Zeitschrift fur Mathematik und Physik

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ZEITSCHRIFT
FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK.

BEOKÜNDET IWS DÜBCH f 0. SCHLÖHELCH.

. FBQhRB HESAD8QIOBBIN YOM 0. SoHLÖllILCH (1866—1994) UKD U. CaKTOK (1B69— 1900).

ORGAN FUß ANGEWANDTE MATHEMATIK.

GEOENWÄRTIO

vsrs» HiTwiBEnKa ton C. von Bac^ R. Helheet, F. Eleih, C. von Linde,
H. Ä. Lorentz, H. Mülleb-Breslad, H. Seeliqeb, H. Webeb

hebaosoeqbben vok

, BAND. 1. HEFT.

Aiugegebeii am 4. Juli 190&.

m

LEIPZIG,

DBUOK UND TEBLAO TON B. O. TEnBNEB.

D,,,i,z=db,Googlc

ZKITSCHRIFT FÜR MATHEMATIK T7ND PHYSIK.

DBUOK nVS TXBI.AO TOST B. Q. TULiBBUIUI IV UlIFna. FOffTBTHABBB I.

Prof. Dr. B. Hshmk«, Stattgut, WalflenbuigstraB« 89

•tt iloli(«n. S* nimmt absi Mudi Prof. Dr. C. Bnnss, OAtänsMi, Ooldgnbtn SO,
Sendnnten IBr dl« BMUiktion «n.

BV Dl* HoRsn ToifiMMT arhaltaa nnanWaltUidi toh ■xfiAnan Aaftttwn 80
mit nmwbUK TATMlun« SondantodrünlM, von kl«lusren Btittisen, Klttaanntan,
~ ir. 10 AbiBce d«r betr. Befl«u; eine cr&Bere fln«i>hl dagecan. ■!■ dla

t Eeflen and koatet

XNHAI.T DBB TOBLXSOBimXH HXFTKa

SalU

Weitere Beiträge lur Theorie der khinen Schwingungen. Von I, Htm in

CUosthal 1

Zw toMtruttiwn InfinitaimeUgeometrk der ebenen Kurven. Von Riebu4

T. HlKi in Wien. Hit 38 Figuren im Text 44

Neue itechennuMc&Jne. Ton Bdurd Selling in WflrBbiog. Hit 4 Figonu

im Text Bt

NumertMAe Bereeknwg der Havptadteen einer Fläche noeiter Ordnm^. Von

C- Buife in HannOTei 108

New Lüeratwr über das Grentgätiet der Biometrie. Von F. lidwig in Greii IM

BUdiert^tau 111

ICkggl, PrlDclpU dl atei«odlDuiiIc», cono inUft toimBiioDe, .rintcTpretutotM «

rintegiulene dall« tquiloni d«l nctlBieDto dal lolEdl. Ton Fiil Btlckd . . 111

Schiosmilohs Hindbneb der KB.theoiab'k. Tod Kari VetUeatn 113

Ne\K Bächer 118

Eingelaufene Sdtriflen 11«

bV Zorn Abdmck in den n&chstoi Heften gel&ugen BeiMge der Herren: '

F. Benitoli, F. Bliki, S, Cn»«T, H. Dal«ia»r> K. Daehlaaua, P. Krnit, A. firlavald,
W. flirsUta, «. HelUBark, 1. T. Lmn, F. LadiHr, K. Muk, L. HattUMMa , K. ■««&•,
1. f). ■• «Ichall, K. »Ilar, K. Ulla, B, 3. W. Bauar, C. Kngt, B. BtUawKk, L. SaUalarBUkar,
t. Bakatakal, B. Bkitaek, i. BaBaarfald, P. gOekcI, X. Tbipc, E. WalaaoUt, Tk. WalUraekt,
8. Walllick, C. W. WIrla, i. WlMaa«, F. WltUakaaar, E. imnai.

l,.eJb.G00«^IC

ZEITSCHRIFT
FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK.

