
eine  grössere  Anzahl   v^on  Flugbahnpunkten,  zunächst  ohne  Rücksicht 

auf  die  Rotation,  die  Werte  ^,  rc,  j^,  o,  v,  also  auch  -^  und  ^    kenne, 

während  vorerst  j/  =  0,  j/  =  0  genommen  wird. 

Femer  soll  die  folgende  Berechnung  nur  Giltigkeit  haben,  wenn 
die  Beobachtung  (an  Scheibendurchschlagen  etc.)  aufgezeigt  hat,  dass 
die  Winkel  d"  und  ^  klein  sind,  und  zwar  sei  vorausgesetzt,  dass  die 
Winkel  d  und  ^  so  klein  seien,  dass  die  Quadrate  gegenüber  der  Ein- 
heit vernachlässigt  werden  können,  dann  ist 

ai=  —  d"' sin  rt  +  ilf  cos  rt]     6^  =  —  -Ö- •  cos  rf  —  ^  sin  r/; 

Cj  =  +  1 ;    02=  cos  rt,    h^^  —  sin  rt, 

Cg  =  _  ^^     a,  =  sinr^,     63=  cos  r^,     (^^  +  9'] 

damit  werden  die  Gleichungen  6): 

cos  /J  =     J^  (—  d' '  sin  rt  +  ^  cos  rt)  +  ^  •  cos  ^^  +  ^  sin  rt    :  sin  a 

sin  /J  ==    ^,"^  (—  -Ö"  •  cos  r  ^  —  V'  «in  rt)  —  ^^  •  sin  ^^  +  j^  cos  rt  1  :  sin  a. 


♦  Zeitschrift  für  Mathematik  und    Physik,   Jahrgang  1897,    S.  197.      (S.  Si»" 

Z.  16  lies  16  —0  statt  24"52'.    Femer  ist  hinzuzufügen,  dass  Hr,  A.  In d r  a  gegenuWr 
16 

Hr.  ökinghaus  die  Priorität  dafür  in  Anspruch  nimmt,  zuerst  die  Hyperbel 
als  ballistische  Kurve  systematisch  behandelt  zu  haben.  In  der  That  hat 
schon  1876  Hr.  Indra  das  betr.  Gleichungssystem  aufgestellt,  dasselbe  übrigens  in 
einer  weit  allgemeineren,  auf  synthetisch  -  geometrische  Betrachtungen  g-eg^rüu- 
deten  Weise  abgeleitet :  Alois  Indra,  jetzt  Oberst  und  Präses  im  technischen 
Militärkomit^  in  Wien ,  „  Graphische  Ballistik ,  synthetische  Behandlang  der  B*»- 
wegung  im  materiell  erfüllten  Raum,  Anwendung  auf  die  Geschossbe-wegung •' 
Wien  1876,  bei  Seidel.  Seitdem  hat  Hr.  ökinghaus  die  Hyperbeltheorie  auf  zahl- 
reiche Einzelprobleme  der  Ballistik  angewendet  und  erheblich  erweiterte) 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Cranz. 


151 


Denkt  man  sich  hier   den  Zähler   und  Nenner  je  mit  der  Bahn- 

ds  d  t/ 

eschwindigkeit  ^-=t;  multipliziert,  setzt  nach  dem  Obigen  vorerst  -^  =  0, 

d  X  dx 

1(1  bezeichnet  j.  =  t;  •  cos  ai,  ,   «=  v  •  sin  o,  wo  o  der  Horizontahieigungs- 
inkel  der  Tangente  ist,  so  wird: 

cos/J  =  [v '  cos  o  (  —d" '  sin  rt  +  ij}  cos  rt)  +  v*  sin  a>  •  sin  r<] :  t;  •  sin  a, 

lur: 

j  cos/J  =^    .  -  •[—  'ö'-sinr^  +  ^  cosr^  +  sinr^-tgo] 

sin/J  —  5^!-?.[_  'd'-cosr^  —  ^sinr^  +  cosr^-tgo]. 

lierbei  ist: 

^^        .     dy       ^    dz        \dx        ,     dy       ^    dz]    ds 

m  jetzt: 
13)  cos  a  =  cos  o  •—  d  •  sin  0). 

d  ft  d  tj 

Dass  es   in  der  That   gestattet   ist,   i^'-fj  gegen  -'-  zu  vemach- 

issigen,  ergiebt  sich  aus  dem  Beispiel  der  schweren  Feldkanone;  für 
lese  ist  z.  B.: 


1 

nach 

1 

y- 

z  = 

dx 

\    dt 

dy 
dt 

dz 
dt 

1 
8ec 

m 

m 

m 

m/sec 

0 

;       0 

1 

0 

0 

425 

0 

115 

1,26 

491 

0,25 

126 

358 

0,2 

80 

2,79 

.    1002 

1 

239 

316 

0,6 

64 

4,48 

;    1512 

1,5 

329 

287 

0,9 

44 

Da  n.  V.  1^1  <1,    leuchtet   die   Berechtigung    des   Gesagten   ein. 

mier  ist  in  3)  und  3a);  C08d«l;  sin-Ö*-  ,y  ist  klein  gegen  ,^;  da  -%y 
u.)  und  d'  klein  sind. 

Mit  den  Ausdrücken  12)  werden,  unter  Berücksichtigung  von  5) 
e  Gleichungen  2)  resp.  10)  der  Rotation  des  Geschosses  um  den 
Awerpunkt  nunmehr  die  folgenden: 

Idp      A — C  M  /     ^  .        .      •      j    ,  #   A       \ 

^^ -j—  •  r g  =^  -j  •  (—  d  •  cos  rt  —  if'  sm  rt  +  cos  rt  •  tgo) 


obei: 


I  ^.  +  — j—  •  »*P  *=  —  j  •  (—  -d-  •  sin  r^  +  ^  •  cos  rt  +  sin  rt  •  tg»), 

T,  -  Wt  '  Ä,   •  cos  00 

M  = .- 


Bina 


t.    Dazu  kommen  die  Gleichungen: 

diff 


15) 


dt 
d» 

l  dt 


«*  —  1?  sin  r^  —  g  •  cos  rt 
«  —  2?  •  cos  rt  +  q  sin  rt 


152  Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  cl.  rotier.  Langgeschosse  vi 

Die  Bewegung  des  Geschosses  denken  wir  uns  in  genügend  kiek 
Intervalle  zerlegt,  so  dass  bei  der  Berechnung  innerhalb  jedes  einzelne 
Intervalls  ein  anderer  konstanter  Mittelwert  von  W,  •  h^  cos  o :  sin 
angenommen  werden  kann;  die  Tabelle  III  resp.  IV  giebt  die  AVe 
von  Ws :  sin  a  und  von  \,  die  graphische  Darstellung  der  Translatio 
bewegung  lieferte  in  jedem  Augenblick  o,  so  dass  der  Ausdruck  M 
gegeben  zu  betrachten  ist;  die  Tabelle  III  und  das  weiter  unten  durd 
geführte  Beispiel  zeigt,  dass  M  wenig  rasch  sich  ändert. 

Das  Gleichungssystem  14)  und  15)  lässt  sich  dann  nach  Poissoc 
Vorgang  wie  folgt  integrieren.  Man  versucht,  für  ^;,  g,  •9',  ^  Integral 
in  der  Form  zu  finden: 

P  =  /i-cosr^  +  /"g-sinrf  +1?^,         -ö*«  f^- cos rt  +  f^^- sin  rt  +  ^^ 
q  =^f2'Cosrt  —  /^sinrf  +  g^,  ^  =  f^- cos  rt  —  f^- sin  rt  +  i\, 

wobei  fififsfiPiQi^iifi  8  Funktionen  der  Zeit  darstellen,  welche  nnc 
zu  berechnen  sind.  Dies  geschieht,  indem  die  eben  angeschriebtüe 
Werte  für  pqd'tif  in  14)  und  15)  eingesetzt  und  die  Koeffiziontd 
von  cosr^  und  sinr^,  sowie  die  von  den  periodischen  Gliedern  freie 
Terme  beiderseits  einander  gleichgesetzt  werden.  Man  erhält  s 
8  Gleichungen  zur  Bestimmung  der  Funktionen  f^f^  etc.;  in  4  dies^ 
Gleichungen  kommen  df^\dt  neben  /g-r,  df^ldt  neben  /i-r,  df^  dt  nebej 
f^-r,  df^\dt  neben  f^r  vor;  vernachlässigt  man  diese  Ableitungen  dt 
Funktionen  gegen  die  Produkte  dieser  Funktionen  mit  dem  nitü 
grossen  r  —  unter  dem  Vorbehalt,  dass  später  durch  die  Analogie  dt 
Kreiseltheorie  etwaige  Korrektionen  in  den  entstehenden  Ausdiucke 
eintreten  sollen  — ,  so  lassen  sich  fifif^fi  sofort  bestimmen;  fl 
PiQi^itl^i  bleiben  einfache  Differentialgleichungen  erster  Ordnung,  welci 
leicht  integriert  werden  können.     Damit  hat  man: 

/;  =  31'  ^1 : Cr  pi  -=  C  sin  /Jj  +  D'  cos  ß^ 

/;  =  M'  (d',  +  tg  o):  Cr  q^  =  C  cos  ß^  —  D'  sin  /J^ 

/g  =  —  (/j:r  d'j^=  —A^  sin  ß^  —  B'  cos  ß^ 

A  =  —  Pi'^  ^1 ""  ^'  ^^^ ßt  ~~  -^'  ^^  ßi) 

•^1  A  Ar 

und  A',B^  Funktionen  von  t  sind,  nämlich: 

A'  =  A^  -J  ^:^  •  tg  0)  •  cos  /Jg  •  dt,    i?'  =  J?i  +  /  -p-  •  tg  o .  sin  /Ig .  dl 

A^B^C'D*  sind  Integrationskonstanten,  die  sich  aus  dein  Aü 
fangszustand  ergeben;  über  die  Berechnungen  der  letzteren  Int« 
grale  siehe  w.  u. 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Cran^. 


153 


Damit  erhält  man: 


P^ 


Cr 


J    ^^ 


>der 


-  sin  ß^  {b,  +  f~ 
-r  C'sinft  +  Zycosft, 


16) 


M 


benso 


p  =  Csin/Ji  +  D'cos  ß^  +  -^j—  •  tg  o  •  sin  r  ^ 

cos  (r^  -  Ä)  (^1  - /-^  •  tg<»  •  <^ös/Sj .  d^) 
^-ft).(jB,+y-^.tgo.sin/J,.rf^)[, 


+  Cr 


n) 


jtf 


'  q  =  Ccos/J^  —  D'sin  /J^  +  -^  •  tgo  •  cosr^ 


+ 


M 


Cr 
+  COS (rt  — 


/■^ 


7  ^'• 


■  -  a  =  ^'  •  co8(»-<  -  /JJ  +  ^  ■  8m(rt  -  ft) 


18). 


cos 


ßt-dt) 


19) 


^^ 


-•  8in(»-«  -  A)  +  —  •  cos{rt-ßi) 


Im    Anfang   der   Bewegung,    die   wir   von   der   Mündung   des 
&wf;br8  oder    Geschützes  abrechnen,   falle   zunächst  die   Geschossaxe 
die  Richtung  der  Anfangstangente,  so  dass  für  (^  =  0): 

l   Zugleich   aber  erhalte  die  Oeschossaxe  einen   seitlichen  Stoss, 
7  ihr  die  Winkelgeschwindigkeiten  Pq  und  q^  erteile; 

(t^O):p^p^^    q==q^. 

ZeitMhrifl  f.  XAthematilc  Q  Fbjaik.  iS.Jfthrg.  1898.  S  Heft.  11 


154  Theoret.  n.  ezperim.  Untersuch,  flb.  A.  Kreiaelbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  f-t 
Damit  wird: 


20) 


0-0=  f  +  -Bi  C'=  -  rtg»a-rB, 


r 


[0  =  ^-  +  ^,  2)'=-rJ.,. 


Ferner  sind  die  beiden  in  16)  bis  19)  vorkommenden  Integralej 

F^  ^^'  I  M'tgco'cosß^dt    und   F^-^  ^^'  1  M  tg& -Bin  ß^- dt 

zu  ermitteln. 

Es  sei  im  Folgenden  die  Abkürzung  MiCr^^N  eingeführt  und  dar^ 
erinnert,  dass  wir  einen  Mittelwert  von  N  in  den  einzelnen  Intervallen  i 
nahmen;  in  ß^  und  ß^  wurden  die  Integrationskonstanten  so  bestinml 
dass  für  ^  —  0,  /J^^O  und  /},•=- 0  ist,  weil  nur  im  Anfang  ^=Oujj 
d'^^d'Q  sein  soll;  also  muss  auch  in  den  beiden  Integralen  von  Q\M 
integriert  werden.  Es  lässt  sich  nun  wiederholt  die  teilweise  Inf 
gration  anwenden;  hierbei  treten  jedoch  immer  höhere  Potenzen  i 
Faktors  (g  *  Cr) :(v- cos a-M)  auf,  von  welchem  sich  später  zeid 
wird,  dass  er  von  der  Orössenordnung  von  ^  ist,  und  von  welch^ 
daher  die  höheren  Potenzen  nach  der  ersten  weggelassen  werden  (z. 
bei  der  Granate  der  deutschen  Feldkanone,  Schussweite  4500  m,  nim 
dieser  Faktor  vom  Abgangspunkt  bis  zum  AuffaUpunkt  zu  von  O,00ä 
bis  0,00304);  man  hat  damit: 

F^  I  N- tgd'GOsß^' dt  ==  I  tgO' cosß^'dß^  =  tg o •  sin ß^ 

nun  ist  dx  = do,  eine  Gleichung,  die  für  jedes  Luftwiderstaii 

gesetz  allgemein  giltig  ist  (vergl.  Kompendium  S.  81);  somit  ist: 

c^tgo      ,  1'       Arn 1        dfa    dx 1        g    dx  g 

dt  cob'co    dt        C08*(a '  dx    dt  cos'o»   v^    dt  ^~        vx 

wenn  V:,  die  Horizontalkomponente  t^-cosco  der  Bahngeschwindig] 
des  Schwerpunktes  darstellt;  somit  hat  man: 

1       den  g  ^  dßf  _       9 '  ^^  , 

cos'fl)   dß^  vx'  dt  vx'M^ 

(in  4  Beispielen  der  Praxis  nahm  CriM  numerische  Werte  zwiscl 
0,1  und  2  an,  während  v^  zwischen  180  und  400  lag).  Man  I 
danach  oder  nach  dem  Mittelwertsatz: 

21)  jP=  sin  ft-  tg  CO  +  /*.  (1  -  cos  ft), 

wobei  /*«  (g  •  Cr) :  (vg  •  3i)  ist. 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Crak«.  155 

Analog  ist: 

1^1  =  /  ^tg  o  •  sin  j8j  •  d^  =  /  tg  a>  •  sin  /Jg  -d/J, 

t  t 

r 

-*  —  tg o  •  cos /Sj  +  /  df(tg o)  cos /Jj, 
oder  bei  demselben  Verfahren:  °  " 

22)  JPi «  —  cos  /},•  tg  o  +  tg  o  —  f'  sin/J,. 

Diese  Werte  20),  21),  22)  sind  noch  in  den  Ausdrücken  16) 
bis  19)  zu  verwenden;  so  kennt  man  in  jedem  Moment  die  Lage  der 
momentanen  Drehaxe  und  diejenige  der  Oeschossaxe.  Letzere  ist  für 
die  Ballistik  von  der  grosseren  Bedeutung;  daher  beschäftigen  wir 
uns  nur  mit  den  Ausdrücken  %•  und  ^  und  deren  geometrischer 
Deutung.     Es  wird: 

-^  —  (^0  +  ^i)  cos  {rt  —  /Ji)  +  Ay^'  sin (rt  -  ft)  —  A^  sin /J,  —  B^  cos /J, 
+  sin/Jg.[sin/J2-tga)  +  /'(l  —  cos/J,)] 

—  cos  /Jj-  (tg  ö  —  tg  a>  •  cos  /Jj  —  f'  sin  /J,) 

*  =  (^0  +  A)  sin  {rt  —  ft)  —  JL^  •  cos  {rt  -  /JJ  +  A^  cos  /J^  —  B^  sin  /J, 

—  cos  ^-  [sin^,-  tg  ö  +  /"•  (1  —  cos  /Jg)] 

—  sin  j3g*(tgGi  —  tg(Dcos/Jj  —  f'sbiß^), 
oder: 

23)  d  -  ^,  +  ^n, 
wobei : 

^r^  tgi»  +  /"-sin/Jj  +  cosft(tg^o— tgö) 

^.  —  {  Po-  [sin  A  -  sin  (r^  -  ft)]  +  g^  [cos  /J,  -  cos  {rt  -  ßj] }  :  (r  -  jY). 

24)  *  -  *f  +  ^», 

wobei: 

^^  — /■— /.cosÄ+sinft^tg^o-tg®) 

*n  =  {&"  [sin A  -  8in(r*  -  ft)]  -  Po'  [cos/J,  -  cos(H  -  ft)]}:(r  -  N) 

mit  den  Abkürzungen: 

^        Cr  '     '        üx   itf 

Diese  Ausdrücke  23)  und  24)  lassen  eine  verhältnismässig  ein- 
fache geometrische  Deutung  zu. 

Wir  legen  durch  den  festgedachten  Schwerpunkt  S  des  Geschosses  eine 
horizontale  Äquatorebene,  femer  durch  5 und  die  Flugbahntangente iST 
eine  yertikale  Anfangs -Meridianebene;  beschreiben  weiter  um  £>  mit  der 
Langeneinlieit  SS^'^  ST-^  1  m  eine  Eugelfläche,  welche  von  S  aus  be- 
ll* 


156    Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiaelbeweg.  d  rotier.  Lan^eschosse  etc. 


trachtet  und  dementsprechend  gezeichnet  sei.    Der  Äquator  und  der  An- 
fangsmeridian, welche  sich  in  iSj  schneiden,  werden  als  sphärische  Koordi- 
natenaxen  S^tlf  und  S^d"  benützt.    In  Beziehung  auf  dieses  sphärische  Ko- 
ordinatensystem auf  der  Kugel  stellen  dann  ^  resp.  -ö"  die  Länge  resp.  Breite 
desjenigen  Punktes  P  vor,  welcher  sich  auf  der  Verlängerung  der  6e- 
schossaxe    in    der  Entfernung  SP  =  1  m   befindet.     Die  Figur  11    ist 
für  einen  Beobachter  gezeichnet,  welcher  von  hinten  das  Oeschoss  be- 
trachtet; der  Geschossschwerpunkt  ist  also  vor  dem  Papier  zu  denken. 
Wir  suchen  die  Kurve,  welche  der  Punkt  P  der  Geschossaxe  im  Lauf 
der  Zeit  beschreibt,  von  seiner  Anfangslage  0  aus  (Winkel  OSS^^  ^q\ 
Der  Punkt  T  der  Tangente   fallt  anfangs  in  0,  ruckt  von  da  auf  der 
^-Axe  abwärts;  zur  Zeit  t  ist  Winkel  TSS^ «  o;  im  Flugbahnscheitel 


Fig.  11. 


Fiff.  IS. 


+  ^ 


^o  — « 


T,^ 


iPi^,») 


-t 
I 
I 
I 
I 


M 


•Oi 

I 
I 
I 

I 

1— 


i-W 


Pi 


ist  T  in  Si  angelangt  etc.;  die  Bewegung  von  T  auf  der  Ordinaten- 
axe,  also  die  Änderung  von  co  mit  der  Zeit,  ist  hierbei  durch  die  vor- 
hergehende (graphische)  Lösung  der  Translationsbewegung  gegeben  zu 
denken;  ebenso  ist  die  Bahngeschwindigkeit  v  des  Schwerpunkts  und 
ihre  horizontale  Komponente  Vx=  v-  cos  cd  zu  jeder  Zeit  bekannt. 

Nun  lassen  sich  die  Ausdrücke  d"  und  ^  in  zwei  wesentlich  ver- 
schiedene Teile  und  lässt  sich  demgemäss  die  Bewegung  der  Geschossaxe 
in  zweierlei  Bewegungen  spalten,  wovon  die  eine  als  die  reguläre 
Präzession  (ß'ry  tr),  die  andere  als  die  Nutation  infolge  eines  An- 
fangsstosses  ('&•„,  ^n)  zu  bezeichnen  ist. 

a)  Sieht  man  nämlich  von  einem  Anfangsstoss  PqQq  ab^  so  redu- 
zieren sich  d'  und  ^  auf  die  Ausdrücke: 


26) 
hieraus: 


r  ^«^^«o+Z*.  sinj3,+ cos/Sj.(do— (»)  1 

I   jff^^^^f  -/•.  cos/32+sinft'(do-"  o>)  1    Präzession); 


(reguläre 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Cbahz. 


157 


27)  (a._c)»+(^  _/)«=/•» +(#„_„,)«; 

d.h.  wenn  kein  Anfangsstoss  stattfindet,  beschreibt  Punkt  P  der  Ge- 
schossaxe  eine  spiralenförmig  sieh  erweiternde  Kurve  (Fig.  12),  die  stets 
wieder  durch  die  Anfangslage  0  geht  und  die  aufgefasst  werden  kann 
als  ein  veränderlicher  Kreis  durch  den  festen  Punkt  0;  der 
Mittelpunkt  üf  dieses  Kreises,  mit  den  Koordinaten  cd  und /*,  rückt 
hierbei  von  0  aus  (mehr  oder  weniger)  nach  rechts  und  ab- 
wärts (in  derselben  Weise  wie  der  Endpunkt  T  der  Flugbahntangente 
auf  der  Ordinatenaxe  S^  0  abwärts  rückt),  vorausgesetzt,  dass  erstens 
das  Gewehr  oder  Geschütz  Rechtsdrall  besitzt,  das  Geschoss  rechts- 
läufig um  die  Geschossaxe  rotiert  (r  positiv),  und  dass  zweitens  die 
Resultante  der  Luftwiderstände  vor  dem  Schwerpunkt  auf  der  Geschoss- 


Fig.  13. 


4-^ 


Pig.  M. 


+ 


axe  angreift  (Moment  M  positiv).  Dasselbe  ist  der  Fall,  wenn  r  und 
M  negativ  sind.  Wenn  dagegen  bei  Rechtsdrall  die  Resultante  zwischen 
Schwerpunkt  und  Geschossboden  angreift  oder  umgekehrt  bei  Links- 
drall dieselbe  ihren  Angriffspunkt  zwischen  Schwerpimkt  und  Geschoss- 
spitze hat,  so  wird  die  Präzessionsbewegung  der  Geschossspitze  links- 
läufig erfolgen  (Fig.  13),  der  Mittelpunkt  M  des  veränderlichen  Kreises 
liegt  in  diesem  Fall  links  und  rückt  abwärts. 

Der  Radius  OM  =^yp  4-  (P'o~  ^Y  ^®s  veränderlichen  Kreises 
vergrössert  sich  stetig,  weil  der  Winkel  d^Q—  a  zwischen  Anfangs- 
tangente der  Flugbahn  und  Tangente  in  einem  variablen  Punkt  mit 
der  Zeit  stetig  wächst  und  ebenso  meistens  der  Ausdruck 


1 58    Theoret.  u.  experim.  üntersucb.  üb.  d.  Ereiselbeweg.  d.  rotier.  Langgescbosse  etc. 

denn  das  Drehmoment  M  des  Luftwiderstands  wird  zwar  in  den  meisten 
Fällen  zunehmen;  aber  es  nimmt  Vx  ab  (während  von  r  angenommen 
wird;  dass  es  konstant  bleibt,  was  freilich  nur  angenähert  richtig  sein 
dürfte);  jedenfalls  ergiebt  die  Rechnung,  dass  f  meistens  zunimmt  und 
die  Bahn  des  Punktes  P  der  Oeschossspitze  in  immer  weiteren  Wind- 
ungen verläuft. 

Wie  man  sieht,  ist  der  veränderliche  Kreis  unsymmetrisch  be- 
züglich der  Flugbahn  vertikalebene  OSS^]  da  die  Rechnung  nicht  bis 
zur  Ermittelung  der  Seitenabweichung  y  des  Geschossschwerpunkts 
hier  durchgeführt  wird,  so  sei  schon  an  dieser  Stelle  bemerkt,  dass 
eben  diese  Unsymmetrie  der  Grund  für  diese  Derivation  ist;  in  der  That 
wird  die  Seitenabweichung  wesentlich  durch  die  Grösse 

'  ^^'  M  Vx 

nach  Grösse  und  Vorzeichen  bedingt;  sind  r  und  M  beide  positiv  oder 
beide  negativ,  so  ergiebt  sich  Rechtsabweichung;  ist  nur  eine  der 
beiden  Grössen  negativ,  Linksabweichung. 

Die  Zeit  T  eines  vollen  Umlaufs  der  Geschossspitze,  also  die 
Periode  der  regulären  Präzession,  ergiebt  si^h  nach  25)  aus  ß^^^nvi: 

28)  T  =  ^^^-^ 

auch  diese  Zeit  ist  variabel,  und  zwar  nimmt  T  im  allgemeinen  ab. 

b)  Wir  gehen  über  zur  Beschreibung  der  Nutationsbewegung, 
also  zur  Deutung  der  Tenne  ^„  und  ^„,  welche  nur  bei  einem  Anfangs- 
stoss  auftreten: 

-^i. «  {l>o[siö  A-  sin(r^  - /J^)]  +  go[cos/Jj—  cos (r^~/JJ] } :  (r-.V 
>n=  {go[8inÄ--8in(r^--/SJ]--i7o[cos/J,--cos(r^--/Si)]):(r--.A'). 
(Nutation  infolge  eines  Anfangsstosses.) 

Da  diese  sich  zu  den  vorhergehenden  ^r  und  ^r  einfach  addieren, 
so  können  sie  betrachtet  werden  als  die  sekundären  sphärischen  Ko- 
ordinaten -d-n,  ^n  eines  Koordinatensystems,  dessen  Ursprung  0^  (Fig.  14) 

mit  der  Winkelgeschwindigkeit  ^  auf  der  (ausgezogenen)  Präzessions- 
kurve wandert  und  den  variablen  Punkt  P  von  Figur  12  und  13  ersetzt. 
Durch  Quadrieren  und  Addieren  wird  aus  29): 

(r  -.V)^  {%,^  +  v^n^)  =.  2.  (Po*  +  rV)-[l-  sinft.  sin(r^  -  ft) 

—  cos^i  •  cos(r^  —  /Sj)] 
oder  

Die  bezüglich  Oj  betrachtete  Bewegung  des  Punkts  P  der  Geschoss- 
axe  kann  somit  ebenfalls  wieder  als  ein  veränderlicher  Kreis  aul* 


29) 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Cbanz.  159 

gefasst  werden  y  dessen  Mittelpunkt  in  0^  liegt  und  dessen  Radius  perio- 
disch sich  ändert,  zuerst  »  0  ist,  dann  die  Maximalgrösse 

annimmt,  wieder  Null  wird  etc. 

Derselbe  Wert  von  OiP  wird  wieder  erreicht  nach  der  Zeit  T„ 
die  sich  enriebt  aus: 

2 ""' 

also  ist: 

oder: 

2« 

31)  Ti«  Cr  ^M  __  if  ' 

Ä        Cr       Ar 

Da  im  Nennerausdruck  das  Olied  Cr:Ä  im  allgemeinen  bei  weitem 
überwiegt,  so  ist  erstens  diese  Nutationsperiode  7|  im  allgemeinen 
eine  schnellere  als  die  Präzessionsperiode;  und  zweitens  wechselt  der 
Sinn,  in  welchem  die  Nutationsbögen  beschrieben  werden,  nur  mitr; 
diese  Bögen  werden  also  bei  Rechtsdrall  rechtsläufig,  bei  Linksdrall 
linksläufig  beschrieben,  mag  Rechts-  oder  Linksabweichung  des  Schwer- 
punkts erfolgen,  mag  also  die  Präzessionsspirale  rechts-  oder  links- 
läofig  beschrieben  werden. 

Im  ganzen  f&hrt  somit  die  Geschossspitze  P  bezüglich  des  Schwer- 
punkts die  folgende  Doppelbewegimg  aus:  Falls  kein  Anfangsstoss  vor- 
handen war,  beschreibt  die  Geschossspitze  von  ihrer  Anfangslage  0 
aus  mit  der  langsamen  Periode  T  die  spiralförmige  ausgezogene  Kurve 
Fig.  12  resp.  13,  deren  Windungen  sich  allmählicb  erweitem,  die  aber 
immer  wieder  durch  0  geht;  bei  positivem  r  (Rechtsdrall)  und  posi- 
ti?em  Drehmoment  M,  ebenso  bei  negativem  r  und  negativem  M  wird 
diese  Spirale  rechtsläufig  beschrieben;  wenn  dagegen  nur  eine  der 
beiden  Grössen  VyM  negativ  ist,  linksläufig.  Im  allgemeinen  jedoch 
ist  diese  Präzessionskurve  nur  die  Leitkurve  für  die  (gestrichelt  gezeich- 
neten) Nutationsbögen  (Fig.  14),  die  von  der  Geschossspitze  beschrieben 
werden,  mit  der  schnelleren  Periode  T^  und  mit  Amplituden,  die  von 
dem  Anfangsstoss  und  von  den  Grössen  r,(7,  J.,Jf  abhängen. 

Speiieller  Fall  einer  geradlinigen  Bewegung  des  Schwerponkts. 

a)  Die  Geschossaxe  falle  anfangs  mit  der  Bewegungs- 
richtung des  Schwerpunkts  zusammen. 

Dieser  Fall  ist  bei  einem  sehr  rasanten,  auf  kurze  Entfernung 
abg^ebenen  Horizontalen  Schuss  aus  einem  kleinkalibrigen  Gewehr 
nahezu  verwirklicht;  vollkommen  bei  einem  vertikalem  Schuss.  Im 
ersteren  Fall  ist  jederzeit  cd  —  O-q  =  0  (dasselbe  ist  bei  vertikalem 
Schuss  der  Fall,  wenn  man  die  x-Axe,  welche  bisher  horizontal  an- 
genommen war,  mit  der  vertikalen  zusammenfallen  lässt). 


I 


Ml 


160  Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiaelbeweg.  d.  rotier.  LanggeschosBe  et-c. 

In    den    Gleichungen    16)  bis  19)    ist  ca  =  0,  -^^  =  0  zu   nehmen 
und  es  wird: 

|}  =  C  sin  ßi  +  D'  cos  ßi  +  N-  [Ä^  cos  (rt  -  ft)  +  B^  sin  (ri  -  ß^)] 
q^C^  cos  /?!  -  D'  sin  ß^  +  N'[-A^  sin  {rt  -  ft)  +  B^  cos  (r^  -  ft)] 

—  ö"  =      cos  (r^  —  /?,)+  -    sin  {rt  —  /?,)  +  A^  sin  /J^  +  J5,  cos  ß^ 

^  = sin  {rt  —  ßi)  -i cos  (rt  —  ß^)  +  Ä^  cos  ß^  —  B^  sin  /J,. 

Für  ^  =  0  ist  I?  =  jPo,  2  "•  ffoi  ^  =  0>  ^  =  0,  somit: 

^,=l>o:(J^-r),  B,^q,:{N^ry,     C' ^  -  rq,:{N^  ry, 

i)'=-rpo:(J^-r); 

damit   erhält   man   genau   wieder   die  Ausdrücke  -Ö*,,,  ^„  für   die  Nu- 
tationsbewegung  infolge  eines  Anfangsstosses  29),  nämlich: 

^-|l>o-[siiiA~sin(f<-/Ji)]+2o-[co8A-cos{r<-/Jj]}:(r  — iS') 
{go[sin^8-sin(r«-iJi)]-i?o-[cosft~cos(r^-^i)]}:(r  — JV> 

Es  hat  sich  also  in  diesem  Fall  die  frühere  spiralenfSrmige  Prä- 
Zessionskurve  auf  den  Punkt  8^  reduziert.  Fig.  15  giebt  die  hypo- 
cykloidische  Bahn  der  Geschossspitze  in  diesem  Fall.  Die  Amplitude 
jedes  einzelnen  Teilbogens,  also  der  Radius  des  umhüllenden  Kreises 
ist  wiederum:  ^  i>r-rn — r  /        xn 

die  Periode  wieder:  ,^         ^^^        ,.. 

b)  Die  Geschossaxe  bilde  anfangs   den  Winkel  d-^  mit  der 
geradlinigen  Bewegungsrichtung  des  Schwerpunkts. 
Die  Anfangsbedingungen  sind  jetzt: 

für   <  =  0  :  ^  =  O-Q,     ^  «  0,    P^Poy     g  «=  ffo»  i 

femer:   anfangs   und    weiterhin  cd  » 0.      Damit    erhält   man   aus    den 
Gleichungen  17)  bis  19): 

Berechnet  man  daraus  Äi,B^,C\B'  und  setzt  die  Werte  in  die  Gleich- 
ungen 18)  und  19)  ein,  so  wird: 


33) 


^==j^\^'[r'COsß^-'N'COs{rt  -  ft)]  +  ^, 
fl^^j^^'[r'Smß,^N'Sm{rt  -  ft)]  +  ^., 


wobei  d'n  und  tpn  wieder  die   früheren  Werte   für  die  Stossnutationen 
vorstellen. 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Cbanz. 


161 


Ist  der  Anfangsstoss  p^q^  Null,  so  fallen  die  Glieder  d'n  und  ^„ 
weg  und  die  Kurve  33)  hat  eine  Gestalt  ähnlich  der  in  den  Figuren 
19,  20,  23,  je  nach  Grösse  und  Vorzeichen  von  r,  N  etc.  Es  über- 
wiegen nämlich  die  ersten  Glieder  mit  r-cos/?,  und  rsinß^  (z.B.  für 
die  schwere  Feldkanone  ist  in  nicht  zu  grosser  Entfernung  von  der 
Mündung  r  =  632,  ^=9);  die  Glieder  mit  rt  —  ß^  variieren  mit 
wachsendem  t  sehr  rasch  zwischen  —  1  und  + 1,  dagegen  die  mit  ß^ 
langsam.     Daher    besteht    die   Bahn    der   Geschossspitze   aus  Bögen, 


Flg.  16. 


welche  imf  dem  festen  Ereis  um  8^  mit  Radius  d'^  aufsitzen.    Man  hat 
nämlich  in  diesem  Fall  durch  Quadrieren  und  Addieren: 

-»*+**=  (t^It)'-  [*^  + N*- 2 Nr.  cob  (rt  -  ß^-  /?,)]. 

Anfangs  und  so  oft  wieder  Tt  —  ß^—ß^  um  2ä  gewachsen  ist,  ist 
der  Abstand  der  G^schossspitze  von  8^  gleich  -^q,  dabei  hat  zugleich 
der  Kosinus  seinen  grössten,  jener  Abstand  seinen  kleinsten  Wert;  der 
grösste  Wert  8^  B  wird  erreicht,  wenn  der  Kosinus  gleich  —  1  ist,  dann 

I     "KT 

ist  S^B  ^  ^0*  ^^3v?   somit  ist  die  Amplitude  AB  gleich: 

hierfür  lässt  sich  leicht  ein  einfacher  Näherungswert  berechnen;  bringt 
man    auf   eine  Benennung,   dividiert  Nenner  und   Zähler   mit  r,  ent- 

wickelt  nach  Potenzen  des  kleinen  Bruchs  —    und  behält    davon   nur 

die  erste  Potenz  bei,  so  wird  die  Amplitude 


34) 


^-B=2.^o- 


N 


162   Theoretische  und  exper.  Untersuchungen  etc.    Von  Prof.  Dr.  Carl  Cbass, 

Die  Periode  dieser  stossfreien  Nutationen  ist  wieder: 

2n 


^1        Cr 


M      M 


A       Cr     Ar 

Ist  unter  den  sonst  gleichen  speziellen  Voraussetzungen  der  An- 
fangsstoss  Pq^^  nicht  Null^  so  treten  die  Glieder  ^„  und  ^^  hinzu, 
so  dass  man,  je  nach  Grösse  und  Richtung  von  p^  und  q^  Figuren  wie 
in  27,  29,  34,  36  erhält. 

Anmerkung.  Stossfreie  Nutationen  erhält  man  übrigens  auch 
in  dem  allgemeinen  Fall  23)  und  24),  falls  vorausgesetzt  wird,  dass 
schon  an  der  Mündung  die  Geschossaxe  und  die  Tangente  einen 
kleinen  endlichen  Winkel  a^  mit  einander  bilden,  also  wenn  für 

ist.     Die   Gleichungen  20)   zur  Bestimmung   der   Konstanten   werden 
dann  ein  wenig  andere  und  man  erhält  schliesslich: 

wo  %^r  und  ^n  die  Werte  von  23)  sind  und 

y .  =  -  TzV  [»■  • «°  A  -  -?^-  «n  (rt  -  A)] 

ifr  und  ^n  siehe  24) 

+  r~]^-  \T  •  sin  ßt  -  ^^-  sin  (rt  -  /},)]. 
Eben  diese  Glieder  d'^  und  ^^  liefern  die  stossfreien  Nutationen. 


(Sohln»  folgt.) 


iv-Reisser. 


Von 

E.  Brauer 

in  Karlaruhe. 


Hierzu  Tafel  V  und  VI,  Fig  1-4. 


Der  Perspektivreisser  ist  ein  Zeichenapparat  zur  Erleichterung 
der  Anfertigung  eines  perspektivischen  Bildes  auf  Grund  von  zwei 
Parallelprojektionen  eines  räumlichen  Objektes. 

In  der  Darstellung  Figur  1  (Taf.  Y)  ist  angenommen^  dass  von 
dem  Gegenstand  Grundriss  und  Aufriss  gegeben  sind.  Zur  Erläuterung 
der  Arbeitsweise  wurde  die  Spitze  des  Obelisk  benützt,  welche  im  Grund- 
riss  mit  Oi,  im  Aufriss  mit  0^  bezeichnet  ist.  Beide  Punkte  werden 
durch  bewegliche  Lineale  berührt,  0|  durch  das  Grundrisslineal  PO^y 
welches  um  P  drehbar  ist,  0^  durch  das  Aufrisslineal  KO^^  welches 
durch  Schlitz  und  Zapfen  gezvningen  ist,  mit  der  unteren  Kante  die 
Richtung  durch  den  Zapfenmittelpankt  K  einzuhalten. 

Durch  mechanische  Verbindungen  sind  zwei  andere  Lineale  ge- 
zwungen, den  Bewegungen  von  PO^  und  KO^  zu  folgen,  die  senkrechte 
Parallelschiene  M^O^  und  die  Fluchtpunktschiene  FO^.  Die  Lage  der 
ersteren  wird  allein  vom  Grundriss  vermittelst  PO^^  die  Lage  der 
letzteren  vom  Aufriss  vermittelst  KO2  bedingt.  Der  Schnittpunkt  der 
beiden  Schienenkanten  M^O^  und  jPÖ,,  nämlich  O3  ist  der  gesuchte 
Ort  des  Punktes  0  in  der  Perspektive,  zu  dessen  Darstellung  nur  er- 
forderlich ist,  die  Lineale  mit  0^  und  0^  in  Berührung  *zu  bringen  und 
den  Ereuzungspunkt  der  beiden  Schienen  mit  Nadel  oder  Bleistiftspitze 
zu  markieren. 

Der  geometrische  Zusammenhang  der  Bewegungen  stützt  sich  auf 
eine  Beziehung,  welche  Professor  G.  Hauck  zum  ersten  Male  in  den 
Verhandlungen  der  physikalischen  Gesellschaft  in  Berlin  1883  Nr.  8 
TerofFentlichte.  In  Figur  2  (Taf.  VI)  sei.  /  ein  abgegrenzter  Teil  der 
Grundrissebene,  genannt  Grundrisstafel,  entsprechend  II  die  Aufriss- 
tafel,  III  die  Perspektivtafel.  Ä  sei  das  Auge  eines  Beschauers  (Pro- 
j^ktionscentrum),  P  dessen  Grundriss,  der  Fusspunkt,  K  dessen  Auf- 
riss, der  Kernpunkt  (nach  Hauck).  Der  Strahl  ÄK  schneidet  die 
Perspektivtafel   in  F,   dem   sogenannten  Fluchtpunkte  der  zu  //  nor- 


1 64  Perspektiv  -  Reisser. 

nuden   Geraden,  während    der    Sehstrahl  AO   die   Perspektivtafel  im 
Punkte  O3,  dem  perspektivischen  Bilde  von  0  durchbricht. 

Legt  man  durch  ÄO  eine  zu  I  normale  und  eine  zu  //  normale 
Ebene  —  dieselben  sind  in  Figur  2  durch  Schraffierung  hervorgehoben 
—  80  ergiebt  erstere  in  I  und  ///  die  Schnitte  PMO^  und  M0^\ 
letztere  in  //und  ///die  Schnitte  KLO^  und  FLO^,  Diese  Geraden 
sind  geometrisch  gleichbedeutend  mit  den  in  Figur  1  (Taf.  V)  mit  den- 
selben Buchstaben  bezeichneten  Lineal-  und  Schienenkanten,  und  man 
erkennt,  dass  der  Punkt  M  es  ist,  welcher  PMO^  mit  MO^  verknüpft, 
während  der  Punkt  L  die  gleiche  Rolle  in  Bezug  auf  KLO^  und 
FLO^  spielt. 

OfiFenbar  genügen  diese  beiden  Verknüpfungen,  um  aus  den  Rieht 
strahlen  PO^  und  KO^  in  Grundriss  und  Aufriss  die  Strahlen  MO^ 
und  FO^y  also  auch  ihren  Schnittpunkt  Oj  geometrisch  abzuleiten, 
ohne  dabei  den  wirklichen  Sehstrahl  ^0  zu  benutzen.  Es  ist  also 
nur  die  Aufgabe  zu  lösen,  diese  geometrische  Beziehung  in  einen  zwang- 
läufigen Mechanismus  zu  übersetzen. 

Die  räumliche  Anordnung  der  drei  Tafeln  kann  dabei  nicht  wohl 
festgehalten  werden.  Wir  bringen  sie  vielmehr  zur  Erleichterung  des 
Zeichnens  in  parallele  Lage,  ohne  doch  die  Verknüpf ungspunkte  M  und 
L  aus  dem  Auge  zu  verlieren. 

Zunächst  werde  die  Perspektivtafel  ///  so  weit  gedreht,  bis  lll 
mit  //  parallel  wird,  die  Grundrissspur  III III  in  Figur  3  also  über- 
gegangen ist  in  Iir  Iir  in  Figur  4  (Taf.  VI).  Hierbei  löst  sich  der 
Verknüpfungspunkt  M  auf  in  J/j,  den  Punkt  des  Strahles  PO^,  welcher 
am  gleichen  Ort  bleibt  und  in  ilf,,  den  Fusspunkt  des  Lotes  üfjO,. 
3/|  und  3/3  sind  nun  durch  die  Beziehung  verknüpft,  dass  sie  auf  den 
Geraden  //////  und  IIP  IIP  in  Figur  4  (Taf.  VI)  liegen,  und  dass 
der  Winkel  M^  PM^  stets  gleich  ist  dem  Winkel  y,  um  welchen  lU 
gegen  //  gedreht  werden  musste. 

Auch  der  Punkt  L  ist  durch  diese  Drehung  in  zwei  Punkte  zer- 
fallen. L^y  dem  Strahle  KO^  angehörig,  deckt  sich  zunächst  noch  mit 
L,  während  X3,  an  der  Drehung  von  ///  teilnehmend,  zunächst  in 
eine  neue  Lage  gelangt  ist,  deren  Grundriss  mit  L^  bezeichnet  ist. 

Dreht  man  nun  weiter  die  Aufrisstafel  //  um  ihre  untere,  die 
Perspektivtafel  aus  der  Lage  ///'  IIP  um  ihre  obere  Kante  in  gleichem 
Drehungssinne  soweit,  bis  sie  mit  /  parallel  liegen,  so  entsteht  die  in 
Figur  4  (Taf.  VI)  dargestellte  Lage,  und  zwar  liegen  /  und  //  nun  in 
gleicher  Höhe,  ///  dagegen  darüber.  Wie  leicht  einzusehen,  bleiben 
die  Punkte  ig  ^^^  ^3  ^^  zwei  senkrechte  Gerade  gebunden,  auf  denen 
sie  sich,  verschiedenen  Punkten  Og  entsprechend,  so  verschieben,  dass 
ihre  Höhe  sich  stets  um  gleichviel  beiderseits  verändert,  die  Strecke 
ig  Lg  also  konstant  bleibt.  Ersetzt  man  daher  die  Strahlen  KL^  und 
Fig  durch  Linealkanten,  so  kann  zwischen  L^  und  L^  eine  Verbindungs* 


Von  E.  Braueb.  165 

Stange  von  konstanter  Länge  als  mechanische  Verknüpfung  angebracht 
werden. 

Wird  ferner  aus  zwei  Linealen  PMy^  und  TM^  ein  fester  Winkel 
y  hergestellt,  welcher  um  P  drehbar  ist,  so  kann  der  Arm  PM^  zur 
Bewegung  eines  in  der  Linie  III' III*  laufenden  Schiebers  dienen, 
welcher  mit  der  Parallelschiene  M^O^  zu  einem  Stück  vereinigt  ist. 
Die  erhöhte  Lage  der  Perspektivtafel  gewährt  den  freien  Baum  zur 
unbehinderten  Bewegung  des  Grundrisswinkels  M^PM^,  doch  braucht 
der  Höhenunterschied  nur  einige  Centimeter  zu  betragen. 

Wie  aus  Figur  1  (Taf.  V)  ersichtlich,  besitzt  der  Grundrisswinkel 
noch  ein  drittes  zu  PM^  rechtwinkliges  Lineal.  Dasselbe  kann  dazu 
dienen,  einen  Grundriss  anzuvisieren,  welcher  auf  der  rechten  Seite 
rom  Perspektivbrett  liegt,  und  welcher  gegen  den  links  liegenden  um 
90^  gedreht  ist.  Ein  zu  diesem  passender  Aufriss  würde  als  Seiten- 
riss  zu  bezeichnen  sein.  Das  Aufriss  werk  ist  so  eingerichtet,  dass  eine 
symmetrische  Umstellung  mit  einigen  einfachen  Handgriffen  ausführ- 
bar ist,  so  dass  auch  der  Seitenriss  als  Grundlage  für  die  Ausführung 
der  Perspektive  dienen  kann. 

Bei  der  technischen  Durchbildung  der  Einzelheiten  ist  besonders 
Gewicht  auf  die  Erzielung  leichten  aber  doch  spielfreien  Ganges  gelegt. 
Zu  diesem  Zweck  sind  alle  vorkommenden  Führungen  so  eingerichtet, 
dass  nur  eine  Kante  als  genaue  Führungskante  dient,  während  die 
zweite  etwas  federt  und  nur  dazu  dient,  die  sichere  Anlage  des  ge- 
führten Stiftes  oder  Schlittens  an  der  Hauptkante  zu  erzwingen. 

Mit  Rücksicht  *auf  körperliche  Bequemlichkeit  sind  für  die  Richt- 
lineale die  unteren  Kanten  als  Richtkanten  benützt,  weil  sie  dem  Auge 
leichter  erreichbar  sind.  Als  Zeichenkanten  der  Schienen  M^O^  und 
FL^O^  dienen  jedoch  die  Kanten  links  und  oben,  was  für  Licht  von 
links  vorteilhaft  ist. 

Für  die  in  Fig.  1  (Taf.  V)  dargestellte  Anordnung  ist  auf  die  Mög- 
lichkeit verzichtet,  den  Winkel  y  zu  variieren,  derselbe  ist  45*^.  Wird 
auch  hierdurch  die  Vielseitigkeit  der  Benützung  beschränkt,  so  hat 
anderseits  der  Apparat  an  Einfachheit  gewonnen,  und  es  ist  eine  be- 
sondere Einstellung  entbehrlich  geworden.  Trotzdem  ist  das  Bild 
keineswegs  auf  einen  einzigen  Fall  beschränkt,  da  man  den  Grund- 
riss in  seinem  Felde  nicht  nur  verschieben,  sondern  auch  drehen 
kann.  Letzteres  bedingt  allerdings,  wie  das  in  Fig.  1  (Taf.  Y)  gewählte 
Beispiel  zeigt,  als  Aufriss  eine  schiefe  Projektion. 

Im  Vergleich  mit  dem  Hauck sehen  Pei-spektiv- Apparat  und 
meiner  früheren  Ausarbeitung*  desselben  bleibt  der  Perspektiv-Reisser 
inäofem  zurück,  als  eine  mechanische  Verknüpfung  zwischen  zu- 
sammengehörigen Punkten  0^  und  0,  fehlt.     Dieser  Mangel  ist  jedoch 


•  Hauck-Braaers    Perapektiv- Zeichenapparat.      Zeitschrift    des  Vereins 
»leuUcher  Ingenieure    Band  35,  S.  782. 


166 


Perspektiv-ReisBer.   Von  E.  Bbaueb.  —  Kleinere  Mitteilungen. 


weniger  erheblich,  als  es  zunächst  scheinen  mag,  da  er  nur  bei  Kurven 
fählbar  wird,  indem  er  hier  eine  vorhergehende  Markierung  zugeord- 
neter Punkte  mit  der  Reissschiene  nötig  macht.  Demgegenüber  ist 
hervorzuheben,  dass  der  Apparat  keinen  besonderen  Raum  beansprucht^ 
da  ein  gewöhnliches  Reissbrett  als  Grundlage  dient,  dass  die  erforder- 
liehen Handgriffe  sich  von  denen  des  gewöhnlichen  gebundenen  Zeich- 
nens fast  gar  nicht  unterscheiden,  ferner  dass  der  Apparat  sich  auch 
auf  schräger  oder  senkrechter  Fläche  anordnen  lässt,  was  besonders 
für  grosse  Zeichnungen  von  Vorteil  sein  würde,  endlich  dass  der  Preis 
nur  ein  kleiner  Bruchteil  von.  dem  meines  früheren  Apparates  ist. 


Über  das  Foncaultsche  Pendel. 

Von  K.  Th.  Vahlen  in  Königsberg  i.  Pr. 

Die  Theorie  des  Foucaultschen  Pendels  wird  entweder  mit  den  Hilfs 
mitteln    der   analytischen  Mechanik    in   voller  Strenge   oder  in  elementarer 
al^er  ganz   unbefriedigender  Weise  gegeben,   indem   man   von  der    falschen 
Voraossetzung  ausgeht:    die   Schwingungsebenen    in    aufeinander   folgenden 

Zeitmomenten  seien  parallel;  während 
sie  sich  doch  im  Erdmittelponkte 
schneiden. 

Bei  der  fundamentalen  Bedeutung 
des  Gegenstandes  wird  eine  hinreichend 
strenge  und  doch  einfache  Behandlung 
nicht  unerwünschf  sein. 

Es  werde  zunächst  ganz  allgemeizi 
ein  unter  dem  Einfioss  einer  Centralkraft 
frei  schwingendes  ebenes  Pendel  be- 
trachtet. Eine  beliebige  Ortsftaderung 
des  Aufhängepunktes  P  ist  zusammen- 
zusetzen aus  einer  Bewegung  des  P 
innerhalb  der  Schwingungsebene  JE  und 
einer  Bewegung  des  P  auf  einem  um 
das  Kraftcentrum  J£  za  E  senkrecht 
konstruierten  Kreisbogen.  Bei  der  erst^eo 
Bewegung  wird  eine  Veränderung  der 
Schwingungsebene  nicht  eintreten;  bei 
der  zweiten  wird  die  neue  Schwingungs* 
KhKhk,  wlü  die  alte,  auf  dem  Kreisbogen  senkrecht  stehen. 

fctti  nun  die  Centralkraft  die  Anziehungskraft  der  Erde,  das  Pendel 
„^f,i.  (inr  Krdoberfläche  über  dem  Punkte  Ä  aufgehängt;  die  Bewegung 
'♦,<  A^^fUiigöpunktes  die  aus  der  Erddrehung  folgende.  Die  Breite  von  A 
»  ,  //    iUu  l'üldistanz  AN. 

t:*4  ktmm»  Im  Zeitmoment  dt  der  Punkt  A  nach  B.    Die  Schwingungs- 
,.'.   ;a**' t*«  i«  A  den  Winkel  er,   in  B  den  Winkel  ß  =-  a  +  da  mit  dem 


Kleinere  Mitteilungen.  167 

»treffenden  Meridian.     Der  Winkel  ANB  in  Zeitmaß  (360®=  24  Stunden) 

t  äl\  der  Winkel  zwischen  dem  Hauptkreisbogen  AB  und  dem  Parallel- 

^isbogen  AB  sei  y. 

Die  Bewegung    des  Pendels  von  A  nach  B  werde  zerlegt  in  die  Be- 

^nng  Ton  A   nach    C  längs    des  Hauptkreisbogens  AC^    senkrecht   zur 

^hwingongsebene   in  A*^   und   in   die  Bewegung  von  C  nach  B  längs  des 

anptkreisbogens  CJ9,  senkrecht  vsx  AC.     Am  Ende  der  ersten  Bewegung 

ird)  nach  Obigem,   die  Schwingungsebene  durch  CB  angegeben;  bei  der 

reiten  bleibt  sie  unverändert.     Daraus  folgt,  dass  CB  mit  dem  Parallel- 

reisbogen   BA    den  Winkel   Kompl.  ß   bildet.     Zerlegt   man    das  gleich- 

ehenMige  Dreieck  NAB   in    zwei  rechtwinklige,    so  folgt  aus  einem  der- 

elben:  dt 

tgy-=sin6tgY» 

der,  wegen  der  Kleinheit  der  Winkel: 

1)  2y  =  dt-fi^mh, 

D&s  kleine    rechtwinklige    Dreieck    ACB    kann    als    eben   betrachtet 
rerden  und  giebt: 

n)    Kompl.  {a  -\'  y)  ^  y  '\'  Kompl.  /5,    also    /J  —  «,    oder    da  =  2y. 

Ans  I)  und  11)  folgt  schliesslich: 

m)  da«(^^sin6, 

Lb.  die  Pendelebene  dreht  sich  proportional  der  Zeit;  der  Proportionalitäts- 
tor  ist  gleich  dem  Sinus  der  Breite. 


Über  die  knbisehen  nnd  biquadratisehen  Gleiehungen , 

von  denen   eine  Wnrzel  dnrch  rational  ausfahrbare 

Wnrzelansziehungen  gefunden  werden  kann. 

Von  K.  Th.  Vahlen  in  Königsberg  i.  Pr. 

Diese  Gleichungen  lassen  sich  in  einfacherer  Weise  finden  als  Kummer** 
^leigi  hat. 

Soll  die  kubischiB   Gleichung  e^  —  az^ ^hz  —  c  =  0  {ayh^c  rational) 

^  rationalem  Wege  liefern,  so  müssen   yB  und  ^C  rational  sein;    also 

^2i=»jp,  z^'^  q-\-  ry — 3,  iß^3=  ^  —  r}/— 3;  p^  q,  r  rational.     Dann 
tt  in  der  That: 

^de  rational. 


*  Sitzungsberichte  der  Berliner  Akademie  1880. 

1^ 


168  Kleinere  Mitteilungen. 

Eine  biqnadratische  Oleichting  mit  der  kubischen  Besolvente 

£?'—  az^+  fcjer  — •  c  =  0 
hat  die  Wurzeln: 

x^=^Ä^y7,+y7,-y7,,  x,^Ä--y7,^y7,+y7,, 

Die  kubische  Besolvente  muss  zu  den  oben  behandelten  gehören, 

ist  5i«=jp,    iPj  ■- ff  +  »'V'— 3,    je?3=  g  —  rj/— 3;  jp,  ff,  r   rational.    So! 

die  Wurzelausziehungen  in  x^  ausführbar  sein,    so  muss  |/ir^  rational, 

und  1/^3  von  der  Form  y'±  tf'  j/—  3  sein,  wo  /  und  d'  rational  sind.  1 
vier  Wurzeln  werden:  ' 

^i=«,     ^-ß,     sr^--y  +  Sy^^    ir^^y-j/^^         ' 
wo  or,  /?,  7,  d    rational  sind.    Eine  Gleichung  mit  solchen  Wurzeln  hat  | 

der  That  die  verlangte  Eigenschaft;  denn  es  wird  or^  +  ^  &lso  ^e^  ratiom 

femer   a^i  —  a:,  ±  fl?j  ^  x^  also  yz^  und  |/£?j  von  den  Formen  y'±  d'  }/- 
woraus  die  erforderlichen  Eigenschaften  auch  f&r  die  kubische  Besolvente  folgen 
Will  man  Quadratwurzeln  aus  komplexen  Zahlen  vermeiden,  so  neba 
man  die  Cartesischen  Formeln: 


x,^Ä  +  ye,  +  Wa^z,+  2yi,    rr,  =  ^  + A-l/«-^i  +  2]/.^ 

x,^Ä-y7,  +  l/a--z,^2yi,    x,^A^y7,^ya-z,-2yi 

Setzt  man,  wie  erforderlich: 

^i'^P}     a'=P  +  2ff,     c^p(q^+  Zr^, 
so  wird:  

x^-Ä+yj^+yj^T^y^Tf^,    ar,=  ^  +  VF-|/2ff+2l/^H3i 

a:8«^-V^  +  j/2ff-2]/^M^^,    fl:4=-4-Vp-|/2ff-2l/ff^+Ii 

Soll  a;j  sich  durch  ausführbare  Wurzelausziehungen  ergeben,  so  muss 
femer  yp  und  l/2ff  +  2j^ff*+ 3r*  rational  sein;  dann  wird  auch 


y-8  V'23+ 2Vg"+3r" 

rational,  also  die  vier  Wurzeln:  x^^  a^  ^"^  ß^  ^^8*^^  +  d]/- 
x^=  y  —  Sy—  3;  a,  /?,  y,  d  rational.  Eine  Gleichung  mit  solchen  Wune 
hat  die  verlangte  Eigenschaft.  Denn  die  Wurzeln  der  kubischen  Besolveo 
sind  rationale  Funktionen  von  3-10^  +  ^33:4,   x^x^  +  x^x^,    ^iOOi+  x^x^^  ä1 

von  den  Formen  i?,  ff  +  r|/—  3,  ff  —  rV^—  3;  p,  ff,  r  rational.  Femer  i 
0-1+ rr,  und  Xj^— x^  also  j/p  und  l/2ff  +  2V^ff*+ 3r*    rational. 


Theoretisohe  und  experimentelle  Untersaohnngen 
aber  die  Kreiselbewegungen  der  rotierenden  Lang- 
gesohosse  wälirend  ihres  Fluges. 

Von 

Prof.  Dr.  Carl  Cranz 

in  Stattgart. 


Sohluss. 


D.  Vergleichong  der  vorstehenden  Resultate 
mit  denen  der  Ereiseltheorie. 

Mit  einem  Kreiselapparat  könnte,  wenn  auch  etwas  umständlich^ 
Be  Bewegung  der  Geschossaxe  um  den  Schwerpunkt  S  auf  folgende 
^eise  nachgeahmt  werden: 

Min  denke  sich  einen  Kreisel^  dessen  Schwerpunkt  8  fester  IJnter- 
tützuDgspunkt  ist,  mit  seiner  Figurenaxe,  zugleich  Haupttragheitsaxe, 
ertikal  gestellt  und  in  dieser  Lage  in  rasche  Rotation  versetzt.  Eine 
MSCTe  Kraft  K  drücke  in  einem  Punkt  L  der  Axe  (SL  =  \)  auf 
li^;  zunächst  in  der  vertikalen  Richtung  durch  den  Schwerpunkt, 
lach  und  nach  werde  die  Neigung  der  Eraftrichtung  gegen  die  Vertikale 
Kh  einem  bestimmten  Gesetz  vergrössert;  zugleich  variiere  die  Grösse 
^  Kraft  imd  rücke  der  Angriffspunkt  L  gegen  den  Schwerpunkt  S 
B-  (Unter  umstanden  sei  auch  ein  seitlicher  Anfangsstoss  auf  die 
ixe  ausgeübt,  und  nehme  femer  die  Rotationsgeschwindigkeit  des 
leisels  um  die  Figurenaxe  mit  der  Zeit  ab.) 

Bei  dieser  Annahme  entspricht  die  anfangliche  Richtung  der  Ereisel- 
Ke  der  Anfangsrichtung  der  Flugbahntangente,  die  Kraft  K  der  Luft- 
iderstandsresultanten,  der  Punkt  L  dem  variablen  Angriffspunkt  dieser 
Staaten  auf  der  Axe.  Man  erkennt  unmittelbar,  dass  dieses  Pro- 
^  wesentlich  über  dasjenige  der  gewöhnlich  behandelten  Kreisel* 
ewegung  hinausgeht;  selbst  dann,  wenn  man,  wie  es  hier  geschehen 
if  nur  den  normalen  Luftwiderstand,  nicht  auch  die  Reibung  zwischen 
^  und  Geschoss  berücksichtigt.  Beide  Probleme,  das  der  Geschoss- 
»wegung  und  das  der  gewöhnlichen  Kreiselbewegung,  würden  hin- 
ichtlich  der  mechanischen  Behandlung  erst  dann  identisch  werden, 
'«IUI  der  Luftwiderstand  nach  Grösse  und  Richtung  konstant  bliebe 
od  in  demselben  Punkt  der  Axe  angriffe,  was  wieder  die  andere  Be- 
ii^gang  in  sich  schlösse,  dass  der  Geschossschwerpunkt  sich  gerad- 
lug  gleichförmig  bewegte. 

Z«üielulft  f.  IfAthamfttik  u.  Phyiik.  48.  Jfthrg.  1898.  4.  u.  5.  Heft  12 


1 70    Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 

Für  diese  spezielle  Annahme  mögen  die  in  Betracht  kommende] 
Resultate  der  Kreiseltheorie*  —  für  die  Zwecke  mancher  Leser  etwai 
ausführlicher  —  hier  zusammengestellt  werden,  übrigens  sogleich  mi 
den  Ausdrücken  der  Geschossbewegung. 

I.  Bewegung  im  luftleeren  Raum.  Die  Geschossaxe  fall 
mit  der  anfänglichen  Rotationsaxe  zusammen  und  ist  za 
gleich  Hauptträgheitsaxe. 

In  diesem  Fall  bleibt  die  Geschossaxe  während  des  ganzen  Geschoss 
flugs  sich  selbst  parallel.  Dasselbe  würde  beobachtet,  wenn  im  liii) 
erfüllten  Raum  die  Luftwiderstandsresultante  jederzeit  durch  dei 
Schwerpunkt  ginge. 

IL  Bewegung  im  luftleeren  Raum.  Die  anfänglich 
Rotationsaxe  bildet  mit  der  Figurenaxe  und  Hauptträgheits 
axe  durch  den  Schwerpunkt  einen  sehr  kleinen  Winkel. 

Den  Schwerpunkt  S  des  Geschosses  denken  wir  uns  fest  odei 
was  auf  dasselbe  hinauskommt,  wir  folgen  in  Gedanken  dem  Geschoß 

imd  betrachten  von  hinten  dessei 
Bewegung  allein  bezüglich  de 
Schwerpunkts  S.  Man  hat  sich  n\ij 
zwei  Ereiskegel  zu  denken,  ersten 
einen  im  Geschoss  festen  und  mi 
diesem  beweglichen  Kegel,  dessd 
Spitze  S  und  dessen  Axe  die  Figurei 
axe  oder  Geschossaxe  £ P  ist,  zweitei 
einen  im  Raum  festen  Kegel  Si 
ebenso  mit  der  Spitze  in  £;  bei({ 
berühren  sich  nach  einer  gemei^ 
schaftlichen  Mantellinie.  Der  beir«! 
liehe  Kegel  SP  rollt  auf  dem  fest« 
SO  ohne  zu  gleiten  ab;  die  augei 
blickliche  gemeinschaftliche  Berüii 
ungsmanteUinie  ist  die  momentane  Drehaxe,  um  welche  in  dei 
betreffenden  Moment  die  Drehung  stattfindet.  SO  stellt  die  Richtuii 
der  Laufaxe  vor  (Fig.  17). 

in.  Bewegung  im  lufterfüllten  Raum.  Die  Geachossas 
SP  bildet  zu  irgend  einer  Anfangszeit  den  Winkel  y^  od< 
S^SO  mit  der  Richtung  SiS  des  Luftwiderstands.  Kein  Ai 
fangsstoss. 

In  den  folgenden  Figuren  ist  der  Schwerpunkt  S  Tor  der  Zeicl 
nungsfläche,  senkrecht  über  S^  vorzustellen;  P  sei  derjenige  Punkt  d 

*  Vergl.  hierüber  das  vollständigste  Werk:  F.  Klein  und  A.  Sommerfe'. 
„Über  die  Theorie  des  Kreisels",  Leipzig  von  1897  an,  B.  G.  Teubner,  Kap.  IV,  ^ 
und  2;  Kap.  V,  §  2.  (Herr  A.  Sommerfeld  hatte  die  Güte,  aus  dieser  in  kur&i 
erscheinenden  Fortsetzung  einige  Resultate,  insbesondere  die  Kurven ty^^en  \\ 
treffend,  dem  Verfasser  im  voraus  mitzuteilen.) 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Cbamz. 


171 


Axe,  för  welchen  SP  •=  1  m  ist;  samtliGhe  Kurven  liegen  auf  einer 
Kugelfiaehe  um  8  mit  Radius  1  m.  Man  hat  vier  Fälle  zu  unterscheiden, 
a)  Greift  die  Resultante  des  Luftwiderstands  vor  dem  Schwer- 
punkt, also  zwischen  Geschossspitze  und  Schwerpunkt  auf  der  Geschoss- 
axe  an,  und  dies  ist  bei  der  jetzt  üblichen  Form  der  Langgeschosse 
meistens  der  FaU,  und  ist  ausserdem  der  Lauf  mit  rechtsläufig  ge- 
wundenen Zügen  oder  Rechtsdrall  versehen ,  so  besteht  die  Bahn  der  Ge- 


Fig.  20. 


schossspitze  aus  den  gestrichelt  gezeichneten  mehr  oder  weniger  grossen 
Bogen  (Fig.  18  bis  21),  welche  auf  dem  ausgezogen  gezeichneten  Grenz- 
kreis mit  Radius  SO^  oder  y^,  dem  Präzessionskreis,  aufstehen  und 
nach  aussen  gehen. 

Und  zwar,  falls  der  Bruch  (CV) :  (4 J. Jf),  den  wir  Stabilitäts- 
faktor  ö  neunen  wollen,  gross  ist,  sind  diese  Bögen  äusserst  klein,  so 
dass  die  Bahn  fQr  das  Auge  der  Präzessionskreis  selbst  ist  (Fig.  16).  Die 
Richtung  des  ausgezogenen  Pfeils  giebt  die  Bewegungsrichtung  der  Ge- 
Bchossspitze  an.  Sogleich  an  dieser  Stelle  sei  darauf  hingewiesen,  dass 
dieser  konstante  Kreis  (Fig.  18)  das  Analogen  zu  dem  veränderlichen 
Kreis  (Fig.  12,  13,  siehe  3.  Heft)  ist,  welcher  in  dem  allgemeineren  Fall 
der  Geschossbewegung  von  dem  Punkt  P  der  Geschossaxe,  dem  Geschosd- 
ende,  wie  wir  P  heissen  wollen,  beschrieben  wird.  Wenn  der  Wert 
des  Stabilitatsfaktors  ö  abnimmt,  dadurch,  dass  r  abnimmt  oder  M  zu- 
nimmt, oder  beides  der  Fall  ist,   so   erhält  man  der  Reihe  nach  die 

12* 


172   Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  ek. 


Figuren  19  bis  21 ,  mit  immer  grösser  werdender  Amplitude  J.  B  (Fig.20) 
der  Nntationsbögen.     Diese  Amplitude  ist^   wenn   sie  klein  ist,  mit 

genügende]*  Annäherung  gleich     '     ,   -  sip^o?   ^^^   ^^®   gross   ist,  hat 

man  cob^S^B)  =«  <yH:)|/ö*+  1  —  2-<y •  cosy^,;  «i^ht  man  von  dem  erhal- 
tenen Winkel  S^B  den  Winkel  S^Ä  oder  y^  ab,  so  erluLlt  man  die 
Amplitude  AB  oder  Winkel  Ä8B. 

Der  Winkel  S^SB  bleibt  <  90^  falls  6  >  {1:2 cos  y.)  ist.    Wird 
a  noch  kleiner,  so  fliegt  das  Geschoss  zeitweise  in  einer  Lage,  wobei 


Fig.  28. 


die  Axe  senkrecht  zur  Bewegungsrichtung  des  Schwerpunkts  steht, 
and  beginnt  weiterhin,  nämlich  bei  weiterer  Abnahme  von  ö,  sich 
nach  hinten  zu  überschlagen. 

b)  Liegt  bei  Linksdrall  der  Angriffspunkt  vor  dem  Schwerpunkt, 
so  hat  man  ähnliche  Kuryenformen  wie  vorhin;  nur  sind  die  beiden 
Pfeilrichtungen  umgekehrt,  wie  z.B.  Figur  22. 

c)  und  d)  Liegt  der  Angriffspunkt  der  Resultanten  auf  der  Axe 
hinter  dem  Schwerpunkt,  zwischen  Geschossboden  und  Schwerpunkt, 
so  befinden  sich  die  Bögen  der  stossfreien  Nutation  auf  der  inneren 
Seite  des  Prazessionskreises  (Fig.  23  bis  26).  Dabei  beziehen  sich  die 
drei  Figuren  23  bis  25  auf  den  Fall  der  Rechtsrotation,  des  Rechts- 
dralls; man  erkennt,  wie  mit  abnehmendem  Stabilitatsfaktor  a  die 
Amplitude  AB  successiv  wächst,  wie  also  der  die  Bögen  nach  innen 
zu  begrenzende  Kreis  kleiner  und  kleiner  wird.  Die  Figur  26  dag^en^ 
zu  welcher  die  entsprechenden  anderen  fär  abnehmendes  ts  zu  denken 
sind,  bezieht  sich  auf  den  Fall  des  Linksdralls. 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Cbave. 


178 


IV.  Bewegung  im  lufterfüllten  Raum.  Die  Geschossspitze 
erhalte  anfangs  einen  zur  Präze8sion8bewegung(Pfeil ausgezogen) 
tangentiellen  Stoss  tOt  (Pfeil  gestrichelt).  Dabei  sei  w^  positiv  ge* 
rechnet,  wenn  die  Pfeile  gleichgerichtet  sind^  andernfalls  negativ. 

a)  Der  Anfangsstoss  erfolge  in  derselben  Richtung,  in  der  die 
Prazessionsbewegung  vor  sich  geht  (tr<  positiv).  Man  erhält  der  Reihe 
nach  die  Figuren  27  bis  33,  falls  entweder  bei  gleichem  Wert  des 
Stabilitatsfaktors  6  die  Grösse  tVt  des  Stosses  wachst  oder  bei  gleichem 
Stoss  6  abnimmt,  oder  wenn  zugleich  Wt  wächst  und  6  abnimmt. 

Verfolgt  man  diese  Figuren,  so  bemerkt  man,  dass,  bei  gleichem 
6  und  wachsendem  tVt,  anfangs  die  Bögen  sich  abflachen,  dann  mit 


tv, .  (Cr  -  V^V*  --  4ÄM .  cos  y^)  :  (2^cos  Yo) 

ein  nutationsloser  Kreis  beschrieben  wird,  mit  einer  Winkelgeschwindig- 
keit gleich  tctj  weiterhin  treten  Nutationsbögen  nach  innen  auf;  der 
diese  Bögen  nach  innen  begrenzende,  mit  dem  Präzessionskreis  konzen- 


Fig.  82. 


/ 


\ 


s. 


\ 


I 


trische  Kreis  schnürt  sich  immer  mehr  ein,  und  er  ist  zum  Punkt  S^ 
geworden,  d.h.  die  Bögen  gehen  alle  durch  S^  (Fig.  80),  wenn 

Cr 


Wt 


^(l+cosvo) 


geworden   ist.     Von  da  ab  erweitert  sich,  mit  zunehmendem  Stoss  Wt, 

Cr 
der  innere  Grenzkreis  wieder  und,  falls  Wt=^—2 ist,  hat  man 

'  A  '  C08  Yq  ' 

wieder  reguläre  Präzession  (Fig.  32),  jedoch  wird  diesmal  der  Grund- 

Cr 
kreis  mit  eben  dieser  grösseren  Winkelgeschwindigkeit  -r zurück- 
gelegt (man  kann  daher  in  diesem  Fall  den  Grundkreis  selbst  als 
einen  Nutationsbögen  spezieller  Art  betrachten);  wächst  Wt  noch  mehr, 
so  werden  die  Bögen  immer  grösser  (Fig.  33),  bis  schliesslich  das  Ge- 
schoss  nach  hinten  überschlägt,  und  für  Wg  ^oo  regelmässig  und 
schnell  die  Geschossspitze  von  vom  nach  hinten  Rotationen  um  S  aus- 
fährt, in  einer  Ebene  durch  S^  welche  den  Grundkreis  in  0  berührt, 
b)  Erfolgt  der  auf  die  Geschossaxe  senkrecht  ausgeübte  Anfangs- 
stoss tangential,  aber  in  entgegengesetzter  Richtung  als  die  Prä- 


174   Theoret.  n.  experim.  Untersuch,  üh.  d.  Ereiselheweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 

zewionsbewegung  Tor  sich  geht,  ist  also  tOt  negativ,  so  werden  die 
Xatationsbögeii  wiederum  (bei  Rechtdrall)  rechtslaufig  besehrieben*,  sie 
mfLBsen  also,  da  die  Nntationsbögen  immer  in  der  Richtung  des  Stosses 
beginnen,  jetzt  auf  der  Aussenseite  des  Prazessionskreises  liegen.    Die 

Amplituden  sind  um  so  grösser,  je  grösser  der  Stoss,  der  Radius  y^  des 

Cr 
Grundkreises  und  das  Luftwiderstandsmoment,  femer  je  kleiner  —r-  ist 

In  den  beiden  Figuren  34  und  35  giebt  wieder  der  ausgezogene  Pfeil  die 
Richtung  der  Präzessionsbewegung,  der  gestrichelte  die  Stossrichtung  an. 
Bei  absolut  wachsendem  Stoss  z.  B.  wird  nach  und  nach  einmal  der  Fall 
eintreten,  dass  die  GeschossaxCiSP  senkrecht  zur  Bewegungsrichtung  5^1 
steht,  und  sodann  der  Winkel  PSS^  noch  grösser  wird,  bis  schliesslich 
die  Oeschossaxe  regelmässige  Rotationen  um  den  Schwerpunkt  S,  von 


Fig.  88. 


Fig.  84. 


Fig.  85. 


rom  nach  hinten  und  zuröck,  in   einer  den  Grundkreis  berührenden 
Ebene  durch  5  ausfahrt;  dies  ist  der  Fall  für 


Wi  =  — 


Cr 


ui(l-co8yo) 

Das  Verhalten  der  Geschossspitze  in  den  anderen  Fallen,  wenn 
riHDilich  die  Züge  links  gewunden  sind  oder  der  Angriffspunkt  der 
Luftwiderstandsresultanten  hinter  S  liegt  oder  beides  zutrifiR;,  lässt  sieh 
ilaraus  leicht  ableiten. 

V.  Dasselbe.  Jedoch  werde  anfangs  auf  die  Geschoss- 
axtt  an  der  Spitze  ein  seitlicher  Stoss  w^  ausgeübt,  welcher 
senkrecht  zur  Präzessionsbewegung  gerichtet  ist. 

Dabei  sei  ii\  positiv  gerechnet,  wenn  der  Stoss  in  der  Richtung  S,  0, 
n^^ativ,  wenn  er  in  der  Richtung  OS^  erfolgte.  Wiederum  möge  nur  die 
Annahme:  Rechtsdrall  und  Angriffspunkt  vor  dem  Schwerpunkt  Erwäh- 
nung finden.  Immer  beginnen  die  (gestrichelt  gezeichneten)  Nutations- 
b^>gen  in  d*fr  Stossrichtung;  daher  hat  man  jetzt  gewisse  mittlere  Lagen 
difrhi'\h(ni  zwischen  denen  der  Figuren  27  bis  33  und  denjenigen  der 
Kigun^n  34,  35.     Ein  solcher  Fall  ist  in  Figur  36  angegeben. 


Von  Prof.  Dr.  Cakl  Cbaxz. 


175 


Die  GrCasenbeziehungen  in  allen  diesen  Fallen  lassen  sich  aus 
den  Orundgleichungen  der  Ereiseltheorie  (Flächensatz  und  Satz  von 
der  lebendigen  Kraft)  mit  c  und  C,  als  Integrationskonstanten,  ab- 
leiten: 

35)  A .  (^J)  +  ^sinV-  (^)  =  -  21f  •  cös  y  +  c  -  Cr« 


36) 


dS 


ÄBin^y "ji  ^  Ci—  Cr- cos y. 


Hier  ist  y  der  Winkel  PSS^  zwischen  Geschossaxe  SP  und 
Richtung  SSy^  des  Luftwiderstandes  zur  Zeit  t,  d  der  Winkel  der  Ebene 
PSSi  mit  der  Anfangslage  OSS^  derselben.  Die  Winkelgeschwindigkeit 
des  Anfangsstosses  um  den  Schwerpunkt  8  habe  die  Komponenten  Wt  und 
w,'^  beide  Stösse  seien  senkrecht  zur  Geschossaxe  80,  aber  die  eine  tVt 
senkrecht  zur  Ebene  88^0^  die  andere  tr«  in  dieser  Ebene  gerichtet; 
iCt  heisse  der  (bezüglich  des  Prazessionskreises)  tangentielle  Anfangsstoss, 
ic,  der  senkrechte.    Man  hat  dann  fQr 

Bestimmt  man  damit  die  Integrationskonstanten  c  und  C^  und 
eliminiert  sodann   -tt  aus  35)  und  36),   so   erhält  man   die  folgende 


dt 


Fig.  87. 


Differentialgleichung  zwischen  y  und  <,  welche  für  jeden  Moment  t 
den  Winkel  y  zwischen  Geschossaxe  8P  und  Bewegungsrichtung  88^ 
des  Schwerpunkts  liefert: 

..,Jj[*-8in*y(  ,^)  '-^A-8in^y'[2M'{coBy^—coBy)+A'Wt*+A'9in^yQ'tOt*] 
I  —[A-  sin*  yQ'Wt+  Cr  (cos  y^  —  cos  y)]*. 

Denkt  man  sich  diese  Gleichung,  unter  Umständen  mechanisch 
mit  Hilfe  des  Apparats  von  Abdank-Abakanowitz,  integriert,  so 
giebt  die  Gleichung  36)  für  jeden  Moment  t  den  Betrag  der  Drehung  S 
der  Ebene  P88j^  um  88^. 


176    Theoret.  u.  ezperim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 
Setzt  man  in  37)  Ä  '=^0,  so  erhält  mui  die  grössten  und  kleinsten 


38)  { 


Werte  von  y;  mit  co8y  =  M,  cos^q^Mq,  sinyo=«ij^  wird  somit: 

-  [A'U^^'Wt  +  Cr .  (Mo-  m)]*«  0. 

Dies  ist  diejenige  Gleichung  dritten  Grades  in  u,  deren  Auflösung 
den  kleinsten  und  grössten  Winkel  PSS^  giebt;  zwei  Wurzeln  u  liegen 
nämlich  zwischen  —  1  und  +  1 ;  die  Gleichung  lässt  sich  schreiben: 

wobei  zur  Abkürzung: 

Speziell,  wenn  nur  ein  tangentieller  Anfangsstoss  stattüand,  Wg^  0 
war,  so  lässt  sich  in  38)  der  Faktor  u^— ti  heraussetzen ,  d.h.  es  ist 
in  diesem  Fall  y  =  y©  ^®  ®^^®  Lösung  von  38)  oder  39),  die  Nu- 
tationsbögen  sitzen  in  diesem  Fall,  wie  es  z.B.  die  Figuren  29  und  34 
angeben,  auf  dem  festen  Präzessionskreis  mit  Radius  y^  auf. 

Die  Gleichung  39)  reduziert  sich  in  diesem  Fall  auf  die  folgende 

40)  M*  —  M (^3  +  ii Ml*)  =  1  -  tg Mo  -  i4 Wi*  +  l^  %U^\ 

Diejenige  Wurzel  m  =  cos  y,  welche  zwischen  —  1  und  +  1  liegt, 
giebt  den  anderen  Begrenzungskreis  der  Nutationsbögen. 

Ist  hierbei  der  Stoss  Wt  so  klein,  dass  man  AiCt^  g^g^i^  SJf  ver- 
nachlässigen kann,  so  lässt  sich  fiir  kleine  Nutationsamplituden  ein 
Näherungswert  der  Amplitude  nach  Klein  und  Sommerfeld  so  finden: 
man  ersetzt  m*  durch  den  Anfangswert  u^  und  hat,  da  u^^^X  —  u^h 

—  M  •  »3  —  Ml*  -  1*4 M,*  —  «5 Mo 

oder 

-\^ sinn- (-^vr-  Cr«''); 

bezeichnet  man  nun  die  grösste  Amplitude  der  Nutationsbögen  mit  (^ 
setzt  y  =  yo±  ^  ^^^  entwickelt  für  kleine  £,  so  ist  m  —  Mq  ^  m^«  e,  also 

41)  die  Amplitude  £  —  ±  siny^-  f  ^«^i  —  ^  •  wA 

Wenn  endlich  überhaupt  kein  Anfangsstoss  stattfand,  t€7,==t€\  «0, 
so  wird  der  grösste  oder  kleinste  Wert  von  y  und  damit  die  Amplitude 
y  —  Vü  berechnet  aus  «  .       -       . 

'^  °  M*-Mt5  — l-l3Mo, 

oder  es  ist  f&r  den  Winkel  y  dieses  zweiten  Begrenzungskreises: 

42)  cos  y  —  <y  (±)  l/ö*+  i  —  2acos  y^, 
wobei  a  der  Stabilitätsfaktor  (CV»)  :  {AMA)  ist. 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Cbamz.  177 

Ein  Näherungswert  der  Amplitude  AB  oder  s  ist  dann  nach  41) 
der  folgende:  .        „^  - 

43)  AmpUtude  -    '"'%l,^''  • 

Die  Weiterverfolgung  der  Gleichungen  35)  und  36)  zeigt  spdann, 

dass  die  durchschnittliche  Winkelgeschwindigkeit  -^-f  mit  welcher  der 

Präzessionskreis  beschrieben  wird,  jr-  ist;  also  die  Periode  der  Pra- 
zessionsbewegnng  ist 

genauer  ist  f&r  die  langsame  reguläre  Präzession: 

Femer  wird  ein  Nutationsbogen  bei  gegebenem  Stoss  Wt  in  der 
Zeit  beschrieben  (vergl.  Klein -Sommerfeld  I.e.): 

46)  T,^    ^  ^^-^    , 

'woftLr  man,  bei  nicht  sehr  grossen  yQ  und  u;«,  meist  mit  genügender 
Annäherung  nehmen  kann: 

47)  y  2«.^ 

ist  der   Stabilitätsfaktor   (T   genügend   gross ,   so   erhält   man  hieraus, 

durch  Reihenentwickelung  nach  Potenzen  von  —  und  Verzicht  auf  die 
höheren  Potenzen  von  der  zweiten  ab: 

A         Cr 

Überblickt  man  nunmehr  die  aus  der  Ereiseltheorie  gezogenen 
R^ultate  und  die  früheren  Ergebnisse  für  die  Geschossbewegung  um 
den  Schwerpunkt^  so  fallt  unmittelbar  die  folgende  Analogie  in  die 
Augen:  Was  bei  der  Ereiselbewegung  der  konstante  Präzessionskreis^ 
der  (ausgezogene)  Grenzkreis  um  S,  mit  Radius  S^O  ist  (Fig.  18  etc.), 
welcher  durch  die  Anfangslage  0  des  Ereiselendes  P  geht  und  an  welchen 
die  Bögen  derNutationsbewegung  sich  anlehnen,  das  ist  bei  der  Geschoss- 
bewegung der  (ebenso  ausgezogen  gezeichnete)  veränderliche  Prä- 
zessionskreis, der  so  variiert,  dass  sein  Radius  Olf  (Fig.  12,  13, 14^  siehe 
3.  Heft  dieser  Zeitschr.)  sich  stetig  vergrossert  und  sein  Mittelpunkt 
nach  abwärts  und  mehr  oder  weniger  (bei  Rechtsdrall)  nach  rechts  rückt, 
der  aber  immer  durch  den  Anfangspunkt  0  hindurchgeht;  er  wird  in 
der  variablen  Zeit  T^  2nCr:M  besdirieben;  die  Nutationsbogen  lehnen 
sich  im  Fall  der  Geschossbewegung  gleichfalls  an  diesen  variablen  Kreis  an. 

Eben  durch  diese  Veränderung-  des  Priizessionskreises  macht  sich 
die  Krümmung  der  Flugbahn  geltend,  also  die  Thatsache,  dass  im 
Verlauf  der  Flugbahn   der  Winkel  zwischen  der  Anfangstangente  und 


178   Theoret.  u.  ezperim.  üntersacb.  flb.  d.  Kreiselbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 

der  jeweiligen  Flugbahntangente  sich  stetig  vergrdssert;  und  in  der 
Unsjmmetrie  des  Präzessionskreises  bezüglich  der  Yertikalebene  durch 
die  Tangente  ST  liegt  die  Ursache  und  das  bestimmende  Moment  der 
Seitenabweichung  des  Geschosses^  so  dass  f&r  letztere  die  Grösse 
f  massgebend  ist. 

Die  an  die  langsame  Präzessionsbewegung  sich  anreihenden,  rasch 
Terlaufenden  Nutationen  sind  nicht  in  erster  Linie  für  die  konstante 
Seitenabweichung,*  sondern  ftlr  den  durchschnittlichen  Gesamtwiderstaod 
der  Luft  und  damit  für  die  Verzögerung  bestimmend,  welche  der  Geschoss- 
schwerpunkt erfahrt;  mit  den  Nutationen  ändert  sich  die  Schussweite  und 
die  Trefffahigkeit. 

In  dem  speziellen  Fall,  wo  die  Flugbahn  sich  auf  eine  Gerade 
reduziert  (g>  =  0),  fallt  das  Problem  der  Geschossbewegung  mit  dem 
der  Ereiselbewegung  dann  zusammen,  wenn  wir  den  Luftwiderstand 
nach  Grösse  und  Richtung  konstant  nehmen;  wie  früher  erwähnt,  soll 
aber  in  der  That  in  jedem  der  einzelnen  Intervalle,  in  welche  die  Be- 
wegung des  Geschosses  zerlegt  wird,  ein  konstanter  Mittelwert  von  .V 
angenommen  werden;  somit  müssen  auch  die  betreffenden  Ausdrücke. 
beiderseits  identisch  sein.  Wir  sind  also  im  stände,  mit  Hilfe  der 
Kreiselbewegung  jetzt  nachträglich  eine  oben  angekündigte  kleine 
Korrektion  an  unseren  früheren  Formeln  für  die  Geschossbewegnng 
Torzunehmen:  Das  Gleichungssystem  14)  und  15)  konnte  nur  mit 
Vernachlässigung    gelöst   werden;    es    wurden    z.  B.    die   Ableitungen 

-^  und  -ll   neben   r-/^  und   r-f^  vernachlässigt,   ausserdem    fand  eine 

Vernachlässigung  in  3)  und  3a)  statt;  dadurch  entstehen  Ungenauig- 
keiten«     Die  Ereiseltheorie  legt  es  nahe,  in 

/i--2i  =  ^     und    U Pi-*^ 

Cr 
«tatt  r  vielmehr  -^  zu  nehmen.    Verfolgt  man  damit  die  weiteren  Be- 

.      .  Cr 

re<;bnungen,  so  ist  in  23)  und  24)  statt  r  — ^zu  nehmen:  -^ — JN^unJ 

Htait  /Jj  —  — ^-^  rt  +  T—  t  zu  setzen: 

Damit  geht  die  Gleichung  31)  über  in 

^1"     C»  M     ' 


Ä  Cr 

üb*?reinßtimmend  mit  48);  femer  wird  Ausdruck  34)  zu 

2-^0  ^      j  2.^.-^.af 

— ÖT"    oder  zu       ^,^,      , 

Ä 
übereinstimmend  mit  43);  28)  stimmte  schon  zuvor  mit  44).     In  der 

Zusammenstellung  der  Resultate  sind  diese  Korrekturen  verwertet. 

•  Ist  die  Prazessionsbewegung  Null  und  sind  die  Nutationen  gross,  so  werden 
dieselben  Abweichungen  abwechselnd  nach  rechts  und  nach  links  erzeugen. 


Von  Prof.  Dr.  Cael  Cramz. 


179 


Es  dürfte  zum  ScUuss  dieses  Abschnittes  angezeigt  sein^  mit 
wenigen  Worten  das  Näherungsyerfahren  zu  erwähnen,  welches  Saint - 
fiebert  anwandte,  und  welches  sich  seitdem  mit  mehr  oder  weniger 
Abänderungen  durch  eine  grössere  Anzahl  von  Arbeiten*)  hindurchzog: 
Der  Schwerpunkt  S  befinde  sich  vor  der  Zeichnungsebene  (Fig.  38) 
in  der  Flugbahnvertikalebene  SOT.  Zur  Zeit  ^  sei  57  die  Tangente, 
Sä  die  Geschossaxe.  Der  Winkel  zwischen  der  Vertikalebene  SOT 
und  der  „Stossebene**  SAT  zur  Zeit  ^  sei  97;  der  Winkel  zwischen 
Tangente  ST  und  Axe  SA  (öfters  Nutation  genannt)  sei  a.  Es  wird 
zunächst,  ganz  analog  der  Ereiseltheorie,  der  Fall  behandelt,  dass 
die  Tangente  ST  ihre  Richtung  beibehalte;  zur  Zeit  t  +  dt  ist  tp  um 
ifp  gewachsen,  man  hat  annähernd 


Fig.  88. 


a) 


*9  —  ör'^^' 


Xunmehr  wird  auch  die  Bichtungsänder- 
ung  der  Tangente  folgendermassen  ein- 
bezogen: Zur  Zeit  t  +  dt  ist  das 
Geschossende  A  nach  B,  das  Tangenten- 
ende T  nach  2\  gelangt,  wobei 

(da  mit  wachsendem  t  die  Tangenten- 
neigung (D  abnimmt);  der  Winkel  TT^B 
ist  jetzt  q>  +  dqj'^  AT  ist  zu  BT^  oder 
ü  +  da  geworden. 

KUt  man  von  T  auf  BT^  das  Lot, 
so  hat  man  b)  da  •^  —  cosqo-c^cD;  und 
die  Anwendung  des  Sinussatzes  auf  A 
TBT^  giebt,  mit  sehr  kleinen  Änder- 
ungen dqf  und  da,  die  Beziehung 

tga  Cr 


"dio 


c) 


dq>  —  dq>  — 


dt-- 


Die  Gleichung  b)  verwandelt  sich  mit  der  allgemeinen  Beziehung 

dio  g-  008  (o 

dt  V 

fär  die  Bewegung  des  Schwerpunkts  ohne  Rücksicht  auf  die  Rotation 
ivergl.  des  Verfassers  Kompendium  S.  87)  in  die  folgende: 

*  Comte  Paul  de  Saint-Robert,  Stades  sur  la  trajectoire  qua  d^crivent 
les  projectiles  oblongs,  Paris  1860,  2.  Teil.  —  M.  A stier,  essai  sur  le  mouvement 
*ie8  projectiles  oblongs,  Paris  1873.  —  J.  M.  de  Tilly,  balistique,  Paris  1876.  — 
<  omte  de  Sparre,  mouvement  des  projectiles  oblongs  dans  le  cas  du  tir  de  plein 
Wet,  1876;  vergL  auch  Majevski-Elussmann,  über  die  Lösung  des  Problems 
lie«  direkten  und  indirekten  Schiessens.  Berlin  1886,  S.  7 7 flg.;  femer  de  Sparre, 
»ur  le  mouvement  des  projectiles  dans  Tair,  Paris  1891.  —  M  uze  au,  sur  le 
mouvement  des  projectües  dans  Fair;  revue  d' Artillerie,  tome  12  (1878)  p.  422 
and  495;  t.  13  p.  31,  t.  14  p.  38;  femer  Muzeau,  cours  d' Artillerie,  balistique 
<*xt^eure  1888,  1.  Teil.  —  Auf  dasselbe  Verfahren  läuft  auch  die  Lösung  von 
Hesal  schliesslich  hinaus:  R^sal,  m^canique  g^n^rale;  t.  Ip.375,  Gleichungen 9) 


1 80   Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  ab.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 
i\  1  .  Q '  coso      7 . 

d)  aa  — +  co8^«^^ at\ 

diese  und  c)  bilden  die  beiden  Grundgleichungen.  Wird  aus  beiden 
dt   eliminiert^   so    hat  man   die  Differentialgleichung  erster  Ordnung 

zwischen  a  und  q>: 

{{(sincp)    ,1  M'V 

e)  ^,     '  +  -i sm  g?  =  7^ — 

^  da  tga  ^        Cr  »^  cos  OH 

Diese  lasst  sich  unter  Zugrundel^^ng  konstanter  Mittelwerte  von 
Mj  Vy  o  während  kleiner  Zeitintervalle  integrieren  und  liefert 

f)  8inq,-_^_(l-cosa); 

wobei  jP—  -jz '■ ist    und    die    Inteirrationskonstante    aus   der 

Cr  •  g '  coso)  ° 

Bedingung:  ^  —  0,  T'  —  0,  a  —  0  bestimmt  wurde.  Damit  ist  q)  als 
Funktion  von  a  ausgedrückt,  mit  d)  lasst  sich  somit  a  in  Funktion 
von  t  ermitteln;  es  wird 

g)  2p •  cos c  «  »  +  y^mp  +  n* •  cosf  j/p  •  ^    ^*^    h 

wobei  m-l-jP«,   n  -  2JF2,  jp-l  +  jFl 

Dieses  Lösungsverfahren,  dessen  Grundzüge  wenigstens  hier  an- 
gedeutet sind,  wurde  in  neuerer  Zeit  besonders  von  v.  Wuich  (siehe 
oben)  näher  ausgebildet. 

Besonders  einfach  lässt  sich  dasselbe  durch  successive  graphische 
Konstruktion  durchführen.  Z.  B.  für  die  deutsche  schwere  Feldkanone 
ist  die  Dauer  eines  Präzessionsumlaufs  (siehe  Beispiel  weiter  unteni 
crc.  0,7  Sek.;  nimmt  man  also  in  dieser  Zeit  das  Widerstandsmoment  Jf 

annähernd  konstant,  ebenso  v  und   .-}   so  hat  man  folgendes:   Für  dt 

werde  das  konstante  Zeitintervall  A^  —  0,1  Sek.  gewählt;  das  Ende  der 
Tangente  befindet  sich  zu  den  Zeiten  ^==0,  0,1,  0,2,  0,8,  0,4...  in 
0,  2\,  Tg,  Tg  etc.  Das  Ende  der  Geschossaxe  befeind  sich  anfangs  inO. 
Nach  A^  =  0,1  Sek.  hat  sich  die  Ebene  durch  Geschossaxe  SÄ  und 
Tangente  ST  oder  die  von  v.  Wuich  sogenannte  Stossebene  um  den 
7.  Teil  von  360^  gedreht;  man  beschreibe  also  um  T^  einen  Bogen 
mit  Radius  7\0  von  crc.  51°;  das  Geschossende  liegt  jetzt  in  A^'^  nach 
A^  »  0,2  Sek.  ist  die  Tangente  ST^f  die  Geschossaxe  SA^  (Bogen  um 
Tg  mit  Tgil^  von  51°);  fahrt  man  so  fort,  so  erhält  man  die  Zeichnung 
Figur  38a;  man  sieht  daraus  wie  aus  Gleichung  f),  dass  danach  in 
der  That  das  Geschossende  Ä  bei  Rechtsdrall  stets  auf  der  rechten 
Seite  der  Flugbahn  vertikalebene  SOTT^. .  .  bleiben  muss.  (Eine  ganz 
ähnliche  Figur  erhält  man  durch  Rechnung.) 

Ob  dieses  Resultat  für  die  Präzessionsbewegung  (denn  auch  hier 
ist  es  diese  Bewegung,  um  die  es  sich  handelt)  das  richtige  ist,  oder 
das  Resultat  des  Verfassers,  wonach  die  Geschossspitze  zeitweilig  nach 
der  linken  Seite  übertritt,  jedoch  längere  Zeit  auf  der  rechten  Seite 
verweilt,  muss   schliesslich   der  Versuch  entscheiden,   der  allerdings 


Von  Prof.  Dr.  Gabi.  Cbanz. 


181 


sec 

I 
I 

i 
I 


dadurch  erschwert  Bein  wird,  dass,  wie  ich  oben  nachgewiesen  habe, 
in  erster  Linie  die  Nutationen  es  sind,  welche  der  Beobachtung  sich 
darbieten.  Jedoch,  selbst  wenn  die  Nutationen  als  sehr  klein  zu  yer- 
nachlässigen  wären  ^  könnten  Laboratoriumversuche  mit  geschossartigen 
Körpern,    die    in    cardanischen    Bingen       s^  Fig.ss». 

leicht  drehbar  angebracht  sind,   wegen      ^ 
der  Reibung  nicht   wohl    entscheidend  ^  §" 
sein.    Ich   suchte  weiterhin   den   Luft-  3:  ^ 
widerstand,    dessen   Richtung    bei    Ge-  ^  t^o 
schössen   fortwährend   wechselt,    durch  ^ 
magnetische  Kraft   zu  ersetzen;   an  der  ^ 
Aie    eines    Messingkreisels    war    eine 
Eisenmasse  angebracht;  auf  diese  wirkte 
die    Anziehungskraft     eines     kräftigen 
Elektromagnetpols,  der  nach  und  nach 
gegenüber     dem     Kreisel     verschoben  ^_q«  ^  ^ 
wurde;    auch    hier    zeigten    sich    volle  '^ 

kreisartige  Präzessionspendelungen;  dies 
würde  darauf  hindeuten,   dass  die  6e- 
schossaxe    zeitweise    nach    der    linken  '« 0^  §"  T^ 
Seite  der  Flugbahnvertikalebene    über- 
treten muss;  allein  auch  solche  Versuche 
können  nicht  entscheiden ,  da  die  Ana-       o  4  "  r 
logie  mit  der  Mechanik  der  Geschoss-    '  '         * 
bewegung   keineswegs   vollständig   her- 
gestellt ist. 

An  dem  Verfahren  St.  Roberts  «  =  0.5  T^ 
isst  prinzipiell  jedenfalls  auszusetzen,  dass 
Uerbei  die  Annahme  gemacht  wird,  die 
successiven  Drehungen  der  Stossebene 
müssen  um  die  jeweiligen  Tangenten- 
lagen herum  erfolgen.  Beim  Kreisel  er- 
folgt, wenn  von  den  Nutationen  ab- 
gesehen werden  kann,  die  reguläre  Prä- 
zessionsbewegung um  die  Richtung  der 
diese  Bewegung  bewirkenden  äusseren 
Kraft,  der  Schwerkraft,  herum;  analog 
muss  beim   Geschoss  die  Drehung  der  ^ 

Stossebene  um  die  zur  Luftwider- 
standsresultanten Parallelen  durch 
den  Schwerpunkt  8  herum,  nicht  aber 
um  die  jeweilige  Tangente  ST,,  ÄTj  .- 
kerum  vor  sich  gehen.  Dieser  Fehler  ist  bei  unserer  obigen  Theorie 
dadurch  vermieden,  dass  von  vornherein  mit  den  Komponenten  des  Luft- 
widerstands gerechnet  wurde;   auf  der  anderen  Seite  waren  auch  bei 


7; 


7; 


Fig.  Mb. 


l  g2   Theoret.  u.  experim.  Untenach.  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc . 

des  Verfassers  obiger  Theorie  (welche^  wie  bemerkt,  schliesslich  auf 
Ent Wickelungen  Poissons  zurückgeht)  Vernachlässigungen  zum  Zweck 
der  Durchfährung  der  Integrationen  erforderlich,  weshalb  auch  für 
kleine  Winkel  d',  ^,  a  die  Resultate  der  Theorie  von  denen  der  Be- 
obachtung etwas  abweichend  gefunden  werden  könnten. 

Übrigens  sind  die  Resultate  beider  Theorien,  derjenigen  von 
St.  Robert-Wuich  und  deijenigen  des  Verfassers,  weniger  von  ein- 
ander verschieden,  als  es 
auf  den  ersten  Anblick 
scheinen  könnte  —  falls 
nur  die  Theorie  St.  Ro- 
berts etwas  modifiziert 
wird: 

Bei    der    successiven 
graphischen   Lösung,    die 
^^  auf  der  VorsteUung  beruht 
(Fig.  38  a),   als  ginge    die 
Änderung  der  Tangenten- 
lage  ruckweise   vor    sich, 
lässt  sich  nämlich  der  er- 
wähnte Fehler,  der  in  der 
Robert  sehen         Theorie 
durch    das    Nichtparallel* 
sein    von    Tangente    und 
Luftwiderstands  -  Resultan- 
ten entsteht,  fär  den  Fall, 
dass  von   den  Nutationen 
abgesehen     wird,      leicht 
vermeiden.      Man    zerlege 
wieder     (Figur  38  b)     die 
Flugzeit     in    aufeinander 
folgende  etwa  gleiche  Zeit* 


5. 


teilchen  A^  und  konstruiere  wieder  die  aufeinander  folgenden  Lagen 
der  Tangente,  also  SO,  S2\  ST,,  ST,--.,  wie  dieselben  ohne  Rück- 
sicht auf  die  Rotationsbewegung  in  der  Vertikalebene  durch  Schwer- 
punkt S  (dieser  vor  der  Zeichnungsebene  gedacht)  und  Bewegungs- 
richtung  von  S  gegeben  sind  zu  den  Zeiten  0,  A^,  2-At,  3-A^*- 
Zur  Zeit  ^  *  0  befinde  sich  die  Geschossaxe  und  zugleich  die  Tangente 
in  S0\  es  ist  also  noch  kein  Anlass  zur  Präzession  gegeben;  zur  Zeit 
t  ^  At  ist  die  Tangente  längs  ST^  gerichtet;  zu  dem  Winkel  OST^ 
oder  a  zwischen  Tangente  ST^  und  Axe  SO  berechne  man  JW  uutl 
suche  [1.]  den  zugehörigen  Winkel  17  zwischen  Axq  und  Luftwiderstands- 
resultante  auf;  diesen  Winkel  rj  trage  man  als  OMi  auf  der  Ver- 
längerung von  OTi  ab  und  beschreibe  um  M^  mit  Radius  M^O  einen 

Kreisbogen    OA^,    dessen    Centriwinkel    im   Bogenmaß   » 


M 

CTr 


£^t  ist. 


Von  Prof.  Dr.  Cael  Cbanz. 


183 


sizt  ist  die  Geschossaxe  ia  SÄ^.  Nun  ist  aber  nach  t  =  2'd^t  die 
angente  in  ST^,  der  Winkel  zwischen  Axe  und  Tangente  ist  jetzt 
iST^,  dazu  suche  man  M  und  den  zugehörigen  Winkel  ri  auf 
)d  trage  den  neuen  Winkel  ij  auf  A^T^  als  Ä^M^  auf^  beschreibe 
n  I/j  mit  Radius  M^Ä^    einen   Kreisbogen  Ä^A^  mit   dem   Centri- 

inkel  7^ dkt  u.  s.f. 

Bei  diesem  Verfahren  successiyer  punktweiser  Konstruktion  der 
razeflsionskurve  gelangt  die  Geschossaxe  zeitweilig  auf  die  linke  Seite 
ir  Flugbahn  -Yertikalebene;  man  erhält  eine  Präzessionskurve  ähnlich  wie 
1  Figur  12,  abgesehen  davon,  dass  nicht  notwendig  die  sich  erweiternde 
pirale  immer  wieder  durch  0  gehen  muss. 

Man  erkennt  auf  diese  Weise,  dass  in  der  That  die  Resultate 
eider  Theorien  nicht  so  sehr  von  einander  abweichen;  es  ist  auch, 
enn  man  die  BesKeichnungen  vergleicht,  der  obige  von  den  periodischen 
liedem  freie  Term  ^,  welcher  die  Seitenabweichung  bestimmt,  und 
elcher  vom  Verfasser  mit  f  bezeichnet  wurde,  identisch  mit  dem- 
»ligen  Yon  Magnus  de  Sparre  und  Mayevski  [2.]: 

d'Smv  =-  (P-g):  [iR^'a'S'U'F(u)] 
der  mit  demjenigen  von  N,  v.  Wuich  [3.]: 

ibei  ist  jedoch  darauf  aufmerksam  zu  machen,  dass  bei  v.  Wuich  u.  a. 
nter  „Nutation''  der  Winkel  a  zwischen  Tangente  und  Axe,  also 
tras  anderes  verstanden  ist,  als  in  der  Ereiseltheorie. 

Anmerkung:  [1.]  Mittelst  der  Kummerschen  Formeln  (des  Verfassers  Com- 
ttdimn  S.  169  flg.,  tgri^X:  Z)  oder  mit  demjenigen  von  v.  Wuich  I.e.  S.  82; 
toi  giebt  v.Wuich  S.92  die  folgende  Tabelle  für  den  Winkel  ?j  zwischen  Geschoss- 
tt  und  Luftwiderstandsresultanten,  für  verschiedene  Winkel  a  zwischen  Axe  und 
M>ahntangente  und  für  mehrere  Geschosslftngen  H  (in  Kalibern  gemessen).: 


0     50 


10^ 


20® 


30'' 


40^ 


50® 


60^ 


70® 


80® 


90® 


und  für 


19UV}  86*65' löini' 
•^"44'  3»m'  60^14' 
43*12' '63®ö7' 
49*34'  68*53' 


'  26*38' 


66*  4' 
69*56' 
70*  9' 
74*  0' 


70*53' 
76*11' 
76*28' 
79*22' 


74*12',  76*86' 
78*22';  80*24' 
79*  7'  80*67' 
81*30'  82*66' 


78*28' 
81*60' 
82*18' 
83*66' 


80*  2' 
82*62' 
88*22' 
84*43' 


88*23' 
83*86' 

84*15' 
85  H3' 


H-^2  Ealib. 
H^2fi 
H=2fi 
-ff  =3,5 


11 


»1 


fi<l«  giebt  diese  Tabelle  die  Werte  ri  nicht  für  kleine  cc  (nicht  zu  verwenden 

»•1  hierför  die  folgenden  Tabellen  I  und  11,  weil  II  mehr  empirische  Daten  ent- 

yt  alg  I), 

f  11  Mayevski,   Über  die  Lösung  der  Probleme  des  direkten  und  indirekten 
«iie^WM;  deutsch  von  Klussmann,  Berlin  1886  bei  Mittler  &  Sohn,  S.  77. 

'M  l.  c.  p.  407 


184    Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg.  d.  rotier.  LanggeschoBse  ei 

E.  Tabelle  f&r  die  Komponenten  Wp  tuid  TT«  der  LnftwideintaiidB- 
resultanten  parallel  resp.  senkrecht  snr  Axe  des  Iianggeaohosses, 
sowie   für   die  Lage   des   Angriffspunkts   der   Besnltanten  auf 

der  Axe. 

Die  beigefügte  Tabelle  soll  die  sehr  nmstandliclie  Berechnung 
Luftwiderstandsmoments  M  erleichtern^  so  lange  man  auf  eine  sol 
Berechnung  angewiesen  ist.  Sie  ist  aus  den  Formeln  entstandi 
welche  Kummer  bezüglich  cylindrischer  G-eschosse  mit  anfgese 
Halbkugel  und  mit  aufgesetztem  Kegel  für  die  Komponenten  Wpj 
und  fär  den  Abstand  ^  des  Angriffspunkts  vom  Geschossboden  unier 
Voraussetzung  berechnete^  dass  der  normale  Luftwiderstand  gegen  e 
in  der  Luft  bewegte  ebene  Fläche  proportional  dieser  Fläche  und  d 
Quadrat  des  Kosinus    desjenigen  Winkels    sei,   welchen  die  Fläeb 

normale  mit  der  Bewegungsrich 
bildet.  Die  Kummerschen  Bereel 
nungen  zu  Grunde  zu  legen^  lag  d 
halb  nahe^  weil  einerseits  die  betreffend 
analytischen  Entwickelungen  in  gleich 
Allgemeinheit  fär  kein  anderes  G 
durchgeführt  sind  und  andererseits 
mehreren  Vergleichen  mit  Beobael 
ungen  die  Formeln  Kummers  kei 
ungünstigeren  Resultate  ergaben^ 
die  sind^  welche  aus  anderweitigen 
anderen  Gesetzen  und  unter  spezielle 
Annahmen  aufgestellten  Formeln  fl 

Als  Form  der  Spitze  des  La 
geschosses  ist  die  gegenwärtig 
meisten  übliche  sogenannte  ,;OgiTaI 
vorausgesetzt  (Fig.  39);  der  Lange 
querschnitt  des  Geschosses  hat  hier! 
die  Gestalt  etwa  eines  gotischen  Fensters;  ist  M  der  Mittelpuu 
des  Kreisbogenprofils^^,  so  heisst  MA^MB=-q  der  Abrundung 
radius.  Wenn  die  Höhe  h  des  zugespitzten  Teils  des  Geschosses. 
Kalibern  d  =  2Il  oder  in  Geschossradien  It  gemessen ^  gegeben  ist, 
ist  damit  zugleich  der  Abrundungsradius  q  sowie  der  halbe  Winkel  \  < 
der  Spitze  gegeben;  es  ist  nämlich: 


H  a 


\f    yf 


^M 


2Ä 


49) 
50) 


sin  rj  =  —    oder    tg  ly  = 
\dj        d        4' 


h 
R 


j- 


gleichwertig  sind  also  z.  B.  die  Angaben. 


Von  Pr6f.  Dr.  Cabl  Ckamz.  185 

1  =  0,5        1  1,5  2  3 

und  , 

^=0,5       0,866      1,118        1,323       1,658. 

Die  Berechnung  erfolgte  durch  Interpolation  aus  den  Formeln  für 
lie  aufgesetzte  Halbkugel  und  ftir  den  aufgesetzten  Kegel;  für  diese 
beiden  Formen  und  för  eine  grössere  Anzahl  von  Winkeln  a  zwischen 
Flugbahntangente  und  Geschossaxe  wurden  die  numerischen  Werte  der 
betreffenden  Grossen  Wp,  W,,  rj  berechnet,  und  sodann  je  für  die 
DgiTäle  Spitzenform  ein  Mittelwert  zwischen  den  Zahlen  f&r  die  Halb- 
kugel und  den  Kegel  genommen,  entsprechend  den  Verhältnissen  der 
Winkel  17  an  der  Geschossspitze  bei  den  drei  Formen;  endlich  wurden 
die  übrigen  Werte  graphisch  interpoliert.  Eine  Gebrauchsanweisung 
ist  der  Tabelle  beigegeben.  Eine  Tabelle  direkt  für  das  Lufkwider- 
standsmoment  bezüglich  des  Schwerpunkts  liess  sich  deshalb  nicht 
anlegen,  weil  durch  Änderung  der  Massenvefteilung  im  Innern  eines 
Hohlgeschosses  die  Schwerpunktslage  geändert  werden  kann;  letztere 
muüs  in  jedem  Fall  empirisch  bestimmt  werden;  jedenfalls  ist  diese 
Bestinunung  sicherer  als  die  Berechnung. 

Von  Daten  der  Beobachtung  wiirden  bei  Aufstellung  der  Tabelle 
80  Tiele  verwertet  als  irgend  anging;  insbesondere  konnten  die  Ver- 
sachsergebnisse von  Ingalls*  und  die  neueren  Mitteilungen  von  Hey  den- 
reich  L  c.  für  Wp  berücksichtigt  werden.  Grundsätzlich  wurden  die 
Beobachtungsresultate  vor  den  Bechnungsresultaten  bevorzugt,  da 
eine  Reihe  von  mitbestimmenden  Einflüssen  von  Kummer  nicht  mit 
b  Rechnung  gezogen  werden  konnten;  dies  gilt  z.B.  von  dem  Ab- 
flugs der  Luft  an  dem  Geschoss,  der,  wie  Kummer  selbst  durch  Yer- 
mche  gezeigt  hat,  die  Rechnungsergebnisse  nicht  unwesentlich  modifi- 
eiert;  es  zeigte  sich,  dass  die  Versuchsreihen  Kummers  über  die  Werte 
f  in  Funktion  von  a  durch  eine  gerade  Linie  noch  besser  dargestellt 
■nd,  als  durch  die  theoretisch  erhaltene  Kurve;  es  wurde  deshalb 
Kwischen  den  Endwerten  z  einfach  proportional  a  interpoliert. 

Eme  andere  derartige  Tabelle  hat  N.  v.  Wuich  (I.e.)  auf  wesentlich 
ißderer  Grundlage  aufgestellt;  eben  weil  die  Zahlenwerte  beider 
Fabellen  nicht  wenig  von  einander  abweichen,  so  schien  es  mir  nicht 
niwert,  diese  neue  Tabelle  vorzulegen,  die  ich  jedoch  nur  als  einen 
tfotbehelf  angesehen  wissen  möchte,  bis  es  nämlich  Ballistikem 
oder  Physikern  möglich  geworden  sein  wird,  durch  ausgedehnte  Ver- 
nehsreihen,  etwa  nach  Art  der  Neesenschen,  genauere^^  empirische 
Tabellen  aufzustellen  (über  deren  Notwendigkeit  siehe  weiter  unten). 

*  James  M.  Ingalls,  Capitain,  First  Artill.:  Journal  oi  the  United  States 
ArtiUery,  April  1896,  Nr.  2,  Vol.  IV  p.  191;  vergl.  auch  den  Auszug  dieser  Arbeit 
in  der  österreichischen  Zeitschrift:  ,, Mitteilungen  über  Gegenstände  des  Artillerie- 
tod Geniewcsens",  Wien  Jahrgang  1896,  7.  Heft,  S.  411. 

**  Die  Zahlen  der  folgenden  Tabellen  sind  bei  der  Verwendung  als  nur  auf  die 
«rvte  Dezimale  genau  zu  behandeln;  die  Genauigkeit  ist  wahrscheinlich  noch  geringer. 

ZcitMhrift  f.  Mathematik  u.  Physik.  4S.  Jahrg.  1898.  4.  n.  5.  Heft.  1 3 


]^36    Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  flb.  d.  Ereiselbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  eio 


Tabelle  I 

für  die  Komponente  TT«  der  Luftwiderstandsresultanten  senkrecht 

zur  Geschossaxe. 

Man  multipliziert  W^  (siehe  unten)  mit  dem  Faktor  der  Tabelle. 

H»  ganze  Geschosshohe  in  Kalibern,     h  =  Höhe  des  zugespitzten  Teils. 
a  «Winkel  zwischen  Qeschossaxe  und  Flugbahntangente. 


WinkAl  a 

Winkel  a 

swlichan 

H^ 

2,5  Kaliber 

swisehen 

H^ 

2,6  KaHber 

Oeiehosi- 

6«ichois- 
axe  und 

axe  und 

• 

• 

Flttg- 
bahn- 

h 
=0,6 

1 

1,3 

1,5 

2 

Flng- 
bahn- 

h 

»0,6 

1 

1,3 

1,5 

2 

tangente 
a 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

tangent« 
a 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

K^ 

0 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

36 

1,64  ' 

1,49 

1,44 

1,40 

"m 

1 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

86 

1,71 

1,56 

1,60 

1,45 

1.« 

2 

0,01 

0,01 

0,01 

0,01 

0,01 

37 

1,78 

1,61 

1,56 

1,50 

1,* 

3 

0,03 

0,02 

0,02 

0,02 

0,02 

38 

1,83 

1,67 

1,61 

1,53 

L« 

4 

0,05 

0,04 

0,03 

0,03 

0,03 

89 

1,90 

1,73 

1,66 

1,61 

J.Ä 

5 

0,08 

0,07 

0,06 

0,06 

0,06 

40 

1,97 

1,79 

1,72 

1,66 

1,5 

6 

0,11 

0,10 

0,09 

0,09 

0,08 

41 

2,04 

1,84 

1,78 

1,72 

li 

7 

0,14 

0,13 

0,12 

0,11 

0,10 

42 

2,10 

1,90 

1,84 

1,77 

1.6 

8 

0,18 

0,17 

0,15 

0,14 

0,13 

43 

2,16 

1,96 

1,90 

1,83 

1,T 

9 

0,22 

0,20 

0,18 

0,17 

0,16 

44 

2,22 

2,02 

1,96 

1,88 

1,7 

10 

0,26 

0,24 

0,22 

0,21 

0,20 

46 

2,29 

2,08 

2,01 

1,94 

1.8 

11 

0,30 

0,28 

0,26 

0,26 

0,24 

46 

2,36 

2,14 

2,06 

1,99 

1,^ 

12 

0,34 

0,32 

0,30 

0,29 

0,27 

47 

2,43 

2,20 

2,11 

2,04 

1.9 

13 

0,39 

0,36 

0,34 

0,33 

0,31 

48 

2,60 

2,26 

2,17 

2,10 

'V 

14 

0,43 

0,41 

0,38 

0,37 

0,36 

49 

2,66 

2,31 

2,22 

2,15 

V 

16 

0,48 

0,46 

0,42 

0,40 

0,39 

50 

2,62 

2,36 

2,27 

2,20 

2,<] 

16 

0,52 

0,49 

0,45 

0,44 

0,43 

51 

2,68 

2,42 

2,82 

2,23 

2.1 

17 

0,67 

0,54 

0,60 

0,48 

0,47 

62 

2,73 

2,47 

2,37 

2,80  '  11 

18 

0,62 

0,68 

0,66 

0,53 

0,61 

63 

2,79 

2,53 

2,43 

2,34 

t.i 

19 

0,68 

0,62 

0,69 

0,68 

0,66 

64 

2,86 

2,68 

2,48 

2,38 

t^i 

20 

0,73 

0,67 

0,64 

0,63 

0,60 

66 

2,92 

2,64 

2,53 

2,43 

12 

21 

0,78 

0,73 

0,68 

0,67 

0,64 

66 

2,98 

2,69 

2,68 

2,48  !  2,: 

22 

0,83 

0,77 

0,74 

0,72 

0,69 

67 

3,04 

2,74 

2,62 

2,52      ij 

23 

0,89 

0,82 

0,80 

0,77 

0,74 

68 

3,10 

2,79 

2,67 

2,57      2J 

24 

0,96 

0,88 

0,84 

0,82 

0,78 

69 

3,15 

2,88 

2,71 

2,61      14 

26 

1,02 

0,93 

0,90 

0,86 

0,83 

60 

3,21 

2,88 

2,75 

t 

2,65  ;  2,; 

26 

1,08 

0,98 

0,96 

0,92 

0,88 

27 

i,u 

1,04 

1,00 

0,97 

0,93 

66 

3,46 

3,09 

2,96 

2,86  ,  t:, 

28 

1,19 

1,10 

1,06 

1,02 

0,99 

70 

3,63 

3,27 

8,16 

3,03      t' 

29 

1,25 

1,16 

1,12 

1,08 

1,04 

76 

3,76 

3,40 

1  3,27 

3,18  t  li 

30 

1,32 

1,21 

1,17 

1,14 

1,09 

80 

3,87 

3,48 

3,86 

3,24      3,« 

31 
32 

1 
1,38 

1,46 

1,27 
1,33 

1,23 

1,28 

1,19 
1,24 

1,14 
1,19 

86 
90 

3,90 
3,90 

3,61 
3,61 

3,38 
3.38 

3,28      a.« 
3,28   ■  3,' 

33 

1,62 

1,39 

1,33 

1,29 

1,24 

34 

1,58 

1,44 

1,39 

1,35 

1 

1 

1,29 

1 

1 

Von  Prof.  Dr.  Cabl  Crahs. 


187 


Tabelle  I  (Fortsetzung). 


Winkel  a 

Winkel  a 

(viieben 

H»d,6  Kaliber 

Bwischen 

H=8,6  Kaliber 

G«Mhow- 

GeichoM- 
axe  und 

aze  und 

« 

h 

=^0,5 

Flng- 
liahn. 

h 

=0,6 
EaL 

1 

1,8 

1,5 

2 

Flng- 
bahn- 

1 

1,3 

1,6 

2 

ungente 
a 

EaL 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

tmgente 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

_ 

Kai. 

Kai. 

0 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

35 

2,21 

2,05 

1,97 

1,90 

1,82 

1 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

36 

2,30 

2,14 

2,05 

1,98 

1,90 

2 

0,01 

0,01 

0,01 

0,01 

0,01 

87 

• 

2,40 

2,22 

2,14 

2,06 

1,99 

3 

0,04 

0,03 

0,02 

0,02 

0,02 

38 

2,49 

2,31 

2,23 

2,16 

2,07 

4 

0,06 

0,05 

0,04 

0,04 

0,04 

39 

2,58 

2,40 

2,32 

2,23 

2,16 

5 

0,10 

0,08 

0,07 

.0,07 

0,07 

40 

2,67 

2,49 

2,40 

2,32 

2,24 

6 

0,14 

0,12 

0,11 

0,10 

0,10 

41 

2,77 

2,58 

2,48 

2,40 

2,32 

7 

0,18 

0,16 

0,16 

0,14 

0,14 

42 

2,87 

2,67 

2,56 

2,48 

2,42 

8 

0,22 

0,20 

0,19 

0,18 

0,18 

43 

2,97 

2,76 

2,65 

2,57 

2,48 

9 

0,26 

0,24 

0,24 

0,28 

0,22 

44 

3,07 

2,86 

2,74 

2,65 

2,66 

10 

0,31 

0,30 

0,29 

0,28 

0,26 

46 

8,16 

2,94 

2,83 

2,73 

2,64 

11 

0,37 

0,86 

0,34 

0,33 

0,30 

46 

3,25 

3,04 

2,92 

2,83 

2,72 

12 

0,43 

0,41 

0,39 

0,38 

0,35 

47 

8,35 

3,13 

3,00 

2,92 

2,80 

13 

0,49 

0,47 

0,44 

0,43 

0,40 

48 

3,44 

3,21 

3,09 

3,01 

2,89 

U 

0,65 

0,62 

0,60 

0,48 

0,45 

49 

3,54 

8,30 

3,17 

3,08 

2,98 

15 

0,61 

0,68 

0,56 

0,54 

0,50 

60 

8,63 

3,38 

3,25 

3,17 

3,06 

16 

0,67 

0,64 

0,61 

0,59 

0,55 

61 

3,72 

3,46 

3,34 

3,26 

3,16 

17 

0,73 

0,70 

0,67 

0,64 

0,60 

62 

3,81 

3,55 

8,42 

3,34 

3,23 

18 

0,80 

0,76 

0,73 

0,69 

0,66 

53 

3,90 

3,64 

8,50 

3,42 

3,31 

19 

0,87 

0,82 

0,79 

0,75 

0,72 

54 

3,99 

8,73 

3,59 

3,50 

3,39 

20 

0,93 

0,88 

0,85 

0,82 

0,78 

•      65 

4,08 

3,80 

3,68 

3,58 

3,47 

21 

1,00 

0,96 

0,92 

0,88 

0,83 

66 

4,16 

3,87 

3,76 

3,66 

3,56 

22 

1,08 

1,01 

0,98 

0,94 

0,89 

57 

4,24 

3,95 

3,83 

3,74 

3,64 

23 

1,16 

1,08 

1,05 

1,00 

0,96 

68 

4,33 

4,04 

3,91 

3,82 

3,71 

24 

1,24 

1,15 

1,11 

1,07 

1,02 

59 

4,41 

4,12 

3,97 

3,88 

8,78 

25 

1,32 

1,22 

1,18 

1,13 

1,08 

60 

4,49 

4,19 

4,04 

3,95 

3,84 

26 

1,40 

1,30 

1,25 

1,20 

1,15 

27 

1,48 

1,87 

1,32 

1,27 

1,22 

65 

4,85 

4,53 

4,37 

4,27 

4,14 

28 

1,57 

1,44 

1,39 

1,34 

1,29 

70    . 

5,14 

4,80 

4,63 

4,52 

4,38 

29 

1,65 

1,52 

1,46 

1,41 

1,36 

75 

6,35 

5,01 

4,84 

4,72 

4,57 

30 
31 
32 

1,74 
1,84 
1,93 

1,60 
1,69 
1,78 

1,54 
1,62 
1,71 

1,49 
1,57 
1,65 

1,43 
1,51 
1,58 

80 
85 
90 

5,49 
6,57 
5,60 

5,15 
5,21 
5,23 

4,98 
5,04 
5,06 

4,86 
4,94 
4,96 

4,70 
4,77 
4,80 

33 

2,02 

1,87 

1,80 

1,73 

1,66 

84 

2,12 

1,96 

1,88 

1,82 

1,74 

Anmerkung.  W^  ist  der  Luftwiderstand  in  Kilogramm  gegen  ein  halb- 
kugelfönnig  endigendes  Geschoss  vom  Kaliber  2R  Meter,  falls  dasselbe  mit  der 
Geschwindigkeit  v  m/sec  sich  derart  bewegt,  dass  die  Geschossaxe  in  der  Flug- 
l«ihntangente  liegt.  TFJ,  wird  einer  empirischen  Tabelle  entnommen.  Ist  der  be- 
treffenden empirischen  Tabelle  nicht  ein  Geschoss  mit  aufgesetzter  Halbkugel 
'^-0,5  Kai.)  zu  Grunde  gelegt,   sondern  z.B.  ein  Geschoss  mit  ^»  1,3  Kai.,   so 

j*t  W^  =  -— -  .  iri,3,  wobei  TFi,8  die  von  dieser  empirischen  Tabelle  angegebene 
0,69 

^iderstandszahl  fär  die  Geschwindigkeit  v  ist  (und  so  weiter  entsprechend  den 

fett  gedruckten  Zahlen  der  ersten  Zeile  in  Tabelle  U).    Z.B.  ist  für  1?» 0,12m, 

13* 


188  Theoret  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 


Tabelle  I  (Fortsetzung). 


Winkel  a 

Winkel  a 

xwischen 

H^ 

4,5  Kaliber 

Ewiscben 

ir=4,5  Kaliber 

Geichoss- 

GeschoHS- 
axe  nnd 

ftze  und 

» 

i 

Pliiff- 
bahn- 

h 
=  0.6 

1 

1,3 

1,5 

2 

Flng- 
bahn- 

h 
=  0,5 

1 

1,8 

1,5 

0 

•• 

tangente 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

Kai 

tangente 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

Kai    Kül, 

a 

a 

1 

0 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

36 

2,75 

2,57 

2,48 

2,42 

1 

0,01 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

36 

2,87 

2,68 

2,59 

2,52 

2.32 

2 

0,03 

0,02 

0,02 

0,01 

0,01 

37 

2,99 

2,79 

2,70 

2,62 

2,41 

3 

0,06 

0,05 

0,04 

0,04 

0,03 

38 

8,12. 

2,91 

2,80 

2,72 

2,5«» 

4 

0,09 

0,08 

0,07 

0,07 

0,06 

39 

8,25 

3,02 

2,91 

2,83 

2.60 

5 

0,13 

0,12 

0,11 

0,11 

0,10 

40 

3^7 

«,14 

3,02 

2,93 

2,70 

6 

0,16 

0,16 

0,14 

0,14 

0,14 

41 

3,50 

3,26 

3,13 

8,03 

2,80 

7 

0,21 

0,20 

0,19 

0,19 

0,18 

42 

3,63 

3,38 

3,24 

3,14 

2,9(» 

8 

0,26 

0,25 

0,24 

0,23 

0,22 

43 

3,75 

3,50 

3,35 

8,25 

8,0<J 

9 

0,32 

0,80 

0,29 

0,28 

0,27 

44 

8,87 

3,62 

3,47 

3,36 

3,09 

10 

0,37 

0,35 

0,34 

0,34 

0,33 

45 

4,00 

3,74 

3,68 

3,47 

3,19 

11 

0,43 

0,41 

0.40 

0,40 

0,39 

46 

4,12 

3,86 

8,70 

3,68 

3,30 

12 

0,50 

0,48 

0,47 

0,46 

0,44 

47 

4,24 

3,97 

3,81 

3,69 

3,41 

13 

0,57 

0,55 

0,54 

0,58 

0,50 

48 

4,37 

4,08 

3,92 

3,80 

3,52 

14 

0,65 

0,63 

0,61 

0,60 

0,56 

49 

4,49 

4,19 

4,02 

3,90 

3,62 

15 

0,73 

0,70 

0,68 

0,67 

0,62 

60 

4,61 

4,31 

4,13 

4,00 

3,72 

16 

0,80 

0,77 

0,75 

0,73 

0,68 

51 

4,72 

4,41 

4,24 

4,10 

3,82 

17 

0,88 

0,85 

0,82 

0,80 

0,74 

52 

4,84 

4,52 

4,34 

4,20 

3.92 

18 

0,96 

0,92 

0,89 

0,87 

0,81 

53 

4,96 

4,63 

4,44 

4,30 

4,02 

19 

1,04 

0,99 

0,96 

0,94 

0,87 

54 

5,08 

4,73 

4,56 

4,40 

4,12 

20 

1,12 

1,07 

1,03 

1,01 

0,94- 

55 

6,20 

4,84 

4,66 

4,60 

4,22 

21 

1,21 

1,15 

1,12 

1,09 

1,01 

66 

6,81 

4,95 

4,76 

4,60 

4,32 

22 

1,30 

1,24 

1,21 

1,18 

1,09 

67 

5,42 

5,06 

4,86 

4,71 

4,42 

23 

1,41 

1,33 

1,30 

1,26 

1,17 

58 

5,54 

6,17 

4.97 

4,82 

4.52 

24 

1,51 

1,43 

1,39 

1,35 

1,25 

69 

5,65 

6,27 

6,07 

4,92 

4,61 

25 

1,61 

1,58 

1,48 

1,44 

1,33 

60 

6,75 

5,37 

5,17 

5,02 

4,71 

26 

1,72 

1,63 

1,57 

1,53 

1,41 

27 

1,83 

1,73 

1,67 

1,63 

1,50 

65 

6,24 

5,84 

6,66 

5,60 

5,19 

28 

1,94 

1,83 

1,77 

1,78 

1,69 

70 

6,63 

6,23 

6,07 

6,92   ,   5.yy 

29 

2,05 

1,93 

1,87 

1,83 

1,69 

75 

6,93 

6,55 

6,37 

6,24 

5,8i) 

30 
31 
32 

2,17 
2,28 
2,40 

2,03 
2,13 
2,24 

1,97 
2,08 
2,18 

1,92 
2,02 
2,12 

1,77 
1,86 
1,95 

80 
85 
90 

7,17 
7,27 
7,30 

6,77 
6,89 
6,94 

6,57 
6,69 
6,73 

• 

6,43 
6,54 
6,60 

6,22 

33 

2,52 

2,35 

2,28 

2,22 

2,04 

34 

2,63 

2,46 

2,88 

2,32 

2,13 

h  » 1,5  Kai.  und  v  =  241  m  der  normale  Luftwiderstand  nach  der  Erfahrung  45,2  ksr: 

45  2 
also  ist  Wo^-/~-^^S^  kgr;  somit  ist  z.B.  für  a-20^  -ff« 2,6  Kai,  h^'St  Kai, 


0,66 


TT, -68,5  0,60  =  41  kgr, 
Wp  =  68,5  0,61  =  35  kgr ; 


also  die  Resultante  VWm'+Wp'  selbst  =  64  kgr;  femer  der  Tangens   des   Win- 
kels zwischen  Geschossaxe  und  Resultante  gleich  41 :  36;  dieser  Winkel  «  50*  (di^ 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Cbakz. 


189 


Tabelle  I  (Fortsetzung). 


Winkel  a 

Winkel  a 

X  wischen 

H= 

5,5  Kaliber 

zvriMoben 

//  =  ! 

3,5  Kaliber 

Geschoei- 

Gesohoss- 
axe  und 

Äxe  nnd 

* 

i_ 

Flatr- 
bahn- 

h 
=  0,6 

1 

1,3 

1,5 

2 

Flug- 
bahn- 

h 
=  0,5 

1 

1,3 

1,5 

2 

Ungente 
a 

KaL 

1 

Kai. 

Kai. 

KaL 

Kai. 

tangente 
er 

1 
Kai. 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

Kai. 

0 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

0,00 

35 

3,33 

3,14 

3,05 

2,98 

2,82 

1 

0,02 

0,01 

0,00 

0,00 

0,00 

36 

3,48 

3,30 

3,19 

3,10 

2,95 

2 

0,03 

0,02 

0,01 

0,01 

0,00 

37 

3,63 

3,43 

8,82 

3,23 

3,08 

3 

0,06 

0,05 

0,05 

0,05 

0,04 

38 

3,78 

8,57 

8,46 

3,37 

3,20 

4 

0,10 

0,09 

0,08 

0,08 

0,07 

89 

8,93 

3,71 

3,60 

8,52 

3,33 

o 

0,14 

0,18 

0,12 

0,12 

0,11 

40 

4,07 

3,85 

3,74 

8,65 

3,47 

6 

0,18 

p,17 

0,16 

0,16 

0.15 

41 

4,22 

3,99 

3,88 

8,78 

3,60 

7 

0,23 

0,22 

0,21 

0,21 

0,20 

42 

4,37 

4,14 

4,00 

8,92. 

3,72 

8 

0,29 

0,28 

0,27 

0,26 

0,25 

43 

4,52 

4,28 

4,14 

4,05 

3,84 

9 

0,36 

0,35 

0,34 

0,33 

0,31 

44 

4,66 

4,41 

4,28 

4,19 

3,97 

10 

0,43 

0,41 

0,40 

0,39 

0,37 

45 

4,81 

4,56 

4,41 

4,81 

4,10 

11 

0,50 

0,48 

0,47 

0,46 

0,44 

46 

4,98 

4,70 

4,54 

4,45 

4,22 

12 

0,58 

0,56 

0,54 

0,53 

0,50 

47 

5,15 

4,85 

4,68 

4,58 

4,33 

13 

0,67 

0,64 

0,62 

0,61 

0,58 

48 

5,31 

5,00 

4,83 

4,71 

4,45 

14 

0,76 

0,73 

0,71 

0,69 

0,66 

49 

5,46 

5,14 

4,97 

4,85 

4,58 

15 

0,85 

0,81 

0,79 

0,77 

0,74 

50 

5,61 

5,29 

5,10 

4,98 

4,70 

16 

0,94 

0,90 

0,88 

0,86 

0,82 

51 

5,75 

5,42 

5,22 

5,10 

4,81 

17 

1,03 

0,99 

0,97 

0,95 

0,91 

52 

5,90 

5,55 

5,35 

5,21 

4,93 

18 

1,12 

1,08 

1,06 

1,04 

1,00 

53 

6,04 

5,69 

5,47 

5,33 

5,05 

19      , 

1,22 

1,18 

1,16 

1,14 

1,09 

54 

6,19 

6,81 

5,60 

5,42 

5,18 

20 

1,32 

1,28 

1,25 

1,23 

1,18 

55 

6,33 

5,98 

6,75 

5,61 

6,31 

21 

1,43 

1,38 

1,34 

1,32 

1,27 

56 

6,47 

6,09 

5,87 

5,72 

5,42 

22* 

1,54 

1,48 

1,45 

1,42 

1,37 

57 

6,61 

6,22 

5,99 

6,83 

5,58 

23 

1,66 

1,59 

1,55 

1,52 

1,46 

58 

6,75 

6,36 

6,12 

6,96 

5,64 

24 

1,78 

1,71 

1,67 

1,63 

1,56 

59 

6,88 

6,49 

6,25 

6,09 

5,74 

25 

1,91 

1,82 

1,78 

1,74 

1,66 

60 

7,00 

6,60 

6,38 

6,20 

5,85 

26 

2,04 

1,94 

1,90 

1,86 

1,78 

27 

2,18 

2,06 

2,02 

1,98 

1,88 

65 

7,61 

7,20 

6,97 

6,80 

6,40 

28 

2,30 

2,19 

2,14 

2,10 

1,98 

70 

8,15 

7,75 

7,50 

7,33 

6,95 

29 

2,43 

2,32 

2,26 

2,22 

2,10 

76 

8,55 

8,17 

7,92 

7,77 

7,37 

30 
31 
32 

i  2,58 
2,74 
2,89 

2,46 
2,60 
2,74 

2,39 
2,52 
2,65 

2,34 
2,47 
2,59 

2,22 
2,34 
2,45 

80 
85 
90 

8,84 
8,97 
9,00 

8,46 
8,65 
8,70 

8,23 
8,42 

8,48 

8,07 
8,27 
8,32 

7,69 
7,90 
8,00 

33      ' 

3,04 

2,88 

2,79 

2,72 

2,58 

34 

1 

3,19 

3,01 

2,92 

2,85 

2,70 

1 

wenig  genau).   —   Steht  keine  empirische  Tabelle  zur  Verfügung,    so  nimmt  man 
(nach  Didion): 

ir,(inkgr)  =  0,027.-*^.iJ.«.(o,74  +  -J'«_J-;^).r. 

^  +  ^oVO+w)]' 

v»;  d  =*  Gewicht  von  1  Kubikmeter  Luft  am  Versuchstag  in  Kilogramm  ist,  oder 
genauer  (nach  Siacci): 


190  Theoret.  n.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc 


Tabelle  II 

far  die  Komponente  Wp  parallel  der  Geschossaxe  {S  beliebig). 

Wp=-W^  mal  Faktor  der  Tabelle. 


Winkria 

1 

WInkAl  a 

1 

zwischen 

zwischen 

^    In. 

Gcccbott- 

h 

1 

1,8 

1,5 

2 

2,5 

Oeiohoas- 

h 

1 

1,3 

1,6 

2    '  2,5 

aze  und 

=0,5 

Ka- 

Ka- 

Ka- 

Ka- 

Ka- 

axe nnd 

=0,5 

Ka- 

Ka- 

Ka- 

Ka-  Ka- 

Flug- 

7 

nug- 

7 

Kai. 

liber 

liber 

liber 

liber 

liber 

bahn- 

Kai. 

liber 

liber 

liber 

liber  liber 

tangente 

ff     ! 

tangenie 
a 

. 

0 

1,00 

0,79 

o,e9 

0,66 

0,58 

0,89 

86 

0,83 

0,64 

0,58 

0,67 

0,60 

0.41 

1 

1,00 

0,79 

0,69 

0,66 

0,53 

0,39 

86 

0,82 

0,63 

0,68 

0,57 

0,50 

0,42 

2 

1,00 

0,79 

0,69 

0,66 

0,53 

0,89 

87 

0,81 

0,62 

0,67 

0,56 

0,49 

0,42 

3 

1,00 

0,78 

0,69 

0,66 

0,53 

0,39 

88 

0,80 

0,62 

0,67 

0,56 

0,49    0,42 

4 

1,00 

0,78 

0,69 

0,66 

0,53 

0,39 

39 

0,79 

0,61 

0,57 

0,66 

0,49    Ö.42 

6 

1,00 

0,78 

0,68 

0,66 

0,53 

0,89 

40 

0,77 

0,60 

0,66 

0,55 

0,49    0,42 

6 

1,00 

0,78 

0,68 

0,65 

0,53 

0,39 

41 

0,76 

0,69 

0,66 

0,56 

0,49   0.42 

7 

0,99 

0,77 

0,68 

0,66 

0,53 

0,39 

42 

0,75 

0,69 

0,56 

0,66 

0,49    0,42 

8 

0,99 

0,77 

0,68 

0,66 

0,53 

0,89 

43 

0,74 

0,68 

0,66 

0,64 

0,49    0.42 

9      . 

0,99 

0,77 

0,67 

0,66 

0,52 

0,39 

44 

0,72 

0,67 

0,64 

0,64 

0,48  , 0.42 

10     ' 

0,99 

0,76 

0,67 

0,65 

0,62 

0,39 

45 

0,71 

0,67 

0,64 

0,63 

0,48  . 0,42 

11 

0,99 

0,76 

0,67 

0,66 

0,52 

0,39 

46 

0,70 

0,66 

0,64 

0,53 

0,48   0,43 

12 

0,98 

0,76 

0,67 

0,64 

0,52 

0,40 

47 

0,69 

0,65 

0,53 

0,52 

0,48    0,43 

13 

0,98 

0,75 

0,66 

0,64 

0,52 

0,40 

48 

0,68 

0,66 

0,53 

0,62 

0,48  i  0.43 

14 

0,97 

0,76 

0,66 

0,64 

0,52 

0,40 

49 

0,66 

0,64 

0,52 

0,52 

0,48    0.43 

16 

0,97 

0,76 

0,66 

0,63 

0,52 

0,40 

60 

0,66 

0,63 

0,62 

0,51 

0,48  o.4;i 

16     ; 

0,96 

0,74 

0,66 

0,63 

0,52 

0,40 

61 

0,64 

0,53 

0,61 

0,61 

0,48  '  0.43 

17 

0,96 

0,74 

0,66 

0,63 

0,52 

0,40 

52 

0,63 

0,62 

0,61 

0,60 

0,48    <»,43 

18 

0,96 

0,74 

0,65 

0,63 

0,52 

0,40 

58 

0,62 

0,61 

0,50 

0,50 

0,47    0.43 

19 

0,95 

0,73 

0,64 

0,62 

0,61 

0,40 

64 

0,61 

0,61 

0,50 

0,60 

0,47    0.43 

20      ] 

0,94 

0,73 

0,64 

0,62 

0,61 

0,40 

65 

0,60 

0,60 

0,49 

0,49 

0,47    O.U 

21      1 

0,93 

0,72 

0,64 

0,62 

0,51 

0,40 

66 

0,59 

0,49 

0,49 

0,49 

0,47   0.44 

22      i 

i 

0,93 

0,72 

0,63 

0,61 

0,51 

0,40 

67 

0,67 

0,49 

0,49 

0,49 

0,47   0,44 

23      • 

1 

0,92 

0,71 

0,63 

0,61 

0,51 

0,40 

58 

0,56 

0,48 

0,49 

0,48 

0,47  1  0.44 

24      ! 

0,91 

0,71 

0,63 

0,61 

0,51 

0,40 

69 

0,66 

0,47 

0,48 

0,48 

0,47    0.44 

25 

0,91 

0,70 

0,62 

0,60 

0,51 

0,41 

60 

0,54 

0,46 

0,47 

0,48 

0,47   0,44 

26 

0,90 

0,70 

0,62 

0,60 

0,51 

0,41 

( 

27 

0,89 

0,69 

0,62 

0,60 

0,51 

0,41 

65 

0,49 

0,44 

0,46 

0,46 

0,46  '  0,45 

28      ' 

0,89 

0,68 

0,61 

0,59 

0,51 

0,41 

70 

0,43 

0,41 

0,43 

0,46 

0,46  '  0.45 

29 

0,88 

0,68 

0,61 

0,59 

0,50 

0,41 

75 

0,38 

0,38 

0,41 

0,43 

0,45   0.46 

30 
31 
32 

0,87 
0,86 
0,86 

0,67 
0,66 
0,66 

0,60 
0,60 
0,60 

0,59 
0,58 
0,58 

0,50 
0,60 
0,50 

0,41 
0,41 
0,41 

80 
86 
90 

0,33 
0,29 
0,26 

0,36 
0,34 
0,33 

0,40 
0,39 
0,38 

0,42 
0,41 
0,40 

0,45  1  0.46 
0,44   0,46 
0,44   0.46 

33 

0,85 

0,65 

0,69 

0,58 

0,50 

0,41 

34 

0,84 

0,64 

0,69 

0,57 

0,50 

0,41 

1F=— *-- 
^      1,206.  C 


wobei 


0,2002 .  e?  -  48,05  +  ^(0,1648  •  ü- 47,95)"  +  9,6  +  .?i?l^il(^__300) 


371 +  f 


vV 


c= 


9,81_1 
1000  (2'.HJ 


V200/    J 


11 


JB  Kaliber  in  Metern,    Z  = 


0,66 
0,924 


=  0,71. 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Cbanz. 


191 


Tabelle  III 


Ws 


für  -~^:  speziell  für  Ä  -=  1,3  Kaliber. 

Bin«  '     ^  ' 

Man  multipliziert  W^  mit  dem  betreffenden  Faktor  der  Tabelle. 


Winkel  a 

■ 

Winkel  a 

zvisehen 

xwlBchen 

Getehosa- 

H 

3,6 

4,5 

5,5 

GeacbosB- 

H 

3,5 

4,5 

5,5 

axe  und 

=  2,5 

Ka- 

Ka- 

Ka- 

Axe  nnd 
Flng- 

=  2,5 

Ka- 

Ka- 

Ka- 

balui- 

Kai. 

liber 

liber 

liber 

bahxL- 

Kai. 

liber 

liber 

liber 

un««ixte 

tangente 

a 

a 

0 

0,69 

0,69 

0,69 

0,69 

35 

2,52 

3,47 

4,84 

5,32 

1 

0,73 

0,77 

0,79 

0,86 

36 

2,56 

3,58 

4,42 

5,42 

2 

0,79 

0,87 

0,91 

1,00 

87 

2,69 

8,59 

4,60 

6,62 

3 

0,86 

0,97 

1,08 

1,16 

38 

2,62 

3,64 

4,67 

6,62 

4 

0,92 

1,07 

1,17 

1,81 

39 

2,65 

3,70 

4,64 

6,72 

5 

0,99 

1,16 

1,31 

1,48 

40 

2,69 

3,75 

4,71 

5,81 

6 

1,06 

1,25 

1,48 

1,63 

41 

2,72 

3,80 

4,77 

5,90 

7 

1,12 

1,34 

1,55 

1,78 

42 

2,75 

3,85 

4,84 

5,98 

8 

1,18 

1,42 

1,67 

1,94 

43 

2,78 

3,89 

4,92 

6,07 

9 

1,23 

1,61 

1,80 

2,10 

44 

2,81 

3,95 

4,98 

6,15 

10 

1,28 

1,69 

1,92 

2,26 

46 

2,84 

8,99 

6,05 

6,24 

"    ; 

1,34 

1,68 

2,04 

2,41 

46 

2,87 

4,05 

5,13 

6,32 

12      , 

1,40 

1,78 

2,16 

2,65 

47 

2,89 

4,10 

5,20 

6,41 

13 

1,46 

1,87 

2,28 

2,70 

48 

2,92 

4,16 

5,27 

6,60 

14 

1,62 

1,96 

2,39 

2,84 

49 

2,96 

4,20 

6,83 

6,58 

15 

1,58 

2,05 

2,50 

2,99 

60 

2,97 

4,25 

5,89 

6,66 

16 

1,63 

2,18 

2,60 

8,13 

51 

3,00 

4,29 

5,45 

6,74 

17 

1,69 

2,22 

2,70 

3,26 

62 

8,02 

4,34 

5,51 

6,82 

18      ! 

j 

1,75 

2,31 

2,81 

3,40 

63 

3,04 

4,38 

5,67 

6,89 

19 

1,81 

2,40 

2,92 

3,63 

64 

3,06 

4,42 

5,64 

6,96 

20      i 

1,87 

2,48 

3,02 

3,66 

55 

3,08 

4,46 

6,70 

7,03 

21 

1,91 

2,65 

3,12 

3,80 

56 

8,10 

4,50 

6,75 

7,10 

22 

1,96 

2,62 

8,21 

3,92 

67 

3,12 

4,54 

5,80 

7,16 

23 

2,01 

2,69 

8,81 

4,02 

68 

8,15 

4,58 

5,86 

7,22 

24      , 

2,06 

2,76 

3,40 

4,14 

69 

3,16 

4,62 

6,90 

7,28 

25      j 

2,12 

2,84 

3,50 

4,26 

60 

3,18 

4,66 

5,96 

7,36 

26 

2,16 

2,91 

3,59 

4,36 

27      ' 

2,20 

2,98 

3,68 

4,48 

65 

3,23 

4,79 

6,14 

7,64 

28     t 

2,24 

8,05 

8,76 

4,60 

70 

3,28 

4,89 

6,29 

7,76 

29 

2,28 

3,12 

3,85 

4,70 

75 

3,32 

4,98 

6,44 

8,05 

30  1 

31  ' 

32  1 

9^ 
2,36 
2,41 

3,18 
8,23 
3,29 

3,93 
4,01 
4,09 

4,80 
4,90 
5,01 

80 
86 
90 

3,35 
3,36 
3,38 

5,02 
5,03 
6,04 

6,54 
6,64 
6,72 

8,22 
8,36 
8,47 

33 

2,45 

8,36 

4,17 

5,11 

34 

1 

2,49 

3,41 

4,25 

5,21 

1 
1 

190  Theoret.  u. 


für  die  K< 

Winkel  a 

Ewisohen 

h 

GeschoBi- 

axe  und 
Flug- 

-0,:. 

bahn- 

Kai 

tangente 

a 

1 
0 

1 

1,«' 

1  « 

2 
3 

4 

6 
6 

7 
B 
9 

10 
11 
12 
13 
14 

15 
16 
17 
IS 

Ol 


'!l.« 
1. 
1 


1 


_  j. 


>aa 


.  '^   L  rotier.  Langgeschosse  etc. 

riiä  der  Luftwiderstands- 

>  ^'»^saxe. 
ÄjI  od.  in  Metern) =Höhe  des  ct- 
Ti  mal  dem  Faktor  der  Tabell«-. 
^  stanze  Geschosshöhe;  ^=Höbe 
trm  gemessen. 

ir=3,5  Kaliber 


---  ;=-o,5 


h 

:0. 

Kai. 


1 
Kai. 


1,3 

Kai. 


1,5 
Kai. 


Kai. 


I 


O 

10 
15 

25 
30 
35 

40 
45 
50 
55 
60 
65 
70 
76 
80 
85 
90 


1,00 
0,98 
0,95 
0,92 
0,90 
0,87 
0,84 
0,82 
0,79 
0,76 
0,74 
0,71 
0,69 
0,66 
0,68 
0,61 
0,58 
0,56 
0,53 


1,13 
1,10 
1,07 
1,05 
1,02 
0,99 
0,96 
0,94 
0,91 
0,88 
0,85 
0,82 
0,80 
0,77 
0,74 
0,71 
0,68 
0,66 
0,63 


1,22 
1,19 
1,16 
1,13 
1,11 
1,08 
1,05 
1,02 
0,99 
0,96 
0,93 
0,90 
0,87 
0,84 
0,82 
0,79 
0,76 
0,73 
0,70 


1,31 
1,28 
1,25 
1,22 
1,18 
1,15 
1,12 
1,09 
1,06 
1,03 
1,00 
0,97 
0,94 
0,91 
0,87 
0,84 
0,81 
0,78 
0,75 


1,00 

l,5i 

1,49 
1,45 

1.4-2 

1,38 

i.s:» 

1,31 

1,5- 
1,23 

1,2U 

1.1»; 

1,13 

i,oy 

1,06 
1.0-i 
0,119 
{),% 
0.i*i 


Winkel  a 
zwischen 

OOBChOBS- 

axe  und 

riug- 

bahn- 

tangente 

a 


H^b.h  Kaliber 


l.»>0 

0 

, 

U.N6 

5 

^ 

Us^:^ 

10 

« 

l.Ai* 

15 

Uli 

20 

.» 

Ml 

25 

»» 

U»7 

30 

\» 

1.33 

35 

•%^ 

X.^9 

40 

'^« 

l»äö 

45 

*^ 

i,aa 

50 

I.IH 

55 

,n* 

\M 

60 

,  »»> 

l>10 

65 

.*' 

1.06 

70 

.vi 

l.O« 

75 

.vx 

^^y9 

80 

.^l 

0»l»ß 

85 

.'5i 

0.91 

90 

1,00 

10,97 
.0,95 
0,92 
,0,89 
10,87 
10,84 
'  0,81  i 
0,79  1 
0,76  i 
0,73  1 
0,71  j 
:  0,68  . 
0,65  i 
0,63 
0,60 
.0,57 
!0,55 
.  0,52  , 


1,07 

1,05 

1,02 

0,99 

0,96 

0,93 

0,91 

0,88: 

0,85  1 

0,82! 

0,79' 

0,77  1 

0,74' 

0,71 

0,68 

0,65  I 

0,63 

0,60. 

0,57. 


1,13 
1,10 
1,07 
1,04 
1,01 
0,98 
0,95 
0,92 
0,89 
0,86 
0,84 
0,81 
0,78 
0,75 
0,72 
0,69 
0,66 
0,63 
0,60 


1,17 
1,14 
1,11 
1,08 
1,05 
1,02 
0,99 
0,96 
0,93 
0,90 
0,87 
0,84 
0,81 
0,78 
0,75 
0,72 
0,69 
0,66 
0,63  i 


1,26  1 

1,23 

1,20 

1,16. 

1,13  ! 

1,10  ' 

1,07 

1,04; 

1,01' 

0,97 

0,94 

0,91 

0,88 

0,8ö 

0,82 

0,78 

0,75 

0,72 : 

0,69 


1,40 
1,30 
1.3;{ 

1,-iy 

l,i6 
1,2-2 

1,1? 
1,15 

1.1*2 

1.0.S 
l.d.'i 
1,01 
0,9? 

o,iH 

0,91 
0.87 
0,84 
0,80 
0,77 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Cbakz. 


193 


P.  Zusammenstellang  der  Besultate. 

1.  In  Beziehung  auf  den  Schwerpunkt  beschreibt  die  Ge- 
schossspitze  im  Verlauf  der  Flugbahn  eine  doppelte  Bewegung; 
erstens  eine  langsame  Präzessionsbewegung  und  zweitens 
eine  schnellere  Nutationsbewegung,  welche  ihren  Ursprung 
meistens  in  einem  kleineren  oder  grösseren  seitlichen  Anfangs- 
stoss  auf  das  Oeschoss  hat.  Die  thatsächliche  Bahn,  welche  die 
Geschossspitze  für  einen  Beobachter  beschreibt  ^  welcher  dem  Ge- 
schoss  folgen  und  allein  auf  die  Bewegung  der  Spitze  bezüglich 
des  Schwerpunkts  S  achten  würde  ^  ist  danach  die  (gestrichelt 
gezeichnete)  Kurve  in  den  Figuren  40  und  41.  (Diese  Figuren 
sind  sämtlich  für  den  Fall  konstruiert^  dass  die  Züge  rechts 
gewunden  sind  und  der  Angriffspunkt  L  der  Luftwiderstands- 


Fig.  40. 


+  ^ 


Fig.  41. 


V.»   V     .  «  *  *' 


0 


-ft. 


s. 


+^ 


M 


-+V' 


resultanten  vor  dem  Schwerpunkt  S  angreift.)  Die  Bahn  kann 
angesehen  werden  als  bestehend  aus  einem  beweglichen  Kreis^ 
dessen  Radius  sich  vergrössert  und  dessen  Nutationswindungen 
(gestrichelt)  sich  bei  dem  Fortschreiten  des  Mittelpunkts  an 
die  Präzessionsspirale  (ausgezogen)  anlehnen.  Diese  Präzessions- 
kurve ^  als  Leitkurve  der  Nutationsbögen,  kann  ihrerseits  eben- 
falls als  ein  beweglicher  veränderlicher  Kreis  angesehen  werden, 
dessen  Radius  OM  sich  gesetzmässig  vergrössert  und  dessen 
Mittelpunkt  abwärts  und  mehr  oder  weniger  nach  rechts 
(bezw.  links)  rückt. 

Je  mehr  die  Flugbahn  der  geraden  Linie  sich  nähert, 
umsomehr  reduziert  sich  die  Präzessionskurve  auf  einen  kon- 
stanten Kreis  oder,  falls  die  Geschossaxe  anfangs  in  der  Be- 
wegungsrichtung des  Schwerpunkts  lag,  auf  einen  Punkt;  die 
Bahn  der  Spitze  ist  in  diesem  Fall  die  Hjpocykloide  (Fig.  42), 
deren  Bögen  von  Kreisbögen  im  allgemeinen  wenig  abweichen 
und  im  Verlauf  der  Flugbahn  sich  erweitern. 


194   Tbeoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Ereiselbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 

Durch  die  Präzessionsbewegung  wird  vor  allem  die 
Rechts-(Links-)Abweicliung  des  Geschosses  aus  der  anfäng- 
lichen Schussebene  bedingt:  Es  ist  nämlich  die  Präzessionskurre 
unsymmetrisch  bezüglich  der  Vertikalebene  durch  die  Flugbahn- 
tangente; beginnt  vom  Anfangspunkt  0  aus  die  Präzessions- 
kurve nach  rechts  (links),  so  verweilt  während  jedes  Umlaufs 
die  Geschossspitze  längere  Zeit  auf  der  rechten  (linken)  Seit^ 
jener  Ebene  als  auf  der  entgegengesetzten;  die  Folge  ist  die 
Seitenabweichung  des  Geschosses  nach  rechts  (links).  Erstereg, 
nämlich  Rechtsabweichung,  tritt  ein,  wenn  die  Züge  rechts- 
•  gewunden  sind  und  wenn  der  Angriffspunkt  L  der  Luft- 
widerstandsresultanten vor  dem  Schwerpunkt  8  liegt  (und 
wenn  zugleich  anderweitige  Einflüsse,  siehe  weiter  unten,  von 
geringerem  Betrag  sind  als  der  der  Geschosspendelung),  oder 
aber  bei  Linksdrall  und  Lage  von  L  hinter  S,  Letzteres^ 
Linksabweichung,  erfolgt  bei  Linksdrall  und  L  vor  S  oder 
bei  Rechtsdrall  und  L  hinter  S. 

Die  Nutationsbewegung,  welche  ihre  Entstehung  meist 

einem   wenn  auch  kleinen   seitlichen   Stoss   auf  das   Geschoss 

Fia  48.  *^   ^^^  Mündung  verdankt,   beginnt   stets  in 

i,'"'-,^  der  Richtung   des   Stosses  imd   erfolgt  st*its 

I      ''^  "^r^'^us    in  demselben  Sinn,  wie  die  Drehung  des  Ge- 

\  Z,'^;^     ^?"'^N^\     Schosses  um  seine  Längsaxe,  also  bei  Rechts- 

yi  ^2^^\    }\   drall   rechtsläufig,  bei  Linksdrall  linksläufig, 

/   \  y'  j   mag  hierbei  die  Präzessionsbewegung  rechts- 

\   ^^^^ — '  /    )Jjj  oder    linksläufig    vor    sich  gehen,   m^  also 

\  /  /     Rechts-    oder   Linksabweichung   des   Schwer- 

^* — '//  punkts  eintreten.     Sie  bleibt  bestehen,  wenn 

— -'7  die  Bewegung  des  Geschossschwerpunkts  als 

geradlinig  betrachtet  werden  kann  oder  muss,  und  folgt  auch 
sonst  wesentlich  anderen  Gesetzen,  als  die  Präzessionsbewegung. 
Diese  Nutationsbögen  (gestrichelt)  sind  es  meistens,  nicht  die 
Windungen  der  Präzessionsspiralen  (ausgezogen),  welche  mit- 
unter bei  Geschossen  mit  dem  blossen  Auge  beobachtet  werden 
und  welche  bei  den  Neesen sehen  photographischen  Aufnahmen 
sich  zeigten.  Mit  der  Amplitude  dieser  Nutationswindungen 
und  deren  sekundlicher  Zahl  ändert  sich  insbesondere  die 
Schussweite  und  die  Trefffähigkeit. 

2.  Die  mathematischen  Ausdrücke  der  Gesetze,  welchen 
die  beiden  Arten  von  Geschosspendelungen  unterliegen,  sind 
die  folgenden: 

Man  denke  sich  um  den  Schwerpunkt  S  des  Geschosses 
eine  Eugelfläche  mit  dem  Radius  1  m  beschrieben,  welche  die 
Flugbahntangente  ST  in  T  und  die  Geschossaxe  in  P  schneide; 
T  möge   kurz   das   Ende   der  Flugbahntangente,   P  das  Ge- 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Crahz. 


195 


schossende  heissen;  durch  S  sei  eine  horizontale  Äquatorebene 
und  durch  ST  eine  vertikale  Anfangsmeridianebene  gelegt. 
Letztere  beiden  Ebenen  schneiden  sich  nach  SS^]  S^  ist  der 
Anfangspunkt  eiiies  sphärischen  Koordinatensystems  ^  dessen 
horizontale  ^-Axe  nach  rechts  und  dessen  vertikale  'O-^Axe 
nach  oben  positiv  gerechnet  sind.  Der  Beobachter  ist  vor  der 
Zeichnungsfläche  in  8,  also  in  einer  solchen  Stellung  zu  denken, 
dass  er  die  Bewegung  des  Geschossendes  P  von  der  hinteren 
Seite  des  Geschosses  her  betrachtet  und  nach  der  konkaven  Seite 
der  Eugelfiäche  sieht.  Die  Koordinaten  von  P  zur  Zeit  t, 
t  Sekunden,  nachdem  das  Geschoss  die  Mündung  passiert  hat, 
seien  ^  und  d-,   gemessen 


^^^W-rfxX-^ 


Fig.  43. 

im  Bogenmass.  Die  An- 
fangslage von  P  sei  zu- 
nächst 0,  OSi  =  Abgangs- 
winkel d-Qy  zugleich  an- 
fangliche Neigung  der 
Flugbahntangente  gegen 
die  Horizontale  SS^.  Zur 
Zeit  t  sei  diese  Neigung 
©-=<):  TSS^  -=  TS^. 

Aus  der  vorange- 
gangenen Lösung  des  bal- 
listischen Problems  ohne 
Rücksicht  auf  Rotation, 
etwa  auf  graphischem  Weg 
(vergl.  Zeitschrift  f  Mathe- 
matik und  Physik,  1897, 
S.  197,  Zusammenfassung 
des  Ver£ahrens)  sei  fCLr 
jeden  Augenblick  die  Neig- 
ung a  der  Flugbahntan- 
gente bekannt,  ebenso  die  Bahngeschwindigkeit  v  des  Schwer- 
punkts in  met/sec  und  folglich  deren  horizontale  Projektion 
<7,  «  t?  •  cos  o.  Weiter  möge  r  die  Winkelgeschwindigkeit  des 
Geschosses  um  seine  Längsaxe  bedeuten,  r  positiv  bei  Rechts- 
drall, der  Anfangs  wert  r  berechnet  aus 


sW- 


l^\///l/vN^ 


t 


Vr 


tg  A  :  P  =  2«  •  r^ :  D, 


v^  die  Mündungsgeschwindigkeit  des  Schwerpunkts,  D  Drall- 
länge, 2P  der  Durchmesser  oder  das  Kaliber  des  Geschosses, 
beide  in  Metern,  A  Drallwinkel,  d.h.  Winkel  zwischen  Lauf- 
axe und  ebener  Abwickelung  der  Züge;  da  über  die  eventuelle 
Abnahme  von  r  mit  der  Zeit  keine  Beobachtungen  vorliegen, 
so  bleibt  nichts  übrig,  als  r  konstant  anzunehmen,  wie  es  bis- 
her bei    den    Berechnungen    stets    geschehen    ist.  —  Weiter 


196   Theoret.  u.  ezperim.  Untersuch,  üb.  d.  Ereiselbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  etc . 

seien  A  und  C  die  beiden  Hauptträgheitsmomente  des  Ge- 
schosses,  C  um  die  Längsaxe^  A  um  eine  Senkrechte  dazu 
durch  den  Schwerpunkt,  —  [am  besten  beide  Werte  durch 
Schwingungsversuche  ermittelt;  Näherungswerte  nachv.  Wuich* 
berechnet  mittelst 

^        9,81*  2  '      C  2  V    "^       3      y' 

WO  \)x  die  sogenannte  reduzierte  Geschosshöhe ,  in  Kalibern 
gemessen,  d.h.  die  Höhe  eines  mit  dem  Geschoss  gleich  schweren 
Cylinders  von  gleichem  Kaliber  und  Stoff;  t|t  erhält  man, 
wenn   man  von   der  in  Kalibern  gemessenen  Gesamthöhe  des 

Geschosses  —  Kaliber  abzieht;  P  das  Geschossgewicht  in  Kilo- 
gramm], —  Der  variable  Winkel  zwischen  Geschossaxe  und 
Flugbahntangente,  also  Winkel  TSP  sei  a,  Anfangswert  vonc 
zunächst  =  0;  der  variable  Abstand  zwischen  Schwerpunkt  S 
und  Angriffspunkt  der  Luftwiderstandsresultanten  sei  Äj  (hier- 
für vergl.  Tabelle  IV,  deren  Gebrauch  durch  den  beigefügten 
Text  erläutert  ist);  die  Luftwiderstandskomponente  senkrecht 
zur  Geschossaxe  Wg,  parallel  dazu  Wp  (hierfür  vergl.  Tabelle  1 
und  n,  ferner  für  TF, :  sin  a  Tabelle  HI,  Anfangswert  von 
TF,:  sin«  für  a  =  0  ist  gleich  dem  von  TF"p); 

IF*  •  Ä,  •  COB  CO 

sina 

sei  als  Luftwiderstandsmoment  M  bezeichnet. 

Endlich  sollen  p^  und  q^  die  Komponenten  einer  Winkel- 
geschwindigkeit bedeuten,  welche  im  Anfang  der  Flugbahn, 
also  an  der  Mündung,  ein  seitlicher  Stoss  auf  die  Axe  erzeugte, 
und  zwar  bezieht  sich  p^  auf  eine  Drehung  um  eine  zur  Aze 
Senkrechte  durch  Sy  welche  horizontal  und  senkrecht  zur 
Schussebene  verläuft,  dabei  p^  positiv  gerechnet,  wenn  der 
Stoss  die.  Axe  in  ihrer  Anfangslage  fi^O  so  zu  drehen  suchte 
dass  das  vordere  Ende  0  sich  senkt;  g^  bezieht  sich  auf  eine 
Drehung  um  eine  zur  Geschossaxe  Senkrechte,  welche  in  der 
Schussebene  liegt,  und  wird  positiv  gerechnet,  wenn  der  Stoss 
das  Geschossende  P,  das  anfangs  in  0  liegt,  horizontal  nach 
links  zu  führen  bestrebt  ist.  (Da  keine  Beobachtungen  über 
diesen  Anfangsstoss  vorliegen,  so  können  vorläufig  nur  An- 
nahmen über  Grösse  und  Richtung  des  Stosses  gemacht  werden: 
siehe  darüber  weiter  unten.) 

Die  Bahn  des  Geschossendes  P  mit  den  Koordinaten  t^ 
und  ^  (Breite  und  Länge)  ist  dann  durch  die  Gleichungen 
gegeben: 


•  Ritter  N.  v.  Wuich,  1.  c,  Heft  UI,    S.  376  und  120. 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Crahz. 


197 


I) 


^=^r  +  ^Hf  wobei 

^n=  (i^oLsin/Sg-  sm{rt-ßi)]+qQ[cosß^-cos(rt-ß^)]  ] 

(Cr      M\. 

tr^f—  f'  COS  /S^  +  sin  /Sj  (-ö-  —  o)  «. 

/Cr  _  ilf  \ 
•'  V  Ä        Cr) 

mit  den  Abkürzungen: 

^         M  ,       ^       Cr      g 

Wenn  d^egen  die  Geschossaxe  SP  mit  der  Tangente  SO 
einen  kleinen  Winkel  a^  bildet^  der  von  Null  verschieden  ist^ 
wenn  nämlich  der  anfangliche  Neigungswinkel  der  Tangente  d'^^ 
derjenige    der   Geschossaxe    %>  -{-  s    gegen   den   Horizont   und 

^  =  ^^j  für  ^  =  0  ist,  also  «o^^V^^^+^o^  ^^  ^^^  ^^^  Zeit  h 

^  l  *  =  ^r  +  ^«  +  T*''«, 

wo  -^r,  -Ö-,,,  tffr,  tj/n  dasselbe  wie  vorhin  bedeuten  und  wobei 


f^n  =  + 


(*'n« 


+ 


Cr 

M 

Ä 

Cr 

^0 

Cr 

M 

A 

Cr 

^0 

Cr 

M 

A 

Cr 

f 

Cr 
A 


M 
Cr 


(-^cosft-  ^  COS  {rt  -  ßSj 
(-^sin/J,-  ^  sin  (rt  -  ßS) 
(-^•cos^j-^cos  (rt  -  /3,)j 

("X  s^^  /'s "  -CT  ®^°  (^^  ~  ^i)) 


Wenn  im  folgenden  nichts  besonderes  bemerkt  ist,  ist 
vorauszusetzen,  dass  a^^^O  sein  soll. 

Man  berechnet  die  Bahn  in  mehreren  kleinen  Zeitinter- 
vallen 0  bis  ^1,  ti  bis  t^  etc.;  in  jedem  einzelnen  Intervall  wird 
je  ein  zugehöriger  Mittelwert  von  M  als  konstant  voraus- 
gesetzt. Die  Kurve  besteht  aus  zahlreichen,  von  Kreisen  im 
allgemeinen  wenig  verschiedenen  Hypocykloidenbögen  (ge- 
strichelt), welche  längs  der  Präzessionsspiralen  (ausgezogen)  als 
Leitkurve   sich   fortbewegen.    Diese   Spirale   beginnt   im   all- 


198  Theoret.  u.  ezperim.  Untersuch,  üb.  d.  Ereiselbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 

gemeinen  Fall  in  0  berührend  zur  Si^-Axe  und  verlauft 
in  Windungen,  welche  unsymmetrisch  zur  SO'-Axe  liegen, 
stets  aber  wieder  durch  0  gehen;  die  Spirale  wird  rechts- 
laufig  beschrieben,  falls  M  und  r  beide  positiv  oder  beide 
negativ  sind,  dagegen  linksläufig,  wenn  eine  dieser  Grössen 
negativ  ist.  Diese  Prazessionsspirale  d-  ^  ^r,  i)  ^^ifr  ^aoii  be- 
trachtet werden  als  entstanden  durch  die  Veränderung  eines 
KiCises,  der  stets  durch  0  geht,  dessen  Radius  zur  Zeit  i  die 
Grösse  hat: 

und  dessen  Mittelpunkt  M  die  Koordinaten  tu^^ff  ^if^^ 
besitzt.     Die  Anfangsl^e  des  Ereismittelpunkts  ist: 

0  Cr 

wobei  für  Ä^  hier  der  Wert  aus  Tabelle  IV  für  a  =  0  zu 
nehmen  ist. 

Die  Hypocykloiden-  oder  Nutationsbögen  d'^d'n,  ^  =  t« 
werden  stets  im  Sinn  von  r  beschrieben;  sie  beginnen  in  0 
in  der  Richtung  des  Anfangsstosses  p^q^. 

Die  variable  Zeit,  in  welcher  eine  Windung  der  Pra- 
zessionsspiralen  vollendet  wird,  oder  die  Prazessionsperiode,  ist 

IV)  2'=-^. 

So  oft  t  um  T  gewachsen  ist,  wird  ^^  wieder « 0,  ^r 
wieder  =  d-Q.     Femer  je  nach  Verfluss  der  halben  Periode,  so 

oft  also  t  um  —  T  gewachsen  ist,  wird  ^^  *=  2/*, 

in  der  Mitte  des  Umlaufs  befindet  sich  somit  das  Geschoss- 
ende noch  um  2/  rechts  von  der  Ebene  OSSj;  diese  Grosse 
2f  ist  folglich  für  die  Seitenabweichungeu  massgebend. 

Die  meistens  schnellere  Periode  fÖr  die  Nutationsbögen 
ist  (vom  Anfangsstoss  nahezu  unabhängig,  siehe  darüber 
Gleichung  46): 

V)  Ti=  ^'"^ 


yc*r*  -  ^AM 

Der  Bruch  T :  T^  giebt  an,  wie  viel  Nutationsumläufe 
auf  einen  Präzessionsumlauf  kommen. 

Die  Amplitude  der  Präzessionswindungen  ist  in  jedem 
Augenblick  angegeben  durch  den  Radius 


jenes  variablen  Kreises;  danach  nimmt  dieselbe  zu  mit  ^q-^* 
also  mit  der  Krümmung  der  Flugbahn,  femer  mit  C-fy  nimmt 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Cbahz.  199 

dagegen  ab  mit  zunehmendem  Luftwiderstandsmoment  M  und 
der  Geschwindigkeit  v,. 

Die  Amplitude  AB  eines  Nutationsbogens   (Fig.  43)   ist 
zur  Zeit  ii 

VI)  Amplitude  =  -^ ^-^7 

wobei  Sq  die  Winkelgeschwindigkeit  des  Anfangsstc^ses  ist^ 


die  Weiten  dieser  Bögen  werden  also  bei  derselben  Flug- 
bahn immer  grösser,  da  im  Verlauf  der  Flugbahn  M  grösser 
wird  (A^  kleiner,  aber  cos©  und  W,:sina  grösser);  bei  ver- 
schiedenen Flugbahnen  sind  diese  Bögen  um  so  grösser,  ins- 
besondere je  kleiner  Cr :  A  und  je  grösser  Sq  ist  (da  das  erste 
Glied  des  Nenners  überwiegt),  also  z.  B.  je  länger  das  Geschoss, 
je  kleiner  die  Rotationsgeschwindigkeit  und  je  grösser  der 
Anfangsstoss  ist. 

Falls  dagegen  der  anfängliche  Winkel  a^  zwischen  Ge- 
schossaxe  und  Flugbahntangente  nicht  Null  ist,  so  kommt 
ausserdem  die  Amplitude  stossfreier  Nutation  hinzu,  welche 
daron  herrührt,  nämlich: 

Via)         Amplitude  annähernd  =«  — ^j-^ «o? 

über  das  Vorzeichen  vergl.  D.  III,  IV,  V. 

Die  vorstehende  Lösung  ist  abgeleitet  und  daher  vor- 
laufig giltig  nur  für  solche  Fälle,  wo  der  Abgangs winkel  ^^ 
und  damit  die  Flugzeit  sehr  klein  sind  und  wo  die  Beobach- 
tung, z.B.  an  Durchschlägen,  gezeigt  hat,  dass  die  Winkel 
zwischen  Tangente  und  Geschossaxe  dauernd  ebenfalls  sehr 
klem  ausfallen. 

Für  grössere  Winkel  lässt  sich  das  folgende  graphische 
Verfahren  anwenden:  Es  stelle  (Fig.  38b)  05^  wieder  die 
zur  Zeichnungsfläche  senkrechte  Flugbahn-Vertikalebene  vor, 
in  welcher  sich  vorn  der  festgedachte  Schwerpunkt  S  befinde. 
Es  werden  für  aufeinanderfolgende  kleine,  etwa  gleiche  Zeit- 
intervalle A^  die  Lagen  der  Flugbahntangente  SO,  ST^,  SJg, 
STj . . .  wie  oben  angegeben  bestimmti  Man  berechne  nun  zu 
Winkel  OT^  als  a  den  Wert  M  und  suche  den  zu  a  zu- 
gehörigen Winkel  rj  zwischen  Geschossaxe  und  Luftwiderstands- 
resultante auf  (vergl.  S.  183  Anmerk.l),  diesen  Winkel  rj  trage 
man  als  OM^  auf  der  Verlängerung  von  OT,  auf,  beschreibe  um 
ifi  mit  dem  Radius  M^  0  einen  Kreisbogen  OAj^^  dessen  Centri- 

winkel  OMiA^  im  Bogenmaß  gemessen  gleich  ^ — At  ist.  Zu 


200  Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  e< 

Winkel  Ai  T^  als  neuem  Wert  von  a  berechne  man  neuerdings  di 
Moment  M  und  suche  den  zu  a  ^  A^  T^  gehörigen  Winkel 
auf;  das  neue  ri  wird  als  A^M^  auf  der  Verlängerung  tc 
Ay^T^  aufgetr^en   und   um   M^  mit  Radius  M^A^  ein  Ere^ 

bogen  A^A^   beschrieben,    dessen   Centriwinkel   gleich  ^t 

ist  und  so  fort.  Man  erhält  auf  solche  Weise,  aus  Erei 
bogenelementen  zusammengesetzt,  die  Präzessionskurve  in  de 
Fall,  dass  man  von  den  Nutationen  abstrahieren  kann.  Die 
selbst  folgen  der  Präzessionskurve  als  der  Leitkurve. 

Spezielle  FUle. 

1.  Wenn  die  Flugbahn  als  geradlinig  betracht« 
werden  kann,  etwa  horizontal  in  der  Richtung  SS^  und  wen 
anfangs  die  Geschossaxe  SO  gegen  diese  Richtun 
den  kleinen  Winkel  ^^  bildete  (Figuren  16  und  40, 41 
so  ist  durchweg  o  =  0,  /"=  0;  der  früher  variable  Mittelpunl 
des  Präzessionskreises  liegt  jetzt  konstant  in  8^^  die  Prozession 
Spirale  reduziert  sich  auf  den  zur  vertikalen  Schussebene  05 
symmetrischen,  konstanten  Kreis  um  S^  mit  Radius  SO  glei 
Winkel  ^^\  zu  konstanten  einseitigen  Seitenabweichungen  il 
also,  allein  durch  die  Präzessionsbewegung  wenigstens,  kd 
Anlass  gegeben. 

Die  Perioden  T  und  1^  sind  dieselben  IV)  und  V)  wie  obd 
ebenso  die  Amplituden  VI)  und  Via)  der  kleinen  Nutation« 

Die  Amplituden  grosser  Nutationen  lassen  sich  angenah« 
folgendermaßen  berechnen: 

a)  Falls  kein  Anfangsstoss  stattfand,  so  ist  die  Ampi 
tude,  im  Bogenmaß  gemessen,  gleich  ±  (a;  —  -O-q),  wobei  x  ai 

VII)  cosa:«  <y  W  }/(,«+ 1- 2acosdo 

zu  berechnen  ist  und  ö  den  ..Stabilitätsfaktor  ^  ,^  .    bedeute 

Es  ist  derjenige  Wurzelwert  in  VII)  zu  nehmen,  für  welchi 
cos  X  ein  echter  Bruch  ist;  die  Amplitude  ist  a?  —  ^p  od 
d-Q—  Xy  je  nachdem  die  Nutationsbögen  ausserhalb  oder  iniM 
halb  auf  dem  Präzessionskreis  aufliegen.  —  Je  grösser  6  ß 
um  so  kleiner  ist  der  absolute  Wert  der  Amplitude;  wenn 

ist,  kann  niemals  der  Winkel  PSS^^  zwischen  GeschossaieS 

7t 

2 


und  Bewegungsrichtung  SS^  die  Grösse  -^  erreichen;   ist 


1 


2  •  cos  -©•<, 


so  tritt  dieser  Fall  zeitweilig  ein,  dass  das  Geschoss  mit  sein 
Axe  senkrecht  zur  Flugrichtung  liegt  (cosa: «  0);  wird  6  no 


Von  Prof.  Dr.  Carl  Crahz.  201 

kleiner,  so  beginnt  das  Oeschoss  nach  hinten  sich  zu  über- 
schlagen, indem  der  Winkel  PSS^  zeitweilig  >  ^  wird. 

b)  Es  habe  ein  Anfangsstoss  s^  stattgefunden,  und 
zwar  sei  tOi  (yergl.  Fig.  27)  die  zum  Präzessionskreis  tan- 
gentielle  Komponente  des  Anfangsstosses  (d.h.  die  durch  den 
Stoss  erzeugte  anfängliche  Winkelgeschwindigkeit  der  Axe  in 
der  Berührungsebene  an  den  Präzessionskegel),  Wt  positiv,  wenn 
im  Sinn  der  Prazessionsbewegung  gerichtet;  Wg  (Fig.  36  u.  37) 
sei  die  zur  Ereistangente  senkrechte  Komponente,  positiv, 
wenn  vom  Kreismittelpunkt  in  der  Richtung  des  Radius  nach 

aussen  gehend  (sQ^ywt^+ w/)^  dann  löse  man  die  folgende 
Gleichung  dritten  Grades  mit  x  als  unbekannter 

^  j^-  x\uq+  hu^^+h+h)  +  :r(-  1  +  2 . $3.^0+  h'U^^) 
wobei  zur  Abkürzung 

Uq  «  cos  d'Qj      Wi  =  sin  0*0 

gesetzt  ist. 

Die  Gleichung  VIII)  besitzt  zwei  Wurzeln,  die  zwischen 
—  1  und  +  1  liegen;  die  eine  ist  der  Kosinus  des  (im  Bogenmaß 
gemessenen)  Radius  S^A  (vergl.  Fig.  36)  des  einen  Begrenzungs- 
kreises; die  andere  Wurzel  giebt  den  andern  Begrenzungskreis 
der  Nutationsbögen;  die  Differenz  AB  beider  Winkel  ist  deren 
Amplitude. 

Erfolgte  der  Anfangsstoss  nur  tangentiell  zum  Prazessions- 
kreis,  war  also  u?,  =  0,  so  ist  die  eine  der  beiden  Wurzeln  x 
Yon  Vlll)  gleich  Uq  oder  cos  «^^  selbst,  d.  h.  der  eine  Begrenzungs- 
kreis ist  der  Präzessionskreis;  die  Nutationsbögen  verlaufen 
in  diesem  Fall  nur  auf  der  äusseren  oder  nur  auf  der  inneren 
Seite  dieses  Kreises,  je  nach  dem  Vorzeichen  von  tOt  (also  wie 
in  den  Figuren  27—33,  34,  35,  bei  27  Wt+,  bei  34  w«-); 
die  andere  Wurzel  findet  sich  sodann  aus  der  Gleichung: 

K)    a^—  x(i^  +  iW)  —  1  —  *8- Wo  —  h'  V  +  *i-  «*o**i* 

ab  derjenige  der  beiden  Werte  rc,  der  zwischen  —  1  und  +  1 
liegt;  X  bedeutet  dann  den  Kosinus  des  Winkels  S^SB^  wobei 
S^B  der  Radius  des  die  Nutationen  begrenzenden  anderen 
Kreises  ist.    Mit  t^  «  i^  =«  0  ergiebt  sich  VII). 

Da  die  Grössen  i^,  i^  •  •  •  •  veränderlich  sind,  so  führt  man 
die  Beredmung  der  Nutationen  in  mehreren  Intervallen  durch; 

2*^bilft  1  Mftthemfttik  jl  Physik.  4».  Jahrg.  1898.  4.  u.  6.  Heft  14 


202   Theoret.  u.  experiin.  Untereuch.  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  LanggeschosBe  et 

innerhalb  jedes   einzelnen   Intervalls  werden   die  Gf^rossen  al 
konstant  angenommen. 

2.  Die  Bahn  SS^  des  Schwerpunkts  ist  geradlinig;  di 
Geschossaxe  fiel  anfangs  mit  der  Richtung  der  Schwerpunkt 
bewegung  zusammen  {d^^  ==  0). 

In  diesem  Falle  reduziert  sich  die  Prazessionskurve  auf  de 
festen  Punkt  S^  (Fig.  42).  Die  Bahn  der  Geschossspitze  h 
steht  ausschliesslich  aus  den  durch  S^  gehenden  Hypocykloidei 
bögen,  deren  Windungen  im  Verlauf  des  Flugs  grösser  un 
grösser  werden,  da  M  grösser,  und  wohl  auch  r  Ideua 
wird.  Die  Amplituten  berechnen  sich  wie  vorhin,  nur  d« 
cos^Q«!  ist. 

3.  Auch  für  den  Fall  eines  vertikalen  Schusses  gelten  dj 
vorigen  Beziehungen  von  1.  und  2.;  man  hat  nur  die  Rieh  tue 
55^,  die  bisher  als  horizontal  vorausgesetzt  war,  mit  d« 
Vertikalen  durch  den  Abgangspunkt  zusammenfallen  zu  las^ei 
Bezüglich  der  Figuren  40—42  ist  dabei  der  Beobachter  untei 
halb  des  Geschosses  zu  denken. 

G.  Folgerungen. 

1.  Mit  den  im  Vorhergehenden  zusammengefassten  Resultat« 
imserer  Theorie  stehen  die  sämtlichen  Einzelheiten  der  oben  b 
schriebenen  Versuche  des  Verfassers,  sowie  manche  sonstige  Beobacl 
tungen,  insbesondere  die  neueren  von  Beydenreich  in  Einklang 
z.B.  die  folgenden: 

a)  Mitteilungen  von  Heydenreich  I.e.  S.  100:  „Bei  fortgesetzte 
Steigerung  des  Enddralls  kann  eine  Grenze  erreicht  werden,  bei  d^ 
die  Schwungkraft  des  Geschosses  im  Vergleich  zu  der  Einwirkung  dj 
Luftwiderstands  so  gross  wird,  dass  das  Geschoss  zwar  mit  der  Spiu 
nach  vom,  aber  doch  mit  dem  Boden  zuerst  am  Ziel  aufschl^t  m 
dadurch  an  Wirkung,  besonders  an  Eindringungstiefe  erhebliche  Eil 
büße  erleidet.  Nach  Versuchen  in  den  Jahren  1867  bis  1869  mit  d^ 
damaligen  Anfängen  des  21  cm -Mörsers  trat  diese  Erscheinung  ui 
so  eher  ein,  je  kürzer  das  Geschoss,  je  stärker  der  Drall,  je  grossd 
die  Erhöhung  und  je  kleiner  die  Anfangsgeschwindigkeit  war  (vei^ 
Formel  IV,  grosses  C  und  r;  kleines  M,  also  kleines  Äj ,  grosses  ^ 
kleines  Wg  geben  grosse  Periode  1'  der  Präzessionspendelungen). 

b)  Beobachtungen  von  Heydenreich  S.  95:  „Nach  Schluss  ein^ 
jeden  Pendelung  kehrt  die  Geschossspitze  in  eine  Lage  oberhalb  d^ 
Flugrichtung  des  Schwerpunkts  zurück '' (vergL Fig.  12).  „Diese  Pendd 
ungen  beginnen  in  der  Begel  klein  und  rasch  und  werden  schliessli<^ 
grösser  und  langsamer^'  (Formel  V  für  Nutationen,  Jtf  wird  grosse! 
Periode  T^  grösser;  Formel  VI,  Jf  grösser,  Amplitude  grösser).  „Unt^ 
sonst  gleichen  Verhältnissen  sind  sie  um  so  stärker,  je  grösser  di 
Geschwindigkeit  des  Geschosses  und  die  Entfernung  des  Schwerpunkt 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Crahs.  208 

TOD  der  Angrifiisrichtuiig  des  vereinigten  Luftwiderstands  ist^  um  so 
kleiner,  je  grösser  der  Drall  des  Geschützes  und  je  mehr  dessen  Masse 
nach  dem  Umfang  zu  vereinigt  liegt'^  (Formel  YI,  je  grösser  v^^  also 
Sq,  femer  je  grösser  h^  in  M,  je  kleiner  r  und  C,  um  so  grosser  die 
Amplitude  der  Nutationen.    Dasselbe  aus  YII). 

c)  Heydenreich  beobachtete  mit  dem  blossen  Auge  die  Pendel- 
ungen  an  Mörsergranaten  und  Eanonengrauaten  (die  Rechnung  nach 
IV  und  Y  zeigt,  dass  es  die  Kutationen  waren);  es  wurden  stets 
Tolle  Ereispendelungen  beobachtet  (vergL  die  Figuren);  bei  Steigerung 
der  Anfangsgeschwindigkeit  von  180  m  auf  500  m  steigerte  sich  die 
Zahl  der  Pendelungen  pro  Sekunde  von  2  auf  4  bis  5,  die  Amplituden 
wurden  grösser;  schliesslich  ,| glich  das  Geschoss  von  hinten  gesehen 
einer  rasch  sich  drehenden  Scheibe  von  wechselndem  Durchmesser,  ein 
Geschoss  überschlug  sich  sogar  etwa  1000  m  vor  der  Mündung'^ 
(Formel  Y  und  YI,  mit  t^^  wächst  r,  nimmt  T^  ab,  zugleich  wächst  s^ 
und  nimmt  die  Amplitude  zu). 

d)  Heydenreich  S.  109,  Nr.  11—15:  Je  grösser  die  Oeschosslänge, 
um  so  grösser  ergab  sich  der  „Formwert^^  (Formel  YI,  je  grösser  Ä  :  C^ 
um  so  grösser  die  Amplitude). 

e)  Bei  der  Granate  der  schweren  Feldkanone  lassen  sich  die 
Pendelungen  nur  sehr  selten,  bei  den  Infanteriegeschossen  niemals  mit 
dem  blossen  Auge  wahrnehmen,  bei  letzteren  auch  dann  nicht,  wenn 
infolge  günstiger  Beleuchtung  das  Geschoss  auf  der  ganzen  Flugbahn 
Terfolgt  werden  kann  (Formeln  lY,  Y,  YI;  vergl.  auch  die  Beispiele 
weiter  unten;  bei  der  Feldkanone  sind  die  Nutationen  zu  schnell, 
höchstens  liessen  sich  die  Präzessionswindungen  beobachten;  bei  den 
Infanteriegeschossen  ebenfalls  höchstens  die  letzteren,  jedoch  die  Ampli- 
tuden zu  klein  und.  das  Geschoss  zu  kurz). 

f)  Die  Seitenabweichungen  infolge  konischer  Pendelung  kommen 
bei  den  rasanten  Flugbahnen  der  Infanteriegeschosse  mit  grossem  Vq 
verhältnismässig  weniger  in  Betracht,  als  bei  Geschützgranaten  (vergL 
Formel  11,  v«  gross,  also  f  klein). 

g)  Mitteilung  von  Heydenreich  S.  104  über  die  Seitenabweichungen: 
„Die  Pendelungen  zufolge  des  Dralls  erfolgen  bei  den  Massen  Verteil- 
ungen der  eingeführten  Geschosse  derart,  dass  bei  jeder  derselben  das 
Geschoss  rinen  grösseren  Ausschlag  nach  der  Seite  der  ersten  Ab- 
lenkung macht  als  nach  der  entgegengesetzten  Seite''  (vergl.  Fig.  12, 
13,  Unsf  mmetrie).  ^jDie  Ablenkungswerte  nehmen,  nach  den  Schuss- 
tairlerfahrungen,  im  allgemeinen  mit  einer  Yerlängerung  des  Geschosses 
und  mit  einer  Yerstärkung  des  Dralls  zu.''  Dagegen  leitet  Dähne 
(1.C.S.48  u.  63  flg.)  aus  Schusstafeln  ab,  dass  „die  Seitenabweichungen 
mit  der  Yerlängerung  der  Geschosse  und  mit  Zunahme  der  Anfangs- 
ICeschwindigkeit  abnehmen,  und  dass  sie  bei  gestreckten  Flugbahnen 
kiemer  sind  als  bei  stärker  gekrümmten"  (dies  in  Übereinstimmung 
mit  den  Gesetzen  [Formel  I]  für  die  Prä zessions -Pendelungen  d^m^&r 


204  Theoret.  u.  ezperim.  Untersuch,  üb.  d.  Ereiselbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 

^  » ^r;  insbesondere  Ausdruck  /*;  mit  Verlängerung  des  Geschosses 
wächst  hl  y  also  M^  damit  und  ebenso  mit  Zunahme  von  v^  nimmt  /' 
ab;  bei  Verstärkung  des  Dralls  wächst  r,  damit  auch  f). 

2.  Beim  Eindringen  eines  Langgeschosses  in  Erde  oder 
Wasser  oder  in  den  tierischen  Körper  wird  sehr  rasch  der 
Widerstand,  der  sich  dem  Weitergehen  des  Geschosses  entgegensetzt, 
bedeutend  yergrössert,  zugleich  nimmt  die  Botationsgeschwindigkeit 
durch  die  Reibung  ab;  aus  beiden  Gründen  wird  die  Amplitude 
der  Nutationsbögen  im  allgemeinen  yergrpssert  (Formel  VI, 
Wgy  also  M  yergrössert,  r  verkleinert,  also  die  Amplitude  grösser; 
übrigens  sind  in  solchen  Fallen  meistens  die  genaueren  Gleichungen  YE 
Vin  anzuwenden). 

Es  erklären  sich  damit  manche  eigentümliche  Erscheinungen, 
die  an  eingedrungenen  Geschossen  beobachtet  wurden:  Austreten  aas 
Wasser  in  anderer  Richtung;  Weitergehen  des  Langgeachosses 
innerhalb  Erde  in  einer  von  der  ursprünglichen  Bewegungs- 
richtung völlig  abweichenden  Richtung,  ja  selbst  Umkehren 
desselben  nach  dem  Geschütz  zu  nach  Art  des  Bumerangs  (Fig.  43, 
Versuch  des  Verfassers;  Schuss  in  Lehm,  Ausgiessen  der  Höhlung  mit 
Blei). 

Auch  für  die  Erklärung  von  Schusswunden  sind  in  neuerer  Zeit 
von  einigen  Militärärzten,  insbesondere  von  Köhler,*  die  Geschoss- 
pendelungen  beigezogen  worden.  In  der  That  ist  es  wohl  denkbar, 
dass  neben  den  zahlreichen  sonstigen  Einflüssen  (hydraulischer  Druck, 
Verdampfung,  Fortpflanzung  von  Verdichtungswellen,  Keilwirkung, 
Stoss Wirkung)  auch  die  Geschosspendelungen,  unter  Umstanden  etwa 
in  vierter  oder  fünfter  Instanz,  mit  in  Betracht  kämen.  Hier  soll  nur 
darauf  aufmerksam  gemacht  werden,  dass  insbesondere  die  Nuta- 
ti onen  der  Gewehrgeschosse  (mit  mehreren  Hundert  Umläufen  pro 
Sekunde),  weniger  die  Pi&sessionsbewegungen  zu  berücksichtigen 
wären;  wenn  das  Geschoss  eindringt,  wird  M  grösser  und  durch  die 
Reibung  r  kleiner;  die  Nutationsamplitude  vergrössert  sich,  die  6«- 
schossaxe  stellt  sich  schiefer  gegen  die  Bewegungsrichtung,  und  zwar 

*  Über  die  Litte ratnr  dieses  Gegenstandes  vergl.  z.  B. : 

Reger,  „Die  Gewehrschuss wunden  der  Neuzeit'',  1884.  Derselbe  „Cber 
die  kriegschirurgische  Bedeutung  der  neueren  Feuerwaffen'',  Archiv  fOr  klinische 
Chirurgie  1892,  Bd.  44. 

Kocher,  „Zur  Lehre  von  den  Schusswunden",  1895. 

Medizinalabteilung  des  königl.  preuss.  Enegsministeriums ,  „Über  die 
Wirkung  und  kriegschirurgische  Bedeutung  der  neuen  Feuerwaffen",  1894. 

Bircher,  „Neue  Untersuchungen  über  die  Wirkung  der  Handfeuerwaffen'*, 
1896,  mit  Atlas. 

Köhler,  „Die  modernen  KriegswafPen,  ihre  Entwickelung  und  ihr  gegen- 
wärtiger Stand,  ihre  Wirkung  auf  das  tote  und  lebende  Ziel",  Berlin  1897. 

Endlich  mehrere  Arbeiten  von  Bruns,  die  neueste:  „Über  die  Wirkung  und 
kriegschirurgische  Bedeutung  der  Selbstladepistole  System  Mauser",  Tübingen  1897. 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Ctusz.  205 

auch  in  einem  völlig  homogenen  Medium;  infolge  davon  kann  das  6e- 
sclioBs  erweiternd  wirken ,  zugleich  nimmt  aber  2\  zu,  T  ab;  es  dürfte 
deshalb  erst  durch  das  Experiment  zu  entscheiden  sein^  welche  Rolle 
den  Geschosspendelungen  auf  diesem  Oebiete  zukommt. 

3.  Wie  schon  erwähnt^  sind  diejenigen  Geschosspendelungen^  welche 
sich  zunächst  der  Beobachtung  mit  dem  blossen  Auge  darbieten, 
meistens  die  Nutationsbewegungen,  nicht  oder  selten  die  Präzessions- 
bewegungen. Solche  Nutationen  können  auch  ohne  Anfangsstoss 
in  merklichen  Amplituden  vorhanden  sein  (Oleichupgen  IX ,  X),  falls 
der  Stabilitatsfaktor  6  klein  ist;  auch  sind  die  Perioden  2\  der  Nuta- 
tionen mit  und  ohne  Stoss  nahezu  dieselben. 

Es  sprechen  indes  mehrere  Oründe  dafür ,  dass  meistens  an  der 
Mündung  auf  das  Geschoss  ein  Stosskräftepaar  wirkte,  dessen  Axe 
Dicht  mit  der  Rotationsaxe  zusammenfiel:  Erstens  sind  von  Heyden- 
reich,  Neesen  und  mir  Pendelungen  (Nutationen)  von  beträchtlicher 
AmpUtude  in  Fällen  beobachtet,  wo  ö  genügend  gross  war.  Zweitens 
habe  ich  niemals  eine  Form  von  Nutationsbögen  beobachtet,  bei  welcher 
Bäckkehrpunkte  aufgetreten  wären  (Figuren  19  bis  26),  sondern  stets 
nur  kreisähnliche  Bögen;  freilich  konnten  die  Bückkehrpunkte  auch 
dem  Auge  entgehen,  da  auf  einen  Präzessionsumlauf  viele  Nutations- 
bögen kommen  mussten.  Drittens  lässt  sich  die  von  Heydenreich 
zuerst  beobachtete  und  von  mir  oft  durch  Versuche  konstatierte  That- 
sache,  dass  mit  wachsender  Pulverladung,  also  zunehmendem  v^  unter 
sonst  gleichen  Umständen  die  Amplituden  wachsen,  die  Stabilität'  ge- 
ringer wird,  nicht  wohl  anders  als  mit  der  Annahme  eines  Anfangs- 
stosses  erklären;  in  der  That,  wenn  kein  Anfangsstoss  vorhanden  wäre, 
so  müsste,  bei  wachsender  Anfangsgeschwindigkeit  v^  die  Amplitude 
wenigstens  annähernd  und  in  derselben  Entfernung  gleich  bleiben; 
denn  sie  ist  nach  Formel  IX  und  X  durch  0  bedingt;  wächst  nun  v^^  so 
wächst  r*  proportional  v/  (bei  demselben  Geschütz),  andererseits  wächst 
aber  auch,  in  ziemlich  weitem  Intervall  mit  genügender  Annäherung, 
das  anfangliche  Drehmoment  proportional  t;^^,  90  wäre  zu  vermuten, 
dass  der  Bruch  C^r^:  4MÄ  beim  Schiessen  mit  stets  vermehrter  Ladung 
konstant  bliebe,  also  wenigstens  im  Beginn  der  einzelnen  Flugbahnen 
die  Amplituden  dieselben  blieben;  da  dem  nicht  so  ist,  so  ist  auf  die 
Gleichung  VI  oder  VII  zu  rekurrieren,  welche  zeigt,  dass  mit  wach- 
sendem Anfangsstoss  Sq  die  Amplitude  zunimmt;  der  Anfangsstoss  selbst 
aber  nimmt  vermutlich  mit  der  Ladung  zu. 

Es  ist  übrigens,  genauer  betrachtet,  sogar  sehr  unwahrscheinlich, 
dass  unter  normalen  Verhältnissen  ein  Oeschoss  völlig  centriert  ohne 
seitlichen  Anstoss  aus  dem  Lauf  austritt.  Selten  werden  die  Pulver- 
gase  an  der  Mündung  sich  völlig  symmetrisch  um  das  Geschoss 
aus  dem  Rohr  drängen,  leicht  kann  die  Figurenaxe  des  Ge- 
schosses,  welches   den  Zügen   folgt,   an   der  Mündung  einen  kleinen 


206   Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Ejreiselbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  etc . 

Winkel*  gegen  die  Laufaxe  bilden ,  die  Figarenaxe  und  die  Rotatione- 
axe  nicht  zusammenfallen;  nicht  immer  wird  der  Schwerpunkt  in  der 
geometrischen  Geschossaxe  liegen;  besonders  aber  auch  deutet  das  Auf- 
treten eines  betrachtlichen  Abgangsfehlerwinkels**  bei  Geschützen 
und  Gewehren^  die  Thatsache^  dass  die  Anfangstangente  der  Flugbabn 
keineswegs  mit  der  ruhenden  Laufaxe  zusammenfallt^  so  wie  die  Le^e  der 
letzteren  unmittelbar  vor  dem  Schuss  gegeben  ist,  sondern  Winkel  bis 
zu  30  Bogenminuten  und  mehr  mit  derselben  bildet,  auf  die  Notwendig- 
keit eines  seitlichen  Anstosses  hin;  bei  Gewehren  wird  der  Ab- 
gangsfehler durch  beginnende  Schwingungen,  insbesondere  durch 
Obertonschwingungen  des  Laufs  erzeugt;  da  letztere  sehr  rasch  er- 
folgen, so  ist  es  wohl  denkbar,  dass  von  dem  Augenblick  ab,  in 
welchem  der  Schwerpunkt  des  Langgeschosses  die  Mündung  passiert 
hat,  bis  zu  demjenigen,  in  welchem  der  Geschossboden  durch  die 
Mündung  geht,  dem  Geschoss  durch  den  schwingenden  Lauf^  eine 
Winkelgeschwindigkeit  erteilt  wird,  welche,  wie  eine  schätzungsweise 
Berechnimg  gezeigt  hat,  Ton  nicht  zu  vernachlässigender  Grosse  wäre. 

Heydenreich  (I.e.  S.  108,  Nr. 2)  hat  gelegentlich  beobachtet,  dass 
durch  Änderung  der  Laufmündung  die  Schussweite  sich  änderte  (die 
Amplitude  variierte). 

Ich  habe  folgenden  Vergleichsversuch  angestellt:  Es  wurde 
vertikal  aufwärts  mit  je  gleicher  Ladung  geschossen,  wobei  erstens  das 
erwähnte  Mörsermodell  möglichst  labil  aufgestellt,  zweitens  fest  ein- 
gespannt war;  im  ersten  Fall  waren  sehr  grosse  Amplituden  ZQ 
beobachten,  mitunter  überschlug  sich  sogar  das  Geschoss  in  der  Luft; 
im  zweiten  Fall  kamen  die  Nutationen  zwar  nicht  in  Wegfall,  be- 
Sassen  jedoch  eine  viel  kleinere  Amplitude.  Es  ist  damit  wahrschera- 
lich  gemacht,  dass  das  Bücken  des  Rohrs  den  Anfangsstoss  wenn  nicht 
ausschliesslich  bedingt,  so  doch  dabei  mitwirkt,  dass  also  die  Ursachen 
des  Abgangsfehlers  und  der  Nutationsamplituden  irgendwie  zusammen- 
hängen. 

Derartige  systematische  Schiess versuche,  bei  denen  ein  Einfluss 
nach  dem  anderen  ausgeschlossen  wird,  sowie  die  gQuaue  Beobachtung 
der  anfanglichen  Pendelungsamplituden  —  etwa  nach  dem  Neesenschen 
Verfahren  —  müssten  ein  Gesetz  für  die  Grösse  des  Anfangsstosses^ 
damit  für  die  der  Nutationsamplituden  und  die  Trefifahigkeit  liefern. 

4.  Weiterhin  hat  die  vorhergehende  Untersuchung  gezeigt,  dass  es 
für  die  Weiterentwickelung  dieses  Teils  der  Ballistik  von  Wichtig- 
keit wäre,  die  Gesetze  anderer  Grössen,  die  in  die  Rechnung 

♦  Vergl.  hierüber  Putz,  revue  d* Artillerie  tome  24,  1884,  p.293,  Note  sur 
les  imperfections  inävitablea  des  projectiles  et  leur  influence  sur  la  justeese  du  tir. 
**  Zuerst  hat  wohl  E.  B.  Bender  darauf  hiugewiesen,  dass  die  Entstehung 
der  Nutationen  in  dem  Abgangsfehler  zu  suchen  sein  könnte.  „Die  Bewegun^^- 
erscheinungen  der  Langgeschosse  und  deren  Beziehungen  zu  den  Eigenschaften 
des  Feldgeschützes  der  Zukunft",  Darmstadt  1888  bei  Bergsträsser,  S.  43  flg. 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  CiiANa.  207 

eingehen^  vor  allem:  Cy  Ä,  M,  r  zu  kennen.  Und  zwar  müsste 
bei  Aufistellang  der  betreffenden  Beziehungen  die  Beobachtung  vor 
der  Theorie  die  Vorderhand  erhalten: 

Die  beiden  Trägheitsmomente' 0  und  JL  lassen  sich  mit  Rech- 
uung  nur  ungenau  bestimmen;  die  mancherlei  Vertiefungen  am  Zünder 
und  Boden  einer  Granate;  die  Führungsringe,  der  mit  Eugebi  aus- 
gefällte Hohlraum  im  Innern  etc.  machen  eine  exakte  Berechnung 
illusorisch;  es  müssten  durch  systematische  Schwingungsversuche, 
wenigstens   für   eine   besonders   häufig  benutzte  Form  von  Granaten, 

etwa  diejenigen  Kruppscher  Konstruktion,  die  Grössen  A,  C  und  j, 
in  Funktion  der  Oeschosslänge,  des  Kalibers  etc.  gegeben  werden. 

Besonders  viel  trägt  zur  TJngenauigkeit  der  theoretischen 
Berechnung  die  Unkenntnis  des  Luftwiderstandsmoments  M 
also  von  W,  und  h^  bei;  es  muss  die  Kummersche  Arbeit  auch  bezüg- 
lich ihres  experimentellen  Teils  durch  empirische  Ermittelung  der 
Lafhnderstandskomponenten  als  Funktionen  des  Winkels  a  zwischen 
Oeschossaxe  und  Bewegungsrichtung  ergänzt  werden. 

Endlich  giebt  die  Annahme  einer  Konstanz  der  Umdrehungs- 
geschwindigkeit r  des  Geschosses  um  seine  Längsaxe,  trotzdem  dass 
die  meisten  Ballistiker  bei  ihren  Rechnungen  von  dieser  Voraus- 
setzung ausgingen,  zu  mancherlei  Bedenken  Anlass.  Das  Resultat  von 
Poisson  und  Heim,  dass  der  tangentielle  Luftwiderstand,  die  Luft- 
reibung, eine  nur  minimale  sein  könne,  bezog  sich  nur  auf  die  früheren, 
glatten  Kugeln;  die  jetzigen  Granaten  und  Infanteriegeschosse  sind  da- 
gegen wegen  der  durchrissenen  Führungsringe  einerseits,  der  Zug- 
eindrücke andererseits  keineswegs  glatt.  Wie  Altmann  (1.  c.)  mit  Recht 
hervorhebt,  ist  es  daher  wahrscheinlich,  dass  die  Rotationsgeschwin- 
digkeit r  im  Verlauf  derselben  Flugbahn  nicht  unbedeutend  abnimmt. 
Meine  eigenen  Versuche  mit  einem  Geschoss  sehr  rauher  Oberfläche 
deuteten  eine  merkliche  Abnahme  von  r  an. 

Versuche  in  dieser  Richtung  hat  Krall*  vorgeschlagen  und  Boys** 
begonnen;  ein  Gesetz  f&r  die  Abnahme  von  r  ist  jedoch  nicht  bekannt. 

5.  Bei  der  Berechnung  der  Seitenabweichungen  von  Lang- 
geschossen wird  stets  nur  der  Einfluss  der  Pendelungen,  die  selbst 
eine  Folge  der  Rotation  um  die  Längsaxe  sind,  beigezogen.  Von  den 
Seitenabweichungen  ist  zwar  in  diesem  Aufsatz  nicht  systematisch  die 
Rede;  doch  hängen  sie  innig  mit  dem  Vorhergehenden  zusammen, 
daher  hierüber  eine  Bemerkung:  Bei  den  Versuchen  des  Verfassers 
lagen  Andeutungen  dafür  vor,  dass  daneben  auch  ein  zweiter  Einfluss, 
er  möge  der  Magnus -Effekt  heissen,  von  nicht  unbeträchtlicher  Grösse 
sein  könne:    wenn  ein  Langgeschoss   eine   sehr  langsame  Präzessions- 

•  Krall,   Mitteilangen  ober  Gegenstände  des  Artillerie-  und  Geniewesens, 
1888,  S.Heft,  S.118. 

**  Boys,  Dieselbe  Zeitschrift  1897,  S.836. 


208    Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Ereiselbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 

bewegung  besitzt,   so   bleibt  während  des  Flugs  die  Geschossaxe  sich 
nahezu  parallel,  die  Geschossspitze  fortwährend  oberhalb  der  Tangente 
(yorausgesetzt,  dass  die  Nutationen  nicht  zu  gross  sind);  der  Winkel 
zwischen   Geschossaxe   und   Tangente   wird   grösser   und   grösser,   im 
Scheitel  schon  gleich  dem  Abgangswinkel.     Infolge  davon  kann  ent- 
weder die  Luftreibung,   der  tangentielle  Widerstand  (der  Poisson- 
Effekt)  oder  aber  die  Wirkung  der  adhärierenden  Luft  (Magnus- 
Effekt)   als   die   Geschossbewegung   beeinflussend  in  Frage  kommes. 
Der  Poisson- Effekt  würde  darin  bestehen,  dass  bei  Rechtsdrall  Rechts- 
abweichung,   bei  Linksdrall   Linksabweichung  des   Schwerpunkts  aus 
der  anfänglichen  Vertikalebene  der  Flugbahn  einträte;   denn  die  Luft 
vor  dem  Geschoss  ist  dichter  als  diejenige  hinter  demselben;  also  die 
Luftreibung  Torn  grösser  als  hinten.    Die  Wirkung  der  am  Geschoss 
adhärierenden  Luft  wäre  bei  Rechtsdrall  Linksabweichung  (oder  Ver- 
kleinerung   der   Rechtsabweichung  durch   Pendelung)^   bei   Linksdrall 
Rechtsabweichung;  denn  z.B.  bei  Rechtsdrall  bewegt  sich  die  mit  dem 
Geschoss  rotierende  Luft  auf  der  linken  Seite  im  selben  Sinn  wie  die 
gegen  das  Geschoss  heranströmende  Luft,  rechts  im  entgegengesetzten 
Sinn,  also   entsteht  rechts  Erhöhung^  links  Verminderung   des   Luft- 
drucks;  infolge   davon  wird  das  Geschoss   als  Ganzes   nach  links  ge- 
drückt. Da  die  Resultante  der  hieraus  entstehenden  einseitigen  Luftdrücke 
mehr  oder  weniger  genau  durch  den  Schwerpunkt  gehen  wird,  so  wird 
hierdurch   die  Rotation   des   Geschosses  um   den    Schwerpunkt,    die 
Präzessions-  und  Nutationsbewegung,  nicht  wesentlich  modifiziert,  son- 
dern nur  die  Bewegung  des  Schwerpunkts. 

Nun  haben  meine  Versuche  in  einem  Fall  Linksabweichung  bei 
Rechtsdrall,  in  einem  anderen  Rechtsabweichung  bei  Linksdrall  auf- 
gezeigt. Im  ersten  Fall  lag  (siehe  oben)  der  Angriffspunkt  der  Luft- 
widerstandsresultanten wegen  der  besonderen  Geschossform  ohne  Zweifel 
hinter  dem  Schwerpunkt,  also  erklärt  sich  hier  diese  Linksabweichung 
einfach  durch  Pendelung.  In  den  anderen  Fällen  jedoch  blieb  die 
Rechtsabweichung  bei  Linksdrall  (zum  Teil  8  m  auf  30  m  Schuss- 
weite) auch  dann  noch  bestehen,  als  an  der  Geschossspitze  eine  Kork- 
scheibe angebracht  wurde,  welche  sicherlich  bewirkte,  dass  der  An- 
griffspunkt der  Luftwiderstandsresultanten  nahe  der  Geschossspitze  lag, 
falls  dies  nicht  schon  vorher  der  Fall  gewesen  sein  sollte;  durch  die 
Pendelung  allein  hätte  somit  Linksabweichung  wegen  des  Linksdralls 
eintreten  müssen;  folglich  lag  der  Grund  der  Rechtsabweichung  in 
anderem:  das  Geschoss  hatte  hinten  die  Form  einer  Schraubenspindel, 
also  ist  anzunehmen,  dass  hierbei  vom  Geschoss  mehr  Luft  mitrotiert 
wurde,  als  von  einem  Geschoss  mit  glatterer  Oberfläche,  und  dass  der 
Magnus -Effekt  die  Erscheinung  bewirkte.  Meine  Versuche  zeigten  dies** 
Erscheinung  nur  nebenbei  und  zielten  auf  anderes  ab;  bestätigt  sich 
diese  Wahrnehmung,  so  ist  damit  bewiesen,  dass  bei  der  Berechnung 
der   Seitenabweichung   ausser   der   Pendelung  unter  Umständen   noch 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Crahz.  209 

ein  anderer  Einfluss  Berücksichtigung  finden  muss,  und  zwar  weniger 
der  Poisson-Effekt  (den  in  neuester  Zeit  wieder  Altmann  beigezogen 
hat,  wahrscheinlich  ohne  Ton  der  Arbeit  Poissons  Kenntnis  zu  haben), 
als  Tielmehr  der  Mi^us- Effekt.  Eine  Berechnung  hierüber  hat  Tait,* 
speziell  fBr  Kugeln,  b^onnen. 

• 

H.  Zahlenbeispiele. 
1.  BeispieL    Dentsclie  schwere  Feldkanone  C/7S* 

Schrapnell  C-91  oder  Sprenggranate.    Schussweite  4600  m.   Es  igt 

1  6 

r^  =  442  m;    Abgangswinkel »  Erhebongswinkel  16  — ^  -f  Abgangsfehlerwinkel  — ^ 

-16^1»,  also  ^0=0,273; 
lo 

Kaliber  2  i?  «=  0,088  m ;  Geschossgewicht  P=7,5kgr.  Geschosslänge  H=  23,2  cm 
gleich  2,76  Kaliber,  Entfernung  von  Boden  und  Schwerpunkt  9,98  cm;  mit  Tabelle  IV 
>fnr  %«1,3  Kaliber)  wird  far  a«0  die  Entfernung  von  Boden  und  Angriffs- 
punkt -»  1,41  •  1,46  *-  2,06  Kai. » 18,1  cm,  also  hi »  0,081  m. 

Drallwinkel  A  =  3«  36',    also    r  =  fo  •  tg A  :  jB  =  442  •  tg(3<>36') :  0,044  =  632. 
C  =  0,00066  (durch  Bechnung,  siehe  oben  Regel  von  v.  Wuich).   Beduzierte  Länge 

1  /        4  72'\ 
des  Geschosses  =  2,36  Kaliber,  also  J. :  C  «  —  f  1  +  -~-  )•«  4,2. 

a)  Anfängliche  Periode  Tresp.  7\  der  Präzessionsbewegung  resp. 
der  Nutationsbewegung: 

Im  Anfang  der  Flugbahn  sei  a  —  0,  also  TT«  •  cos id  :  sin  a ^Wp  •  cos  ^^ ;  somit 
3f=.Wp'  cos ^0 •  *i  =  3»'^  m/tfirr;     CriÄ^  160,6;    Cr  =  0,41 ;    4^ Jf  =  4,1  •  10- »; 

rCV«)  :(AAM)^  4,1;    also 

2 
Periode  T  der  Präzession  =0,7  sec  oder  l—   Pendelungen  pro  sec, 

26  Pendelungen  auf  der  Flugbahn; 
Periode  Tj  der  Nutation  =  4,8  10— «  oder  21  Pendelungen  pro  sec; 

Stabilitätsfaktor  <r-»4,l; 

Ct    o 

Piftzessionsamplitude  anfangs  =  /*«=-:=y— =  0,00266  oder  9'; 

Amplitude  der  Nutation,  falls  kein  Anfangsstoss  stattfand 
«  J«.  Bin  (<)C05Af)=^-/'=  0,00031    oder    1'. 

b)  Dasselbe  für  den  Auffallpunkt: 

14 
Spitzer  Anffallwinkel  (o»24— ^    also  <X  05T=»  Auffallwinkel -f  Abgangs- 

12 
Winkel  »  ^^77*«  ebenso  gross  ist  der  <X  «  am  Schluss  der  letzten  vollen  Prä- 
16 

xessionspendelnng;  entnimmt  man  hierfür  ans  Tabelle  III  den  Wert  TTtisina,  so 

hat  man  Jf^    TF.cob«    ..  .7^.    44Jf=810-»;    «-8,1;    /•- 0,00804 

sm  a 

•da  r«s=s  179  ist),  r»0,86  sec;  T^  —  6,8  10— >  sec.   Man  erhält  damit  die  folgende 
ZasamxneiiBtellang : 


*  F.  6.  Tai t,    Nature  48,  p.  202;   vergl.  auch   Beiblätter  zu  Wiedemanns 
Annalen  1896,  Nr.  4,  S.288;  femer  H^lie  trait^  de  bal.  ext^r.  1884,  Bd.I,  p.328. 


2 10  l'heoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg.  d.  rotier.  Langgeschosseetc. 


Präzessionsbewegung 

Nutationsbewegung  (ohne  stow) 

Periode 

Zahl  der 

Pflndelnngen 

pro  Sek. 

Ampli- 
tude 

Periode 

Zahl  der 

Pendelnngen 

pro  Sek. 

Ampli- 
tude 

Stabilität^, 
faktor  6 

im 
Anfang 
der 
Flugbahn 

0,7  sec 

1,4 

9' 

4,8- 10-2 
sec 

21 

1'. 

4,1 

£nde 

der 

Flugbahn 

(angenAuer) 

0,8  sec 

3,8 

crc41® 

6,8. 10-2 

sec 

17 

9« 

2,1 

c)  Konstruktion  der  Präzessionskurve  (Fig.  44). 
Die  graphische  Lösung  des  ballistischen  Problems   ohne  Rücksicht  auf  die 
Rotation  liefert  das  folgende  Resultat. 


Entfernung 

von  der 
Mündung 

Zwischen- 
zeiten 

Horizontale 
Geschwindig- 
keiten 

Höhe  z 

über  dem 

Boden 

Horizontale 

Neigung  der 

Tangente 

m 

sec. 

Vx  m/sec 

met 

(D  = 

0 

0 

426 

0 

("Ü--) 

495 

1,26 

858 

126 

12«88' 

1002 

1,53 

316 

289 

11<>31' 

1612 

1,69 

•287 

329 

8^6' 

2015 

1,83 

263 

388 

4«66' 

2502 

1,98 

242 

411 

0*52' 

2994 

2,12 

223 

394 

-4<^50' 

8504 

2,38 

206 

325 

-11^5' 

4025 

2,63 

191 

188 

-18*0' 

4501 

2,58 

179 

0 

-  24*58' 

zusammen  18,0  sec.  ganze  Flugzeit. 

Die  Bahn  der  Qeschossspitze  ohne  Rücksicht  auf  Nutationen,  d.  h.  die 
l'rilzeHsionsspirale  muss  in  einzelnen  Intervallen  berechnet  werden;  als  diese  Inter- 
valle können  hier  die  einzelnen  Perioden  T  gewählt  werden. 

Im  Anfang  des  ersten  Präzessionsumlaufs  ist  t;x—425;    Af=8,7; 

'        M  Vx        3,7      425         ' 
IT,,  ■  0,278;    a  =  0;    r=  0,7  sec. 
fiii  Anfang  des  zweiten  Umlaufs,    also  nach  0,7  sec,    ist  «7x  =  380,  iif»3.S, 

m\\    ß-eo-a,  =  l|*,    /•=0,00286. 
H^txt  man  in  den  Ausdrücken  ^r,   ^r  der  Reihe  nach 

t  =  o,  Ir,  |r,  |r,  etc., 

Inil  Hl  an  der  Reihe  nach 

f «  r  «  -  0,     i^r  =  0,     «"r  -  -^0  =  Oi273  (oj,  =  0,273 ,  /"=  0,00266) , 

tnr  ^-^-  r=  0,17  sec  (^.^^^^ 

(wobei  ^0  -  «ö  ="  ^f^^  1  "  =  ^i^^*^'  ^=  0,00276) , 


^ 


H9 


•»   I 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Gbanz. 


211 


fÖr  t^ 


(wobei  ^o-«  =  M18i    «=0,260,   /"=  0,00280), 


für  «=  ^  r  =  0,61  sec  (^''     ^     ^- 


(wobei  -^0  —  «  =  0,090 ,    co  =  0,268 ,   /"-  0,00283) , 


£Qr  <  = 


—  r  =  0,7  sec 

4 


j^r=0 
l^^«^.   Wi( 


0  wie  anfangs 
(<a  =  0,247,  /•==  0,00286), 

Flg.  44. 


• 


^ 


"*• - 


für  «  =  —  r  =  0,86  sec 
4 


+  f 
(^^-0»  =  0,032,    <a=  0,241,    /  =  0,00290)  u.  8.  f. 

Oamit  läBst  sich  die  Präzessionsspirale  punktweise  konstruieren. 


d)   Konstruktion  der  Nutationsbögen,  unter  Voraussetzung  eines 
^nf^xigastosseSj  beispielsweise  Pq=  +  1,41,  qo='0  (d.h.  der  Geschossboden 
^Aalte  einen  Stoss  aufwärts  oder  die  Spitze  abwftrts ,  wodurch  der  Axe  die  relative 
^y^jij^elgeflchwindigkeit  +1,41  erteilt  wird),  also  ist  5o«  +  l,41. 


„       /Cr      M\      2. 1,41      ^^^ 


212   Theoret.  u.  ezperim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 

Kon  war  für  unseren  Fall,  mit  9o  ==  ^i 

ipn  ==  [-  COS  (J,  +  COS  (rt  -  ft )] .  'ör^'ir' 

'^'^^ 

(^n  -      [sin ft  - sin(r* -  ft)] •  ^^^^  ^  ; 
hierin  ist  anfangs  p,  =  — .^-»9,2*,     r<  — ft  "(~1 — -p-j*  =  141-  f. 


Po 


Cr 


also 


Cr 


Mi 
141 


=  0.01, 


1 100'^»  =  — co8(9,2.Q4-cos(141«), 
i  100  •  e«  =  +  sin  (9,2  • «)  -  sin  (141  •  t). 


Setzt  man  hier  der  Reihe  nach  ^»0,  t^ 


2n 


(oder=0,0111sec),  *=2  •  0,0111, 


4  141 
f==  3  0,0111  etc.,  so  wird: 

för<  =  0  1^-  =  ^ 

100  Vn  =  -  cos (9,2  •  0,011)  =  -  cos (0,1023)  =  —  cos  (5** Ö2') 

=  -  0,996 
^n  =  +  sin  (9,2 . 0,01 1)  - 1  =  -  0,898 , 


für  t  =  0,011  sec 


für  <  =  2. 0,011  sec  | 
fär  «=-3- 0,011  sec  { 
für  *  =  4. 0,011  sec  { 
für  «  =  50,011  sec  { 


100 

100 
100 

100 
100 

100 
100 

100 
100 


^«  =  — C08(2 

^„  =  +  sin(2 

i^fi  =  — cob(8 
^^  =  +  sin(3 

V>ji  =  — C08(4 
^„  =  +  8in(4 

^„==  — cos(6 
d'n  =  -]-  sin  (6 


0,1023) -1  = -1,979 
0,1023)       ==+0,206, 

0,1023)       =-0,964 
0,1023)+1  = +1,301, 

0,1023)+1= +0,081 
0,1023)      =+0,398, 

0,1023)       =  -  0,872 
0,1028)-1=- 0,610  U.S. f. 


Damit  ist  die  Nutationskurve  (Figur  44)  gezeichnet.  Die  Amplituden 
müssen  im  Verlauf  der  Flugbahn  wachsen,   da  M  von   3,7   bis  7,4  wäclist,  alsc> 

—2 — -FT-  abnimmt. 
A      Cr 

Die  Kurve  (Fig.  44)  ist  deshalb  nicht  weiter  fortgesetzt,  weil  es  unter  Um- 
ständen als  zweifelhaft  gelten  kann ,  ob  die  Formeln  (siehe  oben)  noch  An^wendmur 
finden  dürfen. 

2*  Beispiel.    DentBches  Inf anteriege wehr  M/71. 

Kaliber  11  mm,    Geschosslänge  27,6mm  =  2,6  Kai.,    r^  =  461  m,     Q^schoss- 

gewicht  26  gr,    DralUänge  660  mm,     also  r  =  — ^  ^^^    =  6160,     C  —  38,5  .  10~& 

0,660  ' 

^  =  142,410-9,     Cr"  =  3,9- 10-8,    3f  mit  -^0  =  0  wird  =  0,76- 10— a, 

4^af=  0,43- 10-8,     <y  =  9,06,     r=  0,168  sec,     i;  =  0,48  10-»  sec. 


8.  BeispieL    Deatsehes  Infaateriegewelir  M/88. 

Kaliber  8  mm ,  Anfangsgeschwindigkeit  v^^  =  646  m ,  Dralllänge  24  cm  »  30,4  KaL 
(Rechtsdrall),  Geschosslänge  31,3  nun  =  3,96  Kaliber,  Geschossgewicht  14,7  ^r. 


Von  Prof.  Dr.  Cabl  Cmajiz.  213 

Also  f»16900,  mit  »^^0  ist  anfangs  üf=TP>  •  Ä^  =0,792- 0,016=0,0119 m/kgr, 

t=12.10~»,      —«68,2,      ^:C=8,96,      C7*f«  =  4,1  10-8,      4^af  «0,1- 10-» 

«=8,2,    r=0,ll  sec,     Tj  =3,610-«  soc. 

Anfangsradius  des  Pr&zessionskreises  =»  Anfangswert  von 

/= -S^ . -2- =  ~^®— =  0,00026    oder    63" 
'      Jlf      «,       68,2  640     "''"^^'^ 

(z.  B.  bei  AbgangBwinkel  ^^  —  6^,  was  auf  relativ  kleine  Seitenabweichung  hin- 
deutet. 

Anfängliche  Amplitude  stossfreier  Nutation  (mit  d'|^  =  6^ 

2 .  MA 

JTv  7'=  0,000061     oder     12". 

Anfangs 8 toss  gesucht:  Angenommen,  es  habe  einmal  bei  horizontalem 
Scbugs  ein  Durchschlagsloch  auf  der  nahen  Scheibe  durch  Ausmessung  erkennen 
iKsen,  das«  der  Winkel  zwischen  Geschossaze  und  Flugrichtung  V  betrug. 
Welcher  An&ngsstoss  ist  hiensu  erforderlich?    Bogen  von  1®  oder 

A       Cr 

4*  Beispiel.    Tennch  tob  Neeseii. 

P  «  39,6  kgr ,  A  =  4^  v^  =  166  m ,  H-=-  3,63  Kaliber,  222  =  0,1491  m, 
»« =  60*;  also  r  =  146,3 ,  C  =  0,0112 ,  AiC^  6,9 ;  Anfangswert  von  M ^  0,68, 
^f'  =  2,65,    4^3f^0,l8. 

r^  10,8  sec,     r^  =  crc.  0,31  sec.  (beobachtet  crc.  0,47  sec). 

5.  BeispieL    Tennche  tob  Heydenreich  1.  c.  S.  98. 

a)  Mit  dem  Mörser. 

^,  =  20^  12  =  0,0746  m,  P=40  kgr,  Abrundungsradius  1,6  Kai.,  jr=6  Kai., 
»,=  180m,  A  =  7«;  also  ist  r  =  296,  C  =  0,0113,  ^«0,169,  C*r*=*ll,2,  Mim 
Anfang  =  6,7. 

r=  3,7  sec,     T^  =0,4  sec;    beobachtet  crc  0,6  sec,    <r  =  3,07. 

b)  Mit  der  Kanone. 

Dasselbe,  nnr  9^-^9\  9o  =  600m.    Damit  ist  r  =  824,  3r=86,6,  Cr*=86,8. 
r=0,67  cec,     Ti  =  0,177  sec    oder    6,6  pro  sec;    beobachtete  Periode  der 
Pendelungen:  4—6  pro  sec. 

6.  BeispieL    Etner  der  Yersiiclie  des  Yerf aMers. 

Kaliber  0,8  cm,  Geschossgewicht  60  gr,  ^^=46^  Vo  =  ^^  ^f  DralU&nge  7  cm 
^l'in^Bdrall),  Geschossl&nge  14  cm;  also  ist 

'==1884,    C=0,6.10~'',     ^:C=193,     iJf=2810-«,     r=22  sec,     i;  =  0,6  sec 

(beobachtet  0,6  bis  0,76  sec). 

Anluigs  Nutationsamplitude  ohne  Stoss  =  crc.  7®  (beobachtet:  wechselnde 
^plitade  twischen  crc  6  und  crc  80^  also  ein  Anfangsstoss  wahrscheinlich). 

Dies  giebt  folgende  Zusammenstellung  je  der  Werte  im  Anfang  der  betreffenden 
flogbahn.  Es  ist  hinzugefügt,  ob  wegen  der  grossen  Winkel  das  Bechnungsresultat 
mehr  oder  weniger  zuverlässig  ist  (*  =  sehr  unsicher). 


214   Theoret.  u.  experim.  Untersuch,  üb.  d.  Kreiselbeweg,  d.  rotier.  Langgeschosse  etc. 


Präzessions- 

Nutations- 

Auf 

Beobach- 

Anfangs- 

Pendelungen 

Pendelungen 

einen 

Pr4- 

xMilone- 

Umlanf 

kommen 

Nu- 
tations- 

tete  Zahl 
der 

An- 
fäng- 
Ucher 

BUbili- 
tftta- 

faktor 

Oe- 

achoaa- 

geschwindig- 
keit der 

Zeit 

eines 

▼ollen 

Umlaufs 

oder 
Zahl 
der 
Um- 
läufe 

Zeit 

einet 

UnÜMift 

oder 

Z«hl 

der 

Um- 
läufe 

koni- 
schen 
Pendel- 
nngen 

Unge 
in 
Ka- 
libern 

Trans- 
lation 

Bo- 

Utir« 

om 
die 
Axf 

860 

pro  eec 

sec 

pro  sec 

Umlftufe 

pro  MC 

met/aec      r 

22,4 

1 
22 

0,26 

4 

88 

? 

2,7 

4,93 

214 

m 

21cm- 

zahlreiche  kreie- 

Mörser 

fthnllcheTendal- 

« 

ongen  an 

! 

beobachten 

(Kutationen). 

Versuch 

crc 

von 

1 

Neesen 

10,8 

11 

0,81 

3 

36 

2,2 

94 

3,63 

166 

UJ 

K.  15  cm 

(Nn- 

1 

Kanone 

* 

tation) 

Heyden- 

crc 

reich 

3,7 

1 

0,86 

2,8 

10 

2 

«,1 

6 

180 

2S« 

Mörser 

4 

(Nu- 

« 

tatlon) 

Heyden- 

1 

crc 

reich 

0,67 

h 

0,18 

6,6 

37 

4-6 

1,6 

6 

600 

824 

Kanone 

groiae  Amplituden 
beobachtet 

* 

(NuUt.) 

! 

Deutsche 

schwere 

0,7 

li 

0,06 

21 

14 

? 

*,1 

2.76 

442 

63! 

Feld- 

2 

1 

kanone 

• 

1 

Deutsches 

< 

In- 
fanterie- 

0,16 

6 

4,8 
.10—8 

209 

(Ton 

84 

? 

9 

«,6 

461 

515( 

gewehr 

gi») 

M/71 

Deutsches 

In- 
fanterie- 
gewehr 

0,11 

4 

3,6 
10-» 

290 

(Tond) 

31 

? 

8,2 

8,96 

646 

169(« 

M/88 

1 

Versuch 

des 

1,3 

Verfassers 

22 

1 

0,64 

,i 

34 

bis 

10 

17 

21 

IS^ 

(Möner- 

22 

2 

1,8 

modell) 

* 

(Kutat.) 

1 
1 
1 

1 

1 

Von  Prof.  Dr.  Cabl  Crakz.  215 


Beriohtiguxigen. 

Bei  diesem  Anlass  gestatte  ich  mir,  einige  nachti^liche  Berichtigungen 
L    meinem    „Kompendium    der    theoretischen    äusseren    Ballistik^* 
<.  G.  Teubner  1896)    zusammenzustellen  und   spreche   den  Herren,  welche  mir 
freondlichster  Weise  ihre  Bemerkungen  zugehen  Hessen,  meinen  Dank  aus. 

S.  145  Z.  6  streiche  „oder  Richtung  der  Resultanten ^^ 

S.  169  Z.  7  lies  „der  Bewegung^*  statt  „des  Luftwiderstands". 

S.  169  Z.  13  lies  a^SO^  statt  a. 

S.  170  Z.  9  und  10  lies  tiefer,  tief  statt  höher,  hoch. 

S.  218  Fig.  60b  ist  „Resultante  des  Luftwiderstands"  zu  streichen. 

S.  221  Z.  13  streiche  „zwischen  der  Resultante   und  der  Geschossaxe  oder 

auch". 
S.  260  Z.  3  von  unten  ist  «r»  0,000367;  es  kann  dieses  Beispiel  1)  nur  als  ein 

solches   mit   den   beliebig  angenommenen  Zahlenwerten  v^,«!,  C... 

zur  Klarmachung  der  Methode  angesehen  werden  und  kann  nichts 

über  die  Grauste  der  leichten  Feldkanone  aussagen,  da  a  mit  3,9 

zu  multiplizieren  wäre. 
S.  311  lies  „noch  immer  zum  Teil  üblich"  statt  „die  üblichste". 
S.  323  Z.  22  vor  der  Mitte  lies  „öOV^  von"  statt  „50%,  bei". 
S.  351  Z.  4  von  unten  ist  zur  weiteren  Klarmachung  hinzuzuf dgen : 

„  mit  *  =  1,34 ;    ^^y  =  0,92 ;  X  =  1,4  (vgl.  S.  276) ,  und  a  =  0 ,  nach 

j       r.  1     r     oleosa. P      1,4- 1  0,92      ^  ^«^      ,  «^v*  «x.    ^ 

der  Formel  c  =  — 5—^- — «=   '      ^/ —  =  0,962,  also  t?,.«  606,2"  etc. 

o  •  Jti  1,34 

S.  462  Note  154  ist  unabhängig  für  sich.    Hinzuzufügen:   Jedoch  ist  diese 
ältere  Methode  besonders  einfach,  da  keine  Linsen  erforderlich  sind. 


über  Spannungszustäiide,  bei  denen  ein  Spannnngs- 
Potential  und  zugleich  ein  Versohiebnngspotential 

besteht 

Von 

Dr.  G.  Holzmüller, 

Hagen  i.W. 


1.  Feststellmig  der  Grondhypotliese  am  Einpxmktproblem. 

Der  Zeitschrift  des  Vereins  deutscher  Ingenieure  habe  ich  kürzlich  ei 
Arbeit  eingereicht^  deren  Resultate;  wie  mir  scheint^  von  aUgemeine 
Interesse  sind.  Es  handelt  sich  um  Spannungszustände  elastischl 
Körper,  bei  denen  ein  Spannungspotential  nach  Art  des  Newtoi 
sehen  und  zugleich  ein  Yerschiebungspotential  nach  Art 
logarithmischen  besteht.  Das  letztgenannte  Potential  ermöglicht 
Anwendung  der  konformen  Abbildung^  die  meines  Wissens  bisher  ni 
für  die  Saint-Venantsche  Torsionstheorie  in  der  Elastizitätsle 
Verwendung  fand,  und  zwar  in  sehr  beschranktem  Maße  fBr  einij 
wenige  Formen  des  prismatischen  Stabes.  Einiges  möchte  ich  oh 
Rechnungen  hier  mitteilen^  anderes  yervollständigen  und  verallgenieiiiei 
Ich  gehe  von  einem  bekannten  Beispiele  aus: 
Ein  dickwandiges  Rohr  sei  Ton  konzentrischen  Ereiscjlintle 
begrenzt;  der  innere  habe  den  Radius  n,  der  äussere  den  Radius  i 
Im  Hohlraum  herrsche  die  positive  Spannung  p,  möge  sie  ein  Iiydn 
lischer  Druck;  eine  Gasspannung  oder  sonstiger  Art  sein.  Ist  nun 
der  zwischen  r,-  und  r«  veränderliche  Radius^  Sr  die  in  den  Punkt( 
des  zugehörigen  Kreises  entstehende  radiale  Spannung  des  Materials,  i 
sich  übrigens  als  negativ,  d.  h.  als  Druck  herausstellt,  tfr  die  norm 
d^egen  wirkende  tangentiale  Spannung;  die  sich  als  positiv,  d.ks 
Zugspannung  geltend  macht;  so  gelten  nach  der  übUchen  Theoij 
folgende  Formeln: 

z)  Or  =  p  — r  •  — i r  * 


Von  Dr.  G.  Housmüllsb.  217 

Als  Yerscliiebangsweg  Wr  ergiebt  sich: 

B  grosste  Anstrengung  des  Materials: 

4)  <, ^f—,(l!LlLr>+J!^±LrA' 

Hier  bedeutet  E  den  Elastizitätsmodul,  m  die  bekannte  Eonstante 
sr Querkontraktion  bei  Zugbeanspruchung.  Vergl.  z.B.  Föppl:  Pestig- 
ritslehre,  S.306.  Wichtig  sind  die  Formeln  f&r  die  Konstruktion  und 
Rechnung  der  Oeschütz-  und  Gewehrläufe,  der  hydraulischen  Pressen, 
er  Druckrohre  von  Beigwerkspumpen  und  Wasserleitungen,  der  Dampf- 
)Iire  und  der  Druckcylinder  gewisser  physikalischer  Apparate,  z.  B. 
Krer,  die  zur  Verflüssigung  von  Oasen  durch  hohen  Druck  bei  nie^ 
riger  Temperatur  dienen. 

Bei  den  Ringgeschützen  werden  bekanntlich  zur  Verstärkung  des 
nderstandes  Ringe  auf  das  Hauptrohr  gezogen,  die  in  erhitztem  Zu- 
mde  gerade  noch  darauf  passen,  nach  geschehener  Erkaltung  aber 
^ck  nach  innen  geben.  Zur  Berechnung  des  Zustandes  braucht  man 
iher  auch  die  Formeln  für  äusseren  Druck,  die  man  erhält,  indem 
an  r«  und  r^  mit  einander  vertauscht. 

Bei  den  Formeln  der  Festigkeitslehre  ist  es,  da  während  der  Ent» 
ickelang  zahlreiche  Vernachlässigungen  stattfinden,  stets  zweckmässig, 
P  praktisch  durch  Versuche  auf  ihre  angenäherte  Richtigkeit  zu 
rufen  und  theoretisch  zu  revidieren,  auf  Grund  welcher  Hypothesen 
e  etwa  als  richtig  angenommen  werden  können. 

Im  vorliegenden  Falle  ist  zunächst  das  einfachste  Proportionalitäts- 
ttetz  der  Festigkeitslehre  angewandt,  zweitens  ist  die  dritte  Dimension 
fniachlassigt  worden,  was  bei  langen  Gylindern  etwa  ebenso  berech- 
gt  ist,  wie  bei  den  zweidimensionalen  Problemen  der  Wärme-  und 
^  Potentialtheorie.  Alles  aber  lässt  sich  durch  eine  einzige  Hypo- 
Kse  ersetzen. 

Macht  man  nämlich  r«  unendlich  gross,  so  erhält  man  für  die  un- 
Jgrenzte  Platte  folgende  Formeln: 

5)  Sr^-p-r^ 


6)  ^,=, 

^    Die  Formel  7)  folgt  aus  den  Spannungsformeki,  wenn  die  negative 
^längeruug  d.h.  die  Verkürzung  des  radialen  Elementes  dr  gleich 

^«i^cluifi f. MathematUa. Physik.  48.Jahrg.  1898.  4.u.5.Heft.  15 


21g  über  SpannungB  zustände  etc. 

die  der  Strecke  des  Radius  von  r^  bis  r  also  gleich 


r«- 


gesetzt  wird.  Da  nämlicli  nach  6)  der  unendliche  Kreis  keine  Y 
langerung  seiner  Peripherie  erleidet,  also  dort  auch  keine  Verschi 
ung  nach  aussen  stattfindet,  so  ist  der  unendliche  Bereich  1 
ruhend  zu  betrachten.     Da  femer  die  letzte  Formel  für  r  =  ^ 


\         m  J  nh       \  m  J 


E 


übergeht,  so  bedeutet  dieser  Ausdruck  die  Verschiebung  der  Pun] 
des  inneren  Orenzkreises.  t)ie  Integralformel  giebt  also  die  relaÜ 
Verschiebung  der  Punkte  r  gegen  die  Punkte  r^  an,  die  absolute  V« 
Schiebung  der  Punkte  r  wird  daher 

was  mit  7)  übereinstimmt. 

Man  kann  also  für  die  Untersuchung  fönende  Hypothese  1 
Orundls^e  machen: 

Die  gegen  die  cylindrische  Innenwand  der  unbegrenztj 
Platte  wirkende  Druckspannung  p  verursacht  in  der  Entfeii 
ung  r  von  der  Axe  radiale  und  tangentiale  Spannungen 


r."  ^      ^  r.« 


«r--p-~ir    und     tfr«|>-;:r' 

die  absolut  genommen  einander  gleich  und  umgekehrt  pr 
portional  dem  Quadrat  der  Entfernung  r  sind;  sie  verursac 
ferner  Verschiebungen,  die  umgekehrt  proportional  der  erst 
Potenz  der  Entfernung  und  von  der  Grösse 

sind. 

Diese  Hypothese  also  müsste  auf  ihre  Richtigkeit  durch  Versuc 
geprüft  werden.  Da  dies  mit  unbegrenzten  Platten  nicht  gescheh 
kann,  begrenzt  man  die  Platte  durch  eine  konzentrische  Gylinderflae 
vom  Radius  r^  und  bringt  dort  den  vorher  daselbst  befindlich 
Spannungszustand  künstlich  hervor.  Dazu  ist,  wenn  das  Obige  richi 
ist,  nur  eine  radiale  Druckspannung  nach  innen,  also  eine  Spanno: 

von  der  Grösse  —  p— 4- nötig.  Durch  diese  und  die  Innenspannung pwi 

die  richtige  Spannung  ür^  ^^^  selbst  hervorgebracht,  denn  nach  Formel 
wird  durch  p: 


Von  ür.  G.  HoLziieu.BB.  219 

nach  der  Formel  für  äusseren  Druck  dagegen  wird  durch  p  -^ 


ra*' 


Beide  Wirkungen  geben  vereinigt: 

Im  ganzen  Innern  herrscht  also  der  durch  5)  und  6)  dargestellte 
Spannungszustandy  wie  auch  aus  der  Formel  1)  heirorgeht. 

Sollte  es  also  z.  B.  f&r  das  Hauptrohr  eines  Ringgeschützes 
wünschenswert  erscheinen,  dass  es  wahrend  der  Zeit  der  höchsten 
Spannung  p  auf  Zug  ebenso  stark  wie  auf  Druck  beansprucht  werde, 

so  müsste  der  aufgepasste  Ring  dabei  seinen  Oegendruck  auf  p  -^ 
steigern,  was  auch  erreicht  werden  kann. 

Man  sollte  auf  den  ersten  Blick  meinen,  die  Druckspannungen 
müssten  umgekehrt  proportional  der  ersten  Potenz  des  Radius  sein,  da 
die  cylindrischen  Flächen  dieser  Grösse  direkt  proportional  sind.  Dies  ist 
aber  bekanntlich  nicht  der  Fall,  da  die  Zugspannungen  jeder  Peripherie 
einen  Teil  der  Druckspannung  aufaehmen  und  nur  den  Rest  weiter  wirken 
lassen.  Der  Ring  des  Ringgeschützes  dagegen  giebt  eine  Druckspannung 
derart  her,  dass  das  Material  des  Ebiuptrohrs  in  höherem  Grade  auf 
Druck  beansprucht  wird,  während  die  bedenklich  hohen  Zugspannungen 
Termindert  werden.  Einfache  Rechenbeispiele  ergeben  sich  bei  der 
Annahme  des  vorliegenden  besonderen  Falles,  wie  ich  sie  in  der 
Ingenieur- Zeitschrift  durchfähre. 

Wie  das  einfache  Proportionalitätsgesetz  der  Elastizität  nur  für 
gewisse  Materialien  gilt,  so  wird  auch  die  Torstehende  Hypothese  nur 
eine  beschränkte  Bestätigung  finden.  Dies  schadet  aber  nichts,  da  sie 
uns  für  den  Unterricht  einfache  Übungsbeispiele  verschafft,  die  ge- 
eignet sind,  das  Verständnis  der  Theorie  zu  erleichtem  und  auf 
schwierigere  Annahmen  vorzubereiten.  Handelt  es  sich  in  Wirklich- 
keit um  andere  Potenzen,  wie  es  das  potenzierte  Elastizitätsgesetz  fQr 
gewisse  Materialien  vermuten  lässt,  so  sind  die  Rechnungsschwierig- 
keiten nicht  bedeutendere. 

Aus  den  Gleichungen  5)  geht  hervor,  dass  nach  der  angenommenen 
Hypothese  für  den  Spannungszustand  der  unbegrenzten  Platte  oder  des 
auch  äusserlich  in  entsprechender  Stärke  beanspruchten  Rohres  ein 
Spannungspotential  von  der  Grösse: 

10)  U^p'-^-^Tc- 

t«8teht,  welches  in  der  Form  dem  Newton'schen  entspricht. 

15* 


220  Über  Spannungszustände  etc. 

Gleichzeitig  aber  besteht  f&r  die  radialen  Verschiebungen  ein 
Verschiebungs-Potential:  ' 

11)  F-  (l+-^)l>nMgr-Ä;,lgr. 

Zu  jedem  solchen  Potential  gehört  auch  ein  Drehungspotential^ 
welches  aber  hier  ausser  acht  bleiben  kann^  da  der  Zug  doch  über- 
all gleich  dem  Druck  wird,  so  dass  neue  Rechnungen  überflüssig  sind. 

Auf  das  erstgenannte  Potential  kann  man  die  konforme  Abbildung 
nicht  anwenden,  auf  das  letztere  dagegen  ist  sie  anwendbar.  Beide 
geben  einen  einfachen  Überblick  über  kompliziertere  Zustande  und 
eine  ausserordentliche  Vereinfachung  der  Berechnungen. 

Soll  das  Spannungspotential  der  Reihe  nach  Werte  annehmen,  die 
einer  arithmetischen  Reihe  entsprechen,  so  dass  die  Potentialdifferenzen 

von  Kreis  zu  Kreis  gleich  gross  sind,  so  muss  dasselbe  mit  —  ge- 
schehen.   Ist  die  Reihe  für  jenes  z.B.: 

U,     1,     ^,     öj     4,  .  .  . 

SO  muss  r  die  Werte      i     i      i      i      i 

'o'  T'   ¥'    3"'  J'  •  •  • 
annehmen. 

Soll  dasselbe   mit   dem  Verschiebungspotential  geschehen,  so  hat 

Igr  der  arithmetischen  Reihe  zu  folgen,  also  r  der  Reihe: 

p  +  O    p  +  l     p±2    p±Z 

Häufiger  findet  aber  hier  aus  bekannten  Gründen  die  Reihe: 

^2»  ,  Ist  ,6«  ,8« 

6""  /»         fl  pH  pH  /»""     • 

•  V  «O  .O  aO  .... 

Anwendung,  weil  diese  bequem  auf  die  quadratische  Einteilung  der 
Ebene  führt,  die  bei  dem  Spannungspotential  keine  Anwendung  findet. 
Wichtig  ist  noch  die  Berechnung  der  Verschiebungsarbeit, 
für  die,  weil  die  einzelnen  Teile  einander  ausweichen,  nicht  die  Ver- 
schiebung selbst  massgebend  ist,  sondern  die  an  der  betreffenden 
Stelle  auftretende  Dehnung  und  Verkürzung.  Nach  gebrauchlicher 
Annahme  wächst  während  der  Verschiebung  die  Spannung  regelmässig 

von  0  auf  s  an,  also  wird  —  massgebend.     Hat  ein  Stab  die  Länge  l 

und  den  konstanten  Querschnitt  f  und  ist  die  Dehnung  oder  Verkürzung 

gleich  A,  so  ist  die  geleistete  Arbeit  gleich  -^^f-     Da  nach  bekanntem 

Satze  der  Mechanik  die  Arbeiten  einfach  algebraisch,  nicht  aber  nach 
dem  Parallelogramm,  addiert  werden,  so  ist  die  Berechnung  der 
inneren  Arbeit  des  Materials  sehr  einfach.  Die  Verkürzungsarbeit  und 
die  Verlängerungsarbeit  sollen  getrennt  behandelt  werden.  Nimmt  man 
für   die   radiale  Verkürzung  die  Werte  von  s  und  A  aus  den  Gleich- 


Von  Dr.  G.  Hoixmdlleb.  221 

nngen  5)  und  9)  f&r  /*  die  Cylinderfläche  2rxiy  wo  8  die  Dicke  der 
Platte  ist,  so  ergiebt  sich  als  Summe  der  Yerkürzungsarbeiten 

u 

Berechnet  man  die  Dehnungsarbeit  f&r  den  Ereisring  mit  den 
Radien  r  und  r  +  dr^  und  integriert  man  von  r«  bis  oo,  so  erhält  man 
für  Ä^  denselben  Wert  wie  fQr  A^.  Die  gesamte  innere  Arbeit 
des  Materials  ist  also 

12)  ^.s:gi(,+i).,. 

Dafilr  giebt  es  eine  gute  Probe.  Die  etwa  von  Pulvergasen  an 
die  innere  Wand  abgegebene  Arbeit  ergiebt  sich  aus  p^  der  Fläche 

ifixi  und  aus  der  wirklichen  Verschiebung  -^-  ( 1 H — ) '  wenn  während 

des  Vorgangs  die  Spannung  regelmässig  von  o  auf  p  anwächst,  als 
derselbe  Wert  Ay  so  dass,  wie  zu  erwarten  stand,  die  äussere  Ar- 
beit gleich  der  Summe  aller  inneren  Verschiebungsarbeiten  ist. 

In  der  Ingenieur- Zeitschrift  berechne  ich  Beispiele  unter  Annahme 
eines  Druckes  von  3000  Atmosphären.  Da  die  Verschiebungen  dabei 
nur  die  Grösse  0,195  mm  betn^en,  ist  die  Arbeitsabgabe  gering.  Man 
hat  aber  nach  Abstellung  des  Druckes  an  der  Innenwand  auf  Schwing- 
ungen von  etwa  0,35  mm  zu  rechnen. 

Die  Arbeit  fiEbr  den  Ereisring  mit  den  Radien  r^  und  2ri  beträgt 

j  der  Gesamtarbeit,   die  ganze  übrige  unbegrenzte  Masse  übernimmt 

nur  —'    So  sieht  man  recht  deutlich,  wie  schwach  die  Beanspruchung 

der  äusseren  Masse  ist,  wie  unwirksam  also  die  blosse  Verdickung 
der  Druckrohre  schliesslich  werden  muss. 

Ich  werde  nun  zu  dem  Falle  übergehen,  wo  mehrere  cylindrische 
Ofihungen  in  der  Platte  befindlich  sind.  Ihr  Durchmesser  soll  gegen  ihre 
gegenseitige  Entfernung  klein  sein,  so  dass  dieselben  Vereinfachimgen 
eintreten,  wie  bei  den  in  der  Regel  als  punktförmig  bezeichneten 
Elektroden.  Muss  der  Durchmesser  berücksichtigt  werden,  so  sind 
gewisse  Korrekturen  zu  machen,  die  aber  in  einiger  Entfernung  von 
den  Gylinderwänden  verschwindend  klein  werden.  Da  die  Grösse  der 
Spannungen  auch  von  der  Konstanten  prf  abhängt,  so  sollen  zwei 
solche  Wirkimgen  als  gleichwertig  betrachtet  werden,  sobald  sie 
in  dieser  Konstanten  übereinstimmen.  Vierfache  Spannung  im  Cylinder 
Tom  doppelten  Radius  wirkt  also  ebenso,  wie  einfache  Spannung  im 
Cylinder  vom  einfachen  Radius.  (Vergl.  die  Bestrebungen,  das  Kaliber 
der  Gewehre  möglichst  klein  zu  machen.) 

Die  Elemente  der  Potentialtheorie,  wie  sie  in  meinem  Lehrbuch 
elementar  entwickelt  sind,  setze  ich  als  bekannt  voraus. 


222  Über  Spanniingszustände  etc. 

Spannungen  der  zu  besprechenden  Art  treten  z.B.  auch  ein,  wenn 
kalt  gehaltene  Bolzen  in  cylindrische  Öffiiungen  eingetrieben  werden, 
in  die  sie  noch  hinein  passen^  wenn  die  Platte  stark  erhitzt  ist.  Zieht 
sich  die  Platte  bei  der  Erkaltung  zusammen,  bo  steht  sie  unter  ent- 
sprechender Spannung.  Dies  ist  vielleicht  die  einfachste  Art,  die  Ver- 
suche zu  arrangieren,  da  sich  bei  hydraulischen  Experimenten  die 
Beobachtung  ganz  ausserordentlich  erschwert,  weil  die  Bodenfläche  sich 
anders  verhält  als  die  Gylinderw^nde. 

2.  Mehrpimktprobleme. 

Es  seien  zunächst  zwei  cylindrische  Öffnungen  in  der  unbegrenzten 
Platte,  beide  vom  Radius  a.  In  beiden  werde  dieselbe  Spannung  p  an- 
gebracht. Die  Verbindungslinie  der  Mittelpunkte  M^  und  M^  mache 
man  zur  X-Axe,  ihren  Halbierungspunkt  0  zum  Eoordinatenanfang. 
Ohne  der  Allgemeinheit  zu  schaden,  kann  man  gelegentlich  die  Ab- 
stände OM^  und  MfO  gleich  1  setzen.  Wie  gross  sind  nun  die  Spann- 
ungen in  einem  Punkte  P,  der  von  den  Mittelpunkten  die  Entfernungen 
r^  und  rg  hat? 

Si--ffi^±^    und    S2«<y2«±^ 
geben  die  Resultanten 


*•« 


1)  s^6  =  ±pay-,+  ^  +  —^,^- 

Die- Neigung  a  von  s  ergiebt  sich,  im  Sinne  einer  Anziehung  ^e 
rechnet,  aus 

2)  tan  a  =  -^ — ^^        ,  .     *> 
^  r,  *co8  ^1  -f  Tj  *  sin  -^j 

die  von  ö  ist  um  —  grösser.     Die  eine  Neigung  ist  die  Normale  der 
Niveaulinie: 

die  andere  Normale  der  Orthogonalkurve: 

4)  (cos  ^1  -f  cos  ^g)  =*  y. 

Die  Gleichung  3)  ist  die  der  Spannungslinien  des  Druckes  s,  die 
Gleichung  4)  die  der  Spannungslinien  des  Zuges.  Ihre  Gestalt  ist  aus 
jedem  Werke  der  Potentialtheorie  bekannt.  Eine  sehr  einfache  Kon- 
struktion giebt  das  Maxwellsche  Verfahren,  die  Diagonalkurven  dt-s 
Maschennetzes  der  beiden  Kreisscharen  bezw.  der  beiden  Strahlen- 
büschel zu  zeichnen.  Bei  den  Kreisen  folgen  die  Radien  z.  B.  dem 
besprochenen  Gesetze: 

c:\  111111 

5)  ^;      y.      2^      V      V      ö^-"' 

bei  den  Strahlen  die  Kosinus  der  Neigungswinkel  z.  B.  dem  Gesetze: 

1       .2.3         .  n 


^>    ±n'     ±n'    ±^'---±n 


Von  Dr.  G.  Houmüllbr.  223 

Die  Asymptoten  der  Kurven  4)  folgen  mit  den  Kosinus  ihrer 
Neigungswinkel  demselben  Gesetze.  Das  Spannungspotential  ist  der 
durch  3)  gegebene  Auscbruck: 

Die  Kurven  s  *=  c^  sind  die  Linien  gleicher  Zug-  und  Druck- 
spannung^ die  Kurven  tan  a  =  c^  sind  die  Linien  gleicher  Richtung 
dieser  Spannungen.  Die  letzteren  sind  umgekehrt  proportional  den 
kleinen  Abständen  der  Niveaulinien  3),  sobald  die  Einteilung  5)  ge- 
wählt ist.     Der  Spannungszustand  ist  damit  vollständig  beschrieben. 

Ganz  anderen  Gesetzen  folgen  die  Verschiebungen^  denn 

^^,=  (1+-)^-    und    «^,  =  Cl+i)^.l 
setzen  sich  zusammen  zu  der  resultierenden  Verschiebung: 


2r 
; 


4 

wo  r  der  Radius  OP  ist.  Die  leichte  Umformung  des  ersten  Aus- 
drucks findet  man  in  meiner  Potentialtheorie  (erschienen  bei  B.G.Teubner). 
Die  Richtung  ß  der  Resultante  w  ergiebt  sich  aus: 

,       ^        r,  sin  -O",  +  r,  sin  «O-, 

tan  p  =  --= ^^,—  - — ^* 

^         r,  cos  v^  +  ^1  cos  V, 

Führt  man  wieder  r  und  seine  Neigung  'd'  ein^  so  folgt: 

oderendHch  tan/J  =  tan[(#,  +  ^.)  "  ^], 

9)  i3  =  (^i  +  ^8)-^. 

Der  Faktor  x^  hat  sich  hier  überall  weggehoben. 

Die  Verschiebungen  in  der  Druckrichtung  sind  normal  gerichtet 
gegen  die  Niveaulinien  der  Verschiebung;  deren  Gleichung  lautet: 

10)       (l+i)-|^(lg»-i  +  lg'-,)-c    oder    xj(lgr.  +  lgr,)  =  c, 

wofür  man  auch  schreiben  kann: 

0 

10*)  »'i*'8'==«*S 

so  dass  es  sich  um  konfokale  Lemniskaten  handelt.  Die  Verschiebungs- 
linien selbst  sind  von  der  Gleichung: 

11)  {»i  +  ^t)-y> 

die  bekanntlich  ein  Büschel  gleichseitiger  Hyperbeln  bedeuten. 

Die  MaxweUsche  Konstruktion  giebt  das  richtige  Netz^  wenn  die 
Kreisradien  in  geometrischer  Reihe  aufeinander  folgen,  z.  B.  in  der 
Reilie:  ^2«       ^i«       ^«« 

12)  e^,    e"  »,    c^  »     e""  »,..., 

wahrend  die  Neigungen  der  Strahlen  jedes  Büschels  der  Reihe: 


224  Vrber  SpannangBzust&nde  etc. 

13)  0,    ±^,    ±^,    ±^,... 

folgen.    So  erhält  man  die  Einteilung  in  kleine  Quadrate,  wahrend  die 
Spannungen  auf  unahnUche  Rechtecke  fahrten. 

Der  Ausdruck  fQr  das  Yerschiebungspotential  ist 

14)  F-  (l+  y  ^(Igr,  +  Igr,)  =  x^Clgr,  +  Igr,)  -  «,lg(r.r,). 

Ist  die  Einteilung  ins  Kleinste  fortgesetzt,  so  sind  die  Grössen 
der  Verschiebungen  umgekehrt  proportional  den  Abstanden  der  Niveau- 
linien bezw.  der  Yerschiebungslinien,  d.h.  den  Dimensionen  der  Quadrate. 

Der  in  8)  vorkommende  Ausdruck  x^ ist  der  absolute  Betrag 


r,r^ 


des  Differentialquotienten  derjenigen  Funktion,  durch  die  das  Eurven- 
netz  in  eine  Doppelschar  orthogonaler  Parallelen  transformiert  wird. 
Diese  Funktion  ist 

sobald  M^  um  M^  in  die  Punkte  o; »  ±  1  der  a;-Axe  gelegt  sind  (vergL 
meine  Abhandlung  im  vorigen  Bande  dieser  Zeitschrift).  Sind  dS 
und  ds  einander  entsprechende  Elemente  (wobei  8  nichts  mit  der  Spann- 
ung zu  thun  hat),  so  besteht  zwischen  ihnen  die  Gleichung: 

dS  »=  Xi  — —  ds    bezw.    ds  ^  -^^^  dS. 

In  der  Z- Ebene  sind  alle  Quadratseiten  dS  einander  gleich, 
folglich    sind     die    Quadratseiten     des     lemniskatisch  -  hyperbolischen 

Systems  der  jef- Ebene  proportional  dem  Ausdrucke  -^-^-   Dieser  ist  für 

r     1 

jede  Lemniskate,  auf  der  rir2  konstant  ist,  proportional  — ;  f&r  jeden 
Kreis  um  0  proportional  r^r^. 

Dagegen  ist  der  in  9)  stehende  Ausdruck  ^  — (^i+^t)  der 
Richtungsunterschied  der  dS  g^en  die  ds,  also  ist  die  Neigung  der 
den  horizontalen  Parallelen  entsprechenden  Quadratseiten  gleich 

was  mit  Obigem  übereinstimmt.  ^  —  (-ö-j  +  d-^)  ist  dabei  die  Abweich- 
ung des  Differentialquotienten  der  abbildenden  Funktion  Z. 

Damit  ist  die  Angelegenheit  der  Verschiebungen  auch  funktionen- 
theoretisch erledigt. 

Die  Verschiebungen  gehen  in  den  Hyperbeln  vor  sich.  Daher 
soll  genauer  untersucht  werden,  was  aus  einem  kleinen  lemniskatisch- 
hyperbolischen  Quadrate  eigentlich  wird.  Auf  die  lemniakatischen 
Randlinien  des  Quadrates  wirken  nach  innen  breite  Bündel  von  Druck- 
linien  und  nach  aussen  schmale  Bündel  Ton  ZugUnien,  die  einen  um 
den  kleinen  Winkel  (a  —  /}),  der  aus  2)  und  9)  zu  berechnen  ist,  von 
der  Normalen  abweichend,  die  andern  um  ebensoviel  gegen  die  Rand- 
linie   geneigt.     Entsprechend   wirken    auf    die    hyperbolischen   Seiten 


Von  Dr.  G.  Holzmüllbb 


225 


breite  Bündel  von  Zuglinien  und  schmale  Bündel  von  Drucklinien ,  die 
einen  fast  normal  ^  die  anderen  fast  tangential  ^  die  einen  nach  aussen, 
die  anderen  nach  innen.  Durch  Zerlegung  erhalt  man  die  nor- 
malen Druckkrafte  und  die  tangentialen  Schubkräfte.  Letztere  ver- 
wandehi  die  rechten  Winkel  des  Quadrates  in  spitze  und  stumpfe,  die 
nur  wenig  von  90®  unterschieden  sind.  Die  entsprechenden  Berech- 
nungen können  zur  Kontrolle  durchgeführt  werden,  sind  aber  für  uns 
überflüssig.  Ist  nämlich  in  dem  kleinen  Quadrat  AB  CD  die  Seite 
AD>BCj  so  bewegt  sich  nach  Obigem  j1  um  weniger  als  JB,  der 
Lemniskatenbogen  AB  geht  also  nicht  in  einen  solchen  A^^B^  über, 
sondern  in  eine  Schräglinie  AiB^,  die  um  {  abweicht.  Dieses  i  kann 
genau  bestimmt  werden.     Bezeichnet  man   den  Abstand  OA  mit  r«, 


Fig.  1. 


2ra 


d^egen 


OB  mit  n,  so  wird  in  Figur  1  die  Verschiebung  AA^'^^x^ 
wird  die  „ParaUelverschiebung^^ 

Für  A  und  B  sind  beide  Produkte  r^r^  einander  gleich,  also  ist  der 
Überschuss:  ^  rA  -  r- 

Hier  hat  (nach  Fig.  2)  n  —  ^a  folgende  Bedeutung.    Der  um  0  mit 
OA  beschriebene  Bogen  AC  macht  CB  =  rt,  —  Tay  also  ist 

n  -  r.  -  ABsind^  ^Bsin[(180®-  d)  -  90^-  (cc  ~  90^)], 

wo  a  der  Neigungswinkel  von  AD,  also  gleich  (^|+  d*,)  — ^  ist.    Es 
folgt  r*  —  Ta  =  -4.  -B  •  sin  ("^1  +  -ö*,),  also  ist  der  Verschiebungsüberschuss : 


B^B^ 


und  daher 


^i?.sin(*i+'^»), 


226  Über  Spannangszuetände  etc. 

oder  in  der  ursprünglichen  Bezeichnung: 

15)  tau|=.2fl  +  l)^.-^^^^?i±**)-. 

Hier  sind  für  unendlich  kleine  Quadrate  die  unendlich  kleinen 
Grössen  zweiter  Ordnung  in  aller  Schärfe  berücksichtigt.    Die  Tangente 

des  Schubwinkels  |  ist  also  proportional  der  Grösse   ^       ^       '   -    Für 

die  Eckpunkte  Äj  B,  C,  D  eines  endlichen  „Quadrates''  handelt  es  sich 
um  So,  Sft^  &?,  6d,  so  dass  dieses  ein  Trapez  wird.  Nur  bei  unendlicher 
Kleinheit  kann  es  als  Parallelogramm  angesehen  werden.  Man  beachte, 
dass  die  unterschiede  der  Kräfte  längs  der  Quadratseiten  hier  berück- 
sichtigt werden,  was  in  der  Regel  nicht  geschieht. 

Auf  jeder  Lemniskate  ist  tan  5  proportional  sin  (^^  +  ^g),  auf  jeder 

Hyperbel  proportional Auf  den  Koordinatenazen  ist  tan  5  gleich 

Null,  ebenso  im  unendlich  fernen  Bereich.  Auf  jeder  Lemniskate 
ist  I,  also  auch  die  Schubspannung,  am  grössten  für  d'i+  &^  =  %\ 
d.  h.  im  Schnittpunkte  mit  der  Hyperbel,  deren  Asymptoten  die  Neig- 
ungen ±  45  ^  haben. 

Da  man  sowohl  AÄ^,  als  auch  BB^^,  CCj,  DD^  genau  kennt, 
kennt  man  auch  ^B,,  B^C^,  QD^  und  D^A^  auf  das  genaueste,  da- 
her sind  auch  die  spezifischen  Dehnungen  und  Verkürzungen  bekannt. 

Die  Kurven  gleich  starker  Verschiebung  haben  die  Gleichung: 


16)  2(1+ i) 


pa*      r     


die  Kurven  gleicher  Verschiebungsrichtung  die  Gleichung: 
17)  d',  +  d'i-'»^y. 

Sie  sind  orthogonal  zu  einander  und  bilden  selbst  ein  isother- 
misches Kurvensystem.  In  Figur  135  meiner  Potentialtheorie  und  in 
Figur  45  der  isogonalen  Verwandtschaften  sind  sie  dargestellt. 

Die  Verschiebungen  entsprechen  ganz  den  Geschwindigkeiten  f3r 
das  zweidimensionale  Zweipunktproblem  der  stationären  Strömung  einer 
inkompressiblen  Flüssigkeit  im  Helmholtzschen  Sinne  unter  Annahme 
eines  Geschwindigkeitspotentials.  Beide  Probleme  unterscheiden  sich 
nur  dadurch,  dass  die  Stromfäden  ohne  Reibung  und  sonstige  gegen- 
seitige Einwirkungen  unabhängig  neben  einander  herlaufen,  während 
hier  die  Fasern  mit  einander  verbunden  sind,  so  dass  Zug-,  Dniek- 
und  Schubspannungen  entstehen  müssen. 

Bringt  man  den  beschriebenen  Spannungszustand  hervor,  so  ent- 
stehen die  angegebenen  Verschiebungen.  Bringt  man  die  letzteren 
hervor,  so  entstehen  die  beschriebenen  Spannungen. 


Von  Br.  G.  Holzmülleb.  227 

Wegen  der  Einfachheit  der  Addition  der  Arbeiten  ergiebt  sich 
als  Wert  der  gesamten  inneren  Yerschiebungsarbeit  für  die  Platte  von 
der  Dicke  d  .       «  »  «/^   .    l\  « 

Sind  die  DurchmeBser  der  Cylinder  so  gross,  dass  man  sie  be- 
rücksichtigen  muss,  so  sind  Korrekturen  zu  machen,  die  etwa  der 
Figur  62  der  ,,  Potentialtheorie '^  entsprechen.  In  einiger  Entfernung 
werden  die  Änderungen  verschwindend  klein.  Sie  werden  dadurch 
hervorgerufen  y  dass  die  Kreise  weder  Niveaulinien  der  Spannung  noch 
solche  der  Verschiebung  sind. 

Haben  ftöi*=*Vi  und  ft^*"^^»  ^^  beide  Cylinder  verschiedene 
Werte  ^  so  hört  die  Symmetrie  auf,  und  der  Faktor  pa^  lässt  sich  nicht 
mehr  absondern.  Im  übrigen  aber  sind  die  Rechnungen  dieselben 
Qiid  ohne  jede  Schwierigkeit.  Für  die  Konstruktion  und  Berechnung 
der  Spannungslinien  und  der  Niveaulinien  der  Spannung  werden  die 
Figuren  71  bis  75  meiner  ,, elementaren  Potentialtheorie  ^'  massgebend. 
Die  ersteren  erhalten  die  Gleichung: 

18)  v^  cos  -ö-^  +  Vj  cos  ^,  =  y, 

die  andern  die  Gleichunir:         -,        -, 

19)  i  +  i-'- 

Fflr  die  Yerscliiebungeii  handelt  es  sich  um  die  Gleichungen: 

20)  Vi^i+Vj'O't-yi 
und                           /         i\  1 

oder^  wenn  man  die  Konstanten  mit  nach  rechts  schafft^ 

21)  Vilg^i  +  Vglgr^-Ci. 

Die  innere  Verschiebungsarbeit  des  Materials  wird  för  die  Platte 
Ton  Dicke  d  „^  /        ^v 

Die  Kurven  20)  und  21)  gehören  zu  den  unregelmässigen  Hyperbeln 
und  Lemniskaten  zweiter  Ordnung  ^  deren  Eigenschaften  in  meiner 
.^Theorie  der  isogonalen  Verwandtschaften '^  und  in  der  oben  genannten 
Abhandlung  im  Jahrgang  1897  behandelt  sind.  Die  abbildende  Funktion, 
deren  Differentialquotient  dieselbe  Rolle  wie  oben  spielt^  ist  jetzt  von 

der  Fonn:  ^  ^  (1  +  i)  1,  [,^ig(,  _  ,^)  +  ,,ig(,  _  ,^)3 

Der  absolute  Betrag  und  die  Abweichung  des  Differentialquotienten: 

ergeben  sich  als  jj  _  ^(^^  +  ^^),A^ 


228  Über  Spannangszasi&nde  etc. 

wobei  Tj  und  r,,  '8',  und  ^^  dieselbe  Bedeutung  wie  oben  baben,  während 

der  Radiusvektor  q  von  dem  Punkte     ^  *T_  *  ^   ausgeht.    Dieser  ist  der 

^,  Schwerpunkt^'  von  M^  und  M^y  wenn  man  die  Faktoren  v^  und  v,  als 
Gewichte  auffasst.  Nach  ihm  hin  sind  alle  Asymptoten  der  Kurven  20 
gerichtet.  Auf  Grund  dieser  Bemerkungen  ist  auch  das  unsymmetrisclie 
Zweipunktproblem  fast  wörtlich  wie  oben  zu  erledigen  (vergl.  Jahr- 
gang 1897,  S.  225). 

Dasselbe  gilt  auch  von  den  Mehrpunktproblemen,  wo  sogar  einige 
von  den  Faktoren  v^y  v^^  ^s»  •  •  •  negativ  sein  dürfen,  wie  es  in  der 
vorigen  Arbeit  angenommen  worden  ist.  Hier  würde  dies  den  rein 
theoretischen  Fall  bedeuten,  dass  die  einen  Cylinderwände  auf  Zng, 
die  anderen  auf  Druck  beansprucht  würden.  Die  Zugbeanspruchiug 
lasst  sich  aber  praktisch  kaum  durchführen. 

Handelt  es  sich  z.B.  um  zwei  entgegengesetzt  gleichwertige  Cy* 
linder,  d.h.  gilt  für  den  einen  +  pd',  fÖr  den  anderen  —pa^,  so  geben 

die  Spannungen  die  Linien «=  c  und  cos  -ö-j  —  cos-fr^  =»  y,    die  aus 

****** 
der   Lehre   vom   Magnetismus   bekannt   sind   (vergl.  Figur  70   meiner 

elementaren  Potentialiheorie).  Die  Verschiebungen  hingegen  erfolgen 
in  Linien  d'^—^^^y  mit  den  Niveaukurven  IgVi  — lgVj  =  <?,  die  ein 
Ereisbüschel  und  die  zugehörige  Ereisschar  darstellen.  Für  den  Fall 
der  Ungleichwertigkeit  geht  ein  Teil  der  Spannungslinien  ins  Unend- 
liche, wie  es  dort  in  Figur  76  und  77  gezeigt  ist.  Dasselbe  gilt  von  den 
Yerschiebungslinien  in  ähnlicher  Weise.  Die  Asymptoten  der  Ver- 
schiebungslinien gehen  in  jedem  Falle  nach  dem  Schwerpunkte  der  WunA- 
punkte  der  massgebenden  Funktion  (vergl.  Theorie  der  isogonalen  Ver- 
wandtschaften), der  mit  dem  Massenschwerpunkte  zusammenfallt.  Die 
Bedeutung  der  Lemniskaten  und  Hyperbeln  höherer  Ordnung,  die  för 
zahlreiche  Gebiete  der  mathematischen  Physik  eine  so  grosse  ist 
kommt  also  auch  im  Gebiete  dieser  Festigkeitstheorien  zur  Geltung. 

8.  Bohlussbemerkungen. 

Worin  liegt  nun  der  Wert  der  obigen  Betrachtungen? 

Die  mathematische  Elastizitatstheorie  pflegt,  wenn  sie  im  Sinne 
von  Saint-Venant,  Clebsch  und  Grashoff  von  vornherein  in  voller 
Allgemeinheit  begoimen  wird,  den  Studierenden  der  technischen  Hoch- 
schule und  der  Universität  mancherlei  Schwierigkeiten  zu  bieten.  Sie 
beschäftigt  sich  mit  langwierigen  allgemeinen  Betrachtungen,  für  die 
dem  Durchschnittszuhörer  bestimmte  Vorstellungen  fehlen,  sodass  das 
Fortbestehen  von  Zweifeln  erklärlich  erscheint.  Die  Früchte  werden 
erst  spater  gepflückt  und  wirkliche  Beispiele  kommen  erst  nach 
Kenntnisnahme  des  gesamten  Werkzeugapparates  zur  Geltung. 


Von  Dr.  6.  Holzmülleb.  229 

Ich  glaube,  dass  die  obigen  Beispiele,  die  sich  auf  eine  einfache 
Hypothese  stüi^en,  deren  Richtigkeit  zunächst  als  zweifelhaft  hin- 
gestellt werden  kann,  sich  ganz  ausserordentlich  als  einführendes  Bei- 
spiel eignen  würden,  weil  das  gleichzeitige  Auftreten  der  Zug-,  Druck- 
nnd  Schubspannungen,  der  unterschied  der  Spannungsrichtungen  und 
Verschiebungsrichtungen,  die  Dehnungen,  Verkürzungen  und  Winkel- 
änderungen  in  einer  so  klaren  und  durchsichtigen  Weise  auseinander 
gehalten  werden  können,  dass  der  Studierende  leicht  erkennt,  worauf 
es  ankommt.  Bechnungsschwierigkeiten  aber  finden  sozusi^en  gar 
nicht  statt.  Gleichzeitig  wird  der  Wert  der  Lehren  vom  Potential,  von 
der  konformen  Abbildung  und  den  Kraftlinien  deutlich  ins  Licht  gestellt. 

Weitere  Bemerkungen  lassen  sich  an  das  Einpunktproblem  an- 
sdiliessen,  wenn  man  sich  den  Cy linder  längs  der  X-Axe  aufgeschnitten 
denkt,  wobei  ganz  andere  Verhältnisse  eintreten.  Betrachtet  man  einen 
ausgeschnittenen  Sektor  kleinen  Centriwinkels,  so  kann  man  f&r  die 
Spannungen  das  logarithmische  Potential  anwenden,  för  die  Verschieb- 
ungen das  aus  diesem  durch  Integration  hervorgehende.  Ist  aber  der 
Centriwinkel  grösser,  so  treten  Entlastungen  der  Tangentialspannungen 
ein^  die  kleiner  sind  als  früher.  Die  Anwendbarkeit  der  konformen 
Abbildung  hört  damit  auf,  aber  mit  PotentiaUunktionen  kann  man 
trotzdem  noch  arbeiten. 

Angenommen,  f&r  die  Hohlkugel  mit  unbegrenzter  umgebender 
Masse  liesse  sich  eine  Hypothese  von  ähnlicher  ElnfS&chheit  aufstellen, 
wie  bei  der  unbegrenzten  Platte  mit  einer  cylindrischen  Öffnung,  an- 
genommen also,   auch  hier   dürfte  man  mit  irgend  welchen  Potenzen 

von  r  arbeiten,  z.  B.  mit  —  fttr  die  Spannunffen  und  — }  z.  B. ;  für 

die  radialen  Verschiebungen,  so  würde  dies  zwar  nicht  genau  zu  den 
Resultaten  der  strengeren  mathematischen  Theorie  stimmen,  wie  sie 
z.B.  bei  Eirchhoff  in  der  97.  Vorlesung  abgeleitet  werden,  aber  die 
Potenzen  liessen  sich  doch  so  wählen,  dass  zwischen  beiden  Theorien 
^e  grosse  Annäherung  stattfindet.  Ob  die  Rechnungserleichterungen 
dabei  eb^iso  grosse  sein  würden  wie  oben,  das  bedarf  noch  der  Unter- 
luchung. 

Übrigens  braucht  man  sich  bei  den  ebenen  Problemen  durchaus 
nicht  auf  Punktprobleme  zu  beschränken,  man  darf  auch  Linearprobleme, 
lB.  das  der  elliptischen  Koordinaten,  heranziehen.  Vielleicht  gelingt 
es  auf  dem  vorgeschlagenen  Wege,  auch  anderen  Problemen,  bei  denen 
die  statischen  Unbestimmtheiten  noch  eine  grosse  BroUe  spielen,  zur 
korrekten  oder  angenäherten  Lösung  zu  verhelfen.  Aber  auch  die 
tntersachung  der  Schwingungen,  die  nach  plötzlicher  Abstellung  der 
Spannung  in  dem  Material  eintreten,  z.B.  in  der  Masse  des  Bing- 
gescbützes  nacli  abgegebenem  Schusse,  dürften  sich  an  den  einfachen 
Beispielen,  die  oben  angegeben  sind,  in  Angriff  nehmen  lassen. 


Die  Variabilität  der  Lebewesen  und  das  Gausssche 

Fehlergesetz. 

Von 

Prof.  Dr.  F.  Ludwig 

in  Orels. 


Über   Beziehungen   zwischen  Botanik  und  Mathematik  habe  id 
seit  einer  Reihe  von  Jahren  unter  der  Überschrift:  „Wichtigere  KapW 
aus  der  mathematischen  Botanik^'  in  Hoffinanns  Zeitschrift  für  inath& 
matisch-naturwissenschaftlichen  Unterricht  eingehender  berichtet  (t 
22  des  Litteraturverzeichnisses  am  Schluss  dieses  Aufsatzes).    Dasell 
finden  sich  auch  meine  ersten  eigenen  Untersuchungen  überVariations 
Statistik  niedergelegt,  ein  Wissensgebiet,  durch  das  rasch  eine  Fülli 
ungeahnter   Gesetzmässigkeiten   aufgedeckt  worden   ist,    das  aber 
Mitarbeit  der  Mathematiker  in  Anspruch  genommen  hat  und  fortgese 
in  Anspruch  nimmt.     Der  Botaniker   kann  heutzutage  der  YariatioD 
Statistik   und   der  Variationskurven   ebenso   wenig   entraten,   wie  d 
Anthropologe  und  Zoologe,  sodass  auch  Speziallexika  und  Jahresberiehi 
(z.  B.  Oad,  Reallexikon  der  medizinischen  Propädeutik,   Justs  Bo 
Jahresbericht  in   dem  Abschnitt  über  Variation  und  Bildungsabweic 
ungen  70  und  71  des  Litteraturverzeichnisses)  diesen  Titel   neuerding 
mit  au&ehmen  mussten.   Nur  wenige  Mathematiker  haben  aber  bisk 
dem  neuen  Gebiet  ihre  Aufmerksamkeit  zugewendet  und  unter  di 
am  wenigsten  deutsche  Mathematiker,  obwohl  die  mathematische  Qrm 
läge  von  keinem   Geringeren  als  Gauss  herrührt  (1,  2).     Ich  komi» 
daher  der  Aufforderung  des  Herausgebers  dieser  Zeitschrift  gerne  n 
über   dieses   Grenzgebiet  zwischen  Mathematik  und   den  biologische 
Naturwissenschaften,  in  erster  Linie  der  Botanik,  kurz  zu  berichten. 

Es  sei  mir  dabei  gestattet,  die  Reihenfolge,  in  welcher  ich  selbs 
mit  den  einzelnen  Abschnitten  dieses  Wissensgebietes  bekannt  wurde 
auch  hier  einzuhalten. 

Die  Erfahrung,  dass  das  von  J.  BernouUi  aufgefundene  und  voi 
Poisson  (3)  so  genannte  Gesetz  der  grossen  Zahlen  in  den  Ter 
schiedensten  Gebieten  Geltung  hat,  selbst  da,  wo  scheinbar  willW^ 
liehe  menschliche  Handlungen  vorliegen  (cf.  Ad.  Wagner,  die  Geseti 


Von  Prof.  Dr.  F.  Ludwig.  231 

«gkeii;  in  den  scheinbar  willkürlichen  menschlichen  Handlungen 
t  Standpunkte  der  Statistik,  Litteraturverzeichnis  8);  z.B»  hinsichtlich 

Selbstmorde,  Eheschliessungen ,  des  Verhältnisses  der  Knaben-  und 
lehengebarten,  so  auch  in  Betreff  des  Verhältnisses  der  männlichen 

weiblichen  Individuen  bei  Amphibien  (nach  Pflüger  u.  a.),  bei 
tarialis  annua,  dem  Hanf  und  anderen  Pflanzen  (vergl.  F.  Hey  er, 
dwirtschaftliche  Presse  1886  Nr.  ö;  Fisch,  Berichte  der  deutschen 
.Ge8.Bd.VH3,  S.  136— 146),  diese  Erfahrung  erweckte  in  mir 

Überzeugung,  dass   auch   die  Merkmale,   die  in   ihrer  Gesamtheit 

Wesen  der  Pflanzenspecies  ausmachen,  innerhalb  bestimmter 
»nzen  und  um  bestimmte  Mittel  variieren,  die  sich  aus  der 
tten  Zahl  ermitteln  lassen.  Es  widersprach  das  allerdings  der  An- 
^t  der  meisten  Botaniker.  Während  z.  B.  die  eine  Blumenart  fast 
Der  dieselbe  Blütenzahl  hat,  sollte  bei  der  anderen  nach  der 
recbenden  Meinung  die  Zahl  ganz  regellos  schwanken  (vergl.  63). 
»bachtongen  in  der  grossen  Zahl  haben  meine  Überzeugung  vollauf 
fitigt,  daneben  aber  zwei  weitere  mir  unerwartete  Gesetzmässig- 
len  zu  Tage  gefördert.  Ich  fing  mit  den  Bandstrahlen  der  Eom- 
iten  an  und  zwar  mit  Chrysanthemum  Leucanthemum,  der  gemeinen 
icherblume,  und  fand  hier  schon  nach  wenigen  Zählungen,  dass  am 
figBten  21  Strahlen  auftreten.  Bei  graphischer  Darstellung  ergaben 
fach  schon  die  Variationskurven  für  hundert  Zählungen  nicht  nur 

gleiche  Gipfellage  bei  21  Strahlen,  sondern  auch  sonst  ahn- 
ten Verlauf  und  bei  Zählungen  von  mehreren  Tausenden  zeigten 
Kurven  —  mochten  die  Zählungen  vorgenommen  sein  wo  sie 
Iten,  in  ganz  verschiedenen  Gegenden  —  den  gleichen  Verlauf:  den 
iptgipfel  bei  21,  sekimdäre  Maxima  bei  8,  13,  34  und  deren  Duplis 
I  TripUs.  Weitere  Beobachtungen  an  anderen  Kompositen  ergaben 
löge  Resultate:  allenthalben  waren  neben  dem  Hauptgipfel  Neben- 
kl  vorhanden,  die  sämtlich  bei  den  Zahlen  des  Fibonacci  und 
&  Doppeltem  und  Dreifachem  lagen.    Dieses  Gesetz  fand  sich  nicht 

bestätigt  bezüglich  der  Randstrahlen,  sondern  bezüglich  der 
tenzahl  des  gesamten  Blütenstandes  der  Korbblütler  [Chrysanthemum, 
hemis,  AchiUea,  Centaurea,  Aster,  Senecio,  Solidago,  Bidens, 
iopsifl  etc.  etc.  (vergl.  21,  22,  23,  26,  40,  48,  59,  60,  61,  64)], 
Primnlaceen(49),  Papilionaceen  [Lotus,  Medicago,Trifolium(vergl.62)], 
ümbeUiferen  (40)  und  anderer  Pflanzenfamilien.    Ja,  als  ich  anfing, 

Tersehiedenen  Bäumen  die  Zahl  der  Zweige  am  Ast,  der 
tter  am  Jahrestrieb  festzustellen  (vergL  54),  wo  gewiss  bis 
m  niemand  die  Wiederkehr  bestimmter  Zahlen  vermutete,  da  traf 
gleichfalls  die  Variationskurven  mit  den  Fibonaccigipfeln  (Fibonacci- 
'«n)  wieder.  So  zeigten  die  Kurztriebe  der  Wintereiche  Gipfel  bei 
^^^i  10  (2x5),  13  etc.  Diese  statistischen  Ei^ebnisse  zeigten 
tlich,  dass  das  häufige  Vorkommen  der  5  Zahl  im  Blütenbau,  das 
kommen  der  13  Strahlen  bei  Senecio,  der  55  bei  Helianthus  etc. 


234        ^^®  Variabilität  der  Lebewesen  und  das  Gansssche  Fehlergesetz. 

die   entsprechenden  Ordinaten   der  BinomiaUcurre   sind  fOr  (p  -^  q) 
wo  jp  «  q: 

1    3    11     32     69    121     170    190     169     120    68    31     11     3 

Quetelet  hat  in  der  Anthropometrie  bis  in  alle  Einzelheiten  Mai 
Gewichte  etc.  des  ^mittleren  Menschen^'  bestimmt.  Francis  Gälte 
hat  dann  hauptsächlich  auf  anthropometrischem  Qebiet  die  Giltigb 
des  Quetelet  sehen  Gesetzes  mannigfach  bestätigt  und  die  Kurre 
lehre  und  ihre  praktische  Verwendung  weiter  ausgebaut.  Seine  Wer 
(10,  12,  19,  20),  besonders  die  „Natural  Inheritance''  (25)  bilden  i 
wichtigste  Grundlage  der  folgenden  Untersuchungen  auf  anthrofi 
logischem  und  zoologischem  Gebiet,  wie  der  von  Bateson,  Weldo 
Stieda,  Ammon  (27—34  etc.).  Auch  die  botanischen  Arbeiten  üb 
Variabilität  von  Hugo  de  Vries,  V  er  schaffeit  etc.  beruhen  zunidi 
darauf.  Durch  sie  ist  das  Binomialgesetz  f[lr  die  Variabilität  der  v( 
schiedensten  pflanzlichen  Eigenschaften,  wie  Fruchtlange,  Breite  m 
Lange  der  Blätter,  Zahl  der  Blütenteile,  der  Samen  (bei  Oenother 
Coreopsis,  Anethum,  Zea,  Gingko,  Hedera,  Papaver,  Phaseoh 
etc.),  Gewicht  der  Knollen  (der  Kartoffel)  bestätigt  worden  und  wurde  t 
gleich  meine  Voraussetzung  bestätigt,  dass  all  diese  Merkmale  f&r  je< 
Species  konstante  Mittelwerte  besitzen.  Nach  F.  Galton  werden  i 
mit  den  Wahrscheinlichkeits-  oder  Binomialkurren  übereinstimmend^ 
Variationskurven  vielfach  als  „Galtonkurven^  (nach  dem  Yorgaz 
von  de  Vries)  bezeichnet. 

Umfangreiche  nun  folgende  Untersuchuii^en  ergaben,  dass  ansa 
den  einfachen  Variationskurven  noch  eine  Beihe  anderer  Korrenformj 
vorkommen,  die  dem  Forscher  über  die  Variabilität  überhaupt,  wie  ü 
die  Grenzen  der  Species  und  Basse  Aufschluss  geben.  In  erster 
sind  hier  die  Kombinations-  oder  Summationskurven  zu  ne 
Erstrecken  sich  die  statistischen  Erhebungen  auf  dasselbe  Merka 
bei  zwei  oder  mehreren  Species  zugleich,  deren  jede  für  sich  ei 
einfache  Binomialkurve  ergeben  hätte,  so  kommen  zwei-  oder  mei 
gipfelige  Kurven  zu  stände,  deren  Hauptgipfel  die  der  Einzelsped 
sind;  vielfach  werden  dabei  noch  Scheingipfel  (vergL  40  S.  16  & 
durch  Häufung  der  gipfelnahen  Werte  gebildet.  Schliesslich  kSnij 
die  zwischen  den  Hauptgipfeln  gelegenen  Werte  derart  das  Übe 
gewicht  gewinnen,  dass  wieder  eine  einfache  Kurve  mit  sehr  vi 
breitertem  Gipfel  (bei  einer  der  Mittelzahlen)  zu  stände  kommt  —  <i 
sogenannte  Livische  Kurve.  Zweigipfelige  Variationskurven  halx 
z.B.  Bateson  und  Brindley  (30)  zur  Entdeckung  einer  lang-  oi 
einer  kurzzangigen  Rasse  des  gemeinen  Ohrwurmes  in  England,  ein 
lang-  und  kurzhömigen  Basse  bei  dem  javanischen  Käfer  Xylotrop 
Gideon,  Giard  bei  Garcinus  moenas  zur  Entdeckung  einer  besonder 
Basse,  geführt,  die  ihre  Existenz  einem  Parasiten  Portunion  moemui 
verdankt  (31,  32).    Ammpn  führten   sie  zu  dem  Schluss,    dass  i 


Von  Prof.  Dr.  F.  Ludwig.  235 

heutige  Bevölkerung  Badens^  und  A.  Bertillon,  dass  die  im  Departe- 
ment Doubs  ans  einem  Gremisch  zweier  Yölkertypen  bestehe  (dort 
einem  dolichocephalen  germanischen  und  einem  bracbycepbalen  vor- 
germanischen  Typus;  hier  aus  Sequanem  und  spater  eingewanderten 
Burgundern).  Zu  ahnlichem  Schluss  führten  Zograf  Eurren  mit  zwei 
Hauptgipfeln  und  einem  Scheingipfel. 

Im  Pflanzenreich  hat  de  Vries  aus  zweigipfeligen  Kurven  bei 
Chrysanthenum  segetum  gleichfalls  auf  zwei  Rassen  geschlossen;  die 
er  dann  in  der  Kultur  isolierte  [(43)  und  nach  brieflichen  Mitteilungen 
an  mich].  Ich  habe  bei  einer  ganzen  Anzahl  von  Doldenpflanzen  mehr- 
gipfelige  Kurven  erhalten  und  dann  an  verschiedenen  Standorten  auch 
die  ihren  Gipfeln  entsprechenden  Einzelrassen  au%efunden  (40).  Die 
Statistik  ist  hier  berufen ,  die  weitere  Verbreitung  von  poly typischen 
Arten  aufzudecken,  wie  sie  de  Bary  und  Rosen  auf  anderem  Wege 
bei  dem  Hungerblümchen  (Erophila  vema)  fanden  (vergl.  Botanische 
Zeitung  1889).  Wie  eine  zweigipfelige  Kurve  zur  Auffindung  und  Unter- 
scheidung leicht  zu  verwechselnder  Spezies  fBhren  kann,  habe  ich  für 
unsere  einheimischen  Wicken  (59  S.  3)  und  f&r  Senecio  nemorensis  und 
S.  Fuchsii  (48)  des  Näheren  gezeigt. 

Diese  Eombinationskurven  sind  daran  leicht  zu  erkennen,  dass, 
wahrend  die  Abscissen  der  Gipfel  immer  die  gleichen  bleiben,  die 
Ordinaten  von  Beobachtungsort  zu  Beobachtungsort  sich  ändern  (je 
nach  dem  Vorherrschen  der  einen  oder  anderen  Species).  Dies  gilt 
auch  von  den  nach  de  Yries  f&r  monströse  Rassen,  z.  B.  Rassen  mit 
Verbanderung  etc.  (54,  femer  de  Vries  ErfeUjke  monstrositeiten  in 
den  zuilhandel  der  botanische  tuinen  Jaarboek  d.  Dodonaea,  Gtent  1897, 
S.  62— 93)  charakteristischen  dimorphen  Kurven,  welche  aus  einer 
„halben  Qaltonkurve^  (einem  Ast  einer  Binomialkurve  der  Atavisten) 
und  einer  zweiästigen  Kurve  der  Monströsen  besteht  Durch  bessere 
Ernährung  wird  hier  der  Gipfel  der  Atavisten  erniedrigt,  der  der 
Monströsen  erhöht.  Gipfellage  und  Gesamtform  bleiben  im  übrigen 
dieselben. 

Mehrgipfelige  („pleomorphe'^  Kurven  kommen  aber,  wie  wir  an- 
fangs sahen,  auch  bei  einheitlichen  Arten  (wie  Chrysanthemum  Leu- 
eanthemum)  vor  und  sie  unterscheiden  sich  von  den  Kombinationskurven 
dadurch,  da^ss  Abscissen  und  Ordinaten  der  Gipfel  immer  dieselben  bleiben. 
Sie  können  sogar  bei  statistischen  Untersuchungen  an  ein  und  dem- 
selben Individuum  (Baum  etc.)  zu  stände  kommen,  sodass  sich  uns 
die  Vorstellung  aufdrängt,  dass  hier  in  ein  und  demselben  Individuum 
oder  einer  Art,  den  verschiedenen  Gipfeln  entsprechend,  verschiedene 
Arten  von  Keimplasmen  in  konstantem  Verhältnis  vereinigt  sind, 
▼ie  in  dem  frfQieren  Fall  Individuen  verschiedener  Pflanzenspecies. 

Weiter  seien  hier  hervorgehoben  Variationskurven,  die  von  den 
gewöhnlichen  Binomialkurven  dadurch  abweichen,  dass  sie  nahe  dem 
Cripfel  einen    unverhältnismässig   steilen  Verlauf  haben,  die  „Hyper- 

16* 


Die  Variabilii&t  der  Lebewesen  und  das  Gansssche  Fehlergesetz. 

boKMaulknrven''  (wie  umgekehrt  die  Livikurven  einen  zu  flachen 
Gipbl  haben).  Sie  sind  im  Pflanzenreich  sehr  häufig  und  wären  nach 
Tersehaffelt  (39;  44)  darauf  zurückzuführen ^  dass  ein  ziemlich  an* 
•eimlicher  Prozentsatz  der  Individuen  an  der  fluktuierenden  Einzel- 
Tariation  nicht  teil  nimmt.  Sie  lassen  sich  auch  als  Kombinations* 
knnren  zweier  Rassen  von  gleicher  Lage  des  Hauptgipfels  aber  un- 
gleicher Variabilität  auffassen. 

Schliesslich  mögen  hier  noch  die  ^^Parabinomialkurven'^  Erwähnung 
finden,  unsymmetrische  BinomialkurveU;  wo  im  Binom  {p  +  g)*, 

ist,  die  besonders  bei  sexuellen  Merkmalen  oder  durch  die  Sexualität 
beeinflussten  Organen  (yergL  z.  B.  Ammon  57)  zum  Vorschein  kommen 
(Zahl  der  Samen  in  der  Hülse  bei  Indigofera  australis  etc.)  und  gleich- 
falls wichtige  Aufschlüsse  geben. 

Zur  genaueren  Bestimmung  der  Variationskurven ,  bezüglich 
Variationspolygone,  wie  überhaupt  zur  präzisen  Feststellung  der 
Variationsverhältnisse  ermittelt  man  am  praktischsten  die  Gausssche 
Kurve  der  wahrscheinlichen  Abweichungen  (Pehlerverteilung)  mittelst 
des  Integrals  ^        P     xx 

und  der  übrigen  Gaussschen  Formeln  z.B.  nach  der  von  Hagen 
(9)  angegebenen  Methode  (69;  vergl.  auch  Stieda  28,  femer  35).  Eine 
andere  Methode  zur  Bestimmung  der  Variationspolygone  hat  Pearson 
(47  Vol.  186  A  etc.)  angegeben,  über  die  demnächst  Dr.  6.  D  unk  er  in 
einer  besonderen  Arbeit  berichten  wird. 

Die  theoretische  Variationskurve  lässt  sich  nach  den  ersten  Methoden 
berechnen  und  darstellen  aus  zwei  Grössen  w  und  M^  wo  M  das 
arithmetische  Mittel  aus  den  Einzelbepbachtungen,  w  die  wahrschein- 
liche Abweichung  darstellt. 

Es  ist         w==  0,845332  w    oder    -0,674486?, 

wo  m  die  mittlere  Abweichung  imd  q  die  Wurzel  aus  dem  mittleren 
Fehlerquadrat  bezeichnet.  Letztere,  die  zur  Berechnung  von  w  den 
genauesten  Wert  liefert,  ist  gleich  der  Quadratwurzel  aus  der  durch  die 
Zahl  der  Beobachtungen  geteilten  Summe  der  Quadrate  der  Abweich- 
ungen der  Einzelbeobachtimgen  vom  Mittel  Jtf , 


-V 


£d 


n 

Die  Grössen  w  und  M  geben  daher  über  den  ganzen  Verlauf  der 
Variation  Auskunft,  wenn  es  sich  um  eine  normale  eingipfelige 
Variationskurve  handelt,  und  zwar  genügt  dann  schon  eine  ver- 
hältnismässig geringe  Zahl  von  Beobachtungen.  Aus  einer 
solchen  lässt  sich  auch  schon  ermitteln,  ob  die  Variation  die  Ganss- 
sche Kurve  liefert  und  lässt  sich,  wenn  dies  der  Fall,  der  ganze  Verlauf 


Von  Prof.  Dr.  F.  Ludwig.  237 

■ 

der  Variation  darsteUen,  wahrend  zur  Bestimmung  desselben  auf  em- 
pirischem  Weg  eine  grosse  Zahl  von  Beobachtungen  nötig  wäre.  Weiter 
dient,  wenn  die  Yariationskurve  keine  normale  monomorphe  Binomial- 
kurre  darstellt,  die  aus  tv  und  M  abgeleitete  Wahrscheinlichkeitskurve 
als  Kriterium,  ob  die  untersuchte  Variation  eine  Hyperbinomialkurve, 
eine  Livische  Eurre,  Parabinomialkurve,  oder  eine  polymorphe  Kurve 
ergiebt  Alle  diese  Kurven  lassen  sich  aus  den  normalen 
Wahrscheinlichkeitskurven  ableiten  oder  darauf  zurückführen. 
In  einzelnen  Fällen  ist  auch  eine  analytische  Reduktion  auf  die  mono- 
morphen Kurven  gelungen,  so  bei  den  Hyper-  und  Parabinomialkurven, 
in  anderen  Fällen  fehlt  es  aber  noch  an  einer  handlichen 
analytischen  Reduktion  und  hier  ist  es,  wo  die  Fachmathe- 
matiker der  Variationsstatistik  hilfreiche  Hand  reichen 
müssen,  so  bei  den  gerade  bei  pflanzlicher  Variation  so  häufigen  poly- 
morphen Kurven,  von  denen  wir  ausgingen.  Pearson  beschäftigte 
sich  bisher  nur  mit  einem  kleinen  Bruchteil  dieses  Problems. 

Bei  den  hyperbinomialen  Kurven  habe  ich  gezeigt  (69,  S.  14  flg.), 
wie  sie  sich  auf  die  normalen  Kurven  zurückfahren  lassen.  Werden 
n^  in  bestimmter  Weise  variierende  Individuen  mit  n,  in  einem  anderen 
Maße  aber  um  dasselbe  Mittel  variierenden  zusammengezählt,  so  ist 
für  die  erstren  j£^ « 

für  die  zweiten  ^^  t 


«i 


nnd,  da  Zd^^+£d^^^  Zd^  für  die  Gesamtkurve 

y     »*i + ^ 

Nehmen,  wie  dies  Verschaffelt  voraussetzt,  n,  — %  Individuen 
an  der  fluktuierenden  Einzelvariation  nicht  teil,  so  wird 


und 


1   /**!  +  **! 


und  es  lasst  sich  n^  und  n^  .ermitteln.  So  ergab  die  Hyperbinomial- 
kurve  von  Chrysanthemum  segetum  (Zahl  der  Bandstrahlen)  um  Brote- 
rode  in  Thüringen,  dass  daselbst  58%  der  Individuen  variieren, 
42%  an  der  Variation  nicht  teilnehmen;  die  theoretische  Kurve  stimmt 
unter  dieser  Voraussetzung  mit  der  Beobachtungskurve  überein.  Ahn- 
liche Übereinstimmung  habe  ich  bezüglich  der  theoretischen  und  em- 
pirischen Kurve  für  Bellis  perennis  (Variation  der  Hüllblätter)  gefunden. 
Bezüglich  der  analytischen  Darstellung  der  unsymmetrischen  Para- 
binomialkurven  (44,  57,  59),   bei   denen   die  Entfernungen  je   zweier 


238        ^^  Variabilität  der  Lebewesen  und  das  Gausssche  Fehlergesetz. 

beliebigen  gleichen  Ordinaten  von  der  grössten  Ordinate  in  dem  kon- 
stanten Verhältnis  p :  q  stehen,  yergl.  Pearson  (47),  femer  A.  Cour- 
not (4). 

Vielfach  begnügt  man  sich  bei  statistischen  Untersuchungen  über 
Variabilität  der  Lebewesen  mit  der  blossen  Ermittelung  von  M  und  vo 
(oder  g).  (14— 17  etc.)  Die  Grösse  w  (wahrscheinliche  Abweichung) 
heisst  auch  der  Oscillationsindex  (Stieda)  der  Beobachtungsreihe, 

^  der  Variabilitätskoeffizient  (Davenport,  Brewster),  «;  stimmt 

mit   dem    Galton  sehen   Quartilwert    Qy    mithin  -^    auch   mit  Yer- 

schaffelts  Variationskoeffizienten  -,-  überein. 

iß 

Auch  der  Ausdruck  T7=  {n  Zahl  der  Beobachtungen  hat  noch  eine 
besondere  Bedeutung  bei  Beurteilung  der  Sicherheit  für  die  Bestimm- 
ung  des  Mittelwertes.     Es  gietit  nämlich   12 » —p=^  die  Schwankung 

yn 

des  Medianwertes  M  d.  h.  die   Grenzen  an,  zwischen   denen  sich  das 
Mittel  bewegt  {M  ±  B), 

Ausser  zur  Messung  der  Variabilität  selbst  und  zur  Ermittelung 
der  Beziehungen  zwischen  individueller  Variation  und  spezifischen 
Unterschieden  (vergl.  67),  liefern  die  aus  der  Wahrscheinlichkeitslehre 
abgeleiteten  Formeln  ein  wichtiges  Mittel  zum  Nachweis  von  Eorre- 
lationsbeziehungen  zwischen  verschiedenen  Merkmalen.  Man  findet  die 
Theorie  fdr  die  Studien  dieser  korrelativen  Variation  bei  Galton  (23^ 
Er  hat  daselbst  einen  gemeinschafklichen  arithmetischen  Ausdruck  Ar 
Wirkungsform  und  -Intensität  der  zwischen  zwei  Merkmalen  bestehen- 
den Korrelation  nachgewiesen.  Anwendungen  dieser  Formeln  finden 
sich  z.B.  in  den  Arbeiten  von  Georg  Duncker  (68),  wo  Korrelations- 
erscheinungen bei  Fischen  und  von  Davenport  und  Bullard  (56)^ 
wo  solche  beim  Schwein  nachgewiesen  worden  sind. 

Zum  Schluss  machen  wir  nur  noch  auf  eine  Reihe  anderer  mathe- 
matischer Probleme  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung  aufmerksam, 
welche  von  J.  D.  H.  Dickson  bearbeitet  worden  sind  (Proc.  Roy.  Soc. 
London  Nr.  242, 1886,  S.  63  flg.)  und  bei  der  Behandlung  der  Erblichkeite- 
statistik vorzügliche  Dienste  geleistet  haben.  Man  sehe  ihre  Ver- 
wendung in  dem  vorzüglichen  Werk  von  Galton  (25),  das  überhaupt 
eine  wahre  Fundgrube  interessanter  und  wichtiger  Anwendungen  der 
Mathematik  in  der  Variationsstatistik  ist  (z.  B.  S.  69  flg.,  83—138, 
221-224). 

Das  folgende  Litteraturverzeichnis  soll  uns  mit  den  wichtigsten 
bisherigen  Abhandlungen  über  Variationsstatistik  bekannt  machen  (di^ 
für  den  Mathematiker  unentbehrlichsten  sind  gesperrt  gedruckt). 


Von  Prof.  Dr.  F.  Ludwig.  239 


Litteraturverzeichnis. 

1.  6  an 88,  Karl  Friedr.,  Theoria  motus  corpomm  coelestium,  Hamburg  1809. 

2.  Gauss,  E.  F.,   Theoria  combinatioms  observaüonam  erroribus  minimis   ob- 

noxiae.    Göttingen  1823. 

3.  Poisson,   Recherches   sur  la  probabilit^   des  jngements   en   mauere   crimi- 

nelle et  en  mati&re  civile.    Paris  1837  chap.  8  et  4  (lois  des  grands 
nombres). 

4.  Conrnot,  A.,  Exposition  de  la  th^orie  des  chances  et  des  probabilit^s.   Paris, 

Hachette  1843. 

5.  Qu^telet,  Ad.,  Sur  Tappr^ciation  des  moyennes,  Bull,  de  la  commission  centr. 

Statist,  t.  II,  p.  806-273,  1845. 

6.  Qu^telet,  Ad.,  Lettres  sur  la  th^orie  des  probabilit^ts  appliqu^e 

aux  sciences  morales  et  politiques,  Brüxelles  1846. 

7.  Qu^telet,  Ad.,   Du  sjst^me  social  et  des  lois  qui  les  r^gissent.   Paris  1848. 

8.  Wagner,   Adolph,   Die  Gesetzmässigkeiten  in   den  scheinbar  willkürlichen 

menschlichen   Handlungen    vom    Standpunkte    der  Statistik.     Ham- 
burg 1864. 

9.  Hagen,   G.,    Grundzüge    der  Wahrscheinlichkeitsrechnung,   Berlin 

1867. 

10.  Galton,  F.,  Hereditary  Genius,  London  1869. 

11.  Qn^telet,  Ad.,    Anthropom^trie   ou  mesure  des  diff^rentes  facul- 

tas de  rhomme,  Brüssel,  Gent  und  Leipzig  1871. 

13.  Galton,  F.,  English  Men  of  Science  their  nature  and  nurture,  Lon- 
don 1874. 

13.  Mayr,  G.,  Die  Gesetzmässigkeit  im  Gesellschaftsleben,  München  1877,  S.  66. 

U.  Lewis,  W.,  Über  die  Theorie  der  Stabilität  statistischer  Reihen.  Hilde- 
brandts Jahrbücher  für  Nationalökonomie,  Bd  32  S.60  — 97,  Jena  1879; 
Witt,  Hugo,  Die  Schädelform  der  Esten.   Dorpat  1879.    54  S. 

15.  von  Schrenck,  A.,    Studien  über  Schwangerschaft,    Geburt   und  Wochen- 

bett bei  der  Estin  nebst  Untersuchungen  über  das  Becken  derselben, 
Dorpat  1880 ,  376  S. 

16.  Strauch,  Max,  Anatomische  Untersuchungen  über  das  Brustbein,  Dorpat 

1881,  50  S. 
7.  Henicke,  Fr.,    Die  Varietäten  des  Herings.    Mitt.  d.  Komm.  z.  wiss.  Unters. 
der  deutschen  Meere.   L  Jahrg.:  IV— VI,  1878,  S.  37— 132;  IL  Jahrg.: 
VE— XI,  1882,  S.  1—86. 

18.  Livi,  Th.,  Sulla  statura  degli  Italiani,  Firenze  1883. 

19.  Galton,  F.,    Inquiries  into  Human  Faculty  and  its  Development 

1888. 
SO.  Galton,  F.,  Record  of  Family  Faculties,  1884. 

21.  Ludwig,  F.,  Die  Anzahl  der  Strahlenblüten  bei  Chrysanthemum  Leucanthe- 

mum.   D.  Bot  Monatsschr.  1887,  Nr.  3. 

22.  Ludwig,    F.,    Einige    wichtige   Abschnitte    der    mathematischen   Botanik. 

Hoffinanns  Zeitschr.  f.  math.  naturw.  Unterr.    1888,  XIV  S.  161  flg., 
241  flg.,  321  flg.;  1887  XIX  S.  321  flg.;  1890  S.  243  flg. 

23.  Galton,  F.,  Correlations   and  their  measurement.    Proceedings  Roy. 

Soc.  Lond.VoL46  1888,  p.  135^145. 

24.  Ludwig,  F.,  Über  Zahlen  und  Maße  im  Pflanzenreiche.    Wiss.  Rundschau 

der  Münchener  Neuesten  Nachrichten  1889  Nr.  84. 


240        ^^®  Variabilität  der  Lebewesen  and  das  Gausssche  Fehlergesetz. 

26.  Galton,  F.,  Nataral  Inheritance,  London  1889. 

26.  Ludwig,  F.,  Die  konstanten  Strahlenkunren  der  Kompositen  and  ihre  Maxima. 

Verh.  d.  Naturf.  Ges.   za  Danzig  1890,   S.  177  flg.,  Taf.  VL 

27.  Weldon,  W.  F.  R.,  The  Variation  occarring  in  certain  Decapod  Crustacea 

I  Crangon  vulgaris.  Proceed  Roy.  Soc.  Lond.  Vol.  47  1890,  p.  445 — 463. 

28.  Stieda,    Ludw.,    Über   die  Anwendung^  der  Wahrscheinlichkeits- 

rechnung in  der  anthropologischen  Statistik.  Braunschweig, 
1.  Auflage  1882,  2.  Auflage  1892,  26  S.  u.  4  Fig. 

29.  Bateson^  W.,  On   numerical  Variation  in  Teeth  with   a  discussion   of  the 

Conception  of  flomology.  Proceed.  of  the  Zool.  Soc.  Lond.  1892 ,  p.  lOi 
bis  116.  • 

30.  Bateson,  W.,  and  H.  H.  Brindley,   On  some  cases  of  Variation  in  Secon- 

dary  Sexual  Characters  statistically  examined.  Proceed.  of  the  Zool. 
Soc.  of  Lond.  1892,  p.  686  —  694.  ♦ 

31.  Weldon,  W.  F.  R.,  Certain  correlated  Variations  in  Crangon  vul- 

garis.    Proceed.  Roy.  Soc.  VoL  61  1892,  p.  2  —  21. 

32.  Weldon,  W.  F.  R.,  On  Certain  correlated  Variations   in  Carcinu» 

maenas.    Proceed.  Roy.  Soc.  Vol.  64  1893,  p.  318— 329. 

38.  Ammon,  0.,  Die  natürliche  Auslese  beim  Menschen.    Jena  1893. 

34.  Petersen,  G.  C.  J.,  On  some  Zoological  Characters  applicable  by  the  Deter- 
mination of  young  (post  larval)  Fiat  fishes  Rep.  of  the  Daniah  Biol. 
Station  IV  1893. 

36.  A  Meeriman,  M.,  Textbook  on  the  method  of  least  Squares.  New- York  1894. 

36.  Thompson,    H.,    On   Correlation   of   certain    extemal    Parts    of    Palaemon 

serratus.    Proc.  Roy.  Soc.  Lond.  Vol.  66,  1894,  p.  221—243. 

37.  Bateson,  W.,    Materials   for   the  Study   of  Variation  treated  with  especüd 

Regard  to  Discontinuity  in  the  Origin  of  Species  London  1894, 
698  S.,  209  Fig.  (Das  reichhaltigste  Material  über  Variation  bei  den 
Tieren  aus  allen  Tierkreisen.) 

38.  de  Vries,   Hugo,    Über  halbe   Galtonkurven  als   Zeichen  diskon- 

tinuierlicher Variation.  Ber.  d.  D.  Bot.  Gesellsch.  Bd.  Xu  1894. 
S.  197-207  mit  1  Taf  Archiv  N^erl.  T.  28  livr.  6;  Kruidk.  Jaarboek 
Dodonaea  Bd.Vn,  S.  74. 

39.  Verschaffelt,  Ed.,  über  graduelle  Variabilität  von  pflanzlichen 

Eigenschaften.    Ber.  D.  B.  Ges.  Xu  1894,  S.  360—366. 

40.  Ludwig,  F.,    Über   Variationskurven    und   Variationsflächen   der 

Pflanzen.  31  S.  und  2  Tafeln.  Bot.  Centralbl.  LXIV  1896,  Nr.  1-7: 
1.  Variationskurven  der  Kompositen;  2.  Über  das  Qu^teletsche  Gesetx 
der  einfachen  Variationskurven;  3  Summationskurven  derümbelliferen : 
4.  Zur  Geschichte  der  polymorphen  Kurven;  6.  Darstellung  des  ge- 
samten Variationskomplexes;  6.  Gesetz  der  Entwickelung  nach  den 
Zahlen   des  Fibonacci.     Variationskurve   des  Crataegus -androeceum. 

41.  Eigenmann,  C,  Leuciscus  balteatus  Rieh.  A.  Study  in  Variation.   American 

Naturalist  1896  Jan.,  p.  10—26. 

42.  Duncker,  Georg,  Variation  und  Verwandtschaft  von  Pleuronectes  flesus  L. 

und  PI.  plattessa.  Wissenschaftl.  Meeresnntersuchungen,  heraus- 
gegeben von  der  Konmiission  zur  wiss.  Unters,  d.  dtsch.  Meere  zu 
Kiel  und  der  Biol.  Anstalt  auf  Helgoland,  N.  F.  1.  Bd.  2.  H.,  S.  47—103. 
1896. 

43.  de  Vries,  Hugo,  Eine  zweigipflige  Variationskurve.   Archiv  für  Ent- 

wickelungsmechanik  der  Organismen  1898,  Bd.  2,  H.  1,  S.  66. 

44.  Verschaffelt,  Ed.,  über  asymmetrische  Variationskurven.     Ber.  d. 

D.B.  Ges.  XIII  1896,  H.  8,  S.  348--366  mit  1  Taf. 


Von  Prof.  Dr.  F.  Lüdwio.  241 

45.  Bnrkill,    J.  H.,    One   Bome  YariationB  in  the  Number  of  Stamens  and  Car- 

pels.    Joom.  Linn.  Soc.  Botany  Vol.  XXXI  1895,  S.  216—246. 

46.  fiateson,  W.,   On  the  Colour-Variations  of  a  Beele  of  the  Family  Chry- 

Bomelidae  statisticaly  examined  Proceed.  of  the  Zool  Soc.  of  London 
1896,  p.  860  —  861,  1  kol.  Taf. 

47.  Fearson,  K,  Procee4.  Roy.  Soc.  Lond.Vol.67,  1896,  p.267,  Math.  Con- 

tribntione  to  the  Theory  of  Evolution  etc.  Philosophical 
Transact.  Roy.  Soc.  London  1896  Vol.  186  A,  1896  Vol.  186  A,  1896 
V.  187  A, 

48.  Ludwig,  F.,  Weiteres  über  Fibonaccikurven.     1.  Die  nnmerische  Variation 

der  genamten  Blüten  der  Eompositenköpfe.  2.  Joh.  Kepler  über 
das  Vorkommen  der  Fibonaccireihe  im  Pfliüzenreich.  B.  C.  Bd.  LXVilL, 
1896,  Nr.l  mit  einer  Tafel. 

49.  Ludwig,   F.,  Eine   fänfgipfelige  Variationsknrve.    Ber.  d.  D.  Bot.  Ges.  XIV, 

1896,  S.  208  flg.  mit  einer  Figur. 

60.  Amann,  J.,  Application  du  Calcul  des  Probabilitäs  k  T^tude  de  la  Variation 

d'nn  type  v^gätal.  Bull.  herb.  Boissier  T.  IV  Genöve  et  B&le,  1896, 
8. 677-690. 

61.  Went,  F.H.F. C.  en  Prinsen  Geerligs,  H. C,  Zaaiproeven.  Archief  voor  de 

Java-Suikerindustrie  in  West- Java.    Te  Eagok-Tegal.  1896.   4.  Aufl. 

62.  Warren,  E.,   Variation   in  Portunas   depurator.     Proceed.  London,  Vol.  60, 

1896,  S.  221—248. 

63.  Stead,  J.  B. ,  Variation  and  Relationship  of  the  Flounder  an   the  Piaice 

Joum.  Marin.  Biol.  Assoc.  Vol.  3,  1896,  p.  293—299. 

64.  deVries,  Hugo,  Sur  les  courbes  galtoniennes  des  monstruositäs. 

Bull.  Scientif.  de  la  France  et  de  la  Belgique  publik  par  Alfred  Giard, 
T.  XXVn,  1896,  p.  896—418  mit  fänf  Figuren. 
66.  Burkill,  J.  H.,  Teratological   Obsenrations   on   Pamassia  palustris,   Joum. 
of  Bot.  January  1896,  4  S. 

56.  Davenport,  C.B.  andBuUard,  CA.,  Contribution  to  the  quantitative 

Study  of  Gorrelated  Variation  and  the  Comparative,  Varia- 
bility  oi  the  sexes.  Proceed.  of  the  American  Academy  of  Arts  and 
Sciences  Vol.XXXH,  Nr.  4,  Dec.  1896,  S  87—97. 

57.  Ammon,  Otto,  Der  Abänderungsspielraum,  Ein  Beitrag  zur  Theorie 

der  natürlichen  Auslese.    Berlin,  F.Dümmler,  1896, 66S. 

68.  Haacke,  Wilh.,    Über   numerische  Variation  typischer   Organe   und   kor- 

relative Mosaikarbeit.    Biol.  Centralbl,  Bd.  XVI,  1896,  S.  482—647. 

69.  Ludwig,    F.,    Beiträge    zur    Phytarithmetik,     8  S.  und  6  Fig.,    Bot. 

Centralbl.,  Bd.  LXXI,  1897:  1.  Einige  weitere  Untersuchungen  zur 
Ermittelung  der  Zahlenverhältnisse  der  Pflanzen  und  ihrer  Variations- 
weite; 2.  Variationskurve  und  Species;  3.  Die  Multipla  der  Fibonacci- 
zahlen  in  den  Kurven  der  numerischen  Variation  der  Blütenstände 
etc.;  4.  Eine  neue  Darstellung  der  Näherungswerte  der  Eettenbrüche 
und  die  Verwandtschaften  der  phyllotaktischen  Hauptreihe. 
€0.  Ludwig,  F.,  Das  Gesetz  der  Variabilität  der  Zahl  der  Zungen- 
blüten von  Chrysanthemum  Leucanthemum.  Mitt.  d.  Thür. 
Bot.Ver.    Neue  Folge,  H.  X,  1897,  S.  20—28. 

61.  Ludwig,  F.,  Nachträgliche  Bemerkungen  über  die  Multipla  der  Fibonacci- 

zahlen  und  die  Koexistenz  kleiner  Bewegungen  bei  der  Variation 
der  Pflanzen.    Bot.  Centralbl.  LXXI  1897,  Nr.  36. 

€2.  LndwigTi   ^i  Variationskurven    von    Lotus,    Trifolium    Medicago. 

D.  Bot.  Monatsschr.,  H.  11,  1897,  S.  294  —  296,  mit  4  Fig. 


242  ^6  Variabilität  der  Lebewesen  etc.    Von  Prof.  Dr.  P.  Ludwig. 

63.  Lndwig,  F.,  Die  Statistik,  eine  notwendige  Hilfswissenschaft  der  Systematik. 

D.  B.  Monatsscbr.,  H.  9,  1897,  S.  241  flg. 

64.  Weisse,  Arthur,  Die  Zahl  derRandblüten  an  Eompositenköpfchen 

in    ihrer    Beziehung    zur    Blattstellung    und    Ernährung. 
Jahrb.f.wiss.Bot.,  Bd.  XXX,  H.  4,  mit  1  Taf.    Berlin  1897,  S.  46a 
bis  483. 
66.  Saunders,    E.  R.,   On   a    Discontinous   Variation   occurring    in    Biscatelk 
laevigata.  Proceed.Roy.Soc.Lond.  Vol.  62,  1897,  S.  11— 26. 

66.  Bateson,W.,  On  Progress  in  the  S tu dyof  Variation.  Science  Progress,  VoLVII 

(Vol.  II  of  new  Ser.)  No.6,  I,  1,897;  II,  1898,  16  S. 

67.  Brewster,  Edw.  Tenny,  A  measure  of  Variability  and  the  Relation  of  in- 

dividual  Variations  to  specific  Differences.  Proceed.  of  the  Ameiic. 
Acad.  of  Arts  and  Sciences,  Vol.  XXXn,  Nr.  16,  1897,   p.  269— 280. 

68.  Dnncker,  Georg,  Eorrelationsstudien  an  den  Strahlenzahlen  einiger  Flossen 

von  Acerina  cemua  L.   Biol.  Oentralbl.  XVII  Nr.  21  u.  22.    Nov.  1897. 

69.  Ludwig,   F.,   Die  pflanzlichen  Variationskurven   und  die   Gauss- 

sehe  Wahrscheinlichkeitskurve,  Bot.  Oentralbl.  LXXm,  1898, 
27  S.  und  zwei  Tafeln:  1.  Normale  Binomialkurven;  2.  Hyperbinomal- 
kurven;  3.  Parabinomialkurven;  4.  Pleomorphe  Kurven. 

70.  Ludwig,  F.,  „Variationskurven*^  in  Gad,  Reallezikon  der  med.  Propadentik 

Bd.  3,  1898. 

71.  Matzdorf,  C,  „Variationskurven**  in  Justs  Bot.  Jahresber. XXm  (1896)  2. Abt 

S.  267—268  flg.;  XXIV  (1896)  2.  Abt.  (1898  erschienen)  S.  2—3. 

Greiz,  am  16.  April  1898. 


Die  Bewegung  eines  starren  Körpers. 

(Eine  Übung  in  der  Ansdehnnngslelire.) 

Von 
J.  LÜROTH 

in  Fnibvrg  i.  Br. 


§1. 

Ich  benutze  in  der  folgenden  Arbeit  die  Punktrechnung,  wie  sie 
Ton  Grassmann  besonders  in  der  Ausdehnungslehre  von  1862  (Grass- 
manns Werke  ersten  Bandes  zweiter  Teil)  gelehrt  worden  ist.'*'  Von 
der  regressiven  Multiplikation  mache  ich  jedoch  keinen  ßebrauchy  weil 
ich  Tom  pädagogischen  Standpunkt  aus  ihre  Einführung  ßir  nicht 
Torteilhaft  halte.  Ob  man  ohne  diese  Produktbildung  auskommt,  muss 
die  Erfahrung  lehren.  In  der  Mechanik  ist  dies  bekanntlich  der  Fall; 
bei  kinematischen  Betrachtungen,  wie  in  der  vorliegenden  Abhandlung, 
empfiehlt  sich  die  Benutzung  eines  speziellen  regressiven  Produkts, 
das  man  aber  auch  ganz  unabhängig  einführen  kann,  wie  es  Peano  in 
in  der  unten  zuletzt  genannten  Arbeit  gethan  hat. 

Die  Ergänzung  eines  Vektors  oder  des  Produkts  von  zwei  Vektoren, 
eines  Bivektors,  die  durch  einen  Strich  {  bezeichnet  wird,  kann  man 
80  wenig  entbehren,  wie  die  Senkrechte  in  der  Geometrie.  (Dagegen 
braucht  man  die  Ergänzung  eines  Produkts  von  Punkten  nicht.)  Ich 
verstehe  dabei  unter  der  Ergänzung  des  Vektors  a,  bezeichnet  mit  |  a, 
den  Bivektor  bc,  dessen  Faktoren  auf  a  senkrecht,  und  so  beschaffen 
sind,  dass  die  Maßzahl  der  Fläche  des  aus  b  und  c  gebildeten  Parallelo- 
grammed  gleich  der  Maßzahl  der  Länge  von  a  ist.  Dabei  soll  der 
Sinn  so  sein,  dass  von  a  aus  gesehen,  eine  Drehung  rechts  herum 
durch  einen  Winkel  <  180^  den  Vektor  &  in  die  Richtung  von  c  bringt 


*  Kurze  Darstellungen  nach  origineller  Methode  finden  sich  in  Peano: 
Calcolo  geometrico  secondo  rAusdelmungBlelire  di  H.  Grassmann.  Torino  18S8. 
Deutsch  unter  dem  Titel:  Die  Grundzüge  des  geometrischen  Kalküls.  Deutsche 
Ausgabe  von  Schepp.  Leipzig  1891.  Carvallo:  La  m^thode  de  Grassmann. 
KouY.  Annales  3»«  S^rie,  Bd.  11  (1892)  Seite  8.  Peano:  Saggio  di  calcolo  geo- 
metrico.  Accad.  d.  Scienze  di  Torino  1896/96. 


244  ^^®  Bewegung  eines  starren  Körpers. 

Unter  der  Ergänzung  des  Bivektors  de,  bezeichnet  durch  |  de,  sei  der  Yektorf 
verstanden  y  ftir  den  [f^^^de  ist.  Dann  gilt  f&r  die  Ergänzungen  das 
Distributionsgesetz^  es  ist  a  { &  »  &  |  a^  (|  ah)  \  c  »  abc  also  gleich  einer 
Zahl,  nämlich  dem  Inhalt  des  von  den  drei  Vektoren  abc  gebildeten 
Parallelepipeds,  und 

\(c\ab)^{c\b)a-(a\c)b, 

{ab)  I  cd  =  (a  I  c)(6 1  d)  —  (a  1  d)(6  \c)=-cd]  a6, 

welche  beiden  Formeln  mit  den  Nrn.  180  und  176  der  zweiten  Aus- 
dehnungslehre  im  Wesen  übereinstimmen  (Grassmanns  Werke  l.Bi 
2.  Teü  Seite  136). 

Die  von  Peano  eingeftihrte  Operation  o  bezieht  sich  auf  Formen 
zweiten  und  dritten  Grades.  Eine  Form  F  zweiten  Grades  kann  man 
stets  schreiben  -p^  VaA-h 

wo  P  ein  beliebiger  Punkt,  a,  b,  c  Vektoren  sind.  Dabei  ist  der  Yektor 
a  von  der  Wahl  von  P  nicht  abhängig  (Grassmann,  a.  a.  0.  Nr.34T 
Seite  222).  Dieser  Yektor  sei  mit  toF  bezeichnet.  Ist  a^=0,  also  F 
einem  Bivektor  gleich,  so  ist  cdF^O  zu  setzen. 

Eine  Form  F  dritten  Grades  lässt  sich  entweder  als  ein  Produkt 
von  drei  Vektoren  F^abc,  oder  als  das  Produkt  eines  Punktes  in 
einen  Bivektor  JP«  Pab  darstellen  (Carvallo  Seite  26  Nr.  21).  Im 
ersten  Fall  werde  unter  cdF  Null,  im  zweiten  Falle,  wo  der  Bivektor 
ab  von  der  Wahl  des  Punktes  P  nicht  abhängt,  unter  wF  eben  dieser 
Bivektor  verstanden. 

Die  Operation  o  ist  in  beiden  Fällen  distributiv. 

um  Klammem  zu  sparen,  habe  ich  mit  Carvallo  und  Peano 
die  Klammem  um  ein  Produkt  von  Punkten  weggelassen,  die  Grass- 
mann  angewendet  hatte,  um  dieses  Produkt  von  anderen  zu  unter- 
scheiden. Die  Wirkung  von  |  und  o  soll  sich  stets  bis  zum  nächsten 
Operationszeichen  erstrecken,  sodass  also  z.B.  a)(ab)  kurz  wab,  a}^(h-c) 
fQr  a)[«(6-c)],  |(a  — 6)(c  — d)  für  |[(a  -  6)(c  -  rf)]  geschrieben  ist 
wenn  kein  Missverständnis  eintreten  kann. 

§2. 

Seien  AB,  A^B^  zwei  Paare  von  Punkten  von  solcher  Lage,  dass 

die  Entfemung  AB  der  A^B^  gleich  ist.  Dies  drückt  sich  durch  die 
Gleichung  (^^  _  ^^y  _  ^^  _  ^y 

aas,  oder  darcb  die 

Bezeichnet  man  die  Mitten  der  Linien  AA^  und  BB^,  also  üv 
Punkte -^-t^,  -"t^'  mit  H  bezw.  18,  so  schreibt  sich  diese 
Gleichung: 

1)  [B,-B-(^j-^)]|(»-a)-0. 


Von  J.  LüBOTH.  245 

Wir  nehmen   zuerst   an^  es   sei   93  —  $[   nicht  =  0.     Dann  kann 
man  diese  Gleichung  ersetzen  durch: 

2)  B^^B-{A^-Ä)=^\{%-  a3)a, 

wo  a  ein  Vektor  ist,  der  nicht  vollständig  bestimmt  ist.  Es  wäre  an- 
genehm, wenn  man  in  dieser  Gleichung  die  Buchstaben  Ä  und  B  so- 
Eusagen  trennen  könnte.  Dies  geht  aber  nicht  -unmittelbar,  weil  man 
rechts  l(SB  —  Ä)a  nicht  in  1 95a  —  |  tta  zerlegen  darf,  da  —  wenigstens 
(nr  uns  hier  —  eine  Form  wie  |  %a  keinen  Sinn  hat.  Mit  Benutzung 
eines  willkürlichen  Punktes  P  aber  kann  man 

(«  -  fö)a  =  oP(Sl  -  fö)a  =  a)(%  -  ^)Pa 

«©aSPa-oaPa 

schreiben  und  die  vorletzte  Gleichung  dann  in 

Bj- J?-|©a3Pa  =  ^-^-|©aPa 

zerlegen,  in  der  die  Buchstaben  getrennt  sind.  Setzt  man  den  Vektor^ 
der  beiden  Seiten  gleich  ist,  »  b,  so  hat  man  also: 

A^-A^\  cDÄPa  +  6  =  1  (o?lPa  +  1 6), 

J5i  -  J5  =  I  oSSPa  +  6  = ;  (öSBPa  + 1  &), 

oder,  da  ©(8 1 6)  =  d  (95  [  6)  =  1 6,  wenn  man 

Pa  +  1  &  -  r 

setzt. 

'  1  B,-5  =  |o>i8r. 

Diese  Formeln  gelten  auch   dann  noch,  wenn  Ä^  —  A^  B^—  B 
ist    Dann  wird  nämlich: 

o-o,  r  =  |6,   |a»ar  =  |oa5r=6, 

«Iso  A^  —  A'^Bi  —  B^'by  wie  es  sein  mu3s. 

§3. 

Um    die    geometrische   Bedeutung   dieser  Formeln   zu   erkennen, 
tollen  wir  zuerst  annehmen,  ein  Punkt  P  stehe  mit  einem  andern  P^ 
in  der  Beziehung: 
4)  P,-P«||aiP<2B, 

^0  Q^  R  g^ebene  Punkte  sind.     Schreibt  man 

PQR^P(Q--PXB-P), 

•0  sieht  man,  dass  mPQB  =  (ö  —  P)(ß  —  -P)  is*?  also  gleich  einem 
Bivektor,  dessen  Faktoren  in  der  Ebene  PQB  liegen,  und  dass  dem- 
nach \(oPQB  ein  Vektor  ist,  der  auf  der  Ebene  PQB  senkrecht  steht. 
I^ie  Lange  dieses  Vektors  ist  gleich  dem  Flacheninhalt  des  Parallelo- 
grammes,  dessen  Seiten  PQ  und  PB  sind  oder  gleich  dem  doppelten 
I^t  des  Dreiecks  PQR    Was   seine  Richtung  angeht,  so   ist  von 


246  ^^^  Bewegxing  eines  starren  Körpers. 

ihm  aus  gesehen  ü  —  P  rechts  yon  Q—^P  gelegen^  d. h.  wenn  man  sieb 
in  P  auf  die  Ebene  PQR  senkrecht  stellt^  sodass  man,  um  von  dei 
Richtung  PQ  in  die  Richtung  Pü  zu  sehen,  eine  Drehung  rechts- 
herum durch  einen  Winkel  <  180°  machen  muss,  so  geht  die  Biclitung 
des  Vektors  von  den  Füssen  nach  dem  Eopfe.  Statt  dessen  kann  mai^ 
auch  sagen,  wenn  man  in  QR  steht,  mit  den  Füssen  in  R,  dem  Kopf« 
in  Q  und  nach  P  sieht,  so  geht  die  Richtung  des  Vektors  nacl 
links  hin. 

Fällt  man  PS  senkrecht  auf  QR,  so    ist  die   Grosse  von   PP^ 

gleich  —PS-QR.    Bestimmt  man  daher  einen  spitzen  Winkel  9>  ans  d< 

Gleichung  tg  |-  «  QR,  so  kann  man  sagen,  die  Ebene  P^  QR  bildet  mi^ 

der  PQR  den  Winkel  ^  und   zwar  von    QR  aus   gesehen  mit    einei 

Drehung  nach  links  hin. 

Nehmen  wir  zweitens  an,  die  beiden  Punkte  PP^  standen  untei 
sich  und  mit  ihrem  MittelpunJkte  ^  in  dem  durch  die  Gleichung 

5)  P,-P-|cD?peB 

gegebenen  Zusammenhang.     Da  ^  i— — s~^'   ^^  ^^^ 

P,-P  =  2(P,-^)  =  2($-P), 
SO  dass  1 

Es  liegen  also  P^Pi  in  einer  geraden,  in  ^  auf  der  Ebene  ^QB 
senkrecht  stehenden  Linie,  die  Ebene  P^Qi2  macht  mit  der  Ebene  ^QB 

nach   links,  die  PQR  nach   rechts  hin  den  Winkel  ~    Von    irgend 

einem  Punkte  T  auf  QR  haben  dabei  P  und  P^  denselben  Abstand 
Denn  man  kann  QR  ^  ÜT  setzen,  wenn  man  den  Punkt  TT  auf  QU 
passend  bestimmt,  und  dann  die  Gleichung  5): 

P^-T+T-P^la^UT 

schreiben.    Aus  ihr  folgt: 

{P,-T)\(P,^T)  +  {P,-T)\{T^P)  =  (P,-  T)m^UT 
{T  -  P)|(Pi~  T)  +  (T  -  P)i  (T-  P)  «  (T  -  P)©^  trr 

und  durch  Subtraktion: 

(Pi  -  T)«-  (P  -  T)«  ^{P^  +  P^  2T)fo^UT 

Es  ist  aber  mSßUT  =^  (ü -^)(T-'^)  und  folglich  die  rechte 
Seite  gleich  Null,  also  ^^=  PT. 

Es  geht  daher  P^  aus  P  hervor  durch  eine  Drehung  nm  did 
Axe  QR  durch  den  Winkel  g>  und  zwar  durch  eine  Drehung,  die  rou 


Von  J.  LüBOTH.  247 

!  ans  gesehen  nach  links  hin  erfolgt.  Die  Grösse  und  der  Sinn  der 
rhung,  und  die  Axe,  sind  durch  den  Linienteil  QR  yoUstandig  be- 
omi 

§4. 

Man  kann  die  Form  zweiten  Grades  T  durch  Änderung  des  Punktes 
abändern.    Denn  man  kann 

reiben.  Hier  ist  (P—  Q)a  +  \b  ein  Biyektor^  den  man  =  | V  setzen 
OL  Man  erhalt  fBr  T  eine  ausgezeichnete  Form,  wenn  V  mit  a  parallel, 
>: 

()  {P^Q)a  +  \b^X\a 

if  unter  l  eine  Zahl  verstanden* 
Die  Multiplikation  mit  a  liefert  a|&  «  Aa|a,  und  dann 

(P  _  e)a  -  Mm±=ili^  =  ^^  a  (I  a&), 

Der  erste  Faktor  links  muss  also  ein  mit  a  paralleler  Vektor  sein, 
i  man  »fia  setzen  kann,  wenn  man  imter  ft  eine  Zahl  versteht, 
mit  ergiebt  sich  t>  .    I^a 

^  '    a| a       ^ 

Durch  Einsetzen  in  Gleichung  6)  sieht  man,  dass  ft  ganz  beliebig 
ibt,  dass  also  Q  auf  einer  bestimmten  mit  a  parallelen  Linie  wül- 
Ach  gewählt  werden  kann.    Man  hat  endlich 


r-««+-;-j|-i» 


die  Nonnalform  von  f.    Die  Formel  3)  ergiebt  dann 
Ist  nun  Q  eine  beliebige  Zahl  und  setzt  man 

Ä  +  ga  =  A\ 

nnd  A'  und  A\  zwei  Punkte,  von  denen  der  erste  aus  A  durch  eine 
rscbiebung  pa  parallel  a  hervorgeht,  wahrend  man  den  zweiten  um 
'~^)a  verschieben  muss,  um  A^^  zu  erhalten.    Damit  wird: 


8  '    2 

i 


*  Die  folgende  Reduktion  ist  mit  der  Aufsuchung  der  Centndaze  eines 
tos  Ton  Kr&fken  identisch,  das  auch  durch  eine  Form  sweiten  Ghrades  dar- 
^t  werden  kann. 


248  1^6  Bewegung  eines  starren  Körpers. 

Die  letzte  Formel  zeigt^  dass  A\  aus  A^  durch  eine  Drehung  u 
die  durch  Q  gehende  mit  a  parallele  Aze^  die  mit  (Q,  a)  bezeiebi 
sei^  hervorgeht.  A^  entsteht  somit  aus  A  durch  Verschiebung  panlli 
a  und  eine  Drehung  um  eine  zu  a  parallele  Axe. 

Die  Form  zweiten  Gfrades  T  stellt  daher  eine  Schraubenbewegd 
dar  oder  sie  repräsentiert  einen  Winder  (wrench)*  j 

Wäre  nun  V  ein  zweiter  Winder ,  der  ebenfalls,  wie  T,  die  Puno 
AB  in  A^B^  überf&hrte,  so  müsste  ] 

7)  ©ar^iosir,  ©iSr^ciJBr' 

sein.    Ist  aber  fftr  eine  Form  zweiten  Grades  T 

wo  def  Vektoren.    Dann  verlangt  die  Gleichung,  dass 

also  T  —  ^d  sei,  oder,  wenn  man  den  Punkt  8  +  <{  *=  -R  setzt,  du 
T -SB  sei.  I 

Die  Gleichungen  7)  sind  abo  erfOllt,  wenn 

r-r=?iB  =  a3/S.  | 

Diese  Beziehung  zwischen  vier  Punkten  %^RS  «^  aber  ffli 
dass  sie  auf  einer  geraden  Linie  liegen,  und  dass  die  beiden  Yektoia 
E  —  ^  und  5  —  IB  gleich  sind.     Setzt  man  abo 

iJ  =  «  +  *(»-«), 
«  =  «  +  «(»-«), 
8ofolgtp  =  „-l,  p_r„,aJB, 

wo  Q  eine  beliebige  Zahl  ist.    Jeder  Winder  von  der  Form 

f&hrt  also   AB  in  A^B^   über,   so   dass   es  ein   ganzes  Büschel  tqI 
Windem  giebt,  die  dieses  leisten. 

§5.  I 

Soll  unter  diesen  Windem  einer  sein,  der  eine  reine  Drehung  isi 
so  muss  man  q  so  bestimmen  können,  dass  T«  r+  p9[93  gleich  einei 
Linienteil  ist.**  I 

Dann  ist  aber  TT'«  0«rr+ 2(>(raS3): 

_      rr 
^""      2(r5i©)' 

Gesetzt  q  sei  so  bestimmt.  Wenn  man  dann,  mit  Hilfe  ein« 
Punktes  P,  f'  in  die  Form  bringt: 

*  Grassmann  a.a.O.  S. 228.   Anmerkung. 
•♦  Ebenda  Nr.  286. 


Von  J.  LüHOTB.  249 

r-Pa'+|6, 
a'  und  h  Vektoren  sind,  so  folgt  aas 

0  =  r'r'-2P(a'|6), 
t,  veno  a'-y  0,  b  senkrecht  zu  a'  ist.    Dann  kann  man  also 

b  =  \a'e 

sen,  wo  e  wieder  ein  Vektor,  und  es  wird 

tmit  P-c  —  Q,  a'=E—Q,  wo  Q  vmd  B  Punkte  sind,  r'-=  QB 
)  in  der  That  ein  LinienteiL  Ist  aber  a'=  0,  so  wird  r'=- 1  b  und 
It  eine  reine  Verschiebung  dar.  Es  giebt  also  eine  Drehung,  die 
iiaÄiBi  fiberf&hrt,  wenn  a'=  of'-^  0  ist.    Es  wird  aber 

ar'=  a)r+  (»©«»  =  ajr+  (>(»  -  «), 

er,  wenn  o>r'=  0  wäre,  r       /ar      aw 

o>r=p(a  — 3Ö) 

le.  Die  Normalform  Ton  f  ist  aber 

r=^a)r+A|o»r, 

)  Uer  ->  Qq{9L  -  93)  +  pA  |  («  -  S3),  und  mit  ihr  ergiebt  sich 

©ar  —  pai§«»  +  pi  I  («  -  JB), 
«»r — po»ö«»  +  pA  I  («  -  «), 

tej^j  —  ^  =  JBj  —  B  ist,  also  nur  eine  Verschiebung  nStig  wird. 

§6. 

Die  Ableitung  der  Formel  2)  aus  der  1)  ist  nur  dann  berechtigt, 
m  9  —  S  nicht  gleich  Null  ist.  Fallen  aber  die  beiden  Punkte  9, 
1  9  zusammen,   so  bestimme  man  einen  Einheitsvektor  a,  sodass 

iJ,-Ä)\a-=iB,-B)\a 
Ist  Q  der  gemeinsame  Wert  und  setzt  man 

Tolgt  a  I  a^ »  a  I  &|  »=  0.  Definiert  man  daher  die  Punkte  Ä  und  B' 
ck  die  Gleichungen 

A'^Ä  +  Qa,    B'^B  +  Qü, 

wird  ilj~  J.'—  a^,  B^—  B^^  h^  und  diese  Vektoren  sind  zu  a  senk* 
kt,  wenn  sie  nicht  Null  sind.     Femer  ist 

^i+^'«2«  +  (>a,    B^  +  B'^2%+ifa. 

Die  Linien  A^Ä  und  B^B^  werden  also  von  der  Linie  (Ä,  a)  in 
KD  Mitten  senkrecht  getroffen ,  wenn  sie  nicht  verschwinden.  Man  kann 

ttitMbzifl  t  ]Utii«mAtik  n.  Fhytlk.  48.  Jahrg.  1898.  4.  o.  5.  Heft.  17 


»)  1 1 


250  ^^®  Bewegung  eines  starren  Körpers. 

folglich  AB  in  Ä^B^  überfQhren  durch  eine  Schiebung  um  ga  al^ 
oder  in  Verbindung  mit  einer  Drehung  durch  180^  um  die  Axe  (9^| 

Indem  wir  nun  zur  Betrachtung  von  drei  Punkten  gehen,  sei 
ABC  und  A^B^C^  zwei  kongruente  Dreiecke.     Die  Mittelpunkte 

der  drei  Linien  AA^j  SB^,  CC^  seien  mit  St,  83,  S  bezeichnet;  und 
werde  zuerst  angenommen,  dass  diese  drei  Punkte  nicht  in  geni 
Linie  liegen^  also  auch  nicht  zwei  von  ihnen  zusammenfallen.  II 
kann  dann  die  Betrachtungen  des  §  2  auf  die  drei  Paare  von  Punkt 
AB,  BCf  CA  anwenden  und  also  drei  Formen  zweiten  Grades  ABT  find 
sodass 

A,-A^\a}%r,    J5i--B  =  |cia5A,     Ci-C=|cd6B, 

B-|öSBr,    Ci-C-loeA,    Ai-A^\mfiB 
ist.     Dann  muss  auch 

(D?i(r-B)-=o,   c)a3(A-r)  =  o,   cj6(b-a)-=o 

sein,  also  müssen  nach  dem  §  4  drei  Punkte  PQR  existieren,  die 

9)  r-B  =  «p,  ^^^^^Q,   b-a  =  612, 

ergeben  und  die  somit  die  Gleichung 

10)  ap  +  »ö  +  (£Ä  =  o 

erfcQlen  müssen.    Multipliziert  man  mit  93S,  SK  und  S193,  so  folgl 

a»ep = aasec  -  «aseü  =-  o 

und  daher  liegen,  weil  S193S  nicht  in  einer  Geraden  li^en  soA 
PQ  und  R  in  der  Ebene  SIS3S.  .  Man  kann  somit 

P=aa  +  /3"JB  +  y(5; 
setzen,  wo  aß'*y  Zahlen  sind,  die  die  Bedingung  a  +  ß"+y^l 
füllen,  und  erhält  SIP=  /J"Sia3  —  ySSt. 

Ähnlich  giebt  es  Zahlen  /3/3Vy",  für  die  folgt: 
Die  Gleichung  10)  verlangt  dann 

(/3"-  /)«»  +  05  -  y")35e  +  (/?'-  y)ea  -  o 

und  aus  dieser  Gleichung  folgen  durch  Multiplikation  mit  9,  ^ 
die  drei  ^r,_  ^  _  q^     ^  _  ^r^^  q^    ßf_  ^  _  q^ 

^'®  r-B  =  /5"?l»--/3'e?l, 


und  weiter; 


A-r  =  /j  »e  -/J"«», 

B-A-/j'e«  -/5  »e 


Von  J.  LüROTH.  251 

A  -  /sass  «  B  -  /5'ea  ==  r-  /3"«» 

ergeben.     Bezeiclinet  man   endlich  den  gemeinsamen  Wert  dieser  drei 
Formen  zi^eiten  Orades  mit  £,  so  folgt: 

A  =  -s  +  /sa3e,      B  =  2:  +  /5'ea,     r-z+js"«» 

und 

11)  j±^—  A^\a)^Z,    J5i- J5«!©5BZ,     C^- C=  |  ©ez". 

Es  giebt  also  einen  Winder,  der  das  Dreieck  ABC  in  das  kon- 
gruente -4j  ^^  C^  überführt.  Gäbe  es  noch  einen  zweiten  Winder  £', 
der  das  Gleiche  leistete ,  so  müsste 

iD«  (2;'-  £) «  ©»(2:'-.  z)  -=  ©e  (2;'-  2:)  c=  0, 

sein.     Es  müssten  also  drei  Punkte  UVW  existieren,  sodass 

2;'-2;  =  a£7-a5F=-eTr 

wäre.     Aus   diesen  Gleichungen  folgt  aber 

«95Cr=0,    Siecr==0 

d.h.  17  ist  notwendig  mit  Sl  identisch  und  daher 

£'-  27-0. 
Es  giebt  idso  nur  einen  Winder,  der  den  Gleichungen  11)  genügt. 

§8. 
Wenn  die  drei  Punkte  9,  93,  S  in  gerader  Linie  liegen,  setze  man 

A='Si-a,    ^j,  =  ll  +  a, 
5=85-6,    Bi=a3  +  6, 

vro  abc  Vektoren  sind.    Dann  müssen  die  Gleichungen  bestehen 

1  (S5-a)i(6-«)  =  o, 

12)  (e-»)|(c-6)«0, 

(Sl  -  e)  I  (a  -  c)  =  0. 

Weil  9(;  93,  S  in  gerader  Linie  liegen,  sind  die  drei  Vektoren 
93  —  Ä,  (£  —  S3,  Ä  —  6  parallel.  Ist  q  ein  ihnen  paralleler  Einheits- 
vektor,  so   folgt  aus  den  drei  letzten  Gleichungen 

13)  <*l(Z===&i2  =  c|g  =  p, 
Wenn  man  daher  /  ^  _  -.^  i  ^ 

14)  h^gq  +  b,, 

setzt,  so  'wird  ,         ,  . 

J7* 


252  ^^  Bewegung  eines  starren  Körpers. 

Definiert  man  jetzt  drei  Punkte  durch  die  Gleichungen: 

Ä'^A  +  2p2,     B' «  B  +  2p2,    C  «  C  +  2pg, 
so  ergiebt  sich:      j   ,   jr 


2 

+ 
2 


«  +  P2,    ^i-^'«2ai, 


^4^«a3  +  pg,    B,-B'«26„ 


Die  Linien  -4.^-4.',  B^B^  C^G^  werden  also  von  der  Linie  (ä,  (^) 
in  ihren  Mitten  senkrecht  getroffen,  wenn  sie  nicht  alle  gleich  Null 
sind^  und  daher  gehen  Ay^B^Ci  2M'a  ^'B'(7'  herror  durch  Drehung  um 
180^  um  die  Axe  (S^;);  und  die  A^B^Ci  entstehen  aus  ABC  durch 
eine  Schiebung  um  2p$  und  die  eben  bezeichnete  Drehung.  Sind  die 
drei  Vektoren  Oxb^c^  Null,  so  reicht  die  Schiebung  aus.  Man  hat 
somit  auch  hier  die  Schraubenbewegung.  Aber  in  den  Formeln  11) 
des  vorigen  Pari^raphen  ist  diese  nur  als  ein  Grenzfall  enthalten  ent- 
sprechend der  Annäherung  von  |-  an  90^ 

Auch  wenn  zwei  der  Punkte  S[S3@  zusammenfallen,  ist  der  obige 
Schluss  noch  möglich,  weil  dann  zwei  von  den  Gleichungen  12)  nicht 
illusorisch  werden  und  der  Vektor  q  noch  bestimmt  ist. 

Ist  aber  91  »  S3  »  S,  so  bestimme  man  q  so,  dass  es  senkrecht 
auf  den  Vektoren  h  —  a  und  c  —  a  ist.    Weil  dann 

(fe-a)i(z  =  0,    (c-a);ör  =  0, 

bestehen  die  Gleichungen  13)  mit  ihren  weiteren  Folgerungen. 

q  kann  unbestimmt  werden,  wenn  die  drei  Vektoren  ahc  kom- 
planar  sind.  Nimmt  man  in  diesem  Falle  q  senkrecht  zur  Ebene  abc^ 
80  folgt  p  <=  0,  während  alles  übrige  wie  oben  bleibt. 

Endlich  könnte  die  Ebene  ahc  unbestimmt  werden,  indem  a,  b,c 
parallel  werden.  Bestimmt  man  dann  q  so,  dass  a\q^O  ist,  so  wird 
p  »  0  und  es  gelten  die  früheren  Resultate. 

§9. 

Nun  werde  zu  den  kongruenten  Dreiecken  ABC  und  Ay^B^C^  noch 
ein  vierter  Punkt  D  und  einer  D^  hinzugenommen,  die  so  liegen,  dass 


AD^A,B^,     BD^B.D,,    CD^C^D^ 

ist.  Die  Mitte  von  BB^y  d.h.  der  Punkt  |(D+  2),)  sei  mit  2)  be- 
zeichnet. Zuerst  werde  vorausgesetzt,  dass  von  den  vier  Punkten  St 93 ST 
keine  drei  in  gerader  Linie  liegen  Dann  kann  man  die  Betrachtungen 
des  §  7  auf  jedes  der  vier  Dreiecke  ABCy  ABB,  ACB,  BCD  an- 
wenden und  erhält  so  die  Gleichungen: 


Von  J.  LüBOTB.  258 

Ä,-Ä^\(o%r,    Ä^-Ä^lm^B,     Bi-B-loSBA, 

15)  {  JB^-B-loSr,     Ci-C=|cDeB,      Ci-C^loSA, 

16)  Ä,-Ä^\a^i:,     JBi-B«lcDÖr,     Ci-(7«|a>C2:, 

wo  A,  B,  r,  2  vier  Formen  zweiten  Grades  sind. 

Die  Vergleichung  der  beiden  Werte  von  Ä^—  Ä  und  B^—  B  giebt 

©«(£-0-0,     cDJB(27-r)«0, 
woraus 

folgt,  wo  V  eine  Zahl  ist.   Ebenso  ergiebt  die  Vergleichung  von  B^—  B 

und  die  von  C^—  C  und  Ä^^  —  -4: 

2;-A AJBC. 

Damit  wird  ^       ^      ,     «^  „  .    ,  ,    /rs  m  /r 

JDj  —  D  «=  I  o5D2:  +  A I  a)S)SS 

Da  CD©»®  =(a-S))(6-a))  =  Se  +  eS)  +  S)95  ist,  muss, 
damit  die  drei  obigen  Ausdrücke  gleich  sind, 

sein.    Multipliziert  man  mit  S),  so  folgt: 

17)  A»es)  =  ,i®aa)-=v«a3S) 

und  die  weitere  Multiplikation  mit  %[,  93  und  S  liefert: 

Diese  Gleichungen  können  auf  zwei  Arten  erfdllt  werden.  Ent- 
weder ist  S[83SS)  -|-  0.  Dann  ist  A  ««  fi  =  i/  =  0  und  es  tritt  zu  den 
Gleichungen  16)  noch  hinzu: 

16»)  Dj  -  D  -  1  a^Z. 

Das  Tetraeder  AB  CD  wird  somit  durch  den  Winder  2?  in  das 
4,BiC,Di  übergefQhrt. 

Oder  es  ist  «©eS)  =  0,  und  die  vier  Punkte  «,  »,  (S,  ®  liegen 
in  einer  Ebene.  Dann  kann  man  die  Zahl  q  so  bestimmen,  dass 
p93)l£  den  drei  in  17)  gleichgesetzten  Produkten  gleich  wird,  und 
erbüt  dann: 

16«*)  A  -  D  « j  w© 2;  +  p  I  «asBC. 


254  ^^^  Bewegung  eines  starren  Körpers. 

§  10. 

Das  Tetraeder  A^B^C^D^  war  so  angenommen,  dass  die  sechs  Ent- 
fernungen der  vier  Ecken  den  entsprechenden  Eautenlängen  des  Te- 
traeders AB  CD  gleich  sind.  Daher  sind  die  beiden  Figuren  entweder 
kon^uent  oder  symmetrisch.  Da  in  den  Gleichungen  16)  und  16*) 
die  Uberfahrung  durch  einen  Winder  2J  ausgefUhrt  wird,  sind  dann 
die  beiden  Tetraeder  kongruent;  und  daher  müssen,  wenn  sie  sym- 
metrisch sind,  die  Gleichungen  16)  und  16**)  gelten.  Diese  setzen 
aber  voraus,  dass  die  vier  Punkte  9[93(S2)  in  einer  Ebene  liegen. 

Wir  haben  also  den  Satz:  Wenn  zwei  Tetraeder  symmetrisch 
gleich  sind,  liegen  die  Mitten  der  Verbindungslinien  ent- 
sprechender Ecken  in  einer  und  derselben  Ebene,  die  Mittel- 
ebene heissen  möge. 

Dass  im  ersten  Falle  die  beiden  Tetraeder  kongruent  sind,  kann 
mau  zeigen,  indem  man  die  Gleichung: 

ABCD^A^B^C^Dj^ 
beweist. 

Setzen  wir,  ähnlich  wie  in  §  8, 

^  =  «  +  a,    A^^-a, 

Ci-e  +c,    c  =  e-c. 


18)  { 


+  2[%bcd  -  Sacd  +  dabd  -  35  ahc]. 
Weil  ein  Produkt  von  vier  Vektoren  Null  ist,  ist 

SBacd  =  95acd  +  (31  -  ^)acd  «  %acd  u.  s.  w. 

und  daher  die  zweite  Klammer 

=  %{bcd  —  acd  +  abd  —  abc) 
=  a(6-a)(c-a)(d-a). 

Sind  nun  uvwt  vier  Vektoren,  so  ist 

weil  die  drei  Faktoren  Vektoren,  die  auf  t  senkrecht  stehen,  also  kom- 
planar  sind. 

Oder,  um  einen  andern  Beweis  zu  geben,  sei  \vt^f/,    \  totste* 
gesetzt,  so  ist: 

vV I ut  ^  (v' I u){w']t)  -  (v' i t)(w'  1  u). 

Aber  v'\t^t\v^^tvt  ist «  0,  und  ebenso  w'\t,  daher  ist 
und  dies  ist  die  zu  beweisende  Gleichung. 


Von  J.  LöBOTH.  255 

Es  ist  aber  2(b-a)  =  j  a)(©  -  ?t)2: 

Bringt  man  daher  mit  Hilfe  eines  willkfirlichen  Punktes  den 
Winder  2  in  die  Form  Pe  +  fff,  wo  efg  Vektoren  sind,  so  folgt : 

a>(a5-a)2;=c(«-a), 

c-a==||(a-(J)e, 

d-o  =  ||(«-3))c, 

sodass  nach  der  eben  bewiesenen  Formel: 

(6  —  a)(c  -  a)(d  —  a)  «« 0 

ist.    Die  erste  Klammer  in  Gleichung  18)  kann  man  schreiben: 

8l»6(d  -a)-  «a52)(c  -  a)  +  «(SS)(6  -  a) 

+  a[a956  -  «SB©  +  «S®  -  »(£©]. 

Der  Koeffizient  von  a  ist  gleich  («  -  S))(a5  -©)((£-  3)),  daher 
der  zweite  Summand  als  Produkt  von  vier  Vektoren,  gleich  Null. 
Der  erste  Summand  wird  aber  gleich 

i[a»ei(«-S))c-?i»s)|(2i-e)e  +  «es)|(«-»)e] 

und,  wenn  man  «»(£=-  «(©  -V) ((&-%)  u.8.  w.  einführt, 

=  ![(»  -  «0(6  -«)!(«-  »)c  -  (»-«)(» -> «)  I  («  -  e)6 

+  ((£-- a)(a)-«)l(«~a3)4 

Sind  nun  wieder  uvwt  vier  beliebige  Vektoren,  so  hat  man 

UV  \wt  ^  (u  \  w)  {v  \t)  —  {u\  t){y  I  tc^), 
vw\  ut^  {v  j  w)(tr|/)  —  (t?  |<)(t<;!ti), 

M?U  I   Vt^{w\  V){U  \t)  —  {w\t){u  \V  ), 

daher  durch  Addition: 

uv\wt  +  vw\ut  +  wu  1  v^  «=  0.* 

Dieser  Oleichung  zufolge  ist  also  der  Koeffizient  von  -^9,  gleich 
Null  und  demnach  ÄBCD  =  A^B^C^B^ 

§11. 

Man  kann  den  Satz  über  die  symmetrischen  Tetraeder  auch  noch 
auf  andere  Art  beweisen.  Wir  denken  uns  von  B  aus  eine  Senkrechte 
auf  die  Ebene  ABC  gefällt,  deren  Fusspunkt  in  dieser  Ebene  der 
Punkt: 


*  GraBsmann  a.  a.  0.  Nr.  185. 


256  ^^®  Bewegung  eines  stairen  Körpers. 

A  +  ß{B-Ä)  +  riC-Ä) 

sei,  wo  ß  und  y  Zahlen  sind.    Da  |  mÄBC  ein  auf  der  Ebene  ABC 
senkrechter  Vektor  ist,  kann  man 

19)  D  =  Ä  +  ß(B-Ä)  +  y(C-Ä)  +  l\mÄBC 

setzen.    Für  das  kongruente  Tetraeder  wäre  dann 

A=  ^i  +  ßiBi-  Ä,)  +  y(C,-A^)  +  l\  aA^B^C^. 

Daher  ist  fOr  das  symmetrische 

19*)         Di  =  A,  +  ß{B,-  A,)  +  y(Ci  -A)-^\  «^^i  ^i  ^i 
also 

20)  ®  =  a  +  /»(»-«)  +  y(e  -  «)  -  ^\miA^B^C^-ABC). 
Mit  den  Bezeichnungen  des  Torigen  Paragraphen  ist  aber 

^JBiC,  -  ABC  =  2[«a5c  +  ©Sa  +  686  +  ahc}, 
also,  weil  mähe  =  0  ist: 

o(AiBiCi-ABC)  =  2ol?ia3c  +  »So  +  S«6] 

=  2[(a3  -  «)c  +  (6  -  »)«  +  («  -  e)i] 
=  2[a(6  -  c)  +  »(c  -  o)  +  S(a  -  b)] 

=  a  I  (s  -  ö)c+ SB  I  (a-6)c + s  I  (»-«)t 

um  hiervon  die  Ei^nzung  nehmen  zu  können,  muss  man  die 
rechte  Seite,  die  eine  Summe  von  Bivektoren  ist,  auch  als  soldie 
darstellen.    Zu  dem  Zwecke  formt  man  sie  in 

(«  -  e)l(S  -  SB)«  +  (SB  -  S) i («  -  S)c 

+  6[|  (S  -  »)e  + 1  («  -  S)e  +  |  (»  -  V)e] 

um,  was,  weil  die  Klammer  verschwindet,  der  ersten  Summe  gleich 
ist.    Damit  folgt: 

I  o(^,  B,C^  -  ABC)  =  I  [(81  -  6)  I  (S  -  SB)c]  +  |  [(ffl  -  S)  |  («  -  S)e] 

=  [(«  -  S)|c](e  -a5)-l(Sl-  S)|(S-  »)]e 
+  [(»- S)  I  c](?t  -  S) - [(«  -  S)  I  (©  -  S)]« 
=  «[(SB  -  e)|e]  +  SB[(S  -  «)|e] 

+  6[(«-SB)|e]. 

Dieser  Ausdruck  stellt  aber  einen  in  der  Ebene  «SBS  enthaltenen 
Vektor  vor:  addiert  man  dessen  —  ^  -faches  zu  dem  Punkt 

a  +  /}(»-«)  +  y(6  ~  20 

der  Ebene  S[93S  nach  Vorschrift  von  Gleichung  20)^  so  entsteht  in  3) 
wieder  ein  Punkt  dieser  Ebene. 

§  12. 

Wenn  die  beiden  symmetrischen  Tetraeder  AB  CD  und  A^B^C^Di 
gegeben  sind,  so  ist  der  Winder  E  vollständig  bestimmt,  daher  auch 
die  Zahlen  Afii^  und  q  in  17)  und  16^.    Nimmt  man  aber  H  und 


Von  J.  LüROTB.  257 

p  beliebig  an  und  berechnet  dann  A^B^C^D^  aus  den  Gleichungen  16) 
und  16**),  so  wird  das  Dreieck  A^B^C^  zu  ABC  kongruent    Femer 

^  {P^^A,y^  {D  -  Ay  ^  2(»  -  «)|(D,-  D  -  ^,+  ^) 

-2<>(»-a)cDa»e 

Somit  wird  nur  dann  ^    r\  A  A 

Di^  =- !D^     und  ebenso     1\B^ «  !d!B,     JD^C^  -  2>C, 

wenn  entweder  p  »  0  oder  die  vier  Punkte  S[93(S2)  in  einer  Ebene 
liegen.  Nur  dann  erhält  man  folglich  ein  zu  9 89  SS)  kongruentes  oder 
symmetrisches  Tetraeder. 

Es  ergiebt  sich  nun  im  letzterem  Falle: 

A,B^C^B^+ ABGD  «  2[a95eS)  +  ahcd  +  F\ 

wo 

Weil  aber  a&cd  als  Produkt  von  vier  Vektoren,  und  093 SZ)  ver- 
schwindet, weil  die  vier  Punkte  in  einer  Ebene  liegen,  ist  nur  noch 
F  zu  berechnen. 

Dies  ist  gleich 

«»(c  -  a){d  -  a)  -  «(£(&  -  a){d  -  a)  +  «©(6  -  a){c  -  a) 
+  aa3(arf  -  ac)  -  ae;(ad  -  aV)  +  'ü'iiiac  -  afc) 
+  Sd^ad  -  a3a)ac  +  eS)a6. 

Die  sechs  letzten  Summanden  ergeben  in  anderer  Zusammenfassung 
(«»  +  »6  +  Ca)ad  +  (95«  +  aa)  +  S)a3)ac 

=  («  -  e)(a3  -  ^)ad  +  (95  -  ©)(«  -  ®)ac 

+  («  -  ®)(e  -  S))a6  =  0, 

▼eil  jeder  Summand  als  Produkt  von  vier  Vektoren  filr  sich  verschwindet. 
Wenn    man  die  drei  Vektoren  «  -  95,  «  -  S  und   a  -  3)  mit 
«,  p,  w  bezeichnet,  so  wird  der  erste  Teil  von  F  gleich 

'^%[u\ve{\we  +  pIwv)  —  t7|uc(|  we'\-Q\uv)  +  w\ue\ve], 

Der  Inhalt  der  Klammer  ist  p2\+  ^s;  wo 

T^^  u\ve\uv  —  v\ue\  tiv, 
T^^  u\ve\we—  v\ue\we  +  iJo\ue\ve. 
Nun  ist  aber  u\ve\wt  ^  wt\{u\ve) 

^  wt[v(u\e)  -  e{u\v% 

daher 

Tj  —  —  uve{u  I  v)  —  vue{v  |  m)  '=  0. 


258  ^^®  Bewegung  eines  starren  Körpers. 

Indem  man  die  nämliche  Umformung  auf  T^  anwendet,  findet  man 

T^  =  e[vw{u  I  e)  +  wu{v  \  e)  +  uv(tv  \  e)]. 

Für    beliebige  Vektoren   uvw    verschwindet   die   Klammer    nicht 
Hier  aber  sind  diese  drei  Vektoren  komplanar,  daher  kann  man 

w  =^  ^u  +  vv 
setzen  y  womit  sich 

jT,  —  e[^vu(u  I  e)  +  vvu{v  |  e)  +  iiuv(u  \  e)  +  vuv{v  j  e)]  =  O 
ergiebt.     Hiermit  ist  gezeigt,  dass 

21)  Ä^B^C,D,=--ÄBCD 

ist  f&r  jeden  beliebigen  Wert  von  p,  wenn  nur  die  vier  Punkte  9ij  93, 
S,  3)  in  einer  Ebene  liegen,  dass  also  dann  die  Tetraeder  symmetrisch 
sind. 

§  13. 

Wenn,   wie   angenommen,   993(S3)   in  einer  Ebene  liegen^    kann 
man  setzen 

22)  ®  =  a  +  ^(95  -  81)  +  «'(S  -  «); 

dann  ergeben  die  Gleichungen  16)  und  16**): 

D,-D=^{l-fi-vXÄ,-Ä)  +  fi(B,^B)  +  v  (Q  -  C) 

daher  der  Vektor  ' 

^^^  2)-(i-^-i/)^-^B-i/C  +  p|cD«»e 

gleich  ist.     Ist  er  =  x^  so  ergiebt  die  Gleichung  22): 
und  dann  folgt:  ^ 


23) 


D  ^(l-n-v)Ä  +(iB  +vC  -||cD?l956, 


9^ 
2 
9 


A-»  (1- <*  - 1;)^,  + fiA+ vCi  +  f  loiaase. 

Ist  p  =  0,  so  ist  also  D  ein  Punkt  der  Ebene  ÄBC^  D^  der  bei 
kongruenter  Transformation  entsprechende  Punkt  der  Ebene  ^^B^C^ 
und  die  beiden  Tetraeder  ABCD,  A^B^C^B^^  sind  dann  beide   Null. 

Die  Gleichungen  23)  ergeben  den  Satz:  Die  von  den  Bcken  D 
und  2>|  auf  die  Mittelebene  gefällten  Senkrechten  sind  gleich  lang  und 
treffen  die  Dreiecke  ABC  bezw.  A^B^C^  in  entsprechenden  Punkten, 

Wenn  man  in  Formel  20)  den  in  §  11  gefundenen  Wert  von 

\(a{AiBiCi- ABC) 
eintragt,  folgt:     j)  =  «  +  ^(»  -  «)  +  y(®  -  «) 

-  I  [Sl(»  -  6 1  e)  +  « (6  ^  « i  e)  +  ® («  -  JB  »]. 


Von  J.  LüBOTH.  259 

Die  Yergleichung  mit  22)  ergiebt  also: 

l-^-t;  =  l-/»-y-|(a-6|c), 

/*=/»-|(s-a|c), 

v-y-|(«-»le) 

und  damit  nach  19)  und  19*): 

D  =  .l  +  (^  +  4(5  -fi\e)yB-Ä) 

+  X\mABC. 


Gin  ähnlicher  Ausdruck  ergiebt  sich  fQr  D,;  er  entsteht  aus  dem 
Vorstehenden,  indem  man  Ä,  B,  C  durch  Äi,  £|,  C,,  und  l\aÄBG 
durch  —  X\mAiBiCi  ersetzt.  Ahnliche  Ausdrücke  haben  wir  in  23); 
es  soll  nun  nachgewiesen  werden,  dass  beide  übereinstimmen.  Schreibt 
man  den  obigen  Ausdruck: 

{D~{l-it-v)Ä+fiB+vC+X, 

^^\  l  A=  (1  - M - v)A,^-(iB^  +  vC^  +  r, 

so  wird: 

X-{-Y~X\m{ABC-A^B^Ci) 

+  A  ((J  -  « I  e)(a3  -  «)  +  A(a  -  SB  I «) (©  -  «) 

=  A[|a.(^JBC-A-BiC,)  +  (»-e|e)«  +  (e-«|c)» 

+  («-a3|e)e]-o, 

wie  oben  in  §  11  gezeigt  wurde. 
Dagegen  ist: 

x-Y —  A(e  -  a  I  c)(&  -  a)  -  x(a  -  » I  «)(c  -  o) 

■\-  X\m{ABG  +  AyB^C^) 
-  X I  roC^BiCi  +  ^£C7)  -  ^A((J  -  « |  e)  |  (St  -  SB)« 

-ix(«-a5|«)|(8t-e)e. 
Weiter  folgt: 

Jj^iCi  +  ABC  -  2«S3e  +  2»[6c  +  2Sdea  +  2(£o6, 

fli(.4iPjC,  +  ^5C)  -  2oiaa5(5:  +  2(6c  +  co  +  ah) 

-  2a)8t»S  +  2(6  -  a){c  -  a), 
also  , 

X-Y=2X\ «aSB®  +  l" I [| («  -  »)c •! (« -  6)c] 
-4(e-«|e)|(a-»)«-j(«-»|e)|(?l-(J)e. 
Setzt  man  »  -  «  -=  m,    ß  -  «  =  », 

80  ist  die  rechte  Seite  oben,  soweit  sie  mit  -^  multipliziere  ist, 

Kl  «c  •  I  »c)  +  (» '  c)  I  MC  —  (u  I  c)  I  »c  —  TJ. 


260  ^^®  Bewegung  eines  starren  Körpers. 

Wenn  man  in  u;\^e  ^  {w\e)\i  ^  {w\v)\e 
für  w  setzt  \ue,  so  folgt: 

I  we  •  I  t?e  —  -—  (vue)  \  e  =  {euv)  \  e. 
Anderseits  folgt  aus  \{e  \  uv)  =  u{v  \  e)  —  v(u  \  e): 

—  1 6[| 6(1  uv)]  '=-  {v\e)\ue  —  (u\e)\ ve. 

Die  linke  Seite  ist  aber  =  —  e{€uv)  +  \uv'(e\ e).    Daher  ist: 

U  =  (euv)e  —  (euv)e  +  (e\e)\uv  ^  (e\e)\ wt?, 

oder  weü  o«»®  =  (»  -  8t)(ß  -  «)  ist, 

wenn  man  mit  s  die  Länge  von  e  bezeichnet.     Es  wird  also: 

und  die  Yergleichung  von  23)  und  24)  liefert 

Wenn  bei  zwei  kongruenten  Tetraedern  die  besagten  Mitten  in 
einer  Ebene  liegen,  also 

S)  -=  «  +  ^(»  -  «)  +  vC®  -  «) 
ist,  so  ergeben  die  Gleichungen  16)  und  16*): 

J)i-  D  =  Ä^-  A  +  ii(B^-  B -  A^  +  A)  +  v(Ci-  C -  A^  +  Ä) 
und  beide  zusammen 

D  =A  +it{B  -Ä)  +v{C  -  A), 

J>i  =  A  +  ^(^1  -  A)  +  KCl  -  A), 

die  aussagen,  dass  AB  CD  in  einer  Ebene  liegen. 

§14. 

Die  Betrachtungen   der  §§  3  und  4  zeigen,   dass,   wenn  27  eine 
Form  zweiten  Grades  ist,  die  Formel: 

25)  p^-P_|a,-^^L±^2; 

eine  kongruente  Transformation  des  Raumes  darstellt,  um  einen 
Ausdruck  von  P^  durch  P  aus  ihr  abzuleiten,  nehmen  wir  an,  £ 
sei  in  die  Normalform:  TJ  ==  77    4,21 


gesetzt,  wo  e  ein  Einheitsvektor  parallel  dem  Yektor  a  und  A  eine  Zahl 
ist.     Dann  hat  man,  da 


Von  J.  LuBOTH.  261 

ist,  1  1 

oder 
26)         p^-U=P-U+U-^\(P-U)a-^\(P,-U)a. 

Hieraus  folgt: 

a\iPi-  U)  ==  al{P -  U)  +  la\e 

a(Pj-C0-|a(P-Z7)-i{(P-£;)(a|a)-a[a|(P-?7)]} 

-|{(^i-f^(«l«)-«[«l(i'i-ü)]). 
Tngt  man  26)  ein,  so  erhält  man 
P^-U='P—U+U-\{P-ü)a-j(P-ü)(a\a)  +  \a[a\(P-U)] 

-\(P,-ü)(a\a)  +  \a{[aXP-U)-\  +  X(a\e)]. 
Setzt  man  die  Länge  des  Vektors  a  gleich  2tg^)  so  dass 


o  =  2tg|^-e 
ist,  so  wird:  ' 

P,-U^  P-  f7+Ae-2tg||(P-  0)e-tg»|(P-  U) 

+  tg«|e(e|P-ü)-tg'|(P,-?7) 

+  tg*|c{[e|(P-l7)]  +  A), 
woraus  ^ 


27) 


p^-U=(P-  C0cos9)  +  Ac  +  2sin»|c(e|P-  U) 

—  sin  9  |(P  —  ü)e 


Setzt  man  in  dieser  Gleichung  tg  |^  »  fi  und  geht  zu  orthogonalen 

Koordioaten  über^  so   erhält  man  aus  ihr  die  bekannten  Euler  sehen 
Fonnehi  der  Transformation  dieser  Koordinaten. 

Wahrend  die  Formel  25)  für  g? « 180®  ihre  Giltigkeit  verliert,  ist 
dies  bei  27)  nicht  der  Fall.     Sie  liefert  vielmehr 

^^^^U+^e+e(e\P^U) 

^0  einen  Punkt  auf  der  Axe  (U^  a);  und  da 

(P,-P)|6  =  -2(P-C7)|e  +  A(e|e)  +  (c|c)[elP-D'J  =  |, 

so  ist  die  Projektion  von  Pi  —  P  auf  die  Axe  konstant,  wie  es  bei 
«iner  Drehung  um  180®  sein  muss. 


262  ^'^  Bewegung  eines  starren  Körpers. 

In  Formel  27)  kann  man  schreiben: 

iP-ü)e  =  m  UPe, 

U+{P-U)coa<p  +  2Bm*^e(e\P-U) 
=  P(l  -  2Bin»|)  +  28in»|  U+  2sm*^e(e\P-  U) 

=  P  +  28in» I  [c(e  I P  -  ZT)  -  (e  I  e)(P -  f7)] 

=  P+2sin>||c[e(J'-C0]- 
Also  folgt: 

28)  Pi-P-  2sm*||e(|a)f7P6)-8in9)|cDÜPe  +  Ae, 

oder,  wenn   man   die   Form    zweiten    Grades    TJe   mit  n   bezeiclmet 
weil  e  =  Gjll  ist, 

Pi=  P  +  2sin^|  I  (o/Z-loPil)  +  siny  I  ©PiZ  +  Aoil. 

Betrachtet  man  nun  die  allgemeinere  Form: 

29)  P/  =  P  +  I  (©Z'.  1  aiP2:')  +  r  I  o  P£\ 

wo   T   ein  Zahlenkoeffizient   und   Z'   eine   Form   zweiten    Grades  ist 
deren  Normalform  äüe  4-  nie 

ist,  wo  I  und  rj  Zahlen  sind,  von  denen  man  |  positiv  annehmen  kann, 
so  wird      pf_  p  ^  I  (^ei^^püe  +  ije)  +  1 1  (goPD-e  +  i?  |  c) 

=  P  +  6*  1 6(1  m  P[7e)  +  r||  oP  J7e  +  ri^e. 
Die  rechte  Seite  wird  mit  der  von  28)  identisch,  wenn 

|*=2sin^|^>    rS  =  sin9P,     ri/ =  A. 

Man  kann  also  den  Winder  2?'  und  die  Zahl  t  so  bestimmen 
dass  durch  die  Formel  29)  dieselbe  kongruente  Transformation  dar- 
gestellt ist  wie  durch  die  Formel  28).     Es  folgt 

|  =  /2-sin|,    T«=V2.cos|,    i?  =  — sec|. 
Es  stellt  also  29)  eine  Schraubenbewegung  vor,  wenn  |^  +  r*  =  2  ist. 

§15. 

Es  liegt  nahe,  unter  £  einen  beliebigen  Winder  verstanden,  <K^ 
durch 

30)  P^  =  P  +  €> I (© 2: .  I oP2)  +  ö\(o P2, 

wo  Q  und  0  Zahlen  sind,  gegebene  Baumtransformation  zu  betrachten. 


Von  J.  LüBOTH.  263 

Ersetzen  wir  den  Punkt  P  und  den  ihm  entsprechenden  P^  durch 
anderes  Paar  von  zugeordneten  Punkten  QQi,  so  folgt: 

Q^-Pi-~Q-P+Q\(o£-\a>(Q-P)  +  o\miQ-F)S. 

Sei  nun,  wie  oben  ai^enommen,  £  in  der  Normalform 

'"'^  m(Q  -  P)  S  =  ^{P  -  Q)e,     oJC-lc; 

ler 

Qx-Pi-Q-P+V9\e[\iP-Q)e]  +  <Ji\iP-Q)e 

=  Q-P+V9[P-Q-e(P-Q\e)]  +  ai\iP-Q)e 
Die  Multiplikation  beider  Ausdrücke  liefert  dann 

rP,)|(Ä--Px)-(e,-P.)* 

^{■^-VQyiQ-py+VQii-VQKP-Qiey+VQii-VQXP-Qiey 

+ i*Q\p  -g\ey-  «'I*  [(p  -Qy-iP-Q\  e)*] 
= [(1-  V9y+  i'oViiQ  -  P)'+ [2i'p  -  «*r-  i*ff*]  (p-Q)\  ey. 

Setik  man         <      ►»        ,  ►         ,   • 

1— l^p  —  Acosx,     |0=°A8mX, 

kann  man  dies 

(Öl-  -Px)*=  (Ö-  -P)*-^*+  (1  -  ^'){P-  «|e)* 

kreiben.   Die  Formel  80)  stellt  also  nur,  wenn  A  « 1  ist,  eine  kon- 
nente  Transformation  vor.    Da  aber 

^         em-Pt)'-(X-i'9Xe\Q-P)-V9iP-Q\e) 

ai)  (P,_gj;e-(P_<^)|e 

y  80  schreibt  sich  die  letzte  Gleichung: 

{Q-Py-  (Q-P\ey  ist  das  Quadrat  der  Projektion  der  StreckePig 
F  eine  Ebene,  die  zum  Vector  e  senkrecht  ist.  Daher  sagt  die 
eichong  32)  aus,  dass  die  zu  e  senkrechte  Komponente  von  PiQi 
nal  80  lang  ist  als  die  zu  e  senkrechte  Komponente  von  PQ,  während 
)  Gleichung  31)  zeigt,  dass  die  zu  e  parallelen  Komponenten  dieser 
Kcken  gleich  sind.  Man  kann  also  sagen,  dass  die  Gleichung  30) 
^  affine  Raumtransformation  darstellt,  bei  der  die  zu  e  parallelen 
mensionen  ungeandert  bleiben,  die  zu  e  senkrechten  aber  auf  ihr 
faches  gedehnt  werden,  während  zugleich  eine  Schraubung  um  eine 

^  parallele  Axe  stattfindet. 


tx*m^esk. 


^:    .ja    liea^r  t'irLifieliiiiig: 


=  J- 


cLA^ßB  +  fC 


_^i. 


i£Sflai  »  genannt.    Bexeiclmet  m 
—  mit  i^, 


-  ^'    — '-  mit  JE^i, 

-   -  --i'-e  Punkte  der  beiden  Ebenen  ÄJ\{ 
_  ^.u^  TTMsformation  in  einander  übergeh« 

~^Z-m,    D  =  E+m,    2)  «  «  +  w. 
-.     -»  (d-fe)  =  w|(d-ö)  =  0 

-  ,-*0,    m|(c  — a)«=0 
_  .     ^etxt  man  weiter: 

.       -  aÄ  +  ßB  +  yC   .    Q 

_      --*=      a  +  ß+r     +2pg  +  m 

-  -  -'  «  +  <J  +  r 

-';;.?!=  a  +  pgr  +  m. 

>c  abo  auf  der  Axe  (31,  q)  gelegen,  die  ii 

"     wvEZi  sie  nicht  Null  ist,  senkrecht  getrofe 

-  -  ,:7K*:hflderte   Bewegung   führt    das   Tetraed« 

-r,  so  dass  der  oben  behandelte  Fall  der  de 

._^.-  J  mit  Ä  zusammen,  so  müssen  die  beidei 

^ .   >«;»  L     Dies  ergiebt  sich  auch  aus  der  Betracli 

.  :D^-äB(JD  des  §  10,  die,  weü  hier 

-=■*  Icd  —  acd  +  abd  —  dbc) 


Von  J.  LüBOTH.  267 

,     ,         aabe  , '  Bahc 


id  damit  ergiebt  sich: 

Ist  a  +  /5  +  y  =  0,  so  ist  aa  +  ßb  +  yc  =  0,  daher  die  drei  Vektoren 
k  komplanar.  Der  Vektor  q  ist  dann  auf  der  Ebene  dieser  drei 
ektoren  senkrecht.     Aus  den  Gleichungen  33)  folgen 

(3>-a)t(&-a)  =  0,    (3)-a)|(c-a)«0, 

e  zeigen,   dass  3)  —  K  zu  g  parallel  ist.     Dann  liefern  die  Gleich- 

H5en33):  q\d  ^  q\a  ^  q\b  =  q\c  ^0. 

Somit  reicht  eine  Drehung  um  180®  um  die  Axe  (?t,  q)  aus,  um 
MD  in  A^B^C^B^  überzufahren. 

§18. 

Die  Satze  der  §§  10,  16,  17  über  die  Mitten  der  Strecken,  welche 
ütsprechende  Ecken  von  zwei  kongruenten  oder  symmetrischen  Tetra- 
dem  verbinden,  ergeben  sich  auch  aus  bekannten  Eigenschaften  der 
rthogonalen  Transformationen  mit  reellen  Koeffizienten,  denn  jede 
fBimetrische  oder  kongruente  Raumtransformation  ist  ja  orthogonal. 

^"  [  x^==^  A  +  a^^x '\- a^^y  +  a^^z 

34)  I  y^  «=  B  +  (ji^^x  +  a^^y  +  a^^z 

ie  Transformationsformeln  und  ^,  17,  g  die  Koordinaten  der  Mitte 
er  Strecke,  die  den  Punkt  {xyz)  mit  seinem  entsprechenden  (x^yiZ^ 
Hrbindet,  so  ist:   /  «fc       a    \  fr,     \  i\^  1   ^    *,  _l  ^    » 

2i2  =  B  +  a,i  a:  +  (o^a  +  l)a?  +  cr^^ 
2g  =  C  +  «31  a;  +  «32^  +  («83  +  l)z. 
Die  Determinante: 


a„  -  s   «1,  «13 

Ö^Sl  «38  «SS  —  « 


<|P(S) 


it  die  sogenannte  charakteristische  Funktion  der  Substitution  34) 
od  es  ist  bekanntlich:  /q\  ^  ^  ^  +  1 

fc  nachdem  die  Transformation  kongruent  oder  symmetrisch  ist. 

Die  Gleichung  g)(s)  «=  0  kann  s  =  +  1  oder  5  =  —  1,  neben  kom- 
jlexen  Werten,  zu  Wurzeln  haben.  Ist  5  =  +  1  eine  ^  fache,  5  •=  —  1 
ane  v  fache  Wurzel,  so  ist: 


268  ^^  Bewegung  eines  siairen  Körpers.    Von  J.  Lürotb. 

/i  +  V  =  1   oder  3 

(-1)'-« 

und  für  eine  m  fache  Wurzel  verschwinden  in  der  Determinante  9I 
alle  Unterdeterminanten  (4  —  m)*®"*  Grades,  wahrend  die  (3  —  wj 
Orades  nicht  alle  Null  sind.* 

Daher  sind  folgende  Falle  möglich: 

«  =  +  1^    v=:0   oder  2, 
-1,  1  3. 

£&  ist  aber  g>{—l)  die  Determinante  der  Gleichungen  35).  1 
also  v  =  l,  so  verschwindet  sie;  zwischen  den  Grössen: 

besteht  eine  lineare  Gleichung  oder  die  Mitten  der  betrachteten  Streck 
liegen  bei  symmetrischer  Transformation  auf  einer  Ebene. 

Bei  V  ^3  ist  die  Transformation  ebenfalls  symmetrisch,  es  n 
schwinden  aber  alle  Determinanten  ersten  Grades  fär  s  =^  ^1,  iL 

alle  anderen  a^  sind  Null,  daher  folgt: 

oder  die  Mitten  fallen  in  denselben  Punkt. 

Bei  1;  »  2  handelt  es  sich  um  kongruente  Transformationen,  i 
Unterdeterminanten  zweiten  Grades  verschwinden  für  s  ==  —  1^  i 
bestehen  zwischen  den  Grössen  2|  — -4,  2ti  —  B,  2  g  — Ciw 
lineare  Gleichungen,  und  jene  Streckenmitten  liegen  auf  einer  Linie 

Bei  kongruenter  Transformation  füllen  also  jene  Mitte 
punkte  entweder  den  ganzen  Raum  aus  oder  sie  liegen  &t 
einer  Geraden,  bei  symmetrischer  Transformation  liegen  s 
auf  einer  Ebene  oder  sie  fallen  in  einen  Punkt  zusammen. 

Diese  Sätze  ergeben  sich  auch  ohne  Schwierigkeit   aus  den  i 
gemeinen  Sätzen  über  die  Überführung   eines  räumlichen  Systems 
ein  ihm  gleiches,  die  H.  Wiener  gegeben  hat  (Berichte   d.  math.-plij 
Klasse  d.  kgl.  Sachs.  Gesellsch.  d.  Wissensch.,  1891^  Seite  659).         1 


*  Stickelberger:  Über  reelle  orthogonale  Transformationen.    Beilagi' si 
Programm  des  Polytechnikums ,   Zürich  1877,  Seite  VII. 


8ur  les  types  les  plus  generaux  d'öquations  represen- 

tables  par   trois  systömes  de  ceroles  ou  de  droites 

ootes.    Application  aux  equations  quadratiques. 


Par 
M.  d'OCAGNE 

ik  Paris. 


1.  Soient: 


«3) 


»1  (^+  y*)  +  xfi  +  ytpi  +  ^1  =  0, 

»«(«*  +  y*)  +  ^/«  +  y  9?8  +  *»  ===  0, 
»8  (^' + yO  +  ^^  +  y  9^8  +  *8  =*  0 , 


es  equatioDB  de  trois  systemes  de  cercles  cot^s  respectiyement  au 
nojen  des  valeurs  des  param^tres  a^^  o,  et  a^,  equations  dans  les- 
joelles  fiy  qp,-,  ^^  representent  des  fonctions  du  paramfetre  a,(i  »=  1^  2,  3\ 
X)  a^j  a,  des  constantes  qui;  en  s'annulant;  transforment  le  Systeme  de 
ercles  correspondant  en  un  systäme  de  droites. 

Pour  former  Fequation  en  a^^  cc^  et  er,  represent^e  par  l'ensemble 
e  ces  trois  systfemes  cotes  il  faut  dliminer  o;  et  y  entre  ces  trois 
ijuations.  Ooni]iien9ons  par  eliminer  x^  +  y^  entre  ces  Equations 
tises  deux  ä  deux.     Gela  nous  donne 


-0, 


/i     Oj 
/«    0, 

«  + 

Vi  «1 
Vi   0, 

y 

«1  *i 
0,  *, 

ft  0, 
f»  0, 

x  + 

V*  0, 

9>8    Oj 

y  - 

0,  ij», 

Oj  Vj 

/i    «8 
ft    »1 


a:  + 


9>8    % 

9?i   «1 


«8     *8 


=  0, 


=  0. 


Si  on  additionne  ces  trois  Equations  apr^s  les  avoir  multipliees 
^specÜTement  une  premi^re  fois  par  ip^y  9?,,  g?„  et  une  seconde  par 
i'/2;/s9  ^^  obtient  les  deux  suiyantes: 


270         S^if  1^8  types  les  plus  g^n^raux  d'^quations  repr^sentables  etc. 


fi    9i    «1 
Si^  apr^s  avoir  pos^ 


X  — 


y- 


»1  9>i  *i 

a,  9?,  ^2 

«8  %  *s 

/i  «1  *i 

A  «^8  *8 


0, 


«0. 


/i    9>i    *i 

I>-     fi      9>2      *2 
^8      9>S      *8 

nous  convenons  de  repr^senter  par  23^,  Z)^,  Z)^  ce  que  devient 
determinant  lorsqu'  on  y  remplace  les  fiy  les  q>i,  ou  les  ^,  par 
Ui,  nous  voyons  que  les  equations  pr^c^dendes  peuvent  s'ecrire: 

D,f,x  -  D/  —  0, 


D9y 


Dy=0. 


or. 


Portant  les  valeurs  tir^s  de  lä  dans  l'^quation  a^)  on  a 


fvJif-fi 


^pjDy«  9i 


tißv-=-^i 


»1  9>i  *i 

«2  9»  *2 

«8  98  *8 

/i  «1  *1 

A  «2  *% 

fn  «3  *'8 

fi  9>i  «i  I 

A  92  «2  I  = 

A  93  ^»3 


«l/i  Tl 

*i 

0     9, 

*« 

+ 

0     9, 

*8 

0     9, 

*i 

«j/i  9>» 

*•» 

+ 

0     9>, 

l^s 

0     9,  t 

0     9ä  <i 

«s/i  ?1  * 

/;  0  « 


A     0      ti  +,  fi  "»9i  t,  +    fi      0   «I 

f,  0   i',.    ;/;   0   ts     [f,  «,fi« 


A       Vi«»!*! 

fs    Vi    0 

/s  y»  0 ! 


+ 


A 

9.     0 

1 

A 

9»«»<-i  + 

r. 

9,    0 

fi    Vi 
fa    Vt 


Xv>(i  cu  additionnant  en  colonne 

fhfi  «i9i  «i*»!  \  fi     IPt      *i 

I  fs    V»    t»  I  i  /■«    f  »    *j 

utt.«tioa  ci-dessu3  devient  donc 


=  0,]) 


l) 


» 

Pftr  M. 

] 

d'OcAOHB. 

0,     9»,     f  1 

i«i   Vt  *« 

>5     9$     *« 

1 

+ 

fl         (^i         ^l 

f%    »a    *2 
f%    «a    V's 

+ 

fl     9x     ^1 

271 


-0. 


Teile  est  donc,  sous  forme  symetrique,  requation  en  cciy  cc^y  o, 
plus  g^n^nde    repr^sentable   par  trois   systömes   de   cercles   cotes 

Supposons  que  deux  de  ces  systömes  de  cercles  se  reduisent  a  des 
fernes  de  droites.  Pour  cela,  faisons  a^  —  a^  —  0  et  aj  =>  1  (puisque 
est  different  de  zero).     L'equation  1)  devient  alors: 


5 


J 

Vi  *i 

i 

+ 

*. /. 

1 

+ 

A  Vi 

V%  *a 

*«/. 

U  Vi 

fl    Vi    ti 

U  Vi  ti 

fz    Vz    *s 


0 


Si  on  pose  d'une  maniere  generale: 


peut  s*ecrire 

M  ^if\  +  \tf\+fz\fv\\v^\  +  Vfi\fv\\i^f\+i'z\f<p\^0. 

2.  Examinons   dans  quels  cas^  les   fonctions  fi,  q>i,  ^i  etant  des 
fnomes  du  1®'  ou  du  2"''  degre,  la  demifere  equation  ^crite  pourra 
quadratique,  c'est  ä  dire  du  second  degre  par  rapport  ä  Tensemble 
variables  ctj,  er,  et  «,.     Pour  cela  representons  par 

X  le  degre  des  polynomes  \v^\  ^^  \i'f\} 

f*  n        7}  »  ff  \fv\  y 


ff 


ff 
ff 


ff 
ff 
ff 


ff 
ff 


ft  et  9)3 

*8 


Od  Yoit  que   les   deux  premiers  termes  seront  du  degre  2k,  les 
suivants  du   degre  X  +  fi  +  v  et  le  demier  du  degr^  2  fi  +  sr. 
*  que  requation  soit  quadratique  il  faudra  donc  que  Von  ait 

2X<2,    A  +  fi  +  i/<2,    2fi  +  Ä<2, 

sr  ne  pouTant  d'ailleurs  etre  nuls  ä  la  fois  puis  qu'  alors  aji  dis- 
trait  de  Tequation  donnee.  Ces  conditions  ne  peuvent  etre  r^lisees 
dans  les  trois  hypotheses 

A«l,     fi«0,     v=-l,    Ä«2, 

A«0,    fi-0,     v«2,    Ä=-2, 
lonnent  respectivement 

2A«2,     A  +  fi  +  v-2,     2fi  +  Ä  =  2, 

2Jl  =  0,    A  +  fi  +  1;  =  2,     2fi  +  jt  «  2. 