BEGRÜNDET 1866 DURCH f 0. SCHLÖMILCH.
FR&HEK HERAUSQEaEBIiN VON 0. SCHLÖIOLCH (1866—1896) tJMD U. CiUfTOK (18G9— 1900).

OBGAN FÜR ANftEWAOT)TB MATHEMATIK

aEOENWÄBTIO

UNTER HITWIBKIINQ VON G. VON BaCH, R. HeLKEBT, F. ElEIH, G. VON LiNDE,

H. A. LoBENTZ, H. MüLLEB- Breslau, H. Sbblige», H. Webeb

HEBAUBaBQEBEN VON

R. TiffTtTnwirB UND O. RUNGE

LEIPZIG.

DRÜCK UND VBEIiAG VOH R G. TBÜBNER.

1906.

Digiliz=db,G00glC

E BtHMTK, iGISeOHUKSSÜOB »KB OBBBeSttUirMatBOäte, tOJdKHAI/TEK.

DigitizedbyGoOgIC

Inhalt.

Bensteln, Fells. Ober eine neue geometriBch-mechuiische EreeugniBweiae

des Ereices und der ipbänBchen EegelsotuuUe 980

Blske, Felix. KoirektioDUpiegel zu poiaboluchea Reflektoren 191

EatopbiBchcB Okular 426

DMUemAUn, Kul. Die PertpektiTe der Brader Tan Eyck 419

filrOBWftld, Antoii. D&ratetlung aller ElementarbeweguDgeD einei eUrren

KOrperi Ton beliebigem Freibeitagrade %29

■' Hergloti, 6. Über die ElBstizitat der Erde bei BerflcknchtigDng ihrer

Tuiableu Dichte 276

Bericbtigimg dun IV

Bvltsmkrk, 6. Über eioe Anwendung der Fehle rwftbrscheinlichkeitstheorie

auf Großen, welche sich nicht rein zufällig ftndem 410

Bora, J. Weitete Beiträge mr Theorie der kleinen Schwingungen .... 1
•*\jiMm,j AlfviiH Ttneent. Spannungen und FomAndemngen einer rotierenden

Hohl- und Vollkugel 164

Bericbtignng duu 840

Spannungen und Formänderungen eines Hohlzylindera und einer

Hohlkngel, die von innen eri^rmt werden, unter Annahme eines lineuen

TemperaturverteilungBgeBetzei IT4

■■«fc^ K. TangentenkoDitroktioD mit Hilfe dee Spiegellineals 4BG

XattbiesMB, L*4wlg. M»th«mstiBche Themie der Bpietfdnng in abwicket-

bMon $lE<Awi 138

■lc*«H, A. 6. 11. The labrication of plane «nftce-i 193

HlieB} ßiekard t. Zur konatniktiTen InSniteBimalgeoinetrie der ebenen

SuiTfln 44

Beiuer, B. i. W. Die TorieilhafteBte PfeilfaObe eines gleichm&ßig be-
lasteten sjnunetrischen Dreigeleakbogena mit kteitR)nniger Uittellinie . . 401
Snaga, C. Numeriacbe Berechsong der Hauptaoluen einer Fl&cbe zweiter

Ordnung t«S

■ ■ ■ — Über die Zerlegung einer empirischen Funktion in Sinnswellen. . in
SehiBBaek, Kndolf. Ein kinematisches Prinrip und seine AnwendoDg su

einem Eatenc^raphen S41

Scklelermaeher, Lndwig. Zur Mouenberechnung im Wegbau SOS

8ehn5itkel, J. Onphisch-anal^ptische ÄnagleiehuDg eine* ebenen Tiinienzuges

ntKsh der Methode der kleinsten Quadrate 43«

SelUag, EdDu4. Neue Reohenmaschine »6

^RMpSf A. ftobleme der SpanunngsTeiteilung in ebenen Syitemen, einbeb

gdOat mit Hilfe der AiiTsohen FnnkHon

ib.GoogIc

WeinHoldt, E. Ober kinematiache Erzengoiig von Begelflachen 4. Ordnung 399

Weitbreekt, TIi. Ober die elastische Deformation eine« kreiafSrinigeii Bingea 3M3

WelllHCh, S. Über das natürliobe ErhaltungaprinEip 20:!