272         Sui^  l^s  types  les  plus  g^n^ranx  d^^quaiions  repräsentables  etc.  ! 

Nous  allons  faire  yoir  que  les  deux  demieres  hypotheses  doive 
etre  ecartees.  Prenant,  en  efFet,  les  polynomes  /i,  9>i,  ^i,  /*,,  ^„  i?^  ^ 
premier  degre  (car  s'ils  se  reduisaient  ä  des  constantes  les  Tariabl 
a^  et  a,  disparaitraient  de  requation)  cherchons  a  faire  en  sorte  q 
les  polynomes  |  <]Pt(;|  et  |  V'/'l  se  r^duisent  ä  des  constantes.  Si  n<^ 
posons  d'une  mani^re  generale:  i 

f^  —  miUi  +  ni,     g?<  —  |),a,-  +  g/,     ^,-  «  r,ai  +  5,-,  ! 

nous  voyons  que  la  condition  requise  sera  remplie  si  Ton  a  : 


3) 

wijfj  —  ^2^1  *—  0, 

4) 

Pi^i     Ä»-i  =  0, 

5) 
6) 
7) 

8) 
De  3)  et  4)  on  tire 

9) 

m,       Pt       r, 
«»1       Pt      »•« 

Si  dans  6)  et  8)  on  remplace  m^j  p^y  r^  par  les  quantites  p^ 
portionnelles  tirees  de  9);  on  a 

10)  nirj  — Wi5j  =  0, 

11)  iin-  PiSi^O. 

Les  ^quations  5)  et  10)  donnent  alors  ' 


fj  Sj  8^ 


et  de  meme  7)  et  11) 

f I        «1       «1  I 

! 

Cüs  deux  demieres  suites  d'egalit^s  donnent  ä  leur  tour  | 

13)  ?i  =,  ^  »  iL, 

n,        j,        s,  I 

K^mpla^ant  enfin  dans  cette  derniere  suite  d'^galites  ni,,  Ptf  ^i^ 

*\^  (^%  ^x  par  les  quantites  proportionnelles  tirees  respectivemeni  de  \ 

*  i>  IS'^j  on  a 

*A^  ^  =  ?i  =  !i.. 

ts        (?,       s, ' 

'Lv^  trvns  doubles  proportions  9),  13)  et  14)  constituent  un  sysfeii 

^.urnut    ^tre    Substitut    ä    celui    que   forment   les   equations   i 

■X. 

^  ••,*ussi  $ttpposons  d'abord  les  divers  coefficients  non  nuls,  noi| 

>    ..r  *e«*  egalit^s  9)   et  12)  etablissent  que  les  faisceaux  a,)  i 

7--.»e  ^nt   de   convergence,  les   ^galit^s  13)  et  14)  que  ( 


Par  M.  d'OcAGNB.  273 

point  est  a  Tinfini.  Quelles  que  soient  les  valeurs  attribu^es  a  a^  et 
ä  0,  les  droites  cotees  correspondantes  se  couperaient  en  ce  point 
situe  ä  rinfini.    L'emploi  de  Tabaque  deyiendrait  illusoire. 

Pourrait  on  maintenant  satisfaire  au  Systeme  forme  par  9)^  13) 
et  14)  au  moyen  de  valeurs  nuUes  pour  certains  coefficients?  Une 
premiere  maniere  consisterait  a  supposer  nuls  les  deux  termea  d'un 
des  rapports  entrant  dans  9),  par  ezemple  9»^ »  n»2  —  0;  mais  alors, 
en  yertu  de  13)  et  14)  on  devrait  avoir  aussi  n^ «  «, « 0  et  les 
sjstemes  «j)  et  «,)  seraient  encore  paralleles  entre  eux,  hypothese  in- 
admissible^  comme  on  vient  de  le  voir. 

üne  seconde  maniere  consisterait  ä  annuler  a  la  fois  les  termes 
se  correspondant  dans  une  des  doubles  proportions,  comme 

Wj  «=  Pi  =  r^  —  0    ou    w^ «»  äi «  ^1 «  0, 

mais  alors  la  variable  correspondante  a^  disparaitrait  de  l'equation. 

Les  deux  bypothfeses  pour  lesquelles  A  —  0  doivent  donc  etre 
ecartees,  et  il  ne  reste  que  la  premiere  ci*dessus  que  nous  allons 
etudier  en  detail. 

3.  La  condition  A  — 1  entraine  les  ^galit^s  3)  et  4)  ci-dessus 
reunies  en  9)  d'oü  on  tire  encore 

15)  ^iPi  ^  ^Pi  =  0. 

La  condition  fi  »  0  entraine  pr^cis^ment  cette  egalite  15)^  plus 

16)  f^iii-'^Pi-O, 

17)  Wift— m2gi=-0. 

Rempla9ant  dans  17)  m^  et  p^  par  les  quantites  proportionnelles 
tirees  de  9)  on  a 

18)  n^Pi  —  mj^i  =  0. 
De  16)  et  18)  on  tire 

19) 


Pl  «1  & 


et  si  on  tire    de  la  des  quantit^  proportionnelles  ä  n^  et  ä  q^  pour 
les  porter  dans  17)  on  a 
20)  n^p^—m^q^^O. 

Les  ^alit^s  18)  et  20)  peuvent  etre  substituees  ä  16)  et  17) 
pour  former  avec  9)  l'ensemble  des  conditions  exigees  par  l'bypothese 
^  =  1,  ft«0.  Ces  egalites  expriment  que  les  centres  des  faisceaux 
^i)  6t  ce,)  sont  rejet^s  ä  Tinfini^  mais  ici  dans  des  directions  differentes. 

Supposons  que  Ton  y  satisfasse  par  des  valeurs  non  nulle s.  On 
tirera  alors  de  19)  F^galit^: 

w^g,- »8^1-0 

V^  jomte  k  15),  16)  et  17)  montre  que  \f(p\  devient  identique- 
ment  nul,  bypoth^se  inadmissible  car  alors  la  variable  a^  n'entrerait 
plus  dans  Tequation  2^*»). 

18  • 


-0] 

_0  K*^®^**i«»-**29i^0). 


274         Suf  les  tji^es  les  plus  g^n^raux  d'^quations  repr^aentables  etc. 

On  ne  peut  donc  ici  satisfaire  aux  ^galit^  9),  18)  et  20)  qu'en 
prenant  ^^  —  m,  «pj «  p,  —  0. 

Comme  en  outre^  les  coefficients  r^  et  r^  sont  necessaiment  diffe- 
rents  de  z^ro,  puisque,  B*il  n'en  ^tait  pas  ainsi,  a^  et  ce,  disparaitraient 
des  equations  a^)  et  Oj),  on  pourra  prendre  ^i  —  ^g  —  1. 

En  r^sum^y  T^quation  2^^)  sera  quadratique  lorsque  ä  Oj 
et  ä  Oji  correspondront  les  syst^mes  de  droites  paralleles 

«1)1  n^x+q^y  +  s.+  a^^O 

OjX  n^^+q^y  +  s^  +  a^ 

et  ä  a,  le  Systeme  de  cercles. 

«3)1       ^+  y^+  (*'»8a8+  »«)^  +  (P««S+  2s)y  +  ^8«8*+  ^8«8+  «8  —  0. 

Remarquons  que  les   centres  de  ces  cercles,  dont  les  coordonnees 

r^sultent  des  equations      ^      .  . 

2x  +  ^8«,+  n,  «  0, 

se  trouvent  sur  la  droite 

2p^x  —  2m,y  +  n^p^  —  m^g,  —  0. 
L'enyeloppe  de  ces  cercles  est  la  conique 

(m^x  +  p^y  +  rj)2-  4^3(0:«+  y*+  n^^x  +  q^y  +  s,)  -  0, 
ä  laquelle  ils  sont  bitangents,  ce  qui  montre  que  la  droite  precedente 
est  un  axe  de  cette  conique. 

4.  On  peut  se  demander  si  inversement  toute  ^quation  qua- 
dratique teile  que 

A,a^'+  A^a^^+  A^a^^+  2B,a^a^+  2B^a^a,+  2B^a^a^ 

+  2C^a^+2C^ttt+2C^a^+  2)  -  0 
est  susceptible  d'etre  ainsi  representee. 

Pour  nous  en  rendre  compte  61iminons  a^  et  a^  entre  les  equations 
^1)1  >  ^)i  ^^  Q)  ^^  cherchons  s'il  est  possible  de  determiner  pour  les 
coefficients  des  deux  premi^res  des  valeurs  reelles  telles  que  requation 
quadratique  en  a;  et  y  resultante  represente  un  cercle. 

Si  on  tire  a^  et.o^  des  equations  a^\  et  0^)1  ci-dessus  pour  les 
porter  dans  Tequation  Q),  on  obtient  en  ^galant  entre  eux  les  coeffi- 
cients des  termes  en  x^  et  y^  de  Tequations  obtenue  et  annulant  celui 
du  terme  en  xy^  les  equations: 

^1^121+  ^njg,+ JB3(w,g,+ Wjjj)  -  0. 
De  la  seconde  on  tire 

Portant  dans  la  precedente,  on  trouve,  apres  r^duction, 

2^  -    AA--B.*    * 


Q) 


Par  M.  d'OcAowK.  275 

Le  numerateur  de  cette  fraction  etant  positif  on  voit  que  la 
realite  de  q^  exige 

21)  Ä,A^-B,'>0. 

Comme  on  pent  permnter  entre  enx  les  indices  affectes  aux  trois 
rariablesy  on  voit  que  la  condition  de  realite  peut  s'exprimer  ainsi: 
si,  dans  T^quation  Q),  les  variables  aj^  a^  et  a,  sont  con- 
sider^es  comme  les  coordonnees  courantes  d'un  point  de 
I'espace,  il  faut  que  la  section  par  Tun  des  plans  de  co- 
ordonnees de  la  quadrique  d^finie  par  cette  ^quation  soit 
du  genre  elliptique. 

Supposant  la  condition  remplie  on  a 

22)  ^^^V^jfjg^ 

et,  par  suite, 

23)  Ä^n^jJ^ 

Le  choix  de  n^  et  n^  est  libre^  ä  cette  seule  reserve  pr^s  qu'on 
ne  saurait  prendre  ä  la  fois  n^ »  n^ » 0,  parce  qu'  alors  q^  et  q^  6tmt 
nuls  aussi,  les  denx  faisceaux  de  droites  crj  et  u^)  seraient  tout  entiers 
rejetes  a  l'infini. 

Quant  ä  s^  et  s^,  qni  n'entrent  pas  dans  les  ^quations  de  con- 
dition, on  peut  les  choisir  arbitrairement.    Nous  prendrous  «i— s,  —  0. 

Des  lors^  n^  et  n,  ^tans  quelconqnes  mais  non  nuls  ä  la  fois, 
Qi  et  q^  ayant  les  valeurs  22)  et  23),  et  Tinegalite  de  condition  21) 
etant  satisfaite,  on  pourra  representer  Tequation  Q)  au  moyen  d'un 
Diagramme  cot^  on  abaque  constitüe  par  les  sjstemes  de -droites 

«i),  «i^  +  ftSZ  +  aj-O, 

ff,),  fhx  +  q^y  +  a^^O, 

et  le  Systeme  de  cercles 

-2[(BiW,+B,ni)«,-f  Qni+  C,fi,> 
-2[{B,q,+  B,q,)a,+  C,q,  +  C,q,]y 

Nous  terminerons  par  la  remarque  que  Toici:  Puisque  les  cercles 
ttj)  ont  leurs  centres  en  ligne  droite,  on  doit  pouvoir^  en  prenant  cette 
droiie  connue  axe  des  y,  faire  en  sorte  que  Fequation  de  ces  cercles 
ne  contienne  pas  de  terme  en  x.  Or^  il  semble  ne  pas  pouvoir  en 
etre  ainsi  dans  le  cas  g^neral,  puisque  nous  venons  de  voir  que  n^  et 
ftg  ne  sauraient  etre  nuls  i  la  fois.  Mais  cette  contradiction  n'est 
qu'apparente.  11  ne  faut  pas  oublier,  en  efFet,  que  nous  arons  pris 
*i  *=  s,  —  0.  En  r^tablissant  pour  Tun  de  ces  coefficients  une  valeur 
qnelconque  on  verrait  que  Ton  peut  en  disposer  de  fa9on  a  annuler  le 
eoefficient  du  terme  en  x. 


«s) 


8 


276  Sur  les  tjpes  les  plus  g^n^rauz  d'^qnations  repr^sentables  etc.  Par  M.  d'OcAGn, 


5.  Le  calcul  effectue  au  n^  1  pennet  encore  d'obtenir  la  forme 
equations  repr^sentables  au  moyen  de  trois  points  cot^s  pris  respectiye- 
ment  dans  trois  systemes  a^),  a^y  a,),  et  qui  se  trouvent  simultane- 
ment  sur  un  cercle  de  rayon  R  trac^  sur  un  transparent  mobile. 

Si^  en  effet,  le  point  o,)  est  defini  par  les  coordonn^e 

oü  fi  et  ipi  d^ignent,  comme  pr^cedemment,  des  fonctions  de  a,-,  on  doit 
avoir,  en  d^signant  par  £  et  17  les  coordonn^es  du  centre  mobile^  les 
trois  Equations :  ^^  _  ,,y  ^  (^^  _  ^)«  -  i?  (i  -  1,  2, 3) 

ou  g2+  ^,_ 2/-S  -  2q>iri  +  f^+  g),«- B»-0       (i- 1, 2, 3). 

Pour  eliminer    ^   et  rj  entre  ces  trois  ^quations^  il  suffit,  apres 
avoir  pose  d*une  maniere  generale 

»5    63    ^3 
et  en  remarquant  que 

d'appliquer  l'equation  1)  du  n*>  1,  ce  qui  donne 


«1 

h 

Cl 

«J 

b. 

c* 

0« 

6s 

Cj 

■« 


ou 


+  \-2f,  -2(pi  l\\-2fi  -2tpi  /;»+ v,»-iPi  =  0 


24)  1  [\f,  V.  fi*  +  9i'\-R'\fi  Vi  i!]-=o, 

qu'on  peut  encore  ^crire,  en  posant 

et  employant  la  notation  abregee  du  n^  1 ; 

2)/  +  Dy«  +  41)^(2)  -  R^Dyf)  =  0. 

En  particulier,  si  les  points  aj  et  a,)  sont  distribufe  sur  Ox  et 
les  points  a,)  sur  Oy,  cette  ^quation,  toutes  r^ductions  faites,  prend  la 
forme  simple       ^^^(^^  +  f^y_^  4 jj2j  +  (^^2  _  fj^y  .  q. 

On  peut  meme   supposer  que  le  transparent  porte  une  s^rie  de 
concentriques   donc  le  rayon  22  soit  fonction  d'un   quatrieme 
Km.     La    forme    correspondante    de    l'equation    repr^ntee 
it  en  rempla9ant  R  par  f^. 

si  R  deyient  infini  Tequation  24)  se  reduit  ä 

l/i9>.l|-0, 

sur  la  m^thode  des  points  align^s  que  nous  avons  sig- 


•».i 


.^   ^.ixie,  Paris  1891,  chap.  IV. 


über  die  automorphe  Transformation  einer  Summe 
von    Quadraten    mit    Hilfe    infinitesimaler    Trans- 
formationen und  höherer  komplexer  Zahlen. 


Von 

Professor  Beez 

in  PlAuen  i.  V. 


Soliluaa. 


l) 


§3. 

Die  antomorplie  Transformation  einer  Summe 

▼on  Tier  Quadraten. 

* 

Um   die   Summe    von   vier   Quadraten   in   sich   selbst   zu   trans- 
mieren,  hat  man  in  den  Gleichungen: 

i 

Koeffizienten   ait  mit  Hilfe  von   sechs  unabhängigen  Parametern 
zu  bestinmien^  dass 

f,x,  1-0,1,2,3. 
Die  identische  Transformation  tritt  ein  bei 


'00 


a 


11 


< 


x: 


th  Variation  der  Gleichungen  1)  mit  Berücksichtigung  von  2),  bei 

i,  findet  man: 

da^o—      x^da^i  +  x^8a^  +  a^s^^o»? 


») 


Ztiuebiiflf.  Xfttheaatik  n.  Phyilk.  48.  Jahrg.  1898.  6.  Hefl. 


19 


278     ^^^  ^^  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 


Setzen  wir 

wo   die   k   sechs   von   einander   unabhängige  Parameter  bedeuten, 
gehen  die  Gleichungen  3)  über  in: 

dx^  =-  (-  k^XQ  —  k^x^  +  k^x^)dty 

Die  Variation    einer    beliebigen   Funktion   f{xQ,  ^f  x^y  x^,t)  \ 
giebt  sich  alsdann: 


4) 


^f    Ax^    ,    _£^  ^5_  _|_  ^^t_  dxt_ 


dt 


(?«,     dt  dx^    dt 


dXf 


Hieraus  findet  sich  mit  Berücksichtigung  von  4)  das  Symbol  d 
allgemeinen  infinitesimalen  Transformation  q)f: 


6) 


df 


df 


(i 


7) 


9»/"=  dt  =  (^1^  +  A,«,  +  A,ai,)  -g^  +  (-  '^a^  +  ^4^^  +  ^5^)  Yi, 

+  (-  K<ea  -  h^i  +  ^6^;»)  -^  -  (^s«o  +^621  +  ^a^)  j,]' 
oder  nach  den  willkürlichen  Parametern  geordnet: 

Die  allgemeine  infinitesimale  Transformation  ipf  ist  also  aus  k 
folgenden  sechs  speziellen  Transformationen  zusammengesetzt: 

-_       df  dl 

^  (>f  df 


8) 


Vs/"  =  a?» 


1^ 
dx. 


X,  —-> 

1!» 


''dx. 


Diese   sechs  infinitesimalen  Transformationen  bilden    eine  secb 
gliedrige  Gruppe,  denn  für  beliebige  i  und  x  ist: 


Von  Prof.  Bbbz.  279 

insbesondere:  i 

(!h9>z)^9B1     (92^4) -"^^i;  (9>29'6)  =  0,      (9>»<P6)^  — %> 

(^^SVJ^-O,  (989^6)^9^11     (9s96)  =  9'2; 

{^AV>h)^9BJ     (9^49^6)  ===  — 98> 

(9^59^6)"=' 9^4- 
Durch  sie  wii'd  eine  sechsgliedrige  Gruppe  von  endlichen  Trans- 
fonnaüonen  erzeugt^  die  nicht  mit  einander  vertauscht  werden  können, 
da  nicht  alle  (<p<9>x)  "^  0  sind.  Zur  Auffindung  dieser  endlichen  Trans- 
formationen benutzen  wir  wiederum  die  drei  verschiedenen  Methoden^ 
welche  wir  bereits  bei  der  automorphen  Transformation  zweier  oder 
dreier  Quadrate  in  Anwendung  gebracht  haben. 

L  Setzen   wir  t  ^\,  so   erhalten  wir  eine  kanonische  Form  der 
endlichen  Transformation: 

Nun  ist  för  i  =  0: 
10)  I   9*^0--  (^1*+  V+  V)^o-  (^«^4+  ^8^5)^1  +  (^1^4-  ^s^e)^« 

•     V^l  ^5  "T  ^2  ^e)  ^3f 

9>% *V^o  +  /"  V^o; 

worin 

Ä*-  Aj«+  V+  V+  V+  V+  Vi       r=  ^1^6-  A,A5+  ^8^4, 

f%  =  (Ä*  -  n<pXo  -  hf'ip'xo, 

»«xo = -  (Ä«  -  2h'nip*x,  -  (Ä*  -  n/"*«^ 

^'\  =  (A«  -  3ÄY*  +  nq>'^o  +  (A*  -  2*Y*)/-**o. 
Setzt  man  nun: 

3!  ^        6!  7!  ^  9!  ' 

2!        4!  "^        6!  8!  "*"  10!  ^^ 

n(^  _ ^'  4.  ^*-f'  _ ^'-2;^'^  ,  Ä^-sÄYi+r _     \    ^ 

'    \3!        6!  "^7!  9!  "^  ■  11!  /       '^* 

\      4:  ^  6!  81        ^         10!  12!  ^        /  ' 

so  wird: 

19* 


U){ 


12o) 


280   ^er  die  aaiomorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

^'o  *=  ^ü  +  «^9?^o  +  ß^^^o  +  Yv'^o  +  *^o> 

worin  97X0;  «jp^Xq,  ^'a;^  die  in  10)  angegebene  Bedeutung  haben.    Durch 
Einfähnmg  dieser  Werte  wird: 

Setzt  man  hierin: 
A^«a,   ;,«6,   ^5«^,  ^4=-*;  ^5^ 9^  h—f}  a^^2a^  y 2^, 

und  nimmt  an  —  was  noch  zu  beweisen  ist  —  dass 

/j«2,     *  =  -2d« 
sei,  so  kommt: 

+  2(—  aca-fft  +  cg-  bh)x^ 

+  2(-  CO  +  i/"—  a^  —  Ä^)^:,. 
Ebenso  erhält  man 

Xi  ^  x^  +  aq>Xi  +  ßq>^x^  —  y(p^x^  +  *^i 
Setzt  man  hierin  für  ya:^,  9*^1,  9>'iCi  ihre  Werte: 

(     9^1  =  — ^1^0  +  ^4^ +^^a> 

so  kommt: 

+  x,\aX^^ß{k^X^+X^l,)+yX,^ 

und  nach  Einsetzung  der  Werte  ron  a^  ß,  y,  d: 

x,'=  2(aG)  +  f& ^bh  +  cg)x,  +  [(o^  -  ^*)  +  (/'» - a«) 

+  2  (—  Ao  +  /"^  -  a&  —  c^)a:i  +  2(5^0  +  /*A  +  6^  —  cd)Xy 
Desgleichen: 

x^=-x^  +  a(poi^  +  ßq>^x^  +  yfp\+  dx^^ 


12,) 


worm 


Von  Prof.  Bbez. 


281 


Hieraus  weiter: 


IX' 


a^[-aA,+^(iiX,-;,A,)+yi5] 
+  ai[-«A4-i8(Ai;,  +  Aj;,)  -  yAjl 

+  aj  [1  + *  -  ^(V+ V  +  V)J 
12.)      {  +a;,[ail,-/J(A,A,  +  AA)  +  yAi] 

=  2(6»  +  S^fl- —  c/"+ oÄ)«^  +  2(Aa»  + /"^  +  cd  —  «&)«! 

+  2(- /•©  +  jf  A  —  6c  —  o»)«,. 
Endlich: 

a;',— 3-,  +  «9"«»  + /Jy**!— yv'aj  +  rf«,, 

V'ar,  =  (Ai  ^6+  h  0^:0+  (-  Ai  A,  +  A^A,)^!  -  (A,  A,  +  A4  A5)  x^ 

-(V  +  V  +  ^eV, 
v'a^  —  A4a;o  —  Ajä;,  +  Ai^i. 

Dies  giebt: 

faii'=a;o[-«A,  +  ^(A,A5  +  A,A,)-yAJ 

+  «,[- «A,  + /J(- A,  A,  +  A4A,)  +  yA,] 

+  ai  [-  c A,  -  /J(A,  A,  +  A4 Aj)  -  yA J 

12,)    \  +a^[l  +  <J-^(A,*+Aj»+A,»)] 

2(c©  +  **  — a5r  +  6/')a^  +  2(— sro»  +  /'Ä-oc-6»)a;j 
+  2(/'ö  +  ^A  +  ad  -  6c)ai 
+  [(«»-  d«)  -  (Z'»-  a»)  -  0/*-  5»)  +  (A«  -  c«)]*:,. 

Es  igt  mir  nicht  gelungen  die  unendlichen  Reihen  für  a,  /3^  y^  d 
in  geschlossene  Ausdrücke  umzusetzen.  Dass  a«=  —  2a>,  y«  —  2^ 
als  nene  überzahlige  Parameter  eingeführt  werden  ^  isi  jedenfalls  ge- 
stattet* 

Dagegen   ist  nicht  bewiesen,  dass  ß  ^2  und  J  »  —  2<0'^  gesetzt 

werden  darf.    Zu  der  Annahme  ß  ^2  wird  man  leicht  gefährt,  wenn 

man  den   speziellen  Fall  f'^Oy  also  auch  y  »  0,  4  »  0  in  Betracht 

weht.    Dann  wird: 

-_Ä^       Ä*_Ä^  sinÄ 


a 


/''^ÖT 


Ä« 


6! 


4!  ''■  **"•  "^ 


1  — C08Ä 


Durch  Einführung  von  —  wird  hieraus: 


13) 


a  — 


2 

^  .    h        h 

2  8m— cos  — 
2  2 


2  sin*— 


ß- 


*  Siebe  diese  Zeitscfairift  Jahrgang  41,  S.  82. 


282     t}l)er  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 
Wenn  y  =  0,  d  =»  0  ist,  so  entsteht  aus  11): 

Führt  man  in  diese  Gleichung  die  Werte  von  a  und  ß  aus  13)  ein 


und  setzt: 


cos-r^Ä«  — o,    xsin— Ä  =  a,    ^sin  — ä  =  6, 
2  '     Ä        2  '     Ä        2  ' 

^sin-Ä«=c,     ^sin^Ä^Ä,    fsin-Ä  =  — ^, 


so  kommt 


h 
a^'o  ==  ^o[l  -2(a«+  6*+  c*)l  +  2a:i(-ao-6Ä  +  cg) 


^sin-Ä^^/; 


15)  I  +2x^{-'h(o  +  ah-cf) 

welche  Gleichung  auch  ohne  weiteres  aus  14)  abgeleitet  werden  kann, 
sobald  man  a»  — 2iü),  ß^2  darin  substituiert.  Aus  12o)  entsteht 
die  Gleichung  15) ,  sobald  dort  ^d* »  0  gesetzt  wird. 

n.  Bei  Anwendung  der  zweiten  Integrationsmethode  hat  man  die 
Differentialgleichungen : 

dXo*  do^  dxj 


1) 


l,a;.'+i,«.'+i,«,'        -i.«.'+i«ai'+^.ai'        -K<<-K»>\+h^, 

^'^'  -  dt 


*«  *0  T  *6  ^1     1    *•  ^t 

SO  zu  integrieren,  dass  für  /  =  0  . . .  2?^'«=  a?Q,  x^^x^^  a^ ^  x^,  ^s'^-^j 
werde.  Man  hat  zu  diesem  Zwecke  drei  yon  t  unabhängige  Integrale  auf- 
zustellen, welche  zugleich  Losungen  der  partiellen  Differentialgleichung: 


ik,x,'+  k,x,'+  Xtx,')  g^  +  (-  A,<  +  ^4«,'  +  X^x,»)  gl^- 


2) 


sein  werden.     Ein  solches  Integral  oder  eine  solche  Lösung  ist: 
3)^  xj'+x,''+x,'^+x,''^e. 

Eine  Lösung  in  linearer  Form,  etwa 

worin  die  e  homogene,  symmetrische  Funktionen  der  X^  sein  müssten, 
existiert  nicht,  denn  dann  wäre: 

5)  +(-A,a:o'-A,a:/  +  Aex;)ci 

folglich  müssten  die  e  den  Gleichungen: 


Von  Prof.  Beec. 


283 


6) 


genQgen,  was  nur  dann  möglicli  ist,  wenn  die  Detemanuite: 

0  -Ai   -A,   -;, 
X,      0     -A,    -Aj 


7) 


A,       Xt       0      -A, 

A.     A»      ;.      0 


=  (A,A,-V6+V*)*  =  /'* 


verschwindet.  In  diesem  Falle  verschwinden  aber  auch  sämtliche  e. 
Es  scheint  demnach  die  Integration  der  Gleichungen  1),  so  lange  die 
l  samtlich  von  einander  unabhängig  sind^  unmöglich  zu  sein. 

in.  Um  endlich  die  dritte  Methode  der  Integration  —  die  Methode 
von  D'Alembert  —  anwenden  zu  können^  hat  man  das  simultane 
System 


dt 


1) 


(tXif  j         I         ]         '    I     1         t 


mit  der  Bedingung  zu  integrieren,  dass  für  ^  =  0 
xj  =  x^j  x^  ==x^  werde.    Man  setze: 

2)  tt' «  e^x^  +  e^ x^  +  c^a^j'  +  t^x^ 

^°^  dv! 

3) 


x^j  x^ 


X 


i) 


dt 


QU 


worin   ^^  ^y  ^«y  ^  ui^<l  9  ^^^^^  zu  bestimmende  Konstante  bedeuten. 
Aus  3)  folgt  durch  Integration: 


4) 
oder 


ti'=  tt'<=.oC?S 


Durch  Berücksichtigung  Ton  2)  und  1)  geht  3)  über  in: 


284    tTber  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 


6) 


Diese  Oleichung  kann  nur  bestehen,  wenn  gleichzeitig: 

q€q  +  A,Ci  +  ^jCj  +  AjCg  «  0, 

ist.    Damit  diese  Gleichungen  neben   einander  stattfinden  können ,  ist 
notwendig,  dass  die  Determinante: 

-  q'+  q\K^+  V+  V+  V+  V+  ^e') 


'6 


~"^S     —^5     —^       P 

verschwinde.    Es  gilt  daher  für  q  die  Gleichung: 
welche  die  vier  Wurzeln  hat: 

7*)  9  =  ±l/±v/VwM'- 

Die  Grössen  6^,  e^,  6^,  «^  stehen  dann  in  dem  Verhältnis: 

Setzt  man  nun  in  die  Gleichung  6)  för  x\y  x\j  x\f  x\  ihre  Werte: 

a;/  =-  ajoa;o  +  a^^x^  +  o^ga;,  +  o^ja^, 
so  kommt  wegen  der  Unabhängigkeit  der  x  von  einander: 

«0  »Ol  +«l(«H-«^0+^  «81  +««ö^,i  =-0, 

«0  »08  +  ^1   »12  +  ^(»2«  -  «^0  +  ^«  »W  ==0, 

%  »08  +  ^1   »18  +  ^    »88  +  «8(»88  —  «^0  '^  0- 

In  diese  Gleichungen  hat  man  weiter  aus  8)  die  Werte  der  r  imd 
aus  7*)  die  vier  Werte  von  p  einzufahren,  so  dass  man  zur  Bestimm- 
ung der  sechzehn  Koeffizienten  a/x  sechzehn  Gleichungen  erhalt.  So 
entsteht  aus  der  ersten  Gleichung  in  9)  zunächst  durch  Elimination 

+  «»[-^<>*-  Qihh+^h)  -  -l*/"*! 


9) 


10) 


Von  Prof.  Bratz.  285 

Setzt  man   in  diese  Gleichung  nacheinander  die  Werte   der  vier 
Wurzeln  Ton  p: 


..-  yv^-f-'^. 


so  erhält  man  zur  Bestimmung  der  vier  Koeffizienten  a^,  0^^^  o^q,  a^ 
Tier  Gleichungen.  Es  dürfte  sich  aber  wohl  kaum  lohnen^  die  Rech- 
nung noch  weiter  zu  führen. 

Wenn  es  nun  auch  unmöglich  erscheint  mit  Hilfe  der  infinitesimalen 
Transformationen  die  automorphe  Transformation  von  vier  Quadraten 
in  einfacher  Weise  zu  bewerkstelligen  ^  so  kann  man  doch  wenigstens 
mit  ziemlicher  Leichtigkeit  die  endlichen  Transformationen  zweier  in 
der   allgemeinen    sechsgliedrigen   Gruppe    8)    enthaltene   dreigliedrige 

Untergrappen  auffinden.    Setzt  man  zur  Abkürzung  -^-7  ^  Po  so  lassen 

sich  die  sechs  speziellen  infinitesimalen  Transformationen  8)  kurz 
BCxireih^Ti  * 

9>t  "=  ^sPo  —  ^oPa »     96  =  ^Pi  —  ^P«- 
Man  bilde  aus  ihnen  die  infinitesimalen  Transformationen: 

1-^1  ^  9i  —  ^«  ===  ^iPo  —  ^oPi  -  (^»P2  —  ^P»)? 
A-- 92  +  ^5-  ^Po  -  ^oP%  +  (^sPi  -  ^1  Ps); 
4i  =■  9^8  —  94  =  ^sPü  —  ^oPs  —  (^Pi  -  ^iPj) 
und  . 

-Ol  =-  9i  +  96  ==  ^Po  -  ^oPi  +  (^«ft -  ^Ps)^ 

B)  -ßj-98--9B  =  ^Po-^oP»-(^4Pi-^iPa)7 

'  -ßa^  9»+  94=*  ^sPo-  ^oPj  +  (^Pi  —  ^iP2)- 
Da 

SO  bilden  sowohl  J.  als  £  eine  dreigliedrige  Gruppe.  Die  Trans- 
formationen der  Gruppe  A)  sind  nicht  mit  einander  vertauschbar, 
ebensowenig  die  der  Gruppe  B).     Da  aber 

(J,ß,)-(AiB,)-(AB.)-=0, 


11) 


286  ^^or  die  automorphe  Transfonnation  einer  Samme  von  Quadraten  etc. 

80  sind  die  Transformationen  der  Gruppe  A)  mit  denen  der  Gruppe  B) 
vertauschbar  und  A)  und  B)  sind  reziproke  Gruppen.  Um  die  durch 
A)  erzeugten  endlichen  Transformationen  zu  finden,  bilde  man  die 
allgemeine  infinitesimale  Transformation: 

worin  Xi,  A^i  ^s  ^^  ^^^  wesentlichen  Parameter  der  dreigliedrigen 
Gruppe  darstellen.    Es  ist  also 

«  (^iXi  + X^Xi  + X^x^)Pq  +  (-  I^Xq-  X^x^  +  A,ar,)pi 

Setzen  wir  nun  wieder: 

x'^^x,+  Ax,+  ^  +  ^  +  ^-- 

ÄXf,^  X^x^  +  X^x^  +  X^x^, 

A^x^^  =  —  h^AxQj    A^Xq  =  H^Xq,    A^x^,  «=  h^^Ax^,    A^Xq  =-  —  h^x^ , 
folglich:  .   -  .   _  .  , 

12j         a;  0=  ÄToCosÄ  +  x^X^—j^  +  a^  A,  — ^  +  ais^»*-^ — 

Ebenso  findet  man: 

,  ^    sinA    ,  ,  .     BinA    ,        .    sin^ 

a?  1  =  -—  XqX^  —j^ — f-  Xi  cos n  —  x^X^  — T — H  ajjXj  — tj — t 

io\Jr  ,BinÄ,         ,8inÄ,  ,  -sinÄ 

l^s)     ^  a;,^  —  a:o^8— ^— +  a;iA,  — jj— +  a^co8Ä  — ajjAj— ^» 

.    sin/i  .     sinft    ,        .     sinA    ,  , 

—  Xi,Xa—i ^^g— 1 — r  ^^1— ^^ — tx^GOsn. 


so  wird: 


X' 


8—  -'O'^S       }^  -1-8       ^ 

Setzt  man  in  diesen  Gleichungen: 


cos  h  =«  «Q,    Aj 


sin  Ä  j    BJn/i  


.    Bin  A 


wobei 


ist,  so  erMlt  man  die  einfachere  Form: 

rc/  =  a^iTo  +  a^^a?!  +  a^x^  —  Ojia;,, 

a^'  =  a^x^  -  Oja^i  +  a^x^  +  a^x^, 

x^  =  a^x^  +  o^a?!  —  «1  a^  +  aQa?g. 
Auf  dieselbe  Weise  findet  man,  dass  die  endlichen  Transformationen 
der  Gruppe  B)  folgende  Gestalt  annehmen ,  wenn  man  statt  Oo 7  ^  i  ^ ;  ^ ' " 
6^,  fej,  6j,  \  schreibt: 


13) 


14) 


Von  Prof.  Bm«.  287 

wobei  ebenfalls :  ft^'  +  6i*  +  W  +  **«  =  l 

ist     Man    erkennt    leicht,    dass    die    Transformationen    13)    in    die 
Quatemionengleicliung : 

15)  x^=^ax 

zusammenge&sst  werden  können,  wenn 

a;  =^  Ä-Q  +  ia;i  +  Jzx^  +  iia^, 

a?'-=  a:o'+  ix^+  Tcx^+  Jcix^\ 

i*=Ä;*=  — 1,      Äi  «=  —  iÄ 

gesetzt  ist,  und  ebenso  die  Gleichungen  14)  sich  in  die  eine  Gleichung: 

16)  x'^xb 
zusammenziehen  lassen,  worin 

6  =  6o  +  *A  +  *&2  +  **^a> 

Die  Transformationen  der  Gruppe  13)  sind  nicht  mit  einander 
vertauschbar,  ebensowenig  die  der  Gruppe  14),  wohl  aber  die  Trans- 
formationen der  Gruppe  13)  und  14)  untereinander.     Denn  aus 

x'  =  aXy 

folgt  *  c*  ^  , 

X   =  ß  Xy 

a;'=  ax', 

Da  a  und  a'  nicht  vertauschbar  sind,  so  gilt  dasselbe  auch  von 
der  Ghrappe  13).  Ebenso  schliesst  man  aus  der  Gleichung  16),  da 
h  und  V  in  dem  Produkt  bV  sich  nicht  vertauschen  lassen,  ohne  dass 
der  Wert  desselben  geändert  wird,  dass  die  Transformationen  der 
Gruppe  14)  nicht  vertauschbar  sind.  Dagegen  hat  man,  wenn  man 
zuerst  die  a,  dann  die  b  Transformation  anwendet: 

0;"=-  x'b, 

'*^^  0;"=  iax)b 

und  bei  umgekehrter  Anordnung: 


288    Über  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 


a;'  =  xh, 


X 


II 


ax' 


also 


ji 


so  schliesst  man  aus  dem  umstand^  dass 

(ax)h  «=  a{xh) 

infolge  der  Geltung  der  assoziativen  Gesetzes  ist^  auf  die  Yertausclibar- 
keit  der  Transformationen  der  Gruppe  13)  mit  denen  der  Gruppe  14). 
Die  beiden  Gruppen  13)  und  14)  sind  also  reziproke  Gruppen. 

In  den  Gruppen  13)  und  14)  treten  die  Parameter  nur  unilinear 
auf.  Aus  ihnen  setzt  sich  eine  Gruppe  zusammen,  welche  ebenfalls  die 
Summe  yon  vier  Quadraten  in  sich  selbst  überf&hrt;  aber  die  Para 
meter  in  bilinearer  Zusammensetzung  enthält.     Es  ist  die  Gruppe: 


17) 
oder  ausgeführt: 


+ 
+ 
+ 


^1  == 


X, 


^ 


+ 
+ 

+ 

+ 
+ 
+ 

+ 
+ 
+ 
Von  dieser  Grupp 

17^) 
oder  ausgeführt:     ^ 

Xq  «= 

+ 
+ 
+ 

+ 
+ 
+ 


a:'«=  axh 

—  «0^8+  <^ih^  ^h^  ^^i)^ 

^i^^o  +  ^0^  +  ^^h  —  ^h)^o 

—  a,  6^  +  a^fto  +  ö^s^»  +  ^*t)^i 

—  Oji,  +  a^b^  —  a,6^  —  a,io)^7 

-«262+  ^3^8+  ^0^0+  ^h)^ 

«3^0+  «2^  -  ^ih  +  ^^3)^0 

—  0,65  —  0^63  —  a^b^  +  aQbj)x^ 

—  »«6,  +  0,6,  +  a^fti  +  öoJo)a?8- 

)  nicht  wesentlich  verschieden  ist  die  Gruppe 
a;'=  bxa 

»0*0  ~"  ^i ^1  ^  ^j^8  —  ^3*»)^0 

—  a^&o  —  %b^  —  a,&,  +  »i^»)^! 

—  0,60  +  ^»^1  ~"  *o^  "*  ^M^ 
«1^0  +  ^j*i  —  «3*2  +  ^^3)^0 

-  »s^o  ^  ÖÄ^i  —  Oi&j  +  «oM^ 


Von  Prof.  Bbbz.  289 

+  («o&o  +  öi*i  -  «1*«  +  »sM^ 

+  (0^0*0  +  »1*1  +  Oj&a  —  asft3)^8- 
Dass  die  Transformationen,  welche   durch  die  Oleichung  17)  re- 
pnsentiert  werden,  eine  Gruppe  bilden,  ist  leicht  nachzuweisen.     Die 
Aufeinanderfolge  der  beiden  nach  gleichem  Gesetz  gebildeten  Formeln : 

X*  =  axb^ 

x"^  a'x'V 

Da  sowohl  a^a  als  bV  wiederum  Quatemionen  sind,  so  kann  man 
diese  Oleichung  auch  schreiben: 

Die  Transformation  17)  hat  also  die  Eigentümlichkeit,   zwei  von 
einander   getrennte   und  verschiedene   Parametergruppen    zu  besitzen, 

"^"^^^  0"=  a'a 

""*  fc"=  hh\ 

Ton  denen  die  erste  nach  dem  Typus  16),  die  zweite  nach  dem  Typus 
15)  gebildet  ist.  Die  Gruppen  17)  und  17*)  sind  nicht  wesentlich  ver- 
schieden,  da  man  sie  durch  Vertauschung  der  Parameter  a«-  mit  den 
Parametern  b/  in  einander  überf&hren  kann.  Dies  ergiebt  sich  auch 
<i&raus,  dass  sie  gleiche  infinitesimale  Transformationen  besitzen.  Es 
sind  dieselben,  wie  die  der  beiden  reziproken  Untergruppen  13)  und 

14),  nämlich  ~-^,  ~--^;  ~--^>  "~-^i>  ""-^2?  ~"-^s;  siehe  oben  S.  285 
unter  A)  und  B).    Lässt  man  auf  die  Transformation: 

x' «  axh 

^"•««^  a:"=  hx'a, 

80  erhiat  man  ^„_  j^^j^^ 

eine  Schar  von  Transformationen,  welche  die  Form: 

18)  a;"==  axa 

haben.  Man  hat  also  nur  in  17)  oder  17*)  6  ==  a  zu  setzen,  um  die 
«pliziten  Formeln  zu  erhalten.     Sie  lauten: 

^i  ^  (V-  »1*  —  «h* -  «^)^o  —  ^^.^(^i^i  —  2ao«»^8  -  2ao«s^8; 
V  =  2a^aia:o+  (V~  V+  <h^+  O^i  -  ^(^i^^^  —  ^(^i^^$y 

^i  =-  ^Of^a^x^  -  2040,2:1  +  (V+  «1*—  V+  «bV»  -  SojÄ^Xj, 

•r/  -  2a,>a,a:^,  —  2a^a^x^  —  2a^a^x^  +  (%*  +  a^*  +  o,*  —  ag*)a;j. 


290    ^^f  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 


Diese    Transformationen    bilden    keine    Gruppe ,    denn    die    Auf- 
einanderfolge zweier  mit  den  Parametern  a  und  a'  giebt^  da: 


ist: 


x"=  a'axaa\ 


welche  Oleicbung  nicht  wieder  die  Form  18)  besitzt;  da  a'a  und  aa^ 
verschieden  sind.     Die  infinitesimalen  Transformationen  sind: 


9.0^) 


^^ä^  "t"  2*0 -s^> 


da:, 
df 


^,(n--2^it+ 


2x. 


a/- 


IL 

df 


Hieraus  findet  man  die  Elammerausdrücke  {q>iq>k)' 

(9i9'.)  =  4(ai^-a:,^), 

(y,9,)  =  4(0:3^- x,||-). 

Da   dieselben  nicht  aus   qp^^  qp^^  <p,  linear  zusammengesetzt  siml. 
MO  bilden  die  letzeren  keine  Gruppe  von  infinitesimalen  Transformationen. 

Setzt  man  in  den  Formeln  17)  und  17*): 

a^  =  CO  +  -^^ 

aj  =«  c  —  Ä, 

h  =  ^  +  fff 
h-c  +  h, 

und  berücksichtigt  man^  dass  aus  den  Gleichungen: 

a,«+a,«+a,«+a3*^l, 

V+V  +  V+V«! 
tiiinU  Einführung  vorstehender  Werte  sich  ergiebt: 

(od-  —  af—  bg  —  ch^  Of 


19) 


({>♦) 


.:<«  liiidnt  man  wieder  die  Formeln  12)  und  daneben  die  gleichberechtigte 
'J«itiiof(trination: 


Von  Prof.  Bbm.  291 

I     ^2{-h(o+cf-g»-mk)x^+2(r'C(o^bf+ag-h»)x„ 

x'5=2(6ö  '¥g^  +  cf—  ah)xQ+  2(—  ha>  +  fg  —  c»  —  ab)Xi 

x\=2(cio  +  hft  +  ag-  bf)xQ+  2(jga)  +  hf—  ac  +  i^)^;^ 

+2(-/'o+^Ä-ad-&c)ai  +  [(G>*-^»)--(/^--a*)-((7«-->«)+(Ä«-0]a:, 
Noch  sei  bemerkt,  dass 

NaNb  =  [(o  +  »y+  (a  -/)»+  (6  -  (/)*+  (c  -  A)*J. 

[(p  -  »y+  (a  +  ff+  (b  +  gy^  (c  -  hy] 

=  (o«+  ^«+  a*+  r.+  &»+  (7«+  c^+  A«)* 

-  4(0-^  -  af-  hg  ^  Ac)*=-  1 

if  übereinstimmend  mit  19). 

Die  Transformationen  12)  (Seite  280/81)  und  20)  gehen  in  einander 
r,  wenn  man  die  Parameter  9',    f)    g,    J^   beziehentlich  mit 

-^,  -/;  -?,  -Ä 

tauscht^  wobei  die  Gleichungen  19)  bestehen  bleiben. 
Nimmt  man  in  17*): 

b  ^  a^—  ia^  —  Jca^  —  Jcia^, 
wird: 

''i=(V+»i*--V--VK+2(-aoa,+  aiaj)a:2+2(aoaa +0104)0:8, 

r'j  =  2(000,+ Ol  o,)a;i  +  (Oo*- Oi»+ Og»- o,«)2:,+ 2(- OoOi  +  o,o,)a;3, 

i',=  2(-OoO,+  o,08)a;i  +  2(ooOi  +  a^03)T,+  {a^^-  o,*-  o^H  (h^Xy 

Sieht  man  von  der  ersten  Gleichung  ab,  oder  setzt  Oq  =  0,  so  er- 
fc  man  wieder  die  Eulersche  temäre  orthogonale  Substitution,  bei 
Icher  ausser  dem  Nullpunkt  der  Vektor  o,  +  ioj  +  ioj  und  die 
öie  a^x^  +  a^x^  +  a^x^==^  c  bestehen  bleiben.  Eine  andere  Form 
»r  Transformation  wird  gefunden,  wenn  man  eine  der  Grössen  6 
^  ii  =  —  o,-,  die  übrigen  bt  =  o*  setzt.  Sei  z.  B.  &o  ^  ^oj  ^1  =  ~-  Oj, 
«^a,,  63  »Oj,  so  giebt  die  Entwickelung  des  Produktes: 

K-»ai  +  to,  +  Aio5)(a;o+ia;i  +  *a;j  +  Ä<a;3)(oo+iai  +  Äa8  +  *tOj) 

=  <  +  iXi'  +  Aa^'  +  iia^', 
^ö'==  (V+  «1*—  «'2*-0^o+  ^(-«oö^2-«iÖ8)^+  2(-  OoOj+ Ol  0^)0:3, 

^*'  =  2(aofl,-  ai08)a;o  +  (Oo»-  o^«-  0,«+  03*)a:2+  2(-  o^o,  -  0,03)0:3, 

^  ^  K%^+  <h^)^0+  2(OoOi-  /780,)Xj+  (Oo*-  Oi*+  O2«-  03^)X3. 


292   t^ber  die  automorphe  Transfonnation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 


Durcli  diese  Transformation  geht  der  Vektor  aQ—iai  —  ka^  in  \ 
Vektor  a^  +  ia^  +  ka^  über.     Man  kann  diese  Transformation  in 
vorhergehende  überführen^  wenn  man  x^  mit  Xq,  x^  mit  x^  und  d 
entsprechend  x^  mit    x^j  x^  mit  x^j   ausserdem  noch  a^  und  <7« 
ziehentlich  mit  —  a^  und  —  o,  vertauscht. 

§4. 

Die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  8»  6  und! 
4  Quadraten  mit  Hufe  der  Quatemionen  von  acht  Binlieiten. 

Sei 

a  =  Oo  +  iiaj  +  ijög  +  i^a^  +  i^i^a^  +  i^i^a^  +  i^i^a^  +  hi^i^a., 

X  ^  x^+i^x^  +i^x^  +i^x^  +  hhx^+hhx^  +hh^B  +hHh^j 

Setzt  man  die  acht  Einheiten  dieser  Zahlen  der  Reihe  nach  gh 
^09  ^i' '  '  ^T>  ^^  ^^^^  sich^  wenn 

V  =  ~l,      h^m'^  —  hnh 

angenommen  wird,  folgende  Multiplikationstafei  aufstellen: 


0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

0 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

1 

1 

0 

4 

5 

2 

3 

7 

6 

2 

2 

4 

Ö 

6 

1 

7 

3 

5 

3 

3 

6 

6 

0 

7 

1 

2 

4 

4 

4 

2 

1 

7 

Ö 

6 

5 

3 

5 

5 

3 

7 

1 

6 

Ö 

4 

2 

6 

6 

7 

3 

2 

5 

4 

0 

r 

7 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

r 

0 

Bildet  man  nun  zunächst  das  Produkt: 


1) 


0;'  =  ax 


und  setzt  die  Koeffizienten  gleicher  Einheiten  auf  beiden  Seiten  gle 
nimmt  überdies  an,  dass  die  Grössen  a  den  beiden  Bedingungen: 


und 


V+  «l'+  ^2'+  V+  V+  <+  V+  ^7*-  1 


entsprechen,  so  erhalt  man  zur  Transformation  der  Summe  von  8  Q 
draten  in  sich  selbst  die  Formeln: 


Von  Prof.  Bbbz. 


293 


1') 


Xq  =  a^Xf^  —  «1-^1  —  öT,^  —  a^x^ 


a^x^ 


ö^6^5~"^6^6  +  ^7^; 


'2  **  örja\,  +  a^ajj  +  %qc^  —  a^x^  —  OiX^-^  a^x^  +  a^x^  +  öTjO^, 

=  o^Xq—  a^Xi  +  a^x^  —  QtX^  +  a^x^  —  a^x^  +  o^x^  —  crj^; 
=  a^x^—Qj^x^  +  (7,0;,  +  Oja:,  +  a^ar^  +  o^Xg  -  a^^e  —  a^x^, 
«  a^aJo  —  ayO?!  —  a^x^  +  Cgar,  —  ffj  0:4  +  «4^  +  ao^ti,  —  Oi^y, 

=  ^^7^0  +  ^6^1  —  ^5^  +  ^4^8  +  ^8  ^4  —  ^'2^  +  ^1^6  +  ö^o^  • 
Eine  zweite  Transformation  erhält  man  aus  der  Gleichung: 

2)  x'^xh, 

«m  zugleich     j,^+j8^+j2^  +  6,^+6.^+62^  +  j,^+j«^^l^ 

feetzt  wird,  nämlich 

V  ="  ^0^0  ~"  ^1^1  ~"  \^  ""  ^8^  —  *4^'4  —  *5^5  "~  *6^6  +  \^} 
•^1'  *=  *1^  +  ^0^  +  *4^  +  *5»^S  ■*-  \Xa  —  *8^6  ~  ^^6  ^  ^6^* 

^'  =  I^Xq  —  \x^  +  fcyir^  +  hx^  +  \x^  +  h^Xr,  —  fejiCe  +  65^:7, 
xl «-  fc^a;^  +  6,a;i  —  \a^  —  67^:3  +  60^4  +  ^e^s  ~  ^s^e ""  *8^i 

V  ^  h^O  -  ^^  +  ^8^  -  ^8^8  +  65^4  -  64^  +  60^  -\^y 
l  V=&7a:g+  ^e^i—  ^^+  ^4^8+  *8^4—  ^^5+  ^1^«+  *0^- 

Die  Transformationen  1)  bilden  eine  Oruppe,  denn  zwei  aufeinander 
Igende  geben  eine  Transformation  von  derselben  Art: 


2*) 


Igt: 


X  =  aXy 


a;'=  a^ax 


X 


a''x. 


a"  ==  a'a 


Die  Parametergruppe: 

\  ebenso  zusammengesetzt,  wie  die  Gruppe  x^^ax.  Zwei  Trans- 
nnationen  der  Gruppe  1*)  sind  nicht  vertauschbar,  da  die  Faktoren  des 
roduktes  oJa  nicht  vertauschbar  sind,  ohne  dass^  der  Wert  des  Pro- 
^  g^ndert  wird.  Ebenso  ist  es  mit  den  Transformationen  2*). 
'K^gen  sind  die  Transformationen  der  Gruppe  1^).  mit  denen  der 
nippe  2*)  vertauschbar.    Denn  lässt  man  auf  die  a  Transformation 

a;'«  ax 
i(  6  Transformation  folgen,  so  ergiebt  sich: 

ZcltKlurift  f.  lUttaemAtik  n.  Fhyaik.  48.  Jahrg.  1898.  6.  Heft.  20 


294    ^er  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 


.ff 


verfahrt  man  umgekehrt,  so  erhält  man: 

a;"«  a{xh)\ 
da  das  assoziative  Gesetz  besteht,  so  ist 

{ax)h  =  aixh). 
Beide  Gruppen  sind  sechsgliedrig  und  enthalten  ausser  den 
wesentlichen  Parametern  noch  zwei  flberzahlige.  Beide  Tran8fonnati< 
enthalten  die  Parameter  unilinear.    Um  die  bilineare  Form  zu  gewii 
hat  man  die  Gruppe: 

3)  x^  =  axh 

x"^a'x'h\ 

x"^  (a'a)x(bV). 

Es  existieren  also  zwei  verschiedene  Parametergruppen: 
3*)  a*'^a'a,    b"^bb', 

in  welchen  die  Parameter  a  und  b  vollständig  getrennt  auftreten. 
Die  Entwickelimg  von  x^  ^  axb  ei^ebt  nun: 


zu  bilden.    Ist 
so  kommt: 


Xq  «=* 

+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 

+ 

+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 

+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 


—  a^\  -  fl^i  6o  +  «2*4  +  «8*6  -  «A  -  «6*3  +  a«*7  +  «7*6^-^1 

—  a^feg—  a^ft^—  Ojfco-f  «3*6 +«4*1  —  «5*7 —«6*8—  «7*5^-'j 

—  a^b^  —  «1*6  —  «2*6  —  «3*0  +  «4*7  +  «1>*1  +  «6*2  +  «7*4^^J 

-  a^b^  +  a^6g  —  a^b^  +  a^bj  —  a^bQ+  a^b^  —  a^b^  +  a^b^)x^ 

—  «0*5+  «1*8—  «2*7—  «3*1—  «4*6—  «5*0+  «6*4—  «7*2)^5 

—  «ofte  +  «1*7  +  «i*d  -  «8*2  +  «4*6  —  «5*4  —  «6*0  +  «7*1^-^6 

«0*7  +  «1*6  —  «2*6  +  «3*4  +  «4*8  ^  «6*2  +  «15*1  +  <hh^^'J 

«1*0  +  «ü*l  —  «4*2  —  «6*3  +  «2*4  +  «8*5  "  «7*6  —  «6*7'>-^ö 

-  a^b^  +  a^b^  +  a^b^  +  a^b^  +  a^b^  +  a^ft,  +  o^fe,  —  a^h)j^ 

-  ai&2  +  a^b^  —  a^b^  +  a^\  —  a^\  +  a^hj  —  0763  +  a^b-^A\ 

—  «1*3  +  «0*5  —  «4*6  —  «5*0—  «2*7  —  «3*1  +  «7*2  —  «6*4)-^3 

-  ai&4 -  a^b^  —  aj)^  +  a^hj  +  a^b^-  a^b^  —  a^\  —  a^b^j^ 

—  «1*5  -  «0*8  —  «4*7  —  «6*1  +  «^*6  +  «3*0  +  «7*4  +  «6*2 V:. 

-  aj)^  —  a^hj  +  a^ftj  —  a^fc,  —  a^ftj  +  a^b^— cUjbQ—  aM-'a 

«1*7  —  «0*6  —  «4*6  +  «5*4  —  «2*8  +  «8*2  +  «7*1  —  «B*o)'^:- 

«2*0  +  «4*1  +  «0*2  —  «6*3  —  «1*4  +  «7*6  +  «8*6  +  «6*7)^0 

—  «364  4-  «4*0—  «0*4+  «6*5—  «1*2  +  «7*3—  «8*7  +  «5*6)-^i 

-  Ojfcj  +  0464  +  tto^ü  +  Oßig  +  a^b^  +cujhj  +  Ojfe,  —  05*5)-*^ 

—  0,6,  +  0465  +  a^fe,  —  «560+  «1*7  —  «7*1  —  «3*i  +  «5*4^-^5 

-  0^64  -  «464  +  a^b^  +  «efc,  -  »i 60  —  «7*6  +  «8*6  +  «5*3^-^4 

—  «f  *5  -  «4*3  +  «0*7  -  «6*1  -  «A  +  «7*0—  «8*4-  «5*2)^5 

—  Ojfee  —  «4*7  -  «0*8  -  «6*2  +  «1  *5  +  «7*4  +  «8*0  +  «5*l)-^6 
«2*7  -  «4*6  +  «0*5  +  «8*4+  «1*8  +  «7*2  —  «8*1  +  «5*o'*-^7' 


Von  Prof.  Bbez. 


295 


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+ 


«8^0  + 
<h\  + 
^h  + 
ö^3^8  + 

^K  — 

«A— 
«A- 
«A  — 

«4^8 — 
«4'>4  + 

«4^5  + 
«4^  + 
«4^  + 

«5^8- 
»5*4  + 
«5*5  + 
»6*6  + 
»5*7  + 

»6*0  — 
»6*1- 
»6*«  — 
»6*3- 
»6*4  + 
»6*5  + 
»6*6  + 
»6*7  + 

»7*0  + 
»7*1  + 
»7*2  + 
»7*8  + 
»7*4- 
«7*5- 
»7*6- 
»7*7-^ 


»6*1  + 
»5*0- 
»6*4  + 
»5*5  + 
»5*2  + 
»5*3  + 
«5*7- 
»5*6  + 

»2*1  + 
«2*0- 
«2*4  + 
«2*5  + 
«2*2  + 
«2*8  + 
«2*7- 
«2*6  + 

«8*1  + 
«8*0  — 
«3*4  + 
«3*5  + 
«3*2  + 
«3*8  + 
«8*7- 
«3*6  + 

«7*1- 
«7*0  + 
«7*4- 
«7*5- 
«7*2  — 

«7*8- 
«7*7  + 
«7*6  — 

«6*1- 
«6*0  + 
«6*4- 
«6*5  — 
«6*2  — 
«6*8- 
«6*7  + 
«6*6  — 


»6*2  +  »0*8  —  »1*4  —  »1*6  —  ^*6  —  »4*7)^0 
»6*4  —  »0*5  —  »7*2  —  »1*8  +  »2*7  —  »4*6)^1 
»6*0  —  »0*6  +  »7*1  —  »1*7  —  »2*3  +  »4*5)^ 
»6*6  +  »0*0  +  »7*7  +  »1*1  +  »2*2  —  »4*4)^8 
»6*1  —  »0*7  —  »7*0+  »1*6  —  »2*5  —  «4*3)^4 
«6*7  +  «0*1  —  «7*6  —  «1*0  +  »2*4+  »4*2)^5 
»6*8  +  »0*2  +  »7*6  —  »1*4—  »2*0—  »4*l)^6 
»6*5  —  «0*4  +  «7*8  —  «1*2  +  ^*l  —  «4*6)^> 

»l*f  —  »7*8  +  »0*4—  «6*5  +  »5*6  —  «3*7)^0 
»1*4  +  »7*5  +  «0*2  —  »6*8  —  »5*7  —  »8*6)^1 
»1*0  +  »7*6  —  »0*1  —  »6*7  +  »5*8  +  »3*5^^2 
»1*6  —  »7*0—  «0*7  +  »6*1  —  »6*2  —  »8*4)^8 
»1*1  +  »7*7  +  «0*0  +  «6*6  +  »6*5  —  »8*3)^4 
»1*7  —  »7*1+  »0*6—  »6*0—  »5*4+  »3*2)^5 
»1  *8  —  »7  *«  —  »0^  —  »6*4  +  »5*0  —  «8*l)^6- 
»1*5  +  »7*4—  »0*8  —  »6*2  —  »5*1  —  »3*0)^1 

o^ftg  +  a^&j  +  aj&4+  »0*6  —  »4*6  +  «2*7)^0 
0464  —  ajh^  +  a^\  +  %\  +  aj>^  +  a^fc«)^! 
a^\  —  a^ig  —  ägfti  +  %h^  —  a^\  —  a^h^x^ 

«7*6  +  »1*0  —  »6*7  —  »0*1  +  «4*2  +  »2*4)^3 
cLi\  —  a^fe,  +  a^h^—  a^feg  —  «465  +  «2*3)^4 

0767  +  aj>^  +  a^ftg  +  «0*0+  «4*4—  «2*2)'^5 

«7  *8  +  «1*2  —  «6*6  +  «0*4  —  «4*0  +  «^*l)^6 
«7*6  -  «1*4-  «6*3+  «0*2  +  «4*1  +  «2*0)^; 

«3*2  +  «2*8  —  «5*4+  «4*5  +  «0*6  —  «1*7)^0 
«8*4—  «2*5  ""  «5*2  +  «4*8  —  «0*7  —  «1*6)^1 
«3*0  —  «2*6  +  «5*1  +  «4*7  +  «0*8  +  «1*5)^2 
«3*6  +  «2*0+  «5*7  —  «4*1  —  «0*2  —  «1*4)^3 
«3*1  —  «2*7  —  «5*0—  «4*6  +  «0*5  —  «1*3)^4 
«3*7  +  «2*1  —  «5*6  +  «4*0  —  «0*4  +  «1*2)^6 
«3*3  +  «2*2  +  «5*6  +  «4*4+  «0*0—  «t*l)^6 
«3*5  —  «2*4+  «5*8  +  «4*2  —  «0*1  —  «l*o)^> 

«5*2  +  «4*8  +  «3*4—  «2*5  +  «1*6  +  «0*7)^0 

«5*4  —  «4*5  +  «3*2  —  «2*3  —  «1*7  +  «0*6)^1 

«5*0  —  «4*6  —  «3*1  —  «2*7  +  «1*3  —  «0*5)^ 

«5*6  +  «4*0  —  «8*7  +  «2*1  —  «1*2  +  «0*4)^8 

«5*1  —  «4*7  +  «3*0  +  «2*6  +  «1*5  +  «0*s)^4 

«5*7  +  «4*1  +  «8*6  —  «2*0  —  «1*4—  «0*2)^5 

»6*8  +  »4*2  —  »8*6  —  «2*4  +  »1*0  +  »0*l)^6 

»5*6  —  »4*4—  »8*8—  «2*2  —  »1*1  +  «0*o)^> 

20* 


' 


296    t^ber  die  automorphe  Transfonnation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

Die  vorstehenden  Formeln  yereinfachen  sich  bedeutend,  wenn 
b  ^  a  angenommen  wird.  In  diesem  Falle  ergiebt  die  Ausf&hrung 
des  Produktes: 


4) 


X*  =  axa, 


f 


^d  ^  (V-  V~  V-  »8*- V- V  — V  +  a70^o+  2(~ao«i  +  a6Ö7)^i 


+  2 
+  2 

+  2 

x/  =  2 

+  2 
+  2 
+  2 

'-2 


X. 


+  (-»a*+  «4*+  V+  V+  «iH  «7*+  V-  «5*)^+  2(-  «^05+  0405)^3 


+  2 
+  2 


+  (—  V+  V+  V+  V+  V+  V+  V—  »'4)^8 


+  2 
+  2 

r;-2 
+  2 


—  »0«?  —  «5«?)^  +  2(—  «o^S  +  «4«7)^S  +  2(—  «004  +  «8  «7)  ^4 

-  üqU^  -  a|a7):r5  +  2(-  %a^  +  a^fl^^e 
»007  +  »itte  ^  ^i«5  +  %^4)^> 

—  «lOj  +  a5a6)3?i  +  2(-  ajOa  —  a^ag)^-,  +  2(—  «ja^  —  ajag)^^ 

«200  +  «5 «7)^0  +  2(-  ai«!  +  Ö5«6)^l 


«»öo  -  «4«7)^0  +  2(-  «3»!  -  «4«6)^1  +  2  (-  «aO^  +  «i^s)^ 


—  aja^—  o^Oji  +  a^ae  —  aQ(ij).i\  +  2(—  «305  +  a^^^)^ 

-  030«  —  0404)0-6  +  2(030^  -  aQa^)xT, 

<^A%  —  «3«7)^o  +  2(—  o^o^  —  a^a^)x^  +  2(-  o^o^  +  aia^)x^ 

-  O4OS  +  OjOj  —  O0O7  —  0505)^3 


+  2(-  o^Oj  +  (h^i)^5  +  2(-  a40e  -  Oi03)x6  +  2(a^aj  -  %a^x^, 

x^  =  2(050^  +  o^07);ro  +  2(-  05 Ol  +  «20^6)^1 
+  2(—  OjOj  -  O3O4  +  a^cL;  —  a^a^x^ 

+  2(-  0^03  +  a^aJ^S  +  2  (-  fl5<^4  +  öi«8)-^4 

+  2(-  05»  +  03«  +  o,^  +  o,^  +  Oe*  +  o„«  +  a^^  -  o,«)-«:^ 
+  2(—  Oj/Zß  +  Oiaj)xe  +  2(050,  +  aoOj)^,, 

aV  «  2(0^00  —  a^a>i)x^  +  2(—  a^a^  +  O3O4  —  o^Og  -  aQa^)x^ 

+  2(-  OßO^  +  a^a^)x^  +  2(-  OeO^  -  0,0^X3  +  2(-~  a^o^  —  ciiOz)x^ 
+  2(- OeOg +01 02)3:5+ (-0*6+0^  +  0*3  + o«j  +  a»5  +  a«4  + a«^,- a^jVg 

+  2(0607-OoOi)a'7, 

x/  =  2(a^a^  +  OeO,  —  a^a^  +  0403)3:0  +  2(-  a,ja^  +  0004)0:1 

+  2(-  a^a^  -  «oö^s)-^»  +  2(-  O7O3  +  0004)0:8  +  2(-  O7O4  +  0003)^4 
+  2(-  O7O5  -  %a^)x^  +  2(-  OyOg  +  aoOi)u% 

Die  Transformationen,  welche  durch   die  Gleichung  x^^  axa  re- 
präsentiert werden  y    bilden    keine   Gruppe    und    sind   auch   nicht    mit 


Von  Prof.  Bbsz. 


297 


einander   vertauschbar.     Denn    die   Aufeinanderfolge   zweier   mit   den 
Parametern  a  und  a'  giebt: 


X' 


jf. 


axa 
a'x'a' 


a;"=  a'axaa\ 


5) 

Da  die  Produkte  a^a  und  aa'  verschieden  sind^  so  lässt  sich  dieser 
Gleichung  nicht  die  Gestalt: 


X 


a"xa" 


geben  und   die  Vertauschung  von  a'  mit  a  ändert  den  Wert  des  Pro- 
duktes 5). 

Durch  anderweite  Spezialisierung  von  b  kann  man  leicht  die 
Formeln  erhalten'^  vermöge  welcher  eine  Summe  von  sechs  Quadraten 
in  sich  übergefiElhrt  wird.     Sei 

^o""«o?     ^1= «1?    *i^-^a>     *8=  — öT,,     b^^-a^y 

* 

und  bedeuten  a,  x,  x'  (wie  oben  S.292)  Quatemionen  von  8  Einheiten^ 
so  ist  also 

5) 
Die  Entwickelung  giebt: 

^0  -  «  +  «'i  +  fl's  +  «"»  +  «"4  +  «'5  +  «'e  +  «'7)^0 


t  1 

x  ==  ax  — 

a 


=  rr. 


0; 


x\  ==  (oo*  +  öj*  -  a,*  -  a,*  -  (74*  -  öTg*  +  de*  +  <'7*)^i 


+  2 
+  2 
+  2 
+  2 
+  2 

a;i'«2 

+ 

4-2 
+  2 
+  2 
+  2 

4:3'«  2 
+  2 


—  «0^4  +  ^i<h  +  ^»^7  —  ö'ö^s)^ 

—  »o^^B  +  ^»i^'s  —  ^»öf^  +  a4ae):r8 
öToa,  +  «la^  +  a^(h  +  «50^7)^4 

ao«8  +  ^1^6  —  öTjOe  —  «4^7)^ 

—  aoör,  +  aide  +  agdg  —  a^a^)xQy 

—  a^ai  +  0,04  —  ajög  +  aeÖ7)rc4 

»0^7  +  «106  +  ^2^5  +  ÖSÖ'4)^5 

«0^5  +  ^l^S  +  ^«^7  +  ^4^6)^ 
+  (V-  Ol'-  «2*+  V+  04«-  V-  V+  O^ 


+  2 

+  2 
+  2 


298    t^cr  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

+  2(— doflr^  —  OiöTg  +  0,^5  +  a^ajx, 

+  (V-  ^i'-  ^2'  +  «8*+  Ö4*-  V-  V+  0^4 
+  2(—  aj>(7e  +  a^a^  —  d^aa  +  «405)0:5 

+  2(aoflr5  +  aiflr,  +  Og^T  +  «4^6)^67 

Ä'5  «  2(—  «0^^«  +  «1^5  —  «2^6  +  «40^)^1 
+  2(/7oö^7  +«10^6+  «^2^6  +  Ö3«J^2 

+  2 (Oö«,  —  öTjör^  +  ajöTg  -  a^a^)x^ 

+  (V-  öi'+ ^2'-  V-  «4*+  ^5'-  «6*  +  i'i'K 

+  2(—  0004  —  0,0,  +  O5O7  +  a^a^jx^ 

x!^  =      2(—  Oo<77  +  a^a^  +  o^Oj  —  a^a^x^ 
+  2(—  o^Oj  —  O1O5  +  OgOe  +  04a,)rg 

+  "^(p^c^  +  «1Ö4  +  «8^6  +  ^50^7)^8 
+  2(—  OqOj  +  o,  flj  —  OjO^  +  040^)3;^ 

+  2(Oo04  -  AjOa  -  OjO,  +  050g)a?5 

+  (V  +  «1*  -  «2*  -  «8*  -  »4*  -  ^'S*  +  ^6*  +  ^l)^i' 

Da  o'^  aus  den  Formeln  herausföllt  und  'X\*=^0  wird,    so  kann 

man  zwar  die  Transformation: 

,  1 

a 

worin  o,  ^^  x^  Quatemionen  von  8  Einheiten  bedeuten,  als  eine  auto- 
morphe Transformation  von  7  Quadraten  ansehen.  Da  aber  für  o^q  —  0 
auch  x\ »  0  wird,  so  reduziert  sich  dieselbe  auf  eine  Transformation 
von  6  Quadraten  in  sich  selbst.  Die  Gruppeneigenschaft  desselben  er- 
hellt sofort  aus  obiger  Gleichung. 

Denn  die  Aufeinanderfolge  zweier  Transformationen: 

a 

«"=  a'x'  -, 

a' 


ergiebt: 

1 


ff       f       1    1 


«o"ir 


a" 


Da  o'  und  o  nicht  vertauschbar  sind,  so  gilt  dasselbe  auch  von 
den  Transformationen  der  Gruppe.     Die  Parametergruppe  lautet: 


0"=«  o'o. 


Die  identische  Transformation  tritt  ein  bei  o-»l  oder  Oq»!; 
Ol  =  0,  Og  =  0  . . .  07  =»  0.  Die  inverse  Transformation  wird  dargestellt 
durch  die  Gleichung:  ^ 


X'  ^—xa. 
a 


Von  Prof.  Bbb2.  299 

Für  x  =  a  wird  rc' «  a  und  för  ic  =  -  a;'  ebenfalls  —  -•   Dies  be- 

a  a 

säst,  dasä  bei  der  Transformation  x'^ax—  der  Punkt: 

^0  ^^  ^1     ^1  **  ^i>  •  •  •  Ä'^  ^*  ö't 
unverändert  bleibt,  ebenso  aber  auch  der  Punkt: 

Endlich  kann  auch  die  automorphe  Transformation  von  4  Quadraten 
aus  der  Gleichung  1)  abgeleitet  werden. 
Setzen  wir  nämlich  in  derselben: 

*4  ^  ^5  '^^  ^6  "==  ^7  ■*  0, 

und  zugleich         j,^^^^    j^„„^^    j^_^^     j^^^^^ 

dagegen  6,=  -a„    h=-<h,    »•=-«»,    «'t"-«», 

SO  verschwinden  auch  die  Eoef&sienten  von  x^j  x^^  x^y  x^  in  der  Ent- 
vickelung  von  xj,  x^\  x^\  x^^  und  es  bleibt: 

^o^W-  V-  Of*-  V+  «4*+  «6*  +  V~  O^o 
+  2(-  ao^i  —  a,£i4  -  a^a^  —  ^507)0:1 

+  2(--  aoCTg  +  a^a^  —  ajOe  +  «5^7)^ 
4-  2(—  Ooffg  +  a^a^  +  a^a^  —  04^7)^» 

x^  =  2(aoai  —  a^a^  —  £^3^5  +  «60^7)^0 

+  (V-  V+  V+  o^^-a,'-  a5«+  ae»+  a,*)a', 
+  2(-  a^a^  -  aiOj  -  ögfl',  -  a^a^jx^ 
+  2(-  Ooaj  —  ajO,  +  a^a^  +  a^a^)x^, 

x^  =      2  (aocr,  +  o^ 04  -  öTjOe  -  agöfT)«;^ 

•  +  2(—  a^^ae  -  ajör,  -  a^a^^  -  0405)^3, 

4-  2 (a^a^  -a^a^-  a^a^  +  a^a^)x^ 
+  2  (ao^e  +  Ol  ^7  -  Ojflj  -  aA^s)^9 

Diese  Transformationen  werden  in  der  Gleichung 

6)  x'  «=  axä 

zusammengefiassty  worin  a  aus  a  auf  die  oben  angegebene  Weise  ent- 
steht.   Setzt  man  hierin: 

ttj  =«  Ol,    a^^  a^        a,  =  6,    a^  =  c, 

»0  erhält  man  die  Transformation  §3, 12),  die  Transformation  §3,  20) 
dagegen,  sobald  man: 


300    t^^6r  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 


ür 


(O. 


fli 


a, 


a. 


a. 


-0- 


'0       •*'> 

einführt.  Die  Transformationen  12)  und  20)  sind  invers  zu  denjenigeu. 
welche  man  nach  der  Cayley sehen  Methode  beziehentlich  aus  den 
schiefen  Determinanten: 


B 


und 


G) 


a 


JB  = 


—  a  CD 
-6  -h 
-c       9 

a 
h 


—  a 

CD 

h 


b 
h 

-f 

-b 

-h 

a 

f 


-9 

f 
a 

—  c. 

9 

-f 
w 


ableitet.  Die  inverse  Transformation  findet  man  einfach  durch  Ver- 
tauschung von  d  mit  —  cd  und  #  mit  —  ^.  Es  ergiebt  sich  dies 
sehr  leicht  aus  den  Quatemionendarstellungeny  die  wir  für  die  qua- 
temäre  orthogonale  Substitution  aufgestellt  haben.    Die  eine  lautete: 

x'  =  [(o  +  #)  +  i(a  -  Ä)  +  h{b  -  g)  +  1ci(c  -  /)] 

.  [(o,  ^d')  +  i(a  +  h)  +  Jc(b  +  g)  +  U{c  +  /)]. 

Die  hierzu  inverse  Transformation  ist: 

a;'=  [(o  +  e)  -  i{a  -  Ä)  -  k{h  -g)-  ki(c  -  /)] 

•  (Xq  +  ixi  +  Jcx2  +  hix^ 

.  [(c  -  ^)  _  i(a  +  Ä)  -^  *(6  +  (y)  -  ki{c  +  /•)]. 

Multipliziert  man  dieses  Produkt  rechts-  und  linksseitig  mit  —  1. 
so  erhält  man  wieder  die  ursprüngliche  Form,  nur  dass  o  -f  ^  ^i^ 
—  {p  +  %)  und  o  —  #  in  —  (co  —  '^)  übergegangen  ist.  Die  zweik 
Quatemionendarstellung  hatte  die  Form: 

a;'=  (a>  +  \a  +  i^b  +  i^c  +  »1*2*  —  hh9  +  hhf+  hhh^) 
•{Xo+i^Xi  +  i^x^+^x^) 

•  (c)  +  ha  +  i^b  +  i^c—i^i^h  +  i^i^g  —  hHf—  iihh^)- 
Hierzu  ist  die  inverse  Transformation: 

x'^  (p  —  i^a  —  i^b  —  i^c  —  t»  +  i^ijjf  —  i^ij—  hhh^) 

(0  —  i^a-~i^b—i^c+  hi2h—i^i^g+  iiisf+  hH»a^)- 

Multipliziert  man  auch  hier  die  beiden  äusseren  Faktoren  mit  —  ], 
so  erhält  man  die  ursprüngliche  Form  wieder^  nur  dass  darin  statt 
o  und  d",  —  (0  und  —  d'  auftreten. 


Von  Prof.  Bbez.  301 

Auch  die  Parametergruppe  der  Euler-Cayleyschen  quaternären 
orthogonaleu  Substitution  lasst  sich  mit  Hilfe  yon  Quatemionen  über- 
sichtlich darstellen.    Die  Gruppe  17)  in  §  3: 

a;'«  axb 
Iiat  die  beiden  getrennten  Parametergruppen: 

a"=^a'a    und    &"=  66'. 

Diese  Gleichungen  geben  nach  bekannten  Regeln  entwickelt: 

er/'  =  a/ao  +  cFo'^i  +  ^^'^i  —  ^«'«s; 
o,"  =  flfj'ao  —  flfs'öi  +  ^o'«^2  +  «i'^; 
Oj"  =*  a^\  +  a^a^  —  Oi'öTj  +  a^a^ 

""""^  V  =-  V^o  -  V  6x  -  h^ h  -  V 6», 

K-WK^b,'b,+  b,'b,  +  bo'b,. 
Setzt  man  hierin 

a^=a)  +  e^,    a^^a-f,    a^^b-g,    a^^c-h, 

und  ebenso    die  entsprechenden  Werte  för  a'^,  a"<  und  6'.-,  6",-,  so  er- 
geben sich  für  die  acht  Parameter  folgende  Gleichungen: 

©"=  m%  -  a'a  -Vb-  c'c  -  h'h  ^g^g^ff^  ^'#, 

a"==  a'(D  -f  ©'a  -  V6  +  Vh  +  gr'c  -  c'j'  -  -^'Z*  -  /•'#, 

6"_6'ai  +  a>'6+Ä'a-a'Ä-'/"c  +  «Y  -  ^'^- (/'d, 

c"«  c'  Ol  +  (o'c  -  ^'a  -f  a'^  +  fh  -  ä'/  -  ^'h  -  ä' ^, 

Ä"=  A'cxj  +  p'Ä  +  a'6  -  b'a  +  f'g  - g'f-^'c  -  c'^, 

^"=  ^'ai  +  o'^  +  c'a  +  a'c  -  fh  +  h'f-^'b  -  6'^, 

ff^  fm+  a'f  -  c'6  +  b'c  +  g%  -  h'g  -  ^'a  -  a'^, 

^"==  ^'cj  +  o'd+  f  a  +  a'f+g'b  +  Vg  +  h'c  +  g'h. 

Man  erkennt  leicht ^  dass  diese  acht  Gleichungen  sich  in  die  eine 
Quatemionengleichung  zusammenfassen  lassen: 

(«"+»\a"+  i,6"+  i,c"+  i,i,h'^-  i,iy+  i,i,r+  hhh^l 

-  (o'-f  »>' -f  i,6'-f  ijc'  +  iihh*  -  hhg'  +  hhf  +  hhh^^) 

(o  +  i^a  +  igt  +  i,c  +  »lijÄ  —  »1*3^  +  *i»s/*  +  hhh^)y 
welche  nach  dem  Typus  l)r 


a:'=  aa; 


gebildet  ist  und  also  die  Parametergruppe  der  in  Rede  stehenden 
Üuler-Cayleyschen  Transformation  darstellt.  Schreibt  man  sie  in 
der  abgekürzten  Form: 


302    t^ber  die  automorphe  Transformation  einer  Summe  von  Quadraten  etc. 

6*)  a^'^a'a 

wie  oben  S.  294,  Gleichung  3*),  so  kann  man  der  zweiten  Parameter- 
gruppe &"=-  66'  der  Transformation  6)  die  Gestalt: 

geben.  Beide  Gruppen  sind  identisch;  die  Entwickelung  der  Gleichung 6**) 
liefert  dieselbe  Transformation  wie  6*). 

Lässt  man  auf  die  Transformation  ^'«  üxä  eine  zweite  folgen, 
so  ercfieht  sich  n       i      — # 

oder  x"^  a"flja", 

woraus  folgt,  dass  rc'»  axa  den  Gruppeneharakter  besitzt.     Es  sind 
scheinbar  zwei  Parametergruppen  vorhanden,  nämlich: 

und  _,,     __, 

Da  diese  Gleichungen  aber  nach  dem  Vorigen  dieselben  Trans- 
formationen liefern,  so  reduzieren  sich  dieselben  auf  eine  einzige 
Parametergleichung,  in  der  sämtliche  Parameter  auftreten. 

Zum  Schluss  mag  noch  einer  sehr  einfachen  Klasse  von  auto- 
morphen Transformationen  gedacht  werden,  welche  zwar  keinen  Gruppen- 
eharakter besitzen,  aber  dafdr  ohne  Schwierigkeit  fär  jede  beliebige  Zahl 
von  Quadraten  aufgestellt  werden  können.  Bedeuten  a  und  x  Vektoren 
von  n  Einheiten,  deren  Produkte  nicht  auf  die  ursprünglichen  Ein- 
heiten zurückgeführt  werden  können,  sei  also  z.B.: 

x^  Xq+  i^Xi  +  i^x^  + \-im-i a?Ä— 1 , 

worin  iii^...i«_i  primitive  imaginäre  Einheiten  sind,  für  welche  nur 
die  Bedingungen:  i^*=_i,    »,»,=  -V« 

existieren,  so  lässt  sich  erweisen,  dass  das  Produkt: 

a;''=  axa 

wiederum  ein  Vektor  ist,  indem  sämtliche  Produkte,  die  i^i^  und  ipigir 
enthalten,  verschwinden. 

Es  findet  sich  nämlich  zu  jedem  Produkt: 

(^o{ir  Xr){ha,) 
ein  zweites  entgegengesetzt  gleiches 

{has)(irXr)aQ, 

ebenso  zu  /.     \     /.     n 

(vOrJrroC^a,) 

ein  entgegengesetzt  gleiches: 
und  drittens  zu 


Von  Prof.  Bebe.  303 

(ipap){irXr)(ha,) 
ein  entgegengesetzt  gleiches: 

da  i,ir  —  —  »/.»#,     ipiri$  *=  —  hirip  ist. 

Für  n  »  2;  3,  4,  5  erlialt  man  folgende  Transformationsgleichungen; 
deren  Bildungsgesetz  ohne  Mühe  erkannt  wird: 

X^^  200^1^0+  (fl^o-  «*i)^; 

^o'=*  (V—  V-  O^o-  2aoa,a:i  -  2aoa»a;i, 

a^s' »»  2aoa,aJo  -  2a^a^Xy^  +  (ao*+  Oj*  -  a^^x^, 
n  =  4  siehe  oben, 

^o'=  (V- «i*—  V-  V-  O^— ^aoa^a^i— 2aoaja:i-2a^>aiai-  2aöa4a?4, 
ar/=  2aoaia^+  (V-  flri«+  0,*+  flrs*+  Oa:,-  2a^a^x^—  2a^a^x^—2a^a^x^^ 
^h  ZOöfli^o—  2aia2a^+  (V+^i*- V+ V+O^—  2a|flja:j-  2a^a^x^, 
V=  2a^fl3a;o—  201050^—  2a,aga:i+  (ao*+ai*+ V—^B^+a**)^«— 2a5a4a?4, 
/j  =  2aoa4aro—  2a^a^x^—  2a^a^x^--  2a^a^x^+  (V+«i*+«»*+ V"-0^4- 
Diese  Transformationen  bilden  mit  Ausnahme  der  ersten  keine 
Gruppen.    Denn  die  Aufeinanderfolge  zweier  solcher  Transformationen: 

und 
giebt: 

Die  Produkte  a!a  und  aa^  sind  für  n  >  2  keine  Vektoren,  auch 
ist  a  a  nicht  gleich  aa'.  Deshalb  giebt  es  für  diese  Transformationen 
auch  keine  Parametergleichimg. 


X'" 

axa 

«"= 

a'x'a' 

x"^ 

a'axaci. 

Bemerkenswerteste  DrackfeUer  der  ersten  beiden  Teile. 

Seit«  67  Zeüe  4  v.  n.  Ue«:  ^^~^"  «  KiZhl.. 

«69  „7  v.o.  lies:  11). 

•'   69  „  19  V.  n.  lies:  «/=  x^,  

"    71  „    2y.  o.  lies:  •— «,  sin(*4  — ^a -ft^  —  ij). 

••    72  „12v.  o.  lies:  —  Zsin*. 

«   74  Formel  23 ♦)He8:  ^*-  =  -a;'     -^  =  <. 

at  dt 


304  Über  die  automorphe  Transformation  etc.    Von  Prof.  Beez. 

Seite  74  Zeüe  12  v.  u.  lies:   (^f)  =  x, ,    (^h)  -^  ^o- 


11 
11 

11 
11 
11 
11 
11 
11 
11 
11 

11 
11 


75  „   4  V.  o.  lies :  q>  t. 

76  Formel  27)    lies:   <«  +  a;/«  =  c'. 


x' 


76        „        28)   lies:    arc  sin -^  +  t  =  c'. 

c 

du* 

76  „         32)   lies:    -3—. 

at 

77  Zeile  9  v.  0.  lies:  Q^a^Q. 
77       „    12  V.  o.  lies:  Q^Of^i. 
77  Formel  37, 2)  lies :  —%i=  a^^  etc. 
79  Zeile  14  v.  u.  lies:  x'^xb. 
79      „      Iv.  u.  lies:  (ö^'  —  ^i, ")«:,. 

121      „      8  V.  u.  ist  zur  Determinante  der  Exponent  2  zu  setzen, 

121      „      3  V.  u.  lies:   a^^  —  Oj^  =aj,  =  1.  ' 

128  Formel  7»,  2)  lies:    <p*a^  =-(li"  +  i,')Äo +  ^o^i^i +^0  ^t«i- 

124  Zeile   1  V.  o.  lies:   x^  Ix^l^     ^^^t 1, *^^     J  etc. 

124      „      3  V.  0.  lies:   x^  U^  i,     ~"^/ h  l^  ^^j^J  etc. 

124      „      9  V.  o.  lies:    Xj  =  —  yj ,    1,  =  —  «,. 
„  126      „      1  V.  0.  lies:    Ski. 

126  „     14  V.  0.  lies:    77^-. 

127  „      4  V.  (0.  lies:   t  =  1. 

„129      „    Uv.n.liea:   T /'.V5.- 
„  129    Formel    7)    lies:         * 

,,  129  Zeile  3  v.  u.  ändere  den  Nenner  dementsprechend  ab. 
„  132       „     9  V.  o.  lies:    8). 


11 


71 


1» 


über  elliptlBohe  Anamorphose  in  der  dioptrisohen 

Abbildung. 

Von 

Prof.  Dr.  Ludwig  Matthiessen 

in  Bostock. 


Die  dioptrifichen  und  katoptrischen  Abbildungen  von  Objekten 
durch  centrierte,  sphärische  Flächensysteme  unter  Voraussetzung  der 
bekannten  Gauss  sehen  Beschränkungen  reduzieren  sich  in  den  Hand- 
büchern der  Optik  meistens  auf  die  Konstruktion  und  Berechnung  der 
Bildgrossen  sehr  kleiner  geradliniger  senkrecht  zur  Centrale  stehen- 
der^  axialer  oder  paraxialer  Objekte.  Da  aber  in  Wirklichkeit  die 
Bilder  Ton  realen  Objekten  ebenfalls  Baumgebilde  sind;  wie  es  die 
Erfahrung  im  Gebrauche  der  Femrohre  lehrt,  indem  diese  den  Tiefen- 
dimensionen des  Baumes  akkommodiert  werden  müssen ,  so  scheint  es 
Ton  Interesse,  die  Theorie  der  Abbildung  in  dieser  Bichtung  zu  er- 
weitem. Die  Dimensionen  und  Koordinaten  sind  mit  Bücksicht  auf 
die  von  uns  gemachte  Annahme  der  Gauss  sehen  Beschränkungen  im 
allgemeinen  ron  der  Ordnung  der  Kleinheit  der  DiflFerentiale  dr^  dd', 
^^)  ^y,  dz  u. s.w.;  in  der  Begel  aber  erweitert  man  dieselben  noch 
80  weit  zu  endlichen  Grössen,  als  sie  noch  die  Bedingung  erfüllen, 
dass  sie  sehr  klein  gegen  die  Abscissen  Xq^  x^  und  die  Krümmungs- 
radien ^1,  r^?  •  •  •  ^®^  brechenden  Flächen  sind,  sowie  dass  die  Glieder 
höherer  Ordnung  ebenfalls  gegen  die  der  ersten  Ordnung  der  Klein- 
heit verschwinden.  Die  mathematische  Behandlung  des  vorgesetzten 
Problems  kann  demgemäss  mit  Anwendung  der  Di£ferentialrechnung  ge- 
schehen. Indem  wir  die  Kenntnis  der  Theorie  der  geometrischen 
oder  graphischen  Dioptrik  von  Systemen  centrierter  Flächen  voraus- 
setzen, schicken  wir  zunächst  einige  leitende  Grundsätze  voraus. 

L  Die  Centrale  eines  brechenden  Systems  centrierter  sphärischer 
Flachen  ist  die  optische  Axe,  in  der  selbst  oder  in  ihrer  unmittel- 
baren Nähe  die  abzubildenden  Objekte  und  ihre  Teile  sich  befinden. 

2.  In  der  optischen  Axe  sind  bemerkenswert  die  beiden  Haupt- 
brennpunkte, die  beiden  Hauptpunkte  und  die  beiden  Knotenpunkte. 
Die  letzteren   beiden  Kardinalpunktepaare   haben   gleiche   Interstitien 


306  Über  elliptische  Anamorphose  in  der  dioptriachen  Abbildung. 

und  liegen  paarweise  zu  den  Brennpunkten  symmetrisch.  Sie  sind  beide 
bipolare  Abscissenanfangspunkte  für  konjugierte  Punkte  und  zwai 
gelten  die  Relationen: 

1)  (H^H,),    ^+|-  =  1,    (if.J^.),    ^  +  ^»1- 

3.  Für  die  Abscissen  der  Objekt-  und  Bildpunkte  in  Bezug  anj 
einen  beliebigen  Anfangspunkt  derselben  normieren  die  Differentiah 
dx^  und  d^j^  dh^  und  dh^]  für  seitliche  Dimensionen  wie  Ordinatei 
oder  rad.  vect.  dy^  und  dy^^  r^  und  r^  oder  dr^  und  dr^  u. s.w.  Ist  P, 
ein  als  Anfangspunkt  angenommener  Punkt  des  Objekts^  so  ist  seil 
Bild  P^  Anfangspunkt  der  Abscissen  des  Gesamtbildes.  Ihre  Örter  sin^ 
an  die  Gleichungen  1)  gebunden. 

4.  Wenn  von  allen  Punkten  des  als  ein  sehr  kleine«  Raum 
gebilde  gedachten  Objektes  Strahlen  nach  dem  ersten  Knotenpunkt  El 
gezogen  werden  und  von  dem  zweiten  Knotenpunkte  Kß  zu  jeden 
dieser  parallele  Strahlen,  so  sind  die  einzelnen  Strahlenpaare  Strahlen 
konjugierter  Punkte.  Der  zweite  Strahlenkegel  ist  mit  dem  erstei 
entweder  völlig  kongruent  oder  symmetrisch. 

5.  Wenn  man  mit  einer  durch  den  ersten  Knotenpunkt  gehenden 
Erzeugungsgeraden  einen  ümhüllungskegel  des  Objekts  beschreibt,  so 
ist  der  zweite  Knotenpunkts -Strahlenkegel  auch  ümhüllungskegel  des 
Bildes.  Ist  also  z.  B.  das  Objekt  ein  gegen  die  Knotenpunktsaxe  KgT^ 
geneigter  Kreis,  so  ist  sein  Bild  entweder  ein  Kreis  oder  eine  Ellipse^ 

6.  Die  beiden  Knotenpunkts  -  Strahlenkegel  können  als  perspektivisch 
Strahlenbündel  mit  zwei  getrennten  versetzten  Polen  angesehen  werden. 
Irgend  ein  konjugiertes  Strahlenpaar  kann  als  eine  optische  Nebenase 
betrachtet  werden,  wenn  man  nur  Knotenpunktsabscissen  äTq  undJ, 
anwendet. 

7.  Ist  das  Objekt  eine  sehr  kleine  Gerade  r^  oder  dr^  und  zieht  man 
alle  möglichen  Knotenpunktsstrahlen  ihrer  Punkte  nach  Ka,  so  bildefl 
sie  einen  Strahlenfacher.  Das  Bild  der  Linie  ist  nun  ebenfalls  ein 
kleine  Gerade  r^  oder  dr^f  deren  nach  Kß  gezogene  KnotenpunkisstraUe 
einen  kongruenten^  homothetischen  oder  antithetischen  Fächer  bilden] 
Die  Neigungswinkel  der  beiden  Linien  sind  indes  verschieden  gros»^ 
und  zwar  ist: 

2)  tanjS^:  tan^^  «=  x^:XQ  =  —  (pkj^  ifk^^. 

Zum  Beweise  dieses  Theorems  beachte  man,  dass  f&r  ein  auf 
rechtes,  senkrecht  zur  optischen  Hauptaxe  oder  auch  senkrecht  zu 
einer  Nebenaxe  stehendes  Objekt  (Linie)  folgende  Beziehungen  zu 
seinem  gleichfalls  aufrechten  Linienbilde  bestehen:* 

*  Matthiessen,  Beiträge  zur  Dioptrik  der  Kristalllinse  in:  Berlin -Ever ^- 
buschs  Zeitschrift  för  vergleichende  Augenheilkunde  IV,  I§2,  1887.  —  Grmi'^ 
riss  der  Dioptrik  geschichteter  Linsensysteme,  Leipaig  1877. 


Von  Prof.  Dr.  Ludwio  Matthisbsbm. 


807 


0 


ayo        ^»"osiiift        f-x^ 


w 


dr^  sin  p^ 

?r^  sin  Po 


f 


-9 


weiter   beachte   man^   dass   für  Linienelemente   in   der  Bauptaxe 
r  einer  Nebenaxe  folgende  Gleichungen  bestehen : 


Q) 

V) 


a^o  _  dr^ cos (?^^         gp-/*  _  -<pa\>* 


^ficospi 
3r„  C08  Po 


<p  — a?! 

9  +  Är, 


Aus  I)  und  III),  beziehungsweise  aus  II)  und  lY)  ergeben  sich  die 
ationen  in  2\ 

8.  Als  Abscissenaxe  kann  man  die  optische  Axe  wählen  mit  den 
scissen  x^  und  Xy  und  ihren  Differentialen,  wenn  der  Hauptobjekt- 
)kt  (jTq)  in  ihr  liegt.  Liegt  er  seitlich,  so  wähle  man  die  beiden 
:eh  ihn  und  seinen  Bildpunkt  gehenden  konjugierten  Enotenpunkts- 


»Uen  h^  und  Tc^,     Diese    auf   die    optische    Axe   projiziert,   unter- 
leiden  sich  nur  um  Orossen  der  Kleinheit  zweiter  Ordnung,  weil 

Die  Abscissenaxen  degenerieren  dann  in  zwei  parallele  Neben- 
^i  welche  wir  unseren  späteren  Betrachtungen  immer  zu  gründe 
Jen  werden,  da  die  Vorstellungen  von  der  Abbildung  hierdurch  viel 
»er  werden. 

Wir  wenden  uns  nunmehr  der  Theorie  der  Abbildung  zu,  indem 
ir  uns  als  Objekt  eine  beliebige  geschlossene  krumme  Oberfläche 
|Jten  mit  einem  Pole  0  ihrer  Polarkoordinaten.  Man  verbinde  0 
A  dem  ersten  Knotenpunkte  durch  eine  Gerade  KaOy  welche  wir 
»  vordere  Nebenaxe  und   zugleich   als  X-Axe   eines   rechtwinkligen 


308  Über  elliptische  Anamorphose  in  der  dioptrischen  Abbildung. 

Koordinatensystems  annehmen  wollen.  Es  sei  K^  OB  (s.  die  Figar- 
Neigungswinkel  ß  eines  durch  0  gelegten  Ebenenschnittes  gegen 
Axe,  P  ein  beliebiger  Punkt  seiner  Peripherie  mit  dem  Polarwii 
BOP^(Pq,  Konstruiert  man  noch  YOYj  senkrecht  zu  KaOB 
OZ  senkrecht  zu  Ka  0  Y^  dann  sind  0  Y  und  OZ  die  beiden  übr^ 
Koordinatenaxen;  Tq  oder  Sr^,  dh^y  Sy^,  30^^  sowie  r,  oder  dr^,  ct„ 
00^  die  Koordinaten  der  beiden  getrennten  rechtwinkligen,  dreia 
Koordinatensysteme.  Wir  denken  uns  femer  um  0  durch  den  h 
P  der  krummen  Oberfläche  ein  sphärisches  Dreieck  PBE  gel 
dann  ist  JBP-  tp^,  BE  =  ß^,  EP-^S^^ 

BEP^B    und    EBP-^R. 

Es  sei  nun  die  Gleichung  der  gegebenen  Oberfläche  der  Einf 
heit  wegen  explizit  r^  —  F(ß,  q>).  Bezeichnet  man  das  Bild  des  spl 
sehen  Dreiecks  mit  P^B^E^y  so  ist  in  Berücksichtigung  des  ümstaB 
dass  die  Seiten  dieser  Dreiecke  in  parallelen  Knotenpunkts -Strali 
fächern  Uegen ,  ^^p  _  jg^  ^^  p^  _  ^ 

sin ß^ «=  tan 9^-  cot £,     sin/Jj  =  tan^)^-  cot £, 
folgUch: 

3)  tan  9)q  :  tan  (p^ »  sin  ß^ :  sin  ß^. 

Femer  ist 

cos  Sq  =  cos  Pq  '  cos  9o ,    cos  rfj  =  cos  ß^  •  cos  9^. 

Da  immer  r^  als  eine  sehr  kleine  Grösse  vorausgesetzt  wiFd, 
kann  man  setzen:     ^^  ^^^  ^^  _  g j^^     ^^ ^^^  *,  -  a*,, 

und  weil  aus  IV)  folgt: 


so  wird: 


oder: 


ro  cos  do  ==  -5^  ^1  cos  dj  «  -  ^^ifj^f ''^  ^^  *» 


Dieses  ist  die  Polargleichung  der  Bildfläche. 

Wenn  es  sich  nun  um  die  Abbildung  einer  krummen  OberflJ 
oder  einer  Kurve  handelt,  werden  <iie  Polarkoordinaten  r^,  ß^  uii( 
in  die  des  Bildes  r,,  /3,  und  q)^  zu  verwandebi  sein.  Handelt  es 
dagegen  um  die  Abbildung  singulärer  Linien  und  Punkte  z.B 
Kanten  und  Ecken  eines  Polyeders,  so  sind  die  partikulären  6k 
ungen  2),  3)  und  4)  nach  ß^,  9^  und  r^  aufzulösen.  Wir  wollen  j 
zunächst  das  erste  Verfahren  entwickeln  und  gehen  aus  vom  Qtiad 
der  Gleichung  4): 

^   ^\   f    )  *o*^    coaPi'coßy,«  ' 


Von  Prof.  Dr.  Ludwig  Matthiksben.  309 

Es  ist  nun    ^  ^  ^J^ycosJJ.« 

..  , ^ COS^.'[l-COBp.'jl-(A)'[] 

Setzt  man  diese  Werte  in  die  Gleichung  4)  ein,  so  erhält  man: 


.  j=  AVy  i  1 


0        '^=-h]/- 


cos 


,..COBft«[l_(-^^)*] 


Da  dies  die  Gleichung  eines  Rotationsellipsoides  ist;  so  ist  der 
bildungskoefüzient  des  rad.  vect.  in  jedem  Falle  ein  elliptischer  und 
n  kann  deshalb  die  dioptrische  Abbildung  von  Objekten  eine  ellip- 
the  Anamorphose  nennen.  Zur  vollständigen  Darstellung  der  Ab- 
dung  hat  man  noch  die  Gleichung: 

izusetzen  und  die  Koordinaten  ß^  und  «p^  in  die  des  Bildes  ß^  und  (p^ 
transformieren.     Wir  wollen  dies  Verfahren  an  einem  Beispiele  er- 
itern. 

Es  sei  das  Objekt  ein  kleines  dreiaxiges  EUipsoid.  Der  Einfach* 
i  wegen  nehmen  wir  an,  dass  seine  längste  Axe  2a  mit  der  Knoten- 
fiktaxe  KuPq  zusammenfalle,  und  wählen  die  mittlere  Axe  2b  als 
Axe  und  die  kleinste  2  c  als  Z-Axe.  Dann  wird  bei  Anwendung 
nelben  Polarkoordinaten  die  Gleichung  des  EUipsoids: 


»-0  = 


Wir  drücken  alle  Elemente  dieser  Gleichung  durch  die  des  Bildes 
5;  dabei  ist:  ^i  *        i  , 


aj         9^*1*  ^1         ^1  ^1 

glich  A  _  A  ^o .      «»'  _  ».' 

thin 

'"  '  7.+e«..-(|'-.)-..n-..-[|--V(^)']- 

Hieraus  lassen   sich   die  Koordinaten  ß^  und  ^^  mittelst  der  Re- 
tinen 5)  und  6)  in  ß^  und  9?^  verwandeln.    Substituiert  man  noch: 

Z*itichrlft  f.  M*them»tik  u.  Phjalk.  4«.  JaLrg.  1898.  6.  lieft.  21 


310  ^^^^  elliptische  Anamorphose  in  der  dioptrischen  Abbildung. 

und  verbindet  die  Gleichung  des  EUipsoides  mit  der  Gleichung  7) 

erhält  man: 

«46, 


'1  = 


.•r/o,'  +  a.'X'co8Vx'-a.'(l+l'')co8Vi'co8p.«ri-(-^*»)n 


-V[x+V-(:^-r]eos,.«cosft.(^ii) 


■|/l4.1«CO8  9.»-(l  +  l«)CO8V,''C08ft»ri-(-^yj 


welches  ebenfalls  die  Gleichung  eines  dreiaxigen  EUipsoides   ist 

Wenn  das  Objekt  eine  Kugelfläche^  also  rQ=konst.  ist,  so  ergit 
die  Gleichung  7)  die  Abbildung  und  zwar  ein  Rotationsellipsoid  n 
den  Halbaxen:  ,  , 

Wenn  hierbei  der  Mittelpunkt  der  Kugel  im  ersten  Knotenpun 
liegt,  hat  man  zu  setzen  k^  =  Ä^  =  0  und  nach  IV)  und  11): 

d.  h.  das  Bild  ist  auch  eine  Kugel.  Liegt  dagegen  der  Mittelpunkt  di 
Objektkugel  im  ersten  Hauptpunkte^  so  hat  man  zu  setzen  a;^^  =  ;rj  = 
und  nach  III)  und  I): 

d.h.  das  Bild  ist  ein  Rotationsellipsoid. 

Wenn  das  Objekt  ein  Gitter  oder  ein  Polyeder  ist,  so  kann  mj 
die  Polarkoordinaten  r,,  ß^  und  gj^  ausdrücken  durch  r^,  ß^  und  (f^, 

Es  ist  ganz  analog  den  Formeln  5)  und  6): 

8)      cos/3,«=  ^  V-A./ 


Von  Prof.  Dr.  Ludwig  Matthiessbn.  311 


10)  r,  =  -^^-r. 


l/l-COS.p..COBfc{l-(^yj 


Da  es  sich  im  vorliegenden  Falle  im  allgemeinen  nur  um  die  Ab- 
bildung einzelner  Punkte  handelt  und  nicht  um  Ebenenschnitte  durch 
die  Y'Ane,  so  kann  man  auch  einfach  ausgehen  von  den  Relationen 
4)  und  2): 

^A  fk^*      0  coadj  tp^-^-k^^ cos d^' 


woraus  folgt: 

11)  n= 


tan  Öq  :  tan  (fj  =  —  g>ki :  /"Ä^, 


'''•"]/ --''i'-i^ri 


Die  Gleichung: 
12)  tan  S,  =  (-^) .  tan  d, 

giebt  die  Neigung  des  rad.  vect.  eines  Punktes  z.  B.  einer  Ecke  des 
Polyeders  gegen  die  Hauptaxe  (Enotenpunktsaxe)  und  die  Gleichung  11) 
die  Länge  des  rad.  vect.  oder  den  Abstand  des  abgebildeten  Punktes 
von  dem  Koordinatenanfangspunkte  des  Bildes. 


21' 


über  den  Traktoriographen  von  Klerilj 
und  das  Stangenplanüneter. 

Von 

Reallehrer  A.  Korselt 

in  Meerane  i.  8. 


Auf  die  Aufforderung  des  Herrn  Prof.  Mehmke  hin  teile  ich  deu 
Lesern  dieser  Zeitschrift  folgendes  über  den  ^^ Traktoriographen'^  von 
Staatsrat  Kleritj  (jetzt  serbischer  Minister  für  Volkswirtschaft  und 
Handel)  mit.  Ich  entnehme  die  Angaben  dem  Aufsatze  von  Kleritj 
in  Dinglers  polytechnischem  Journal  Band  305,  S.  234 — 231, 
260—263,  1897. 

Der  „Traktoriograph^^  besteht  (Fig.  1)  aus  der  Fahrstange  AB, 
die  an    dem    einen  Ende  mit  einem   Fahrstift  DK  versehen  ist,  und 

Fig.  1. 


»UM  «Mnein  scharf  randigen,  um  eine  wagerechte  Axe  drehbaren  Rad- 
t'}um  T,  Diese  Axe  ist  in  dem  gabelförmigen  unterteile  einer  Hülse 
((vlttg<?rt,  welche  auf  der  Stange  AB  verschiebbar  und  mittelst  der 
Hill  raube  V  auf  derselben  feststellbar  ist.  Der  spitze  Fahrstift  DA' 
int  li'icht  drehbar  in  dem  Rahmen  CH  befestigt,  der  auf  verstellbaren 
l''llli«?n  m  und  n  ruht.  Durch  Schrauben  in  den  FQßen  kann  K  be- 
\u'\im  i'ingeHtellt  werden,  und  ebenso  lässt  sich  durch  Schräubchen 
t[\iH  Rll(i(!hen  T  so  stellen,  dass  seine  Symmetrieebene  durch  AB  uud 

l<  «Mit. 

Man  fasHt  das  Instrument  zwischen  zwei  Finger  und  fuhrt  die 
l'uliiHjiiiz«  leicht  die  aufgezeichnete  Kurve  entlang.  Der  Berührunp?- 
i/iiiikt  /  d<'H  Hiidchens  beschreibt  dann  die  der  Kurve  zugehörige 
TniliioriH  mit  der  unveränderlichen  Tangente  t  =  Kt  Über  dem  ßäd- 
t\it'\\   y  befindet  sich  ein  l^leineres  Rädchen  F  mit  einem  Einschnitte, 


über  den  Traktoriographen  von  Kleriij  etc.    Von  A.  Eorselt.  313 


der  einen  mit  Druckfarbe  getrankten  Filz  enthält.  Diese  färbt  den 
scharfen  Rand  des  Radchens  T  und  bewirkt,  dass  der  Weg  von  i  auf 
dem  Papiere  sich  abzeichnet. 

Es  seien  (Fig.  2)  CD  die  Traktorie  der  Linie  AB  für  die  be- 
ständige Tangente  t,  XY  die  Koordinaten  des  Punktes  K  auf  AB^ 
xy  diejenigen  des  zugehörigen  Punktes  T 
auf  CD,  a  der  Winkel  einer  Richtung 
TOD  t  mit  der  :r-Axe.  Dann  ist  nach  der 
Fijfur: 


Fig.  2. 


1) 


Da  aber 


cosa 


so  folgt: 
2) 


smcc 


o;  «  X  +  ^  cos  a, 
y  =  r  +  <  sin  a, 
?/=tga. 


Folgende  Bemerkung  sei  hier  eingeschaltet: 

Das  bekannte  Kennzeichen  der  Berührungstransformationen  (siehe 
etwa  Lie,  ,,6eometrie  der  Berührungstransformationen''  S.73 
Satz  2)  zeigt,  dass  die  Zuordnung  2)  der 
Traktorie  CD  zu  ABy  also  auch  die 
umgekehrte  Zuordnung  1)  keine  Be- 
rQhmngstransformation  ist.  Das  ist  auch 
geometrisch  leicht  an  zwei  einander  be- 
rührenden Ejreisen  zu  zeigen. 

Bewegt  sich  die  Spitze  K  auf  einem 
Kreise  mit  dem  Halbmesser  r  (Fig.  3) 
und  ist  KT^tf  so  beschreibt  der  Be- 
rührungspunkt des  Radchens  eine  Kreis- 
traktorie  T^TT^...,  für  welche  die 
augenblickliche  Riqhtung  -ff  T  die  Tan- 
gente der  Traktorie  im  Punkte  T  ist. 
Die  Gleichung  dieser  Traktorie  lautet: 

Ä'tgo  «  tgig?  -•  tgi(d  +  a), 
wo 


Y'-(t)" 


(c  der  Winkel,  unter  dem  die  Tangente  t 

vom  Mittelpunkt   aus   gesehen  wird,  <p 

der  zum   befahrenen  Wege  K^K  gehörige    Centriwinkel,   und  d'   der 

Polwinkel,  von  CKq  aus  gerechnet,  ist.    Um  den  n****  Teil  des  gegebenen 

Weges  q>  zu  finden,  braucht  man  nur  zu  setzen: 


3X4  über  den  Traktoriographen  von  Kleritj  etc. 

n 
dann  wird  t 

tg—    ^     -    -  y 

°  n  n 

wodurch  tg— >   also  auch  —  selbst  bekannt  wird.     Als  Tangentenlänge 

hat  man  dabei  zu  nehmen 

__  1 
^  — «r(w*— 1)    «. 

Ist  aber   die  Yielteilung  für  ein  bestimmtes  r  geleistet,    so  ist 
sie  bekanntlich  auch  leicht  für  ein  beliebiges  r  auszuführen. 
Setzt  man  ^  =«  0,  so  wird  hier  Ifc  =»  0  und 

,  lim    tskw 

Da  a  bekannt  ist,  so  ist  damit  q>  ftlr  r  » 1  rektifiziert  und  zu- 
gleich der  Sektor  CK^K  ^^-   quadriert.    Setzt  man  <p  = —^   so    findet 

man  eine  Strecke  für  die  Zahl  —  >   bezogen  auf  den  Einheitsradius. 

Will   man   einem  Kreise   ein  regelmässiges  n-Eck  einbeschreiben. 

so  teile  man  wie  angegeben  —  in  n  Teile,  verbinde  je  zwei  getrennte 

Punkte  durch  eine  Sehne  und  übertrage  diese  Teilung  auf  die  andere 
Kreishälfte. 

Die  Basis  e  der  natürlichen  Logarithmen  wird  gezeichnet  mit  Hilfe 
der  ( Hu yghens sehen)  Traktrix  der  Geraden.  Durch  Integration  der 
Differentialgleichungen  2)  findet  man  die  Gleichung  derselben: 


wenn  §  und  17  die  Koordinaten  eines  Punktes  dieser  Traktorie  bezeich- 
nen. Durch  Konstruktion  mit  Lineal  und  Zirkel  wird  daraus  die  auf 
dieselbe  Axe  bezogene  logarithmische  Linie  abgeleitet: 

also  für  <-l  ^_iy    Qd^^    y_g. 

Man  nehme  also  x  =  1,  so  findet  man  aus  der  gezeichneten 
Traktrix  und  nach  obigen  elementaren  Konstruktionen  eine  Strecke 
als  Darstellung  von  e  in  Bezug  auf  eine  gegebene  Streckeneinheit. 
Dabei  wird  aber  vorausgesetzt,  dass  man  zu  jedem  Punkt  der  x-Axe 
den  entsprechenden  Punkt  der  Traktrix  auffinden  kann.  Das  geschieht 
durch  Auflegen  des  Traktoriographen  auf  die  Grundgerade  und  die  schon 
gezeichnete  Traktrix. 

Wir  können  diesen  Konstruktionen  keine  praktische  Bedeutung 
beilegen,  weil  sie  sich  ebenso  genau  und  noch  einfacher  mit  einem 
Maßstabe  und  einem  Zirkel  ausführen  lassen,  wenn  eine  kleine  Anzahl 


Von   A.  EOHSELT. 


315 


von  Versuchen  gestattet  ist.  Praktisch  wichtig  ist  aber  die  von 
Kleritj  nicht  erwähnte  Anwendung  des  Traktoriographen  als  Plani- 
meter,  wie   sie  zuerst  1886  der  danische  Kapitän  Prytz  gelehrt  hat. 

Prytz  hat  ebenfalls  einen  Traktoriographen  angegeben,  aber  yon 
einfacherer  Konstruktion.  Anstatt  des  Rädchens  T  hat  sein  Instru- 
ment nur  eine  einfache  Schneide  ^  die  die  Traktorie  in  das  Papier  ein- 
drückt. Unter  dem  Namen  Beilplanimeter  oder  Stangenplani- 
meter  findet  es  jetzt  in  England  und  Deutschland  allseitig  unbedingte 
Anerkennung.  Eine  eingehende  Behandlung  der  zugehörigen  Theorie 
von  C.  Runge  findet  sich  in  der  „Zeitschrift  für  Yermessungs- 
wesen"  1895,  S. 321 — 331,  ein  kürzerer  Aufsatz  von  J.Hamann  in 
derselben  Zeitschrift  1896,  8.  643  bis  650.  Dem  Letzteren  entnehme 
ich  die  folgenden  Angaben. 

Umlauft  die  Spitze  K  im  Sinne  des  Uhrzeigers  eine  Fläche  V 
(Fig.  4)  mit  der  Anfangslage  FS  des  Fahrarms,  so  beschreibt  T  eine 

FiR.  4. 


Kurve  V\  P  und  P'  mögen  zwei  beliebige  zugehörige  Punkte  der 
Kurven  V  und  V  bedeuten,  F'  sei  der  zu  F  gehörige  Punkt  in  der 
Endlage  des  Fahrarms,  l  die  Entfernung  des  Punktes  F^  von  8F.  Nun 
verschiebt  man  F'  parallel  zu  SF  in  die  Lage  F",  so  dass  F  auf  S 
tlillt.  Die  Kurve  F"  schliesst  dann  mit  einem  Bogen  von  V  eine  „Rest- 
tläehe^  J  ein.  Die  Fläche  F  kann  dann  betrachtet  werden  als  Summe 
unendlich  vieler  unendlich  schmaler  Teile  von  Kreisringflächen.  Der 
Bogen  geht  durch  P,  hat  als  Mittelpunkt  P'  und  als  Radius  t  und 
reicht  bis  zu  einem  Punkt  P"  des  zugehörigen  Teiles  der  Kurve  F". 
•le  nachdem  diese  Bogen  die  Fläche  J  einmal  oder  zweimal  überstreichen, 
ist  der  Inhalt  der  Fläche  F: 

oder 

V=lt-J. 

Ersteres   tritt   ein,   wenn  F  vom  Rädchen   aus  gesehen  vor  dem 
letzten  Kreisbogen  durch  F  (Fig.  4),  letzteres,  wenn  sie  hinter  dem- 


316 


über  den  Traktoriographen  von  Kleritj  etc. 


selben  liegt  (Fig.  5).-  Um  den  Betrag  der  Bestfläche  möglichst  klein 
zu  machen,  legt  man  den  Fahrarm  anfangs  so,  dass  seine  Normale  in 
F  die   Fläche    V  ungefähr   hälftet.     Eine  Restfläche   Jr  wird   dann 


positiv,  die  andere  J)  negativ.    Man  erhält  dann  Figur  6,  in  die  eiiii^ 
Kreisbogen  hinzugezeichnet  sind. 

Von  einer  Erfindung  kann  aber  bei  keinem  dieser  Instrumente 
die  Rede  sein,   sondern  nur  von  einer  neuen  Konstruktion,   wie  ich 


Fig.  6. 


S  ^-^F 

(nach  den  Angaben  des  Herrn  Prof.  Mehmke)  aus  einer  Abhandlung 
von  V.  Braunmühl  in  dem  „Kataloge  mathematischer  Modelle", 
herausgegeben  von  W.  Dyck,  München  1892,  S.  85  ersehe.  Damacli 
hat  Graf  Giambatista  Suardi  1752  ein  Instrument  angegeben,  da.< 

Fig.  7. 


sowohl  die  Traktrix  von  Huyghens  als  auch  die  logarithmische 
Linie  zeichnet.  Das  Rädchen  hat  dort  keine  Farbe,  sondern  drückt 
seine  Zähnchen  in  die  Zeichenfläche  ein.  Der  Fahrarm  ist  eine  Schiene. 
die  sich  mit  dem  einen  Ende  in  der  Rinne  eines  prismatischen  Lineals 
verschiebt. 


Von  A.  KoKssLT.  317 

Der  Traktoriograph  Ton  Kleritj  unterscheidet  sich  nur  wenig  von 
deiü;  die  Traktorien  ebenfalls  mit  Farbe  genau  zeichnenden  Stangen* 
planimeter,  welches  die  Firma  Eckert  und  Hamann  in  Friedenau 
bei  Berlin  in  den  Handel  gebracht  hat;  der  Preis  des  letzteren  In- 
strumentes (siehe  Fig.  7)  ist  aber  niedriger  (15  Mark  gegen  22  Mark). 


Ergänzende  Bemerkungen  zu  Torstehendem  Aufsatze. 

Vom  Herausgeber. 

Nachdem  ich  die  Quellen  eingesehen  habe,  kann  ich  den  Mit- 
teilungen des  Herrn  Eorselt  über  Traktoriographen  noch  folgendes 
hinzufügen. 

Schon  vor  Suardi  hat  der  (auch  als  Erfinder  einer  Rechen- 
maschine bekannte)  Marchese  Poleni*  einen  Traktoriographen  kon- 
stniiert,  bei  dem  die  Rolle  mit  scharfem  Rande  (von  Poleni  Rotula 
signatoria  genannt)  verwendet  ist.  Besagte  Rolle ,  als  deren  Erfinder 
wir  also  Poleni  anzusehen  haben,  so  lange  nicht  ein  früheres  Vor- 
kommen derselben  nachgewiesen  ist,  bildet  bekanntlich  einen  wesent- 
liclien  Bestandteil  zahlreicher,  der  Neuzeit  angehöriger  Integrations- 
apparate.** Suardi,  der  übrigens  selbst  auf  Poleni  hinweist,  hat  den 
ganzen  Apparat  vereinfacht.  Er  beschränkt  sich  nicht  auf  den  Fall 
der  Huyghens sehen  Traktorie  —  Basis  oder  Direktrix  eine  gerade 
Linie  — ,  sondern  sagt  ausdrücklich  (unter  Bezugnahme  auf  eine  Ab- 
bildung), dass,  wenn  die  Leitlinie  z.B.  ein  auf  Papier  gezeichneter 
Kreis  sei  (von  beliebigen  Leitlinien  ist  vorher  die  Rede  gewesen),  es 
genüge,  an  der  Stange,  welche  die  Rolle  trägt,  einen  Stift  zu  be- 
festigen und  letzteren  der  Leitlinie  entlang  zu  führen.*** 

Die  Bestimmung  von  Punkten  der  Eettenlinie  und  der  logarith- 
mischen  Kurve  mit  Hilfe  der  Traktorie  einer  Geraden,  welche  Aufgabe 
Herr  Kleritj  u.  a.  behandelt,  wird  auch  von  Poleni  a.  a.  0.  (unter 
Hinweis  auf  Arbeiten  von  Huyghens  u.a.)  ausfuhrlich  besprochen. 

Die  prinzipielle  Wichtigkeit  der  Erkenntnis,  dass  mit  Hilfe  eines 
so  Qberaus  einfachen  Mechanismus  z.  B.  die  Konstruktion  transcendenter 
Zahlen,  wie  ä  und  e,  theoretisch  genau  ausführbar  ist,  wird  man 
nicht  unterschätzen  dürfen  und  man  hat  deshalb  m.  E.  Ursache, 
Herrn  Kleritj  für  seine  Anregungen  dankbar  zu  sein,  trotzdem   sein 

*  Joannis  Poleni...  Epistolarum  Mathematicarum Fasciculus,  Pataviil729. 
^ie  .«organische  Konstruktion'',  d.  h.  mechanische  Erzeug^g  der  (Huyghens- 
^heu)  Traktorie  und  der  logarithmischen  Kurve  wird  in  einem  Briefe  an  Jacob 
Hermann  behandelt. 

**  Vergleiche  etwa  die  Schrift:  Abdank-Abakanowicz,  Die  Integraphen, 
I'eutsch  von  Bitterli,  Leipzig  1889,  B.  G.  Teubner. 

*^  S.  36  des  fraglichen  Werkes,  dessen  Titel  ist:  Nuovi  istromenti  per  la  de- 
kcrizione  di  diverse  curve  antiche  e  moderne  . . .  Del  Conte  Giambatista  Suardi 
Bri^gciano.    In  Brescia  1752. 


318  Über  den  Traktoriographen  von  Kleritj  etc. 

Traktoriograph  nicht  als  neue  Erfindung  gelten  kann  und  trotzdem 
die  Anwendungen,  die  er  davon  macht,  nicht  alle  neu  sind. 

Leibniz,  der  sich  auch  mit  der  Konstruktion  eines  Traktorio- 
graphen beschäftigt  hat,'*'  sah  in  ihm  hauptsächlich  ein  Hilfismittell 
Kurven  zu  quadrieren;  ob  aber  die  theoretisch  genaue  Methode,  diei 
Leibniz  im  Auge  hatte,  mit  der  angenäherten  Bestimmung  des 
Flächeninhalts  einer  beliebig  begrenzten  Figur  nach  Prytz  ii^end 
etwas  zu  thun  hat,  bin  ich  ausser  Stande  zu  sagen. 

Ich  erwähne  noch,  dass  der  Traktoriograph  auch  zur  angenäherten 
Bestimmung  des  Schwerpunkts  einer  beliebig  begrenzten  ebenen  Fläche 
benützt  werden  kann  (vergl.  den  Schluss  der  von  Herrn  Kor  seit  oben 
angeführten  Abhandlung  von  C.  Runge).** 


Nachtrag  zu  dem  Aufsatze:  ,,Über  einen  Mechanismus,  dareh 
den  ein  beliebiger  Winkel  in  eine  beliebige  ungerade  Anzahl 
gleicher  Teile  geteilt  werden  kann'^ 

(Diese  Zeitschr.  Bd.  42  S.  276.) 
Von  Reallehrer  A.  Korselt  in  Meerane  i.  S. 

Herr  Prof.  Dr.  Heymann  in  Chemnitz  hat  mich  brieflich  darauf 
aufmerksam  gemacht,  dass  der  Gedanke,  der  dem  von  mir  im  Jahr- 
gange 42  dieser  Zeitschrift  beschriebenen  „Claussschen  Winkel''  zu 
Grunde  liegt,  keineswegs  neu  ist,  sondern  sich  schon  in  einem  von 
Th.  Ceva  1694  angegebenen  Instrumente  verwirklicht  findet.  Eine  Ab- 
bildung  habe    ich   durch  die   Gefälligkeit    des   Herrn  Prof.  Dr.  Hey- 

*  Siehe  den  Brief  an  Huyghen 8  vom  l./il.  Oktober  1693,  Lei bnize II 8  niatkr- 
malische  Schriften,  herausgegeben  von  C.  J.  Cxerhardt,  I.Abteilung,  Bd.  2,185*». 
S.  164  flg. 

**  Die  Figuren  1  und 7  sind  mit  gütiger  Erlaubnis  des  Herrn  Prof.  Dr.  E.  H  am m e r 
nach  Instrumenten   der  geodätischen  Sammlung   der  technischen   Hochschule  in 
Stuttgart  angefertigt  worden.    An  dem  Traktoriographen  Fig.  1  fehlt  übrigens  dit? 
in   der   Beschreibung   von  Kleritj   in   Dinglers  Journal  angegebene  Nadel,  mit 
welcher  genau  an  der  Stelle  des  Berührungspunktes  t  des  Büdchens  T  ein  Stiob 
ins  Papier  gemacht  werden   kann.     Bei  Hamanns  Stangenplanimeter  ist  ein    in 
Fig.  7  nicht  sichtbares)  Farbkissen  über  dem  Rädchen  angebracht.    Die  das  Rdd- 
chen  tragende  Gabel   sitzt  fest  an  der  Stange,   so  dass  nur  Traktorien  fSr  ein?^ 
und  dieselbe  Tangentenlänge  beschrieben  werden  können.    Es  lag  eben  Hamann 
wie    Prytz   das  Zeichnen  beliebiger  Traktorien    ebenso  fern,   wie  Kleritj  die- 
Planimetrierung  beliebig  begrenzter  Flächen.  Natürlich  könnte  auch  an  Hamanns 
Stangenplanimeter  die  Entfernung  zwischen  Rädchen    und  Fahrstift  veiiLnderlich 
gemacht  werden,   wodurch    der  Preisunterschied   zwischen  beiden   Instramenten 
wahrscheinlich  verschwinden  würde.     Die  Litteratur  über  Stangenplanimeter  (bis 
Ende  1897)  ist  ausführlich  angegeben  in  den  trefflichen  Berichten  von  E.Hammer 
über  die  Fortschritte  des  Kartenwesens  im  Geographischen  Jahrbuch,  Bd.  XIX,  S.  26 
und  Bd. XX,  S.  476.    Siehe  auch  die  neue  elementare  Ableitung  von  L.  Schleif  r- 
m acher,  Zeitschr.  für  Vermessungswesen,  1898,  S. 408. 


Von    A.  KOBSELT. 


319 


mann  in  J.  Leupold,  theatrum  arithmetico-geometricum  1727, 
Tab.  XXVn,  Fig.  VII  (Beschreibung  S.  167)  gesehen. 

Das  Instrument  von  Geva  ist  auch  ein  Zirkel^  an  dessen  Schenkeln 
auf  der  Innenseite  gleichlange  drehbare^  aber  nicht  verschiebbare  Gelenk- 
stücke befestigt  sind  (siehe  die  stark  verkleinerte  schematische  Dar- 
stellung in  nachstehender  Figur).  Die  Mittelpunkte  0,  (7,  C .  .  .  sind 
durchbohrt,  so  dass  sich  die  Scheitel  der  zu  teilenden  Winkel  ziem- 
lich scharf  einstellen  lassen  und  man  nur  noch  die  Schenkel  in  drehende 
Bewegung  zu  versetzen  braucht.  Bei  dem  G 1  au ss sehen  Winkel  muss 
man  Schenkel  und  Scheitel  gleichzeitig  einstellen,  was  einiges  Probieren 
erfordert.  Insofern  steht  der  G  lau  ss  sehe  Winkel  dem  Geva'schen  In- 
strumente nach.  Dafür  braucht  Geva  die  doppelte  Anzahl  von  Gliedern, 
die  sich  allerdings  nicht  kreuzen.  Bei  Versuchen  habe  ich  den  Glauss- 
schen  Winkel  hinlänglich  genau  befunden;  das 
Cevasche  Instrument  ist  noch  nicht  her- 
gestellt, man  kann  also  nicht  wissen,  ob  es 
ebenso  schnell  arbeitet,  oder  ob  es  das  Papier 
zu  sehr  zersticht. 

Übrigens  ist  es  nicht  nötig,  für  höhere 
Konstmktionen  besondere  Instrumente  zu 
finden,  wenn  man  innerhalb  der  Grenzen  einer 
gewöhnlichen  Zeichenfläche  eine  schnelle, 
saubere  und  hinlänglich  genaue  Annäherungs- 
koDstroktion  kennt.  Solche  giebt  es  für  fdle 
altberühmten  geometrischen  Probleme,  siehe 
z.  B.  Baltzer,  analytische  Geometrie  §  25. 
Interessant  ist  es  aber  zu  sehen,  wie  alte  6e- 
«lanken  immer  wieder  gefunden  werden.  Auch 
Newton  in  der  Arithm.  univ.  1732  be- 
schreibt in  dem  Probl.  XXIX  ein  ähnliches 
Werkzeug,  das  dort  auf  Tab.  III.  abgebildet  ist. 

Auch  muss  nach  der  Mitteilung  des  Herrn  Dr.  Hey  mann  die 
am  Ende  meiner  Bemerkung  gemachte  Angabe,  dass  durch  den  Gl  auss- 
tehen Winkel  alle  Dreiecksaufgaben  einer  gewissen  Gattung  auflösbar 
s^ien,  dahin  eingeschränkt  werden,  dass  dies  nur  für  diejenigen  Auf- 
gaben der  genannten  Gattung  gilt,  die  auf  algebraisch  auflösbare 
Weichungen  f&hren.  Diese  brauchen  aber  nicht,  entgegen  der  Meinung 
Dr.  Heymanns,  Winkelteilungsgleichungen  zu  sein.  Denn  nach  einem 
l>erühmten  Satze  von  Eronecker  in  den  Berliner  Monatsberichten 
von  1853  (zuerst  von  Weber  bewiesen,  vergl.  dessen  Lehrbuch  der 
Algebra  Bd.n,  §  179  flg.)  ist  jede  Abelsche  Gleichung  auch  eine 
Kreisteilungsgleichung,  d.h.  ihre  Wurzeln  sind  rationale  Funktionen 
von  Einheitswurzeln,  sind  also  durch  Winkel teiler  konstruierbar. 


über  die  Mercator'sohe  Projektion. 


Von 

H.  E.  Timerding 

in  Strassbttrg. 


Hierzu  Tafel  VH  Fig.  1—4. 


Die  Mercator'sche  Projektion  hat  nicht  allein  trotz  der  nn 
massigen  Yergrösserung  der  Polarregionen  gegenüber  den  Gegenden 
am  Äquator  eine  grosse  praktische  Bedeutung^  weil  sie  bei  der  Ähn- 
lichkeit in  den  kleinsten  Teilen  die  Meridiane  und  Breitenkreise  al> 
gerade  Linien  in  der  Ebene  abbildet^  und  ist,  weil  sie  infolgedessen 
auch  immer  den  Weg  eines  unverändert  nach  derselben  Himmek- 
richtung  steuernden  Schiffes  als  gerade  Linie  darstellt^  für  Seekart^c 
fast  ausschliesslich  im  Gebrauch;  sie  ist  auch  in  rein  geometrischer 
Hinsicht  merkwürdig^  weil  sie  zu  einer  interessanten  Gattung  too 
transcendenten  Kurven  hinfiihrt  und  so  für  die  systematische  Behand- 
lung dieser  gegenüber  den  algebraischen  bisher  sehr  vernachlässigten 
Kurven  einen  ersten  Ansatz  liefern  kann. 

1.  Wir  denken  uns  einen  Cy linder  C,  welcher  eine  Kugel  Ky  deren 
Radius  wir  gleich  der  Längeneinheit  annehmen,  längs  eines  grössten 
Kreises  berührt.  Sei  femer  für  diesen  grössten  Kreis  als  Äquator  die  geo 
graphische  Breite  eines  Punktes  der  Kugel  mit  0  und  seine  geographische 
Länge  mit  $  bezeichnet.  Bedeute  endlich  17  den  Abstand  eines  Punktes 
auf  dem  Cylinder  von  dem  Äquator.  Wir  lassen  dann  den  Kreis 
funktionen  von  0  hyperbolische  Funktionen  von  7}  entsprechen^  indem 
wir  setzen: 

1)       6of  Yi  =  tang  0,    also    Sof  ri  =  ^— -     und     %aix%  iy  =  sin  0. 

Durch  diese  Gleichungen  ist  eine  Abbildung  der  Kugel  auf  den 
Cylinder  vermittelt,  bei  der  die  Punkte  des  Äquators  sich  selbst  ent- 
sprechen, die  Meridiane  der  Kugel  durch  die  Seitenlinien  und  die  Breiter.- 
kreise  durch  die  Kreise  des  Cylinders  dargestellt  werden.  Diese  AI» 
bildung  ist  weiter,  weil: 


über  die  Mercator'sche  Projektion.    Von  H.  £.  Tdiebdimo.  321 

2)  dl « +  dn* = -^  (d6»  +  cos  e«d6«) 

irird,  eine  in  den  kleinsten  Teilen  ähnliche  und  mit  der  Mercator^- 
schen  Cylinderprojektion  identisch.  Den  Gylinder  C  können  wir  uns 
längs  einer  Seitenlinie  aufgeschnitten  und  auf  einer  Ebene  b  aus- 
G;ebreitet  denken.  In  geometrischer  Beziehung  ist  es  aber  vorteilhaft^ 
Jas  Bild  des  so  gewonnenen  ebenen  Streifens  unendlich  oft  zu  wieder- 
holen und  mit  diesen  Bildern  die  ganze  £bene  zu  überdecken^  als  ob 
der  Cylinder  gleich  einer  Farbwalze  über  sie  weggewälzt  wäre  und  sein 
Bild  unendlich  ofb  auf  sie  übertragen  hätte. 

2.  Die  Koordinaten  eines.  Kugelpunktes,  bezogen  auf  drei  senk- 
rechte Durchmesser,  von  denen  zwei  in  der  Ebene  des  Äquators  liegen, 
der  dritte  also  die  Pole  verbindet  und  die  Axe  der  Kugel  ist,  sind,, 
ausgedrückt  durch  Breite  und  Länge: 

3)  a;  =  cos6cosg,     y  =  cos  9  sin  5,    ^  =  8in6, 

and  die  Gleichung  eines  Kreises  auf  der  Kugel  hat  die  Form: 

4)  «  +  ^  sin  0  «*  cos  9  (y  cos  S  +  d  sin  |). 

Dividieren  wir  durch  cos0,  so  geben  die  Beziehungen  1)  die  Gleichung 
der  entsprechenden  Kurve  auf  dem  Cylinder  C  oder  in  der  Mercator- 
Ebene  «: 

o)  a  Cof  iy  +  ß  @itt  1^  =«  y  cos  g  +  d  sin  g. 

Diese  Kurve  wollen  wir  als  eine  Mercator- Kurve  erster  Ordnung  be- 
zeichnen. 

3.  Es  sind  nun  drei  Fälle  zu  unterscheiden,  je  nachdem  a^  >  /3^, 
ft'<^-  oder  a*  =  /J*  ist.  Im  ersten  Falle  schneidet  die  Ebene  des 
leises  die  Kugelaxe  ausserhalb,  im  zweiten  Falle  innerhalb  der  Kugel,, 
^  dass  der  Kreis  selbst  einen  der  Pole  umschliesst.  Im  Grenzfalle 
?eht  der  Kreis  und  seine  Ebene  durch  einen  Pol  hindurch.  Dies 
liefert  uns  zwei  verschiedene  Typen  von  Mercator- Kurven  und  einen 
Ubergangstypus.  Im  ersten  Falle  nämlich  lässt  sich  der  Gleichung  5) 
die  Form  geben: 

6)  6of  {ji  -  %)  =  m  cos  (g  -  I), 

im  zweiten  Falle  kann  man  sie  schreiben: 

7)  Sin  {rj  ~  %)  =  PI  sin  (^S  -  |o), 
und  im  Grenzfalle  wird  sie: 

8)  Sof  ly  +  £  Sin  >;  =  e""-=  p  cos  (g  —  fj 
ftr  i^±\, 

4.  Eine  beliebige  Mercator- Kurve  geht  also  durch  Parallel- 
T»frschiebung  aus  einer  der  folgenden  hervor: 

9)  (£oj  ri  =  m  cos  |, 

10)  @in  rj  ==  n  sin  g, 

11)  Yi  —  £  log  cos  ^. 


über  die  Mercator'scfae  Projektion. 

Die  Kurven  9)  entsprechen  den  Kreisen  der  Kugel,  deren  Ebene 

1 

x^  — 

ÜA  JT-Äxe  rechtwinklig  schneidet,  die  Kurven  10)  den  grössten  Kreisen. 

deren  Ebene 

IS  =  ny 

durch  die  a:-Axe  geht.  Diese  beiden  Kreisscharen  auf  der  Kugel  bilden 
ein  isothermisches  System  und  damit  auch  die  entsprechenden  Kurren 
scharen  in  der  Mercator-Ebene,  jede  Kurve  der  einen  Schar  schneidet 
alle  Kurven  der  anderen  Schar  unter  rechten  Winkeln.  Figur  1 
stellt  einige  dieser  Kurven  dar. 

4,  Die  Kurven  9)  des  ersten  Typus  setzen  sich  aus  kongruent«! 
Ovalen  zusammen,  deren  jedes  wieder  aus  vier  symmetrischen  Yierteb 
besteht^  also  einen  Mittelpunkt  hat.  Diese  Mittelpunkte  folgen  sieli 
in  den  Abständen  2n  auf  der  S-Axe.  Die  Kurven  10)  des  zweiten 
Typus  sind  weUenähnliche  Linien,  deren  kongruente  und  aus  zwei 
symmetrischen  Hälften  bestehende  Stücke  abwechselnd  unter  und  über 
der  S-Axe  liegen  und  die  Länge  n  haben. 

5.  Die  doppelt  unendlich  vielen  Mercator- Kurven  des  Übergangs- 
typuB  sind  alle  kongruent  und  entstehen  aus  einander  durch  Parallel 
Verschiebung  oder  Spiegelung  an  solchen  Geraden,  die  zur  |-Axe  od^r 
fj'Axe  parallel  sind.  Durch  Verschiebung  um  2n  in  der  Bichta 
der  5-Axe  gehen  sie  in  sich  über.  Ihre  einzelnen  Teile  haben  eit«* 
zur    ly-Axe    parallele    Symmetrieaxe    und    nähern    sich    asymptotiscl 


zweien  von  dieser  um  —  nach   links   und   rechts   entfernten  Geraden. 

Von  einer  „  Scheiteltangente  ^^  —  für  die  Kurve  11)  ist  es  die  GeraJ«^ 
t/  -=  0  —  werden  die  Kurven  unendlich  oft,  nämlich  in  ihren  „Scheiteln"» 
da»  heisst  ihren  tiefsten  resp.  höchsten  Punkten,  berührt. 

Besonders  ausgezeichnet  sind  diese  Kurven  dadurch,  dav 
man  aus  einer  von  ihnen  die  sämtlichen  Kurven  eines  iso- 
thermischen Systems  erhält,  indem  man  die  Kurve  erst  um 
alle  möglichen  Strecken  in  der  Richtung  der  ly-Axe  unJ 
dann  alle  Kurven  der  so  gewonnenen  ersten  Schar  um 

TC  Sit 

V  ^'    T 

in  der  Richtung  der  S-Axe  verschiebt.  Von  den  so  erhaltenen 
vier  Scharen  sind  die  erste  und  dritte  zu  der  zweiten  und 
vierten  orthogonal,  wie  es  Figur  2  zeigt. 

6.  Zu  der  konformen  Abbildung,  die  durch  die  Beziehung  ein«^ 
solchen  isothermischen  Kurvensystems  auf  zwei  sich  rechtwinklig 
kreuzende  Scharen  paralleler  Geraden  in  einer  anderen  Ebene  ver 
mittelt  ist,  gelangen  wir  wie  folgt.  Wir  projizieren  die  Kreise  aut 
der  Kugel  K^  deren  Bilder  die  in  Rede  stehenden  Kurven  sind,  aus  dem 
Pol,  den  sie  enthalten,  durch  Ebenen.    Bringen  wir  mit  den  letzteren 


Von  H.  E.  TlMBRDINO.  323 

I Äquatorebene  «  zum  Schnitt,  so  ist  diese  dadurch  mit  der  Mercator- 
lene  e  in  die  verlangte  Beziehung  gesetzt,  die,  wie  man  so  findet, 
rch  die  Gleichungen: 

12)  X«cos|. <?•'?,     r^sing.e"?,  f-±l, 

«gedrückt  wird,  wo  %  und  y  rechtwinklige  Koordinaten  in  der 
uatorebene  z  =  0  bezeichnen.  Diese  Verwandtschaft  drückt  sich 
Iftcher  aus  durch 

13)  R  =  e'^, 

lern  dann  X  =  Ecosg,     r=Using 

rd  und  B  den  Abstand  des  Punktes  der  Äquatorebene  vom  Mittel- 
okte  des  Äquatorkreises  bezeichnet.  Diese  konforme  Abbildung  ist 
a  Herrn  Holzmüller  im  16.  Bande  dieser  Zeitschrift  ausfiihrlich 
trachtet  und  diese  Betrachtung  in  seiner  Einführung  in  die  Theorie 
r  isogonalen  Verwandtschaften  wiederholt.  An  letzterer  Stelle  giebt 
auch  eine  Gleichungsform  der  Mercator- Kurven  an  und  schlägt 
se  Bezeichnung  vor.* 

7.  Den  eigentümlichen  Charakter  der  Mercator -Kurven  erkennen  w 
Jt  recht,  wenn  wir  ihre  Rektifikation  versuchen.    Für  die  Kurve  11) 
rd: 

14)  S  ^  ~  ^  *^°8  S, 

ist  also  der  Neigungswinkel  an  einer  Stelle  der  Kurve  gegen  die 
heiteltangente  dem  Abstände  des  Kurvenpunktes  von  der  nächst- 
legenen  Symmetrieaxe  gleich.     Für  das  Linienelement  ergiebt  sich: 

15)  ds  =  -  "^V- 

^  C08  J 

Aus  der  Gleichung  9)  folgt: 

1 
.    t.jy  Sin  Tjdn 

Vw'cos  5*  — 1 
0  für  das  Linienelement: 


7 


l/^-i^of.« 


16)  ds^-^ 


Vl-m*'dt 


yi  — m*co8  g* 
er: 


*  Aüch  Herr  Greenhill  hat,  wie  ich  nachträglich  bemerke,  einen  Ansatz 
f  Behandlung  dieser  Kurven  gemacht  (Messenger  of  Mathem.,  Bd.  XVI  und  XX), 
'  er  S  am  n  er  sehe  Linien  nennt.  Er  erwähnt  ihre  Rektifikation  durch  elliptische 
|^?r&Ie,  indessen  teilt  er  nicht  mit,  wie  sie,  indem  man  die  Bogenlänge  durch 
i^e  Koordinaten  ausdrückt,  naturgemäss  auf  die  doppelte  Periodizität  der 
Jptiscben  Punktionen  führen,  worin  gerade,  wie  mir  scheint,  ihr  Nutzen  für 
-  elementare  Theorie  dieser  Funktionen  liegt. 


324  Über  die  Mercator'sche  Projektion. 


für 


17)         ds^-^ , 


18)  irf=^ri,     V-T-^^^     h'-T^ 


m 


t 


also 


oder 


Ebenso  folgt  aus  der  Gleichung  10): 

19)      ,.  ^  j^j^iiiL  ^  y^  " 

Vi +n.  Bing.  i/i_J^@i„,. 


<2i7 


<2£  di7  idri' 


für 


20)         d5  =  -^ 

^  1/1-Är/«C08{«       Vl-V*Mi?*       yi-V'cosij'* 


21)  iV=i?,    iV^-=-rI-;;r'    V^ ^ 


also 


Die  Bogenlängen  der  Mercator-Kurven  drücken  sichal 
durch  elliptische  Integrale  erster  Gattung  aus.  Die  vi 
Grössen  cos|,  sing,  Sofiy,  ©iltiy  sind  für  einen  Punkt  der  Mereaii 
Kurve  gleich  den  mit  gewissen  Konstanten  multiplizierten  elliptiscb 
Funktionen  sin  am  5;  cos  am  s,  Aam6^  des  zugehörigen,  von  einer  I 
stimmten  Stelle  aus  gerechneten  Bogens  s.  Die  Perioden  ergeb 
sich  durch  Integration  nach  |  über  Vielfache  von  ar  a 
nach  ri  über  Vielfache  von  ni. 

8.  Wenn  man  die  Kurven  der  Mercatorschen  Bildebene  «,  die^ 
Kreisen  der  Kugel  entsprechen,  als  Mercator-Kurven  erster  Ordnii 
bezeichnet y  so  hätte  man  dementsprechend  Mercator-Kurven  zweit 
Ordnung  diejenigen  Kurven  zu  nennen,  die  sich  durch  das  ^< 
schwinden  einer  homogenen   quadratischen  Funktion  der  vier  Gr«'»?^ 

cosg,     sing,     Sof??,     ©iiti^ 
darstellen.     Diese  Kurven  hängen  infolge  der  identischen  Relation 

22)  cos  g2  +  sin  §«  =  ßpf  r^^  ~  Sin  n^ 

von  acht  Parametern  ab  und  entsprechen  den  sphärischen  Kurven.  < 
durch  beliebige  Kegel  zweiten  Grades  aus  der  Kugel  ausgeschnitt 
werden. 

9.  Man  kann  aber  aus  der  Gesamtheit  der  Mercator-Kurven  zweil 
Ordnung  noch  eiae  besondere  Gattung  herausgreifen,  deren  Gleichai 
die  Veränderlichen  |  und  ri  in  keinem  Gliede  vereinigt  enthält,  al 
die  Form  hat: 

cfj  cos  5^  +  2cf2  cos  5  sin  I  +  cfj  sin  S^  =«= 
ßi  ®of  i?2  +  2/J3  Sof  17  Sini?  +  ^3  Sin  ly* 
Diese    Gleichung '  geht,   wenn    man    in   sie  die  verdoppelten  >< 
änderlichen: 


23)  { 


25) 


Von  H.  E.  TuERDiiio.  325 

24)  r=2|,    V=2ij 

{fahrt,  in  die  folgende  über: 

i^i  —  cf3)cos6'+  2flrjSin|'+  («j  +  a^)  -= 

!  dieselbe  Form  hat  wie  die  Gleichung  der  Mercator- Kurven  erster 
dnnng^  nur  dass  ein  konstantes  Glied  hinzugetreten  ist.  Die  so 
rgestellten  Eiuren  lassen  sich  durch  blosse  Parallelverschiebung  auf 
}  folgenden  Formen  zurückführen: 

26)  |)C08  6'+  q  =  Eofi^'  (erster  Typus), 

27)  ssing'+  t  -=  @ini?'  (zweiter  Typus), 

zu  ein  Übergangstypus: 

28)  Äcosg'+l-e*«?,  £-±1. 

Die  Kurve  gehört  zum  ersten.  Typus,  wenn  in  ihrer  allgemeinen 
«ichungsform  (j8i+  ßsY  >  4ft^  zum  zweiten,  wenn  (/?i+  ß^^<4tß^^f 
id  zum  Übergangstypus,  wenn  {ßi  +  ß^Y^^ß^^  ist  (vergl.  3). 

10.  Um  die  Bedeutung  dieser  Unterscheidung  klarzulegen,  gehen 
ir  darauf  zurück,  dass  die  Kurve  23)  der  sphärischen  Kurve  ent- 
»rieht,  die  durch  die  Gleichung: 

29)  0,0^  +  2a^xy  +  a^y'  ^ß,+  2ß^z  +  ß^z^ 

i  Verbindung  mit  der  Kugelgleichung: 

30)  x^+y^+z^^l 

»rgestellt  wird.  Von  den  vier  Kegeln,  die  durch  diese  sphärische 
orve  gehen,  sind  zwei  Cylinder,  deren.  Axen  in  der  Aquatorebene 
egen  und  mit  den  Hauptaxen  der  Kegelschnitte: 

a^x^  +  2€i^xy  +  a^y^^  const. 

is&inmenfallen«  Von  den  beiden  anderen  Kegeln  ist  die  e-Axe  eine 
Ätiptaxe,  und  ihre  Mittelpunkte  sind  auf  derselben  durch  die  qua- 
fatische  Gleichung  zu  bestimmen: 

31)  (ßi  +  ^)  +  2ft«  +  (^8  -  ly  =  0, 

>  der  K  so  zu    wählen   ist,    dass   die  Diskriminante  der  Gleichung, 

^Windet.    Also  gilt  für  A  die  quadratische  Gleichung: 

32)  A«  +  (ft  -  ft)  A  +  (ft»  -  ß,  ß^)  =  0. 
nß  Diskriminante  dieser  Gleichung  ihrerseits  ist: 

33)  B  =  (-H^)  -  ß^ 

'^*>0   also 

^  smd  die  beiden  Kegelmittelpunkte  reell,  und  gleichzeitig  gehört  die 
wve  der  Mercator- Ebene  zum  ersten  Typus;  ist  B<0,   so  sind  die 

ZnUclirift  f.  Mathematik  n.  Ph/slk.  43.  Jahrg.  1898.  6.  Heft.  22 


326  Über  die  Mercator'sche  Projektion. 

beiden  Eegel  im^inär^  und  die  Mercator- Kurve  gehört  zum  zweit 
Typus.  In  den  beiden  Fällen  sind  auch  die  zugehörigen  sphärisch! 
Kurven  von  verschiedener  Art,  im  ersten  Falle  erhalten  wir  eine  a 
zwei  getrennten  Zügen  bestehende  und  im  zweiten  Falle  eine  einzügi 
Kurve.     Im  Grenzfalle  B  ==  0  wird: 

Ä  ^  ß\  +  ßi  i  _L_   ßi  —  ßn  -  .1 

und  wenn  wir  dies  in  die  Gleichung  für  die  Koordinaten  der  Keg| 
mittelpunkte  einsetzen:  «  =  —  £ 

In  diesem  Falle  ergiebt  sich  also  nur  ein  einziger  Kegel,  dess 
Mittelpunkt  auf  der  Kugel  in  einem  der  beiden  Pole  liegt,  und  ( 
sphärische  Kurve  hat  einen  Doppelpunkt. 

11.  Der  Gleichung  26),  die  den  Mercator -Kiuren  des  ersten  Tvp 
entspricht,  lässt  sich  durch  Wiedereinführung  der  YenLnderlichen  l, 
die  Form  geben: 

34)  ^cosg*+  -Bsing««  @ini?* 
indem  man  setzt: 

35)  A  =  \(-l  +  p  +  q)     B  =  l(-l_p  +  g). 

Die  zu  dieser  Gleichung  gehörige  Kurve  korrespondiert  dem  sphärisd» 
Kegelschnitt,  der  durch  den  Kegel 

36)  Ax^+By^=0^ 
ausgeschnitten  wird.     Der  Schar  konfokaler  Kegelschnitte: 

37)  ^^  +  -/ -' 

WO   Q   einen   variabelen  Parameter  bezeichnet,   ist  somit   ein  isotbe! 

misches  Kurvensystem: 

ggv  co8{»       8in{«  ^  ©in?;* 

^  a  —  Q       b  —  Q  Q 

zugewiesen,  das  durch  Figur  3  veranschaulicht  wird.  Die  Kutd 
desselben  teilen  sich  in  zwei  Gattungen,  und  zwar  ist  jede  Kurve  i 
einen  Gattung  orthogonal  zu  allen  Kurven,  die  der  anderen  Gattni 
angehören.  Die  Kurven  der  ersten  Gattung,  für  die  a  —  q  ^ 
b  —  Q  beide  das  Vorzeichen  von  g  haben,  bestehen  aus  zwei  ko 
gruenten,  wellenähnlichen  Zügen  von  der  Wellenlänge  «,  die  sn 
metrisch  oberhalb  und  unterhalb  der  g-Axe  liegen;  diie  Kiuri 
der  zweiten  Gattung,  für  die  a  —  p  und  6  —  p  entgegengesetzte  Vc 
zeichen  haben,  bestehen  aus  getrennten  Ovalen.  Diese  sind  fclr  i 
^-Axe  und  je  eine  Parallele  zur  17-Axe  symmetrisch,  haben  aii 
Mittelpunkte,  die  im  Abstände  n  auf  der  g-Axe  nebeneinander  liege 
Den  reellen  gemeinsamen  Brennpunkten  der  sphärischen  Kegelschnit 
entspricht  eine  doppelte  Punktreihe,  die  sich,  wenn  a  —  J  das  Vo 
zeichen  von  b  hat,  ausdrückt  wie  folgt: 


Von  H.  £.  TiMEBDiKo.  327 


39)  6«wjr,    iy  «  ±  «r  Sinj/-^^, 

n  beliebige  ganze  Zahl, 

und  um  deren  Punkte  sich  die  Kurven  der  ersten  und  zweiten 
Gattung  immer  mehr  zusammenziehen,  jemehr  sich  der  Parameter  dem 
Grenzwerte  h  nähert. 

12.  Die  Kurven  28)  des  Übergangstypus,  deren  entsprechende 
Kurven  auf  der  Kugel  aus  einem  Pol  derselben  durch  quadratische 
Kegel  projiziert  werden,  bilden  sich,  wenn  man  aus  diesem  Pol  die 
ganze  Kugel  auf  die  Äquatorebene  projiziert,  in  der  letzteren  als 
Kegelschnitte  ab,  die  mit  dem  Äquatorkreise  konzentrisch  sind.  Der 
konfokalen  Kegelschnittschar 

40)  _^+     ^        ^ 


entspricht  (siehe  Oleichung  12)  das  Kurvensystem: 

41) — h  "iT— ^— "=  «     ^f  6  =  ±  1. 

Auch  die  Kurven  dieses  Systems  zerfallen  in  zwei  Gattungen, 
derart,  dass  zwei  orthogonale  Kurven  stets  verschiedenen  Gattungen 
angehören.     Sei  b  <a 

so  erhalten  wir   nur   dann  eine  reelle  Kurve,  wenn  p  <  a,  und  zwar 
eine  Kurve  erster  Gattung,  wenn  Q<by  eine  Kurve  zweiter  Gattung, 
wenn    p  zwischen  h  und  a  liegt.     Die  Kurven  der  ersten  Gattung  be- 
stehen aus  einem  einzigen  wellenähnlichen  Zug.    Die  einzelnen  Wellen, 
die    die   Lange  n  haben,   sind   vom   tiefsten   zum   tiefsten   oder   vom 
höchsten  zum   höchsten  Punkt  gerechnet,   kongruent  und  gegen  eine 
Parallele   zur   17-Axe  symmetrisch.     Die  Kurven  der  zweiten  Gattung 
bestehen   ebenfalls  aus  synmietrischen  Teilen,   die  aus  einander  durch 
Verschiebung  um  Vielfache  von  x  in  der  Richtung  der  §-Axe  hervor- 
gehen^   die   einzelnen  Teile  sind  aber  völlig  getrennt  und  schicken  je 
zwei  Aste  ins  Unendliche  parallel  zur  tj-Axe,    Figur  4  stellt  Kurven 
beider  (Gattungen  dar. 

Den   gemeinsamen   Brennpunktepaaren  der  Kegelschnitte  40)  ent- 
ap rechen  zwei  Punktreihen: 


42) 


g«nÄ,    1?  -  nogj/-^-^ 


6  =  (n  +  i);r,     ^  =  alog]/^ 
n  beliebige  ganze  Zahl, 
jenen   immer  eine  reell  und  eine  imaginär  ist. 


22 


328  Über  die  Mercator'sche  Projektion.    Von  H.  E.  Timebdino. 

13.  um  die  Gleichung  41)  auf  die  Form  28)  zu  bringen,  setze  man 

>io\  a  +  6  a  —  b 

43)  r  =-  p ^-  ,     C  =  -g-, 

SO  wird  sie: 

44)  c  cos  6'+  r  =  (er*  -  r^)  e *i'. 

Durch  Veränderung  von  r  erhalten  wir  die  verschiedenen  Kurven 
des  isothermischen  Systems^  und  zwar  eine  Kurve  erster  Gattung. 
wenn  r  <  —  c,  eine  Kurve  zweiter  Gattung,  wenn  —  c  <  r  <  +  c.  Ut 
r>c,  so  wird  die  Kurve  imaginär.  Für  r « 0  ist  die  Kurve  nur 
durch  den  Maßstab  von  den  Kurven  8)  verschieden. 

14.  Suchen  wir  noch  die  Bilder  der  Mercator- Kurven  des  ersten 
und  zweiten  Typus  in  der  Aquatorebene,  so  ist  zu  beachten,  dass,  wi«' 
sich  die  Kurven  des  ersten  Typus  auf  die  Bilder  der  sphärischen  Kurven: 

45)  Ax^+By^=S!^,    a:^+y^+z^^l 

zurückfuhren   Hessen,   die  Kurven   des   zweiten  Typus   auf  die  Bilder 
der  Kurven: 

46)  Ä'x^+B*y^=z,    x^+y^-^z^^l 

reduziert  werden  können.    Dann  findet  man  mit  Hilfe  der  Beziehuugen 

47)  x  =  -r^,    Y-T^^   x«+r«=^ 

als  Bild   der  Kurve  45)   und   der  zugehörigen  Mercator -Kurve  in  der 
Äquatorebene: 

48)  (X«+  Y^-^iy^4AX^+ABT^ 

und  als  Bild  der  Kurve  46)  und  der  entsprechenden  Mercator- Kurve 
des  zweiten  Typus: 

49)  {X^+  r«)2  4-4^'X«+4£'r2«l. 

Diese  Kurven  sind  identisch  mit  den  von  Sieb  eck  im  57.  Bande 
des  Crelleschen  Journals  behandelten ,  auf  die  die  durch  die  eUip- 
tischen  Funktionen  Jacobis  vermittelten  konformen  Abbildungen 
zweier  Ebenen  aufeinander  hinleiten,  und  stellen  die  drei  verschiedenen 
Arten  dieser  Kurven  dar,  auf  gewisse  Normalformen  reduziert  D«^ 
Gleichung  48)  giebt  eine  Kurve  der  ersten  oder  zweiten  Art,  je  nach 
dem  A  und  B  gleiche  oder  entgegengesetzte  Vorzeichen  haben,  j^ 
nachdem  also  die  zugehörige  Mercator -Kurve  des  ersten  Typus  von 
der  ersten  oder  zweiten  Gattung  ist. 


Das  Problem  der  15  Pensionatsdamen. 

Von 

A.  F.  H.  Mertelsmann, 

Hamburg. 


Das  Problem  der  15  Pensionatsdamen  lautet:  „Die  Vorsteherin 
eines  Pensionats  wünscht  die  15  Damen  ihrer  Pension  taglich  in  fünf 
lUihen  zu  je  dreien  spazieren  gehen  zu  lassen.  Wie  ist  die  Anord- 
nung zu  treffen^  damit  im  Laufe  einer  Woche  jede  Dame  mit  jeder 
anderen  einmal  in  derselben  Keihe  zusammengeht?^^ 

Die  Aufgabe  wurde  zuerst  im  Jahre  1850  von  Eirkmann  in  einer 
englischen  Zeitschrift  veröffentlicht.  Englische  Mathematiker  haben 
dann  das  Problem  verschiedentlich  behandelt.  In  deutscher  Sprache 
findet  sich  die  Aufgabe  nebst  einer  Lösung,  jedoch  ohne  Angabe  der 
Lösungsmethode,  in  Professor  Schuberts  „Zwölf  Geduldspielen" 
(Berlin  1895).  Rouse  Ball  föhrt  in  seinen  ,,Mathematical  Becreations" 
zwei  Lösungsweisen  an.  Die  eine,  von  Mr.  Anstice  stammend,  giebt 
drei  verschiedene  Lösungen,  während  die  andere,  von  Mr.  Frost  her- 
rührend, 15  567  552000  Lösungen  liefert. 

Der  Verfasser  dieser  Arbeit,  dem  kürzlich  die  Aufgabe  vorgelegt 
wurde,  fand,  ohne  Kenntnis  von  den  früheren  Arbeiten  zu  haben,  die 
im  folgenden  näher  beschriebene  Lösungsmethode,  nach  welcher  sich, 
wie  weiter  unten  gezeigt  werden  wird,  über  15  Billionen  verschiedene 
Lösungen  ergeben. 

Man  bezeichne  je  drei  am  Sonntage  zusammengehende  Damen 
mit  gleichen  Buchstaben,  die  durch  die  Ziffern  1;  2,  3  unterschieden 
sind.    Die  Anordnung  für  den  Sonntag  würde  also  diese  Form  haben: 

fci  6j  ig 

^1  ^  ^8 

Nunmehr  kommt  es  darauf  an,  für  die  übrigen  sechs  Tage  der 
"oche  6-5>»30  Kombinationen   aufzustellen,   die   den   Forderungen 


330  ^^"  Problem  der  16  Pensionatadamen. 

des  Problems  entsprecben.  Sehen  wir  zunäcbst  von  den  Indices  ab, 
80  haben  wir  zur  Bildung  der  Kombinationen  die  fOnf  Elemente  a,  b, 
c,  d,  e.  Die  Kombinationen  mit  Wiederholung  sind  nach  den  Beding- 
ungen der  Aufgabe  und  in  Rücksicht  auf  die  Anordnung  am  Sonntag 
ausgeschlossen.  Es  lassen  sich  folgende  Kombinationen  zu  je  dreien 
bilden:  abc,  abd,  abe,  ade,  ace,  acd,  hcd,  bce,  bde,  cde.  Jeder jBuch- 
Stabe  kommt  darin  6mal  vor.  Da  an  jedem  der  sechs  Tage  jeder  Buch- 
stabe 3mal  auftreten  muBS,  ist  jede  Kombination  3mal  zu  verwerten. 
Das  giebt  30  Kombinationen. 

Es  erübrigt,  die  Indices  in  richtiger  Weise  zu  verteilen.  Setzeo 
wir  jedesmal  die  drei  aus  gleichen  Elementen  gebildeten  Kombinationen 
unter  einander,  so  ist  nur  nötig,  die  Ziffern  für  die '  erste  Kom- 
bination jeder  Qruppe  zu  bestimmen;  in  den  beiden  folgenden  sind  die 
ZiA'ern  cyklisob  zu  erhöhen. 

Wir  wählen  zuerst  die  6-3  Kombinationen,  welche  a  enthalten. 
Di(»<i>lbeu  seien  so  geschrieben,  dass  je  zwei  unter  einander  stehend« 
Uruppen  ausser  a  kein  gemeinäcbaftUches  Glied  haben. 


I. 

n. 

in. 

"l*l«l 

o,b,d. 

"i'j^ 

„,h,c. 

a,b,d. 

«.he. 

Ojii«. 

i,,l,d. 

a,l,,e. 

IT. 

V. 

¥1. 

«1  rf,  e, 

Ol«!«. 

o,  «^  <h 

«,d,e. 

".«.<'. 

II,  c,  d. 

«jrf,«, 

0,0,6, 

1^',''! 

bMv  jtiion   einzelnen   der   mit  «i  verbundenen  Buchstaben   wählen 

^v>u  liukH  nach  rechts  fortschreitend,   die  Ziffern  1,  3,  3;   so  er- 

,  ,n(,  ^^  iu  Uruppe  I,  6,  in  Gruppe  IT,  i,  in  Gruppe  III  mit  n,  Ter- 

„•LLi.  wtlhrend  je.  B.  d^,  d^,  d^   nach  einander  in  Gruppe  IV,  II  und 

„itivtuu. 

.^  't.ui<it'U  »ioh  weiter  um  die  drei  Gruppen,  deren  Kombinationen 

Ä,  (^  rfg  biC^e^  ^1^^ 
bj  Cg  dl  fc.  Ci  ^  fcj  dj  e, 
6,  c,  (^       bfC^Ci       b^diCj 

,,»iCä  iu  Gruppe  I  mit  c,  verbunden,  geben  wir  c  in  HI 

,U  :u  V'Ul  die  Ziffer  3.    FOr  d  ergiebt  sich  dann  nach  li 

L  .a«  /.itfor  3,  so  dass  für  IX  die  Ziffer  2  bleibt.    Ähnlich 

-Ir  '    lu  VIII  der  Index  2  und  in  IX  der  Index  3. 


Von  A.  F.  H.  Mebtelsmann.  331 

Für  die  letzte  noch  übrige  Gruppe: 

X. 

^8  ^  ^ 

ergiebt  sich  leicht;  dass  d  die  Ziffer  3  und  e  eine  2  erhalten  muss. 

Nachdem  so  30  Kombinationen  richtig  gebildet  sind,  schreiten 
wir  zu  der  Aufgabe ,  dieselben  auf  die  sechs  Tage  Montag  bis  Sonn- 
abend in  entsprechender  Weise  zu  verteilen.  Dies  kann  in  dreifacher 
Weise  geschehen. 

Erste  Anordnung  (^,). 


Montag. 

Dienstag. 

Mittwoch. 

Donnerstag. 

Freitag. 

Sonnabend. 

«1*1  <h. 

«1  62  ^2 

«1  h  ^3 

«1  ^1  ^1 

a^c^e^ 

«1  C3  ds 

Ogfcj  (^ 

«2*3^8 

«2  *i  ^1 

«2^2^ 

«2^8  ^8 

«2  ^1  ^1 

«S  ^J  ^s 

a^c^e. 

«3  ^2  ^2 

»3  *8  ^8 

«3  *i  ^1 

«3  feg  ßg 

&s<^^ 

*l^«2 

ts  Ca  d, 

&lC^   rfj 

^2  ^  ^ 

&8C8e3 

C3  d^Ci 

^^^8 

c^d^e^ 

fcj  q   Cj 

*8^S^ 

^^^1 

Als  erste  Reihen  schreibe  man  die  mit  a^  gebildeten  sechs  Kom- 
binationen aus  Gruppe  I  bis  VI.  Mit  a,  wiederhole  man  dieselben 
Buchstaben,  wahrend  a^  mit  den  beiden  an  dem  betreffenden  Tage 
noch  nicht  aufgetretenen  Buchstaben  zu  yerbinden  ist.  Für  die  beiden 
noch  fehlenden  Reihen  ergiebt  sich  z.B.  für  Montag,  dass  h  und  c 
noch  je  einmal,  d  und  e  hingegen  noch  je  zweimal  auftreten  müssen. 
Also  heissen  die  vierte  und  fünfte  Reihe  hde  und  cde.  Die  dazu  ge- 
hörende Bezifferung  ergiebt  sich  aus  den  zusammengestellten  Kom- 
binationen in  Gruppe  IX  und  X.  Ebenso  sind  die  übrigen  Tage  leicht 
zu  bilden. 

Zwei  andere  Anordnungen  derselben  Kombinationen  ergeben  sich, 
wenn  man,  statt  a^  und  Og  an  demselben  Tage  mit  gleichen  Buch- 
staben zu  kombinieren,  a^  und  a^  oder  Og  und  a,  diese  Auszeichnung 
zu  teil  werden  lässt. 

Zweite  Anordnung  (^). 


Montag. 

Dienstag. 

Mittwoch. 

Donnerstag. 

Freitag. 

Sonnabend. 

<h\<^ 

«1^2^ 

«1  ^8  ^3 

a^  d^  e^ 

aiCgfg 

»1  ^3  ^3 

«2^^ 

OgCj^j 

Og  Ci  d^ 

ag&gCg 

«2  ^8  ^8 

Og  &!  ^j 

»8*8^ 

«8  ^1  ^1 

aj&gCg 

03^8^8 

«8  ^1  ^1 

OgCg  rfg 

l.d^e^ 

'^8^^1 

\  fg  rf, 

h  Ci  d^ 

h  ^3  ^'1 

6g  (?i  €3 

c^d^e^ 

Cj  rfjeg 

Cj  rfg  e^ 

h  C3  ^2 

^1  ^2  ^3 

63  dj  eg 

332 


Das  Problem  der  16  Pensionatsdamen. 


Dritte  Anordnung  {A^^ 

). 

Montag. 

Dienstag. 

Mittwoch. 

Donnerstag. 

Freitag. 

Sonnabend 

«1  ^  ^1 

«1  ^2  ^2 

«1  ^3  h 

«1  «'i  ^1 

ttiCgeg 

«i^<^» 

a^d^e^ 

«2^8  ^ 

a^  Ci  dl 

O^fegCg 

Ojfegd^ 

Ogfei^, 

a^d^e^ 

fls^  ^1 

«3^  dg 

«3*8^ 

ajfeidi 

agfegfj 

h  ^8  ^1 

6i  Cg  dj 

tj  Cj  f^ 

fei  dg  ^3 

fegClCj 

fegCi    dg 

^8^  «1 

\  dl  es 

feg  djfi 

Ci  djCg 

^8^^1 

^^^8 

Die  bei  jeder  der  drei  obigen  Lösungen  gebrauchten  35  Kom- 
binationen lassen  sieb  endlich  noch  zu  neun  yerschiedenen  Anordnungen, 
die  den  Forderungen  des  Problems  entsprechen ,  yerwerten,  wenn  man 
nicht  mehr  an  der  anfänglichen  Ordnung  des  Sonntags  festhält. 

Montag  und  Donnerstag. 


B, 

1 

Sonntag. 

Montag. 

Donnerstag. 

Sonntag. 

«1  ÖTg  ttj 

«1  ^  ^1 

aidi^i 

«lOgag 

fei  Cg    dg 

Ogfeg  C2 

Ogdg^'g 

feg  Ci   dg 

h^^ 

«8  ^8  ^3 

«3  dg  Cg 

fei  Cg  Cg 

fegdiCg 

dl  dg  dg 

fei    feg    feg 

fegdgCj 

Cg    rfg  ßi 

61    Cg    Cg 

^1    ^2     Cg 

Cgdi6g 

wie  B^ 


Übrige  Tage  wie  Ä^, 


Übrige  Tage  wie  Aj. 


B 


8 


Wie 


B. 


Sonntag.   '  Montag  und  Donnerstag. 

«lagCTg 

feg  Cg  dl 

üg  Cg  Ci 
fei  dgCg 
Ci    dg  C« 


Übrige  Tage  wie  At 


Sonntag. 

«1  «2  ^8 
feg  Ci  dg 

fej    Cg    Cg 
feg   dg    Ci 

^8  '•i  ^8 


Dienstag. 
«1  fe2  dg 

«2  ^8  ^8 

Ö3  ^  ^1 

Cj    Cg    Cg 


Freitag. 
»1  CgCj 

^2  ^3  ^z 

flg    Cj  Ci 
fei  feg  feg 

d^d^d^ 


Dienstag  und  Freitag. 


wie  C\ 


Übrige  Tage  wie  Ay 


Sonntag. 

«1  «2  ^ 

feg    Cg    dl 

0^  Cg  Ci 

fei   dg    Cg 

Übrige  Tage  wie  A^. 


Von    A.  F.  H.  MSBTELSMAITN. 


333 


Sonntag.      Dienstag  nnd  Frei 

tag. 

«1 

wie  0^ 

6, 

Ci^8 

&, 

^1^2 

<i 

rf^ei 

Übrige  Tage  wie  -<!,. 

A 

A 

Sonntag. 

Mittwoch. 

«2*1^1 

Sonnabend. 

«1^8  ^3 

«2  ^1  fl^i 

Sonntag. 

«1  «2  «8 

6j  ^  rfg 

Mittwoch  U.Sonnabend 

»1  ««  ÖS 

wie  D^. 

h  Ci  «i 

0362^2 

«8  ^2  ^2 

&2  ^1  ^8 

^«^^8 

C|  Cg  C3 

61  tg  \ 

fcjrfiCj 

c,  (7,  e. 

rf^  rfi  dj 

^1  ^2  ^8 

C3  rfg  f>l 

Übrig 

e  Tage  wie  Ay 

übrige  Tage  wie  /!.,. 

/) 

8 

Sonntag.     Mittwo 

)ch  u.  Sonnabend. 

^1  ^3  ^8 


wie  Dj 


63  C^  (?2 

*2  ^8  ^1 
^2  ^i  ^8 

Übrige  Tage  wie  Ä^, 

Wünscht  man  aus  einer  bekannten  Lösung  eine  andere  abzuleiten^ 
s^o  braucht  man  nur  die  15  Glieder  durch  eine  beliebige  Permutation 
derselben  zu  ersetzen,  also  etwa 

»l  ^2  «8  ^  h  ^8  ^I  ^2  ^3  ^1  ^2  ^3 

6«  ^  ^2  ^8  ^2  ^l  ^8  ^2  ^1  ^1  ^1  ^J 

Da  die  Anzahl  dieser  Permutationen 

1  307  674  368  000 

beträgt,  so  Blieben  sich  ebensoviele  Kombinationsgruppen,  deren  jede 
12  Lösungen  liefert.  Die  Gesamtzahl  der  Lösungen  ist  also  das  Zwölf- 
fache  jener  Zahl,  das  ist 

15  692  092  416  000. 

Trotz  dieser  grossen  Zahl  von  Lösungsmöglichkeiten  ist  es  nicht 
leicht,  zwei  Wochen   so   zusammenzustellen,   dass  beide  keine   Kom- 


durch 


^l  ^  ^8 
«8  \  ^8- 


334      ^^^  Problem  der  16  Pensionatsdamen.    Von  A.  F.  H.  Mebthlbmakk. 

bination  gemeinsam  haben.  Die  beiden  folgenden  Lösungen  ent- 
sprechen dieser  Forderung.  Die  bezifferten  Buchstaben  sind  hier  durch 
die  fortlaufenden  Nummern  1  bis  15  ersetzt. 

Erste  Woche. 


Sonntag. 

Montag. 

Dienstag. 

Mittwoch. 

Donnerstag. 

Freitag. 

Sonnabend. 

12    3 

1     4     7 

15  11 

1     6  15 

1  10  13 

1     8  14 

1     9  12 

4    5    6 

2    5    8 

2    6  12 

2    4  13 

2  11  14 

2     9  15 

2    7  10 

7    8    9 

3  12  15 

3     7  13 

3    811 

3     6    9 

3    4  10 

3    5  14 

10  11  12 

6  10  14 

4    9  14 

5    9  10 

4    8  12 

5  12  13 

4  11  15 

13  14  15 

9  11  13 

8  10  15 

7  12  14 

5    7  15 

6     7  11 

6    8  13 

Zweite  Woche. 

Sonntag. 

Montag. 

Dienstag. 

Mittwoch. 

Donnerstag. 

Freitag. 

Sonnabecd 

12     6 

14    8 

1     5  15 

1     9  13 

1     3  11 

1  12  14 

1     7  10 

4    5    9 

2     5  12 

2    9  10 

2    3    4 

2  14  15 

2    7  13 

2    811 

7    8  12 

3     7  15 

3    6   .8 

5     7  11 

4  10  12 

3    5  10 

3    9  1'i 

10  11  15 

6  10  13 

4    7  14 

6  12  15 

5    8  13 

4    6  11 

5    6  14 

3  13  14 

9  11  14 

11  12  13 

8  10  14 

6     7    9 

8    9  15 

4  13  1.^ 

Unmöglich  scheint  es  mir,  die  von  Prof.  Sylvester  aufgesteUte 
Forderung  zu  erfilllen,  die  sämtlichen  aus  den  15  Gliedern  möglichen 
455  Dreierkombinationen  auf  die  13  Wochen  eines  Vierteljahres  so  vi 
verteilen,  dass  während  desselben  die  gleichen  3  Personen  nicht  mehr 
als  einmal  zusammengehen,  während  far  jede  einzelne  Woche  die 
früheren  Forderungen  bestehen  bleiben. 


Zur  Hesse'schen  Konstruktion  einer  Fl&che  zweiter  Ordnung 

ans  nenn  Punkten. 

Von  J.  Thomae  in  Jena. 

Hesse  scheint  der  erste  gewesen  zu  sein,  der  eine  Fläche  zweiter 
Ordnung  ans  neun  Punkten  Unear  zu  konstruieren  gelehrt  hat  (Grelles 
Journal  Bd«  24).  Da  Hesse  die  neun  Punkte  als  reale  voraussetzt  und 
zur  vollständigen  Lösung  der  Aufgabe  zuerst  von  einem  Kegelschnitte  fünf 
Punkte  bestinunt,  und  die  weiteren  Punkte  mit  Hilfe  dieses  Kegelschnittes 
findet,  so  erweckt  es  den  Anschein,  als  ob  seine  Konstraktion  nicht  von 
völliger  Allgemeinheit,  und,  da  er  einen  Hilfskegelschnitt  benutzt,  nicht 
von    vollkonmiener   Unmittelbarkeit    sei.      Sieht    man  jedoch   genauer  hin. 


Kleinere  Mitteilnngen.  335 

so  findet  man,  dass  die  von  Hesse  angewandten  Prinzipien  hinreichen, 
die  Aufgabe  völlig  allgemein  and  unmittelbar  zu  lösen,  und  dass  es  nnr 
der  Hinzof&gung  weniger  Striche  bedarf  um  seine  Zeichnung  zu  einer  voll- 
kommenen zu  machen.  Diese  Ergänzung  soll  hier  gegeben  werden.  Dabei 
nehme  ich  an,  um  nicht  besondere  Fälle  unterscheiden  zu  müssen,  dass 
nicht  vier  von  den  gegebenen  Punkten  in  einer  Ebene  liegen,  was  übrigens 
eine  Erleichtenmg  der  Problemlösung  bedeuten  würde.  Dass  es  wenigstens 
eine  Lösung  der  Aufgabe  in  allen  Fällen  giebt,  setze  ich  als  bekannt 
voraus. 

Wir  formulieren  die  Aufgabe  so:  Sind  neun  Punkte  gegeben,  von 
denen  beliebig  viele  Paare  aggregiert  ideale  (konjugiert  imaginäre)  sein 
können,  so  soll 

I.  In  einer  beliebigen  Ebene  e  das  Polarsystem  Unear  konstruiert 
werden,  dessen  Eemkurve  der  Kegelschnitt  (e,  F)  ist,  den  die 
Ebene  s  aus  der  gesuchten  Fläche  F  herausschneidet).' 

n.  Auf  einer  beliebigen  Geraden  g  soll  die  Involution  linear  gefanden 
werden,  deren  Doppelpunkte  die  Schnittpunkte  (^,  F)  sind,,  oder 
die  der  Fläche  F  konjugiert  ist. 

m.  Auf  einer  Geraden  g  durch  einen  reellen  der  gegebenen  Punkte 
soll  der  zweite  Schnittpunkt  mit  F  linear  bestimmt  werden. 

Die  Aufgabe  III  wird  offenbar  durch  die  Lösung  der  Aufgabe  U  von 
selbst  erledigt,  weil  das  Problem,  den  zweiten  Doppelpunkt  einer  Involution 
zu  konstroieren,  deren  erster  gegeben  ist,  eine  bekannte  lineare  Lösung  hat. 

Die  neun  Punkte  seien  M^M\^  M^M\^  M^M\^  M^M\^  JKfg,  die 
ersten  vier  Paare  mögen  bez.  auf  den  Geraden  g^g^g^g^  Uegen,  und  wenn 
sie  nicht  real  sind,  als  Doppelpunkte  von  Involutionen  auf  diesen  Geraden 
gegeben  sein. 

Hesse  konstruiert  die  Polare  eines  Punktes  P  für  die  gesuchte  Fläche  J* 
in  folgender  Weise.  Er  sucht  zunächst  die  Polare  von  P  für  das  Hyper- 
boloid {g^g^M^M\M^^  welches  die  Geraden  g^g^  und  die  Paukte  M^M\M^ 
enthält.  Hesse  setzt  dabei  M^M\  als  reale  Punkte  voraus,  was  jedoch 
nicht  nötig  ist.  Es  sei  A'^g  die  Gerade  durch  Jt/g,  die  g^g^  trifft.  Gleitet 
eine  Gerade  h  über  gig^g^^  so  erzeugt  sie  in  der  Ebene  (P,  k^^  einen 
Kegelschnitt  K^^^  dessen  Punkte  durch  Vermittelung  der  Geraden  h 
den  Punkten  der  Geraden  ^3  projektiv  zugeordnet  sind.  Der  Involution 
auf  g^  entspricht  eine  Involution  auf  j^^,,  deren  Axe  o^,  in  bekannter 
Weise  linear  gefunden  wird.  Sie  ist  die  Gerade,  die  die  Ebene  (P,  k^^ 
neben  A'^^  noch  aus  dem  Hyperboloid  herausschneidet.  Die  Gerade  l  nun,  die 
von  P  durch  (ii^k-^^  harmonisch  getrennt  ist,  gehört  der  Polarebene  von  P 
fdr  das  Hyperboloid  {g^g^M^M^M^  an.  —  Ist  A',,  eine  beliebige  g^g^a^^ 
treffende  Gerade,  so  gehört  sie  demselben  Hyperboloide  an,  man  findet  wie 
vorhin  —  oder  da  jetzt  von  dem  Hyperboloid  drei  Erzeugende  einer  Schar 
bekannt  sind,  auch  auf  andere  Weise  —  die  Gerade  a\^^  die  die  Ebenen 
(^,  ^\x)  neben   A/j^    aus   dem   Hyperboloide   schneidet.      Die  Gerade  l\  die 


336  Kleinere  Mitteilungen. 

von  P  durch  tt\2^i2  harmonisch  getrennt  ist,  gehört  ebenfalls  der  Polar- 
ebene von  P  für  das  Hyperboloid  an.  Die  Geraden  //'  bestimmen  die  Polar- 
ebene von  P  für  das  Hyperboloid. 

Eonstroiert  man  auf  gleiche  Weise  die  Polarebenen  von  P  für  dip 
Hyperboloide  {gi^^M^g^M^^M^HtV^^g^g^M^^  so  liefert  der  Schnittpunkt 
der  drei  Polarebenen  den  Punkt  Q^^  der  P  für  alle  Flächen  zweiter  Ord- 
nung durch  die  sieben  Punkte  My^M^M^M\M\M\M^^  oder  wie  wir 
kürzer  sagen  wollen,  der  P  für  diese  sieben  Punkte  konjugiert  ist. 

Der  besondere  Fall,  dass  der  Punkt  Q^  durch  die  eben  gegebene  Kon- 
struktion nicht  als  ein  völlig  bestimmter  zu  erbringen  ist,  soll  zuletzt 
besonders  besprochen  werden. 

Es  seien  Q^Q^Qj^  die  bez.  P  für  die  Gruppen  von  sieben  Punkten 

ü/j  M\  Jfj  M\  3/4  M\  M^ ,     M^  M\  iJfo  M\  M^  M\  M^ , 

konjugierten  Punkte,    so   ist    die    Ebene  7t  —  {Q^Q^Q^  die  Polarebene  von 
P  für  die  durch  die  neun  Punkte  gehende  Fläche  jP. 

Liegen  die  neun  Punkte  in  einer  Kurve  vierter  Ordnung  erster  Spezies, 
so  giebt  es  unendlich  viele  Flächen  zweiter  Ordnung  durch  sie.  Für  jede 
derselben  müssen  Q^Q^Q^  dem  Punkte  P  konjugiert  sein,  und  es  müssen 
deshalb  diese  drei  Punkte  auf  einer  Geraden  liegen.  Umgekehrt  können^ 
wenn  die  neun  Punkte  nicht  auf  einer  Kurve  vierter  Ordnung  liegen,  die 
Punkte  Q^  Q^  ^4  für  allgemeine  Lagen  von  P  nicht  in  einer  Geraden  liegen, 
weil  dies  für  angebbare  spezielle  Lagen  von  P  nicht  statthat.  Man 
vergleiche  hierüber  meine  Untersuchungen  in  den  Leipziger  Berichten  vom 
3.  Mai  1897  S.  319. 

Nun  seien  Pj  Pg  Pj  drei  Punkte  einer  Ebene  b  und  n^  ir^  n^  seien  ihre 
Polaren  für  die  Fläche  t\  P1P2P»  deren  Schnittlinien  mit  c,  also  die  Polaren 
von  I\P2P^  für  den  Kegelschnitt  («, -F).  Alsdann  ist  das  Polarsystem, 
dessen  Kern  kurve  {e,  F)  ist,  durch  die  drei  Paare  Pol  und  Polare  P,j^,, 
^W^2»  -^iPs  völlig  bestimmt.  Auf  jeder  Geraden  </  in  €  ist  durch  diese 
drei  Paare  Pol  und  Polare  die  Involution  linear  bestimmt,,  die  der  Kurve 
(«,  JP)  konjugiert  ist,  und  es  ist  die  Aufgabe  II  gelöst,  sobald  für  das 
Ausgesprochene  der  Nachweis  der  Richtigkeit  erbracht  ist. 

Die  gerade  Verbindungslinie  der  Punkte  PfiPfi*  werde  mit  Pftf^-  be- 
zeichnet, ebenso  kann  der  Schnittpunkt  von  PfiPfi*  mit  P^^*  bezeichnet 
werden,  es  ist  dann  P^/  der  Pol  von  Pu/- 

Auf  Pfjtf^f  sind  die  Punkte  Pfi{PftPfifi*)y  Pfi'^Pfji'Pfift^^  auf  j?^  sind  die 
Punkte  Pftfi*'{PptP,tfn'),  Pftfi'iPiuPßift")  Paare  der  Involution,  die  (ff,  P)  kon- 
jugiert ist,  deren  Doppelpunkte  (t,  F)  angehören.  —  Ist  Q  ein  Punkt  auf 
einer  der  Linien  p  z.  B.  auf  p^ ,  so  ist  die  Polare  q  von  Q  dadurch,  dass 
sie  durch  Pj  und  den  Q  in  der  Involution  PiiiPiPa) '  ^iziPtPis)  z'igehörigen 
Punkt  gehen  muss,  bestimmt. 

Um  die  (e ,  F)  konjugierte  Involution  auf  einer  Geraden  g  in  ^  zQ 
konstruieren,    bestimme    man    zu    den    Punkten    {gpi)<,  {ffPi)  die  Polaren. 


Kleinere  Mitteilungen.  337 

sie  treffen  g  in  Punkten,  die  mit  {ßPi){ßP2)  P^are  der  gesachten  Involution 
bilden  and  diese  somit  geben.  Damit  ist  die  Aufgabe  II  gelöst.  Man 
kann,  wenn  g  gegeben  ist,  die  Konstruktion  dadui'ch  erleichtem,  dass  man 
PjP.  auf  g  wählt. 

Um  der  Angabe  III  gemäss  auf  einer  Geraden  g  durch  M^  den  zweiten 
Schnittpunkt  mit  F  zu  finden,  braucht  man,  da  M^  sich  selbst  konjugiert 
ist,  nur  zu  einem  einzigen  Punkt  P  auf  g  die  Polare  zu  konstruieren.  Trifft 
sie  47  in  Q,  so  ist  der  zweite  in  bekannter  Weise  linear  zu  findende  Doppel- 
punkt der  Involution 

der  Schnittpunkt  von  g  mit  F. 

Nun  betrachten  wir  noch  den  Fall ,  dass  der  dem  Punkte  P  für  sieben 
gegebene  Punkte  konjugierte  Punkt  Q  auf  die  hier  gegebene  Weise  nicht  zu 
finden  ist.  —  Die  drei  Hyperboloide: 

ig,  g^  Jf,  M  '3  JJTb)  {g,  M,  M\  g^  M,)  (JJf,  M\  g,  g,  M,) 

schneiden  sich  paarweise  in  je  einer  Geraden  und  einer  Kurve  dritter  Ord- 
nung. S^ind  die  drei  Geraden  g^g^g^  verschieden,  was  sich  bei  der  hier  über 
die  gegebenen  Punkte  gemachten  Annahme,  dass  nicht  vier  in  einer  Ebene 
liegen  sollen,  von  selbst  versteht,  so  sind  die  drei  Hyperboloide  von 
einander  linear  unabhängig  selbst  dann,  wenn  sie  eine  Kurve  dritter  Ord- 
nong  gemein  haben  sollten.  Zu  einem  Punkt  P  gehört  daher  ein  und  nur 
ein  Punkt  Q.  Enthält  aber  eins  von  den  drei  Hyperboloiden  alle  drei  ge- 
raden Linien  g^g^g^^^  Hegt  M^  in  einer  g^g^g^  schneidenden  Geraden,  so 
sind  die  drei  Hyperboloide  identisch,  man  kann  dann  Q  nicht  auf  die  an- 
gegebene Weise  finden,  wenigstens,  wenn  MyM\M^M\M^M\  aggregirt 
ideale  Paare  sind,  so  dass  man  diese  Punkte  zu  zweien  nur  durch  die 
<Teraden  gig^g^  real  miteinander  verbinden  kann. 

Die  Geraden  ^i<72Ä^4  lassen  sich  auf  viererlei  Weise  in  Tripel 
gruppieren.  Liegt  M^  in  einer  Geraden,  die  nur  die  Geraden  eines  dieser 
Tripel  trifit,  so  wählt  man  zur  Konstruktion  die  drei  andern  Tripel.  Liegt 
aber  M^  in  einer  Geraden,  welche  die  Geraden  zweier  Tripel,  die  also  alle 
vier  Geraden  gig^g^g^  trifft,  so  hat  man  wirklich  einen  singulären  Fall, 
in  dem  die  gegebenen  Mittel  zur  Konstruktign  nicht  ausreichen.  Folgendes 
etwas  umständliches  und  daher  der  Vereinfachung  entgegensehendes  Ver- 
fahren führt  dann  zum  Ziel. 

Auf  einer  Geraden  durch  Mt^  wflhle  man  drei  Punkte  LMN  und 
konstruiere  die  Polaren  X^v  von  P  für  die  Flächen 

sie    bilden    einen    LMN  projektiven    Ebenenbüschel    k^v.     Die    in    dieser 
Projcktivität  Ti^^icrn^ 

J^5  entsprechende  Ebene  n  ist  die  Polare  von  P  für  die  Fläche  JP. 


838 


Kleioere  Hitteilungen. 


Will  man  mit  t.  Standt  aar  das  rfiamliche  Folarsystem  bestimmen, 
dessen  Eeraä&cbe  F  ist,  so  ist  auch  dies  Problem  durch  Hesse  gelüst, 
dean  er  lehrt  ja  za  jedem  Paukte  die  Polarebene  finden.  —  Inzwischen  isi 
von  Herrn  H.  Boegehold  eine  aaaführliche  Abhandlang  (als  Dissert&tiaii, 
Jena  1898)  Aber  diesen  Gegenstand  veröffentlicht  worden. 


Über  einen  Apparat  Eor  AnflSsnng  nnmerischer  GleictaBiigen 
mit  vier  oder  fDitf  Gliedern. 

Von  IL  Mehmke  in  Stuttgart. 

Von  mehreren  Seiten  dazn  aufgefordert,  werde  ich  in  dieser  Zeitschrift 

einige  von  mir  konstraierte  Apparate  znr  mechanischen  Anflfisong  numerische 

Oleichnngen  vorfflhren,   die  sich  1893  auf  der  mathematischen  AussteUan; 

in  München  befanden  haben,    deren,   dnrch  keine  Abbildungen  onteistütite 

Beschreibungen   aber,   die   ich   in   dem  Katalog  jener  Ausstellnng  gegeben 

habe,  allerdings  nngenOgend  erscheinen  mOgen.  i 

Ich   beginne   mit    dem   nachstehend   abgebildeten   Apparate,   der  m 

meisten   Interesse   erregt  zn   haben  scheint  and  in  mehreren  Schriftec  cr- 

w&hnt   worden    ist,   trotzdem    er    für  dtn 

praktischen    Gebrauch    vielleicht    wenig« 

in  Betracht  kommt  als  einige  andere. 

Dieser  Apparat  beruht  auf  einer  sehr  all- 
gemeinen Methode,  Fonktionen  mit  mehrera 
Verfinderlichen  rilamlich  darzustellen.  D«iib 
man  sich  vier  beliebige  Kurven  im  Bidih' 
mit  bezifferten  Einteilungen  („Skalen")  irgeixi 
welcher  Art  versehen,  so  mflssen  die  Zahlei:- 
werte  l,  u,  v,  «',  die  zu  vier  Teilpunktoi. 
von  denen  jeder  sich  auf  eiaer  änderet 
Skala  befinden  soll,  gehfiren,  eine  bestinunU 
Gleichung  F{(,  «,  r,  w)  =  0  erfUllen,  ds- 
mit  jene  Punkte  in  einer  und  derselben 
£bene  liegen.  Sind  von  einem  dieser  Gleicb* 
ung  geoDgeoden  Wertsysteme  drei  Werte. 
E.B.  w,  V,  «;,  gegeben,  so  Iftsst  sich  der 
vierte  Wert,  (,  geometrisch  dadurch  finden. 
dass  man  die  zn  den  Werten  w,  v,  te  gehörigen  Punkte  der  betreffenden 
Skalen  durch  eine  Ebene  verbindet  and  den  am  Schnittpunkt  derselben  mii 
dem  Träger  der  vierten  Skala  stehenden  Wert  abliest  Weitere  Veränderliche 
kOnnen  unter  UmstSnden  berQcksichtigt  werden,  indem  man  eine  oder  mehren 
der  Kurven  dnrch  Scharen  solcher  ersetzt* 

•  Koch  nicht  lange  erst  habe  ich  bemerkt,  dass  Auguat  Adler  ethuD 
1866  dieaelben  Gedanken  ausgesproclien  hat  (Wiener  Berichte  Bd.  9*,  3.  Al- 
teilung,  S.  4'23).  Die  Frage,  unter  welcher  Bedingung  eine  gegebene  Funktion  ^ 
einer  derartigen  Behandlung  zugänglich  ist,  bleibt  noch  in  beantworten. 


Kleinere  Mitteilungen.  339 

Im  Torliegenden  Beispiele  sind  zur  Unterbringung  von  u,  v^  w  drei 
»bnlidie  Skalen  (gleichförmige  Teilungen)  mit  gleicher  Längeneinheit 
drei  zu  einander  parallelen  Geraden,  die  wir  die  u-,  v-  und  tc^-Axe 
en  wollen,  benutzt.  (Bei  dem  abgebildeten  Apparate  befinden  sich  die 
nnd  dritte  Skala  an  den  inneren  Kanten  der  ndt  A  und  C  bezeichneten 
rechten  Stabe,  die  zweite  ist  nicht  wirklich  vorhanden,  sondern  in 
Mitte  zwischen  den  beiden  yorderen,  mit  B  bezeichneten  Stäben  zu 
en.  Die  feine  ÖfEhung  in  dem  vomen  sichtbaren  Schieber  kann  auf 
1  Punkt  dieser  gedachten  Skala  mit  Hilfe  der  Skalen  auf  den  Stäben  B 
M  werden.  Die  Nullpunkte  liegen  in  einer  zu  den  Axen  senkrechten 
le.) 

Erteilt  man  den  Nullpunkten  der  genannten  Skalen  die  Gewichte  l,  f»,  v, 
rird  auf  der  durch  ihren  Schwerpunkt  gehenden  Parallelen  zu  den 
a  Yon  der  Ebene,  welche  die  Skalenpunkte  u^  v^  to  yerbindet,  d.h.  auf 
Axen  die  Abschnitte  u,  v^  w  —  die  wir  die  Parallel -Koordinaten  der 
De  nennen  wollen  —  bildet,  das  Stück 

Xu  4-  fiv  4-  VW 
s  ■=  - 


X  +  li  +  v 
eschnitten,  sodass  die  in  i«,  t?,  u;  lineare  Gleichung 

l)  Xu  +  IIV  +  VW  —  (k  +  fl  +  v)  8  ^  0 

teht    Jede  Ebene,  deren  Parallel -Koordinaten  u,  v,  fi?  dieser  Gleichung 
ügen,  geht  offenbar  durch  den  Punkt,  der  durch  die  Zahlen  il,  f»,  v  und 

Abschnitt  s  bestimmt  ist;  l)  ist  die  Gleichung  dieses  Punktes. 

Soll  nun  eine  viergliedrige  Gleichung  mit  der  unbekannten  ^,  etwa 

lin  die  Exponenten  m,  n,  p  bestimmte  Werte    haben,  aufgelöst  werden, 
kann  man  1)  und  2)  in  Übereinstimmung  bringen,  indem  man 

^)  t*  =  a,     t?  =»  5,     w  =  c 

[ 


0  i-r,     (.^tP,     v-l,     s  =  -:^.^,,^l 

rt.  Za  jedem  Werte  von  t  gehört  nach  4)  ein  bestimmter  Punkt  (A,f4,v,«); 
bt  man  t  eine  Reihe  äquidistanter  Werte,  so  liefern  die  zugehörigen 
akte  eine  krummlinige  Skala,  deren  Träger,  wie  leicht  einzusehen  ist, 
'einer  (bloss  von  den  Exponenten  n^p  abhängigen)  Cylinderfläche  liegt, 
lehe  die  u-und  fr-Axe  als  Mantellinien  enthält  (Im  Falle  n=2,  !>— 1 
^ebt  sich  ein  Kreise jlinder,  wenn  als  Querschnitt  des  Axensystems  ein 
achseitiges  Dreieck  genommen  wird.)  Es  genügt  der  zwischen  den  Axen 
gende,  den  positiven  Werten  von  t  entsprechende  Teil  jener  SkaliL 
'em  Apparate  ist  fOr  vollständige  kubische,  einfach  reduzierte  biquadra- 
cbe  und  zweifach  reduzierte  Gleichungen  fünften  Grades  je  eine,  an 
rem  oberen  Bande  mit  der  betreffenden  Skala   versehene,   cylindrisch  ge- 


j 


340  Kleinere  Mitteilungen. 

bogene  Blecbscbabloiie  beigegeben.     Ist  eine  solche  Oleichung  för  gegeii 
Werte    von  a,  2»,  c  aufzulösen,   so   setzt  man   die  richtige  Schablone 
stellt  den  Schieber  anf  den  Punkt  b  der  t;- Skala,   verbindet  die  Ptmkt 
und   c  der   u-   bezw.   «7 -Skala   durch   einen  Faden,   den  man   mit  bei 
Händen  gespannt  hält,  nnd  sieht  durch  die  ö&ung  des  Schiebers  nach 
Faden  hin,  dann  lassen  sich  an  den  scheinbaren  Schnittpunkten  des  Fu 
mit  der  krummlinigen  Skala  die  positiven  Wurzeln  der  Gleichung  abl« 
Etwaige  negative  Wurzeln  ergeben  sich,  wenn  —  t  statt  t  gesetzt  niid 
neue   Oleichung  ebenso   behandelt  wird.)      Im   Falle   einer    Oleichnng 
fünf  Gliedern  t'^+  a<»+  btP+  ct^  +  d -=  0  kann  man 

setzen.  Statt  einer  Kurve  erhält  man  jetzt  eine  Eurvenschar  mit  < 
Parameter  d^  welche  auf  einem,  wieder  durch  die  u-  und  ir-Axe  gdi 
den  Cylinder  liegt.  (Die  Verwirklichung  ist  möglich,  wenn  man  entwd 
den  Faden  vor  dem  Cylinder  so  gespannt  hält,  dass  er,  darch  die  Öm 
des  Schiebers  gesehen,  scheinbar  durch  die  Punkte  a  und  c  der  u-  f« 
1(7- Skala  geht,  oder  einen  durchsichtigen  Cylinder  benützt.  Abzolesen 
an  den  scheinbaren  Schnittpunkten  des  Fadens  mit  der  zum  Werte  <^ 
hörigen  Kurve.) 

Bemerkungen.  Obiger  Apparat  lässt  sich  als  rätmiliche  V 
allgemeinerung  der  graphischen  Tafeln  („Abaques")  von  M.  d'Oc&g 
zur  Auflösung  numerischer  Gleichungen  mit  drei  oder  vier  Gliedern 
sehen*,  die  ihrerseits  durch  Anwendung  des  Prinzips  der  Beziprozitat 
gewissen  Abacus  von  Laianne**  hervorgegangen  sind.  Parallel-Koordinä* 
aber  nur  von  geraden  Linien  in  der  Ebene,  sind  von  K.  Schwering  1^ 
eingeführt***,  von  M.  d'Ocagne  ebenfalls  gefunden  (s.  a.a.O.)  nnd« 
giebig  verwendet  worden,  während  Adler  sie  nicht  erwähnt. 


*  Annales  des  ponts  et  chaussi^eB,  1884,  ä^^e  semestre,  p.  631;  Nomograpi 
Paris  1891;  8.  auch  W.  Dyck,  Katalog  mathematischer  Modelle,  Nachtn 
München  1893,  S.  9,  Nr.  40d. 

**  S.  Dycks  Katalog,  Nachtrag,  S.  8,  40a. 
***  Jahresbericht  für  1874  des  Westfälischen  Provinzialvereins ,  S.  149. 


Beriohtigungeii. 

Seite  245  Zeile  10  v.  0.  lies  (a{^-'^Pa  statt  a)(«-g3)Po, 

246      „     11  V.  0.  lies  tg|  -  i  QB  statt  tg^^QB, 


11 


11 


11 


2        2  ^  "2 

250      „     1  und  2  v.  o.  sind  die  Worte  „allein  oder"  zu  streicht 
258      „     7  V.  u.  streiche  „sind  gleich  lang  und". 


„    266      „    4  V.  u.  letzter  Summand  lies  abc  für  dbc. 


Verzeichnis  von  Abhandlungen 


aus  der 


angewandten  Mathematik 


die  im  Jahre  1897  in  technischen  Zeitschriften 

erschienen  sind. 


Zusammengestellt  von  R.  Melunke. 


Beilage 

zur  Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik 
43.  Jahrgang  1898  4,  u.  5.  Heft. 


Leipzig, 

Verlag  von  B.  G.  Teubner. 

1898. 


Abkürzungen  f&r  die  Titel  der  ausgezogenen  Zeitechriften. 


A.  B.  =  (Wiener)  Allgemeine  Bauzeitung,  62.  Jahrgang. 
A.M.  =  Annales  des  Mines,  9°**  s^rie,  t.  11  et  12. 

A.  P.  Ch,  =  Annales  des  Ponts  et  Chaussöes,  7""  s^rie,  7"»"  ann^e,  I*',  !!»•,  in=* 

et  IV"»*»  trimestre. 

B.  =  The  Builder,  vol.  72. 

C.  B.  =  Centralblatt  der  Bau  Verwaltung,  17.  Jahrgang. 

D.  B.  =s  Deutsche  Bauzeitung,  31.  Jahrgang. 

E.  =  The  Engineer,  vol.  84. 

Sg.  =  Engineering,  vol.  48  and  vol.  44. 

N.  A.  C.  =  Nouvelles  Annales  de  la  Construction,  5*BÖrie,  t.  4  (43*  ann^e). 

P.  J.  =  (Dinglers)  Polytechnisches  Journal,  Bde.  803,  304,  805  und  306. 

Soh'w.  B.  =  Schweizerische  Bauzeitung,  Bde.  29  und  30. 

Z.  A.  I.  =  Zeitschrift  für  Architektur  und  Ingenieurwesen,  Bd. 43  (neue  Folge Bd.^). 

Heft -Ausgabe. 
Z.  B.  =  Zeitschrift  für  Bauwesen,  Jahrgang  47. 
Z.  I«  =  Zeitschrift  für  Instrumentenkunde,  17.  Jahrgang. 
Z.  ö.  I.  A.  V.  r=  Zeitschrift  des  österreichischen  Ingenieur-  und  Architekten -Vereins, 

49.  Jahrgang. 
Z.  V.  =  Zeitschrift  für  Vermessungswesen,  Bd.  26. 
Z.  V,  D,  I.  =  Zeitschrift  des  Vereins  Deutscher  Ingenieure,  Bd.  41. 
V.  V.  Q.  =  Verhandlungen  des  Vereins  für  Gewerbfleiss ,  Jahrgang  76. 


Abbildungeii. 

W. Jordan,  Zar  Theorie  der  konformen  Projektionen,  Z.V.,  S.  146  — 148. 
A. Elingatsch,  Zur  ebenen  rechtwinkeligen  Abbildung  der  Soldnerschen  Koor- 
dinaten, Z.V.,  S.  481—436. 

Akustik. 

A.Starmhoefelf  Centralbaa  oder  Langhaus?    Eine  Erörterung  der  Schallver- 
hältnisse in  Kirchen,  Z.B.,  8.830—846. 

Ausflussmenge,  s.  Hydrodynamik. 

Ausgleiohuiigsreohnuxigy  Fehlertheorie. 

Ad.Blümcke,  Zur  Jordanschen  Theorie  des  Maximalfehlers,  Z.V.,  S.  61— 64, 
276  —  281,661—662. 

P  aller,  Polygonometrische  Berechnungen  mit  Nebenbedingungen,  Z.V.,  S.  208  —  218. 

C.Ran^e,  Zur  Methode  der  kleinsten  Quadrate,  Z.V.,  S.  464 — 466. 

P&alLblich,  Staüons -Ausgleichung  von  nicht  voUkonmien  symmetrischen  Be- 
obachtungssätzen nach  der  Besselschen  Methode,  Z.V.,  S.  466 — 480. 

Balken,  s.  Elastizitäts  -  und  Festiffkeitslehre. 
D am p f m aschinen,  s.  Reibung ,  Tafeln  (graphische),  Wärmetheorie. 

Blookwerke. 

Martin  Boda,  Die  Stromlauf- Formeln  und  ihre  Anwendung  zur  Schaltung 
Siemenascher  Blockwerke,  Z.Ö.I.  A.V.,  S.  620  —  624,  634  —  636, 647—662,  664 
bis666. 

Brücken,  s.  Elastizitäts-  und  Festigkeitslehre. 
Dampf cylinder,  s.  Wärmetheorie. 
Dampfmaschinen,  s.  Dynamik,  Reibung,  Tafeln  (graphische),  Wärmetheorie. 
Druckverteilung,  s.  Elastizitäts  -  und  Festigkeitslehre. 

Dynamik. 

K.  Grögler  und  A.  Ulbrich,  Das  Anlaufen  der  Fördermaschinen  aus  jeder  Kurbel- 

stellung,  Z.V.D.I.  S.  974  — 976. 
P^ichardKnoller,  Die  Massenwirkungen  der  Dampfmaschinen  und  ihre  Balan- 

ziemng,  Z.Ö.I.AV.,  S.  277  — 281. 
H.Lorenz,  Die  Massenwirkungen  am  Kurbelgetriebe  und  ihre  Ausgleichung  bei 

mehrkurbligen  Maschinen.  Z.V.D.I.,  S.  998—1008,1026—1031  (Bemerkung 

dazu  von  R.  KnoUer  und  Erwiderung  von  H.Lorenz,  S.  1371). 
Moriz  Kohn,    Ermittelung   des  Ungleichförmigkeitsgrades  von  Dampfmaschinen, 

Z.Ö.I.  A.V.,  S.  161—168;  s.  auch  Reibung. 
Kinfluss fläche,  Einflusslinien,  s.  Elastizitäts-  und  Festigkeitslehre,  Statik. 

BlaBtiBitftts-  und  Festigkeitalehre. 

-  n.,  Der  Begriif  der  Elastizität,  C.B.,  S.  68.  —  A.  Föppl  und  Fr.  En^esser, 
Zorn  Begriffe  der  Elastizität,  ebenda  S.  102— 108.  —  Kirsch,  tber  die 
Bestimmung  der  Elastizität  fester  Körper,  ebenda  S.  170—171.  —  Fr. 
Engesser,  Zum  Begriffe  der  Elastizität,  ebenda  S.  204. 

'Bach,  Untersuchungen  von  Granit  in  Bezug  auf  Zug-,  Druck-,  Biegungs-  und 
Schubfestigkeit,  sowie  in  Hinsicht  auf  ^ug-,  Druck-  und  Biegungselastizität. 
Allgemeines  Gesetz  der  elastischen  Dehnungen,  Z.V.D.I.,  S.  241— 262. 

A.  Föppl ,  Die  Zugfestigkeit  des  Cements,  C.B.,  S.  6  — 8.  (Bemerkung  dazu  von 
K.Dfimmler,  S.  28,  Entgegnung  von  A.  Föppl,  S.  43.) 


4       Verzeichnis  von  Abhandlungen  aus  der  angewandten  Mathematik  u.s.w. 

W.  Carling,  Zur  Berechnung  der  Betonbalken,  Z.Ö.I.A.V.,  S.  163— 164.  (Nach- 
trag S.  166  —166 ;  Erwiderung  von  A.  Föppl,  S.  166 ;  Bemerkung  von  A.  Harnisch, 
S.  191.) 

Fr.  v.  Emp erger,  Zur  Theorie  der  verstärkten  Betonplatte,  Z.Ö.I.A.V.,  S.  Sol 
bis  366,364  —  367,402. 

B.  Latowsky,   Die  Biegungselastizität   bei   Körpern   von   ungleicher  Festigkeit, 

Z.V. D.I.,  S.  941— 943. 
Bruno   Schulz,   Beitrag  zur  Biegungsfestigkeit ,  C. B. ,  S.  264  —  266  (Bemerkimg 

dazu  von  H.  Reissner,  ebenda  S.  616;  Entgegnung  von  Bruno  Schulz,  ebenda 

S.  528). 
M.  R.  v.  Thullie,  Über  die  Berechnung  der  Monierplatten ,  Z.Ö.I.  A.V.,  S.  193—197. 
B.F.Mayer,  Über  die  Bedingungen  einer  gleichförmigen  Druckverteilung  in  den 

Fundamenten ,  Z.  ö.  I.  A.V.,  S.  116  —118. 
Josef  An t.  Spitzer,   Druckverteilung    in  gebrochenen  Fundamentflächen,  Zu 

I.A.V.,  S.  96  —  97  (Bemerkungen  dazu  von  Melan,  S.  129,  187;  Entgegnungen 

von  Spitzer,  S.  162  —  153,  187). 
M.  Grübler,    Der   Spannungszustand    in    Schleifsteinen    und  Schmirgelscheiben. 

Z.V.D.I.,  S.  860  —  864. 
Hof  mann.  Die  Spannungen  in  auf  Biegung  beanspruchten  Stein-  oder  Beton- 
platten,  D.B.,  S.  638  — 639. 
H.,  Spannungsverteilung  im  Mauerwerk,  D.B.,  S.  438. 
G.  Lang,  Spannungsverteilung  im  Mauerwerk,  sowie  bei  anderen  Baustoflen  mit 

wechselndem  Elastizitätemaß,  D.B.,  S.  58  — 69. 
Joh.  Hermanek,    Einfluss   von  Temperaturschwankungen   auf  Beton -Eisenkon- 
struktionen, Z.Ö.I.A.V,,  S.  694— 696. 
Md.  Kinkel,  Einflusslinien  des  gelenklosen  Bogens,  Schw.B.,  Bd. 30,  S.  142— US. 

161—163,  163—166. 
Mehrtens,  Summen- Einflusslinien  und  A- Polygone,  C.B.,  S.  178— 179. 
Franz  Podhajsk^,  Beitrag  zur  Lehre  von  den  Belastungs- Äquivalenzen,  Z.Ö.I 

A.V.,  S.  377—381,  393  —  397. 
Fritz  V.  Emperger,  Die  Knickfestigkeit  in  Theorie,  Versuch  und  Praxis,  Z.Öi 

A.V.,  S.661— 664,  677—682,  695  —  698  (Bemerkungen  dazu  von  L.  v.  Tetmajer. 

A.  Ostenfeld,  Rudolf  Bredt,  Prof.  Melan,  A.  J.Du  Bois,  Mansfield,  Merriman. 

R.F.Mayer,  Prof. Brik,  S.  708— 717,  722—726;  Erwiderung  von  F.  v.Empei^r. 

S.  726  —  780). 
—  Z.— ,  Die  Eulersche  Knickformel,  C.B.,  S.  440. 

C.  Bach,  Untersuchungen  über  die  Formänderungen  und  die  Anstrengung  flacher 

Böden,  Z.V.D.L,  S.  1157— 1163,  1191—1197,  1218—1226. 
A.  Föppl,  Versuche  über  die  Elastizität  des  Erdbodens,  C.B.,  S.  276  —  278. 
Dupuy  et  Cuönot,  Bartoes  destin^s  ä  faciliter  le  calculs  des  ponts  mötalliqn»'! 

ä  une   ou   plusieurs   trav^es,    2®  partie,    poutres    continues,   A,  P.  Ch.,  IE, 

p.  91— 270. 
Fr.  Engesser,  Über  die  Angriffe  eiserner  Balkenbrücken  auf  Pfeiler  und  Wider- 
lager, C.B.,  S.  341— 346. 

Über  Gitterträger,  Schw.B.,  Bd.  29,  S.  24. 

L.  Geusen,    Beitrag   zur  Berechnung   des    Zweigelenkbogens   unter  Einwirlrant: 

wagerechter  und  schräger  Kräfte,  Z.Ö.I.A.V.,  S.  667 — 661. 
A.  Meves,  Beitrag  zur  Frage  der  Querschnittsermittelung  kontinuierlicher  Blech- 
balken, Z.V.D.L,  S.  166—169. 
G.  Rogie,   Note   sur  la  recherche   des   efforts  maxima  developpes  en  un  poini 

dans  une  poutre  horizontale  a  une  travde  par  le  passage  d'untrain,  A.P.Ch. 

II,  p.  313  —  333. 
A.  Zschetzsche,  Berechnung  von  Bogenbrücken  bei  Wirkung  seitlicher  Knift»', 

Z.A.I.,  S.  242— 291. 
Bamisch,  Ermittelung  der  Spannkräfte  in  den  Wandgliedem  eines  ebenen  Facb- 

werkbalkens,  C.B.,  S.  488,  611. 
Robert  Land,  Die  Einflussfläche   der   Spannkraft  eines  Z wisch enstabea  fiir  ein 

einfaches  Fachwerk,  C.B.,  S.  466  — 468,  490. 
M.  Westphal,  Berechnung  der  Festigkeit  loser  und  fester  Flansche,  Z.V.D.L, 

S.  1036-1042. 
H.,  Zur  Konstruktion  mit  Erde  hintcrfüUter,  symmetrischer  Brückengew^ölbe,  D.B. 

S.26  — 28. 


Verzeichnis  von  Abhandlungen  aus  der  angewandten  Mathematik  u.s.w.       5 

H.,  Das  Hohlgewölbe  im  Brückenbau,  D.B.,  S.  210  —  211. 

Joh.  Hermanek,  Einfluas  von  Temperaturschwankungen  auf  Gewölbe,  Z.Ö.I.A.V., 

S. -419  — 427. 
Joh.  Her  man  ek,   Einfluas  geneigter  Xiveletten  auf  symmetrische  Gewölbe,  Z.ö. 

I.A.V.,  S.666  — Ö67. 
Tourtay,  Note  snr  le  calcul  de  la  pouss^e  des  voütes,  A.P.Ch.,  11,  S.  334  — 341. 
M.  Tolle,  Die  steife  Kettenlinie,  Z.V. D.I.,  S.  865  — 860. 
Laigi  Vianello,  Die  Doppelkonsole,  Z.V.D.I.,  S.  1276  — 1279. 
Pelletreau,  Memoire  sur  les   profils   des  barrages   en  ma9onnerie,  A.P.Ch.,  I, 

p.  90—192. 
Pu  1 1  e r ,   Zur  Querschnittberechnung  trapezförmiger  Stützmauern ,  C.  B.,  S.  182 — 183. 

S.  auch  Maßstäbe,  Momente,  Statik. 

Erddruck. 

H.  Engels,    Zur    Frage   der  Richtung   des    Erddrucks    auf  Stützmauern,   C.B., 

S.  144—146. 
Adolf  Francke,  Der  Erddruck  der  Stützwände,  Z.A.I.,  S.  338  — 351. 
Bruno  Schulz,  Beitrag  zur  Theorie  des  Erddrucks ,  Z.  A. I.,  S.  626  —  643. 

lESrdgestalt. 

J.  Luroth,   Über  die  Bestimmung  der  Erdgestalt  durch  Verbindung  von  astro- 
nomischen und  geodätischen  Messungen,  Z.V.,  S.  607 — 614. 

Fach  werk,  s.  Statik. 
Fehler,  s.  Ausgleichungsrechnung. 
Festigkeitslehre,  s.  Elastizität s-  und  Festigkeitslehre. 
Fördermaschinen,  s.  Dynamik. 

Geodäsie. 

L.  Krüger,  Zur  Theorie  rechtwinkliger  geodätischer  Koordinaten,  Z.V.,  S. 441— 453. 
Albert  Schreiber,  Zur  Transformation  Soldnerscher  Koordinaten,  Z.V.,  S.321-327. 

S.  auch  Abbildungen,  Erdgestalt. 

Geschichte  der  Mathematik  ^  Biographien. 

E.  Hammer,  Altbabylonischer  Felderplan,  Z.V.,  S.  681— 684. 
W.  Jordan,  Bohnenberger  (mit  Bild),  Z.V.,  S.  417— 431. 

Die  Leibnizsche  Rechenmaschine,  Z.V.,  S.  289  —  316. 

J.>hann  Christian  Nehls  f  (mit  Bild),  C.B.,  S.  411. 

Gewölbe,  s.  Elastizitilts-  und  Festigkeitslehre. 

Gezeiten. 

Bubendey,   Der  Einfluss   des  Windes   und   des  Luftdruckes   auf  die  Gezeiten, 
C.B.,  S.  441— 442. 

Hebedaumen. 
—  c.    Form  der  Hebedaumen,  P.J.,  Bd. 303,  S. 202  — 205. 

Hydrodynamik,  Hydraulik,  Hydrographie. 

H.  Bazin,   £tude  d'une   nouvelle  formule  pour  calculer  le  dt^bit  des  canaux  d^^ 

couverts ,  A.  P.  Ch  ,  IV,  p.  20  —  70. 
E.  Melli,    Bestimmung    der  Wassergeschwindigkeit    in   Druckleitungen,   Seh.  B., 

Bd.  30,  S.  184— 136. 
Fritz  Löwenstein,   Wasserleitung  mit  konstantem  Druckverluste,   Z.Ö.I.A.V., 

S.48Ö  (Erwiderung  auf  einen  Aufsatz  von  Rob.  Bobretzky,  S.436 — 437). 
H.  Jaamnnd,    Die  Veränderung    der  Geschwindigkeiten    im   Querschnitte  eines 

Stromes,  Z.B.,  S.  303  — 328,  465  —  472,  685  —  610. 
H.,  Einiges  über  die  Bemessung  der  Lichtweite  von  Flussbrücken,  D.B.,  S.  599. 
Fr.  J eben 8,  Die  Schwankungen  des  Wasserspiegels  in  bewegten  Schleusentrögen, 

D.B.,  S.166. 
E.  Heubach,  Das  Gesetz  des  SchiiFswiderstandes ,  D.B.,  S.467— 470,  479  — 482,  504. 
W,  Riebn,  Bemerkungen  zu  der  Berechnung  des  Schitfswiderstandes ,  Z.Ö.LA.V., 

S.  232  — 233    (Antwort    von    Th.  Maryniak,    S.  384  — 385,    Entgegnung   von 

W.  Riehn,  S.464). 


Q       Verzeichnis  von  Abhandlungen  aus  der  angewandten  Mathematik  u.s.^w^. 

E.  Henbach,  Ein  Beitrag  zur  Wasserstandsvorhersage,  D.B.,  S.370  —  374,  440. 

S.  auch  Schiffsbau,  Tafeln  (graphische). 

Kettenlinie,  s.  Elastizitäts-  und  Festigkeitslehre. 

Koordinaten,  s.  Abbildungen,  (Geodäsie. 

Krempeln,  s.  Technologie. 

Kurbelgetriebe,  s.  Dynamik. 

Kurven. 

<r.  Fuders  eher,  Einführung  von  Parallelgeleisen  in  eine  bestehende  Kurve, 
Schw.B,,  Bd.  29,  S.93  — 94. 

S.  auch  Zeicheninstrumente. 
Logarithmen,  s.  Tafeln  (graphische  und  numerische).  i 

Lokomotiven,  s.  Stabilität ,  Wärmetheorie. 

Magnetismus. 
(■.  Klingenberg,   Längenänderung  und  Magnetisierung  von   Eisen   und    Stabil 
V.V.G.,  S.  124— 165. 

Mafsstäbe. 
K.  Land,  Über  die  Maßstäbe  bei  der  zeichnerischen  Lösung  technischer  Aufgaben, 
Z.A.L,  S.  291  — 802. 

Messlnstrumente. 

Jobs.  A.  F.  Enffel,  Ein  neuer  Apparat  zur  Bestimmung  der  Unregelmässigkeiten 
von  Drehbewegungen,  P.J.,  Bd. 303,  S. 207  — 212. 

H.  Fahlenkamp,  Druckwechsel -Diagrammapparat  für  Kurbelzapfen  im.  Betrieb 
befindlicher  Maschinen,  V.V.G.,  S.  66  — 68. 

A.  Kliegner,  Ein  neues  Momentenplanimeter,  Schw.B.,  Bd.  29,  S.  136 —  138.  (Be- 
merkungen dazu  von  J.  Amsler-Laffon,  S.  146  — 147;  Erwiderung  von 
A.  Fliegner,  S.  147.) 

K,  Hammer,  Neue  Kontrollschienen  für  gewöhnliche  Polarplanimeter ,  Z  I 
H.  116  —  116;  D.B.,  S.  434 -436. 

(iiiu.  (j.  Henning,  Tragbarer  Arbeitszeichner,  Z.V.D.I.,  S.  1230  — 1231. 

4,  Lnroth,  Ein  Instrument  zur  Messung  von  Potentialdifferenzen,  Z.V.,  S.  15 17.  i 

Momente. 

L.  (htuHi'.n,  Zur  Berechnung  von  statischen   und  Trägheitsmomenten   von  Walz- 

Profilen ,  Z.  V.  D.  L,  S.  972  -  973.  i 

11.  Land,  Die  Häulenmomente  als  Darstellung  der  Flächeumomente  zweiter  Ord> 
riimg  und  ihre  einfache  Anwendung  in  der  Mechanik  und  Festigkeitslehre 
Z.V.D.L,  H.  1246  —  1252. 

Nietverbindungen,  s.  Reibung. 
Komographie,  s.  Tafeln,  graphische. 

Optik. 

li.  Steinbeil,  Über  die  Berechnung  zweilinsiger  Objektive,  Z.L,  S.  338 — 344. 

Planimeter,  s.  Messinstrumente. 
Polygone,  regelmässige,  s.  Zeicheninstrumente. 

Fotentialtheorie. 

Holzmüller,  Mechanisch -technische  Plaudereien,  Z.V.D.I  ,S.  218—222,  2ö7 260 

706—712,  747-762,  1146-1150.      . 

Projektionen,  s.  Abbildungen. 

Froportionierung. 

W.  R.  Corson,  The  use  of  practical  geometry  in  designing  buildings,  B.I,  p.53__57. 

W.  Schultz,  Der  Tempel  der  Diana  Propylaea  zu  Eleusis.  Darlegung  der  Har- 
monie seiner  Verhältnisse,  des  in  seinen  Abmessungen  enthaltenen  Zahlen- 
systems, der  geometrischen  Grundlagen  seiner  Gestaltung  und  des  zum 
Zwecke  der  Froportionierung  eingeschlagenen  Verfahrens,  A.B.,  S.  16 5» 

Rechen -Instrumente  und  -Masohinen. 
Arthur  Burkhardt,  Die  Leibnizsche  Rechenmaschine,  Z.V.,  8.892  —  398. 
Sliderule  for  investors,  Eg,  vol.  43,  p.  176. 


VerzeichniB  von  Verhandlungen  aus  der  angewandten  Mathematik  u.b.w.       7 

B.   Sreanewskj,   Der  barometrische  Rechenstab   (hypsometrisches  Lineal),   Z.I., 
S.  385  — 388,    —     B.  auch  Geschichte  der  Mathematik. 

Beohnen^  numerisches. 

Robert  Ijand,  Über  den  Gebrauch  der  Rechentafel  von  Dr.  H.Zimmermann,  C.B^ 
S.  297 — 298,    —     8.  auch  Trigonometrie. 

Begn^atoren. 

Herrn.  Härtung,  M.  Tolle,  Richard  Knoller,  Beiträge  zur  Beurteilung  der 
Centrifugalpendelregulatoren ,  Z.  V.  D.  I.,  S.  288  —  289, 414 — 416. 

Reibung. 

HerTnann  Brauner,  Ein  Beitrag  zur  Beurteilung  der  zusätzlichen  Reibung  bei 

Dampfmaschinen,  Z.V. D.I.,  S.  1340  -1848. 
Untersuchungen  über  den  Reibungs widerstand  von  Nietverbindungen ,  Z.  V.  D.  I., 

S.  739—747,768—774. 

Schaltung,  s. Blockwerke. 

Sohieberdiagraxnm. 
F.  A.  Brix,  Das bizentrische  polare  £xcenterschieberdiagramm,Z.y.D.I.,S. 481 — 484. 

Schiffsbau. 

* 

J.  Kleen,  Konstruktion  von  Schiffsschrauben,  Z.V.D.L,  S. 690  — 591. 
Sir  £dwardJ.  Reed,  Advances  made  in  the  mathematical  theory  of  Naval  Archi- 
tecture,  E.,  p.  67— 68, 80  — 81, 119,    —    s.  auch  Hydrodynamik,  Stabilität. 

Schneckengetriebe. 

K.  Stribeck,  Versuche  mit  Schneckengetrieben  zur  Erlangung  der  Unterlagen  für 
ihre  Berechnung  und  zur  Klarstellung  ihres  Verhaltens  im  Betriebe.  Zahn- 
form und  Eingriffverhältnisse  der  Getriebe,  Z.V.D.L,  S.  986  — 941,968— 972. 

Sohwing^ungen. 

TV".  Ritter,  Die  Schwingungen  des  neuen  Kirchturms  in  Enge,  Schw.B.,  Bd.  29, 
8.42  —  44,48—52. 

Spannungen,  s.  Elastizitäts-  und  Festigkeitslehre,  Statik. 

StabiHtät. 

H.,  Zur  Standsicherheits-Untenuchung  gewölbter  Brücken,  D.B.,  S.408--404. 
Maarice  Lävy,  Sur  les  diverses  mam^res  d'appliquer  la  r^gle  du  trap^ze  au 

calcul  de  la  stabilit^  des  barrages  en  ma9onneries,  A.P.äi.,  IV,  p.  5 — 19. 
J.  Nadal,  Th^rie  de  la  stabilitä  des  locomotives,  A.P.Ch.,  m,  p.  271— 811. 
A.  Schromm,  Über  verschiedene  Methoden  der  Stabilitätsbestimmung  von  Schiffen, 

Z.Ö.I.A.V.,  S.  509—614,  619  —  526,  684-638. 

Statik  (insbes.  graphische). 

Kmil  Bittner,  Einflusslinien  für  die  Spannungen  der  Gitterstäbe  beim  Parabel- 
träger, Z.Ö.I.A.V.,  S.  449  — 460. 
F.  Bohny,  Die  inneren  Stabkräfte  eines  belasteten  Fachwerkringes,  graphisch 

ermittelt,  Schw.B.,  Bd.  29,  S.  142—145. 
Hisely,  Methode  pour  Tanalyse  des  lignes  d'influence  ezpdrimentales,  A.P.Ch., IV, 

p.  207— 218. 
A.  Hübner,    Bemerkungen    über   räumliches   Fachwerk,  Z.V.D.L,  S.  477— 482. 

(Bemerkungen   dazu   von  R.  K  oh  fahl   und  Erwiderung  von  A.  Hübner, 

S.  632  — 636.) 
Ramie ch,  Entwurf  des   Seilecks  von  einem  System  in   einer  Ebene  wirksamer 

Kräfte,  welches  durch  drei  gegebene  Punkte  der  Ebene  geht,  C.B.,  S.  491. 
F.  BoBskothen,  Beitrag  zur  synthetischen  Untersuchung  der  Normal -Spannungen 

in  geraden  Stäben,  D.B.,  S.  443— 448. 

Steig^ung. 

Bonhomme,  Determination  de  la  d^clivite  maximum  ä  adopter  pour  franchir 
les  grandes  hauteurs,  A.P.Ch.,  11,  p.  369— 376. 

Stromlauf,  s. Blockwerke. 
Stützmauern,  s.  Elastizitäts  -  und  Festigkeitslehre,  Erd  druck. 


g       Verzeichnis  von  Abhandlungen  aas  der  angewandten  Mathematik  u.  b.  'w. 

Tafeln,  graphische. 
G.  Darios,  Application  de  la  Nomographie  au  calcul  des  conduites  d'eau  d'a|>r^' 

la  formule  de  M.Maurice  L^vy,  N.A.C,  p.  113— 118,  PI.  33. 
Eateau,  Abaquedes  consommations  th^oriques  d'une  machine  ä  vapeur  et  Donvelle 

loi  relative  ä  la  vapeur  d'eau,  A.M.,  1. 11,  p.  242  —  249. 
Anton  Tichy,  Graphische  Logarithmentafeln,  Z.Ö.I.A.V.,  S. 289— 290. 

Tafeln  y  niunerisehe. 
H.  Sossna,  Tafelberichtigungen  (Fehler  in  Schuberts  5 stelliger  Logarithmentafel . 
Z.V.,  S.  405  — 406. 

Technologie,  mechanische. 
Hermann  Fischer,  Die  Grösse  der  Widerstände  gegen  das  Abheben  von  Metall- 

spanen,  Z.V.D.L,  S.  504  — 508. 
Alfred  Haussner,  Die  Theorie  des  Krempeins,  P.J.,  Bd.  305,  S.  68  —  63,  84  —  86, 
105—109,  132—135,  159—161,  181—184. 

Tractoriograph,  s.  Zeicheninstrumente. 

Träger,  s.  Elastizität«-  und  Festigkeitslehre,  'Statik. 

Transcendente  Zahlen,  s.  Zeicheninstrumente. 

Trigonometrie  und  Folygonometrie. 
Füller,  Allgemeine  analytische  Lösung  für  die  Aufgaben  der  trigonometiiscben 

Punktbestimmung, "^Z.V.,  S.  835  — 342. 
H.  Sossna,  Auflösung  der  Aufgabe  der  beiden  Punktgruppen  mittelst  Mascliine 
und  numerisch -trigonometrischer  Tafel,  Z.V.,  S.  649  —  661; 

s.  auch  Ausgleichungsrechnung, 
üngleichförmigkeitsgrad,  s.  Dynamik. 

Wärmetheorie. 

Ugo  Ancona,  Das  Wärmediagramm  der  gesättigten  Dämpfe  und  seine  An^vrendun^ 
auf  Heiss-  und  Kaltdampfmaschinen,  Z.V.D.L,  S. 447  —  451,  649  —  556. 

A.  Fliegner,  Der  Übergang  der  Wärme  zwischen  dem  Dampf  und  den  Wandungen 
der  Dampfcylinder,  Schw.B.,  Bd.  29,  S.  56  —  69,  66  —  68,  74  —  77,  96. 

J.  Hartmann,  über  einen  Satz  der  Thermometrie,  Z.I,  S.  14  —  20. 

Fritz  Krauss,  Der  Diesel-Motor  und  der  Camotsche  Kreisprozess ,  Z.V.D.L,  S.  1239. 

Leitzmann,  Berechnung  der  Verbundlokomotiven  und  ihres  Dampfverbranches. 
Z.V.D.L,  S.  1365  —  1359,  1392  —  1396. 

H.Lorenz,  Kälteerzeugung,  Z.V.D.L,  S.  47— 51,  70  — 74. 

E.Meyer,  Die  Beurteilung  der  Kreisprozesse  von  Wärmekraftmaschinen    mit  be- 
sonderer Berücksichtigung  des  Diesel -Motors,  Z.V.DJ.,  S.  1108  — 1114. 

R.  MoUier,  Über  Wärmedurchgang  und  die  darauf  bezüglichien  Versuchsergebnisse. 
Z.  V.  D.  L,  S.  153  — 162, 197  —  202 

J.  Nadal,  Theorie  math^matique  de  la  machine  ä  vapeur.     Action   des    parois. 
AM,  p.  297— 349. 

A. Seemann,   über  Heissdampfmaschinen ,    Z.V.D.L,  S.  1402—1410,  1433 — 1439, 
1464  —1467. 

Siegert,  Neuere  Berechnungsweisen  von  Dampfkesselteilen  und  Untersuchung- 
verfahren  für  Dampfmaschinen,  Z.V.D.L,  S.  23 — 26. 

A.  Wöhler,  Die  Wirksamkeit  der  Heizrohre  in  Lokomotivkesseln,  Z.V.DI., 
S.  1078— 1080. 

Wassergeschwindigkeit,  Wasserstand,  s.  Hydrodynamik. 
Wurzeln  (Quadrat-  und  Kubik-),  s.  Rechnen,  numerisches 

Zeicheninstrumente. 

Ljubomir  Kleritj,  Tractoriograph  und  Konstruktion  der  transcendent^n  Zahlen 
„w"  und  „c",  sowie  Konstruktion  dem  -  seitigen ,  dem  Kreise  eingesckriebenen 
regelmässigen  Polygone,  P.J.,  Bd.  306,  S.  234  — 237,260  — 263. 

G.Rebicek,  über  einen  Eikurvenzeichner,  Z.J.,  S.  289  — 292. 


Druck  von  B.  G.  Teu>»ner  in  Dresden. 


Historisch-litterarischc  Abteilung 


der 


eitschriß  für  Mathematik  und  Physik 


herausgegeben 


unter  der  verantwortlichen  Redaktion 


TOB 


Dr.  R.  Mehmke  und  Dr.  M.  Cantor. 


43.  Band. 


Mit  in  den  Text  gedruckten  Figuren. 


Leipzig, 

Verlag  von  B.  G.  Teubner. 
1898. 


Dinek  TOn  B.  O.  Teubner  in  Breidea. 


Inhalt. 


L  Abhandlungen.  ^*^ 

erbing,  die  Schreibweise  Amper  betreffend.    Von  G.  Helm 1 

lits  Observatio  zum  Satze  des  Nikomachus.    Von  G.  Webtheim  ....  41 
^Tractatas  de  Abaco^^  aus  der  Wende  des  XII.  und  XÜI.  Jahrhunderts. 

Von  M.  CüBTEE 182 

is  Papin.    Von  E.  Hetdenbeich 130 

Baufgabe  der  Jablonowskischen  Gesellschaft 81 

e  Verleihung  des  Lobatchefsky- Preises 121 


n.  Rezensionen. 

Geschichte  der  Mathematik. 

Bttröm,  Bibliotheca  Mathematica,    Von  M.  Cantor 48 

licua,  Die  Geschichte  der  Rechenkunst.     Von  M.  Cantor 48 

isieme  centenaire  de  la  naissance  de  Descartes.     Von  M.  Cantob  ....  49 

»perger,  Christian  Wolffs  Verhältnis  zu  Leibniz.     Von  M.  Cantor  ...  60 

tf,  Nildaus  Blauner.    Von  M.  Cantor 51 

*icl,  Representation  analytique  de  la  direction.    Von  M.  Cantor     ...  61 
Mersen  und  v.  Oetüngen,   Fortsetzung  von  Poggendorffs  Biographisch- 
litterarischem  Handwörterbuch.     Von  M.  Cantor 98 

"na,  Das  Delische  Problem  lü.    Von  M.  Cantor 99 

^r,  Onmdzüge  der  Geschichte  der  Naturwissenschaften.    Von  M.  Cantor  160 
•arauoh,  Geschichte  der  darstellenden   und  projektiven  Geometrie.    Von 

M.  Cantor 161 

■^  Ball  (FitB- Patrick),  R^cr^ations  et  problämes  math^matiques.    Von 

M.  Cahtor 206 

littbert,  Mathematische  Mußestunden.     Von  M.  Cantor 206 

*fj  Der  Mathematiker  Jakob  Steiner  von  Utzenstorf.     Von  M.  Cantor  .     .211 

PhUosophie,  Didaktik. 

*bel,  Die  Zahl  und  das  Unendlichkleine.    Von  R.  Fbickb 26 

•^t,  La  mathämatique.    Philosophie.     Enseignement.    Von  M.  Cantor  .  208 

Arithmetik,  AiudysiSy  Algebra. 

•fpi«,  Primi  elementi  della  teoria  dei  numeri.    Von  R.  Fricke      ....  26 

J«W,  Lehrbuch  der  Algebra  H.    Von  R.  Fricke 26 

^)  Vorlesungen  über  Algebra.    Von  R.  Fricke 83 

*''«a»a  und  Woodwardy  Higher  mathematics.    Von  R.  Fricke  ....  42 


IV  Inhalt 

Stahl;  Theorie  der  Abelschen  Funktionen.    Von  R.  Fbickx 

Klein  (Laufi^el);  Conferences  aar  les  mathämatiques.  Von  P.  Stackbi.  .  . 
Kiepert;  Grundriss  der  Differential-  und  Integralrechnung.  Von  M.  Caxtob 
Fricke;  Hauptsätze  der  Differential-  und  Integralrechnung.  Von  M.  C^ktoi 
Serret  (Bohlmann);  Differential-  und  Integralrechnung.  Von  M.  Cahtob 
Schlesinger;  Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen  11,  i.   Von  L.Hefftei 

Fflieg^er;  Elemente  der  Arithmetik.    Von  £.  Jahnkk 

Soh'wering;  Sammlung  von  Aufgaben  aus  der  Arithmetik.  Von  E.  Jahhkk  . 
Bürklen;  Formelsammlung  und  Bepetitorium  der  Mathematik.  Von  E.  Jabsu 
Grohmann;   Zur  Auflösung  der  allgemeinen  Gleichung  des  dritten  Grade« 

Von  E.  Jahnke 

Isenkrahe;  Das  Verfahren  der  Funktions Wiederholung.    Von  W.  Heyhass 
Appell  et  Laoour;  Principes  de  la  thdorie  des  fonctions  elliptiques.    Voo 

R.  Friokb 

Markoff  (Friesendorf  und  Frümm);  Differenzenrechnung.  Von  R.  Fbico 
Paaoal;  Calcolo  delle  variazioni  e  calcolo  delle  differenze  finit«.  Von  R.  Fbicse 
Krauae;  Doppeltperiodische  Funktionen  einer  Veränderlichen  n.  VouR.Fbicu 

Leopold  Kronecker  (Hensel);  Werke.    Von  G.  Lanosberq 

Gundelflnger;  Tafeln  zur  Berechnung  der  reellen  Wurzeln  sämtlicher  trino- 

mischer  Gleichungen.    Von  E.  Jahnkb 

Sporer;  Niedere  Analysis.    Von  E.  Jahbkb 

Bendt;  Katechismus  der  Differential-  und  Integralrechnung.    Von  E.  Jahiteb 

Koppe ;  Arithmetik  und  Algebra     Von  E.  Jahbkr 

Winter;  Algebra.    Von  E.  Jahhke 

Burkhardt;   Einführung   in  die  Theorie  der  analytischen  Funktionen  einer 

komplexen  Veränderlichen.    Von  M.  Ebausb 

Baker;    Abels  theorem  and  the   allied  theory  including  the  theory  of  tbe 

theta  functions.    Von  M.  Kbausb 

Fioard  et  Simart;  Theorie  des  fonctions  alg^briques  de  deux  variables  inde- 

pendant-es.    Von  M.  Noetheb 

Frischauf;  Vorlesungen  über  Kreis-  und  Kugelfunktionenreihen.   Von  R.  Fbicii  I 

Laguerro;  Oeuvres.    Von  E.  Jahnke 

ViUiö;  Compositions  d'analyse,  cin^matique,  m^canique  et  astronomie     Vou 

E.  Jahbke  

Lamb;  An  elementary  course  of  infinitesimal  calculus.    Von  M.  CAirroB    .  • 

Beman  und  Smith;  Higher  Arithmetic.    Von  M.  Cantob 

HauBsner;  Tafeln  für  das  Goldbachsche  Gesetz.    Von  M.  Cantob 

Wolfgangi  Bolyai  de  Bolya;  Opera.    Von  M.  Cantob 

Evariste  GaloiS;  Oeuvres  mathtoatiques.    Von  M.  Cantob 
Schubert;  Fünfstellige  Tafeln  und  Gegentafelu.    Von  M.  Cantob      .    . 
SohiQtB;  Vierstellige  mathematische  Tabellen.    Von  E.  Jahnbb     .     .    .    •   ^ 
Treutlein;  Vierstellige  logarithmische  Tafeln.    Von  E.  Jahnkb      .     .    .    .   ^ 

Synthetische;  analytische,  descriptiTe  Cfcometrie« 

Sturm;  Die  Gebilde  ersten  und  zweiten  Grades  der  Liniengeomettrie.    Von 

E.  Kötteb 

Hesse;  Gesammelte  Werke.    Von  M.  Cantob 

Steiner;  Systematische  Entwickelung  u.  s.  w.    Von  M.  Cantob 

Holsmüller ;  Methodisches  Lehrbuch  der  Elementar  -  Mathematik.  Von  £.  Jabihcf 


Inhalt.  V 

Seite 

mgauer,  Die  Grandlehren  der  Stereometrie.    Von  £.  Jahnks 65 

iiümer,  Lehrbuch  der  Geometrie.    Von  £.  Jahmxs 65 

ekenbergor,  Leitfaden  der  elementaren  Mathematik.    Von  £.  Jahnke    .     .  66 

eigen,  Lehrbuch  der  Geometrie.    Von  E.  Jahhke 66 

Bigen,  Lehrbuch  der  Trigonometrie.    Von  £.  Jahhke 66 

BCknagely  Ebene  Geometrie.    Von  £.  Jahxke 66 

rach6  et  Comberousse,  Le9onB  de  G^om^trie  et  Solutions  des  exercices. 

Von  E.  Jabhu 67 

ink,  Die  elementare  systematische  und  darstellende  Geometrie  der  Ebene 

and  Sammlung  von  Sätzen  und  Aufgaben  dazu.    Von  £.  Jahnke  ...  67 

abenicht,  Die  analytische  Form  der  Blätter.    Von  £.  Jahnke 68 

raub.  Der  verjüngte  Magister  Matheseos.    Von  E.  Jahnke 69 

Ulla,  Zar  Theorie  der  reellen  Kurven  einer  rationalen  Funktion  n^^  Grades 

far  komplexe  Variable.    Von  E.  Jahnke 70 

irboux,  Le^on  sur  la  thäorie  gän^rale  des  surfaces  et  les   applications 

g^om^triques  du  calcul  infinitesimal.  IQ  und  IV.    Von  H.  Willgrod    .  152 

rögOT)  Planimetrie.    Von  E.  Jahnke 170 

ie  and  Soheff ers^  Geometrie  der  Berfihrungstransformationen.  VonW.  Fr.  Mbtbk  177 
'Ocagne,   Cours    de  gäomätrie  descriptive   et  de  g^omdtrie  infinitesimale. 

Von  C.  RODSNBBRQ 194 

inder,  Theorie  der  unikursalen  Plankurven  4.  bis  3.  Ordnung.    Von  E.  Jahnke  201 

iirtl,  Planimetrie.    Von  E.  Jahnke 202 

I*nuner,  Lehrbuch  der  Trigonometrie.    Von  M.  Cantob 207 

Praktlselie  Geometrie.    Wahneheinlichkeltsreclmiuig. 

^cs^nhardt,  Praktische  Geometrie  auf  dem  Gymnasium.  Von  £.  Jahnke  69 
loldschmidty  Die  Wahrscheinlichkeitsrechnung.    Von  M.  Cantob    ....  208 

Kinematik.    Meeliaiiik.    Pliysik. 

^nig«,  Le^ons  de  cindmatique.    Von  R.  Mülleb 70 

wmann,  Allgemeine  Untersuchungen  über  das   Newtonsche  Prinzip   der 

Femwirkungen.     Von  W.  Fr.  Meyeb 74 

nud  und  Seebeoky  Zur  Entdeckung  des  Elektromagnetismus.    Von  B.  Nebel  82 

^«*well,  Über  Faradays  Kraftlinien.     Von  B.  Nebel 82 

•öbeck,  Magnetische  Polarisation  der  Metalle  und  Erze  durch  Temperatur- 
differenz.    Von  B.  Nebel 83 

»whhoff  und  Bnnseiiy  Chemische  Analyse   durch    Spektralbeobachtungen. 

Von  B.  Nebel 83 

iBnhoUet,  Untersuchungen  über  die  Gesetze  der  Verwandtschaft.  Von  B.  Nebel  83 
'•dolin,   Über    die   Herleitung    aller   kristallographischen    Systeme.     Von 

B.  Nebbl 83 

«e  Portaohritte  der  Physik  im  Jahre  1893  und  1894.     Von  B.  Nebel  .     .  84 

^iedemann,  Die  Lehre  von  der  Elektrizität  m.    Von  B.  Nebel      ....  85 

^Wlner,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik  11.     Von  B.  Nebel 86 

•  ^nunel,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik.    Von  B.  Nebel 86 

IfiUer.Pouillet  (Pfaundler  und  Iiummer),  Lehrbuch  der  Physik  und  Me- 
teorologie n,  I,  n.    Von  B.  Nebel 86 

'*PPel,  Das  Mikroskop  und  seine  Anwendung  II,  i.    Von  B.  Nebbi.  ....  87 


Inkalt. 


5ei 


V,»nw«BK«i  »Ib«  Gaatheorie.    Von  B.  NfiraL ( 

iuic?EtfCiäctfee  Snttt&lder.     Von  B.  Nkbel 
'*^p«uär^«K««»eK4taftIi!che  Toriesungen.    Von  B.  Nsbrl 

mMlUfiak)*  'JnmdriM  der  Wärme.     Von  B.  Ksbbl 
*riUM:t£^K«f€ze  «ier  Xolekolarpkjsik.     Von  B.  Nsbkl 
v^i-*r«: -n-m   iw  ExpeiimefilaiphTBik.     Von  B  Nebel 
*.•  .»•   fTUiMu«  i»  pÄjsKnie.     Von  B.  Nebel 
•w.iu.'T   >*i:?ü.rCB«rt  ;»  cottT  de.phjsique  de  Jamin.     Von  B.  Nbbel 

s^       -^j^-'.yt^  wr  .^»tftt     Von  B.  Nebel 

•*•-    .  >:>■>%  tu^?rxcatt>ifiipwwtie.    Von  B.  Nebel 
t-  -«LjjyQva^  9oim>iI<raL     Von  B.  Nebel 
a»       ..c.^^»-.ii»p?tt   itwr  d»  Qnellnng  der  Stärke.     Von  B.  Nebel  . 
v^4M«M»>     iu*».ai^»rtM:ti*»    40lK»tttaÄ?di    ßr  Tiefland   und    för    grosse   Höhen 

Hx^^imt^^t^    V»*^'    .rmtHUscth?    Mtftfejde   der  Znsammensetzung  von  Kräften 

5j^fca<L***^.-v'A,      •     *vt.^  ^     -ö!u5**?o  d»i  g»s  e  gli  esperimenti     Von  B.  Nsm  1 

V^u«ft9^«     -'.t^iX**    L  >^  >*.     ^on  B.  Xsan. j 

ji^üA^^MT«  ^i^f^feK'iKer  Mit  ^ine  neue  W^tanschaaung     Von  B.  Nebel    ...  1 


»fx 


»:.».♦.  *v'«*i'*>*^  Seite  38,  78,  100,  173.il 

Vt.v.av ***-*-»-». iKv   V.)h«uiiUuiiKsregi^er:  1.  Januar  bis  30.  Juni  1897 vi 

1.  Juli  bis  81.  Deiember  1897  .    .       .:1J 


Historisch-litterarische  Abteilung. 


Rezensionen. 


Bemerkung,  die  Schreibweise  Amper  betreffend. 

Bei  Besprechung  meiner  „Grundzüge  der  mathematischen  Chemie ^\ 
upzig  1894,  hat  Herr  Nebel,  ohne  den  ürsprong  der  von  mir  an- 
mommenen  Schreibweise  Amper  klarzustellen,  so  starke  Worte  gegen  sie 
braucht,  dass  es  wohl  angezeigt  erscheint,  den  Zusammenhang  aufzu- 
iUen.  Schon  die  Bemerkung  des  Herrn  Nebel,  dass  „ein  deutscher 
hysiker"  die  Kürzung  Amper  eingeführt  habe,  kommt  in  etwas  andere 
elenchtong,  wenn  man  hinzufügt,  dass  dieser  Physiker  der  Verfasser  des 
llgemein  verbreiteten  „Leitfadens  der  praktischen  Physik"  ist,  in  dessen 
•  Anflage  1884  F.  Eohlrausch  die  Schreibweise  mit  der  nach  meiner 
lanimg  vollkommen  zutreffenden  Begründung  einführt:  „Bezeichnungen, 
"eiche  jedem  Arbeiter  geläufig  sein  sollen,  dürfen  selbstverständlich  keiner 
Qsl&ndischen  Orthographie  unterliegen.'^ 

Für  mich  entscheidend  war  aber  überdies,  dass  1893,  in  der  Zeit,  da 
dl  mein  Buch,  schrieb,  in  der  Deutschen  Physikalisch -technischen  Beichs- 
nstalt  die  Absicht  bestand,  die  Schreibweise  Amper  allgemein  einzuführen, 
^iter  hat  sich  freilich  die  Eeichsanstalt  entschieden,  nur  das  h  zu  ver- 
meiden, und  schreibt  jetzt  Ampere. 

Imt  Sache  selbst  wäre  wohl  nur  zu  bemerken,  dass  ein  guter  Geschmack 

iB  dem  centimitre  im  Munde  unserer    Schneider   genug   haben    sollte   und 

*^nschen  müsste,  die  deutschen  Werkmeister  mit  nasalen  Beanspruchungen 

»  verschonen.     Auch  ist  es  selbstverständlich   und  wird  durch    unser  Ver- 

^lt«ii  gegenüber  dem  metrischen    Maß  bestätigt,    dass  ein    internationales 

V&ß  nicht  über   die   nationale    Aussprache   und    Schreibweise    verfügt;    es 

^^  keinem  Engländer    einfallen,    seine    Schriffc   mit    Zeichen  zu    belasten, 

^^  f&r  seinen  Leserkreis  unverständlich  sind.     Endlich    ist   durch    die   all- 

imeiive  Annahme  der  Schreibweise  Volt  dargethan,   dass  es  nicht  die  Ab- 

sieht  war,  die  nationalen  Eigennamen   als   solche   im  internationalen  Maß- 

«y^i^tne  festzuhalten.  ,,    „ 

G.  Helm. 

Hiit'litt.  Abt.  d.  Zeittchr.  f.  Math.  n.  Phyt.  48.  Jahrg.  1898.  1.  HefU  « 


2  Historisch -litterarisclie  Abteilung. 

R.  Sturm.  Die  Gebilde  ersten  und  zweiten  Grades  der  LiniengeomH 
in  synthetischer  Behandlung.  Bd.  1  bis  3 ,  Leipzig,  B.  G.  Tecm 
1892,  1893,  1896. 

Die  synthetische  Geometrie    stellt    sich    bekanntlich    die  Aufgabe^ 
geometrischen  Gebilde  lediglich  aus  Raumanschauungen  heraus  zu  behand« 
ohne  Yon   algebraischen  Hilfsmitteln  Gebrauch  zu  machen.    Aber    in   di« 
strengsten  und  zugleich  höchsten  Form  muss  sich  unsere  Wissenschaft  entw« 
auf  die   liebevolle  Bearbeitung  eines  verhältnismässig  sehr  kleinen  Gebi< 
beschränken,  oder  sie  muss  aus  allen  Kräften  bemüht  sein,  den  geometris*! 
Inhalt  der    Hilfsmittel  rein    darzustellen,    deren    die    analytische    Geome: 
sich  bedient,    vor  allen  Dingen  die   Schnittpunkttheoreme   rein   geometr 
begründen.     An  der  endlichen  Erreichung  dieses  Ziels  ist  heute  wohl 
mehr    zu    zweifeln.     Aber    während    man    auf   allen    anderen  Gebieten 
Mathematik  den  auf   Reinheit    der    Methode    gerichteten    Bestrebungen 
lebendigem  Anteil  folgt,  werden  dieselben  auf  dem  Gebiet  der  synthetiid 
Geometrie  mit  Gleichgiltigkeit  beobachtet,  und  man  bringt  denselben  selb&t 
Fachkreisen  nur  geringes  Interesse  entgegen,     unter    diesen  umständen 
es  sehr  wohl  zu  verstehen,  dass    der  Verfasser,    ursprünglich  ein  Anhäof 
jener   strengsten  Anschauungen,    sich   mehr  und   mehr  einer  Tennitt^ln 
Richtung    zugewendet    hat,    welche   von  den    Hilfsmitteln   der    abzahle 
Geometrie,  vor  allen  dem  Korrespondenzprinzip  den  ausgiebigsten  Gebr^ 
macht.     Wird  man  eine  derartige  Untersuchungsmethode  da  anstandslos 
lassen,   wo  es   sich  weniger  um   die    ersten    Grundlagen    der  Wissense 
sondern  um  die    Durchmusterung    eines    abgegrenzten  Gebietes  handelt, 
ist  es  doch    unberechtigt,   solche   Hilfsmittel  da  anzuwenden,    wo  die  s 
thetische  Geometrie  sehr  wohl  Mittel   an  der  Hand  hat,   die  Untersncfaffi 
mit  ihren  eigenen  Mitteln  streng  durchzuführen.     Schon  bei  einem  der  erst 
Kapitel  haben  wir  dies  störend  empfunden. 

Mit  grossem  Interesse  haben  wir  die  klaren  Auseinandersetzungen 
Verfassers  über  die  Hauptziele  der  Liniengeometrie  gelesen.  Er  deo 
schon  jetzt  an,  dass  der  aus  allen  Geraden  gebildete  Raum  kein  linearer 
und  erläutert  an  gut  gewählten  Beispielen  die  verschiedenen  Gebilde  d 
Liniengeometrie.  So  wird  der  Komplex  dritten  Grades  der  Geraden  ei 
geführt,  die  auf  den  Flächen  zweiter  Ordnung  eines  Bündels  liegeD, 
Kongruenz  [2,6]  der  Geraden,  welche  sich  auf  Flächen  eines  Büschels  l' 
finden.  Alsdann  werden  die  Orte  der  Geraden  besprochen ,  die  sich  auf  1 
4  Leitlinien  stützen,  es  wird  gezeigt,  wie  die  Anzahl  2  f^i  f4  f%  f<4  ^ 
Geraden,  die  sich  auf  vier  Kurven  der  Ordnung  f*i}  f4)  ftg)  ^4  ^^^^' 
durch  gemeinschaftliche  Punkte  der  Kurven  vermindert  vnrd.  Dies  wi 
an  der  Anzahl  der  Geraden  erläutert,  die  eine  Fläche  dritter  Ordnuu 
besitzt. 

Nachdem  das  Chasles'sche  Korrespondenzprinzip  auf  die  übliche  Art  eaf 

wickelt  wurde,  bestimmt  der  Verfasser  die  Anzahl -r  «  (w  —  1)  +  t  ''i {^h'^^l 


Rezensionen.  3 

der  inTolatorisch    zugeordneten    Punktepaare    einer    Korrespondenz    (w,  n^), 
welche  auf    einem  rationalen  Träger  lagert,  und  gelangt  sodann  zu  den  in- 
Tolutorischen  Korrespondenzen  [n].     Auf  die  Betrachtung  der  Korrespondenz 
[2]  auf  den   Kegelschnitt  gründet  sich  eine  an  Hurwitz  und  Gayley  an- 
imüpfende  Behandlung  des  Ponceletschen  Schliessungsprohlems.    Wenn  in 
einer  Korrespondenz   (n,  n^)   der  Ebene  m  Paare  homologer  Punkte  auf  2 
beliebig    gewählten  Geraden    liegen ,    so  giebt  es    n  -\-  tii  +  m    sich    selbst 
entsprechende  Punkte,   sobald   nickt   eine  sich   selbst   entsprechende   Kurve 
vorliegt.     Hieraus   folgt,  dass  Ebenen,  welche  durch  einen  Punkt  E  gehen 
und  aus  jeder  von  zwei  Kongruenzen  [m,  n]  und  [mj,  7i^]  einen  Strahl  ent- 
halten,  deren   Kreuzungspunkt   einer   Ebene  E  angehört,   einen   Kegel  von 
der  Klasse  n  n'  -{■  m  n*  +  n  m'  umhüllen,  während  der  Kreuzungspunkt  eine 
Kurve  von  der  Ordnung   mm'  -f  wi  »'  +  w  w'    beschreibt.     Diese  Geraden- 
paare be^virken  unter  den  Ebenen  eines  beliebigen  Bündels  eine  Korrespondenz 
[iw  -f  w)  (m'  +  w'),  (»*+  «)  (*w'  +  ^?')1>    deren    Koincidenzelemente    zum 
Teil    aus    den    Tangentialebenen    des   Kegels,    die    dem    Bündel    angehören^ 
bestehen,    andererseits  aus  den  Ebenen,    welche  gemeinschaftliche    Strahlen 
der  Kongruenzen  projizieren.     Auf  diese  von  Schubert   entlehnte  Art  ent- 
wickelt   der  Verfasser   die    Halphensche    Zahl   mm'  +  nn*    der  Strahlen, 
welche   zwei   Kongruenzen  (w,/?)  und  (m\n)  mit  einander  gemein   haben. 
Hieraus  lassen  sich  die  anderen  Halphenschen  Zahlen  grossen  teils  ableiten. 
Die  Strahlen  eines  Komplexes,  welche  eine  beliebige  Gerade  treffen,  bilden 
eine  Kongruenz  [p,p].     Da  dieselbe  mit  einer  Kongruenz  [w,  w]  |?  [m  -f  w] 
Strahlen  gemein  hat,  so  liegen  die  dem  Komplex  und  der  Kongruenz  [r»,  n] 
angehörigen    Geraden    in    einer    Regelfläche    vom  Gerade  p  [m  +  n].     Nur 
die  Ermittelung  der  p  •  q  einer  Eegelfläche  (/**'  Ordnung  und  einem  Komplex 
P^^^  Ordnung  gemeinschaftlichen  Strahlen  macht  eine  besondere  Betrachtung 
i^otig.     Das  Kapitel    schHesst   ab   mit    dem   Korrespondenzprinzip   für   eine 
O't'^i)- deutige  Beziehung  im  Baum. 

Für  die  Behandlung  der  Begelflächen  dritter  und  vierter  Ordnung  er- 
scheint uns  als  der  beste  Ausgangspunkt  die  Erzeugung  mittelst  zweier 
projektivischer  Kegelschnitte.  Aus  der  Betrachtung  des  Büschels  kollinearer 
Ebenen,  welchen  sie  bestimmen,  würde  sich  mit  Leichtigkeit  zeigen  lassen, 
dass  die  Ebenen  aller  Kegelschnitte  der  Fläche  im  allgemeinen  einen 
Büschel  dritter  Ordnung  bilden,  es  würde  sich  femer  streng  zeigen  lassen, 
dass  jeder  Ebene  desselben  zwei  Gerade  angehören,  deren  Kreuzungspunkt 
''ine  Raumkurve  dritter  Ordnung  beschreibt ,  und  man  würde  zum  Schluss  Ge- 
setze über  die  involutorische  Korrespondenz  strenge  beweisen  können,  welche 
aaf  dieser  Baumkurve  durch  die  Geraden  der  Flächen  hervorgerufen  wird. 
Auf  analoge  Art  lässt  sich  die  Fläche  mit  zwei  Doppelgeraden  und  die 
^ndschiefe  Fläche  dritter  Ordnung  behandeln.  Der  Verfasser  hat  es  selbst 
^ier  vorgezogen  ein  abzählendes  Verfahren  einzuschlagen;  er  geht  stets  von 
der  Korrespondenz  aus,  welche  die  Geraden  der  Fläche  auf  der  Doppel- 
Wve  hervorrufen  und  gelangt  von  diesem  Ausgangspunkt  aus  auf  geringem 
im  zu  der  Aufzählung   der   möglichen   Regelflächen    dritter   und  vierter 

1* 


^dzzierte  geometiische  Her- 


SKadhtong,    dass  jeder  Punkt 

belogenen  Baumes 
sonSchst    wird  die 
zi^~-^^i&  3:r    Hnfe   eines   unebenen  aus 
^       «xi^i      Is   wird   gezeigt,    dass   Ton 

der  Ton  Möbias  zuerst 

;  Tzd  daas  jeder    Strahl  des 

r  -uc^^lTeriiiltnis    trifPL     Der 

A  die  aeht  Ejcken  mog- 

wie  es  sein  mnss,  die 


-.  -A      r»-:»»     '"^•r!iii»«n  schon  vorlftofig  gezeigt 

•  _ .  ,-     -tT-r    .:i  -  -i^r-ium^  bestimmen  f  wird  der 

__-.      -r      I— ^^=r«*-n2?   m  Allgemeinen  beschlossen. 

.  -    _      j-<_i  .'^a^*.£  z  .^iL  TAmaltende  Ebene,  einer 

•a  ?    -:^-«nrr-i.    ^    kommt  noch   eine    dritte 

.  ^  .  .     .-      ■"'■        .?r    ^-TTTgTi»   anf  einer  beliebigec 

r    .  .r---    --^*--«    .2s?i:xräi3Äit.     Ordnet  man  z.  B. 

.  -      ..      .      ;i:«s    Hr-    r:i    ies   PJchen  eines  einfacli 

..      :  xn^'.szr^^  \  rs    a.  r«  9   berfthrt  wird,    so  ist 

^     >A^     -«.suL   ?':z&'   lie  Ebenen  sn,  welche  zwei 

-   ^.    ' »     -^-^     v..iirawM    [y- "l    enthalten,    so   is: 

-  ^  •■?  T-.:^  .sc  iie  wichtige  Ton  Sc  buh- 

\.   -«^TteiL:.    Äe    zeigt,    wie    oft    zwei 
i-iTf   i^ni^i^n  in  einer   Ebene   liegeo 


^-.  ■:• 


I  &  i^  1      «« 


-   ^% 


*^.    VI«    i^r  Vofisaer   ans   der   all* 

-ü  wv^ivr  ans  dea  Strahlen,  die  eine 

<w     .  .  >«.nii.«fl    eines   Nnllsystems.     Die   Be- 

^  •.  «.V  ^    iiT  ier  Verfasser  für  den  besonderen 

'».*^a    iie  Billigung    der   Fachgenossen 

^    ...     .  >&\si    60  dg.)  zunächst  den  metrischen 

«  ^    .?r  Dorchmesser  und  der  Axe  wird  in 

.    .    ^   .jbQ4>  luAn  rechts  nnd  links  gewundene  Ge- 

»    .  *      u>pidalkuryen  aUer  im   Gewinde  ent- 

^     ..    V..   tvüea    entweder    sämtlich    links    oder 

.>.•<.    ^ird  durch   das   Nnllsjstem  des  Ge- 

>^..  *«^^'t\itiet,  der  einen  Strahl  des  Gewindes 

«..     AUe  Strahlen  des  Gewindes   —   hierin 

!'.«a^ung    desselben   —    treffen    zwei  ent- 

^^^««      ^^'ii  man  ans  ffinf  gegebenen  Strahlen 

«s.Hitrileii,  so  braucht  man  nur,  wenn  zwei 


^^Ul 


— I 


Rezensionen.  5 

Ebenen  or  nnd  {  (jf^  enthalten,  g^^  g^^  ^4,  ^5  in  ^,  A^y  A^^  A^  und  :Xj, 
^,  X^^  X^  treffen,  A  nnd  X  Punkte  von  g^  sind, 

a{xa^a^a^a;)7\x{ax^x^x^x^) 

la  machen.  Dieses  ProjektiYitfttsproblem  hat  eine  einzige  Lösung,  wenn  man 
A  und  ff  als  gegen  ansieht  (74).  In  einer  beliebigen  Korrelation  des  Raumes 
erzeugen  die  Yerbindungslinien  der  Punkte,  welche  einander  in  beiderlei 
Sinne  konjugiert  sind,  ein  Gewinde  (75). 

Da  die  Begelflftche  der  Strahlen  einer  linearen  Kongruenz,  welche  eine 
beliebige  Gerade  treffen,  nach  der  allgemeinen  Koinddenzformel  vom  zweiten 
Grade  ist,  so  kann  sie  als  Erzeugnis  zweier  kollinearer   Ebenenbündel    de- 
finiert werden,  deren  Zentra  auf  einem   Strahle  der  Kongruenz  willkürlich 
sind,    die    aber  diesen  Strahl  g  entsprechend   gemein    haben.     Diese    von 
der  Realität  der  beiden  Leitstrahlen  imabhängige  Definition  zeigt,  dass  die 
lineare    Kongruenz    durch    vier    Strahlen    eindeutig    festgelegt    ist.      Das 
Strahlensystem  zeigt  sich   dabei   sogleich   als    Träger   eines    Büschels   TOn 
linearen  Komplexen.     Die   Sjlyesterschen  Erzeugungen  derselben    stützen 
sich  auf  die  Paare  homologer  Strahlbüschel  jener  kollinear  bezogenen  Ebenen- 
bündel,    welche    durch    die    Verbindungslinie    der    Zentra    hindurchgehen. 
Nachdem  das  Strahlensystem  als  Erzeugnis  geschart -kollinearer  Bäume  er- 
kannt ist,  ergiebt  sich  natnrgemäss,   dass  zwei  beliebige  lineare   Komplexe 
r,  r,  ein  lineares  Strahlensystem  gemein   haben,   das   Erzeugnis    der   ge- 
schart-kollinearen  Punkträume,  die  vermöge  der  Nullsysteme  von  F^  F^  auf 
denselben  Ebenenraum  bezogen  sind;   indem   man   andere    Punkträume  aus 
dem  Büschel  der  beiden  ersten  auf   den   Ebenenraum   bezieht,    erhält  man 
die  linearen  Komplexe  des  Büschels  (r,  JT,).     Zwei  homologe  Punkte  zweier 
derartigen   Bäume    liegen    unter    konstantem    Doppelyerhältnis    gegen    die 
beiden    Punkte,    in    welchen   ihre  Verbindungslinie    die     Leitstrahlen    des 
^ Strahlennetzes '^   treffen.     Wird   dieses    Doppeherhältois  das   harmonische, 
so  stehen  die  linearen  Komplexe  in  Involution,  es  wird  das  Nullsystem  des 
einen  durch  das  Nullsystem  des  anderen  in  sich  transformiert. 

Eine  Abbildung  des  Strahlennetzes  wird  einmal  durch  die  Spuren  seiner 
Geraden  in  einer  beliebigen  Hilfsebene  gegeben.  Eine  Abbildung  auf  ein 
einschaliges  Hyperboloid  nimmt  ihre  einfachste  Form  an,  wenn  man  die  Punkt- 
reihen auf  den  Leitgeraden  oder  die  Ebenenbüschel  um  dieselben  auf  die  beiden 
Creradenscharen  projektivisch  bezieht  und  jedem  Strahl  des  Netzes  den 
Schnittpunkt  der  zugehörigen  Geraden  des  einschaligen  Hyperboloids  zu- 
weist. Jeder  Begelfläche  des  Strahlennetzes  entspricht  ein  Kegelschnitt 
der  Hilfsfläche. 

Der  Verfasser  beschäftigt  sich  näher  mit  der  Axenfläche  des  Büschels. 
Die  Axen  aller  durch  ein  Strahlennetz  möglichen  Oewinde  schneiden  den 
Haoptstrahl,  welcher  auf  beiden  Leitstrahlen  des  Netzes  senkrecht  steht, 
unter  rechtem  Winkel,  durch  jeden  Punkt  gehen  zwei  Gewinde -Axen;  die 
Fl&che  ist  daher  von  der  dritten  Ordnung,  enthält  h  zweifach,  die  unendlich 
ferne  Gerade  des  Strahlensystems  aber  einfach.  Da  unter  den  Ebenen- 
pa«ren,  welche  die  Axenpaare  projicieren,   eines  aus  zwei  Tangentialebenen 


6  Historiscli-litterariscbe  Abteilung. 

des  unendlich  fernen  Kreises  besteht,  bilden  sie  eine  hyperbolische  Involation, 
deren  Doppelebenen  aufeinander  senkrecht  stehen.  Da  man  die  Axen  al> 
Gerade  definieren  kann,  welche  auf  den  Strahlen  einer  h  enthaltenden 
Regelschar  des  Netzes  senkrecht  stehen,  so  erkennt  man  in  den  Punkten 
von  //,  welche  Ton  den  Doppelebenen  herrühren,  die  Grenzpunkte  des  h 
umgebenden  unendlich  dünnen  Strahlenbündels  im  Kummer  sehen  Sinne  und 
in  den  Einschnitten  von  h  in  die  beiden  Leitgeraden  die  nicht  notwendig 
reellen  Brennpunkte  dieses  Bündels.     Die  Gleichung 

r  =  ^cos  2©, 

welche  zwischen  dem  Abstand  einer  Geraden  des  Cylindroids  von  der  Mittel 
ebene  der  beiden  Doppelstrahlen  und  Leitstrahlen,  und  dem  Winkel^  dt>n 
sie  mit  einer  Doppelgeraden  bildet,  besteht,  wird  aus  der  einzweideutigen 
Beziehung  zwischen  den  Punkten  von  //  und  den  Ebenen  um  A,  in  denen 
die  zugehörigen  Axen  liegen,  abgeleitet.  Vielleicht  hätte  sich  das  Obic« 
leichter  mit  Hülfe  der  orthogonalen  hyperbolischen  Paraboloide  ergeben, 
welche  durch  die  beiden  Leitstrahlen  des  Netzes  hindurchgehen.  Der  von  h 
verschiedene  Scheitelstrahl  eines  solchen  Paraboioids  ist,  wie  bemerkt 
eine  Axe  eines  Gewindes.  Die  obige  Formel  drückt  jedenfalls  die  bekannt« 
Thatsache  aus,  dass  die  Abstände  eines  Scheitelstrahls  von  zwei  Geraden 
seiner  Schar  sich  verhalten  wie  die  Tangenten  der  Winkel,  welche  er  mit 
ihnen  bestimmt.  Aus  der  Betrachtung  der  Strahlen  des  Netzes,  welche  einen 
unendlich  kleinen  Kreis  der  Hauptebene  treffen,  der  um  ihren  Schnitt- 
punkt mit  //  beschrieben  ist,  gewinnt  Sturm  den  Kumm ersehen  Ausdruck 
für  das  Dichtigkeitsmaß  des  //  umgebenden  unendlich  dünnen  Strahlen- 
bündeis. 

Im  folgenden  Abschnitt  (126  fg.)  wird  das  lineare  System  zweiter 
Stufe,  das  Netz  aus  Gewinden  mit  Hilfe  der  Regelschar  G  konstroiert. 
welche  die  drei  konstituierenden  Gewinde  F,,  F,,  F^  mit  einander  gemein 
haben.  Entsprechen  in  den  Nullsystemen  von  r*,,  F,,  Fg  einem  beliebig 
gegebenen  Strahlbüschel  (or,  Ä)  die  anderen  {ßi,B^\  (/Sj,  B.^\  (/5j,  JBj),  so  ordnet 
die  kollineare  Beziehung  zwischen  A^  B^^  B^^  B^  und  or,  /?,,  ß^^  ß^  jeder 
Ebene  ß  des  letzteren  Bündels  einen  in  ihr  liegenden  Punkt  B  zu  und 
eine  auf  (Ä^a)  und  {B,ß)  gegründete  Sylvest ersehe  Erzeugung  erzeagt 
ein  viertes  Gewinde  des  Netzes,  wenn  man  zu  zwei  Strahlen  von  {A.a) 
diejenigen  Strahlen  von  {B,  ß)  als  homolog  wählt,  welche  dieselben  Strahlen 
der  Regelschar  G  treffen.  Hieraus  kann  abgeleitet  werden,  dass  die  Null- 
punkte beliebiger  Ebenen  hinsichtlich  der  Gewinde  des  Netzes  kolUneare 
Felder  beschreiben.  Die  Abbildung  des  Netzes  auf  die  Ebene  ist  hiennit 
gewonnen. 

Das  Gewinde  -  Gebüsch  kann  als  die  Gesamtheit  derjenigen  Gewinde 
aufgefasst  werden,  welche  zwei  verschiedene  Gerade  mit  einander  gemein 
haben,  woraus  die  Sylvesterschen  Erzeugungen  der  einzelnen  Gewinde 
leicht  abzuleiten  sind.  Die  Polaren  beliebiger  Geraden  bilden  eindeutig 
bezogene  Gewinde,  mittelst  deren  später  das  Gewinde -Gebüsch  auf  den  Raum 


Eezensionen.  7 

abgebildet  werden  kann.     Das  Gewebe  von  Gewinden  hingegen  wird  als  Ort 
der  Xetze  aafgefasst,  die  zwei  feste  Gewinde   mit  einem  anderen  in  einem 
Netz  beweglichen    yerbinden.     Die   Gesamtheit    aller  Gewinde    erweist  sich 
Dan  als  ein  linearer  Baum,   in  dem,    der  Bey eschen  Anschauung  gemäss, 
m  jeder   linearen    Teil -Mannigfaltigkeit    eine    ergänzende  Mannigfaltigkeit 
gehört,    deren  sämtliche  Gewinde   mit  ihren  eigenen  in  Involution    liegen. 
Ich  muss  gestehen,   dass  ich  im   Gegensatz  zu  Sturm   ein  Verfahren  zur 
Definition     der    linearen    Mannigfaltigkeiten     für    besser    gehalten    hätte, 
bei    dem    auf   die    gemeinschaftlichen    Elemente    der   konstituierenden    Ge- 
winde  keine  Bücksicht  genommen  wird.     Ich  meine,   es  ist  zweckmässiger, 
sich  erst  den  Begriff  des    Bündels   kollinearer   Bäume   zu  verschaffen,    den 
man    allerdings    in    der   vollsten  Allgemeinheit    am    leichtesten   durch   das 
Prinzip  des  Projizierens  und  Schneidens  in    einem  Baume    höherer    Dimen- 
sion   ableitet.      (Man    braucht    einen    Baum    elfter   Dimension,    den    man 
sich    etwa    durch    ein    Kurvennetz    dieser    Stufe    versinnbildlichen     kann.) 
Die  drei  Punkträume,  welche  durch  das  Nullsystem  auf  denselben  £benen- 
ranm  bezogen  sind,    ergeben  nun   einen  Bündel  von   Punkträumen,   deren 
jeder  durch    ein   Nullsystem    auf   den   Ebenenraum    bezogen   ist,   und  ein 
Gewinde    des    Netzes    ergiebt.      Hier    treten    nun    die   kollinearen    Felder, 
weiche  das  Netz  abbilden,   in  Evidenz.     Die  Gesetze,    welche   das    Bündel 
als  eine  lineare  Mannigfaltigkeit  zweiter    Stufe   charakterisieren,    treten    in 
vollster  Allgemeinheit  zu  Tage  und  man  kann  nun  lediglich  mit  Hilfe  des 
Büschel -Bildens  zu  den  linearen  Mannigfaltigkeiten  höherer  Stufe  aufsteigen. 
In    früheren    Besprechungen    (von    Loria  und    Schön  flies)    der    beiden 
ersten  Bände  des  Werkes  wird  der  Verfasser  in   anderem   Zusammenhange 
auf  Betrachtungen  im  Baume  höherer   Dimension   hingewiesen.     Er  nimmt 
hierauf    in    der   Vorrede    des    dritten    Bandes   Bezug;    aus    pädagogischen 
Hacksichten    ziehe  er   es  vor,   das    anschauliche  liniengeometrische  Gebilde 
im  Baume   von  drei  Dimensionen  und  nicht  das  mehrdimensionale  Gebilde, 
aas   dem    es    durch  Projektion   entstanden  ist,    zu  betrachten.     Er  drückt 
sich  dahin   aus,   dass   er  nach  wie  vor  seinen  Weg,  schon  wegen  der  zahl- 
reichen Einzelergebnisse,  zu  dem  er  führe,  für  den  richtigen  halten  müsse.  In- 
dessen wird  schon  im  ersten  Bande  ein  Kapitel  zur  Übung  in  der  Geometrie  des 
linearen  Baumes  eingeschaltet.    Es  wird  das  Erzeugnis  zweier  projektivischer 
Büschel  von  Gewinden    —   ein  Komplex  zweiten  Grades  mit   zwei .  Doppel- 
geraden,   das  Erzeugnis  dreier  koilinearer  Bündel  —  ein  Komplex    dritten 
'irades  — ,   endlich   das  Erzeugnis   dreier   projektivischer  Büschel  —  eine 
KoDgruenz  dritten  Grades  —  betrachtet.     Nach  Betrachtungen  über  ortho- 
gonale Gewinde,  deren  Axen  in  Bezug  auf  eine  absolute  Kurve  oder  Fläche 
polarreziprok  sind,  wendet  sich  der  Verfasser  zu  den  Gruppen  von  3  bis  6 
Gewinden,  die  in  Involution  stehen,  und  zu  den  zugehörigen  geschlossenen 
Gruppen  von  Transformationen.     Diese  besteht  z.  B.  für  drei  Gewinde  aus 
der  Identität,   den  drei  definierenden  Nullsystemen,   den  gescharten  Involu- 
tionen, welche  die  drei  Schnitt-Strahlennetze  darstellen,  endlich  dem  Polar- 
system der  Fläche,  welche  die  allen  drei  Gewinden  gemeinsame  Begelschar 


g  HlBtorisch-litterarigche  Abteilung. 

trägt.     Die  einem  beliebigen  Punkte  zugeordneten  sechs  Elemente  sind  di^ 
Bestimmungsstücke  eines  Tetraeders. 

Die  Abbildung  des  Gebüsches  Ton  Begelflächen^  die  zwei  Gerade  u,  t 
enthalten,  in  den  Punktraum  führt  zun&chst  zu  einer  einzweideaügen  Ab- 
bildung des  letzteren  auf  ein  Gewinde,  indem  jedem  Punkte  die  beiden 
Geraden  korrespondieren,  welche  die  entsprechende  Fl&che  aus  dem  Gewinde 
herausschneidet.  Ist  u  eine  Gerade  des  Gewindes,  so  führt  dies  zu  der  del 
Pezzo'schen  Begründung  der  eindeutigen  Noether sehen  Abbildung  mit  einem 
singul&ren  Kegelschnitt  im  Punktraum.  Diese  Konstruktion  begründet  der 
Verfasser  sehr  anschaulich,  indem  er  zun&chst  eine  kollineare  Beziehung 
zweier  Ebenen  herstellt,  in  der  zwei  im  Nulls jstem  des  Gewindes  einander 
zugeordnete  und  folglich  zur  Sylvester  sehen  Erzeugung  desselben  ge- 
eignete Strahlbüschel  einander  entsprechen.  Bezieht  man  nun  diese  Felder 
auf  zwei  nicht  konzentrische  Strahlbündel  derart,  dass  den  beiden  Syl- 
vester sehen  Strahlbüscheln  derselbe  EbenenbüBchel  entspricht,  so  gehört 
zu  jedem  Strahl  des  Gewindes  ein  Punkt;  die  Punkte  des  singularen 
Kegelschnittes  h^  gehören  den  Punkten  der  gemeinschaftlichen  Geraden  der 
beiden  Sylvesterschen  Strahlbüschel  zu.  Jeäeva.  Strahlbüschel  des  Gewindes 
entspricht  eine  den  fundamentalen  Kegelschnitt  treffende  Gerade,  mithin 
einem  Netz  eine  den  singularen  Kegelschnitt  enthaltende  Oberflache  zweiter 
Ordnung.  Die  Abbildung  aller  Strahlen  auf  einen  linearen  Baum  Tiert«r 
Dimension  wird  in  Anlehnung  an  Loria  gegeben.  Bei  der  Abbildung 
aller  Gewinde  auf  die  Kegelschnitte  einer  Ebene  erhält  man  in  jedem 
Kegelschnittbüschel  zwei  Individuen,  denen  Gebüsche  entsprechen;  die 
Mannigfaltigkeit  der  Geraden  wird  mithin  auf  ein  quadratisches  Kegel- 
schnittsystem vierter  Stufe  bezogen.  Es  wird  der  interessante  Spezialfall 
Aschieri's  dargelegt,  in  welchem  den  Geraden  die  Kegelschnitte  entsprechen, 
welche  unendlich  viele  einem  festen  Kegelschnitt  umschriebene  Dreiecke  ent- 
halten. Nach  Besprechung  der  KoUineationen  und  Korrelationen,  welche 
ein  Gewinde  in  sich  selbst  überführen,  wendet  sich  der  Verfasser  schliess- 
lich der  Besprechung  des  durch  eine  Baumkurve  dritter  Ordnung  gegebenen 
Gewindes  zu. 

In  dem  Schlussabschnitt  des  ersten  Bandes  bespricht  nun  der  Verfasser 
ausführlich  den  tetraedealen  oder  Key  eschen  Komplex  zweiten  Grades. 
Natürlich  nimmt  die  Betrachtung  ihren  Ausgangspunkt  voü  dem  Standtschen 
Satz,  nachdem  die  Würfe,  welche  ein  Tetraeder  an  einer  Geraden  bestimmt, 
einander  gleich  sind,  aus  dem  schon  St  an  dt  gefolgert  hat,  dass  alle  von 
einem  Punkt  ausgehenden,  bez.  in  einer  Ebene  liegenden  Geraden,  an  denen 
ein  Tetraeder  Würfe  von  gegebenem  DoppelverhIQtnis  bestimmt,  einem 
Kegel  bez.  einem  Büschel  zweiten  Grades  angehören.  In  genauer  An- 
lehnung an  Key e  werden  die  singularen  Bündel  und  Felder  des  Komplexes, 
die  in  ihr  enthaltenen  Sehnenkongruenzen  und  Regeischaaren  behandelt. 
Aus  der  näheren  Betrachtung  der  singularen  Punkte  und  Ebenen  des 
Komplexes  ergiebt  sich  die  Reyesche  Erzeugung  mittels  der  Strahlbfiscbel, 
deren  Scheitel  einer  Ebene  angehören  und  welche  die  Strahlen  eines  kollinear 


Rezensionen.  9 

bezogenen  Bündels  projizieren;  es  folgt  die  implicite  Ton  Beje,  ausdrücklich 
jedoch  Ton  Hirst  gegebene  Erzeugung  mittelst  zweier  projektivischer 
Strahlbüschel,  endlich  wird  genauer  besprochen  die  Reyesche  Erzeugung 
durch  ein  Büschel  kollinearer  Ebenen-  und  Punkträume. 

Von  besonderen  Reyeschen  Komplexen  wird  zun&chst  der  Axenkomplex 
untersucht.  Zu  Grunde  gelegt  vmrd  seine  allgemeinste  Definition  als  Ort 
der  Strahlenpaare,  die  hinsichtlich  einer  Oberfläche  zweiter  Ordnung  konjugiert 
sind  und  einen  rechten  Winkel  mit  einander  bestinmien.  Ein  Hinweis 
darauf,  dass  der  Komplex  sich  zugleich  aus  den  Normalen  aller  konfokalen 
Oberflächen  zweiter  Ordnung  zusammensetzt,  wäre  im  Hinblick  auf  die 
schönen  Untersuchungen  yon  Binet,  Ampere,  Ghasles,  in  denen  die 
Theorie  des  Axenkomplexes  grossenteils  vorgebildet  ist,  erwünscht  gewesen. 
Ungern  haben  wir  unter  den  besonderen  R  eye  sehen  Komplexen,  welche  der 
Ver&sser  betrachtet,  diejenigen  vermisst,  welche  zwei  kongruente  Figoren 
in  beliebiger  Lage  erzeugen.  Bereits  1831  hat  Ghasles  ausgesprochen, 
dass  alle  durch  einen  Punkt  laufenden  Strahlen  des  Komplexes  —  Ver- 
bindnngslinien  homologer  Punkte  —  einen  Kegel  zweiten  Orades  bilden,  dass 
die  in  den  einen  oder  anderen  Raum  gehörigen  Punkte  dieser  Strahlen  eine 
Baconkurve  dritter  Ordnung  bilden,  dass  die  in  einer  Ebene  liegenden 
Strahlen  einen  Kegelschnitt  umhüllen  etc.  Den  Abschluss  des  ersten  Bandes 
bildet  die  Abbildung  des  tetraedralen  Komplexes  in  den  Punktraum  und  die 
BetaachtuDg  der  durch  zwei  kollineare  Flächen  zweiter  Ordnung  erzeugten 
Kongruenz,  welche  die  Normalenkongruenz  der  Oberfläche  zweiter  Ordnung 
projektiTisch  verallgemeinert. 

Bereits  in  den  ersten  Entwickelungen  des  zweiten  Bandes  zeigt  sich 
die  grosse  Bedeutung  der  von  Schuhmacher  eingeführten  dritten  Zahl  r 
einer  Kongruenz  [m,  n],  der  Anzahl  der  Geradenpaare,  welche  mit  einer 
gegebenen  Geraden  in  einer  Ebene  liegen  und  sich  auf  derselben  kreuzen. 
Diese  Zahl  r  geht  sofort  in  die  mit  einer  Kongruenz  verknüpften  Anzahlen 
ein.    Es  erzeugen  z.  B.  die  Nullebenen  der  Punkte  einer  Geraden  l  einen 

Torsus  [l]  der  Klasse  —  m  (m—  l)  +  r,  die  Nullpunkte,  deren  Ebenen  eine 

Gerade  enthalten,  liegen  auf  einer  Kurve  (l)  der  Ordnung  —m  («  —  !)  +  r. 

Der  Ort   (P)    der   Punkte,    deren    Nullebenen   einen    gegebenen   Punkt  P 

enthalten,    ist  von    der   Ordnung  —w  (m  —  l)  +  r.      Die   Ebenen,    deren 

Nullpunkt    einer  gegebenen   Ebene   £   angehört,    umhüllen   eine   Fläche  (c) 

Ton  der  Klasse  —  n  (n  —  l)  +  ''•    Auf  die  Brennfläche  der  Kongruenz  {m,  n) 

fährt  die  Betrachtung  der  Regelfläche  (m  +  «)*•'  Ordnung,  welche  die  eine 
Gerade  l  treffenden  Geraden  ausfällen,  die  l  m-fach  enthält.  Auch  wenn  l  in 
eine  Gerade  der  Kongruenz  übergeht,  bleibt  die  Ordnung  der  Fläche  die- 
selbe. Das  ist  nar  dadurch  möglich,  dass  zweimal  die  beschreibende  Gerade 
sieb  mit  I  vereinigt  hat.  Dies  führt  im  allgemeinen  auf  die  Brennfläche 
^  (F)  aus  Pxmkten,  von  denen  zusammenfallende  Kongruenzstrahlen  aus- 
gehen und  auf  eine  zweite  Fläche  <Z^(<jp),  die  von  den  Ebenen  umhüllt  wird, 


10  Historisch -litterarische  Abteilung. 

in  denen  solche  unendlich  nahe  Geraden  liegen.  Die  Identität  beider 
Fliehen  und  das  Verhalten  der  beiden  Brennpunkte  und  Brennebeneo 
eines  Strahls  wird  auf  die  übliche  Art  nachgewiesen.  Dieser  Entwickelmig 
bei  weitem  vorzuziehen  ist  die  andere,  welche  einen  unendlich  dünnen  Teil 
der  Kongruenz  als  die  Umgebung  des  Hauptstrahls  eines  Strahlennetzes 
erkennt.     Ordnung  und  Klasse  der  Brennfläche  werden  auf 

tn^  «=  2  «  (w  —  1)  —  2  r,  /*j  =  2  w  (n  —  l)  —  2  r 

bestimmt,  so  dass  die  Kl  ein  sehe  Formel 

wij  — -  Wj  =  2  (ni  —  /?) 

sich  bestätigt.  Wenn  die  Kongruenz  zwei  singulare  Kurven  besitzt  oder  speziell 
ans  den  Sehnen  einer  Baumkurve  besteht,  so  spricht  man  ihr  gewöhnlich  eijie 
Brennfläche  ab.  Sturm  will  diese  Annahme  nicht  gelten  lassen ,  sondern  hält 
die  abwickelbare  Fläche,  welche  die  beide  Kurven  berührenden  Ebenen  ein- 
hüllen, für  die  Punkt -Brennfläche  F(<1>),  während  allerdings  die  Fläche  Fiq;) 
ausartet  rmd  zwar  in  die  Gesamtheit  der  die  eine  oder  andere  Kurve  be 
rührenden  Ebenen. 

Die  Strahlenkongruenzen  erster  Ordnung  werden  im  zweiten  Abschnitt 
genau  nach  den  von  Kummer  und  Cremona  vorgezeichneten  Gesichts- 
punkten behandelt.  Zu  der  Sehnenkongruenz  einer  Baumkurve  dritter 
Ordnung  und  der  Kongruenz  der  Strahlen,  welche  eine  Kurve  n^^^  Ordniug 
and  eine  {n  —  l) -fache  Sekante  derselben  zu  gleicher  Zeit  treffen,  gesellt 
der  Verfasser  noch  eine  dritte  Kongruenz  erster  Ordnung.  Bezieht  xnao 
rMrolich  eine  Ebeneninvolution  projeküvisch  auf  eine  ihrer  Axe  angehorige 
Fanktreibe,  so  sendet  jeder  Punkt  der  Axe  n  in  den  Ebenen  der  zugehörigen 
Gruppe  liegende  Strahlbüschel  aus  und  die  Gesamtheit  derselben  ist  eine 
Kongruenz  [1,  n].  Der  nächste -und  wichtigste  Abschnitt  des  Bandes  ist 
diT  gemeinsamen  Betrachtung  aller  Komplexe  [2,  n\  ohne  singulare  Linien 
^«widmet.  Die  Fläche  (P)  ist  von  der  Ordnung  w  —  1 ;  da  ein  Komplex- 
utrahl  /7  nur  die  n  —  1  Einschnitte  in  die  übrigen  in  (P</)  liegenden 
Kongru«nzstrahlen  mit  ihr  gemein  hat;  hieraus  folgt,  da  fn  « 2  ist^ 
d^HS  r  n  2  ist.  Die  Brennfläche  ist  deshalb  von  der  vierten  Ordanng 
und  der  2 /<'*'"  Klasse.  Die  singulären  Punkte  der  Kongruenz  sind  Doppel- 
punki#^  der  Brennfläche.  Ganz  allgemein  ist  m  —  y  die  Klasse  des  Kegels, 
welcher  in  einem  singulären  Punkt  Hh  sich  der  Brennfläche  anschliesst,  wenn 
aujiH^;rhalb  des  Kegels  (>Va)  noch  y  Kongruenzstrahlen  durch  (5^)  hindurch- 
g<^b'rn  ^295).  In  unserem  Fall  ist  m  —  y  =  2  und  es  geht  also,  was  für 
die  Folge  wichtig  wird,  durch  keinen  singulären  Punkt  ein  ausserhalb  des 
K«;gels  iHh)  liegender  Kongruenzstrahl.  Dass  singulare  Punkte  von  höherer 
als  der  sechsten  Ordnung  nicht  möglich  sind,  folgt  daraus,  dass  ein  Kegel 
fiS^)  di<^  Brennfläche  in  einer  Kurve  2  Ä*®'  Ordnung  berührt,  welche  den  Brenn- 
puukt  /«'fach  bereithält;  ihre  h  Tangenten  in  Sh  müssen  unter  den  6  vier 
fachen  Tangenten  der  Brennfläche  in  ihrem  Doppelpunkt  S^  sich  befinden.  Für 
die  Ermittelung  der  Anzahlen  a^,  der  singulären  Punkte  S*  gewinnt  Sturm 
(314flg.j  die  drei  Formeln: 


Rezensionen.  1 1 

1)    ^a,h=^4.(n+2){3U),         2)     ^a,h*  ^  An(n  +  2\ 

3)      Va*  h^  =  (w  +  2y  (n  --- 1), 

Die  beiden  letzten  Formeln  werden  ans  der  Betrachtung  der  Schnitt- 
eruppe  der  einer  Geraden  zngehörigen  Kurve  (Z),  mit  O  und  aus  der  Natur 
des  Schnittpunktsjstems  dreier  Regelflfichen  (?),  (?'),  (Z")  gewonnen,  also 
ähnlich  wie  bei  Kummer;  die  erste  Formel  aber  entspringt  aus  der  Er- 
örterung der  Verwandtschaft  aut  <l>,  in  der  je  zwei  zusammengehörige  Brenn- 
pankte  einander  entsprechen  und  in  der  einem  ebenen  Schnitt  eine  Kurve 
4  («  +  l)**'  Ordnung  entspricht.  Die  Schnittkurven  der  Polarfläche  eines 
Punktes  P  und  seiner  (P)  entsprechen  einander.  Da  die  singulären  Punkte 
der  Kongruenz  die  einzigen  singulären  Punkte  der  Verwandtschaft  sind,  so 
ergiebt  sich  aus  der  Vergleichung  der  beiden  Gradzahlen  der  Schnitt- 
kurven die  Gleichung  [1].      Der   fundamentale   Kummer  sehe    Satz,    dass 

eine  Konfiguration  [2,  w]  —(n  —  2)  (fi  —  3)  Doppelstrahlen  besitzt,  wird  aus 

der  Betrachtung  der  Flächen  (P)  gewonnen;  da  drei  Punkte  in  der  ein- 
zigen (P)  liegen,  welche  zu  dem  Schnittpunkt  ihrer  drei  Nullebenen  gehört,  so 
bilden  sie  ein  lineares  System.  Ausser  der  Kurve  (Z),  welche  zu  P  P^  ge- 
hört, haben    die  Flächen  (P),  (P')   eine  allen  (P)  gemeinsame   Kurve  der 

Ordnung  —  («  —  2)  (n  —  3)  gemeinschaftlich.     Diese  Kurve  muss  notwendig 

aus  Punkten  mit  unbestimmter  Nullebene  bestehen ,  also  aus  Doppel- 
straUen  mit  unbestimmter  Nullebene  für  jeden  ihrer  Punkte.  Durch  jeden 
singulären  Punkt  Sn  muss,  da  er  auf  der  zwei  (P)  gemeinschaftlichen  Kurve 

^Ä(Ä  — l)-fach    liegt,     diese     Zahl    von    Doppelstrahlen     hindurchgehen, 

welche  Doppelstrahlen  des  Kegels  (ßk)  sind^  der  deshalb  rational  ist.  Bei 
einem  Doppelsbrahl  d  besteht  die  Regelfläche  [d]  nur  aus  den  Kegeln  zweier 
singnlärer   Punkte,   die  auf  a  liegen  und  deren  Ordnungszahlen  die  Summe 

«  +  2  besitzen.     Jeder  Si^i  sendet— i(t  4-  l)  Doppelstrahlen  aus  und  be- 

dingt  ebenso  viele  Sn^iy  jeder  Sn  —  ,•  sendet  aber—  (;i  —  /  —  1)  (fi  —  i  —  2) 

Doppelstrahlen  aus,  deren  jeder  noch  einen  8(^2  trägt.  Es  muss  also, 
entweder  (e  +  2  ^  «  —  0 

1'  0  +  1)  i(n  ~  ;  ~  1)  {n  -  e  -  2)  <A(n  -  2)  {n  -  3) 
oder  (/  -(-  2  =  «  -  i) 

i-|K»  +  l*)(^0  +  l)  +  l)^^("--2)(;.-3) 

sein,  da  nach  der  obigen  Betrachtung  die  linke  Seite  die  geringste  Zahl 
<^er  Doppelstrahlen  ist,  die  auftreten.     Dies  ergiebt  die   Möglichkeiten:    Es 

>ind  ausser  den  S^  und  .Sg  ein  S^  _  i  («  —  1  >  2  j  und  g-  (»  -  2)  (n  —  3) 

singulare  Punkte   S^  vorhanden    oder   es    giebt  ausser  den   Ä\  und  S^   nur 

Singulare  Punkte   von   der   Ordnung  -/i-j-1,    und   es   ist  w  —  4    oder   6. 


12  Historisch -litterarische  AbteTlung. 

Berechnet  man  nun  aus  den  obigen  Formeha  a^  und  a^  und  bedenkt,  dass 
n  —  1  <  6  ist,  so  erhftlt  man  zunächst  6  Konfigurationen  von  der  ersten  Aii 

(2,  2),  (2,  3),  (2,  4)  (2,  5)  (2,  6)i  (2,  7) 
indem  bei  den  drei  ersten  ein  beliebiger  der  16,  5,  2  Punkte  S^y  8^^  S^  ik 
8n~-i  gekennzeichnet  werden  kann.  Die  Konfiguration  (2,  4)  tritt  noch  ein- 
mal als  solche  zweiter  Art  auf  und  es  bleibt  nur  die  eine  KonfiguratioD 
(2,  6)/7  mit  4  vierfachen  Punkten  und  8  Doppelpunkten  übrig.  Die  beiden 
Bezeichnungen  erster  und  zweiter  Art  bei  (2,  6)/  und  (2,  6)i7  sind  die 
umgekehrten  wie  bei  Kummer.  Hinsichtlich  der  Verteilung  der  singu- 
lären  Punkte  auf  die  singulären  Kegel  ist  schon  vorangegangen,  dass  eine 
singulare  Ebene  fünf,  ein  Kegel  zweiten  Grades  acht  singulare  Punkte  enthält 
Die  Gleichungen  f£Lr  die  a  ^Jp  (Anzahl  der  singulären  Punkte  h^^  Grades  auf  einem 
(ßi)  einschliesslich  der  Spitze,  wenn  h  ^=  t)  werden  einerseits  mit  Hülfe  des 
Schnittpunktsystems  zwischen  (/S,-),  der  (P)  von  8i  und  <Z>  gewonnen,  in  dem 
nur  zwei  nicht  singulare  Punkte  vorkommen.  Zweitens  wird  das  Schnitt- 
punktsystem einer  Kurve  Q)  mit  dem  Kegel  (ßi)  in  Betracht  gezogen. 
Die  so  gewonnenen  Formeln  genügen,  um  die  7  Kongruenzen  nach  Art  der 
singulären  Punkte  und  der  Gruppierung  der  singulären  Punkte  auf  den 
einzelnen  Kegeln  festzulegen  (324). 

Die  Gesamt -Kongruenz  aller  Doppeltangenten  von  (D  ist  eine  [12,38], 
so  dass  nach  Abzug  der  gegebenen  Kongruenz  und  ihrer  singulären  Ebenen 
eine  konfokale  Bestkongruenz  verbleibt,  deren  Entstehungsweise  angegeben 
wird.  Diese  konfokalen  Kongruenzen  werden  da,  wo  dies  angeht,  nach  der 
Methode  von  Hirst  mit  Hilfe  der  Regelscharen  hergestellt,  welche  die  ge- 
gebene Kongruenz  durchziehen.  Von  der  Fläche  (/)  lösen  sich,  wenn  l  zwei 
singulare  Punkte  enthält,  die  beiden  Kegel  derselben  ab.  Eine  sorgfölÜge 
Untersuchung  zeigt,  dass  die  Doppelkurve  der  Restfiäche,  bestehend  aus  der 
Doppelgeraden  l  und  einem  Bestandteil  der  /  zugehörigen  Kongruenzknrre 
von  so  hohem  Grade  ist,  dass  ein  weiteres  Zerfallen  der  Bestfläche  eintritt, 
dann  wenigstens,  wenn  die  Gerade  /  nicht  ein  Komplexstrahl,  die  beiden 
singulären  Punkte' unverbunden  sind.  Diese  Betrachtung  führt  bei  der  (2,  6)17 
zu  Paaren  von  Begelflächen,  welche  die  Verbindungslinien  zweier  un verbundener 
8^  enthalten.  Die  acht  8^  zerlegen  sich  in  zwei  Gruppen  von  vier  unter 
sich  un  verbundenen  Punkten,  die  vier  Kegel  der  Punkte  einer  Gruppe  haben 
die  anderen  vier  Punkte  8^  und  die  vier  S^  gemeinsam.  Jede  Gruppe  führt 
also  auf  sechs  Paare  von  Begelscharen.  Da  jede  dieser  Begelscharen  eine 
Mantellinie  aus  jedem  Kegel  (^'2)  au&immt,  der  einen  Punkt  der  anderen 
Gruppe  zur  Spitze  hat,  so  projicieren  alle  ihre  Geraden  die  vier  Punkt«  5^ 
unter  demselben  Doppel  Verhältnis;  diese  Flächen  und  Kegel  und  mit  ihnen 
(2,  6)//  gehören  also  einem  tetraedralen  Komplex  an,  dessen  Fundamental- 
tetraeder aus  den  vier  Punkten  8^  besteht.  Aus  der  Gruppe,  welche  die  S^ 
mit  den  anderen  vier  Punkten  8^  bilden,  entsteht  derselbe  tetraedrale  Komplex; 
(2,  6)//  liegt  ausserdem  vollständig  in  den  Komplexen  dritten  Grades  aus  den 
Geraden  der  Oberflächen  zweiter  Ordnung,  welche  die  eine  oder  andere 
Gruppe   associierter  Punkte   enthalten.     Dies    führt   auf   zwei  Scharen  von 


Rezensionen.  13 

Regelflächen,  die  in  (2,  6)//  enthalten  sind.  Bei  allen  anderen  Kom- 
plexen mit  Ausnahme  von  (2,  7)  existiert  ein  ^»^i,  der  in  der  Ebene  eines 
S^  liegt  Yon  der  Kongruenz  -  Segelfläche  eines  in  (ßi)  liegenden  und  yon 
6'«_i  ausgehenden  Strahls  lösen  sich  die  beiden  Kegel  (ßi)  und  (^»-.i)  ab, 
und  es  bleibt  noch  eine  Segelfläche  übrig,  die  Sn—i^  sicher  aber  auch  S^ 
enthält,  weil  die  Gerade  den  in  (ß^)  liegenden  Kegelschnitt  von  0  noch 
einmal,  ausser  w  8n  —  i  schneidet  Durch  jeden  8^  ausserhalb  [iS^n_i],  durch 
jeden  iSi|,  der  nicht  mit  Sn^i  und  6\  yerbunden  ist,  und  durch  alle  S^  geht 
je  ein   Strahl  der  Begelschar.     Dies   ergiebt  eine   Begelschar,    die   durch 

genau  acht  assoziierte  Grundpunkte  hindurchgeht  und  1  +  -ö  (5  —  »)  (6  —  w) 

Tangentialebenen,  die  Ebenen  der  singulären  S^  in  der  Gruppe  besitzt, 
wenn  n  >  2  ist;  im  Falle  n  «^  2  kommt  noch  eine  achte  Tangentialebene 
deshalb  hinzu,  weil  (Sn^i)  in  einen  (ß^  übergeht.  Jede  der  erwähnten 
Tangentialebenen  enthält  noch  eine  zweite  veränderliche  Gerade  der  Segel- 
fläche; diese  dreht  sich  um  ein  ^»»i,  welches  in  der  Gruppe  der  asso- 
ziierten Punkte  enthalten  ist.     Auf  diese  Weise  konunt  man  bei 

(2,  6)/  (2,  5),  (2,  4)  (2,  3) 

auf  1,  2,  3,  5  Gruppen  assoziierter  Punkte,  die  aus  singulären  Punkten  be- 
stehen. Jedoch  nur  bei  (2,  6)/  ist  auf  diese  Weise  die  Gesamtzahl  der 
möglichen  Gruppen  erschöpft;  bei  (2,  5),  (2,  4),  (2,  3)  giebt  es  3,  6,  15,  bei 
(2,  2)  sogar  30  derartige  Gruppen.  Die  Strahlbüschel  um  8n~.i  und  die 
^■—1,  welche  die  Trägerfläche  der  Segelschar  in  die  Ebenen  von  8^  und 
S^  einschneidet,  sind  projeküvisch  zu  einander.  Aus  diesem  Grunde  sind 
(2, 2),  (2, 3),  (2, 4),  bei  welchen  die  Anzahl  der  Paare  5^ ,  Ä,  - 1;  S\,  Ä'« _ i, . . . 
grösser  als  1  ist,  Bestandteile  von  einem  oder  mehreren  tetraedralen  Kom- 
plex, die  mit  Hilfe  zweier  von  diesen  Strahlbüscheln  erzeugt  werden  können. 
(2, 3)  erweist  sich  als  Ort  der  Strahlen  ^  die  homologe  Strahlen  dreier 
projektivischen  Büschel  treffen,  die  jedoch  so  liegen  müssen,  dass  an  einer 
Stelle  drei  homologe  Strahlen  zusammenlaufen.  Gelangt  dieser  Punkt  in 
die  Ebene  der  drei  Zentra,  oder  haben  zwei  Strahlbüschel  einen  Strahl 
entsprechend  gemein,  so  entsteht  ein  (2,  2).  Diese  Kongruenz  erweist  sich 
also  als  Schnitt  eines  Gewindes  mit  einem  tetraedralen  Komplex.  (2,  5) 
Issst  sich  auf  ähnliche  Art,  wie  (2,  6)//  als  Bestandteil  eines  tetraedralen 
Komplexes  nachweisen.  (2,  6)/  und  (2,  7)  hingegen  können  einem  solchen 
Komplex  nicht  angehören,  weil  die  singulären  Punkte  von  höherem  als 
dem  zweiten  Grade  nur  in  den  Ecken  des  Fundamentaltetraeders  liegen 
können,  also  ihre  Zahl  nicht  grösser  als  4  sein  kann.  Die  Trägerfläche 
einer  Segelschar  der  Kongruenz  berührt  0  in  einer  Kurve  vierter  Ordnung 
erster  Art,  auch  die  Geraden  ihrer  Leitschar  sind  Doppeltangenten 
von  (Z>  und  bilden  eine  zweite  Kongruenz,  deren  Brennfläche  0  ist  Jedoch 
nur  bei  (2,  3)  und  (2,  2)  ist  auf  diese  Art  die  Sestkongruenz  völlig  er- 
schöpft, bei  (2,  7)  bis  (2,  4)  bleibt  noch  eine  Sestkongruenz  zu  betrachten. 
Bei  allen  Konfigurationen  erster  Art  giebt  es  so  viele  Systeme  von  Segel- 
flächen   dritter    Ordnung    als   8j^^i    vorliegen;    die   Kongruenzfläche    einer 


14  Historisch -litterarische  Abteilung. 

durch  Sn  —  i  hindurchgehenden  Geraden  zerfällt  in  (Sn  —  i)  und  eine  solche 
Begelfläche.  Die  einfachen  Leitgeraden  dieser  Flächen  bestehen  aiu 
Doppeltangenten  von  0  und  gehören  also  einer  nur  gegebenen  konfokalen 
Kongruenz  an;  dies  giebt  bei  (2,  7)  (2,  6)/ (2,  5)  (2,  4)  die  fehlende  Best- 
kongruenz. Bei  (2,  6)//  hat  jede  in  seinem  tetraedralen  Komplex  ent- 
haltene Sehnenkongruenz  erster  Ordnung  eine  Begelfläche  vierter  Ordnung 
mit  der  Fläche  gemeinsam;  <x>^  von  diesen  Flächen  besitzen  eine  einfache 
Leitgerade,  aus  denen  sich  die  Restkongruenz  zusanmiensetzt.  Auf  andere 
Weise  hat,  wie  beiläufig  erwähnt  werde,  Laguerre  die  konfokalen  Kon- 
gruenzen der  (2,  6)//  aufgefunden.  Bleiben  wir  mit  Laguerre  beim  Fall 
der  Normalenkongruenz  stehen,  so  setzt  sich  die  Kongruenz  aller  Doppel- 
tangenten der  Krümmungsmittelpunktfläche  zusammen  einmal  aus  den 
Normalen  der  Flächen,  sodann  aus  den  Geraden,  deren  Normalie  (Ort  der 
Fusspunkte  der  von  ihren  Punkten  aus  auf  die  Fläche  gefällten  Lote' 
zerfällt.  Enthält  die  Normalie  eine  Gerade  der  einen  oder  anderen  Schar, 
so  erhält  man  die  beiden  auf  die  erste  Art  hergestellten  konfokalen  Koc- 
gruenzen;  zerföllt  dieselbe  in  zwei  Kegelschnitte,  so  erhält  man  die  Best- 
kongruenz zehnter  Ordnung.  Um  die  von  einem  Funkt  ausgehenden  Strahlen 
derselben  zu  erhalten,  braucht  man  nur  die  Fusspunkte  der  sechs  von  ihm  an 
gefällten  Lote  zu  drei  und  drei  durch  Ebenen  zu  verbinden.  Dem  in  einer 
solchen  Ebene  liegenden  Kegelschnitte  des  Axenkomplexes  sind  unendlich 
Adele  der  Oberfläche  eingeschriebene  Dreiecke  umschrieben.  Die  Nonnaleii 
der  Fläche  in  den  Ecken  eines  solchen  Dreiecks  laufen  in  einem  Punkt 
zusammen,   der  eine  der  von  P  ausgehenden  Geraden  beschreibt. 

Zum  Schluss  dieses  Hauptabschnittes  werden  eindeutige  Abbildangen 
der  Kongruenzen  untersucht.  Dieselbe  ist  eindeutig  auf  die  von  den  rer- 
schiedenen  S^—i  ausgehenden  Ebenenbündel  und  die  in  den  einzelnen  (8^) 
liegenden  Punktfelder  bezogen.  Gleichartige  von  diesen  Gebilden  sind  dureii 
Cremen asche  Verwandtschaften,  die   näher  untersucht  werden,    verknüpft. 

Bei  der  speziellen  Behandlung  der  einzelnen  Kongruenzen  ist,  wie  es 
sich  gebührt,  der  (2,  2)  der  breiteste  Baum  gelassen.  Bezeichnet  man 
mit  1  einen  der  16  singulären  Punkte,  mit  2,  3,  4,  5,  6  die  in  seiner  Ebese 
liegenden  singulären  Punkte,  so  kann  man  jede  andere  Ebene  durch  di^ 
beiden  Punkte  kennzeichnen,  welche  sie  mit  der  ersten  Ebene  gemein  bftt. 
In  jeder  Ebene  ist  der  zugehörige  Punkt  unzweideutig  gegeben.  Es  siaii 
z.B.  die  durch  den  Punkt  [23]  hindurchgebenden  Ebenen  (12),  (23),  (31> 
(45),  (ö6),  (64).  Auf  Grund  dieser  Bezeichncng  wird  eine  genaue  Unter- 
suchung der  Ku mm  ersehen  Konfiguration  ermöglicht.  Am  wichtigsten  ist 
die  Aufstellung  der  fünf  Paare  von  Gruppen  assoziierter  Punkte,  die  ans 
paarweise  verbundenen  singulären  Punkten  bestehen.  Zwei  verbundene 
Punkte  bilden  eine  solche  Gruppe  mit  den  sechs  Punkten,  die  Ton  ihren 
beiden  Ebenen  ausgeschlossen  sind,  die  ergänzende  Gruppe  besteht  aus  den 
acht  Punkten  in  ihren  Ebenen,  es  zeigt  sich,  dass  bei  der  oben  beschriebenen 
Operation  je  zwei  solche  Gruppen  auf  dieselbe  konfokale  Kongruenz  f&hren  und 
zwar  tauschen  je  zwei  verbundene  der  16  Knotenpunkte  ihre  Ebenen  gBg^Ji 


K«zeiisioneti.  15 

Ander  aus.  So  gelingt  es  (882)  die  Tabelle  aa f zustellen ,  aus  welcher 
in  jeder  der  sechs  konfokalen  Kongruenzen  einem  Punkte  zugeordnete 
ene  ermittelt  werden  kann.  Indem  man  auch  je  zwei  dieser  neuen 
Qgruenzen  zusammenstellt,  kommt  man  im  ganzen  auf  15  Paare  asso- 
»rter  Grappen,  von  denen  jede  den  Übergang  von  einer  zur  anderen 
Dgmenz  vermittelt.  Auf  Grund  dieser  Tabelle  ist  leicht  zu  erkennen, 
IS  die  sechs  Gewinde,  denen  diese  Kongruenzen  angehören,  paarweise  in 
rolntion  stehen.  Bereits  bei  der  Untersuchung  der  Weberschen  Fünf- 
te, die  aas  der  Kongruenz  angehörigen  Verbindungslinien  von  singularen 
nkten  bestehen,  tritt  eine  Analogie  der  Konfiguration  zu  der  Fläche 
tter  Ordnang  in  die  Erscheinung.  Diese  tritt  in  Evidenz  mit  Hilfe  der 
tu  erwähnten  Abbildung  des  Strahlengewindes  in  den  Punktraum;  hierbei 
:spricht  der  (2,  2)  eine  Fläche  vierter  Ordnung,  welche  den  singularen 
gelschnitt  Jc^  doppelt  enthält;  die  fünf  Scharen  verknüpfter  Begelscharen 
den  sich  in  die  fünf  Doppelscharen  von  Kegelschnitten  ab,  welche 
I  Tangentialebenen  der  Kummer  sehen  Kegel  ausschneiden  etc.  Cremona 
t  seinerzeit  ans  einer  analogen  Betrachtung  die  konfokalen  Konfigurationen 
ler  (2,  2)  abgeleitet.  Er  bezog  dieselben  auf  die  fänf  Mannigfaltig- 
iten  doppelt  berührender  Oberflächen  zweiter  Ordnung,  welche  durch 
D  fundamentalen  Kegelschnitt  hindurchgehen.  Auch  er  hatte,  wie  es 
ch  Sturm  thut,  die  Fläche  vierter  Ordnung  auf  eine  HilMäche  dritter 
dnung,  die  X^i^  enthält,  abgebildet.  Teilt  man  die  Flächen  vierter  Ordnung 
ch  den  Bealitätsverhaltnissen  ihrer  Geraden  in  Arten  ein,  so  ergiebt  sich 
tsprechend  eine  *  Einteilung  der  Konfigurationen  2,2  nach  der  Realität 
r  Knotenpunkte;  entsprechend  den  fünf  wesentlich  verschiedenen  Arten 
r  Flächen  dritter  Ordnung  ergeben  sich  fünf  verschiedene  Gattungen 
D  (2,  2),  zu  denen  als  letzte  die  ganz  imaginäre  Konfiguration  und 
>  mit  imaginärer  Brennfiäche  hinzutreten.  Der  Nachweis,  dass  die 
>ppeltangenten  einer  Fläche  vierter  Ordnung  mit  16  Knotenpunkten 
sechs  getrennten  Konfigurationen  angeordnet  sind,  knüpft  an  den 
ichweis  der  Paare  assoziierter  Gruppen  an,  in  welche  die  16  Knoten- 
Bkte  zerlegt  werden  können.  Aus  einer  solchen  [^Jg  erhält  man  ein 
^tem  die  Fläche  überziehender  Raumkurven  vierter  Ordnung,  längs 
ren  sie  von  Oberflächen  zweiter  Ordnung  berührt  wird.  Verbindet 
m  einen  Punkt  einer  solchen  Kurve  mit  den  beiden  anderen,  welche 
s  Tangentialebene  von  0  auf  ihr  ausschneidet,  so  erhält  man  zwei  Fr- 
agende der  beröhrenden  Fläche,  die  zu  verschiedenen  Scharen  gehören. 
&a  kann  eine  bestimmte  dieser  Scharen  durch  die  Forderung  heraus- 
ben,  dass  ihr  durch  einen  festen  Punkt  von  (JV)g  gehender  Strahl  in  einer 
stimmten  der  beiden  durch  ihn  gehenden  Ebenen  von  (N)^  liegen  soll 
id  so  die  völlige  Trennung  der  sechs  von  einem  Punkt  von  (D  ausgehen- 

!n  Doppeltangenten  vornehmen.     Ausser  den  —(«  — 2)  (/«  — 3)  notwendigen 

oppelstrahlen  kann  eine  Kongruenz,    wie  bereits   Kummer   bemerkt  hat, 
»genannte    mögliche    Doppelstrahlen    besitzen.      Dies    tritt    ein,^  wenn    die 


16  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Kummersche  Fläche  Doppelgerade  besitzt.  Der  Untersaehusg  d 
Fälle  —  die  Zahl  der  Doppelgeraden  schwankt  zwischen  1  und  4  — 
der  letzte  Teil  des  Abschnittes  über  die  Kongruenzen  (2,  2)  gewidmet 

Die  Kongruenz  (2,  3)  stellt  sich  als  gemeinsames  Glied  von  10  t 
edralen  Komplexen  heraus,  die  6  konfokalen  Konfigurationen  gehen  mit 
von  15  Gruppen  (JV)g  assoziierter  Punkte  in  einander  über.  Der  Nach 
dass  eine  Fläche  vierter  Ordnung  mit  15  Knotenpunkten  die  Bremif 
von  6  Konfigurationen  (2,  8)  ist,  wird  geliefert  und  zum  Schluss  die 
zeugungsweise  erläutert,  von  der  Stahl  in  seiner  Bearbeitung  der  Kongr 
(3,  2)  ausging. 

Die  Kongruenz  (2, 4)  besitzt  drei  Gruppen  assoziierter  Punkt« 
ihrer  Brennfläche  gehören  vier  gleichartige  Konfigurationen.  Von  den 
schiedenen  Erzeugungsweisen  der  (2,  4)  ist  die  einfachste  die  mit  1 
zweier  quadratisch  bezogenen  Felder,  aus  ihr  heraus  werden  die  h^ 
sächlichsten  Eigenschaften  der  Kongruenz  nochmals  entwickelt. 

Auch  (2,  5),  (2,  6)  /,  (2,  7)  erfahren  eine  kurze  Behandlung  in 
oben  angedeuteten  Sinn.  Auf  Grund  der  Bohn 'sehen  Untersuchungen  i 
sich,  dass  nicht  jede  Oberfläche  vierter  Ordnung  mit  13,  12,  11  Kno 
punkten  in  der  oben  betrachteten  Art  zerfallende  Konfigurationen  bes 
Für  die  dualen  Formen  dieser  Komplexe  werden  die  Caporali'schen  Em 
ungen  gegeben:  ein  Gebüsch  von  Kegelschnitten  einer  Ebene  ist  kollinear  auf 
Ebenenraum  bezogen.  Jeder  Punkt  gehört  allen  Kegelschnitten  eines  Netzes 
und  wird  mit  dem  Zentrum  des  zugehörigen  Ebenenbündels  verbunden, 
interessantes  Beispiel  von  (7,  2)  bilden  die  Asymptoten  aller  dorcfa  i 
Punkte  möglichen  Raumkurven  dritter  Ordnung. 

{^1  6)//  erfährt  eine  ausführlichere  Behandlung  und  verdient  die^ 
schon  deshalb,  weil  alle  Konfigurationen  geringerer  Klassenzahl  als  besond 
Fälle  von  ihr  zu  betrachten  sind.  Beim  Übergang  von  einer  gegebei 
Konfiguration  (2,  6)//  zu  einer  konfokalen  behalt  die  eine  Omppe 
ihren  Grad  und  Kegel,  die  andere  Gruppe  tauscht  die  Bolle  mit  den 
Hieraus  sieht  man,  dass  auch  die  8^  eine  Gruppe  assoziierter  6rap{ 
bilden,  deren  Geradenkomplex  die  beiden  konfokalen  KonfigurationeL 
gehören.  Aus  den  allgemeinen  Entwickelungen  ist  die  St  ah  lösche  EntstBimn 
weise  der  (2,  6)//  evident.  Sie  wird  von  einer  Begelschar  beschrie 
wenn  der  Träger  derselben  in  einem  Bündel  verbleibt  und  an  einem 
Grundpunkte  die  von  ihm  ausgehende  Gerade  der  Regelschar  einen  K< 
beschreibt,  welcher  vier  der  acht  Grundpunkte  enthält.  Auf  Grund 
Thatsache,  dass  die  Konfiguration  einem  Tetraederkomplex  angehört,  M 
man  die  (2,  6)//  als  Ort  der  Strahlen  auffassen,  die  homologe  Ger&dj 
dreier  projektivischer  Regelscharen  treffen.  Doch  müssen  in  vier  der  &4 
Schnittpunkte  homologe  Tripel  zusammenstossen.  Nachdem  noch  die  ki^ 
matische  Bedeutung  von  (2,6)//  hervorgehoben  ist  —  ein  Stab,  der  mitf^stö 
Punkten  auf  drei  Ebenen  gleitet,  beschreibt  eine  (2,  6)7/  —  wird  dw  -^^ 
treten  „möglicher"  Doppelstrahlen  bei  den  Konfigurationen  (2, 5)  bis  (V 
untersucht. 


Hezensionen.  17 

/  Von  den  drei  yerschiedenen  Gattxmgen  der  Konfigurationen  (2,  n)  mit 
hgnlären  Linien  erledigen  sich  die  beiden  ersten  sehr  leicht.  Die  einzige 
idmenkongmenz  ist  die  (2^  6),  auf  welche  die  Kaumkurve  vierter  Ordnung 
Bter  Art  föhrt.  Sind  zwei  singulare  Linien  vorhanden,  so  hat  man 
amal  den  Fall  zweier  Kegelschnitte  mit  zwei  gemeinsamen  Punkten,  zwei- 
BS  den  Fall,  dass  die  eine  singulare  Kurve  eine  Gerade  ist,  welche  die  andere 
^  Ordnnng  in  (n  —  2)  Punkten  trifft.  Hierzu  könnte  man  selbstver- 
indlich  Kongruenzen  treten  lassen,  die  aus  einer  (2,  »i)- Korrespondenz 
oter  den  Ebenen   eines  Büschels  und  den  Punkten  seiner  Aze  entstehen. 

Der  schwierigste  Fall  ist  der,  wo  nur  eine  singulare  Linie  vorliegt, 
fürde  man  die  Brennfläche  von  vornherein  geben,  so  könnte  der  Tangential- 
^el  ans  einem  Funkt  der  singulären  Linie  stets  zerfallen  und  nur 
aer  dieser  Bestandteile  der  Kongruenz  angehören.  Deshalb  wählt  der  Yer- 
üser  die  folgende  Untersuchungsform:  Gegeben  ist  eine  Kurve,  von  jedem 
onkt  derselben  gehen  ein  Kegel  h^^^  Grades  und  t  einzelne  Gerade  einer 
^mgmenz  aus,  dieselben  stützen  sich  weder  auf  eine  zweite  Kurve  noch  ein 
veites  Mal  auf  die  gegebene.  Dann  ist  entweder  (A)  die  singulare  Linie 
be  Gerade  oder  sie  ist  keine  Gerade,  und  man  hat  die  Fälle  (B)  h  =  l, 
=  1,  (C)7is=2,  t=0.  Die  Gattung  (A)  besteht  aus  den  Tangenten  aller 
Igelschnitte,  die  bei  einer  Fläche  n^^  Ordnung  mit  (w  — 2)-facher  Geraden 
ttse  iweunal  treffen.  Bei  den  Gattungen  (B)  und  (c)  werden  die  Schu- 
tacherschen  Erweiterungen  zu  Kummers  Resultaten  genau  aufgeführt. 
^  allgemeine  Fall  von  {B)  entsteht,  wenn  man  eine  unikursale  Baum- 
ture  30  auf  einen  Kegel  projektivisch  bezieht,  dass  jeder  Punkt  in  der 
sgehörigen  Tangentialebene  des  Kegels  liegt,  und  die  Strahlbüschel  zu- 
unmenfasst,  die  jeder  Punkt  in  die  zugehörige  Tangentialebene  sendet, 
in  spezieller  Fall  ist  der,  dass  die  Baumkurve  auf  dem  Kegel  selbst  liegt 
^  die  Spitze  (»—2) -fach  enthalt.  In  diese  Klasse  gehören  die  von  Kummer 
onerkten  Fälle.  Von  der  dritten  Gattung  besteht  eine  Art  aus  den 
Agenten  eines  Kegels,  die  von  den  Punkten  einer  (ebenen)  Kurve  /ü*®'  Ord- 
"ög  ausgehen,  welche  die  Spitze  (f*— l)-fach  enthalt,  eine  zweite  und 
ntte  aus  Kegeln  zweiten  Grades,  welche  von  einem  Kegelschnitt  oder 
^^  Raumkurve  dritter  Ordnung  ausstrahlen,  und  speziell  zu  ihr  gelegene 
iaf  Punkte  projizieren. 

I)er  dritte  Band  des  Werkes  beginnt  mit  der  Untersuchung  der  Korn- 
lexflaclie,  welche  einer  Geraden  /  hinsichtlich  eines  Komplexes  zweiten 
'Ädes  r^  zugeordnet  ist.  Die  Kegel,  welche  von  Punkten  von  /  ausgehen, 
nfaüllen,  die  Kegelschnitte,  welche  in  den  Ebenen  von  1  liegen,  beschreiben 
^^  Fläche,  welche  /  zur  Doppelgeraden  hat,  8  Doppelpunkte  und  8  in 
Igelschnitten  berührende  Ebenen  besitzt.  Diese  16  Elemente  lassen  sich 
^  vier  Arten  zu  zwei  Möbiusschen  Tetraedern  anordnen  und  ergeben  zu- 
^men  mit  der  Geraden  I  und  ihrer  Polare  /'  die  vier  Klein  sehen  in 
Evolution  stehenden  Gewinde  von  /.  Der  Verfasser  verwendet  zur  ünter- 
ichung  wesentlich  die  (2,  2) -Korrespondenz,  in  welcher  den  Punkten  von 
^e  /  enthaltenden  Tangentialebenen  der  von  ihnen  ausgehenden  Komplex- 

^t-1iu.  Abt.  d.  Zeltochr.  f.  Math.  u.  Fbys.  4».  Jahrg.  lHQü.  1.  lieft  «2 


lg  Histomch-litterarische  Abteilung. 

kegel  entsprechen.  Wir  gestehen,  dass  wir  diese  Entwickelnng  liehei 
aus  der  konseqnenten  Ausnatziing  des  Begriffes  der  singolSren  Ebene  n 
singnlären  Punktes  gefährt  s&hen.  Da  der  Eomplexkegel  eines  Punkt 
wendig  zerfallen  moss,  wenn  drei  seiner  Strahlen  in  einer  Ebene  liegen 
sofort,  dass  alle  Schnittpunkte  dreier  zu  einer  Geraden  gehörenden  Ko 
kegel  singulare  Punkte  sind  und  deshalb  auch  allen  anderen  Eomplei 
von  l  angehören  und  paarweise  in  vier  von  J  ausgehenden  Ebenen  liege 
Verbindungsebene  dreier  solcher  Punkte  gehört  notwendig  zu  einem  I 
paar,  das  von  einem  Punkte  von  l  ausstrahlt,  muss  deshalb  noch  einen 
der  acht  Punkte  enthalten  etc.  Auf  natürlichste  Weise  wflrde  o 
erkennen,  dass  l  vier  singulare  Punkte  enthSlt  und  vier  singulare 
aussendet,  der  fundamentale  Satz^  dass  beide  Grruppen  projektivisd 
würde  natürlicher,  als  es  beim  Verfasser  geschieht,  auf  Stand ts  Tet 
satz  zurückgeführt  sein.  Für  die  synthetische  Untersuchung  der  Fläch« 
sich  femer  eine  Handhabe  daraus  ergeben,  dass  die  Kegel  —  als  1 
zweiter  Ordnung,  die  einem  Netz  angehören  und  eine  Gerade  berühren  - 
Büschel  zweiter  Ordnung  bilden.  Man  würde  die  Ton  den  vierpunk 
rührenden  Kegelschnitten  einer  Kurve  vieHer  Ordnung  wohlbekannt« 
Wickelungen  auf  die  Raumktirven  vierter  Ordnung  erster  Art  der 
übertragen,  in  denen  sie  von  den  Kegeln  berührt  wird. 

Die  Fläche  der  singulären  Punkte  ist  zunächst  von  der  der  sin 
Ebene   begrifflich   verschieden.     Da  den  Schnittpunkten   einer  Gerad 
der   ersten  Fläche  die  Tangentialebenen  an  die  zweite  Fläche  proje] 
zugeordnet   sind,    so   ist  jede  Tangente  der  einen  auch  eine  Tange 
anderen    Fläche    (522);    es    folgt    die   Identität  beider.     Es   wird  : 
übliche  Art   bewiesen,   dass   eine   singulare  Tangente  .<?   der  <I>  sow^ 
beiden  Zentra  der  Strahlbüschel   ausschneidet,   welche   der  Komplex 
Berührungsebene  der  Tangente  besitzt,  als  auch  die  beiden  Ebenen 
Fläche   sendet,   in   denen   die  Strahlbüschel   des  Berührungspunktes 
0  ist  die   eine  Brennfläche  der  Kongruenz   aus  den   s^   der  andere 
punkt  trennt  mit  dem  Berührungspunkte   eines  singulären  Strahles 
Schnittpunkte  harmonisch. 

Dass  die  Komplexfläche  eine  Kummer  sehe  Fläche  ist,  wird  ab 
aus  der  Betrachtung  des  Charakters  der  Komplexkurven  abgeleitet  (l 
Zu  jedem  Komplex  zweiten  Grades  sind  deshalb  sechs  Gewinde  kons) 
welche  zu  den  quadratischen  Kongruenzen  der  Kummerschen  Fläche  g 
Ordnet  man  je  die  zu  demselben  quadratischen  Komplex  gehörigen  1 
tangenten  zweier  Punkte  von  0  einander  zu,  so  entstehen  projekt 
Strahlengmppen.  Hat  man  eine  Tangente  beliebig  ausgewählt,  so 
durch  diese  Projektivität  eine  zweite  in  einer  beliebigen  Tangentiaieb^w 
zugeordnet.  Jede  so  entstehende  Kongruenz  S  besteht  aus  den  singulären 
Strahlen  eines  Komplexes  vom  zweiten  Grade.  Der  Verfasser  benutzt  rm 
Beweise  des  ersten  Teils  die  Korrespondenzen  (2, 2),  welche  eine  der  sechs  kon* 
fokalen  quadratischen  Kongruenzen  zwischen  den  Punkten  und  Ebenen  einer 
Geraden   l   hervorruft.      Die  Verzweigungspunkte   der  Punktreihe  sind  di? 


RezenBionen.  ig 

punkte  Ä,  A\  Ä",  A'"  mit  0.  Die  Doppelpunkte  B,  B\  B",  J?'"  werden 

n  Geraden  ansgesolinitten,  welche  die  Kongraenz  in  die  Tangential- 

A  ß\  ß"i  Z'"'  ^^°  ^  einschneidet.     Es   sei   nnn  so  bezeichnet,   dass 

AA^A"Ä"7\ßß'ß"ß^'\ 
Ifflich  auch 
^  AA'A"A'"7\BB'B"B''' 

enn  man  nun  die  Korrespondenz  sich  an  zwei  Tangenten  einer  Kurve 
Klasse    yersinnbildlicht,    so    sind    nach    dem    dualen   Fall    eines 
ter sehen  Satzes 

AA\    A"^'",    BB\    B''B"' 

einer  Inyolution.  Auch  je  zwei  andere  Tangenten,  welche  von  derselben 
hs  konfokalen  Kongruenzen  in  ß  und  ß'  liegen,  schneiden  ein  Paar  dieser 
A  A\  A*'A"'  schon  bestimmten  Inyolution  aus.  Den  Nachweis,  dass  jede 
Ire  Kongruenz  auf  einen  quadratischen  Komplex  führt,  hätten  wir  aus- 
her  gewünscht.  In  die  Reihe  der  konsingpolären  Komplexe  gehören 
iie  doppelt  gedachten  Gewinde  T^,  Fg, . . .,  F^  der  sechs  konfokalen 
oenzen.  Die  Kongruenz  S  erweist  sich  schon  jetzt  als  Schnitt  (unend- 
&her)  konsingulSrer  quadratischer  Komplexe. 

Me  Gesamtheit  der  konsingul&ren  Gebilde  erweist  sich  als  ein  quadra- 
i  Gebilde,  insofern  die  in  zwei  beliebigen  Ebenen  liegenden  Komplex- 
chnitte  projektiyisch  bezogene  Büschel  zweiter  Ordnung  beschreiben,  in 
die  bezüglichen  Geradenpaare  der  sechs  konfokalen  Kongruenzen  homologe 
ie  sind.    Sehr  befriedigend  wird  man  die  Herleittmg  dieses  Stahl  sehen 
nicht  finden    können.     Der  Beweis   wird   darin    erblickt,    dass   die 
ichnittreihe  die  erste  Charakteristik  2  besitzt     Es  folgt  nun  die  Unter- 
ig der  Polar -Verhältnisse  auf  Grund  der  Plück  ersehen  Definitionen, 
"berleitung  auf  die  Anschauungen,  welche  der  zweite  Teil  des  Bandes 
>n  wird,  folgt  eine  Untersuchung  der  Involutionen  vom  Geschlecht  1, 
a  auf  einer  Regelfläche  vierter  Ordnung  mit  zwei  windschiefen  Geraden 
sradenpaaren  gebildet  werden  können.  Solche  Involutionen  sind  paarweise 
aden  in  der  Art,  dass  jedes  Paar  der  einen  mit  jedem  Paar  der  anderen 
ler  Regelschar  gehört.     Jede   der  vier  Doppelgeraden  der  einen   er- 
also    mit   jeder    der   vier  Doppelgeraden   der  anderen   Berühmngs- 
e  von  Doppeltangenten  der  Fläche.     Da  jedes   derartige  Geradenpaar 
eziprok  in  Bezug  auf  eine  von  vier  Flächen  zweiter  Ordnung  ist,  die 
eise    in   Involution    liegen,    so    zerfällt   die    Kongruenz   der   Doppel- 
iten   in  vier  getrennte  Kongruenzen.     Die  vier  in   einem  Punkte  be- 
iden Doppeltangenten  und  die  Erzeugende  des  Punktes  bilden  einen  sich 
selbst  projektivischen  Wurf,    so  dass  die  Fläche  später  als  Singularitäten- 
fläche einer  Mannigfaltigkeit  von  Komplexen  zweiten  Grades  mit  zwei  Doppel- 
geraden  hervortritt. 

Die  Regelfläche  vierter  Ordnung  mit  zwei  Doppelstrahlen,  die  ein 
Strahlennetz  mit  einer  F^  gemein  hat,  zerfallt,  wenn  das  Strahlennetz  zwei 
Strahlbüschel  von  F^  enthält,  in  diese  und  eine  Regelschar,  oder  in  vier  Strahl- 


20  Historisch -litterarische  Abteilung. 

bfischel,  je  nachdem  die  ersteren  Strahlbüschel  einen  Strahl  gemein  bba  — 
sich  schneiden  —  oder  nicht.     Zwei  beliebige  Gerade  der  Leitfidur  s&er 
Begelschar  von  F'  können  als  Leitstrahlen  eines  sie  enthaltenden  Netus  laf- 
gefasst  werden.     Seine  mit  F^  gemeinschaftliche   Fläche   besteht  aus  ixt\ 
Begelscharen ,  welche  zwei  Gerade  gemein  haben  oder  sich  zweimal  sdmadan 
Man    erhält    ans    einer   Regelschar  aof  diese   Weise    (X>'   ihr  verbandair 
Begelscharen,    ein  sogenanntes  Feld.     Nimmt   man   zu  allen   diesen  Begei- 
scharen   die  verbundenen  Begelscharen,    so   erhält   man    das  Gebüsch  Ton 
Begelscharen,  das  die  ursprüngliche  Begelschar  enthält,   eine  Mannig&Mg 
keit,  von  der  je  zwei  Glieder  durch  zwei  Operationen  der  obigen  Art  Ter- 
bunden  sind.     Die  Mittelglieder  dieser  Ketten  bilden  ein  zweites  denrtiges 
Gebüsch.     Diese  „verbundenen"  Gebüsche  stehen   in    der  Beziehung,  dasi 
ungleichartige    Begelscharen    als   Endglieder   einer   Kette    von   zwei,  tIc: 
sechs, . . .  nach  einander  verbundenen  Begelscharen  ao gesehen  werden  könneiL 
gleichartige  aber  als  Endglieder  einer  Kette,  von  drei,   fünf,  ...  derartiger 
Begelscharen  betrachtet  werden  kOnnen.    Es  lässt  sich  eben  jede  Kette  von 
2  n  +  1    oder  2  n  solcher  Begelscharen  auf  eine  solche  von  drei  oder  vier 
Gliedern  zurückführen.    Greift  man  eine  Begelschar  des  einen  Gebüsches  imd 
eine   ihr  nicht  direkt  verbundene  Begelschar  des  zweiten  ibr  verbundenec 
Gebüsches  beliebig  heraus,  so  kann  jede  Begelschar  des  ersten  Gebüsch«? 
mit  der   ersten  Begelschar  durch   ein  Netz,    mit    der    zweiten   durch  eis 
Gewinde  verbunden  wdrden;  diese  Bündel  von  Netzen  und  Gewinden  tnUi 
in  reziproke  Beziehung  und  erzeugen,  da  die  Begelscharen  eines  Gebüsches 
bereits  die  gesamte  F^  erschöpfen,   diese   vollständig.     Wir   gestehen,  uns 
gewundert  zu  haben,  dass  der  Verfasser  diese  fundamentale  von  Schur  ent- 
wickelte Erzeugung  des  Komplexes  zweiten  Grades  so  weit  zurückgeflcbobes 
hat.     Vielleicht  wäre  es  am  Platze  gewesen,  diese  fundamentale  Eigenschaft 
an  die  Spitze  seiner  Darstellung   zu  stellen.     Auch   scheint  uns^  dass  der 
Verfasser  hier  etwas  nachdrücklicher  auf  die  Arbeit  von  Schur  hätte  hin- 
weisen kOnnen,  wie  überhaupt  an  einzelnen  Stellen  ein  genaueres  Eingehen 
auf  die  —  an  sich  mit  grosser  Vollständigkeit  angefahrte  —  ausgedehnte 
Litteratur  erwünscht  gewesen  wäre.    Ein  Begelschar- Gebüsch  ist  eine  lineare 
Mannigfaltigkeit  dritter  Stufe,    und  reziprok  auf  das   verbundene  Gebüsch 
bezogen,  indem  jeder  Begelschar  des  einen  das  verbundene  Feld  des  anderes 
Gebüsches   entspricht  und  auch  Paare  einfach  unendlicher  Beihen  von  (3er 
Art  existieren,  dass  jede  Begelschar  des  einen  mit  jeder  Begelschar  des  anderen 
verbunden  ist.    Die  Leitstrahlen  sämtlicher  einem  Gebüsch  angehöriger  Be^^- 
scharen  erhält  man  bereits,  wenn  man  nur  ein  Feld  des  Gebüsches  in  Betracht 
zieht;  diese  Leitstrahlen  bilden  mithin  einen  Komplex  und  zwar,  wie  eben- 
falls Schur  erwiesen  hat,  einen  konsingulären  Komplex.     Die  Gradzahl  (Si 
wird  durch  Abzahlung  ei'schlossen;  dass  der  Komplex  mit  dem  ersten  kon- 
Singular  ist,  kann  mit  Hilfe  der  in  zwei  Strahlbüschel  zerfallenden  Begel- 
scharen des  Feldes  nachgewiesen  werden. 

Die    Gewinde,    welche    die    Leitscharen    irgend    zweier    Begelscharen 
zweier  verbundenen  Gebüsche   verbinden,   bilden  eine  quadratische  Mannig 


Rezensionen.  21 

äl^gkeit  VierUr  Stufe.  ^Alle  diese  Mannigfaltigkeiten  bilden  ein  Büschel, 
essen  Baäis  ans  den  oo^  anf  die  Strahlen  des  Komplexes  F^  sich  stützenden 
M  el>üschen  besteht.  Eine  quadratische  Eongmenz  C^  enthält  fünf  Paare  ver- 
:iiupfter  Ofteihen  von  Eegelscharen;  hierauf  lässt  sich  der  Nachweis  gründen, 
isLsa  durch  sie 'ein  Büschel  von  Komplexen  F^  sich  hindurchlegen  lässt.  Die 
Betrachtung  aller  in  einer  F^  enthaltenen  C^  ergiebt,  dass  ihre  Brennflächen  die 
>Lngularitätenflächen  berühren,  und  zwar  eine  jede  in  der  Kurve  aus  den  Punkt- 
inadmpeln,  in  denen  die  Regelflächen  irgend  einer  der  Reihen  von  C*  <2>  be- 
-ülrren;  die  vier  zugehörigen  Strahlen  der  Regelschar  sind  die  in  ihr  ent- 
laltenen  singulären  Strahlen  von  P^,  das  heisst  ihr,  dem  unendlich  nahen 
fonsingulären  Komplex  und  der  Regelschar  gemeinsam.  Hieran  schliesst 
sicli  die  Betrachtung  der  „konsingulären*^  Kongraenzen,  welche  durch  ein 
Pondamentalgewinde  aus  einer  Reihe  F  (r^  konsingulärer  Komplexe  atis- 
geschnitten  werden. 

Man  kann  als  Grundelement  das  Dupel,  die  Zusammenstellung  zweier 
beliebiger  Strahlen  eines  Komplexes  F^  wählen;  von  einem  Dupel  (7^  werden 
^^o'  andere  getragen,  bilden  mit  ihm  den  vollen  Durchschnitt  einer  Regel- 
schar mit  r*;   die  Gesamtheit   der  Dupel,  ^welche  von   diesen  cx)^  Dupeln 
getragen  werden,  bildet  eine  ob-^- fache  Mannigfaltigkeit,  der  auch  die  oo'- 
fache  angehört, 'in  der  je  zwei  Glieder  mit  oc'  anderen  durch  zwei  Regel- 
flächen  verbunden   werden   können.     Die  Gewindebüschel,    deren   Strahlen- 
netze die  Grunddupel  eines  solchen  Systems  €5  zu  Leitstrahlen  haben ,  gehören 
einem    der    quadratischen    Systeme  8\    vierter    Stufe    an,    die  durch    F^ 
hindurchgehen.      Als   Ort    der  Dupel,  welche    von    einem  Dupel   getrogen 
werden,    kann   man   F^   durch   zwei   korrelative    Gebüsche    von   Gewinden 
erzeugen,  die  von  zwei  Dupeln  derselben  ®g  ausstrahlen.     Hieran  schliesst 
sich   unmittelbar   die   von  -Schur  gegebene  Erzeugung  einer  C^  durch    ein 
Bündel  von   Regelfläohen  •  und    ein   reziprok    bezogenes  Netz   von  Strahlen- 
netzen«     Man  kann  T^auch  definieren  als  den  Ort  der  Strahlen,  welche  die 
Grunddupel  eines  Gewinde -Gebüsches  8^  mit  den  Gewinden  eines  korrelativen 
S^  gemein  haben.    In  zwei  korrelativen  Gewinderäumen  «S'5,  S^'  giebt  es  cx^^ 
Gewebe,   die  einen  Grundstrahl  besitzen,  welcher'  zugleich  dem  entsprechen- 
den Gewinde  angehört;  der  Ort  dieser  Strahlen  ist  wiederum  ein  F\    Auch 
in   einer   quadratischen  Kongruenz  C^  und  auf  einer  Regelfläche   mit   zwei 
Doppelgeraden   giebt   es  Dupelsysteme.     Sie  können  daher  (659)  als  Basis 
eines  Büschels  von  S^*  bez.  S^^  angesehen  werden.     Der  Satz,   dass  durch 
einen    quadratischen   Komplex    ein   Büschel    quadratischer    Systeme    vierter 
Dimension    von    Gewinden    hindurchgeht,    ist   bekanntlich    deshalb    von    so 
bedeutender  Wichtigkeit,  weil  er  das  geometrische  Äquivalent  für  die  That- 
sache  bildet,   dass  die  Gleichung  eines  quadratischen  Komplexes    00    ver- 
schiedene Formen  zulässt.     Es    wird    deshalb   in   einer  Reihe  von  Kapiteln 
die  Betrachtungsweise   des   linearen  Raumes  fOnfter  Dimension  auf  S^^  an- 
gewendet,  Die  Aufteilung  seines  Polarsystems  fiihrt  sofort  zu  den  Sencupeln 
)^konjugierter'*  Gewinde.     Es  zeigt  sich,   dass  die  sechs  fundamentalen  Ge- 
winde von  r*  das  für  alle  S^^  durch  T*  gemeinsame  Sentupel  konjugierter 


Higtoiiscb-litt^rariBche  Abteilung. 

11  ^^^l^nde  bilden.  Die  Strahlen ,  deren  sämiliche  Polargewinde  Geb&ebe  mi 
.  .|^^g^  einen  Komplex  zweiten  Grades;  dieser  Nebenkomplex  geht  dnreä 
•a.vutli<^^^  singolären  Strahlen  des  Komplexes  hindorch. 

^ach  üntersachung  der  linearen  Mannigfaltigkeiten,  die  auf  einer  ^V 
nirlic^   sind,   and  genauerer  üntersachung  der  quadratischen  Sjst^ne  S{ 
«     %^  ^  setzt  der  Verfasser  eine  Abbildung  des  Komplexes  in   den  Punkt- 
1.XXX    aosoi'^t^d^i'*     Diese  beruht  auf  Abbildung  der  von  einem  Dupel  gt- 
^^en    Dupel  mittels  der  vermittelnden  Regelflächen.     Diese    Abbildimc 
lit    ii^    ®^°®  eindeutige  über,   wenn  man  die  beiden  Ausgangsstrahlen  v& 
*    aio   Strahlbüschel  des  Komplexes  entnimmt    Alsdann  zerfallt  jede  Regel- 
»iiLolie     wi    zwei     -   diesen   und  einen  anderen  ihn  schneidenden  —    Strabl- 
K«\Äcbel»    ^od   öS  l^mi  jeder  Strahl  des  Komplexes  eindeutig  auf  das  üji- 
iV^Bltende  Strahlbüschel,  das  sein  Zentrum  in  der  Ebene  des  ersten  Str&Ll- 
.   ^|j0lB    hat,  bezogen  werden.     Die  Abbildung  dieses  speziellen  Gebfedief 
einflchaligen  Hyperboloiden  ergiebt  die  eindeutige  von  Caporali  ett- 
t  oki^   Abbildung,  die  genauer  studiert  wird« 

pie    Einteilung    der   Komplexe    in    acht    Gattungen    beruht    auf  der 

11    t©r»ttohung    der   Polarsentupel    einer  S^^  und   lehnt   sich  an  analyÜÄ^e 

11    torftuchungen  B  eye 's    an.     Genau   wie  die   Oberfläche   zweiter  Ordnong 

gi»r«i*    Baumes,    zeigt    S^^    zu    allen   Polarsentupeln    das    gleiche   Ver 

I    It^n«    ^^^   durch   eine   der  sechs  Bezeichnungen 

(Ä  B  C  D  E I)] 
(ABC  DE,!)', 
{AB  CD,  EI); 
{A  B  C,  DEI) 

^^„iii'^oichnet  werden  kann.  Je  zwei  dm*ch  das  Komma  getrennte  Ge- 
wUtii^  lieHÜmmen  Büschel,  die  zwei  reelle  Gewinde  mit  S^^  gemein  h&beo. 
/vv«')  II loht  getrennte  aber  ein  Büschel,  welches  kein  Gewinde  von  <S/ ent- 
U^\l  '*'•  ^*®^  Formen  von  *S'^*  sind  die  reell -^imagin&re,  die  elliptisd«. 
yv(»h^htt  Mn^  reellen  Netze  xmd  Büschel  von  Gewinden  enthalt,  die  ellip- 
iNi'U  h.vi'ttrbolische,  welche  reelle  Büschel,  aber  keine  Netze  von  Gewindes 
..nlJiii^l  I  Oll ^n ich  die  hyperbolische  Form,  welche  reelle  Büschel  und  Netie 
,,i  UowüuUmi  enthält. 

hhi    Komplex  führte  nun  auf  ein  Büschel  von  S,^*\  das  allen  gemein- 
,    ruUiNniitupel    besteht    aus    den    sechs  Fondamentalgevmiden.    Wi^ 
K  i   uiKur   (((iradlinigen  Fläche  ein  Polartetraeder  entweder  ganz  reell 
,/.ima  him4(iiiiir  ist,   bei  einer  nicht  geradlinigen  Fl&che  aber  entweder 
r  H-M  MtuU  u<ler  zwei  reell,   zwei  imaginär  sind,  so   sind,    wenn  alle 
I*  .«iuild    imaginär    sind,    sämtliche   Sj   des   Büschels   hyperboliseb. 
.  (i(  iliü  isr«(«  Gattung  (hyperbolischer)  quadratischer  Komplexe.    Sind 
i  «Ml  laii4tu4Ulg« winde  reell,   so  hat  man  zwei  aas  hyperbolischen  ontl 
I«  ^«.1  ^tuiLdtiHobon  S^^  bestehende  Abteilangen  des  Büschels  von  S^^^  die 
"m  1 1  un^  ^uUiiitlsch -hyperbolischer)  Komplexe.    Sind  vier  Fundamental- 
i     •     li,    9U    «tutbält    das   Büschel    entweder    nur   hyperbolische  oiid 


<    M  I 

Hl 


Rezensionen.  23 

elliptisch -hyperbolische  Individuen  (dies  giebt  die  dritte  Gattung),  oder  es 
coxnmen  auch  elliptische  S^^  vor,  es  entsteht  so  ein  elliptischer  Komplex 
die  vierte  Gattung).  Der  letzte  Fall,  dass  aUe  sechs  Fundamentalgewinde 
'cell  8ind|  f&hrt  auf  vier  Gattungen  von  Komplexen,  von  denen  zwei 
elliptische  eine  elliptisch -hyperbolisch,  eine  reell  -  imagin&r  sind  (Z.  26  flg). 
Siu  elliptischer,  elliptisch -hyperbolischer,  hyperbolischer  Komplex  ent- 
lält  stets  reelle  Strahlen.  Nachdem  dieser  Weg  weiter  verfolgt  ist,  nimmt 
1er  Verfasser  Gelegenheit  (Z.  236  flg.),  die  quadratischen  Kongruenzen  auf 
ähnliche  Weise  zu  behandeln,  wobei  sich  mancherlei  Gelegenheit  zu  Er 
^nzungen  des  zweiten  Bandes  bietet.  Es  wird  sodann  die  Mannig- 
faltigkeit der  konsingularen  Komplexe  hinsichtlich  der  in  ihnen  vertretenen 
Gattungen  durchmustert. 

Nach  einem  Abschnitt  über  den  Battaglinischen  oder  harmonischen 
Komplex,   auf  dessen   Strahlen  zwei  Oberflächen  zweiter  Ordnung  sich  har- 
monisch   trennende   Punktgruppen    ausschneiden   und   der   das    Tetraedroid 
zur    singulären   Fläche    hat,    geht    der   Verfasser    auf   die   Komplexe    mit 
Doppelstrahlen   genauer  ein.     Ein   Doppelstrahl  ist  zugleich  eine  Doppel- 
gerade der  Singularitatenfläche.     Dieselbe    artet   in    die    Brennfläche   einer 
Kongruenz  C^   mit   möglichem  Doppelstrahl   aus,   oder,    was  dasselbe   ist, 
in    die  Komplexfläche   einer  zunächst  allgemein   gelegenen  Geraden  d  hin- 
sichtlich   eines    quadratischen    Komplexes  Fq^.     Die    Tangentenbüschel    in 
den   einzelnen  Punkten    der  Brennfiäche   senden   auch  nach  der  Geraden  d 
homologe  Strahlen,  der  zugehörige  konsinguläre  Komplex  besteht  aus  dem 
doppelt  gerechneten  Gebüsch,  in  den  auch  zwei  der  fundamentalen  Gewinde 
ausgeartet  sind.     Der   Komplex  kann   durch  die  Bezeichnung  [21 111]  ge- 
kennzeichnet   werden,     welche    ausdrückt,    dass    sich    zwei    Fundamental- 
gewinde vereinigt  haben.     Der  Zweck  der  ganzen  Entwickelung  ist  eben, 
die    Weierstraßsche    Theorie    der    Elementarteiler    iür    diesen    Spezial- 
fall mit  geometiischen  Mitteln   auszudeuten.      Die    Singularitätenflächen  fP 
der  Komplexe  mit  nicht  windschiefen  Doppelgeraden  können  nun  sämtlich 
als  Komplexflächen   einer   Geraden  d  hinsichtlich   eines   allgemeinen   Kom- 
plexes rj)'    gewonnen    werden.      Gelangt  z.  B.  d  in  Fq^   hinein,   so  arten 
drei    Fundamentalgewinde    in    das    Gebüsch    (d)    ans     und    man    erhält 
[3111],   wird  d   ein   beliebiger   singulärer  Stridil  des  Komplexes,   so    ent- 
steht  [411].     Einöm   singulären    Strahl  zweiter   Ordnung,   der  dreipunktig 
berührt,    korrespondiert    [51],    wenn    endlich    der    singulare    Strahl    vier- 
panktig  berührt,  so  erhält  man  [6],   alsdann  ist  aber  d,   dessen  Gebüsch 
samtliche  Fundamentalgewinde  aufgezehrt  hat,  temäre  Doppelgerade.    Wenn 
d  eine   gewöhnliche    Tangente    der    singulären    Fläche   ist,    so    erhält    die 
Komplexfläche  zwei  sich  schneidende  Doppelgeraden,  d  und  den  singuläreo 
Btrahl  d^  des  Punktes.     Der  Komplex  trägt  dann  die  Bezeichnung  [2  211]. 
Wenn   di    oder   d  dreipunktig  berührt,    so    entsteht    [3  2  IJ,    wenn    beide 
dreipunktig  berühren  [3  3].     Zerfällt  nun  die  Komplexfiäche  in  eine  Fläche 
dritter  Ordnung  mit  vier  Knotenpunkten  und  ihre  dreifach  berührende  Ebene 
oder    in    eine    Fläche    dritter    Klasse    mit    vier    Doppelebenen    und    den 


K I  «Uliltli|i{ii|>u(ikt   ihrer  DopfMlgendm ,   w  fcUn    n  ikr  >b  SrnfünUm 
ttHniia  «In  Kiimpiti  mit  drei  in  ciiwr  Ebene  begeBdea  oder  ätk  KkwidadR 
hi>|i|it<lt(iiriflen,       IfieM    l>«ideii    FXIk    [},  2, 2]'    imd    [3  3?]'    acta  o:    j 
WKiiii    ilU    linriKlfl  'l    in    eine    fUtionire  Ebene    da-  PBdie  tob  T,*  bioei:- 
(fulimijl,  Itn/.  tlurch  eineo  aiiigatireii  Punkt  denelbcB  Undmc^pelit:  mm  '  | 
In  iliKüKtii  HtrHiilea-Keld  oder  -BOiidel   besondere   LAgen   umimmt,  u  nt    j 
.l..liim  Kixniitox«)  |4,  2t'nnd  LCi'ond  Urnen  dual  [4,  S]"  lud  [6]".   [i.i.i'    | 
liimii/.l.    Ciiluoiid«  ansnliHuIif^he  Gatatehang.     Aof  jeder  Genden  der  dniiVi  , 
l>uiul<i«iiil«ii    Kt>«na    einer   Fläche    dritter  Ordnnng   mit   Tier  Knoteapimklt: 
trvotiitiiiiu  umii  don   l'unkl,   der  gegen  ihre  Ginscluiitte  in  die  drei  G«nda  | 
il«i    l'liliili»    Ullier    DliKim    heHtimmten   DoppelTerh&ltnis   liegt,    nnd  rerhiiid'  1 
il.ii   iiiit  iluiii  nt>r(thnin»(H|)unkt  der  einzigen  von  ihm  &n  die  PUche  gehfud;:  ^ 
likiiiiiuiliuliil'Biiti,   iimn   orhitit  dann   einen  siognUrea  Strahl  des  EompleiK  1 
lUii  itKittilmullKhil  l'liitNlehung  der  Komplexe  fahrt  anf  leichte  Bestimmmigfl.  | 
iliioi    MuiiiilKl'iillitfl'tilt   und   anf  Abhildnogen  derselben   in  den   Ponktnam  | 
Iliii«    aliiiliuli    itiiHi>liuiil|i-he    Herstellung    der   Komplexe    mit    windsctu«!« 
I>.>|i|.i>liiti'uhli>ii   tivl*l)vrt   nicht;   bereits   bei  der  ein^haten  Form  mit»« 
,;i  itiiliiiliilu'ii    llii)>|itiUtnihlen   berühren   die   singal&ren  Oeraden    eine  Reg^l- 
ilii'<lii>  Ulli  ilvit  l><i|i|>elstrab)en  d,  d'.    Dos  Qewindehüschel  d,  d'  besteht  mr 
.tut    (tiiKliviiiviiluleii  Uvwinden;   welcher  Thatbeatand   durch   die  Beieicbnin:£ 
I  [  I  n  1 1  k  1 1  <li<*  Koiu|iliiXöB  angedeutet  wird.    Existiert  sine  Itoppeleraeagenilr. 
■,>    liillou    i.\\v\    von   den    vier   Doppeltangenten -Kongmenzen   in   sein  Ge- 
Im.,  h   tiiiiuiui   Kiit   stitfubBriger  Komplex  ist  demrofolge  mit  [(ll)Sn]:i 
i>.     II  hu>'ii     iHu  Miii),'ultlr«n  Oeraden  des  Komplexes  [(11)31]  beiUhren  dit 

1^ ,'lll^lln"lu>    uiiioi'   OorHilcn    (l,    hinsiohtlicb    eines    Komplexes  mit  i^t: 

i',!:)..  li  "imU'ii  it  und  ''',  wobei  d  und  il'  TOn  rf[  getroffen  werden.    DereiSf 

'  ,;.    m    ili>iLi    (lio    !ttii);u)ttre  Fliehe    in  swel  Begelffitehen  lerfiUt,   and  eis 

„  ,.;.  'inii.i    Vixiooil   »US  lV>pi>elstrahlen  besteht,  ist  mit  [(ll)(ll)  li;  r. 

'.LI  II       .\>i«   vl^iu   wt>t'h»elnd<^u   gegenseitigen  Verhalten   dieser  b«id< 

,   ,    .;i'.;,it    uuiikiidei    r«$ulti«i-t<eu    i^ihhreiche   EiuelftUe,    di«  ein«  «i- 

,      l  iil>lJlll'llHllJ{    eilithivu. 

■■,    ',  I. ...  II  ilt'f    l'iiifuiij;   dii-sfs   ReiVrates   schon  weit   Ober  die  c^ 

,    ,1,   ,     ^.■li.ilti'iii'ii  titviiitn    biaau'»^ wachsen    ist,    müiscB    wir  he- 

..  _    1^.11,    inU   ilii-i>?u  Wtiteii  'Vt/H    lies  Werkes    aachdrtekiiehit  ta 

.,  .,  uwi\<<u  Kiii*i-tlt<-iten  erj,*t;b«[t  sich,  wie  &  Tabelle  in  l,?-'' 

'.iiiirii'ii    vi'u   Weilvrs  Aafiihluni:*a.     Die   letzte   ünm^^" 

A^^.     "^i^iv    'i>'^>  "*"  i^"    Ki'tit(<lt;se  mit  (ineQ'ilicb  rätes  Dopp«tsin^'~ 

.^  •     ^  »»^vln^     'I   Miiüi-onlaet  li-^iwn.     PfB  Abschluss  des  ganzen  Werl;^ 

.    •*•».■*.'■""■■.  ''''*'   B»t'»1f linisf-'bett  Kompl«e  mit  Doppeli-r»--: 

.         .*»t>.i*      '!•■»  K«t'wr«;e3  aioss  i.-h  aoiih  den  »afiäüistwi  Tinja:- 

^,    ,,v    >i-,.jii«.'huii^  der    th:>M"n    erften    Biade.    ifie  mir  brr^'-- 

.  .    .      itK'i-tr«g«a  wur-ie.  urst  jent  ettijl^     Infolge  ■ir-^'- 

.a  n^uöii^t,  die  BesyrwhüD«  imm«  wied»  m  ■- 

..iisthtvs».  Jieselbu  bis    nur  Vi'ileaämam  -te  p^''- 


EassT  £"'r 


Rezensionen.  25 

>ie   Zahl   and  das   Unendlichkleine.    Von  Dr.  Karl  Ooebel  in  Soest. 
Leipzig  1896.     Bei  0.  Fock.     47  Seiten  in  8^^. 

Der  Herr  Verfasser  verrät  Kenntnis  der  Oeschicbte  der  Philosophie, 
st  jedoch  als  Mathematiker  zu  den  Dilettanten  zu  rechnen.  Die  Leistungen 
>uhrings  in  seinen  „Neuen  Grundmitteln  und  Erfindungen  zur  Analysis, 
ügebra  etc."  scheinen  dem  Verfasser  ,,zu  den  interessantesten  Spekulationen 
ler  neueren  Mathematik"  zu  gehören.  Bei  der  Nennung  der  Irrational- 
lahlen  bleiben  die  hier  eigentlich  in  Betracht  kommenden  Fragen  nach 
ler  Existenz  und  Definitionsweise  dieser  Zahlen  dem  Verfasser  gänzHch  un- 
)ekannt.  Die  bezügliche  Auffassung  des  Verfassers  beurteile  man  nach 
ieioer  Angabe,  dass,  wie  die  Brüche  „die  Zwischenräume  oder  Differenzen 
r> wischen  den  ganzen  Zahlen  kleiner  machen,  so  die  Lrrationalzahlen 
n'iederum  die  Zwischenräume  zwischen   den  Gliedern   der   Zahlenreihe   ver- 

mgen  etc."  Die  durch  )/ —  1  angedeutete  Operation  schliesst  einen  Wider- 
ipmch  ein,  und  hierin  sieht  der  Verfasser  einen  Beweis  für  die  Nicht- 
Existenz  der  negativen  Zahlen;  denn  „sonst  könnte  die  aus  dem  Begriff 
ler  Zahl  folgende  Operation  bei  der  Anwendung  auf  sie  keinen  Wider- 
sprach ergeben.^  Dass  der  Versuch  gemacht  wird,  den  Begriff  des  Un- 
endlichkleinen historisch  zu  verfolgen,  ist  an  sich  gut;  nur  hätte  der  Herr 
Verfasser  seine  Anschauungen  in  dieser  Hinsicht  vorab  durch  Studium 
eines  zuverULssigen  Buches  über  Differentialrechnung  auf  eine  klare  Basis 
stellen  sollen.  Der  Lernende  ist  vor  dem  in  Bede  stehenden  Buche  nach- 
drücklichst zu  warnen.     Für  den  Kundigen  ist  diese  Warnung   überflüssig. 

BOBERT  FrICKE. 

Piimi  elementi  della  teoria  de!  nnmeri.    Per  ü.  Scarpis,  professore  nel 

R.   liceo   in   Verona.     Milano    1897.      Bei    ü.  Hoepli.     VIII   und 
152  Seiten. 

Das  vorliegende  Büchelchen  reiht  sich  als  neuestes  Glied  den  zahl- 
reichen von  der  Verlagshandlung  ü.  Hoepli  veranstalteten  Elementar- 
bflchem  in  Taschenformat  an.  Die  Elemente  der  Theorie  der  Zahlen  unter 
Ausschluss  der  Theorie  der  quadratischen  Formen  kommen  diesmal  zur  Be- 
handlung, und  die  Darstellung  ist  von  Herrn  U.  Scarpis  in  übersicht- 
licher und  ansprechender  Weise  geleistet  worden.  In  den  fünf  Haupt- 
kapiteln des  Buches  sind  der  Reihe  nach  die  Eigenschaften  der  Teiler  und 
Vielfachen  einer  Zahl,  die  Kongruenzen  im  allgemeinen,  die  vollständigen 
Restsysteme  nach  einem  Modul,  die  binomischen  Kongruenzen  und  die 
quadratischen  Beste  behandelt.  Die  Besprechung  der  Kreisteilungsgleichungen 
in  Kapitel  VI  beschränkt  sich  fast  ausschliesslich  auf  die  Betrachtung  der 
Beispiele  it  =  5  und  n  »» 1 7,  und  entsprechend  ist  das  siebente  Kapitel, 
die  Einteilung  des  Kreises  in  n  gleiche  Teile  betreffend,  seinem  Umfang 
nach  bemessen.  Diese  Beschränkung  dürfte  aber  eher  ein  Vorzug  als  ein 
Nachteil  des  Buches  sein. 


26  Higtori seh -litterarische  AbteOung. 

Übrigens  mass  das  Zitat ,  welches  der  Herr  Verfasser  aof  Seite  114 
seines  Baehes  zof&gt,  and  welches  eine  1893  in  den  Annali  di  matematia 
erschienene  Arbeit  von  Zignago  betriflft,  lebhaftes  Bedaaem  erwecken 
Herr  Zignago  glaubt  a.a.O.  einen  elementaren  Beweis  des  zaent  tol 
Dirichlet  bewiesenen  Satzes  za  geben,  dass  in  jeder  arithmetischen  Bäh^ 
in  welcher  Anfangsglied  und  Differenz  relativ  prim  sind,  unendlich  Tid^ 
Primzahlen  enthalten  sind.  Die  von  Zignago  angestellten  Betrachtungen 
erwecken  auch  durchaus  die  Hoffnung,  dass  auf  dem  von  ihm  eingeschlagenes 
Wege  der  Beweis  des  ^glichen  Theorems  gelingen  möchte.  Indess  ir 
auf  der  sechsten  Seite  der  Zignago  sehen  Publikation  der  Cbergang  m 
der  dritten  und  vierten  Gleichung  daselbst  zur  fBnften  und  sechsten  fehler- 
haft, und  alle  hieraus  weiter  gezogenen  Folgerungen  sind  hinfiUHg.  Di^ 
Angabe  von  Herrn  Scarpis,  dass  Herr  Zignago  „in  einer  höchst  geis: 
reichen  und  elementaren  Weise  das  berühmte  Theorem  von  Dirichlet  be- 
wiesen habe,  welches  der  Kraft  eines  Gauss  und  Legendre  widerstandeo 
babe^\  entspricht  demnach  leider  augenblicklich  den  Thatsachen  nicht;  nod  e> 
ist  zu  bedauern,  dass  Herrn  Scarpis  dieser  Umstand  entging.  Einen  Td) 
der  Schuld  tragt  allerdings  Herr  Zignago  selber,  welcher,  obschon  er 
gleich  nach  Erscheinen  seiner  Arbeit  in  den  Annali  brieflich  auf  die  Be- 
weis! Qcke  aufmerksam  gemacht  wurde,  eine  Ausfüllung  der  Lficke  oder 
Zurückziehung  der  Arbeit  in  der  gleichen  Zeitschrift  unterlassen  hat 

Robert  Fricke. 


Lfhrbneh  der  Algebra.  Von  Heinrich  Weber,  Professor  der  Mathematit 
an  der  Universität  Strassburg.  In  zwei  B&nden.  Zweiter  Band. 
Braunschweig  1896.    Yieweg.    XIV  und  794  Seiten. 

In  verhftltnismUssig  sehr  kurzer  Zeit  hat  Herr  Weber  dem  im  vor 
letzten  Bande  dieser  Zeitschrift  S.  179  flg.  besprochenen  ersten  Bande 
seines  Lehrbuches  der  Algebra  den  zweiten  Band  folgen  lassen.  Das  Werk 
wird  damit  zunächst  vollständig;  doch  nimmt  der  Herr  Verfasser  eine  Fort- 
setzung, welche  namentlich  die  Anwendungen  der  Algebra  im  Gebiete 
der  elliptischen  Funktionen  betreffen  soll,  fEür  später  in  Aussicht. 

Der  zweite  Band  schliesst  sich  durchaus  an  den  ersten  an,  und  beide 
sind  somit  geeignet,  den  Lernenden  von  den  Elementen  an  in  die  schwieriger«!) 
Teile  der  modernen  Algebra  einzuführen.  Dabei  dürfte  die  besondere  Be- 
deutung des  zweiten  Bandes  darin  bestehen,  dass  es  Herrn  Weber  mit 
glücklichem  Erfolge  gelungen  ist^  selbst  solche  Errungenschaften  der  Algebra 
welche  der  neuesten  Entwickelungsperiode  derselben  angehören,  zu  einen 
wohlgegliederten  Ganzen  zu  vereinigen. 

Es  ist  so  vor  allem  erreicht,  dass  der  in  der  modernen  Mathemaül: 
eine  so  grosse  Bolle  spielende  Gruppenbegriff  nach  seiner  in  der  Algebn 
zur  Geltung  kommenden  Seite  eine  umfassende  Darstellung  gewonnen  bat 
Dadurch   ist   Ersatz   geschaffen   für   das   seit  1870  nicht  wieder  aufgelegte 


ßezeDBioDen.  27 

Bach  von  Camille  Jordan;  und  es  ist  ganz  selbstverständlich,  dass  eine 
ins  Herrn  Webers  Feder  fliessende  Darstellung  sowohl  nach  Seiten  der 
ibstrakten  und  allgemeinen  Ideenbildnng  wie  auch  in  den  Anwendungen 
Inf  Arithmetik,  Algebra  und  Geometrie  den  höchsten,  eben  jetzt  erreichten 
Standpunkt  der  Entwickelung  repräsentiert. 

Gruppentheoretischen  UntersDchungen  sind  drei  unter  den  vier  Büchern 
des  zweiten  Bandes  gewidmet  Das  vierte  Buch  führt  den  Titel  „Alge- 
braische Zahlen^*  und  wird  gleichfalls  ein  besonderes  Interesse  erwecken. 
Herr  Weber  hat  es  n&mlich  in  diesem  Teile  seines  Werkes  unternommen, 
eine  arithmetische  Behandlung  der  algebraischen  Körper  zu  schaffen,  welche 
den  Theorien  von  Dedekind  und  Kronecker  in  gleicher  Weise  gerecht 
wird,  indem  sie  den  Zusammenhang  zwischen  diesen  Theorien  herstellt. 

Um  den  Lesern  der  Zeitschrift  ein  etwas  genaueres  Bild  vom  Inhalt 
des  vorliegenden  Werkes  zu  geben,  muss  es  genügen,  die  hauptsächlichen 
in  den  einzelnen  Kapiteln  behandelten  Probleme  zu  bezeichnen. 

Als  die  wichtigsten  Abschnitte  des  ersten  Buches  mit  dem  Titel 
„Gruppen^*  sind  der  zweite,  dritte  und  vierte  anzusehen.  Der  Begriff  der 
kommutativen  oder  Ab  eischen  Gruppe,  das  ist  einer  solchen  Gruppe, 
deren  sämtliche  Elemente  mit  einander  permutabel  sind,  ist  hier  nach  seiner 
theoretischen  Seite,  wie  sodann  weiter  in  seinen  Anwendungen  auf  die 
Kreisteilungstheorie  verfolgt.  Dieses  Gebiet  behandelte  Herr  Weber  schon 
früher  in  vnchtigen  Abhandlungen,  deren  interessautestes  Ergebnis  der 
Beweis  des  von  Kronecker  aufgestellten  Satzes  war,  dass  alle  dem  ratio* 
naien  Zahlenkörper  angehörenden  Ab  eischen  Gleichungen  Kreisteilungs- 
gleichungen sind.  Im  ersten  Buche  kommt  dieser  Satz  übrigens  nur  erst 
für  die  kubischen  und  biquadratischen  Ab  eischen  Gleichungen  mit  ratio- 
nalen Koeffizienten  zum  Beweise.  Der  Grund  für  die  Einfachheit  dieser 
Fälle  liegt  in  dem  umstände,  dass  sowohl  bei  den  ganzen  komplexen  Zahlen 
aas  dritten,  wie  bei  denen  aus  vierten  Einheitswurzeln  für  die  Primfaktoren- 
zerlegung  dieselben  einfachen  Gesetze  gelten,  wie  bei  den  rationalen  ganzen 
Zahlen. 

Die  allgemeine  Theorie  der  Ab  eischen  Gruppen  gründet  sich  auf 
dea  Begriff  der  „Basis"  einer  einzelnen  Gruppe.  Eine  solche  Basis  besteht 
aus  gewissen  v  Operationen  A^,  ^, .  .  .,  ii,  der  Gruppe,  in  welchen  jede 
Operation  der  Gruppe  in  der  Gestalt  A^'^'A^^k  . .  A^y  darstellbar  ist.  Dabei 
mnss  man,  um  die  ganze  Gruppe  zu  gewinnen,  und  jede  Operation  nur 
einmal,  die  v  Exponenten  at  volle  Bestsysteme  nach  gewissen  v  Moduln  a^ 
durchlaufen  lassen. 

Die  genauere  Untersuchung  der  verschiedenen  für  eine  und  dieselbe 
(inippe  möglichen  Basen  zeigt,  dass  die  in  den  zugehörigen  Moduln  ük  vor- 
konunenden  höchsten  Primzahlpotenzen  bei  Fortgang  zu  einer  anderen  Basis 
wieder  auftreten,  und  dass  sie  demnach  als  „Invarianten*^  der  Gruppe  be- 
zeichnet werden  können.  Hierüber  hinaus  ist  der  Begriff  des  „Gruppen- 
charakters"  grundlegend.  Man  hat  darunter,  wenn  n  der  Grad  (die  Ord- 
Q^g)  der  Gruppe  ist,  ein  auf  n  Weisen  wählbares  System  von  n  Einheits- 


28  Historiflch-littenuiflche  Abteflong. 

wurzeln   za  Tentehen,    welche  sich  bei  Molliplikatioii  gerade  so  TobiltML, 
wie  die  Operationen  der  Gmppe  bei  Kombination. 

Aof  der  so  gewonnenen  Grnindlage  erw&ehst  die  Behandlung  der  Frage 
naeh  den  Teilern  (Unterg^ppen)  einer  Abel  sehen  Gmppe.  Eine  spezielle 
Eni  Wickelung  ergiebt  sich  fOr  die  Teiler  vom  Grade  3,  welche  aus  den 
f^>genaonten  „zweiseitigen'*  Elementen  (Operationen  der  Periode  2)  est- 
npringen.  Diese  führen  vermöge  der  Gnqipencharaktere  auf  ^e  Einteilmii! 
alKff  Elemente  der  Gmppe  in  „Geschlechter'*.  Ffir  die  (Abelsche)  Grappr 
4tnr  Komposition  der  quadratischen  Formen  f&hrt  dieser  allgemeine  Ansatz 
aitf  die  von  Gauss  eingeführten  Geschlechter  der  quadratischen  Formen  zoröck. 

Auf  Gmnd  der  Theorie  der  Abelschen  Gruppen  lasst  sich  nun 
di^gVnige  der  „Kreisteilungskörper**  bei  weitem  tiefer  durchlnlden  als 
^  in  Band  I  möglich  war.  Der  Begriff  des  Kreist^angskörpen  ist 
dabei  so  zo  fassen,  dass  darunter  irgend  ein  Körper  endlichen  Grades 
v^Tiftanden  ist,  dessen  s&mtliche  Zahlen  rationale  Funktionen  von  Einbeits- 
wurzeln  sind« 

Ks  zeigt  sich,  dass  bereits  alle  Kreisteilungskörper  gewonnen  werden, 
wenn  man  für  die  einzelnen  Grade  der  Einheitswuizeln  die  zu  den  be- 
ireffenden „Kreisteilnngiperioden**  (Gauss)  gehörenden  Körper  anfsteilt 
Vth  Untersuchung  gipfelt  in  der  Aufstellung  eines  Algorithmus,  um  fiir 
«^tn^  gegebene  Gruppe  alle  zugehörigen  Kreisteilungskörper,  und  jeden  nor 
^irirnal  darzustellen.  Die  SpezialausfÜhmngen  betreffen  die  kubischen  nnd 
bi/|oadratischen  Kreisteilungskörper  und  hieran  schliesst  sich  der  schon  oben 
^w£brite  Beweis  des  Theorems  über  Abelsche  Gleichungen  dritten  und 
ii^rU^  ^Irades  mit  rationalen  Koeffizienten. 

her  erste  und  letzte  Abschnitt  des  ersten  Buches  ist  allgemeinen 
lfrM|/(/^n theoretischen  Betrachtungen  gewidmet.  Dort  mussten  überhaupt 
icrifi  Aiti  Omnddefinitionen  der  Gruppentheorie  in  allgemeinster  Gestalt  ge* 
*/ki\,4cn  werden  (nachdem  in  Band  I  nur  von  Permutationsgruppen  gehandelt 
wnrd**.),  iiwr  finden  die  Sjlow  sehen  und  verwandte  S&tze  ihren  Plati. 
twd  an  wird  über  die  neueren  Untersuchungen  von  Holder,  Colea.  a. 
b^ri/;bt4;t,  welche  als  ein  Hauptziel  verfolgen,  die  gesamten  einfachen  and 
/unm)  ui/^ht-metacjklischen  Grappen  niederer  Grade  (Ordnungen)  aufeufindeB 
hud  '/AI  charakterisieren. 

I>HS  zweite  Buch  ist  den  endlichen  Gruppen  linearer  homogener  Sab- 
btiUitionen  von  n  Veränderlichen  gewidmet.  Und  zwar  behandelt  unter  den 
vit'r  Abschnitten  dieses  Buches  der  erste  die  grundlegenden  S&tze  dieses  Gegen- 
standes, soweit  dieselben  für  die  engeren  Zwecke  der  Algebra  von  Wichtig- 
keit sind.  Die  drei  folgenden  Abschnitte  sind  besonderen  hierher  gehörenden 
Truppengattungen  gewidmet. 

Im  ersten  Abschnitt  sind  zwei  Gesichtspunkte  als  besonders  wicbtic 
7M  liezeichnen.  Als  „Invariante"  einer  Substitutionsgruppe  von  n  Yariabeln 
jyj ,  .  »,  X»  wird  eine  solche  Form  i*'(^i)  •  •  •>  ^«)  l>ezeichnet,  welche  un 
verändert  bleibt,  wenn  man  auf  x^^,,.^Xn  irgend  eine  Substitution  der 
Gruppe  ausübt.  Hier  gilt  dann  das  wichtige  von  Hilbert  bewiesene  Theorem, 


Rezensionen.  29 

iass  sich  die  gesamten  Invarianten  einer  Gruppe  in  einer  endlichen  An- 
zahl unter  ihnen  als  ganze  rationale  Funktionen  darstellen  lassen.     Es  ist 
eine    besondere   Zierde    des    fraglichen   Abschnitts,   dass    Herr  Weber  den 
Bilbertsohen  Beweis  im  einzelnen  durchfuhrt.  Der  zweite  Hauptgesichtspunkt 
des  Abschnitts  besteht  in  der  Besprechung  einer  von  Klein  herrührenden  Er- 
weiterung des  algebraischen  Grundproblems.    Diese  Erweiterung  besteht  in  der 
Einführung  der  sogenannten  „Formenprobleme":    Man  soll  aus  den  gegebenen 
Werten  der  Gruppeninvarianten  die  zugehörigen  Wertsysteme  der  Yariabeln 
•^17 .  •  M  ^«   berechnen.     Hier    ordnet   sich   die    Auflösung   der   allgemeinen 
Gleichung  n^*°  Grades  als  besonderer  Fall  ein.     Die  zugehörige  Gruppe  be- 
steht aus   den  n\    Permutationen  von  x^, ,  . .,  x^,  welche  sich  ja  als  Sub- 
stitutionen der  Xi  auffassen  lassen;  die  Invarianten  sind  die  symmetrischen 
Fnnküonen    von  ^h  . .  .,  2;».     Insofern   hier   eine    Gruppe   in   n  Yariabeln 
/^, . .  .,  Xm  zu  Grunde  liegt,  hat  man  es  mit  einem  Formenproblem  n^'  „Di- 
mension^*  zu  thun.    Die  Auflösung  einer  „reinen"  Gleichung  irgend  eines 
Grades  kommt  entsprechend  auf  ein  Formenproblem  erster  Dimension  zurück; 
hier  handelt  es  sich  n&mlich  um  eine  „unäre"  aus  einer  Substitution  af  ^  iX 
zu   erzeugenden   Gruppe.     Die  Aufgabe   ist   nun   immer,   den    AuflOsungs- 
prozess  einer  Gleichung  auf  die  Lösung  eines  oder  mehrerer  Formenprobleme 
von   möglichst   niedriger  Dimension   zurückzuführen.    Bei   den  Gleichungen 
zwdten,    dritten    und   vierten    Grades   reicht   man    mit   Formenproblemen 
einer  Dimension.     Die. Auflösung   der   Gleichung  fünften    Grades   ist   auf 
ein  zweidimensionales  Formenproblem  reduzibel;  und  es  ist  neuestens  durch 
Wiman  gefunden,  dass  sich  die  Auflösung  der  Gleichung  sechsten  Grades 
anf  ein  Formenproblem  dritter  Dimension  zurückführen  lässt.    Doch  konnte 
Herr  Weber  diese   letztere  Entdeckung  wegen   des   vorgerückten   Druckes 
nicht  mehr  aufiiehmen. 

Der  siebente  Abschnitt  hat  als  Hauptziel  die  Aufzählung  aller  end- 
lichen Gruppen  binärer  Substitutionen,  was  auf  die  cyklischen  Gruppen, 
die  Diedergruppen  und  die  Gruppen  des  Tetraeders,  Oktaeders  und  Ikosa- 
eders  ftthrt.  Das  Prinzip  der  Aufzählung  dieser  Gruppen  besteht  bei  allen 
bekannten  Ableitungen  in  der  Lösung  einer  gewissen  diophantischen  Gleich- 
ung. Doch  kann  man  zu  dieser  diophantischen  Gleichung  auf  mehreren 
Wegen  gelangen,  welche  teils  geometrische,  teils  funktionentheoretische, 
teils  algebraische  Argumente  benutzen.  Dem  Charakter  des  ganzen  Werkes 
entsprechend  leitet  Herr  Weber  die  fragliche  diophantische  Gleichung  aus 
algebraischen  Überlegungen  ab. 

Nun  folgt  in  einem  besonderen  Abschnitt  eine  ausführlichere  Theorie 
der  endlichen  Gruppen  binärer  Substitutionen.  Das  Ziel  ist,  die  Gruppen 
in  möglichst  einfacher  Gestalt  wirklich  herzusteUen  und  die  zugehörigen 
vollen  Systeme  der  Invarianten  (die  Grundformen)  kennen  zu  lernen. 

Der  neunte  Abschnitt  ist  Untersuchungen  über  diejenigen  einfachen 
Gruppen  des  Grades  -äpCp'—  l)  gewidmet,  welche  in  der  Transformation 
}f^'  Ordnung    der    elliptischen    Funktionen    auftreten.      Hierbei   ist  p    als 


30  Historisch -litterariBclie  Abteilung. 

Primzahl  gedacht;  und  man  kann  die  einzelne  Grappe  als  Gruppe  alkr 
inkongruenten  Sabstitationen : 

deaten.  Eine  systematische  Aüfzfthlnng  aller  in  diesen  Gmppen  enthaUenea 
Teiler  (welche  Gierster  zuerst  ausfOhrte)  strebt  der  Herr  YerfEkSser  nicht 
an.  Eine  kurze  Spezialausfährung  ist  nur  der  bei  p » 7  eintreteDdes 
Gruppe  des  Grades  168  gewidmet.  Die  nähere  Besprechung  der  mit  dieser 
Gruppe  zusammenhängenden  temären  Entwickelungen  wird  später  gegeben. 

Das  dritte  Buch  enthält  in  sechs  Abschnitten  „  Anwendungen  der  Grappes- 
theorie/'  Der  erste,  fQr  sich  stehende,  Abschnitt  giebt  einen  dnrch  dir 
zwischendurch  gewonnenen  gruppentheoretischen  Ergebnisse  basierten  Aus- 
bau der  schon  in  Band  I  behandelten  Theorie  der  metacyklischen  Gleich- 
ungen. 

Darüber  hinaus  sind  es  zwei  grosse  Untersuchungsrichtungen,  welche 
hier  zur  Sprache  kommen. 

Einmal  entstammt  der  analytischen  Geometrie  eine  Reihe  interessanter 
algebraischer  Probleme,  von  denen  Herr  Weber  zwei  mit  grosser  Aos- 
f&hrlichkeit  behandelt:  das  Problem  der  Bestinmiung  der  neun  Wendepunkt« 
einer  ebenen  Kurve  dritter  Ordnung  und  dasjenige  der  Bestimmung  der 
28  Doppeltange  nten  einer  ebenen  Kurve  vierter  Ordnung.  Die  Darstellung 
behandelt  auch  die  geometrische  und  invariantentheoretische  Seite  der 
Probleme  elementar  und  ausffihrlich,  sodass  auch  nach  dieser  Seite  bin 
keine  speziellen  Vorkenntnisse  erforderlich  sind. 

Fürs  zweite  finden  hier  die  algebraischen  Schöpfungen  Kl  eins  über 
die  Zurückführung  der  Lösung  einer  Gleichung  auf  die  Lösung  von  Formen- 
problemen ausführliche  Berücksichtigung.  Die  Behandlung  der  Gleichung 
fünften  Grades  wird  auf  das  binäre  Ikosaederproblem  reduziert.  Diese 
Behandlung  hängt  direkt  mit  der  Frage  nach  der  Transformierbarkeit  der 
allgemeinen  Gleichung  fünften  Grades  auf  eine  Gleichungsform  mit  nur 
einem  Parameter  zusammen;  nach  einem  von  Kronecker  ausgesprochenes 
und  von  Klein  bewiesenen  Satze  ist  diese  Transformation  bei  alleinigem 
Gebrauch  von  natürlichen  Irrationalitäten  (im  Gebiete  rationaler  Resol- 
venten) nicht  ausführbar,  sondern  nur  erst  nach  Adjunktion  einer  gewissen 
accessorischen  Lrationalität.  Die  beiden  letzten  Abschnitte  des  dritten 
Buches  sind  der  schon  im  vorigen  Buche  studierten  Gruppe  des  Grades  168 
gewidmet.  Dieselbe  wird  hier  in  ihrer  Gestalt  als  Gruppe  von  168  temären 
KoUineationen  untersucht,  und  es  werden  diejenigen  Gleichungen  siebenten 
Grades  diskutiert,  welche  entweder  direkt  oder  nach  Auflösung  einer  ge- 
wissen biquadratischen  Gleichung  auf  das  Formenproblem  j§ner  teniären 
Gruppe  reduzibel  sind. 

Das  vierte  Buch,  welches  die  voraufgehenden  erheblich  an  Umfang 
übertrifft,  behandelt  die  moderne  Theorie  der  algebraischen  Zahlen,  wie 
schon  oben  kurz  angedeutet  ist.  Es  ist  das  besonders  Wertvolle  dieses 
Buches,  dass  der  Hen;  Verfasser  hier  eine  möglichst  allseitige  Darstellung 


Rezensionen.  31 

den  Fundamenten  der  fraglichen  Theorie  entwirft.  Die  Idealtheorie 
durch  ihren  Begründer,  B.  Dedekind,  seihst  in  einer  Darstellung  he- 
lelt,  welche  zmnal  in  der  neuesten  Auflage  durch  Schärfe  und  Form- 
mdung  die  gerechte  Bewunderung  aller  wirklichen  Leser  erwirbt.  Da- 
m  aber  steht  Krön  eck  er,  welcher  von  Beginn  seiner  mathematischen 
schungen  an  der  Durchbildung  einer  eigenartigen  Theorie  der  algebrai- 
n  Zahlen  gearbeitet  hat,  die  zwar  künstlicher  als  die  Idealtheorie 
tiert,  aber  für  viele  fasslicher  ist.    Hierüber  hinaus  kommen  in  neuester 

die  Entwickelungen  von  Minkowski  hinzu,  welche  hei  zahlreichen 
lamentalen  Fragen,  so  der  Bestimmung  der  Klassenanzahlen,  der  Theorie 

Einheiten,  den  Sätzen  über  den  Zahlwert  der  Diskriminanten ,  ihren 
>erordentlichen  Wert  gezeigt  haben.  Man  muss  Herrn  Weber  Dank 
sen,  dass  er  in  alle  diese  verschiedenen  Richtungen  Einblick  gewährt, 
e  dass  die  Einheitlichkeit  seiner  Darstellung  irgend  darunter  litte. 

In  der  Fundierung  der  Theorie  folgt  der  Herr  Verfasser  den  An- 
luungen  Krön  eckers.  Der  Begriff  der  zu  einem  algebraischen  Körper 
Örenden  „Funktionale"  (die  Benennung  ist  nach  einem  Vorschlage  von 
rrn  Dedekind  gewählt)  steht  im  Mittelpunkt.  Ein  solches  Funktional 
It  eine  rationale  Funktion  beliebig  vieler  unbestimmter  Grössen  x^y^  z ... 

mit  Koef&denten,  die  im  zu  Grunde  liegenden  Körper  enthalten  sind. 

letzterer  der  rationale  Körper,  so  spricht  man  von  einem  „rationalen" 
nktional.  Ein  solches  kann  als  Produkt  eines  positiven  rationalen  Bruches 
1  eines  Quotienten  zweier  ganzen  ganzzahligen  „primitiven"  Funktionen 
'  ^,  2^, . . .  dargestellt  werden.  Jener  vortretende  rationale  Bruch  heisst 
'  absolute  Betrag  des  Funktionais,  und,  ist  derselbe  ganzzahlig,  so  nennt 
n  auch  das  Funktional  „ganz".  Die  Übertragung  dieser  Benennungen 
f  die  Funktionale  eines  beliebigen  Körpers  vollzieht  sich  auf  Grund  des 
Ast&ndes,  dass  jedes  Funktional  Wurzel  einer  Gleichung: 

.  deren  Koeffizienten  rationale  Funktionale  sind.  Jenes  Funktional  heisst 
(dann  „ganz",  wenn  die  rationalen  Funktionale  ^j,  .  . .,  -4^  sämtlich  ganz 
id  Die  Zahlen  des  zu  Grunde  liegenden  Körpers  gelten  als  Funktionale, 
i  denen  die  Unbestimmten  rc,  y, .  . .  nur  im  nullten  Grade  vorkommen. 

Auf  dieser  Grundlage  erheben  sich  nun  diejenigen  Entwickelungen, 
ilcbe  von  der  Anwendung  der  vier  Grundrechnungsarten  auf  Funktionale 
friüuren.  Es  ergeben  sich  die  „Einheiten". unter  den  Funktionalen,  die 
soriierten  Funktionale,  die  Primfunktionale,  der  Satz  von  der  eindeutigen 
'^rlegbarkeit  in  Primfunktionale,  falls  assoziierte  Funktionale  als  nicht 
'«chieden  gelten,  etc.  Möge  unter  den  zahlreichen  hier  entspringende« 
lUen  noch  der  eine  genannt  sein,  dass  jedes  ganze  Funktional  assoiii^^rt 
t  mit  emem  Funktional  der  Gestalt  {ax  +  ßy),  wo  «  und  ^  gÄ»«ii> 
ahlen  sind. 

Bei  der  Weiterentwickelung  tritt  nun  die  Idealtheorie  m^hr  ii^  sW<^ 
ordcrgmnd.    Es  wird  bewiesen,   dass   alle   durch   ein  vorg^l^^lrft«  j:^»»** 


32  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Funktional  teilbaren  ganzen  Zahlen  des  zu  Grunde  liegenden  Körpen 
Ideal  im  Sinne  von  Dedekind  bilden,  und  dass  solcherweise  einem  Stsu 
assoziierter  ganzer  Funktionale  ein  Ideale  eindeutig  umkehrbar  entsprich 
Nach  einer  eben  gemachten  Angabe  reicht  man  zur  Gewinnung  aller  Id^ 
mit  Funktionalen  der  Gestalt  (ax  -f-  ßt/),  Nimmt  man  eine  einzelne  gäa 
Zahl  als  Funktional,  so  gelangt  man  zu  einem  Hauptideale.  Widurend  &1 
Dedekind  die  idealen  Teiler  Kummers  durch  reale  Gebilde  dadurch  e 
setzt,  dass  er  allgemein  eine  reale  oder  ideale  Zahl  durch  daa  Gesaii 
System  der  durch  sie  teilbaren  realen  Zahlen  ersetzt,  treten  bei  Eroneeki 
die  idealen  Teiler  direkt  in  realer  Gestalt,  nämlich  als  Funktion&le,  in 
Erscheinung.  Es  handelt  sich  also  bei  Krön  ecke  r  um  eine  sachtem 
Erweiterung  des  Körpers  derart,  dass  im  erweiterten  Gebiete  wieder 
elementaren  Gesetze  der  Teilbarkeit  gelten. 

Es  folgen  nunmehr  zahlreiche  Entwickelungen ,  die  aus  den  Elemen 
der  Dedekind  sehen  Theorie  bekannt  sind,  über  Basen  und  DiskrimisaB 
über  volle   Bestsjsteme    und  Kongruenzen    nach   festen  Moduln,    über 
Äquivalenz   der  Ideale,  die  Endlichkeit  der  Anzahl   der   Idealklassen   ^ 

Der  folgende  Abschnitt  gewährt  einen  sehr  interessanten  Einblick 
die  Minkowskischen  Methoden  zur  Bestimmung  der  Minima  positiver  q 
dratischer   Formen   von    n  Yariabeln.     Von    den   wichtigen   Anwendung 
welche   Minkowski   von   dieser  Bestimmung  gemacht  hat,   wird  insowei 
gehandelt,  dass  die  Endlichkeit  der  Anzahl  der  Idealklassen  von  hieran« 
neuer  Weise   dargelegt  wird,   sowie  dass  der  schon  früher  vermutete,  ai 
erst  von  Minkowski    bewiesene   Satz:    „Es  giebt  ausser   dem  rational 
Körper   keinen  Körper   von   der  Grundzahl  ±1"  gewonnen    wird.     Hiera 
sind  Sätze    über  die  Zerlegung  der  natürlichen  Primzahlen  in  algebraisebt; 
Körpern,  sowie  über  die  Diskriminanten  geschlossen. 

In  einem  besonderen  Abschnitt  sind  neuere  Entwickelungen  von  Ded 
kind  und  Hilbert  behandelt,  in  denen  bereits  von  einem  Körper  höh^rd 
Grades    ausgegangen   wird    und    dadurch    ein   noch    umfassenderer    Korp^ 
definiert  wird,  dass  eine  Gleichung  mit  Koeffizienten  jenes  ersteren  K5rpe 
zu  Grunde  gelegt  wird. 

Die  Anwendungen  behandeln  die  beiden  klassischen  Beispiele  dt 
quadratischen  Körper  und  der  Kreisteilungskörper,  wobei  namentlich 
letzteren  ausführliche  Berücksichtigung  finden.  Es  ist  dies  um  so  er&v 
lieber,  als  Dedekind  in  der  „allgemeinen  Zahlentheorie''  den  Kreisteilung 
körpem  nur  wenig  Baum  widmen  konnte.  Hier  hat  nun  Herr  Welt* 
auch  alle  Mittel  beisammen,  um  seinen  Beweis  des  Satzes,  dass  all 
rationalen  Ab  eischen  Gleichungen  Kreisteilungsgleichungen  sind,  zu  en 
wickeln.  Zwei  besondere  Abschnitte  sind  den  Dirichletschen  Methode 
zur  Bestimmung  der  Anzahl  der  Idealklassen  in  einem  gegebenen  Körpe 
gewidmet.  Der  erste  unter  diesen  Abschnitten  ist  allgemeinen  Ansätiej 
gewidmet,  und  es  musste  zu  diesem  Ende  eine  Darstellung  der  he 
wunderungswürdigen  Dirichletschen  Einheitentheorie  vorausgesandt  werden 
Diese  Entwickelungen    gelten   für   beliebige  algebraische  Körper,   währen« 


Rezensionen.  33 

im  folgenden  Abschnitte  die  spezielle  DarchfÜhmng  für  Kreisteilungskörper 
gre^eben  wird. 

Der  letzte  Abschnitt,  welcher  für  sich  steht,  hat  das  Ziel  zu 
zeigen,  dass  über  die  algebraischen  Zahlen  hinaus  noch  sogenannte 
transcendente  Zahlen  existieren.  Dieser  Existenzbeweis  wird  zunächst  auf 
Grand  des  Begriffs  der  abzahlbaren  Menge  geliefert.  Die  Gesamtheit  der 
algebraischen  Zahlen  ist  ab^hlbar,  ein  Zahlenkontinuum  jedoch  auf  keine 
Weise,  sodass  letzteres  jedenfalls  unendlich  viele  nicht  -  algebraische  Zahlen 
enthält.  Es  folgt  ein  Referat  über  die  Transcendenz  von  e  und  n^  ein 
Gegenstand,  der  namentlich  durch  Hermites^  Lindemanns  und  Hilberts 
glänzende  Leistungen  längst  die  allgemeine  Aufmerksamkeit  auf  sich  ge- 
zogen hat. 