WIttonbaner, Ferdinand. Die BewegrungsgettctzQ der verand<;rlichen Uasae l-M)

Kleinere lUtteilniigeii.

An&age 8SS

Onccia-Meilailie tül

Büobenobnn.

6. A. Haggi, PriDcipii di steteodinamica. Von Panl Stiekel ...... 111

SchlOmilchs HandbachderMatbematik. S. Aufioge. Von Karl DoeUemann 112

R. SchÜBBler, Oitbogonalc Axonometrie. Von £. Hflller 2ä2

H. Becker, Qeometriecbes Zeichnen. Von Karl Do«talemann 2iS

ßemerkungen zur Kritik in Bd. 40, 8.496. Von E. Hammer 224

L. Boltimann, Vorleanngen über die Prinzip» der Mecbanik. 11. Von Paul

Stickel 336

Astronomischer Kalender ffli 1906. Von C. V(. Wirte 88T

G. Kewitsch, Zweifel an der astronomiecheu und geometriechen Grundlage

des 60-Sjatem8, Von C. W. Wlrti 33?

Marcolongo, Heccanica radonale. Von Paul SUcbel 43H

K. Lämmel, Unterauchnng ober die Ermittlung von WahrBcheinlivlikeiten.

Von E. Csuber 439

J. F. Heller, Methodisch geordnete Sammlung von Aufgaben und Beispielen

aus der darstellenden Geometrie für Realschulen. Von Karl Doehlemann 440

Nene Literatur über doii Grenzgebiet der Biometrie. Von F. Ludwig ... IM

Neue Bflcher 113, 386, 338, 441

Eingelaufene Schriften 116, 228, 341), 443

Berichtigung.

Auf S. S85, Z. 9 V 0. muß n beiBen ttj, ß^, y, statt al, ßX, yX,
ein Index, kein Faktor.

DigitizedbyGoOgIC

Weit€a« BeitAge zur Theorie der kleineii Schwingungen. Von J. Horh. 1

* or THE
UNIVERSITY *

Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingangeü.

Von J. HoEN in ClauHthaL

In zwei Anfsätzeu ^^or Theorie der kleinen endlichen Schwingungen
TOn Sjatemen mit einem Freiheitagrad" (Bd. 47 und 49 dieser Zeit-
schrift) habe ich kleine Schwingungen von Systemen mit einem fVei-
hieitsgrsd unter der Einwirkung von Kräften behandelt, welche von
den Koordinaten und Geschwindigkeiten abhängen, aber nicht als lineare
Funktionen betrachtet werden.*) In dem Aufsätze ,rBeiträge zor Theorie
der kleinen Schwingungen" (Bd. 48) werden periodische') Scliwingungen
von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden untersncht. Die meisten
der im zweiten Bande der ^^Dynamik der Systeme starrer Körper" von
Routh (deutsch von Sehepp, 1898) anter Beschränkung auf die linearen
Glieder behandelten Beispiele kleiner Schwingungen erfordern jedoch
bei exakter Behandlung eine Ei^änzung der in Bd. 48 gefilhrten niatbe-
matischen Unter Buchungen.') y

In der vorliegenden Arbeit, welche lüs Fortsetzung der in Bd. 48 ^
enthaltenen anzusehen ist, werden zunächst die Differentialgleichungen
der Bewegung ffir einige konkrete Beispiele ohne Vemachläesigongen
aufgestellt und umgeformt (§§ 1 — 4), damit die mathematische Au^be,
deren Lösung erfordert wird, sich zweckmäßig formulieren läßt. Es