Einige  Ergänzungen  zu  Band  I  beschliessen  das  Werk. 

Möchte  es  dem  Herrn  Verfasser  gelingen,  die  geplante  Fortsetzung 
seiner  Untersuchungen  zu  einem  ebenso  glücklichen  Abschluss  zu  bringen; 
und  mOchte  dabei  Kroneckers  Vermutung,  dass  alle  Abelschen  Gleich- 
ungen quadratischer  Zahlenk6rper  „Gleichungen  der  komplexen  Multiplikation" 
sind,  zu  einer  wirklichen  Erkenntnis  werden.  Robert  Fricke 


Vorlesnilgen  über  Algebra.  Von  Dr.  Eugen  Netto,  o.  ö.  Professor  der 
Mathematik  an  der  Universität  zu  Giessen.  In  zwei  Bänden.  Erster 
Band.    Leipzig,  B.G.Teubner,  1896.    X  und  388  Seiten. 

Ungefähr  zu  gleicher  Zeit  nut  dem  zweiten  Bande  des  Web  ersehen 
Lehrbuchs  der  Algebra  hat  Herr  Netto  einen  ersten  Band  seines  gleich- 
falls gross  angelegten  Algebrawerkes  erscheinen  lassen.  Der  Herr  Verfasser 
hat  in  einer  Voranzeige  seines  Werkes  auf  Herrn  Webers  Buch  Bezug  ge- 
nommen; und  man  kann  ihm  nur  durchaus  zustimmen,  dass  beide  Werke 
sehr  wohl  neben  einander  bestehen  können,  indem  sie  sich  in  verschiedener 
Hinsicht  sehr  glücklich  ergänzen.  Es  entspricht  dies  den  verschiedenartigen 
Tendenzen  der  beiden  Herren  Verfasser,  die  sich  beide  seit  langer  Zeit 
als  Algebraforscher  eines  ausgezeichneten  Namens  erfreuen. 

Der  Unterschied  beider  Werke  zeigt  sich  vornehmlich  in  der  Stellung, 
welche  sie  zu  den  Nachbargebieten  einnehmen.  Es  ist  in  dieser  Hinsicht 
nicht  von  besonderem  Belang,  welche  Vorkenntnisse  von  dem  Leser  ver* 
langt  werden.  Herr  Netto  fordert  vom  Leser  die  Beherrschung  der  Qmnd* 
lagen  der  Determinantentheorie  und  der  elementaren  Algebra,  wihr^nj 
Herr  Weber  möglichst  alle  zur  Verwendung  kommenden  Begriffe  ab  t^v\^ 
entwickelt.  Weit  wichtiger  ist  die  Frage  der  Stellungnahme  gegenüber  ^l^^m 
Orappenbegriff,  den  geometrischen  Methoden  und  Anwendungen  und  i^v 
modernen  Zahlentheorie.  Die  Stellung  des  Web  ersehen  Werkes  ist  hwa 
der  vorangehenden  Besprechung  in  dieser  Hinsicht  deutlich.  In  Anbi^traobi 
der  Gruppentheorie  und  Geometrie  ist  Herr  Netto  der  Kron<»ckeri<^b<»n 
Tradition  getreu.    Ob  der  Ausschluss  des  GruppenbegriiTs  nicht  ftlr  dio  Hi» 

iUst.-Utt.  Abt.  d.  Zeitacbr.  f.  Math.  u.  Fhyi.  iS.  Jahrg.  1898.  1.  Heft.  i\ 


34  Historisch -litterarische  Abteilung. 

handlang  der  Galoi Sachen  Theorie  eine  Erschwerung  der  Darstellw 
bedeutet,  muss  erst  der  zweite  Band  zeigen.  Im  übrigen  hat  Hern  Nettos 
Standpunkt,  wie  jeder  konsequent  durehgeföhrte  und  widerspmchsfreie 
Standpunkt,  seine  Berechtigung  und  sein  Gutes.  In  arithmetischer  Hinsicht 
ist  ja  selbstverständlich,  dass  alle  diejenigen  arithmetischen  Momente,  weicht 
den  Fundamenten  der  Algebra  als  solchen  anhaften,  nicht  eliminiert  werden 
können,  vielmehr  (wieder  in  Übereinstimmung  mit  Kronecker)  besonder 
bevorzugt  werden.  Dagegen  schliesst  Herr  Netto  jedes  Eingehen  auf  di« 
Arithmetik  im  engeren  Sinne,  d.  i.  auf  die  Zahlentheorie  aus;  und  wo  eio; 
Anleihe  von  den  Elementen  der  Zahlentheorie  nötig  wird,  wie  z.  B.  bei  det 
Kreisteilungsgleichungen,  da  werden  die  betreffenden  Begriffe  schnell  nehea- 
her  entwickelt  oder  als  bekannt  angesehen.  Während  demnach  Bern 
Webers  Buch  namentlich  in  seinen  letzten  Teilen  die  weitestgehendes 
zahlentheoretischen  Interessen  befriedigte,  beschränkt  sich  Herr  Nette 
allein  auf  die  Vertiefung  des  rein  Algebraischen. 

Was  die  Form  der  Darstellung  der  beiden  in  Bede  stehenden  Werke 
angeht,  so  fühlt  man  sich  versucht,  die  Titel  derselben  mit  einander  ans 
zutauschen.  Herrn  Webers  Darstellung  hat  mehr  den  Charakter  von  Vor 
lesungen;  ein  und  derselbe  Gegenstand  wird  gelegentlich  mehrfach  und  an 
entlegenen  Stellen  von  verschiedenen  Seiten  beleuchtet  (als  Beispiel  diese 
die  Theorie  der  Gleichungen  fünften  Grades).  Demgegenüber  hat  Herrn 
Nettos  Art  der  Darstellung  weit  mehr  den  Charakter  eines  Lehrbuches 
Enger  gefasste  Disposition  und  erschöpfende  Behandlung  der  einzelnen  lor 
Sprache  konunenden  Probleme  sogleich  an  Ort  und  Stellen  sind  hier  di« 
Regel;  dabei  kommt  auch  die  formale  analytische  Seite  der  einzelnen  Gegen- 
stände mit  solcher  ausführlichen  Genauigkeit  zur  Geltung,  wie  es  mehr  in 
Lehrbüchern  als  in  Vorlesungen  geeignet  erscheint. 

Im  ersten  Bande  giebt  Herr  Netto  kein  abgeschlossenes  Ganze.  Der 
Schluss  des  Bandes  durchschneidet  den  Abschnitt  über  die  algebrs^^ 
Auflösung  der  Gleichungen,  ein  Gegenstand,  der  in  der  Hauptsache  ei^t 
durch  den  zweiten  Band  zur  Erledigung  gebracht  werden  soll.  Gerade 
dieser  Teil  des  zweiten  Bandes  verspricht  besonders  interessant  zu  werden 
und  dem  ganzen  Werke  die  Signatur  aufzudrücken.  Im  ersten  Bande 
kommen  nur  erst  die  algebraische  Auflösung  der  Gleichungen  zweiteB, 
dritten  und  vierten  Grades,  sowie  die  Theorie  der  Kreisteilangsgleichnngec 
zur  Behandlung.  Der  letzteren  Theorie  sind  drei  Vorlesungen  gewidmet. 
Die  Gliederung  ist  so  gewählt,  dass  in  der  ersten  unter  diesen  Vorlesungtn 
eine  elementare  Theorie  der  Einheitswurzeln  gegeben  wird,  dass  die  zweite 
im  wesentlichen  Gauss'  Theorie  der  Kreisteilungsgleichungen  liefert,  wäkend 
die  dritte  Jacobis  Anwendung  Lagrangescher  Methoden  auf  diejeniges 
Gleichungen  darstellt,  durch  welche  Perioden  geringerer  Gliederanzahl  *r 
solche  höherer  Gliederzahl  gebunden  sind. 

Vom  voraufgehenden  Teile  des  vorliegenden  Werkes  steht  die  erst«- 
Vorlesung  für  sich.  Der  Mehrzahl  der  Leser  dürften  übrigens  Definition 
und   Bechnungsregeln   der   komplexen  Zahlen   ohne   weiteres   geläufig  sein 


ll€zension6ii.  35 

• 

Anderseits  sind  die«  Entwiokelangen  über  die  aus  zwei  bez.  drei  Funda- 
mentaleinheiten  zusammengesetzten  Zahlen  an  sich  ja  allerdings  sehr 
interessant,  kommen  aber  weiterhin  kaum  in  Betracht. 

Unter  den  folgenden  Vorlesongen  (2  bis  25)  steht  nur  die  fünfte  für 
sich.  Sie  tragt  einen  durchaus  arithmetischen  Charakter  und  handelt  von 
der  Reduzibilitat  und  Irreduzibilität  ganzer  rationaler  Funktionen  im  natür- 
lichen Bationalitätsbereich.  Auf  Grund  des  bekannten  Gauss  sehen  Satzes 
über  Zerlegung  ganzer  ganzzahliger  Funktionen  hat  man  sich  auf  die  Auf- 
suchung von  Faktoren  zu  beschränken,  die  wiederum  ganz  und  ganz- 
zahlig sind. 

Für  die  Aufsuchung  solcher  Faktoren  wird  die  Methode  von  Kronecker 
entwickelt,  welche  letzterer  in  seinen  „Grundzügen  einer  arithmetischen 
Theorie  der  algebraischen  Grössen"  giebt.  Weiter  finden  in  dieser  Vor- 
lesung spezielle  Theoreme  von  Eisenstein  und  Königsberger  über 
irreduzible  Funktionen  ausführliche  Berücksichtigung.  Von  diesen  Theoremen 
wird  später  bei  den  Kreisteilungsgleichungen  Gebrauch  gemacht. 

Die  noch  übrigen  unter  den  25  ersten  Vorlesungen  sind  algebraischen 
Entwickelungen  gewidmet.  Dieselben  gruppieren  sich  um  folgende  Haupt- 
gesichtspunkte: Fundamentaltheorem  nebst  Anwendungen  auf  Zerlegung  und 
Interpolation  (Vorl.  2  bis  4),  Kettenbruch-  und  Beihenentwickelungen  ratio- 
naler Funktionen  (Vorl.  6  bis  8),  Theorie  der  symmetrischen  Funktionen 
(Vorl.  9  bis  11),  Beziehungen  zur  Invariantentheorie  (Vorl.  12  bis  15), 
Theoreme  über  Anzahl  der  Wurzeln  einer  Gleichung  innerhalb  beschränkter 
Intervalle  (Vorl.  16  bis  21),  Methoden  zur  näherungs weisen  Berechnung 
der  Wurzeln  (Vorl.  22  bis  25). 

Alle  diese  Gegenstände  werden  in  durchsichtiger  Disposition  und  mit 
grosser  Genauigkeit  im  einzelnen  behandelt.  Folgende  kurze  Andeutungen 
mögen  zur  näheren  Orientierung  ausreichen. 

Beim  Fundamentaltheorem  über  die  Wurzelexistenz  kommen  neben 
Gauss  erstem  Beweise  namentlich  die  bezüglichen  Entwickelungen  Cauchys 
zur  Geltung,  und  zwar  sowohl  diejenigen  von  1821,  welche  den  Beweis 
der  Existenz  einer  Wurzel  zum  Ziele  haben,  sowie  auch  die  späteren 
Methoden  Cauchys  zur  Bestimmung  der  Anzahl  der  Wurzeln  in  einem 
vorgeschriebenen  Bereiche  der  Ebene  der  komplexen  Variabein.  An  die 
Linearfaktorenzerlegung  der  ganzen  Funktionen  schliesst  sich  die  Ableitung 
der  Lagrang  eschen  Interpolationsformel,  welche  ihrerseits  die  Quelle  für 
die  Eul ersehen  Identitäten  und  die  Partialbruchzerlegung  rationaler 
Funktionen  wird.  Auch  die  Übertragung  der  durch  die  Lagrange  sehe 
Interpolationsformel  fEbr  ganze  Funktionen  geleistete  Aufgabe  auf  rationale 
Funktionen,  wie  sie  durch  Cauchy  gelöst  und  späterhin  durch  Jacobi 
eingehend  studiert  wurde,  kommt  hier  zur  Behandlung. 

Der  Euklid  sehe  Algorithmus  zur  Bestimmung  des  grössten  gemein* 
aamen  Teilers  zweier  ganzen  Funktionen  nebst  den  wichtigen  hieraus  ent- 
springenden Anwendungen  auf  Bestimmung  mehrfacher  Wurzeln  etc.  kommt 
demnächst  zur  Darstellung.    In  den  beiden  folgenden  Vorlesungen  wird  das 


36  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Problem  des  grössten  gemeinsamen  Faktors  zweier  Funktionen  f^  und  / 
der  Grade  n^  und  n  (>  «j)  sehr  weit  in  die  rechnerischen  Einzelheiten  ver- 
folgt. Das  Problem,  zwei  ganze  Funktionen  ^{z)  und  0{z)  zn  finden, 
welche  mit  f^{z)  und  f{z)  die  Gleichung 

so  erfüllen,  dass  die  Summe  der  Grade  von  W  und  F  kleiner  als  n  ist,  wird 
bereits  durch  den  Algorithmus  von  Euklid  gelöst.  Hier  handelt  es  sich  darm 
das  Bildungsgesetz  der  Funktionen  W  und  <Z>  eingehender  in  Erfahrung  zu 

bringen.    Zu  diesem  Ende  wird  die  Entwickelung  von  -^^  nach  absteigenden 

Potenzen  von  z  benutzt,  welche,  ins  Unendliche  fortgesetzt,  eine  sogenannt« 
rekurrierende  Reihe  vorstellt;  es  besteht  nämlich  für  die  Entwickelongs- 
koef&zienten  eine  (n  -f  l)-gliedrige  Bekursionsformel.  Diese  Beihe  ist  immer 
dann  konvergent,  wenn  '  z  \  den  absoluten  Wert  der  grössten  Wurzel  der 
Gleichung:  ^^^^  _  ^ 

übertrifiPt. 

Bei  Behandlung  der  symmetrischen  Funktionen  dürfte  bemerkensweit 
sein,  dass  der  Satz  von  der  Darstellung  aller  ganzen  symmetrischen  Funktionen 
in  den  n  elementaren  nicht  nur  auf  dem  von  Gauss  herrührenden  Wege 
bewiesen  wird,  sondern  dass  auch  der  von  Cauchy  gelieferte  Beweis,  an 
welchen  Eronecker  weitere  Folgerungen  knüpfte,  besprochen  wird,  hn 
Anschluss  an  die  Theorie  der  symmetrischen  Funktionen  vrird  nun  gleicli 
die  Bildung  rationaler  Resolventen  besprochen,  sowie  der  allgemeine  Ansatz 
der  Tschirnhausen -Transformation,  wobei  im  speziellen  die  Transformation 
der  allgemeinen  Gleichung  fünften  Grades  auf  eine  Gleichung  mit  zwei 
Parametern  geleistet  wird.  In  einer  besonderen  Vorlesung  wird  von  den 
wertvollen  Folgerungen  gesprochen,  welche  man  bei  der  praktischen  Ver- 
wendung der  symmetrischen  Funktionen  aus  dem  umstände  ziehen  kann, 
dass  dieselben  partiellen  Differentialgleichungen  genügen. 

Die  Resultante  zweier  Gleichungen  /*  »=  0  und  ^  =  0  der  Gerade  )< 
und  w  ^  n  wird  zunächst  in  der  gewöhnlichen  Form  einer  Determinant« 
(«n  +  n)**"  Grades  gegeben';  und  die  Untersuchung  wird  so  weit  fortgesetzt. 
dass  die  Bedingung  für  die  Existenz  eines  gemeinsamen  Teilers  q^^  Grades 
von  f  und  g  angegeben  wird.  Die  gleiche  Untersuchung  wird  alsdann  fnr 
den  Fall  ausgeführt,  dass  die  Resultante  in  der  von  B^zout  angegebenen 
Gestalt  als  Determinante  m^°  Grades  angesetzt  wird.  Eingehendere  £&t- 
Wickelungen  über  die  Bildungsgesetze  der  Resultante  nebst  einer  Anwendung 
auf  das  Fundamentaltheorem  der  Algebra  füllen  eine  besondere  Vorlesung. 
Eine  weitere  Vorlesung  über  Diskriminanten,  sowie  eine  solche  über  qua- 
dratische Formen,  wobei  Sylvesters  Trägheitsgesetz  in  den  Mittelpunkt 
der  Betrachtung  rückt,  schliessen  den  mit  der  Invariantentheorie  verwandten 
Abschnitt  des  Buches. 

In  einer  Reihe  von  Vorlesungen  werden  demnächst  die  zahlreichen 
Theoreme   behandelt,    welche    die   Abschätzung    der   Anzahl    der  Woneln 


Rezensionen.  37 

innerhalb  begrenzter  Intervalle  zum  Gegenstande  haben.  Alle  diese  Theoreme, 
welche  einen  klassischen  Schatz  der  Gleichungstheorie  vorstellen,  finden 
ihren  Höhepunkt  in  der  Theorie  der  Sturmschen  Funktionenketten. 
Auch  Hermites  Behandlung  der  gleichen  Gegenstände  auf  Grund  der 
Theorie  der  quadratischen  Formen  wird  von  Herrn  Netto  ausführlich 
dargestellt. 

Vier  Vorlesungen,  welche  von  der  näherungsweisen  Berechnung  der 
Wurzeln  einer  Gleichung  handeln,  schliessen  sich  würdig  den  vorauf- 
gehenden an.  Die  Newtonsche  Naherungsmethode  steht  hier  natürlich 
voran;  doch  wird  auch  hier  der  Gegenstand  bis  in  seine  neuesten  Fort- 
setzungen verfolgt.  Die  mehrfache  Wiederholung  einer  und  derselben 
Operation  (zum  Zwecke  der  Annäherung  an  eine  Wurzel)  führt  zum  Be- 
griff der  Iteration,  dem  eine  besondere  Vorlesung  gewidmet  wird.  Spezielle 
Berücksichtigung  findet  die  Iteration  einer  linearen  Funktion.  Zweierlei 
Untersuchungen  von  Lagrange  kommen  hier  noch  zur  Darstellung.  Die 
erste  betrifft  die  Gleichung  der  Quadrate  der  Wurzeldifferenzen  einer  ge- 
gebenen Gleichung;  Ziel  dieser  Entwickelungen  ist,  die  komplexen  Wurzeln 
einer  Gleichung  durch  Aufsuchung  der  reellen  Wurzeln  einer  anderen 
Gleichung  zu  gewinnen.  Die  zweite  Untersuchung  bezweckt  eine  An- 
näherungsrechnung für  reelle  Wurzeln  einer  Gleichung  durch  gewisse 
Eettenbrachentwickelungen.  Doch  steht  diese  Methode  der  Newton- 
schen  nach. 

Es  folgen  nun  die  Vorlesungen  über  die  algebraische  Auflösung  der 
Gleichungen,  über  welche  oben  schon  berichtet  wurde,  und  welche  ihre 
Fortsetzung  im  zweiten  Bande  finden  sollen. 

Als  weiteren  Hauptgegenstand  des  zweiten  Bandes  nimmt  Herr  Netto 
die  Eliminationstheorie  in  Aussicht.  ^^^^^^  ^^^^^^^ 


Bibliographie 

vom  25.  November  1897  bis  13.  Januar  1898, 


FeriodiBOhe  Sohriften. 

Veröffentlichungen  des  königlichen  astronomischen  Becheninstituts  zu  Berlin. 
Nr.  6.  Bauschinger,  J.,  Genäherte  Opposition  -  Ephemeriden  toh 
46  kleinen  Planeten  for  1898,  Jannar  his  Angust.    Berlin,  Dammler. 

M.  1. 21'. 

Abhandlungen  der  kaiserlich  Leopoldinisch- Carolinischen  deutschen  Aka- 
demie der  Naturforscher.  71.Bd.  Nr.  4.  Satke,  Ladislaus,  Über  den 
Zusammenbang  der  Temperatur  aufeinander  folgender  Monate  und 
Jahreszeiten.    Leipzig,  Engelmann.  ^-^ 

72.Bd.  Nr.  1.    Haussner,    Rob.,    Tafeln  für  das  Goldbachsche  Gesetz. 

Ebenda.  M.15. 

Sitzungsberichte,  Münchner.  Mathematische  Klasse.  1897.  2.  Heft.  München. 
Franz.  M.1.20. 

Sitzungsberichte ,  Wiener.  Mathematisch -naturwissenschaftliche  Klasse.  I.Abt. 
106.  Bd.    4.  — 7.  Heft.    Wien,  Gerolds  Sohn.  M.5.4Ö. 

Annalen  der  Physik  und  Chemie.  Herausgegeben  von  G.  und  E.  Wiede- 
MANN.  Neue  Folge.  63.  Bd.  1897  (Festschrift  fär  Xjüst.  Wiedeiiaxx 
zum  50jährigen  Doktorjubiläum).    Leipzig,  Barth.  M.5. 

Publikationen  der  Sternwarte  des  eidgenössischen  Polytechnikums  zu  Zürich. 
Herausgegeben  von  A.  Wolper.  1,  Bd.  Beobachtungen  der  Sonnen- 
oberfläche in  den  Jahren  1887 — 1889.    Zürich,  Schulthess.         M.12 

VeröflFentlichungen  der  königlichen  Sternwarte  zu  Bonn.  Herausgegeben 
von  Friedr.  Küstner.  Nr.  2.  Untersuchungen  über  die  Eigenbewegung 
von  335  Sternen.     Bonn,  Cohen.  M.I- 

Zeitschrift  für  Luftschiffahrt  und  Physik  der  Atmosphäre.  Inhalts-Ver- 
zeichnis der  Jahrgänge  XI  -  XV  (189 2  —  1 896).  Berlin ,  Mayer  &  Müller 

M.-.6Ö. 

Denkschriften  der  kaiserlichen  Akademie  der  Wissenschaften.  Mathematisch- 
naturwissenschaftliche Klasse.    64.  Bd.     Wien,  Gerolds  Sohn. 

geb.  M.  70. 


Bibliographie.  39 

Sachregister  der  Abhandlungen  und  Berichte  der  mathematisch -physi- 
kalischen Klasse  der  königlich  sächsischen  Gesellschaft  der  Wissen- 
schaften 1846—1896.    Leipzig,  B.G.Teubner.  M.  2.50. 

Kalender,  astronomischer,  für  1898.  Berechnet  för  den  Meridian  und  die 
Polhöhe  von  Wien  (16®  20' 22"-  3  =  l^ö°^21".49  östUcher  Länge  von 
Greenwich,  48®  13' 65"- 4  nördlicher  Breite).  Herausgegeben  von  der 
kaiserl.  königl.  Sternwarte.     Wien,  Gerolds  Sohn.  kart.  2.40. 

Gesohiohte  der  Mathematik  und  Physik. 

PoGGENDORFFS  Haudwörterbuch  zur  Geschichte  der  exakten  Wissenschaften. 
3.  Bd.  12.  und  13.  Lieferung.     Leipzig^  Barth.  a  M.  3. 

Beine  Mathematik. 

Mahler,  G.,  Ebene  Geometrie  (Sanmilung  Göschen).  2.  Auflage.  Leipzig, 
Göschen.  M.  — .  80. 

Simon,  Max,  Analytische  Geometrie  der  Ebene  (Sammlung  Göschen).  Leipzig, 
Göschen.  M.  — .  80. 

Fricee,  Bob.,  Hauptsätze  der  Differential-  und  Litegralrechnung.  Dritter 
(Schluss-)  Teil.     Braunschweig,  Vieweg  &  Sohn.  M.  1. 

Kleter,  A.,    Aufgabensammlung.     1375.— 138.6.  Heft.     Stuttgart,   Maier. 

a  M.  -.  26. 

RoTHE,  BuD.,  Untersuchungen  über  die  Theorie  der  isothermen  Flächen. 
Dissertation.    Berlin,  Mayer  &  Müller.  M.  2. 

Angewandte  Mathematik« 

Lauenstein,  B.,  Die  Festigkeitslehre.  Elementares  Lehrbuch  für  den 
Schul-    und    Selbstunterricht.     4.  Auflage.     Stuttgart,    Bergstr&sser. 

M.  3. 60. 

Die  graphische  Statik.    4.  Auflage.   Ebenda.  M.  6. 

Grosse,  W.,  Unterhaltende  Probleme  und  Spiele  in  mathematischer  Be- 
leuchtung.   Leipzig,  Quandt  &  Händel.  M.  6. 20. 

Klein  ,  Hebm.  J.  ,  Astronomische  Abende.    Leipzig ,  E.  H.  Mayer.     M.  6. 60. 

Weissbach,  Jul.,  Lehrbuch  der  Ligenieur-  und  Maschinenmechanik.  Dritter 
Teil.  Die  Mechanik  der  Zwischen-  und  Arbeitsmaschinen.  2.  Auflage. 
Bearbeitet  von  Gustav  Herrmann.  Dritte  Abteilung.  Die  Maschinen 
zur  Formänderung.   14. — 16.  Lieferung.   Braunschweig,  Vieweg  &  Sohn. 

M.9. 

Brenner,    Leo,    Spaziergänge    durch    das   Himmelszelt.      Leipzig,   Mayer. 

M.  6. 60. 

Handwörterbuch  der  Astronomie.   10.  und  11.  Lieferung.    Breslau,  Trewendt. 

a  M.  3.  60. 


40  HistoriBch -litterarische  Abteilnng.   Bibliographie. 

Leuschner,  Armut  Otto,  Beitrfige  zur  Kometeobahnbestiminiuig.    Disser 
tation.    Berlin,  Mayer  &  Müller.  M.2.40. 


Physik  und  Meteorologie. 

Graham,  Will.  P.,  Über  den  Verlauf  des  Potential gradienten  in  Geissler- 
schen  Bohren.    Dissertation.    Berlin,  Mayer  &  Müller.  M.  1.60. 

LoMMEL,  E.  Y.,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik.    Leipzig,  Barth. 

geb.  M.  7. 211. 

Glazebrook,  B.  T.,  Das  Licht.  Gmndriss  der  Optik  für  Studierende  and 
Schüler.    Deutsch  von  E   Zermelo.    Berlin,  Calvary  &  Co. 

geb.  M.  3. 60. 

Korn,  Arth.,  Eine  Theorie  der  Gravitation  und  der  elektrischen  Er 
scheinungen  auf  Grundlage  der  Hydrodynamik.  2.  Auflage.  Zweiter 
Teil.    Zweiter  Abschnitt  (Schluss).     Berlin,  Dümmler.  MAM 

Biogenbach,  Alb.,  Ergebnisse  7 jähriger  Niederschlags -Begistrierungen  io 
Basel.    Karlsruhe,  Braun.  M.  1.50. 

BuDOLPH,  H.,  Die  Konstitution  der  Materie  und  der  Zusammenhang 
zwischen  ponderabler  und  imponderabler  Materie.  Berlin,  Fried- 
länder &  Sohn.  M.  1. 

Falb,  Bud.,  Neue  Wetterprognosen  und  Kalender  der  kritischen  Tage 
für  1898,  Januar  bis  Juni.    Berlin,  Steinitz.  M.I. 

Abraham,  Max,  Die  elektrischen  Schwingungen  um  einen  stabfönnigen 
Leiter,  behandelt  nach  der  Maxwellschen  Theorie.  Dissertation.  Berlin, 
Mayer  &  Müller  M.  1. 50. 


Historisch-litterarische  Abteilung. 


Fermats  Observatio  zum  Satze  des  Nikomaohus, 

Von 

Prof.  G,  Wertheim. 


Bekanntlich  hat  Sachet  zu  Diophants  Schrift  über  Polygonal- 
zahlen einen  Anhang  in  zwei  Büchern  geschrieben.  Der  Satz  27  des 
zweiten  Buches  giebt  die  dem  Nikomachus  zugeschriebene  Zerfällung 
der  Eubikzahlen  in  aufeinander  folgende  ungerade  Zahlen: 

1«1»,    3  +  5  =  2»,    7  +  9  +  11  =  3»,... 

Die  auf  diesen  Satz  bezügliche  Observatio  von  Petrus  Fermat 
war  bis  in  die  neueste  Zeit  nicht  verstanden  worden,  so  dass  man  den 
Text  fär  verstümmelt  hielt.  Erst  Tannery  hat  die  wahre  Bedeutung 
gefunden  imd  S.  341  des  ersten  Bandes  seiner  Ausgabe  der  Werke 
Fermats  mil^eteüt. 

Der  Satz  lautet  bei  Bachet: 

IJnitas  primum  cubum;  duo  sequentes  impares  conjuncti, 
seeundum  cubum;  tres  sequentes  tertium  cubum;  quatuor 
succedentes,  quartum,  semperque  uno  plures  sequentem 
deinceps  in  infinitum  cubum  aggregati  impares  constituunt. 

Fermat  hatte  dazu  bemerkt: 

Hanc  propositionem  ita  constituo  magis  universalem. 
Unitas  primam  columnam  in  quacunque  polygonorum  pro- 
gressione  constituit;  duo  sequentes  numeri,  mulctati  primo 
triangulo  toties  sumpto  quot  sunt  anguli  polygoni  qua- 
ternario  mulctati,  secundam  columnam;  tres  sequentes,  mulc- 
tati secundo  triangulo  toties  sumpto  quot  sunt  anguli  poly- 
goni quaternario  mulctati,  tertiam  columnam,  et  sie  eodem  in 
infinitum  progressu. 

Also  in  freier  Übersetzung: 

„Dieser  Satz  lässt  sieh  in  folgender  Weise  verallgemeinem.  Für 
jede  Reihe  von  Polygonalzahlen  in  die  erste  Säule  gleich  1.  Die  zweite 
Saule  wird    erhalten,    indem   man   das   zweite   und   dritte   Qlied   der 

HUL-Utt.  Abt  d.  ZeiUohr.  f.  Math.  u.  Fhyt.  48.  Jahrg.  1898.  8.  Htft.  4 


42  Historiscli-litterarisclie  Abteilung. 

aritlimetischen  Reihe,  aus  welcher  die  betrachteten  Polygonalzahleii 
entstehen,  addiert  und  von  der  Summe  das  Produkt  aus  der  ersten 
Dreieckszahl  in  die  um  4  verminderte  Anzahl  der  Ecken  subtrahiert 
Addiert  man  weiter  die  drei  folgenden  Glieder  (das  4.,  5.  imd  6.)  der 
arithmetischen  Reihe  und  vermindert  die  Summe  um  das  Produkt  aus 
der  zweiten  Dreieckszahl  in  die  um  vier  verminderte  Anzahl  der 
Ecken,  so  erhält  man  die  dritte  Säule,  u.  s.w.  ins  Unendliche.^ 

Der  Satz  war  nicht  verstanden  worden,  weil  man  nicht  wusste. 
was  der  Ausdruck  columna  in  diesem  Zusammenhang  bedeutete,  und 
das  hat  Tannery  1.  c.  erklart.  Fermat  versteht  unter  columna  das 
Produkt  aus  n  in  die  n**  Polygonalzahl,  sodass  also  die  Säulen  der 
Yiereckzahlen  mit  den  Eubikzahlen  identisch  sind.  Tannery  irrt  nur 
darin,  dass  er  meint,  Fermat  habe  den  in  Rede  stehenden  Ausdrack 
selbst  gebildet  („Gette  expression  technique,  qu'il  semble  avoir  forgee 
lui-meme,  est  generalement  restee  incomprise^').  Franciscus  Mauroly- 
cus  schon  hat  ihn  benutzt  und  in  seinem  Werke  Arithmeticorum 
libri  duo  (Venedig  1575)  eine  ganze  Reihe  von  Sätzen  über  Säulen 
von  Polygonalzahlen  hergeleitet. 


Rezensionen. 


Higher  mathematics.  A  text-book  for  classical  and  engineering  Colleges. 
Edited  by  Maksfield  Merriman  and  Robert  S.  Woodward  New- 
York  1896.    XI  und  576  Seiten. 

In  diesem  Buche  ist  durch  die  beiden  Herausgeber  eine  Sammlung 
von  Monographieen  über  einzelne  Teile  der  höheren  Mathematik  dargeboten; 
und  zwar  sind  elf  verschiedene  Gegenstände  von  ebenso  vielen  verschiedenen 
Autoren  behandelt.  Die  Gegenstände  der  einzelnen  Monographieen  und  die 
Autoren  sind  die  folgenden:  I.Auflösung  der  Gleichungen  von  M.  Merriman 
(Lehigh  University),  2.  Determinanten  von  L.  G.  Weld  (üniversity  of  Jowa), 
3.  Projektive  Geometrie  von  G.  B.  Halsted  (University  of  Texas),  4.  Hyper- 
bolische Funktionen  von  J.  Mac  Mahon  (Comell  üniversity),  5.  Engel- 
funktionen,  Besselsche  und  Lamesche  Funktionen  von  W.  E.  Byerlj 
(Harvard  University),  6.  Funktionen  einer  komplexen  Yariabelen  von  T.S.Fiskc 
(Columbia  University),  7.  Diflferentialgleichungen  von  W.W.  Johnson  (Naval 
Academy),  8.  Grassmanns  Ausdehnungslehre  von  £.  W.  Hyde  (University 
of  Cincinnati),  9.  Vektorenanalysis  und  Quaternionen  von  A.  Macfarlane 
(Lehigh  University),  10.  Wahrscheinlichkeitsrechnung  und  Fehlertheorie  Ton 
B.  S.Wood  ward  (Columbia  University),  11.  Geschichte  der  modernen  Mathe- 
matik von  D.  E.  Smith  (Normal  School  of  Michigan). 


Rezensionen.  43 

Bei  den  in  Deatschland  bestehenden  Verhältnissen  kann  das  vorliegende 
Buch  für  Studierende  der  Mathematik  kaum  in  Betracht  konunen;  dieselben 
werden  bei  der  Mehrzahl  der  bebandelten  Gegenstande  zu  ausführlicheren 
Spezial werken  greifen.  Dagegen  hat  die  Idee,  welche  die  beiden  Herren 
Herausgeber  mit  ihrem  Werke  verwirklichten,  im  Interesse  der  Studierenden 
an  technischeu  Hochschulen  viel  Bestechendes.  Es  giebt  zahlreiche  Gebiete 
der  höheren  Mathematik,  welche  innerhalb  der  mathematischen  Physik, 
Mechanik  und  Technik  eine  Bolle  spielen,  und  welche  gleichwohl  nicht  in 
den  regelmftssigen  und  obligatorischen  Kursus  der  höheren  Mathematik  an 
den  technischen  Hochschulen  hineingezogen  werden  können.  In  dieser  Hin- 
sieht begabteren  Studierenden  durch  ein  sachgemSsses  Buch  zu  Hilfe 
kommen,  erscheint  in  der  That  sehr  verdienstlich. 

Nur  würde  die  von  den  Herren  Herausgebern  getroffene  Auswahl  des 
Stoffes  (welche  natürlich  in  erster  Linie  dem  amerikanischen  Bedürfnis 
dienen  soll)  diesseits  in  mehreren  Hinsichten  nicht  recht  passen.  Und 
andererseits  hätte  sich  wohl  auch  die  Anordnung  des  Stoffes  nach  sach- 
gemissen  Prinzipien  gestalten  lassen. 

In  ersterer  Beziehung  ist  zu  bemerken,  dass  ein  verhältnismässig  stark 
ausgedehntes  Kapitel  über  hyperbolische  Funktionen  nicht  beifällig  auf- 
genommen werden  dürfte.  Dieselben  bieten  theoretisch  über  die  Exponential- 
nnd  die  trigonometrischen  Funktionen  hinaus  nichts  neues  von  Belang^  und 
für  die  Praxis  werden  Tafeln  für  die  hyperbolischen  Funktionen  durch  die 
Logarithmentafeln  einigermaßen  ersetzt. 

Dass  ein  besonderes  Kapitel  der  Grassmannschen  Ausdehnungslehre 
gewidmet  ist,  wird  man  im  Interesse  der  allgemeinen  Anerkennung  Grass- 
manns als  sehr  erfreulich  ansehen.  Doch  dürfte  die  Ausdehnungslehre  bei 
der  grossen  Abstraktion  ihrer  Grunddefinitionen  und  bei  der  Zeit  und  Mühe, 
welche  man  aufwenden  muss,  um  mit  Grassmannschen  Methoden  selbst- 
ständig  und  erfolgreich  operieren  zu  können,  für  technische  Unterrichts- 
zwecke kaum  in  Betracht  zu  ziehen  sein. 

Demgegenüber  ist  es  entschieden  ein  Fehler,  dass  dem  Buche  kein 
Kapitel  über  elliptische  Funktionen  eingefügt  ist,  zumal  im  übrigen  die 
Funktionentheorie  nicht  schlecht  wegkommt.  Infolge  einer  Bemerkung  in 
der  Vorrede  haben  die  Herausgeber  diese  Unvollständigkeit  ihrer  Sammlung 
selber  empfunden. 

Eine  ausführliche  Inhaltsangabe  der  einzelnen  Abhandlungen  ist  hier 
wohl  kaum  am  Platze.  Doch  muss  bemerkt  werden,  dass  sich  die  erste 
Abhandlung  im  Vergleich  zu  manchen  der  weiter  folgenden  recht  dürftig 
ausnimmt.  Der  Verfasser  hat  hier  freilich  auch  nur  eine  Ergänzung  der 
in  den  „text-books**  üblichen  Darstellung  der  Algebra  geben  wollen.  Die 
Folge  ist,  dass  die  Fundamentalsätze  nur  nebenher  genannt  werden,  und 
dass  die  Mehrzahl  der  Entwickelungen  nur  in  historischer  und  apho- 
ristischer Form  gegeben  wird.  Der  modernen  Gleichungstheorie  scheint 
der  Verfasser  im  wesentlichen  fremd  gegenüber  zu  stehen. 

4* 


44  HiBtorisch-litterariBche  Abteilung. 

Betreffs  der  fimktionentheoretischen  Kapitel  sei  erwähnt,  dan  sich 
Herr  Byerlj  als  gater  Kenner  der  älteren  Theorie  der  Kngel-,  Lame* 
adien  und  Besselschen  Funktionen  erweist,  und  dass  Herr  Fiske  in 
seiner  Abhandlung  über  Funktionen  einer  komplexen  Yariabeln  im  wesent- 
lichen die  Cauchjsche  Theorie  zur  Geltung  bringt.  Im  übrigen  ist  nur 
durchaus  anzuerkennen,  dass  diese  Kapitel  in  Ansehung  ihres  geringen 
ümfanges  eine  sehr  vielseitige  Behandlung  ihrer  Gegenstände  darbieten; 
und  dasselbe  gilt  auch  von  den  übrigen  hier  nicht  besonders  genaanten 
Abhandlungen  der  Sammlung.  j^^j.^^^  p^^ 


Theorie  der  Ahelscheu  Funktionen.  Von  Dr.  Hermann  Stahl,  Professor 
der  Mathematik  in  Tübingen.  Leipzig,  B.  G.  Teubner,  1896.  X  md 
354  Seiten. 

Die  neueren  deutschen  Bücher  über  Abel  sehe  Funktionen  betreffen 
meist  spezielle  Gebiete  aus  der  Theorie  dieser  Funktionen.  Eine  allgemeine 
Behandlung  dieser  Theorie  in  Form  eines  Lehrbuches  ist  neuerdings  toc 
verschiedenen  Seiten  geplant  und  nunmehr  durch  Herrn  Stahl  wirklich 
zur  DurchfeüiruDg  gebracht. 

Bei  dem  Stande  der  bisherigen  Lehrbücher  über  Abelsche  Funktionen 
ist  es  zweifellos,  dass  Herr  Stahl  eine  seit  längerem  bestehende  Lücke 
ausgefüllt  hat.  Das  bekannte  Buch  von  C.  Neumann  ist  mehr  für  das  ein- 
führende Studium  bestimmt  und  berücksichtigt  auch  die  algebraische  Seit« 
der  Theorie  nur  in  sehr  geringem  Grade.  Das  Buch  von  Clebsch  nnd 
Oordan,  welches  seinerzeit  auf  der  Höhe  der  Wissenschaft  stand,  ist  ans- 
schliesslich  auf  kurventheoretisch -algebraische  Vorstellungen  basiert  und 
Usst  die  allgemeinen  funktionentheoretischen  Begriffsbestimmungen  Bie- 
manns  ausser  Betracht.  Zudem  hat  gerade  auch  die  algebraische  Seit« 
der  Theorie  der  Abelschen  Funktionen  nach  Erscheinen  des  Clebsch- 
Gordanschen  Buches  vor  allem  durch  Brill  und  Noether  erhebliche 
Fortschritte  gemacht.  Wer  demnach  in  einem  Lehrbuche  dem  heutigen  Stande 
der  Theorie  der  Abelschen  Funktionen  gerecht  werden  will,  muss  vor  allen 
den  Schöpfungen  Eiemanns  und  den  Forschungen  der  Algebraiker  gleich- 
m&ssig  genügen,   und  dies  ist  durch  Herrn  Stahl  in  der  That  geschehen. 

Allerdings  ist  zu  bedauern,  dass  in  den  Grundlagen  der  Theorie  der 
Biemannschen  Fläche  erst  die  zweite  Stelle  angewiesen  ist^  insofern  fiberall 
von  der  Angabe  einer  algebraischen  Relation  f{x^  fi)  '=  0  ausgegan^o 
wird.  Die  Folge  ist,  dass  die  Biemannschen  Existenztheoreme,  welche 
fflr  gewisse  Teile  der  modernen  Funktionentheorie  höchst  wichtig  sind^ 
ausserhalb  der  Betrachtung  bleiben.  Ln  übrigen  aber  kann  man  nur  sagen, 
dass  das  vorliegende  Buch  die  Errungenschaften  der  Biemannschen  Theorie 
der  Abelschen  Funktionen  durchaus  zur  Geltung  bringt,  und  es  wird  be- 
sonders interessieren,  dass  der  Herr  Verfasser  zwei  von  Herrn  Prjm  auf- 
gearbeitete   (ungedruckte)  Vorlesungen    Biemanns    über    elliptische    and 


J 


Bezenflionen.  45 

Abelsche  Fanktionen  aus  dem  Sominer  1861  tind  dem  Winter  1861/62 
hat  benutzen  können. 

Die  Anordnung  des  ganzen  Stoffes  und  die  Darstellung  erscheinen  sehr 
übersichtlich.  Das  ganze  Buch  zerfallt  in  zwei  Teile:  1.  Die  algebraischen 
Funktionen  und  die  Abelschen  Integrale  (die  von  Herrn  Stahl  gebrauchte 
Überschrift  „Die  rationalen  Funktionen'*  könnte  doch  leicht  zu  irrtüm- 
licher AufPassung  Anlass  geben);  2.  Das  Jacobische  Umkehrproblem.  Beide 
Male  werden  in  ganz  kurze  Einleitungen  die  bei  den  elliptischen  Funktionen 
vorliegenden  Verhältnisse  skizziert,  so  dass  die  allgemeine  Theorie  als  kon- 
sequente Verallgemeinerung  aller  einzelnen  im  elliptischen  Falle  auftretenden 
Gesichtspunkte  erscheint. 

Ein  tieferes  Eingehen  auf  Spezialuntersuchungen,  wie  z.  B.  auf  die 
Fälle  p  =^  2  und  p  ^  S  vermeidet  Herr  Stahl  durchaus.  Es  ist  in  dieser 
Hinsicht  für  das  vorliegende  Buch  charakteristisch,  dass  der  hyperelliptische 
Spezialfall  in  demselben  keine  besondere  Berücksichtigung  findet. 

Um  nunmehr  auf  die  Einzelheiten  des  Inhaltes  etwas  näher  einzugehen, 
so  ist  im  ersten  Abschnitt  der  ^Ausgangspunkt  von  einer  algebraischen 
Gleichung  F(xj  y)  ^  0  gewählt,  welche  in  y  auf  den  n^°  Grad  ansteigt. 
Die  genaue  Untersuchung  der  n  Zweige  der  Funktion  y  von  x  führt  auf 
die  Einführung  der  Bie  mann  sehen  n-blättrigen  Verzweigungsfläche.  Die 
Untersuchungen  von  LQroth  und  Clebsch  über  die  Normalformen  der 
Riemannschen  Flächen  werden  dargestellt.  Selbstverständlich  wird  aus- 
führlich von  der  Zerschneidung  gehandelt,  die  Arten  der  Potenzreihen- 
entwickelungen  von  y  in  der  Umgebung  einzelner  Stellen  der  Fläche 
werden  besprochen  etc. 

Der  zweite  Abschnitt  wendet  sich  zunächst  stark  von  Biemann  ab,  und 
hier  ist  offenbar  der  Einfluss  Brills  auf  den  Verfasser  ein  bedeutender  gewesen. 
Wäre  im  ersten  Abschnitt  der  Begriff  der  Riemannschen  Fläche  das  Primäre 
gewesen,  so  würde  der  natürliche  Zugang  zum  Biemann-Bochschen  Satz, 
dem  Brill-Noetherschen  Beziprozitätssatze  etc.  derjenige  über  die  Theorie 
der  Integrale  erster  und  zweiter  Gattung  sein.  Dieser  Entwickelungsgang 
hätte  der  ursprünglichen  Bie  mann  sehen  Wendung  unmittelbarer  entsprochen. 
Zugleich  wäre  der  Charakter  der  „Invarianz"  der  Darstellung  mehr  ge- 
wahrt geblieben.  Die  konsequente  Fortbildung  des  im  ersten  Abschnitt 
eingenommenen  Standpunktes  lässt  dagegen  den  Herrn  Verfasser  auch  in 
Abschnitt  U  an  die  Angabe  einer  Belation  F(Xj  y)  ^0  knüpfen.  Hierdurch 
wird  ein  mehr  entwickeltes  algebraisches  Bild  der  Theorie  gewonnen;  und 
dabei  sind  es  im  wesentlichen  Brill-Noethersche  Gedanken,  welche  die 
Darstellung  beherrschen.  Die  Theorie  der  algebraischen  Funktionen  auf 
einer  Bie  mann  sehen  Fläche  kleidet  sich  in  die  Lehre  vom  Schnitt  einer 
Grundknrve  F{Xy  y)  '^  0  mit  anderen  Kurven.  Die  bekannten  Fundamental- 
satze NoetherSy  der  Begriff  der  Punktgruppe  auf  der  Grundkurve,  der 
Bestsatz  etc.  beherrschen  die  Entwickelung.  Der  Ansohluss  an  Brill  und 
Noether  ist  ein  so  enger,  dass  auch  Herr  Stähl  den  Brill-Noetherschen 
Beziprozitätssatz    als    Biemann-Bochschen   Satz   bezeichnet   (wie   in   der 


46  •  Historisch -litterarische  Abteilung. 

orsprfinglichen  Darstellung  der  Herren  6 rill  und  Noether),  während  m&D 
sonst  gewöhnlich  den  Satz  über  die  Anzahl  linear -unabhängiger  Fonktionen 
mit  gegebenen  ünstetigkeitspnnkten  als  Riemann-Bochschen  Satz  be- 
zeichnet. 

Im  dritten  Abschnitt  wird  eine  ansfOhrliche  Theorie  der  Abelschen 
Integrale  der  drei  Gattungen  geliefert  Hier  tritt  dann  wieder  die  Bie- 
mann  sehe  FlSche  als  Fundament  der  Betrachtang  in  ihr  Becht,  welche  ja 
vermöge  ihrer  kanonischen  Querschnittsjsteme  den  übersichtlichsten  Zugang 
zu  der  Lehre  von  den  Integralperioden  bietet.  Es  findet  in  diesem  Abschnitt 
gleich  auch  eine  ausftlhrliche  Darstellung  des  Abelschen  Theorems  ihren 
Platz. 

Im  folgenden  Abschnitt|  welcher  die  eindeutige  Transformation  be 
handelt,  wird  der  Ausgangspunkt  wieder  von  einer  Grundkurve  gewählt 
Der  Satz  von  der  Erhaltung  der  Zahl  p  bei  eindeutiger  Transformation 
erfordert  fOr  diesen  Standpunkt  ausfOhrliche  Diskussion,  während  er  b«i 
der  eindeutigen  und  konformen  Beziehung  zweier  Bie  mann  sehen  Flächen 
auf  einander  direkter  ersichtlich  ist.  "V^eiter  werden  die  (Sp  —  3)  Moduln 
einer  „Klasse"  algebraischer  Funktionen  mit  p>l  besprochen,  und  im 
zweiten  Teile  des  Abschnitts  wendet  sich  die  Betrachtung  der  im  Baume 
von  (p  —  i)  Dimensionen  gelegenen  Normalkurve  der  Funktionen  O  la, 
wobei  auch  die  Noetherschen  Sätze  über  die  Anzahl  linear -unabhängiger 
Flächen  gegebenen  Grades  durch  die  Normalkurve  abgeleitet  werden. 

Der  zweite  Teil  des  Werkes,  welcher  gleichfalls  in  vier  Abschnitte 
zerfällt,  ist  vornehmlich  der  Theorie  der  0- Funktionen  von  p  Variabeb 
gewidmet.  Die  EinfQhmng  dieser  Funktionen  wird  durch  Formulierong 
und  nähere  Diskussion  des  Jaco bischen  ümkehrproblems  motiviert  Die 
&- Funktionen  treten  denmach  nicht  so  unvermittelt  wie  in  Biemanns 
Abhandlung  auf,  und  zugleich  meidet  die  Entwickelung  den  weiten  dorch 
WeierstrasB  eingeschlagenen  Weg  über  die  Integrale  der  dritten  Gattung. 

Im  fünften  Abschnitt  findet  man  nun  die  zahlreichen  Grundeigen- 
schaften der  0- Funktionen  ni*^'  Ordnung,  speziell  derjenigen  erster  Ordnung 
entwickelt,  wobei  fGbr  die  letzteren  die  zweiteiligen  CharakteristikeD, 
die  Einteilung  in  gerade  und  ungerade  Funktionen  etc.  besprochen 
werden.  Indem  die  Argumente  der  0- Funktionen  sodann  mit  p  Integralen 
erster  Gattung,  das  System  der  ^-Moduln  aber  mit  dem  System  der  zu- 
gehörigen Perioden  identifiziert  werden,  sind  die  so  ausgestalteten  ^-Funk- 
tionen in  ihrem  Verhalten  auf  der  zerschnittenen  Biemann  sehen  Fläche  zn 
untersuchen.  Hier  spielen  dann  vor  allem  die  bekannten  Sätze  über  dss 
Verschwinden  der  O- Funktionen  die  fundamentale  Bolle. 

In  den  beiden  folgenden  Abschnitten  wird  nun  das  Fazit  des  ganzen 
Buches  gezogen,  indem  die  transcendenten  Mittel  der  d- Funktionen  mit 
den  algebraischen  Entwickelungen  des  ersten  Teiles  in  Beziehung  gesetzt 
werden,  um  solchergestalt  die  Lösung  des  Jacobischen  ümkehrproblems 
und  die  Darstellung  der  algebraischen  Funktionen  der  Fläche  durch 
O* Quotienten  zu  gewinnen.    Die  transcendent  definierten  !>  Nullpunkte  einer 


Rezensionen.  47 

^-Faoktion  erster  Ordnung  mit  zweiteiliger  Charakteristik  liefern  min  in 
algebraischer  Formiüierang  die  Berührungspunkte  einer  sogenannten  Be- 
rührongskxurve,  welche  überall  da,  wo  sie  die  Orundkurve  schneidet,  die- 
selbe sogleich  berührt.  Der  Quotient  der  linken  Seiten  zweier,  derartige 
Berfihmngskurven  darstellenden  Gleichungen  ist  eine  algebraische  Funktion 
auf  der  Fläche,  deren  Quadratwurzel  unyerzweigt,  aber  nicht  mehr  ein- 
deutig ist.  Man  gewinnt  so  die  einfachsten,  auf  der  Fläche  existierenden 
„Wnrzelfiauiktionen'^,  welche  das  algebraische  Gegenbild  der  ^-Quotienten 
erster  Ordnung  mit  zweiteiligen  Charakteristiken  vorstellen.  Diese  Wurzel- 
fanktionen  mögen  durch  V^^/i(x)  bezeichnet  sein,  wo  fi  ein  Symbol  für  die 
zugehörige  zweigliedrige  Charakteristik  ist.  Die  algebraische  Definitions- 
weise von  yrlffi(x)  bringt  es  dann  mit  sich,  dass  erst  die  Quotienten  zweier 
solcher  Ausdrücke  Viffi{x)j  V^vipi^)  auf  der  Fläche  unverzweigt  sind.  Bildet 
man  die  d- Funktionen  für  solche  Argumente,  welche  selbst  mehrgliederige 
Integralsummen  sind,  so  sind  die  Quotienten  solcher  O  algebraisch  als 
symmetrische  Funktionen  der  Integralgrenzen  darstellbar,  wobei  stets  ein 
Produkt  von  Wurzelfunktionen  als  Faktor  in  der  Darstellung  des  ^-Quotienten 
aaftritt.  Dieser  Ansatz  wird  für  die  (i>  -f  1)- gliederigen  Integralsummen 
durchgeführt,  wo  die  Wurzelfonktionen  y^fi{x)  zur  Geltung  kommen,  sowie 
dann  weiter  für  (2p  —  2)- gliederige  Integralsummen,  wo  gewisse  aus  den 
Hiemann  sehen  (^-Funktionen  zu  bildende  Wurzelfunktionen  V^Pfiix)  zu  ver- 
wenden sind.  Zur  Lösung  des  ümkehrproblems  werden  p  Formeln  der 
enteren  Art  [d.  i.  solche  mit  (l>  +  I)  *  gliederigen  Summen]  verwendet, 
welche  nunmehr  gestatten,  dem  ümkehrproblem  gemäss  die  p  oberen 
Integralgrenzen  in  den  p  Integralsummen  des  Jacob  Ischen  Ansatzes  aus 
den  Werten  dieser  p  Summen  zu  berechnen.  Die  explizite  Durchföhrung 
dieser  Auflösung  des  Umkehrproblems  erfordert  die  genauere  algebraische 
Untersuchung  der  Wurzelfunktionen  V^^^(^),  sowie  die  nähere  Berechnung 
der  in  den  gedachten  p  Gleichungen  enthaltenen  transcendenten  Elemente, 
nämlich  der  O- Funktionen.  Im  siebenten  Abschnitt  werden  die  Relationen 
zwischen  O- Funktionen  mehrgliederiger  Integralsummen  und  algebraischen 
Funktionen  in  der  allgemeinsten  Gestalt  in  Untersuchung  gezogen.  Die 
Worzelfunktionen  mit  höheren  Exponenten,  die  Darstellung  der  algebraischen 
Funktionen  durch  die  Primfnnktion  etc.  kommen  hier  zur  Darstellung. 
Hier  folgen  denn  auch  die  Grundsätze  der  eigentlichen  Ab  eischen  Funk- 
tionen ,  d.  i.  der  rationalen  symmetrischen  Funktionen  der  p  oberen  Inte- 
gndgrenzen  Xi  in  Abhängigkeit  von  den  Summen 


u.-^Jä 


betrachtet.  Es  übertragen  sich  vor  allem  die  Sätze  über  Addition,  Multi- 
plikation xmd  Division  der  elliptischen  Funktionen  auf  die  so  gedachten 
Funktionen  Al^ü^,..,  üp). 


48  Historisch -litterarische  Abteilang. 

Im  letzten,  f^  sich  stehenden  Abschnitte  sind  die  Ansätze  der  linearen 
Transformation  entwickelt.  Hier,  wie  überall,  darf  man  es  als  einen  Vor- 
zug des  Baches  bezeichnen,  dass  es  sich  niemals  in  Einzelentwickelnngen 
verliert,  sondern  auf  die  klare  Hervorhebimg  der  Hauptgesichtspnnkte  den 
wesentUchen  Nachdruck  legt.     Robert  Fricke. 

Conferences  SUr  les  mathimatiqnes  faites  au  congres  de  mathematiqncs 
tenu  a  Toccasion  de  Texposition  de  Chicago  par  Fiijx  Elecc, 
recuillies  par  le  professeur  Alex.  Ziwet,  traduites  par  M.  L.  Laugel 
Paris  1898.    A.  Hermann.    8^  128  S. 

Über  die  Entstehung  und  den  Inhalt  des  Evanston  Golloqainms 
hat  bereits  Herr  Fricke  an  dieser  Stelle  (Jahrgang  1895,  S.  41—43)  be- 
richtet und  die  Bedeutung  dieses  Buches  auch  fOr  deutsche  Leser  herror- 
gehoben;  handelt  es  sich  doch  in  ihm  um  die  Darlegung  der  Grand- 
gedanken  und  Hauptgesichtspunkte  der  modernen  Mathematik.  Die  jot- 
liegende  französische  Übersetzung  wird  daher  nicht  nur  in  Frankreich 
mit  Freude  begrüsst  werden,  sie  wird  auch  vielen  deutschen  Mathematikeni 
willkommen  sein,  die  sich  mit  der  englischen  Sprache  nicht  befreundet 
haben.  Herrn  Laugel,  dem  wir  schon  eine  Reihe  vortrefflicher  Über- 
tragungen deutscher  Abhandlungen  verdanken,  hat  sich  aber  nicht  mit  der 
BoUe  eines  Übersetzers  begnügt,  er  giebt  vielmehr  auf  den  letzten  17  Seiten 
bibliographische  Noten,  in  denen  die  Entwickelungen  des  Textes  weiter  ge- 
f&hrt  werden  und  die  um  so  wertvoller  sind,  als  bei  ihrer  Ab&ssong 
Herr  Klein  selbst  mitgewirkt  hat. 

Wir  würden  uns  freuen,  wenn  diese  Übersetzung  auch  in  Deutscblind 
recht  weite  Verbreitung  fönde,  und  Herr  Laugel  dadurch  ermutigt  würde, 
die  von  ihm  geplante  französische  Übersetzung  der  Werke  Biemanns  wirk- 
Uch  erscheinen  zu  lassen.  p^^^  Stackel. 

BiMlotheca  Mathematica,  Zeitschrift  für  Geschichte  der  Mathematik 
Herausgegeben  von  Gustaf  Eneström.  Stockholm.  Generalregister 
für  Band  I  bis  X.    1887—1896. 

Den  Inhalt  der  Eneströmschen  BibUotheca  mathematica  pflegen  wir 
regelmässig  in  unserem  Abhandlungsreg^ister  mitzuteilen.  Wenn  wir  des 
Generalregisters  für  die  zehn  ersten  Bände  besonders  ^gedenken,  so  g^ 
schiebt  es,  weil  Herr  Eneström  in  demselben  die  Photographien  nahexQ 
aller  seiner  Mitarbeiter,  begleitet  von  kurzen,  aber  zuverlässigen  biogra- 
phischen Angaben,  zum  Abdrucke  gebracht  hat.  Wir  freuten  uns  ungemein 
in  dieser  Weise  die  persönliche  Bekanntschaft  von  engeren  Fachgenossen 
teüs  machen,  teils  erneuern  zu  können.  Caittor. 


Die  Geschichte  der  Rechenkimst  vom  Altertume  bis  zum  XVIII.  Jalir- 

hundert   von    Franz  Vilucus,    kaiserl.  Bäte,  emer.  k.  k.  Professor, 


Rezensionen.  49 

Direktor  der  Oremial-Ebmdelsf achschale  der  Wiener  Eanfoiannschaft, 
Besitzer  des  Anerkennnngs- Diplomes  der  Wiener  Weltausstellung 
vom  Jahre  1873.  Mit  Illustrationen,  Zahlzeichen,  Zahlensystemen 
und  Bechenmethoden  der  alten  Kulturvölker  und  altamerikanischer 
VGlkerst&mme,  nehst  einer  tabellarischen  Darstellung  von  Zahl- 
wörtern des  Zehnersjstemes  aus  72  Sprachen.  Dritte  vermehrte 
Auflage.    Wien  1897.    Carl  Gerolds  Sohn.    YlII,  114  S. 

Im  Vorworte  macht  uns  der  Herr  Verfasser  mit  10  lobenden  Be- 
sprechungen der  früheren  Auflagen  bekannt  und  zieht  aus  diesem  Beifalle 
die  Folgerung,  es  habe  kein  Anlass  vorgelegen,  die  neue  Auflage  im  In- 
halte wesentlich  zu  vei^dem.  Hinzugekommen  ist  hauptsächlich  ein  An- 
hang, der  die  sogenannten  chaldaeischen  Zahlzeichen  des  Noviomagus 
schildert  und  Varianten  der  indisch -arabischen  Zahlzeichen  mitteilt.  Wer 
Ton.der  Geschichte  der  Rechenkunst  noch  nichts  weiss,  wird  aus  der  Schrift 
des  Herrn  Villicus  manches  lernen  können;  wer  andere  umfassendere  Unter- 
suchungen gelesen  hat,  wird  nicht  selten  mit  einiger  Verwunderung  finden, 
dass  mit  Vorliebe  auf  ältere  Werke  zurückgegriflFen  ist,  wo  doch  neuere 
Bücher  vorhanden  waren,  die  jene  älteren  Ergebnisse  teils  ergänzen,  teils 
richtig  steUen.  C^^^,^ 

Troisi^me  centenaire  de  la  naissance  de  Descartes.  Numero  de  la  Eevue 

de  metaphjsique  et  de  morale  specialement  consare  a  Descartes. 
Paris,  Juillet  1896.    Armand  Colin  et  Co.    200  p. 

£en6  Descartes  ist  am  31.  März  1596  geboren.  Es  war  ein  glück- 
licher Gedanke  der  durch  Herrn  Xavier  Läon  vertretenen  Leitung  der 
Revue  de  metaphysique  et  de  morale  die  300.  Wiederkehr  dieses  Jahrestags 
durch  ein  Heft  zu  feiern,  welches  ausschliesslich  durch  Au&ätze  über  Des- 
cartes gebildet  wäre.  Dreizehn  Verfasser  haben  Beitx^e  geliefert,  tmd 
200  Seiten  stark  liegt  das  Erinnerungsheft  vor  uns.  Ebensowohl  der  Zweck 
unserer  eigenen  Zeitschrift  als  die  Begrenzung  unserer  Berechtigung  zur 
Urteilsfällong  verwehren  uns  ein  Eingehen  auf  alle  Beiträge,  wie  sie  uns 
anderseits  ein  Verweilen  bei  einigen  wenigen  derselben  gebieten,  bei  den 
Ao&Stzen    von    Herrn   P.  Tannery,   von  Herrn  D.  J.  Körte  weg,    von  Herrn 

Gh.  Aiij^.yn, 

Descartes  physicien  ist  der  Titel  des  Aufsatzes,  in  welchem 
Herr  P.  Tannery  die  Präge  aufwirft,  ob  Descartes  befähigt  war,  in  der 
Physik  eine  hervorragende  Bolle  zu  spielen?  Descartes  Zwecke  zuerst  er- 
wägend findet  der  Verfasser,  dass  sie  überall  philosophische  waren,  dass 
mathematische,  dass  physikalische  Untersuchungen  für  Descartes  nur  Mittel 
waren,  seine  aUgemeine  Methode  zu  prüfen,  und  dass  es  fast  Zufall  genannt 
werden  könnte,  dass  dabei  Ergebnisse  von  einer  Bedeutung  sich  offenbarten, 
welche  Ar  sich  den  wissenschaftlichen  Lebenszweck  jedes  anderen  als  Des- 
cartes hätten  bilden  können.  Den  mathematischen  Leistungen  diesen  hohen 
Wert  beizulegen,  war  nichts  Neues.    Herr  Tannery  begegnet  sich  in  ihrer 


50  HiBtorisch-litterariache  Abteilnng. 

Anerkennang  mit  allen,  welche  mit  Geschichte  der  Mathematik  sich  be- 
schäftigen, von  denen  keiner  zweifelt,  dass  Descartes,  hätte  er  auf 
Mathematik  sich  beschränkt,  sie  noch  unendlich  weiter  gefordert  haben 
würde,  als  er  es  schon  that.  Weniger  Übereinstimmung  herrscht  darftber, 
ob  Descartes  sich  auch  die  Physik  mit  Erfolg  als  eigentliche  Fachwissen- 
schaft gewählt  haben  würde?  Herr  Tannery  behauptet  es  und  findet,  dass 
die  Dioptrik  Descartes  das  erste  Beispiel  mathematischer  Behandlung  eines 
von  der  Mechanik  verschiedenen  Abschnittes  der  Physik  darstelle,  was 
allein  schon  einen  grossen  Fortschritt  bedeute;  er  findet,  dass  die  Fehler, 
welche  der  Descartesschen  Physik  vorgeworfen  werden,  darin  ihren  Ur- 
sprung haben,  dass  er  nicht  einzelnen  Wahrheiten  nachging,  sondern  ein 
System  aufbaute.  Herr  Tannery  hätte  vielleicht  hinzufügen  dürfen,  dus 
Descartes  in  diesem  Systeme  die  Femkräfte  verschmähte,  ein  Vorzug,  der 
manche  Irrtümer  aufhebt. 

Herr  D.  J.  Korteweg  schrieb  Descartes  et  les  manuscrits  de 
Snellius  d'aprds  quelques  documents  nouveauz.  Die  alte  Frage,  ob 
das  Brechungsgesetz  zuerst  von  Snellius  und  dann  unabhängig  von  diesem 
abermals  von  Descartes  entdeckt  wurde,  oder  ob  Descartes  sich  eines 
geistigen  Diebstahls  an  Snellius,  dessen  handschriftliche  Aufzeichnnng  er 
kannte,  schuldig  machte,  wird  zu  Gunsten  der  ersten  Annahme  entschieden. 
In  der  That  ist  aus  Briefen  von  Descartes  der  Nachweis  geführt,  dass 
dieser  1729  in  Besitz  des  Brechungsgesetzes  war,  und  aus  einem  durch 
Herrn  Korteweg  in  Asterdam  entdeckten  Brief  von  Golius  an  Constantin 
Huygens  den  Vater  vom  1.  November  1632  ist  mit  grosser  Wahrscheinlich- 
keit zu  folgern,  dass  Descartes  erst  nach  diesem  letzteren  Datum  mit  dem 
Erstlingsrechte  des  Snellius  bekannt  wurde. 

Herr  Ch.  Adam  endlich  berichtet  unter  Correspondance  de  Des- 
cartes, autographes  et  copies  manuscrites  über  die  Briefe  von  Des- 
cartes, welche  sich  handschriftlich  erhalten  haben  und  zeigt  an  einigen 
auffallenden  Beispielen,  wie  solche  Briefe  sich  gegenseitig  zur  Bestätigung 
dienen,  insbesondere  wie  aus  dem  bekannten  Datum  eines  Briefes  das  ver- 
gessene Datum  eines  anderen  Briefes  annähernd,  wenn  nicht  sogar  genau« 
bestimmt  werden  kann.  Caktor. 

Christian  Wolffs  Verhältnis  zn  Leibniz.  Habilitationsschrift  von  Walthek 

Arnspebger,  Dr.  phil.     Weimar  1897  bei  Emil  Felber.    72  S. 

Der  Verfasser  der  uns  vorliegenden  Abhandlung  ist  Philosoph,  und  so 
musste  ihm  wesentlich  daran  liegen  ins  Beine  zu  bringen ,  ob  Wolfiis  Philo- 
sophie wirklich  nur,  wie  man  vielfach  gemeint  hat,  eine  VerwSssening 
Leibnizscher  Gedanken  war,  oder  ob  man  sie  als  eine  Fortbildung  derselben 
betrachten  muss.  Herr  Amsperger  entscheidet  sich  für  die  letztere  Auf- 
fassung. Wir  selbst  haben  ja  ganz  andere  Interessen  bei  Leibniz  wie  bei 
Wolff  im  Auge.  Uns  ist  Leibniz  4er  geniale  Erfinder  der  Differential- 
rechnung, Wolff  der  Verfasser  breitspuriger  Lehrbücher  und  der  in  vielen 


RezenaioneiL  51 

Zweigen  sich  zurechtsetzende  Berichterstatter  der  Acta  Eraditomm.  Aber 
anch  die  mathematiflche  Th&ügkeit  Wolffs  erscheint  in  neuer  und  zweck- 
mässiger Beleuchtung,  wenn  die  Beziehungen  zu  Leibniz  klar  werden,  und 
so  ist  schon  nach  dieser  Richtung  Herrn  Amspergers  Untersuchung  für  die 
Oeschichte  der  Mathematik  fruchtbar  zu  machen.  Die  Mitarbeit  an  der 
Leipziger  Zeitschrift  vollends  war  meistens  eine  mathematische  und  deshalb 
haben  wir  allen  Grund,  Mitteilungen  über  die  Entstehung  des  Mitarbeiter- 
verfaSltniases,  wie  sie  zum  Teil  aus  noch  ungedruckten  Briefen  in  Hannover 
uns  werden,  dankbar  zu  begrOssen.  Cantor 


Xiklans  Blamier^  der    erste  Professor  der  Mathematik  an  der  bemischen 

Akademie.  Von  Professor  Dr.  J.  H.  Graf.    (Separatabzug  aus  der 

Sanmilung  bemischer    Biographien.)      Bern  1897.     Buchdruckerei 

K.  J.  Wyss.  23  S. 

NiUaus  Blauner  wird  vermutlich  der  grossen  Mehrzahl  unserer  Leser 
ein  durchaus  unbekannter  Name  sein.  Auch  wir  lernten  ihn  erst  aus 
Herrn  Grafs  Biographie  kennen,  und  vielleicht  kennt  Herr  Graf  selbst  ihn 
erst,  seit  er  ihm  in  den  bemischen  Ünterrichtsakten  aus  der  Mitte  des 
18.  Jahrhunderts  begegnete.  Wir  können  weiter  hinzufdgen,  dass  es  kein 
Unrecht  gewesen  wäre.  Blauner  der  Vergessenheit  zu  überlassen.  Dennoch 
ist  die  kleine  Schrift  in  ihrer  Art  recht  lesenswert,  weil  Blauner  grade  in 
seiner  ünbedeutendheit  ein  Licht  auf  den  armseligen  Zustand  des  Unter- 
richtes in  der  Mathematik  in  der  Schweiz  um  das  Jahr  1750  zu  werfen 
geeignet  ist.  Faktor. 

Essai  sar  la  reprisentotion  analytiqne  de  la  direction  par  Caspar 

Wessel.  Traduction  du  memoire  intitul^:  Om  Directionens  analy- 
tiske  Betegning.  [Nye  Sämling  af  det  Kongelige  Danske  Videns- 
kabemes  Selskabs  Skrifter,  Femte  Del,  Kjobenhavn  1799]  publice 
avec  les  trois  planches  de  Toriginal  et  prefaces  de  M.M.H.  Valentiner 
et  T.  N.  Thiele  par  l'Acad^mie  Boyale  des  Sciences  et  des  Lettres 
de  Danemark  a  Toccasion  du  centenaire  de  sa  Präsentation  a  TAca- 
demie  le  10  Mars  1797.    Copenhague  1897.    Host  &  Sön.  XIV,  60  p. 

Der  Diorismus  der  griechischen  Geometer  gab  darüber  Aufschluss, 
wann  eine  Konstruktion  möglich  sei,  wann  nicht.  Wallis  im  66.— 69. Kapitel 
seiner  Algebra  von  1685  verband  die  geometrische  Auflösung  einer  Aufgabe 
mit  ihrer  algebraischen  Diskussion  und  kam  der  Hauptsache  nach  zu  dem 
Ergebnisse,  dass,  wenn  imaginäre  Werte  der  Unbekannten  auftreten,  dieses 
daher  rOhre,  dass  gewisse  Strecken  in  einer  bestimmten  Grösse  oder  Bich- 
tamg  gegeben  waren,  nach  deren  Abänderung  die  Auflösung  reell  d.h.  that- 
sichlidi  konstmierbar  werde.  Nicht  viel  mehr  war  es,  was  Heinrich 
Kühn  1750  oder  1751  leistete.  Von  der  wichtigsten  Frage:  wie  lässt  eine 
imagin&re  Strecke  sich  versinnlichen?  war  weder  bei  Wallis  noch  bei  KlUm 


52  Historisch -litterariflche  Abteilung. 

die  Bede.  Sie  taachte,  wie  es  scheint,  erst  gegen  1786  auf.  Wenigstens 
sagt  Gauchy  in  seinem  berühmten  Ao&atze  Sur  les  quaniües  geamäriques 
von  1849  [Comptes  Bendns  XXIX,  250]  in  einer  Anmerkung:  Une  grandt 
parHe  des  resuUats  de  ces  recherches  avaient  it6,  ä  ce  gu'ü  paraü,  obtewu 
meme  avant  le  siede  present  et  d^  l'annee  1786  par  un  savant  modestt, 
Mr,  Henry 'Dominique  Truel,  quU,  apres  les  avair  consignes  dans  divers 
manuscrits,  les  a  communiqu^s,  vers  Vann^e  1810,  ä  Mr.  Äuguslin  Nor- 
mand,  constructeur  de  vaisseaux  au  Havre.  Freilich  war  das  Jahr  1810 
ein  viel  zu  spater  Zeitpunkt,  um  Erfinderrechte  ftir  Dinge  geltend  machen 
zu  können,  welche  Arg  and  1806  im  Drucke  herausgegeben  hatte.  Aber 
auch  Argands  Veröffentlichung  erweist  sich  nachgrade  als  eine  jedenMs 
selbst&ndig    erdachte   Wiederholung    dessen,    was    Caspar  We8sel_1797 


niedergeschrieben  hatte^  was  seit  1799  in  dänischer  Sprache  gedruckt  war. 
Im  !•  Bande  von  Poggendorffs  Biographischem  Wörterbuche  von  1863 
ist  Wessel  und  seine  Abhandlung  genannt,  aber  wir  glauben  kaum^  dass 
irgend  ein  Benutzer  jenes  Wörterbuches  dadurch  au&nerksam  gemach: 
^furde.  Erst  1895  hat  Herr  Christensen  auf  die  Bedeutung  jener  Arbeit 
von  1797  hingewiesen,  und  die  Dänische  Akademie  hat  mit  vollem  Bechte 
einen  Centenameudruck  derselben  veranstaltet,  welcher  Caspar  Wessel  den 
verdienten  Ehrenplatz  in  der  Geschichte  der  Mathematik  sichern  wird. 

CAlfTOB. 

Ludwig  Otto  Hasses  gesammelte  Werke  herausgegeben  von  der  mathe- 
matisch-physikalischen Klasse  der  Königlich  Bayerischen  Akademie 
der  Wissenschaften.  Mit  einem  Bildnisse  Otto  Hesses.  München  1897. 
Verlag  der  K.  Akademie.    VIII,  732  S. 

Die  Bayerische  Akademie  der  Wissenschaften  hat  drei  unmittelbare 
Schüler  Hesses,  die  Herren  Gundelfinger,  Lüroth,  Noether,  und  nebec 
ihnen  noch  Herrn  Dyck  mit  der  Aufgabe  betraut,  Hesses  Abhandlungen 
neu  herauszugeben  und  mit  denselben  zu  vereinigen,  was  etwa  drackreif 
in  seinem  Nachlasse  sich  vorfinde.  In  letzterer  Beziehung  waren  zwar 
drei  Nummern  schon  durch  die  Herren  Gundelfinger  und  Caspary  dem 
Drucke  übergeben,  aber  immerhin  fanden  sich  noch  zwei  Aufsatze,  welche 
nunmehr  erstmalig  bekannt  werden:  Beweise  zu  einigen  Sätzen  von 
Chasles  und  insbesondere  die  Fortsetzung  zu  Hesses  erster  Abhandlung  Ton 
1837  über  Oberflächen  zweiter  Ordnung.  Sie  war  beim  Abdruck  der  Ab- 
handlung im  18.  Bande  von  CreUes  Journal  in  Aussicht  gestellt,  war  unter 
dem  Titel  „Konstruktion  der  zweien  gegebenen  Oberflächen  zweiter  Ordnung 
gemeinschaftlichen  konjugierten  Linien**  seit  1887  im  Entwürfe  fertig  ond 
später  zu  stark  zwei  Drittel  ins  Beine  geschrieben,  aber  zur  Herausgabe 
kam  es  nicht^  vermutlich  (wie  Herr  Lüroth  annimmt)  weil  Hesse  emen 
darin  ausgesprochenen  Satz  nachträglich  •  nicht  für  genügend  siehergestelit 
hielt.  Die  Herren  Herausgeber  haben  den  einzelnen  Abhandlungen  wert- 
volle Anmerkungen    beigegeben,   welche   teils    kritischer  Natur  sind,  teib 


Rezensionen.  53 

die  Greschichie  der  betreffenden  Untersuchungen  Yor  und  nach  Hesses  Ein- 
greifen betreffen.  Ein  Lebensabriss  Hesaes,  warm  empfiinden  und  geschrieben, 
yerroUstSndigt  den  stattlichen  Band,  dessen  Ausstattung  zu  dem  Schönsten 
gehört,  was  wir  an  deutschen  Drucken  noch  gesehen  haben.        g^^^^ 


Systematisclie  Entwickelnng  der  Abhängigkeit  geometrisclier  Gestalten 

YOn  einander.  Von  Jacob  Steiker.  [Ostwalds  Klassiker  der  exakten 
Wissenschaften  Nr.  82  und  83.]  Leipzig  1896.  W.  Engelmann. 
126  und  162  S. 

Wir  haben  im  41.  Bande  dieser  Zeitschrift,  Histor. -litter.  Abt.  S.  216 
bei  Gelegenheit  der  Anzeige  von  Steiners  Geometrischen  Konstruktionen  das 
baldige  Erscheinen  seiner  Systematischen  Entwickelung  in  Ostwalds  Klassikern 
ankündigen  dürfen.  Es  ist  nunmehr  in  zwei  Heften  erfolgt,  herausgegeben 
durch  Herrn  von  Oettingen,  welcher  insbesondere  zu  Hefb  82  einen  dankens- 
werten Zusatz  in  Grestalt  von  Bemerkungen  über  das  perspektivische  Zeichnen 
gegeben  hat  C^^^ 

firandriss   der  Differential-  nnd   Integralrechnung.    Von  Dr.  Ludwio 

Kiepert,  Professor  der  Mathematik  an  der  technischen  Hochschule 
zu  Hannover.  I.  Teil:  Differentialrechnung,  S.Auflage;  H. Teil: 
Integralrechnung,  6.  Auflage. 

Der  fllnften  Auflage  des  IL  Teils  von  1894  folgte  eine  sechste  von 
1896,  der  siebente  Auflage  des  L  Teils  von  1895  folgte  eine  achte  von  1897. 
Es  wäre  überflüssig  diesen  Daten  ein  weiteres  Lob  anzuschliessen.  Wir  be- 
merken nur,  dass  Herr  Kiepert  in  der  Vorrede  zur  Integralrechnung  sich 
über  den  auch  in  dieser  Zeitschrift  ihm  erteilten  Bat,  die  beiden  Bände 
zn  verschmelzen,  äussert.  Rein  äusserliche  Gründe  verhinderten  die  Be- 
folgung des  Bates,  während  Herr  Kiepert,  in  der  Sache  mit  uns  ein- 
verstanden, den  wirklichen  Unterricht  so  geordnet  hat,  dass  er  auf  die 
Abschnitte  1  bis  4  und  8  bis  11  der  Differentialrechnimg  unmittelbar  den 
ganzen  ersten  Teil  der  Integralrechnung  folgen  lässt,  um  dann  wieder  zur 
Differentialrechnung  zurückzukehren.  Bei  dem  geringen  Unterschiede  zwischen 
den  beiden  letzten  Auflagen  kann  diese  Anweisung  auch  den  Besitzern  der 
Torhergehenden  Auflage  dienen,  und  deshalb  hielten  wir  es  für  wünschens- 
wert, sie  hier  anzuführen.  Cantor. 

Hauptsätze  der  Differential-  nnd  Integralrechnung,  als  Leitfaden  zum 

Gebrauch  bei  Vorlesungen  zusammengestellt  von  Dr.  Robert  Fricke, 
Professor  an  der  Technischen  Hochschule  zu  Braunschweig.  Heft  I, 
80  S.  Heft  n,  66  S.  Heft  HI,  38  S.  Braunschweig  1897.  Friedrich 
Yieweg  und  Sohn. 

Vorlesungen  Über  Mathematik  weichen  in  einer  Beziehung  von  allen 
anderen   an   Hochschulen   gehaltenen  Vorlesungen   ab.    Während  man   bei 


54  HisioriBch- litterarische  Abteilung. 

anderen  FBchem  dem  Namen  der  Vorlesung  den  Inhalt,  -vielfach  auch  den 
Lehrgang  entnehmen  kann,  ist  das  in  der  Mathematik  ganz  anders,  unter 
gleichem  Titel  werden  oft  himmelweit  verschiedene  Dinge  vorgetragen! 
Kaum  einige  wenige  Vorlesungen  gleichen  einander  halbwegs,  und  zu  diesen 
gehören  diejenigen  über  Differential-  and  Integralrechmmg.  Um  so 
wünschenswerter  erscheint  es,  den  Zuhörern  gerade  dieser  gegenwärtigen 
AnfangSYorlesung  einen  Leitfaden  empfehlen  zu  können,  kurz  genug,  um 
die  Vorlesung  nicht  entbehrlich  zu  machen,  streng  genug,  um  nicht  bei 
jeder  Gelegenheit  durch  den  Lehrer  als  ungenügend  bezeichnet  werden 
zu  müssen.  Herr  Fricke  hat  sich  der  Aufgabe  unterzogen,  ein  solches 
Büchelchen  herzustellen  und,  wenigstens  was  unser  persönliches  Urteil 
betrifft,  mit  vorzüglichem  Erfolge.  Wir  haben  bereits  Zuhörer,  welche 
eines  Leitfadens  in  dem  angegebenen  Sinne  sich  bedienen  wollten,  auf  die 
kurze,  knapp  elfeinhalb  Druckbogen  starke  Schrift  hingewiesen,  und  sie 
fanden  darin  genau  was  sie  suchten,  kein  Lehrbuch,  geschweige  denn  ein 
Handbuch  y  welches  eine  ganze  Semesterfolge  von  Vorlesungen  ersetzen  will, 
aber  eine  zweckmässige  Unterstützung  bei  der  häuslichen  Wiederholung  des 
Vorgetragenen.  Kantor, 

J.  A.  Serret,  Lehrbuch  der  Differential-  und  Integralrechnung  mit  Ge 

nehmigung  des  Verfassers  deutsch  bearbeitet  von  Axel  Harnace, 
zweite  durchgesehene  Auflage  von  G.  Bohlmakn.  Erster  Band: 
Differentialrechnung.  Mit  85  in  den  Text  gedruckten  Figuren. 
Leipzig  1897,  B.  G.  Teubner.    XVI,  570  S. 

Als  Harnack  1884  das  in  Frankreich  schon  hochgeschätzte  Serret- 
sche  Lehrbuch  übersetzt  und  mit  Anmerkungen  bereichert  herausgab,  war 
sofort  die  allgemeine  Meinung  dahin  gerichtet,  das  Werk  habe  entschiedeo 
gewonnen,  und  der  Serret-Harnack,  wie  man  zu  sagen  liebte,  stehe 
mehr  als  das  Original  auf  der  Höhe  der  Wissenschaft.  Aber  dreizehn 
Jahre  sind  in  dem  Leben  der  heutigen  Mathematik  ein  langer  Zeitraum, 
und  was  1884  nahezu  allen  Wiinschen  genügte,  bedurfte  1897  bereits 
wieder  der  Ergänzung.  Herr  Bohlmann  hat  sich  der  Mühe  unterzogen^ 
das  im  Buchhandel  vergriffene  Werk  zum  Zwecke  einer  neuen  AuQage 
abermals  auf  die  Höhe  der  Wissenschaft  zu  bringen.  Zwei  Wege  standen 
dazu  offen.  Zu  den  Hamackschen  Anmerkungen  konnten  neue  sie  venroll- 
ständigende  Anmerkungen  hinzutreten,  oder  aber  eine  Umarbeitung  kennt« 
versuchen,  das  Neue  mit  dem  Älteren  und  Alten  zu  verschmelzen.  Jener 
erste  Weg  wäre  vielleicht  der  pietätvollere  gewesen;  er  hätte  auch  die 
Veranwortlichkeit  jedes  der  drei  Bearbeiter  für  seinen  Anteil  deutlich 
hervortreten  lassen;  aber,  sagt  Herr  Bohlmann,  und  seine  Behauptung 
dürite  berechtigt  sein,  das  Buch  hätte  dadurch  einen  so  inhomogenen 
Charakter  erhalten,  dass  es  seinen  ursprflnglichen  Vorzug  grosser  Lesbarkeit 
darüber  verloren  hätte.  Das  gab  den  Ausschlag.  Wir  befinden  uns  infolge 
des   getroffenen    Entschlusses   beinahe    einem    neuen    Lehrbuche    gegenüber, 


Rezensionen.  55 

and  man  könnte  eher  fragen,  was  ist  von  dem  ursprünglichen  Serret  ge- 
blieben, als  was  hat  Herr  Bohlmann  daran  verändert?  Das  Vorwort  be- 
antwortet uns  allerdings  diese  Fragen,  und  eine  Vergleichong  der  ver- 
schiedenen Auflagen  setzt  uns  in  den  Stand,  die  Bichtigkeit  der  Antwort 
zu  prüfen  und  zu  bestätigen.  Das  erste  und  das  elfte  Eoipitel,  jenes  von 
den  einleitenden  Begriffen,  dieses  von  den  Funktionen  einer  komplexen 
Variahelen  handelnd,  sind  vollständig  umgearbeitet.  In  jenem  sind  die 
Paragraphen,  welche  den  Grenzbegriff  kennen  lehren,  mit  besonderer  Sorg- 
falt behandelt,  in  diesem  will  dem  Leser  ein  Zugang  zu  der  Funktionen- 
theorie, wie  sie  in  Deutschland  gelehrt  zu  werden  pflegt,  erO£fhet  werden. 
Grössere  Veränderungen  sind  auch  im  6.  und  7.  Kapitel  vorgenommen 
worden,  dort  bei  der  Bestimmung  der  Maximal-  und  Minimalwerte  von 
Funktionen  mehrerer  unabhängiger  Variabelen,  hier  bei  Erörterung  der 
singulären  Stellen  ebener  Kurven.  Das  Bedürfnis  zur  gemeinschaftlichen 
Benennung  von  Maximal-  und  Minimalwerten  ein  Wort  zur  Verfügung  zu 
haben,  dürfte  ein  allgemein  empfundenes  sein.  Herr  Bohlmann  spricht  in 
dieser  Beziehung  von  Extremwerten;  Beferent  bedient  sich,  um  an  die 
Wellenform  der  die  Funktion  versinnlichenden  Kurve  oder  Oberfläche  zu  er- 
innern, des  Wortes  Kulminationswert.  Vermutlich  wird  jedem  das  selbst- 
gewählte Wort  als  das  zutreffendere  erscheinen.  Eine  Veränderung  des 
7.  Kapitels  in  einem  grundsätzlich  wichtigen  Punkte  dürfte  allgemeine 
Billigung  finden.  Serret  hat  in  seinem  Lehrbuche  die  Differentialrechnung 
von  der  Integralrechnung  geschieden.  Gleichwohl  hat  er  im  7.  Kapitel  von 
dem  Differential  einer  Fläche,  von  dem  eines  Bogens  gesprochen  und 
dabei  die  Fläche  als  Grenzwert  der  Summe  geradliniger  Vierecke,  den 
Bogen  als  Grenzwert  der  Sunmie  geradliniger  Sehnen  behandelt,  mit  an- 
deren Worten:  er  hat  die  Summendefinition  des  bestimmten  Litegrals  be- 
natzt, bevor  der  Leser  überhaupt  etwas  vom  Litegrieren  weiss.  Das  hat 
nun  Herr  Bohlmann  abgestellt  Er  setzt  freilich  auch  die  Möglichkeit 
voraus  nne  Fläche  und  eine  Bogenlänge  zu  messen,  denn  ohne  diese  Voraus- 
setzung ist  die  Frage  nach  deren  Differential  gegenstandslos,  aber  jene 
vorausgesetzte  Messung  ist  eine,  man  möchte  sagen,  handwerksmässige 
mittelst  eines  Planimeters  oder  mittelst  der  Wage  und  mittelst  eines  um  den 
Bogen  gelegten  und  dann  ausgespannten  Fadens.  Die  richtigere  Grenz- 
definition ist  dadurch  dahin  verschoben,  wohin  sie  dem  Zusammenhange 
nach  gehört,  in  den  zweiten  Band.  Eine  ähnliche  Veränderung  ist  im 
9.  Kapitel  bei  der  Bogenlänge  von  Raumkurven  eingetreten.  Eine  sehr 
dankenswerte  Bereicherung  des  Werkes  besteht  in  einem  alphabetisch  ge- 
ordneten Sachregister,  fast  unentbehrlich  für  jeden ,  der  nicht  anhaltend 
zu  lesen,   sondern   nach  Bedürfnis   bald   da   bald  dort  nachzuschlagen  be- 

^^'i^***^-  Cantor. 

FBnfistellige  Tafeln  and  Cfegentafeln  für  logarithmisches  und  trigono- 
metrisches Rechnen.     Herausgegeben   von  Dr.  Hermann  Schubert, 


56  Historisch -litierarische  Abteilung. 

Professor    an    der   Gelehrtenscfanle    des   Johanneums    in   Hamburg. 
Leipzig  1897,  B.  G.  Teubner.    VI,  157  S. 

Die  Scbubertschen  Tafeln  unterscheiden  sich  in  mehrfacher  Beziehimg 
von  sämtlichen  in  Deutschland  in  Gebrauch  befindlichen  Werken  ähnlicher 
Richtung.  Erstens  hat  Herr  Schubert  nach  den  Tafeln  auch  Gegentafeln 
aufgenommen,  wodurch  der  Übergang  vom  Logarithmus  zur  Zahl,  von  der 
trigonometrischen  Funktion  zum  Winkel  direkt  aufgeschlagen  werden  kann. 
Zweitens  ist  bei  den  trigonometrischen  Tabellen  links  ausschliesslich  Sibiis 
und  Cosinus,  rechts  ebenso  ausschliesslich  Tangens  und  Gotangens  zn 
finden;  ein  Abwechseln  zwischen  Vorwärtsblättem  und  Bückwärtsblättem 
wird  vermieden,  so  lange  die  gleiche  Funktionenart  in  Bechnung  tritt. 
Wir  glauben  mit  Herrn  Schubert  in  diesen  Eigentümlichkeiten,  welche  in- 
dessen ausserhalb  Deutschlands  nicht  ohne  Beispiel  dastehen,  wesentlicbe 
Verbesserungen  zu  erkennen.      Caktor 

Handbuch    der   Theorie    der    Hnearen   Differentialgleichungeit.    Von 

Professor   Dr.  Ludwig  Schlesinger.    Zweiten   Bandes    erster  Teil. 
Leipzig  1897,  B.  G.  Teubner.    XVIII  und  532  S. 

Kaum  zwei  Jahre  nach  dem  ersten  Bande  des  Werkes  (vergl.  das 
Referat  der  Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik  1895,  8. 166  flg.)  ist 
seine  Fortsetzung  erschienen,  noch  nicht  der  Abschluss.  Denn  „die  Fülle 
des  zu  bearbeitenden  Materials  hat  eine  Teilimg  des  zweiten  Bandes  not- 
wendig gemacht.  Der  vorliegende  erste  Teil  behandelt  die  Gruppentheorie^ 
die  Umkehrprobleme  im  allgemeinen  und  diejenigen  speziellen  Theorien, 
die  sich  an  die  Integration  einer  linearen  Di£ferentialgleichung  durch  be 
stinunte  Integrale  mit  Hilfe  der  £ul  er  sehen  Transformierten  angliedern 
lassen.  Der  zweite  Teil  wird  die  Theorie  der  eindeutig  umkehrbaren 
Dreiecksfunktionen  (insbesondere  der  elliptischen  Modulfnnktion),  der  All- 
gemeinen Fuchsschen  Funktionen  und  die  linearen  DififerentialgleichuDgen 
mit  doppeltperiodischen  Koeffizienten  zum  Gegenstand  haben.'^ 

Nach  diesen  Worten  des  Verfassers  wenden  wir  uns  sogleich  zu  einer 
knappen  Darlegung  des  ausserordentlich  reichen  Inhalts  des  vorliegenden 
Landes. 

IX.  Allgemeine  Theorie  der  bei  linearen  Differentialgleich- 
ungen auftretenden  Gruppen. 

Der  ganze  Abschnitt  steht  wesentlich  unter  dem  Zeichen  der  drei 
Namen  Lie,  Picard,  Vessiot  und  enthält  die  neuerdings  aufgedeckten 
Analogieen  zwischen  der  Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen  und 
derjenigen  der  algebraischen  Gleichungen.  Er  steht  in  dieser  Hinsicht  zu 
dem  Anfang  des  II.  Abschnittes  in  Beziehung. 

Die  allgemeine  lineare  Gruppe  L  von  n  Veränderlichen  ist  eine 
n^-gliedrige  kontinuierliche  Transformationsgruppe.  Sie  ist  selbst  nicht 
abzählbar,  enthält  aber  als  abzählbare  Untergruppe  die  Gesamtheit  der  Sub- 
stitutionen,   die   ein   Fundamentalsystem  von  Integralen  einer  vorgelegten 


H^zenBionen.  57 

HfferentialgleichoBg  bei  allen  möglichen  Umlaufen  erleidet,  d.h.  die  Grnppe 
l  der  Differentialgleichung  (später  mit  g  bezeichnet). 

Die  Gmppe  L  von  den  n  Veränderlichen  j^i . . .  |(«  bildet  das  Analogen 

QT  symmetrischen  Gmppe  von  n  Unbestimmten  x^ x'n»    Den  elementaren 

ymxnetiischen  Fmiktionen  von  x^, .  ,Xn  entsprechen  diejenigen  rationalen 
Hfferentialfimktionen  p  aus  ^i  • . .  ^n,  die  die  Koeffizienten  der  linearen 
)ifferentialgleiGhang  mit  dem  Fundamentalsystem  ^i . .  •  jdi  bilden.  —  Die 
Gesamtheit  der  linearen  Transformationen,  die  irgend  eine  rationale 
)ifferentialfanktion  B(yi.  , ,  y^  angeändert  lässt,  bildet  eine  bestimmte 
Jntergrappe  von  L,  B^  als  Funktion  von  x^  genügt  einer  Differential- 
[leichmig  niedrigster  Ordnung,  der  Besolvente.  —  Rationale  Differential- 
anktionen,  die  zur  nämlichen  Gruppe  gehören,  sind  rational  durch  ein- 
ander ond  durch  die  p  ausdrückbar:  ein  Analogen  des  Lagrangeschen 
latzes  der  Algebra. 

Nimmt  man  als  rationale  Differentialfonktion  von  ^i .  • .  ^m  eine  so- 
genannte empfindliche  Funktion,  analog  der  Galoisschen,  d.h.  eine 
olche,  die  bei  keiner  linearen  Transformation  ungeändert  bleibt,  und  stellt 
hre  Resolvente  auf,  so  ist  diese  von  der  Ordnung  n*  und  irreduktibel, 
»lange  die  y^ . . .  ^«  unbestimmte  Funktionen  sind.  Geht  man  aber 
ron  einer  speziellen  Differentialgleichung  aus,  so  kann  die  Resolvente 
%duktibel  und  durch  eine  Differentialgleichung  niedrigerer  Ordnung  ersetz- 
)ar  werden.  Die  von  der  letzteren  bestimmte  Gruppe  linearer  Transforma- 
ionen  ist  diejenige  Untergruppe  vonZ,  die  als  Transformationsgruppe* 
T  der  vorgelegten  linearen  Differentialgleichung  bezeichnet  wird  und  eine 
lerrorragende  Rolle  fOr  sie  spielt.  Dies  kommt  namentlich  in  dem  dem 
laloisschen  Fundamentaltheorem  entsprechenden  Picard-Yessiotschen 
)oppel8atz  zum  Ausdruck:  „Jede  rationale  Differentialfunktion  von  2^^...^« 
Fundamentalsystem  einer  speziellen,  vorgelegten  linearen  Differential- 
[leichong  mit  rationalen  Koeffizienten),  die  eine  rationale  Funktion  von  x 
st,  bleibt  bei  den  Transformationen  von  G  als  Funktion  von  x  ungeändert. 
ede  rationale  Differentialfunktion  von  S^i .  .  .  y»,  die  als  Funktion  von 
'  bei  den  Transformationen  von  G  ungeändert  bleibt,  ist  eine  rationale 
■Wlrtion  von  a:." 

Durch  „Adjunktion"  der  „Gattung"  einer  Differentialfunktion 2? (i/j . .  .y»)> 
lie  bei  den  Transformationen  von  G  und  nur  bei  diesen  formell  ungeändert 
»leibt,  zum  „Rationalitätsbereich"  der  allgemeinen  linearen  Differential- 
;Ieichm)g  (deren  Transformationsgruppe  L  ist)  wird  deren  Gruppencharakter 
ientisch  mit  demjenigen  der  speziell  vorgelegten  Differentialgleichung  mit 
^cr  Transformationsgruppe  G.  —  Für  die  Integration  der  Differential- 
;leiehang  handelt   es  sich  um  Reduktion  der  Transformationsgruppe  durch 

*  Bei  der  fundamentalen  Bedeutung  dieses  Begriffs  wünschten  wir  seine 
>efimtioQ  in  Nr.  150  ganz  explizite  zusammengestellt  und  hervorgehoben,  während 
uan  jetst  dieselbe  unter  mehrfachem  Zurückblättem  mühsam  zusammensuchen 
^^i.    Das  ist  Überhaupt  eine  wiederholt  vorkommende  Erscheinung. 

Ulli  .mt.  Abt.  a^Ztitochr.  f.  Math.  u.  Phyf .  48.  Jahrg.  1898.  2  Hefl  5 


:A^^;^»mi:as.  Dl«  IsUgration  l^gt  sl-:; 
i::_  s:JTijpe    -TTsamnun    —   Aucb  dl«  ku ' 

-  irm      Ta.iira-ar»n  kann  an  der  Tmi- 

-.;i■,^^al    "^ciiCua    Ewiachen    den    Elemenu: 

-  Ji-a  .-iir'^iii"  ter  Differeatlalgleida'; 
_a  i'.JTTiT'inrtf  :ii  der  Grnpp«  jenes  »1:' 
i-i  _r?Qniai-ntr  Eacegrierbarkeit  —  i 
n     i--:*  —  ■i^:    ÜB  Tramformationsgriifi' 

■^      ---r-^f-nai-iTtKiiifaniig   (siehe  obenl  n 
■:-■  ■?  acte   Catergmppe  der  Tranb 

^-    Tiucivd    -'idVr^nQAlfiinktion,  die  l*i  i 

-a     t:r    -i^-r  riaä-iatige  Funktion  wt - 

j^--=:;"2''a  ■^B  'r  atMF  nngeSndert  bU;'' 

:i.    —  miTm^    Bcii    die  Kleinsehe  t- 

LH     r    Lü  i^nonalitStBgrnppe- 

■.»r-!i'-Tii^-t-n.auiiit  irit  rationalen  Kw- 

t    ^-Tcs! . rrnanunsffnipp«   lasuntnen* 

■-!;    ■;.;;-',  -ir.tr  ?iniKindo  linearen  Ditferenrn. 

n    ,■?■:-'■.    de  3ut  jener  in  Beiug  &nl'(ii;: 

•i:^^      .'  iJ»?L    ht^LisiiD    iwei   Differec'J-. 

.:-.■■,     »"t;3    '»eiäe    ionertalb    E   einJrui.: 

.;. !!;;;■_-  "iriüJLii    iit!r  i^inen  dnrch  die  ^ 

■■.~*c  m-i  lumcipia  mit  in  E  ebenfalls  rii; 
.-  ar  ii.  rr-^Eun  an  Stelle  der  einfculi.-"l 
•  — tt  de  ri.-f-r>?Qai^gl«>:hungen  insbesüiil'^i 
.i-^i-^Ti.  ■joniT!«  d*R*lben  Art"  heissfn '-vj 
sc  c-'-vr'-i:'".  wslohe  Beuichnong  von  U^-.n 
:.  »jir  w-e-ier  in  dem  nrsprün glichen  lli' 
■i  :  \f  K^daktibiUtät  innerbalb  /.',  I)"'' 
-■  ijl^'eiL'huiig    mit    rationalen   KoefEiia'^ä 

■:~..li^  aller  mit  einer  DLiferentialgl*icl'''-J 
Art    gehörigen    Differential glelchang'n.  H 

1    An    haben    dieaelb«    ßationaliUts-  <^'l 

i:,i;  über  die  einer  vorgelegten  assoiiier'^' 
■■.:vi  leiue  geometrische  Interpretation  der  li^; 

,.'t.fU^  veränderlich".  —  S  35,  Z.  lOvinii'l-« 
■;.-v-.  S  6ö,  Z.  U  von  unlen  lies:  „Teikfin^i- ' 
■  ■a  ■.■i.Tju  uuJ  1  von  unten  lies:  „Ttanefumiaii'i- 


Rezensionen.  59 

mente  des  Fandamentalsystems  als  homogene  Koordinaten  in  einem  n  — 1- 
dimensionalen  Raum  sich  fruchtbar  erweist.  Da  diese  n  homogenen  Ko- 
ordinaten Punktionen  von  x  sind,  so  bestimmen  sie  eine  „Integralkurve'^ 
Jene  Satze  über  die  Differentialgleichung  und  ihre  verschiedenen  Assoziierten 
werden  so  zu  geometrischen  Sätzen  über  die  Tangentialebenen  verschiedener 
Stofe  an  der  Integralkurve.  Assoziierte  Differentialgleichungen  führen  zu 
den  Begriffen  der  „assoziierten  Arten ^'  und  „assozürten  Gruppen ",  im 
Spezialfall  zu  den  adjnngierten  Differentialgleichungen.  —  Mittelst  der 
assoziieiten  Differentialgleichungen  kann  man  die  Frage  entscheiden,  ob 
eine  vorgelegte  lineare  Differentialgleichung  mit  rationalen  Koeffizienten 
rednktibel  ist  oder  nicht. 

Geht  man  von  den  Integralen  der  Differentialgleichung  zu  den  Inte- 
gralquotienten über  oder  geometrisch  zur  Darstellung  derselben  Integral- 
korve  durch  nicht  homogene  Koordinaten,  so  treten  an  Stelle  der  linearen 
Gruppen  projektive.  Die  Erhaltung  der  Integralkurve  bei  der  all- 
gemeinsten Transformation 

veranlasst  die  Frage  nach  den  Invarianten  dieser  Transformation.  Die 
Differentialgleichung  mit  verschwindenden  Invarianten  führt  dann  wieder  auf 
den  Fall,  dass  zwischen  den  Elementen  eines  Fundamentalsystems  homogene 
Relationen  bestehen,  und  auf  Differentialglei(Siungen  mit  algebraischer  Inte- 
gralkarve.* 

XI.  Formulierung  und  allgemeine  Diskussion 

der  Umkehrprobleme. 

Die  besondere  Behandlung  des  Falles  von  homogenen  Relationen 
zwischen  den  Integralen  einer  Differentialgleichung  vierter  Ordnung ,  ein 
Problem,  dem  schon  die  Inaugural- Dissertation  des  Verfassers  gewidmet 
war,  liefert  das  Ergebnis,  dass,  abgesehen  von  gewissen  AusnahmsflUlen, 
die  unabhängige  Variable  eine  algebraische  Funktion  des  Ortes  auf  der  Inte- 
gralknrve  ist,  und  leitet  damit  zu  den  Umkehrproblemen  hin. 

*  S.  112.  Der  in  Gleichung  2)  enthaltene  Schluss  dürfte  nur  dann  zu  halten 
sein,  wenn  ein  die  sämtlichen  Punkte  «^  .  .  .  aa  einschliessender  Umlauf  die  Inte- 
grale angeändert  lässt.  ~  S.  150  Zeile  9  von  oben  lies  ($()  statt  (A).  S.  157  Zeile 
7  von  unten.  Vom  „dritten  Glied  einer  Gleichung^*  zu  sprechen,  ist  unzulässig; 
mindestens  müsste  es  dann  heissen  ,,  Doppelgleichung  ^^  Thatsächlich  ist  aber 
iuer  in  Gleichung  1)  zunächst  nur  für  den  komplizierten  Ausdruck  der  linken 
^eite  die  abkürzende  Bezeichnung  3(u)  eingeführt,  sodass  das  Gleichheits- 
zeichen —  beide  Mal  einen  total  verschiedenen  Sinn  hat,  ein  Umstand,  auf  den 
z.B.  Kronecker  gern  aufmerksam  machte.  Es  empfiehlt  sich,  das  auch  äusser- 
lich  kenntlich  zu  machen  durch  Gebrauch  des  Identitätszeichens  =  an  der  ersten 
Stelle.  Dann  genügt  es  auch  von  „rechter'*  und  „linker  Seite"  der  Gleichung  zu 
sprechen.--  S.177  Zeile  16  von  unten.  Die  spezielle  lineare  Gruppe  L  ist  S.92  definiert 
und  seitdem  nie  wieder  benutzt  worden ;  es  wäre  daher  geboten ,  hier  wenigstens  auf 
jene  Definition  zu  verweisen.  —  S.  179  am  Kopf  lies  179  statt  180.—  S.  187  Zeile  16 
von  oben  lies  „Exponent**  statt  „Potenz**. 


■Rscli«  Abteilung. 

DiffvcntUlgleichiuigeii  beliebiger  Ord- 

i^   Fall,   dus   x   eine   eindeatige   oder 

FxirQf»   dei  Ort:«B  &af   der  Integralknrre 

Oidnnng  kfinnen  gewisse  algebniadif 

wodoi,  ED  denen  aber  im  allgemeinen 

'j.rTjTi^*»  hüuDtreten  mOisen,  damit  der  ge- 

Ais   BetfingoDg   ergiebt  sich   namentliob   die 

y.jDddnimiegnqipe  #  von  einer  Variablen  ij, 

Fix   E'i:&rBitial^eicbangen    höherer  Ordonng 

3r  '£e  pnjektiTe  Honodromiegnippe  der  Inte- 

3is£pii±i  £.eai  die  ümkehmog  der  hyperelliptischeti 


,  --.—_>?■  si^M  i2e«w  I>i^<!ra>tialgleicbimg  mit  gegebener  Mono- 
___  ;_r  :^:fe^ra^aauc*ait«t  bennstellen,  oder  die  Koeffizienten  der 
-,  --  "T- -  u  F'mJciiiaaB  der  Parameter  der  zngebSrigen  pro- 
^  -.,— -T.  ■^-— TT-rw.  iä.  im  wesentlichen  der  Fundamentalin Varianten, 
;--.  ■=-— •  >d  r:it±r«iaAi^leiclniiigen  zweiter  Ordnung  zu  dem  Er- 
«.u^  -i?^  r -3T*tn ".itr" j'W:*' °" g  zweiter  Ordunng  der  FnchsEcbec 
_i  .s.--=^-"»r"*  fflwoüre  E'ankte,  für  welche  0,  1,  oo  drei  der  wirt- 
._;^,^  ^:_#B  anii-  iank  ifie  projektive  Honodromiegroppe  der  Inte- 
^,  ^  -.-.?.i::.i:  >4;Ci,iitiBt  ist.  Man  gelangt  dabei  zu  einer(Bie- 
...  "L.-i*  y,  ias|C«t>r«tUt  Ober  der  i)-Ebene,  in  der  z  eine  ein- 
u;v:  J  -^s  -Vw  isC  Sie  wird  in  solche  StQcke  J",  (Funda- 
__  .  H.  ^-.  M  ^Qer«eBrl  xeiscbnitten ,  dass  innerhalb  deraelben 
■  ..I  .  >>».'J  3or  «inmal  aoftritt.  Endlich  wird  dieses  Polygoo 
^  ■■^■^  .-',  n&aiiun«iU!ebogen,  die  im  Sinne  der  Analysis  Sites 
.^.       t    »«-    ii«  äjigvlÄres  Punkte  ausgesondert  sind,   Squivaleot 

,-    -.,    Tt«^:    der    Ezistenzbeweis    einer  anf  gegeben» 

^  ^  .  .  ;id'Jo  X   von   t)   wird  nach   den   Methoden  der 

.    :^^  \'aai«att  behandelt. 

^^^    .^    ,^m  «-Ihiit  iin  X.  Abschnitt  eingefOhrten  B^riSen  von 

-  -   ^-r<«:tMB  Art  (—  „Klasse"  nach  Henn  Fuchs)  sind 

^^^,    -^  ..i,.f««ttäalgleichungen  derselben   Familie  (Poin- 

*        ij-«i     "t:,:ii»uuX     Wir   bemerken   Aber   das   gegenseitige 

^       .   j^jj»  9wr,  das«  die  Zugehörigkeit  ror  gleichen  Has» 

^  __  :^<*^^^^  ""  gleichen  Art  und  diese  vriedenim  ein 

v^t  ittT  gleichen   Familie  ist     Die  Theorie  der 

MM^M  Klasse   wird   von  Herni  Schlesinger  a- 

^tMA   diMe  Betrachtungen   sogluch   bei   der  Dar- 

_^ ,    VutursuohuDgen     Aber    Differential gleichangen, 

,v«    Nuem    in    den    Koeffinenten    anftretenden 

A     1>MM    gipfeln    in    dem  „wundczbaren"  —  wir 

_^^  BtfikwOrdigen"—  Satx,  dass  die  m**  Assoziierte 


Eezensionen.  61 

einer    linearen   Differentialgleichung  2  m^' Ordnung    mit   jener  Eigenschaft 
rednktibel  ist.* 


Xn.  Theorie  und  Anwendung  der  Enlerschen  Transformierten. 

Schon  durch  die  Überschrift  —  die  darin  enthaltene  Bezeichnung  ist 
von  Herrn  Schlesinger  in  seinen  neuesten  Arbeiten  eingef^lhrt  worden  — 
wird  dieser  Abschnitt  in  Hinsicht  auf  das  ihn  beherrschende  Prinzip  und 
den  allgemeinen  Teil  seines  Inhaltes  als  Eigentum  des  Verfassers  gekenn- 
zeichnet. Er  handelt  von  der  Lösung  linearer  Differentialgleichungen  durch 
bestimmte  Integrale,  erstreckt  auf  geeignetem  Wege  —  namentlich  längs 
Pochhammerscher  Doppelschleifen  —  und  schliesst  sich  deshalb  eng  an 
den  Vn.  Abschnitt  an. 

Den  Eingang  bildet  eine  Erweiterung  des  Ab  eischen  Satzes  von 
Yertanschung  von  Parameter  und  Argument  bei  linearen  Differential- 
gleichungen.  Als  Eule r sehe  Transformierte  3)'»»  0  bezw.  JE7'»  0,  einer 
vorgelegten  Differentialgleichung,  (Ä)  P==0,  bezeichnet  Herr  Schlesinger 
eine  Differentialgleichung,  die  aus  (Ä)  hergeleitet  werden  kann  und  die 
Eigenschaft  hat,  dass  (Ä)  durch  ein  gewisses  bestimmtes  Integral  gelöst 
wird,  sobald  man  darin  für  eine  im  Integranden  enthaltene  Grösse  eine 
Lösung  yon  2)'«=  0  einsetzt.  Die  Beziehung  ist  eine  reziproke:  fEtr  die 
Adjungierte,  2)  =  0,  von  S)'=  0  ist  die  Adjungierte  P'=  0  von  (Ä)  Eul er- 
sehe Transformierte,  und  daher  wird  auch  S)  ==  0  mittelst  einer  Lösung 
von  P'»  0  durch  bestimmte  Integrale  gelöst. 

Dieser  hochinteressante  allgemeine  Satz  von  Herrn  Schlesinger,  der 
für  Differentialgleichungen  der  Fuchs  sehen  Klasse  besonders  einfache  Ge- 
stalt annimmt,  dient  in  dem  ganzen  Abschnitt  als  gemeinsame  Quelle  auch 
für  schon  früher  bekannte  Einzelergebnisse.  Dahin  gehört  die  Fuchs  sehe 
Methode  der  Berechnung  der  Fundamental  Substitutionen  mit  Hilfe 
solcher  bestimmter  Integrale,  deren  Integrationswege  sich  bei  den  ünd&ufen 
ändern,  der  Ausdrack  der  Doppelschleifenintegrale  durch  Eul  ersehe  Inte- 
grale —  von  diesem  Spezialfall  ist  der  Name  der  ganzen  Theorie  hergeleitet  — 
die  Integration  der  Tissot-Pochhammerschen  Differentialgleichung  durch 
bestimmte  Integrale,  die  weitere  Spezialisierung  dieser  Differentialgleichung 
auf  diejenige  der  Gaussschen  Beihe  und  jeweils  die  Berechnung  der 
Fundamentalsubstitutionen,  die  überhaupt  als  wichtigste  Anwendung  der 
Lösung  durch  bestimmte  Integrale  anzusehen  sein  dürfte.  —  Die  Voraus- 
setzung, dass  das  Integral  der  Eul  ersehen  Transformierten  der  Tissot- 
Pochhammerschen  Differentialgleichung  algebraisch  sei,  führt  auf  die 
Periodizitatsmoduln  der  Ab  eischen  Integrale  als  Funktionen  eines  Para- 
meters,  auf  den    allgemeinen,    darauf  bezüglichen   Satz   von   Fuchs,   die 


*  8.243  Zeile  8  von  unten  lies  Xv^i  statt  Xn.  —  S.S47  Zeile  12  von  oben  lies 
,,wirklich^  statt  „wirklichen".  —  S.  365  Zeile  2  von  oben  lies  ,,(S.  108)^^  statt 
„(8. 166)»*. 


g2  Historisch -litterarische  Ahteilung. 

explizite  Ac^ftLhrang    ftbr   hjperelliptische  Integrale  und  noch  spezieller  die 
elliptischen  PeriodizitStsmodnln  und  die  Legendresche  Relation. 

Den  Abschluss  endlich  bildet  die  Haedenkamp-Fuchssche  Relation 
zwischen  den  hjperelliptischen  Integralen  verschiedener  Gattung  und  zwischen 
verschiedenen  Grenzen,  die  doppelte  Ableitung  der  Weierstrassschen  Re- 
lationen zwischen  den  kompletten  Integralen  erster  und  zweiter  Gattung 
und  die  Fuchsschen  Untersuchungen,  die  an  den  Ab  eischen  Satz  von  Ver- 
tauschung  von  Parameter  und  Argument  anknüpfen. 

Zu  beachten  sind  noch  einige  Ergänzungen  und  Berichtigungen,  die 
sich  auf  den  ersten  Band  beziehen. 

Vorstehend  haben  wir  kurz  die  Hauptmaterien  bezeichnet,  die  in  dem 
vorliegenden  Band  von  Herrn  Schlesinger  zur  Darstellung  gebracht 
weiHlen.  Aber  wir  haben  dabei  nur  in  geringem  Maße  hervorheben  können, 
wie  vielseitig  die  Kenntnisse  des  Verfassers,  wie  eindringend  ins  Einzelne 
und  weitschauend  in  Bezug  aufs  Ganze  sein  Blick  sich  erweist,  wie  viel 
Originelles  er  in  dem  Bande  niedergelegt,  wie  er  es  verstanden  hat,  oft 
auMoheinend  ganz  Verschiedenartiges  unter  einen  gemeinsamen  Gesichtspunkt 
*w  ijaippioren  und  zu  einer  grossen  Theorie  zusammen  zu  weben. 

Solchen  Vorztlgen   gegenüber   erscheint  es    fast    kleinlich,    einige  all- 

gotuelne,    rein    äusserliche  Einwendungen   gegen   die  Form  der  Darstellung 

AU    erheben.     Wir   wollen   nicht    davon    reden,    dass  allerhand   sprachliche 

MiuMbrUuohe    sich    h&ufig   finden,    dass    der  Ausdruck    oft    rein    logisch  an 

ISfUittiou  SU  wünschen  l&sst,  und  dass  die  Interpunktion  nicht  immer  nach 

jedonuaunM    (Joschmack    sein    wird,    wiewohl    möglichste    Strenge    auch   in 

vlieüou  l>ii\g<^u  die  Lektüre  eines  mathematischen  Werkes  erheblich  erleichtem 

kuuu.      Abgosehen    aber  hiervon    auch  kann  nicht   geleugnet  werden,  dass 

J.i*i  Uuoh  im  allgonieinen   schwer  zu  lesen  ist,  schwerer,  als  es  der  an  si<*h 

uuiJtt  «ohwiorige    ( Gegenstand  notwendig  macht.     Dass  der  Verfasser  selbst 

luoiualH    im    Uetail    erstickt,   sondern  stets  den  Blick  für  den  grossen  Zu- 

>»iuuuohhang  otVen  beh&lt,  haben  wir  oben  voll  anerkannt.    Um  so  wünschens- 

uvUvu    »bor    wÄre,    dass   er   die   Obersicht   auch   für  einen    erst   lernenden 

'    ,xo»    uooh    mehr    erleichterte,    zumal  ja  das  Ganze   glücklicherweise  doch 

[n   vhü  bVriu   von  „Vorlesungen**  als  die  eines  Nachschlage -Kompendiums 

;  ..     l^uu  wüi^lt>  a,  H.  schon  beitragen,  wenn  die  Kapitel  eigene  Cbcr- 

.    .Tv  !i    orhielteu.    Wozu   sind  sie  sonst  eigentlich  überhaupt  da?    Will 

i    v.vi   si>loho  Kapitelüberschriften  für  den  eigenen  Gebrauch  hinzufügen, 

Hui»    ^»^"^   ^^^  Schwierigkeiten,   weil   in   der  That   die  Einteilung 

^;    .  lao  notwendige  ist.     Dass  auch  mitunter  in  einem  „Urtext*' 

^  »«.isneiluug  bestanden  hat,  dafür  spricht  verräterisch  der  Umstand, 

^.k,^    viio    Numerierung   der  Gleichungen  nicht  mit  dem  Kapitel 

..  ..vvu  ^<h  noch  ein  Stück  in  das  neue  Kapitel  hineinzieht! 

.^    ,:vi  wüiden  ausführlichere  und  häufigere  Übersichten  - 

,^.;»u   wues    neuen  Abschnittes  —   über   das   zuletzt  Vor- 

,>     all  bVJxeude  in  der  Art,  wie  sie  z.B.  Weierstrass  in 

^    ^     vj     uoistt^rhaft   zu  geben  pflegte,    dem    gerügten  Übel- 


>^^ 


Eezensionen.  g3 

stand  abhelfen.  Vielleicht  lernt  ja  der  Leser,  der  diese  Ergänzung  selbst 
Tomimmt,  am  meisten;  aber  vielleicht  ermüdet  mancher  andere  vorher! 
Warum  z.B.  wird  der  noch  unkundige  Leser  nicht  gleich  auf  S. 416  darauf 
hingewiesen,  dass  an  den  dort  aufgestellten  Satz  sich  alles  folgende  an- 
knüpft? —  Je  weiter  man  in  dem  Bande  vorschreitet,  desto  spärlicher 
wird  der  Text:  für  eine  mathematische  Abhandlung  vielleicht  in  vielen 
Fällen  —  auch  nicht  in  allen!  —  ein  Vorzug,  für  ein  Handbuch  sicher 
nicht  in  demselben  Maße! 

Endlich  noch  Eines.  Die  Gewohnheit,  besonders  wichtige  Formeln  nicht 
in  die  fortlaufende  Numerierung  aufzunehmen,  sondern  durch  Buchstaben 
hervorzuheben,  verdient  durchaus  Anerkennung.  Wenn  es  sich  dann  aber 
z.  B.  um  eine  Differentialgleichung  handelt,  deren  linke  Seite  auch  wieder 
durch  einen  grossen  Buchstaben  symbolisiert  wird,  und  dieser  einmal  mit 
dem  Numerierungsbuchstaben  übereinstimmt  [z.B.  S.  420  (JE)iJ,(w)  =  0], 
ein  anderes  Mal  aber  nicht,  wo  es  ebenso  gut  möglich  wäre,  z.B.  in  dem- 
selben Kapitel  l,Xll(Ä)Dx(y)  =  0,  deren  Koeffizienten  durch  Pjt  bezeichnet 
sind,  und  wenn  man  dann  obendrein  noch  vom  ersten  Bande  her  (z.  B.  S.  37) 
an  eine  gewisse  Übereinstimmung  in  der  Bezeichnung  der  Koeffizienten  und 
der  ganzen  Gleichimg  gewöhnt  ist^  so  hört  die  Erleichterung  auf  und  macht 
einer  ausserordentlichen  Erschwerung  des  Studiums  Platz! 

Indessen  —  noch  einmal  —  alles  dies  sind  kleine  Ausserlichkeiten, 
die  gegenüber  den  gerühmten  Vorzügen  kaum  ins  Gewicht  fallen.  Es  wird 
nnr  als  eine  weitere  Anerkennung  für  den  Verfasser  wirken,  dass  der 
Referent  keine  sachlicheren  Einwendungen  vorzubringen  hatte;  und  er  hätte 
anch  über  diese  Dinge  völlig  geschwiegen,  wenn  er  sich  nicht  von  ihrer 
Erwähnung  manchen  Vorteil  für  den  noch  ausstehenden  Schlussband  ver- 
spräche.    Er  möchte  ein  so  schönes  Werk  auch  in  einer  vollendet  schönen 

"**  *®  ^^'  Lothar  Hbpfter. 

Elemente  der  Arithmetik  für  die  mittleren  nnd  oberen  Klassen  höherer 
Lehranstalten.  VonW.  PFUEaER.  Strassburg  1896.  Fr.  Bull.   128  S. 

Der  Verfasser  vorliegenden  Buches  schliesst  sich  im  wesentlichen  der 
Darstellung  an,  welche  Weierstrass  in  seinen  Vorlesungen  über  die 
Theorie  der  analytischen  Funktionen  als  Einleitung  zu  geben  pflegte.  Im 
besonderen  hält  auch  er  an  dem  Postulat  fest,  dass  bei  jeder  Erweiterung 
des  Zahlengebietes  die  neuen  Zahlen  den  Gesetzen  des  alten  Gebietes  zu 
gehorchen  hätten.  Auf  dieser  Grundlage  giebt  er  eine  Darstellung  der 
verschiedenen  Rechnungsoperationen  und  schliesst  hieran  zwei  ausführliche 
Abschnitte  Über  den  binomischen  Lehrsatz  und  die  Exponentialfunktion. 

Ob  die  inunerhin  geschickte,  aber  im  Ausdruck  zu  abstrakt  gehaltene 
Darstellung  für  den  Schulgebrauch  geeignet  ist,  möchte  Referent  bezweifeln. 
Sicher  dürfte  sie  dem  einen  oder  anderen  Fachgenossen  eine  bequeme  Gelegen- 
heit bieten,  sich  mit  der  Weierstrassschen  Darstellung  der  Arithmetik  be- 
kannt  zu  machen. j,.  Jahnke. 


54  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Sammlung  von  Angaben  aus  der  Arithmetik  far  höhere  Lehranstalten: 

erster,  zweiter,  dritter  Lehrgang.  Von  K.  Schwering.  Freibarg  i.B.  1896. 
Herder.    58  S.:  Mk.O.  80;  87  S.:  Mk.  1;  95  S.:  M.  1. 20. 

Es  ist  eine  vortreffliche  Atifgabensammlung,  welche  den  Vorteil  bietet, 
dass  sie  die  EinfÜhrong  eines  besonderen  Lehrbaches  onnotig  macht.  Die 
den  einzelnen  Abschnitten  vorgesetzten  Erläaterongen  sind  knapp  and  kl&r 
geschrieben,  die  Aufgaben  geschickt  zusammengestellt.  Ein  grosser  Teil 
der  Aufgaben  ist  neu.  Lisbesondere  möchte  Referent  auf  eine  Reihe  hübscher 
Aufgaben  in  geometrischer  Einkleidung  (vergl.  dritten  Lehrgang)  aufinerksam 
machen.  Es  ist  zu  wünschen,  dass  die  Sammlung  an  recht  vielen  Schalen 
Eingang  finden  möge.  jj.  Jahhke. 

Methodisches  Lehrbuch  der  Elementar-Mathematik.    Von  G.  Holzmüller. 

Gymnasialausgabe.  Zweiter  Teil,  im  Anschluss  an  die  preussischen 
Lehrpläne  von  1892  nach  Jahrgängen  geordnet  und  bis  zur  Ent- 
lassungsprüfung reichend.    Leipzig  1896,  B.  G.  Teubner.    279  S. 

Auf  die  Gjmnasialausgabe  des  ersten  Teiles  musste  eine  solche  des 
zweiten  folgen,  welche  die  aus  dem  ersten  Teil  ausgeschiedenen  Abschnitte 
aufzunehmen  hatte.  j,  Jahnke. 

Formelsammlung  und  Bepetitorinm  der  Mathematik.  Von  Th.  Bürklen. 

Enthaltend  die  wichtigsten  Formeln  und  Lehrsätze  der  Arithmetik, 
Algebra,  niederen  Analysis,  ebenen  Geometrie,  Stereometrie^  ebenen 
und  sphärischen  Trigonometrie,  mathematischen  Geographie,  ana- 
lytischen Geometrie  der  Ebene  und  des  Raumes,  der  höheren  Analysis. 
Leipzig  1896,  Göschen.     211  S.    Mk.  0. 80. 

Das  vorliegende  Büchlein  soll  in  erster  Linie  den  Bedür&issen  der  Be- 
tt ntüion  und  des  Nachschlagens  dienen.  Es  erscheint  durch  den  reichen  Inhalt^ 
dU  übersichtliche  Anordnung  und  die  sorgPallige  Gliederung  für  diese  Zwecke 
In  hohem  Maße  geeignet.  So  sind  in  der  Geometrie  die  Sätze  über  FlSchen- 
vnr^loiohung  und  -Berechnung  zu  einer  Gruppe  zusammengestellt.  Ebenso 
OiHini  man  die  geometrischen  örter  unter  wenigen  Gesichtspunkten  vereinigt. 
In  itor  Aignbra  und  algebraischen  Analysis  werden  neben  den  Grundgesetzen 
Mint  lioMciiidnron  Fällen  auch  die  Hilfsmittel  gegeben,  welche  eine  weiter- 
l{hlt«iiHl()t  K^*^'^^^^^^  Anwendung  der  Formeln  ermöglichen,  z.B.  die  wich- 
Ii^hImii  Irinnen  der  Einführung  neuer  Unbekannten  bei  der  Lösung  qnadra- 
Mttii|(Hr  (lUlohungen,  die  Hauptformen  der  Exponentialgleichungen ^  welche  auf 
al^jitliiHirtolifs  zurückführen.  Bei  den  Kettenbrüchen,  diophantischen  Gleicb- 
Mu^itu  \Mu\  bei  der  Lösung  höherer  numerischer  Gleichungen  u.  a.  finden  sich 
(iii.iit  liUiMH  die  Formeln,  sondern  auch  die  Durchrechnung  eines  Beispiels  nach 
/.wiii.kuuUMitjiim  Schema. 

lliiU'Uii  sohliessen  sich  Abschnitte  über  Stereometrie,  ebene  und  sphärische 
'Imviuuiuottiü,  mathematische  Geographie,  analytische  Geometrie  der  Ebene 
mA  (liiH  lUumea. 


Eezensionen.  g5 

In  dem  Abschnitt  über  höhere  Analysis  giebt  der  Verfasser  zunächst 
aus  dem  Gebiete  der  Differentialrechnung  allgemeine  und  spezielle  Formeln 
über  Differentiation,  die  Taylorsche  und  Mac-Laurinsche  Beihe  und 
Regeln  zur  Berechnung  unbestimmter  Ausdrücke,  sowie  der  extremen  Werte 
von  Funktionen,  weiter  aus  dem  Gebiete  der  Integralrechnung  die  Grund- 
formeln zur  Integration  einfacher  Funktionen,  Integrationsmethoden  für 
explizite  Funktionen  und  einige  bestimmte  Integrale,  endlich  als  Beispiele 
für  die  Anwendung  der  Infinitesimalrechnung  auf  Geometrie  die  wichtigsten 
Begriffe   aus   der  Theorie   der  ebenen  und  Baumkurren  und   der  krummen 

^^*^^^^-  E.  Jahnke. 

Die  Grandlehren  der  Stereometrie.    Von  J.  Lenqauer.   Ein  Leitfaden 

für  den  Unterricht  nut  Übungsaufgaben.    Kempten  1896.    J.  Kösel. 
110  S. 

Der  vorliegende  dritte  Teil  eines  Lehrbuches  der  Geometrie  enthält 
das  geometrische  Pensum  der  achten  Klasse  der  bayerischen  Gymnasien, 
die  raumliche  Geometrie  und  die  sphärische  Trigonometrie.  Die  letztere 
ist  mit  der  Lehre  vom  Dreikant  verknüpft. 

Die  Darstellung  ist  knapp  und  klar,  die  zahlreichen  Figuren  durch- 
weg anschaulich.  Für  die  Herleitung  der  Eörperinhalte  wird  das  Cavalerische 
Prinzip  herangezogen. 

Für  den  Ausdruck  Parallelepipedon  benutzt  der  Verfasser  nicht 
die  von  Herrn  Martus  vorgeschlagene  Verdeutschung  Bautenprisma, 
welche  schon  in  zahlreiche  Lehrbücher  übergegangen  ist,  er  sagt  statt 
dessen  Parallel  flach,  das  rechtwinklige  Parallelflach  nennt  er  mit  Herrn 
Martus  Quader. 

Beigegeben  sind  den  einzelnen  Kapiteln  eine  grosse  Zahl  von  Übungs- 
aufgaben, ausser  Bechenaufgaben  auch  Konstruktionsaufgaben,  welche  die 
Brauchbarkeit  des  Lehrbuches  noch  erhöhen  dürften.  v  Jahnke 


Lehrbach  der  Geometrie  für  den  mathematischen  Unterricht  an  höheren 

Lehranstalten.  Von  H.  Fenkner.  Zweiter  Teil:  Baumgeometrie. 
Nebst  einer  Aufgabensammlung  bearbeitet  mit  besonderer  Berück- 
sichtigung der  Anforderungen  bei  der  Abschlussprüfnng.  Zweite 
Auflage.    Braunschweig  1896.    0.  Salle.    109  S.    Mk.  1.40. 

Die  zweite  Auflage  unterscheidet  sich  von  der  ersten  dadurch,  dass 
die  Hauptsätze  über  die  dreiseitigen  Ecken  und  in  einem  Anhange 
die  SStze  über  Kugelmütze,  Kugelzone,  Kugelausschnitt,  Kugelabschnitt 
hinzugekommen,  sowie  dadurch,  dass  die  Übungsaufgaben  erheblich  ver- 
mehrt sind. 

Was  die  Figuren  anbetrifft,  so  zeigen  sie  auch  in  der  zweiten  Auf- 
lage nicht  überall  die  wünschenswerte  Anschaulichkeit.  ^  Jahnke 


t--      «••i-lr?«ari»che  Abteilung. 

Von  A.  SiCKENBERGER.    Zweiter 
_     "^  -.TTifr-^s*.      y  Anflmge.     München  1896.     Th.  Ackermann. 

-^^-^  -zr^  j=rr^  A:iiji^  nnterscheiden  sich  von  der  ersten  durch 
-i^  :-^  -  •-  L=--~r=  beigefügten  Übnngsbeispiele.  Die  dritte  Anf- 
^   :r-   r-z  ..^^  A^im-k  der  weiten.  j,  j^^,^ 

r^    ■  111  t-  T:ii  F.Meigen.  Hildborghansen  1896.  0.  Pezoldt. 

- -s--r    ^'-rr    c.-    Haartsätzc   der   elementaren    Geometrie    in 
•'"      kj^-^-a-^     !-••   A^schaoimg  nnd   Bewegung   werden    ans 

Recht    hübsch    ist    der  Abschnit: 

Jis-  ii^.-^I  lb«r  das  gleichschenklige  Dreieck  würd» 

:-_    »r-^    i-l^~Jf*^  ^Sjzimetrieaxe"  an  Einfachheit  gewinnen. 

^  ."  r    L:»*r  ii*  Ähnlichkeit  von  Dreiecken  bedeutend 

•    j- >!;<•!:   xn*i  ^tkcien  aber  kann  das  Buch,  welches  al> 

::A^iiA.*j»?a  Abteilung   einer    Sammlung   „Technische 

>  IT  J^^ec5  empfohlen  werden,  j,^  j^^^^^ 


—  ■ 


^•i« 


-    » 


•^i^x 


wi»  • 


m  y  Mn«»KS.  Hildburghausen  1896.  O.PezoMt. 


*   o-  TjA-r^er^atischen  Abteilung  der  „Technischen 

. ..  '^».-jfi  Arsciinitte  der  Trigonometrie  in  passender 

^•-  ^*i -3     F,ji3Lra    beansprucht    die    Berechnung  des 

^  :r*i  r^ierrks.    Die  zahlreichen,  durchgerecli- 

iS-  i^r  R*u-  und  Maschinenkunde,  der  prak- 

I     v.    -i  *i' :r  ."istmen.    Dabei  ist  der  Hauptwert  auf 

...    •  uti'z:a^ri  selbst  gelegt,  während  Logarithmen 

..    *»i«^'j:^r,fv^nnel  und  bei  der  Berechnung  eines  i 

^     ..    ^'^'tras  werden.  i 

•tt    b  a-^f^rtt  :Nrhttlen  wegen  der  vielen  praktischen 
...  ..u- ..     .^a.  E.  Jahnke. 


:  *  x-vv,'  -L.  Lehrbuch  mit  systematisch  geord- 
..^  'IT  xaulen  und  zum  Selbststudium.  Fünfte 
IV     *  ^  Aokermann.    222  S. 

Ätts  betrachtet  bietet  das  Lehrbuch 
.  vtNi."hätt  und  Vorrede  verraten,  in  erster 
>ti:K   so  wäre  eine  erhöhte   Übersicht  und 

*o  ctt    auf^    dass    der  Verfasser   die  An- 
^  ,.,v*   1*4  »»Vmkreis"  vermeidet,    femer  dass 


^-  :•  •^' 


%  ^ 


V. 


Rezensionen.  g7 

er  an  melureren  Stellen  schreibt:  „das  Eck  eines  Yielecks^^  Der  Abschnitt, 
welcher  von  der  Berechnung  der  Peripherie  des  Einheitskreises  handelt, 
beginnt  mit  den  Worten:  „Es  ist  bisher  nicht  gelangen,  die  Maßzahl 
dieser  Peripherie  in  geschlossener  Form,  d.h.  als  Resultat  einer  endlichen 
ZahlenTerbindung  darzustellen/*  In  einer  Anmerkung  heisst  es  dann  weiter: 
nTt  ist  spater  ohne  Nutzen  bis  auf  140  Stellen  genau  berechnet  worden." 

Dagegen  möchte  Referent  den  dritten  Anhang  lobend  hervorheben, 
wo  der  Verfasser  isoperimetrische  Sätze  in  Legendr  escher  Weise  behandelt 
and  eine  Reihe  historischer  Notizen  beifQgt.  Leider  fehlen  letztere  bei  Ab- 
schnitt  161,  173,  174,  175.  176. E.  Jahnke. 

Zar  Auflfisnng  der  allgemeinen  Gleichung  des  dritten  Grades.    Von 

£.  Obohmann.    Wien  1895.    A.  Holder. 

Es  ist  ein  Versuch,  für  die  kubische  Gleichung  eine  Auflösungsmethode 
zu  finden,  welche  praktisch  schneller  zum  Ziele  führt  als  die  üblichen  Methoden. 

In  dem  irreduziblen  Fall  treten  von  goniometrischen  Funktionen  nur 
die  Tangente  auf.  E.  Jahnke. 

E.  RoüCHä  et  Ch.  de  Comberousse.  Le^ons  de  G^om^trie  r^dig^es  suivant 
les  derniers  programmes  officiels  et  accompagnees^  pour  chaque 
le9on,  d'exercices  et  de  probl^mes  gradu^s.  Premiere  partie.  Paris  1896. 
Gauthier -Villars.    173  p. 

E.  RoucH^  et  Ch.  de  Comberousse.  Solutions  d^taillees  des  exercices  et 
problimes  ^nonces  dans  les  Lebens  de  Geometrie.     Premiere 

partie.    Paris  1896.    Gauthier -Villars.    168  p. 

Dieses  Lehrbuch  fCLr  Geometrie  besteht  aus  vier  Teilen,  von  denen 
uns  der  erste,  „La  ligne  droite  et  la  circonfÄrence  de  cercle"  überschrieben, 
vorliegt.  In  dreissig  Lektionen  wird  ungefähr  das  geometrische  Pensum 
der  Quarta  und  Untertertia  unserer  höheren  Schulen  erledigt.  Es  braucht 
wohl  kaum  hervorgehoben  zu  werden,  dass  die  Darstellung  der  Verfasser 
der  ,,  Elements  de  gtometrie^^  sich  durch  Klarheit  und  Eleganz  auszeichnet, 
und  dass  die  jeder  Lektion  beigefügten  Lehrsätze  und  Aufgaben  geschickt 
ausgewählt  sind.  Sehr  hübsch  ist  u.a.  die  16.  Lektion,  welche  von  der 
Sjrmmetrie  der  Figuren  handelt,  nebst  den  angehängten  Übungsaufgaben. 

Gesondert  hiervon  haben  die  Verfasser  die  Lösungen  zu  den  Übungs- 
aufgaben herausgegeben,  indem  sie  je  nach  der  Schwierigkeit  der  Frage 
die  Lösung  nur  kurz  angedeutet  oder  ausführlich  mitgeteilt  haben. 

E.  Jahnke. 

Die  elementare  systematische  nnd  darstellende  Geometrie  der  Ebene 

in  der  Mittelschule.    Von  K.  Fink.    Erster  und  zweiter  Kurs  ifür  die 
Hand  des  Lehrers  bearbeitet.     151  S. 

Sammlung  von  Sätzen  nnd  Aufgaben  zur  systematischen  nnd  dar- 
stellenden Geometrie  der  Ebene  in  der  Mittelschule.    Von  E  Fink. 


rHäronsch-littnariiGhe  Abteilnng. 


^  "k 


•  j"«.  * 


imi  nfviter  Ems  f3r  di»  Quid  des  Schulen  bearbeitet  Mit  zehn 
^'ugmaigiii  :xzid  84  BHtttem  fBr  das  dmnteliend-geometr.  Übongeo. 
1^9«.  E.  Lanpp.    108  S.    Mk.  1.60  und  Hk.  2.80. 

:it   ior  AnsLchtf   daas  im  geometrischen  Unterricht  auf 

^-^  '..  i<ir    'Th^mecz:^   itxbr  Gewidbt   als  bisher  gelegt  werden  müsse. 

^- 1    '--^.^    ^^  ^r  ^inmai  rorch  Ifodelle  erreichen,  zn  deren  Anfertigung 

r     «nuisnzieiien  ^ei.  rpreitens  durch  die  dem  Bache  beigegebenen 

■  T--        f.  ^f    *r    u<  "^  ria««!   fe-  £e   Aosföhrnngen   der   darstellenden 

,  ..-  —      *r^ti    :-fa  -k-iiiüer  betracktet  wissen  will. 

-?      ^ea    .  \ar»'  -nerisa  -ne  Elemente  des  Baumes,  die  Bewegangs- 

.:'tr^i.     ü*f    iBBCraZe   und  axiale  Symmetrie,    die  parallele 

'  ir:ii.>?r'««r*cm*Mmr.   IHrehen  und  Umklappen  einer  Figur,  das 

—  A.      >-.*->.».  tix*i  -t*r  vr^sis^  JiL  zweiten  „Kurs^^  die  Euklidischen  Axiom« 

.»     -  .•Qt^.'i'sttra«    u«s    ^.nuitjorfi^sti  der  Figuren,  der  Ähnlichkeitspunkt,  die 

-.^^  !•-%..  *4.*w.     -«    Sitz»    ittf  C«Ta  und  Menelaus,    die   harmonischen 

:i  sruxtiUT'fl:    «~:?fr9ek    und  Yierseit,    Ahnlichkeitsaxen    imd 

X     ^r-.  *^i     *vi    ^r^  iirffiies,  die  Potenz    eines  Punktes  in  Bezng 

-•»     sMi    .;to  rkS'T'csciroblcm  bebandelt. 

^.i     ^iiiAJv:    «lui^:;  «sea  kurzen  Abriss  der  historischen  Eni- 

^     .*      .  ^ut^J■3*-c*<3^fu»   S.  108  —  131),  ein  zweiter  ein  Begleit- 

V  .->>&.:•  r  13^«  wo  die   Ausführung  in  Farben  empfchJen 

^       ^^      ^;.xv-,  >%    iJK   Tirflfwbige  Darstellung   der  zwölf  Potenz- 

^,^    ' .-  .^<. 

....;s^    .  t    ^  r.*  was  der  Verfasser  als  neu  eingeführt  wissen 

...  ^  ^  >rt:  i::*i«»rswo  thats&chlicb  zur  AusfGhrung  gelangt, 

:    X.    c>  a  ix?3i  einen  oder  anderen  Fachgenossen  mannig- 


a-   '  <i%^  irr  Blitlter.  Von  B.  Habenicht.    Mit  148  Figuren. 

Nfc.     S^.bstrerlag.    18  S.    Mk.  2. 

..«.^.d^ivcr  Vermach,  die  analytische  Form  der  Blfttter  n 

.«>dk:»8»<fr  angestellt  hat,   um  daraus  Schlüsse  auf  di« 

^     i«.x!t.^tt.     ^Wie    n&mlich   aus    der   mathematisch  be- 

.j.   V  rtKTi^  auf  die  treibenden  Kräfte  geschlossen  wird, 

^^us  der   analytisch  festgelegten  Blattform  zu  ent- 

V.   .    «^    "Kiu  Versuche,  dieses  Problem  anzugreifen,  würde 
.  i   %a«  ^rv!^^^  Schwierigkeiten  stossen 

oi»a  analytischer  Ausdruck  mitgeteilt  wird,  seien 


*   »    •» 


^   l  r  0^  a  y)  +  4  sin*  3  y, 


Rezensionen.  69 

r  =  2  (cos  q>  +  ys  +  cos*  q>)  —  6  sin*  -^  —  0,3  sin*  60  % 
das  Blatt  des  Epheus: 

r  =  3(1  +  cos^g))  +  2  cos  y  +  sin*g>  —  2  sin*  3  q)  cos*  -|- » 
das  Blatt  des  spitsblättrigen  Ahorns: 

r  =  10}^l  +  cosg)  -  6  (l  +  sin*-ii5Lcos*|j  +  2 sin*  1  Ig» cos* -|- 

E.  Jahnke. 

Der  Terjfln^e  Magister  Matheseos.    Von  E.  Tbaub.    Ein  Beitrag  zur 

Sphärik  und  absolatgn  Geometrie.    Lahr  1896,  M.  Schaaenborg.   12  S. 

Der  Verfasser  weist  die  Giltigkeit  des  Pythagoreischen  Satzes  in  der 
Form:  „Im  rechtwinkligen  Dreieck  ist  der  Inhalt  des  Kreises,  der  mit  der 
Hypotenuse  als  Badins  beschrieben  wird,  das  arithmetische  Mittel  ans  den 
zwei  Kreisen,  welche  bezüglich  mit  Summe  und  Differenz  der  Katheten  als 
Badien  konstruiert  werden^^  auch  fCb:  die  Sphttrik  und  absolute  Geometrie  nach. 

Beferent  erlaubt  sich  den  Herrn  Verfasser  auf  V.  Schlegel,  Der 
Pythagoreische  Lehrsatz  in  mehrdimensionalen  Bäumen.  From  the  Congress 
Mathemaücal  Papers,  aufmerksam  machen.  -^  Jahnke 


Praktische  Geometrie  auf  dem  GjTnnasinm.   Von  G.  Deoenhardt.  Frank- 
furt a.M.  1896,  Chr.  Hermann.    30  S. 

Es  ist  ein  „Versuch,  elementare  Aufgaben  aus  der  Feldmesskunde  in 
den  Gymnasialunterricht  aufzunehmen,  um  durch  dieselben  namentlich  in 
den  Unter-  und  Mittelklassen  des  Gymnasiums  eine  Belebung  des  geo- 
metrischen Unterrichtes  herbeizufQhren.  Wenn  auch  schon  bisher  hier  und 
da  die  praktische  Geometrie  in  der  Schule  Berücksichtigung  gefunden  haben 
dürfte,  so  fehlt  es  doch  an  einer  Auswahl  und  Zusammenstellung  des  für 
das  Gymnasium  passenden  Stoffes/'  Die  hier  gebotene  Sammlung,  der  vier 
Figurentafeln  angehängt  sind,  muss  als  recht  brauchbar  bezeichnet  werden. 
Sie  wird  auch  solchen  Fachgenossen  willkommen  sein  und  manches  Neue 
bieten,  welche  seit  langem  gewöhnt  sind,  Beispiele  aus  der  praktischen 
Geometrie  zur  Belebung  des  geometrischen  Unterrichts  heranzuziehen. 
Die  Mannigfaltigkeit  der  Aufgaben  geht  aus  der  beifolgenden  Inhalts- 
übersicht hervor:  Markieren  und  Messen  von  geraden  Linien,  Loten, 
Parallelen  und  Winkeln  (Ohmanns  Feld -Winkelmesser),  Abstecken  einer 
Geraden  zwischen  Hindernissen,  Errichten  Yon  Loten  und  Dreiteilung  des 
Winkels  ohne  Winkelinstrument,  Anwendungen  der  Proportionalität  von 
Linien,  Flächenmessungen,  Trigonometrische  Aufgaben,  NivelUerong,  Meß- 
tischaufnahme, Aufiseichnen  von  Plänen  im  veijüngten  Maßstabe,  Spiegel- 
sextant, Vermessung  in  Stadt,  Provinz  und  Staat. 

Beferent  erlaubt  sich,  den  Herrn  Verfasser  auf  die  Martussche 
Sammlung  trigonometrischer  Vermessungsaufgaben  aufmerksam  zu  machen. 

E.  Jahnke. 


70  Historisch -litterariflcbe  Abteilung. 

Zmr  Theorie  der  reellen  Kurven  einer  rationalen  Funktion  n**°  Grades 
Ar  komplexe  Variable.  Von  H.  Suhle.  XIY.  Jahresbericht  des 
Henoglicben  Friedrichs -Bealgymnasiams.  Dessau  1896.  G.  Dünn- 
bsapt.    16  S. 

Die  TorUegende  Arbeit  bildet  eine  Erg&nzuDg  und  Fortsetzung  von  früheren 
ProgrammabbandlTingen  desselben  Verfassers  ans  den  Jahren  1893,  1894. 
Macht  man  in  der  Gleichung: 

£  =  u*  +  «1  u*  "■*  +  •••+  a» 
die  Substitution:  .    . 

80  möge  .=.U(x,y)  +  iV(x,v) 

werden.    Dann  betrachtet  der  Verfasser  einerseits  die  Flachen 

e  =  U(x,  y)     und    ;er  =  7(ir,  y), 

anderseits  die  reellen  Kurven: 

Der  erste  und  zweite  Abschnitt  handeln  von  den  Asymptoten  der  zur 
Fl&che  V{xy  y)  bezw.  V(j',  y)  gehörigen  Niveaulinien  «*•"  Grades,  der  dritt? 
von  den  Beziehungen  der  reellen  Nebenkurven  zu  den  Asymptoten  der 
Niveaulinien  jener  Flächen  und  der  vierte  von  dem  reellen  Kurrensystem 
der  Funktion:  ij  ^  (a;  +  «>)'• 

und  der  geometrischen  Darstellung  der  n^^  Einheitswurzeln. 

Die  ersten  Abschnitte  dürften  an  Übersicbt  und  Einfacbheit  gewinneo. 
wenn  von  vornherein  in 

f{x)  =  0?«  +  a^x"""^  H f-  a. 

iWv  zweite  Term  durch  die  Substitution: 

n 

ium  Verschwinden  gebracht  wird.     Das  Gleiche  gilt  vom  vierten  Abschnitt 
v^MWtt  von  vornherein  Polarkoordinaten  eingeführt  werden.        jj   Jahnkk. 


li^'oiiH  de  oiu<^niatiqne  profess^es  k  la  Sorbonne  par  Gabriel  Koekig>. 

av00  des  notes  par  M.  G.  Darboux  et  par  MM.  E.  et  F.  Cosse&at. 
Ki^ter  Teil:  Cin^matique  th^orique.  Paris  1897.  A.  Hermann 
\  und  499  S. 

hii>  Kiuematik,  d.i.  die  Lehre  von  der  Bewegung  ohne  Rücksicht  aoi 

ii'    \\ukwid«u    Kr&fte,   hat   in   den   letzten  Jahren  von  verschiedenen  Ge- 

•  '^("i^'uuktvu  aus  eine  Reihe  hervorragender  Bearbeitungen  gefunden.     Die 

NS'*Wc    \ou  So hoen flies   und  Mannheim   untersuchen  auf  synthetischem 

^\     V     Kuut    v4kud  Benutzung   des  Zeitbegriffs    die  Eigenschaften  der  dorck 


Rezensionen.  7 1 

ewegong  erzeugten  Bamngebilde.  In  Verbindung  mit  dieser  reinen  ,^Geo- 
etrie  der  Bewegung^'  wird  z.B.  in  Schells  „Theorie  der  Bewegung  und 
IT  Kräfte**  auch  der  Geschwindigkeits -  und  Beschleunigungszuatand,  und 
rar  teilweise  analytisch,  behandelt,  und  damit  erscheint,  obwohl  nur  in 
)r  Bolle  einer  Hilfsyariabeln^  die  Zeit  als  ein  der  Geometrie  fremdes 
lement  Auch  in  Burmesters  noch  unvollendetem  Lehrbuche  begegnen 
ir  den  Geschwindigkeiten  als  einem  viel  gebrauchten  Hilfsmittel  zur  Lösung 
iometrischer  Aufgaben;  hier  wird  ausserdem  das  Forschungsgebiet  durch 
eranziehnng  yon  Problemen  der  Maschinentechnik  beträchtlich  erweitert. 

Gegenüber  der  anfangs  erwähnten  streng  geometrischen  Auffassung 
Iden  in  den  vorliegenden  Vorlesungen  über  Kinematik  die  Formeln  für 
e  Geschwindigkeiten  und  Beschleunigungen  die  eigentliche  Grundlage  und 
imit  auch  die  Quelle  für  die  geometrischen  Eigenschaften  der  von  dem 
iwegten  System  erzeugten  Linien  und  Flächen.  In  der  völlig  folge* 
chtigen  and  einheitlichen  Durchführung  dieses  Standpunktes,  sowie  in  der 
>rwiegend  analytischen  Darstellung  erblicken  wir  die  charakteristische 
igenart  des   reichhaltigen  Werkes,    das   wir   als  eine  wertvolle  und  will- 

■ 

)mmeDe  Ergänzung  der  kinematischen  Litteratur  begrüssen.  In  Anord- 
ang  and  Behandlungsweise  des  vorgetragenen  Lehrstoffes  steht  es  in 
»inen  ersten  zehn  Kapiteln  dem  Buche  Schells  verhältnismässig  am 
Khsten,  wenn  es  auch  in  seinen  Ergebnissen  über  dieses  häufig  hinausgeht. 

Die  folgende  Übersicht  versucht  den  wesentlichen  Inhalt  in  kurzen 
igen  za  kennzeichnen,  ohne  bei  der  Fülle  des  vorhandenen  Stoffes  auf 
oUständigkeit  irgendwie  Anspruch  zu  erheben. 

Im  ersten  vorbereitenden  Kapitel  entwickelt  der  Verfasser  im  Anschlnss 
1  Mob  ins  und  Chasles  die  Geometrie  der  Streckensysteme,  ungefähr  in 
imselben  Umfange  wie  in  der  zweiten  Auflage  des  Schellschen  Werkes, 
Kr  in  vielfach  selbständiger  Gestaltung. 

Das  zweite  Kapitel  enthält  die  •  Definitionen  der  Geschwindigkeit  und 
^r  Beschleunigung  eines  Punktes  (Formeln  für  krummlinige  Koordinaten  etc.). 
as  dritte  handelt  von  der  relativen  Bewegung  und  der  Zusammensetzung 
(r  Oeschwindigkeiten  und  giebt  u.a.  die  wichtigen  Formeln  für  die  Pro- 
ktionen  der  Geschwindigkeit  auf  die  Axen  des  bewegten  Koordinaten- 
^ms.  In  der  Anwendung  solcher  Koordinatensysteme,  deren  Axen  nach 
im  von  Darboux  gegebenen  Vorbilde  in  jedem  einzelnen  Falle  passend 
(Wählt  werden,  erkennt  der  Verfasser  das  sicherste  und  bequemste  Werk- 
Qg  der  kinematischen  Untersuchung,  und  er  macht  davon  in  den  folgenden 
iLpiteln  ausgiebigen  Gebrauch. 

Im  vierten  Kapitel  wird  der  Fundamentalsatz  über  die  momentane 
ewegang  eines  starren  Körpers  in  eigenartiger  Weise  abgeleitet:  Aus  den 
1  vorigen  Kapitel  erhaltenen  Formeln  folgt  zunächst,  dass  zu  jeder  Lage 
»  bewegten  Körpers  ein  Streckensystem  gehört,  dessen  Moment  in  Bezug 
^  irgend  einen  Punkt  des  Körpers  die  augenblickliche  Geschwindigkeit  des 
onktes  darstellt.  Dieses  Streokensystem  kann  in  bestimmter  Weise  ersetzt 
erden  durch  eine  Einzelstrecke  und  ein  Streckenpaar,    dessen  Ebene  auf 


72  Hiatx>risch-litterari8che  Abteflung. 

jener  senkrecht  steht  Die  Einzelstrecke  ist  gle&chbedentend  mit 
Drehung  des  Körpers  um  die  durch  die  Sirecke  gehende  Axe,  und 
Paar  bewirkt  eine  Verschiebung  parallel  zu  dieser  Axe;  der  Körper  vol 
führt  also  augenblicklich  eine  unendlich  kleine  Sehraubenbewegong. 
so  gefundene  Sati  wird  nachtr&glich  in  herkömmlicher  Weise  geometris 
bewiesen;  hieran  schliessen  sich  die  bekannten  Eigenschaften  über  d 
Nullsystem,  welches  die  Punkte  des  Körpers  mit  den  Normalebenen  iln 
Bahnkurven  bilden  etc. 

Es  folgt  ein  Kapitel  über  die  Beschleunigung  der  relativen  Bew 
(Formeln  für  die  Projektionen  der  Beschleunigung   auf  die  Axen  des 
wegten    Koordinatensystems,    Satz    von   Goriolis,    Beschleunigungs 
eines  starren  Körpers). 

Die   beiden   n&chsten  Kapitel  beziehen    sich  auf  die  Bewegung  ei 
starren    ebenen    Systems    in    seiner    Ebene.      Die    allgemeinen   Foi 
für   die  Geschwindigkeit   der   Systempunkte    führen,    angewendet   auf 
speziellen   Fall   der   ebenen  Bewegung,  zur  Auffindung  des  Pols  nnd 
Rollkurven;  die  entsprechenden  Formeln  für  die  Beschleunigung  liefert 
Savary  (Euler)sche   Gleichung   für  die  Ejrümmungsmittelpunkte  der 
den   Systempunkten   erzeugten  Bahnkurven.    Auf  S.  152  begegnen  wir 
etwas   voreiligen   Behauptung,   dass   ein   gewisser  Systempunkt  mom 
eine  Inflexionsstelle  beschreibt,  weil  der^  zugehörige  Krümmungsmittelp 
unendlich  fem  liegt.    Dass  ein  bestimmter  Punkt  des  Wendekreises  in 
Regel  einen  Undulationspunkt  durchschreitet,  bleibt  unbeachtet;  dann 
natürlich  auch  auf  die  Punkte  stationärer  Krünmiung  und  verwandte  D 
nicht   eingegangen.  —    Der  Verfasser  betrachtet  (S.  154)    den  siugcl 
Fall,    dass    die    BoUkurven    einander    oskulieren,    aber    die    schonen 
wesentlich  allgemeineren  Untersuchungen  von  Mehmke  im  35.  Bande  di 
Zeitschrift   finden  hierbei    keine    Erwähnung.     Die   auf  S.  163  angegel 
Einteilung  der  cyklischen  Kurven  ist  nicht  ganz  zutreffend;  hier  fehlt 
Satz  von  der  doppelten  Erzeugungsweise  dieser  Kurven.    Auf  S.  167  h 
wir  die  Aufgabe,  für  einen  beliebigen  Systempunkt  den  KrOmmungsnit 
punkt   seiner  Bahnkurve   zu  konstruieren,  wenn   zu   zwei  anderen  Sv«i 
punkten    die    entsprechenden    Krümmungsmittelpunkte    gegeben   sind.    B 
mitgeteilte  Lösung,  bei  welcher  zunächst  der  Wendepol  bestimmt  wird,  ( 
scheint  uns  umständlicher  als  die  bekannte  Bobilliersche  Konstroktion- ' 
Recht  ansprechend  ist  dagegen  am  Schlüsse  des  7.  Kapitels  der  Abscb 
über   den   Inhalt   der  Flächenstücke,  die  von   einer  starren  oder  veris^ 
liehen  Strecke  bestrichen  werden. 

Das  achte  Kapitel  giebt  die  bekannten  Sätze  und  Formeln  fiberl 
sphärische  Bewegung;  das  neunte  nimmt  die  im  vierten  Kapitel  abgelirociM< 
Betrachtung  wieder  auf  und  beschäftigt  sich  mit  der  allgemeinsten  B 
wegung  eines  starren  räumlichen  Systems,  dargestellt  durch  das  Bollen  m 
Gleiten  zweier  geradlinigen  Flächen.  Besondere  Beachtung  verdienen  d 
Abschnitte  über  solche  Systemkurven,  die  eine  Hüllbahnknrve  besiu« 
sowie  über  zwei  Sonderfälle  der  allgemeinen  Bewegung:  Im  enta  sind  ^ 


Rezensionen.  73 

indschiefen  Axenflftchen  aufeinander  abwickelbar,  im  zweiten  sind  sie 
l>wickelbare   Flächen,  deren  Büokkehrkanten  einander   beständig  berfibren. 

Das  zehnte  Kapitel  handelt  von  den  Graden  der  Bewegongsfreiheit. 
Tir  heben  hervor  die  allgemeinen  üntersuchnngen  über  die  Bewegung 
nes  starren  Körpers^  dessen  Freiheit  grösser  ist  als  Eins. 

Die  beiden  letzten  Kapitel  stehen  mit  den  vorhergehenden  in  loserem 
Bsammenhang.  Das  elfte  —  das  nmfangreichste  von  allen  —  ist  den  6e- 
nkmechanismen  gewidmet.  Es  omfasst  das  Gelenkviereck  —  jedoch  ohne 
e  allgemeine  Theorie  der  Koppelktirve  —  die  Mechanismen  zur  Umwand- 
ng  einer  Bewegung  in  eine  gesetzmässig  entsprechende,  die  angenäherten 
eradführungen  von  Watt  und  Evans,  Mechanismen  zur  genauen  Gerad- 
hrung,  sowie  einige  unebene  Gelenkmechanismen.  Der  Kempesche  Satz, 
ich  welchem  jede  ebene  algebraische  Kurve  durch  einen  Gelenkmechanis- 
os  erzeugt  werden  kann,  wird  dahin  erweitert,  dass  überhaupt  jede  alge- 
aische  Verbindung  zwischen  n  gegebenen  Punkten  im  Baume  sich  durch 
Den  solchen  Mechanismus  verwirklichen  lässt. 

Das  zwölfte  Kapitel  betrachtet  die  komplane  Bewegung  eines  starren 
»enen  Systems  als  speziellen  Fall  der  Kollineationen  einer  Ebene  in  sich, 
wie  ihre  Beziehungen  zu  den  imaginären  Kreispunkten  der  Ebene.  Hieran 
Uiesseu  sich  die  entsprechenden  Untersuchungen  über  die  Bewegung 
les  starren  Körpers  im  Baume.  Auf  diese  folgt  endlich  die  analytische 
Erstellung  der  ebenen,  sowie  der  sphärischen  Bewegung  durch  lineare 
Aze,  bez.  gebrochene  Substitutionen  einer  komplexen  Variabein,  mit  einem 
Inweise  auf  die  gruppentheoreüsehe  Auffassung. 

Die  Zusätze  von  Darboux  (47  S.)  betreffen: 

1.  eine  neue  Ableitung  der  Transformationsformeln  von  Euler  und 
Ol.  Bodriques  (Kap.  8), 

2.  die  Lehre  von  den  um  Wendungen  und  ebenen  Spiegelungen,  an- 
gewendet auf  den  Fundamentalsatz  von  der  Momentanbewegung 
eines  starren  Körpers  (Kap.  4), 

3.  eine  inhaltreiche  Untersuchung  über  algebraische  Bewegungen. 

Als  Beitrag  von  E  nnd  F.  Cosserat  finden  wir  eine  anziehende 
beit  über  die  Kinematik  eines  kontinuierlichen  (veränderlichen)  Mittels 
7S.). 

Den  Schluss  des  Werkes  bildet  eine  Beihe  von  Anmerkungen  des  Ver- 
sers, in  denen  einzelne  Abschnitte  weiter  ausgeführt  und  gewisse 
chbargebiete,  wie  Balls  Schraubentheorie  und  Hamiltons  Qoatemionen 
rz  gestreift  werden  (71  S.).  In  der  siebenten  Anmerkung  (S.  446)  scheint 
Irrtum  vorzuliegen,  wenn  bezüglich  des  Beschleunigungszustandes  eines 
rren  Körpers  auf  Schoenflies  „Geometrie  der  Bewegung^^  verwiesen 
rd.  Übrigens  sind  auch  an  einigen  anderen  Stellen  die  Litteraturangaben 
ht  unbestimmt,  z.B.  S.  13: 

„On  pourra  consulter  a  ce  sujet  un  Memoire  de  M.  Linde- 
mann ins^re  dans  les  Mathematische  Annalen." 

I]lsi.-Utt.  Abt.  d.  Zeitoohr.  f.  Math.  u.  Fhyi.  4S.  Jahrg.  1898.  S.  Heft.  6 


.  imfi.ost  \st  'Jt  dm  gansen  Werke  klar  and  leicht  bssür) 
roU.  Dem  EnclieiBen  dea  Eweit«n  Band« 
tttik  aithalten  soll,  sehen  wir  mit  bertd 
K.  MüLißt. 


Ucr  iMS  Nnri«asche  Prinzip  der  Fn 

bMMdrm-   Bteksiekt    aaf    die    elektristtf 

;.  Setäass.    Leiptig  1896,  B.  Q.  Tenbner. 

4^:>-::tfa  ^'I^^^hK-  idchnea  sicli  bek&iintlich,  trotzdem  i 

•;r-Mc.-..:=k:^n  ies  VerfBam^ra  behandeln,  dorcb  eiiie  klait n 

:>if.::f  It:««  hst  m  ttiri3hrliche)  Exposition  ans.  J^idö 

-a    i:a  Vogrrvden,  in   denoi  der  Yer&sser  die  Suuv 

_-ii  .r^--c  iti^r  kn  Ttfwsndtea  andeicr  Forscher  mit  ij 

.    >  i^ef  Mtch  aichi:  Teischmifat,  die  Trsgireite  mi  ^ 

--.  .'^r  -^=e  3n<i  Vi^thoden  dn«  onparteüschen  S«lbj;i.-i: 

•^..   -';::'i    i-im  3«EeD3entRi  sduMi  im  Tormos,  so  in  SU9 

■'Li'.^a  o-''*Tindi;a.  imd  <r  darf  mcfa  im  iresentüch':  a 

jM-    ■  >;  i'p  3»i  N«w  m  betoaen. 

<.;i^.!v.     ~iJt«    aiencw^ü^  Arbeit    am  dem  Jahre  Ifl 

.71   '^  .  v' .  a^-hiia  PoieadalfanhtioD 


*■    *  -  '■'"*(«>^J'<1) 

t«-      ->  .^..-'U'^v     'venun^QS    implizite     bei    Grtt^  « 

_  .>.     .*><»  'si.,'äc:u::oD  bt.  das  die  dek&iscfae  Ter<^: 

^_      i.-fc.  i-j^c«.     -     jn    '.^wffenaaö    la    der    Newto::^:: 

^^u.i'  jun  A'x»)r-inmg  der  elektnachen    Mat«r.« 

.  .    4^;.::.   i'21'i  iaäs  ■hib«  noch  eine  bcsonds^  0^ 

.^..-.11     ur«.     >^tfr:   seh  p  der  Einheit,  so  wir<i  i 

-.,■--    ^.    .-r    .iti't-Ä-tixn  Materie  in  der  X«be  der  •  ". 

.■*-■,.'  c.i-     Niiai*  man  also  p   aar  w«iij  t  - 

_.   -ii    »  i-i^    ujw   rtt  -mer  Theorie  «elanjjen.   1- 

-   -  -      .1    .üsöcrst  ^^alz  ibwäcfat,  den  Beoba-'^~; 

■-    -  ...     ut-i    ii.vi     icftt   jene  iui«n>ilich    dim-'  i. 

■,i^  -  ;i.    'x  ^-'-burii-'hö  Termeidet,    diö    t:-:: 

.^^«     '--*-■»,.-.«    ir-i:^-:>S«3    ist 

,.■  ivii  -'T-i-iz  b«  'Itt  näheren  U=:^r-- -a 


110    a^s    •.irenafall    eiaej 
HU  KU  'Qese  Weise  die  b< 


_.    I 


Rdzensiondn.  75 

Es  iSfist  sieh  nämlich  das  Produkt  aus  r^—^  und  r  mit  Hilfe  von  Inte- 
calbetrachtongen  (S.  86)  in  eine  Eeihe  nach  Exponentialfunktionen  ent- 
ickeb,  wie  folgt: 

0  die  ff,  wie  die  Ä  alle  reell  und  positiv  sind. 

Der  Gedanke ,  durch  Einführung  derartiger  Exponentialfunktionen  die 
ewöhnliehe  Potentialtheorie  zu  modifiaderen,  findet  sich,  wie  es  scheint, 
lerst  bei  Laplace  (S.  114).    An  einer  klassischen  Stelle  seiner  Mecanique 

deste  ändert  Laplace  den  Newtonschen  Ausdruck  ^,      (fOr  die  Kraft, 

it  der  zwei  Massenpunkte  m^,  m^  im  Abstände  r  aufeinander  wirken)  dahin 
),  dass  er  noch  den  yerkleinemden  Faktor  e"""*  (ff  positiv)  hinzufQgt. 
ach  einer  wichtigen,  neueren  Beobachtung  von  Seeliger  scheint  diese 
aplacesche  Korrektion  in  der  That  geeignet,  eine  gewisse,  schon  von 
everrier  untersuchte  Vorwärtsbewegung  des  Perihels  des  Merkur  zu  er- 
ären« 

Aus  diesen  wenigen  Bruchstücken  hat  der  Verfasser  eine  ganze,  um- 
isende  Theorie  geschaffen,  indem  er  eine  Potentialfunktion  (Z>(r)  nach 
lalogie  von  1),  nur  in  Form  einer  endlichen  Beihe: 

2)  0(r)  =^— ^ —  (Ai}  «f  föell  und  positiv) 

Grande  legt. 

Unzweifelhaft  liegt  zunächst  in  dem  Ansätze  2)  eine  gewisse  Will- 
r;  man  wird  fragen,  welche  Vorzüge,  oder  gar  welche  innere  Notwendig- 
st der  Ansatz  2)  gegenüber  anderen  aufweist,  und  in  zweiter  Linie, 
nn  die  Vorteile  der  Form  (Z>(r)  wirklich  zu  Tage  liegen  sollten,  welche 
fsikalische  Bedeutung  die  über  die  Konstanten  Ä^  a  getroffenen  Fest- 
zangen besitzen? 

Der  Verfasser  hat  das  elektrische  Gebiet  als  Ausgangspunkt  gewählt 
1  hat  hier  nach  einem  Prinzip  oder  Axiom  gesucht,  welches  sich  gegen- 
ff  allen  Abänderungen  der  Newtonschen  Potentialfunktion 

«riant  verhielte. 
Nun  wird  allgemein  zugegeben,  dass  man  aus  der  Annahme  der  Form 

^^tenz  eines  elektrostatischen  Gleichgewichtszustandes  (für  ein  beliebiges 
tem  elektrisch  geladener  Konduktoren)  einwandsfrei  herleiten  kann, 
auch  von  physikalischer  Seite  her  an  der  Vorstellung  eines  derartigen 
><^hgewichtszustandes  nichts  wesentliches  ausgesetzt  wird,  so  hat  der 
"^^sser  dies  „Prinzip  des  elektrostatischen  Gleichgewichts'^  zum  Leitstern 
lOmmen. 


Hbtorisch-fittendiche  Abteümig. 

Soltta  nuui  nun  wiikfieh  aimcluiien,  daas  das  genannte  Prinzip  emei 
^rttunmenden  EinfloBS  anf  die  Foim  einer  im  ftbrigen  willkflrliche^ 
^iiiüftinttion  aasüben  möchte? 

l^«r  V«r&88er  hat  dies  schwierige  Problem  zonSchst  von  negativer  Säv 
•.Kt   Angriff  genommen  und  hat  nach  Beispielen  von  Potentialfonktiona 

at«   bei   deren  Annahme  ein  elektrischer  Gleichgewichtszostand  ans 

aiossea  sei.  Ein  solches  meriLWflrdiges  Beispiel  —  nnd  das  schein 
i»rtttii^  Sntdeeknng  gewesen  za  sein,  die  den  Gang  der  weiteren  Unter 
""_  ^tunHf  ^f^i^ast  hat  ^  bot  sich  ihm  in  deti  Fonktion: 

Ml^  rW- 1 

sÜ^  Konstante  er  positiv  nnd  sehr  gross  sein  solL 
|(S  sei  eine  isolierte  Metallkagel    mit  der  Elektrizitfttsnienge  M=^\ 
,^^^u,  die  man  sich  teils  im  Innern  der  Kngel,  teils  an  ihrer  Obeifläd» 
^     ^^.jjig  verteilt  denke.    Das  von  dieser  Verteilnng  anf  irgend  einen  innen 
.w      Ict.   isttSgedbte  Potential  V  werde  aufgestellt,  sowie,  nach  £ntwickelTi£| 
.  ^^^^  uaoh  Potenzen  von  a  und  r,  die  Ausdrücke  AF  und  AAF. 
t>«aiu  ergiebt  sich  die  einfache  Relation: 
^^  AAF-o*AF~4«a^-0, 

.    «iio  invariable)  rftumliche  Dichtigkeit  bezeichne. 

U;w«Ht  luau  nunmehr  noch  die  —  allerdings  wesentlich  beschrfinkende  - 

^^^«jcoti&uttg  Platz   greifen,   dass   der  der  Zeit  < »  0   entsprechende  Ai- 

m^u^tHuU   iu  Besug  auf  das  Kugelzentmm  symmetrisch  sei,  so  fokit 

i>.    luit   Küokaioht   auf  frühere,   von  Laplace  und  Bertrand  her 

cAiJ«^    Sat«0^    dass   die    Elektrizit&t    der    Kugel    niemals    zur  Babe 

.tu^'M  kMUtti  sondern  sich  in  unaufhörlicher  Bewegung  (die  sogsr  Di^ 

^(44iu»uiü'  wi^rd^n  kann)  befinden  muss. 

t  uvi  «v^iohoir  lli^U|U0le  kann  man  leicht  noch  mehrere  aufstellen. 

i  ui^v'KohU   b^wt^i^t  nun  der  Verfasser  in  der  That  den  Fundamental 

Atk-tA  i^n^  luU  Ji»m  Ihinsip  des  elektrostatischen  Oleichgewichtsznstasdrs 

'^,^^  iuhou  kV(vMtiiiUt\uiktionen  <P(r)  die  Gestalt  2)  besitzen  müssen.  Di? 

lu  ,^Ks(^v»ui^iktialge$etz^,   das  je  nach  der  Anzahl  dor  Glieder  tob 

\     tt«  ^iu^lwUuxv^i  iweigliedriges  u.  s.f.  heisst. 

Po    Ui^ui^UMiui^lu  di^der  allgemeinen  Potentialtheorie  haben  eine  weit- 

u     \u4U'K^^   M^^(  iWu^n  der  gewöhnlichen  Theorie;   die  Laplacesche 

^    . ;  JV  V       0  uuumt  jVdooh  eine  wesentlich  andere  Gestalt  an,  indem 

»^    .\*i     1»^«  xiu^UoxUi^   K\iH)nentialgesetz  <t>(r) ««  gut: 

AF-=«»F 

v\  lA  i\    iiui     viuvu     Uvüierten    Konduktor    elektrische     Massen    toq 
•«vi    i^t    UM    iU«iohgewichtszustande   neben   einer    elektrischeo 
'  N^uuiii    uvvU  «»iue  räumliche  Ausbreitung  der  Elektrizität  im 
Kx'u  lukUü«  vorhanden,  die  ein  einfaches  Gesetz  befolgt 
i   i    U«iaht(\»   singulare  Vorteil    des  Greenschen  Orenz&lles  1) 
..    A  itu  aUgt>iu«ineren  Falle  wieder  verloren  gehen. 


"t  » 


Rezensionen.  77 

Besondere  Beachtung  verdient  es,  was  übrigens  nach  anderen  Erfahr- 
gen zu  erwarten  war,  dass  sich  der  Beweis  des  sogenannten  „Ezistenz- 
eoremes^  der  Potentialtheoiie,  unter  Zagrnndelegong  der  C.  Neumann- 
len  Methode  des  arithmetischen  Mittels,  mit  Hilfe  von  5)  weit  einfacher 
d  durchsichtiger  f&hren  Ifisst,  als  im  extremen  Falle  der  Newtonschen 
itentialfanktion. 

Bei  allen  diesen  Untersuchungen  war  bisher  stillschweigend,  nach 
swton,  die  Hypothese  der  momentanen  Fem¥m:kung  vorausgesetzt. 

In  einem  kurzen,  aber  nöchst  interessanten  Kapitel  (Nr.  VlLl  S.  222  bis 
il)  lässt  der  Verfasser  jene  Hypothese  &llen,  ohne  übrigens  von  seinem 
|K)nentialgesetz  weiterhin  Gebrauch  zu  machen. 

Er  denkt  sich  wiederum  zwei  Massenpunkte  m,  nt^,  von  denen  der 
le  dem  anderen  zur  Zeit  /g,  wo  sie  den  Abstand  r^  haben  mögen,  das 
wohnliche  Potential  W=wt»j9)(rQ)  „zusendet^S  Diese  Zusendung  soll 
er,  einer  ersten  Hypothese  zufolge,  einer  gewissen,  wenn  auch  sehr 
einen  Zeit  i  —  Iq  bedürfen,  nach  deren  Ablauf  die  —  in  irgend  welcher 
iwegnng  befindlichen  —  Punkte  die  Entfernung  r  besitzen;  zudem  soll 
B  Zusendung  mit  konstanter  (sehr  grosser)  Geschwindigkeit  erfolgen. 

Der  Verfasser  macht  dann  die  weitere  Hypothese,  das  Potential  W 
kbe  in  Wirklichkeit  die  zur  Zeit  t  vorhandene  Entfernung  r  durchlaufen, 
)za  also  die  Zeit  , 

forderlich  seL 

Ob  und  inwieweit  sich  diese  zweite  Hypothese  mit  der  ersten  in 
bereinstimmung  befindet,  mag  dahingestellt  sein. 

Durch  einfache  Rechnung  ergiebt  sich  so  ein  Ausdruck  für  W,  der 
sdann  dem  Hamiltonschen  Prinzip  —  das  der  Verfasser  als  suprema 
i  liinstellt  —  unterworfen  wird.  Man  kann  auch  sagen,  dass  der  Aus- 
Qck  W  nach  den  Koordinaten  variiert  werde,  sodass  W  eigentlich  den 
unen  eines  „Variations- Potentials  ^^  verdiente  (im  Gegensatz  zu  dem  ge- 
ihnlichen  „Differenüations- Potential  ^^). 

Numnt  man  noch  im  besonderen 

9^(0  =  7' 

^rt  das  angedeutete  Verfahren  auf  den  merkwürdigeü  Satz: 

„Die  gegenseitige  Einwirkung  der  beiden  Punkte  wird  von 
solcher  Art  sein,  als  ^Inde  zwischen  ihnen  eine  gewisse  repulsive 
Kraft  R  statt.  Diese  Kraft  i2,  die  geradezu  durch  Variation 
von  W  entsteht,  ist  identisch  mit  der  durch  das  Weber  sehe 
Gesetz  definierten  Kraft: 

6)  ie  =  -^[l-,V+-y-r"], 

falls   man   nur  jene  konstante  Transmissionsgeschwindigkeit  c  als 
identisch  sich  denkt  mit  der  Weberschen  Konstanten  c." 


'i*»rtavu- 


.VJüci^ilimg^.   Bibliographie. 


5     ^ÜC 


n::i«i. 


lebendigen  Kraft  anfstel 

In  den  I^en,   wo 

wenigstens     ein     de: 

Grand  eben  dnrch  die  H 

xsfs^deeVi  sön  würde 

voses  Feld  eioffiiet. 

W.  Fbasz  Metix 


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M   • 


h 


BiUiognphie.  79 

itentafeln  Ar  du  Jahr  1899.    Hennsgegeben  Tom  Rdchsmariaeamt. 
Berlin,  IGtüer  &  Sohn.  IL  1. 50. 

bsTER,  W.  IL  Lehmaxh,  P.,  Die  TeiinderL  Tafeln  d.a8trcmom.iLclironolog. 
Teils  des  königL  preoss.  Normalkalenden  ftr  1899.   Nebst  einem  allgem. 
j    stai Beitrage Yon£.BiJBicnc.  Berlin, Verlag  d.k5mgL8iai.Biii«ai^  M.5. 
irhandiimgen  d.  GeseÜBclL  deoftBciier  Naturforscher  n.Änte.  68.Versamnihing 
'    zaFnuikfiirta.M.1896.  l.Naturw.Abhandlimgen.  Leipiig, Vogel.    M.5. 
yiotheca  mathematiea.  ZeitBchr.l  Gesdi.  d.Mathem.  Hrsg.v.  Grsr.ERSBTKÖif. 
Goienlreg.d. J.1887-1896(m.eingedr.Bildn.).  Berlin, Majer^kMtUler.  M4. 
Iirbncii  über  die  Fortschritte  der  Mathematik.  Heransg^.  von  Emu.  Laufe. 
26.Bd.  Jahrg.  1895.   3.(Schli]ss-)Heft   Beriin,  Reimer.         1L11.40. 
sröffentlichmigen  d.  kgL  preoss. meteoroLInstitats.    Hz^.  d.  Wilr.  t.  Bbxold. 
Ergebnisse  der  magn.  Beobaehtongen  in  Potsdam  im  Jahre  1896  n.  inter- 
nationale magnet.  Simnltanbeobachtongen  1896.  Berlin,  Asher  A  Co.  M.6. 
rbeiten^  sstronom. -geodätische.   VerOffentUdrang  der  kgl.  bajer.  Konmuuion 
f&r  die  internationale  Erdmessong.    2.  Heft.   Mflnchen,  Frans.     H.  8. 60. 
lirbuchderA8trDnomieQ.Creoph7SLk.  Hrsg.T.  Hebjc J.  E[lein.  8.Jahrg.l897. 
Leipzig,  Mayer.  hart  M.  7. 

tzmigsberiebte,  Münch.,  Mathem.Kl.,  1897.  S.Heft.  München,  Franz.  M.1.20. 
ABRECHT,  Th.,  Bericht  üb.  d.  Stand  d.  Ihf  orscb.  d.  Breitenvariation  L  Deibr.  1897. 
Hi3g.  vom  Centralborean  der  intern.  Erdmessong.   Berlin,  Reimer.     M.  3. 
rbeiten,  astr^  d.k.k.Gradmes8angBb.,  9.Bd.  LSngenbest  Leipz.,Frejtag.  M.  16. 
"gebnisse  d.  meteorol.  Beobacht.  i.  Systeme  d.  dentsch.  Seewarte  f.d.Desenniom 
1886-1895.  Hrsg.yond.I>ir.d.8eew.  Hamborg,  Friederidisen  &  Co.    M.  S. 
iHrbncb,  deotscbes  meteorol. .  f.  1 896.  Beobachtongssyst.  d.  dentschen  Seewarte. 
XQ[.  Jahrg.  (21  .Jahrg.  d.  meteorologischen  Beobaehtongen  in  Deutschland). 
HeraosgegebenTon  der  Direktion  der  Seewarte.  Hamborg,  Ebenda.  M.13. 
Irster,  W.,  n.  E.  Blenck,  Popoläre  Mitteilongen  znm  astronom.  o.  chronoL 
Teile  d.  preoss. Normalkalenders  f.1899.  Berlin,Verl.d.k.stat.Boreaos.  M.  1. 

Geaohiohte  der  ICaihematik  und  Phyaik. 

TRI  Philomeni  de  Dacia  in  algorismom  volgarem  Job.  de  Sacrobosco  com- 
mentarios.  Una  com  algorismo  ipso  edidit  et  prae&tos  est  Prof.  Max.  Coiize. 
Snmptibos  societ.  regiae  scientiar.  danicae.  Kopenhagen,  HSst  &  S.  M.  2. 25. 

OGENDORFF,  J.G.,  biogT.- litter.  HandwOrterboch  z.  Oesch.  d.  exakten  Wissen- 
schaften. S.Bd.  (1858— 1883).  Heraosgegeben  von  B.W.  Feddersen  und 
A.  J.  y.  Oettingen.   1 4.  o.  1 5.  (Schloss  -)  Lieferg.    Leipzig ,  Barth,     a  M.  3. 

^,  J.  H. ,  Der  Mathematiker  Jak.  Steiner  y.  ützendorf.  Bern ,  Wyss.    M.  1 .  20. 

'iJNG,WiLH.,  K.Weierstrass.  Bektoratsrede.  Münster,  Ascbendorff.  M.  — .  60. 

tJi,  G.,  Die  Energetik  n.  ihrer  gesch.  Entwickelong.  Leipzig,  Veit  &  Co.  M.  8. 60. 

DEHANN ,  Ferd.  ,  Ocdachnisr.  a.  Philipp  Ludw.y.  Seidel.  München,  Franz.  M.  3. 

Beine  ICathematik. 

niEB,  E.,  Lehrb.  d.  eb.  o.  sphär.  Trigonom.  2.  Aofl.  Stottgart,  Metzler.  M.  7. 40. 

-Der  logarithm.  Rechenschieber  ond  sein  Qebraoch.   Ebenda.     M.— .40. 

rBEB,EMAK.,Vorlesongen  über  Differential- ond  Integral -Recbnong.  l.Bd. 
Leipzig ,  B.  G.  Teobner.  geb.  M.  12. 

iELL,WiLH.,  Allgem.  Theorie  der  Koryen  doppelter  Erümmong  in  rein  geo- 
metrischer Darstellong.    2.  AofL    Leipzig,  B.  G.  Teobner.  M.  5. 

»ER ,  Heinr.  ,  Lehrb.  d.  Algebra.  2.  Aofl.  1 .  Bd.  Braonschw.,  Vieweg  &  S.  M.  1 0. 


j 


'U)  ffirtonBch-litteranscIie  Abteilung.    Bibliographie. 

ire  Geometrie  in  synthetascher  Behandlang  (Sanun- 
Kr.  72).   Leipzig,  Oöschen.  M.— .8*1 

riduiLiL  A]gebra(8.0ö8chenNr.47).  2.  Aufl.  Ebenda.  M.-.So] 
in  d.Onindl.d.  Geom.  2.(Schl.-)Bd.  Paderb.,Schömngh  M.7! 
DieAid^ben  ans  d.Elem.- Mathematik,  welche  bei  der  Prüfosi 
d.  Hathem.  n.  Physik  an  d.  kgl.  bayer.  htun.  u.  techn.  ünterr.- 
i  d.  J.  1873  -1893  gestellt  wurden.  München,  Ackermann.  M.3.8i'. 
<«  Jac^  Vorksongen  üb.  synthet.  Geometrie  2.T.  Die  Theorie  d.  Kegel 
«  HatttUt  anf  projektive  Eigenschaften^  bearb.  von  Heinr.Schröta; 
^  A3^  Dwdigcadien  Ton  Bad.  Btorm.   Leipzig,  B.  G.  Teubner.      M.  14 
-w«  '.T  .  MniÜplikatiQnstabeUe  (in  ross.,  franz.  nnd  dentscher  Sprache) 
Sc  F-jOHE^^rg,  Bkker.  geb.  M.  15.1 

«  PapF.,  Die  Transfonnation.der  trilinearen  tem&ren  Form  is  eis« 
symmetrische.    Dissertation.   Leipzig,  B.G.  Teubner.    M.  1.20. 
. .  i^.  OL«  JLs^äbcn  z.  Differential- n. Litegralrechn. ,  nebst d. Besoitaten o. ds. 
Lii6«nirB!0cig.&e<v.Srtitoi.7.Anfl.yonE.Netto.  Giessen,  Bicker.  geb.M.4. 

Angewandte  Mathematik. 

\  «w.  <  -cyyy  JL^«.  STOLLK,B.,Praki  Maschinenrechn.  3.  Anfl.  Berlin,  8ey del.  M.  S.d«! 

;«L.  T.,  Das  Gesetz  der  kL  Zahlen.  Leipzig,  B.  G.  Teubner.  M.1 

«  Die  Dynamik  d.  Syst.  starrer  Eörp.  Deutschv.  AdlSchepp. 

V.:  ^.W^nr.T.F.Klein.  l.Bd.  Die  Elemente.  Leipz.,  B.G.  Teubner.  geb.M.lO. 

.    ^.^^  A.>;>«  Vorl««.  üb.  techn.  Mechanik.  3.  Bd.  FestigkeitsL  Ebenda.  geb.M.12. 

,^,  ^  ^.^  Mathematische  Tafeln  für  Markscheider  u.  Bergingenieure,  so^^ 

yy  v^raakche  für  Bergschulen.    4.  Aufl.  Berlin,  Springer.     geb.MJ. 

\   .^.  ^  Jk-  F.«  Astronomie,  GrOsse, Beweg. u. Entfern. d.Himmelsköiper(Sainiiil 

:^  iciNB  Sr.  ll\  9.  Aufl.  Von  Walt.  F.  Wislicenus.  Leipz.,  Göschen.  M.-.SÖ. 

•^^.'w^.■<.  S-  lifein  i.  Berechn.  d.  Pracession  (Aus:  Annalen der  kaiserl.  Univen- 

<N:;cn warte  in  Strassburg.  2. Bd.).   Karlsruhe,  Braun.  M.5. 

Physik  und  Meteorologie. 
,     _  ..^  ^  > .  5ohrit^en  u.Kart.  üb. Meteor. u.  Erdmagn.  Hrsg.v.  G. Hellmann.Kr.l' • 

1269 -1599.  P. de  Maricourt.  F.Falero.P.Nunes.  J. de  Castro 

:tt.imt.  M.  Cortes.  G.  Mercator.  R.  Norman.  W.  Borough.  S.  Stevin.  M.  15. 

J  H  Winkler.  B.Franklin.  T.F.Dalibard.  L.G.LeMonnier:  Über 

;Jitaitit    1746—1753.    Asher  &  Co.  M.3.5'^ 

I,^i5  opt  Drehungsverm.  organ.  Subst.  u.  d.  prakt.  Anwend.,  bearb.  u. 

c^^*ö  0.  Schönrock  u.a.  2.  Aufl.  Braun8chw.,Vieweg  &  S;  geb.M.l?. 

.^t  H.  (*b*?r  elektr.Wellenu. ihre  Anwend. z.DemODStr.d.Telegmplii'^ 

•  MüTConl  Experimentalvortr.  2.  Abdr.  Berlin,  Gärtner.  M.—i'^ 

VMÄlvtBerechnungelektr.  Leitungen.  Berlin,  Springer.    M.3. 

'a\.»  II  über  Warme  einschl.  der  mechan.  Warmetheorie  u.  derkine- 

>.vcw  der  Gase.    Wien,  Pichler's  Wwe.  &  Sohn.  M.2.40. 

•     -^tixl  i>hv».Eigensch.d.Kryst. in elem.Darst.Leipz.,VeitlCo. Mo. 

^N,  Pw  Wettervorhersage.    2.  Aufl.    Stuttgart,  Encke.    H.")- 

■N^  ,^%?ku,  Liohterschein.  od.  Entlad.,  bez.  als  Glimmen, Büschel, 

.»  lK>i;en ,  in  fr.  Luft  u.  in  Vacuumröhren.  Halle,  Knapp.  M.  2<' 

•* » ^  4.  H  ^Uaussch.d.W.,  H.  1 99).  Neudamm,Neunmnn.  M.-.30. 

\^j   Feruihermometer.    Halle,  Marhold.  ^-^ 


Historisch-litterarische  Abteilung. 


Preisaufgabe. 

Die  Fürstlich  Jablonowskiscbe  Gesellschaft  schlagt  für  das  Jahr  1901 
is  Preisaufgabe  vor: 

Die  Theorie   der   quadratischen   Differentialformen   in 
einem  wesentlichen  Punkte  za  vervollkommnen. 

Die  Theorie  der  quadratischen  Dilferentialformen,  welche  von  Bie- 
lann  angebahnt  und  namentlich  von  Christof  fei  and  Lipschitz  weiter- 
efuhrt  worden  ist,  hat  durch  neuere  Untersuchungen  in  der  Geometrie, 
er  T)ynamik  und  der  Theorie  der  Transformationsgruppen  eine  erhebliche 
iedeutung  gewonnen,  und  jeder  Fortschritt  in  jener  Theorie  würde  auch 
ier  einen  Gewinn  bedeuten.  Indem  die  Gesellschaft  wünscht,  dass  die 
'heorie  der  quadratischen  Dilferentialformen  in  einem  wesentlichen  Punkte 
ervoUständigt  werde,  lenkt  sie  die  Aufmerksamkeit  der  Bewerber  be- 
anders  auf  die  durch  Lies  Forschungen  angeregte  Frage  nach  der  Natur 
nd  den  Eigenschaften  der  Formen,  welche  kontinuierliche  Gruppen  von 
Vansformationen  gestatten.  Für  den  Spezialfall  ;/  =^  3  hat  neuerdings 
lianchi*  wertvolle  Beitrage  geliefert:  es  ist  zu  hoflfen,  dass  die  Dar- 
teilung der  Kriterien  für  die  Zugehörigkeit  einer  gegebenen  Form  zu 
inem  bestimmten  Typus  in  invarianter  Form  gelingen,  und  dass  das 
tudinm  der  in  den  betreffenden  Räumen  herrschenden  Geometrien  sich  als 
ahnend  erweisen  werde. 

Preis  1000  Mark. 


Die  anonym  einzureichenden  Bewerbungsschriften  sind,  wo  nicht  die 
resellschaft  im  besondern  Falle  ausdrücklich  den  Gebrauch  einer  anderen 
prache  gestattet,  in  deutscher,  lateinischer  oder  französischer 
prache  zu  verfassen,  müssen  einseitig  geschrieben  und  paginiert,  femer 
üt  einem  Motto  versehen  und  von  einem  versiegelten  Umschlage 
«gleitet  sein,  welcher  auf  der  Aussen  Seite  das  Motto  der  Arbeit  tragt,  in- 
wendig den  Namen  und  Wohnort  des  Verfassers  angiebt.  Jede  Bewerbungs- 
chrift muss  auf  dem  Titelblatte  die  Angabe  einer  Adresse  enthalten,  an 
reiche  die  Arbeit  für  den  Fall,  dass  sie  nicht  preiswürdig  befunden  wird. 


•  Memorie  della  Societa  Italiana  <lelle  Seienze,  Ser.  IITa  T.  XI,  1897. 

HI»t.  -  litt.  Abt.  d.  Zeittohr.  f.  Matb.  u.  Phys.  43  Jabrg.  189S.  3.  Ueft.  7 


g2  Historiscli- litterarische  Abteilung. 

zorückzusenden  ist.  Die  Zeit  der  Einsendung  endet  mit  dem  30. November  1901 

und   die   Zusendung  ist   an   den  derzeitigen  Sekretär  der  Gesellschaft  >fd 

das  Jahr  1898  Professor  Dr.  August  Leskien,  Stephanstrasse  Nr.  10)  t 

richten.     Die   Resultate   der  Prüfung  der    eingegangenen   Schriften    werde 

durch  die  Leipziger  Zeitung  im  MSrz  oder  April  des  folgenden  Jahres  \a 

kannt  gemacht.     Die  gekrönten  Bewerbungsschriften  werden  Eigentum  *li 

Gesellschaft. 

W.  Soheibner,  Präs. 

A.  Leskien.    E.  Sievers.    E.  Lampreoht.    H.  lapsius. 

K.  Bücher.    F.  Zirkel.   W.  Pfeffer.    W.  HankeL 


Rezensionen. 


Zur  Entdeckung  des  Elektromagnetismus.     Abhandlungen    von   Ea.v 

Christian  Örsted  und  Thomas  Johann  Seebeck  (1820 — 1821 
Herausgegeben  von  A.  J.  Öttingen.  [Ostwalds  Klassiker  der  exakte 
Wissenschaften  Nr.  63.]  Mit  30  Textfiguren.  Leipzig  1895.  Terläi 
von  Wilhelm  Engelmann.    83  S.     Preis  1.40M. 

Die  örsted  sehe  Abhandlung  umfasst  nur  acht  Seiten  und  führt  dd 
Titel :  Versuche  über  die  Wirkung  des  elektrischen  Konflikts  auf  die  Mag&e: 
nadel.  Sie  erschien  in  lateinischer  Sprache  und  wurde  von  Gilbert  m 
Deutsche  übersetzt 

Seebecks  Arbeit  lautet:  Über  den  Magnetismus  der  galvanischen  K^^ti 
und  ist  65  Seiten  gross.    Sie  verdankt  ihre  Entstehung  zweien  Vorlesnngts 

Den  Schluss  bilden  Anmerkungen,  in  welchen  uns  die  beiden  Gelehrte^ 
persönlich  näher  bekannt  gemacht  werden.  g   Nebei 


Über  Faradaj'S   Kraftlinien.    Von  James  Clerk  Maxwell  (1855—1856 
Herausgegeben  von  L.  Boltzmann.     [Ostwalds  Klassiker  der  exaktes 
Wissenschaften  Nr.  69.]    Leipzig  1895.    Verlag  von  Wilhelm  Ecgfi 
mann.    130  S.    Preis  2  M. 

Der  Inhalt  zerfallt  in  drei  Teile,  von  denen  der  erste  lautet:  Ar 
Wendung  auf  statische  Zustände  und  stationäre  Strömung.  Der  zweite  be| 
handelt  Faradays  elektrotonischen  Zustand,  während  der  dritte  eine  Reibi 
von  Beispielen  mathematisch  löst. 

Die  Anmerkungen  erstrecken  sich  über  32  Seiten  und  lassen  erkennen 
wie  sehr  der  Herausgeber  bemüht  ist,  die  knappe  und  deshalb  schve] 
verständliche  Ausdrucksweise  Maxwells   einem   grösseren   Leserkreis   man^ 


Rezensionen.  g3 

gerecht  zu  machen;  denn  nur  auf  solche  Weise  ist  es  möglich,  die  moderne 
Theorie  über  die  Elektrizität  rasch  einzuführen  und  die  alten,  seit  dem 
Aufschwung  der  Elektrotechnik  nicht  mehr  ausreichenden  Anschauungen 
zu  verdrängen.  ^  ^^^^ 

Magnetische  Polarisation  der  Metalle  nnd  Erze  durch  Temperatur- 
Differenz.  Von  Th.  J.  Sesbeck  (1822 -- 1823).  Herausgegeben  von 
A.  J.  VON  Ottingen.  [Ostwalds  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften 
Nr.  70.]  Mit  33  Figuren.  Leipzig  1895.  Verlag  von  Wilhelm  Engel- 
mann.   1 20  S.     Preis  2  M. 

Die  vorliegende  Arbeit  Seebecks  ist  an  Inhalt  wichtiger,  als  die  in 
Nr.  63  dieser  Sammlung  wiedergegebene.  Jedoch  ist  es  der  Ausdrucks- 
weise wegen  nötig  auch  diese  zu  lesen.  Da  der  Lebensgang  des  Autors  in 
die  Anmerkungen  von  Nr.  63  aufgenommen  ist,  so  beziehen  sich  die  jetzigen 
Zusätze  lediglich  auf  die  Abhandlung  selbst,  die  einen  Auszug  aus  vier 
Vorlesungen  bildet.  _    _  g  ^^^^^ 

Chemische  Analyse  durch  Spektralheohachtnngen.  Von  6.  Kirchhoff 
und  R.  BuNSEN  (1860).  Herausgegeben  von  W.  Ostwald.  [Ostwalds 
Klassiker  der  exakten  Wissenschaften  Nr.  72.]  Mit  2  Tafeln  und 
7  Figuren  im  Text.  Leipzig  1895.  Verlag  von  Wilhelm  Engel- 
mann.    74  S.    Preis  1. 40  M. 

In  diesem  Bändchen  sind  zwei  Abhandlungen  aus  Poggendorffs 
Annalen  abgedruckt,  welche  das  Fundament  der  nunmehr  unentbehrlich 
gewordenen  Spektralanalyse  bilden.  Obwohl  Text  und  Inhalt  wesentlich 
von  Bunsen  herrühren,  so  wird  das  Verdienst  Kirchhoff s  bei  dieser  wich- 
tigen Entdeckung  keineswegs  geschmälert.  Der  Herausgeber  teilt  in  den 
Anmerkungen  mit,  wie  Bunsen  den  Hergang  der  Entdeckung  schildert, 
die  namentlich  der  Chemie  zu  einem  ungemein  wichtigen  Hilfsmittel  ge- 
worden   ist.  X,    T^y 

B.  Nebel. 

Tniersnchnngen  Aber  die  Gesetze  der  Verwandtschaft.    Von  Claude 

Louis  Berthollet  (1801),  Herausgegeben  von  W.  Ostwald.  [Ost- 
walds Klassiker  der  exakten  Wissenschaften  Nr.  74.]  Leipzig  1896. 
Verlag  von  Wilhelm  Engelmann.     113  S.    Preis  1.  80  M. 

Wir  haben  es  hier  lediglich  mit  einem  Neudruck  einer  im  Jahre  1 802  in 
Berlin  erschienenen  Übersetzung  von  Berthollets  französischer  Ausgabe  zu 
thun.  In  den  Anmerkungen  wird  zunächst  der  interessante  Lebenslauf  des 
Verfassers  mitgeteilt,  an  den  sich  einige  kritische  Bemerktmgen  anschliessen. 

B.  Nebel. 

Abhandlung  Aber  die  Herleitnng  aller  kristallographisGhen  Systeme 

mit  ihren  Unterabteilungen  aus  einem  einzigen  Prinzipe  Von  Axel 
Gadolin  (1867).    Deutsch  herausgegeben  von  P.  Guoth.     [Ostwalds 


7* 


§4  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Klassiker  der  exakten  Wissenschaften  Nr.  75.]  Mit  26  Textfiguren 
und  3  Tafeln.  Leipzig  1896.  Verlag  von  Wilhelm  Engelmann. 
92  S.    Preis  1.  50  M. 

Gadolin  fährte  auf  Omnd  des  von  Hany  entdeckten  Erfahrongs- 
gesetzes  der  Rationalität  der  Indices,  ohne  irgend  welche  Annahme  über 
die  Moleknlarstmktar  der  E[ristalle,  den  Nachweis,  dass  es  nnr  32  Klassen 
▼on  Kristallen  geben  könne,  die  sich  dnrch  ihre  ganz  bestimmte  Axt  der 
Symmetrie  von  einander  unterscheiden.  Zu  dieser  Erkenntnis  kam  schon 
1830  der  deutsche  Mineralog  Hessel.  Seine  Arbeit  ist  aber  60  Jahre  lang 
nicht  berücksichtigt  worden.  Die  eleganteste  Ableitung  rührt  doch  von 
Gadolin  her. 

Hier  zeigt  sich  wieder  deutlich  der  Nutzen,  welcher  durch  die  Heraus- 
gabe dieser  Sanunlung  von  Klassikern  der  exakten  Wissenschaften  gestiftet 
wird.  Werke,  welche  in  einer  dem  Gelehrten  nicht  geläufigen  Sprache  und 
in  einer  dazu  noch  weniger  verbreiteten  Zeitschrift  erschienen  sind,  kommen 
auf  diese  Weise  in  den  Besitz  der  Allgemeinheit,  wodurch  auch  das  unab- 
hängige Arbeiten  über  denselben  Gegenstand  vermieden  wird,      g  Vebki 

Die  Portschpitte  der  Physik  im  Jahre  1893.    Dargestellt  von   der  Physi- 
kalischen Gesellschaft  zu  Berlin.    49.  Jahrgang: 

Zweite  Abteilung,  enthaltend:   Physik  des  Äthers.    Redigiert  von 
Richard  Börnstein.      Braunschweig   1895.      Druck    und 
Verlag  von  Friedrich  Vieweg  und  Sohn.   900  S.   Preis  30  M. 
Dritte  Abteilung,  enthaltend:   Kosmische  Physik.     Redigiert    von 
Ric^HARD  Assmann.      Braunschweig    1895.      Druck     und 
Verlag  von  Friedrich  Vieweg  und  Sohn.  727  S.  Preis  26  >I. 
Die  Fortschritte  der  Physik  im  Jahre  1894.     Dargestellt  von   der  Physi- 
kalischen Gesellschaft  zu  Berlin.    50.  Jahrgang: 

Erste  Abteilung,  enthaltend:  Physik  der  Materie.     Redigiert  von 

Richard   Börnötein.      Braunschweig    1895.      Druck  und 

Verlag   von    Friedrich  Vieweg  und   Sohn.    600  S.    Preis 

22.50M. 

Zweite  Abteilung,  enthaltend:   Physik  des  Äthers.     Redigiert  von 

Richard  Börnstein.      Braunschweig   1896.      Druck    und 

Verlag  von  Friedrich  Vieweg  und  Sohn.   853  S.  Preis  30  M. 

Dritte  Abteilung,   enthaltend:   Kosmische  Physik.     Redigiert    Ton 

Richard    Assmann.       Braunschweig    1896.      Druck    und 

Verlag  von  Friedrich  Vieweg  und  Sohn.  716  S.   Preis  25  M, 

Über  den  Nutzen  der  Fortschritte  der  Physik  für  den  thätigen  Physiker 

zu    sprechen,  hiesse:    Eulen    nach    Athen    tragen.      Aber    gerade    weil    die 

Physiker  zu  thätig  waren,    so    mangelte    ihnen    die  Zeit,    die   Referate    so 

schnell  wie  möglich  zu  liefern.    Daher    kam  eine    solche  Verschleppung  in 

dem  Erscheinen  der  Bände,  dass  der  Vorteil    doch    sehr    fraglich  erschien. 

Schon  sahen  Einige  den  Untergang,  bis    es    der  Tüchtigkeit    zweier   neuer 

Redakteure  gelang,  dass  der  50.  Band  zum  50 jährigen  Jubil&um  der  Physi- 


Rezensionen.  35 

kaliscben  Gesellschaft  erscheinen  konnte,  also  die  Zeit  innehielt,  welche 
von  den  Gründern  als  Ideal  angesehen  wurde.  Dieses  Ergebnis  ist  um  so 
höher  anzuschlagen,  als  auch  die  restierenden  Jahrgänge  noch  in  Angriff 
genommen  werden  mussten.  Stolz  können  jene  Männer  auf  ihre  Thäüg- 
keit  zurückblicken,  denn  jetzt  ist  nur  noch  ein  Jahrgang  einzuholen, 
während  die  laufende  Arbeit  keine  Verzögerung  dadurch  erleidet.  In 
Kurzem  wird  alles  normal  gehen,  und  die  Wiedergeburt  ist  glücklich  yoU- 
zogen.  Möge  eine  derartige  Krisis  nie  mehr  eintreten,  damit  auch  der 
100.  Band  dereinst  rechtzeitig  erscheinen  kann!  -g  Nfbft 

Die  Lehre  vou  der  Elektrizität  von  Gustav  Wiedemann.  Zweite  um- 
gearbeitete und  vermehrte  AuHage.  Zugleich  als  vierte  Auflage 
der  Lehre  vom  Galvanismus  und  Elektromagnetismus.  Dritter  Band. 
Mit  320  eingedruckten  Holzstichen.  Braunschwelg  1895.  Druck  und 
Verlag  von  Friedrich  Vieweg  imd  Sohn.    1139  S.    Preis  28  M. 

Die  Gruppierung  des  Inhalts  ist  im  grossen  und  ganzen  dieselbe  ge- 
blieben, wie  in  dem  entsprechenden  Bande  der  früheren  Auflage;  jedoch 
bemerkt  man  überall  die  unermüdliche  Thätigkeit  des  Verfassers,  dessen 
Streben  es  ist,  dem  Physiker  ein  Werk  an  die  Hand  zu  geben,  ohne  das 
er  nicht  mehr  erfolgreich  arbeiten  kann.  Wiedemanns  Lehre  von  der 
Elektrizität  ist  aber  schon  dem  jüngsten  Physiker  derart  bekannt,  dass 
es  nur  eines  Hinweises  bedarf,  dass  wieder  ein  neuer  Band  erschienen  sei. 
Es  gehört  ein  immenser  Bienenfleiss  dazu,  das  täglich  rasch  anwachsende 
Material  sorgföltig  zu  sammeln  und  es  in  solcher  Weise  zu  vereinigen, 
dass  es  als  Ganzes  ein  Bild  liefert  von  dem  Stande  der  Wissenschaft,  dessen 
Grenze  in  dem  vorliegenden  Falle  der  Anfang  des  Jahres  1895  bildet.  — 
Mögen  auch  die  beiden  letzten  Bände  in  Bälde  erscheinen!       -n  tl^^BEL 

Lehrbuch  der  Experimeutalphysik  von  Adolph  Wüllnbr.  Fünfte  vielfach 
umgearbeitete  und  verbesserte  Auflage.  Zweiter  Band:  Die  Lehre 
von  der  Wärme.  Mit  131  in  den  Text  gedruckten  Abbildungen 
und  Figuren.  Leipzig  1896,  Druck  und  Yerlag  von  B.  G.  Teubner. 
935  S. 

Die  elektromagnetische  Lichttheorie  gab  die  Veranlassung,  in  dem 
zweiten  Band  nunmehr  die  Wärmelehre  zu  behandeln,  während  die  Lehre 
vom  Lichte  den  vierten  Band  umfassen  soll.  —  Begonnen  wird  die  Lehre 
von  der  Wärme  wieder  mit  der  Thermometrie  und  der  Ausdehnung  der 
Körper  durch  die  Wärme.  Bei  dieser  Inhaltseinteilung  war  es  erforderlich, 
die  Temperaturmessungen  mit  Thermoströmen  in  diesen  Band  aufzunehmen, 
während  die  Thermoströme  selbst  erst  im  nächsten  Band  eingehender  be- 
rücksichtigt werden.  Die  wichtigen  Ergebnisse  der  experimentellen  Er- 
forschung der  Gase  sind  voll  gewürdigt  worden.  Da  die  Strahlung  einen 
wesentlichen  Teil  der  Optik  ausmacht,  so  wurde  in  dem  zweiten  Kapitel 
nach  Besprechung   der  Messinstrumente,  nur   die  Emission   und  Absorption 


^ir-  Tib-n«  do'  W&rme  ist  im  wesentlicbet) 
—  ü  «poitisehe  Wärme  Ober  ein  reiches 
T^^»t  US.  K>  sind  die  Sohlflsse  daniu  noch 
■^  I1IIL  Ernmgenscbaft«n  aaf  dem  Gebiet« 
7^  -na  E"HtfI  nnd  seine  Hitarbeit«r  haben 
I.  -vBl<:iie  mehr  die  Physik  streifen.  So 
^ -tni-j rmcklnng  durch  chemische  Prozesse 
I  behandelt  wird,  obwohl  di«e 
«.nÖMT  z«worden  sind,  sondern  sich  sof- 
,  die  ihre  Entstebnng  den  llterea 
g  ja  jetzt  noch  hingehen, 
-  usiHMot  ist.  —  Das  Buch  eignet  sieb 
ii*,   der  sich    im  Laboratoriam  selbst- 


B.  Nebel. 


.^^^tal^^*  ^^^ 


iitM>  ^H  T.iQ  E.  VOK  LoMMBL.    Mit  iSO  Fignrea 
>c^  cru^r-^L     Dritte  Auflage.     Leipzig  1896. 
.1.S  -■!■  -Äos  Bwth  (Arthnr  Meiner).    666  S. 
-—  _-    ier   drei    Auflagen   spricht   da^,   irie 
:ll-'--i    ia;.   ein  Bach  za  schaffen,    welches    den 

—  3    ^wr  Binsicht  entspricht.     Ein  Gmod  m 
^  -i.-:r  ai.isT  Tor,  gleichwohl  hat  der  Verfasser 

-  !--ii  iSjTileirt-  —  Die   seit   dem  Erscheinen 
.    .■  :,:^  En:>lecknng  der  RCntgen -Strahlen  ist 

»■  •.^:'i,     P->  Beigabe   einer  schönen  Spektral- 

.     V  ■  Mvn    bezeichnet    werden.    —    Aach   diese 

^  ^^  B.  Nebel. 

I  i/rf  P%vik  ■■<!  Mrteorologir.    Nennte  um- 

,-.--■.    Vir'ai:«  Ton  Lbop.  Pfaundler,  nnter  Mit- 

1-  -t     ti  Jr>fi  B&nden.    Mit  gegen  2000  Hol i- 

„    ■  n    t'urbendmck.     Zweiter    Band.     Erste 

,«.■,■>;.     t5n»unschweig  1895.    Druck  uDd  Ver- 

...^   i>"i  ^^■ho.    608  S.    Preis  4.Ö0M. 

»  ,..(iK    bi-itinnt    mit   dem  fttnften    Kapitel, 

.  .    ^Hu^it-tvu  Kapitel  werden  die  ümwandlnngs- 

.^    ,,<st<ii>it-rten    Lichtes    behandelt,    also   die 

._    •^\;-.n:nipbie.     Die  Wellenlehre  des  Lichtes 

.^^  '■'.vit':ii'k   eingeleitet,   worauf  dann  zur 

.      ■.    ^.v.ii'trisi'ben    Optik    fibergegangen    wini. 

,;^-..,.i    ist    wegen    ihrer  Wichtigkeit    iu    der 

.    .»    \n'iT-,-I    gewidmet,    in  welchem    die  b?i 

.     iiul    i!i^  Mittel    in    deren  Hebung   ein- 

k  V'  .>  ii-<s  dieser  Lieferang  bildet  der  An- 


Rezensionen.  87 

fang  des  elften  Kapitels:  Das  Auge  und  die  Gesichtsempfindungen.  —  Die 
Fehler  der  Linsensysteme  wurden  früher  meistens  nur  kurz  erwähnt;  erst 
«lie  allgemeine  Verbreitung  der  Photographie  spornte  die  Optiker  zum  Auf- 
iiaden  der  besten  Linsensysteme  an,  womit  natürlich  eine  eingehende 
Kenntnis  der  Abbildungsfehler  verbunden  war.  Das  Streben,  diese 
schwierigen  Teile  der  Optik  so  deutlich  wie  möglich  darzustellen,  giebt 
sich  schon  in  dem  äusseren  Umstände  zu  erkennen,  dass  in  den  Figuren 
die  roten  und  blauen  Strahlen  farbig  wiedergegeben  sind,  was  von  sehr 
grossem  Wert  ist.   —  Auch  dieser  Teil    des  Werkes  sei  bestens  empfohlen. 

— B.  Nebel. 

Das    Mikroskop    und    seine    Anwendung.      Von    Dippel.      Zweite    um- 
gearbeitete  Auflage.      Zweiter   Teil.      Anwendung  des    Mikroskopes 
auf  die  Histologie   der  Gewächse.     Erste  Abteilung.     Mit  302    ein- 
gedruckten Holzstichen  und   drei   Tafeln   in    Farbendruck.      Braun- 
schweig 1896.     Druck  und  Verlag  von  Friedrich  Vieweg  und   Sohn. 
443  S.     Preis  24  M. 
Seit   dem   Erscheinen    der    früheren    Auflage    ist    die    mikroskopische 
Untersuchung  der  Pflanzen  wesentlich  gesteigert  worden.     Dabei  sind  auch 
die  Methoden   teils  verbessert,   teils   neu  geschaffen  worden.     Dies  gilt  be- 
sonders   von    den    Polarisationserscheinungen.       Der    erste   Abschnitt    des 
Werkes   beschäftigt   sich   ausschliesslich   mit   den  Untersuchungen  über  den 
Bau  der  Zelle,  während  der  zweite  die  Gewebe  der  höheren  Gewächse  zum 
Gegenstand    hat.      Der    dritte    und  vierte   Abschnitt    sind   der  zweiten  Ab- 
teilung des  V^erkes  vorbehalten  und   sollen   die  Untersuchungen   der  vege- 
tativen   Organe   der  höheren    Gewächse   und    die   aus    der   Entwickelungs- 
geschichte   umfassen.     Die  zahlreichen,   zum   Teil   farbigen  Figuren    tragen 
wesentlich   zum   leichteren  Verständnis  bei  und  entheben   den  Verfasser  von 
weitschweifigen    und    sehr    oft   doch    ungenügenden    Beschreibungen.      Das 
Entgegenkommen   hierin  von  Seiten  der  Verlagsbuchhandlung  sei  besonders 
anerkannt.      Bezüglich    der    äusseren    Ausstattung    wäre    die   Wahl    eines 
solchen   Papiers    zu    wünschen,    bei   welchem    die    Rückseite    nicht    durch- 
schlägt.   Wie  unschön  sind  z.  B.  Seite  178,  249,  253  und  andere  mehr!  — 
Von    welcher    Wichtigkeit    die    mikroskopischen    Untersuchungen    der    or- 
ganischen Substanzen,  speziell   auch   die  in  der  Botanik  für  das  praktische 
Leben   sind,    dafür   sprechen   die  durch   das  Mikroskop  in    Kürze   feststell- 
baren Verfälschungen  von  Mehl  und  anderen  Lebensmitteln.     Ein  derartiges 
Handbuch  wird  daher  nicht  nur  dem  Gelehrten,  sondern  auch  dem  gericht- 
lichen Sachverständigen  ein  wichtiges  Werkzeug  sein.  -d   Vl'kft 

Vorlesungen  über  (iastheorie.    Von  Ludwuj  Boltzmaxn.    I.  Teil:  Theorie 

der  Gase  mit  einatomigen  Molekülen,  deren  Dimensionen  gegen  die 

mittlere  Weglänge  verschwinden.    Leipzig  1895.    Verlag  von  Johann 

Ambrosius  Barth  (Arthur  Meiner).     204  S. 

Auch    die  Wissenschaft   hat   ihre    Mode,  und   wer   dieselbe   nicht  mit- 

niacbt,   wird  von  seinen  Fachgenossen   ebenso   beurteilt,   wie  wenn  er  kein 


88  Historisch -litterarißche  Abteilung. 

modernes  Gewand  trägt.  Lächerlich  ist  es,  aber  leider  wahr.  Ver&sser  em- 
pfindet dies  auch  Tind  erläutert  in  seinem  Vorwort,  wie  er  eigentlich  dazu 
kommt,  der  Öflfentlichkeit  ein  Werk  über  Gastheorie  zu  flbergeben.  Dies 
kann  aber  nur  als  ein  Zug  von  Bescheidenheit  angesehen  werden;  denn  der 
Verfasser  gehört  zu  den  Menschen,  die  sich  unabhängig  von  der  Mode 
kleiden  können  und  doch  nicht  unmodern  sind.  Während  die  kinetische 
Gastheorie  von  0.  E.  Meyer  mehr  für  Chemiker  ist,  die  auf  dem  Grenz- 
gebiet zwischen  Physik  und  Chemie  thätig  sind,  so  existieren  doch  nur 
die  Kirch  hoff  sehen  Vorlesungen  über  Wärmetheorie,  denen  die  Gas- 
theorie als  Anhang  folgt.  Angeregt  durch  die  Kirchhoffsche  Gastheorie, 
war  der  Verfasser  bestrebt,  die  vielen  Lücken  darin  auszufüllen  und  die 
Arbeiten  von  Cla.usius  und  Maxwell  im  Zusammenhang  wiederzugeben 
Nach  einer  Einleitung  über  die  mechanische  Analogie  für  das  Verhalten 
der  Gase  und  der  Berechnung  des  Druckes  eines  Gases  werden  im  ersten 
Abschnitt  die  Moleküle  als  elastische  Kugeln  aufgefasst,  wobei  äussere 
Kräfte  und  sichtbare  Massenbewegungen  fehlen.  In  dem  zweiten  Abschnitt 
werden  die  Moleküle  als  Kraftcentra  angesehen  und  äussere  Kräfte  und 
sichtbare  Bewegungen  des  Gases  der  Betrachtung  unterworfen.  Im  dritten 
und  letzten  Abschnitt  wird  der  Nachweis  geliefert,  dass  die  Moleküle  sich 
mit  einer  der  fünften  Potenz  der  Entfernung  verkehrt  proportionalen  Kraft 
abstossen.  Der  zweite  Teil  soll  die  van  der  Wa  als  sehe  Theorie,  die 
(i&na  mit  mehratomigen  Molekülen  und  die  Dissociation  zum  Gegenstand 
haben. B.  NE^EL. 

Ma^nctiNCjie  Kraftfelder.  Die  Erscheinungen  des  Magnetismus,  Elektro- 
magnetismus und  der  Induktion,  dargestellt  auf  Grund  des  Kraft- 
lini (Inbegriffes.  Von  H.  Ehert.  ,  I.  Teil.  Mit  93  Abbildungen  im 
Text  und  auf  zwei  Tafeln.  Leipzig  1896.  Verlag  von  Johann  Am- 
hrosius  Barth.    223  S. 

I)iirch  die  genialen  experimentellen  Untersuchungen  von  Heinrich 
llnriz  wurde  der  Faraday-Maxwellschen  Theorie  über  die  Elektrizität  der 
wirht.i^Mto  Stützpunkt  geliefert,  so  dass  die  früheren  Anschauungen  plötzlich 
v(:rdrilii|.(i  wurden.  Dies  geschah  in  so  unglaublich  kurzer  Zeit,  dass  z.  6. 
(Imj  Kliiktrotcchnik  sofort  mit  den  Kraftlinien  rechnete.  In  der  Phjrsik  wurde 
\h  lUiin  Unterricht  auch  der  Kraftlinienbegriff  eingeführt,  jedoch  bildete  er 
hhi'Ai  niclit  allgemein  die  Basis  für  die  Elektrizitätslehre,  zumal  noch  kein 
I.»;hibii(;h  für  den  ersten  Physikunterricht  an  Hochschulen  existiert«,  in 
r'fdrlMifn  der  ganze  Stoff  vom  Standpunkt  der  Kräftlinientheorie  aus  ein- 
h«:(Uich  zur  Darstellung  gelangte.  Das  vorliegende,  dem  Andenken  von 
fh:  in  rieh  Hertz  gewidmete  Werk  soll  diese  Lücke  ausfüllen.  Zunächst  ist 
i.iji  d«  I  erste  Teil  erschienen,  welcher  einen  mehr  vorbereitenden  Charakter 
t,'.:iUi.  I)ie  neuen  Begriffe  w^erden  an  den  längst  bekannten  Beispielen 
.i  *.  «Icuj  ersten  Physikunterricht  erläutert  und  durch  Einüben  geläufig  ge- 
....}  hl  So  werden  schon  bei  dem  natürlichen  Magnet  das  magnetisch«? 
r.  .nl'UI    und    die    Kraftlinien    eingeführt.      Der    zweite  Teil    soll    die   In- 


Rezensionen.  g9 

doktion  im  weitesten  Sinne  des  Wortes  umfassen.  Dahin  gehören  zunächst 
die  Erscheinungen  der  Induktion  in  qualitativer  und  quantitativer  Hinsicht, 
sodann  diejenigen  der  Selbstinduktion,  der  ein-  und  mehrphasigen  Wechsel- 
ströme und  der  magnetischen  Drehfelder.  Mittels  der  Helmholtzschen 
Cvkeltheorie  sollen  auch  die  Erscheinungen  der  Transformation  der  elektro- 
magnetischen Energie  in  Wärme  und  auch  die  Energieansammlung  bei  un- 
geschlossenen Strömen  behandelt  werden.  Sehr  wichtig  wird  dann  das 
Kapitel  über  Elektrooptik  sein,  in  welchem  neben  den  Leuchterscheinungen 
auch  die  Kathoden-  und  Röntgenstrahlen  ihren  Platz  finden  werden.  Aus 
diesen  kurzen  Andeutungen  folgt  schon,  welche  Fülle  von  Material  unter 
dem  einen  Gesichtspunkt  der  Kraftlinien  behandelt  werden  soll.  —  Es  be- 
darf wohl  kaum  des  Hinweises,  dass  sich  ein  solches  Buch  sehr  rasch  in 
dem  Unterricht  über  Experimentalphysik  einbürgern  wird,  um  die  neue 
Generation  nicht  zu  sehr  mit  dem  leidigen  Übergangsstadium  von  der  alten 
zur  neuen  Theorie  zu  belästigen.  —  Auch  die  äussere  Ausstattung  ent- 
spricht ganz  dem  gediegenen  Inhalt  des  Werkes.  B,  Nebet.. 

PopuIär-wissensehaftliGhe  Vorlesungen.  Von  E.  Mach.  Mit  46  Abbild- 
ungen.   Leipzig  1896.    Verlag  von  Johann  Ambrosius  Barth.     135  S. 

Die  15  populär -wissenschaftlichen  Vorlesungen  sind  zuerst  in  Chicago 
in  englischer  Sprache  erschienen,  verdanken  aber  ihre  Entstehung  nicht, 
wie  dies  so  häufig  der  Fall  ist,  einem  Vortragscyklus  in  einem  kürzeren 
Zeitraum;  ihr  Erscheinen  erstreckt  sich  über  einen  Zeitraum  von  mehr  als 
30  Jahren,  und  schon  daraus  folgt,  dass  sie  vollständig  unabhängig  von 
einander  sind.  Auch  der  Charakter  des  Inhalts  ist  durchaus  verschieden, 
bald  wird  ein  ganz  spezieller  Gegenstand  behandelt,  wie  z.  B.  über  die 
Geschwindigkeit  des  Lichtes,  bald  eine  allgemeine,  das  heutige  Leben  leb- 
haft beschäftigende  Schulfrage,  wie  z.  B.  über  den  relativen  Bildungswert 
der  philologischen  und  der  mathematisch  -  naturwissenschaftlichen  Unter- 
richtsfacher der  höheren  Schulen.  Bei  dieser  unabhängigen  Stoffauswahl 
kann  der  Leser  seinem  Geschmack  folgen  tmd  ist  nicht  genötigt,  schritt- 
weise vorzugehen,  was  gerade  dem  Laien,  der  sich  mehr  belehrend  unter- 
halten will,  nur  zu  schwer  wird.  Alle  aus  dem  Gebiet  der  Naturwissen- 
schaften stammenden  populären  Vorlesungen  begrüssen  wir  mit  besonderer 
Freude;  denn  sie  tragen  dazu  bei,  dem  klassischen  Philologen  seinen  bisher 
dominierenden  Platz  in   der  Schule   auf  das  richtige  Maß   zu  beschränken. 

B.  Nebel. 

(rrnndriss  der  Wärme  für  Studierende  und  Schüler.  Von  B.  T.  Glazebrook. 
Deutsch  herausgegeben  von  Otto  Schönkock.  Mit  88  Figuren  im 
Text  Berlin  1896.  Verlag  von  S.  Calvary  &  Co.  280  S.  Preis 
3.  60  M. 

Das  kleine  Werk  ist  sehr  nett  und  äusserst  praktisch  eingerichtet. 
Hinter  den  mit  Zahlen  versehenen  Abschnitten  ist  in  fettem  Druck  das  den 


gf|  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Inhalt  angebende  Stichwort  gesetzt.  Handelt  es  sich  tun  eine  Definition, 
so  föllt  sie  äoBserlich  schon  durch  den  Druck  in  Kursivschrift  auf.  Durch 
kleinen  Druck  werden  Aufgaben  und  Fehlerquellen  bei  Experimenten  an- 
gedeutet. Dabei  war  der  Verfasser  bestrebt,  so  knapp  und  präzis  wie 
möglich  zu  sein.  Kurz  gesagt,  es  ist  ein  Vademecum  für  den  angehenden 
Physiker,  sei  er  mit  Experimentieren,  sei  er  mit  Examensvorbcreitungen 
beschäftigt.  —    -  -  .   _  g  Nebel. 

Wroiidgesetze   der  Molekularphysik.     Von  Th.  Schwartze.     Mit  25  in 

den  Text  gedruckten  Abbildungen.    Leipzig  1896.    Verlagsbuchhand- 
lung von  J.  J.  Weber.     209  S.     Preis  2  M. 

Durch  die  überraschenden  experimentellen  Ergebnisse  von  Heinrich 
Hertz  machten  sich  die  Faraday-Maxwellschen  Anschauungen  über  die 
elektrischen  Vorgänge  derart  schnell  geltend,  dass  man  zimSchst  noch  in 
Verlegenheit  kam,  da  die  Ausdrucksweise  der  alten  Lehre  mit  derjenigen 
der  neuen  bei  der  Behandlung  der  gesamten  Elektrizitätslehre  in  Kollision 
geriet.  Verfasser  ist  mit  seiner  Lehre  von  der  Elektrizität  und  deren 
praktische  Verwendung  als  ein  Apostel  der  neuen  Lehre  anzusehen,  da  die 
Darstellung  ganz  im  Sinne  Faradays  erfolgte.  —  Der  Umschwung  auf  dem 
Gebiet  der  Elektrizität  und  des  Magnetismus  ist  aber  ein  solch  gewaltiger^ 
daM  auch  die  Mechanik  hiervon  ergriffen  wird.  Längst  hat  man  es  em- 
pfanden, dass  es  mit  dieser  in  dem  bisherigen  Geleise  nicht  weiter  gehen 
kann.  Schon  Lagrange  und  Hamilton  waren  der  Ansicht,,  dass  sich 
die  mechanischen  Grundprinzipien  von  einem  Gesichtspunkt  aus  behandeln 
lassen  müssen.  Verfasser  sucht  dieses  Ziel  dadurch  zu  erreichen,  dass  er 
das  dem  Wechselspiel  von  Wirkung  und  Gegenwirkung  Ausdruck  gebende 
Prinzip  der  Zusammensetzung  der  Kräfte  nach  dem  Parallelogrammgesetz 
zur  Grundlage  der  physikalischen  Mechanik  macht.  Durch  die  Aufstellung: 
einer  allgemeinen,  für  Statik  und  Dynamik  giltigen  Grundformel,  analog 
der  Maxwellschen  elektrodynamischen  Grundgleichung  gelingt  es,  die  ge- 
samte Statik  und  Dynamik  in  eine  systematische  Gestalt  zu  bringen.  — 
Den  Anhang  bildet  eine  auf  neuere  Beobachtungen  gegründete  Farbentheorie, 
die  mit  der  Newtonschen  Hypothese,  dass  weisses  Licht  zugleich  viel- 
farbiges Licht  sei,  im  Widerspruch  steht.  ^   ^ 

Repetitorinm  der  Experimentalphysik  für  Studierende  auf  Hochschuleo. 

Mit  besonderer  Berücksichtigung  der  Bedürfhisse  der  Mediziner  und 
Pharmazeuten.  Von  L.  Weber.  Mit  121  in  den  Text  gedrückten 
Abbildungen.  München  und  Leipzig  1895.  Wissenschaftlicher  Verlag 
von  Dr.  E.  Wolf.     256  S.     Preis  4.  20  M. 

Gewöhnlich  wird  in  den  Vorträgen  über  Experimentalphysik  auf  die 
speziellen  Bedürfhisse  einzelner  Studentenkategorien  keine  Rücksicht  ge- 
nommen, so  dass  namentlich  den  Chemikern,  Medizinern  und  Pharmazeuten 
in  vielen  Teilen  der  Physik  die  Vorträge  allzu  eingehend  erscheinen.  Da- 
durch wird  die  für  das  Examen  zu  treffende  Auswahl  recht  schwer,  zumal 


Rezensionen.  9 1 

die  grösseren  Lehrbücher  zu  viel,  die  kleineren  zu  wenig  bringen.  Ver- 
fasser hat  es  verstanden,  ein  nicht  zu  umfangreiches  Werk  zu  schaffen, 
welches  die  wesentlichen  Grundlagen  der  Experimentalphysik  in  solchem 
Umfang  enthält,  wie  sie  für  ein  erfolgreiches  physikalisches  Praktikum 
speziell  für  Mediziner  und  Pharmazeuten  ausreichen.  Die  in  diesen  Kreisen 
so  häufig  gefürchtete  Mathematik  tritt  völlig  zurück  und  beschränkt  sich 
nur  auf  die  einfachsten  Mittel.  Zur  schnelleren  Orientierung  sind  auf  den 
Rand  die  Stichwörter  gedruckt.  Die  Figuren  sind  nur  schematisch  an- 
gedeutet, setzen  also  die  Bekanntschaft  mit  den  Apparaten  aus  der  Ex- 
perimentalphysik voraus.  —  Sicherlich  wird  dieses  Repetitorium  der  Ex- 
perimentalphysik bei  den  Studenten  sehr  willkommen  geheissen. 

B.  Nebel. 

LVcole   pratiqne   de    physique.     Cours    elementaire   de   manipulations    de 
physique,   a  l'usage   des   candidats   aux   ecoles   et   au  certificat  des 
etudes  physiques  et  naturelles.     Par  Ai3i^  Wrrz.     Deuxieme  edition 
revue  de  augmentee.     Paris  1895.    Gauthier -Villars  et  fils.     218  S. 
Preis  5  Fr. 
Obwohl   der  Charakter  des  Buches  gegenüber  der  ersten  Auflage  sich 
nicht   geändert  hat,  so    hat  es  doch  darin   eine  wesentliche  Änderung    er- 
fahren,   als    es   in    zwei  Bände    geteilt    worden   ist.      Äussere   Bücksichten 
gaben  hierzu  die  Veranlassung.     Der  erste  Band  ist  für  Schulamtskandidaten, 
Mediziner    und  Pharmazeuten    bestimmt,    er   ist    daher    elementar  gehalten. 
Zagleich  dient  er  auch  als  Vorbereitung  für  den  zweiten  Band,  welcher  die 
jungen  Leute   zu  tüchtigen  Physikern  heranziehen   soll,   indem  sie  mit  den 
genauen  Messungen  schwierigerer  Versuche  vertraut  gemacht  werden  sollen. 
Jedem  Abschnitt  geht  ein  theoretischer  Teil  vor,  in  welchem  das  Wichtigste 
zum  Verständnis    der   anzustellenden  Versuche   kurz   zusammengestellt  wird. 
Sodann  folgt  eine  Beschreibung  der  zu  benützenden  Apparate  und  erst  dann 
werden    die    von    dem   Schüler    durchzuftihrenden    praktischen  Übimgen   be- 
sprochen.     Den  Schluss   bildet  jedes  Mal    eine  Zusammenstellung   der  Er- 
gebnisse und  der  daraus  zu  ziehenden  Folgerungen.     Diese  Einteilung  weicht 
wesentlich  von   derjenigen   unserer   deutschen  Bücher  für  das   physikalische 
Praktikum   ab.      Durch  jene  Anordnung  wird  dem  Studierenden  die  ganze 
Arbeit  sehr  erleichtert  und  das  Selbststadium  ermöglicht.  B.  Nekei.. 


Tours    de   physiqne  de  Tecole  polytechniqne  par  J.  Jamin.    Premier 

Supplement    par    Bouty.      Chaleur.    —    Acoustiqae.    —    Optique. 
Paris  1896.     Gauthier -Villars  et  fils.    182  S. 

In  dem  vorliegenden  Ergänzungsband  zu  dem  Jaminschen  Werk 
werden  die  neueren  Fortschritte  der  Physik  in  Bezug  auf  die  Wärme, 
Akustik  und  Optik  behandelt.  Um  aber  das  Ganze  in  zusammenhängender 
Form  darstellen  zu  können,  konnten  nicht  alle  Einzelheiten  bis  in  die 
neueste  Zeit  aufgenommen  werden,  sondern  nur  solche,  welche  seit  einigen 
Jahren  eine  gewisse  Entwicklung  erfahren  haben,  wie  z.  B.  der  osmotische 


m 

92  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Druck  und  dergleichen  mehr.  —  Auf  diese  Weise  werden  auch  die  Besitzer 
der  letzten  Auflage  mit  dem  heutigen  Stand  der  Physik  bekannt  gemacht 

B.  Nebel. 

Die    Erhaltung   der   Arbeit       Von    Richard   Heger.       Hannover   1896. 
Helwingsche  Verlagsbuchhandlung.     305  S.     Preis  8  M. 

In  dem  vorliegenden  Buch  sollen  die  Naturerscheinungen  vom  Stand- 
punkte der  Erhaltung  der  Arbeit  aus  wissenschaftlich  behandelt  werden, 
ein  Streben,  das  schon  sehr  viele  Anhänger  gewonnen  hat.  Wenn  nun  aacb 
dieser  Standpunkt  nicht  allgemein  angenommen  wird,  so  ist  es  doch  ein 
nützliches  Werk,  die  Wichtigkeit  des  Prinzipes  von  der  Erhaltung  der 
Arbeit  an  der  Hand  der  physikalischen  Erscheinungen  nachgewiesen  una 
die  Bedeutung  dieses  Gesetzes  durch  eine  leichtverständliche  Darstelliuic 
den  weitesten  Kreisen  zugänglich  gemacht  zu  haben.  Je  grösser  die  Ver- 
breitung dieses  den  Haushalt  der  Natur  betreffenden  Gesetzes  ist,  um  so 
grösser  ist  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  neue  Gedanken  iind  neue  Gesichts- 
punkte auftreten  zu  der  schnelleren  Klärung  über  die  künftige  Behandlnsg 
der  Physik;  denn  die  sich  mehr  und  mehr  bahnbrechenden  Anschauungen 
in  der  Elektrizitätslehre  erheischen  immer  energischer  eine  baldige  Um- 
gestaltung der  Mechanik  und  daher  der  ganzen  übrigen  Physik.  —  Figoren, 
wie  z  B.  Fig.  58  ohne  weitere  Buchstabenbezeichnung,  sind  für  solche,  dir> 
sioh  erst  belehren  lassen  wollen,  von  geringem  Nutzen.  B.  Nebfx. 


Die  liUftwiderHtands-Gesetze,  der  Fall  darcb  die  Lnft  und  der  Vogfl- 

ÜUfi*  Mathematisch  -  mechanische  Klärung  auf  experimenteller  Grund- 
lage entwickelt  von  Friedrich  Ritter  von  Loessl.  Wien  1896. 
Alfred  Holder.    Ö04  S. 

I  >i(«  Lüfte  zu  durcheilen ,  war  schon  jeher  das  Bestreben  der  Menschen, 

utul  «^N  fehlte  nicht  an  Versuchen,    diesem  Ziel   näher   zu   kommen.     Zwei 

Uiohtuugen  sind  es  hauptsächlich,  welche  eingeschlagen  werden,  einmal  das 

IW^ti^^Ut^n)  den  Luftballon  lenkbar  zu  machen  und  sodann  das  grossartigere 

TivU^^m,  di^n  Vogelflug  nachzuahmen,     um  dieses  Ziel   zu  erreichen,  sied 

AUtW^rkHHine  Naturstudien  erforderlich.    Dazu  gehören  nun  nicht  nur  eifrige 

^\4^^o)U\mgen    des   Vogelfluges,    sondern    auch   eine   eingehende   KenntaL^ 

wa  vlou  lU^s«>tzen  des  Luftwiderstandes,  um  richtige  Konsequenzen  für  den 

vi«v,'H*Wtt  Vogel flug  ziehen  zu  können.     Die  seit  einer  Reihe  von  Jahren 

%»i>;n>ec.v'>avw  Kxperimente  und  teilweise   auch   schon  veröflfentlichten  Besal 

>  ►    >.*!  ^Wv  V«»rfa8ser  in  dem  vorliegenden  Buche   zu   einem  Ganzen   ver- 

\*cWtnu  die  verschiedenen  Ansichten  über  das  Verhalten  der  Lof^ 

..  Wx^t^i?te  Fläche  einander  gegenüber  gestellt  worden  sind,  wird 

K^  h»k'>   Aw*io^t.  des  Verfassers  thatsächliche  Verhalten  der  Luft  hin- 

^   .    d>sN  i?»   «'iner  Lufthügelbildung   bestehen   soll.     Diese   wird  nun 

.^^.•*fe<'*>t    experimentellen   und   rechnerischen  Untersuchung  unter- 

.-.»V».  Äi*  Ergebnisse  erforscht,  wenn  die  Versuchsbedingungen 


*    ^ 


Rezensionen.  93 

entsprechend  geändert  werden.  Dies  führt  schliesslich  zu  dem  Problem  des 
Vogelflnges,  wobei  auch  die  bisherigen  Vorstellungen  über  diesen  nicht 
unerwähnt  bleiben.  Aus  den  speziellen  Betrachtungen  des  Taubenflages 
und  den  rechnerisch  ergründeten  Arbeitsleistungen  glaubt  der  Verfasser  die 
gewonnenen  Resultate  sinngemäss  auf  jede  Vogelgattung  übertragen  zu 
dürfen,  weshalb  von  einer  weiteren  Betrachtung  abgesehen  wird.  Dass  die 
mathematischen  Ergebnisse  nur  Annäherungswerte  sein  können,  dessen 
ist  sich  auch  der  Verfasser  bewusst;  denn  für  eine  durchsichtige  mathe- 
matische Behandlung  müssen  zunächst  die  Bedingungen  so  einfach  wie 
möglich  gewählt  werden.  Daher  sind  die  Probleme  über  den  Stimwider- 
stand  schwach  gebogener  dünner  Flächen,  sowie  der  Widerstand  parallel 
gestellter  Flächen,  insbesondere  der  von  Gittern  und  Sieben  wegen  ihres 
bedeutenden  ümfanges  künftigen  selbständigen  Abhandlungen  vorbehalten 
worden.  B.  Nebel. 

Les  radiations  nonvelles.  Les  rayons  X  et  la  Photographie  ä  travers  les 
Corps  opaques  par  Ch.-Ed.  Guillaume.  Deuxieme  edition.  Paris  1896. 
Gauthier -Villars  et  fils.    144  S.    Preis  3  Frcs. 

Seit  dem  Erscheinen  der  ersten  Auflage  dieses  Buches  ist  in  theo- 
retischer Hinsicht  über  die  Natur  der  X-Strahlen  oder  Röntgen -Strahlen, 
wie  sie  in  Deutschland  nur  noch  bezeidmet  werden,  kein  Fortschritt  zu 
verzeichnen,  der  uns  die  Lösung  für  das  immer  noch  unbekannte  X  ge- 
bracht hätte.  Der  Verfasser  verzichtet  daher,  die  verschiedenen  Vermutungen 
über  das  Wesen  dieses  neuen  Phänomens  in  dieses  Buch  aufzunehmen, 
sondern  begnügt  sich  mit  den  bedeutenden  Ergebnissen  in  praktischer  Hin- 
sicht. Wer  sich  daher  Aufklärung  hierüber  verschaffen  will  und  selbst 
erfolgreiche  Versuche  anzustellen  wünscht,  dem  kann  dieses  Buch  nur  bestens 
empfohlen  sein.  Der  erste  Teil  und  die  beiden  ersten  Kapitel  des  zweiten 
Teiles  betreffen  diejenigen  Kapitel  der  Physik,  welche  zum  Verständnis  der 
Röntgen -Strahlen  erforderlich  sind.  Die  Figuren  einer  Batte,  mit  natür- 
lichen und  Röntgen  -  Strahlen  aufgenommen,  liefern  den  deutlichsten  Beweis 
über  den  Unterschied  dieser  Strahlengattungen.  Die  übrigen  Tafeln  geben 
ausgezeichnete  Röntgen -Photographien  wieder.  B.  Nebel. 


rntersnchnngen   über   die  Qnellnng   der  Starke   von  H.  Rodewald. 

Kiel   und  Leipzig  1896.     Verlag    von  Lipsius   und   Tischer.     87  S. 
Preis  2. 40  M. 

Verfasser  beschäftigt  sich  zanächt  mit  der  Bestimmung  des  Aus- 
dehnungskoeffizienten der  Stärke  und  sodann  eingehend  mit  Wärmemessungen. 
Hier  werden  die  spezifischen  Wärmen  der  trockenen,  gequollenen  Stärke 
und  des  Stärkekleisters  gemessen,  dann  erst  wird  die  Quellungswärme  der 
Stärke  im  Eiskalorimeter  und  bei  Zimmertemperatur  ermittelt.  Der  Be- 
stimmung der  spezifischen  Volumina  der  Stärke  folgt  diejenige  des  Wasser- 
gehaltes der   Stärke   im  Qaellungsmaximum.     Nach   diesen   experimentellen 


Ei:^ton8ch -litterarische  Abteilung. 

,P5^^..._^^^-a    wrrd    in   Kürze    die    mecbaniscbe    Wärmetheorie    aaf  die 

^.      ^  ^^^%'iBnLat«  und  aus  den  zusammengestellten,  auf  experimentellem 

-     '•»r.ir^trnvn.  E^ssultaten  noch  eine  Beibe  von  Grössen  abgeleitet,  unter 

•r-nr    -u-'J    ^**    ^   ^^  Quellung   auftretende  Arbeitsleistung.  —  Durch 

« f  .^^xr^Tfir  iäC  aber  auch  das  Interesse    auf  andere  Gebiete  gelenkt 

'dnzr  <«i  nur  die  Physiologie  bezüglich  der  Muskelthätigkeit. 

B.  Nebel. 

KkeataffU  fBr  Tiefland  und  fBr  grosse  HShen  von 

\         •iu.vv>-     HannOTer   1896.      Helwingsche  Yerlagsbuchhandlnng. 
^^  >     ?r«is  :?  M. 

.^^    ""wla  bilden  die  Ergänzung  der  zweiten  Auflage  der  im  Jahre 

.,    \     -^^  ^oa  J.  B.  Metiler,  Stuttgart,  erschienenen  barometrischei 

-»    -xdca  U^ten  und  Oben,  so    dass   nunmehr   ein   barometrische^ 

«^  ^    -•\r:>ti«rC.    welches    bei    barometrischen    HOheomessungen   in. 

..    \i^:r\«I^birg«,    im   Hochgebirge    und    auf   Ballonfahrten   bis 

."v  'wtttttzt  werden  kann.  —  Sicherlich  wird  auch  diese  Arbei: 

•    'jv^ti^n  Verfassers   in   den  beteiligten  Kreisen    grossen  Ab- 

B.  Nebel. 


,     1.       1 


»     ^  ,  V 


K.  C.     1^  Verfahren  der  Fanktionswiederholnn^,  seiif 
Veransfbanlichnng  nnd  algebraisclie  Anwendnn^. 

-.  X  *^^*'    l^mck  und  Verlag  von  B.  6.  Teobner.     113  S. 

^^^.vv*:t:e   I\inktion8wiederholung   oder  Iteration ,    welche   darin 
vj^    «lATt  auf  eine  'Grösse  Zq   die   Operation  f  wiederholt    ausüht, 

;.    weiter  ^^  -  fi^i) -- flfi^o)]  -  fii^o)   ^üdet   u.  s.  f.  bi. 

V.    n; obt    neu.      Verfasser    selbst    weist    auf    Archimedes. 

V  ..vx,  vJiXuther,  E.  Hoffmann,  Netto  hin,  Namen,  welchen 

^..    -Kvh    Stern,    Schlömilch,    Schröder,    Schapira    und 

.    s»*;t^tu^t  werden  können. 

^^     avr    Anwendung    iterierter    Funktionen    auf   Algebra    ha* 

vvvU  \.^Uttther   in  der  mathematisch -naturwissenschaftliche!: 

^^  \  tsiuuiulung    deutscher   Philologen    und    Schulm&nner  :<s 

V  -ii^^  'U  Fluss  gebracht.      Man   vergleiche  J.  C.  V.  Hoffmaiui> 

x-.>s»  5^68:    „Eine    didaktisch    wichtige    AuflösuiiL* 

*     .chvingen^S     Denn    der    Gflnth ersehen  Fragestellnnf: 

.s  «.«cvvltkeu  Hände  dieser  Zeitschrift  eine  entsprechende  Ab- 

X.  \,4cwen,    sodann   eine  verwandte  Arbeit   von  E.  Hoff- 

.      X   M»th.,  66.  Teil,  S.  33  (1881).      Etwas    später    er 

v\.  iJ'uukjon    von    Netto    im  29.  Bd.    der   Math.  Annalen 

,cv   uud    an    diese  anschliessend    eine  Arbeit  von  Isen- 

..     IUI  31,  S.  309  (1888),   welche    als   der  Vorläufer 

,«   Huohes  bezeichnet  werden  kann. 

V  boiten    fehlt,    von    einigen    sehr    unbestimmt    ge- 

ibgciehen,    die    geometrische    Deutung    des    ana 


r 

Rezensionen.  95 

tischen  Vorganges  bei  dem  Iterationsprozess,  und  diese  Lücke  soll  nun 
I  wesentlichen  durch  das  uns  vorliegende  Buch  ausgefüllt  werden. 

Der  Verfasser   zerfällt   eine    Gleichung   F(x)=^0    in  f{x)^g(x)   und 

Ürachtet   die  Kurven  y^=^f(x)  und  y^^gix).     Von  der  einen  Kurve  nach 

or   anderen  schlägt  er  sodann  eine  „Brücke",    d.h.  er  fügt  eine  die  ge- 

innten   Kurven    schneidende   Kurve    y=='k{x)    hinzu    und   sucht   mittelst 

icher     sich     aneinander    schliessender    Brücken     den     Schnittpunkt     der 

sten    beiden    Kurven,  zu    erreichen.      Die   Abscisse    jenes  Schnittpunktes 

3mmt   dann   offenbar  mit  einer  reellen  Wurzel  der   vorgelegten  Gleichung 

berein.     Die   aufeinander  folgenden  Brücken  bilden,  wie  leicht  ersichtlich, 

nach    der    Neigung     der    Kurven    gegen     die    X'Axe\    entweder   einen 

reppenartigen  „Brückenzickzack",  kurz  eine  „Treppe^'  oder  auch  eine 

eckige  Spirale",   ein  Ausdruck,   welcher   allerdings    an  „eckiger  Kreis'^ 

.  dergl.  erinnert.  —  Nach  Einführung  dieser  allgemeinen  Begriffe  wird  die 

lurve    y^h^x)    spezialisiert,    genauer   gesprochen:     es    werden    die    auf- 

inander    folgenden   Brücken    durch   Strecken    ersetzt,    welche    abwechselnd 

arallel    den    Koordinatenaxen    verlaufen;     es     entsteht    so    zwischen    den 

kurven  ein  geradliniger,  gebrochener  Zug.     Aber  auch  die  Kurve  lß  =  g(x) 

nrd  spezialisiert;  an  ihrer  Stelle  wird  einfach  die  Gerade  y=^x  eingeführt. 

>ie8e   Gerade   nennt  Verfasser  „Würze laxe",   und  er   legt  ihr    eine  prin- 

ipielle  Bedeutung   bei,    welche   sie  indessen   keineswegs  besitzt.     Gerade 

ladurch,    dass    er  jene    Axe   auswählt   und   y  =  x   kh.   Stelle    einer   noch 

fassend   auszusuchenden,   leicht  umkehrbaren   Funktion  ^ « ^(2:)   setzt,   be- 

aubt  er  sich  der  Bewegungsfreiheit  und  gestaltet  die  geometrischen  Bilder 

m  nötig  verwickelt. 

Bei  der  Neuheit  und  Wichtigkeit  des  Gegenstandes  halten  wir  uns  für 
erpfliehtet,  diesen  genauer  darzulegen. 

Nehmen  wir  die  kubische  Gleichung: 

«0  +  flfi  X  +  a*  =  0, 
reiche  Verfasser  auf  Seite  61  behandelt.     £r  bildet: 

1)  ^^^'sAJ^^tX^), 

2)  X  ^  /—  ÖQ  —  f/j  X  =  v{x) 

nd  legt  somit  die  Gerade  y^x  fest,  während  die  kubischen  Parabeln: 


y  ==  —  -iL     •    ,     resp.     x=y  -  a^-  a^  // 

lit  wechselnden  Werten  der  Parameter  a^  und  a,  in  veränderlicher  Ge- 
talt  und  Lage  die  Ebene  durchsetzen.  Man  vergl.  die  Figuren  52—55, 
on  denen  die  erste,  welche  sich  auf  eine  quadratische  Gleichung  bezieht, 
icht  weniger  als  sechzehn  verschiedene  Parabeln  aufweist. 

Bringt  man  dagegen  die  vorgelegte  Gleichung  auf  die  Form: 

X*  T  «  —  c  «  0, 

ras  mittelst  einer  einfachen  Substitution  immer  möglich  ist,  und  spaltet  sie 
a  i/«x'  und  »/  =  c±a:,    so   hat   man    eine   feste    kubische  Parabel   von 


j 


Historisch -litt«rari« che  Abteilung. 

y  <^t&lt,  während  das  wechselnde  Element  in  tht 
■d«  t^i'  —  x  hesteht,  welche  fllr  TerscMedene  Wert 
si'jh    Mlbst   tn  verschieben    ist  —  Dieselbe  Bemerbu 

r     Iricliiuigeii  Oberhaupt,  denn  die  Qleichaiig 
S-  +  ar"       c  —  0 

-  ^s:  ^  "^  1  verwandelt  werden,  nur  ist  daon  n  als  .'- 
.  «M  EBneriei  Stöning  in  dem  Jterationsprozess  herU 

-  v^-er  eiac  hiqoadratische  Oleichong  der  Form 

t'-mj^-ßx  —  y  —  O. 
■_  ^  k^'?  mSasten  wir  dieselbe  etwa  spalten  in  y  —  tui 

'-'.    «sp.    2)     x^y~±y'^  +  ß!,  +  y,      I 

;-     *:::t!B  lileicbongen  als  Karren  vierter  Ordnr.- 

.=-=  Kjcr-tanten  a,  ß,  y  nicht  nur  ihre  Lage,  soii<i^i 

-  j=-.-;5.  —  Veraicbten    wir   dagegen  aaf  die  Wnr:-- 

.  ...    -~..r-a    die  vorgelegte  Gleichung  so,  dass  sie  dwi 

_  _   ■    ,         I  —  ,•*    nnd  ^*  =  ii  +  i    ersetzt    werden    ku:- 

__     -  r-*^--.:  ie  Vereinfachung.     Die   hier  aaftretsni'i 

-  ■    -r^r  und  kongruent,  denn  sie  besitzen d«: 

^      w  .-.x.:-td>'Q    sich    nnr    durch    ihre     Lage.     Iri 

.  .  uikehrhar  nnd  liefern  daher  folgende  «t 


6+V«  +  - 


r- 


t  j-,-.  n  der   biquadratiscben  Oleichong  ~- 
.  .     ^  iii^rkiingen   gelten  fUr  quadrinomix't 

huudl.,        "^^ 

svhiVT\' I  ^1    j-^wisse  merkwürdige  und  einfaoh- 

','*'•''  ^    uuss  er  die  Beschränkung,  welche  h 

'*'""'  .,    .OB    Tomherein   fallen    lassen.     M: 

*'''-"''"■    I''  i;^  „Oktanten"    aas,    deren    er  ti> 

,        r    iOtff   die    Funktion  9  ^  g  {^)  «■ 

''''"'""  ..,  iis    eb«    auf  Kosten    der  andenr 


Rezensionen.  97 

=  /'(x),  welche  unnötig  kompliziert  wird,  sodass  sie  sich  schwer  oder 
umicht  invertieren  lässt.  Nun  braucht  zwar  die  Umkehrbarkeit  von  f  {x) 
[cht  unbedingt  gefordert  zu  werden,  wenn  man  eine  Iterationsmethode 
ie  etwa  die  Newton  sehe  in  Anwendung  bringt;  aber  dann  bewegt  man 
fih  in  ausge&hrenen  Gleisen. 

Und  weiter:  Die  iterierten  Funktionen  sind  geeignet  in  der  an- 
ewandten  Mathematik  eine  hervorragende  Bolle  zu  spielen.  Dort  kommt 
i  darauf  an,  möglichst  schnell  die  definitiven  numerischen  Lösungen  zu 
rlialten,  und  man  wird  deswegen  die  Iteration  mit  einem  recht  günstigen 
jifangswert  beginnen  wollen.  Solche  Anfang^werte  können  aber  auf  geo- 
letrischen  Wege  sehr  leicht  gefunden  werden;  wir  wollen  das  durch  ein 
Beispiel  klar  machen. 

um  eine  beliebig  vorgelegte  biquadratische  Oleichung  zu  lösen,  bringe 
Dan  sie  zunächst  auf  die  Form: 

ras,  wie  bemerkt,  durch  einfache  Substitution  stets  möglich  ist.  Nun  kon- 
itrmere  man  sich  ein  für  alle  Mal  auf  eine  durchscheinende  Tafel  (Fliess- 
)apier)  die  Parabel  v  »  u^  in  zwei  Exemplaren  und  bringe  dieselben  durch 
aufeinanderlegen  zu  Schnitt  nach  Maßgabe  der  beiden  Gleichungen 

x^=  a  +  y    und    y*  =  6  +  ^. 

Die  Abscissen  der  unmittelbar  erkennbaren  Schnittpunkte  sind  selbst- 
rerstandlich  angenäherte  Lösungen  der  oben  angeschriebenen  Gleichung  vierten 
Srades,  und  die  nun  vorzunehmende  Iteration  führt  von  diesen  günstig  ge- 
vrählten  Anfangslösungen  zu  solchen  mit  beliebig  grosser  Genauigkeit. 
Sobald  also  die  Eonstanten  der  Gleichungen  derartig  reduziert  werden,  dass 
sie  keinen  Einfluss  mehr  auf  die  Gestalt  der  Kurven  haben,  reicht  ein 
fertiges  Eurvenpaar,  ein  in  allen  Fällen  brauchbarer  mechanischer  Apparat 
zu  einer  angenäherten  Bestimmung  der  Wurzeln  aus;  andernfalls  müsste 
man  die  Eurven  für  jedes  Beispiel  besonders  zeichnen. 

Auf  eine  solche  Reduktion  geht  aber  Herr  Isenkrahe  nicht  ein, 
er  würde  sie  bei  quadrinomischen  Gleichungen  auch  gar  nicht  mehr  erzwingen 
können ,  weil  er  durch  die  einseitige  Entlastung  der  Eurvengleichung 

^b.  durch  ihre  Verwandlung  in  y  =  «,  die  andere  Gleichung  y  =«  f(x)  mit 
Konstanten  überlastet.  Aber  abgesehen  von  allen  Spezialitäten  muss  ganz 
allgemein  folgendes  konstatiert  werden.  Das  gewöhnliche  rechtwinklige 
Koordinatensystem  mit  seinen  zwei  Axen  und  vier  Quadranten  reicht 
^  geometrischen  Interpretation  der  analytischen  Vorgänge  bei  der  Iteration 
völlig  aus  und  ist  zugleich  das  zweckmässigste.  unter  umständen 
™n  es  bequem  sein,  die  auftretenden  Gleichungen  auch  in  Polarkoordinaten 
2u  deuten,  und  dann  treten  an  Stelle  der  horizontalen  Brücken  einfach 
Kreisbögen. 

I^otz  all'  der  Einwände,  die  wir  gemacht,  möchten  wir  die  Schrift 
^^  Herrn  Isenkrahe  doch  zur  Lektüre  empfehlen,  denn  sie  ist  die  einzige 

B^'Utt  AM.  d.  Zaitoohr.  f.  Math.  u.  Phys.  43.  Jahrg.  1898.  S.  Haft  8 


Algol 
durch 
dieser 
seiner 
fach  (!'. 


^n     ^i*Fczim    lüMzjaasatanit  und   zwei  noch 

Ellistration  der  Iteratio 
teilt    mir   Herr  Mehm 
ober  Zahlentheorie  [ 
numeriflclie  Gleichung 
seh  schneidenden  Kurven  t 
der  geometrische  Teil 
«^  Caterscheidimgen   fehlen  ga 
::iar:>  md  die  Untersachung  kia 


«    imcBs  er  es  auch  an  dieser  Steü< 

loi  A-'^enBT   sa  sprechen  kommen,   welm 

•^     lifc-  «esEt  imdtt  sich  in  dieser  Zeitschrr^ 
^    --rTü^  i-:ül— 554    eine    umfängliche   gf'^ 

I^  andere  wurde  im  Jonn^. 


-r — :iru!   jinbEnert   imd    fährt    den   T>. 

_     ..  ^  nnc  Aidi&sang  der  Gleichungen  tu 

Litieist  goniometrischer  und  hjjt: 

wz^  man  manche  der  Gesieb> 

."   — T--     Hfireais  vorfinden.     Ich  fOhrte  ä- 

r-         i.  .  x.:*^  «in  und  sprach  von  Anlauf-:- 

.-  -rrr-r**    czrergent    und    indifferent  ,- 

—    .-'1  iriie  benutzt  für  die  gleicL-: 

.  -     -zzn.::^  ^^rückenzicksack,  Trepp?. 

^-      --"ttik^rr  iifi  Ausarbeitung  seiner  seh-: 

^_-*.t    ne    neueste     mathematis^b 

r  •;.c<tas    meine    umfangreichen    ei: 

X..  ?<.  baeb  mir  nichts  anderes  übrig. 

•  ■  *  ""^^  Dr.  Heth AKK. 

.  .  -T^-^rxfl«^  luidwSrterbnch  zur  Geschicbt^ 

^  *.     ■■     -viÄ^tifad  Nach  Weisungen  über  Lebens 

^    ^tt   jladLeiiiatikem,  Astronomen,  Pt; 

^.^  ^-.i^   Tvologeuy  Geographen  u.s.w.  alle: 

w<  ^^.^     ^^  Jähre  1858  bis  1883  umfassend. 

■ 

Dil •  ■• .  i  tfis&£N  und  Prol Dr.  A.  J  y.Oettuht^ 

(ib  1  .     ^       .wa  Aoibroaius  Barth.    15  LieferoDg^n 


It.  Hist-litter.  Abtlg.  S.  181  bü 
^.^  .  X  ^^  ttjdgst  klassisch  gewordener 
.•^..;'-  a4b«iif  sind  in  ununterbrochene] 
>^  .1^  tiKH.  und  hat  mit  der  15.  Lieferung 
.  .«a.  >)  ist  das  vorausgeschickte  Pro 
«^  **j    ^unien,    das   deutlichste  Zeichen 


Rezensionen.  99 

nvie  umfassend  die  Vorbereitang  des  Bandes  gewesen  ist.  Ein  solches  Werk 
liest  man  nicht,  man  benntzt  es,  and  während  des  Benntzens  kann  man 
sich  erst  von  der  Zuverlässigkeit  und  Vollständigkeit  überzeugen.  Wir  sind 
daher  heute  nur  in  der  Lage,  die  Vollendung  des  Bandes  zu  melden  und 
die  Erklärung  hinzuzuftlgen,  dass  mehrfache  Stichproben  uns  mit  grosser 
Befiriedigung  erfCQlt  haben.  p  \ 


Das  Delische  Problem  von  Prof.  Ambros  Sturm  (Schluss).    Programm  des 
E.  E.  Gymnasiums  Seitenstetten  1897.    42  S. 

Mit  der  dritten  Programmabhandlung  hat  Herr  Sturm  seine  Unter- 
suchungen über  die  Geschichte  des  Delischen  Problems  abgeschlossen, 
welche  bei  fortlaufender  Seitenzählung  von  1  bis  zu  140  sich  leicht  zu 
einem  kleinen  Bändchen  vereinigen  lassen.  Mit  freudiger  Überraschung 
hatten  wir  unsere  Leser  auf  manches  Neue  hinweisen  können,  welches  der 
Verfasser  auf  dem  Felde,  welches  für  längst  abgegrast  galt,  zu  finden 
und  in  den  beiden  ersten  Abhandlungen  mitzuteilen  wusste.  Einige  Nach- 
träge sind  auch  in  der  dritten  Abhandlung  vorhanden,  zu  welchen  ein  den 
meisten,  wenn  nicht  allen  Mathematikern  unbekannt  gebliebener  Aufsatz 
von  ü.  von  Wilamowitz-Moellendorff,  ein  Weihgeschenk  des  Eratosthenes 
(Nachrichten  der  königl.  Gesellsch.  der  Wissenschaften  zu  Göttingen.  Phil.- 
hist  Elasse  1894.  Göttingen  1895)  Veranlassung  bot.  Schade,  dass  Herr 
Sturm  sein  Programm  erscheinen  lassen  musste,  bevor  im  4.  Hefte  1897 
dieser  Zeitschrift  Herons  Eubikwurzelausziehung  durch  Maximilian  Curtze  be- 
kannt gemacht  worden  ist.  Sein  Scharfsinn  hätte  sich  an  dem  Bätsei  des 
Heronischen  Verfahrens  erproben  können.  Den  Hauptinhalt  der  dritten 
Abhandlung  bildet  die  Geschichte  des  Delischen  Problems  in  Indien  und 
dem  fernen  Osten,  bei  den  Arabern  und  in  Europa  seit  der  Zeit  des 
Wiederaufblühens  der  Mathematik.  Zu  den  Völkern  des  fernen  Ostens, 
von  deren  erfolgreicher  Beschäftigung  mit  mathematischen  Aufgaben  die 
allerletzten  Jahre  uns  Eenntnis  verschafft  haben,  gehören  die  Japaner,  und 
Herr  Sturm  hat  sich  diese  Vermehrung  unseres  Wissens  nicht  entgehen 
lassen.  Von  europäischen  Arbeiten  hat  er  solche  des  durch  seine  Bezieh- 
ungen zu  Galilei  bekannten  Paters  Grienberger  der  Vergessenheit  entrissen. 
Dieselben  finden  sich  in  einer  Schrift  über  den  Salomonischen  Tempel  von 
Js.  B.  Villalpandus,  einem  Ordensgenossen  Grienbergers.  Cantor 


8 


Bibliographie 

vom  14.  April  bis  9.  Juni  1898. 


Periodisohe  Schriften. 

Arbeiten,  die  astronomisch -geodätischen,  des  kaiserl.  und  kOnigl.  milit&r- 
geographischen  Institutes  in  Wien.  Publikation  ftlr  die  internationale 
Erdmessung.     7.,  10.  und  11.  Bd.    Wien,  Lechner. 

7.  Das  Präzisions -Nivellement  in  der  österreichisch -ungarischen 
Monarchie.  1.  Theoretische  Grundlagen  und  AusfÜhrnngs- 
bestimmungen.  M.  10. 

10.  Dasselbe.     3.  Nordöstlicher  Teil.  M.  10. 

11.  Astronomische  Arbeiten.     3.  Längenunterschiedmessungen.    Pol- 
höhen  und  Azimut -Bestimmungen.  M.  16. 

Berichte  über  die  Verhandlungen  der  königl.  sächs.  Gesellschaft  der  Wissec- 
schaften  zu  Leipzig.  Mathem.-physik.  Klasse.  1897.  Y  u.  YL  Leipzig. 
B.  6.  Teubner.  M.  3 

Fortschritte,  die,  der  Physik  im  Jahre  1892.  48.  Jahrg.  2.Abtlg.  Physik 
des  Äthers.  Redigiert  von  Bich.  Börnsteim.  Braunschweig,  Yieweg 
und  Sohn.  M.30. 

Fortschritte  der  Physik,  herausgegeben  von  der  physikaL  Gesellschaft  in 
lierlin.  Namenregister  n.  einem  Sach- Ergänzungsregister  zu  Bd.  21  bis 
43  (1865—1887).  Bearbeitet  von  B.  Schwalbe.  2.  Hälfte.  Berlii], 
Reimer.  M.  24. 

Jahrbuch  des  königl.  sächs.  meteorologischen  Institutes.  1896.  Zugleidi 
deutsches  meteorologisches  Jahrbuch  für  1896.  Beobachtungssystem 
des  Königreichs  Sachsen.  Herausgegeben  vom  Dir.  Paul  Schreiber. 
(/hemnitz,  Bülz.  14.  Jahrg.  2.  Abtlg.  Ergebnisse  der  meteorologischen 
Beobachtungen  an  der  Station  erster  Ordnung  Chemnitz  im  Jahre  1896. 

M.  0. 

hiihritH.en  der  Gesellschaft  zur  Beförderung  der  gesamten  Naturwissenschaften 
zu  Marburg.  XTIT.  Stein,  Jos.,  Die  Begenverhältnisse  von  Marburg 
auf  Grund  30jähriger  Beobachtungen  an  der  meteorologischen  Station 
daselbst.    Marburg,  Elwert.  M.2.8(l 

Hit  Zungsberichte    der   königl.  böhmischen    Gesellschaft   der  Wissenschaften. 

V 

Mal hem.-naturw. Klasse.  Jahrgang  1897.  2B3nde.  Prag,  Bivnac.    M.  12. 

VürUandlungen  der  Gesellschaft  deutscher  Naturforscher  und  Ärzte.    69.  Yer- 

Sammlung  zu  Braunschweig  1897.  1 .  Naturwissenschaftliche  Abteilongen. 

Leipzig,  Yogel.  M.  5. 


Bibliographie.  101 

Veröffentlichungen  des  königl.  prenss.  meteorologischen  Instituts.  Ergebnisse 
der  Gewitterbeobachtungen  in  den  Jahren  1895  und  1896.  Berlin, 
Asher  &  Co.  M.3. 

Ergebnisse  der  meteorolog.  Beobachtungen  in  Potsdam  im  Jahre  1896. 

Ebenda.  M.  9. 

Zeitschrift  fOr  komprimierte  und  flüssige  Gase.  Herausgegeben  von  M.  Alt- 
schul. 2.  Jahrgang.  Aprü  1898  bis  März  1899.  12  Hefte.  Weimar, 
Steinert.  Halbjährlich  M.8. 

GhBsohiohte  der  Mathematik  und  Physik. 
C AKTOR,  MoR.,  Vorlesungen  über  Geschichte  der  Mathematik.  3.(Schlu8S-)Bd. 

S.Abtlg.   Die  Zeit  von  1727  bis  1758.   Leipzig,  B.G.Teubner.    M.  12. 
Häbleb,   Thdr.,  Über  zwei  Stellen  in  Piatons  Timäus  und  im  Hauptwerke 

von  Coppemicus.    Programm.    Grimma,  Gensei.  M.  1. 

Beine  Mathematik. 

Baer,  EIarl,  Die  Eugelfunktion  als  Lösung  einer  Differenzengleichung. 
Programm.     Berlin,  Meyer  &  Müller.  M.  1. 50. 

Guthjahr,  WiLH.,  Die  Diakaustik  des  Kreises.     Berlin,  Gärtner.  M.  1. 

Kiepert,  Lubw.,  Grundr.  d.  Differential  -  u.  Litegralrechn.  1 .  T.  Differentialrechn. 
8.Aufl.  d.gleichn.Leitf.y.wl.Dr.M.STEGBMANN.  Hannover, Hell wing.  M.12. 

Klug,  Leop.,  Die  Konfiguration  des  Pascalschen  Sechseckes  im  allgemeinen 
und  in  vier  speziellen  Fällen.     Wien,  Eisenstein.  M.  3. 

Salmon,  George,  Analyt.  Geometrie  d.  Raumes.  Deutsch  v.Wilh. Fiedler.  l.T. 
Die £lem.u.d. Theoried. Flächen 2. Grad.  4. Aufl.  Leipz., B.G.Teubner.  M.8. 

Schimpf,  Ernst,  Zur  Definition  der  Konvergenz  der  unendlichen  Reihen  und 
der  unendlichen  Produkte.    Programm.    Berlin,  Meyer  &  Müller.    M.  1. 

Tbokae,  J.,  Elementare  Theorie  der  analytischen  Funktionen  einer  kom- 
plexen Veränderlichen.    2.  Aufl.    Halle,  Nebert.  M.  9. 

Angewandte  Mathematik. 

Bach,  C,  Elastizität  und  Festigkeit.    3.  Aufl.    Berlin,  Springer,     geb. M.  16. 

Diesterwegs  populäre  Himmelskunde  u.  Mathem.  Geographie.  Neu  bearb.  v. 
M.W.  Meyer  unt.  Mitwirk.  v.  B.  Schwalbe.  19. Aufl.  Hamburg,  Grand.  M  7. 

Fuhrmann,  Arwed,  Anwend.  der  Infinitesimalrechn.  in  d.  Naturw.,  im  Hochbau 
und  in  d.  Technik.  Lehrb.  u.  Aufgabensamml.  d.Teil.  Bauwissenscbaft.  An- 
wendungen d. Differentialrechnung.  I.Hälfte.  Berlin,  Ernst  &  Sohn.  M.  5. 50. 

FuLST,  Otto,  Azimutiafel.  Tafel  z.  Bestimmung  d.  Azimuts  aus  Breite,  Abweich, 
u.  Stundenwinkel.   Bremen ,  Heinsius  Nachf.    In  Wachstuch  kart.  M.  2. 20. 

GLiNZ£R,E.,Grundrissd.  Festigkeitslehre.  2.  Aufl.  Dresden,  Kühtmann.  M.  2. 80. 

Heun,  Karl,  Die  Vektoren  der  Geschwindigkeit  und  der  Beschleunigung  des 
Punktes  und  der  geraden  Linie.    Programm.     Berlin,  Gärtner.        M.  1. 

Johnson,  A.  C,  Zur  Bestimmung  der  Breite  und  Länge  bei  bewölktem  Himmel 
und  zu  anderen  Zeiten.  Eingeführt  bei  der  königl.  grossbrit.  Marine.  Übers, 
von  Thdr.  LüNiNG.     Berlin,  Mittler  &  Sohn.  M.  — .  50. 


102  Historisch -litterarische  Abteilung.    Bibliographie. 

Kants  allgem.  Natnrgesch.  u.  Theorie  des  Himmels,  oder  Versuch  von  der  Ver- 
fassung a.d.mechan.ür6prange  d.  ganzen  Weltgeb&udes  nach  Newtonschen 
Grunds,  abgeh.  1755.  Herausg.YonA.J.v.O£TTiNG£N.  (Ostw.  Kla88.Nr.l2. 
neue  Aufl.).    Leipzig,  Engelmann.  M.  2.40. 

Landestriangulation,  die  königl.  preuss.  Abrisse,  Koordinaten  und  Höhen  samtl. 
von  d.  trigonometrischen  Abteilung  d.  Landesaufiaahme  bestimmtenPonkt«. 
14.  Tl.  Begierungsbezirk  Magdeburg.  Berlin,  Mittler  &  Sohn.     kart.  H.  10. 

Nernst,  W.,  u.  Schönflies,  A.,  Einführung  in  die  mathem.  Behandlung  d.Natnr- 
wissensch.  Kurzgefasstes  Lehrbuch  der  Differential  -  und  Litegralrechn.  m. 
bes.  Berücksichtigung  der  Chemie,     2.  Aufl.    München,  Wolff.       M.9. 

Nivellementsergebnisse,  die,  d.  trigonom.  Abtlg.  der  königl.  preuss.  Landesanfia. 
7.  Prov.  Brandenburg.  10.  Prov.Westfalen.  1 1.  Pro v.  Hessen -Nassau  u.A 
Grossherzogt.  Hessen  1 2.  Bheinprovinz.   Berlin ,  Mittler  &  Sohn.      a  M.  1. 

BiEM,  J.,  Nettorechnungen  auf  Grundl.  d.v.  Dr.  Zillmer  ausgeglichenen  Sterbe- 
tafel der  23  deutschen  Lebensversicherungs- Gesellschaften  f.  normal  Ter- 
sicherte  Männer  und  Frauen  mit  vollständiger  ärztlicher  Untersuchung,  £a 
S%  gerechnet  und  kontrolliert.     Basel,  Lendorff.  geb.M.3.32. 

Schubert,  Herh.,  Mathem.  Mußestunden.  Eine  Sammlung  von  Geduldspieleo. 
Kunststücken  u.  ünterhaltungsaufg.  math.  Natur.  Leipzig,  Göschen.   M.o. 

Weisstein,  Jos.,  Die  rationelle  Mechanik.  1.  Bd.  Statik.  Dynamik  des 
Punktes.     Wien,  Braumüller.  M.  10. 

Physik  und  Meteorologie. 

Bendt,  Frz.,  Techn.  Aufsätze  IL   Die  Hertzschen  Versuche.    Teslas Versuche. 

Schwachstrom  u.  Starkstrom.  Die  Ozeantelegraph.  Die  Herstellung  d.  elektr. 

Glühlampe  (MeyersVolksb.  Nr.  1191).  Leipzig,  Bibliogr. Institut.  M.— .10. 
Bott,  Paul,  Graph.  Darstell,  elektr. Wechselströme.  Progr.  Berlin, Gärtner.  M.  L 
Blümel,  Ant.,  Über  elektr.  Entladungsfiguren  auf  photogr.  Platten.    Progr. 

Berlin,  Gärtner.  M.  1. 

Grätz,  L.,  Die  Elektrizität  u.  ihre  An wend.  7.  Aufl.  Stuttg.,  Engelhom.  geb.M.8. 
Hiller,  Jul.,   Physikalische  Übungen   und  Aufgaben  im  Anschluss  an  den 

Unterricht.     Berlin,  Gärtner.  M.  1. 

Kerber,  Arth.,  Beiträge  zur  Dioptrik.  4.  Heft,    Leipzig,  Fock.  M.  —.50. 

Kerntler,  Frz.,  Die  Möglichk.  einer  experim.  Entscheidung  zwischen  den  Ter- 

schiedenen  elektrodyn.  Grundges.  Nachtr.  zu  der  Abhandig.:  Die  elektrodyn. 

Grundgesetze  u.d.eigentl. Elementargesetz.  Budapest,  Selbstverl.  M.— .50. 
Neumann,  £[arl.  Die  elektr.  Kräfte.   Darlegung  u.  genauere  Betrachtung  d.  tod 

hervorragenden  Physikern  entwickelten  math.  Theorien.    2.  (Schluss-)Tl 

Leipzig,  B.  G.  Teubner.  M.  14. 

Zenger,  K.  W.,  Die  Meteorologie  der  Sonne  u.  das  Wetter  im  Jahre  1888,  zugl. 

Wetterprognose  für  das  Jahr  1898.    Prag,  Bivnac.  M.2. 

ZuLKOwsKi,  Karl,   Zur  Erhärtungstheorie   des  natürlichen  und  künstlichen 

hydraulischen  Kalkes.    Berlin,  Gärtner.  M.  1.20. 


Mathematisches  Abhandlnngsregister. 


1897. 

Erste  Hälfte:  1.  Januar  bis  30.  Juni. 


A. 

AbelBohe  Tranfloendenten. 

1.  Sur  les  fonctions  ab^Iiennes.    H.  Poincarä.     Compt.  Rend. XXIV,  1407. 

2.  Sur    une   classe   de   fonctions  hyperab^liennes.     H.  Bourget.     Compt.  Rend. 

CXXIV,  1428. 

3.  Snr    les   fonctions  nniformes   quadroplement  p^riodiqnes   de  deuz  variables. 

fi  m.  P  i  c  a  r  d.     Compt.  Rend.  CXXIV,  1490. 

4.  Zur   Reduktion  Abelscher  Integrale   auf  elliptische.     0.  Biermann.     Wien. 

Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  CV,  924. 

5.  Sulla  ricerca  del  secondo  termine  dello  sviluppo  in  serie  delle  funzioni  sigma 

abeliane  pari  di  genere  tre.  Em.  Pascal.  Annali  mat.  Ser.  2,XXrV,  193. 

AbBolute  Qeometrie. 

6.  Sur  une  m^thode  ^l^mentaire  d'exposition  des  principes  de  la  gäom^trie  non 

Euclidienne.    P.  Mansion.    Mathesis,  S^r.  2,  VlI,  112,  134,  158. 

7.  Identit^   des   plans   de   Riemann    et   des   spb^res  d'Euclide.     G.  Lechalas. 

Mathesis,  S^r.  2,  VU,  Supplement. 

8.  Sur  la  non-identite  du  plan  Riemannien  et  de  la  sph^re  Euclidienne.  P. Mansion. 

Mathesis,  Sdr.  2,  VII,  Supplement. 

9.  Relations   entre  les   distances   de  6  et  de  6  points  en  g^ometrie  Euclidienne 

et  en  gäometrie  non -Euclidienne.    P.  Mansion.     Mathesis,  S^r.  2,  VII, 
Supplement. 

10.  Theor^mes  fondamentauz  de  la  geom^trie  sph^rique.  V.  Sikstel.  Grün.  Archiv 

2.R.XV,  169,  403. 

11.  Sülle  superficie  a  curvatura  nuUa  in  geometria  ellittica.   L.  Bianchi.    Annali 

mat.  Ser.  2,  XXIV,  93. 

JLrodynamik, 

12.  Über  die  Wirkung  des  Windes  auf  schwach  gewölbte  Flächen.    A.v.  Ober- 

mayer.  Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  CIV,  963. 

13.  Contribution   to   the   theory   of  the   Robinson   cup-anemometer.     C.  Chree. 

Phü.  Mag.  Ser.  6 ,  XL ,  63. 

14.  Sur  une  nouvelle  mesure  du  coefficient  de  viscositä  de  Fair.    Ch.  Fabry  et 

A.  Perot.    Compt.  Rend.  CXXIV,  281. 
Id.  The  vificouty  of  mized  guses.    W.  Sutherland.    Phil.  Mag.  S^r.  6,  XL,  421. 


16.  Akustische  Untersuchungen  über  die  Elastizität  weicher  Körper.   M.  v.  Smolu- 

c  h  o  w  8  ki.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtl^.  II  a)  ClII  ,739. 

17.  Über   die  Fortpflanzung  des   Schidles   in  bewegter  Luft.    G.  Jäger.    Wien. 

Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ua)  CV,  1040. 

18.  On  resnltant  tones.    J.  D.  Everett.    Phil.  Mag.  Ser.  5,  XLl,  199. 

AnalytiBohe  Gheometrie  der  Ebene. 

19.  Loci  of  the  equations  p^q>**e  and  p  » qpw  ^v«.    E.  W.  Hyde.    Zeitschr.  Math« 

Phys.  XLII,  122,  160. 

20.  Die  Sekanten   tmd  Tangenten    des  Folium    Cartesii.    A.  Himstedt.    Gnm. 

Archiv  2.  R.  XV,  129. 


^i* 


Historisch  -  litterarische  Abteilung. 

Kxvoicarve  enveloppe  d'une  s^rie  d'hyperboles.    Cristesco.    Mathesis,  SerJ, 

Vn,  257. 
Cne  coarbe  oabli^e,  la  conchotde  de  R.  de  Slnse.   G.  Loria.    Mathesis,  S^r  2, 

vn,  ö. 

X/oe  coarbe  da  qnatri^me  degr^.  Cristesco,  Petresco,  Bastin,  J.  Jonesco. 

Matbesis,  Sär.2,  vn,  146. 
:>iir  One  qaartiqae  se  d^composant  dans  certains  cas  en  deuz  ellipses.  De- 

Drei.    Mathesis,  S^r.  2,  Vn,  268. 
Laea  a  an  point  dont  les   projections  snr  les  cöt^s  d'un  quadnlatöre  donne 

reniplissent  certaines  conditionB.  Gob,Colart,  Droz-Farny.  Mathesis, 

S^r.2,  vn,  206. 
La  tangente  MÄ  en  un  point  M  d'une  coarbe  donnäe  rencontre  nne  droite 

fixe  en  Ä.    On  porte  sur  cette  droite  fixe  une  longueur  constante  AS. 

IVteiminer  le  pomt  oü  la  droite  3f^  toache  son  enveloppe.    Stuyvaert 

Mathesis,  Sär.2,  Vn,  168. 
Sur  la  recherche  de  certains  lieoz  g^om^triques.  A.C.  Mathesis,  S^r.2,  VIIJIO. 
Veiffl.  Determinanten  62,  63.     Ellipse.     Hyperbel«    Kegelschnitte.    EreU. 

Nonnale.    Parabel.    Quadratur. 

Analytiflohe  Gtoometrie  des  BAUxaes. 

Ktetueutare  Bestimmung  der  Punkttransformationen  des  Raumes,   welche  alle 
Flächeninhalte  invariant  lassen.    E.  Carda.  Wien.  Akad.Ber.  (Abtlg. IIa 
CV,  787. 
^^i     Zur  Thevu-ie  der  Kurven  in  analytischer  Behandlungsweise.   A.  zur  Kammer. 
^^  Grün.  Archiv  2.  R.  XV,  14. 

w»     /la*  Äwaly  tischen  Kurventheorie.    R.Hoppe.     Grün.  Archiv  2.  R.  XV,  124. 
'   t      C  t^H*  d\o  charakteristische  Differentialgleichung  der  Raumkurven.   R.  Hoppe. 
***  v;run.  Archiv  2.  R.  XV,  244. 

^v»     P»^*  Krviiamung  der  Raumkurven  in  singulären  Punkten  derselben.    E.  Wölf- 
*  riuK.   <^inin.  Archiv  2.  R.  XV,  146. 

^  t     Kvv^vUt'ruiiK  <l^f  Kurvenklasse  von  konstanter  Krümmung.    R.  Hoppe.  Gnm. 
**'  .Vrt^hiv  2.  R.  XV,  447. 

S\u'  K'<*  c\>ntfruence8  associ^es.    C.  Guichard.    Compt.  Rend.  CXXTV,  669. 
S\U'  K"^  courl>os  dont  les  tangentes  appartiennent  k  imcomplexe.  A.  Demoulin. 

vVuupt.  K4»nd.  CXXrV,  1077. 
Sui  quoK(UOH  Applications  de  la  throne  des  syst^mes  cycliques.    C.  Guichard. 

V'vuiipt.  Ueud.  CXXIV,  1079. 
s\o   um»  oubimie  gauche.    E.  Duporcq.    Mathesis,  S^r.  2,Vn,97. 

\oi<l     Vualytische   Geometrie  der  Ebene  19.    Cubatur.    Ellipsoid.    Ober- 
ilacheu.     Oberflächen  zweiter  Ordnung.    Tetraeder. 

ABtronoxnie. 

is  vi^iuo»   du   »vst^me   solaire.      Delauney.     Compt.  Rend.  CXXTV,  71.   — 
K    KokM^r  ibid.  219. 
,     Uv'^^^^M^*^'   *^^^*  ^^  ra^thode  de  Gauss  pour  la  dätermination  des  orbites  des 
^lohtoM  i^autMes.    J.  Perchot.    Compt.  Rend.  CXXTV,  69. 
o>   l\  «  «|Ui4«li4Uurt^s  m^caniques.    B.  Baillaud.    Compt.  Rend.  XXIV,  737. 
,.,   >H  »•(i  ^  »xiv'u  compar^e  de  divers  modes  de  rep^rage  de  la  verticale  dans  les 
,>S  vi\4Uu'UM  antronomiques,  g^od^siques  ou  topog^phiques.    Ch.  Lalle - 
ui .  »k a     l\uupt.  llend.  CXXIV,  941. 

\      ^uiukU'm  dt^M  integrales  doubles  et  le  däveloppement  de  la  fonction 
>.  .ouUutuvHv     H.  Poincar^.    Compt.  Rend.  CXXiV,  1269. 
\    i4Uiivoiuout   dos  p^ritälies   de  Mercure   et  de  Mars  et  du  noead  de 
\  , , .  , ..    .\  uu vMU n.   Compt.  Rend.  CXXTV,  1423. 
»»     s  'lv4  kSiihoUbowegunff  des  Planeten  Merkur.    Ed.  v.  Haerdtl.  Wien, 

\\.  .  »Ui  ,vbti>?>  na)  cm,  713. 

.  .uua  ilto  Säkularacceleration  des  Mondes.   Ed.  v.  Haerdtl.  Wien. 
,   .  •   ^vi-    \Mü  Ua)CV,  8. 

,     ^,.vi.;*fcui»ii   vie»  comätes.   Rdle  de  Jupiter  k  Y6g&Td  des  comMes  & 
.    üv.lu.    O  Cttllandreau.     Compt.  Rend.  CKSIV,  1193. 


«  4 


i  \ 


Abhandlungsregister.  105 

47.  Über  die  Beziehung  zwischen  Helligkeit  und  Eigenbewegong  der 'Fixsterne. 

G.  Jäger.     Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha)  CUl,  146. 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik  156,  157. 

B. 

Bemoullisohe  Zahlen. 

48.  Propri^t^  des  nombres  de  BemouUi.     Stuyvaert.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  94. 

Bestünznte  Integrale. 

49.  Sur  les  r^sidus  des  integrales  doubles  de  fonctions  rationneUes.    Em.  Picard. 

Compt.  Rend.  CXXW,  438. 

50.  Ein  Mittelwertsatz  für  ein  System  von  n  Integralen.  G.  Eowalewski.  Zeitschr. 

Math.  Phys.XLÜ,  153. 
Vergl.  Elliptische  Transcendenten  121.    Reihen  868.    Uinkehrungsproblem. 

C. 

Combinatorik. 

51.  Sur  les  combinaisons.    Barbette.    Mathesis,  S^r.  2,  YII,  85.  —  Stuyvaert 

ibid.  227. 

52.  Une  d^mcnstration  du   th^or^me  de  Wilson.    A.  Cayley.    Mathesis,   S^r.  2, 

VH,  163. 

53.  Sor  la   marche  d*un  pion  du  jeu  de  dames.    E.H.  Van  Dorsten.    Mathesis, 

S^r.  2,  Vn,  117. 

54.  Nombre   des  mani^res   de  ddcomposition  d'un  polygone  de  (p  — 2)n4-2  cöt^s 

en  n  polygones  de  ^  cöt^s.     Stuyvaert.     Mathesis,  Sdr.  2,  YIL,  164. 

55.  Über  Nachbargebiete  im  Kaum.   P.  Stäckel.    Zeitschr.  Math.  Phys.XLII,  276. 

Cubatur. 

56.  Sur  la  formule  des  troi?  niveaux.    Goulard.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  105. 

Cylinderfunktionen. 

57.  Sur  quelques   propri^t^s   des  fonctions  Bess^liennes,  tir^es  de  la  th^orie  des 

fractions  continues.    L.  Crelier.     Annali  mat.  Sär.  2,  XXIY,  131. 

D. 

Determinanten. 

58.  Über  Beziehungen  zwischen   den  Determinanten  einer  Matrix.    W.  Ahrens. 

Zeitschr.  Math.  Phys.  XLII,  65.    [Vergl.  Bd.  XLI  Nr.  30.] 

59.  Sülle  varie  forme  che  possono  darsi  alle  relazioni  fra  i  determinanti  di  una 

matrice  rettangolare.    Ern.  Pascal.    Annali  mat.  Ser.  2,  XXIV,  241. 

60.  Eine  Determinantenformel.     E.  Schulze.     Zeitschr.  Math.  Phys  XUI,  313. 

61.  Dteonstration  de  la  propri^t^  fondamentale  des  Wronskiens.     A.  Demo ul in. 

Mathesis,  Sär.2,  VII,  62. 

62.  D^composition   en  facteurs  rationnels   d'un   d^terminant  du  troisi^me  ordre. 

Hacken.    J.  Neuberg.     Mathesis,  Sär.  2,  VII,  282. 

63.  On  Lagrange's  determinantal  equation  Thom.  M  u  i  r.  Phil.  Mag.  Ser.  5,  XLIII ,  220. 

Differentialgleioliiin^en. 

64.  Sur  la  r^duction   du  probl^me  g^n^ral   de  Tint^gration.    Riquier.    Compt. 

Rend.  CXXFV,  490. 

65.  Sor  rint^gration  de  certaines  ^quations  diff^rentieUes  par  des  s^ries.    Em.  Pi- 

card.   Compt.  Rend.  CXXrV,  214. 

66.  Le  eqnazioni  differenziali  lineari  equivalenti  alle  rispettive  equazioni  differenziali 

aggiunte  di  Lagrange.  Franc.  Brioschi.  Annali  mat.  Ser.  2,  XXTV,  839. 

67.  Sor  les  integrales  premi^res  des  syst^mes  diffärentiels.   P.  Painlev^.    Compt. 

Rend.  CXXIV,  136. 

68.  Sur  Fintägration  alg^brique  des  ^quations  diff^rentielles  Unfaires  du  troisi^me 

ordre.    A,  Boulanger.     Compt.  Rend.  CXXTV,  1011. 

69.  Sur  les  singnlarit^s  des  äquations  aux  d^riv^es  partielles.    J.  Beudon.    Compt. 

Rend.  CXXIV,  671. 


|lOl>  Historiscli- litterarische  Abteilung. 

?i)    Aar  ]ä  m^thode  des  approximationB  successives  de  M.  Picard.    S.  Zaremba. 

Compt.  Rend.  CXÖV,  664. 
Zt    Zur  Theorie   der   partiellen  Differentialgleicbimsen  erster  Ordnung.    Em  an. 

Czuber.     Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha)  Cm,  295. 
7t   Hut  les  äquations   linäaires  auz  d^riv^es  partielles   du  second  ordre  ä  deux 

variables.    Catton.    Compt.  Rend.  CaXIV,  744. 
7Z,  Sur  les   äquations   aux   d^riv^es  partielles   du   second  ordre,   dont  les  deoi 

systömes  de  caract^ristiques  sont  confondus.  E.  v.Weber.  Compt.  Rend. 

CXXIV,  1216. 
74,  Remarques  sur  une  note  räcente  de  Jlf.    E.  v.Weber.    £.  Goursat.    Compt. 

Rend.  CXXIV,  1294. 

76.  Zur  Theorie  der  Gleichung  -K^  =  a*Atp  auf  Grund  der  Eirchhoffschen  Gleich- 
ung für  das  Hnygens'sche  Prinzip.  J.  Jung.  Zeitschr.  Math.  Phys. 
XLH,  278. 

76.  Sur  l'int^gration  de  Täquation  Au  =  F{u,  ar,  y).    Em.  Picard.    Compt.  Rend. 

CXXIV,  1488. 

77.  Sur  r^quation  des  täl^graphistes.    Le  Roux.    Compt.  Rend.  CXXIV,  143. 

78.  Sur  la  d^termination  des  integrales  de  certaines  ^quations  aux  d^riv^es  par- 

tielles non  lin^aires  par  leur  valeur  sur  une  surface  ferm^.    E.  Le  Roy 
Compt.  Rend.    CXXIV,  1608. 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik  173.    Mechanik.    Oberflächen. 

Differentialquotient. 

79.  Sur  les  düf^rentielles  successives  d'une  fonction  de  plusieurs  variable.    Mou- 

tard.     Compt.  Rend.  CXXrV,  603.  —  E.  Goursat  ibid.  676. 

Dreieoksgeometrie. 

80.  Thäor^mes  sur  le  triangle.     Franc.  Ferrati.    Mathesis,  S^r.  2,  VH,  241. 

81.  Sur  la  ligne  d'Euler  d'un  triangle.    Francq,  Colette,  D^prez,  Seligmann. 

Mathesis,  Sär.  2,  VU,  71. 

82.  Sur  la  ligne  d'Euler  dans  le  cas  qu'un  des  angles  du  triangle  est  de  60*^  ou 

de  120^    A.  Droz-Farny.     Mathesis,  S^r.  2,  VII,  77. 

83.  Sur  le  point  de  Tarry  et  le  point  de  Steiner  d'un  triangle.    A.  Droz-Farny. 

Mathesis,  S^r.  2,  VII,  174. 

84.  Quatre  cercles  par  rapport  auxquels  Torthocentre  d'un  triangle  est  d'^gale 

puissance.     Däprez.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  78. 
86.  Konstruktion  der  Trägheitsaxen  eines  Dreiecks.    0.  Richter.    Zeitschr.  Math 
Phys.  XLII,  338. 

86.  Sur  le  centre  des  transversales  angulaires  Egales.    D^prez.    Mathesis,  S^r.2. 

VU,  166.    [Vergl.  Bd.  XLÜ  Nr.  93.] 

87.  Theoreme   sur  les  triangles    rectangles  sur  la  meme  hypot^nuse.     RetalL 

Mathesis,  Sär.  2,  VII,  234. 

88.  Projiri^t^s  d'un  triangle  sur  les  cöt^s  duquel  on  construit  ext^rieurement  des 

rectangles  semblables.    P.  Bastin.    Mathesis,  Sär.  2,VU,  21. 

Mastizität. 

HO,  Zum  Gesetz  der  elastisch.  Dehnungen.  R.  M  e  h m  k e.  Zeitschr. Math. Phys. XLII, 327. 

iK>.  Das  Potential  der  inneren  Kräfte  und  die  inneren  Beziehungen  zwischen  den 
Deformationen  und  den  Spannungen  in  elastisch  isotropen  Körpern  bei 
Berücksichtigung  von  Gliedern,  die  bezüglich  der  Deformationselement«* 
von  dritter,  beziehungsweise  zweiter  Ordnung  sind.  Jos.  Finger. 
Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  U  a)  CHI ,  1 63 ,  231 . 

iti.  Einige  Bemerkungen  zu  Herrn  Jos.  Fingers  Abhandlung  i^Das  Potential  der 
inneren  Kräfte  u.  s.  w."  W.  Voigt.  Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg. üa)  Cm, 
1069. 

92.  Über  die  allgemeinsten  Beziehungen  zwischen  endlichen  Deformationen  und 

dem  zugehörigen  Spannungen  in  aeolotropen  und  isotropen  SubstanzeB. 
J  0  8.  F  i  n  g  e  r.     Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  II  a)  CHI ,  1073. 

93.  fitude  de  variations  d'änergie.   Vaschy.     Compt.  Rend.  CXXIV,  284. 


AbhandlungBreg^ster.  ]07 

Mektrisit&t. 

94.  Gdn^ralisation  de  formules  d'^lectromagnetisme.     Vaschy.      Compt.  Rend. 

CXXIV,  226.    [Ver^l.  Bd.  XLU  Nr.  612.] 
9ö.  On  the  electro-magnehc  theory  of  xnovinp  charges.    W.  B.  Morton.    Phil. 

Mag.  Ser.  5,  XLI,  488.  —  J.  Larmor  ibid.  XLII,  201. 

96.  On  the  magnetic  force  acting  on  moving  electrified  spheres.  Arth.  Schuster, 

Phü.Mag  Ser.ö,XLm,  1. 

97.  Über  eine  neue  Folgerung  aus  der  Mazwellschen  Theorie  der  elektrischen 

Erscheinungen.    A.  Seh  eye.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XLII,  157. 

98.  On  the  wave-surface   and   rotation   of  polarization  plane   in  an  aelotropic 

electromagnetic  medium.    A.  McAulay.    Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLII,  224. 

99.  Schwingungsvorgang  in   komplizierten   Erregern   Hertz'scher  Wellen.     Jos. 

V.  G  e  1 1 1  e  r.     Wien.  Akad.  Ber  (Abtlg.  ü  a)  CIV,  169. 

100.  Strömung   der   Elektrizität  in   Rotationsflächen.      Leonh.   Fleischmann. 

Wien.  Akad.  Ber.  (Abtig.  ü  a)  CIV,  227. 

101.  The  relation  between  the  atom  and  the  Charge  of  electricity  carried  by  it. 

J.J.  Thomsen.    Phil.  Mag.  Ser.  5,  XL,  511;  XLI,  61. 

102.  Über  die  elektrolytische  Leitfähigkeit  von  wässerigen  Lösungen,  insbesondere 

deren  Abhängigkeit  von  der  Temperatur.  G.  Jäger.  Wien.  Akad.  Ber. 
(Abtig.  Ha)  Ci:^  408. 

103.  Über  die  wechselseitige  Induktion  zweier  auf  Ei^elschalen  gleichmässig  sre- 

wickelter  Windungslagen.  Ose.  Singer.  Wien.  Akad. Ber.  (Abtlg. IIa) 
CV,  165. 

104.  Zur  Theorie  der   Dielektrica.   Ant.  Lampa.     Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha) 

CIV,  681. 

105.  über  die  Bestimmung  der  Dielektrizitätskonstante  eines  anisotropen  Stoffes 

nach  einer  beliebigen  Richtung  aus  den  Dielektrizitätskonstanten  nach 
den  Hauptrichtungen.  Ant.  Lampa.  Wien.  Akad.  Ber.  (Abtig.  IIa) 
CIV,  1179. 

106.  On  the  passage   of  electric   waves    through    tubes,    or    the    vibrations    of 

dielectric  cy linders.    Lord  Rayleigh.    Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLUI,  125. 

107.  A  method  of  determining  the  angle  of  lag  Arth.   L.  Clark.   Phil.  Mag.  Ser.  5, 

XLI,  369. 

108.  On  the  measurement  of  altemate  currents  by  means  of  an  obliquely  situated 

galvanometer  needle,  with  a  method  of  determining  the  angle  of  lag. 
Lord  Rayleigh.    Phil.  Mag.  Ser.  5,  XLm,  343. 

109.  Sur  les  mot«urs  asynchrones.    A.  Potier.     Compt.  Rend.  CXXIV,  638,  642. 
HO.  A  theory  of  the  synchronous  motor.    W.G.Rh  ödes.    Phil.  Mag.  Ser.  5,  XL, 

56,  195. 

111.  Admittance  and  impedance  loci.    Fred.  Bedell.  Phil.  Mag.  Ser.  5,  XLII,  300. 

112.  Discussion  of  the  currents  in  the  branches  of  a  Wheatstones  bridge,  where 

each  brauch  contains  resistance  and  inductance,  and  there  is  an  har- 
monic  impressed  electromotive  force.  A.  C.  Crehore  and  G.  0.  Squier. 
Phü.  Mag.  Ser.  6,  XLIII,  161. 

113.  Sur  la  dächarge  des  conducteurs  ä  capacitä,  resistance  et  coefQcient  de  seif- 

induction  variables.    M.  Pätrovitch.     Compt.  Rend.  CXXIV,  452. 

114.  Zur  Theorie  der  elektrischen  Erscheinungen  unserer  Atmosphäre.  W.  Trab  er  t. 

Wien.  Akad.  Ber.  (Abtig.  IIa)  CIH,  1023. 

Ellipse. 

115.  über    die    Ellipse    vom    kleinsten    Umfange    durch    3    gegebene    Punkte. 

V.  v.  Dantscher.  Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  CIV,  801.  [Vergl. 
Bd.  XXXVII  Nr.  449.] 

116.  R^sum^  des  propri^t^s   concemant   les    triangles    d'aire  maximum  inscrits 

dans  relüpse.  E.  N.  Barisien.  Mathesis,  Sdr.  2,  VII,  88.  [Vergl. 
Bd.  XLI  Nr.  66.] 

117.  Sur  une  g^n^ration  connue  de  Tellipse.    E.  N.  Bari  sie  n.    Mathesis,  Sär.  2, 

Vn,  247. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  24.    Normalen  284,  285. 


108  Historisch -litterarische  Abteilang. 

Mlipsoid. 

118.  Belations  entre  trois  demi-diam^tres  d^un  ellipsoide.    Stuyvaert.   Hathesis, 

S^r.2,  VII,  262. 

119.  Sur  Tenveloppe  d'an  ellipsoide  variable.  Mandart.  Mathesis,  S^r.  2,  YII,  19B. 

MliptiBolie  Transoendeixten. 


120.  La  moltiplicazione   complessa  per  }/— 23  delle  funzioni  ellittiche.    Franc. 

BrioBchi.    Annali  mat.  Ser  2,  XXIV,  336. 

121.  Sur  nne  formule  d'analyse  relative  k  certaines  int^ffrales  de  fonctions  ellip- 

tiques  par  rapport  ä  leur  modale.  F. de  Salve rt.  Uompt.  Rend.CXXIV,100S. 
Vergl.  Abelsche  Transcendenten  4. 

F. 

Faktorenfolge. 

122.  Sur    an    prodait    de  n  facteurs.     A.  Boutin,     G.  Bergmans,    Andibert 

Mathesis,  Sär.  2,  VII,  286. 

Formen. 

123.  Bemerkungen   zu   der  ausnahmslosen  Auflösung  des  Problems,   eine  quadra- 

tische Form  durch  eine  lineare  orthogonale  Substitution  in  eine  Summe 
von  Quadraten  zu  verwandeln.    Ad.  Kneser.    Grün.  Archiv  2.R.  XV,  225. 

124.  Über  die  Komposition  der  binären  quadratischen  Formen.  F.  Hertens.  Wien. 

Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  CIV,  103. 

125.  Über  die  Lam^schen  Polynome   2.  Ordnung  einer  Form  6.  Ordnung.     Em. 

Waelsch.    Wien  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ua)  CV,  741. 

Funktionen. 

126.  Sur  les  Operations  en  gän^ral.    C.  Bourlet.     Compt.  Rend.  CXXTV,  348. 

127.  Sur  la  convergence  des  substitutions  uniformes.    E.  M.  L^meray.    Compt. 

Rend.  CXXIV,  1220. 

128.  Über  einen   Satz  der  Funktionentheorie  und   seine  Anwendung  auf  isother- 

mische Eurvensysteme  und  auf  einige  Theorien  der  mathematischen  Phvsik. 
H  o  1  z  m  (l  1 1  e  r.     Zeitschr.  Math.  Phys.  XLII  ,217. 

129.  Sur  les  propri^t^s  des  fonctions  entiöres.   D esaint.    Compt. Rend. CXXIV,  746. 

130.  Über  Zahlenteiler  ganzer  Funktionen.    K.  Th.Vahlen.    Zeitachr.  Math.  Phrs. 

XLII,  214. 
181.  Sur  les  z^ros  de  certaines  fonctions  analytiques.     Desaint.     Compt.  Rend. 
CXXrV,  276. 

132.  Über   die   Transcendenz  der  Zahlen   e   und  n.    F.  Mertens.      Wien.  Akad. 

Ber.  (Abtlg. IIa)  CV,  839. 

133.  Über  die  Differentiation  empirischer  Funktionen.    C.Runge.    Zeitschr. Math. 

Phys.  XLII,  206. 

134.  Remarks  upon  the  analytical  representation   of  the  periodic   System  of  the 

Clements.    A.  Goldhammer.     PhiLMa^.  Ser.  6,  aLII,  277. 
136.  Sur  certaines  äquations  analogues  auz  ^quations  diffärentielles.    C.  Bourlet. 
Compt.  Rend.  CXXIV,  1431.  —  Appell  ibid.  1433. 

136.  Sur  les   pöles  des   fonctions  uniformes  ä  plusieurs  variables   inddpendantes. 

A  u  1 0  n  n  e.     Compt.  Rend.  CXXIV,  139. 

137.  Über  eine  von  Abel  untersuchte  Funktionsgleichung.    P.  Stäckel.   Zeitschr. 

Math.  Phys.  XLII,  323. 
Vergl.  Abelsche  Transcendenten.  BemouUische  Zahlen.  Bestimmte  Inte- 
grale. Combinatorik,  Cylinderfunktionen.  Determinanten.  Differential- 
gleichungen. Differentialquotient.  Elliptische  Transcendenten.  Faktoren- 
folge. Formen.  Gleichungen.  Imaginäres.  Kettenbrüche.  Logarithmen. 
Mazima  und  Minima.  Reihen.  Substitution.  Thetafunktionen.  Trans- 
formationsgruppen.     Umkehrungsproblem. 

O. 

Geodäsie. 

138.  Über   das   Einstellen    der    dreiteiligen   Fluchtpunktschiene.      R..  Mehmke. 

Zeitschr.  Math.  Phys.  XLII,  99. 


Abhandlungeregister.  X09 

Geometrie  (desoriptlTe). 

39.  Eine  Aufgabe  aus   der  Schattenlehre.    Chr.  Beyel.     Zeitschr.  Math.  Phyg. 

XLn,  111. 

40.  Darstellung    der   scheinbaren  Beleuchtung   krummer  Flächen    (durch  Kon- 

struktion der  Isophengen).    Jul.  Man  dl.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  II  a) 
CV,  807. 
Vergl.  Perspektive. 

Gheometiie  (höhere). 

41.  Eine  Methode,    aus  gegebenen  Konfigurationen  andere   abzuleiten.    Konr. 

Zindler.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha)  CV,  311. 

42.  Zur  perspektivischen  Lage  kollinearer  ebener  Felder.   Kilbinge r.   Zeitschr. 

Math.  Phys.  XLH,  104. 

43.  Curve  X;-gonali  di  1»  e  di  2»  specie.   F.  Amodeo.    Annali  mat.  Ser.  2,  XXTV,  1 

[Vergl.  Bd.  XL  Nr.  97.1 

44.  Über  einen  symbolischen  Kalkül  auf  Trägem  vom  Geschlechte  Eins  und  seine 

Anwendung.    Em.  Weyr.  Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  CHI,  366. 

45.  Die  homogenen  Koordinaten  als  Wurfkoordinaten.    G.  Kohn.     Wien.  Akad. 

Ber.  (Abtlg.  Ha)  CIV,  1166. 

46.  Zur  synthetischen  Theorie  der  Kreis-  und  Kugelsysteme.    0.  Rupp.    Wien. 

Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  CIV,  623. 

47.  Zur    Konstruktion    von    Krümmungskugeln    an   Baumkurven.     J.  Sobotka. 

Wien.  Akad.  Ber.  (Ahtlg.  üa)  CIV,  144. 
4S.  Über   die   kubischen  Kaumkurven,    welche   die   Tangentenfläche   einer  vor- 
elegten  kubischen  Baumkurve  in  4,6  oder  6  Punkten  berühren.    Gust. 
ohn.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha)  CV,  1035. 

49.  Zu  den  Bemerkungen  über  doppeltcentrische  Vierecke.  Chr.  Beyel.    Zeitschr. 

Math.  Phys.  XLn,  63.    [Vergl.  Bd.  XLI  Nr.  97.] 

50.  Der  kubische  Bereis  mit  Doppelpunkt.     Chr.  Beyel.    Zeitschr.  Math.  Phys. 

XLH,  281. 

51.  Thdor^mes    sur    les    triangles    trihomolog^ques.    H.  Van  Aubel.     Mathesis, 

S^r.2,  VII,  63. 

52.  Sur  un  rapport  anharmonique  de  valeur  constante.   R.  Buysens  et  Soller- 

tinsky.     Mathesis,  S^r.  2,  VE,  101. 

53.  Sur  la  cubique  ^  =  7— ^^ Retali.    Mathesis,  Sär.  2,  VH,  74. 

a^     ka  —  x 

54.  Über  Kurven  5.  Ordnung  mit  4  Doppelpunkten.    J.  de  Vries.    Wien.  Akad. 

Ber.  (Abtlg  IIa)  CIV,  46.  

55.  Lieu    des  points  d'inflexion  des  courbes  y  =  cosy^a*  — ä*  lorsque  a  varie. 

E.  N.  Barisien.    Mathesis,  Sär.  2,  VÜ,  236. 
Vergl.  Absolute  Geometrie.    Mehrdimensionale  Geometrie. 

Oesohlohte  der  Mathematik« 

56.  Die  Apisperiode  der  alten  Ägypter.  Ed.  Mab  1er.  Wien. Akad. Ber. (Abtlg. IIa). 

cm,  832. 

57.  Über   eine  unter  den  Ausgrabungen  auf  Rhodos  gefundene  astronomische 

Inschrift.    Norb.  Herz.   Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha)  CHI,  1135. 

58.  Die  Schlussaufgabe  in  Diophant's  Schrift  über  Polygonalzahlen.  G.  Wert  heim. 

Zeitschr.  Math.  Phys.  XLH,  Hist.  litter.  Abtlg.  121. 

59.  Quadrat-  und  Kubikwurzeln  bei  den  Griechen  nach  Herons  neu  aufgefundenen 

MttQirta,   M.  Gurtze.  Zeitschr.  Math.  Phys.  XLII,  Hist.  litter.  Abtlg.  113; 
ebenda  nicht  paginiertes  Blatt. 

60.  Die  Quadratwurzelformel  des  Heron  bei  den  Arabern  und  bei  Regiomontan 

und  damit  Zusammenhängendes.   M.  Curtze.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XLÜ, 
Hist.  litter.  Abtlg.  146. 

61.  Sur  le  sens  exact  du  mot  „al-djebr^*    Carra  deVaux.    Biblioth.  math. 

1897,  1. 

62.  Einige  Beiträge  zur  Geschichte  der  arabischen  Mathematiker  und  Astronomen. 

H.  Suter.    Biblioth.  math.  1897,  83. 

63.  Die  Mathematik  bei  den  Juden.    M.  Steinschneider.    Biblioth.  math.  1897, 

18,  36,  73,  103.     [Vergl.  Bd.  XLH  Nr.  170.] 


110  Historisch -litterarische  Abteilang. 

164.  Magister   Robertus  Anglicus    in  Montepessulano.     P.  Tannery.     Biblioth. 

math.  1897,  8. 

165.  Snr  le  mot  „theca".     6.  Eneström.     Biblioth.  math.  1897,  96. 

166.  Sur    les    nenf    „limites^^    mentionnäs    dans    TAlgorismus    de    Sacrobosco. 

G.  Eneström.    Biblioth.  math.  1897,  97. 

167.  Sur  le  nom  de  la  „regula  coeci".    Carra  de  Vaux.   Biblioth.  math.  1897,  32. 

168.  Eppur  si  mnove.     G.   Berthold.      Zeitschr.  Math.  Phys.  XUI  Eist,  litter. 

Abtig.  5. 

169.  Über  den  angeblichen  Aussprach  Galileis  „Eppur  si  muove^^    G.  Berthold. 

Biblioth.  math.  1897,  67. 

170.  äditions  de  John  Wilkins,  The  discovery  of  a  world  in  the  moon  de  1638 

et  de  1640.     G.  Eneström.    Biblioth.  math.  1897,  96. 

171.  Versiera,  Visiera  e  Pseudo-versiera.     G.  Loria.     Biblioth.  math  1897,  7,  33. 

172.  Sur  les  lettres  de  Leonard  Euler  ä.  Jean  I  Bemoulli.    G.  Eneström.   BibliotL 

math.  1897,  61. 

173.  Sur    la    d^couverte    de    Fint^grale   complfete    des    ^quations    diffi^rentielles 

lin^aires  ä  coeffecients  constants.  G.  Eneström.  Biblioth.  math.  1897,43. 

174.  Sur  Jean  Henry  Bürmann.    M.  Cantor.    Biblioth.  math.  1897,  31. 

176.  Sur  le   s^jour  du  g^näral  Poncelet  k  Saratow.      G.  Bapst.     Compt   Rend. 
CXXrV,  1136. 

176.  Sur  Wolfgang  et  Jean  Bolyai.    P.  Mansion.    Mathesis,  S^r.  2,  VTI,  194. 

177.  Inauguration  du  monnment  de  N.  Lobatschevsky  k  Eazan.    G.  Darboux 

Compt.  Rend.  CXXIV,  936. 

178.  Cinquanti^me   anniversaire    de    la    nomination    de  Mr.   Faye   a  TAcad^ie 

(26. 1. 1897).    A.  Chatin.    Compt.  Rend.  CXXIV,  166.  —  Faye  ibid.  167 

179.  Wilhelm  Schrentzel  f  26.  I.  1896.    Ludwig  Schlesinger.    Zeitechr.  Math. 

Phys.  XLII.  Hist.  litter,  Abtlg.  1. 

180.  Benj.  Gould  (27.  XI.  1824  -  26  XI.  1896).  Loewy.   Compt.  Rend.  CXXIV,  57. 

181.  Mort  de  Weierstrass  (81.  X.  1816  —  19.  H.  1897).     Mathesis,  S^r.  2,  VII,  62. 

182.  Notice  sur  Weierstrass.    Hermite.     Compt.  Rend.  CXXIV,  4^0 

183.  Karl  Weierstrass.    M.  d'Ocagne.    Mathesis,  S^r.  2,  VH,  Supplement. 

184.  J.  J.  Sylvester  (8.  IX.  1814  —  16.  HI  1897).     P.  Mansion.    Mathesis,  S^r,  2, 

Vn,  246. 
186.  Mathematisch -historische  Vorlesungen  und   Seminarübunfen    an    der  t-ech* 
nischen  Hochschule  zu  München.    A.  v.  Braunmühl.    Biblioth.  math. 
1897.  118. 

186.  Über  die  neuesten  mathemat-bibliograph.  Unternehmungen.   G.  Eneström. 

Biblioth.  math.  1897,  66. 

187.  Internationaler    Mathematiker -Eongress    in    Zürich    1897.      Zeitschr.  Math. 

Phys.  XLH.  Hist.  litter.  Abtig.  78.    Vergl.  Cubatur.    Rechnen  347. 

Gleioliungen. 

188.  über    die    Fundamentalgleichungen    eines  Gattungsbereiches    algebraischer 

Zahlen.    F.  Mertens.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtig.  Ha)  CHI,  6, 

189.  Sur  la  transformation   des   ^quations   alg^briques.     F.  Brioschi.      Compt. 

R^nd.  CXXIV,  661, 

190.  über  das  Problem  der  Winkelhalbierenden.    A.  Kor  seit.     Zeitschr.  Math. 

Phys.  XLH,  304. 

191.  Condition  de  rdalit^  des  racines  de  F^quation  du  3«  degr^   dont  dopend  la 

r^solution  d'un  triangle  connaissant  le  rayon  du  cercle  circonscrit,  Is 
surface  et  celle  du  trmngle  form^  par  les  centres  des  cercles  ez-inscrits. 
Retali.    Mathesis,  S^r.  2,  VH,  230. 

192.  Zerlegung   der  Gleichung  4.  Grades.    Heil  ermann.     Zeitschr.  Math.  Phys. 

XLn,  60,  112. 

193.  Die  Transformation   und  Auflösung  der  Gleichung  6.  Grades  in  elementarer 

Darstellung.  W.  Hey  mann.   Zeitschr.  Math.  JPhys.  XLII,  81, 118. 

194.  Resolution  d'un  Systeme  de  trois  ^quations  cubiques.  V.  Cristesco.   Mathesis, 

Sär.2,  VU,  260. 
196.  Condition  n^cessaire  pour  qu'un  Systeme  de  3  ^quations  homogenes  admett« 
une  Solution  autre  que  x==:y  =  z  =  0»    Colart.    Mathesis,  S^r.S,  VU, 
211.  —  Delahaye  ibid.  212. 


Abhandlungsregister.  XI 1 

GraphiBohes  Beohnen. 

96.  The   radial  Cursor;   a  new  addition  to  the  slide-rule.    F.  W.  Lanchester. 

Phil.  Mag  Ser  6,  XLI,  62. 

97.  Anwendung  der  Integralkurve  zur  Volumteilung.    E.Brauer.   Zeitschr.  Math. 

Phys.XLn,  272. 

98.  Sur  an  proc^d^  d'int^gration  graphique  des  ^quations  diff^rentielles.  M.  Pe tro- 

vitch.     Compt.  Rend.  CXXIV,  1081. 

H. 

Hydrodynamik. 

99.  Expression    des    petites    composantes    transversales    de  la  vitesse   dans   les 

^coulements  graduellement  vari^s  des  liquides.    J.  Boussinesq.    Compt. 

Kend.  CXXIV,  1411. 
!00.  Parties  toumantes   des   composantes   transversales   de   la  vitesse,    dans   un 

^coulement   permanent  graduellement  vari^.    J.  Boussinesq.     Compt. 

Rend.  CXXIV,  1492. 
!01.  On    an   error  in  the  method  of  determining  the  mean  depth  of  the  ocean 

from  the  velocity  of  seismic  sea-waves.    Ch.  Davison.   Phil.  Mag.  Ser.  5, 

XLIII,  38. 
!02.  Applications   of  physics   and   mathematics  to   seismology.    C.  Chree.    Phil. 

Mag.  Ser.  6,  XLIII,  178. 
t03.  Über  die  innere  Reibung  der  Lösungen.     Gust.  Jäger.    Wien.  Akad.  Ber. 

(Abtlg.  üa)  Cni,  251.    [Vergl.  Bd.  XLI  Nr.  425.] 
i04.  Sur le  mouvement  d'un  solide  dans  un  liquide  indäfini.   R.  Liouville.    Compt. 

Rend  CXXIV,  72.    [Vergl.  Bd.  XLH  Nr.  699.] 
tOb.  High  tensions  in  moving  liquids.   W.  Sutherlan  d.  Phil.  Mag.  S^r.  5,  XLII,  111. 
t06.  £coalement  graduellement  vari^  des  liquides  dans  les  lits  d>  grande  section; 

^quations  fondamentales.     J.  Boussinesq.     Compt. Rend.  CXXFV,  1 196. 
!07.  V^nfication  exp^rimentale  de  la  th^rie  de  Tdcoulement  graduellement  vari^ 

dans  les  canauxd^couverts.    J.  Boussinesq.    Compt.  Rend.  CXXIV,  1827. 

Hyperbel. 

!08.  On  a  method  of  drawing hyperbolas    G.J.  Burch.    Phil.  Mag.  Ser.  5, XLI,  72. 
—  F.L.O.Wadsworth  ibid.  372. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  21.  Dreiecksgeometrie  88.  Parabel  324. 

I. 

Imagin&res. 

(09.  Strecken-   und  Pnnktrechnung,  insbesondere   die   Rechnung  mit  parallelen 

Strecken.    Fr.  Graefe.     Grün.  Archiv  2.R.XV,  34. 
HO.  Sur  les  syst^mes  de  nombres  complezes.  E.  Cartan.  Compt.  Rend.  CXXIV,  1217. 
Sil.  Sur  les   syst^mes  reels   de  nombres   complexes.     E.  Cartan.    Compt.  Rend. 

XXIV,  1296. 

Interpolation. 

512.  8nr  Finterpolation.    Em.  Borel.    Compt.  Rend. CXXTV,  673. 

K. 

EegelBchnitte. 

!13.  £qaation  focale  des  coniques.     E.  N.  Barisien.     Mathesis,  S^r.  2,  VH,  193. 
514.  Azes  de  sym^trie  des  coniques.   £quation  du  couple  des  asymptotes.  H.Man- 

dart.    Mathesis,  Sdr.  2,  VII,  38. 
Hb.  Über  orthoaziale  Kegelschnitte.     Alfr.  Salomon.     Grun.Archiv2.  R.,XV,1. 
216.  Sur  les   cordes  de  courbure  concourantes   dans  les  coniques.     Cl.  Servais. 

MaÜiesis,  S^r.  2,  VE,  222. 
{17.  Proprio    focale    des   coniques    k   centre.      Stuyvaert.     Mathesis,  S^r.  2, 

Vn,  195. 

218.  Sor  une  conique  inscrite  on   circonscrite  ä  un  triangle.     Stuyvaert.    Ma- 

thesis, Sär.  2,  Vn,  63, 81. 

219.  Sur  les  coniques  circonscrites  ä  un  triangle.    A.  Erahe.    Mathesis,  Sär.  2, 

VII,  88. 


112  Historisch  -  litterarische  Abteilung. 

220.  Relation   entre   les   perpendiculaires   qu'on   abaisse   de  cbaque  point  «run 

conique   sur  les   cöt^s   d'un    tri  angle    rectangle.     D^prez.     Matbe-ü 
S^r.  2,  Vn,  272. 

221.  Sur  les  trian^les  semiconjuguäs.    J.  Neuberg.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  59.  - 

Retali  ibid.  142.  —  Lorent  ibid.  142. 

222.  üne  propri^t^  des  coniques.    J.  Wasteels.    Mathesis,  S^r.  2,  VH,  13. 

223.  Propri^t^  des  coniques.    E.  Buisseret.    Mathesis,  Ser. 2,  VII,  122.  | 

224.  Extension  aux  coniques  d'une  propri^t^  de  cercles  remarqu^  par  M.     Maci 

heim.    J.  Neuberg.   Mathesis,  S^r.  2,  Vn,  16.  —  Droz-Farny  ibid.  H 

225.  Conique  Heu  du  point  de  rencontre  des  cötäs  non  parallMes  d*un  brapeze  J 

base  fixe  en  grandeur  et  position,   de  hauteur  constante    et  dont  ^ 
diag^onales  sont  rectangulaires.    Retali  etc.    Mathesis,  S^r.  2,  VII.  17^ 

226.  Intersection  d*une  conique  avec  une  ou  deux  circonfi^rences.     A.  6 ob.    Ma 

thesis,  S^r.  2,  vn,  202. 

227.  Cercle   orthoptique   mutuel   de   deux    coniques   homofocales.      J.  Ne ulier« 

Mathesis,  S^r.  2,  MI,  227. 
Vergl.  Ellipse.    Hyperbel.    Kreis.    Parabel. 

Eettenbrüohe. 

228.  Sur  les  fractious  continues.    Mme.  Prime.    Mathesis,  Ser.  2,  Vll,  108. 

229.  D^veloppement  de  Vx  en  fraction  continue.    A.  Boutin.     Mathesis,  St^rt 

YU,S. 

230.  Räduire  Va*  —  2  en  fraction  continue    p^riodiqne.     A.  Droz-Farny.     Mt 

thesis,  Sdr.  2,  vn,  101. 
Vergl.  Cylinderfunktionen. 

Kinematik. 

231.  Ein  Beitrag  zur  Kinematik  der  Ebene.    Fried r.  Prochäzka.     Wien.  Akji 

Ber.  (Abtlg.  na),  CIV,  605. 

232.  Die  kinematische  Theorie  der  Hyperboloidenreibungsräder.     Fr.  Schillini 

Zeitschr.  Math.  Phys.  XLH,  37. 

Kreis. 

233.  Sur  les  cercles  radicaux  et  antiradicaux.    J.  J.  Duran  Loriga.     Matht'5ir 

Sär.  2,  vn,  189.   [Vergl.  Bd.  XLH,  Nr.  236.] 

234.  Über  Radikalkreise.    J.  D uran  Loriga.     Grün.  Archiv  2.  R.  XV,  117,  232 

235.  Tangentes    communes    k    deux    cercles.       Stuyvaert.       Mathesis,   St^r  j^ 

vn,  194. 

236.  Cercle  tangent  k  trois  autres.    L.  G^rard.    Mathesis,  S^r.  2,  VH,  248. 

237.  Sur   quatre   cercles    tangents    deux   d.    deux.      Mathot.     Mathesis,    S<^r.  i, 

vn,  193. 

238.  Sur  deux  points   d'un  triangle   däcrivant  conjointement  des  circonfi^rence» 

Droz-Farny  etc.    Mathesis,  Sär.  2,  VII,  236. 

239.  Th^or^me  sur  deux  circonfdrences.     J.  Jonesco  etc.     Mathesis,  S<$r.  2,  M^ 

147.    Vergl.  Dreiecksgeometrie  84. 

Kristallographie. 

240.  Über   die    Symetrieverhältnisse    der    Kristalle.      V.  v.  Lang.       Wien,  AkiC 

Ber.  (Abtlg.  Ha),  CV,  362. 

241.  On  the  use  of  the  globe  in  the  study  of  ciystallography.    J.  Y.  Buchan«: 

Phil.  Mag.  Ser.  5,  XL,  153. 

Logarithmen. 

242.  Druckfehler  in   S.  G und el finge r    —   A.M.Neils  Tafeln   zur   Berechuuii 

9 stelliger  Logarithmen.    Jos.  B 1  a t e r.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XLII,  Si. 

m. 

Magnetismus. 

243.  On  magnetic  tractive  force.    E.  Tayl.  Jones.    Phil.  Mag.  Ser.  5,  XLI,  153. 

244.  On  the  effects   of  magnetic  stress  in  magnetostriction.     H.  Xagaoka  snJ 

E.  Tayl.  Jones.    Phü.  Mag.  Ser.  5,  XLI,  454. 


Abhandlungsregister.  113 

15.  über    die  Gestalt    der   Kraftlinien    eines   magnetischen   Drehfeldes.      Max 

Jüllig.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  Cm,  691. 

16.  ITie  magnetic  field  of  any  cylindrical  coil.    W.  H.  Everett.    Phil.  Mag.  Ser.  6, 

XLI,  367. 
[1.  On  the  magnetic  field  due  to  an  elliptical  current  at  a  point  in  its  plane 

within  it.    J.  Vir.  Jones.    Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLU,  107. 
i8.  On  the  possibilitj  of  explaining  the  phenomena  of  magnetism  bj  the  hypo- 

thesis  of  participation  of  matter  in  the  motion  of  the  magnetic  field. 

B.  Rosing.    Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLII,  314. 

Mazüna  und  Hinima. 

19.  Maximum  de  xy-\-yz-\-zx  sachant  que  x-{-y-\- z^2p.    D^prez.    Mathesis, 

Sär.2,Vn,271. 
60.  Sur  certaines  aires  minima.    Stuyvaert.    Mathesis,  S^r.  2,  Vü,  46. 
Vergl.  Ellipse  116, 116. 

Mechanik. 

51.  On  the  laws  of  irreversible  phenomena.    Lad.  Natanson.    Phil.  Mag.  XLI,  386. 

52.  The  hypotheses  of  abstract  dynamics  and  the  qiiestion  of  the  number  of  the 

elastic  constants.    J.  G.Mac  Gregor.    Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLII,  240. 

63.  Herleitung  des  Gesetzes   vom  Kräfteparallelogramm  aus  der  Bewegung  eines 

Körpers  im  vidderstehenden  Mittel'  und  Aufstellung  einer  allgemeinen 
Gleichung  für  dynamische  Kraflwirkung.  Th.  Schwartze.  Grün. 
Archiv  2.  R.  XV,  421. 

64.  fber  die  Transformation  desZv^anges  in  allgemeinen  Koordinaten.    A.  Wass- 

muth.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha)  CIV,  281. 
55.  Von  der  elliptischen  Bewegung   eines  freibeweglichen  Massenpunktes  unter 

der  Wirkung  von  Attraktionskräften.     P.  Kinde  1.     Grün.  Archiv  2.  R. 

XV,  262. 
!56.  Sugli   integrali   primi   quadratici   delle   equazioni   della  meccanica.     G.  Di 

Pirro.    Annali  mat.  Ser.  2,  XXIV,  316. 
!57.  Über  quadratische  Integrale  der  Diflferentialgleichungen   der   Dynamik.    P. 

Staeckel.    Annali  mat.  S^r.  2,  XXV,  66. 
!58.  Sur  les  integrales  premiäres   de  la  Dynamique  et  sur  le   probl^me   des  n 

Corps.    P.Painlevä.    Compt.  Rend.,  CXXTV,  173. 
!o9.  Sur  les  integrales  quadratiques  des   ^quations  de  la  Dynamique.    P.  Pain- 

leve.     Compt.  Itend.  CXXIV,  221. 
t60.  Sur  les  integrales   quadratiques  des  ^quations   de  la  M^canique.    T.  Ldvi- 

Civita.     Compt.  Rend.  CXXTV,  392.  —  Appell  ibid.  896. 
(61.  Sulla  trasformazioni   della  equazioni  dinamiche.     T.  L^vi-Civita.    Annali 

mat.  ser.  2,  XXTV,  266. 
(62.  Sur  une   classe  de  ds*  ä  trois  variables.     T.  Levi-Civita.     Compt.  Rend. 

CXXTV,  1434. 
563,  Zur  Theorie  der  Bewegung  eines  starren  Systems.    Ed.  Weyr.    Wien  Akad. 

Ber.  (Abtlg.  IIa)  CIV,  292. 
(64.  Les  Solutions   periodiques  et  le  principe  de  moindre  action.    H.  Poincare. 

Compt.  Rend  CXXIV,713. 
i66.  Sur  les  petits  mouvements  periodiques  des  systömes.    P.  Painleve.    Compt. 

Rend.  CXXTV,  1222. 
^.  Sur  les  petits  mouvements  periodiques  des  syst^mes  ä  longue  periode.    P. 

Painleve.     Compt.  R«nd.  CXXIV,  1340. 
567.  Sulla  rotazione  di  un  corpo  in  cui  esistono  sistemi  policiclici.    V.Vol terra. 

Annali  mat.  Ser.  2,  XXIV,  29. 
^68.  Ein  mechanisches  Polycykel  als  Analogon   der  Induktions Wirkungen  beliebig 

vieler    Kreisströme.      F.  Hasenoehrl.      Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha), 

CV  900 
^9.  Über  einen  Satz  der  Satik.     K.  Th.  Vahlen.     Zeitschr.  Math.  Phys.  XLD,  160. 
^70.  l ber  ein  Problem  der  Mechanik.    A.KarL    Zeitechr.  Math.  Phys.  XLII,  106. 
'71.  Beiträffe   zur  Theorie   der  ebenen    Gelenkvierecke.     R.  Müller.     Zeitschr. 

Math.  Phys.  XLÜ,  247. 
*72,  Grundzüge  einer  Grapho- Ballistik  auf  Grund  der  Kruppschen  Tabelle.    C. 

Cranz.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XLII,  188. 

Hiit-Utt.  Abt  d.  ZalUchr  f.  Math.  u.  Pfayt.  48.  Jahrg.  1808.   8.  Heft.  9 


114  HistoriBch- litterarische  Abteilung. 

273.  Aufgabe   über   Druckverhältnisse    im   Innern   eines    durch    einen   gewölbti 

Boden  abgeschlossenen  Hohlcylinders.  C.  B.  Zeitschr.Math.Phys.XLII,^ 

274.  Über   Schraubengeschwindigkeiten   eines    festen   Körpers    bei   verschiedeB 

Zahl  von  Stützflächen.    P.  Somoff     Zeitschr.  Math.  Phys.  X Lü,  133,  U 
276.  Sur  le  rendement  des  engrenages.   L.  Lecornu.    Compt.  Rend.  CXXr\\  1^ 

276.  Sur  Taction   locomotrice   des  membres   ant^rieurs   du  cheval.     F.  Le  Hell 

Compt.  Rend.  CXXIV,  913. 
Vergl.  Aerodynamik.     Akustik.     Astronomie.      Differentialgleichungen  ( 
Elastizität.    Elektrizität.    Funktionen  128.    Hydrodynamik.     Einemati 
Magnetismus.  Molekularphysik.  Optik.  Potential.  Schwerpunkt.  Wäna 
lehre.    Wellenbewegung.     Winkelteilung  416. 

Mehrdimensioiiale  Gkeometrie« 

277.  Sur   Temploi   de   Tespace   ä   quatre   dimensions   dans   T^tude    des    &ur{&a 

alg^riques   admettant  plusieurs   s^ries   de   coniques.     Eug.  Gössen 
Compt.  Rend.  CXXIV,  1004. 

278.  Sulla  equazione  A^U-{-k^U^O  in  uno  spazio  di  n  dimensioni.      R.  Marci 

longo.    Annali  mat.  Ser.  2,  XXIV,  301. 

MolekularphyBik. 

279.  Über   die    Qnentbehrlichkeit   der  Atomistik  in   der   Naturwissenschaft. 

Boltzmann.    Wien.  Akad  Ber.  (Abtlg.  Ha),  CV,  907. 

280.  Molecular   force   and   the   surface-tension   of    Solutions.      W.  Sather] ac< 

Phil.  Ma^.  Ser.  5,  XL,  477. 

281.  On  the  Variation  of  the  dissociation  coef&cient  with  temperature.     S.  Ki<^ 

lington  Milner.    Phil.  Mag.  Ser.  ö,XLm,  286. 

Normalen. 

282.  Lieti  d*un  point  tel  que  les  trois  normales  men^es  de  ce  point  a  une  yin 

hole   donn^e  jouissent  de   certaines  propri^t^s.     Cristescu.     Mat£e^ 
Sär.  2,  Vn,  19.  —  Döprez  ibid.  20. 

283.  Propri^t^  des  deux  autres  normales  men^es  ä  une  parabole  d^un  point  qn«! 

conque  d'une  normale  ßxe.    A.  Gob  et  Cola rt,    Mathesis,  S^r.  2,  Yü,  li4 

284.  Construction  d'une  normale  ä  une  ellipse.    P.  Bastin  et  Cl.  Servais.    Mi 

thesis,  S^r.  2,  VH,  120. 

285.  Lieu   se  rapportant  au  quatre  normales  men^es  d^un  point   variable  ä  oai 

ellipse  donnäe.    A.  Droz-Farny.    Mathesis,  S^r.  2,  VE,  68, 109. 

O. 

Oberflächen. 

286.  Sur  la  th^orie  des  surfaces.    A.Pellet.    Compt.  Rend.  CXXIV,  451. 

287.  Sur  la  th^orie  des  surfaces  algäbriques  au  pomt  de  vue  de  la  G^om^trie  ^ 

Situation   et  sur  les  integrales  de  diffirentielles  totales.     Em.  Picüri 
Compt.  Rend.  CXXIV,  532. 

288.  Sur  la  th^orie  gän^rale  des  surfaces.    A.Pellet.     Compt.  Rend.  CXXIV.  TJs 

289.  Sur  les  syst^mes  de  surfaces  orthogonales  et  isothermes.    A.  Pellet.    Compt 

Rend.  CXXIV,  652. 

290.  Sur  les  surfaces  ayant  mSme  repr^sentation  sphärique.    A.  Pellet.    Ccmft 

Rend.  CXXIV,  1291. 

291.  Sur  les  surfaces  isom^triques.    A.Pellet.     Compt.  Rend.  CXXTV,  1337. 

292.  Nuove  ricerche   sulle  superficie  pseudo-sferiche.    L.  Bianchi.     Annah  nü- ' 

Ser.  2,  XXIV,  347. 

293.  Alcune  proprietä  fondamentali  dei  sistemi    lineari  di  curve  tracciati  s^op 

una  superficie  algebrica.  G.  Castelnuovo.  Annali  mat.  Ser.  2,  XXV,  23^ 

294.  Sulla  scomposizione  dei  punti  singolari  delle  superficie  algebriche.    C.  Segrel 

Annali  mat.  Ser.  2,  XXV,  1.  | 

295.  Sulla  riduzione  delle  singolaritä  di  una  superficie  algebrica  per  mezzo  di  in^\ 

formazioni  birazionali  dello  spazio.    M.  Pannelli.     Aimali  mat.  Ser.  ^,| 
XXV  67. 

296.  Die  singulkren  Punkte  der  Flächen.  E.Wölffing.  Zeitschr.  Math.  Phys.  XLIU* 


Abhandlungsregister.  1 15 

•7.  R^elflftche,    deren  Striktionslinie    auch  Erömmungslinie  ist.     R.  Hoppe. 

Grün.  Archiv  2.  R.  XV,  260. 
6.  Sur  les  lignes  g^odäsiqaes  des  surfaces  &  courbures  oppos^es.    Hadamard. 

Compt.  Rend.  CXXIV,  1603. 

9.  Solle  vanetä  a  tre  dimensioni  con  una  cunratura  nulla  e  due  eguali.    Rem. 

Banal.  Annali  mat.  Ser.  2,  XXIV,  213. 

0.  Das  erweiterte  Theorem  von  Bour.   F.  Ebner.   Zeitschr.  Math.  Phys. XLII,  216. 

1.  Die  Invarianten  der  allgemeinen  Fläche  dritter  Ordnung.    K.  Bobek.  Wien. 

Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  Cm,  187. 

12.  Sur  la  d^fonnation  de  certains  parabolotdes  et  sur  le  th^or^me  de  M.  Wein> 

^rten.    Eng.  Cosserat.    Compt.  Rend.  CXXIV,  74t. 
0.  Solle  intersezioni  di  tre  superficie  algebriche.    L.  Berzolari.    Annali   mat. 

Ser.  2,  XXIV,  166. 
4.  Einige  Konstruktionen  bezQglich  der  Schnittkurven  von  Umdrehungsflächen 

mit  Ebenen.    J.  Sobotka.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha)  CV,  871. 
)5.  Sur  les  surfaces  qui  peuvent,  dans  plusieurs  mouvements  diff^rents,  engendrer 

une  famille  de  Lam^.    Eng.  Cosserat.    Compt.  Rend.  CXXIV,  1426.  — 

Darboux  ibid.  1428. 
)6.  Sur  les  centres  de  gravit^   des   surfaces   parallMes  k  une  surface  fermde. 

Em.  Duporcq.    Compt,  Rend.  CXXIV,  492. 
)7.  Aufgabe  über  ein  Eugelballon-Netz.    S.  Finsterwal  der.    Zeitschr.  Math. 

Phys.  XLII,  63. 
}8.  Una  questione  geometrica.    Gem.  Pirondini.    Annali  mat.  Ser.  2,  XXV,  61. 
*  Vergl.  Absolute  Geometrie  7,  8,  11. 

Oberflächen  zweiter  Ordnung. 

D9.  Über  das  Eriterion  der  Eoaxialität  zweier  Mittelpunktsflächen  zweiter  Ord- 
nung.   Jos.  Finger.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  CIH,  1061. 
Vergl.  Ellipsoid. 

Optik. 

10.  Oq  the  lonfidtudinal   component  in   light.    G.  Fr.  Fitz  Gerald.    Phil.  Mag. 

Ser.  6,  XLII,  260. 
U.  Longitudinales  Licht.    G.  Jaumann.   Wien.  Akad.  Ber.  (AbÜg.  IIa)CIV,  747. 
18.  Graphical  method  for  finding  the  focal  lengths  of  mirrors  and  lenses.    Edw. 

H.  Barton.    Phil.  Mag.  Ser.  5,  XLI,  69. 

13.  Graphical  method  for  lenses.    R.  S.  Cole.    Phil.  Mag.  Ser.  5,  XLI,  216. 

U.  Od  a  simple  geometrical  construction  for  finding  the  intensity  of  illumination 
at  any  point  of  a  plane  due  te  a  small  source  of  light  symmetrical 
about  an  axis  perpendicular  te  that  plane.  Ch.  H.  Lees.  Phil.  Mag. 
Ser.  6,  XL,  463. 

1^  Oq  the  relation  between  the  brightness  of  an  object  and  that  of  its  image. 
W.  T.  A.  Emtage.    Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLI,  604. 

16.  Über  die  Helligkeit  des  verfinsterten  Mondes  und  die  scheinbare  Vergrösserung 
dee  Erdschattens.   J.  v.  H  e  p  p  e  r g  e  r.  Wien.  Akad  Ber.  (Abtlg.  II  a)  CIV,  1 89. 

17  Oq  the  theory  of  optical  images  with  special  reference  te  the  microscope. 
Lord  Rayleigh.  Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLII,  167.  —  G.  Johnst.  Stoney 
ibid.  882,  423,  499;  XLm,  189,  273,  368.     [Vergl.  Nr.  360.] 

18.  Die  Laplacesche   und  die  Salmonsche  Schattentheorie  und  das    Saturnring- 

Schattenproblem.   H.  Buchholz.   Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ua)  CIV,  863. 

19.  Oq  the  division  of  energy  in  the  emission-spectrum  of  a  black  body.  W.Wien. 

Phil.  Maj.  Ser.  6,  XLm,  214. 

20.  Oq  the  resolvmg  power  of  telescopes   and   spectroscopes  for  lines   of  finite 

width.    F.  L.  0.  Wadsworth.    Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLHI,  317. 
W  l  ber  den  Einfluss  der  selektiven  Absorption  auf  die  Extinction  des  Lichtes 
in  der  Atmosphäre.     J.  v.  Hepperger.     Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa) 
CV,  173. 
Vergl.  Elektrizität  98. 

P. 
Parabel. 
[J2.  Propri^t^s  de  la  parabole,    E.  Colart.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  26. 
»23.  Theor^es  sur  la  parabole.    E.  N.  Barisien.    Mathesis,  Sör.  2,  VE,  272. 


11g  Historisch -litterariflche  Abteilung. 

324.  On  consid^re  les  paraboles  dont  Taxe  passe  par  un  point  donn^  P  et  d 
touchent  une  droite  donn^e  AB  a,\L  m6me  point  A.  Le  foyer  d*kt 
ane  hyperbole  ^quilatäre,  la  tangente  au  sommet  enveloppe  nne  paral»! 
Droz-Farny.    Libert.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  276. 

326.  Parabole  enveloppe  de  la  hauteur  d^un  triangle  variable.  A.  Droz>Farii{ 
Mathesis,  S^r.  2,  VII,  142.  —  Barisien  ibid.  144. 

326.  Parabole  enveloppe  d'une  droite.    Betali.    Mathesis,  Sär.  2,  VII,  212.        I 

327.  Lieu  des   sommets  de  paraboles   tangentes   k  deux  normales   rectangulairj 

d'une    parabole   donn^e   et   ayant   le   meme   foyer   qne    cette    coniqj 
R.  Buysens.    Droz-Farny.    Mathesis,  S^r.  2,  vH,  255. 

328.  CardioYde  lieu  des  foyers  des  paraboles  tangentes  k  une  hypocycloide.    G  o 

Mathesis ,  Sär.  2,  VII,  256. 
Vergl.  Dreiecksgeometrie  88.    Normalen  282,  283. 

Perspektive. 

329.  Zur  Perspektive  des  Kreises.    Rud.  Schussle r.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XU 

107.     [Vergl.  Bd.  XLI  Nr.  207  und  208.] 

Planimetrie. 

830.  Räsum^  de  la  th^orie  de  T^quivalence.  L.  G^rard.  Mathesis,  S^r.  2,VII.dSI 

331.  Une    nouvelle    d^monstration    du    postulatum    d'Euclide.      J.  M.    Joubii 

Mathesis,  S6r.  2,  VU,  225.  —  P.Barbarin,  SoUertinsky  ibid.  266. 

332.  Trois  droites  concourent  en  un  mSme  point.     Collette,  Gob,  KompeH 

Mathesis,  Sär.  2,  VII,  69.   —   J.  Jonesco,  Mandart,  Ddprez  ibid.  T« 

333.  Th^oröme  sur  les  bissectrices  d^un  angle  et  de  son  Supplement.      D^prfi 

Mathesis,  S^r.  2,  VII,  271. 

334.  Sur  5  droites  qui  concourent  dans   un  m§me   point  chaque  fois  qu'un  angli 

est  arctg  2.     E.  Colart.     Mathesis,  Sör.  2,  VII,  77. 

335.  Sur  le  th^or^me  relatif  au  carr^   de  Thypot^nuse   et  le   cinqui^me  postds 

d'Euclide.    V.  Reyes.    Mathesis,  Sär.  2,  VII,  86. 

336.  Construire  un  triangle  ABC,  connaissant  AB,  AC  et  sachant  que  V^n^' 

C^2B  ovL  C==SB.   Colart.   Droz-Farny  etc.  Mathesis,  Ser.2,Vn.i:i 

337.  Sur  un  triangle  tifant  son  origine  d'un  triangle  ^quilat^ral  ABC  en  prenaas 

sur  ces  cöt^s   des   segments   AM^x,  BN==^2x,   CP=3x  et  rtoi 
sant  3f,  iV,  P.    H.  Mandart.    Mathesis,  S^r.  2,  VH,  98. 

338.  Sir  les  pseudocarr^s.    J.  Jonesco.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  48. 

339.  Construction  d^un  pseudocarr^  connaissant  un  c6t^   et  les   angles   adjaceni 

Droz-Farny  etc.     Mathesis,  S^r.  2,  VII,  209. 

340.  Sur  trois  quadrilat^res  dont  deux  d^rivent  du  troisi^me.    Bastin.   Mathf^i*^ 

Sär.  2,  Vn,  119. 

341.  Construction  du  pentagone  regulier.   A.  Cayley.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  19^ 

342.  Th^or^me  sur  Thexagone  inscrit  ä  un  cercle  et  tel  que  trois  diagonales  <  "m 

joignent  des  sommets  oppos^s  concourent  en  un  mSme  point.  E.  Matbct 
Mathesis,  Sär.  2,  VII,  139. 
"    Vergl.  Dreiecksgeometrie.     Gleichungen  190,  191. 

Potential. 

343.  Über    eine   Eigenschaft    des    Potentials    unter   Annahme    eines    Greenscbn^ 

Wirkungsgesetzes.  W.  Wirtinger.  Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  II a)  CV, 5u' 

344.  Sur  le  problöme  de  Dirichlet.     S.  Zaremba.    Compt.  Rend.  CXXTV',  940 

Vergl.  Elastizität.    Elektrizität.    Magnetismus.    Wärmelehre. 

Quadratur. 

345.  Aire   d'une   courbe  fermöe    engendr^e    k  Taide   d*une   cissoide.     Mandait 

Mathesis,  Sär.  2,  VII,  199,  —  J.  Neuberg  ibid.  201. 


Rechnen. 

346.  Sur  la  däfinition  de  la  multiplication.    A,  Listray.    Mathesis,  S^r.  2,\TI,J" 

[Vergl.  Bd.  XLn  Nr.  343.J 

347.  La  multiplication  egyptienne  et  russe.    Plakhovo.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  86 


Abhandlungsregister.  117 

i8.  Sur  les  calculs  approcljiös.    L.  Gärard.    Mathesis,  Ser.  2,  VII,  248. 
Vergl.  Wnrzelausziehung.    Zinaeszins. 

Beihen. 

19.  über  den  Eonvergenzkreis  der  umgekehrten  Reihe.    0.  Stolz.    Wien.  Akad. 

Ber.  (Abtlg.  fla)  CIV,  486. 
K).  Thäordme  sur  les  säries  entiäres.   Hadamart.    Compt.  Rend.  CXXIY,  492. 
(1.  Remarques  utiles  dans  les  calculs  de  limites.    £.  Cesaro.    Mathesis,  Sär.  2, 

Vn,  177. 
».  Sur  les  säries  de  Taylor.    Eug.  Fabry.    Compt.  Rend.  CXXTV,  142.    [Vergl. 

Bd.  XLH  Nr.  687.1 
S3.  Studie    zu  Raabes    Monographie    über   die   Jacob -Bemoullische   Funktion. 

L.  Saalschütz.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XLII,  1. 

B4.  Si  Qn^p  däsigne  la  somme  des  produits p  b,  p  des  fractions  — ,  — ,  -^^^^•  — 

p=n  12      3  n 

on  a  la  formule  ^^2/'g/i,|»  =  ^(n'+3n).   Audibert.   Mathesis ,  Sör.  2, 
Vn,  276.  ^^  ^ 

65.  Sur  deux  säries  convergentes.    Stuyvaert.    Mathesis,  Sär.  2,  VH,  42. 

56.  Über  Dirichleta  Reihen.     F.  Mertens.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  üa)  CIV, 

1093,  1168. 
61.  Die  Summierung  einer  Gattung  trigonometrischer  Reihen.   Fr.  Rogel.    Grün. 

Archiv  2.  R.  XV,  266. 
168.  The  development  of  arbitrary  functions.     J.  Perry  and  H.  F.  Hunt.    Phil. 

Mag.  Ser.  6,  XL,  606. 
159.  On  the   convergency  of  Fourier's   series.    W.  Williams.    Phil.  Mag.  Ser  6, 

XLTT,  126. 
i60.  On  the  general  extension  of  Fourier's  theorem.    Thom.  Preston.    Phil.  Mag. 

S^r.  6,  XLm,  281,  468.    [Vergl.  Nr.  316.) 

161.  Systeme  von   arithmetischen  Reihen  n'er  Ordnung.    G.  Speckmann.    Grün. 

Archiv  2.  R.  XV,  332. 

162.  Sur  quelques  progressions  arithm^tiques.    Mathesis,  Sdr.  2,  VII,  14. 
tö3.  Sor  une  lormule  de  Newton.    £.  Lampe.    Mathesis,  Sär.  2,  VII,  109. 

^4.  Sur  quelques  formules  qui  repräsentent  par  approximation  Tarc  dont  on 
connait  les  sinus  et  le  cosinus.  E.  Lampe.  Mathesis,  S^r.  2,  VII,  129, 
163,  183. 

365.  Eine    besondere   Gattung    goniometrischer    Nulldarstellungen.     Fr.  Rogel. 

Grün.  Archiv  2.  R.  XV,  431. 
Vergl.  Abelsche  Transcendenten  6.    Interpolation. 

S. 

Bohwerpunkt. 

366.  Sur  le  centre  de  gravitö  de  l'aire  limitde  par  une  courbe  fermäe  donnee  et 

une  certaine  autre  courbe  ferm^e  variable.  Gob.  Mathesis,  S^r.  2,  VII,  229. 
Vergl.  Oberflachen  306. 

Stereometrie. 

367.  Demonstration  nouvelle  relative  ä  la  perpendiculaire  ^  un  plan.    Dubonis. 

Mathesis,  S^r.  2,  VII,  248. 

Bubstitutionen. 

868.  The  Substitution  group  whose  order  is  four.    G.A.Miller.    Phil.  Mag.  Ser.  6, 

XLI,  431. 
%9.  The  Operation  groups  of  order  8p,  p  being  any  prime  numbcr,   G.  A.  Miller. 

Phil.  Mag.  Sdr.  6 ,  XLÜ  ,196. 
^70.  The  transitive  Substitution  groups  of  order  8p,  p  being  any  prime  number. 

G.  A.  Miller.   Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLÜI,  117. 

371.  Sur  r^num^ration  des   groupes  primitifs   dont  le   degr^  est  infärieur  ä  17. 

J.  A.  Miller.    Compt.  Rend.  CXXIV,  1606. 

372.  Sur  une  sdrie  de  groupes  primitifs  holoddriquement  isomorphes  k  des  groupes 

plusieurs  fois  transitifs.    £d.  Maillet.    Compt.  Rend.  CXXIV,  361. 


1J3  Historisch -litierarische  Abteilung. 

T. 

Tetraeder. 

873.  Conditions  auxquelles  doivent  satisfaire  les  ar^tes  d'un  t^tra^dre  afin  que  c^^ 

taines  droites  partant  de  qaatre  de  ses  angles  soient  les  g^n^ratricH 
d'un  hyperbolo'ide.    R.  B.    Mathesis,  S^r.  2,  VU,  28.  j 

Thetafanktionen. 

874.  Sopra  dne  relazioni  rimarchevoli  fra  i  valori  delle  derivate  delle  fnnzioiii  ^ 

ellittiche  per  argomento  zero.   Em.  Pascal.  Annali  mat.  Ser. 2, XXr\\ t^ 

TranBforznationBgrappeii. 

375.  Sor  la  d^termination  du  groupe  de  transformation  d^uzie  ^quation  diff^rentieli 

linäaire.    F.  Marotte.     Compt.  Rend.  CXXIV,  608. 

376.  Sulla  teoria  dei  gruppi  infiniti  continui.   P.  Medolaghi.    Annali  mat.  Seri 

XXV,  179. 

377.  Des  groupes  transitifs  de  classe  ef  (e  et  f  ötant  premiers  avec  6<€</" 

de  degr^  ef-¥k  (k  ^tant  <e).   Ed.  Maillet,  Annali  mat. S^r. 2,''XX V. 21^ 

Trigonometrie. 

878.  Relation  entre  les   angles  a,  ß,  y,  d  se  d^duisant  d'une  ^qaation  entre  > 

sinus  et  les  cosinus  de  ces  memes  angles.   A.  Droz-Famy.  Audiber 

Mathesis,  Sör.2,  VE,  260. 
379.  Über  die  pythagoreischen  Dreiecke  und  ihre  Anwendung  auf  die  Teilung  d^ 

Kreisumfangs.    Graeber.    Grün.  Archiv  2.  R.  XV,  337, 489. 
880.  Relationen  bei  regulären,  dem  Eoreise  ein-  und  umbeschriebenen  Polygont^. 

E.  Dolezal.     Grün.  Archiv  2. R.  XV,  172. 
381.  Sur  une  relation  dans  le  triangle.    E.  Colart  etc.   Mathesis,  S^r.  2,  \TI,  *$ 

882.  Si   du  pied  D  de  la  hauteur  AD  d\m  triangle  ABC  on  abaisse  des  j>»:r- 

pendiculaires  DE,  DF  sur  les  cöt^s  AB,  ACIa  distance  £J^  est  moitk 
du  penm^tre  du  triangle  form^  en  joignant  les  pieds  des  hautenrs  t\* 
ABC.    Döprez.     Mathesis,  Sär.2,  VII,  271. 

883.  Calculer  le  c6t^   d'un  triangle  ^quilatäral,   connaissant   les    distances  d'rt 

point  de  son  plan  ä  ses  sommets.  Probleme  analogue  pour  an  t^tra^nb* 
regulier.    Retali.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  207. 

884.  Relation   ayant  lieu   dans  un   triangle   sph^rique.      Cristesco.      Mathe^ii, 

S^r.  2,  VII,  48.  —  J.  Neuberg  ibid.  44. 
886.  Th^orfeme  de  trigonometrie   sph^rique.      J.   Neuberg.      Mathesis,    S4t.  t 
Vn,  61. 
Vergl.  Reihen  868,  864. 

U. 

tTmkehningsproblem. 

386.  Sur  un  mode  d'inversion  des  integrales  multiples.    P.  Appell.    Compt.  Rt*n«i 

CXXIV,  213. 

387.  Sopra   alcune   questioni   di    inversione   di   integrali   definiti.     V.  Volterra 

Annali  mat.  Ser.  2,  XXV,  189. 

Wärmelehre. 

388.  Über  die  mechanische  Analogie  des  Wärmegleichgewichtes   zweier    sich  H?- 

rührender  Körper.     G.  H.   Ery  an  una  L.  Boltzmann.     Wien,  Akai 
Ber.  (Abtlg.  IIa)  Cm,  1125. 

889.  über  die  Temperaturverteilung  längs   eines  diinnen  Drahtes,  der  von  eineu 

konstanten  Strome  durchflössen  wird.    P.  Czermak.    Wien.  Ahad.  Ber. 
(Abtlg.  üa^  cm,  1107. 

890.  Sul  problema  aella  temperatura  nell'  ellissoide.    C.  Somigliana.     Annali 

mat.  Ser.  2,  XXIV,  69. 

891.  Of  the  kinetic  theory  of  gas  regarded  as  ülustrating  nature.    G.  J.  Stonev. 

Phil.  Mag.  Ser.  5,  XL,  862. 
392.  Weiterfiihrung  der  Annäherungsrechnung  in  der  Maxwellschen  GastheonV 
H.  Benndorf.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ua)  CV,  646. 


Abhandlungsregister.  119 

)$.  Sur  les  relations  exprimant  que  les  divers  coSfficienU  consid^r^s  en  Thermo- 

dynamique  satisfont  k  la  loi  des  ätat«  correspondents.    E.  H.  Amagat. 

Compt.  Rend.  CXXIV,  647. 
^4.  Folgernngen  aus  Amagats  YerBuchen.  C.  Puschl.  Wien.  Akad.  Ber. (Abtlg.  IIa) 

cm,  343. 
)5.  Äktinische  Wärmetheorie    und  chemische  Äquivalenz.     C.  Puschl.    Wien. 

Akad.  Ber.  (Abtlg.  11  aj  CUI,  809. 
)6.  Bemerkungen  über  Warmeleitung.   C.  Puschl.  Wien.  Akad.  Ber,  (Abtlg.  Ha) 

cm,  989. 
Vi.  Zar  Theorie  der  Dissociation   der   Gase.      G.   Jäger       Wien.   Akad.  Ber. 

(Abtig.  Ua)  CIV,  671. 
tö.  Die  Gasdruckformel  mit  Berücksichtigung  des  Molekularvolums.    G.  Jäger. 

Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  CV,  16. 
ra.  Über  den  Einfluss  des  Molekularvolumens  auf  die  mittlere  Weglänge  der 

Gasmolekule.    G.  Jäger.  Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa)  CV,  97. 
M).  Zur  Theorie  der  Zustandsgleichung  der  Gase.    G.  Jäger.    Wien.  Akad.  Ber. 

(Abtig.  na)  CV,  791. 
H.  Die  Erstamingswärme  in  Lösungen.  0.  Tumlirz.  Wien.  Akad.  Ber.  (Abtig.  IIa) 

CIV,  246. 

02.  tber  die  Verdampiungswärme  von  Lösungen.  0.  Tumlirz.  Wien.  Akad.  Ber. 

(Abtlg.  Ha)  CIV,  827. 

03.  Thermal  transpiration  and  radiometer  motion.    W.  Sutherland.   Phil.  Mag. 

Ser.  5,  XLn,  «73,  476. 

04.  Thermal  transpiration  and  radiometer  motion.   Osb.  Reynolds.    Phil.  Mag. 

Ser.  6,  XLm,  142. 

05.  Boyle's  law  at  very  low  pressures.    W.   Sutherland.     Phil.  Mag.  Ser.  6, 

XLm,  11. 

06.  tber  die  Berechnung  der  Abweichungen  der  Gase  vom  Boyle-Charlesschen 

Gesetz  und  der  Dissociation   derselben.    L.  Boltzmann.    Wien.  Akad. 
Ber.  (Abtijf.Ha)  CV,  695. 

07.  On  the  continuity  of  isothermal  transformation  from  the  liquid  to  the  gaseous 

State.    Th.  Preston.    Phil.  Mag.  Ser.  5,  XLII,  281. 

08.  On  the  straining  of  the  earth  resulting  from  secular  cooling.    Ch.  Davison. 

PhU.  Mag.  Ser.  ö,  ILI,  133. 

09.  Über   die    Zusammensetzung    der    gesättigten    Dämpfe    von    Mischungen. 

M.  Margules.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtig.  Ha)  Clv,  1243. 

10.  On  the  properties  of  a  mixture  of  liquids.     R   A.  Lehfeldt.     Phil.  Mag. 

Ser  6,  XL,  397. 

11.  Theoretical  considerations  respecting  the   Separation  of  gases  by  diffusion 

and  similar  processes.    Lord  Rayleigh.    Phil.  Mag.  Ser.  5,  XLII,  493. 

12.  Sor  la  dynamique   des   r^actions  chimiques  homogenes  avec  d^ffagement  ou 

absorption  de  chaleur.    M.  Petrovitch.    Compt.  Rend. CXXlv,  1344. 
Vergl.  Elektrizität  102. 

Wahrsoheinliohkeitgreohniing. 

13.  The  asymmetrical  probability-curve.    P.  Y.  Edgeworth.    Phil.  Mag.  Ser.  6, 

XLI,  90. 

14.  The  Compound  law  of  error.    P.  Y.  Edgeworth.    Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLI,  207. 

Wellenbewegnn«:. 

16.  On  the  passage  of  waves  through  apertures   in  plane   screens  and  allied 

Problems.    Lord  Rayleigh.    Phil.  Mag.  Ser.  6,  XLm,  269. 

Wlnkeltellung. 

Ift.  Über  einen  Mechanismus,  durch  den  ein  beliebiger  Winkel  in  eine  beliebige 
ungerade  Anzahl  gleicher  Teile  geteilt  werden  kann.  A.  Korse  lt. 
Zeitschr.  Math.  Phys.  XLII,  276. 

17.  Eine  approximative   Winkeldreiteilung.     C.  F.  E.  Björling.     Grün.  Archiv 

2.  R.  XV,  223. 

WurgelaiiBgifthiing* 

'18.  Sor  Textraction  de  la  racine  carr^e  des  nombres.  E.  Barbette.  Mathesis, 
S^.  2,  Vn,  69. 


t« 


120  Historisch  >  litterarische  Abteilung.    Abhandlungsregister. 

A19.  Extraction   de  la  racine  carr^e  d'un  nombre  entier.    Stayvaert.    Math 
Sdr.  2,Vn,  161.    [Vergl.  Bd.  XLH,  Nr.  413.] 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik  159,  160.     Kettenbrüche  229,  230. 

Z. 

Zahlentheorie. 

420.  Zum  Beweise   des  Satzes,   dass  jede  unbegrenzte   arithmetische  Reihe, 

welcher  das  Anfangsglied  zur  Differenz  relativ  prim  ist,  unendlich  \\ 
Primzahlen    enthält.       Gr.  Speckmann.       Grün.  Archiv  2.  R.  XV. 
[Vergl.  Bd.  XL,  Nr.  276.] 

421.  Lineare  Relationen  zwischen  Mengen  relativer  Primzahlen.    Fr.  Rogel.  (h 

Archiv  2.  R.  XV,  315. 

422.  Dyadische    Koordination    der     bis    100000    vorkommenden   Primzahlen 

Reihe  der  ungeraden  Zahlen  E.Suchanek.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg. 
cm,  448. 

423.  Zur  additiven  Erzeugung  der  ganzen  Zahlen.    R.  Daublebsky  v.  Sterne 

•   Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  fia),  CV,  876. 

424.  Über  die  Zerlegung  der  Zahlen  in  Quadrate.    G.  Speckmann.     Grün.  Arti 

2.  R.  XV,  328. 

425.  über  die  Anzahl  der  Darstellungen  einer  ganzen  Zahl  durch  gewisse  Foi 

L.  Gegenbauer.     Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha),  CIII,  115. 

426.  über    die    Äquivalenz   der  reduzierten   binären  quadratischen    Fonnea 

positiver  Determinante.      F.  Hertens.     Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg. 
cm,  995. 

427.  Einige   Bemerkungen   zum    quadratischen   Reziprozitätsgesetze.      L.  Gegei^ 

bauer.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa),  CIII,  285.  I 

428.  Über   den   quadratischen  Rezlprozitätssatz  und  die  Summen  von  Gau^^s    F 

Mertens.    Wien.  Akad.  Ber.  (Abtlg.  Ha)  CHI,  1006. 

429.  Über  die   Anzahl   derjenigen  ganzen  ganzzahligen  Funktionen   «tten  Ora.H 

von  x^  welche  in  Bezug  auf  einen  gegebenen  Primzahlmodnl  eine  mti 

geschriebene  Anzahl   von  Wurzeln   besitzen.     E.  Zsigmondj.     Wi>':J 

Akad.  Ber.  (Abtlg.  IIa),  cm,  135. 
4S0.  Über  die  Auflösung  der  Kongruenz  x^  =:  a  (mod. p).    G.  Speckmann.   On.L 

Archiv  2.  R.  XV,  335. 

.ber  Potenzreihen.    G.  Speckmann.     Gnm.  Archiv  2.  R.  XV,  334. 

432B.  Hur   certains   points   de  la  th^orie  des  räsidus    des   puissances.     Caract^r^ 

distinctifs  des  nombres,  ou  racines,  d^oü  proviement  les  residas  gen^n 

teurs.     De  Jonquiäres.     Compt.  Rend.  CXXIV,  334. 
4HH.  Th<^*or^me  sur  les  fractions  däcimales  pdriodiques.     Mathesis,  S^r.  2,  VU,2t; 

--  Stuyvaert  ibid.  249.  —  L.  Meurice  ibid.  268. 
mi.  Lc  <(uotient  de  (2  m  —  1)!  par  m!  (m  — 1)1  est  un  nombre  pair  excepie  quandi 

ent une puissance de 2.    Brien,  Colart,  Soons.   Mathesis,  S<§r.  2, VIL:i3 
i'Mt.  C^iHistions  d'arithmologie.    De  Rocquigny.    Mathesis,  S^r.2,VII,  217. 
4;WJ,  l'ht»r  rationale  Richtungscosinus.    R.  Hoppe.     Grün.  Archiv  2.  R.  XV,  32S. 
ml    Fonno   den  nombres  qui,   divis^s  par  a,  &,e...   laissent  respectivement  1 

restöB  a',  b\  c',..    E.  Colart.    Mathesis,  Sdr.2,  VII,  149. 
iHH.  Hur  certains  carr^s  parfaits.    Van  Deuren  etc.     Mathesis,  8^r.2,  VH,  18 
iH*j   Hur  l<;s  nombres  triangulaires  carräs  parfaits.    L.Collette.    Mathesis,  S^r. 

VII,  40. 

440.  D^composition  de  (a*-\-b^^en  trois,  quatre  ou  cinq  carr^s.  G.  de  Rocquigü; 

Adanson.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  18. 

441.  ßur  r^iuation — -il-^ -j.  —  i!- TL/ _  y«^    x    et   y    ^tant  des   fonctions   de 

A.  Boutin.     Mathesis,  S^r.2,  VII,  269. 

442.  Tout  cube  est  la  diif^rence  de  deux  carr^s,  dont  Tun  au  moins  est  divisil 

par  9.     E.  Fauquembergue.    Mathesis,  S^r.  2,  VII,  50. 

443.  Holutions  enti^res  de  l'äquation  ^^i'+js.'-f-^s'H +i^»'=(5n-|-«)**.    E.Fa 

quembergue.    Mathesis,  S^r.2,  VlI,  27. 
Vi'fgl.  Combinatorik  52.     Formen.    Funktionen  130.    Geschichte  der  Mätl 
matik  158.     Gleichungen  188.    Reihen  355,  856. 

ZinseBsiiiB. 
444    «ur  UtH  lois  de  rint^rßt.     Enr.  de  Montel.    Compt. ^Rend.  CXXIV,  224, 


Historisch-litterarische  Abteilung. 


Prix  Lobatohefsky 

(Premier  Coneourg  1897). 

La  Soci^te  Physico-math^inatique  de  Kasan  a  rhonneur 
rinformer  qu'elle  a  deceme  dans  sa  seance  solennelle  de  3  Novembre 
;220ctobre)  1897  le  prix  de  N.  I.  Lobatchefsky  ä  M.  Sophus  Lie, 
srofesseur  ordinaire  k  rüniversit^  de  Leipzig^  pour  son  ouvrage: 
Jheorie  der  Transformationsgruppen.   Band.  III.  Leipzig  1893.^' 

Les  mentions  honorables  sont  d^cemees 

a  M,  L.  G^rard,  professeur  au  Lycee  Ampere  (Lyon),  pour  son 
)avrage:  ,,Th^se  sur  la  g^om^trie  non  Euclidienne.   Paris  1892^', 

a  M.  E.  Cesaro,  professeur  ordinaire  ä  Tüniversite  Royale  de 
t^aples;  pour  son  ouvrage:  ,,Lezioni  di  Geometria  intrinseca. 
ffapoli  1896", 

et  ä  M.  G.  Fontene,  professeur  au  College  Rollin,  pour  son  ouvrage: 
,L'liyp^respace  ä  n  — 1  dimensions.    Paris  1892". 

La  medaille  d'or  de  N.  I.  Lobatchefsky,  destinee  selon  le  §  16  du 
Reglement  du  prix  Lobatchefsky  a  recompenser  le  travail  des  personnes 
)Qi  aident  ä  la  Societe  physico-mathematique  de  Kasan  ä  examiner 
es  oayrages,  präsentes  au  concours  ä  ete  decem^e  dans  la  meme 
leance  solenneÜe  de  3  Novembre  1897  ä  M.  Felix  Klein,  professeur 
)r(ünaire  ä  FUniversite  de  Gottingue,  pour  son  rapport  sur  TouTrage 
le  M.  Lie.  Le  rapport  de  M.  Klein  vient  d'etre  imprim^  ä  Kasan  sous 
e  titre:  „Zur  ersten  Verteilung  des  Lobatschewsky-Preises 
Gutachten,  betreffend  den  dritten  Band  der  Theorie  der  Transformations- 
puppen  von  S.  Lie)." 

Les  rapports  sur  les  ouvrages  de  M.  Gerard,  Gesaro  et  Fon- 
ene  ont  6i6  donnfo  par  M-rs  prof.  T.  Souvorof,  D.  Seiliger  et 
.  Xasimof,  membres  de  la  commission.  £n  outre  ont  pris  part  aux 
ravaux  de  la  commisson  M-rs  prof.  D.  Doubiago,  A.  Kotelnikof, 
y  Sintzof  (secr^taire  de  la  commission). 

Le  nombre  total  des  ouvrages  presentes  au  concours  ä  ^t^  ^gal 
i  neuf. 

Hiii-mt.  Abt  d.  Zeitsohr.  f.  Math.  u.  Phyt.  48.  Jahrg.  1898.  4.  u.  5.  Haft.  10 


122  flistorisch-litterariache  Abteilung. 

Extralt  du  Reglement  du  Prix  Lobatchefskj. 

Le  prix  Lobatchefsky  est  d^cerne  tous  les  trois  ans.  II  est  Sm 
valeur  de  500  roubles  papiers.  II  reste  ä  la  volonte  de  la  Societe  den 
augmenter  avec  le  temps  la  valeur,  si  l'etat  du  capital  le  lui  pernio 

(§  4). 

Le  prix  Lobatchefsky  est  destin^  aux  ouvrages  relatifis  ä  la  gec 

m^trie,  et  de  preference  ä  la  geometrie  non  —  Euclidienne  (§  5). 

Sont  admis  ä  concourir  ä  ce  prix  les  ouvrages  imprimä  en  russc. 
fran^aiS;  allemand,  anglais,  italien  et  latin,  adresses  ä  la  Societe 
Physico-mathematique  par  leurs  auteurs  et  publi^s  dans  le  cours  des 
six  ann^es  qui  auront  prec^d^  le  jugement  de  la  Societe  concemaCi 
le  prix  (§  6). 

Dans  aucun  cas  le  prix  ne  peut  etre  partage  entre  dem  (« 
plusieurs  auteurs  concurrents.  Dans  le  cas  oü  se  pr&enteront  plusieunl 
ouvrages  d'egale  valeur ,  c'est  le  tirage  au  sort  qui  en  decidera  (§ 


Le  prix  sera  deceme  pour  la  seconde  fois  le  3  Novembre  19)." 
Selon  le  §  11  du  r^glement,  les  ouvrages  destin^s  au  conconrs  doireti 
etre  adresses  ä  la  Societe  Physico-mathematique  de  Kasan  jnsqos 
3  Novembre  1899. 

President  de  la  Societe  Physico-mathematique 

20  Decembre  1897.  A.  Vassilief. 


Ein  „Tractatus  de  Abaoo'*  aus  der  Wende 
des  XIL  und  XIII.  Jahrhunderts. 

Nach  Codex  Vindobonensis  Palatinus  901,  f.  87-96 

herausgegeben  Ton 

Maximilian  Curtze 

in  Thorn. 


.if. 


Der  nachfolgend  abgedruckte  Tractatus  de  Abaco  ist  in  mA 
facher  Hinsicht  von  Interesse.  Er  stammt  aus  jener  Zeit,  wo  i* 
Abacusrechnen  mit  dem  Algorismus  im  Streite  lag,  und  wo,  das  zti? 
unsere  Abhandlung  deutlich,  beide  noch  nebeneinander  geübt  und  g^ 
lehrt  wurden.  Er  zeigt  femer,  dass  der  Verfasser  wenigstens  i^ 
Abacusrechnen  auf  die  Römer  zurückführt  und  dasselbe  im  Gegend" 
zu  dem  arabischen  Rechnen  stellt.  Er  ist  sich  der  Verachiedenh^i' 
beider  Methoden  ebenso  bewusst  als  des  Gemeinsamen  derselben,  iicd 


Ein  „Tractatns  de  Abaco"  etc.  123 

erläutert  das  Verfahren  der  Araber  durch  das  des  Lateinischen  Abacus. 
Bei  dem  arabischen  Dividieren  der  Brüche  benutzt  er,  so  wenigstens 
glaube  ich  kann  man  seine  Darlegung  nur  auffassen,  Dezimalbrüche, 
während  er  auch  das  System  der  römischen  Minutien  genau  auseinander- 
setzt. Die  Zeichen  des  Abacus  unterscheidet  er  von  denen  des  Algoris- 
mus,  und  aus  seinen  Zeichen  kann  man  sehen,  wie  die  beiden  Formen 
j,  h  f&r  3  sich  entwickelt  haben.  Dass  die  Form  h  statt  j  der  leich- 
teren Schreibart  halber  in  der  spätem  flüchtigeren  Schrift  das  alleinige 
Recht  behielt,  ist  nicht  zu  rerwundem,  aber  gerade  die  Verwendung 
beider  Zeichen  nebeneinander  spricht  dafär,  dass  die  Niederschrift 
dem  Ende  des  XII.  oder  dem  Anfange  des  XIII.  Jahrhunderts  an- 
gehört, da  die  Benutzung  der  Form  h  mit  dem  XTTT.  Jahrhundert  ab- 
solut aufhört.  Das  Charakteristische  des  Abacusrechnens,  dass  nur 
Multiplikation  und  Division  gelehrt  werden,  nirgends  aber  Addition 
und  Subtraktion,  findet  sich  auch  hier,  und  zwar  fär  beide  Rechnungs- 
arten. Von  der  komplementären  Division  ist  keine  Spur  mehr  vor- 
handen, wohl  aber  in  dem  arabischen  Teile  von  der  komplementären 
Multiplikation.     Möge  nun  die  Abhandlung  fär  sich  selber  sprechen. 

Tractatus  de  abaco. 

I  Quia  de  quantitate,  que  numerus  est,  acturi  sumus,  primo  viden-  87 
dum  est,  quid  sit  numerus,  et  que  eins  species.  Est  autem  numerus, 
per  quem  numeramus;  sie  diffinitur,  sie  autem  dividitur.  Numerus  autem 
alius  digitus,  alius  articulus.  Digitus  appellatur  omnis  numerus  ille, 
qui  continetur  infra  limitem*),  scilicet  unus,  duo,  III,  Uli,  et  ita  usque 
ad  X.  Ipsum  autem  X,  primum  scilicet  limitem,  appellamus  articulum. 
Et  sciendum  est,  quod  ultra  predictum  articulum^)  nullus  est  novus 
numerus,  sed  predictos  digitos  cum  predicto  articulo  iungimus^),  et  nu- 
merando  dicimus:  undecim,  duodecim  tredecim,  et  sie  usque  ad  viginti,  qui 
est  seeundus  articulus.  Item  sciendum  est,  quod  ultra  primum  articulum^> 
uon  est  novus  articulus  usque  ad  centum;  scilicet  ipsum  primum  diverso 
modo  multiplicantes^)  articulum  facimus  istos  articulos  viginti,  triginta, 
quadraginta  et  ceteros  usque  ad  centum.  Unde  etiam  dicitur  viginti 
quasi  bis  geniti,  quia  a  bis  X  generatur,  et  triginta  a  ter  decem.  Item 
supra  G  non  est  novus  articulus  usque  ad  miriadem,  id  est  ad  mille, '  sed  87' 
diyersitates*^  multiplicationis  centenarii  faciunt  istos  articulos:  ducenti, 
trecenti  et  sie  usque  ad  miriadem*'),  super  quam  nee  est  aliquis  novus 
digitus,  nee  articulus,  sed  per  adiunctionem  miriadis  tam  cum  digitis 
quam  cum  articulis  ascendimus  numerando  et  facimus  duo  milia  et 
trecenta  etc.  Hie  de  numero,  et  quisquis  pro  suo  ingenio  plura 
concipiet. 

Nunc  videndum  est,  quid  sint  arcus  tabule  cum  nomiuibus  et 
figuris  ipsos  representantes.^)  Appellantur  autem  sie:  singularis,  de- 
<?enu8,  centenus,  millenus.  Nunc  videndum  est,  quid  arcus,  ex  quibus 
uumerifi,   et  qualiter  ex   illis  formantur.     Et  nota,   quod  solus  singu- 

10* 


124  HiüCccBck-Ihtermrische  Abteilang. 


fc-rmacor  'aniiini  a  £gitis  ei  non  ab  articulis^  reliqui  yero  omnes 
ao  jracuLb  anmm  et  won  a  digitia.  ünde  etiam  eyenit^  caracteres  in 
^mrriATT  Accu  p«)^fiü«  xiciLil  bIsi  tuiium  digitos  representare/)  in  reli- 
luis-  7ef*>  imnibos  arcubos  semper  articulos  et  nunquam  digitos  signi- 
^  3scai^.  ?i  aTTiIiint  Mp«r  se  habent  arcuum  caracterem. ;  Nam^  si  super 
^  j;^vac  camrttrem«  Agitom  et  non  articulum  significat  collatus 
:9op«r:*«rT:  ^  ^miLicib  «x  htere«  arttcolom  et  non  digitum.  Porro  seien* 
iiun  -jHC  ^raam^  pp>pnetat«s  el  eontinentie  arcuum^  que  intellecte  et 
iilijiC^aaHr  MiMmUDi^  iyrmta  etiam  arcuum  nos  yidere  facient,  scilicet^^ 
lU^^aar  ipsi  aretc^  utfier  se  et  a  se  ipsis  formentur,  scilicet  qualiter 
3n»x:mu$  tvnntfnir  a  proximo,  et  tereius  a  tercio,  et  quartus  a  quarto, 
•€  :3ic  Ott  c«a»ns.  £>(  igitur  proprietas  qnedam  communis  omnibus, 
i^  i«:uii.*'C«  4UiKi  pn^ximtts  ad  proximum  est  decenus,  quia  decies  con- 
uiirc  tmm:  ec  ojjitf  «sc«  qtiod  pitaimns  a  proximo  naseitur^  quia  quilibet 
•4  ii.^-rt'rum.  iecoplacu:»  &cit  säum  superiorem,  id  est  proximum.  Item 
ttia  tr*'L*rt*C3»«  {aod  qoilibift  tereius  ad  tercium  est  centenus^  quartus 
«u     ..lar^um    auHeao»:    et   sie   proprietates   assignando   formas   etiam 

.V*:  ::c  ^MHaduni  est  nomina  caracterum  cum  figuris  et  nominibus, 

«;'ü    4U''ib«*c  car^'ter  in   quolibet  arcu  positus   tociens    significat 

N5^  >u:'^  ^r*pvu«i    numentm^  quotus  ipse   est.     Verbi   gratia.     Unitas    in 

^..^•.  ._-«    .tfx'u    unum  tantum,  in  deceno  positus  decem^  in  centeno  C, 

..    f     ei!\^  M  ^isTUiticat*  et  sie  de  ceteris. 

*  i**^»  iis  omni^^os  yi^is  seiendum  est,  si  quid  multiplicare  yolueris, 
.  .  .'  -^«tt  niulti^^Ltcandam  in  suprema  tabule  linea,  scilicet  sub  fignris 
^^.*  tt»  ,vil*»ea.  et  id.  per  quod  rem  multiplicandam  multiplicare 
*  •-•  -^  >cil'v.'*»c  riiul'-iplknitores,  in  infima  tabule  linea  coUoca.  Deinde 
^.  ♦.♦%'cvs.  Muriit.»n»«*  quos  multiplicatores  constat  esse,  adverbialiter 
...  ,*.  ^  «xiit  jtlica  <uperk>res,  et  numerum  yel  numeros,  qui  ex  illa 
/x>n.ioiu*  >iurv:utit,  in  mediam  lineam  tabule  compone  secundum 
M^uum,  v(uaruta  prima  de  singulari  talis  est: 
>i  »^ulur's  juxu*  quemcumque  arcuum  multiplicat,  in  eundem, 
•  .»lU  it.  p%>tw  digitum^  in  ulteriori  articulum. 

viixus  quemeumque  arcum  multiplicat,   in  secundum 
itäii  ^u'cuc«  poae  digitum,  in  ulteriori  articulum. 
,»;tii{*  vVMteui    et  milleni.     Hoc  tamen  diligenter  obseryans, 
u^us^   quoto   loco  distat  a  singulari,  in  talem  ab  eo, 
.  .  v:%i»  ^int  dictum,  in  ulteriori  articulum. 

>i      «tuiit   articuli,   quia  quandoque    ex   multiplicatione 

..  t«t'M>(um   t^urgit  digitus   tantum,   quandoque  articulus 

X  .t   d^^itui»  et  articulus.    Hec  retenta  et  diligenter  con- 

..«;«•  üiuhiplicatione  dicta.    Hec  tamen  adicimus,  quod 

^  ii    uultiplicatione**^  articuli  sunt  transferendi,  digiti 


•^ 


Ein  ,,Tractatu8  de  Abaco"  etc.  125 

relinquendi,  unde  sepe  eyenit,  quod  in  medio  arcus  imus  vel  duo  yel 
tres  relinquitur  yacuus. 

Cum  yero  multiplicaudi  scientiam  habeamus^  conyeniens  est,  ut 
etiam  diyidendi  scientiam  non  ammittamus,  cuius  fit  talis  diyisio. 
Diyisio  alia  simplex,  alia  multiplex.  Simplex,  in  qua  tantum  unus 
caracter  est  diyisor;  multiplex  in  qua  plures  diyisores  ponuntur.  Item 
muljtiplex  alia  continua,  alia  interrupta.  Continua,  in  qua  diyisores,  89' 
in  qnibuscunque  arcubus  positi  fuerunt,  inyicem  continuantur;  interrupta, 
in  qua  non  continuantur  diyisores,  sed  interrupti  ponuntur,  ita  scilicet, 
quod  quandoque  unus  arcus,  qui  interiacet,  yacuus  est,  quandoque 
plures.  Et  notandum,  quod  continuatio  siye  interruptio  diyidendorum 
non  det  nomen  continue  yel  interrupte  diyisioni,  sed  contiuuatio  yel 
interruptio  diyisorum,  sicut  ötiam  simplex  diyisio  accipit  nomen  a 
simplici  diyisore,  id  est  ab  uno  caractere  diyisoris,  id  est  diyisorem'> 
representante,  et  non  a  caractere  rem  diyidendam  representante,  quia'^ 
in  simplici  diyisione  quandoque  diyiditur  unus  caracter,  quandoque 
plures,  et  possunt  iUi  etiam  esse  continui  yel  interrupti,  et  tamen 
simplex  erit  pro  simplici  diyisore. 

Porro  diyisurus  aliquid  diyisores  pone  in  superiore  linea  tabule, 
res  diyidendas  in  medio,  denominajtiones  autem,  que  ab  bis  surgunt,  90 
in  extrema  et  infima  linea  compone.  Cuius  rei  conyersa  obseryasti  in 
multiplicatione:  ibi  enim  multiplicatores,  id  est,  per  quos  multipUcatur, 
in  inämo;  res  multiplicandas,  id  est  numerum,  qui  multiplicatur,  in 
supremo;  et  quod  inde  surrexit,  in  medio  coUocasti. 

Ad  diyidenda  igitur  hec  est  generalis  et  communis  regula:  Diyisor, 
si  minor  yel  equalis  fuerit  rei  diyidende,  superponatur,  si  maior  trans- 
feratur  in  proximum.  Gollocato  itaque  diyisore,  ita  scilicet,  ut  dili> 
genter  annotes,  unde  transferatur  diyisor,  scilicet  a  deceno  yel  a 
centeno  aut  a  milleno,  et  quod  sequentes  diyisores  etiam  secum  trans- 
ferantur  seryata  continuatione  eorum  priori,  si  fuerint  continui,  yel 
intermptione  eorum  priori,  si  fuerint  interrupti,  sicut  et  ubi  hec  regula 
precipit,  querere  debes,  quotiens  diyisor  continebitur  in  diyidendo; 
et  quotiens  continebitur  in  eo,  numerum  illum  appellabis  denomina  |-  90' 
tionem,  quam  coUocabis  in  diyersis  locis  secundum  diyersas  quarum- 
libet  arcuum  regulas,  quarum  diyersitatem  subscriptam  diligenter  animum 
adyerte. 

Singularis  diyisor,  quocumque  translatus  fuerit,  subponet  sibi 
denominationem,  et  qui  remanet,  sub  eo  ponetur;  ita  dico,  si  aliquid 
remanet,  quia  quandoque  nichil  remanet.  Verbi  gratia:  quotiens  est 
binarius  in  senario?    Ter.    Ecce  nichil  remanet. 

Decenus  diyisor,  quocumque  translatus  fuerit,  secundabit  a  se 
denominationem,  et  quod  remanet,  sub  ipso  ponetur;  centenus  tercia- 
bit;  millenus  quartabit,  et  sie  de  ceteris:  quoto  loco  distabit  a  singu- 
lari,  in  totum  arcum  a  se  denominationem  collocabit,  post  se  tamen. 
Quia,  sicut  in  multiplicatione*)  numerando  ascenditur  ab  inferioribus 


126  Historisch -litterarische  Abteilung. 

et  minoribus  numeris  ad  superiores  et  maiores,  ita  converso  in  divi- 
sionibus  de  superioribus  descenditur  ad  inferiores.  In  simplici  autem, 
posita  ita^  sicut  regula  precipit^   denominatione^^,   si  aliquid  superest, 

91  quod  dividi  potest  |  per  integros,  iterum  dicas  generalem  regulam: 
Divisor  y  si  minor  vel  equalis  fuerit  rei  dividende,  superponatur,  si 
maior  transferatur  in  proximum;  et  dividendum^)  sicut  prius  dividebis^ 
usque  dum  nicbil  remaneat,  vel  dum  non  possit  dividi.  Et  nota,  divi- 
sores  ante  se  vel  sub  se  tantum  dividere  et  in  suum  locum,  si  trans- 
feruntur,  redire.    Hec  de  simplici  sufficiant. 

In  continua  vero  et  interrupta  aliter  operabis.  Posita  enim  deno- 
minatione  primi  divisioris^)  per  eandem  multiplica  sequentes  omnes^ 
et  numerum,  qui')  inde  surgit^  non  pones^  sicut  in  simplici  solet  fieri, 
sed  auferes  a  re  dividenda,  que  in  medio  locata  est,  et  nota^  quod^ 
quandoque  aufertur  a  re  locata  ante  divisorem,  qui  multiplicatur  yer 
denominationem,  quandoque  sub  ipso  divisore,  et  digitus  est  trans- 
ferendus,  articulus  relinquendus;  ita  dico,  si  erit  ibi  digitus  et  articulus. 
Hoc  facto  y  si  id,  quod  remanet,  adhuc  dividi  potest,  iterum  die 
generalem  illam  regulam:  Divisor ,  si  minor  etc.,  et  de  nominatioDe 
posita  per  eandem  multiplicabis  divisores,  qui  sequuntur  primum.  £t  sie 
91'  comple  I  ta  divisione  si  scire  volueris,  si  vera  vel  Msa  fuerit,  multiplica 
divisorem  vel  divisores  superpositos  per  denominationes  inferiores,  et 
nota,  quod  unam  pro  pluribus  ponas,  que  eundem  representet  numerum, 
et  si  res  divisa  redierit  ad  summam,  vera  erat  divisio,  sin  autem, 
falsa.  Hie  notandum  est,  quod  generalis  illa  regula,  quam  premisi- 
mus,  necessitatis  causa  quandoque  infringitur.  Tunc  videlicet,  qaando 
divisor  par  erit  rei  dividende,  et  quando  per  positam  denominationexn 
multiplicatis  divisoribus  nichil  in  medio  remanet,  unde  multiplicatio 
illa  auferri  possit.  Tunc  demum  divisor,  qui  par  est  rei  dividende, 
contra  regulam  transfertur  in  proximum,  si  potest  transferri.  Nam 
infra  proprium  arcum  non  transfertur,  ita  ut  centenus  fiat  decenus, 
vel  decenus  fiat  singularis.  Et  si  adhuc  non  habes,  unde  in  medio 
auferatur  multiplicatio,  divisor,  qui  fit  per  denominaücnem,  minuetur. 

92  Videlicet  si  divisor  sexies  contineatur  in  re  dividenda  et  nichil  aut  par 
remansit,  tu  die,  eum  quater  vel  quinquies  contineri,  ut  mnaneat. 
unde  sequens  multiplicatio  auferri  possit.  Item  notandum,  si  quando- 
que ipsa  denominatio  in  articulum  incidit,  tunc  minui  debet,  vel  si 
exoesserit  articulum,  videlicet  si  duodecies  vel  amplius  dirtsor  in  n 
dividenda,  tunc  iterum  minuetur  denominatio  infira  articuhua,  «i  qooc 
remanet,  sub  eo  ponetur.   (Siehe  die  Figur  auf  folgender  Seite.  • 

92'  Quando  vidimus  multiplicationem  atque')  divisio  nem  ladni  aba<ru 

nunc  pulchrum  est,  atque  utile  videtur  esse,  multiplieatioiieM  atjn« 
divisionem  cognoscere  arabici  abaci.^) 

Multiplicaturus  aliquid  hunc  ordinem  debes  obsemurCL  Xanenun 
multiplicandum,  cuius  summam  voluens  scire  per  multiplkatioseüi. 
pone  quandoque  in  suo  arcu  pro  libito,  nam,  quamvis 


^tnT 


Ein  „Tractatus  de  Abaco"  etc. 


127 


singnlaris 


dminx 


triens 


duella 


flcripulut 


IV 


ni' 


IUI' 


VI' 


VII' 


vni» 


IX' 


1  .  IbJh.JK.h.h.V.  8.  6 


dextans 


quadrans 


Bicilicuft 


0 


obolnt 


dodrant 


scxtans 


S5-   'S-     -S 


sextula 


seratet 


Z 


birise  septunx     ^emis         quincunx 


»J)     »^     .  O    O    .        »^      .     O    .         w.  J   O     . 


scxcuniia 


untia 


^     f 


dra^^tua 


oniiaecla 


bigsiliqua 


siliqua 


fri3  ^^^ 


Figure  et  nomina  caracterum  latini  abaci. 


aeniuotja 


L 


tremisais 


6      X      4J     H 


caicus 


n 


tarnen  intelliguntur.  Quorum  si  aliquem  eorum  vacuum  volueris  relin- 
quere^  in  loco  eiusdem  scifre  debes  ponere,  ut  notet  arcum  ibi  esse. 
Quo  si  post  ex  multiplicatione  aliqua  erit  numerus  ponendus^  scifre 
deletur  et  numerus  inscribitur.  Porro  multiplicatores  sub  numerum 
multiplicandum  ponere  debes  tali  ordine  conservato^  ut  primus  multi- 
plicatorum,  id  est  caracterum^  ponatur  sub  ultimo  caractere  multipli- 
candorum.  Yerbi  gratia.  Si  singularis  et  decenus  et  centenus  ponerentur 
multiplicatores  deceni^  centeni^  milleni,  singularis^  qui  est  primus^  sub^^) 
decenum,  et  decenus  sub  centenum  et^*')  centenus  sub  millenum,  qui 
est  ultimus  {  deceni  et  centeni,  ponatur^'^^  et  unusquisque  superior  93 
cum  onmibus  inferioribus  conferatur  hoc  ordine  servato,  ut  ultimus 
multiplicandorum  primo  cum  unoquoque  multiplicatorum  conferatur, 
et  si^)  numerus  y  qui  surgit  de  multiplicatione  uniuscuiusque  figure, 
numerus  est^  prime  speciei,  quod  idem  est,  quasi  diceret  digitus, 
super  ipsum,  qui  est  coUatus,  ponitur.  Si  vero  numerus  secunde 
speciei,  quod  idem  est,  qui  dicitur  articulus, '  in  secundo  ab  eo  ponatur 
loco,  id  est  arcu.  Ultimo  multiplicandorum  sie  collato  cum  unoquoque 
multiplicatorum  deleatur,  et  in  locum  eins  scifre  ponatur,  si  nullus 
ibi  positus  est  numerus,  et  iterum  multiplicatores  apponunter  multipli- 
candis  secundum  regulam,  et  ultimus  superiorum  conferatur  omnibus 
inferioribus.  Et  hie  ordo  erit  observandus  in^*^  multiplicatione  abaci 
arabici  inter  quantosvis  multiplicandos  et  multiplicatores,  ut  semper 
primus  multiplicatorum  sub  ultimo  multiplicandorum  ponatur,  et  unus- 
quisque superiorum  cum  omnibus  inferio  |  ribus  primo  conferatur.  Hec  93' 
dicta  et  diligenter  considerata  sufficiant  de  multiplicatione  arabica. 
Est  tamen  sciendum,  hec  omnia  cum  certis  regulis  esse  ponenda, 
quarum  hec  est  una.     Inferiorum  differentiarum,  id  est  numerorum^^. 


]^28  HistoriBch-litterarische  Abteilung. 

prima  sub  superioris  numeri  dispositionis  ultima  ponitur,  et  wiaqueque 
superior  cum  Omnibus  inferioribus  confertur.  In  qua  coUatione  cum 
quis  prime  speciei  creverit^  super  presentialiter  collatam  locetur,  si 
Tero  secunde^  ad  secundam  transferatur  conveniat. 

1.7.  tj.)^.S.  6F. 4,8.9.  scifreO. 

Si  quis  prime  speciei  aliquem  eiusdem  multiplicaverit^  differentiam 
minoris  de  maiori  demere^  et  de  reliquo  denominationem  facere,  et 
iterum  differentias  eorum  ad  denarium  inter  se  ductas  eidem  addere 
oportet. 

Visa  multiplicatione  restat  de  divisiöne  pauca  adiungere.  Divisurus 
quemlibet  numerum  inter  quantoscunque  volueris,  hoc  ordine  dis- 
ponendi  sunt  caracteres  dividendorum  et  dividentium.  Yerbi  gratia. 
Divisurus  quingentos  sexaginta  inter  centum  viginti,  ultimus  divisonun 
sub")  ultimo  dividendorum  ponitur,  ita  scilicet,  ut  centenus,  qui  est 
ultimus    divisorum^   locetur   sub    quingentis,    qui   ultimus  est  dividen- 

94  dorum.  Deinde  restat  querendum^),  quotiens  divisor  sit  in  |  dividendo. 
Inde  denominatione  facta  super  primam  divisoris  ponitur^  et  sequentes 
omnes  per  denominationem  positam  multiplicantur,  et  numerus  con- 
surgens  inde  non  ponitur,  sed  aufertur,  ut  solet  fieri  in  latino  abaco 
et  si  adhuc  restat,  quod  dividendum,  fit  dispositio  divisonun  et  divi- 
dendorum secundum  regulam  dividendorum,  que  est  talis:  quotiens 
ultima  divisoris  in  ultima  vel  ultimis  dividendi  fuerit,  denominatione 
super  primam  divisoris  posita  tociens  de  reliquo  sequentes  aufenmtur."' 
Notandum  est,  quod  in  hoc  abaco  ut  in  latino  divisores  vel  divisor 
transferendi  sunt  de  suis  arcubus  ad  superiores.  XTt  si  sit  aliquis  centena- 
rius  et  alter  decenus,  transfertur  centenarius  ad  millenum,  decenus  ad 
centenum,  et  facta  divisiöne  redeunt,  unde  translati  sunt.  Nee  hoc 
est  negligendum,  sed  diligenter  considerandum,  in  quo  arcu  ponatur 
denominatio,  scilicet  in  centeno  vel  in  deceno  aut  in  singulari. 

94'  I  Hoc™")  superioribus  adiciendum  est,   quod  si  divisor  maior  est 

dividendo,  non  ultima  divisoris  sub"'')  ultima  dividendi  ponitur,  sed 
regula  latini  abaci  servatur,  que  est:  Divisor,  si  minor  vel  equalis 
fuerit  rei  dividende,  superponatur,  si  maior  transferatur  in  proximum. 
Notandum  est  in  divisiöne,  quod  «i  divisor  multiplicatus  per  denomi- 
nationem non  habuerit  ex  priori  multiplicatione  sufficientem  quem"^"' 
possit  auferre  numerum,  licet  sibi  numerum  per  denominationem  multipU- 
catum  subplere  ex  numero  sub  se  posito,  et  tunc  auferre;  ita  dico,  si 
posteriori  relinquitur,  unde  eins  multiplicatio  auferatur,  si  est  posterior. 


95  De  divisiöne  \  minutia/rum. 

As  quando  dividendus  est,  vel  etiam  si  plures  sint  asses  dividendi, 
diligenter  debes   attendere,   que   partes  eorum  sint,   quia  semper  per 


Ein  „Tractatus  de  Abaco"  etc.  129 

decem  partes  suas  transferendi  erunt,  et  per  pauciores  nullo  modo  trans- 
feretur,  qaidquid  per  minutias  dividendum  erit.  Sed  quidquid  illud 
erity  quod  tali  modo  transtuleris^  per  superiores  sursum  multiplicatum 
in  insequentem  transponetur,  et  illud  denominationem  esse  dicimus. 
Denominationem  vero  illam  itenim  cum  suo  superiori  confer,  et  se- 
cundum  consuetum  modum  multiplicationis^  que  fit  per  denominationem, 
quidquid  inde  surrezerit,  auferes.  Et  nota,  quod  in  minutiis  a  maiori 
ad  minus  semper  quodammodo  descendendo  pervenimus;  sed  si  in 
tantum  descendimus^  quod  decem  partes  ex  eo  efficere  non  possumus, 

indivisibile  remanet. 

# 

De  continentiis  mimUiarum. 

üncia  continet  II  semuncias;  III  duellas;  IIII  sicilicos;  VI  sextulas; 
Tin  dracmas;  XII  emiseclas;  XVI  tremisses;  XXITII  scripulos. 

Semuncia  duellam  et  dimidiam^  |  quod  est  sextula  una;  U  sicilicos;  96' 
III  sextulas;  Uli  dracmas;  VI  emiseclas;  VIII  tremisses;  XII  scripulos. 

Diidla  continet  sicilicum  et  terciam  eins  partem^  quod  est  emisecla; 
II  sextulas;  Y dracmas  et  II  scripulos^  quod  est  una  emisecla;  IUI  emiseclas; 
V  tremisses  et  tertiam  partem  tremissis^  quod  est  obolus;  YIII  scri- 
pulos. 

Porro  sicüicus  continet  unam  sextulam  et  dimidiam,  quod  est  una 
emisecla;  11  dracmas;  III  emiseclas;  IUI  tremisses;  VI  scripulos. 

Sextula  continet  unam  dracmam  et  sextam  partem  duarum^  scilicet 
scripulum^  quia  due  dracme  continent  VI  scripulos;  et  continet  U  emi- 
seelass;  II  tremisses  et  sextam  partem  IUI  tremissium^  scilicet  scripulum 
tanhim,  quia  valent  due  dracme  quantum  Uli  tremisses;  continet  etiam 
IUI  scripulos. 

Porro  drcicma  continet  unam  emiseclam  et  dimidiam^  quod  est 
scripulus;  U  tremisses;  et  lU  scripulos. 

Porro  emi  seda  continet  tremissem  et  duodecimam  partem  IUI  96 
tremissium^  quod  est  unus  obolus;  et  II  scripulos. 

Porro  treniissis  continet  scripulum  et  obolum. 

Scripulus  continet  duos  obolos;  III  bissiliquas;  IUI  zerates;  VI  sili- 
quas;  VJJUL  calcos. 

Ohcius  continet  bissiliquam  et  dimidiam,  quod  est  siliqua;  II  zerates; 
UI  siliquas;  IUI  calcos. 

Bissüiqua  continet  zeratem  et  eins  terciam  partem,  cuius  figuram 
et  nomen  non  babemus;  U  siliquas;  U  caleos  et  duas  tercias  partes 
calci,  cuius  item  figuram  et  nomen  non  babemus. 

Zerates  continet  siliquam  et  dimidiam;  et  duos  calcos. 

a)  id  est  X  über  der  Zeile.  —  b)  id  est  X  über  der  Zeile.  —  c)  iunigimus 
Mecpt.  —  d)  id  est  X  über  der  Zeile.  —  e)  multiplicans  Mscpt.  —  £)  diversitas 
Mgcpt.  —  g)  id  est  M  über  der  Zeile.  —  h)  presevUantes  Mscpt.  —  i)  presentare 
Mscpt.  —  k)  8ed  Mscpt.  —  1)  proceimutn  Mscpt.  —  m)  Si  fehlt  im  Mscpt.  —  n)  Si 


130  Historisch -litterarische  Abteilung. 

fehlt  im  Mscpt.  —  o)  si  fehlt  im  Mscpt.  —  p)  Collutionem  Mscpt  —  q)  w«tttpli- 
ccUianem  Mscpt.  —  r)  divisores  Mscpt.  —  s)  presentante,  qui  Mscpt.  —  t)  sicut 
multiplicatianem  Mscpt.  —  u)  denominationem  Mscpt.  —  v)  dividendus  Mscpt  — 
w)  divisores  Mscpt.  —  x)  quod  Mscpt.  —  y)  qui  Mscpt.  —  z)  culque  Mscpt.  — 
aa)  ahici  Mscpt.  —  bb)  in  Mscpt.  —  cc)  c*  deeenus  «uft  centenum  fehlt  im  Mscpt. 

—  dd)  panatur  fehlt  im  Mscpt.  —  ee)  si  fehlt  im  Mscpt.  —  W)  est  fehlt  im  Mscpt. 

—  gg)  in  fehlt  im  Mscpt.  —  hh)  id  est  numerarum  über  der  Zeile.  —  ii)  in  Mscpt.  — 
kk)  querendus  Mscpt.  —  11)  sequentis  aufertur  Mscpt.  —  mm)  Hec  Mscpt.  — 
nn)  in  Mscpt.  —  oo)  qtwd  Mscpt. 


Denis  Fapin. 

Von 

Prof.  Dr.  E.  Heydeneeich 

in  Marburg  i.  H. 


Eine  Säkolarerinnernng. 

1698  studierte  Denis  Papin  eifrig  an  der  Vervollkonunnung  seiner 
grossen  Erfindung^  der  Dampfmascliine.  Hatte  er  bis  jetzt^  seit  1690, 
das  Wasser  im  Gylinder  selbst  zu  Dampf  verwandelt^  so  projektierte 
er  nun  einen  besonderen  Dampfkessel.  Diese  Erfindung  hielt  er^  wie 
er  sieb  1698  brieflich  äussert,  für  nützlich  ^^pour  produire  les  grands 
effets  que  j'attens  de  la  force  du  feu'';  „je  suis  persuade  que  cette 
invention,  si  on  la  pousse  comme  il  faut,  pourra  produire  des  utilitez 
tres  considerables^'.  Diese  Prophezeiung  fand  ihre  Erfüllung  be- 
sonders seitdem  J.  Watt  an  Papin  anknüpfte  und  den  Dampf  nicbt 
bloss,  wie  das  von  Papin  geschah,  zur  teilweise  bewegenden,  sondern 
zur  alleinig  treibenden  Kraft  machte.* 

Ddnis  Papin  wurde  am  22.  August  1647  zu  Blois  von  reformierten 
Eltern  geboren.  Sein  Vater  war  „conseiller  de  roi  et  receveur  general 
des  domaines  du  comte  de  Blois'*  und  zugleich  Ältester  der  reformiertec 


*  Stegmann:  über  den  ersten  Erfinder  der  vortrefflichen  Feuermaschioe 
Kaesel  1780  Progr.  —  B(anniBter):  D^nis  Papin.  Blois  1847.  —  De  la  Sau>- 
saye  et  A.  P^au:  La  vie  et  les  ouvrages  de  D^nis  Papin.  Paris  et  Blois  1869. 
2.  Aufl.  von  Belenet.  Blois  1894;  bis  jetzt  erschienen  Band  I,  HI,  IV,  VII,  VlIL  - 
Ernouf:  D^nis  Papin.  Sa  vie  et  ses  ceuvres.  Paris  1874.  —  De  Police;  Denis 
Papin  de  Blois.  Blois  1879.  —  Gerland:  Leibnizens  nnd  Huygens  BriefKrechsel 
mit  Papin  nebst  einer  Biographie  Papins,  bearbeitet  auf  Kosten  der  königl 
preusB.  Alcademie  der  Wissenschaften.  Berlin  1881.  —  Wintzer:  D^nis  Papins 
Erlebnisse  in  Marburg.  Marburg,  Elwert  1898.  —  Die  umfangreiche  Litterator 
über  Papin  in  Zeitschriften  oder  gelegentliche  Notizen  über  ihn  in  Mono- 
graphien Über  andere  Gegenstände  verzeichnet  Gerland  S.  140  flg. 


D^niB  Papin.  131 

Kirche.  Über  seine  Jugend  und  wissenschaftliche  Vorbildung  ist  fast 
nichts  bekannt.  1661  oder  1662  bezog  er  die  Universität  Angers  und 
promovierte  1669  daselbst  zum  Doktor  der  Medizin.  1671 — 74  lebte 
er  in  Paris  mit  Huygens  zusammen.  Dieser  war  seit  der  Gründung  der 
Akademie  der  Wissenschaften  ihr  Mitglied  und  hatte  seine  Wohnung 
in  den  f&r  die  königliche  Bibliothek  bestimmten  Räumlichkeiten. 
Dorty  so  erzählt  Papin  selbst,  ^j'e  travaillay  beaucoup  a  faire  cette 
machine  (gemeint  ist  eine  Pulvermaschine)  et  ce  fut  moy  qui  en  fis 
Vexperience  en  presence  de  M.  Golbert/^  Die  ersten  wichtigen  Ent- 
deckungen Papins  betrafen  Verbesserungen  an  der  neuen  Erfindung  der 
Luftpumpe.  1674  veröffentlichte  er  eine  Beschreibung  der  Huygenschen 
nnd  der  ersten  von  ihm.  selbst  angegebenen  Luftpumpe  und  Versuche 
mit  denselben  in  dem  jetzt  äusserst  selten  gewordenen  Werke  ^^Ex- 
periences  du  vuide  avec  la  description  des  machines  qui  servent  ä  les 
faire.'^  Paris  1674.  4.  Hubin  legte  dieselbe  der  academie  des  sciences 
vor  und  das  Journal  des  savants  erwähnte  sie  zweimal  mit  grossen 
Lobeserhebungen.  Kurz  darauf  ging  Papin  nach  England  „spe  quadam 
inductus  ut  conditionem  hie  loci  genio  suo  accomodam  nancisceretur^, 
wie  Boyle  (Ezperimentorum  novorum  physico-mechanicorum  continuatio 
IX  Genevae  1682  praef.)  hörte.  Mit  Freude  begrüsste  ihn  dieser  und 
nahm  den  geschickten  Experimentator  um  so  lieber  als  Hilfsarbeiter 
an,  als  er  von  schmerzhaftesten  Steinbeschwerden  befallen  war.  Femer 
half  Papin  Boyle  bei  dessen  Publikationen;  doch  arbeitete  er  auch 
selbständig  und  erfand  eine  neue  Luftpumpe  und  eine  Windbüchse. 
1680  wurde  Papin  MitgUed  der  Royal  Society.  Er  dankte^  indem  er 
ihr  1681  sein  neues  Werk  „A  new  Digester"  etc.  widmete.  Die  hier  be- 
kannt gemachte  Erfindung  des  Digestors  oder  Kochtopfes  hat  seinen 
Namen  ganz  besonders  bekannt  gemacht.  Dieser  Topf  ist  jetzt  in  Fa- 
milien und  Laboratorien  längst  bekannt  und  geschätzt.  Emouf  nannte 
Papin  um  dieser  Erfindung  willen  einen  bienfaiteur  de  Fhumanite  und 
schon  zu  Lebzeiten  Papins  diente  sein  Digestor  zur  Erleichterung  der 
Lage  der  Armen.  Die  französische  Ausgabe  des  Jahres  1688  bezeichnete 
mit  Recht  als  das  Wesentliche  der  neuen  Erfindung  la  manifere  d'amolir  les 
OS  et  de  faire  cuire  toutes  sortes  de  viandes  en  fort  peu  de  temps  et  ä 
peu  de  frais.  Der  Kochtopf  machte  schon  damals  Sensation.  König 
Karl  IL  von  England  verlcüigte  sofort  einen  f&r  sein  Laboratorium  in 
WhitehalL  Leibniz  machte  sich  zum  Echo  der  allgemeinen  Be- 
wunderung mit  den  Worten:  „un  de  mes  amis  me  mande  avoir  mangä 
un  pät^  de  pigeonneauz^  pr^pard  de  la  sorte  par  le  Digesteur  et  qui 
s'est  trouv^  excellent'*.  Seitdem  hat  mit  wechselnder  Gunst  aber 
immer  wieder  aufs  neue  diese  Erfindung  sich  bewährt.  Die  Wissen- 
schaftliche Gesellschaft  zu  Clermont-Ferrand  veröfientlichte  1761  eine 
besondere  Schrift  Sur  Tusage  oeconomique  du  digesteur  de  Papin,  und 
die  berühmte  Erfindung  Watts  schloss  sich  auch  an  den  Digestor  an. 
Jn  1761  or  1762",  so  erzählt  Watt  selbst,  „i  made  some  experiments 


132  Historisch -litterariscfae  Abteilung. 

on  the  force  of  steam  in  a  Papin's  digester^  and  formed  a  speeies  of 
the  steam  angine,  by  fizing  upon  it  a  syringe  one  third  of  an  inch 
in  diameter." 

Der  Sekretär  Sarotti  des  Senates  der  Republik  Venedig  gründete 
damals  eine  ^^accademia  publica  di  scienzo  filosofiche  e  matematiehe'' 
und  veranlasste  Papin  zu  einem  zweijährigen  Aufenthalte  in  Venedig. 
Die  Neuheit  und  das  glückliche  Ergebnis  seiner  Experimente  schufen 
ihm  auch  in  Italien  einen  grossen  Namen.  Ein  Florentiner  Physiker 
z.  B.  stützte  sich  auf  seinen  Digestor,  um  die  Ursachen  der  Vulkane 
und  Erdbeben  zu  ergründen. 

Nach  London  zurückgekehrt,  nahm  er  nicht  wieder  die  frühere 
Stellung  zu  Boyle  ein,  sondern  wurde  am  2,  April  1684  „temporair 
curator  of  experiments^  und  bezog  dafür,  dass  er  für  jede  Sitzung 
Experimente  bereit  hielt  und  im  Bedarfsfall  dem  Sekretär  behilflich 
war,  30  Pfund  Sterling.  Wie  sehr  ihm  diese  Stellung  zusagte,  ist 
aus  der  grossen  Menge  Experimente  zu  sehen,  die  in  dieser  Zeit  in 
den  Protokollen  der  Royal  Society  niedergelegt  sind. 

Die  Aufhebung   des  Ediktes  von  Nantes,   18.  Oktober  1685,  be- 
raubte ihn  der  Möglichkeit,  in  seine  Heimat  zurückzukehren.     Wie  der 
grosse  EurfUrst  von  Brandenburg  nahm  sich  auch  Landgraf  Karl  Yon 
Hessen  der  vertriebenen  Hugenotten  an.     Es  bildeten  sich  aus  ihnen 
daselbst  reformierte  Gemeinden  mit  der  französischen  Eirchenverfassung. 
Professor  Maliveme,  seit  1686  als  Professor  der  Heraldik  in  Marbui^ 
angestellt,  war   es   vermutlich,   der  zuerst  die  Aufmerksamkeit  seines 
Beschützers,   des  Landgrafen,   auf  die   bedeutenden  Leistungen    seines 
Cousin  Papin  gelenkt  hat.     Das  Projekt  einer  Gentrifugal-Saugpumpe^ 
an   dem  Papin   schon  vorher  in  London  gearbeitet  hatte,  interessierte 
den   Landgrafen    mächtig    zum   Zwecke    der   Entwässerung    der   neu- 
angelegten  Earlsau.     1688,   14.  Februar,  ernannte   dieser  Papin  zum 
„professore  matheseos'^  und  verordnete  „ihme  auch  zu  jlUirlicher  Be- 
soldung   Einhundert    und    fünfifzig    Gülden    und    was    darbeneben    an 
fruchten  die  übrige  professores  philosophiae  gegen  bezahlung  etwas  an 
geld  geniessen'^.     Papin  hielt  seine  Antrittsrede  über  den  Nutzen  der 
Mathematik   namentlich   für    die   Mechanik    und   die   Hydraulik.      Es 
heisst  darin,   die  Hydraulik  sei  jetzt  für  ihn  und  seine  patriotischen 
Zuhörer  die  wichtigste  Wissenschaft,  da  es  darauf  ankomme,  mit  ihrer 
Hilfe  die  Anlage  der  Earlsaue   durch  Entwässerung  durchführen   zu 
helfen.     Auch    in    den    folgenden    Semestern    beschränkte   er   sich  in 
seinen  Vorlesungen  nicht  auf  reine  Mathematik,  sondern  zog  auch  die 
angewandte    vielfach    heran.      So    erbot    er    sich    zu  Vorträgen    über 
Eriegsbaukunst,   Astronomie,   über   das  Werfen   von   mit   Pulver  ge- 
füllten Engeln,  Chronologie,  Geographie,  Optik,  Feldmesskunst  u.  a. 

Der  von  Papin  konstruierte  Gentrifugal -Ventilator,  „hessischer 
Blasebalg^'  genannt,  der  sich  drehte,  „avec  une  fort  grande  facihte  en 
Sorte   que   avec  le  bout  de  doigt  on  luy  donne  un  mouvement  tres 


D^nis  Papin.  133 

rapide'',  that  in  einem  Kohlenbergwerk  in  AUendorf  treffliche  Dienste, 
indem  er  den  Aufenthalt  daselbst  durch  Zuführung  frischer  Lufk  wieder 
ermöglichte.  War  Papin  bereits  durch  die  Anerkennung  eines  Huygens, 
Boyle,  Leibniz  bestens  empfohlen,  so  wurde  er  1689  durch  die  Er- 
nennung zum  korrespondierenden  Mitgliede  der  französischen  Akademie 
der  Wissenschaften  in  Paris  ausgezeichnet. 

Papin  war  mit  seiner  Stellung  in  Marburg  nicht  zufrieden.  Les 
princes  ont  tant  de  sortes  d'occupations  qu'ils  ne  pensent  gueres  aux 
sciences  et  deplus  la  cour  n'est  presque  jamais  icj.  Er  kann  also  von 
dieser  Seite  wenig  hoffen  und  ebensowenig  yon  der  Akademie.  Der  Pro* 
fessor  der  Mathematik  findet,  so  klagt  er  weiter  an  Huygens,  wenig  Gel- 
tung hier,  weil  nur  eine  kleine  Anzahl  von  Studenten  herkommt  und  ihr 
Brotstudium  der  Theologie,  Rechtswissenschaft  und  Medizin  hier  be- 
treibt et  de  la  maniere,  que  ces  sciences  se  traittent  jusques  a  pr^ent, 
les  mathematiques  n'y  sont  point  necessaires:  ainsi  cette  jeunesse  ne 
veut  pas  s'en  embarrasser.  Femer  sind  die  Einkünfte  der  Universität 
sehr  mittelmässig  und  der  Krieg  macht  ihre  Zusammenbringung  noch 
schwieriger,  so  dass  er  glaubt,  es  werde  den  Herren  ein  Vergnügen 
machen,  ihnen  ein  Mittel  zu  zeigen,  wie  sie  sich  seiner  ganz  entledigen 
und  sein  Fach  mit  dem  eines  der  anderen  Professoren  verbinden  könnten, 
der  dadurch  eine  nur  geringe  Vermehrung  seines  Gehaltes  erhalten 
wurde.  Auch  er  würde  sehr  froh  sein,  an  einem  Orte  zu  leben,  wo 
er  an  neuen  Versuchen  arbeiten  könne,  was  in  Marburg  nicht  zu 
hoffen  sei,  wo  er  kaum  genug  zu  leben  habe  und  wo  man  die  meisten 
Annehmlichkeiten  entbehren  müsse,  die  sich  mit  Leichtigkeit  in  grossen 
Handelsstädten  finden.  So  bat  er  Huygens,  ihm  in  Holland  eine  An- 
stellung zu  verschaffen.  Die  Bitte  hatte  keinen  Erfolg.  Aber  der 
Kampf  ums  Dasein  hatte  zugleich  Papins  höchste  Leistungsfähigkeit 
angespannt.  Denn  in  demselben  Jahre,  in  dem  er  sich  verstimmt  an 
Huygens  wandte,  hat  er  auch  die  Dampfinaschine  erfunden,  wodurch 
sein  Name  unsterblich  geworden  ist. 

Papin  war  der  erste,  der  auf  Grund  der  Entdeckungen  von 
Torricelli,  Pascal,  Otto  von  Guerike,  Huygens  und  Boyle  über  den 
Luftdruck  erkannte,  dass  der  Wasserdampf  ein  einfaches  und  vor- 
zugliches Mittel  sei,  um  grosse  luftleere  Räume  durch  Kondensation 
herbeizuführen  und  vermittelst  derselben  die  gewaltige  Kraft  der  darüber 
befindlichen  atmosphärischen  Luft  nutzbar  zu  machen.  Er  kam  auf 
die  Erfindung  einer  Maschine  mit  Dampf  dadurch,  dass  er  eine  Pulver- 
maschine verbessern  imd  namentlich  den  Übelstand  beseitigen  wollte, 
dass  man  damit  nur  einen  sehr  unvollkommen  luftleeren  Raum  er- 
halten konnte.  Er  brachte  also  statt  des  Schiesspulvers  etwas  Wasser 
in  den  Gylinder  und  war  sich  der  weittragenden  Folgen  dessen,  was 
er  nunmehr  beobachtete,  voll  bewusst.  Als  er  in  den  Acta  Eru- 
diionim  von  1690  seine  „nova  methodus  ad  vires  motrices  validissimas 
levi    pretio    comparandas'^    veröffentlichte,    gab    er    als    Zweck    einen 


134  Historisch -litterarische  Abteilung. 

mannigfaltigen  an:  z.  B.  Wasser  aus  den  Bergwerken  auszupumpen, 
Bomben  zu  werfen  ^  gegen  den  Wind  zu  rudern.  Insbesondere  bespricht 
er  den  Vorteil  der  Anwendung  seiner  Maschine  bei  Schiffen  gegenüber 
der  Verwendung  von  Galeerensklaven.  Dieser  ersten  Maschine  folgte 
die  bereits  1693  ausgearbeitete^  aber  erst  1695  veröffentlichte  Maschine 
zu  dem  besonderen  Zweck,  die  Grubenwasser  aus  einem  Bergwerk  des 
Grafen  von  Sintzendorf  zu  entfernen.  Diese  Maschine  wurde  durch 
einen  besonders  konstruierten  Sparofen  und  durch  den  Papinschen 
Blasebalg  wirksamst  unterstützt.  Wohl  gelungen  war  auch  der  Ver- 
such mit  einem  Taucherschiff.  Das  Herabsinken  und  Emporsteige 
mit  Hilfe  der  in  ledernen  Ärmeln  steckenden  Ruder  gelang  vor- 
züglich. Ein  von  Papin  mit  herabgenommenes  angezündetes  Licht 
brachte  er  noch  brennend  wieder  mit  empor.  Durchaus  richtige  B^ 
obachtungen  fährten  Papin  fast  100  Jahre  vor  Entdeckung  des  Sauer- 
stoffes auf  Ofenkonstruktionen,  welche  noch  gegenwärtig  hochgeschätzt 
sind.  Eine  Beihe  der  wichtigsten  Abhandlungen  dieser  Jahre  ver- 
einigte Papin  1696  in  dem  Buch:  ^^Becueil  de  diverses  Pieces  tou- 
chant  quelques  nouvelles  Machines'^.  Papins  Maschinenerfindung  be- 
ruht darauf,  dass  er  vermittelst  der  Dampfkraft  die  Kräfte  der  atmo- 
sphärischen und  der  komprimierten  Luft  in  Wirksamkeit  setzt;  Watt 
aber  erfand  die  erste  Dampfinaschine,  an  welcher  die  Dampfkrafl  zur 
alleinigen  vollen  Geltung  gelangt. 

Der  Zweifel  an  allem  und  das  Leugnen  der  Gewissheit  der 
äusseren  Sinne  waren  der  Ausgangspunkt  für  die  Angriffe  der  Theo- 
logen gegen  den  Gartesianismus,  da  dadurch  auch  die  Wahrheit  und 
Gewissheit  der  christlichen  Religion  in  Gefahr  gesetzt  schien.  Wie 
anderwärts,  so  trat  auch  in  Marburg  die  theologische  Fakultät  imter 
ihrem  Dekan  Gautier  gegen  einige  Professoren  der  philosophischen  auf. 
deren  Dekan  damals  Papin  war,  Klage  führend,  weil  gewisse  neo- 
philosophie  (darunter  Papin  selbst)  gewisse  neuerliche,  der  christlichen 
Religion  zuwiderlaufende  Grundsätze  zu  behaupten  und  zu  lehren  sich 
unterständen.  Ein  Erlass  des  Landgrafen  an  der  Universität  verfügt*', 
dass  den  Philosophen  nicht  zu  gestatten  sei,  dergleichen  Ärgernis 
gebende  Lehren  vorzutragen  und  sich  in  theologische  Dinge  ein- 
zumischen, doch  solle  sich  die  theologische  Fakultät  mit  der  philo- 
sophischen  vertragen.  Es  kamen  persönliche  Reibereien  zwischeo 
Gautier  und  Papin  und  namentlich  zwischen  den  beiderseitigen  Franea 
hinzu  und  ein  Streit  zwischen  Papins  Frau  und  der  eines  französischni 
Perückenmachers.  Papin  Hess  für  seine  Familie  eigenmächtig  die 
Stühle  in  der  Kirche  höher  hinaufrücken,  es  kam  schliesslich  so  weit, 
dass  Papin  von  seinem  Ältestenamt  in  der  französischen  Gemeinde 
enthoben  und  von  den  Sakramenten  ausgeschlossen  wurde.  Verschiedene 
Friedensversucne  schlugen  fehl.  Der  Vizekanzler  beantragte  aber  die 
Ernennung  einer  Kommission  zur  Entscheidung  der  Sache  und  eine 
EntSchliessung  darüber,  ob  überhaupt  von  der  französischen  Gemeinde 


D^nifl  Papiu.  135 

ich  Maßgabe  der  früher  in  Frankreich  geltenden  Eirchenordnung 
irch  Presbyterien  oder  selbstgesetzte  synodale  Veranstaltungen  bindende 
^Schlüsse  gefasst  werden  dürften  oder  ob  nach  der  hessischen  Landes- 
rchenordnung  verfahren  werden  müsse.  Indem  aber  der  Vizekanzler 
ese  prinzipielle  Frage  zur  Entscheidung  stellte^  erhielt  die  an  sich 
ibedeutende  persönliche  Sache  eine  Bedeutung  f&r  die  ganze  Zukunft 
)r  französisch -reformierten  Kirche  in  Hessen.  Alle  Instanzen  der  fran- 
isischen  Kirche  Hessens  schlössen  sich^  um  diese  Verfassung  zu  be- 
mpten^  fest  zusammen,  unterlagen  aber  dem  monarchischen  Staats- 
trcbenregiment.  Dieses  erzwang  die  Wiederzulassung  Papins  zu  den 
akramenten. 

Der  Landgraf  Karl  war  damals  voller  Plane.  Ein  neuer  Hafen, 
in  Kanal,  Wasserkünste  und  andere  zahlreiche  Projekte  machten  ihm 
ie  Anwesenheit  Papins  in  Kassel  erwünscht.  Dieser  blieb  seit  1695 
rotz  wiederholten  Einspruchs  der  Universität  daselbst  mit  Gehalt  und 
'itel  des  TJniversitats-Professors,  zu  dem  1699  noch  der  eines 
[essischen  Rates  hinzukam.  Papin  besprach  alle  seine  wissenschaft- 
ehen  Pläne,  insbesondere  auch  seine  Versuche,  die  Dampfmaschine 
Q  verbessern,  mit  Leibniz.  Der  Briefwechsel  zwischen  beiden  gewährt 
inen  Einblick  auch  in  die  technischen  Leistungen  dieses  grossen 
Philosophen.  Dieser  überliess  freilich  die  Ausführung  der  Experimente 
snem,  eignete  sich  aber  die  Resultate  der  Experimente  sofort  an  und 
chlug  neue  vor,  so  dass  bis  zu  einem  gewissen  Orade  beide  zusammen- 
rbeiteten.  Mit  Staunen  erkennen  wir  den  Anteil,  den  der  Mann, 
reichem  die  Naturwissenschaft  die  Erfindung  der  Infinitesimalrechnung 
erdankt,  auch  an  der  Erfindung  der  Dampfmaschine  genommen  hat. 
-  Eine  Reihe  der  verschiedenartigsten  Versuche  Papins  lösten  sich 
ih,  so  solche,  Glas  und  andere  Körper  zu  schmelzen,  Schwefel  zu 
erbrennen.  Fleisch  und  Früchte  zu  konservieren.  Auch  Fische  wollte 
r  konservieren.  „Si  cela  reussit,  schrieb  er  1697,  il  nous  sera  facile 
iavoir  en  tout  temps  de  la  maree  fraische  ä  Gassell.^'  Diese  Versuche 
Qossten  auf  Befehl  des  Landgrafen  solchen  weichen,  die  den  Zweck 
'erfolgten  „tacher  de  penetrer  les  causes  des  effets  surprenants  de  la 
K)adre  ä  canon.^  Dann  wünschte  der  Landgraf  zu  wissen  d*oü  vient 
A  salure  des  fontaines  salees.  Zur  Beantwortung  dieser  Frage  waren 
[rössere  Wassermassen  auf  eine  beträchtliche  Höhe  zu  heben  und 
laza  schien  am  geeignetsten  la  force  du  feu.  Damit  eröffneten  sich 
ür  Papin  die  Aussichten  zur  Erfüllung  längst  gehegter  Wünsche. 
fit  um  so  grösserem  Eifer  ging  er  ans  Werk,  als  er  wohl  erkannte 
ies  difficultez  qui  se  rencontrent  tousjours  dans  de  telles  entreprises 
it  qui  ne  se  peuvent  surmonter  que  par  une  assiduite  extraordinaire.^' 
iUnächst  baute  er  einen  Ofen  zur  Herstellung  eiserner  Retorten. 
)iese  aber  benötigte  er  für  die  Form,  die  er  der  Dampfmaschine 
mnmehr  zu  geben  gedachte.  Nicht  allein  der  Saugkraft  des  sich 
uederschlagenden   Dampfes    wollte    er    sich    bei    derselben    bedienen, 


136  Historisch -litterariflche  Abteilung. 

sondern  er  wollte  nunmehr  auch  ^^la  force  de  la  pression  que  l'ei 
ezerce  sur  les  autres  corps  en  se  düatant  dont  les  effets  ne  sont  pi 
bom^  comme  sont  ceux  de  la  suction'^  benutzen.  Damit  sprach 
den  Gedanken^  der  der  Hochdruckmaschine  zu  Ghnnde  liegt ^  zu 
aus.  Mitten  in  diesem  Schaffen  und  Planen  erhielt  Papin  yon  d 
Mitgliedern  der  Londoner  Royal  Society  die  Berufung  zum  Kurai 
ihrer  Experimente.  Papin  liess  sich  durch  die  Versprechungen 
Landgrafen  und  dadurch^  dass  ihn  dieser  zu  seinem  Rate  ernannte. 
Kassel  halten.  Allein  die  günstigen  Verhältnisse  liessen  f&r  Papin 
nach.  Zuerst  trat  eine  Reise  des  Landgrafen  nach  Italien^  dann  eis 
Papins  selbst  nach  Holland  hindernd  dazwischen.  Dazu  braeb 
Papins  Versuche  nach  einer  neuen  Wurfinaschine  diesen  in  den 
verdienten  Geruch  des  Schwindlers.  Femer  wtirde  der  Fürst  nur 
zusehr  durch  die  äussere  Politik  von  den  Künsten  des  Friedens 
gehalten.  Schliesslich  stellte  Papin  mit  einer  neuen  Maschine 
Treppenhause  des  yom  Landgrafen  Karl  1695  erbauten  Kunsthai 
Versuche  an.  Aber  es  war  gegen  seine  ausdrückliche  Vorhe 
schlechter  Kitt  verwendet  und  es  drang  Wasser  ein,  dann  liessen  ii 
Arbeiter  das  Rohr  verstopfen.  Abwesenheit  des  Landgrafen  tu 
hindernd  dazwischen,  ein  neugefertigtes  Rohr  wurde  Papin  mek 
weggenommen  —  da  riss  ihm  die  mühsam  bewahrte  Geduld.  Sei 
Entlassungsgesuch  hatte  diesmal  Erfolg. 

Mit  Eifer  begann  er  nun  sofort  die  Vorbereitungen  zu  seiner  Ab 
reise.  Doch  hatte  er  noch  mancherlei  abzuwickeln.  Glüeksgüter  hait 
er  ja  nicht  gesammelt.  Aber  sein  wertvollstes  Besitztum,  ein  kleii» 
Schiff,  auf  welches  er  für  sein  Fortkommen  in  England  die  grosstea 
Hoffiiungen  baute,  musste  er  mitnehmen.  Es  ist  dies  ein  Appanj 
mit  welchem  Papin  die  letzten  grösseren  Versuche  anstellte  und  dej 
zu  der  ganz  unbegründeten  Annahme  Veranlassung  g^eben  U 
Papin  sei  bereits  im  Besitz  eines  Dampfschiffes  gewesen.  Das  Sckii 
war  1703—1704  für  eine  Belastung  von  4000  Pfand  erbaut.  „Je  na 
point^',  berichtet  er  13.  März  1704  ganz  ausdrücklich,  „prepare  celuve 
pour  y  emploier  la  force  du  feu  parce  que  ce  n'est  pas  ä  moy  d  entp 
prendre  trop  de  choses  k  la  fois^^  Um  das  Schiff  nach  England  s 
schaffen,  wusste  er  keinen  anderen  Rat  als  mit  ihm  das  Wasser  her 
unter  bis  Bremen  zu  fahren,  es  dort  auf  ein  Seescluff  laden  und  fo 
über  die  Nordsee  bringen  zu  lassen.  Dazu  waren  aber  einige  weitm 
Vorbereitungen  nötig.  Zunächst  war  es  auf  der  Fulda  zu  prüfen  uni 
dies  auch  schon  deshalb,  weil  der  Landgraf  noch  die  Versuche  damit 
zu  sehen  wünschte.  Diese  fielen  höchst  befriedigend  aus.  Die  Ruder 
räder  bewährten  sich  vortrefflich.  Das  Schiff  fuhr  mit  gleicher  Oei 
schwindigkeit  gegen  den  Strom  wie  mit  demselben,  und  das  Gelingt 
dieser  Versuche  war  die  letzte  Freude,  die  Papin  erlebte.  Der  missi 
lichste  Punkt  der  Vorbereitungen  waren  die  Verhandlungen  mit  Münden^ 
Die    dortige   Schiffergilde   hatte  vermöge   ihres   ausgedehnten  Stapel* 


Dänis  Papin.  137 

'echtes  die  Befugnis^  jedem  fremden  SchiiF  die  Yorüberfahrt  an  ihrer 
Hadt  zu  verweigern.  Der  Versuch,  einen  Passierschein  für  Münden 
ni  erlangen^  schlug  fehl.  Auf  die  Erlaubnis  des  Drosten  von  Zeuner 
n  Monden  allein  wagte  Papin  die  Reise  nicht;  aber  aus  Münden  selbst 
(rhielt  er  die  widersprechendsten  Nachrichten:  ein  Mündener  SchifiPer 
Ifamens  Lodwig  erbot  sich  Papins  Schilf  ins  Schlepptau  zu  nehmen. 
)ie  Akten  des  Amtes  Münden  bringen  über  das  Weitere  folgenden 
iericht  Ton  Zeuners  vom  27.  September  1707:  ^^Nachdem  ein  hiesiger 
khiffer,  nahmens  Lodwig ,  yor  etwa  3  Jahren  bey  mir  angemeldet, 
iass  ein  gewißer  Frantzoß  zu  Cassel  eine  kleine  Maschine  gemachet 
ipd  inventirt,  womach  große  Schiffe  ohne  Mast  und  Segel  könnten 
^ebauet  und  mit  bloßen  Rädern  regiret  werden,  dannenher  sich  bey 
mir  erkundiget,  ob  er  eß  mit  seinem  Schiffe  herunter  bringen  dürffte, 
einzusetzend,  daß  es  ein  Werk  von  keiner  Importanz  und  ein  rein 
[[inderwerk  wäre;  habe  ich  es  erlaubet.  Ich  habe  auch  als  es  vor- 
gestern über  der  Schlacht  angekommen  und  gedachter  Schiffer  es  bei 
mir  angezeiget,  es  selbst  in  Augenschein  genommen,  den  Mann, 
(welcher  es  inrentirt  und  bisher  Medicus  zu  Cassel  gewesen,  nahmens 
Papin  gesprochen,  seine  Päße  und  einen  Brieff  von  Hm.  Geheimen 
Bofrath  Leibniz  gesehen  und  wahrgenommen,  daß  es  ein  bloßes 
Hodel  zu  obgedachten  Schiffbau  und  gar  kein  Schiff  sey,  mit  welchen 
man  ohne  Gefahr  nur  bis  Gimbte  fahren  können,  auch  daß  sein  Vor- 
haben^ es  danägst  auf  ein  großes  Schiff  laden  zu  lassen  und  seine 
Kunst  und  Invention  der  Königin  yon  Engelland  dadurch  sehen  zu 
lassen  und  sich  zu  recommendiren.  Ich  habe  darauf  keine  Gedanken 
mir  machen  können,  dass  diese  Machine  dem  Privilegio  so  hiesige 
Schiffer- Gilde  hat,  praeiudiciren  könne.  Dehm  ohngeachtet  sind  die 
von  der  Schiffer- Gilde  ohnbefugt  und  ohne  sich  deßwegen  beim  Ambt 
anzumelden  zugefahren,  haben  die  Machine  arrestiret  und  ist  auch  dem 
Medice  Papin  so  wenig  recht  wiederfahren,  dass  er  selbige  zurücklassen 
und  davon  reisen  müßen^^  Es  blieb  auch  nicht  bei  blosser  Konfis- 
kation des  Fahrzeuges,  es  wurde  auch  „vorheert";  die  Schiffer  liessen 
sich  wohl  zu  diesem  Vorgehen,  zu  dem  sie  schwerlich  berechtigt 
'paren,  durch  den  von  Papin  geleisteten  Widerstand  verleiten.  Mit 
dem  Verlust  des  Schiffes  hat  Papins  Leben  Schiffbruch  gelitten. 

Papin  reiste  nun  zu  Fuss  weiter  und  kam  schliesslich  glücklich 
nach  England.  In  London  machte  er  die  grössten  Anstrengungen, 
durch  neue  Vorschläge  oder  durch  Zurückgehen  auf  bereits  früher 
bearbeitete  Ideen  nicht  etwa  seine  Lage  zu  verbessern,  sondern  seine 
Existenz  zu  fristen.  Es  ist  der  härteste  Kampf  ums  Dasein,  den  zu 
föhren  er  gezwungen  ist  und  in  welchem  er  unterliegt.  Einen  sicheren 
Untergang  sah  er  vor  sich,  wenn  ihm  die  Royal  Society  nicht  half^ 
^nd  diese  verweigerte  ihre  Hilfe  und  bereitete  ihm  allerhand  Demütig- 
ungen. So  erfand  Papin  ein  unaufschliessbares  Schloss;  nachdem  aber 
die  Handwerker   aus  Zorn  die  Kassette  zerstört  hatten,    kam   er   um 

Hitt-Utt  Abt.  d.  ZelUchr.  f.  Math.  u.  Vhj%.  48.  Jahrg.  1898.  4.  u.  5.  Heft.  1 1 


138  Historisch -litterarische  Abteilung. 

seinen  Lolin.  Und  ähnlicli  erging  es  ihm  auch  sonst.  Papin  scheint 
1711  in  London  gestorben  zu  sein.  In  seinem  letzten  uns  erhaltenem 
Brief  sagt  er:  ^^Je  suis  dans  une  triste  position  puisque,  meme  en 
faisant  bien,  je  soulöve  des  ennemis  contre  moi;  cependant  malgrc 
tout  cela  je  ne  crains  rien,  parce  que  je  me  confie  au  Dieu  toat-puissant; 
Wenn  wir  bedenken ,  welcher  Mut,  welche  enorme  Ausdauer  dazij 
gehörten,  mit  den  Hilfsmitteln  der  damaligen  Zeit,  die  ihm  überdid 
meist  nur  unvollkommen  zu  Gebote  standen,  seine  Experimente  anzo^ 
stellen,  wenn  wir  weiter  im  Auge  behalten,  unter  welchen  schwierigt-i 
äusseren  Yeihaltnissen  dies  geschehen  musste,  wie  den  Ezperimentatoi 
oft  genug  Nahrungssorgen  y  immer  unverständiger  Widerstand  hemmtfi 
dann  werden  wir  wohl  dem  Urteil  Gerlands  beipflichten,  dass  es  weni^ 
Männer  gegeben  hat,  die  es  ihm  gleichzuthun  im  stände  gewesec 
wären.  Dabei  ist  keines  seiner  Resultate  durch  Zufall  erhalten,  allü 
sind  Früchte  angestrengter  geistiger  Arbeit.  Es  zog  ihn  nicht  vA 
einen  Abenteurer  von  einer  Aufgabe  beliebig  zur  anderen,  in  kot 
sequenter  Folge  schloss  sich  die  folgende  Arbeit  an  die  früheren  ai: 
wurde  er  dadurch  auf  theoretische  Erörterungen  geführt,  so  wich  t: 
ihnen  nicht  aus,  kehrte  aber  sobald  als  möglich  auf  seinen  e^entlicbeii 
Platz  im  Laboratorium  zurück.  In  der  Gesamtheit  aller  dieser  Co-I 
stände  lag  gleichzeitig  das  tragische  Moment  seines  Lebens.  Drr 
Standpunkt  der  Technik  des  17.  Jahrhunderts  sowie  die  Unmöglichkeit 
der  Verwirklichung  seiner  Ideen,  für  die  sich  erst  unser  Jahrhunder: 
reif  gezeigt  hat,  hätten  ihm  nie  erlaubt  sie  so  auszuführen,  wie  rr| 
sie  im  Geiste  s^. 


Eezensionen. 


über  eine  neue  graphische  Methode  der  Zusammensetzung  von  Kräft^i 

und  ihre  Anwendung  zur  graphischen  Bestimmung  von  Inh&lt^i 
Schwerpunkten,  Statischen  Momenten  und  Trägheitsmomenten  ehtm 
Gebilde  von  Herh.  Jos.  Hollbndee.  Mit  vier  lithographierten  Tafels^ 
Leipzig  1896,  Verlag  von  B.  G.  Teubner.    44  S. 

Vielfach  wird  zur  Bestimmung  statischer  Momente  beliebig  in  der  Eb«« 
zerstreut  liegender  Kräfte  eine  Methode  angewendet,  wobei  die  Kräfte  in  Kom- 
ponenten zerlegt  werden,  von  denen  die  einen  durch  den  Punkt  der  Eben« 
gehen,  für  welchen  das  Moment  bestimmt  werden  soll,  und  von  denen  die 
anderen  entweder  in  eine  Gerade  oder  einen  um  jenen  Momentenpunkt  roA 
beliebig  gewähltem  Radius  gezogenen  Kreis  berühren.  Da  nun  die  Sudud« 
der    statischen    Momente   der   durch   den    Momentenpunkt    gehenden  Korn- 


Eezensi^en.  139 

ponenten  Null  ist,  so  ist  die  Summe  der  statischen  Momente  der  ge- 
gebenen Kräfte  gleich  dem  Produkte  ans  der  Summe  der  übrigen  Kom- 
ponenten in  die  Entfernung  des  Momentenpnnktes  von  der  Geraden,  oder 
von  der  Peripherie  des  Kreises.  Diese  Methode,  allgemein  angewendet 
auf  beliebig  in  der  Ebene  zerstreut  liegende  Kräfte,  liefert  nun  ein 
Kräfte-  und  ein  sogenanntes  ,^Komponentenpoljgon^S  welche  an  Stelle  des 
Kräfte-  und  Seilpol jgons  der  graphischen  Statik  treten.  Da  die  Polygon- 
Seiten  den  gegebenen  Kräftekomponenten  entsprechen,  so  wurde  dafOr  der 
Käme  „  Komponentenpolygon '^  gewählt.  Das  Übergewicht  der  neuen  Methode 
gegenüber  der  graphischen  Statik  liegt  in  der  konstanten  Polentfemung 
anch  für  beliebig  in  der  Ebene  gerichtete  Kräfte,  was  bei  dem  Seilpolygon 
nur  bei  parallel  gerichteten  Kräften  stattfindet. 

Im  ersten  Abschnitt  werden  die  Hilfsmittel  vorausgeschickt,  die  auch 
die  graphische  Statik  bedarf.  Statt  aber  auf  diese  einzugehen,  setzt  der 
Verfasser  das  Zustandekommen  des  Komponentenpolygons  auseinander,  und 
zwar  unter  Annahme  verschiedener  Bedingungen.  In  dem  letzten  Ab- 
schnitt wird  die  Nützlichkeit  der  neuen  Methode  an  der  Hand  praktischer 
Beispiele  dargethan.  Wie  gross  der  Wert  solcher  graphischer  Methoden,  das 
empfindet  derjenige  am  besten,  welcher  sich  lange  damit  beschäftigt  hat. 

B.  Nebel. 

Alessandro  Sandrucci.    Le  teorie  su  Fefflusso  dei  gas  e  gl!  esperi- 

menti  di  6.  A.  Hirn.  Firenze  1895.  Tipografia  minori  corrigendL 
60  S. 

In  dem  kleinen  Schriftchen  wird  die  Theorie  zu  dem  Hirn  sehen  Ex- 
periment gegeben  und  sodann  die  Übereinstimmung  der  Theorie  mit  der 
Praxis  geprüft.  B  j^^^^^ 

Energie.  —  Arbeit.  —  Sehnelies  Arbeiten  ist  teurer  als  langsames 
Arbeiten.  —  Die  KrSftediagramme.  —  Die  spezifische  Wärme 
der  Luft  (der  Gase).  —  Der  Vorgang,  wenn  Luft  infolge  von 
Erwärmung  sich  anf  grSsseres  Yolnmen  ansdehnt. —  „  Energie  ^^ 

im  allgemeinen.  Von  Paul  Käuffbr.  Mainz  1896,  Verlag  von 
Viktor  von  Zabem.    50  S. 

Es  handelt  sich  um  eine  populäre  Darstellung  der  im  Titel  angegebenen 
Arbeitsvorgänge,   insbesondere   bei    der  Wärme,   unter  Ausschluss  jedweder 

Mathematik.  -d   Vr,««» 

Jb.  jNebel. 

Streiflichter  anf  eine  nene  Weltansehannng  in  Bezug  auf  die  Beleuchtung, 

Erwärmung  und  Bewohnbarkeit  der  Himmelskörper,  eine  astrophysisch- 
metaphjsische  Hypothese  über  das  innere  Walten  der  Natur  und  die 
sich  daraus  ergebenden  Konsequenzen  auf  die  Ethik  und  Beligion 
nebst  einer  Plauderei  über  die  Möglichkeit  eines  „Weltunterganges  ^^ 
Von  Wilhelm  Zenker.      Siebente  (lOOO)   erweiterte  Auflage   mit 

II* 


140  Historisch -litt^arische  Abteilung. 

einer    Reihe     offiziell    wissenschaftlicher     Zustimmnngen.      Brann- 
schweig  1895,  C.  A.  Schwetschke  und  Sohn.    88  S.    Preis  M.  1. 

Bei  dem  grossen  Titel  kann  sich  die  Rezension  beschränken  auf  das 
Wesen  d6r  Theorie,  welches  in  einer  Annahme  von  positivem  (Sonnen) 
Magnetismus  und  negativem  (Erd-)  Magnetismus  besteht.  -ß  ^«b^ 


Principes  de  la  theorie  des  fonctions  elliptiqnes  et  applications.  Par 

P.  Appell  et  E.  Lacour.  Paris  1897,  Gauthier -Villars.   IX  und  421  S. 

Das  Bedürfnis,  ein  in  die  Theorie  der  elliptischen  Funktionen  ein- 
führendes Buch  zu  besitzen,  ist  seit  längerem  oft  wiederholt  geäussert. 
Das  seinerzeit  vorzügliche  Buch  von  Durege,  welches  dem  Zwecke  der 
elementaren  Einfahrung  in  die  genannte  Theorie  entsprach,  ist  heute  nicht 
mehr  recht  brauchbar,  nachdem  sich  jetzt  Weierstrass'  Theorie  der 
elliptischen  Funktionen  allgemeiner  eingebürgert  hat.  Eben  deshalb  sind 
neuerdings  von  verschiedenen  Seiten  Bücher  geplant,  welche  einen  den  moder- 
nen Ansprüchen  entsprechenden  Ersatz  des  Durege  sehen  Werkes  zum  Ziele 
haben. 

Diesseits  gab  vor  wenigen  Wochen  Herr  Burkhardt  einen  ersten  Band 
seiner  funktionentheoretischen  Vorlesungen  heraus,  welcher  eine  Einführung 
in  die  Theorie  der  analytischen  Funktionen  liefert,  und  zwar  unter  direktem 
Hinblick  auf  eine  im  zweiten  Bande  zu  entwickelnde  Einführung  in  die 
Theorie  der  elliptischen  Funktionen.  Ungefähr  zu  gleicher  Zeit  mit  Burk- 
hardts  erstem  Bande  Hessen  die  Herren  Appell  und  Lacour  in  einem 
Bande  ihre  „Prinzipien  der  Theorie  der  elliptischen  Funktionen ^^  erscheinen. 
Die  beiderseitigen  Werke  können  aber  sehr  wohl  neben  einander  bestehen;  denn 
sie  weichen  in  ihren  Grundauffassungen  und  Methoden  stark  von  einander  ab. 

Die  Herren  Appell  und  Lacour  haben  sich  betreffs  der  allgemeinen 
funktionen theoretischen  Sätze,  welche  sie  beim  Leser  voraussetzen,  auf  das 
allemotwendigste  beschr&nkt.  Sie  entwickeln  diese  Grundsätze  im  Kapitel  1 
und  grenzen  dadurch  die  Mittel  ab,  mit  denen  die  späteren  Untersuchungen 
zu  arbeiten  haben.  Das  Charakteristische  ist  gänzliche  Vermeidung  der 
„konformen  Abbildung'^  und  alleiniger  Aufbau  der  funktionentheoretischen 
Begriffe  auf  Grund  der  Potenzreihen entwickelungen.  Es  darf  dieser  Stand- 
punkt in  einem  französischen  Lehrbuche  nicht  Wunder  nehmen,  und  er  ist 
überdies  bei  dem  didaktischen  Zwecke  des  Buches  (von  dem  gleich  noch 
die  Rede  sein  wird)  gewiss  zu  verteidigen.  Gleichwohl  hat  die  Ausschaltung 
der  konformen  Abbildung  (oder,  wenn  wir  noch  deutlicher  sein  sollen,  der 
B iem an n sehen  Anschauungsweisen)  auch  ihre  fatalen  Folgen;  vornehmlich 
werden  letztere  fühlbar  bei  den  Realitätsbetrachtungen,  von  denen  noch 
berichtet  werden  wird.  Als  wichtiges  funktionentheoretisches  Werkzeug 
werden  im  Kapitel  I  die  Sätze  über  Definition  der  Funktionen  aus  hin- 
reichenden und  notwendigen  Bedingungen  (z.  B.  Eindeutigkeit,  singularen 
Punkten  etc.)  unabhängig  vom  analytischen  Ausdruck  entwickelt.  Eben 
auf  dieser   Grundlage    erwächst   der   später   so   häufig   angewandte  Schluss 


Rezensionen.  141 

auf  die  Identität  zweier  in  verschiedenen  Gestalten  vorgelegten  Funktionen. 
Beim  Beweise  der  fraglichen  Grunds&tze  henützen  die  Verfasser  den  Satz 
voQ  der  Existenz  des  wahren  Eonvergenzkreises  einer  Potenzreihe  als  wich- 
tigstes Fundament.  Aber  diesen  letzteren  Satz  geben  sie  einfach  ohne  Be- 
weis an.  Ich  glaube  nicht,  dass  die  Mehrzahl-  der  Leser  diesem  Verfahren 
an  einer  so  wichtigen  Stelle  des  Buches  beistimmen  werden.  Es  hätten 
doch,  wenn  die  Darstellung  des  Kapitels  I  an  dieser  Stelle  nicht  unter- 
brochen werden  sollte,  dem  späteren  Brauche  entsprechend  in  einer  Note 
am  Schlüsse  des  Buches  weitere  Aufklärungen  gegeben  werden  können. 

Übrigens  soll  diese  letztere  Bemerkung  die  allgemeine  Anerkennung 
nicht  hindern,  dass  die  Verfasser  den  didaktischen  Zweck  ihres  Buches  als 
vor  allem  maßgeblich  angesehen  haben.  In  dieser  Hinsicht  ist  zu  bemerken, 
dass  das  Buch  nicht  ausschliesslich,  ja  nicht  einmal  vornehmlich  für  die 
Studierenden  der  Mathematik  im  engeren  Sinne  bestimmt  ist.  Für  solche 
kann  das  Buch  nur  eine  Vorübung  geben  zum  Studium  ausführlicher  Werke. 
Die  Theorie  der  Teilung  und  Transformation  mit  allen  ihren  interessanten 
algebraischen  und  zahlentheoretischen  Anwendungen  bleibt  hier  fast  ganz 
ausserhalb;  denn  was  Über  die  Landen  sehe  Transformation  sowie  über  die 
lineare  Transformation  im  zehnten  und  dreizehnten  Kapitel  ausgeführt  wird, 
ist  nur  als  Beigabe  anzusehen  und  gehört  nicht  mehr  dem  inneren  Wesen 
des  Buches  an.  Auf  der  anderen  Seite  aber  ist  das  Buch  vornehmlich  für 
solche  Studierende  bestimmt,  welche  die  Kenntnis  der  elliptischen  Funktionen 
bei  Problemen  der  Geometrie,  Physik,  Mechanik  etc.  zu  verwerten  wünschen. 
Von  hier  rührt  die  starke  Beschränkung  in  den  theoretischen  Grundlagen; 
and  vor  allem  soll  dem  gedachten  Zwecke  auch  die  Beigabe  zahlreicher 
und  interessanter  Beispiele  aus  den  genannten  Gebieten  dienen.  Auch  aus- 
fuhrliche Berücksichtigung  von  Realitätsbetrachtungen  entspricht  den  Zwecken 
der  Anwendungen.  Die  Verfasser  sprechen  die  Hoffnung  aus,  dass  sich 
der  Leser  nach  Studium  des  Buches  der  elliptischen  Funktionen  mit  der 
gleichen  Leichtigkeit  bedienen  könne,  wie  der  trigonometrischen  Funktionen. 
An  Reichhaltigkeit  der  Beispiele  wird  unser  Buch  übrigens  noch  von  Green- 
hills  „Applications  of  elliptic  functions'^  übertroffen,  wo  sich  Theorie  und 
Praxis  fast  vollständig  durchdringen.  Endlich  sei  noch  erwähnt,  dass 
durch  Übungsaufgaben,  welche  den  grundlegenden  Kapiteln  jedesmal  am 
Schlosse  angefügt  sind,  Gewandtheit  im  Bechnen  mit  den  elliptischen 
Funktionen  erzielt  werden  soll. 

Was  den  Entwickelungsgang  des  vorliegenden  Buches  im  einzelnen 
angeht,  so  erwächst  die  Theorie  der  elliptischen  Funktionen  hier  auf  Grund- 
lage des  „Begriffs  der  doppelten  Periodizität/*  Die  Funktionen  <r(i«),  i>(t«) 
und  p'{u)  werden  eben  dieserhalb  durch  ihre  Produkt-  bez.  Partialbruch- 
entwickelungen  definiert;  und  die  im  einleitenden  Kapitel  gesammelten 
funktionentheoretischen  Hilfsmittel  gestatten,  weiter  in  die  Natur  dieser 
Funktionen,  sowie  allgemeiner  der  doppeltperiodischen  Funktionen  ein- 
zudringen. Dieser  Eingang  in  die  Theorie  der  elliptischen  Funktionen  hat 
etwas  besonders  Elegantes  (obschon  er  die  algebraische  Seite  und  die  Um- 


142  Historisch -litterarische  Abteilung. 

kehrtheoreme  stark  zurückdrängt).  Besonders  zu  bemerken  ist  noch,  dass 
die  Verfasser  die  Analogie  zwischen  den  rationalen,  trigonometrischen  und 
elliptischen  Funktionen  in  Ansehung  ihrer  Zerlegungen  in  Faktoren  einer- 
seits und  Partialbrflche  anderseits  überall  hervortreten  lassen.  £[ier- 
durch  wird  für  das  einführende  Studium  die  Auffassung  sehr  erleichtert. 

Realitätsbetrachtungen  werden  erstlich  für  den  Fall  ausgeführt,  dass 
das  Periodenparallelogramm  ein  Rechteck  ist,  sodann  aber  auch  (in  einem 
sehr  weit  hinausgeschobenen  Kapitel)  fdr  den  Fall  eines  rhombischen 
Periodenparallelogramms.  Die  Werte  von  w,  für  welche  p(u)  xmd  p\u)  reell 
ausfallen,  werden  der  Grundanlage  des  Buches  entsprechend,  nicht  ohne 
mühsame  Betrachtungen,  aus  den  Partialbruchentwickelungen  der  FunktioneD 
entnonunen.  Hierbei  wird  überdies  noch  nicht  einmal  die  Vollständigkeit 
der  gemachten  Angaben  recht  ersichtlich.  Hier  hätte  sich  die  konforme 
Abbildung  des  Periodenparallelogramms  auf  eine  symmetrische  zweiblättrige 
Riemannsche  Fläche  als  ein  weit  zugkräftigeres  Hilfsmittel  der  Untersuch- 
ung erwiesen. 

Ein  besonderes  Kapitel  ist  dem  Studium  der  Jacobischen  „Bezeich- 
nungen^' gewidmet.  Man  darf  hier  aber  nicht  ein  tieferes  Eingehen  auf 
die  wesentlichen  Beziehungen  der  Theorien  von  Jacobi  und  Weierstrass 
erwarten.  Dieser  Übrigens  besonders  interessante  Gegenstand  hätte  sich  nur 
durch  ausführliche  Heranziehung  algebraischer  Betrachtungen,  sowie  der 
Transformationstheorie  durchführen  lassen.  Der  erste  Teil  des  in  Rede 
stehenden  Kapitels  ist  dadurch  sehr  beschwerlich  geworden,  dass  Jacobis 
ursprüngliche  in  den  „  Fundamen ta  nova^'  gebrauchte  Bezeichnungsweise 
und  nicht  (wie  es  Jacobi  in  den  Vorlesungen  that)  die  vier  ^-Reihen  an 
die  Spitze  gestellt  werden. 

Die  Realitätsbetrachtungen  der  Jacobi  sehen  Funktionen  beziehen  sich 
auf  den  Fall  eines  rechtwinkligen  Periodenparallelogramms. 

An  die  bisher  besprochenen  Kapitel  schliessen  sich  in  der  ganzen 
Anlage  und  Methode  am  engsten  die  Kapitel  XI  und  XU  an,  welche  die 
doppeltperiodischen  Funktionen  zweiter  und  dritter  Art  behandeln,  d.h.  die- 
jenigen, welche  bei  Vermehrungen  des  Argumentes  um  Perioden  sich  um 
konstante  Faktoren  bez.  Exponentialfaktoren  ändern.  Diese  Funktionen 
werden  ganz  nach  dem  Vorbild  der  doppeltperiodischen  Funktionen  im 
engeren  Sinne  näher  untersucht,  in  Produkte  entwickelt,  in  Partialbrach- 
reihen  zerlegt  u.  s.  w.  Von  den  Funktionen  zweiter  Art  wird  eine  sehr 
interessante  Anwendung  entwickelt  auf  die  Integration  der  nach  Lame 
und  Picard  benannten  Differentialgleichungen.  Es  sind  dies  homogene 
lineare  Differentialgleichungen  der  zweiten  bez.  der  n^^  Ordnung  zwischen 
X  und  ^,  wo  die  von  x  abhängenden  Koeffizieuten  der  Differentialgleichungen 
doppeltperiodische  Funktionen  gewisser  Bauart  sind. 

Etwas  mehr  für  sich  stehen  die  Kapitel  Vll  und  Vlli,  welche  den 
elliptischen  Integralen  und  speziell  der  Weierstrassschen  Normalform 
(Kapitel  VHI)  gewidmet  sind. 


Rezensionen.  143 

EndUch  sollen  hier  noch  die  zum  Teil  sehr  elegant  entwickelten  An- 
wendungen charakterisiert  werden,  welche  die  Herren  Verfasser  in  ihrem 
Bache  (und  zwar  jedesmal  in  onmittelharem  Anschluss  an  die  zugehörigen 
theoretischen  Entwickelangen)  behandeln. 

Um  'etwa  die  Anwendungen  auf  die  analytische  Geometrie  voran- 
zustellen, so  ist  die  Theorie  der  ebenen  Kurven  dritter  Ordnung,  der 
Raumkurven  vierter  Ordnung  erster  Spezies,  sowie  eine  sehr  interessante 
Theorie  der  Wellenfläche  entwickelt.  Die  kurventheoretischen  Untersuchungen 
scbliessen  sich  jedesmal  an  die  Realitatsdiskussionen,  so  dass  den  reellen 
Zügen  der  Kurven  spezielle  Beachtung  geschenkt  wird.  Auch  ist  ein  be- 
sonderer Abschnitt  den  konfokalen  Flächen  zweiten  Grades  und  den  ellip- 
üschen  Koordinaten  gewidmet. 

Eine  reichhaltige  und  sehr  geschickte  Auswahl  ist  aus  den  Problemen 
der  analytischen  Mechanik  getroffen. 

Neben  den  natürlich  stets  wiederkehrenden  Beispielen  des  einfachen 
und  des  sphärischen  Pendels  finden  wir  hier  eine  Reihe  von  Aufgaben  aus 
der  Elastizitätstheorie  behandelt;  so  wird  vor  allem  die  Theorie  der  elasti- 
schen Kurve  sowie  Fläche  entwickelt. 

Die  elliptischen  Koordinaten  werden  zu  Betrachtungen  aus  der  Theorie 
der  Wärmeleitung  in  Anwendung  gebracht. 

Die  vorstehenden  kurzen  Andeutungen  werden  genügen,  um  die  Viel- 
seitigkeit des  hiermit  angezeigten  Werkes  zu  bezeugen.  j»  p„jf,^« 


Differenzenrecliniing.  Von  A.  A.  Markoff,  autorisierte  deutsche  Über- 
setzung von  T.  Friesekdorf  und  E.  Prümm,  mit  einem  Vorwort  von 
R.  Mehmke.    Leipzig  1896,  B.  G.  Teubner.    VI  und  194  S. 

Durch  sinnreiche  Kunstgriffe  numerische  Rechnungen  zu  kürzen,  ist 
jedenfalls  einer  der  ursprünglichsten  Antriebe  zum  mathematischen  Denken 
gewesen.  Und  wenn  auch  die  Rechnung  im  Verfolg  der  Entwickelung  weder 
die  einzige  noch  die  vornehmste  Grundlage  mathematischer  Forschung  blieb, 
so  wird  doch  ein  Werk,  welches  mit  interessanten  mathematischen  Grund- 
sätzen an  die  Technik  des  Zahlenrechnens  herangeht,  allgemeine  Beachtung 
zumal  in  der  gegenwärtigen  Zeit  gewinnen,  in  welcher  die  Mathematik  ohne- 
hin bestrebt  ist,  im  Gebiete  ihrer  praktischen  Verwendung  an  Wirksamkeit 
und  Bedeutung  zu  steigen. 

Die  „Rechnung  mit  endlichen  Differenzen'^  des  bekannten  Peters- 
burger Mathematikers  wurde  auf  Anregung  der  Leiter  des  Göttinger  Mathe- 
matischen/ Seminars  durch  die  Herren  Friesendorf  und  Prümm,  welche 
diesem  Seminar  im  Voijahr  angehörten,  ins  Deutsche  übertragen.  Und 
Herr  Mehmke,  welcher  die  Obersetzung  mit  dem  Original  verglichen 
hat,  rühmt  in  einem  dem  Buche  mitgegebenen  Begleitwort  die  Güte  und 
Korrektheit  der  Übersetzung. 

Es  ist  der  Begriff  der  „endlichen  Differenzen  der  verschiedenen  Ord- 
nungen'^    einer   Funktion    f{ß)^    welcher    die    Grundlage    des    vorliegenden 


144  Historiach -litterarische  Abteilung. 

Werkes  bildet.  Diese  Differenzen  werden  symbolisch  durch  ^f{z)^  J^f{z)^... 
bezeichnet,  und  sie  sind  bekanntlich  definiert  durch 

Jf(z)  =  f{z  +  h)  -  f{z), 
J'f(g)  =  Jf(z  +  h)  -  Jf(z), .  .  ., 

wo  h  ein  endlicher  Zuwachs  des  Argumentes  ist.  Die  Verwendbarkeit 
dieses  Begriffs  der  endlichen  Differenz  wird  nach  den  verschiedensten 
Richtungen  hin  dargelegt.  Dabei  wird  der  ganze  Stoff  in  zwei  charak- 
teristisch verschiedene  Abschnitte  zerlegt.  Der  erste  Abschnitt  enthält  die 
Mehrzahl  der  Anwendungen  auf  die  Technik  des  numerischen  ßechnens, 
auf  Interpolation,  angenäherte  Berechnung  bestimmter  Integrale,  HerstelluDg 
und  Benutzung  mathematischer  Tafeln  etc.  Der  zweite  Abschnitt  wird  dem 
grösseren  Teile  nach  mehr  den  Theoretiker  interessieren.  Es  wird  hier 
vou  der  ,fSummation  der  Differenzengleichungen"  gehandelt,  wobei  die  ele- 
mentare Theorie  der  „Integration  der  Differentialgleichungen"  bis  in  die 
Kinxelheiten  hinein  vorbildlich  gewesen  ist. 

\usserlich  wird  nicht  der  Begriff  der  Differenzen  ^f(z)^  J^f (:),... 
dor  Funktionen  vorangestellt,  sondern  den  Eingang  bildet  ein  Kapitel 
Über  Interpolation. 

Das  Problem  ist:  Gegeben  sind  von  einer  Funktion  f(z)  die  Werte 
rUr  m  reelle  Argumente  a^,  cr^,  .  .  .  flf/i,,  sowie  überdies  die  Werte  der  zu- 
>;ehi^rigen  Ableitungen  bis  zu  den  Ordnungen 

(oTj-l),     (or2-l),...(a„— 1); 

hieraus  ist  die  Funktion  für  ein  neues  reelles  Argument  x  zu  berechnen. 
l>iü  Li^sung  wird  in  der  Art  vollzogen,  dass  man  f(^z)  durch  eine  ganze 
lutloiiaU  Funktion  F(z)  möglichst  niederen  Grades  approximiert  und  als- 
auiia  t\x)  als  Näherungswert  von  f(x)  angiebt.  Die  Taylorsche  Reihe, 
»hi^  Lakrraugesche  Interpolationsformel  und  die  Newtonsche  Formel  far 
^l^c  »,  hittjrpolation  durch  äquidistante  Intervalle"  ordnen  sich  dem  all- 
;cuu»iuoa  Ansatxe  unter.  Die  letztere  Formel  giebt  den-Anlass  ab  nur 
Kiutulu-iuig  der  Differenzen  ^f(s)^  /^*/'(-e), . . .,  welche  demnächst  insbeson- 
,,'.0  IUI  K'aiue  und  rationale  Funktionen  spezieller  Bauart,  sowie  allgemein 
•I  ijivia  ZuHÄUunenhange  mit  den  Differentialquotienten  der  näheren  Dis- 
»xAiv^a  viutorzogeu  werden. 

H.iuo  oiMto  und  besonders  wichtige  Anwendung  der  Differenzenrechnung. 
iio  Hut   Herstellung  und  Benutzung  mathematischer  Tabellen,  ent- 
uix  viüito  Kapitel.     Eine  ganze  Funktion  f(z)  vom  «*«»  Grade  hat 
^.....v».hatt,  dass  für  sie  die  Differenzen 

.v^.iuiudou.      Gilt  es  eine  Tabelle  der  Werte 
/\«),     /'(«±/0,     /•(a±2/0,  ... 
.      uauUt  man  nur  die  (n  +  1)  Werte  f(a),  /lf{a),  . . .  J*f{n^ 

ii  orMohtlich  durch  einfache  Additionen  und  Subtraktionen 

.,.a  Werte  f{a^^   f(a  ±  //),...  zu  berechnen.     Hat  man 


Rezensionen.  145 

eine  Funktion;  für  welche  ^*+^/*,  .  .  .  nicht  verschwinden,  so  gelangt  man 
durch  die  eben  gekennzeichnete  Methode  nur  erst  zu  Näherungswerten. 
Aber  die  Stärke  der  Differenzenrechnnng  besteht  darin,  dass  sie  in  einem 
solchen  Fall  immer  gleich  durch  einige  wenige,  und  zwar  ganz  elementare 
algebraische  Schlüsse  eine  Formel  zur  Kontrolle  des  Fehlers  entwickelt, 
wobei  im  vorliegenden  Falle  Newtons  Formel  für  die  Interpolation  durch 
äquidistante  Intervalle  die  Grundlage  abgiebt.  Die  gegebenen  Ent Wicke- 
lungen, bei  denen  übrigens  zugleich  solche  Fehler  berücksichtigt  werden, 
welche  möglicherweise  den  primär  gegebenen  Werten 

/-(a),  ^/•(a),...,^Y(«) 

anhaften,  dienen  zugleich  zur  Kontrolle  von  Tabellen,  welche  auf  anderem 
Wege  berechnet  sind,  sowie  anderseits  zur  Angabe  von  Funktionswerten 
für  solche  Argumente,  welche  nicht  direkt  in  der  Tabelle  vertreten  sind. 
Es  sind  dem  Kapitel  mehrere  Beispiele  angefügt,  imter  denen  die  Funktion: 


df 


die  Hauptrolle   spielt.     Eine  Tabelle   der  Werte   dieses  Integrals  hat  Herr 
Markoff  bereits  früher  veröffentlicht.     Das  fünfte  Kapitel  handelt  von  der 

d 

angenäherten  Berechnung  bestimmter  Integrale  /  f(x)  dx.    Der  Grundgedanke 


i  j  f(x)dx. 


ist,  dass  f{x)  nach  den  am  Anfang  des  Werkes  erörterten  Methoden  der 
Interpolation  näherungsweise  durch  eine  ganze  rationale  Funktion  F(x)  dar- 
gestellt wird,  welche  letztere  leicht  integriert  werden  kann. 

Das  „Restglied"  der  Interpolationsformel  ermöglicht  auch  hier  die  An- 
gabe einer  Fehlergrenze.  Diese  Methode  der  angenäherten  Quadratur  wird 
als  „Methode  der  Parabeln"  benannt;  an  die  Stelle  der  Kurve  y  =  f(x) 
tritt  nämlich  y  ^  F{x)^  welche  eine  „Parabel  w**"  Grades"  darstellt,  falls 
^1/)  eine  ganze  Funktion  dieses  Grades  ist. 

Benutzt  man  insbesondere  die  Lagrange  sehe  Interpolationsformel: 

+  (a;-am)a)'(a„)''^"'»''' 

unter  «o  (x)  die   ganze   Funktion  (x  —  a,)  (x  —  Aj)  . . .  (x  —  a,„)  verstanden, 
so  ergiebt  sich  die  Formel: 

d 

1)  j  f{x)dx  =  A/'(«i)  +  ^/"K)  +  •  •  •  +  Ä,„f{a.„), 


146  HiBtorisch-litterarisclie  Abteilung. 

wo  die  von   f{x)  unabhängigen  „Quadratnrkoefüzienten^^  Ak   gegeben  sind 
durch:  d 


/(o{x)dx 


(«*) 

Um  die  Genauigkeit  zu  erhöhen,  kann  man  eine  Unterteilung  des  Inte- 
grationsintervalls  vornehmen,  und  zwar  liegt  es  hier  am  nächsten,  die 
Teilintervalle  einander  gleich  zu  wählen.  Durch  Kombination  dieser  Maß- 
nahme mit  den  eben  skizzierten  Ansätzen  finden  sich  die  wohlbekannten 
Formeln  ein,  welche  die  „Methode  der  Trapeze ^^  und  die  „Simpson sehe 
RegeP^  darstellen.  Bezieht  man  anderseits  die  eben  unter  1)  angegebene 
Formel  auf  äquidistante  Teilpunkte: 

,    d—c  .    n  d—c  j 

so  gelangt  man  zur  „Methode  von  Cotes^^,  welche  diesen  Namen  tragt^ 
weil  Cotes  die  sich  hier  einstellenden  QuadraturkoefQzienten  für  f»  =  2  bis 
1 1  berechnet  hat. 

Gauss  Methode  der  angenäherten  Quadratur  beruht  nicht  auf  der 
Auswahl  äquidistanter  Teilpunkte  o^ ,  o^ ,  •  • ,  o^ ;  vielmehr  erhöht  man  die 
Genauigkeit  durch  eine  andere  Auswahl  der  %,...,  a,»»  luid  zwar  ergiebt 
sich  die  Möglichkeit  einer  derartigen  Auswahl  der  ajt^  dass  die  Formel  l) 
für  jede  den  Grad  (2  m  —  1)  nicht  übersteigende  ganze  Funktion  exakt 
giltig  ist.  Man  hat  zu  diesem  Zwecke  die  Uk  mit  den  Nullpunkten  der 
ganzen  Funktion  w**^  Grades: 

'"W  —  2w(2wi-l)..(w+l)  dg^ 

zu  identifizieren,  welche  letztere  bis  auf  einen  numerischen  Faktor  und  eine 
lineare  Substitution  des  Argumentes  die  Kugelfunktion  Pm{^)  vorstellt  Das 
interessante  Eingreifen  der  Kugelfunktionen  in  die  Lehre  von  den  angenäherten 
Quadraturen  giebt  Gelegenheit,  auf  einige  hier  in  Betracht  konunende 
Kigenschaften  der  Funktionen  Pm(^)  noch  besonders  zurückzukommen. 

Übrigens    werden    die    zuletzt    skizzierten    Entwickelungen    noch    ver- 

d  d 

allKemeinert,   indem    an    SteUe    von//-(a:)dx   das  Integral/; (-)/•(-) -»^ 

C  C 

iintoriuüht  wird,  wobei  g{x)  irgend  eine  Funktion  von  x  ist  und  die  Inter- 
liiiUtionpformeln  auf  f{x)  in  Anwendung  gebracht  werden. 

Nach  diesen  ausführlicheren  Darlegungen  sei  es  erlaubt,  über  des 
litimit  (l«s  zweiten  Teiles  des  Marko  ff  sehen  Werkes  nur  einige  kurze  An* 
(IciiitiMgtfn  2U  geben. 

hau  Problem  der  Berechnung  einer  Funktion  F{x)  bei  gegebener 
lüliüiönz  4F{x)  führt  zur  „Summation",  dem  Gegenstück  der  „Integration^ 
(Ji^r  Uitterentiale;  und  es  bestehen  hier,  wie  die  nächsten  AusfOhnmgen 
(iiiiiittiti  Kapitel)  zeigen,  mannigfache  Analogien  zwischen  den  beiderseitigen 


Rezensionen.  147 

Operationen.      Eine    Menge    interessanter    Beihensnmmationen    bilden    die 

nächsten  Beispiele.     Des  weiteren  tritt  die  Eni  er  sehe  Formel: 

b 

f(a)  +  f(a  +  h)  +  f(a+2h)+'"  +f(h)  «  ^  rf(x)dx 

a 

+  A  [f{b)  -  f(a)]  +  Ä^hlfih)  _/*(«)]  +  ... 

+  ^„_xÄ"-«[/-(— «(6)  -  /-("-«(a)]  +  B,n 
in  den  Mittelpunkt  der  Betrachtung;  hierbei  ist  h  = und  Bm  bedeutet 

ein  Bestglied,  welches  zunächst  in  Integralgestalt  erscheint;  die  Koeffizienten 
A  sind  numerisch,  und  zwar  ist 

"         1.2.8-  •  .(2Ä;-1)2Ä;  ' 
wo  Bk  die  k^  Bernoullische  Zahl  ist;  die  A  mit  ungeradem  Index  sind 

indes  gleich  Null  bis  auf  il^,    welches  gleich   —  —  ist.     Die   Eni  ersehe 

Formel  gestattet  eine  Reihe  interessanter  Anwendungen  und  zwar  sowohl 
nach  Seiten  der  Beihensummierung  als  zur  Berechnung  von  Näherungs- 
werten bestimmter  Integrale. 

Des  weiteren  folgen  allgemeine  Erörterungen  Über  „  Differenzen- 
gleichungen'\  sowie  spezielle  Ausführungen  über  ^lineare''  Differenzen- 
gleichungen mit  oder  ohne  rechte  Seite.  Hier  ist  überall  die  Analogie  zu 
den  Differentialgleichungen  leitend,  wie  schon  oben  angedeutet  wurde. 

Im  letzten  Kapitel  wird  von  der  Anwendung  der  Doppelsummen  auf 
Umformung  von  Beihen  gehandelt.  ^  Frickb 


£.  Pascal,  Calcolo  delle  Tariazioni  e  calcolo  delle  differenze  flnite. 

IMilano,  ü.  Hoepli,  XII  und  330  S. 

In  dem  neusten  Doppelbandchen  der  Hoepli  sehen  Sammlung  behandelt 
Herr  Pascal  erstlich  die  Variationsrechnung  und  im  zweiten  Teile  die 
Differenzenrechnung.  Der  erste  Teil,  die  Darstellung  der  Variationsrechnung, 
dürfte  als  besonders  wertvoll  gelten.  Es  sind  nämlich  hier  nicht  nur  die 
Grundprobleme  und  die  Anwendungen  der  Variationsrechnung  behandelt, 
sondern  vor  allem  kommt  die  geschichtliche  Entwickelung  derselben  des 
ausführlichen  zur  Geltung,  wobei  jedoch  zu  erwähnen  ist,  dass  Weier- 
strass'  Vorlesungen  einigermassen  ohne  Wirkung  bleiben.  Auch  hat  Herr 
Pascal  mit  grosser  Sorgfalt  die  Litteratur  jedes  einzelnen  Gegenstandes 
nachgewiesen.  Weniger  wichtig  (für  das  deutsche  Bedürfnis)  ist  der  zweite, 
die  Differenzenrechnung  betreffende  Teil,  nachdem  erst  vor  kurzem  das  grund- 
legende Werk  Markoffs  über  diesen  Gegenstand  in  deutscher  Übersetzung 
herausgegeben  wurde.  Mit  letzterem  Werke  bleibt  Herr  Pascal  im  wesent- 
lichen in  Übereinstimmung.  Zu  erwähnen  bleibt  jedoch,  dass  die  Litteratur- 
nachweise  etwas  ausführlicher  sind,   als  in   dem  genannten  Marko  ff  sehen 

^^^^^'  B.  Frickb. 


148  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Theorie    der    doppeltperiodischen  Funktionen    einer    veränderlichen 

Grosse.  Von  Dr.  Martin  Krause,  Professor  der  Mathematik  an 
der  technischen  Hochschule  in  Dresden.  Zweiter  Band.  Leipzig  1897. 
B.  G.  Teubner.    XH  und  306  S. 

Der  Stoff,  welchen  Herr  Krause  im  zweiten  Bande  seines  in  der  Über- 
schrift genannten  Werkes  behandelt,  gruppiert  sich  um  vier  Hauptgesicbts* 
punkte. 

Erstlich  gilt  es,  die  bereits  im  1.  Bande  entworfene  Transformations- 
theorie  weiter  auszubauen.  In  der  That  bleibt  noch  Übrig,  die  mannig- 
fachen nur  von  den  Perioden  abhängenden  Koeffizienten  in  den  Trans- 
formationsgleichungen auf  ihre  gegenseitigen  Beziehungen  zu  untersacben. 
Die  auf  Grund  des  Her  mite  sehen  Transformationsprinzips  zu  gewinnenden 
allgemeinen  Additionstheoreme  der  ^-Funktionen  sind  die  Quellen,  aus  denen 
der  Herr  Verfasser  die  gemeinten  Beziehungen  ableitet. 

Die  eleganten  analytischen  Entwickelungen  des  zweiten  Abschnitts 
dürften,  wie  entsprechend  im  Beferat  über  den  ersten  Band  bereits  an- 
gedeutet wurde,  eine  Hauptstarke  des  Buches  ausmachen.  Das  Problem 
ist,  die  doppeltperiodischen  Funktionen  aller  drei  Arten  in  trigonometrische 
Reihen  zu  entwickeln.  Neben  eigenen  Untersuchungen  des  Herrn  Verfassers 
kommen  hier  Arbeiten  von  Appell  und  Halphen  zur  Geltung. 

Um  seine  Untersuchungen  über  die  Picard sehen  Differentialgleichnngen 
im  Zusammenhange  Tortragen  zu  können,  entwickelt  Herr  Krause  an 
dritter  Stelle  die  Grundsätze  der  Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen 
w**'  Ordnung.  Es  handelt  sich  um  die  grundlegenden  Untersuchungen  von 
Herrn  Fuchs,  betreffend  die  Existenz  und  Anzahl  der  Integrale,  die  singn- 
lären  Punkte,  die  determinierende  Fundamentalgleichung  u.  s.  w. 

Endlich  kehrt  viertens  der  Herr  Verfasser  zu  seinen  eigenen  Unter- 
suchungen der  letzten  Jahre  zurück,  indem  er  die  allgemeinen  Ansätze  der 
Fuchs  sehen  Theorie  am  Spezialfälle  der  Picard  sehen  Differentialgleichungen, 
deren  Koeffizienten  eindeutige  doppeltperiodische  Funktionen  sind,  zur 
Durchführung  bringt.  Diese  Differentialgleichungen  werden  zumal  für  die 
niedersten  Ordnungen  und  für  kleine  Anzahlen  der  singulären  Punkte 
nach    allen   Richtungen  hin    in   interessanten   Einzeluntersuchungen   dorcli- 

forsoht. 

In  der  Vorrede  benutzt  Herr  Krause  die  Gelegenheit,  gegenüber 
itiiiiner  Besprechung  des  ersten  Bandes  in  gewissen  drei  Punkten  seine 
Vtitohauungen  nochmals  zur  Geltung  zu  bringen;  und  es  ist  diese  Vorrede 
ui»cMi>:«W(48e  auch  in  dem  4.  Hefte  des  42.  Bandes  der  Zeitschrift  für 
Mutluuiiatik  und  Physik  veröffentlicht  worden.  Die  Ausführungen  des  Herrn 
V  »»«H.stfn>  betreffen: 

1     Ui«    Beziehung  der  Weierstrassschen    zur  Jacobischen    Theorie; 

'  (tun  Gebrauch  anschaulicher  Hilfsmittel  bei  funktionentheoretischen 
tViluktionen; 

t    >Uo    Mvthoiien   zur  Ableitung   von   Transformationsgleichungen  and 

i>   Ki3l;i»K»u<pn. 


Rezensionen.  149 

Der  Glebrauch  geometrischer  Methoden  für  wissenschaftliche  oder 
nnterrichtliche  Zwecke  ist  neuerdings  so  oft  zum  Gegenstand  der  Diskussion 
gemacht,  dass  sich  nachgerade  ein  Jeder  seine  feste  Meinung  in  dieser 
Hinsicht  gebildet  haben  wird.  Während  ich  demnach  den  zweiten  Frage- 
pnnkt  hier  übergehe,  glaube  ich  beim  ersten  und  dritten  noch  durch  ein 
paar  Zeilen  zur  Klärung  der  Diskussion  beitragen  zu  können. 

Die  Beziehung  von  Weierstrass  zu  Jacobi  möchte  ich  weniger  von 
der  historischen  als  sachlichen  Seite  fassen.  Die  Funktionen  der  Weier- 
strass sehen  Theorie  sind  gegenüber  allen  linearen  Transformationen  in- 
variant, diejenigen  der  Jacobischen  nur  gegenüber  einem  Teile  aller 
linearen  Transformationen,  während  sie  sich  bei  Ausführung  anderer  ändern. 

WS.«  ** 

Diese  Änderungen  sind  hinderlich  bei  der  Exposition  der  Transformationen 
höherer  Ordnung,  welche  sich  demnach  im  Anschluss  an  Weierstrass 
weit  durchsichtiger  gestaltet.  Durch  gewisse  rationale  Verbindungen  der 
Grössen  der  Jacobischen  Theorie  entspringen  diejenigen  der  Weierstrass- 
schen  (man  denke  z.  B  an  die  Herstellung  der  Modulformen  erster  Stufe 
ans  den  drei  O- Nullwerten  Oq,  -frj,  -^3).  Bei  dergleichen  rationalen  Bech- 
nnngen  werden  die  numerischen  Koeffizienten  in  den  Potenzreihen  nach  q 
för  die  Grössen  der  Weierstrass  sehen  Theorie  vergleichsweise  kompli- 
zierter als  für  diejenigen  der  Ja 00 bischen.  Bei  der  bekannten  Bolle, 
welche  diese  Potenzreihen  für  die  Aufstellung  der  Transformationsgleichungen 
spielen,  tritt  die  gleiche  Erscheinung  für  die  numerischen  Koeffizienten 
dieser  letzteren  Gleichungen  in  Kraft.  Aus  dieser  Sachlage  entspringt 
grössere  Durchsichtigkeit  des  prinzipiellen  Einblicks  bei  Weierstrass, 
grossere  formale  Einfachheit  der  Transformationsgleichungen  bei  Jacobi. 

Im  dritten  Fragepunkte  glaube  ich  durch  Ausführung  eines  Beispiels 
helfen  zu  können.  Durch  die  Transformation  dritter  Ordnung  o' »  3  g) 
mögen  die  drei  d -Nullwerte  -^q,  Og,  dg  in  Oq,  Og,  63  übergeben.  Die  Quo- 
tienten dieser  sechs  Grössen  mögen  alsdann  als  Funktionen  des  Perioden- 
qnotienten  od  in  ihrem  Verhalten  gegenüber  linearen  Transformatiocen  der 
Perioden  untersucht  werden.  Sie  bleiben  bis  auf  das  Zeichen  oder  bis  auf 
einen  Faktor  ±  i  unverändert  bei  solchen  Transformationen 

in  welchen  of  =  d  =  l,  ß  =  y^0  (mod 6)  ist.  Nun  lehrt  die  Theorie  der 
Modulfunktionen,  dass  die  bei  jenen  Transformationen  invarianten  Fonk- 
tionen  von  o  sämtlich  als  algebraische  Funktionen  eines  Gebildes  vom 
Geschlecbte  j) » 1  aufgefasst  werden  können,  welches  äquianharmonisch 
und  demnach  durch  eine  Gleichung  y^=^  x^+1  darstellbar  ist.  In  diesen 
jr  und  if  würden  dann  alle  jene  Funktionen  rational  darstelll^ar  sein. 
Speziell  lehrt  das  Perioden  verhalten  einer  ganzen  Beihe  von  O'-Quotienten, 
dass  dieselben  bereits  rational  in  y  allein  sind;  hierher  gehören  Formeln  wie: 

?^_ iy /^»e.y^    y+s 


V 


(^0'- 


150  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Die  zwischen  ^q,  ^^i  ^s  ^ot  ^2)  ^s  bestehenden  Relationen  werden  nun 
identische  Gleichungen  in  y]  und  die  allgemeinste  solche  Gleichung  (wemi 
anders  man  diesen  Begriff  zulässig  finden  will)  liefert  die  allgemeinste 
^-Belation  unserer  Art,  deren  Gesamtmannigfaltigkeit  hier  begrifflich  über- 
sehen wird.  Eine  entsprechende  Theorie  besteht  für  alle  übrigen  Trans- 
formationsgrade, wobei  das  Interesse  weiterhin  durch  Eingreifen  der  Korrespon- 
denztheorie  sich  noch  erheblich  steigert.  Über  den  Wert  dieser  Auffassong 
habe  ich  mich  nicht  nur  beim  Referat  über  den  ersten  Band  des  Krause- 
sehen  Werkes,  sondern  auch  bereits  bei  verschiedenen  früheren  Gelegen- 
heiten geäussert;  ich  möchte  mich  demnach  in  dieser  Hinsicht  keiner  Wieder- 
holungen schuldig  machen.         x»   Fricke 

firnndzfige  der  Geschichte  der  Naturwissenschaften.  Von  Otto  Jaeger, 

Rektor   der  Eönigl.  Realanstalt  in  Cannstatt.    Stuttgart  1897,  Faul 
Neff  Vertag,  VIII  u.  120  S. 

Wir  können  es  nicht  anders  denn  als  kühn  bezeichnen,  wenn  ein 
Schriftsteller  es  wagt,  auf  TY,  Druckbogen  Grundzüge  der  Geschichte  der 
Naturwissenschaften  zu  veröffentlichen.  Es  gehört  dazu  entweder  ein  von 
der  Geschichte  der  Mathematik  bis  zur  Geschichte  der  Medizin  sich  aus- 
dehnendes mehr  als  unheimliches  eigenes  Wissen,  oder  ein  unbedingter 
Glaube  an  die  Unfehlbarkeit  der  benutzten  Geschichtswerke  für  einzelne 
Gebiete.  Ahnliche  Anfordenmgen  wären  an  einen  Berichterstatter  zu  stellen, 
welcher  sich  erlauben  wollte,  alle  Kapitel  der  kleinen  Schrift  zu  beurteilen, 
und  da  wir  persönlich  diesen  Anforderungen  nicht  zu  genügen  Termögen. 
so  verwahren  wir  uns  dagegen,  als  ob  diesen  Zeilen  auch  Giltigkeit  für 
die  nichtmathematischen  Kapitel  beigelegt  werden  wollte.  Über  die  Ge- 
schichte der  Mathematik  handeln  aber  fünf  Kapitel  S.  2  —  6,  20  —  21, 
28 — 32,  49  —  ÖO,  74  —  76,  im  ganzen  etwa  13  Seiten,  wovon  die  letzten 
2%  der  Geschichte  der  Mathematik  im  XIX.  Jahrhunderte  gewidmet  sind. 
Wir  müssen  zugestehen,  dass  uns  in  dem  ersten  Kapitel  nur  eine,  aller- 
dings ziemlich  kräftige  Unrichtigkeit  aufgefallen  ist:  der  Mathematiker 
Hippokrates  von  Chios  wird  mit  dem  Arzte  Hippokrates  von  Kos  für 
eine  und  dieselbe  Person  gehalten.  Eine  Unrichtigkeit  gleicher  Be- 
deutung ist  es,  wenn  im  vierten  mathematischen  Kapitel  von  der  Taylor 
sehen  Reihe  gesagt  wird,  sie  gehe  auf  Johann  Bemonlli  zurück.  Taylor 
hat  allerdings  in  seinem  Buche  auch  Bemoullis  Reihe  benutact,  ohne  deren 
Urheber  zu  nennen,  aber  die  sogenannte  Taylorsche  Beihe  ist  eine  gam 
andere.  Über  das  fünfte  mathematische  Kapitel  mag  die  Bemerkung  ge* 
nügen,  dass  in  ihm  das  Wort  Funktionentheorie  nicht  vorkommt,  es 
sei  denn,  man  wolle  als  genügenden  Ersatz  den  Ausspruch  betrachten: 
„Charakteristisch  für  die  Fortschritte  der  Analjsis  in  unserem  Jahrhundert 
ist  die  von  Legendre,  Jacobi  und  Abel  gegründete  Theorie  der  elliptischen 
Funktionen  und  der  Thetafunktionen ,  welche  durch  Georg  Riemann  (1826  bis 
1866,  aus  Breselenz,  Lüneburger  Heide)  und  andere  zum  Teil  jetzt  noch 
lebende  Mathematiker  nach  verschiedenen  Richtungen  hin  weiter  ausgebildet 


Rezensionen.  151 

orde/*    Was  soll  der  Professor  der  Mathematik  oder  gar  der  der  Geschichte 
1  einer  Mittelschale  mit  solchen  Grandzügen  machen?  Cantor 


eschichte  der  darstellenden  nnd  projektiven  Geometrie  mit  besonderer 

Berücksichtigung  ihrer  Begründang  in  Frankreich  und  Deutschland 
und  ihrer  wissenschaftlichen  Pflege  in  Österreich.  Von  Prof.  Ferdinand 
Josef  Obenrauch.    Brunn  1897,  Garl  Winiker,  442  S. 

In  Gestali  von  drei  aufeinanderfolgenden  Programmabhandlungen  von 
693,  1894,  1895,  welche  in  der  Histor.- litter.  Abteilung  dieser  Zeitschrift 
and  39  (S.  187—188),  Band  40  (S.  106),  Band  41  (S.  77—78)  angezeigt 
'orden  sind,  hat  Herr  Obenrauch  nach  einer  weit  ausgreifenden  Ein- 
iitung  Monges  Geometrie  descriptire  und  dessen  Applications  de  V Analyse 
la  Geometrie  geschildert  und  eine  besondere  Abhandlung  Über  die  wissen- 
ihaftUche  Pflege  der  darstellenden  und  der  projektiven  Geometrie  in  Aus- 
geht gestellt.  Jene  drei  Programme,  von  97  S.  auf  164  S.  angewachsen, 
ilden  ein  starkes  Drittel  des  uns  vorliegenden  Bandes.  Man  erkennt  aus 
ieser  stattlichen  Vermehrung,  dass  Herr  Obenrauch,  weit  entfernt  davon 
ich  unserer  Meinung  anzuschliessen ,  ein  Weniger  wäre  mehr  gewesen  und 
atte  Monges  Grösse  deutlicher  hervortreten  lassen,  nur  noch  ausfQhrlicher 
uf  die  Bücher  und  Abhandlungen,  welche  Monges  Gedanken  bis  in  unseren 
'agen  erweitert,  vervollkommnet,  zum  entfernten  Ausgangspunkte  genonunen 
aben,  eingegangen  ist.  Der  Leser  findet  hier  eine  mit  erstaunlichem 
leisse,  welchem  Lorias  bekanntes  Buch  über  die  Entwickelung  der  geo- 
letrischen  Lehren  einigermaßen  vorgearbeitet  hat,  zusammengetragene 
tibliographie.  Wir  sagen  absichtlich  er  findet  sie,  denn  die  Bibliogpraphie 
Ines  bestimmten  geometrischen  Gegenstandes  hier  unmittelbar  aufzusuchen 
ürfle  sich  als  sehr  schwierig  erweisen.  Nach  den  fünf  ersten  Abschnitten: 
.  Einleitung,  2.  Die  Gründung  der  l^cole  normale,  3.  Die  Gründung  der 
#cole  poljtechnique,  4.  Monge  als  Begründer  der  Infinitesimalgeometrie, 
.  Monges  soziale  Stellung  und  sein  Lebensende,  welche  wir  im  Vorstehen- 
en  kurz  gekennzeichnet  haben,  beginnt  auf  S.  165  ein  letzter  und  längster 
Lbschnitt:  6.  Die  wissenschaftliche  Pflege  der  darstellenden  und  projektiven 
reometrie  in  Österreich.  Es  ist  die  1895  zum  voraus  angekündigte  be- 
ondere  Abhandlung,  jetzt  den  Hauptteil  des  Bandes  bildend.  Was  wir  den 
ruberen  Abschnitten  zum  Lobe  nachsagen  durften,  aber  auch  was  wir  an 
iinen  aussetzten,  das  zeigt  sich  aufs  Neue  in  diesem  sechsten  Abschnitte, 
lerr  Obenrauch  legt  in  demselben  eine  erstaunliche  Belesenheit  an  den 
*ag.  Es  ist  ihm  gelungen,  eine  Fülle  von  Stoff  aus  den  verschiedensten 
rebieten  zusammenzubringen,  der  uns  persönlich  und  vermutlich  gleich  uns 
en  meisten  Mathematikern  fremd  war,  so  z.B.  eine  eingehende  Schilderung 
[es  mittelalterlichen  Bauwesens,  eine  Übersicht  über  die  Gründung  tech- 
lischer  Hochschulen,  eine  österreichische  Bibliographie  der  darstellenden 
jeometrie,  wenn  wir  dieser  Wortverbindung  uns  bedienen  dürfen.  Wir 
laben  sehr  vieles   aus  dem  Buche  gelernt,   wovon  wir  in  unseren  eigenen 


152  Historisch -litterariBche  Abteilung. 

Schriften  Gebrauch  machen  können  und  gern  Gebraach  machen  werden 
Aber  nun  kommt  die  Kehrseite.  Wir  vermissen  bei  Herrn  Obenraach  dk 
Übersichtlichkeit,  die  zweckbewnsste  und  zweckerfüllende  Anordnung.  Her 
über  und  hinüber  werden  wir  durch  die  Jahrhunderte  geschleift,  ohne  das 
ein  Grund  dieses  Zickzackweges  deutlich  hervorträte,  und  wir  farcktt:, 
der  Verfasser  könnte  dadurch  die  Lesbarkeit  seines  Buches  etwas  b^ 
einträchtigt  haben.  Auf  einzelne  unbedeutende  Unrichtigkeiten  hinzuweisa 
unterlassen  wir.  Es  wäre  kleinlich  herumnörgeln  zu  wollen,  wo  etwa  a( 
unzutreffender  Ausdruck  sich  einschlich,  aber  jene  allgemeine  Bemerkoof 
über  die  Darstellungsweise  glaubten  wir  nicht  unterdrücken  zu  dürfen. 

Castök 

G.  Darboux.   Le^on  snr  la  theorie  g^n^rale  des  snrfaces  et  les  appt 
cations  g^om^triques  du  calcnl  inflnitesimal.    Troisieme  partif 

Lignes  geodesiques  et  courbure  geodesique.  Param^tres  differenti^!! 
Deformation  des  surfaces.  Paris  1894,  Gauthier- Villars  et  £3. 
512  S.     15  Frcs. 

Entgegen  der  ursprünglichen  Absicht  des  Herrn  Verfassers,  das  Wd 
in  drei  Bänden  abzuschliessen,  erscheint  die  Theorie  der  unendlich  klein 
Deformation  in  einem  besonderen  vierten  Bande,  und  es  schliesst 
dritte  Band,  dessen  grösster  Teil  (S.  1  —  444)  in  dieser  Zeitschrift  Bd.  3 
(1894)  S.  74  flg.  besprochen  ist,  mit  zwei  im  Jahre  1894  heransgegebena 
Kapiteln  (S.  445  — 512). 

In  dem  ersten  derselben  werden  die  Studien  über  die  Flachen  kv^ 
stanter  Krümmung  abgeschlossen,  „indem  die  Mittel  angegeben  werden,  ew^ 
von  ihnen  zu  bestimmen,  d.  h.  indem  die  Anwendung  der  yorhergehendd 
Transformationsmethoden  auf  die  einfachsten  Fälle  gemacht  wird^\  ^ 
werden  diejenigen  Flächen  konstanter  Krümmung  gesucht,  deren  Krümmmid 
linien  eben  oder  sphärisch  sind,  also  diejenigen,  mit  denen  sich  wolv 
Enneper  zuerst  eingehender  beschäftigt  hat.  Auch  hier  wird  von  d€ 
Voraussetzung  ausgegangen,  dass  zunächst  nur  die  Krümmungslinien  d^ 
einen  Schar  sphärisch  sind.  Anstatt  dass  aber,  wie  von  Herrn  Dobriner, 
der  die  Aufgabe  in  den  Acta  mathematica  IX,  73 — 104  vollständig  geli*^ 
hat,  die  Koordinaten  der  Flächen  bestimmt  werden,  wird  nur  gezeigt, 
man  dieselben  durch  einfache  Quadraturen  finden  kann.  Um  aus  di 
Flächen  neue  zu  erhalten,  werden  auf  dieselben  die  Transfonnaüocr 
methoden  der  Herren  Lie  und  Bianchi  angewendet.  Es  werden  zunäii^ 
zwei  Differentialgleichungen  aufgestellt,  von  denen  gezeigt  wird,  dass,  wt£n 
eine  derselben  sich  allgemein  lösen  lässt,  die  Anwendung  der  Biancbi* 
sehen  Transformationsmethode  nur  noch  algebraische  Rechnungen  olm< 
Quadraturen  erfordert,  so  z  B.  bei  der  Pseudosphäre.  Ausserdem  findet  siel 
das  bemerkenswerte  Resultat:  Wenn  man  durch  einfache  Quadrataren  eio^ 
Fläche  konstanter  Krümmung  nebst  ihren  Derivierten  nach  der  Liescbe^ 
Transformationsmethode  finden  kann,  so  fordert  die  successive  AnwendTis^ 


Rezensionen.  X53 

er  Transfonnationen  der  Herren  Bianchi,  Bäckland  und  Lie  keine 
ene  Quadratur. 

Im  letzten  Kapitel  des  dritten  Bandes  werden  gewisse  Analogien  und 
teziehungen  zwischen  den  Flächen  konstanter  Krümmung  und  den  Minimal- 
sehen  aufgestellt,  indem  daran  angeknüpft  wird,  dass  die  Minimalflächen 
iejenigen  Flächen  sind,  bei  welchen  die  Tangenten  von  der  Länge  Null 
1  jedem  Punkte  der  Fläche  konjugierte  Tangenten  sein  müssen.  Yer- 
Ilgemeinert  man  dies  und  sucht  diejenigen  Flächen  Jlf ,  bei  welchen  von 
idem  Punkte  aus  die  Tangenten,  die  zugleich  eine  gegebene  Fläche  zweiten 
frades  berühren,  konjugierte  Tangenten  sind,  so  erhalt  man  im  allgemeinen 
dächen,  die  durch  dieselbe  Differentialgleichung  bestimmt  sind  wie  die 
dachen  konstanter  Krümmung.  Reduziert  sich  die  Fläche  zweiten  Orades 
Lüf  den  unendlich  fernen  Kreis,  so  erhält  man  die  Minimalflächen.  Die 
llgemeinen  Flächen  M  haben  in  der  nicht- euclidischen  Geometrie  Oajlejs, 
.uf  welche  genauer  eingegangen  wird,  gleiche  Krümmungsradien  mit  ent- 
gegengesetzten Vorzeichen  und  haben  femer  mit  den  Minimalflächen  der 
nclidischen  Geometrie  gemeinsam,  dass  sie  innerhalb  einer  gegebenen  üm- 
[reozang  den  Flächeninhalt,  in  Cajlej scher  Geometrie  gemessen,* zu  einem 
Äiniinum  machen^  

}.  Darboux.    Qnatriime  partie.     Deformation   infiniment  petite   et  repre- 
sentation  sph^rique.     (Premier  fascicule,  1895,  p.  1  —  352.) 

Der  letzte  Band  des  Werkes  beschäftigt  sich  mit  der  Theorie  der 
mendlich  kleinen  Deformation  und  dem  sphärischen  Bilde  der  Flächen.  — 
(Vielleicht  dürfte  es  angebracht  sein,  zunächst  den  Begriff  der  unendlich 
deinen  Deformation  klarzulegen.  Denken  wir  uns  aus  der  Gesamtheit  der 
dachen,  die  durch  Biegung  einer  Fläche  8  entstehen,  eine  Schar  heraus* 
^Dommen,  deren  einzelne  Flächen  in  einander  stetig  übergehen,  so  können 
vir  dieselben  durch  die  Gleichung 

1)  9>  (:x:,  r,  z,t)^o 

larstellen.     Sind  für  ^  ==  0  die  Koordinaten  der  Fläche  x^  y^  z^  so  ist 
2)  d:K?  +  dY^  +  dZ:^  ^  dx^  +  d}/  +  dz, 

tnd  da  wir  weiter  annehmen  können ,  dass  X,  Y,  Z  sich  nach  Potenzen 
m  t  entwickeln  lassen,  so  können  wir,  weil  für  ^  =  0  X,  Y,  Z  bez.  in 
-t^,  z  übergehen,  setzen: 

ix  '=^  X  +  tx^  +  fix^  H 
Z^e  +  tz^  +  t^z^-^ 

^^  ^1)  ^2*  *  •  M   2^1)  2^8f  •  •  *i   ^11  ^89  •  •  •  Funktionen  sind,  die    von    t  unab- 
laogig  sind  und  die  YOn  den  beiden  Variabein  abhängen,  durch  welche  die 
Fläche  bestimmt  ist.     Beschränken  wir  uns  auf  die  erste  Potenz  von  ^,  so 
«t  nach  2): 
^)  dx  dxi  +  dy  dy^  -f  dz  dz^  =  0 

Hiit-Utt.  Abt.  d.  Zeittobr.  f.  Math.  n.  Fbys.  48.  Jahrg.  1898.  4. n. 5. Heft.  12 


154  Historisch -litterarische  Abteilung. 

und  die  vollständige  LSsnng  dieser  Differentialgleichimg  giebt  uns  diei 
Lösung  dessen,  was  wir  das  Problem  der  unendlich  kleinen  Deformationi 
nennen.     Es  ist  nun 

und  daraus  dX'^  +  d  Y'»  +  dZ'»  =  da»  +  dy^  +  dz^  +  fi  {dx^^  +  dy^^  +  äz^-i 

so  dass,  wenn  der  Parameter  t  unendlich  klein  ist,  sich  die  beiden  Fläcfaea 
S  und  8^  in  der  Weise  Punkt  für  Punkt  entsprechen,  dass  die  Langes 
entsprechender  Kurven  sich  nur  um  unendlich  kleine  Grössen  zweite 
Ordnung  in  Bezug  auf  t  unterscheiden. 

Die  Verbindungsgeraden  entsprechender  Punkte  M  und  M^  der  beideo 
Flächen  bilden  eine  Kongruenz  von  Geraden,  welche  man  die  Leitliniec 
der  unendlich  kleinen  Deformation  nennt.  Eine  Grösse  proportional  IfiT 
nennen  wir  den  Modul  der  Deformation 


so  dass  durch  Modul  und  Direktrix  eine  unendlich  kleine  Deformatioa 
gegeben  ist.  Ist  übrigens  die  Frage  der  unendlich  kleinen  Deformatioa 
für  eine  Mäche  vollständig  gelöst,  so  ist  durch  einfache  Quadraturen  dk 
Deformation  desselben  mit  einer  Annäherung  beliebig  hohen  Grades  za 
finden. 

Aus  Gleichung  4)  ist  ersichtlich,  dass  das  Problem  der  unendlicl 
kleinen  Deformation  gleichkommt  der  Bestimmung  von  Flächen,  die  sieb 
so  entsprechen,  dass  ihre  entsprechenden  Linienelemente  aufeinander  nor- 
mal sind.  Daraus  ergiebt  sich,  dass,  wenn  man  eine  unendlich  kleine 
Deformation  der  Fläche  S  kennt  und  von  jedem  Punkte  von  8  auf  der  Leit- 
linie der  Deformation  zwei  gleiche  und  entgegengesetzt  gerichtete  Langen 
abträgt,  die  dem  Modul  der  Deformation  proportional  sind,  man  ein  Paar 
aufeinander  abwickelbarer  Flächen  erhält.  Die  Gleichung  4)  wird  nun 
dadurch  transformiert,  dass  man  z  ^^^pdx-^-  qdy  setzt,  und  man  erhält  dann 
durch  die  Integrabilitätsbedingung  zur  Bestinmiung  von  z^  die  Gleichung 

wo  r,  5,  f  die  zweiten  Differentialquotienten  von  z  sind.  Danach  sini 
dann  auch  x^  und  y^  zu  bestimmen.  Diese  Methode  wird  auf  das  Paraboloii 
und  die  Kugel  angewendet. 

Ln  allgemeinen  zeigt  sich,  dass  die  Charakteristiken  der  lineare:! 
Differentialgleichung,  von  welcher  die  Lösung  abhängt,  die  Asymptotenlinieü 
der  gegebenen  Fläche  sind.  Besonders  einfach  wird  daher  die  Gleichung  4 , 
wenn  man  die  Parameter  der  Asymptotenlinien  als  unabhängige  Variabel-: 
einführt.     Kann  man  in  dem  erhaltenen  Systeme 

du  dv 

da  da 

du dv 

dß ""      ^-dß 
wo    A,    wie    sich    später   herausstellt,    das    negative   Produkt    der  Haapt- 
krümmungsradien   ist  und   a,  /3  die  Parameter   der  Asymptotenlinien  sind, 


RessenBionen.  155 

l  80  bestimmen,  dass  sieb  das  voUsi&idige  Integral  angeben  lässt,  so  er* 
halten  wir  nnendlicb  viele  Fl&chen,  deren  Asymptotenlinien  wir  bestimmen 
nnd  für  welche  wir  das  Problem  der  unendlich  kleinen  Deformation  lösen 
können.     Bringt  man  die  Oleichnng  der  Fläcbe  S  auf  die  Form 

wo  Bi,  8|,  8}  Losungen  derselben  partiellen  Differentialgleichong 

und  proportional   den  Bichtnngskosinns   der  Normalen   zur  Fl&che  S  sind, 

so  sind  die  Koordinaten   der  allgemeinsten  Fläche  5^,   die  der   gegebenen 

durch  Orthogonalität  der  Linienelemente  entspricht,  durch  die  zuerst  von 
Herrn  Lelieuvre  aufgestellten  Formeln  bestimmt: 

WO  CO  die  allgemeinste  Lösung  der  Gleicbong 

ist  Aacb  diesen  Formeln  entsprechende  andere  für  beliebig  gew&hlte  un- 
abhängige Yariabele  werden  von  Herrn  Verfasser  abgeleitet. 

Ans  der  vorigen  Lösung  des  Problems  ergiebt  sich  eine  Beihe  geo- 
metrischer Eigenschafken,  unter  denen  hervorzuheben  ist,  dass  den  beiden 
Scharen  der  Asjmptotenlinien  auf  jeder  der  beiden  sich  entsprechenden 
Flächen  auf  der  anderen  ein  konjugiertes  System  entspricht,  und  dass  die 
Pnnktgleichung  in  Beziehung  auf  dieses  konjugierte  System  gleiche  In- 
varianten hat.  Jedem  konjugierten  System  auf  einer  Fläche  mit  gleichen 
Invarianten  entspricht  sonach  eine  völlig  bestimmte  unendlich  kleine  De- 
formation der  Fläche.  Legt  man  durch  alle  Punkte  von  S  Ebenen, 
welche  zu  den  Leitlinien  der  Deformation  senkrecht  sind,  so  umhtQlen  diese 
eine  Fläche  JS  für  welche  man  das  Problem  lösen  kann,  wenn  es  sich 
für  S  lösen  lässt.  Da  sich  die  Asymptoten  von  8  und  S  entsprechen, 
80  entspricht  auch  jedem  konjugierten  System  auf  der  einen  ein  koigugiertes 
System  auf  der  anderen  Fläche.  Die  der  Fläche  2!  durch  Orthogonalität 
der  Linienelemente  entsprechende  Fläche  Ä  ist  mit  der  Fläche  8^  durch 
die  Eigenschafben  verbunden,   dass  die  Tangentialebenen  in  entsprechenden 

12  • 


156  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Punkten  parallel  sind  and  das  gemeinsame  konjugierte  System  auf  beiden 
Flächen  gleiche  Invarianten  hat.  Wie  die  Fläche  £  ans  8  entstanden 
ist,  so  kann  man  aus  8^  eine  neue  Fläche  2^  entstehen  lassen,  der  eine 
Fläche  Ay^  mit  Orthogonalität  entsprechender  Linienelemente  entspricht  Es 
stellt  sich   dann   heraus,   dass  A  und  A^  polarreziprok   sind  in  Bezog  anf 

eine  Kugel  Tom  Radius  }/  —  1  mit  dem  Anfangspunkt  der  Koordinaten 
als  Mittelpunkt.  Zu  diesen  6  Flächen  erhält  man  durch  gleiche  Methoden 
noch  6  andere  Flächen,  so  dass  man  im  ganzen  12  Flächen  hat,  die  sich  in 
verschiedener  Weise  paarig  entsprechen:  l)  mit  Orthogonalität  der  Linien- 
elemente, 2)  mit  parallelen  Tangentialebenen,  8)  durch  reziproke  Polare 
und  4)  als  Brennflächen  einer  und  derselben  geradlinigen  Kongruenz.  Ans 
diesen  Zusammenhängen  ergeben  sich  verschiedene  Eigenschaften  und  Be- 
ziehungen. 

Als  Beispiel  wird  zunächst  der  Fall  untersucht,  dass  8^  eine  Ebene 
ist,  wobei  sich  4  Flächen  auf  Punkte  reduzieren  und  4  Ebenen  sind.  Da 
hierbei  die  Fläche  £  die  Polarreziproke  von  8  ist  in  Beziehung  anf 
einen  linearen  Komplex,  so  wird  anschliessend  die  Aufgabe  behandelt: 
Alle  geradlinigen  Kongruenzen  zu  bestimmen,  für  welche  die  MittelflSche 
eine  Ebene  ist.  Dieselbe  wird  dahin  specialisiert,  dass  die  Kongruenz  von 
den  Normalen  einer  Fläche  gebildet  wird.  Stellt  man  eine  Beziehung  durch 
Orthogonalität  der  Linienelemente  zwischen  einer  beliebigen  Minimalfiacbe 
und  einer  Ebene  her  und  führt  durch  jeden  Punkt  der  Ebene  eine  Parallele 
zur  Normale  des  entsprechenden  Punktes  der  Minimalfläche,  so  erhält  man 
die  verlangte  Kongruenz.  Allgemeiner  ist  die  Aufgabe:  Alle  Flächen  zn 
bestinmien,  für  welche  die  Abwickelbaren,  die  von  den  Normalen  gebildet 
werden,  auf  der  Evolutenmittenfläche  ein  konjugiertes  System  bilden.  Die 
Evolutenmittenfläche  wird  diejenige  genannt,  welche  der  Mittelpunkt  des 
Normalenstückes  zwischen  den  beiden  Hauptkrünmiungsmittelpunkten  be- 
schreibt. Auch  hier  muss  man  von  einer  Minimalfläche  ausgehen  und 
dieses  giebt  Anlass  auf  die  imendlich  kleine  Deformation  der  Minimal- 
flächen einzugehen,  welche  auf  die  Litegration  der  allgemeinsten  harmonischen 
linearen  Differentialgleichung  zurückgeführt  wird.  Als  weitere  Beispiele 
fär  die  Aufsuchung  der  12  Flächen  werden  für  ^  die  Kugel  vom  Radius  1 
und  die  Flächen  konstanter  negativer  Krümmung  genommen«  Ohne  anf 
die  Einzelheiten  einzugehen,  sei  bemerkt,  dass  im  zweiten  Falle  auf  den 
Flächen  A^  zwei  Scharen  geodätischer  Linien  ein  konjugiertes  System 
bilden,  Flächen,  die  von  den  Herren  Noss  (1888)  und  Guichard  (1890) 
untersucht  worden  sind,  und  zwar  entstehen  auf  die  angegebene  Art  alle 
Flächen  dieser  Eigenschaft. 

Um  in  die  Theorie  der  aufeinander  abwickelbaren  Flächen  liefer  ein- 
zudringen,  lässt  der  Herr  Verfasser  nun  eine  von  zwei  auf  einander  ab- 
wickelbaren Flächen  auf  der  anderen  rollen,  so  dass  je  zwei  einander  ent- 
sprechende Punkte  zur  Deckung  kommen.  Dabei  dreht  sich  die  Fläche 
um  eine  durch  den  Berührungspunkt  gehende   und   in  der  Tangentialebene 


Rezensionen.  157 

liegende  Gerade,  and  diese  aufeinander  folgenden  Greraden  bilden  eine 
Eongmenz,  von  der  eine  Reihe  Ton  Eigenschafben  abgeleitet  wird.  Das 
wichtigste  Ergebnis  ist,  dass  sich  aus  einem  Paar  Fl&chen,  die  aufeinander 
abwickelbar  sind,  unendlich  Tiele  Paare  ableiten  lassen,  die  dasselbe  sphä- 
rische Bild  haben,  und  umgekehrt  liefert  jedes  Paar  von  Flächen,  die 
dasselbe  sphärische  Bild  haben,  unendlich  yiele  Paare  aufeinander  abwickel- 
barer Flächen,  xmd  zwar  wird  das  Band  zwischen  den  beiden  einander  so 
entfernt  scheinenden  Theorien  der  Biegung  der  Flächen  und  des  sphärischen 
Bildes  durch  die  cjklischen  Systeme  gebildet,  deren  Betrachtung  infolge- 
dessen ein  besonderes  E[apitel  gewidmet  ist. 

Der  Zusammenhang  zwischen  den  beiden  Theorien  ergiebt  sich  auch 
auf  analytischem  Wege.  Sucht  man  alle  Flächen,  die  ein  bestimmtes 
sphärisches  Bild  haben,  so  wird  man  auf  eine  lineare  Differentialgleichung 
zweiter  Ordnung  geführt,  wie  bei  dem  Problem  der  unendlich  kleinen  De- 
formation, mit  dem  Unterschiede,  dass  im  letzteren  Falle  die  Charakter- 
istiken der  partiellen  Differentialgleichung  die  Asymptotenlinien  der  Fläche 
sind,  während  sie  hier  die  Erünmiungslinien  darstellen.  Bezieht  man  die 
beiden  Flächen,  welche  in  den  beiden  Terschiedenen  Problemen  zu  derselben 
partiellen  Differentialgleichxmg  fahren,  aufeinander,  so  erhält  man  die  Be- 
rühmngstransformation  Lies,  von  der  schon  bei  der  Besprechung  des  ersten 
Bandes  die  Bede  war.  Die  Übergangsformeln  von  der  einen  Fläche  zur 
anderen  xmd  einige  wenige  Eigenschaften  der  Transformation  werden  ab- 
geleitet, insbesondere  die  f&r  die  Anwendung  wichtigste,  dass  einer  Geraden 
in  dem  ersten  Baume  eine  Kugel  in  dem  zweiten,  einer  geradlinigen  Eon- 
gmenz  ein  zweifach  unendliches  System  von  Engeln  entspricht.  Es  ergiebt 
sich  daraus  sogleich,  dass,  wenn  man  das  Problem  des  sphärischen  Bildes 
fär  eine  Fläche  lösen  kann,  man  es  auch  mit  Hilfe  einer  einfachen  Quadratur 
för  aUe  Flächen  lösen  kann,  die  sich  aus  der  ersten  durch  Inversion  er- 
geben.    Wendet  man  dieses  Verfahren  auf  diejenigen  Flächen  an,   die  der 

Gleichung  ^ — ^  «  0  entsprechen,  so  erhält  man  alle  reellen  Flächen,   für 

welche  man  die  vollständige  Lösung  des  Problems  finden  kann. 
Die  Flächen,  die  derselben  Gleichung 

dx  cy 

genügen  und  für  welche  man  das  Problem  der  sphärischen  Abbildungen 
lösen  kann,  können  auf  folgende  Weise  definiert  werden.  Wenn  man  mit 
^,  ^  zwei  beliebige  Lösungen  der  Gleichung  bezeichnet,  in  eine  Form  ge- 
bracht, für  welche  die  konjugierten  imaginären  Funktionen  tf,  J  definiert 
sind  durch  die  Quadraturen 

/Y     dz  dtA  ,         f    ds  dfa\  , 


158  Historisch -litterarisclie  Abteilung. 

wobei  CO  immer  die  Lösimg  Tom  Modul  1  ist,  so  kann  man,  wenn  man 
die  Fläche  anf  das  System  der  Tangential -Koordinaten  a,  ^,  $  bezieht, 
setzen:  ^ 

CD  '  "^ 

Diese  beiden  Formeln  definieren  das  sphärische  Bild  der  Erümmnngs- 
linien.     Dann  kann  man  ebenso  nehmen: 


y  «  C9(r*    ^ 


<0 


Da  die  Yariabeln  a  und  ß  wie  jp'  und  q'  konjugiert  sind,  so  kann 
man  unendlich  viele  reelle  Lösungen  für  £  erhalten  xmd  die  Fläche  ist  die 
Enveloppe  der  Ebene 

(a  +  ß)X  +  i{ß  -  a)  r  +(«/?-  1)Z  +  S  «  0. 

Die  einfachste  Form  der  Gleichung  ^ — ^  =«  Ä;  6  entspricht   denjenigen 

Flächen  mit  ebenen  Erümmungslinien,  bei  denen  die  den  ebenen  Erünmmngs- 
linien  auf  der  Einheitskugel  entsprechenden  Kreise  durch  einen  festen  Ponkt 
gehen.  Es  werden  nun  die  allgemeinsten  Flächen  mit  ebenen  Krümmnngs- 
linien  bestimmt.  Um  alle  Flächen  mit  einem  System  ebener  Krümmnngs- 
linien  zu  erhalten,  konstruiert  man  eine  beliebige  isotrope  abwickelbare 
Fläche  A  und  eine  nicht -isotrope  D^.  Man  biegt  dann  D^  so,  dass  ihre 
Erzeugenden  geradlinig  bleiben  und  dass  ihre  Tangentialebenen  die  Kurven 
mit  sich  führen,  längs  welcher  sie  die  Abwickelbare  A  schneiden.  Die 
Gesamtheit  der  so  fortgeführten  Kurven  erzeugt  die  allgemeinste  Fläche 
mit  einem  System  ebener  Krümmungslinien.  Wenn  man  daraus  auch  nicht 
auf  einfache  Weise  diese  Flächen  finden  kann,  so  ergeben  sich  doch  einige 
Sätze,  so  z.  B.  wenn  eine  der  ebenen  Krümmungslinien  ein  EjreiB  ist,  so 
sind  alle  Kreise,  ist  eine  dieser  Kurven  algebraisch,  so  sind  alle  alge- 
braisch, wenn  die  ebenen  Krümmungslinien  Kegelschnitte  sind,  so  müssen 
es  Ejreise  sein. 

Von  den  Flächen  mit  einem  System  ebener  Krünunungslinien  werden 
nun  diejenigen  völlig  bestimmt,  welche  isotherm  sind,  und  zwar  hängt  die 
Lösung  von  elliptischen  Funktionen  ab  und  enthält  eine  willkürliche  Funktion. 
Es  ergiebt  sich:  /  ,  i  •        « 


H(2cD)H'{0)  '„/  u  +  iv,  +  a>  \'^ 

^/tt  — tri  — 3<o  ^ 


4-® 

■^  H(2<b)H'(0) 


and  für  Y  und  Z  erhält  man  ähnliche  Formeln.    Von  diesen  Fliehen  wird 
eine  Reihe  von  Eigenschaften  abgeleitet. 


Bezensionen.  159 

Der  nächst  eiiifiB.ohe  Fall  ist  derjenige,  dass  das  eine  System  der 
Krümmungslinien  aus  sphärisohen  Kurven  besteht.  Zur  Bestimmnng  der- 
selben wird  von  dem  Satze  Joachimsthals  ausgegangen:  „Wenn  eine 
Krünmiungslinie  sphärisch  ist,  so  muss  die  Abwickelbare,  welche  der  Fläche 
längs  dieser  Krümmungslinie  umschrieben  ist,  auch  einer  Kugel  umschrieben 
sein  und  tungekehrt.'^  Aus  einer  gegebenen  Fläche  mit  einer  Schar  sphä- 
rischer Krünmiungslinien  werden  unendlich  viele  derselben  Art  abgeleitet, 
die  dasselbe  sphärische  Bild  haben.  Sodann  wird  gezeigt,  dass  man  alle 
Flächen  mit  einer  Schar  sphärischer  Ejümmungslinien  aus  denen  mit  ebenen 
Krummungslinien  ableiten  kann:  l)  indem  man  die  Inyersen  dieser  nimmt, 
2)  indem  man  die  Flächen  mit  sphärischen  Krümmungslinien  konstroiert, 
die  dasselbe  sphärische  Bild  haben  wie  die  vorher  gefundenen.  Die  all- 
gemeinste Fläche  mit  sphärischen  Krümmungslinien  kann  man  auch  erhalten, 
indem  man  eine  isotrope  Abwickelbare  A  durch  eine  Schar  S  von  Kugeln 
schneidet  und  diese  Kugeln  und  ihre  Enveloppe  £  einer  bestimmten 
Biegung  xmterwirft.  Die  Schnitte  der  Abwickelbaren  A  mit  den  Kugeln 
S  bilden  so  eine  Familie  von  Kurven,  welche  die  gesuchte  Fläche  erzeugen. 
Genauer  werden  diejenigen  Flächen  bestimmt,  deren  beide  Systeme  von 
Krümmungslinien  eben  oder  sphärisch  sind.  Zu  dem  Zwecke  sucht  man 
auf  die  allgemeinste  Weise  6  Funktionen  At  von  a  und  6  Funktionen  Bi 
von  /?,  welche  die  Eelation 

identisch   befriedigen.     Dann   sind  die   beiden   Schalen   der  Enveloppe   der 
variabeln  Kugel  5 

1 
zwei     der   gesuchten   Flächen,    wenn   Xi  pentasphärische   Koordinaten    be- 
zeichnen.    Es  ergiebt  sich  weiter ,  dass  die  gesuchten  Flächen  auf  einfache 
Weise  aus  einem  Kegel    entstehen    oder    aus    der  Fläche,   deren  Normalen 
Tangenten  an  einen  Kegel  sind. 

Ohne  auf  die  Verallgemeinerungen  einzugehen,  welche  sich  daran*  an- 
schliessend besonders  auf  die  orthogonalen  Systeme  mit  demselben  sphärischen 
Bilde  beziehen,  sei  noch  der  letzten  beiden  E^apitel  gedacht,  die  den  neuen 
Resultaten  gewidmet  sind,  die  wir  Herrn  Weingarten  in  betreff  der 
Abwickelbarkeit  der  Flächen  verdanken.  Wir  haben  früher  gesehen,  dass 
die  Charakteristiken  der  partiellen  Differentialgleichung  der  auf  eine  Fläche 
abwickelbaren  Flächen  die  Asymptotenlinien  dieser  Flächen  sind.  Kann 
man  also  gewisse  besondere  Eigenschaften  dieser  Asymptotenlinien  angeben, 
so  kann  das  Problem  auf  eine  neue  Art  formuliert  und  dadurch  können 
neue  Resultate  geftmden  werden.  Die  Betrachtung  des  zwei  aufeinander 
abwickelbaren  Flächen  gemeinsamen  konjugierten  Systems  erlaubt  diese 
allgemeine  Bemerkung  anzuwenden.  Sind  o^i,  y^  z^  die  Koordinaten 
eines  Punktes  der  gegebenen  Fläche  S^  und  setzen  wir 


150  Historisch -litterarische  Abteilung. 

^1  =* «;  yi  +  *^i  =-  «^;  ^i  —  »'^i  ^  2«?, 

so  kann  u;  als  Funktion  ^on  t«  und  v   betrachtet  werden,   und  wenn  wir 

schreiben:  ..  ,      ,      , 

div  ^pdu  +  qdVj 

so  nimmt  das  Linienelement  der  Fläche  die  Form  an: 

ds^^du^+  2dvdw  -=  du^+  2pdudv  +  2qdv\ 

und  von  diesem  geht  Herr  Weingarten  aus.  Die  Methode  Weingartens 
lässt  die  Bestimmung  aller  Flächen  6,  die  auf  diese  Fläche  B^  abwickelbar 
sind,  abhängen  von  derjenigen  einer  anderen  Fläche  £^  die  einer  ge- 
wissen Differentialgleichung  genügt,  welche  eine  Beziehung  zwischen  den 
Hauptkrümmungsradien,  den  Entfernungen  eines  festen  Punktes  von  der 
Tangentialebene  und  dem  Berührungspunkte  feststellt.     Setzt  man 

q>  ==  up  -{-  V q  —  «r, 
so  ergeben  sich  die  Koordinaten  x,  y^  e  der  Fläche  S  aus 


dp  dp 


z^lC'dl'^+Zd^'^ 


dp  dp 

wo   X,  r,  Z   die   Koordinaten    und    C,  C,  C"    die   Richtungskosinus  der 
Normalen  von  £  sind.    Das  Linienelement  von  B  wird  ausgedrückt  durch: 

und  die  Fläche  2  genügt  der  Gleichung 

^-KQ  +9)  äpag  +  ^  ^  w 
Unter  den  Anwendungen  ist  besonders  interessant  die  Aufsuchung 
aller  Flächen,  die  auf  ein  Paraboloid  zweiten  Grades  abwickelbar  sind, 
bei  welchem  eine  der  geradlinigen  Erzeugenden  den  unendlich  fernen  Kreis 
berührt.  Weitere  Untersuchungen  führen  zu  dem  Schlusssatz:  Ist  eine 
beliebige  Schar  von  Kurven  K  auf  einer  Fläche  B  gegeben,  so  kann  man 
immer  durch  einfache  Quadraturen  alle  Kongruenzen  G  bestimmen,  die 
durch  Tangenten  an  B  so  erzeugt  sind,  dass  die  BegelMchen,  deren  £i^ 
zeugende  durch  eine  der  Kurven  K  gehen,  diese  Kurve  als  Striktionslinie 
besitzen.  Die  Relation  zwischen  der  Kongruenz  und  der  Fläche  bleibt  be- 
stehen, wenn  die  Fläche  unter  Mitführung  der  Geraden  gebogen  wird. 
Wenn  man  zwei  unabhängige  Variabele  nimmt,  um  die  Richtung  jeder 
Gei*aden  der  Kongruenz  zu  bestimmen,  so  muss  der  Parameter  der  Schar 
von  Kurven  K  einer  partiellen  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  ge- 
nügen, welche  ausschliesslich  vom  Linienelemente  von  B  abhängt  und  deren 
Integration  infolgedessen  gestattet,  durch  einfache  Quadraturen  alle  Flachen 
zu  bestimmen,  die  auf  B  abwickelbar  sind. 


Rezensionen.  161 

Mit  diesen  Untersuchungen  schliesst  das  eigentliche  Werk  ab  und  es 
folgen  nun  noch  11  im  Jahre  1896  erschienene  Zusätze,  welche  die 
Seiten  353 — 516  des  vierten  Bandes  einnehmen.  Die  drei  ersten  derselben 
sind  Beitrage  der  Herren  Ficärd,  Königs  und  Cosserat,  während  die 
übrigen  von  Herrn  Darboux  selbst  geschrieben  sind. 

I.  Über  die  Näherungsmethoden  in  der  Theorie  der  Differen- 
tialgleichungen. Herr  E.  Picard  beschäftigt  sich  in  dieser  Note  mit 
partiellen  Differentialgleichungen  zweiter  Ordnung  von  hjperbolischem  Typus, 
wie  sie  in  de^  Flächentheorie  vorkonunen  und.  als  deren  allgemeinste  Form 


^(  dz     dz\ 


dxdy 

angenommen  wird.  Bei  der  Bestimmung  des  Integrales  durch  Beihen  wird 
auch  der  Grösse  des  Geltungsbereiches  ausgedehnte  Beachtung  zu  teil. 

In  dem  zweiten  Zusätze: 

n.  Über  die  geodätischen  Linien  mit  quadratischen  Inte- 
gralen sucht  Herr  G. Königs  die  vollständige  Lösung  des  Problems  der  geo- 
dätischen Linien,  welche  mehrere  quadratische  Integrale  zulassen,  und  schliesst 
so  an  ein  Kapitel  des  IH.  Bandes  des  Werkes  an.  Er  findet  zunächst,  dass, 
wenn  ein  ds^  mehr  als  drei  von  einander  unabhängige  quadratische  Integrale 
in  Bezug  auf  seine  geodätischen  Linien  zulässt,  es  ftinf  quadratische  Inte- 
grale hat,  die  Fläche  also  konstant  ist.  Da  sich  weiter  ergiebt,  dass  die 
dsr  mit  drei  quadratischen  Integralen  für  die  geodätischen  Linien  auf 
Rotationsflächen  fdhren,  so  kehrt  H.  Königs  die  Aufgabe  um  und  sucht 
alle  Fonnen  ds^  von  Rotationsflächen  mit  quadratischen  Integralen  auf,  die 
in  einer  Tabelle  zusanmiengestellt  werden.  In  einer  zweiten  Tabelle 
werden  die  Lion villeschen  Formen  des  Flächenelementes  für  Flächen 
konstanter  Krümmung  gegeben,  bei  denen  die  Krümmung  nicht  Null  ist.  Aus 
diesen  werden  dann  noch  verschiedene  Tabellen  abgeleitet,  die  aus  seiner 
Abhandlung  im  XXXI.  Band  des  Savants  etrangers  genommen  sind,  und 
dann  wird  nachgewiesen,  dass  in  diesen  Tabellen  die  vollständige  Lösung 
des  Problems  enthalten  ist. 

in.  Über  die  Theorie  der  partiellen  Differentialgleichungen 
zweiter  Ordnung.  Herr  Cosserat  beweist  darin  einen  Satz,  welcher 
aus  einer  Arbeit  des  Herrn  Moutard  herrührt,  die  beim  Aufstande  der 
Kommune  im  Jahre  1871  verloren  gegangen  ist.  Dieselbe  beschäftigte 
sich  mit  dem  eingehenden  Studium  der  einfachsten  Form,  deren  das  all- 
gemeine Integral  partieller  Differentialgleichungen  mit  zwei  unabhängigen 
Variabein  fähig  ist,  die  Form,  welche  besteht  aus  einer  einzigen  Relation 
zwischen  den  drei  Variabeln,  zwei  expliziten  willkürlichen  Funktionen  der- 
selben, die  aber  nicht  unter  einem  Integralzeichen  vorkommen  dürfen,  und  den 
Derivierten  dieser  Funktionen  in  beschrankter  Zahl.  Der  Satf  nun,  welcher 
hier  abgeleitet  wird,  heisst:  Diejenigen  der  gesuchten  Gleichungen,  welche 
durch  eine  Veränderung  der  Variabein  weder  auf  lineare  Laplacesche 
Gleichungen,   noch  auf   die  Lionvillesche  Gleichung   zurückführbar  sind, 


162  Historiscli-litterariBche  Abteilung. 

lassen  sicli,  ausgenommen  in  zwei  besonders  einfachen  Fällen,  zarückföhren 
auf  die  Form  ^,  o  o 

wo  Ä  und  B  zwei  Funktionen  der  unabhängigen  Yariabeln  sind,  die  ge- 
wissen Bedingungen  genügen  müssen;  femer  kann  die  Integration  dieser 
Gleichung  zurückgeführt  werden  auf  diejenige  einer  solchen  von  Laplace, 

nämlich:  q«  oi     ^    o 

d*2      _  dlgA  dz        .^ 

cxoy  ex      öy 

IV.  Über  die  Torsion  der  Linien  doppelter  Krümmung  und 
die  Kurven  konstanter  Torsion.  Nachdem  Herr  Darboux  auf  die 
wichtigen  Unterschiede  zwischen  der  Krümmung  und  der  Torsion  der  Kunren 
doppelter  Krümmung  aufinerksam  gemacht  und  insbesondere  auf  die  Be- 
deutung des  Vorzeichens  der  Torsion  hingewiesen  hat,  giebt  er  die  Resultate, 
die  infolge  seiner  Anregung  im  I.  Bande  dieses  Werkes,  algebraische  Kurven 
mit  konstanter  Torsion  aufzusuchen,  erhalten  worden  sind.  So  verdankt 
man  den  Herren  Fabry  und  Fouchä  eine  Kenntnis  mehrerer  solcher 
Kurven,  wenn  es  bis  jetzt  auch  noch  nicht  gelungen  ist,   alle  aufzufinden. 

V.  Über  die  Eulerschen  Formeln  und  die  Bewegung  eines 
festen  Körpers.  Die  Eulerschen  Formeln  werden  auf  geometrischem 
Wege  in  sehr  einfacher  Weise  abgeleitet,  wobei  sich  zugleich  unmittelbar 
die  geometrische  Bedeutung  der  in  ihnen  vorkommenden  Grössen  ergiebt 
Die  verschiedenen  endlichen  Bewegungen  werden  sodann  zurückgeführt  auf 
Drehungen  um  180^  (renversement)  verbunden  mit  ebenen  Inversionen: 
jede  Bewegung  einer  endlichen  Figur  lässt  sich  zusammensetzen  aas  zwei 
solcher  Drehungen  um  zwei  Gerade. 

VI.  Note  über  eine  Differentialgleichung  und  über  die  Spiral- 
flächen. Aus  den  Gleichungen  der  Spiralflächen  wird  deren  Differential- 
gleichung abgeleitet  und  an  Stelle  derselben  die  allgemeinere 

betrachtet  und  gezeigt ,  wie  man  sie  in  verschiedenen  Fällen  integrieren 
kann. 

VII.  Über  die  Form  der  Krümmungslinien  in  der  Nähe  eines 
Nabelpunktes.  Die  Resultate  dieser  Note  sind  vom  Verfasser  im  Jahre  1883 
der  Akademie  mitgeteilt  worden.  Nimmt  man  den  Nabelponkt  als  Ko- 
ordinaten «Anfang  und  die  Tangentialebene  in  diesem  Punkte  als  X  Y-Ebene, 
so  lässt  sich  die  entstehende  Differentialgleichung  dadurch  vereinfachen, 
dass  man  zu  den  Polarreziproken  der  Integralkurven  übergeht.  Diese  ge- 
nügen der  Gleichung 

u'    ■"  6>»+{2ö-a')iJ»-f(a-26')i)~6^' 

Der  besondere  Fall,  dass  der  Nenner  »»  0  ist,  wird  zunächst  ausgeschlosseD, 
die  sich  ergebenden  Unterfalle  werden  diskutiert  und  die  gefundenen  Re- 
sultate  auf   die    Wellenfläche   angewendet,     wobei    sich    ergiebt,    dass  die 


Bezensionen.  163 

Krümmmigslimen  derselben  in  der  Nahe  eines  Nabelpunktes  einer  Kurve 
10.  Grades  und  5.  Klasse  ähnlich  sind.  Sodann  erflüirt  auch  der  besondere 
Fall  eine  eingehende  Behandlung. 

VUL  Über  die  Asymptotenlinien  und  die  Krümmungslinien 
der  Fr  esn  eischen  Wellen  fläche.  Die  Wellenfläche  wird  als  Apsidal- 
flache  eines  Ellipsoids  betrachtet.  Werden  entsprechende  Punkte  beider 
Flächen  analytisch  in  Verbindung  gebracht,  so  erhält  man  die  apsidale 
Transformation,  deren  Eigenschaften  entwickelt  werden.  Nach  Ableitung 
bekannterer  Eigenschafben  wird  gezeigt,  dass  die  Asymptotenlinien  der 
Wellenfläche  algebraische  Kurven  sind  (Sophus  Lie,  1870,  Comptes 
rendus)  und  dass  man  auf  ähnliche  Weise  auch  die  Asymptotenlinien  der 
tetraedralen  Flächen  erhalten  kann.  Die  Gleichung  der  Krfimmungslinien 
der  allgemeinen  Wellenfläche  ist  bis  jetzt  noch  nicht  gefunden,  doch  wird 
hier  die  Bestimmung  derselben  fOr  die  beiden  Spezialfölle  durchgeführt: 
1.  dass  die  Wellenfläche  die.  Apsidalfläche  eines  elliptischen  Cylinders  ist 
und  2.  dass  sie  wenig  von  der  Kugel  abweicht.  Da  die  Wellenflächen  der 
Kristalle  von  der  Kugel  wenig  verschieden  sind,  so  können  wir  ihre 
Krümmungslinien  mit  genügender  Genauigkeit  berechnen.  Aus  diesen  beiden 
Spezialfällen  ergiebt  sich  zugleich,  dass  die  Krümmungslinien  nicht  alge- 
braische Kurven  sind. 

IX.  Über  die  Cayleysche  Geometrie  und  über  eine  Eigen- 
schaft der  Flächen  mit  kreisförmigen  Erzeugenden.  Schon  aus 
der  Form  des  Linienelementes  in  Oayley scher  Geometrie  erkennt  man, 
dass  man  in  ihr  die  geodätischen  Linien  jeder  Fläche  zweiten  Grades  finden 
kann.     Das    Linienelement   der  Begelflächen    in    dieser  Geometrie    hat  die 

dS^^  du^+  {Vcos^u  +  2Vi  coswsinu  +  V^sin^u)dv. 

Da  die  Begelflächen  durch  eine  Punkt -Transformation,  die  schon  am  Schlüsse 
des  3.  Bandes  behandelt  wurde,  in  solche  cyklische  Flächen  übergehen,  bei 
denen  die  erzeugenden  Kreise  auf  einer  festen  Kugel  senkrecht  stehen,  so 
können  von  diesen  gewisse  Eigenschaften  abgeleitet  werden,  von  denen 
einige  auf  alle  Flächen  mit  kreisförmigen  Erzeugenden  erweitert  werden. 
X«  Über  die  partiellen  Differentialgleichungen.  Diese  Note 
enthält  die  wesentlichsten  Punkte  einer  Arbeit,  welche  der  Herr  Verfasser 
im  VII.  Bande  (1.  Serie)  der  Annales  de  TEcole  Normale  im  Jahre  1870 
veröffentlicht  hat  und  ist  eine  Erweiterung  der  Cauchy sehen  Methode  der 
Veränderung  der  Variabein  in  Verbindung  mit  der  Jacobischen  Integrations- 
methode. Das  Wesentliche  ist  also,  dass  für  x^  y,  x^  %  [Vo^^fi^i  ff)] 
gesetzt  wird,  wo  Pq  passend  zu  wählen  ist.  Während  durch  Differentiation 
diese  Methode  bei  Differentialgleichungen  erster  Ordnung  immer  zum  Ziele 
führt,  d.  h.  man  ebensoviel  Gleichungen  wie  Unbekannte  erhält,  ist  bei 
Gleichungen  höherer  Ordnung  die  Zahl  der  Gleichungen  immer  um  eine 
kleiner  als  die  der  Unbekannten.  Man  kommt  jedoch  auch  hier  zur 
Lösung,  wenn  eines  der  Gleichungssysteme  zu  zwei  integrabeln  Gleichungen 
führt,  die  kombiniert  werden. 


164  Historisch -litterarische  Abteilung. 

XI.  Über  die  Hilfsgleichnng.  In  einem  Artikel  in  den  Gomptes 
rendus  (XCVI.  Band)  vom  Jahre  1883  hat  Herr  Darbonz  den  Begriff 
der  Hilfsgleichnng  eingeführt,  von  dem  hier  das  Wesentliche  angegeben 
wird.  Wenn  man  in  einer  beliebigen  totalen  oder  partiellen  Differential 
gleichong,  die  eine  Funktion  z  einer  oder  mehrerer  nnabh&ngigen  Yariabeln 
definiert f  8  durch  z  -{-Es^  ersetzt,  die  erhaltene  Gleichung  nach  Potenzen 
Toa  E  entwickelt  und  den  Koefifizienten  von  E  gleich  Null  setzt,  so  erhält 
man  eine  lineare  nnd  homogene  Differentialgleichung  in  Beziehung  auf  :\ 
welche  Herr  Darboux  die  Hilfsgleichung  der  gegebenen  nennt.  Dieser 
B<^griff  lässt  sich  auch  auf  jedes  System  Ton  Differentialgleichungen  ans- 
dtthiieii.  Man  erhält  ein  Hilfssystem,  welches  die  einer  Lösung  unendlich 
bt^oachbarten  Lösungen  definiert.  Mit  Hilfe  dieser  Einführung  werden  zwei 
g^H>m<»trische  Probleme  behandelt:  zu  einer  Fläche  alle  unendlich  benach- 
barten SU  suchen ,  die  mit  der  gegebenen  eine  Familie  eines  dreifach  ortho- 
goutil^n  Systems  bilden,  und  alle  Flächen  zu  suchen,  die  auf  eine  gegebene 
b^äch^  abwickelbar  sind.  Willorod. 

ltH»|^4  KüNieekers  Werke.    Herausgegeben  auf  Veranlassung  der  könig- 

U<:h  pxeussischen  Akademie  der  Wissenschaften  von  E.  Hansel.  Zweiter 

liaud.    Leipzig  1897.    540  S. 

Cb«»r   tUan   und  Anlage   des   hier   vorliegenden  Unternehmens  ist  bei 

UeU\t{t»uheit  der  Besprechung  des  ersten  Bandes  berichtet  worden.    Die  erste 

vivi    Ui^i    AbUiluttgen,    in    welche    nach    dem  Willen  Eroneckers   seine 

«uut^cbeu    Abhandlungen    bei    der    Gesamtausgabe    eingegliedert   werden 

\4.ulttta,    uuthÄlt    die   zum  Gebiete  der  „allgemeinen  Arithmetik''   gehörigen 

'   KeiMAchuiig^u;  d(4r  nunmehr  erschienene  zweite  Band  bringt  diejenigen  Anf- 

v»uv    tUc6x'ti  i.«t>biotes    zum  Abdruck,    welche    in  die  Jahre  1875  bis  1880 

A.  ou«  vsahr^id  ein  dritter  Band  die  erste  Abteilung  der  Werke  abschliessen 

,t*>*    iio  ihr  hci^t^K**^^*^^^  Zusätze  vereinigen  wird. 

^\.i;^  4t u  Inhalt  der  hier  aufs  neue  publizierten  Abhandlungen  angeht 
>^    >«.K  ava  \at>  sich  i^x  einem  Teile  auf  Einzelprobleme;  so  enthält  der  Band 
Vuisat^'t)    über    das    quadratische  Beziprozit&tsgesetz,    dessen  Ter- 
vUt)  bt'\vt>iüe  •i\x  ergänzen,  zu  verbinden  und  zu  sichten  Eronecker 
5.     ^    >^..w    Ui/.tvii    Lebensjahre    nicht  müde  wurde,   und  die  grosse  Ab- 
^::. -^    »•■'Nt    Inlinoare  Formen   mit   vier  Variabelen,  in  welcher  er  seine 
.  ^,^.«uiiU*'l»tioueu  von   der  Theorie  der  komplexen  Multiplikation 
>,.;va   »*Ui»küv>aeu  loslöste  und  auf  rein  arithmetischem  Wege  be- 
'k.  \  McipuukU  aber  des  Bandes  steht  die  Festschrift  zu  Eummers 
^'•.u>l•jubi^Äum    (1881),    die     arithmetische    Theorie    der 
:« N^a,    iu  welcher   Eronecker  das  Fazit  seiner  Forscher- 
««    ao   iill>;emeinen  Grundlagen  schuf,  auf  denen  es  mög- 
.»    -14^  Kiufaehheit  und  Strenge  ausgezeichneten  Methoden 
^   ''>^itludung   der  £igenschaften  algebraischer  Zahlen 
.  «k%w»ä«iA;    seitdem  haben  zahlreiche  Arbeiten,   die  teils 
« :s  .^k   die  anders  gepr&gten,  aber  gleich  gearteten 


Be^ensionen.  Ig5 

Gedankenreilien  Dedekinds  nnd  Webers  anknüpfen,  die  Fmchtbarkeit 
dieser  Methoden  erwiesen.  In  unmittelbarem  Zusammenhange  mit  der  Fest- 
schrift stehen  schliesslich  eine  Reihe  kleinerer  in  dem  Bande  enthaltener 
Abhandlnngen,  teils  vorbereitenden,  teils  ergänzenden  Inhalts,  unter  anderen 
auch  die  merkwürdige  Abhandlung  „Zur  Theorie  der  Formen  höherer  Stufen '', 
deren  ^rahre  Bedeutung  neuerdings  durch  Arbeiten  von  Dedekind  (1892) 
und   Hurwitz  (1894)  in  helles  Licht  gerückt  worden  ist. 

— Georg  Landsberg. 

3.  GuNDELFiNGEB.   Tafelii  zjkT  Berechiiaiig  der  reellen  Wurzeln  sämt- 
licher trinomischer  Oleichnngen.    Hinzugeft&gt  sind  vierstellige 

Additions-,  Subtractions-  und  Briggisohe  Logarithmen,  sowie  eine 
Interpolationstafel  fEbr  alle  Differenzen  unter  Hundert.  Leipzig  1897, 
B.  0.  Teubner. 

Die  fEbr  Astronomen  und  Techniker  bestimmten  Tafeln  sind  durch 
Ausbau  der  Gauss  sehen  Methode  entstanden. 

Wenn  es  sich  um  die  Berechnung  der  reellen  Wurzeln  einer  trino- 
mischen  Gleichung:  ^m-f «  j_  ^^m ^f^Q 

(e  and  /"  positive  Eonstanten)  handelt,  so  genügt  es  offenbar,  die  positiven 
Wurzeln  aufzusuchen.  Trinomische  Gleichungen  mit  positiven  Wurzeln 
giebt  es  denmach  nur  zwei  Arten: 

Geichungen  mit  einem  Zeichen  Wechsel 

I)     ic™+"+ e«*"— /"«O,       n)     a:»*+'«— eaf*  — /"«O, 
Gleichungen  mit  zwei  Zeichenwechseln 

Die  hier  gegebene  Methode  unterscheidet  sich  wesentlich  von  der  Gauss- 
sehen.  Schreibt  Gauss  vor,  mit  dem  isoliert  stehenden  Gliede  zu  dividieren 
und  die  so  entstehende  Relation  mit  der  Identität  cos'0  +  sin^0  =>  1  zu 
vergleichen,  so  stellt  der  Verfasser  die  Kegel  auf,  „das  Glied,  welches 
nicht  dasselbe  Vorzeichen  wie  die  beiden  anderen  hat,  zu  isolieren,  mit 
irgend  einem  dieser  beiden  anderen  Glieder  zu  dividieren  tmd  die  so  ent- 
stellende Relation  mit  1  -f- 10"=^  =»  10^  zu  vergleichen." 

Beispielsweise  giebt         ajm+ii^^«^^ 

nach  Division  mit  ä'»+»:        ^  ^  ^-^-(m+ii)«  g^;"-» 

Setzt  man  ^^^  ^m^^)  _  iqa^     ^^-  n  _  iqb^ 

so    wird:  -^  (m  +  n)logx +  logf^  Ä, 

—       n       logrc -f  logc  « -B, 


-1 —  Ä  ^  löge i —  logf 


IQQ  Historisch -litierariflche  Abteilung. 

Es  kommt  also  lediglich  darauf  an,  zwei  zosammengehörige  Werte 
für  A  and  B  derart  zu  bestimmen,  dass  eine  Gleichiing  der  Form 
Ä  —  fi-B  =  c  oder  B  —  iiA=^c  befriedigt  wird,  wobei  f»  einen  positiven 
echten  Brach  bezeichnet     Diesem  Zwecke  dienen  die  vier  Tafeln  S.  4— 7. 

Voraosgeschickt  ist  aof  8.  1  eine  Tafel,  vermöge  deren  sich  anmittel- 
bar die  Aofgaben  lösen  lassen: 

1.  Gegeben  Ä  =-  log|,  gesacht  B  «  log(l  +  |)  oder 

2.  Gegeben  B  =  log(l  +  Ö»  gesaoht  Ä  «=  log|. 

Aof  8.  2 — 3  ist  eine  Entwickelang  aller  echten  Brüche,  deren  Nenner 
kleiner  als  Handert,  in  Dezimalbrüche  aaf  zwei  Stellen  gegeben. 
Die  Methode  wird  noch  an  den  Zahlenbeispielen: 

Ä^— 5a;  — 4«0, 
aj8__  Trc—  7  =  0, 

des  näheren  erläutert.  ji  Jahnke. 

B.  Spoker.   Niedere  Analysis.  Sammlung  Göschen.    Göschen,  Leipzig  1896. 
173  8.    M.0.80. 

Knapp  and  klar  geschrieben,  bietet  das  Bach  aaf  engem  Baame  die 
Grandlagen  einer  Reihe  aasgewählter  Kapitel  der  niederen  Analjsis. 

Im  ersten  Abschnitt  behandelt  der  Verfasser  die  Theorie  der  Ketten- 
brüche and  benatzt  sie  zar  Auflösung  der  diophantischen  Gleichungen  ersten 
Grades.  Auch  diophantische  Gleichungen  zweiten  Grades  werden  behandelt 
und  die  Feilsche  Gleichung  an  einigen  Beispielen  erläutert. 

Der  zweite  Abschnitt  bringt  das  Wesentliche  aus  der  Kombinations- 
lehre und  Wahrscheinlichkeitsrechnung.  Ausser  den  bekannten,  dem  Würfel- 
spiel entlehnten  Aufgaben  hätten  passend  noch  Beispiele  aus  der  kinetischen 
Gastheorie  hier  Platz  finden  können. 

Der  Verfasser  geht  dann  zu  den  Eeihen  über  xmd  bespricht  im  dritten 
Abschnitt  die  arithmetischen  Beihen  höherer  Ordnung,  die  verschie- 
d»a«ii  Arten  figurierter  Zahlen  und  den  Begriff  der  Interpolation,  wo  die 
L&^rangesche  Interpolationsfortnel  ihre  Stellung  findet.  Im  nächsten  Ab- 
jcittist  folgen  die  Konvergenzbetrachtungen  für  unendliche  Beihen,  die 
>|«Kiki]d»  der  unbestimmten  Koeffizienten,  der  allgemeine  binomische  Lehr- 
sttC  vir«  Exponentialreihe,  die  trigonometrischen,  hyperbolischen  und  cjklo- 
-xc^-nsschm  Fonktionen,  unendliche  Beihen  für  die  Ludolphsche  Zahl 
Tn^«Diiiv4t*  Ftodttkte  für  sin  o;  und  coso;,  der  Cotessche  Satz  und  interessante 
>^^*m*m!«^aisch«  Reihen,  auf  deren  Bedeutung  für  die  Theorie  des  Dreh* 
.^r**'*^^   Ivr  ^\'r^äs«r  k&ite  hinweisen  können. 

^MT    c<?n»  A^bischnitt  bringt  die  allgemeinen  Eigenschaften  der  algebra* 
..  •«•ci     *\iv  aunjcvti»    sowie  mehrere    Methoden    ftir    die    algebraische   Auf- 


Rezensionen.  167 

sang  der  Oieichungen  yieiten  Grades,  von  denen  allerdings  eine  genügt 
itte,  nnd  endlich  die  bekanntesten  Methoden  zur  naherangsweisen  Anf- 
snng  der  Gleichungen. 

Das  Bach  eignet  sich  für  den  Schulgebrauch  sowohl  wie  für  das 
Inzelstadium^  insbesondere  dürfte  es  dem  angehenden  Techniker,  dessen 
athematische  Kenntnisse  an  das  Niveau  der  üntersekonda  einer  Yollanstalt 
ow.  Prima  einer  Bealschule  heranreichen,  zur  Weiterbildung  zu  empfehlen 

^'  E.  Jahnke. 

.  Bendt.     Eatechisiiiiis    der    Differential-    und    Integralrechnang. 

Leipzig  1896,  J.  Weber.    267  S.    M.  3. 

Der  Verüasser  hat  den  Versuch  gemacht,  ein  Mittelding  zu  schaffen 
irischen  den  vollständigen  Lehrbüchern,  welche  die  Elemente  der  Differential- 
ad  Integralrechnung  in  mathematischer  Strenge  entwickelt  darbieten,  und 
ineu  Schriften,  die  auf  wenigen  Bogen  eine  Vorstellung  von  dem  Wesen 
er  Moitesimalrechnung  erwecken  wollen.  Den  ersteren  entlehnt  der  Kate- 
bismiis  die  wichtigsten  Methoden  und  Anwendungen,  mit  den  letzteren  hat 
r  den  Verzicht  auf  strenge  Beweisführung  gemein. 

Ein  Blick  in  das  Lihaltsverzeichnis  lässt  die  Reichhaltigkeit  des 
Katechismus  erkennen.  Ein  vorbereitender  erster  Teil  bringt  den  gewöhn- 
ichen  binomischen  Lehrsatz  xmd  Methoden  zur  Entwickelung  geschlossener 
LQsdracke  in  unendliche  Reihen.  Hierbei  ist  dem  Verfasser  auf  Seite  11 
in  Versehen  untergelaufen,  wenn  er  ansetzt 

nd  fortfahrt:  „Wie  man  hier  sofort  sieht,  ist  diese  Reihe  vom  zweiten 
iliede  an  eine  geometrische  Reihe  mit  dem  Quotienten  -^«^^     Auch  düfffce 

ie  Übersetzung  von  transscendent  mit  „unendlich  ^^  keine  zutreffende   sein. 

Der  zweite  Teil  handelt  von  der  Differentialrechnung.  Nach  einem 
inleitenden  Kapitel  über  den  Orenzbegriff  und  den  Begriff  der  Stetigkeit 
ntwickelt  der  Verfasser  den  Begriff  des  ersten  und  der  höheren  Differential- 
iQotienten  und  erläutert  deren  Bildungsgesetz  an  einer  gprossen  Reihe  von 
Beispielen.  Hieran  schliessen  sich  die  Reihen  von  Taylor  und  Mac  Laurin 
üt  Anwendung  auf  die  bekanntesten  transsce;identen  Funktionen.  Ein 
weiteres  Kapitel  ist  der  Bestinmiung  des  wahren  Wertes  einer  Funktion 
ewidmet,  die  für  einen  speziellen  Wert  der  Variablen  in  unbestimmter 
orm  erscheint.  Ein  Kapitel  vom  Maximum  und  Minimum  der  Funktionen 
üdet  den  Übergang  zu  Anwendungen  der  Differentialrechnung  auf  die 
btersuchung  der  Kurven, 

Der  dritte  Teil,  die  Integralrechniug ,  enth&lt  die  Integration  rationaler 
Wktionen,  die  teilweise  Integration  und  eine  Tabelle  der  wichtigsten  un* 
*^>tinunten  Integrale;  einfache  bestimmte  Integrale,  geometrische  Anwen- 
^^gen  der  Integralrechnung  (Quadratur  und  Rektifikation  der  Kurven, 
Oberflächen-  und  Inhaltsbestimmung   der  Rotationskörper),  vielfache  Inte- 


168  Historisch -litterarische  Abteilang. 

grale,  die  Integration  von  Differentialgleichungen  erster  und  höherer  Ord- 
nung sowie  ein  Kapitel  über  die  komplexen  Zahlen  nnd  die  Moirresckfl 
Formel.  Auch  dieser  Teil  bietet  eine  Fülle  von  Beispielen  zur  Erl&atenui| 
der  Lehrs&tze  nnd  allgemeinen  Betrachtangen. 

Der  Katechismus  soll  nach  der  Absicht  des  Yer&ssers  der  Praxi 
dienen.  „Er  wendet  sich  an  Leser,  die  die  Mathematik  nur  als  Mittel  £b 
ihren  besonderen  Zweck  betreiben.^  Und  diesen  Kreisen  dürfte  das  Budi 
in  der  That  gute  Dienste  leisten.  -a  j^^jf^p 


K.  Kopfes  Arithmetik  und  Algehra  zum  >  Gebrauche  an  höheren  Unter 
richtsanstalten,  neu  bearbeitet  von  J.  Diekhaiin.  13.  Auflage,  n.  Teil 
Bgdeker,  Essen  1897.    204  S.    M.  2. 40. 

Die  sachliche  Seite  der  Bearbeitung  ist  fast  durchgängig  eine  neu 
und  selbständige  geworden.  So  hat  der  Herausgeber  der  „Anwendungcs 
der  Determinanten  und  Elemente  der  neueren  Algebra ''  die  Lehre  von  dra 
Gleichungen  zweiten  und  höheren  Grades  erweitert  und  vertieft,  namentlich 
auch  nach  derjenigen  Richtung  hin,  in  welcher  sie  fOr  die  analytische 
Geometrie  in  Betracht  kommt.  Die  numerische  Auflösung  der  Sjsten» 
zweier  bezw.  dreier  linearer  Gleichungen  mit  Hilfe  von  Determinantaa 
möchte  auch  Referent  als  die  praktisch  brauchbarste  empfehlen.  Zur  £ir 
Übung  der  Auflösungsmethoden  für  Systeme  zweier  bezw.  dreier  Gleichungen 
zweiten,  dritten,  vierten  Grades  bringt  der  Verfasser  eine  Reihe  interessant» 
Beispiele  bei.  Eines  derselben  erinnerte  Referenten  an  ein  elegantes 
Gleichungssystem,  das  ihm  vor  Jahren  begegnete.    Es  lautet: 


Xh—XJtXt 


-=Oa      (ä,  ä,  Z  =  1,  2,  3;  2,  3,  1;  3,  1,  2). 


Auf  die  beiden  ersten  Abschnitte,  welche  den  Gleichungen  gewidmet 
sind,  folgt  ein  Abschnitt  über  die  geometrischen  Reihen  mit  Anwendung 
auf  die  Zinseszins-  und  Rentenrechnung.  Besonders  ausführlich  wird  hiär 
über  die  Tilgung  von  Schuldsununen,  über  die  Ausgabe  und  Verlosong 
von  Schuldscheinen  gehandelt.  Der  vierte  Abschnitt  enthält  die  arithmetischo; 
Reihen  erster  und  höherer  Ordnung  mit  Anwendung  auf  die  Kugelhaufes. 
Beiden  Abschnitten  sind  eine  Reihe  von  Übungsaufgaben  angehängt. 

Im  fünften  Abschnitt  bespricht  der  Verfasser  den  binomischen  Lehrsstz 
für  positive  ganze  Exponenten,  die  Ezponentialreihe,  die  Darstellung  dtz 
komplexen  Zahlen  und  die  logarithmische  Reihe.  Dabei  finden  die  Auf- 
lösung der  binomischen  Gleichung  ^»1  und  die  Berechnung  der  La- 
dolphschen  Zahl  ihre  Erledigung.  Auch  hier  bieten  zahlreiche  Übungen 
dem  Schüler  Gelegenheit  teils  zur  Einprägung  des  Erlernten,  teils  zur  Auf* 
iindung  neuer  Wahrheiten. 

Ein  Anhang  zu  dieser  ersten  Abteilung  bringt  die  kombinatorischen 
Rechnungen  und  deren  Zusammenhang  mit  dem  binomischen  Lehrsatz,  die- 
Lehre    von   den  Kettenbrüchen   sowie    die  Eul ersehe  und  die  Lagraoge- 


Rezensionen.  169 

sehe  Auflösnngsmethode  der  diophantischen  OUiohnngen  nebst  Übangs> 
material. 

Die  zweite  Abteilung  bringt  in  zwei  Abschnitten  ausführlich  die  Auf- 
lösung der  kubischen  und  biquadratischen  Gleichungen  ^  und  sodann  die 
Auflösung  der  numerischen  Gleichungen  höherer  Grade.  Dort  geht  der 
Verfasser  auf  den  Begriff  der  Discriminante  und  den  der  Besolvente  genauer 
ein;  hier  kommen  nach  einander  Gleichungen  mit  rationalen  und  solche 
mit  irrationalen  Wurzeln  zur  Behandlung.  Für  die  Ermittelung  der  letzteren 
ist  die  Newton  sehe  Annäherungsmethode  gewählt. 

Ein  letzter  Abschnitt  handelt  von  den  extremen  Werten  einer  Fxmktion. 
Nachdem  für  eine  Reihe  spezieller  typischer  Fxmktionsformen  die  Grenzwerte 
abgeleitet  worden  sind,  geht  der  Verfasser  zur  allgemeinen  Behandlung  des 
Maximum-  und  Minimumproblems  über.  Den  Beschluss  bilden  eine  Fülle 
lehrreicher  Aufgaben  aus  der  Planimetrie,  Stereometrie  und  Physik. 

E.  Jahkke. 

W.  Winter,    Algebra.      Lehrbuch    mit    Aufgabensammlung    für    Schulen. 
Zweite  Auflage.     Th.  Ackermann,  München  1895.    318  S. 

Lehrbücher  sind  für  den  Unterricht  in  der  Algebra  überflüS9igf  wohl  aber 
sind  Aufgabensammlungen .  mit  Vorteil  zu  verwenden.  Die  neueren  Samm- 
lungen, an  denen  nicht  gerade  Mangel  herrscht,  zeigen  die .  Einrichtung, 
dass  den  einzelnen  Abschnitten  eine  kurze  Darstellung  der  algebraischen 
Gesetze  und  womöglich  vollständig  durchgeführte  Übungsbeispiele  voran- 
gestellt sind.  Auch  der  Verfasser  des  vorliegenden  Lehrbuches  hat  diese 
Einrichtung  getroffen.  Zu  den  schwierigeren  Aufgaben  sind  am  Schluss 
jedes  Abschnittes  die  Resultate  beigefügt.  Die  Beispiele  sind  nach  der  An- 
gabe des  Verfassers  von  ihm  selbst  gefertigt  und  im  Unterricht  auf  ihre 
Brauchbarkeit  geprüft.  Lisofem  muss  auch  diese  Sammlung  wie  jede, 
welche  neue  Aufgaben  bietet,  als  wertvoll  bezeichnet  werden. 

E.  Jahkke. 

E.  ScHXTLTz,  Vierstellige  mathematische  Tabellen  im   engen  Anschluss 

an  die  mathematischen  Tabellen  der  technischen  Kalender.    Baedeker, 
Essen  1896.    80  S.    M.  0.80. 

„Der  Verfasser  ist  der  Überzeugung,  dass  die  sichere  Kenntnis  des 
Gebrauches  der  mathematischen  Tabellen  in  den  technischen  Kalendern  dem 
Schüler  auch  später  in  der  Praxis  von  grossem  Wert^  sein  wird.  Da  nun 
aber  der  kleine  Druck  der  Kalendertabellen  bei  den  vielfach  anzustellenden 
Übungen  die  Sehkraft  der  Schüler  wesentlich  beeinträchtigt^  soll  durch  die 
Herausgabe  dieser  Tabellen  in  erster  Linie  die  Schonung  des  Auges  be- 
zweckt werden.'*  Das  Bestreben,  einen  möglichst  engen  Anschluss  an  die 
Einrichtung  der  Kalendertabellen  zu  erreichen,  hat  den  Verfasser  zu  einer 
Ton  anderen  Tabellen  abweichenden  Ablesung  von  Grad  und  Minuten 
gefOhrt. 

HUI.-Utt.  Abt  d.  Zeifcachr.  f.  Math.  u.  Fhys.  48.  Jahrg.  1898.  4.  n.  5.  Heft.  13 


\1Q  Hietorisch- litterarische  Abteilung. 

Die  Tabellen  erscheinen  in  zwei  Ausgaben,  mit  und  ohne  Anleitung. 
In  der  Anleitung  erläutert  der  Verfasser  an  25  interessanten  Beispielen  ans 
der  Praxis  die  Art  der  Benutzung  seiner  Tabellen  sowie  der  mathematischen 
Tabellen  der  technischen  Kalender. 

Auf  diese  Beispiele,  die  zum  Teil  des  Verfassers  „Leitfaden  der  Eörper- 
berechnung  für  gewerbliche  Schulen  sowie  zum  Selbstunterricht  für  den 
Maschinentechniker '^  entlehnt  sind,  möchte  Referent  besonders  aufmerksam 

"^*^^«°-  E.  Jahnke. 

P.  Treutlein.    Vierstellige  logarithmische  und  goniometrische  Tafelo 

nebst  den  nötigen  Hilfstafeln.    Vieweg,   Braunschweig  1896.    72  S. 
M.  0. 60. 

Als  Vertreter  der  Ansiebt,  dass  dem  mathematischen  Unterricht  der 
Mittelschule  am  besten  durch  vierstellige  Logarithmentafeln  gedient  ist,  hat 
der  Verfasser  hier  auf  Orund  langjähriger  Schulerfahrung  eine  solche  Tafel 
angefertigt.  Zwar  sind  deren  schon  mehrere  vorhanden,  die  durch  billigen 
Preis,  passendes  Format,  deutlichen  Druck,  Übersichtlichkeit  der  Anordnung 
u.  s.w.  in  gleicher  Weise  ausgezeichnet  sind.  Die  neue  Tafel  aber  soll  „das 
so  sehr  authaltende  Interpolieren  ganz  unnötig  machen  oder  auf  das  aller- 
geringste Maß  herabdrücken,  um  so  die  rasch  fördernde  Benutzung  der 
Tafel  als  eines  Bechenknechtes  zu  ermöglichen."  xj    t^hjj^r 


M.  Eröger.  Die  Planimetrie  in  ansführliclier  Darstellung  und  mit  be- 
sonderer Berücksichtigung  neuerer  Theorien.  Nebst  einem  Anhange 
über  Kegelschnitte.    0.  Meissner,  Hamburg  1896.    511  S.    M.  8. 

Der  Verfasser  erhebt  den  Anspruch,  im  vorliegenden  Buch  „ein  klares 
System  aller  irgend  erheblichen  und  lemenswerten  planimetrischen  Wahr- 
heiten zu  geben"  fcbr  diejenigen,  welche  „sich  mit  der  gewöhnlichen  schol- 
gemässen,  durch  mancherlei  Bücksichten  und  Hemmnisse  beschränkten  Be- 
handlung nicht  begnügen  können  und  wollen." 

Um  zu  beurteilen,  ob  dieser  etwas  pomphaften  Ankündigung  die  Aos- 
führung  entspricht,  wird  es  nötig  sein,  auf  das  Werk  näher  einzugehen. 

Bei  dem  angedeuteten  Standpunkt  des  Verfassers  überrascht  zunächst 
die  schwerfällige  Breite,  in  der  wenigstens  die  ersten  Kapitel  gehalten  sind. 
Wo  eine  passende  Definition  hingereicht  hätte,  um  unmittelbar  den  Lehr- 
satz zu  erhalten,  finden  sich  langathmige  Beweise,  die  womöglich  noch  die 
Algebra  zu  Hilfe  rufen.  Wo  an  sich  einfache  Verhältnisse  vorliegen,  fuhrt 
der  Verfasser  neue  Bezeichnungen  ein^  welche  den  doch  wohl  erstrebten 
Zweck  der  Zusammenfassung  und  Vereinfachung  jedenfalls  nicht  erfüllen. 
Bei  der  Lektüre  dieser  Kapitel  kamen  dem  Referenten  die  Worte  in 
den  Sinn,  welche  Herr  Bertram  bei  der  Besprechung  einer  neuerdings 
erschienenen  Didaktik  des  mathematischen  Unterrichts  der  gegenwärtigeo 
Lehrergeneration   zugerufen  hat:    „So  ist   es  erklärlich,  dass  der  Anfang 


Rezensionen.  171 

den  AnfiUigem  Betrachtungen  zaxnatet,  für  welche  das  Interesse  erst  er* 
zwungen  werden  moss;  dass  das  jagendlich  naive  Hantieren  mit  Rechen- 
operationen und  geometrischea  Eonstraktionen  froher  durch  Zweifel  und 
logische  Sicherangen  anterbrochen  wird,  als  bis  die  Stellen  erreicht  werden, 
wo  sie  onvermeidlich  sind  and  dem  nan  in  Anschaaangen  and  Erfahrangen 
gereifteren  Geiste  als  das  klar  werden,  was  sie  sind,  n&mlich  die  ersten  Offen- 
bamngen  der  eigentlich  mathematischen  Ideen. . . .  Sollte  aber  nicht  der  ganze 
mathematische  Koreas  des  Oymnasiams  als  ein  propädeatischer  anzasehen 
sein,  nnd  würde  nicht  eine  beträchtliche  Zahl  von  abstrakten  Dedaktionen 
auf  ein  späteres  Lebensalter  verschoben  werden  können,  wenn  man  die  Er- 
ziehung der  Schüler  za  wirklich  strenger  Wissenschaftlichkeit  so  anlegt, 
dass  man«  was  historisch  den  Mathematikern  erst  nach  der  Entstehang  der 
einzehien  Zweige  ihrer  Wissenschaft  zur  vollen  Erkenntnis  gekommen  ist, 
auch  den  Schülern  erst  am  Ende  ihrer  Schullaafbahn  in  einem  Rückblick 
zum  Bewasstsein  za  bringen  suchte?^'  (Zeitschrift  f&r  Gjmnasialwesen  II, 
538—541.) 

Aber  aach  sonst  noch  bieten  die  ersten  Kapitel  Anlass  za  Aasstellongen. 
So  bemüht  sich  der  Verfasser  in  der  Einleitang  —  natürlich  vergebens  — , 
eine  Definition  der  geraden  Linie  and  der  Ebene  aafzastellen,  er  übersieht, 
dass  der  Begriff  der  Richtang  denjenigen  der  geraden  Linie  involviert. 
Dieselbe  Unklarheit  bezüglich  des  Richtangsbegriffs  beherrscht  die  Parallelen- 
theorie des  ersten  Abschnitts.  Der  zweite  Abschnitt  trägt  die  Überschrift 
V  Entstehang  and  allgemeine  Eigenschaften  geradliniger  Flächen '*.  Als 
,,geradlinige  Flächen*^  bezeichnet  der  Verfasser  ebene,  von  geraden  Linien 
begrenzte  Figarenl 

Kann  hiemach  Referent  sich  mit  der  Darstellang  in  den  einleitenden 
Kapiteln  nicht  einverstanden  erklären,  so  möchte  er  das  Anerkennenswerte 
in  einzelnen  der  nan  folgenden  Abschnitte  am  so  mehr  hervorheben. 

Dahin  gehört  sogleich  der  dritte  Abschnitt,  wo  der  Verfasser  aasfOhr- 
lieh  den  Symmetriebegpriff  behandelt,  am  ohne  EQlfe  der  Kongraenzsätze 
eine  grosse  Reihe  von  Eigenschaften  der  Dreiecke  and  Vielecke  herzaleiten. 
Allerdings  mass  aach  hier  bemerkt  werden,  dass  von  den  eingefOhrten 
Bezeichnangen  ein  Teil  entbehrlich  ist.  Die  vorgeschlagenen  Zeichen  für 
centrale  and  axiale  Symmetrie  erscheinen  dem  Referenten  nicht  einfach 
genog,  am  aaf  EinfÜhrang  hoffen  za  können. 

Der  vierte  Abschnitt  bringt  die  bekannten  Methoden  zar  geometrischen 
Konstraktion  von  Dreiecken  and  Vierecken,  der  fElnfte,  welcher  sich  ver- 
schiedentlich an  das  aasgezeichnete  „Lehrbach  der  Geometrie  von  A.  Kanze'^ 
anlehnt,  die  Inhaltsbestimmang  „geradliniger  Flächen.^  Hier  nimmt  der 
Verfasser  Gelegenheit,  am  Qaadrat  das  Verhältnis  zweier  inkommensarabler 
Strecken  klar  za  legen.  Er  fährt  dann  S.  143  fort:  „Ein  solches  nicht 
absolat  genaa  anzagebendes  Verhältnis  heisst  irrational '\  Der  Ver- 
fasser Übersieht  den  Unterschied  der  irrationalen  von  den  transscendenten 
Grössen,  was  in  dem  Kapitel  „Kreisberechnangen  and  Näherangskon- 
stroktionen'*  noch  klarer  za  Tage  tritt,  wo  n  als  Irrationalzahl  hingestellt 


172  Historisch -litterarische  Abteilung. 

wird  (S.  394).     Infolgedessen  weisen  auch  die  sonst  reichlichen  historischen 
Notizen   an  dieser  Stelle   eine  Lücke  auf. 

Es  folgt  der  sechste  Abschnitt,  die  Kreislehre  nmfassend.  Die  Dar- 
stellung unterscheidet  sich  von  der  gebräuchlichen  dadurch,  dass  der  Kreis 
als  symmetrische  Figur  behandelt  wird,  und  dass  ein  Teil  der  Sätze  nach 
dem  Prinzip  der  Dualität  angeordnet  ist.  Die  beigefügten  „Sätze  und  Auf- 
gaben zur  Übung"  (es  sind  deren  311)  geben  dem  Verfasser  Veranlassung, 
die  mannigfachen  Beziehungen  an  der  p- Figur  ausführlich  darzulegen. 
Vielleicht  entschliesst  sich  der  Verfasser  in  einer  nächsten  Auflage,  die 
knappen  Ausdrücke  In-,  um-  und  Ankreis  aufzunehmen. 

Die  beiden  nun  folgenden  Abschnitte  gehören  zu  den  besten  des 
ganzen  Werkes.  In  ihnen  kommt  ausser  dem  gewöhnlichen  Schulpensum 
ein  Teil  der  wesentlichen  Ergebnisse  neuerer  Untersuchungen  zur  Darstellung, 
besonders  ausführlich  das  wichtige  Punkt-  und  Strahlengebilde,  die  Potenziaü- 
tät  und  Ähnlichkeit  der  Kreise,  die  Lehre  von  den  Kreisbüscheln  und  im 
Anschluss  hieran  das  Wichtigste  über  Punkt-  und  Strahlensysteme.  Als 
Scbluss  des  achton  Abschnittes  hat  der  Verfasser  neben  dem  Problem  des 
Apollonius  auch  das  Mal f attische  aufgenommen  und  von  diesem  eine 
elementare  Lösung  gegeben,  deren  Ausgangspunkte  sich  nach  der  Angabe 
des  Verfassers  in  Julius  Petersen  „Methoden  und  Theorien^*  finden. 

Dem  siebenten  wie  dem  achten  Abschnitt  sind  wieder  zahlreiche 
„Sätze  und  Aufgaben  zur  Übung ^^  angehängt,  unter  denen  besonders  die 
zum  letzteren  gehörige  Sammlung  hervorgehoben  zu  werden  verdient. 

Den  metrischen  Relationen  am  Dreieck  und  Viereck ,  welche  schon 
der  fünfte  Abschnitt  beigebracht  hat,  reihen  sich  im  neunten  Abschnitt 
solche  fOr  die  Kreispoljgone  an. 

Der  zehnte  Abschnitt  bietet  einige  isoperimetrische  Sätze  und  Auf- 
gaben und  der  elfte  das  wesentliche  aus  der  „algebraischen  Ahaljsis  bei 
geometrischen  Konstruktionen  ^^  Im  letzten  Abschnitt  hat  der  Verfasser 
zunächst  ausführlich  die  Kreispolarität  behandelt  und  sodann  versucht,  das 
Prinzip  der  reziproken  Radien  und  die  Kreisverwandtschaft  „in  einer  Weise 
darzustellen,  die  davon  überzeugen  möchte,  dass  diese  Materie  sich  ohne 
zu  grosse  Ansprüche  an  die  Fassungskraft  der  Durchschnittsschüler  be- 
wältigen lasse  und  sehr  wohl  zur  Aufnahme  in  das  wiederholende  und  er- 
weiternde Pensum  oberer  Klassen  geeignet  wäre.*' 

Der  Anhang  bringt  das  Wichtigste  über  die  Kegelschnitte.  Nachdem 
zuerst  die  Ellipse,  Hyperbel  und  Parabel  als  geometrische  Örter  behandelt 
und  besonders  auf  metrische  Eigenschaften  hin  untersucht  worden  sind, 
werden  sie  als  Kreisprojektionen  durch  Punkte  und  Tangenten  bestimmt. 
Die  wichtigsten  Sätze  über  Polarität  und  Involution  schliessen  sich  an. 

Zum  Schluss  möchte  Referent  noch  seine  Zustimmung  zu  dem  ab- 
lehnenden Standpunkt  des  Verfassers  bezüglich  der  Frage  ausdrücken,  ob 
die  hjpereuklidischen  Dntersachungen  in  dem  Lehrplan  der  Schule  eine 
Stelle  finden  sollen.    Es  erledigt  sich  diese  Frage  aus  der  allgemeinen  £r- 


Rezensionen.    Bibliographie.  173 

wägnng,    dass   für  den  Schalnnterricbt  der  Schwerpunkt  auf  das  Können 
und  nicht  auf  das  Kennen  gelegt  werden  muss. 

Zusammenfassend  möchte  Referent  hiemach  sein  Urteil  über  das  Buch 
dahin  abgeben,  dass  es,  von  den  gerügten  Mängeln  abgesehen,  in  mancher 
Hinsicht  eine  Bereicherung  der  Lehrbuch -Litteratnr  über  Planimetrie  bildet. 

E.  Jahnke. 


Bibliographie 

vom  9.  Juni  bis  4.  August  1898. 


Periodisohe  Schriften. 

Abhandlungen  der  königl.  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Berlin.  Berlin, 
Reimer.  Mathematisqhe,  kart.  M.  3. 50. 

Physikalische,     kart.  M.  4.  50. 

Abhandlungen  d.  k5nigl.  Gesellschaft  d.  Wissenschaften  zu  Oötüngen.  Mathe- 
matisch-phjsikal.  Klasse.  Neue  Folge.  1.  Bd.  Nr.  2.  Brendel,  Mart., 
Theorie  der  kleinen  Planeten.    I.Teil.    Berlin,  Weidmann.  M.  16. 

Abhandlungen  der  kaiserl.  Leop.-Carol.  deutschen  Akademie  der  Natur- 
forscher, 71.  Bd.  Leipzig,  Engelmann.  Nr.  5,  Schilling,  Friedr., 
Geometrisch -analytische  Theorie  der  symmetrischen  iS- Funktionen  mit 
einem  einfachen  Nebenpunkt.  M.  7. 

—  Nr.  6;  Schröder,  Ernst,  Über  zwei  Definitionen  der  Endlichkeit  xmä 
G.  Cantorsche  Sätze.  M,  3. 

Nr.  7,  Schröder,  Ernst,  Die  selbständige  Definition  der  Mächtigkeiten 

0,  1,  2,  3  und  die  explizite  Gleichzahligkeitsbedingung.  M.  1. 

Berichte,  mathematische  und  naturwissenschaftliche,  aus  Ungarn.  14.  Bd. 
1895—1896.     Berlin,  Friedländer  &  Sohn.  M.8. 

Jahresbericht  des  Centralbureaus  für  Meteorologie  und  Hydrographie  im 
Grossherzogtum  Baden,  mit  den  Ergebnissen  der  meteorologischen 
Beobachtungen  und  der  Wasserstandsaufzeichnungen  am  Hhein  und 
seinen  grösseren  Nebenflüssen  f.  das  Jahr  1897.   Karlsruhe,  Braun.  M.  6. 

Jahresbericht  der  deutschen  Mathematiker -Vereinigung.  6.  Bd.  1897  1.  Heft. 
Leipzig^  B.  G.  Teubner.  M.  4. 

Sitzungsberichte,  Münchener,  Mathematische  Klasse,  1898,  l.Hefk.  München, 
Franz.  M.  1.  20. 

-  —Wiener,    Mathem.-naturwissenschaftl.  Klasse.    I.Abt.    106.  Bd.    8.  bis 

10.  Hefk.    Wien,  Gerolds  Sohn.  M.  1. 

-Dasselbe.    Abt.  üa.    106.  Bd.  7.— 10.  Heft.    Ebenda.  M.  15.70. 


174  Historisch -litterariBche  Abteilung. 

Yeröffentlichnngen  des  hydrographischen  Amtes  der  kaiserl.  and  königl 
Kriegs -Marine  in  Pola.  Nr.  5,  Gruppe  11.  Jahrbuch  der  meteoro- 
logischen und  erdmagnetischen  Beobachtungen.  Neue  Folge,  II.  Bd. 
Beobachtungen  des  Jahres  1897,    Wien,  Gerold  &  Co.  M.12, 

Veröffentlichungen  des  königl.  astronomischen  Becheninstituts  zu  Berlin. 
Berlin,  Dümmler.  Nr.  7.  Bauschinger,  J.,  Genäherte  Oppositions- 
Ephemeriden  von  49  kleinen  Planeten  für  1898  August  bis  Dezember. 

M.  1. 20. 

Gesohiohte  der  Mathematik  und  Physik. 

Gross,  Th.,  Bobert  Mayer  und  Hermann  v.  Helmholtz.  Eine  kritische  Studie. 
Berlin ,  Fischer.  geb.  M.  4. 50. 

Beine  Mathematik. 

Bachmann,  Paul,  Zahlentheorie.  4.  Teil.  Die  Arithmetik  der  quadratischen 
Formen.    1.  Abt.    Leipzig,  B.  G.  Teubner.  M.  18. 

BuDiSAVLjEyic,  Eman.  y.,  und  Mikuta,  Alfr.,  Leitfaden  für  den  Unter- 
richt in  der  höheren  Mathematik.  I.  Bd.  Grundzüge  der  Determinanten- 
Theorie  und  der  projektiven  Geometrie.  Analytische  Geometrie.  Wien, 
Braumüller.  geb.  M.  8. 

BöRKLEN,  0.  Th.,  Formelsammlung  und  Bepetitorium  der  Mathematik 
(Sammlung  Göschen  Nr.  51).    2.  Aufl.   Leipzig,  Göschen.        M.— .80. 

Gauss,  F.  G.,  Fünfstellige  vollständige  logarithmische  u.  trigonometrische 
Tafeln.    Zwei  Teile.    Halle,  Strien.    1.  55.  Aufl.  M.2.50. 

2.  Fünfstellige  logarithmisch -trigonometrische  Tafeln  für  Dezimalteilong 

des  Quadranten.    2.  Aufl.  M.  6. 

Graf,  J.  H.  und  Gubler,  Ed.,  Einleitung  in  die  Theorie  der  Besselschen 
Funktionen.  (In  zwei  Heften.)  1.  Heft.  Die  Besselsche  Funktion.  1.  Art 
Bern,  Wyss.  M.3.20. 

Höhnemann,  G.,  Praktisches  Lehrbuch  der  Mathematik  zum  Selbstunterricht. 
L  Algebra.    Leipzig,  Strauch.  M.1.50. 

HuLLMANN,  K.,  Mathematische  Abhandlungen.  I.  Die  Reihen.  U.  Die  Drei- 
teilung des  Winkels.  HI.  Das  delische  Problem.  München,  Finsterlin 
Nachfolger.  M.  1. 50. 

Kemmer,  Gfr.,  Über  die  Verwandlung  von  Projektivitaten  in  Livolntionen 
und  von  Beziprozitäten  in  Polarsysteme  durch  Anwendung  von  Pro- 
jektivitaten.   Dissertation.    Darmstadt,  Winter.  H.  1- 

KoBER,  Geg.,  Die  Grundgebilde  der  neueren  Geometrie.  Eine  geordnet« 
Zusammenstellung  ihrer  Um-  und  Abbildungen  erster  und  zweiter 
Ordnung.     1.  Teil.    Die   Grundgebilde   der  Ebene.     Hannover,  Hahn. 

M.3. 

Schubert,  Herm  ,  Vierstellige  Tafeln  und  Gegentafeln  für  logarithmisches 
und  trigonometrisches  Bechnen  (Sammlung  Göschen  Nr.  81).  Leipzig, 
Göschen.  M.  -.  80. 


Bibliographie.  175 

Angewandte  Mathematik. 

AhlborN)  Fr.,  Der  Schwebflug  und  die  Fallbewegnng  ebener  Tafeln  in  der 
Loft.   Über  d.  Stabilität  d.  Fingapparate.   Hamburg,  Friederichsen  &  Co. 

M.5. 

Bach,  C,  Versuche  über  die  Widerstandsfähigkeit  yon  Eesselwandungen. 
3.  HefL  Untersuchungen  über  die  Formänderungen  und  die  Anstreng* 
ungen  flacher  Böden.    Berlin,  Springer.  M.3. 

Borgen,  C,  Über  die  Auflösung  nautisch -astronomischer  Aufgaben  mit 
Hilfe  der  Tabelle  der  Meridionalteile  (der  „Merkatorschen  Funktion'^). 
Hamburg,  Friederichsen  &  Co.  M.  5. 

Euler,  Leone.,  Die  Abhandlungen  über  Kartenprojektion  (1777).  Heraus- 
gegeben yon  A.  Wangerin  (Ostwalds  Klassiker  Nr.  93).  Leipzig,  Engel- 
mann. M.  1. 20. 

Franke,  J.  H.,  Geodätische  Punktkoordinierung  in  sphärischen  Kleinsystemen. 
Vergleichende  Entwickelungen  im  einheitlichen  Koordinatensystem  der 
bayerischen  Landesvermessung.     München,  Ackermann.  M.  2. 40. 

Gross,  G.,  Die  mechanische  Wärmetheorie  (Thermodynamik)  unter  besonderer 
Berücksichtigung  der  Molekulartheorie  und  der  sich  daraus  ergebenden 
Erweiterung  des  Anwendungsgebietes  der  Thermodynamik,  nebst  An- 
wendungen auf  Wärmemotoren,  Kältemaschinen  und  andere  technische 
Einrichtungen.     1.  Bd.    Jena,  Costenoble.  M.  8. 

Hetenga,  H.,  Ortsbestimmung  u.  Kompassberichtigung  nach  neuer  Theorie.. . 
zur  Erweiterung,  Vervollkommnung  und  Vereinfachung  der  nautischen 
Astronomie.    Hamburg,  Eckardt  &  Messtorff.  geb.  M.  10; 

HoLZHÜLLER,  GuST.,  Die  Ingenieur -Mathematik  in  elem.  Behandlung.  2.  Teil. 
Das  Potential  und  seine  Anwendung  auf  die  Theorien  der  Gravitation, 
des  Magnetismus,  der  Elektrizität,  der  Wärme  und  der  Hydrodynamik. 
Leipzig,  B.  G.  Teubner.  geb.  M.  6. 

Jaoer,  Gust.,  Theoretische  Physik.  L  Mechanik  und  Akustik.  H.  Licht  und 
Warme  (Sammlung  Göschen  Nr.  76,  77).  Leipzig,  Göschen,  k  M.  — .  80. 

Landes -Triangulation,  die  königl.  preuss.  Hauptdreiecke.  10.  Teil.  A.  Der 
nördl.  niederländ.  Anschluss.  B.  Der  südl.  niederländ.  Anschluss.  C.  Der 
belgische  Anschluss.    Berlin,  Mittler  &  Sohn.  kart.  M.  10. 

Nivellements -Ergebnisse,  die,  der  trigonometrischen  Abteilung  der  königl. 
preuss.  Landesaufnahme.  9.  Heft.  Prov.  Hannover  und  das  Grossherzogt. 
Oldenburg.   Berlin,  Mittler  &  Sohn.  kart.  M.  1. 

ScHULTZE,  Frz.,  Nautik.  Kurzer  Abriss  d.  tägl.  an  Bord  von  Handelssch. angew. 
Teils  d.  Schifffahrtsk.  (Samml.  Göschen  Nr.  84).  Leipzig,  Göschen.  M.— .  80. 

Trück,  Sigism.,  Die  russische  Triangulierung  auf  der  Balkanhalbinsel  in  den 
Jahren  1877—1879.    Wien,  Lechner.  M.  1. 

Veröffentlichung  d.  königl.  preuss.  geod.  Instituts.  Bestimmungen  v.  Azimuten 
im  Harzgebiete,  ausgef.  i.  d.  J.  1887—1891.    Berlin,  Stankiewicz.     M.  6. 

ViLLiQER,  W.,  Die  Botationszeit  d.  Planeten  Venus,  m.  einem  Anhang,  enth. 
Beobachtungen  der  Oberflächenbeschaffenheit  d.  Planeten  Venus  u.  Merkur. 
(Aus:  „Annalen  der  Münch.  Sternwarte",  3. Bd.)  München,  Franz.     M.  7. 


176  Historisch -litterarische  Abteilang.    Bibliographie. 

VoLLAND,  CoxR.,  Anleitung  z.  Schattenkonstroktion.  Zorn  Gebrancb  f.  Schüler 
technischer  Lehranstalten  u.  s.  w.    Leipzig,  Oebhardt.  M.  1. 20. 

Die  Schattenkonstraktion.    Zwei  Teile.    Ebenda.    1.  Eine  Sammlang  von 

Aufgaben,  nebst  einer  Anleitung  z.  Schattenkonstroktion.   2.  Anfi.    M.2. 

2.  Aafgabensammlnng  f.  die  architekt.  Schattenlehre.    2.  Aufl.     M.  1. 50. 


und  Meteorologie. 

Bebg,  Otto,  Über  die  Schwingnngsdaaer  v.  Eondensatorentladnngen.    Diss. 

Freiburg  L  Br.,   Speyer  &  Eämer.  M.  1. 

H^jAS,  Andr.,  Die  Gewitter  in  Ungarn  nach  den  Beobachtungen  von  den 

Jahren  1871—1896.    Budapest,  KiHan.  M.4. 

Helmholtz,  H.  y.,  Vorlesungen  über  theoretische  Physik.   Leipzig,  Barth. 

I,  2.  Vorlesungen  über  die  Dynamik  diskreter  Massenpunkte.  Heraas- 
gegeben  von  Otto  Krigar -Menzel.  M.  15. 

m.  Vorlesungen  über  die  mathematischen  Prinzipien  der  Akustik.  Heraas- 
gegeben  Yon  Arth.  König  und  Carl  Bunge.  M.  12. 
Kienabt,  Herm.,  Das  Klima  von  Königsberg  i.  Pr.   I.  Teil.    Die  Niederschlags- 

verhSltnisse  der  Jahre  1848—1897.  Progr.  Königsberg,  Koch.  M.3. 
LizNAR,  J.,  Die  Verteilimg  der  erdmagnet.  Kraft  in  Osterreich -Ungarn  zur 

Epoche  1890*0   nach   den    in  den   Jahren  1890—1894  ausgeführten 

Messungen.    II.  Teil.    A.  Die  normale  Verteilung  zur  Epoche  18900. 

B.  Die    Störungen    und    die    störenden   Kräfte    zur   Epoche   18900. 

C.  Die  normale  Verteilung  zur  Epoche  1850*0.  D.  Die  Störungen  der 
Epoche  1850'0.  E.  S&kulare  Änderung.  F.  Formel  zur  Berechnong 
der  erdmagnet.  Elemente  für  eine  beliebig  zwischen  1850  und  1890 
liegende  Epoche.  (Aus:  Denkschriften  der  kaiserL  Akad.  d.  liVissenscL) 
Wien,  Gerolds  Sohn.  M.7.80. 

Müller  -Poüillets  Lehrbuch  der  Physik  und  Meteorologie.  9.  Aufl.  Von 
Leop.  Pfaundler  unter  Mitwirkung  von  Otto  Lummer.  2.  Bd.  2.  Abt 
Braunschweig,  Vieweg  &  Sohn.  M.  10. 

Newton,  Sir  Isaac,  Optik  (1704).  Übersetzt  und  herausg.  von  William 
Abendroth.  L  Buch.  (Ostwalds  Klassiker  Nr.  96.)  Leipzig,  Engel- 
mann.  M.  2. 4<'. 

Sterneck,  Bob.  v..  Relative  Schwerebestimmungen,  ausgefOhrt  in  den  Jalu«n 
1895  und  1896.    "Wien,  Lechner.  M.l 

Thompson,  Silvanus  P,  Über  sichtbares  und  unsichtbares  Licht.  Dentsdi 
von  Otto  Lummer.    Halle,  Knapp.  M.? 

WiEDEMANN,  GüST.,  Die  Lehre  von  der  Elektrizität.  2.  Aufl.,  zugleich  als 
4.  Aufl.  der  Lehre  vom  Oalvanismus  und  Elektromagnetismus.  4.  Bd 
Braunschweig,  Vieweg  &  Sohn.  geb.  11. 34. 


Historisch-litterarische  Abteilung. 


Rezensionen. 


S.  LiE.     Geometrie  der  Bertthmngstransformationen.    Dargestellt  von 

S.  LiE  und  G.  ScHEFTBRS.      1.  Bd.     XI  und  694  8.     Leipzig  1896, 
B.  G.  Teubner. 

Die  analytische  Theorie  der  Lieschen  Berühmngstransformationen  hat 
ihre  Darstellung  im  zweiten  Bande  der  von  Lie  und  Engel  herausgegebenen 
,, Vorlesungen  über  endliche,  kontinuierliche  Transformationsgruppen'^  ge- 
funden; man  sehe  die  Besprechung  in  dieser  Zeitschrift  Bd.  39,  1894, 
S.  95  flg.  Wir  können  uns  daher,  dem  Titel  des  vorliegenden  Bandes 
entsprechend,  im  wesentlichen  auf  die  geometrischen  Auffassungen  und  An- 
wendungen der  Theorie  beschränken;  übrigens  wird  die  letztere  als  solche 
auch  hier  noch  einmal  in  ihren  Grundzügen  entwickelt. 

um  gleich  das  Haupturteil  vorwegzunehmen,  so  scheint  uns  gerade 
dieses  Werk,  wie  kein  anderer  Band  der  ganzen  Serie,  geeignet,  Anfänger 
in  das  Lie  sehe  System  einzuführen:  wir  möchten  sogar  noch  einen  Schritt 
weit-er  gehen  und  es,  namentlich  im  Interesse  der  Geometer,  fast  bedauern, 
dass  der  vorliegende  Band  nicht  gleich  als  erster  erschienen  ist. 

£s  handelt  sich  um  eine  erweiterte  Wiedergabe  der  inhaltsreichen  Ab- 
handlungen Lies  zumeist  aus  dem  Anfang  der  siebziger  Jahre  über  Be- 
rührungstransformationen. Man  erkennt  deutlich,  wie  Lie  vom  Beginn 
seiner  wissenschaftlichen  Thätigkeit  an  von  der  Anschauung  durchdrungen 
war,  „dass  sich  Analysis  und  Geometrie  ebenso  wie  früher  auch  in  unserer 
Zeit  gegenseitig  stützen  und  mit  neuen  Ideen  bereichem  soUen.^^  Man 
beobachtet,  aus  welchen  Anschauungsquellen  heraus  sich  beim  Verfasser 
die  Keime  zu  seinen  neuen  und  umfassenden  Ideen  gebildet  und  entwickelt 
haben,  was  auf  einen  historisch  veranlagten  Leser  unzweifelhaft  anregender 
wirkt,  als  ein  systematischer  Aufbau  der  Theorie,  so  wichtig  ein  solcher 
an  sich  sein  mag. 

Das  Buch  gliedert  sich  in  drei  grössere  Abschnitte. 

Der  erste  behandelt  die  Lehre  von  den  Linienelementen  (kürzer  „L.E.^*) 
in  der  Ebene   nebst   den   zugehörigen  Berührungstransformationen    (kürzer 

„B.T."). 

Der   zweite   und    dritte  Abschnitt   nehmen    die  Erweiterung    auf   den 

Raam  in  Angriff,  die  in  doppelter  Weise  vor   sich    geht:    der    zweite  Ab- 

Hiit -litt.  Abt.  d.  Zeitoohr.  f.  Math.  u.  Phys.  43.  Jahrg.  1898.  6.  Heft.  14 


178  Historisch -litterariflche  Abteilung. 


fOhrt  in  die  Lehre  von  den  L.  E.  im  Baume  ein,  der  dritte  in  die 
Ton  den  Flächenelementen  (kürzer  „F.  E/^).  Die  B.  T.  des  Baumes  bleiben 
im  wesentlichen  einem  zweiten  Bande  vorbehalten. 

Der  erste  Abschnitt  beginnt  zweckmässig  mit  einer  Anzahl  klassischer 
geometrischer  Transformationen,  die  sich  als  B.  T.  einer  Ebene  in  sich, 
respektive  einer  Ebene  in  eine  andere  auffassen  lassen. 

Dahin  gehören  die  Orthogonalprojektion  einer  Ebene  auf  eine  zweite, 
die  allgemeine  ebene  projektive  Ponkttransformation  and  die  ebene  Inversion. 
Es  sind  das  „uneigentliche"  B.  T.  der  Ebene.  Zunächst  ordnen  sie  nur 
je  einem  Punkte  P  der  Ebene  einen  Punkt  P'  zu;  da  aber  wegen  da 
Stetigkeit  der  Transformationen  auch  jedem  zu  P  benachbarten  Punkte  V 
ein  zu  P'  benachbarter  Punkt  Q^  entspricht,  mithin  auch  jeder  Fort 
schreitungsrichtung  durch  P  eine  bestimmte  Fortschreitungsrichtong  durch  ^. 
so  wird  auch  jedem  Punkt  und  einer  durch  ihn  gehenden  Geraden  ek 
anderer  Punkt  nebst  einer  durch  ihn  gehenden  Geraden  korrespondieren 
oder,  nach  Lie,  ein  L.  E.  einem  L.  E.  Die  beiden  entgegengesetzten  Bich- 
tungen  einer  Geraden  werden  hierbei  nicht  auseinandergehalten  (s.  u.).  Ana- 
lytisch ergiebt  sich  sofort,  wenn 

die  Punkttransformationen  darstellen,  durch  „Erweiterung^^  die  Transformatioc 
der  Bichtungen: 

^^  ^'  -  Xx+Zyp' 

wo  j  j 

und  die  X^  etc.  die  bezüglichen   partiellen  Differentialquotienten  bedentea 

Dass  die  neue  Auffassung  bereits  manche  Vorteile  bietet,  dafür  mag 
die  Inversion  als  Beispiel  dienen;  die  übliche  Ausnahme  in  der  Zuordnung 
von  Pol  0  und  der  unendlich  fernen  Geraden  u  fällt  jetzt  fort,  da  dem 
Pol  0  und  einer  durch  ihn  gehenden  Bichtung  (Geraden)  ein  bestimmter 
Punkt  auf  u,  also  auch  hier  ein  L.  E.  einem  L.E.  entspricht. 

Man  hätte  freilich  auch  die  Ponkttransformation  1)  mit  irgend  einem 
von  2)  verschiedenen  Zuordncmgsprinzip  für  die  Bichtungen  kombinieren 
können,  gegenüber  all  diesen  zusammengesetzten  Transformationen  ist  dit 
durch  l),  2)  festgelegte  offenbar  dadurch  ausgezeichnet,  dass  sie  die  L.  £ 
einer  Kurve  wiederum  in  die  L.E.  einer  Kurve  Überfahrt. 

Als  Beispiele  für  „eigentliche"  B. T.  der  Ebene  —  die  nicht  dnirh 
Erweiterung  einer  Punkttransformation  entstehen  —  dienen  die  Dilatatioü. 
die  Fusspunkttransformation,  die  Transformation   durch    reziproke   Polarea 

Hier  geht  zwar  auch  jedes  L.  E.  einer  Kurve  in  ein  ebensolches  übe:, 
aber  die  L.E.  eines  Punktes  verwandeln  sich  im  allgemeinen  nicht  wied-r 
in  die  eines  Punktes,  sondern  in  die  einer  Kurve.  Man  wird  so  darauf 
geführt,  einen  Begriff  aufzustellen,  der  /lie  Begriffe  „Punkt"  und  „ Kurve '^, 
und  nur  diese  umfasst:  das  ist  der  „Elementverein",  analytisch  eine  solche 
<x>^  Schar  von  L.  E.,  die  der  „speziellen  Pf  äff  sehen  Gleichung": 


Rezensionen.  179 

3)  dy—pdx-=^0 

genügen.       Aach  .die    Theorie    der    gewöhnlichen    Differentialgleichangen 

erster  Ordnung  F{a^^  PtP)  ^  0  führt  von  seihst  darauf:  eine  solche  Gleichung 
integrieren  heisst  nichts  anderes  als  alle  Elementvereine  zu  hestimmen,  deren 
Elemente  F '=^  0  erfüllen. 

Eine  B.  T.  der  Ehene  ist  damit  dejBniert  als  eine  solche  Transformation 
der  L.E.  (x,y^p\  die  jeden  Verein  von  Elementen  (x^y^p)  in  einen 
Verein  (^h^^dJ'i)  üherfQhrt.  Analytisch  ist  dazu  das  Bestehen  einer 
Identität 

4:)  dy^  —  Pi dx^  ^Q(x,y,p)  (dy  —  p dx)  (jf  -|-  0) 

erforderlich,  oder,  was  auf  dasselbe  hinauskommt,  die  Invarianz  der 
Gleichung  3). 

Alle  B.  T.  der  Ebene  lassen  sich,  wie  eine  einfache  Bechnang  zeigt, 
durch  „ausführbare''  Operationen  (nftmlich  Differentiationen  und  Eliminationen) 
erhalten. 

Dasselbe  leistet  eine  weniger  einfache,  aber  tiefer  eindringende  Inte- 
grationsmethode, die  darauf  beruht,  dass  die  eine  B.  T.  der  Ebene  aus- 
drückenden Transformationsfunktionen  a;^,  y^^  j>i  der  x^  y^  p  an  gewisse 
DifferentialrelatLonen  geknüpft  sind,  deren  Bestehen  umgekehrt  eine  B.T. 
charakterisiert. 

Indessen  ist  wohl  zu  beachten,  dass  keine  der  beiden  Methoden  eine 
explizite  Darstellung  sämtlicher  B.T.  der  Ebene  liefert.  Will  man  das,  so 
wird  man  genötigt,  den  Begriff  der  „infinitesimalen''  B.T.  einzuführen,  das 
ist  einer  solchen,  bei  der  die  L.E.  nur  unendlich  kleine  Änderungen  er- 
fahren. Die  mittels  der  Tajlorschen  Beihe  auszuführende  Bechnung  zeigt, 
dass  eine  beliebige  Funktion  f  (x,  y,  p)  bei  einer  infinitesimalen  B.  T.  den 
Zuwachs 

6)  */"-[(  W)  -  Wfy]  öt  =  Bf'öt 

erfahrt,  wo  ^^  einen  unendlich  kleinen  Parameter  bedeutet,  TT  eine  gewisse 
Funktion  der  Xy  y^  p^  i^f)  ^^^  sogenannten  „Poissonschen  Elammer- 
ansdruck'^;  umgekehrt  liefert  5)  bei  Annahme  einer  willkürlichen 
Funktion   W  stets  eine  infinitesimale  B.T. 

Der  Ausdruck  Bf,  der  Faktor  von  öt  in  5),  heisst  das  „Sjrmbol" 
der  infinitesimalen  B.  T.,   W  ihre  „charakteristische  Funktion". 

Mit  *der  Theorie  der  B.  T.  der  Ebene  ist  aufs  engste  die  ihrer 
„Differentialinvarianten  erster  Ordnung'^  verknüpft,  das  ist  der  der  B.  T. 
gegenüber  invarianten  Funktionen  von  x^y^p;  eine  solche  ist  eine  beliebige 
Funktion  von  zwei  unabhängigen  Individuen  t«,  v\  kennt  man  von  diesen 
nur  die  eine,  so  bestimmt  sich  die  andere  durch  eine  Quadratur.  Weiter- 
hin tritt  der  Begriff  zweier  „vertauschbarer"  B.T.  B^f  und  B^f  in  den 
Vordergrund,  das  heisst  solcher,  deren  Beihenfolge  gleichgültig  ist;  sie 
lassen  sich  auf  eine  besonders  einfache  kanonische  Form  (nämlich  zweier 
infinitesimaler  Translationen)  bx^ngen. 

Die  Verfasser  unterlassen  nicht,  die  obigen  Begriffe  und  Sätze  an 
zahlreichen   Beispielen    zu    illustrieren.      Es    mag    genügen    auf  eine    An- 


T=Lr= 


rs.T* 


^.„^  Abteilung. 

X-  ^    und  ScbwieTigVcli 

••*^  :i  äeTaie  schar  dex  g^^ 

'"^ei  «--n   solclver  ritU^ben 
*"         A  flie  Spiralflachen. 

.^.=n^-i-'>«^f^^^  eine   dnrch- 

_  .»^^  _j.ici-*nig     "=  f-atre  etwa 

i^Q«*i:«»_^*rder  Ebenem 


^..::e:Ä  J 


.    -»r^-rs-        -     ■"- 


X  -  ■  - 


_^e   der  Ebene  E  im  Ba^e 
-^  ^-"^'^als  die  Kurven,  deren  L.E. 

i«  .Ucemeinen  „Pfaffschen 
_  ,-a^     ;. -Allongen    m      ^        ^„onischen 


.1=^1  ^*  - 


-    ^de    speöeUe«  Unter- 

-    --•-■•""!   ^"gesehen  Gleichung- 
.    ,.,^r    1=^--*-""*        -^^  noch  von 

■-•    "'^:^  ^  den  00' I-E 

^    ttk,  deren  Gif'' 
^liebig^u  Fliehe  hege« 


«.  '4on(ie«l»«'51eichn«g« 
^         i^  hesiton.   D«» 


Bezensionen.  181 

charakterisiert  (durch  ihre  oo^  L.E.)  einen  Flückerschen  LinienkompLex, 
so  dass  die  Theorie  der  Mon gesehen  Gleichungen  die  der  Linienkomplexe 
mnfasst. 

Eine  Monge  sehe  Gleichung  ordnete  jedem  Baumpnnkt  oo^  L.E.  zu, 
deren  Geraden  die  Kanten  eines  Elementarkegels  waren.  Um  aach  die 
dnaiistische  Auffassung  zur  Geltung  zu  bringen,  nach  der  ein  Kegel  von 
seinen  Tangentialebenen  umhüllt  wird|  wird  man  sagen,  dass  die  Monge  sehe 
Gleichung  zugleich  jedem  Baumpunkt  oo^  ,,Fläohenelemente'^  (kürzer  ,,F.  E.'^) 
zuordnet,  wo  unter  einem  F.  E.  der  Inbegriff  eines  Punktes  und  einer 
durch  ihn  gehenden  Ebene  zu  verstehen  ist.  Als  ,yKoordinaten''  eines  F.  E. 
werden  flojigieren  die  Koordinaten  Xj  y,  g  des  Punktes  nebst  den  Grössen 

O  E  ij  SS 

P^-T-^   ff  ="  ^'    die  die  Stellung  der  Ebene  (Bichtung  ihrer  Normalen) 

filieren. 

In  diesem  Sinne  bietet  sich  die  Fragestellung  dar:  wie  kann  man 
bei  gegebener  Mon  gescher  Gleichung  alle  Flächen  bestimmen,  die  in  allen 
ihren  Punkten  P  den  zugeordneten  Elementarkegel  berühren,  oder  auch, 
für  deren  jeden  Punkt  P  das  F.  E.,  das  ihm  die  Fl&cho  vermöge  der 
Tangentialebene  zuweist,  sich  stets  unter  den  oo^  F.E.  befindet,  die  ihm 
die  Mongesohe  Gleichung  zuweist. 

Es  erscheint  von  vornherein  plausibel,  dass  sich  alle  diese  Flächen 
durch  Integration  einer  partiellen  Differentialgleichung  erster  Ordnung  in  e 
F{x^y^z^p^q)^^0  ergeben  werden.  Anderseits  wird  jede  Integralfläche 
einer  Mon  gesehen  Gleichung  von  oo^  Kurven,  den  „Charakteristiken",  über- 
deckt, so,  dass  in  jedem  Punkt  der  Fläche  der  zugehörige  Elementarkegel 
längs  der  betreffenden  Kurve  berührt. 

Der  Vollständigkeit  halber  entwickeln  die  Verfasser  auch  die  Grund- 
züge der  PI  ück  er  sehen  Liniengeometrie,  doch  so,  dass  stets  die  Beziehungen 
za  den  Differentialgleichungen  hervortreten;  ein  historisches  Kapitel  über 
ältere  Untersuchungen  über  Geradenscharen  im  Baume  dürfte  die  Geometer 
lebhaft  interessieren.  Als  ein  typisches  Muster  für  die  skizzierten  Methoden 
erscheint  die  Behandlung  des  „tetraedralen  Komplexes",  das  ist  der  Ge- 
samtheit der  (reraden,  die  ein  festes  Tetraeder  nach  konstantem  Doppel- 
Verhältnis  schneiden. 

Ein  bemerkenswertes  Hilfsmittel  ist  hierbei  die  „logaiithmische  Ab- 
bildung" des  Baumes,  in  dem  Ix^  ly,  Iz  als  neue  Veränderliche  eingeführt 
werden.  Logarithmische  Abbildungen  sind  wohl  schon  öfters  von  Graphikern 
znr  praktischen  Auflösung  von  Gleichungen  und  anderem  mit  Vorteil  ver- 
wendet worden ,  in  der  Geometrie  dürften  sie  bisher  selten  aufgetreten  sein. 

Diese  Abbildung  vereinfacht  hier  nicht  nur  wesentiich  die  Differential- 
gleichung des  tetraedralen  Komplexes,  sondern  sie  gewährt  auch  den  Vor- 
zog, die  projektiven  Transformationen  des  Tetraeders  in  sich  in  Trans- 
lationen umzuwandeln. 

Indem  wir  die  Behandlung  einiger  Probleme  der  Liniengeometrie,  die 
auf  partielle  Differentialgleichungen  zweiter  Ordnung  führen,   nur  streifen. 


-littenurische  Abteilung. 

Über  die  Beziehtizigen  zwiflchen  den  Geraden 
die  Yerfuser  selbst    als   das   wiehtiggte  des 

die  konformen  Pnnkttransformationen  der  Ebene 

konforme   Ponkttransformation   der  Ebene  biogi, 

voB  i^nmi)  willkfirlichen  Funktionen  ab;  beschrftnkt  man 

iiA  liMT  mz  仫  <&  jeden  Kreis  in  einen  Kreis  überfftliren,  so  gelangt 

6iiq[»pe  von  oo*  Transformationen,  die  in  der 
antomoiphen  Funktionen  eine  so  vriohtige  Bolle 
•:7£-L«ft.  ^aimBna  kn^it  di«  Gesamtheit  der  konformen  Pnnkttransformalionen 
..-»  .^^^^  m  9»  Y^m  selbst  jede  Kngel  in  eine  Kugel  ftberf&hren,  von 
-mr-  Tus.  «ner  endlichen  Anzahl  von  (zehn)  Parametern  ab. 
^  Trapp«  "^  Toa  konformen  Punkttransformationen  des  Baumes 
L-sfiuBg^  ^«Stffizt  m  einer,  den  Geometem  gleichfalls  gelSnfigen 
-..j  .:;mjc  ijif»  3«Bm»  aof  die  Ebene,  die  analytisch  durch  die  Gleicbnngen 

X  =*  X,  jf  =  r,  r  «  »Z 

«xru«  ^  «Ims   dem  Banmpunkte    (X,  Y,  Z)   der   Kreis    in  der 

»  ait  ii^oa  Z«atram  (x,  jf)  und  dem  Radius  r  zugeordnet  wird 

uwr  ü«»  Abbildung  6)  weiter,  so  erkennt  man,  dass  sie  ein 

,     t».  ^»^»t^  Samweockif  Termittelt  zwischen  den  konformen  Punkttrans- 

u*..-.>u«a    ^^  7nnMiiT  «ftd  den  B.  T.  der  Ebene,  die  jeden  Kreis  in  einen 

-^     «%.  »3r*-a.    ^:^3'  Mcuht  das  darauf,  dass  vermOge  6)  das  ebene  Bild  einer 

*.«wi4«tt  \  u  *  «»in«  Geraden  des  Komplexes  dX*+  dF*+dZ*«0, 


rui 


.  .a 


.••«• 


«  A.'^il'i^umr  <^)  stellt  sich  eine  andere,  nicht  minder  wichtige. 
«.«*  >«v^    ua  ':iattm!e  ein  (allgemeines)  Möbiussches  Nullsjstem  g^ 
;.    4[«iü^a  einer  Pfaffschen  Gleichung,   die    sich  dordi 
>r«uAUon  auf  die  ^fpische  Form  bringen  lisst: 
i^,'+xjf)  — 2y(lx  =  0, 
;«r  jut-^tiadMitigen  quadratischen  Transformation 

tuir«  tMABL  iiemnach  die  Abbildungen  8),  6)  nach  einander 

...V     V'^bildong   des   Baumes   in    sich,    so,   dass  jedem 

j^  ^uitttüi^j^^Hrade  des  Raumes  (X,  F,  Z)  zugeordnet  wird, 

.^«^  ^tekte^  \^Xy  Y,  Z)  eine  Gerade  des  Nullsystems  7): 

^'iiittittation  erhSlt  man  die  wichtigen  Darstellnng^- 

'-,--0,     x(X-.iY)-Z-y«0. 

w«rr   auch    die  F.E.  des  Raumes  zu  „reziproken'^ 

i^m  Pluikt  (Ebene)  des  einen  F.  E.  Ebene  (Punkt) 

tuihm    auch   die  Flächen    zu   reziproken  Patren. 

'.u^ltfich    eine    ein -zweideutige    Zuordoong  der 

q  .-    jMoi  Pter  reziproker  FlSchen  im  Räume  (r, //.>') 

^^utfM  \^  X,  r,  Z)  korrespondiert   und   umgekehrt. 


.«• 


«    --«*»■ 


,  •>  ••A* 


1 


Rezensionen.  Ig3 

Im  besoaderen  gehen  die  F.  E.  einer  Engel  über  in  die  zweier  Geraden 
(die  dann  reziproke  Polaren  des  Nullsystems  sind). 

Das  bemerkenswerteste  Ergebnis  ist  aber,  dass  sich  bei  zwei  vermöge 

9)  Zugeordneten  Flächen  die  Krümmnngslinien  den  Haupttangentenkurven 
entsprechen. 

Der  dritte  und  letzte  Abschnitt  behandelt  die  Theorie  der  F.  E.  und 
als  einen  integrierenden  Bestandteil  von  ihr  die  Theorie  der  partiellen 
Differentialgleichimgen  erster  Ordnung 

10)  F{x,y,e,p,q)^0. 

Diese  Auffassung  wird  aber  erst  allm&hlich  entwickelt.  Vorerst  be* 
gnügen   sich   die  Verfasser  damit,   Lagranges    Theorie   der    Gleichnngeii 

10)  in  einer  geometrischen  Einkleidung  vorzutragen ,  wie  sie  im  wesent- 
lichen schon  Monge  gew&hlt  hat,  wobei  der  Begriff  des  F.  E,  eine  mehr 
formale  Bolle  spielt,  insofern  er  die  Sprechweise  erleichtert 

In  diesem  Sinne  verlangt  die  Integration  von  10),  die  durch  10)  be* 
stimmten  oo^  F.  E.  in  oo'  Scharen  von  je  oo^  Elementen  einer  Fläche  an- 
raordnen.  Die  Gleichung  all  dieser  Flächen,  die  zwei  Parameter  a,  b  mit 
sich  fahrt: 

11)  i?=-  <l>(a?,  3/5  ayh) 

ist  die  „vollständige  Lösung"  von  10);  durch  Differentiation  und  Elimi- 
nation der  a,  h  kommt  man  von  11)  zu  10)  zurück.  Für  irgend  eine 
Ldsong  e  ^  g>(Xj  y)  von  10)  liegen  dann  drei  Möglichkeiten  vor:  I.  Die 
Fläche  jBf  =  9  hat  alle  ihre  oo'  F.  E.  mit  einer  Fläche  11)  gemein,  ist 
also  in  11)  als  „Partikularlösung"  enthalten;  11.  die  Fläche  e  ^  q>  hat 
mit  jeder  von  gewissen  oo^  Flächen  11),  die  durch  eine  willkürliche  Gleichung 
Q(a,  &)=»^0  ausgeschieden  werden,  je  ein  F.  E.  gemein,  ist  also  deren 
Umhüllende,  das  liefert  die  ,, allgemeine"  Lösung  von  10);  in.  die  Fläche 
r  =  (p  hat  mit  jeder  Fläche  1 1)  nur  eine  diskrete  Anzahl  von  F.  E.  gemein, 
ist  also  die  Umhüllende  von  11),  und  heisst  eine  „singulare"  Lösung 
von  10), 

Die  beiden  letzteren  Lösungen  ergeben  sich  aus  11)  durch  ausführ- 
bare Operationen,  so  die  allgemeine  Lösung  (Integralfläche),  auf  die  wir 
nns  hier  beschränken,  durch  Elimination  von  a  aud: 

wo  h  (a)  die  mit  co  (a,  &)  »» 0  äquivalente  Funktion  h  von  a  bedeutet. 
Die  Kurven,  die  12)  bei  Variieren  von  a  darstellt,  sind  die  „Charakteristiken" 
von  11),  deren  es  aber  nur  eine  oo'  Schar  giebt,  da  man  die  drei  Grössen  a, 
&(a),  &'(a)  als  die  drei  einzigen  Parameter  ansehen  kann. 

Diese  oo'  Charakteristiken  fahren  unmittelbar  vermöge  ihrer  oc^  L.  E. 
wieder  asor  Theorie  der  Monge  sehen  Gleichung  zurück:  deren  Elementar- 
kegel aiud  genau  dieselben,  wie  die  durch  die  F.  E.  10)  einem  jeden  Punkte 
zugeordneten. 

Die  systematische  Behandlung  des  Gegenstandes  basiert  auf  dem 
Fnndamentalbegriff  eines  .„Vereines"  von  F.  £.    Sagt  man  von  zwei  unend- 


^>^  Historisch -litterariflclie  Abteilung. 

izh  benachbarten  F.  £^  sie  seien  in  „vereinigter  Lage^':  wenn  sie  die 
/  -  j. :  r -^:a.e  «Tleichung  d£  — pdx  —  qdy  ^=  0  erfüllen,  so  bildet  eine  Schar 
-'-n  F  E-  einen  ^Terein*^,  wenn  jedes  Element  der  Schar  mit  allen  unend- 
ija    jenaciifaarten  Elementen  der  Schar  vereiBtigt  liegt. 

Hin  Eementvcrein  besteht  entweder  aus  c»*  F.  E.  —  dann  ist  er  eine 

^^Iv.'^-.    )der  eine  Kurve,  oder  ein  Punkt  —  oder    aus  oo^F. E.,   dann  ist 

■r   -1:1  Elementarkegel,  oder,  wenn  die  00*  F.  E.  längs   einer  Kurve  liegen. 

t.1  .ZI:^menC5treifen*'.    Dann  lautet  das,  alleF&lle  umfassende  Problem 

.-r    -viininon  von  10"):  Man  soll  alle  Elementvereine  der  00*  F.E.  10) 

'.lI.:^u   :ie!i.     Eine    ,.Tollstindige    Lösung^    von  10)    ist  jetzt    allgemeiner 

•utt»  >.iiar   von    3C^  (verschiedenen)    Vereinen    von  je    00*  F.  E.,   die   10) 

:^)u^-u.    Noch  wichtiger  ist  der  Begriff  des  „charakteristischen  Streifens^ 

.*x'     •?(*:    ^a   die  Stelle    der  „Charakteristik^^  tritt.     Deutet    man  nämlich 

v.>   ^inkrkoordinaten  in  einer  (a,  &)-Ebene,  so  ist  ein  charakteristischer 

>^-*..  .M    «lutucti  d&^  riumliche  Bild  eines  L.  E.  der  Ebene;  denn  eine  ein- 

*»    n    :A*ii:un:ir  i^^igt.   dass   zwei   sich   in  einem  Punkte  (a,  5)  berührende 

*  ^-.^t^ii  ^    K  '» '    -  0,  «j  (rt,  6)  ==  0  zwei  allgemeinen  Integralfiftchen  von  10) 

>:•-<  ifu,    die    sich    längs   der  Charakteristik  12)   berühren,    das   heisst 

...i      '  ait«i5>u:«LtV?a  gemein  haben. 

>^     i«tt;vc    tuan  anderseits  die  Gesamtheit  der  Integralflächen  von  10) 
,.iv    w:^**»iwio,  aber  besünmit  gewählte  (^,^)-Ebene,    so   wird  da- 
.%4>«.'uu    ier  ;^'*.  ^V Ebene  und  der  (§,  ^)- Ebene  eine  Beziehung  fest- 
^t>    IK'^iehansr  erweist  sich  als  eine  B. T. 

IC    uits   versagen,   auf  die   weiteren  Ausführungen   in  dieser 
^o    dan  Existenzbeweis   für   die  Integrale    einer   analytischen 
't^i'ier  die  wichtige  Bolle,  welche  die  „Involutionsbeziehnng* 
;.ci«.oungen  10\  spielt  —  einzugehen,  weisen  wir  noch  kun 
N.^i.'^'«^*^    bin>    die  —  in    Analogie    mit    den    bekannten    Er 
»^4   iea  ^wC^hnlichen  Differentialgleichungen  —  von  dem  Vor 
.a    ii«>  Keuatnis  einer  oder  mehrerer   infinitesimalen  Punkt 
..*,-,     i^''    '^^^   Gleichung    10)   gestattet,   für   ihre  Integration 
.^.3^   l  *tief:»uchangen    sollen   im    zweiten  Bande  systematischer 
..  .^a  werden.    Desgleichen  möchten  wir  die  Geometer  noch 
k>    cv^Le  Kapitel  aufinerksam  machen,   in   dem   eine  Reihe 

, ^  '*^i>Ioiue  analytisch,  aber  unter  wesentlicher  Verwendung 

■    *t4.    ^(«'iOtiit  wird.     Es    handelt   sich   um  die  Bestimmung 

^.^    *0\    dur^^tt    Charakteristiken    auf   allen*  Integralfiächen 

».  ^*«i^v"^ULrv«n>   oder  Erümmungslinien,   oder  geodätische 

.^     >:.ii«i;    ferner   die,    deren  Integralflächen  zu  Normalen 

.»    ;«<^b<^a<»Q  Linienkomplexes   haben,   sowie  die,  deren 

^       n>.v;\ut^''he    Linien    enthalten,    die    einem  vorgelegten 

.>«;.    Mit  Ausnahme  des  dritten  werden  diese  Probleme 

tt«  di'tu  Leser  eine  Vorstellung  nicht  nur  von  der 
w!^  rudern  auch  von  den  Gedankengängen  selbst 


V«      «.Ik 


V**  •» 


Rezensionen.  135 

die  es  beherrsclien,  zu  yerschaffen  —  ein  Versuch,  der  allerdings  nur  dann 
erspriesslich  wirken  kann,  wenn  er  zn  wirklichem  Stadinm  des  auch 
stilistisch  gut  geschriebenen  und  mit  schönen  Zeichnangezi  illastrierten  Baches 
anregt  —  so  seien  nns  noch  einige  zusätzliche  Schlussbemerkungen  gestattet, 
Herr  E.  Study  hat  bereits  in  den  Göttinger  Anzeigen  Ton  1897,  8. 436 — 445 
eine  Beihe  von  Einwänden  eriioben,  die  wir  im  ganzen  für  gerechtfertigt 
halten.  Dahin  gehört  einmal,  dass  es  Lie  verschmäht,'  beim  L.  £.  (und 
entsprechend  beim  F.  E.)  die  beiden  Richtungen,  die  positive  und  negative, 
zu  trennen,  was  für  manche  Gattungen  von  Problemen  nicht  nur  opportun^ 
sondern  geradezu  notwendig  erscheint.  Femer  wird  man  Study  beistinmien 
müssen,  wenn  er  das  gefiissentliche  Vermeiden  der  homogenen  Koordinaten, 
oder  allgemeiner  gesprochen,  den  öfteren  Mangel  zweckmässiger  Koordinaten- 
systeme missbilligt. 

Wir  mögen  in  letzterer  Hinsicht  etwa  die  fundamentalen,  auf  ge- 
wöhnliche rechtwinklige. Punktkoo^rdinaten  bezogepen  Gleichungen  7)  heraus- 
greifen. Trotz  ihres  scheinbar  einfachen  Aussehens  wird  kaum  jemand  im 
stände  sein,  bei  ihrem  Anblick  den  reichen,  in  ihnen  verborgenen  Ge- 
dankeninhalt auch  nur  zu  ahnen,  dessen  allmähliche  Enthüllung  denn  auch 
wie  eine  Beihe  von  Überraschungen  wirkt.  Bei  Anwendung  von  (über- 
zahligen) Kugelkoordinaten  würden  nicht  nur  die  Gleichungen  selbst,  sondern 
auch  die  Bechnung,  die  zu  ihnen  führt,  wesentlich  durchsichtiger  werden. 
Andererseits  können  wir  es  sehr  wohl  verstehen,  aus  welchen  Gründen 
Herr  Lie  auf  derartige  formale  Verschönerungen  seines  Apparats  kein 
Gewicht  gelegt  hat.  Die  ganze  Bichtung  seiner  Untersuchungen  kann 
unseres  Erachtens  in  zwei  Stichworten  charakterisiert  werden.  Einmal  liegen 
die  grossen  Fortschritte,  die  er  erzielt  hat,  in  der  geeigneten  logischen 
Zusammenfassung  scheinbar  diskreter  Begriffe  zu  höheren  Einheiten,  wie 
er  z.B.  der  Begriff  des  Elementvereines  in  Ebene,  Baum  (und  höheren 
Bäumen)  ist. 

Herr  Lie  hat  bei  seiner  Auswahl,  imi  mit  Schopenhauer  zu  reden, 
den  beiden  Hauptprinzipien  der  Homogenität  und  der  Spezifikation  gleich- 
massig  Bechnung  getragen,  das  heisst,  in  populärer  Sprechweise,  seine 
Begriffe  sind  weder  zu  eng,  noch  zu  weit.  Dadurch  hat  er  es  eben  er- 
möglicht, viele  Fälle,  die  früher  als  „Ausnahmefälle^^  beiseite  standen 
oder  gar  störend  wirkten,  einem  grösseren  Hauptfall  anzugliedern. 

Von  nicht  geringerer  Wichtigkeit  ist  für  die  sehr  umfassende  Gattung 
seiner  Probleme  das  analytisch -geometrische  Prinzip  der  Abbildung,  in 
dessen  Ausübung  er  unerschöpflich  ist.  Die  Kunst  dieser  Abbildung  be- 
steht geradezu  darin,  Erscheinungen,  die  auf  einem  ersten  Gebiet  schwer  zu 
entwirren  sind,  durch  Übertragung  auf  ein  anderes  Gebiet  zu  selbstver- 
ständlichen zu  machen. 

Man  wird  wohl  aber  nicht  fehl  gehen,  wenn  man  annimmt,  dass  eine 
gesunde  Weiterentwickelung  der  Gesamt -Mathematik  gerade  wesentlich  an 
jene  beiden  Prinzipien  gebunden  sein  wird,  da  sie  ein  Auseinanderfallen 
des  Ganzen  in  eine  unübersehbare  Beihe  von  Teilen  verhüten. 


18S  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Ab  tetie  Fordenomg  wird  allerdingrs  die  schon  oben  bertihrte  binsa- 
treten  misMD,  dass  jede  Beziehung  zwischen  mathematiachen  GhrCssen  auch 
eitte  ihm  adäquate  Fonn  aniunehmen  hat;  man  wird  immer  wieder  darauf 
nritettoiiUBeB  mHasen,  mit  Plücker  za  reden,  in  den  Gleichungen  (und 
«war  nicht  bloas  den  geometrischen)  unmittelbar  zu  lesen:  zu  dem  Behuf 
solien  aie  fireüich  ^leabar^'  sein.  Das  bedingt  dann  wieder,  dass  die 
blosse  Bechauiig  überall  auf  das  denkbarste  Minimum  zu  reduzieren  ist. 

Was  bei  einem  derartigen  üntersuchungsprogramm  in  jedem  Einzel- 
hU  mit  dem  Beiwort  „neu"  zu  belegen  ist,  wird  stets  Sache  der  subjektiTen 
Metttung  bleibea.  In  diesem  Sinne  sind  wir  der  Überzeugung,  dass  gerade 
der  TOiriiegeade  Band  —  mögen  auch  manche  Faohgenossen  in  ihm  nichts 
weeentlieh  aeues  tu  finden  meinen  —  fruchtbar  wirken  wird. 

W.  Fb.  Meyer. 

Kinfthmn^  in  ü^  Theorie  der  analytisclieii  Funktionen  einer  kompleien 

VerSl4ef  liehen.    Von  H.  Burkhardt.    Leipzig  1897.   Veit  &  Comp. 

Ua^   in    der  Überschrift   genannte  Werk   zerfällt   in   sechs  Abschnitte 

uu4  s^tellt    sich    als  Aufgabe,    den  Studenten   gleichzeitig   den  Zugang  lor 

'^iciuä^au^hea  und  Weierstrassschen  Fonktionentheorie  zu  eröffnen,  wobei 

cuovU  dit»  Uiemann sehen  geometrischen  Vorstellongsformen  in  den  Vorder- 

^luiivi  kC^dtelit  sind. 

0«i*  ar^te  Abschnitt  besch&fdgt  sich  mit  der  Theorie  der  komplexen 
i.i.ou.  l>i^  Lt^hre  von  den  gebrochenen  und  negativen  Zahlen  wird  dabei 
.^.^'>i>(:  als^  bekannt  vorausgesetzt,  die  komplexen  Zahlen  werden  sodann 
^>  \uu<  u^»4uu^  eingeführt,  ihre  Eechnungsoperationen  angegeben  und 
•  s.  .  w,ii»<b  i^^eutet 

'S- 4  '.v^oite  Abschnitt  behandelt  die  rationalen  Funktionen  einer 
.  v.u  \  etiUiUerlichen  und  die  durch  sie  vermittelten  konformen  Ab- 
^*  .u     K;^  wird  lonftohst  der  Begriff  der  konstanten  und  der  verSnder- 

^  «ex^u  v.u*Osse  definiert  und  daran  sofort  derjenige  der  rationalen 

.  .     ^     « Ki    kom|>leien    Veränderlichen    angeknüpft.      Nennen  wir  die 

z'-f(z) 

.  u.^   ;«r  ;  Kbene  auf  die  /  Ebene    dar,    oder,    wenn   man  die 

u  sler^^lben  £bene    und  unter  Zugrundelegung  desselben 

..:       «v^««  <^iU#  Transformation   der  Ebene    ia    sich.     Die  hierbei 

<...  uuit^^u    werden    bei    einer   Beihe    von  Transformationen 

»o*  ^ud  es  im  wesentlichen  die  Transformationen: 


k  % 


'  -    ^  j—i  (mit  ihren  verschiedenen  SpezialföUen), 


+ 


1 


^•MÄ^a  wird  nicht  nur  in  der  Ebene,  sondern  aach 


Rezeneionen.  Ig7 

Sodann  folgen  einige  wenige  allgemeine  Sätze  über  ganze  und  ge- 
brochene rationale  Funktionen.  Es  ist  weniger  der  Zweck  dieses  Abschnittes, 
die  mannigfaltigen  bei  den  behandelten  Funktionen  anfbretenden  Abbildnngs- 
anfgaben  genauer  zu  studieren,  als  an  der  Hand  derselben  einige  Funda- 
mentalbegriffe der  modernen  Funktionentheorie  in  einfacher  Weise  ein- 
zofQhren.  Es  sind  dieses  die  Begriffe  einer  Gruppe  von  Transformationen, 
der  Invariante  einer  Gruppe,  der  automorphen  Funktionen,  des  Funda- 
mentalbereiches einer  Funktion  u.  s.  f.  Ich  möchte  diese  überaus  einfache 
nnd  anschauliche  Art  der  Einführung  in  die  Funktionentheorie  als  eine 
äusserst  glückliche  bezeichnen.  Ein  jeder,  der  sich  mit  Funktionentheorie 
beschäftigt,  mag  er  im  übrigen  der  Weierstrassschen  oder  der  Bie- 
m annseben  Anschauungsweise  folgen,  wird  aus  ihr  mannigfachen  Gewinn 
erzielen. 

Weniger  einverstanden  kann  Referent  sich  mit  dem  dritten  Abschnitt 
erklären.  Derselbe  enthält  Definitionen  und  Sätze  aus  der  Theorie  der 
reellen  Veränderlichen  und  ihrer  Funktionen  inklusive  der  Sätze  über 
Differentialquotienten,  bestimmte'  einfache  und  Doppelintegrale.  Es  ist  nicht 
die  Absicht  des  Verfassers,  diese  Sätze  zu  entwickeln,  vielmehr  begnügt  er 
sich  damit,  sie  anzuführen  und  verweist  im  übrigen  auf  die  wichtigsten 
Werke  über  die  Theorie  der  Funktionen  einer  Veränderlichen.  Die  Bedenken, 
die  sich  gegen  eine  solche  Darstellung  erheben  lassen,  sind  die  folgenden. 
Erstens  erscheint  es  nicht  logisch,  diese  Theorie  erst  im  dritten  Abschnitt 
aufzustellen,  da  in  den  früheren  Abschnitten  teilweise  schon  von  ihnen 
Gebrauch  gemacht  ist.  So  z.  B.  werden  an  dieser  Stelle  erst  die  irrationalen 
Zahlen  eingeführt,  obgleich  mit  ihnen  thatsächlich  schon  beständig  operiert 
worden  ist;  femer  wird  definiert,  was  unter  einer  reellen  veränderlichen 
Grösse  x  zu  verstehen  ist,  während  doch  schon  im  zweiten  Abschnitt  der 
kompliziertere  Begriff  der  komplexen  Veränderlichen  eingeführt  wird.  Ebenso 
wird  jetzt  erst  der  Begriff  der  Stetigkeit  erläutert,  trotzdem  schon  zuvor 
mehrfach  von  dem  stetigen  Verhalten  bestimmter  Funktionen  gesprochen 
worden  ist.  Wenn  es  daher  überhaupt  notwendig  erscheint,  die  angegebenen 
Satze  zusammenzustellen,  so  dürfte  es  besser  am  Beginn  des  Werkes  ge- 
schehen. Es  kommt  aber  ein  zweiter  schwerwiegender  Einwand  hinzu. 
Der  dritte  Abschnitt  umfasst  nur  wenige  Seiten  —  das  Verständnis  des- 
selben erfordert  aber  bei  der  von  dem  Herrn  Verfasser  mit  Recht  erstrebten 
lud  geforderten  Strenge  ein  sehr  eingehendes  Studium  der  Theorie  der 
reellen  Funktionen.  Die  letztere  kann  aber  als  einfach  nicht  mehr  be- 
zeichnet werden,  sodass  der  elementare  Charakter  des  Burkhar  dt  sehen 
Buches  geradezu  illusorisch  wird. 

Um  hier  nur  einen  Punkt  schärfer  hervorzuheben:  die  Hauptschwierig- 
keit bei  der  Einführung  in  die  Cauchy-Eiemannsche  Funktionentheorie 
besteht  erfahrungsgemäss  in  einer  klaren  und  strengen  Begründung  des 
Cauchyschen  Integralsatzes.  Wird  nun,  wie  es  in  dem  vorliegenden 
Boche  geschieht,  der  Satz  über  die  Reduktion  eines  gewissen  Doppel- 
integrals  auf  ein  Linienintegral  einfach   als  bekannt  vorausgesetzt,   so  ist 


Igg  Historisch -liiterarische  Abteilung. 

damit  jene  Schwierigkeit  in  Wahrheit  nicht  überwunden,  sondern  lediglich 
übergangen  —  der  Student  muss  dann  eben  zusehen,  wo  er  die  nötige  Be- 
lehrong  findet.'^  Die  gewöhnlichen  Yorlesongen  nnd  Lehrbücher  über 
Differential-  und  Integralrechnung  werden  hierbei  nicht  genfigen.  Aus 
diesem  Grunde  will  es  mir  sehr  bedenklich  erscheinen,  dergleichen  Dinge 
in  einem  für  Anfänger  bestimmten  Elementarbuche  über  Fnnktionentiieone 
ohne  weiteres  als  bekannt  vorauszusetzen. 

Der  vierte  Abschnitt  beschäftigt  sich  mit  den  eindeutigen  analytischen 
Funktionen  einer  komplexen  Veränderlichen.  Der  Herr  Verfasser  knüpft 
von  neuem  an  die  Theorie  der  rationalen  Funktionen  an,  aber  jetzt  nach 
anderer  Richtung,  wie  im  dritten  Abschnitt.  Er  entwickelt  den  Begrif 
der  Stetigkeit  und  den  Begriff  des  j)ifferentialquotienten  einer  rationalen 
Funktion  komplexen  Argumentes  und  zeigt  dann  vor  allem,  dass  die  hin- 
reichenden und  notwendigen  Bedingungen  dafür,  dass  ein  Ausdruck  von 
der  Form  X^tY^  in  welchem  X  und  Y  rationale  Funktionen  von  x  und  y 
bedeuten,  auf  die  Form  einer  rationalen  Funktion  von  z  =^  x  +  iy  gebracht 
werden  kann,  folgendermaßen  lauten:  X  imd  Y  müssen  den  partiellen 
Differentialgleichungen  Genüge  leisten: 

dy  dx' 

ar^     d_x 

dy  dx' 

Diese  Eigenschaft  giebt  dem  Herrn  Verfasser  Anlass  zu  der  bekannten 
Definition  einer  in  einem  Bereiche  regulären  eindeutigen  Funktion  des  kom- 
plexen Arguments  x  +  iy.  Mit  der  so  gewonnenen  Definition  beginnt  die 
Einführung  einer  neuen  allgemeineren  Metbode  für  den  weiteren  Aufbau 
der  Funktionentheorie.  Bisher  war  der  Herr  Verfasser  von  einfacheren  zn 
schwierigeren  Funktionen  übergegangen,  deren  analytische  Form  von  vom- 
herein  feststand.  Von  jetzt  an  knüpft  er  nicht  mehr  an  irgendwelche  ana- 
lytische Ausdrucksformen  an,  sondern  im  Gauchy-Biemannsohen  Sinne 
an  bestimmte  Eigenschafben  der  regulären  Funktionen.  Hierbei  geht  er  in 
der  üblichen  Weise  vor.  Er  definiert  zunächst  das  Integral  einer  regulären 
Funktion  komplexen  Argumentes  und  entwickelt  im  Anschluss  daran  den 
bekanntea  0 au chy sehen  Satz,  mit  dessen  Hilfe  der  Wert,  den  eine  regn- 
läi«  Funktion  des  komplexen  Argumentes  z  in  irgend  einem  Punkte  i  eines 
B«ra.che8  S  besitzt,  ausgedrückt  wird  durch  die  Werte  derselben  Funktion 
wt  dtttt  Bande  dieses  Bereiches.  Dieser  Cauchysche  Satz  dürfte  wohl 
:x:  Ü9  maer   grossen  Allgemeinheit  und  Fruchtbarkeit  als  der  wichtigste 


iäin'Ä  bleibt  es  dahingestellt,  ob  es  bei  der  Einfahrung  in  die  Funktionen- 
.— •-  '..^rstiupt  iw^ckmäfisig  erscheint,  den  C  au  chy  sehen  Lehrsatz  mit  Hilfe 
m~  -»TjminwicTÄlßatow  zu  beweisen.  Man  vergleiche  über  diesen  Pnnkt  die 
^    __^    "^  i>isir$h4in  über  den  C  au  chy  sehen  Integralsatz  in  den  Möncliner 

^oa  \am  Jahre  1896. 


Rezensionen.  139 

des  ganzen  Baches  bezeichnet  worden  —  er  ist  es,  welcher  der  in  dem- 
selben vertretenen  Auffassung  der  Funktionentheorie  das  charakteristische 
Gepräge  giebt.  Gerade  aus  diesem  Omnde  erschien  es  mir  zweckmässig, 
auf  die  unzulängliche  Erörterung  seiner  eigentlichen  Grundlagen  innerhalb 
des  Burkhardtschen  Buches  oben  ganz  ausdrücklich  hinzuweisen. 

Von  diesem  G au chy sehen  Lehrsatz  werden  in  dem  vierten  Abschnitt 
drei  Anwendungen  gemacht. 

Erstens  wird  gezeigt,  dass,  wenn  eine  Funktion  komplexen  Argumentes 
in  einem  Kreise  um  den  Nullpunkt  regulär  ist,  sie  sich  für  alle  Punkte  ( 
im   Innern    desselben    in    eine  gewöhnliche    Potenzreihe    von  ^  entwickeln 

ISsst. 

Zweitens  resultiert  daraus  der  Laurentsche  Satz  betreffend  die  Ent- 
wickelung  einer  Funktion,  die  in  einem  von  zwei  konzentrischen  Ejreisen 
um  den  Nullpunkt  begrenzten  Ringe  regulär  ist. 

Drittens  wird  der  Satz  bewiesen,  dass  die  Summe  einer  in  einem 
zusammenhängenden  Bereiche  gleichmSssig  konvergenten  Reihe  regulärer 
Funktionen  selbst  eine  innerhalb  dieses  Bereiches  reguläre  Funktion 
Torstellt. 

Der  erste  Satz  fClhrt  naturgemäss  zu  derWeierstrassschen  Funktionen- 
lehre zurück,  bei  welcher  die  Potenzreihe  das  alleinige  Fundament  bildet. 
Die  einfachsten  Eigenschaften  der  Potenzreihen  werden  aufgestellt  und  die 
charakteristischen  Eigenschaften  der  rationalen  und  der  ganzen  transcen- 
denten  Funktionen  entwickelt.  Von  letzteren  werden  die  Exponential,  die 
Sinns-  und  die  Cosinusfunktion  gesondert  betrachtet.  Dabei  zeigt  es  sich, 
dass  der  Begriff  der  regulären  Funktion  noch  nicht  vollständig  genügt.  Der 
Fnnktionsbegriff  muss  dahin  erweitert  werden,  dass  in  dem  näher  zu  unter- 
suchenden Bereiche  einzelne  Ausnahmepxmkte  zugelassen  werden,  in  welchen 
entweder  überhaupt  kein  bestimmter  Funktionswert  vorhanden  ist  oder  der 
betreffende  Funktionswert  in  seiner  Beziehung  zu  den  Nachbarwerten 
nicht  mehr  alle  Bedingungen  erfüllt.  Hierbei  kommt  der  Herr  Verfasser 
zn  der  Definition  des  Poles  einer  Funktion  /'(^),  führt  femer  bei  der 
ganzen  transcendenten  Funktion  den  ünendlichkeitspunkt  als  wesentlich 
singnlären  Punkt  ein  —  wenn  auch  an  dieser  Stelle  die  letztere  Bezeich- 
nnngsweise  nicht  gebraucht  wird. 

Die  Laurentsche  Reihe  giebt  Anlass  zu  der  Entwickelung  der 
Fourierschen  Reihe,  der  dritte  Satz  endlich  über  die  Summen  unendlich 
vieler  regulärer  Funktionen  führt  zu  dem  bekannten  Mittag-Le ff  1er sehen 
Theorem  über  die  Entwickelung  einer  Funktion  mit  unendlich  vielen  Polen 
iii  der  Form  einer  unendlichen  Partialbruchreihe.  Dasselbe  wird  unter  ge- 
wissen beschränkenden  Annahmen  bewiesen  und  als  Beispiel  die  Funktion- 
cotang  e  betrachtet. 

Schliesslich  ist  zu  bemerken,  dass  sich  auch  in  diesem  Abschnitt  einige 
Untersuchungen  über  konforme  Abbildungen  vorfinden. 

Der  Inhalt  dieses  Abschnittes  muss  als  ein  reicher  bezeichnet  werden, 
die  Darstellung  ist,  wie  durchweg,  eine  elegante. 


J90  Historisch -litterarische  Abteilang. 

Der  fünfte  Abschnitt  beschäftigt  sich  mit  den  mehrwertigen  ana- 
lytischen Funktionen  einer  komplexen  Veränderlichen.  Der  Herr  Verfasser 
bemerkt  in  der  Einleitong,  dass  die  von  ihm  getroffene  Anordnung  des 
Stoffes  vielleicht  nur  geteilter  Zustimmung  begegnen  wird.  Er  betrachtet 
nämlich  zuerst  zwei  unendlich  vieldeutige  Funktionen,  den  Arcus  einer 
komplexen  Grösse  und  den  Logarithmus,  deren  Bie  mann  sehe  Flächen  kon- 
struiert werden.     Die  hierbei  gewonnenen  Sätze  werden  zur  Diskussion  von 

y»^  der  Funktionen,  die  auf  der  Biemannschen  Fläche  von  Y^  eindeutig 

sind,  der  Funktion  yz  und  einzelner  anderer  mehrdeutiger  algebraischer 
Funktionen  gebraucht.  Die  Diskussion  der  allgemeinen  algebraischen 
Funktionen  fehlt.  Mit  dem  letzteren  Punkte  kann  Beferent  sich  durchaus 
einverstanden  erklären,    dagegen    erscheint   ihm    der  Aufbau  einer  Theorie 

der  Funktion  yexmä  yz  auf  der  Theorie  des  Arcus  und  des  Logarithmus 
denn  doch  zu  weit  hergeholt.  Zwar  wird  man  gut  thun,  von  der  trigono- 
metrischen Form  der  komplexen  Zahlen  Gebrauch  zu  machen,  das  könnte 
aber  doch  geschehen,  ohne  zuvor  so  tief  in  die  Theorie  des  Arcus  und  des 
Logarithmus  einzudringen,  als  der  Herr  Verfasser  es  thut. 

Noch  ein  Punkt  sei  aus  diesem  Abschnitt  herausgegriffen.  Der  Herr 
Verfasser  definiert  den  allgemeinen  Logarithmus  einer  komplexen  Grösse 
durch  das  Integral: 


ß 


dS_ 


die  Theorie  des  gewöhnlichen  reellen  Logarithmus  setzt  er  aber  hierbei 
alu  bekannt  voraus.  Beferent  würde  es  fOr  methodisch  richtiger  halten, 
4II11  Definition  und  die  Eigenschaften  des  allgemeinen  Logarithmus  in  der 
Wi>ise  festzustellen,  dass  die  Definition  und  die  Eigenschaften  des  reellen 
fiaillrlichen  Logarithmus  der  reellen  positiven  Zahlen  sich  als  spezielle 
KülU  daraus  ergeben. 

liu  sechsten  Abschnitt,  welcher  als  „Allgemeine  Funktionentheorie ^' 
hit'/.ni()hnnt  ist,  wird  der  allgemeine  Begriff  der  analytischen  Funktion  einer 
komplexen  Veränderlichen  entwickelt.  Der  Herr  Verfasser  denkt  sich  zu- 
lUlolmt  in  einem  beliebigen  Bereiche  S  eine  reguläre  (d.h.  Gauchj-Rie- 
mii fi II MC'ho)  Funktion  f(x)  als  ursprünglich  vorgelegtes  „ Funktionselement "^ 
ir|(endwie  definiert  und  daraus  mit  Hilfe  von  Tajlorschen  Beihenent- 
witikolungen,  deren  Eonvergenzbezirke  über  6'  hinausreichen,  neue„Funküons- 
üluiimiito**  abgeleitet.  Die  Gesamtheit  der  durch  solche  „analytische  Fort- 
Hui^ung**  erreichbaren  Elemente  konstituiert  dann  eine  „analytische  Funktion**, 
i'ib  iUuitti  also  hier  eine  Vermischung  der  Cauchy-Biemannschen  und  der 
WtiiürHtrasB sehen  Definitionsform  statt,  auf  die  der  Herr  Verfasser  augen- 
bcliiiitilii;))  grosses  Gewicht  legt,  die  mir  indessen  nicht  glücklich  durch> 
|/i:ftilirt  zu  sein  scheint.  Vor  allem  bemerke  man  folgendes:  während  bei 
Wiiitirutraas  immer  nur  eine  einzelne  Potenzreihe  mit  bestimmten  Eoeffi- 


Rezensionen.  191 

denten  als  Foxiktionseienient  bezeichnet  wird,  verliert  dieser  Begriff  jede 
feste  Bedeutung,  wenn,  wie  es  hier  geschieht,  die  genannte  für  irgend 
dnen  Bereich  S  definierte  Funktion  f(/)  als  Funktionselement  eingeführt 
rird.  Denn  mit  demselben  Bechte  müsste  dann  auch  f(js)  mit  einer  Reihe 
'on  Fortsetzungen  genonunen  als  ein  einziges  Funktionselement  gelten, 
der  man  müsste  etwa  die  Festsetzung  treffen,  dass  ein  neues  Funktions* 
lement  beginnt,  sobald  die  Variable  e  den  ursprünglichen  Definitionsbereich 
^erlasst.  In  diesem  Falle  würde  aber  der  Begriff  des  Funktionselementes 
^on  der  znf&lligen  Wahl  des  Bereiches  S  abhängen,  und  es  entsteht  ferner  die 
7nzutraglichkeit,  dass  eine  und  dieselbe  Potenzreihe,  welche  innerhalb  S  mit 
^(/)  übereinstimmt  und  auch  noch  in  einem  gewissen  ausserhalb  liegenden 
Sereiche  8'  konyergiert,  nunmehr  zwei  verschiedene  Funktionselemente  vor- 
teilen würde.  Dergleichen  Unebenheiten  hätten  durch  ein  konsequenteres 
festhalten  der  Weierstrass sehen  Definitionen  und  Entwickelungen  ver- 
nieden  werden  können.  Ohne  zu  tief  hierauf  einzugehen,  möge  folgendes 
>emerkt  werden.  Auch  bei  Herrn  Burkhardt  tritt  die  Potenzreihe,  welche 
>ei  der  Gauchy-Riemannschen  Betrachtongsweise  lediglich  eine  sekun- 
lare  Bolle  spielt,  als  wichtiges,  ja  eigentlich  alles  beherrschendes  Moment, 
Lhnlicli  wie  bei  Weierstrass  in  den  Vordergrund.  Wenn  das  aber  ge- 
Mihieht,  so  wäre  ein  tieferes  Eingehen  auf  deren  Eigenschaften  erforderlich 
gewesen,  als  es  thatsächlich  geschieht.  Insbesondere  wird  der  fundamentale 
Satz  über  den  wahren  Eonvergenzbezirk  einer  Potenzreihe,  durch  welchen 
las  Atiitreten  singulärer  Stellen  und  deren  wahre  Natur  erst  verständlich 
inrd,  schwer  vermisst.  Was  sich  hierüber  in  dem  Burkhardt  sehen  Buche 
ladet,  scheint  doch  gar  zu  unzulänglich.  Das  gleiche  gilt  von  denjenigen 
^merknngen,  welche  sich  auf  analytische  Funktionen  analytischer  Funktionen 
>eziehen. 

Alles  in  allem  muss  man  sagen,  dass  von  dem  elementaren  Charakter 
ind  der  lichtvollen  Klarheit  der  Weierstrasssohen  Methode  leider  viel  zu 
v^enig  in  den  vorliegenden  Abschnitt  übergegangen  ist.  Wesentlich  besser 
graten  sind  die  nachfolgenden  funktionentheoretisoh- geometrischen  Be- 
Taefatungen  (Spiegelung,  konforme  Abbildung),  mit  welchen  das  Buch 
Krhliesat:  hier  zeigt  sich  die  knappe  nnd  elegante  DarsteUungsweise  des 
lerm  Verfassers  wieder  von  ihrer  besten  Seite.  j^  Krause 


Lbels  theorem  and  the  allied  theory  including  the  theory  of  the  tbeta 

functions  by  H.  F.  Baker.  Cambridge  1897.  At  the  üniversity  Press. 

Das  in  der  Überschrift  genannte  Werk  ist  mit  sehr  grosser  Sach-  und 
itteratnrk^uitnis  geschrieben  und  enthält  eine  Übersicht  über  die  wich- 
igsten Teile  aus  der  Theorie  der  Abelscben  Integrale  und  ihrer  Umkehr- 
onktionen.  Es  zerfällt  in  zwei  Teile,  von  denen  der  erste  in  acht 
Kapiteln  die  Theorie  der  Integrale,  der  zweite  in  zwölf  Kapiteln  die  Theorie 
ler  Umkehrfunktionen  enthält.    Die  Lektüre  des  Werkes  wird  einigermaßen 


192  Historisch -litterarische  Abieilnng. 

durch   den  umstand  erschwert ,  dass  der  Herr  Verfasser  das  Forsythsche 
Lehrbuch  über  Fnnktionentheorie  als  bekannt  voraussetzt. 

Im  ersten  Teile  werden,  am  wenigstens  eine  kurze  Übersicht  über 
den  reichhaltigen  Inhalt  zu  geben,  die  Ab e Ischen  Integrale  der  drei  Te^ 
schiedenen  Arten  definiert  und  mit  einander  Tergüchen.  Bei  der  Betrachtncf 
der  rationalen  Funktionen  zweier  veränderlicher  Grössen,  zwischen  dene: 
eine  algebraische  Gleichung  besteht,  ergiebt  sich  der  Begriff  des  Geschlecht«^ 
der  Weierstrasssche  Lückensatz  und  der  Biemann-Bochsche  Satz.  Dit 
Weiterführung  der  Theorie  ergiebt  eine  Vereinfachung  in  der  Form  d« 
Abe Ischen  Integrale.  Es  werden  dazu  die  Fundamentalsjsteme  der  deü* 
nierten  Funktionen  eingeführt,  ihre  Eigenschaften  untersucht  und  An- 
wendungen auf  die  Darstellung  der  Integrale  der  verschiedenen  Arten  g«- 
macht.  Im  fünften  Kapitel  werden  einige  besondere  Fälle  der  Biemanc* 
sehen  Fläche,  insbesondere  der  hyperelliptische  in  Betracht  gezogen.  Das 
sechste  Kapitel  bringt  geometrische  Anwendungen.  Im  siebenten  Kapitel 
wird  die  Theorie  von  Funktionen  entwickelt,  welche  alle  rationale 
l<\inktionen  auf  der  Bie  mann  sehen  Fläche  darzustellen  erlauben,  danebc 
finden  sich  Betrachtungen  über  die  Vertausohung  von  Argument  und  Para- 
meter und  Periodenrelationen.  Das  folgende  Kapitel  hat  das  Abel  seh« 
Theorem  zum  Gegenstand.  Dasselbe  wird  auf  mehrfachem  Wege  bewiesen 
und  geometrisch  gedeutet.  Hiermit  schliesst  der  erstQ  grosse  Teil  dd 
Werkes.  Es  folgt  nunmehr  im  neunten  Kapitel  das  allgemeine  Umkek 
problem.  Die  Auflösbarkeit  wird  nachgewiesen  und  dazu  die  allgemeine 
Thetafunktion  eingeführt,  deren  charakteristische  Eigenschaften  Studien 
werden,  insbesondere  werden  auch  die  Nullstellen  eingehend  untersacht 
Die  bei  der  ümkehrung  auftretenden  Beziehungen  werden  in  einigen  F&lln 
noch  eingehender  diskutiert,  so  vor  allem  in  dem  hyperelliptischen  F&Ue 
Hodann  wendet  der  Herr  Verfasser  sich  zu  einer  sorgfältigen  von  den  früheräi 
Htitrachtungen  unabhängigen  Theorie  der  allgemeinen  Thetafnnktionen.  l\ 
werden  dazu  die  verschiedenen  Arten  von  Additionstheoremen,  daroste 
rlia  von  Frobenius  und  in  neuester  Zeit  von  Prym  und  Krazer  gegebeciii 
ausführlich  entwickelt  und  zur  Aufstellung  von  Thetarelationen  verwandt 
Das  allgemeine  Transformationsproblem  wird  aufgestellt  und  die  allgemeinea 
l^irmeln  abgeleitet,  hierbei  wird  auch  der  Fall  kurz  berührt,  dass  äA 
Transformationszahlen  gebrochene  Zahlen  sind.  Das  spezielle  Tiac^ 
forniationsproblem,  sowie  die  mannigfachen  Differentialgleichungen  und  Ent- 
Wickelungen  der  Thetafnnktionen  respektive  Thetaquotienten  werden  nicht 
in  lieLracht  gezogen.  Eine  Theorie  der  komplexen  Multiplikation  n:i 
üiiiigti  Bemerkungen  über  die  Reduktion  höherer  auf  niedere  Integre« 
üchlieHHt  das  inhaltreiche  Werk,  dessen  Lektüre  einem  jeden  au&  warsr.e 
empfohlen  werden  kann,  der  sich  mit  der  allgemeinen  Theorie  der  Abfi^ 
Hc-hen  Integrale  und  Funktionen  beschäftigt.  M.Krause, 


Rezensionen.  J98 

rheorie   des  fonctiMs  algibriqnes  de  denx  yariaUes  independantes. 

Par  Emile  Pioard,  Membre  de  Tlnstitat,  Professeur  a  rüniyersiÜ 
de  Paris,  et  GEORass  Simakt,  Oapitaine  de  Fregate,  Bepititenr  a 
l'Ecole  Polyteohniqne.  Tome  I.  VI,  246  p.  8^.  Paris  1897. 
Gauthier-Villars  et  fils. 

Dieses  Werk  stellt  den  ersten  Versuch  dar,  eine  Theorie,  welche  bisher 
IQ  dem  Dunkel  der  Zeit-  und  Akademieschriften  sich  entwickelt  hat,  in 
{jstematischer  Form  zusammenzufassen  und  einem  weiteren  Leserkreise  vor- 
rafOhren.  Wie  die  Theorie  der  algebraischen  Funktionen  einer  Variablen 
ans  zwei  Quellen,  aus  der  Kurven-  tmd  aus  der  Fanktionenlehre,  entsprungen 
ist,  so  hat  auch  die  vorliegende  höhere  Theorie  doppelten  Ursprung:  einen 
geometrischen  in  deutschen  Arbeiten  von  1868 — 1874  über  die  rationale 
Transformation  algebraischer  Flächen,  einen  transcendenten  in  Arbeiten,  um 
1884,  des  einen  der  beiden  Verfasser  dieses  Buches,  E.  Picard's,  über 
die  Existenzbedingungen  totaler  algebraischer  Differentialausdrücke  auf 
siDgulären  Flächen.  Beide  Unters achungsrichtungen  sind  inzwischen  fort- 
entwickelt worden;  die  erstere  ist  in  neuerer  Zeit  durch  einige  talentvolle 
jüngere  italienische  Mathematiker  in  lebhaften  Fluss  geraten,  die  zweite 
hat  Herr  Picard  selbst  durch  neue  Resultate  bereichert,  besonders  in  einer 
vor  kurzem  gehaltenen  Vorlesung,  aus  welcher  auch  das  Werk  hervor- 
gegangen ist.  Man  könnte  so  fürchten,  dass  die  geometrische  Richtung 
in  der  Darstellung  stark  zurücktreten  möchte.  Indes  sorgen  die  Verfasser 
in  den  beiden  letzten  der  8  Kapitel  des  ersten  Bandes  für  eine  selbständige 
Darlegung  der  Resultate  jener  früheren  Arbeiten,  der  nächste  Band  soll 
auch  über  ihre  Weiterführung  berichten  und  wird  hoffentlich  auch  zur  Aos- 
Mlong  der  grossen  Lücke,  welche  bis  jetzt  die  beiderseitigen  Invarianz- 
betrachtnngen  von  einander  trennte,  beitragen. 

Der  vorliegende  Band  bringt  zunächst  einige  Kapitel  sehr  allgemeiner 
Natnr  über  die  Definition  totaler  m-facher  Integrale  im  n-fach  ausgedehntem 
Räume,  über  die  Riemann-Bettischen  Zusammenhangszahlen  beliebig  aus- 
gedehnter Gebilde,  über  die  Ausdehnung  der  Cauchjschen  Residuentheorie 
anf  Doppelintegrale  und  die  zugehörigen  Periodenverhältnisse  —  zum  grösseren 
Teile  nach  Poincare.  Die  in  den  Kapiteln  IV — VI  gebotenen  Anwendungen 
anf  algebraische  Flächen,  die  Betrachtung  der  zugehörigen  linearen  eyklischen 
Wege  und  einfachen  totalen  Differentialausdrücke  gehören  ganz  Herrn 
Picard  an.  Insbesondere  ist  es  erfreulich,  dass  die  Verfasser  hier  den 
Standpunkt  der  Auflösung  der  Singularitäten  einer  Fläche  durch  Trans- 
formation adoptieren  und  sogar  eine  neue,  verhältnismässig  einfache  Methode 
vorschlagen,  welche  freilich^  trotz  richtiger  Endresultate,  noch  weiterer  Durch- 
arbeitung (siehe  S.  78)  bedarf.  Dass  das  Beispiel  Seite  175  zu  keinem  Integral 
dritter  Gattung  geführt  hat,  liegt  wesentlich  daran,  dass  die  dort  betrachtete 
Fläche  eine  rationale  ist.  Auch  die  beiden  letzten  mehr  geometrischen 
Kapitel  über  Flächen  und  ihre  Doppelintegrale  sind  sehr  übersichtlich  (nur 
die  Bemerkung  über  den  Fall  /' »  0,  Seite  182  und  188,  nicht  zutreffend). 

Hlrt-Utt.  Abt.  d.  ZeiUcbr.  f.  Math.  u.  Phys.  48.  Jahrg.  1898.  6.  Hefl  15 


ffistoiisch- litterarische  Abteilung. 

will  auch  durch  Anwendungen  die  Bedentong  der 
Theorien  ersichtlich  machen.  So  begrilssen  wir  dem 
^-««f'  T.^nc  liis  Itestellimg  —  wie  die  Verfasser  es  aossprechon  —  dei 
^^--!t*Tär'^:;rHi  Scuttics  dar  Wissenschaft  bezüglich  eines  Gebietes,  dessen 
;:•^  Xascremrmg  lieler  Forscher  verdient,  und  zwar,  wie  wii 
.^:i~:^rr.  ai^  fintf  vohLgehingene  Darstellung  einer  an  sich  sehr  schwierigei 

M.  NOETHEB. 

3fe«r  Kftt»-  mi  Kvgelfimktioiieiireilieii.  Von  Dr.  Johasseh 

/u;&<'i.v  r«    Ptoteasor    an    der    Universität    Graz.      Leipzig  1897, 
J.   I.  r-tibimr.    VI  und  60  S. 

iHKfji    v:«r  Druckbogen   umfassenden  Schriftchen    behandelt  Herr 

'-*->^     lU.    ii«    .^rsmJLigvn  der  für  zahlreiche  Anwendungen  innerhalb  dtf 

• :.  t<- •:a;.*:}<*^?a    NacTtroiiCraehtong  so  wichtigen  Fouri  er  sehen  Beihen  ncd 

^- ."»sa-kir-'-i-u-     ^i<»  Darstellungsweise  des  Verfassers  ist  allenthalben» 

),i»^        i::u    i-'ttvctar  ^halten  ^  als  es  die  Schwierigkeiten  des  GregeDStandiä 

— ..>«    tt.  «^üwits.    'Jv-^ndier«  Erwähnung  verdient  die  Behandlung  des  Theorems 

.,      -.     '•-•'^rv'i'  bark«it    einer    auf   der   Eugeloberfläche    willkürlich  g^ 

w^-,.-.  .1     »  -.ra*.:^«!   y^jnkdon  f{9y  tp)  in  eine  nach  Eugelfnnktionen  rweier 

.    .  •  r    •:.:*^r.»:^.t*fQvi«  Beihe.     Hier  ist  es  eine  bekannte  Schwierigkr:! 

.••a<i>:,    Uhjc  F".*ö?atiahheorie,   dass   die   Konvergenz  dieser  Beüe 

. ,  -  . .     ,T:r  \  i^iriakdonenreihe   des  Potentials   einer  Kngelteche  u 

V     .-,\-i    -^•*':'.'^     sciw^r   beweisbar  ist.      Bekanntlich    unterlag  d^rl 

^^  ,..  ^       ,,      *    -  .  :"*tÄ'h#   Beweis   der   Kritik.     Herr  Frischauf  giet 

.•«,   .^    ?  "**  vs54i-T:c  i*«  korrekten  D in i sehen  Beweisganges.   Beispi?> 

.*     V,  *ju-:v  3.    iit    leider  nicht   in  der  Absicht  des  Verfess^^ 

«     .*»<-.     ^  *;<.*a;   sind   uns  die  englischen   Lehrbücher  vielfa-i 

^,  , ,    .  *t  '5-  ,— "t.  An  elementary  treatise  on  Fouriers  series  eto . 

^    *   **  <•  «1   Äfc?  "ToHie^nde  Buch  unter  den  Studierenden  zahl- 

' V     i^-i-xvi R.  Fmcki. 

V.  ^. .    I.  Mtrs  <ir  j^ftn^trie  descriptive  et  de  ghmitnf 

.  ,  t,i>-j%^'-       /v-ij^  viauthier-Villars. 


,^  .>;.u     ;^^  >^>*d^    in   den    einzelnen    mathematischen  I-^ 

V  .V  *..     *  v.v*i    t*«!^   neuere  Lehrbücher   einen    Umfang  - 

>^v  •   x.*^  V   ^vvü  "sdx  dem  Gebrauch  von  selten  der  Studiere 

»^,.^<.  .^.r^i^    ^' *    ias   fÄr   die  darsteUende  Geometrie,::- 

^     .*jK.i  ••  UV»,    wvnn  Lehrbücher  erscheinen,   welche  >■ 

.  :%a    V  ctn:3i;$$e  bei  ihren  Lesern  voraussetzen,  obe 

^    V*     r»    ;u    briciren,   vielmehr  auch    Elementarreri^"«^ 

V;>&>ivk«  gewahren.     Ich  habe  hier  nameci-'" 

^.'•i'Civtr   im   ^i>^9   *^*r  auch   das  vorlierf'-* 


K  y^K 


Bezensionen.  195 

Es  zerfallt  in  die  beiden,  nnr  sehr  lose  zosammenhiSiigenden  Teile,  wie 
sie  der  Titel  znm  Ansdrack  bringt  In  erster  Linie  verfolgte  wohl  der 
Verfasser  mit  der  Heransgabe  des  Lehrbuches  die  Absicht,  seinen  Hörern 
an  der  ecole  des  ponts  et  chanss^es  den  Inhalt  seiner  dort  gehaltenen 
Vorträge  in  exakter  Form  darzubieten. 

Der  erste  Teil  zerfällt  in  die  Kapitel: 

Kotierte  Projektionen,  Axonometrische  Perspektive,  Schattenkonstmk- 
tionen,  Linearperspektive. 

Das  erste  Kapitel  erledigt  den  Gegenstand  in  der  üblichen  Weise,  be- 
sonderes ist  nicht  hervorzuheben. 

Die  Behandlung  der  axonometrischen  Perspektive  weicht  in  ihrem 
Ausgangspunkte  von  der  gewöhnlichen  dadurch  ab,  dass  anfangs  ohne  nähere 
Begründung  nur  die  Vorschrift  erteilt  wird,  die  Koordinaten  eines  dar- 
zustellenden Baumpunktes  nach  drei  in  einer  Bildebene  beliebig  wählbaren 
Richtungen  von  einem  Punkte  aus  aufzutragen  und  dann  durch  SquipoUente 
Strecken  den  Bildpunkt  festzulegen.  Erst  am  Schlüsse  des  Kapitels  wird 
durch  einen  analytischen  Beweis  des  P o hl k eschen  Satzes  die  Identität  der 
Methode  mit  derjenigen  der  schiefen  Projektion  nachgewiesen. 

Das  Vorgetragene  wird  (Kapitel  HI)  für  die  Schattenkonstruktion  ver- 
wertet, indem  der  Schatten  eines  Körpers  auf  eine  Ebene  als  dessen  schiefe 
Projektion  aufgefasst  wird.  Für  eine  bestimmte  Wahl  des  Lichtstrahles  — 
der  üblichen,  bei  der  Grund-  und  Aufriss -Winkel  von  46*^  mit  der  Axe  ein- 
schliessen  — ,  ergeben  sich  dann  Verhältniszahlen,  mit  deren  Hilfe  sich 
häufig  auftretende  Schattenformen  leicht  in  der  jeweiligen  Projektion  ohne 
Heranziehung  der  anderen  konstruieren  lassen.  Als  Beispiel  sei  das  Ver- 
hältnis der  Axen  jener  Ellipse,  welche  eine  Kugel  als  Schatten  auf  die 
Projektionsebene  wirft,  femer  die  Form  des  Schattens  vom  Bande  einer 
Kogelschale  im  Innern  derselben,  angeftlhrt. 

Die  Benutzung  der  zum  Teil  bekannten  Formeln  gestattet  schnelles 
Arbeiten  und  sichert  sehr  genaue  Besultate,  stellt  aber  an  das  Gedächtnis 
des  Zeichners  erhebliche  Anforderungen. 

Bemerkenswert  ist  eine  einfache  Begel,  nach  der  man  entscheidet,  ob 
eine  Fläche  ihre  beleuchtete  oder  ihre  dunkle  Seite  dem  Beschauer  zukehrt. 
Die  Grundrisse  der  Erläuterungsfiguren  unter  11  und  HI  der  Nr.  102  sind 
leider  versehentlich  unschraffiert  geblieben,  dem  ganz  richtigen  Texte  wider- 
sprechend. 

Aus   dem  Kapitel   der  Linearperspektive   sei  nur  eine   hübsche   Kon- 

>  

stroktion  des  Bildes  einer  Kugel  erwähnt,  von  dem  in  einfacher  Weise  ein 
Paar  konjugierter  Durchmesser  angegeben  wird. 

Der  zweite  Teil,  die  Infinitesimalgeometrie,  ist  die  eigentliche  pi^ce 
de  r^sistance  des  Werkes.  Das  Ziel  ist  die  strenge  Ableitung  der  ver- 
schiedenen Sätze  und  Konstruktionen,  welche  sich  in  Bezug  auf  Tangenten, 
Schmiegungsebenen,  Krümmung  etc.  geometrisch  definierter  (jfebilde  ergeben, 
und  zwar  in  rein  geometrischer  Form.     Die  Aufgaben  decken  sich  vielfach 

16* 


196  Historisch -litterarische  Abieilnng. 

inhaltlich   mit   denen   der  Kinematik  veränderlicher  Systeme,  nnr  dass  bei 
der  Lösung  von  dem  Begriffe  der  Bewegung  kein  Gebrauch  gemacht  wird. 

Die  Grundlage  des  Gänsen  bilden  einige  Fundamentalformeln,  welche 
in  anderer  Weise  abgeleitet  bereits  in  dem  oben  erwähnten  Mannheim- 
sehen  Werke  sich  vorfinden  und  von  denen  die  dritte  (in  Worten)  als  besonders 
charakteristisch  hier  mitgeteilt  werden  möge.  Zieht  man  von  einem  Punkt  A 
einer  Kurve  je  eine  Tangente  an  zwei  andere  Kurven,  so  ist  das  Bogen- 
differential,  welches^  durchläuft,  gleich  dem  Winkeldifferential  des  Tangenten- 
winkels,  multipliziert  mit  dem  unterschiede  der  reziproken  Entfernungen 
der  Schnittpunkte,  welche  die  Kurvennormalen  in  den  Berührungspunkten 
der  Tangenten  auf  der  Bahnnormalen  in  A  verzeichnen ,  von  dem  Punkte  A. 
Bleibt  insbesondere  der  Tangenten winkel  konstant,  so  verschwindet  sein 
Differential;  des  endlichen  Bogendifferential  wegen  muss  demnach  der  andere 
Faktor,  nämlich  die  auftretende  Differenz  unendlich  gross  werden,  d.  h. 
die  Normalen  der  Enveloppen  der  Schenkel  eines  bewegten  starren  Winkels 
schneiden  sich  in  jedem  Augenblick  auf  der  Normalen  der  vom  Scheitel 
beschriebenen  Kurve,  ein  Resultat,  dessen  Richtigkeit  durch  Heranziehung 
des  Drehpols  unmittelbar  in  Evidenz  tritt.  Von  Anwendungen  sei  eine 
besonders  einfache  Bestimmung  des  Krümmungs- Mittelpunkts  der  Fnss- 
punktkurve  einer  gegebenen  Kurve  hervorgehoben.  Merkwürdigerweise  ist 
nur  eine  einzige  kinematische  Anwendung,  nämlich  die  auf  den  Peaucellier- 
schen  Inversor  gemacht.  Um  so  lieber  weisen  wir  auf  die  vom  Verfasser 
auf  Grund  der  mitgeteilten  Formeln  gegebene  Bestimmung  der  Kurve  hin, 
welche  das  Triebrad  eines  Zweirades  beschreibt,  dessen  Leitrad  (Vorderrad) 
eine  bestimmte  Bahn  durchläuft.*  Bei  geradliniger  Fahrt  sind  beide  Kunren 
identisch  und  es  ist  interessant  zu  verfolgen,  wie  sich  beim  Übergang  in  die 
gekrümmte  Bahn  die  Kurven  von  einander  lösen,  um  sich  später  beim 
Aufhören  der  Kurve  wieder  zu  vereinigen.  An  den  Trennungspunkten 
haben  beide  Bahnen  gemeinschaftliche  Tangenten. 

Die  nun  folgenden  Anwendungen  auf  die  Raumgeometrie  beziehen  sich 
auf  Kurven  und  Flächen.  Im  wesentlichen  ist  die  Methode  rein  geo- 
metrisch, doch  werden  analytische  Hilfsmittel  nicht  vollständig  vermieden. 
Von  speziellen  Kurven  wird  die  Schraubenlinie,  von  speziellen  Flachen 
werden  die  Hüllflächen  einer  Kugel,  die  windschiefen  und  abwickelbaren 
Flächen  behandelt,  die  Minimalflächen  kurz  berührt. 

Der  Inhalt  ist  ein  sehr  reicher.  Wenn  es  gestattet  ist,  einen  Wunsch 
in  äussern,  so  wäre  es-  der  nach  einer  etwas  weiter  durchgeführten  kon- 
struktiven Lösung  der  aufgestellten  Fragen;  damit  wäre  auch  eine  innigere 
Verbindung  der  beiden  Teile  des  Werkes  hergestellt,  welche  jetzt  eigcnt- 
'iv'h  wenig  mit  einander  zu  thun  haben. 


•  Im  „Gi^aie  civil"  vom  27.  Juni  1896. 

C.  RODEKBBWJ. 


Rezensionen.  X97 

Oeuvres  de  La^epre  publikes  sons  les  anspices  de  FAcaddinie  des 

Sciences.  Par  MM.  Gh.  Hermite,  H.  Poincari^  et  £.  Boüchi^ 
membres  de  llnstitat.  Tome  I.  Algibre.  Oalcal  integral.  Paiis  1898. 
Gaathier-YiUars  et  fils.  468  p.  15  fr. 

In  dem  Bericht,  welchen  Ossian  Bonnet  erstattete,  als  sich  Lagnerre 
um  einen  Sitz  in  der  Akademie  bewarb,  heisst  es:  Lagnerre  est  an  des 
geomitres  les  plus  p^n^trants  de  notre  ^poque;  ses  d^nvertes  en  Geometrie 
Ini  assignent  le  premier  rang  parmi  les  sacoessenrs  de  Chasles  et  de 
Poncelet,  et  ses  recherches  nombreoses  et  profondes  snr  TAlgebre  et  le 
Calcol  diffSrentiel  et  integral  accusent  nn  talent  d'analyste  de  premier 
ordre. 

Die  wissenschaftliche  Welt  mnss  es  der  Pariser  Akademie  Dank  wissen, 
dass  sie  die  Herausgabe  der  gesammelten  Arbeiten  Laguerres  beschlossen 
hat.  Die  Herren  Hermite,  Poincare  nnd  Eonch^  haben  sich  dieser 
Aufgabe  miterzogen  und  so  Lagnerres  Schriften  diejenige  Einwirkung 
auf  die  Entwickelung  der  modernen  Mathematik  gesichert,  welche  ihnen 
gebührt. 

Die  Sanmilung  ist  auf  zwei  Bände  berechnet.  Der  erste  beginnt  mit 
einer  Einleitung  des  Herrn  Poincare.  Diese,  sowie  die  Ton  Herrn  Bouche 
(Journal  de  l'Ecole  Polytechnique  LVI,  213—277,  1886)  gegebene  Bio- 
graphie ist  in  der  folgenden  Darstellung  zu  Grunde  gelegt. 

Edmond  Laguerre  wurde  am  9.  April  1834  zu  Bar-le-Duc  geboren. 
Schon  früh  zeigte  sich  sein  mathematisches  Talent.  Noch  candidat  a  TEcole 
Polytechnique  trat  er  im  Jahre  1853  mit  einer  Arbeit  hervor,  durch  die 
er  eine  Lücke  in  der  modernen  Geometrie  ausfüllte:  Er  gab  die  Lösung 
zn  dem  Problem  der  homographischen  Transformation  der  Winkelbeziehungen, 
eine  Lösung,  welche  einem  Poncelet  und  Chasles  entgangen  war. 
Ter  quem  schrieb  aus  Anlass  dieser  Lösung  in  seinen  ,,  Annales":  Profond 
investigateur  en  Geometrie  et.  en  Analyse,  le  jeune  Laguerre  possede  un 
eeprit  d'abstraction  excessivement  rare,  et  Ton  ne  saurait  trop  encourager 
les  travaux  de  cet  homme  d'ayenir.  Über  ein  Jahrzehnt  verö£Fentlichte 
Laguerre  nichts.  Er  schien  von  seinen  Pflichten  als  Artillerieoffizier 
gSnzlich  in  Anspruch  genommen.  Erst  um  das  Jahr  1865,  wo  er  als 
repititeur  k  l'Ecole  Polytechnique  nach  Paris  kam,  fing  er  an,  die  Ergebnisse 
seiner  Studien  mitzuteilen. 

Laguerre  hat  140  Abhandlungen  geschrieben,  von  denen  mehr  als 
die  H&lfte  *  auf  die  moderne  Geometrie  Bezug  haben.  Diese  sollen  den 
zweiten  Band  der  gesammelten  Werke  füllen.  Der  erste  Band,  welcher 
vorliegt,  enthält  die  Abhandlungen  aus  den  Gebieten  der  Algebra  und 
Integralrechnung. 

An  erster  Stelle  sind  Laguerres  Untersuchungen  über  die  algebraischen 
Gleichungen  abgedruckt. 

Der  8  türm  sehe  Satz  giebt  die  voUstündige  Lösung  des  Problems,  die 
Anzahl  der  reellen  Wurzeln  einer  algebraischen  Gleichung  zu  bestimmen. 
Die  angenäherte  Berechnung  der  Wurzeln  wird  alsdann  durch  die  Kewton- 


^Qj^  Historisch -litierarische  Abteilung. 

icae  y^ethade  z<!lätet.  Diese  Fragen  schienen  also  dnrchaos  erschöpfend 
yrarrsiL.  L^zverre  macht  darauf  anfmerksam,  dass  Sturms  Ver- 
3ttHir  'ygmrmsitBti  als  angewendet  wird,  dass  man  im  allgemeinen  zor 
'U^rr^mirmr  ioT  <*»«*M  der  reellen  Wurzeln  sowie  zur  Separation  der 
'^nrzBiXi  vuBieaaAtT  Gleichungen  Wege  einschlägt,  die  dem  speziellen 
yultr  »wv^"i<*™^  sind.  Er  giebt  zunächst  einen  neuen  Beweis  fGr  die 
Deso:ftrcesädx«  ZnekcBregel,  welcher  noch  ein&cher  ist  als  der  bekannte. 
Die  Maac9  BedeoMang  desselben  liegt  aber  darin ,  dass  er  sich  nicht  nur  auf 
iitf  ^rrri>«  PoItuob»  beuefat,  sondern  sich  auch  auf  die  unendlichen  Reihen 
Mjfidcönea  lädsc  Und  in  dieser  Gestalt  fOhrt  D  esc  arte s'  Theorem  in 
-  ^>)caatea  B«g«In«  welche,  einfacher  als  die  Sturmsche,  sich  auf  ans- 
,;>M]danc»  Klaawft  tou  Gleichungen  beziehen. 

Di«  ^i^wtoascbe  Methode  besteht  darin,  die  algebraische  Gleichung 
iuitfu  'ivw  Olekkon^  eisten  Grades  zu  ersetzen,  welche  wenig  von  ihr  ab- 
-%t*xv.'aL.  Lag-aerre  «setzt  sie  durch  eine  Gleichung  zweiten  Grades,  die 
jv^ä  w^uigar  Toa  ihr  abweicht,  und  erreicht  dadurch  eine  schnellere  An- 
« >.>:'nuii(.  Ausserdem  versagt  diese  Methode,  solange  die  Wurzeln  reell 
.U2U.  !ii«HiiftI&  ^*«x>^  besonderem  Vorteil  erweist  sich  das  neue  Verfahren 
^A  xea  Gl«»ichttttg«!B*  deren  linke  Seite  ein  Polynom  darstellt,  das  der 
'^^tjtt  Piir«^atialgleichung 

>.     Vnwc  di<»sen  Polynomen  betrachtet  Laguerre  im  besonderen  die 
4ci««t    H -*rmite  untersuchten  Polynome   U^,   welche    die    Differential- 

uiu  Ü<^  Legen  dreschen  Polynome  X^,  die  der  Differentialgleichiing 
»/-  l)y"+  2V-n(n+  l)y==0 

lorr^  hdt  seine  Methode  auch  auf  die  transcendenten  Gleichungen 

1  ^.  auf  den  Fall,  wo  die  linke  Seite  eine  ganze  transcendente 

^    ^'^  i$e  ihm  unter  Benutzung  des  Weierstrassschen  Begriffs 

^^    ,wi.ot>m     g^loagen,    die    Einteilung    der    ganzen    transcendenten 

•acü  üieitt  Geschlecht  zu  vertiefen.  Personne,  sagt  Poincare  in 

..ca    blitileitung,    ne   s'est  avanc^  aussi  loin  que  lui  dans  cette 

iv>  p»u*  diiliciles  de  TAnalyse. 

»4*v  auttg  d#r Polynome,  welche  einer  linearen  Differentialgleichang 

,  ^  .A;>c>tt»   Laguerre   zum   Studium   der  algebraischen  Ketten- 

.cv   uiss,   A^^  einem  Poincar Aschen   Ausspruch,   dereinst  za 

«x«*^^u^^^  Entwickelungen  der  Funktionen  fahren  wird,  als 

\«t.<*üiireLhen  möglich  ist.    Von  Laguerres  Resultaten  mag 

w^v-ix^^^^*^   werden,   wonach   sich   aus    einer    divergenten 

.^vaier  Kettenbruch  herleiten  lässt.     Es   rechtfertigt  dieses 

.,aA   ueuen   Wege  den  Gebrauch  divergenter  Beihen,  dem 

.1    '/o  LUC  areschen  Arbeiten   noch   eine   Zukunft  vorher 


KezenBionen.  199 

Eine  der  längsten  Abhandlungen  Lagaerres  tragt  den  Titel  „Sur  les 
sjstemes  lindaires'^  nnd  ist  im  Jahre  1867  im  Journal  de  TEoole  Poly- 
techniqne  veröffentlicht  worden.  Lagnerre  entwickelt  hier  die  Theorie 
der  linearen  Substitutionen  und  findet,  dass  sie  eine  einfache  und  gewisser- 
massen  arithmetische  Deutung  für  die  gewöhnlichen  imaginären  Grössen, 
för  die  Quatemioneu,  ftlr  die  clefs  alg^briques  von  Gauchy  liefert  Diese 
Prinzipien  werden  auf  die  Theorie  der  quadratischen  Formen  und  auf  die 
Theorie  der  Abelschen  Funktionen  angewendet.  Laguerre  findet  hier  die 
Resultate  von  Herrn  Her  mite  wieder  und  vervollständigt  sie  in  ver- 
schiedenen Punkten. 

Als  Laguerres  bedeutendste  Entdeckung  in  der  Theorie  der  Differential- 
gleichungen preist  Ossian  Bonn  et  in  seinem  oben  erwähnten  Bericht  die 
Einfahrung  des  Invariantenbegriffs  in  die  genannte  Theorie,  welcher  es  er- 
möglichte, die  Differentialgleichungen  durch  passende  Umformungen  auf 
den  höchsten  Grad  der  Einfachheit  zu  bringen.  Die  Fruchtbarkeit  dieses  Ge- 
dankens ist  durch  Halphen  dargethan  worden,  welcher  unter  diesem  neuen 
Gesichtspunkte  seine  Theorie  der  Differentialinvarianten  entwickelt  hat. 

Ich  habe  noch  zweier  Arbeiten  Laguerres  Erwähnung  zu  thun, 
welche  auf  dem  Gebiete  der  Potentialtheorie  liegen.  In  der  ersten  Arbeit 
„Snr  l'attraction  qu'exerce  un  ellipsoide  homogene  sur  un  point  exteiieur'^ 
C.  R.  LXXXYI,  1878  gelingt  Laguerre  die  Zurückführung  des  Potential- 
ansdrucks  auf  ein  einfaches  Integral  durch  Zerschneiden  des  EUipsoids  in 
unendlich  dünne  Scheiben.  Diese  liegen  zwischen  zwei  unendlich  nahen 
Ebenen,  welche  der  Ebene 


i  X  cos  (f  +  i  y  sin  (p  +  z  ^  0^     i  «=  j/—  1 , 

parallel  laufen,  wenn  (x^y^z)  den  äusseren  Punkt  bezeichnet.  Hierbei  er- 
giebt  sich  zunächst  die  Darstellung  der  Potentialfnnktion  mit  Hilfe  eines 
Doppelintegrals,  welche  in  der  zweiten  Arbeit  „Sur  le  potentiel  de  deux 
ellipsoides^^  C.  E.  CII,  1886,  der  letzten  Arbeit  Laguerres,  benutzt  wird, 
tun  das  Potential  zweier  Ellipsoide  durch  ein  dreifaches  Integral  auszu- 
drücken. 

Den  Beschluss  des  ersten  Bandes  bildet  eine  Arbeit  von  Herrn  Hermite 
unter  dem  Titel  ^Sur  un  Memoire  de  Laguerre  concemant  les  equations 
algebriques^^  Herr  Hermite  leitet  hier  die  Resultate,  zu  denen  Laguerre 
in  seiner  Arbeit  „Sur  une  methode  pour  obtenir,  par  approximation,  les 
racines  d'une  equation  algebrique  qui  a  toutes  les  racines  reelles"  Nouv. 
Ann.  de  Math.(2)  XIX,  1880  gelangt  ist,  auf  einem  anderen  und  einfacheren 
Wege  her. 

Laguerre  ist  am  14.  August  1886  in  seiner  Vaterstadt  gestorben. 
Brei  Jahre  vor  seinem  Tode  öffneten  sich  ihm  die  Pforten  des  Instituts. 
Gleichzeitig  wurde  ihm  der  Lehrstuhl  für  mathematische  Physik  an  dem 
College  de  France  übertragen.  Wie  hoch  Laguerre  auch  als  Mensch  ge- 
schätzt und  verehrt  wurde,  geht  ans  dem  Nachruf  hervor,  welchen  ihm 
Herr  Bertrand  im  Namen  der  Akademie  gewidmet   hat   und   in  welchem 


Historisch -litterarische  Abteilung. 


^«isst:  „Edmond  Lagnerre,  passionne  ponr  la  Science,  semblait  in- 
an  sacces.     Jamais  il  n'a  n^lige  an  devoir;  jamais  11  n'a  soUicite 
. .  .     Tonjoars  oubüenx  de  se  faire  valoir,  il  a  pris  sa  retraite, 
encore,  sans  avoir  atteint  dans  l'artülerie   leg   hants   grades  ou  son 
semblait  Tappeler  ....     Ses  decouvertes  l'avaient  place  an  premier 
^«s  gfemetres  firan9ai8  avant  qae  l'Academie  des  Sciences  en  eat  entendu 
et  prociamer  l'importance."  j,_  j^^^^ 


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Ergebn 
sich    aL 
sagen  l'u 


folgen 


wo  »' 


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(•■p«sitions  d'analfse,  cin^matique,  m^canjque  et  asironomie 
itfms  1889  a  la  Sorbonne  ponr  la  lieence  es  scienees 

Enonces  et  solations.    Troisieme  paiüe.    Gautbier- 
VxU^is-    Paris  1898.     299  S. 

-Drü^imde    Pand    giebt   ebenso    wie    die    beiden  Yorhergebenden 
mir  Ton  Aufsehen,  die  an  einer  Beihe  von  Universitäten  Frank- 
^es  ^lisea  188^—  1897   für  die   lieence  es  sciences  mathematiques 
.^(-^'irdea  srd     Bei  diesem  Examen,    welches  etwa  dem  Oberlebrer- 
Frrasses   entsprechen    würde,    werden    nur  Elansnrarbeiten  an- 
tdet   sich    daher  diese  Sammlung  natnrgemSss  von 
hc^Kzzvs  Aii&:abensammlmigen.   Es  sind  durchweg  schwierigere 
jsreB  LItsctc  eine  gewisse  analytische  Geschicklichkeit  und  Be- 
jgOt  OS  f=-iia:»ntaien  Gesetzen    der  Kinematik    tmd  Dynamik 
Xinw  ^ßsci-jl*   werden  den  Charakter   des  Baches    und   die 
IriA  Arfrrierenfen  am  besten  erl&ntem. 
.;.  l^-^ait  ^;nr^f    wvrde    im  Jahre  1890    als    erste    Frage  die 
^^jyeitjr-  £&-  ::^  IX  beweisen,  dass  der  Differenlialgleichung 

:z:  f  Llxj  WKkh&et,  durch  ein  Polynom  jP{x)  genügt 
IST  x:  ^'-3p«7.   «iftss   eine    iweite  Ldsxmg  der  Gleichuig  die 

-  —  1 


^^   L  —  '.^  Äf  f  c-r.r^!e,  »s  der  Ecole  Normale  gestellte  Auf- 

^^..-r?  >    r>.^-«irriiLu:l«hung  der  Flachen  zu  integriren. 

jü*  "^'t    iri«c   <i^C!f^:!^fn  Kugel    sind.     Femer   ist  m 

.  -   <^t:«B   "nr  £Ast2au2Lgslinien  erzeugt  wird,   wenn 

*i   r  ~  S.t^\  fciv^ri^I:^..  und  dass  das  andere  System 


ad* 


..-    •  ;^*ni\if«  Frfci«»  mn:  Es  ist  die  Bewegung 
^smirr^-'     ;•*  ^     -"^  .Mtr^x   kreisförmigen  Scheibe  zu  nnter- 
.  f»".  **^^    ns  .  ?•  •^r.^"*  i^rw^zrgen  sind,    zwei  in  einem 

r^-r-'y   f*fr*i^*tr  la  besdireiben. 
^  V».  -.r.vnÄ?'  :n^5fr  t«i  der  Masse  m  ruht  saf 

>••  ••    \    >tx3-^    gleiten    kann.     LSngs  der 


Rezensionen.  201 

Achse  desselben  wird  ein  Kanal  von  nnendlicli  dünnem  Qnerschnitt  gebohrt, 
in  welchem  sieh  ein  schwerer  Pmikt  von  derselben  Masse  m  befindet,  der 
ohne  Reibung  den  Kanal  entlang  gleiten  kann.  Es  ist  die  Bewegung  des 
Systems  zu  nntersnchen,  wenn  man  Yoransselzt,  dass  der  Cylinder  anf  die 
Ebene  geworfen  wird. 

Der  Wert  der  Sammlung  wird  noch  dadurch  erhöht,  dass  den  Auf- 
gaben die  Lösungen  beigegeben  sind. 

Das  Werk  kann  den  Studierenden  unserer  Hochschulen  nur  warm 
empfohlen  werden;  es  giebt  ihnen  Gelegenheit,  in  den  verschiedenen  Ge- 
bieten der  Analysis,  in  der  Kinematik  und  Mechanik  ihre  Kräfte  zu  er- 
proben und  ihr  Können  zu  erweitem.  -g  Jahnke 


W.  Binder.  Theorie  der  aBicursalen  Plankurven  vierter  bis  dritter 
Ordnnng  in  synthetischer  Behandlung.  Leipzigl896,B.G.Teubner. 
396  S. 

Die  Theorie  der  ebenen  Unicursalkurven  dritter  und  vierter  Ordnung 
dürfte  heute  im  grossen  und  ganzen  als  abgeschlossen  gelten.  Es  kann 
daher  nur  dankbar  anerkannt  werden,  dass  sich  der  Verfasser  entschlossen 
hat,  die  Aufs&tze  und  Abhandlungen,  welche  zu  einem  Teil  im  Laufe  der 
letzten  drei  Dezennien  Yon  yerschiedenen  Mathematikern,  zum  andern  Teil 
von  ihm  selbst  speziell  in  der  Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik  yer- 
offentlicht  worden  sind,  zu  dem  vorliegenden,  Herrn  Schlömilch  zu- 
geeigneten Werke  zu  vereinigen. 

Als  Motto  hat  der  Verfasser  dem  Buche  die  Worte  vorgesetzt:  Vom 
Allgemeinen  auf  das  Einzelne.  Es  sind  nämlich  die  Kurven  vierter  Ord- 
nnng vorausgeschickt  worden,  da  die  Kurven  dritter  Ordnung  vielfach 
Modifikationen  der  allgemeineren  Eigenschaften  solcher  von  der  vierten 
Ordnung  enthalten. 

Der  Verfasser  beginnt  mit  einem  allgemeinen  Teil,  in  welchem  neben 
der  Aufzählung  der  wichtigsten  Eigenschaften  höherer  Plankurven  eine  kurze 
Ableitung  der  Büschel  resp,  Netze  und  Scharen  von  Kegelschnitten  Platz 
findet.  Daselbst  werden  noch  die  allgemeinen  Beziehungen  mehrdeutiger 
Gnmdgebilde,  sowie  die  Gesetze  der  quadratischen  Titinsformationen  erörtert. 

Hieran  schHessen  sich  im  zweiten  und  dritten  Teil  elementare  ünter- 
snchnngen  bezüglich  der  ünicursal- Plankurven  vierter  und  dritter  Ordnung. 

Während  man  beim  Studium  der  Inflexionselemente  einer  Plankurve  mit 
Hilfe  des  Kalküls  von  der  Hess  eschen  Kurve  ausgeht,  benutzt  der  Verfasser 
für  die  synthetische  Untersuchung  der  Inflexionselemente  eine  Direktions* 
kurve,  welche  ausser  den  Inflexionen  noch  die  Berührelemente  der  Doppel- 
tangenten einer  Kurve  vierter  Ordnung  in  einen  projektivischen  Zusammen- 
hang bringt.  Bei  gewissen  Degenerirten  einer  Kurve  vierter  Ordnung  führt 
die  Methode  des  Verfassers  zu  einer  bisher  nicht  bekannten  linearen  Kon- 
struktion ihrer  Inflexionselemente. 


2Q2  Historisch -litterarische  Abteilung. 

Eingehend  sind  die  circnlaren  Euryen  behandelt,  auf  deren  sogenannte 
Ereisverwandtschaft  wiederholt  hingewiesen  wird.  Insbesondere  ist  dieses 
bei  den  Kreisverwandten  dritter  Ordnung  geschehen,  wo  auch  die  vom  Ver- 
fasser bezeichneten  Scheiteleigenschaften,  sowie  die  EigentQnüichkeit  eines 
Centrums,  i^elches  solche  Kurven  besitzen,  ausführlich  erörtert  werden. 
Die  Gesetze  der  Symmetrie  der  betreffenden  Kurven  werden  vom  Stand- 
punkte ihrer  projektivischen  Entstehung  untersucht,  auf  welche  Art  die 
Knrvenspezies  der  Cykloiden,  Lemniskaten,  Kardioiden  und  Cissoiden  ver- 
allgemeinert erscheinen. 

Weiter  ist  der  Fall  der  Identität  mit  den  bekannten  BoUknrven,  sowie 
der  Fall  einer  Kurve  mit  dreifachem  Singularpunkt  als  einer  verlängerten 
Hypocykloide  nachgewiesen;  und  endlich  zeigt  der  Verfasser,  dass  unter 
Umständen  eine  Kardioide  identisch  einer  Epi-  oder  einer  Pericykloide 
gleich  werden  kann. 

Aach  die  Theorie  der  f£Lr  die  Mechanik  so  wichtigen  Fusspunktkurven 
prKhrt  eine  einfache  Begründung  im  Sinne  der  projektivischen  Geometrie. 

Dem  vorliegenden  Werke  sind  65  Figuren  im  Texte  und  auf  zwei 
Tafeln  heigegeben.  Sie  umfassen  die  erklärten  Beziehungen  und  Kon- 
»troktionen  zum  grössten  Teil.  ^   Jahnkjs. 

il.  IIahtIm  Lehrbuch  der  PlaBimetrie.  Leipzig  und  Wien  1896,  F.  Deuticke. 

An  Aer  vorliegenden  Bearbeitung  des  planimetrischen  Pensums  ist  be- 
nfff^(\t^rn  hervorzuheben,  dass  der  Symmetriebegriff  zur  Herleitung  einfachster 
HtiHtt  h<)  ran  gezogen  wird.  Den  einzelnen  Abschnitten,  auch  schon  den 
M,tt4iriinit^^n,  sind  eine  Reihe  von  Aufgaben  angehängt,  die  geeignet  erscheinen, 
i\f%n  liiturofiiio  des  Schülers  von  vornherein  zu  fesseln.  Die  Übungsbeispiele 
«}fid  /.tiHi  grossen  Teile  der  praktischen  Geometrie  entlehnt  und  mit  Ge* 
nrhU'M    inif»g«wählt. 

||ii/Jlg]ioh  der  Abgrenzung  des  Pensums  ist  zu  bemerken,  dass  von 
tU*u  |)r#ii<'')l(^^^®^^^^  ^^  Ankreise  keine  Erwähnung  finden,  dass  aber  zwei 
biifV.»  Kfipi^'"^  ^^"  ^^^  Potenz  eines  Punktes  in  Bezug  auf  einen  Kreis  und 
vitit  <l<*'i  A  hnlichkeitspunkten  zweier  Kreise  handeln.  Ein  Anhang  ent- 
UiM  Aii^K<^^"^'^  ^^^^  Maxima  und  Minima  und  die  algebraische  Bestimmung 

|li«s  Aiif(<lrucksweise  lässt  an  einigen  Stellen  Korrektheit  und  Knapp- 
UiM  vtsrini^^'*^'  ^^  heisst  es  auf  S.  67:  Der  Flächeninhalt  eines  Kreises 
\MVi\  üJ>*  *'^"  Vielfaches  des  über  dem  Halbmesser  zu  verzeichnenden  Qoa- 
fJn«t<JS  h«*«*tijnmt.  Ausdrücke  wie  Inkreis  und  Umkreis,  welche  schon  in 
vMh«'hi<»tl*^»*"  Lehrbücher  übergegangen  sind,  hat  der  Verfasser  nicht  über- 
jioiniiinii.  Korner  fiel  dem  Referenten  auf,  dass  der  Verfasser  griechische 
|iN<:lih(uh«»n   wie  a,  ß  zur  Bezeichnung  von  Strecken  verwendet. 

Voll  (1i(^H^n  leicht  zu  beseitigenden  Mängeln  abgesehen,  erscheint  dem 
Jd.Ji.ri'iit«»    *^^®  Lehrbuch  der  Beachtung  seitens  der  Fachgenossen  wert. 

E.  JAmncE. 


Rezensionen.  203 

Ännaaire  ponr  l'an  1898,  publie  par  le  bnreau  des  longitades.    Avec  des 
notes  BcienÜfiques.     Oauthier-Yillers.    Paris.     1  fr.  50  c. 

Der  kleine  Band  enthält,  wie  in  jedem  Jahre,  eine  Fülle  wissenschaft- 
licher Daten,  welche  man  in  dieser  Vollständigkeit  wohl  nirgends  sonst  findet. 
Er  beginnt  mit  astronomischen  Tabellen,  mit  solchen  für  die  Maße  und 
Gewichte  und  für  die  Geldsorten;  hieran  schliessen  sich  Zinstabellen,  geo- 
graphische, statistische  Tabellen,  Sterblichkeitstabellen  n.  a.  m.  Weiter  werden 
die  magnetischen  Karten  Frankreichs  gegeben,  Tabellen  für  die  Dichtig- 
keiten and  Elastizitätsverhältnisse  der  festen  Körper,  Tabellen  för  die  Wärme, 
Akastik)  Optik  und  Elektrizität,  und  endlich  auch  Tabellen  mit  den  chemischen 
Konstanten  y  wobei  überall  die  neuesten  üntersachnngen  berücksichtigt  worden 
sind.  Jeder  Tabelle  geht  eine  kurzgefasste  Erklärung  voran,  welche  auch 
dem  Laien  die  Bedeutung  der  Zahlen  verständlich  machen  und  ihm  deren 
Gebrauch  ermöglichen  soll. 

Der  Wert  des  Jahrbuches  wird  noch  erhöht  durch  die  angehängten 
populär -wissenschaftlichen  Aufsätze  aus  der  Feder  von  berühmten  französischen 
Gelehrten:  Sur  la  stabilite  du  Systeme  solaire,  par  M.  H.  Poincari.  — 
Notice  sur  Toeuvre  scientifique  de  M.  H.  Fizeau,  par  M.  A.  Cornu.  —  Sur 
quelques  progres  r^emment  accomplis  a  Taide  de  la  Photographie  dans 
Tetude  de  la  surface  lunaire,  par  MM.  Loewj  et  Puiseux.  —  Sur  les 
travaux  executes  en  1897  a  Tobservatoire  du  mont  Blanc,  par  M.  J.  Janssen. 
—  Discours  prononc^s  au  cinquantenaire  academique  de  M.  Faye,  le  25 
janvier  1897,  par  MM.  J.  Janssen  et  M.  Loewy.  ^  Jahnkb 


La  math^matiqne.     Philosophie.     Enseignemeni     Par  C.  A.  Laisant, 

Bepetiteur  a  TEcole  Polytechnique,  Docteur  es  sciences.    Paris  1898. 
Georges  Carre  et  C.  Naud.   292  p. 

Das  Buch,  von  dessen  Erscheinen  wir  unsere  Leser  in  Kenntnis  zu 
setzen  wünschen,  ist  ein  wesentlich  französisches.  Wir  verstehen  darunter, 
dass  ein  Franzose  es  f(ir  Franzosen  geschrieben  hat,  und  dass  ein  gründ- 
liches Wissen  von  dem  gegenwärtigen  Stande  des  mathematischen  Unter- 
richtes in  Frankreich  erforderlich  wäre,  um  ein  Urteil  zu  fällen.  Wir 
sind  weit  entfernt  von  einem  solchen  Wissen,  und  wir  dürfen  uns  deshalb 
weder  Lob  noch  Tadel  gestatten,  das  entworfene  Bild  weder  ähnlich  noch 
unähnlich  nennen.  Die  Malerei  selbst  hat  freilich  mit  der  Treue  oder  Un- 
treue der  Abbildung  kaum  zu  thun,  und  in  dieser  Beziehung  dürfen  wir 
Herrn  Laisant  einen  flotten  und  kecken  Pinselstrich  nachrühmen,  ein 
mutiges  um  nicht  zu  sagen  mutwilliges  Spielen  mit  scharf  sich  abhebenden 
Farben,  ein  Schwelgen  in  starken  Gegensätzen,  wie  es  auch  wieder  vor- 
zugsweise die  französische  Schule  liebt.  Kann  und  wird  der  französische 
Leser  in  Herrn  Laisants  Kennzeichnung  der  einzelnen  Abteilungen  der 
Mathematik  und  der  Art,  wie  er  sie  gelehrt  wünscht,  mehr  neues  finden, 
als  dieses  bei  einem  deutschen  Leser  der  Fall  sein  möchte?  Das  ist  aber- 
mals eine  Frage,  die  zu  beantworten  wir  uns   ausser  stände  fühlen.     Herr 


204  HistoriBch-litterarische  Abteilung. 

Laisant  selbst  legt  auf  ihre  Bejahung  kein  besonderes  Gewicht  Sagt  er 
doch  (S.  11):  ein  kleines  Werk  von  der  Art  des  seinigen,  niedergeschrieben 
auf  der  Grundlage  eigenen  Nachdenkens  und  einiger  Reminiszenzen,  sei 
eher  eine  anspruchslose  Causerie  —  wir  wissen  kein  den  Sinn  genau 
wiedergebendes  deutsches  Wort  —  als  ein  ernstes  Buch  zu  nennen.  Seiner 
Bezeichnung  uns  anschliessend  können  wir  nur  von  einer  geistreichen 
Causerie  reden,  der  man  gern  eine  Stunde  widmen  wird.  Caktor 


All  elementary  conrse    of  infinitesimal    calcnlns    by    Horace  Lamb. 

M.  A.,  F.  R.  S.,  Professor  of  mathematics  in  the  Owens  College. 
Victoria  üniversity,  Manchester;  formerly  fellow  of  Trinity  College. 
Cambridge.     Cambridge  1897    at  the  üniversity  Press.  XX,  616  p. 

Wir  haben  schon  häufig  Gelegenheit  gehabt,  über  das  Erscheinen  Ton 
Differential-  und  Integralrechnungen  in  deutscher,  in  französischer,  in 
italienischer,  in  portugiesischer  Sprache  zu  berichten.  Heute  zeigen  wir  zum 
ersten  Male  ein  ähnliches  englisches  Werk  an.  Wir  gestehen  zugleich  ein,  dass 
es  das  erste  englische  Lehrbuch  der  Infinitesimalrechnung  aus  neuerer  Zeit  ist. 
mit  welchem  wir  genauer  bekannt  geworden  sind,  und  dass  wir  deshalb 
in  der  Lage  sind,  um  Entschuldigung  bitten  zu  müssen,  falls  wir  Herrn 
Lamb  persönlich  zuschreiben  sollten,  was  überhaupt  englische  Eigentümlich- 
keit sein  könnte.  Eeinenfalls  wird  Herr  Lamb  sich  darüber  beschweren 
wollen,  denn  unsere  Bemerkungen  sind  lediglich  lobender  Natur.  Er  hat 
ein  Buch  verfasst,  welches  uns  dazu  bestimmt  zu  sein  scheint,  viele  Auf- 
lagen zu  erleben,  und  wenn  es  auch  in  erster  Linie  für  die  Zöglinge  einer 
technischen  Schule  bestimmt  ist,  so  werden  doch  auch  angehende  Mathe< 
matiker  von  Fach  sich  desselben  mit  Vorteil  bedienen,  denn  nur  in  der 
Auswahl  der  Beispiele  giebt  die  erwähnte  Tendenz  sich  kund,  nicht  in  der 
Herleitung  der  einzelnen  Sätze.  Herr  Lamb  beginnt  mit  ausführlichen 
Grenzbetrachtungen,  eine  uns  um  so  sympathischere  Einleitung,  als  wir  seit 
Jahren  gewohnt  sind,  unsere  Wintervorlesung  über  Differential-  und  Inte§p^- 
rechnung  mit  einer  ebensolchen  zu  erö&en.  Herr  Lamb  lässt  das  Integrieren 
dem  Differentieren  so  nahe  als  thunlich  folgen;  wir  haben  wiederholt  auf 
die  Zweckmässigkeit  dieser  Anordnung  hingewiesen.  Herr  Lamb  verschiebt 
dagegen  die  Untersuchungen  über  die  Taylorsche  Reihe  bis  an  das  Ende 
des  Werkes,  wo  sie  dem  letzten  Kapitel  als  Überschrift  dienen.  Das  ist 
eine  Neuerung  einschneidendster  Art.  Die  Absicht  ist  die,  jenen  wichtigen 
Gegenstand  erst  dann  zur  Erörterung  zu  bringen,  wenn  der  Schüler  sich  die 
dazu  erforderliche  Reife  des  mathematischen  Denkens  schon  angeeignet  hat. 
und  es  ist  nicht  zu  leugnen,  dass  Herrn  Lambs  14.  Kapitel  Taylors 
Theorem  ganz  anders  aussieht,  als  ein  Kapitel  über  Reihenent Wickelung 
im  ersten  Drittel  einer  Differentialrechnung.  Gleichwohl  möchten  wir  ans 
praktischen  Gründen  in  einer  Vorlesung  dem  neuen  Beispiele  nicht  folgen. 
Erfahrungsmässig  lässt  jeder  Dozent  am  Anfange  der  Vorlesungen  sich  mehr 


Rezensionen.  205 

oder  weniger  gehen.  Er  lägst  sich  von  Zahl  und  Geistesrichtung  seiner 
Zuhörer  beeinflussen,  dieses  oder  jenes  Beispiel  ausfuhrlicher  zu  be- 
handeln U.S.W.,  mit  einem  Worte:  er  individualisiert  seine  Vorlesung,  und 
das  kostet  Zeit.  Gegen  Ende  des  Semesters  muss  dann  rascher  vorgegangen 
werden,  und  das  eine  Mal  kommen  Dinge  in  Wegfall,  welche  ein  anderes 
Mal  vorgetragen  wurden  und  umgekehrt.  Am  leichtesten  kann,  scheint 
uns,  ab-  und  zugegeben  werden,  wenn  die  Differentialgleichungen  und  ihre 
Integration  den  Schluss  bilden.  Bei  dem  Vortrage  der  Tajlorschen  Beihe 
kürzen  zu  sollen,  scheint  uns  sehr  bedenklich.  Die  von  Herrn  Lamb 
non  einmal  getroffene  Anordnung  nötigt  ihn  zu  einer  wesentlich  anderen 
Behandlung  der  früheren  Kapitel,  als  sie  in  Übung  zu  sein  pflegt.  Die 
Auswertung  unbestimmter  Formen  ist  ganz  weggelassen,  die  Lehre  von  den 
grössten  und  kleinsten  Werten  aber  von  einer  Grundlage  aus  in  An- 
griff genommen,  welche  man  den  auf  seine  Anfangsglieder  beschränkten 
Tajlorschen  Satz  nennen  könnte.  Aus  der  Thatsache,  dass  bei  einer  stetig 
verlaufenden  Kurve  jede  Sehne  einer  Berfihrungslinie  parallel  verläuft,  deren 
Berührungspunkt  zwischen  den  Endpunkten  der  Sehne  liegt,  folgt,  dass 

f{a  +  Ä.)  «  f{a)  +  hf{a  +  Oh). 

Demnächst  werden  die  Durchschnittspunkte  der  Kurve  y  *=  f(x)  mit 
der  parabolischen  Kurve  2/  —  A  +  J5x  +  Cx^  ins  Auge  gefasst  und  -4.,  J5,  C 
so  bestimmt,  dass  beide  Kurven  einander  bei  x  =  a  berühren,  bei  x  =  a  +  h 
schneiden.  Aus  dieser  Bedingung  ergiebt  sich  unter  Anwendung  des  BoUe- 
schen  Lehrsatzes,  dass 

f{a  +  h)  ^  f(a)  +  hfia)  +  ^Ä^'C«  +  6^). 

Wir  könnten  auch  auf  die  Auflösung  einiger  Maximalaufgaben  ohne 
Anwendung  von  Differentialrechnung  hinweisen,  welche  uns  wenigstens  in 
Büchern  über  Infinitesimalrechnung  nie  begegnet  ist.  Zahlreiche  andere 
Einzelheiten  werden  dem  Leser  Vergnügen  bereiten.  Wir  heben  nur  ein 
Letztes  noch  hervor,  dass  nämlich  bei  der  Integration  von  Differential- 
gleichungen der  Gedanke  des  integrierenden  Faktors  weit  mehr  in  den 
Vordergrund  gerückt  ist^  als  dieses  sonst  zu  geschehen  pflegt;  dadurch 
gewinnt,  wie  uns  scheinen  will,  die  Darstellung  an  einheitlicher  Färbung. 
Wir  können  auch  wegen  dieses  Kapitels  das  Buch  nur  aufs  wärmste 
empfehlen.  Cantor. 

Higher  Arithmetic  by  Woostbr  Woodruff  Beman,  Professor  of  mathe- 
matics  in  the  university  of  Michigan,  and  David  Eugene  SMrrn, 
Professor  of  mathematics  in  the  Michigan  state  normal  College. 
Boston  and  London  1897.  Ginn  &  Co.  The  Athenaeum  Press. 
XVn,  193  p. 

Wenn  der  elementare  Inhalt  des  kleinen  Lehrbuchs  der  Bechenkimst 
mit  Einschluss  des  sogenannten  kaufmännischen  Rechnens  ein  Verweilen  bei 
Einzelheiten  verwehrt,   so  können  wir  doch  nicht  umhin  auch  unsere  deut- 


906  Historisch -litteiariflche  Abteflniig. 


M^^k^n  Facbgenossen  anf  dieses  Erzeugnis  amerikanischer  Mathematiker  aiif* 
jn^rksam  zn  machen.  Die  Auswahl  der  Beispiele,  die  gegebenen  Hinweise 
«of  praktische  Bechenvorteile,  die  ganze  Darstellmig  ist  so,  dass  Beferent 
nlnh  dadurch  nnr  mehr  als  je  in  der  Überzengnng  bestärkt  fohlte,  ein 
fruchtbarer  Bechenonterricht  könne  nicht  anders  als  durch  einen  wirklichen 
Mathematiker  erteilt  werden.      n 

R^^ations  et  probUmes  math^matiqnes  des  temps  andens  et  modernes 
par  W.  W.  RoNSB  Ball,  fellow  and  tutor  of  Trinity  College,  Cam- 
bridge. 3^^™«  Edition  rcTue  et  augmentee  par  l'auteur  traduite  par 
J.  Fitz-Patbick.  Paris  1898.  Librairie  scientifique  A.  Hermann. 
IV,  352  p. 

Im  Februar  1892  verliess  die  erste,  im  Juli  1896  die  dritte  Ausgabe 
des  englischen  Originals  die  Druckerpresse,  die  französische  Übersetzung 
trägt  das  Datum  des  16.  November  1897.  Das  sind  Zahlen,  welche  laut 
and  deutlich  einen  seltenen  buchhändlerischen  Erfolg  verkünden,  den  wir 
Dicht  anstehen  auch  von  unserer  Seite  als  wohlberechtigt  anzuerkennen. 
Man  weiss,  wie  seit  dem  Anfange  des  17.  Jahrhunderts  mathematische 
AnfgAbensammlungen  erschienen,  welche  von  einer  zu  Beginn  nicht  un- 
bedeutenden wissenschaftlichen  Höhe  allmählich  hemiederstiegen.  Als 
Hchulbücher  waren  die  späteren  Sammlungen  gewiss  verdienstvoll,  aber 
^ifiem  wirklichen  Mathematiker  beim  Lesen  Vergnügen  zu  bereiten,  reichten 
nie  nicht  aus.  Edouard  Lucas  war  es,  welcher  1882  mit  seinem  ersten 
IJfinde  der  liecrdations  math^matiques  ^  dem  bis  1894  drei  weitere  Bände 
nachfolgten,  in  die  alten  Bahnen  zurücklenkte.  Herr  Ball  stand  unzweifel- 
lifl^ft  unter  Lucas'  Einflüsse,  als  er  seine  eigene  Schrift  vorbereitete,  das 
^igt  sich  schon  aus  den  zahlreichen  Erwähnungen  jenes  Schriftstellers, 
^ber  gleichwohl  ist  Herr  Ball  durchaus  kein  blosser  Nachahmer,  und  auch 
dftfür  könnten  wir  ein  äusseres  Zeugnis  anrufen,  die  Übersetzung  ins 
prAnzötische,  welche  eine  Unmöglichkeit  gewesen  wäre,  wenn  das  englische 
Original  wenig  mehr  als  eine  Umarbeitung  eines  französischen  Buches  ge- 
boten hätte.  Die  Litteratumachweise  sind  ungemein  zahlreich  und  wert- 
voU'  Inwieweit  sie  vollständig  sind,  lässt  sich  bei  dem  Mangel  an  einem 
alphabetisch  geordneten  Inhaltsverzeichnisse  schwer  überwachen.  Wieder- 
holt wollte  uns  indessen  scheinen,  als  sei  Michael  Stifel  nicht  so  sehr  be- 
rücksichtigt, als  es  nötig  gewesen  wäre.  Die  französische  Übersetzung  ist 
sehr  geschickt  gemacht  und  durch  wichtige  Ergänzungen  und  Anmerkungen 
des  Bearbeiters  bereichert.  Cantor. 

Mathematisclie  Mussestunden.  Eine  Sammlung  von  Geduldspielen,  Kunst- 
stücken u.  Unterhaltungsaufgaben  mathematischer  Natur.  Yon  Dr.  Heb- 
mann Schubert,  Professor  an  der  Gelehrtenschule  des  Johanneums  in 
Hamburg.  Leipzig  1898.  G.J.Göschensche  Verlagshandlung.  y,286S. 

Nach  Edouard  Lucas,   nach   Herrn  Ball,    in  teilweiser  Anlehnang 
an   beide,   aber  weit   mehr   noch    in  selbständig  sie  ergänzender  Arbeit  ist 


Rezensionen.  207 

nun  auch  ein  deutscher  Schriftsteller,  Herr  Schubert,  mit  einer  Samm- 
lang Yon  mathematischen  Scherzratsein  aller  Art  hervorgetreten.  Er  war 
Torzngsweise  dazu  geeignet  einesteils  durch  eine  gewisse  zahlentheoretisch- 
kombinatorische  Begabung,  welche  jeder  Mathematiker  an  Herrn  Schubert 
kennt,  andernteüs  durch  schon  veröffentlichte  mathematische  Untersuchungen 
über  gewisse  Spielereien.  Die  kleine  Sammlung  ist  der  Hauptsache  nach 
för  Laien  bestimmt,  aber  auch  der  Mathematiker  wird  sie  mit  Vergnügen 
dnrchlesen  und  sich  angeregt  fühlen,  tiefere  wissenschaftliche  Betrachtungen 
insbesondere  Herrn  Schuberts  Originalarbeiten  kennen  zu  lernen. 

Cantor. 

Tafeln  far  das  Goldbachsche  Gesetz  von  Dr.  Robert  Haussner,  Privat- 
dozent der  Mathematik  an  der  Universität  Würzburg.  [Aus  den 
Abhandlungen  der  kaiserl.  Leop.-Carol.  Deutschen  Akademie  der 
Naturforscher  Bd.  72.]    HaUe  1897.    214  S. 

Das  sogenannte  Goldbachsche  Gesetz  besteht  bekanntlich  darin, 
dass  jede  gerade  Zahl  als  Summe  zweier  ungerader  Primzahlen  entsteht, 
finler  hat  schon  durch  Versuche  das  ihm  mitgeteilte  Gesetz  bestätigt. 
Ausgedehntere  Versuchsreihen  hat  Herr  Georg  Gantor  1894  veröffentlicht, 
und  Herr  Haussner  hat  nunmehr  in  umfangreiche  Tabellen  zusammen- 
gestellt, was  er  selbst  au  empirischem  Materiale  für  die  Prüfung  des  Ge- 
setzes in  mühevoller  Arbeit  gesammelt  hat.  Eine  ausführliche  Einleitung 
beschreibt  die  sehr  sinnreiche  Art,  in  welcher  Herr  Haus sn er  seine  Ver- 
Sache  angestellt  hat,  und  berichtet  auch  über  die  Versuche  und  theoretischen 
Erörterungen,  welche  Herr  Paul  Stäckel  zum  Gegenstande  einer  Mit- 
teilong  in  den  Göttinger  Nachrichten  gemacht  hat.  Allen  neueren  Be- 
arbeitern des  Gegenstandes  war  neben  der  Bewahrheitung  des  Goldbach- 
schen  Satzes  an  sich  die  Auffindung  der  möglichen  Anzahlen  von  Zer- 
legungen angelegen,  wie  z.  B.  80  =  H-  29  «  7  +  28  «  11  +  19  «  13  +  17 
&Qf  vier  verschiedene  Arten  die  Summe  zweier  tmgerader  Primzahlen  ist. 
^e  unmittelbare  Abhängigkeit  der  Zerlegungsanzahlen  von  der  zu  zer- 
legenden Zahl  zu  entdecken,  ist  noch  nicht  gelungen,  wenngleich  mancherlei 
Erfahnmgsthatsachen  auch  nach  dieser  Bichtung  hin  gesammelt  und  teilweise 
begründet  werden  konnten.  Cantor 

Lehrbnch  der  ebenen  nnd  sphärischen  Trigonometrie  zum  Gebrauche 

beim  Selbstunterricht  und  in  Schulen,  besonders  als  Vorbereitung 
auf  Geodäsie  und  sphärische  Astronomie  bearbeitet,  von  Dr.  E.  Hammer, 
Professor  an  der  königl.  Technischen  Hochschule  Stuttgart  Zweite, 
umgearbeitete  Auflage.    Stuttgart  1897.    J.  B.  Metzler.   XIV,  572  S. 

Die  erste  Auflage  von  1885  haben  wir  im  30.  Bande  dieser  Zeitschrift 
Histor.- litter.  Abtlg.  S.  110 — 111  unseren  Lesern  warm  empfohlen,  und  wir 
können  heute,  nachdem  das  Werk  um  volle  %  an  umfang  zugenonmien 
hat,  also  fast  ein  neues  Werk  geworden  ist,  unser  früheres  Lob  nur  be- 
stätigen.    Dem  Wunsche  des  Verfassers,  das  Buch  möge  in  Schülerkreisen 


208  Historisch -litterarificbe  Abteiiang. 

sich  einbürgern,  wird  natorgemSss  mehr  noch  als  1885  dessen  üm&ng  im  Wege 
stehen.  Schüler  kaufen  keine  Trigonometrie  von  fsAt  36  Druckbogen^ 
und  wenn  ein  Einzelner  sie  kaufen  sollte,  wo  f&nde  er  Zeit  sie  durchzu- 
lesen oder  gar  durchzurechnen?  Aber  der  in  zweiter  Linie  ausgesprochene 
Wunsch,  Lehrer  möchten  mehr  und  mehr  sich  des  Buches  bedienen,  ist  zt 
erfüllen  und  verdient  Erfüllung.  Der  Lehrer  wird  das  Hamm  ersehe 
Werk  als  eine  stets  ergiebige  Fundgrube  betrachten  dürfen,  an  welche  er 
nur  hinanzutreten  braucht,  um  immer  neuen,  immer  fesselnden  Stoff  for 
den  trigonometrischen  Unterricht  zu  finden,  mag  er  in  dieser  Beziehung 
eine  noch  so  häufige,  noch  so  vollständige  Abwechslung  für  wünschenswert 
halten.  Herr  Hammer  fährt,  was  wir  eigentlich  gar  nicht  anders  er- 
^«rmrtet  haben,  fort,  sin*  a  u.s.  w.  zu  schreiben.  Er  wird  nicht  erwarten, 
d»88  wir  darum  aufhören,  diese  Schreibweise  für  unlogisch  zu  halten.  Aber 
«ine   Frage  mag  Herr  Hammer  uns  beantworten.     Was  hat  er  gegen 

d'X*'^  d  (x*)y  dx^  =  {dxy^  d^x  =  ddx 

log  •  x'  «=  log  (x*),     log  x*  «=  (log  ir)',     log*  X  =  log  log  z 
#tu«awendeQ?     Benutzt  er  immer   die    nichtabgekürzte    zweite  Form,  oder 
^es^tattet  auch  er  sich  die  Abkürzung  wenigstens    einer    oder    der   anderes 
der  ^rstt'n  Formen?  Und  wenn  er  diese  letztere  Frage  bejahen  sollte,  hält 
er  uiobt  Folgorichtigkeit  f(ir  eine  recht  zweckmässige  Einrichtung? 

Cantor. 

1^  Wtthrt^cbeillliohkeitsreclinang.  Versuch  einer  Kritik  von  Dr.  LrDwio 
iUn.i^iUiMiDT,  mathematischem  Revisor  der  Lebensversichenrngshank 
Air  l>0utsuhland  in  Qotha.  Hamburg  und  Leipzig  1897.  Verlag 
Nvvu  Lt»opold  Voss.    Vm,  279  S. 

l.>it^  NV«UkrsoheinUohkeitsrechnung  hat  als  Definition  der  Wahrscheinlicb- 

*    i«^  Kiutrt^tens   eines   gewissen  Ereignisses  den  Quotienten  der  Anzahl 

4;tx'^a^tt)i  Kintrt^tvu  günstigen  Fälle  durch  die  Anzahl  der  überhaupt  mog- 

av«A    ValU'  au^egeben,      Ist   diese   Definition  eine    durch    die   Natar  der 

.      U'^^  ^^wuugene,  oder  ist  sie  willkürlich?    Sagt  sie  uns,  was  Wahr- 

^««.inJ^^v^^  i«t,  oder  sagt  sie  uns  nur,   was  der  Mathematiker  sich  ge* 

>^v  ^v>  »w  w^ttnen?     Das  ist,   wenn   wir  dem  Verfasser  in  seinen 

^.^•4    ^%4}4tvvUWi\,  aber  leider  nicht  immer  das  Ziel  deutlich  hervortreten 

^<;u    Vw»*iwaÄder«et»ungen  richtig  gefolgt  sind,  die  Frage,  über  deren 

«M«.««M^   ^  ^^^   ^^^   ^^^   Philosophen  auseinandersetzt.     Herr  Gold- 

^^.uft^l  4abi»i   SU   einer  Überzeugung,    welche   Referent  mit  ihn 

^    ^4«;^^   «ioh    etwa  in  folgende   meistens   dem   uns  vorliegenden 

^•Cu*A^  ^Utk  kleiden  Iftsst:  Allen  unseren  Wahrscheinlichkeitsaiis 

.1^    \s.vtwt>«digkeit  in    dem   Sinne   ab,    dass   ein   eintretender 

^^     «.ci4^4U  Krwartung   und  Ereignis   zu   einer  Auflehnnng  des 

"^  a*.^   iMiitote.      überall    müssen    unseren   auf  mathematische 

""^'      .^***bui^   und  insofern   unfehlbaren   Schlüssen  Erfthnmgs- 

^  ..^«  S^i^n«   ohne   deren  Richtigkeit  die  Schlüsse  io  der 


Rezensionen.  209 

Luft    schweben.     Anf  dem  Standpunkte   vollständiger  Unwissenheit  Wahr- 

scheinUchkeitsrechnungen    anzostellen    ist     dxtrohans    unberechtigt,     m^gen 

auch  Schriftsteller  von  noch  so  grosser  Bedeutung  sich   gegen   diese  Regel 

verfehlt  haben.    Als  Grundaufgabe,  auf  welcher  alles  sich  aufbaut,  erscheint 

das  Aufsuchen  bleich  wahrscheinlicher  F&lle.  r« 

^  Cantor, 

Wolfgail^  Bolyai  de  Bolya  Tentamen  iuventutem  studiosam  in  elementa 
matheseos    purae    elementaris    ac    sublimioris    methodo     intuitiva 
evidentiaque    huic   propria   introducendi,     cum    appendice    triplici. 
Editio  secunda.  Tomus  I.  Conspectus  arithmeticae  generalis.  Mandate 
Academiae  scientiarumHungaricae  suis  adnotationibus  adjectis  edidemnt 
Julius  Eöniq  et  Mauritius  R^tht,  Academiae  scientiarum  Hungaricae 
sodales.  Accedit  efßgies  auctoris.  Budapestini  MDCCCXCYII.  Sumptibus 
Academiae  scientiarum  Hungaricae.  XII,  677  p. 
Der  Name  des  ungarischen  Mathemalskers ,  den  eine  auf  der  Göttinger 
Universität  entstandene   Freundschaft   mit   Gauss   verband,   ist   allgemein 
bekannt.    Mehr  noch  kennt  man  den  Namen  des  Sohnes  Johann  Bolyai, 
der  die  Frage  nach  einer  Geomei^e^  in  welcher  das  Parallelenaxiom   nicht 
herrsche,  welche  erstmalig  von  Saccheri  gestellt  worden  war,   neuerdings 
auf  die  Tagesordnung  brachte.    Von  Wolf  gang  Bolyai  dem  Vater  kannte 
das  grössere   mathematische  Publikum   nur  die    oben  erwähnte  Thatsache, 
die  allerdings  das  günstigste  Vorurteil  zu  erwecken  vermochte,    wenn    man 
die  geringe  Zahl  der  Männer    erwog,    welche    Gauss    seiner    Freundschaft 
würdigte.     Dennoch  war  es  schwer,   den   Meisten   unmöglich,    ein    eigenes 
Urteil  über  Wolf  gang  Bolyais  Leistungen  zu  gewinnen,  da  über  seinen 
Schrifben  ein  doppelter  Unstern  leuchtete.    Sie  waren  so  gut  wie  unerhält- 
lich, und  wer  eines  Exemplares  habhaft  wurde  ^  fühlte  sich  durch  die  vielen 
tingewohnten  Bezeichnungen    sowie    durch    den    mangelhaften    Druck,    der 
unter  den  ungünstigsten  Verhältnissen  sich  durch  mehrere  Jahre  hindurch- 
geschleppt hatte,  abgeschreckt.     Die  Ungarische  Akademie   hat  es  als  eine 
Ehrenpflicht   erkannt,    für   eine    neue   würdige   Ausgabe   Sorge   zu   tragen, 
deren    erster  Band   in   gradezu   glänzender   Ausstattung    vollendet  vor  uns 
liegt.     Von   den   fremdartigen   Bezeichnungen    sind    einige    gewichen,    wie 
Bolyai   in   einer  Selbstanzeige   einst    als    wünschenswert    erkannt    hatte, 
andere  sind  beibehalten  worden,  mit  welchen  sich  allmählich  zu  befreimden 
Aufgabe  des  Lesers  ist.    Der  erste  Band  des  Tentamen  besteht  aus  vier  Ab- 
schnitten: 1.  Grundzüge  einer   allgemeinen  Arithmetik,    2.  Differential-  xmd 
Integralrechnung  nebst   Grundzügen   der  Variationsrechnung,    3.  Grundzüge 
der  Theorie  der  Gleichungen,  4.  Zusätze.   Das  Erscheinungsjahr  des  Tentamen 
ui  seiner   ersten    Ausgabe    war    1832.      Bolzanos    in    Prag    erschienene 
Schriften  waren    seit   etwa  15  Jahren,  Cauchys  Äfudyse   alg^brique  seit 
11   Jahren  im  Handel,    während   die   Disquisiiioncs   circa   seriem   etc.  von 
Gauss    gar   schon    seit  20  Jahren  für  die  Wissenschaft  vorhanden  waren, 
l^iese    Daten    wird    man    gut   thun   im   Auge    zu   behalten,   um  der  Ver- 
suchung  zu  entgehen,   Bolyais  Tentamen  eine  noch  bahnbrechendere  Be- 

RUt.-liit.  Abt.  d.  ZeiUchr.  f.  Math.  a.  Phyt.  43.  J»hrg.  1898.  6.  Heft.  IQ 


210  HiBtorisch-litterarisohe  Abteilung. 

deulung  beizulegen,  als  es  hätte  erringen  können,  wenn  es  rechtzeitig  ge- 
nügend bekannt  geworden  wäre.  Wollten  und  mussten  wir  durch  diese  Be- 
merkung einer  Überschätzung  des  Tentamen  in  den  Weg  treten,  so  Hegt 
uns  nichts  femer,  als  eine  ünterschätzung  veranlassen  zu  wollen.  Die 
Schriften,  auf  welche  wir  hingewiesen  haben,  lassen  erkennen,  worin  die 
Eigenart  und  mit  ihr  der  wissenschaftliche  Wert  des  Tentamen  besteht 
Der  Bruch  mit  jener  Darstellungsweise,  welche  an  dem  Entdecken  immer 
neuer  analytischer  Wahrheiten  sich  genügen  liess,  ohne  eine  YollkonmieDe, 
allen  Bemängelungen  trotzende  Sicherung  derselben  für  unerlässlich  zn 
halten,  ist  Yollzogen.  Das  Hauptgewicht  fällt  auf  die  tiefe  Begründung 
Der  Begriff  der  Grenze  ist  es  insbesondere,  welchen  Bolyai  (S.  20)  scharf 
zu  fassen  sich  bemüht.  In  deutscher  Übersetzung  lautet  die  betreffeDde 
Stelle  etwa  folgendermassen: 

Findet  ein  gewisses  Ä  in  jedem  Augenblicke  einer  Zeit  T  statt,  da 
gegen  in  einem  nach  T  eintretenden  Zeitpunkte  t  nicht  mehr,  so  muss  eii, 
wenn  T  fortgesetzt  zuninmit,  einen  Zeitpunkt  p  geben,  welcher  der  letzte 
von  dem  Anfange  von  T  an  gerechnet  ist,  bei  welchem  das  Stattfinden 
von  Ä  zutrifft.  In  p  ist  also  zum  letzten  Male  Ä  oder  zum  ersten  Male 
Nicht  -—A,  Ist  in  p  das  Nicht  —  A,  so  wird  hinter  dem  p  irgendeinmal 
immer  Ä  oder  immer  Nicht  — A  stattfinden,  es  sei  denn,  dass  hinter  dem 
p  jeder  Zeitpunkt  j?'  ein  solcher  wäre,  dass  zwischen  p  und  p'  zugleich  A 
und  Nicht  —A  stattfände.     Das  ist  die  Grundlage  des  Grenzbegriffes. 

An  einer  anderen  Stelle  (S.  55)  heisst  es:  Wächst  q  in  der  Weise, 
dass  nach  jeder  Vermehrung  eine  neue  stattfindet,  dass  aber  dennoch  immer 
etwas  geringeres  als  Q  entsteht,  so  hat  q  eine  Grenze. 

Um  an  einem  Beispiele  erkennen  zu  lassen,  wie  Bolyai  geometrische 
Grenzbegriffe  zu  fassen  wusste,  führen  wir  eine  dritte  Stelle  (S.  290)  an: 
Ist  ein  Bogen  Qp  einer  ebenen  Kurve  und  eine  solche  in  derselben  Ebene 
befindliche  von  p  ausgehende  Gerade  a^p  gegeben,  dass  von  p  aus  in  der 
gleichen  Ebene  keine  Gerade  zwischen  dem  Bogen  und  der  a'p  gezogen 
werden  kann,  so  sagt  man,  dass  a'|)  die  Kurve  berühre. 

Man  bemerkt,  dass  diese  Definitionen,  welche  leicht  zu  vermehren 
wären,  sehr  modern  im  besten  Sinne  dieses  Wortes  anmuten.  Es  wäre 
vielleicht  wünschenswert,  wenn  einer  der  Herausgeber  sich  die  fßr  ihn 
leichte  Mühe  geben  wollte,  Bolyai s  Kraftsätze,  wenn  wir  so  sagen 
dürfen,  aus  dem  Zusanunenhange  gerissen  in  kurzem  Auszuge  zu  veröfent- 

1^^^«°- Cantor. 

Oeuvres  mathematiqnes  d'Evariste  Galois  publiees  sous  les  auspices  de 

la  societe  mathimatique  de  France,  avec  une  introduction  par 
M.  Emile  Picard,  membre  de  Tlnstitut.  Paris  1897.  Gauthier- 
ViUars  et  fils  X,  61  p. 

Gegenwärtig   ist,   man    kann  wohl    sagen    überall,   die  Neigung  vor- 
handen,   Gesamtausgaben    der   Schriften  hervorragender   Forscher  zu  ver- 


Eezensionen.    Bil^ographie.  211 

anatalten.  Auch  für  die  der  Anzahl  nach  wenigen  Abhandlungen  von 
Galois  hat  die  französische  mathematische  Gesellschaft  eine  solche  Yei^ 
einigaog  za  einem  kleinen  Biindchen  veranlasst,  welches,  wie  man  Yorans- 
sehen  darf,  bald  in  den  wenigsten  Bibliotheken  von  Mathematikern  fehlen 
mrird.  £ine  Einleitmig  aas  der  Feder  von  Herrn  Emile  Picard  dient  ihm 
zur  besonderen  Empfehlung,  wenn  es  einer  solchen  bedürfte.       Gantor 


Der  Mathematiker  Jakob  Steiner  von  Utzenstorf.    Ein  Lebensbild  und 

ungleich  eine  Würdigung  seiner  Leistungen  von  Dr.  phiL  J.  H.  Graf, 
ordentlichem  Professor  der  Mathematik  an  der  Hochschule  in  Bern. 
Mit  dem  Porträt  und  dem  Faksimile  eines  Briefes  Steiners.  Bern  1897, 
K.  J.  Wyss.   61  8. 

Die  uns  vorliegende  kleine  Schrift  ist  keine  Lobschrift  im  landläufigen 
Stile.  Herr  Graf  hat  den  Spruch,  dass  man  von  Toten  nur  Gutes  reden 
solle,  geopfert  und  an  dessen  Stelle  die  Behauptung  bewährt,  dass  Wahr- 
heit* die  beste  Politik  sei.  Wir  lernen  in  Grafis  Schilderung  den  wirklichen 
Jakob  Steiner  kennen,  eine  nicht  immer  liebenswürdige,  nicht  immer  nach- 
ahmnngswerte,  aber  stets  geniale  und  im  höchsten  Grade  bedeutende 
Persönlichkeit.  Ungemein  fesselnd  sind  die  Angaben  Über  Steiners  eigenen 
Bildungsgang,  insbesondere  über  die  Hefte,  welche  er  ausarbeitete,  als  er 
der  Pestalozzischen  Erziehungsanstalt  angehörte.  Cantor 


Bibliographie 

vom  4.  August  bis  13.  Oktober  1898, 


Feriodischo  Sohiiften« 

Abhandlungen  der  königl.  Gesellschaft  der  Wissenschaften  zu  Göttingen. 
Mathem.- physik.  Klasse.  Neue  Folge,  1.  Bd.  Nr.  8.  Schur,  Wilh.,  Ab- 
leitung relativer  örter  des  Mondes  gegen  die  Sonne,  aus  heliometrischen 
Messungen  von  Sehnenlängen  ausgeführt  auf  der  Sternwarte  zu  Göttingen 
während  der  partiellen  Sonnenfinsternisse  von  1890,  Juni  16./17.  und 
von  1891,  Juni  6.    Berlin,  Weidmann.  M.  3. 

Abhandlungen  der  königl.  sächs.  Gesellschaft  der  Wissenschaften,  mathem.- 
physikalische  Klasse.  24.  Bd.  Nr.  IV.  Crednsr,  Herm.,  Die  sächsischen 
Erdbeben  während  der  Jahre  1889  bis  1897.     Leipzig,  B.  G.  Teubner. 

,  M.  4. 50. 
16* 


212  Historisch -litterariBche  Abteilung. 

Annaleii)  neue,  d«r  königl.  Sternwarte  in  Milnchen.  Herausgegeben  toh 
Direktor  Hugo  Seeligbr.    m.  Bd.    München,  Franz.  M.25. 

Berichte  der  sftchs.  Gesellschaft  der  Wissenschaften.  Mathem.-physiL  Klasse. 
1898.    I— IV.    Leipzig,  B.  G.  Teubner.  a  M.  1. 

Fortsehritte,  die,  der  Physik  im  Jahre  1897.  Dargestellt  von  der  physi- 
kaiischen  Gesellschaft  zu  Beriin.  53.  Jahrg.  I.Abt.  BöBKerEiN,  Rice, 
Physik  der  Materie.    Braunschweig,  Yieweg  &  Sohn.  M.23. 

Jahresbericht  der  deutschen  Mathematikervereinigong.    Herausgegeben  toq 

A.  Wakoerin  und  A.  Gutzmer.     5.  Bd.  2.  Heft  1.  Lieferung.    Kötter^ 
Ernst,    Die    Entwiekelung    der    synthetischen    Geometrie.      Leipzig 

B.  G.  Teubner.  M.  4. 40. 
Jahrbuch,  deutsches  meteorolog.,  fttr  1896.    Meteorologische  Station  L  Ord- 
nung in  Magdeburg.    Herausgeg.  von  Rud.  Weidbnhagek.    Magdeburg. 
Faber.                                                                                             kart  M.  6. 

Jahrbuch,  nautisches,  od«:  Ephemeriden  und  Tafeln  für  das  Jahr  1901  tor 
Bestimmung  der  Zeit,  Lange  und  Breite  zur  See  nach  astronomischen 
Beobachtungen.   Herausg.  vom  Beichsamt  des  Innern.  Berlin ,  Heymann. 

kart  M.  1. 50. 

Jahrbuch  über  die  Fortschritte  der  Mathematik.  Herausg.  von  Emil  Lampe. 
2 7. Bd.  Jahrg.  1896.    I.Heft.    Berlin,  Reimer.  M.12. 

Sitzungsberichte,  Münchener,  Mathematische  Ellasse.  1898.  2.  Heft.  München, 

Franz.  M.  1. 20. 

-Wiener,  Mathem.-naturw.  Klasse.    1.  Abt.  107.  Bd.  1. — 5.  Heft.   Wien, 

Gerolds  Sohn.  M.6.50. 

Verhandlungen  des  ersten  internationalen  Mathematiker  -Kongresses  in  Zürich 
vom  9. — 11.  August  1897.  Herausgegeben  von  Ferd.  Rudio.  Leipiig, 
B.  G.  Teubner.  M.  12. 

VerOffentlichuDg  des  königl.  preuss.  geodätischen  Institutes  u.  Centralbnreaos 

der  internationalen  Erdmessung.    Helmert,  F.  R.,  Beiträge  zur  Theorie 

des  Reversionspendels.     Leipzig,  B.G.  Teubner.  M.  7. 60. 

—  Dasselbe.    Krüger,  L.,  Beiträge  zur  Berechnung  von  Lotabweichongs- 

systemen.    Ebenda.  M.  8. 40. 

V^iföffentlichungen  des  königl.  preuss.  meteorol.  Instituts.  Herausgeg.  durch 
Direktor  Wilh.  von  Bezold.  1897.  2.  Heft.  Ergebnisse  der  Beobach- 
tungen an  den  Stationen  II.  und  III.  Ordnung  im  Jahre  1897,  zugleich 
deutsches  meteorol.  Jahrbuch  für  1897.  Beobachtnngssystem  des  König- 
reichs Preussen  und  benachbarter  Staaten.    Berlin,  Asher  A  Co.       M.  3. 

ViorteljahrsBchrift  d.  Astronomischen  Gesellschaft.  33.  Jahrg.  2.  Heft  Leipzig. 
fingelmann.  H.  2. 

Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

KiMii^EH,  P.  FiNTAN,  Die  Zcitmesscr  bis  zur  Erfindung  der  Pendeluhr.  Pro- 
gramm.   Einsiedeln,  Benziger  &  Co.  M.  2. 

/fe:iiNiiC,  Jelia  V.,  Sophie  Kowalewsky,  ein  weiblicher  Professor  (Sammlung 
gemeinnütziger  Vorträge  Nr.  237).    Prag,  Haerpfer.  M.— .20. 


Bibliographie.  213 

Beine  Mathematik. 

Breuer,  Adb.,  Elementar  entwickelte  Theorie  und  Praxis  der  Ftmktionen 
einer  komplexen  Yariabeln  in  organischer  Verbindung  mit  der  Geometrie. 
Wien,  Daberkow.  M.  5. 

BocHOw,  Karl,  Die  Formeln  fftr  die  Summe  der  natürlichen  Zahlen  und 
ihrer  ersten  Potenzen,  abgeleitet  an  Figuren.  Magdeburg,  Faber.       Ml. 

CzüBER,  Emak.,  Vorlesungen  üb. Differential -u. Integralrechnung.  2.(Schluss-) 
Band.    Leipzig,  B.  G.  Teubner.  geb.  M.  10. 

Port,  0.,  xmd  Schlömilch,  0.,  Lehrbuch  der  analytischen  Geometrie.  2.  Teü. 
Analytische  Geometrie  des  Baumes.  6.  Aufl.  Von  B.  Heger.  Leipzig, 
B.  G.  Teubner.  M.  5. 

Gamborg,  V.  E.,  Logarithmentafeln,  Logarithmen  und  Antilogarithmen  ent- 
haltend, nebst  den  Logarithmen  d.  trigonometrischen  Funktionen  u.a.m. 
Berlin,  Juncker.  M.  2.  25. 

GoETTLER,  JoH.,  Eonformc  Abbildung  eines  Ton  konfokalen  elliptischen  und 
hyperbolischen  Kurven  «*•'  Ordnung  begrenzten  Flächenstückes  auf  der 
Halbebene.     Programm.    Passau,  Waldbauer.  M.  1. 

KoEPP,  G.,  Illustrierter  Spezialkatalog  über  geometrische  Modelle:  Linien, 
Fl&chen,  Körper  und  Sammlungen  Yon  denselben  zur  Veranschaulichung 
planimetrischer,  stereometrischer  und  trigonometrischer  BegriflRs  und 
Lehrsätze.    Bensheim,  Ehrhard  &  Co.  M.  — .  50. 

Meyer,  Max,  Katechismus  der  Logarithmen.  2.  Aufl.  (Webers  Katechismen 
Nr.  93.)     Leipzig,  Weber.  M.2.50. 

Petersen,  Jvl.,  Vorlesungen  über  Funktionstheorie.  Kopenhagen,  Host  &  Sohn. 

M.  10. 

HiEDEi«,  Ernst,  Katechismus  der  Stereometrie,  mit  einem  Anhange  über 
Kegelschnitte,  sowie  über  Maxima  und  Minima  (Webers  illustr.  Kate- 
chismen Nr.  175).     Leipzig,  Weber.  geb.  M.  3. 50. 

RoE  jr.,  Edward  Brake,  Die  Entwicklung  der  Sylyesterschen  Determinante 
nach  Normalformen.     Leipzig,  B.G.  Teubner.  M.  2. 

Salmon,  Geg.,  Analytische  Geometrie  der  Kegelschnitte,  mit  besonderer 
Berücksichtigung  der  neueren  Methoden.  Frei  bearbeitet  von  Wilh. 
Fiedler.    6.  Aufl.    I.Teil.    Leipzig,  B.G. Teubner.  M.  9. 

Schlesinger,  Ludwig,  Handbuch  d.  Theorie  d.  linearen  Differentialgleichungen. 
(In  zwei  Bänden.)  2.  Bds.  2.  (Schluss-)  Teü.  Leipzig,  B.  G.  Teubner.  M.  16. 

Schur,  Frdr.,  Lehrbuch  der  analytischen  Geometrie.  Leipzig,  Veit  &  Co.  M.  6. 

Sturm,  Lehrbuch  der  Analysis  (Cours  d* Analyse).  Übersetzt  von  Thdr.  Gross. 
2.  Bd.    Berlin,  Fischer.  M.  7. 50. 

Angewandte  liatheBiatik. 

BoLTE,  F.,  Sammlung  von  mathem.,  phjsikal.  und  teehn.  Tafeln  für  den 
Unterricht  an  Schulen  für  Seedampfschiffs -Maschinisten.  Hamburg, 
Eckaidt  &  Messtorff.  kart.  M.  2. 

Brenner,  Leo,  Handbuch  für  Amateur -Astronomen.  Leipzig,  Mayer,  geb.  M.  10. 


Abteiliizig>.    Bibliographie. 


anz: 


Mschanik   bei  Boltzicann  and  Hertz. 


tecfaiuBche  Mechanik.    l.Bd.    Einföhnmg  in 
•  ^MT?g-     '.eixizxs,  B.  >j.  Tenbner.  geb.  M.  10. 

oitxige.   Sechs  gemeinverständliche  Hochschnl- 

Tttaczer  A  Baamgart.  M.  1. 40. 

.:r  jijxauioaa^  14.  und  15.  lieferong.    Breslau,  Trewendt 

a  M.  3. 60. 

.    .  w.er»  Tnam  TOBL  Mond.    Leipadg,  B.O.Teabner.    M.d. 

"•^juiMTiLi^^  Ä^  Über  die  Theorie  des  Kreisels.     IL  Heft. 

u.   '-^r   'i'f^ne  jn  Falle  des  schweren  symmetrischen  Kreisels. 

*^arr.  M.  10. 

^•..u:u   i«r  .utronomischen  Navigation.    Im  Anfbrage  des 

'  dK'O»-  QLrregsministerimns ,  „  Marine  -  Sektion ^y  ver- 

-l"*M-*    X    -O»  Ä.  10. 

>>«      :<•  r'yixaiiiik  der  Systeme  starrer  Körper  in  zwei 

.  .^M  ava   Baii^ielai.    Deutsch  von  Adf.  Schbpp.    Mit 

a   .  o.  ÄUECL    ±.  Bd.    Die  höhere  Dynamik.    Leipzig, 

geb.  M.  14. 

ictrildft  für  die  statische  Berechnung  ein&cher 

Vi^a»  Spidhagen  &  Schurich.  M.4. 

^•7    -!*uiem»  rahttUeiL.     3.  Aufl.    Ausgabe   für  Baa- 

>m;u«    ^4«*^e<er.  geb.  M.  1. 

.  u     «dcuudü»  der  mathematischen  Tabellen  in  den 

..  "j.      va    :fö  Beispielen   aus   der  Praxis  erläutert. 

geb.  M.  1. 20. 
H..  .u     jm.  A2;^o  ia  der  LebensTersichemng.  Stadie. 

M.  3. 60. 
)        c«     i«r  Weit.     Auf  mechanisch -astronomischer 


Vie. 


KlMDI. 

g' 

Zednik 


ie. 

.    Tacersoehungen  über  die  Theorie  des 
.^  .  u>c£i«iä^  ^nd  das  Nordlicht.   Berlin ,  Springer. 

M.-.60. 

^^..      ^>pf«K  und  seine  Funktion  als  Wärme, 

^2^  ^,  .•i.»'»  "led  Gravitation.    Leipzig,  Friedrich. 

M.2. 
^     i    •MM>^e's  >i«r:   Der  Schall  im  begrenzten 
'.  r^3.*4C9<.  fif^b.  M.  4. 

. . .  >^   w*^-^r«u  Strahlenbrechung.     Leipzig, 

M.  2. 80- 


.1,. 


gel 


Mathematisches  Abhandlnngsregister. 


Zweite  Hälfte:  1.  Juli  bis  31.  Dezember. 


A. 

Abbildung. 


445.  Kepr^sentation  g^om^trique  de  la  fonction  arctg  z,    Maillard.   N.  ann.  math. 

Sär.  3,  XVI,  368. 

446.  Sar  certains  problämes  de  repr^sentation  conforme.   H.A.Schwarz.    N.  ann. 

math.  S^r.  3,  XVI,  200. 

447.  Sur    une   g^n^ralisation    du    probläme    de  la  repräsentation  conforme  aux 

vari^t^s  ä  trois  dimensions.    Em.  Cotton.    Compt.Bend.  CXXV,  225. 

448.  Biegungen  und  konjugierte  Systeme.    P.  Stäckel.    Mathem.  Annal.  IL,  255. 

[Vergl.  Bd.  XLI  Nr.  273.] 

Absolute  Oeometrie. 

449.  Sur  la  r^duction  des   vecteurs   et  les  propri^täs  mätriques.    J.  Andrade. 

Compt.  Rend.  CXXV,  394. 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik  540. 

Analytisohe  Oeometrie  der  Bbene. 

450.  Quartique  trinodale  comme  lieu  des  points  de  rencontre  de  certaines  tangentes 

menees   ä   une    särie    de    coniques    de    deux    sommets   d'un    triangle. 
A.  Droz-Farny.     N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  145. 

451.  Quartique  lieu   des  milieux  des   cordes   d^un  cercle    ayant   une    projection 

donn^e  sur  un  diam^tre  fixe.    A.  Mannheim.    N.  ann.  math  Sir.  3,  XVI, 
187.  —  M.  d'Ocagne  ibid.  237. 
Vergl.  Ellipse.  Hyperbel.  Kegelschnitte.  Kreis.  Parabel. 

Axial3rti8ohe  Oeometrie  des  Baumes. 

452.  Neue    Eigenschaften    des    Strahlenkomplexes    zweiten   Grades.     Th.  Heye. 

Mathem.  Annal.  IL,  585. 

453.  Sur  le  d^placement  le  plus  g^n(^ral  d'une  droite  dont  tous  les  points  d^crivent 

des  trajectoires  sphöriques.     E.  Duporcq.     Compt.  B«nd.  CXXV,  762. 

454.  Deplacement  d*un  t^traedre  trirectangle  au  sommet.  Richard.   N.  ann.  math. 

S^r.  3,  XVI,  476. 

455.  Quelques  th^or^mes  de  g^om^trie.   G.  Galluc ci.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  13. 

456.  Sur  deux  sph^res  de  m^me  rayon  tangentes  entre  elles  et  touchant  chacune 

un  de  deux  plans  donnäs.     A.  Th^venet.     N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI, 94. 

457.  Sur  la  droite  de  rencontre  des  plans  polaires  d'un  m§me  point  par  rapport  k 

un  ellipsoide  et  une  sph^re  concentrique.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  aVI,  31. 

458.  Th^or^mes  de  Pascal  et    de  Brianckon.     F.  Farjon.    N.  ann.  math.  S^r.  3, 

XVI,  78.  —  F.  Schur  ibid.  238. 
Vergl.  Oberflächen.    Oberflächen  zweiter  Ordnung. 

Astronozoie. 

459.  Sur  les  cas  du  probläme  des  trois  corps  (et  des  n  corps)  oü  deux  des  corps 

se  choquent  au   bont   d'un  temps    fini.     P.  Painlev^.     Compt.  Rend. 
CXXV,  1078. 


216  Historisch -litterarische  Abteilung. 

460!  Sur  les  p^riodes  des  integrales  doubles  et  le  d^veloppement  de  la  fonction 
perturbatrice.     H.  Poincar^.     Joum.  Math^m.  Sär.  5,111,  203. 

461.  Determination  des  coordonn^es  absolues  des  etoiles,  ainsi  que  de  la  latitude. 

ä  Taide  des  instruments  m^ridiens.     Methode  gänärale  pour  la  Bolutiou 
de  ces  divers  problämes.    Loewy.     Compt.  Bend.  CXXV,  1062. 

462.  Methode  speciale  pour  la  determination   absoiue   des  dedinaiBons  et  de  la 

latitude.     Loewy.     Compt.  Rend.  CXXV,  1142. 

B. 

Bestimmte  Integrale. 

463.  Extension  du  theor^me  de  Cauchy.    L.  Ravut.    N.  ann.  math.  Ser.  3, XVI,  365. 

464.  Sur  Tapproximation  des  fonctions   de  grands  nombres.    M.  Hamy.     Compt. 

Rend.  CXXV,  926. 

465.  Nouvelle  demonstration  du  theor^me  de  Stokes.   R.  Blondlot.   N.  ann.  math. 

Ser.  3,XVI,  501. 

466.  Sur  Tintegrale  / = dz  prise  le  long  du  contour  forme  de  2  demi- 


circonferences    de   rayons  B  et  r,  ayant  Torigine  pour  centre  comman 

et  reliees  par  des  portions  de  Taxe.    V.  Jamet.    N.  ann.  math.  Ser.  3. 

XVI,  8. 
46T.  Kxercises  de  licence.    Bourlet.     N.  ann.  math.  Ser.  3,  XVI,  236. 
46^.  8ur  los  integrales   doubles  de  seconde  asp^ce  dans   la   theorie  des  surfaces 

algebriques.    Em.  Picard.    Compt.  Rend.  CXXV,  909. 
Vergl.  Astronomie  460. 

C. 

Combinatorik. 

4^^.  rb4»r  Triuelsysteme.    L.  Heffter.    Mathem.  Annal.  IL,  101. 
470.    lk\tH>rio  lies  regions.    E.  Cahen.     N.  ann.  math.  Ser.  3,  XVI,  533. 

Cubatur. 

471    Konuulo  pour  le  volume  d^un  tetraädre.    Dulimbert.    N.  ann.  math.  Ser.  ä, 
\Vl.  881. 

CylinderfanlLtiojien« 

^.'-^    IVvi^n*  oinor  Formel  des  Herrn  Sonine.   E.  G übler    Mathem.  Annal. IL, 583. 
4;i,  5^jir  lo*   fonctions  Besseiiennes    0"(x)  et  S*(x)     L.  Crelier.      Compt.  Rend. 
i'XW,  421,  860. 

Determinanten. 

^.1,  \  k'i^uv  U*uu  cortain  determinant.    V.  Retali.     N.  ann. math.  Ser.  3, XVI.  191 
,./  Nut   uu  viotoruünant  remarquable.  C.  Bourlet.    N.  ann. math.  Ser.  3, XVI,  369. 
>,  >i^i   uu  vortiiin  Jacobien.     Antenne.     N.  ann.  math.  Ser.  3,  XVI,  376. 

Differentiali^lelohungen. 

^  'uKx^tiou  der  gewöhnlichen  Differentialgleichungen.    Alf.  Guldberg. 

V  «t  iV  i'XVIlI,  158. 

^     •.•■uo<u'  xuv  lt»a  i^quations  difEerentielles.  Duport.  Joum.Maihem,Ser.6,ni,17. 

\^  ..  t  .i«>%vk<«  dor  Existenz  eines  Integrals  einer  linearen  homogenen  Differential- 

...tvuufc^^».   M.Hamburger.  Grelle  CXVIH,  361.  —  L.Fuchs  ebenda  854. 

\.u^»o«thi»orie  der  homogenen  linearen  Di£Perentialgleichungen.  Em,  Beke. 

i,\»u'u*  Aaual.  IL,  573. 

.   %>iivkUs»u^t  diiferentielles  lineaires  appartenant  ä  une  m^e  claase  de 

....uu      F.Marotte.     Compt.  Rend.  CXXV,  84. 
^  .  ..^vv  doM  integrales  dans  certains  syst^mes  differentiels.  Riquier. 
..     u  ml  i'XXV,  933. 

..>v>u  do  la  methode  des  fonctions  majorantes  ä  certains  systöiues 
. ,  :s.     Kiquier.     Compt.  Rend.  CXXV,  1018. 
.^  .ttuktUuiM  infinitesimales  des  equations  difPerentielles.  N.  Salty* 
„    Mathem.  Ser.  ö,  IE,  429. 


Abhandlungsregister.  217 

485.  Sor  une  double  g^n^ralisation  des  äquations  de  Lie.     E.  Yessiot.    Compt. 

Rend.  CXXV,  1019. 

486.  über  das  Verhalten    der   Integrale  von  Differentialgleichungen  bei  der  An- 

näherung der  Veränderlichen  an  eine  Unbestimmtheitsstelle.    J.  Hörn. 
Grelle  CXVm,  267. 

487.  Sur  la  mäthode  des  approximations  successives  de  M.  Picard.    S.  Zaremba. 

Joum.  Math^m.  S^r.  6,  HI,  311. 

488.  Einige   Sätze  über   die   asymptotische   Darstellung    von  Integralen  linearer 

Differentialgleichungen.    Ad.  Kneser.    Mathem.  Annal.  Ui,  383. 

489.  Verwendung  asymptotischer  Darstellungen  zur  Untersuchung   der  Integrale 

einer    speziellen    linearen    Differentialgleichung.      J.  Hörn.     Matnem. 
Annal.  Ui,  458. 

490.  Über    die     Integration    der    Hamiltonschen     Differentialgleichung     mittels 

Separation  der  Variabein.    P.  Stäckel.    Mathem.  Annal.  IL,  145. 

491.  Grundzüge    einer    Integrationstheorie    der    Systeme    partieller    Differential- 

gleichungen  erster  Ordnung  in  zwei  unabhängigen  und  beliebig  vielen 
abhängigen  Veränderlichen.    E.v.  Weber.     Crefie  CXVm,  123. 

492.  Theorie  der  Involutionssysteme  partieller  Differentialgleichungen  erster  Ord- 

nung in  beliebig  vielen  abhängigen  und  unabhängigenVeränderlichen. 
E.  V.  Weber     Mathem«  Annal.  IL,  543. 

493.  Sur  la  dätermination   des  integrales   d'une  ^quation  aux  d^riv^s  partielles 

par  certaines  conditions  initiales.    E.  G  o  u  r  s  a  t.   Compt.  itend.  CaXV,  640. 

494.  Sur  rint^gration  des  syst^mes  d'^quations  aux  däriv^  partielles  du  premier 

ordre    ä    plusieurs    fonctions    inconnues.     J.  Beudon.     Compt.  Rend. 
CXXV,  166. 

495.  Etüde   sur   les   integrales    d'un   systäme    des   ^quations   diff^rentielles    aux 

därivees    partielles    de  plusieurs  fonctions  inconnues.     N.   Saltykow. 
Joum.  Mathem.  S^r .  6,  EI ,  423. 

496.  Lber  die  Integration  der  partiellen  Differentialgleichungen  zweiter  Ordnung. 

N.  J.  Sonin.    Mathem.  Annal.  IL,  417. 

497.  Sur  une  forme  analytique  des  integrales  des  equations  lineaires  aux  d^riv^es 

partielles  ä  deux  variables  independantes.    J.  Le  Roux.    Compt.  Rend. 
CXXV,  1015. 
Vergl.  Mechanik.    Variationsrechnung.    Wärmelehre. 

Differentialquotient. 

498.  Sur  des  congruences  differentieUes  linäaires.    Alf.  Guldberg.   Compt.  Rend. 

CXXV,  489. 

Dreiecksgeometrie. 

499.  Sur  4  droites  se  coupant  au  centre  du  cercle  circonscrit  ä  un  triangle  donne. 

F.Farjon.     N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  190.  —  E.  Duporcq  ibid.  191. 
Vergl.  Ellipse  603. 

Elektrisitftt. 

WO.  über  das  Gleichungssystem  einer  Kirchhoffschen  galvanischen  Strom- 
verzweigung.    W.  A h r e n 8.     Mathem.  Annal. IL ,  Sil. 

601.  Le  Probleme  de  la  distribution  de  Telectricite  et  le  problöme  de,C.  Neumann. 
W.  Stekloff.    Compt.  Rend.  CXXV,  1026. 

Bllipse. 

502.  Sur  la  deviation  de  rellipse.    A.  Mannheim.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  249. 

503.  Ellipse  lieu   du   centre   du   cercle   des  neuf  points  des  triangles  dont  deux 

cötes  sont  fixes  et  le   troisiäme  de   longueur  constante.    N.  ann.  math. 
Ser.  3,  XVI,  90. 

504.  Produit  constant  des    aires  d'un  triangle   et  d'un  rectangle  se  rapportant  ä 

une  ellipse.     A.  Droz-Farny.    N.  ann.  math.  Ser.  3,  XVI,  146. 

Xmiptische  Transoendenten. 

505.  Le  theor^me   d'addition   de   la  fonction  p(w).    P.  Stäckel.    N.  ann.  math 

Ser.  8,  XVI,  76.     [Vei^l.  Bd.  XLH  Nr.  Ö21.J 


.^Il 


^Y>;  Historisch -litterarische  Abteilung. 

"»«Hi.  *^xr  le*  period^s»  des  integrales  doubles.  H.  Poincarä.  Compt.  Elend.  CXXV,995. 
>iT.  "^ir    '.e^i    p<«riode$    des    integrales    doubles    de   fonctions    algäbriques.    Em. 
Picard.     Compt.  Rend.  CXXV,  1068. 
Ven^i.  Astronomie  460.    Greschichte  der  Mathematik  641.   Thetafunktionen. 

F. 

Formen. 

'.^••i    'ur  Tht^>^tt^  der  linearen   Substitutionen.     Alf.  Loewy.     Mathem.  Annal 

IL.  44i*.     [Vergl.  Bd.  XLH  Nr.  629.] 
A^    ^ir  la  rtfiluction  des  formea  quadratiques  binaires.    A.  Hurwitz.    N. ann 

m.«h.  Sjr.  «,  XVI,  491. 
%io    Lc  rvsult^ittt   de  trois   formes  temaires   quadratiques.     P.  Gordan     Jonrn. 

Mathem.  Ser.  6,  HI,  196. 

Funktionen. 

IVurÄjct»  Äur  Theorie  der  stetigen  Funktionen  einer  reeUen  Veränderlichen. 
r    Broden.    Grelle  CXVIII,  1. 
v'^    Siir  la  thevtri^  g^n^rale  des  fonctions  de  variables  reelles.   R.  Baire.  Compt. 

)ivud  CXX\\691. 
s:,<   <;ir  Itt  thoorio  de»  fonctions  enti^res.     E.  Schon.    Compt.  Rend.  CXXV,768. 
-!l»  /".HT  dfu  ^u^jtammenhang  «wischen   der  Dedekind-Weberschen  Normalbasis 
und   dvm    Henselschen   absoluten   Fundamentalsystem.     Ludw.  Baur. 
>4»tht»itt.  Annal.  IL,  78. 
.\   v»j  *t»  caIcuI  touotionnel  distributif.    S.  Pincherle.   Mathem.  Annal. IL, 825. 
K  >ia  la  ooMVf  ivtmoe  des   substitutions   uniformes.    £.  M.  L^meray.    N.  ann. 
uMib.  St^r  3,  XVI,  806. 
^N>pMt'tor4   toudamentales   des  fonctions   circulaires  d^finies  sous  forme  d*un 
»»ixHluit.     A,  Pagfes.    N.  ann  math.  S^r.  8,XVI,  841. 
V  >^.:    <Ho  ti>i'tüulo  do  la  th^orie  g^närale  des  fonctions  de  plusieors  variables 
o(  vU>  I  Integration  des  düFärentielles  totales.    E.  Jaggi.     N.  ann.maüi. 

K  .    (u  uouvol  algorithme.    L^meray.     Compt.  Rend. CXXV,  624. 

\ .  «si.  V Meldung.  Bestimmte  Integrale.  Cylinderfonktionen.    Determinanten. 

''i:UnvutuilgUnchungen.  Differentialquotient.  Elliptische  Transcendenten. 

:  ..(uiou.  UUnohungen.  Kettenbrüche.  Mannigfaltigkeiten.  Potential.  Reihen. 

v.vwiitutiouou.   Thetafunktionen.  Transformationsgruppen.  unbestimmt« 

.  iuou      /ahlontheorie. 

Geometrie  (desoriptive). 

>,.«iH  \HiMt^  ganche.    A.  Boulanger.    N.  ann.  math.  Sär.  8,  XVI,  171. 

Geometrie  (höhere). 

:v  v^i-^v bcu  Zahlen  der  Abweichungskurven.   W.  Bouwman.    Mathem. 

.,iuiv>a.Htmtion  du  th^oröme  fondamental  de  la  g^om^trie  projective. 
,,     .vuthou.    Compt. Rend.  CXXV,  638,  868. 
^t      Vu Wendungen    des    Korrespondenzprinzips.     K.  Th.  Vahlen. 
^    ,\ Will,  aöl. 

.  .ic*»i»o"di^»i*o    biforme;     extension    des    polygones    de    Poncelet 
.  ,!  »HO«     N.  ann.  math.  Sär.  3,  XVI,  437. 

x.oiuuktion   homographique    des   propri^t^a   m^triques   des  figures 
Ki.  Urocard.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  298.     [Vergl.  Bd. XLII 

.   .  i'UKVi    orthogonaux   et  les   systömes  cycliques.     C.  Guichard 

•Und.  CXXV,  619. 

A  ot  les  congruences.     Guichard.    Compt.  Rend.  CXXV,  664 

.  lou  üi's  quadriques.    C.  Guichard.    Compt.  Rend.  CXXV, 696. 

ae  M.  Honnet.     C.  Guichard.     Compt.  Rend. CXXV.  648. 

ilü   Kibaucour.     C.  Guichard.     Compt.  Rend.  CXXV,  1013. 


\ 


..  k 


Abhandlungsregister.  219 

531.  8nr    les    focales    planes   d'une   courbe  plane   ä   nn   on    plusieurs   axes    de 

sym^trie.    P.  H.  Schonte.     Compt.Kend.CXXV,  931. 

532.  Sur  le   d^placement  d'un  triangle  variable  semblable  ä  nn  triangle  donnä. 

M    d'Ocagne.     N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  474. 

533.  Sur  les    d^placements    d^une    figure    invariable.     A.  de   Saint-Germain. 

N.  ann.  math.  S6r.  8,  XVI,  319. 

534.  Sur    rhypocycloide   de    Steiner.    P.  Serret.    Compt.  Rend.  CXXV ,  404,  423, 

445,  459. 

535.  Sur   une  courbe  du  4.  degr^  engendr^e  au  moyen  de   denx  circonfdrences. 

F.  Sartiaux.    N.  ann.  math.  S^r.  8.  XVI,  232. 

536.  Lieu  des  points  de  deux  courbes  appartenant  k  deux  faisceaux,  Tun  d'ordre 

m,  Tautre  d^ordre  n,  oü  les  courbes  se  coupent  sous  an  angle  constant. 
6.  Leinekugel.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  386. 

537.  Sur  l^application   de  deux   covariants  ä.  la  construction  de  quelques  esp^ces 

de  courbes.     S.  Mangeot.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  677. 

538.  Demonstration  gäom^trique    d'une    propri^t^   de   la  cycloide.    A.  Vicaire. 

N.  ann.  math.  S4r.  3,  XVI,  480. 
Vei^l.  Absolute  Geometrie.   Kinematik.    Mehrdimensionale  Geometrie.  Ober- 
flächen. 

Gesohiohte  der  MathematÜL. 

539.  £tiide8  anatomiques  de  Leonard  da  Vinci.  H.  de  Lacaze-Duthiers.   Compt. 

Rend.  CXXV,  922. 

540.  Gkkuss,  die  beiden  Bolyai  und  die  nichteuklidische  Geometrie.    P.  Stäckel 

und  Fr.  EngeL    Math.  Annal.  IL,  149. 

541.  Les  recherches  de  Gauss  dans  la  thäorie  des  fonctions  elliptiques.  P.  Günther. 

Joum.  Mathem.  S^r.  6,  III,  95. 

542.  Note  sur  Francesco  Brioschi  (22.  XII.  1824  — 13.  Xn.  1897).   Hermite.  Compt. 

Rend.  CXXV,  1139. 

543.  Le  ^omon  de  Tobservatoire  et  les  anciennes  toises;  restitution  de  la  toise 

de  Picard.    C.  Wolf.     Compt.  Rend.  CXXV,  199. 
Vergl.  DifiTerentialgleichungen  479.    Optik  613. 

Gleiohun^eji. 

544.  Solle  irrazionalitä  da  cui  pu6  farsi  dipendere  la  risoluzione  d'un*  equazione 

algebrica  f{xyz)  —  0  con  fnnzioni  di  due  parametri.    Fed.  Enriques. 
Mathem.  Annal.  IL,  1. 

545.  Thäor^mes  sur  les    ^quations  algäbriques.     Sondat.     N.  ann.  math.  S^r.  3, 

XVI,  169. 
546    Sur  les  conditions   qui  expriment  qu^une   ^quation   alg^brique   de  degr^e  m 
n^a  que  p  racines  distinctes(p •<»»).   X.  Antomari.   N.  ann.  math.  S^r. 3, 
XVI,  68. 

547.  Sur  une  ^quation  r^ciproque  de  degrä  2  m  n'ayant  pas  de  racine  commune 

avec  a;*-l«=0.    E.  Taratte.    N.  ann  math.  S^r.  3,  XVI,  482. 

548.  Sur  les  racines  imaginaires  de  T^quation  x  —  op»,    £.  M.  L^meray.   N.  ann. 

math.  S^r.  3,  XVI,  64. 

549.  Sur  le  quotient   et  le  reste  ^manants  de  la  division  du  carr^  de  la  d^riv^e 

d^un  polynome   du   quatri^me   degr^  ^  quatre  racines  distinctes  par  ce 
polynome  mtee.    R.  Gilbert.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  101. 

550.  Racines  de   quelques  ^qaations  transcendantes.    Integration  d^une   ^quation 

aux  difP^rences  mdläes.   E.  M.  Lämeray.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  540. 

551.  Sur  r^quation  aux  päriodes.    X.  Stouff.     Compt.  Rend.  CXXV,  869. 


Hydrodynamik. 

552.  Distribution  des  vitesses  ä  travers  les  grandes  sections,  dans  les  ^coulements 

graduellement  vari^s,  et  ^quation  du  mouvement  aux  degr^s  d'approxi- 
mation  sup^rieurs.    J.  Boussinesq.    Compt.  Rend.  CXXv,  6. 

553.  Theorie  approch^e  du  passage  d'un  regime  graduellement  variä  ä  une  regime 

rapidement    vari^    ou    vice    versa.      J.    Boussinesq.     Compt.  Rend. 
CXXV,  69. 


220  HistoriBch-litteraiische  Abteilung. 

dö4.  Etablissement  du  regime    uniforme    dans    an  tujau    ä    section    circolaire. 

J.  Boussinesq.     Compt.  Rend.  CXXV,  203. 
6d5.  Etablissement  du  regime  uniforme   dans  un   ttwau   k  section  rectangulaiiv 

large.    J.  Boussinesq.    Compt.  Rend.  CXXV,  440. 

666.  Sur  la  stabilitä   de  T^quilibre   d'une  masse  fluide   dont  les   äl^ments  sont 

soumis  ä.  leurs  actions  mutuelles.    P.  Duhem.    Joum.  Mathem.  Ser.  5. 
m,  151. 

667.  Sur  la  stabilit^   de  l'äquilibre  d^m  corps  flottant  ä  la  surface  d'un  liquidf 

compressible.    P.  Duhem.    Joum.  Mathem.  8^r.  6,  m,  389. 

668.  Sur  les  ^quations  de  THydrodynamique  et  la  th^rie  des  tourbillons.  P.  Appell. 

Joum.  Mathem.  Sir.  6,  III ,  6. 

HyperbeL 

669.  Sur  les  secteurs  d'aire  constante  d^tach^s  dans  une  s^rie  d*hyberboles  equi- 

lateres  homoth^tiques  par  un   rayon   partant   de  leur  centre  commun. 
Audibert.    N.  ann.  math.  S^r.  8,  XVI,  49. 

K. 

KesrelBohnitte. 

660.  A  construction  by  the  ruler  of  a  point  covariant  with    five    given  points. 

F.  Morley.    Mathem.  Annal.  iL,  696. 

661.  Sur  les  coniqnes  qui  ont  avec  une    courbe  donn^e  en  an  de  ses  points  im 

contact  d'ordre  supärieur.   M.  d*Ocagne.   N.  ann.  maih.  S^r.  3,  aYI,S51 

662.  Liea  des  eztr^mit^s  du  rayon  de  courbure  d^une  epicyclolde  qu^on  d^ronle 

sur  la  tangente  au  sonmiet.    Audibert.    N.  ann.  math.  S^r.  8,  XVI,  48. 
668.  Droite  passant  par  le  centre  de  courbure  d'un  point  d'une  coniqae.  V.Retali. 

N.  ann.  math.  Sär.  3,  XVI,  882. 
664.  Sur  deuz  triangles  homologiques  inscrit  dans  la  möme  coniqae.  R.  Gilbert. 

N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  189 
666.  Sur  8  triangles   homologiques  deuz  ä  deuz  et  sur  8  coniqnes  tangentes  a 

leurs  cöt^s.    A.  Droz-Farny.    N.  ann.math.  S^r.  3,  XVI,  186. 

666.  Trouver  le   lieu  du  foyer  mobile  d^une  conique  d^ezcentricii^  donn^e  dont 

Tautre  foyer  est  fize   et  dont  la  directrice  correspondant    a  ce  foyer 
enveloppe  une  courbe  donnäe.     G.  Dulimbert.     N.  ann.  math.  S^r.  3. 
XVI,  386. 
Verfl^l.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  468.    Ellipse.    Hyperbel.   Kreis. 
Parabel. 

Kettenbrüohe. 

667.  Sur  une  repr^sentation  ^äom^trique  du  d^veloppement  en  fraction  continue 

ordinaire.     Husquin    de    Rh^ville.     N.  ann.  math.  S^r.  3,    XVI,  61. 
[Vergl.  Bd.  XLÜ,  Nr.  616.] 

Kinematik. 

668.  Th^or^mes  de  cin^matique  tir^s  de  la  g^om^trie  cin^matique  de  Mr.  Manu- 

heim.     Canon.    N.  ann.  math  Sär.  3,  XVI,  147. 

669.  Bur  le  d^placement   d*un  plan  dont  tous  les  points    d^crivent   des  li^ies 

sph^nques.    R.  Bricard.     Compt.  Rend.  CXXV,  1024.    [Vergl.  Bd. XLII 
Nr.  617.] 

670.  Sur  la  throne  de  Toctafedre  articul^.    R.  Bricard.    Joum.  Mathem.  S^r.  6, 

III,  113.  —  A.  Mannheim  ibid.  149. 

671.  Le  lieu  des  p61es  des  spirales  logarithmiques  osculatrices  aux  diverses  sectious 

ayant  m^me  tangente  en  un  point  d'une  surface  est  un  cercle.  A.  Mann- 
heim.   N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  383. 


672.  Quadrature  approzimative  du  cercle.    H.  Guillot.    N.  ann.  math.  S^r.  d,X\X 

287.  —   Wlad.  Habbö  ibid.  329. 
678.  Sur    les    quadrilat^res    inscnptibles    et   non   inscriptibles.      £.   Duporcq. 

N.  ann.  math.  Sör.  3,  XVI,  61. 
574.  Rayon    d*une    circonfärence    passant  par    3   points   donnäs  en   coordonnee« 

trilinäaires.     H.  Lez.     N.  ann.  math.  Sdr.  3,  XVI,  143. 


I 


Abhandlungsregister.  221 

575.  Circonfi^rences    passant   par  6  pointe   donn^s.     Dalimbert.     N.  ann.  math. 

S^r.  3,  XVf,  198.  —  E.  Lemoine  ibid.  288. 
Vergl.  Dreiecksgeometrie.    Transformationsgruppen  635. 

M. 

MagneÜBinufl. 

576.  A   theoiy   of  magnetic   action  upon  light.    A.B.  Bas  sei.    Mathem.  Annal. 

IL,  247. 

Mannigfaltigkeiten« 

577.  Beiträge  zur  Begründung  der  transfiniten  Mengenlehre.  6.  Cantor.  Mathem. 

Annal.  IL,  207. 

Mathematisclier  XJnterrioht. 

578.  Sur  rarithm^tisation  des  math^matiques.    F.  Klein.     N.  ann.  math.  Sär.  3, 

XVI,  lU. 

579.  Le  nouveau   programme   d^admission   ä.  T^lcole  Polytechnique.     Laisant  et 

Antomari.     N.  ann.  math.  S^r.  8,  XVI,  40. 

580.  Les  certificats  d^^tudes   sup^rienres   des  facultas  des  sciences.    Laisant  et 

Antomari.    N.  ann.  math.  S^r.  8,  XVI,  487. 

Mechanik. 

581.  über  die  Prinzipien  der  Mechanik.    L.  Königsberger.    Grelle  CXVIII,  276. 

582.  Sur  les  integrales   quadratiques   de  la  dyuamique.    P.  Painlev^.      Compt. 

Rend.  CXXV,  156.     [Vergl.  Nr.  259.] 

583.  Studien  über  die   Bewegungsvorgänge  in   der  Umgebung  instabiler  Gleich- 

gewichtslagen.    Ad.   Kneser.     Grelle  GXVIII,   186.    [Vergl.  Bd.  XLE 
Nr.  252.1 

584.  Sur  rinstabilite   de  IMquilibre   dans   certains  cas    oü  la  fonction   de  forces 

n'est  pas  un  maximum.    A.  Liapounoff.   Joum  Mathem.  S^r.  5,111,80. 

585.  Sur  les  positions  d'^quilibre  instable.  P.  Painlev^.  Gompt.  Rend.  GXXV,  1021. 

586.  Sur r^quiUbre indiffärent d'une chaine pesante sur une  courbe.  Karagiannid^s. 

N  ann.  math.  Sdr.  8,  XVI,  874. 

587.  Sur  certaines  propri^t^^s  des  trajectoires  en  djnamique.   Hadamard.    Joum. 

Mathem.  S^r.  6,  lU,  831. 

588.  Sur  les  integrales  communes   ä  plusieurs   probl^mes   sur  r^quilibre   d'un  fil 

flexible  et  inextensible.    N.  Saltykow.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  246. 

589.  Sur  la  stabilit^   d'une  toupie   qui  dort.    F.  Klein.     N.  ann.  math.  Sär.  8, 

XVI,  823. 

590.  Sur  le  tracd  de  l'anse  de  panier.    A.  Mannheim.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI, 

404.     [Vergl.  Bd.  XLH ,  Nr.  266.] 

591.  Sur  le  trac^  pratique  des  engrenages.    L.  Lecornu.    Gompt.  Rend.  CXXV,  162. 

592.  Sur  r^quilibre  de  la  vis.    C.  Bourlet.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  426. 

593.  Sur  le  Joint  de  Gardan.     Th.  Garonnet.     N.  ann.  math.  S6r.  8,  XVI,  472. 

Vergl.  Astronomie      Elektrizität.      Hydrodynamik.      Magnetismus.     Optik. 
Potential.     Wärmelehre. 

Mehrdimensionale  Geometrie. 

594.  Theorie    der    linearen    Strahlenkomplexe    im   Räume    von   r  Dimensionen. 

S.  Kantor     Grelle  GXVIH,  74. 

595.  Über  den  Zusammenhang  der  Krümmungstheorie  der  Kurven  mit  der  Mechanik 

starrer  Systeme  des  n-dimensionalen  Raumes.     G.  Lands berg.    Grelle 
GXVm,  123. 

596.  Sur  les  räseaux  0  associds.     G.  Guichard.     Gompt.  Rend.  GXXV,  929. 

597.  Sur  les  syst^mes  completement  orthogonaux  dans  Tespace  ä.  n  dimensions  et 

sur  la  rdduction  des   syt^mes  diff^rentiels  les  plus  g^näraux.  J.  Drach 
Gompt  Rend.  GXXV,  598. 
59 B.  Sur    les    syst^mes    complätement  orthogonaux  dans  un  espace  qnelquonque 
G.  Ricci.     Gompt.  Rend.  GXXV,  810. 


222  Historisch -litterarische  Abteilung. 

O. 

Oberflftohexi. 

699.  Rapport  sur  un  memoire  de  M.  Hadamard  intitul^  „  Sur  les  lignes  g^od^siques 
des  surfaces  ä  courbures  opposees^^  H.  Poincar^.  Compt.  Rend. 
CXXV,  589. 

600.  Des    conditions    n^cessaires    et    saf&santes    pour    qu'une    surface    d'ordre 

quelconque   soit   de   revolution.     S.   Mangeot.     N.  ann.  math.  Sär.  3, 
XVI,  408. 

601.  Sur    un    räseau    conjuguö    particulier    de    certaines   surfaces   d^riv^es    deä 

surfaces  du  second  ordre.    S.  Mangeot.     Compt.  Rend.  CXXV,  1083. 

602.  Sur  les   surfaces  algäbriques  qui  admettent  comme  ligne  asjmptotique  une 

cubique  gauche.     Ch.  Bloche.     Compt.  Rend.  CXXV,  15. 

603.  Sur  les  surfaces  qui  ont  i>our  gänäratrices  les  cordes  d'une  cubique  gauebe. 

Ch.  Bloche.     Kann,  math  S^r.3,XVI,  168. 

604.  Quelques    propriät^s    des    surfaces    moulures.     Gem.   Pirondini.     Journ. 

Mathöm.  S^r.  5,  III,  405. 
606.  Sur  les  trajectoires  isogonales   des  gän^ratrices   d'une  surface  d^veloppable. 
Gem.  Pirondini.     Crelle  CX\Tn,  61. 

606.  Sur  les  surfaces  isotherm iques.    A.  Pellet.     Compt.  Rend.  CXXV,  291. 

607.  Sur  les  surfaces  de  Weingarten.    A.  Pellet.    Compt.  Rend.  CXXV,  601. 

608.  Sur  les  surfaces  applicables  snr  une  surface  de  rövolution.   A.  Pellet.  Compt. 

Rend.  CXXV,  1169. 

609.  Sur  les  surfaces  rapport^es  k  leurs  lignes  de  longueur  nulle.   Eug.  Cosserat. 

Compt  Rend.  CXXV,  169. 

610.  Sur  la   symetrie   dans  les   surfaces    algäbriques.     Dum  ont.    N.  ann.  math. 

S^r.  3,XVI,463. 

611.  Sur  les  lignes  g^od^siques   de   certaines   surfaces.    Em.  Waelsch.    Compt. 

Rend.  CXXV,  621. 

Vergl.  Abbildung.     Analytische    Geometrie    des   Raumes  463.     Bestimmte 
Integrale  468.     Geometrie  (descriptive).     Geometrie  (höhere). 

Oberflächen  zweiter  Ordnnni:. 

612.  Quadriques  tangentes  ä  tous  les  plans  tangents  communs  ä  une  sphere  et  au 

ellipso!de  donn^.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  524. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  457. 

Optik. 

613.  Identit^  de  la  strophoide  avec  la  focale  ä.  noeud;  son  application  k  l'optique 

g^ometrique.    G.  Loria.     N.  ann.  math.  Sär.  3,  X\1,  262. 

614.  £tude   generale  des  lentilles   ^paisses   au  moyen  de  Thomographie.     And. 

Vicaire.    N.  ann.  math.  Sör.  3,  XVI,  6. 

Parabel. 

616.  Parabole    Heu    du    centre    du    cercle    circonscrit    ä    un    certain    triangle. 
H.  Brocard.     N.  ann.  math.  Sdr.  3,  XVI,  334. 

616.  Enveloppe   des   axes   des  paraboles   ayant  en  un  m^me  point  d'une  coütU^ 

plane  donnde  un  contact  du  second  ordre  avec  eile.    Audibert.  Kann 
math.  Sör.  3,  XYl,  384. 

617.  Produit  des    rayons   de    courbure   aux  pieds   des    normales   abaiss^es  d'un 

point  ä.  une  parabole.    A.  Droz-Farny.    N.  ann.  math.  S($r.  3,  XVI, 235. 

Planimetrie. 

618.  Propri^t^  du  triangle.     H.  Lez.     N.  ann.  math.  S^r.  8,  XVI,  98. 

Vergl.  Dreiecksgeometrie. 


Abhandlungsregister.  223 

Potential. 

619.  Sur  le  potentiel  de  la  double  couche.   Liapounoff.  ComptRend.  CXXV,  694. 
630.  Sur  certaines  questions  se  rattachant  au  probl^me  de  Dirichlet.  A.  Liapounoti. 
Compt.  Rend.  CXXV,  808, 

621.  Sur   la    transmission   dMnergie   ä   distance.     Application  ä   la  polarisation 

rotatoire.    A.  Broca.    Compt.  Rend.  CXXV,  766. 

B. 

Beihen. 

622.  Sur  les  s^ries  de  Taylor.    Eug.  Fabry.    Compt.  Rend.  CXXV,  1086.   [Vergl. 

Nr.  362.] 

623.  Ddveloppement   en    s^ries    trigonomätriques    des    polynomes    de    M.  L^aut4^. 

P.  Appell.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI*,  266. 

Vergl.  Astronomie  460.    Thetafunktionen  631. 

Substitutionen. 

624.  Über  die  Zahl  der  verschiedenen  Werte,  die  eine  Funktion  gegebener  Buch- 

staben  durch  Vertauschung   derselben   erlangen  kann.    Alf.  Bochert. 
Mathem.  Annal.  IL,  113     [Vergl  Bd.  XXXVÜI  Nr.  246.] 
626.  Über    die  Klasse  der   transitiven    Substitutionengruppen.     Alf.   Bochert. 
Mathem.  Annal.  IL,  133,     [Vergl.  Bd.  XXXVUI,  Nr.  246.] 

626.  Sur  une  s^rie  de  groupes  primitifs  holo^driquement  isomorphes  ä  des  groupes 

plusieurs  fois  transitifs.     Ed.  Maillet.     Joum.  Mathem.  S^r.  6,  Ul,  277. 

627.  Applications  de  la  th^orie  des  substitutions  lin^aires  k  T^tude  des  groupes. 

H.  L  ä  u  r  e  n  t.     N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI ,  149.  [Vergl.  Bd.  XLU  Nr.  702.] 

628.  Etüde  sur  les  substitutions  du  second  degrä.    H.  Laurent.    N.  ann.  math. 

S^r.  3,  XVI,  389. 

629.  über    die  Einfachheit    der  alternierenden    Gruppe.     Em.  Beke.    Mathem. 

Annal.  IL,  681. 

630.  Anwendungen  des  Zusammenhanges   in  Reihen    auf  die  Theorie   der  Sub- 

stitutionengruppen.   P.  Hoyer.    Mathem.  Annal.  IL,  39. 

Vergl.  Formen  608. 

T. 

Thetafunktionen. 

631.  Über  die  Konvergenz  der  Thetareihen.    A.  Krazer.    Mathem.  Annal.  IL ,  400. 

632.  Syst^mes  orthogonaux  pour  les  ddrivdes  desfonctions  th^ta  de  deuz  argumenta. 

E.  Jahnke.     Compt.  Rend.  CXXV,  486. 

633.  Über   einen  Zusammenhang  zwischen   den   Elementen  orthogonaler  Neuner- 

und Sechzehnersysteme.    E.  Jahnke.    Crelle  CXVIII,  224. 

Transformationsgruppen. 

634.  Sur   la  th^orie  des  groupes  infinis   de  transformation   et  Tint^gration  des 

^quations  aux  derivöes  partielles.    J.  Beudon.    Compt.  Rend.  CXXV,  811. 

635.  Das  Apollonische  Problem.    E.  Study.    Mathem.  Annal.  IL,  497. 

U. 
Unbestimmte  Formen. 

fax  —  fbx 

636.  Trouver  les  limites  de  la  fraction     ^^_,—  pour  aj  =  0,  pour  a;«oo,  pour 

a  =  b.    G.  Tzitzeica.    N.  ann.  math.  S^r.3,  XVI,  339. 

0 
^37.  Sur  les  symboles    -  ä   plusieurs   variables    ind^pendantes.      L.   Autonne. 

N.  ann.  math.  S6r.  3,  XVI,  420. 


224  Historisch -litterarische  Abteilung.    Abhandlangsregister. 

V. 

Variationsreohnung. 

638.  Über    eine    charakteristiBche    Eigenschaft    der    Differentialffleicbungen 

Variationsrechnung.    Art h.  Hirsch.    Mathem.  Annal.  Öj ,  49. 

Vir. 

'W&rnielehre« 

639.  Sur   rintägration    des    äquations    de  la    chaleur.     Le   Roy.     Compt.  Rel 

CXXV,  766. 

640.  Rapport    sur  un  memoire    de    M.  Le  Roy   intitul^    «Sur  rint^gration  < 

^quations  de  la  chaleur''.    H.  Poincarä.    Compt.  Rend.  CXXV,  847. 

641.  Compressibilit^    des    gaz   k   diverses   temp^ratures    et   auyoisinage  de 

pression  atmosph^rique.    A.  Leduc.    Compt.  Rend.  CXXV,  646. 

642.  De  la  Variation  de  T Energie  dans  les  transformations  isothermes.   De  IVner^ 

^lectrique.    H.  Pellat.     Compt.  Rend.  CXXV,  699. 

Zahlentheorie« 

643.  über    Zahlengruppen    in  algebraischen   Körpern.     H.  Abhdlg.     H.  Webt 

Mathem.  Annal.  IL,  83.    [Vergl  Bd.  XLII  Nr.  721.] 

644.  Über  die  Fundamentalteiler  eines  Gattungsbereiches  in  Bezug  auf  zwei  H 

schiedene  Rationalitätsbereiche.    K.  Hensel.    Grelle  CäVui,  173. 

645.  Über   die   Zurückfuhrung   der   Divisorensysteme   auf  eine    reduzierte  Fon 

K.  Hensel.    Crelle  CXVm,  234. 

646.  Eine  arithmetische  Formel.    Eug.  Netto.    Mathem.  Annal.  IL,  148. 

647.  Sur  le  caract^re  quadratique  du  nombre  3  par  rapport  ä  un  nombre  premi* 

quelconque.    R.  Bricard.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  646. 

648.  Si  p  est  un   nombre  premier   qui  ne  divise  pas  :z;  et  r  un    nombre  enti^ 

quelconque,  Texpression  x^  "^      —1  est  divisible  parp,  £mine.  X.ani 
math.  S^r.8,  XVI,  192. 

649.  Si  m  et  n  sont  deux  nombres  premiers  m""*^4-fi"'~*— 1   est   divisible  pa 

mn.    G.  Tzitzeica.    N.  ann.  math.  S^r.  3,  XVI,  192. 


Tafel  I. 


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