1) Die Arbeit von F. Richarz und P. Schulze Aber aejmmetriache Schwin-
gungen (Arcb. n6erl, (S) 6; Ann. Phja. (1) S) und die Oreifawalder Diaaertation von
F. Schulze (ISOl) aiiid vor meinem erateo Auisatz, die Arbeit von F. A. Schulze
über SchwingnngRdauei und D&mpfOng asTnuiietriachei Schwingui^n (Ann.
Fhja. (1) 9) iat nach demselben erachienen. Vgl. Bd. 49, S. 246 n. S. SU. —
Sjminetriache endliche Schwingungen sind theoretiach behandelt bei F. Brann,
Aber elartiBche Schwingungen , deren Amplituden nicht unendlich klein sind
(Ann. Phja. l&l, 1874) und in S 8 der Arbeit von K. Hartmann-Eempf, EinfluB
der Amplitude auf die Tonhöhe usw. (Ann. Fhjs. (4) lä).

3) Die Arbeit dea Terf. .Bewegungen in der N&he einer atabilen Qleich-
gewichtalage'* (Joum. f. Math. 136) behandelt die nicht periodiachen Schwingungen
für eine spe^elle Klaaae djnamiacher Systeme,

3) Vgl die in Bd. 46 und unten am Anfang von % S zitierte Note von
PainleTä (Comptea rendna 124).

n. Phjilk. ».Buid. l»05. 1. Heft, 1 -— . ■

Digitizedb/GOOglC

3 Weitere Beititge zw I^eorie der kleinen Schwmgangäa

stellt sieb heraus, daß die erhalteneu Differentialgleichungen unter Be-
natzung bekannter Int^rale auf diejenigen znrOckgeföhrt werden
können, deren periodische Lösungen in g 3 und §4 des Aoisatzes in
Bd. 48 bffitinimt wurden (§§ 5 — 8), Die gewonnenen Hilfsmittel
werden auf die Torauageschickten dynamischen Aufgaben angewandt
(SS 9-12).

§ 1-

Aufgabe I. Ein schwerer Punkt, wacher an eine Sotatiomfläche
mit lotrechter Adtse gänmden ist, kann unter geeigneten Bedingungen
einen ParaUdkreis mit honsianter Geschwindigkeit durdUaafm. Wir
unlersufjten die wenig davon abweichenden Bewegangai.

Wir nehmen die «-Achse lotrecht aufwarte an and fahren in der
a:jr-Ebene Polarkoordinaten ein:

x — r cos 9> , y = r sin q>.
Die Gleichung der Rotationsfläche sei
,-f(r).

Wenn Differentiationen nach der Zeit t durch einen Strich bezeichnet
werden, ist die lebendige Kraft des bew^ten Punktes tou der Masse 1

r- ^{x'* + 1/'» + *'») = A(i + nmy + ir»y'*

and die Kräftefiinktion

U^-gB.-gf(r).

Die Lagrangeschen Bewegung^leiobongen
±^_ST dU
dtdf '^r ~ er'
d_dT__dT d]J

dt dip' dip d<f
lauten hier

(1 + fmy + /•'(••)/•" W" - '■»'" + »r« - 0,

rg>" + 2r'tp' —0.
Im Falle f'{r^) > besitzen sie die partikuläre Löaui^

_l /9rK)

welche eine gleichiÖrmige Bew^ping auf dem Paralleikreis Tom Radius r^
mit der Geschwindigkeit r^rjo = V^fTFirt) darstellt

Zur Untersuchung der benachbarten Bewegungen setzen wir
r = r^-\-R, g>- = t}^+ 0'.

nqi,.eJb.GoO«^Ic

Die Bew^ong^leichongea

(1 + /•">. + S))R" + rfr. + rnri', + «)«■■

- (r. + B)(,% + »■)■ + j,/"(r. + ü) - ,
(r, + B) «" + 2ü'Clo + *') -

werden dnrdl ein System TOa DifFerentialgleichiingen erster Ordnung
mit den aMäDgigen Yeränderlichen R, B', <^' ersetzt:

-dt-"'
df

dt

-?«■ + •

i + fw ' P i + fir.)' ' ', '

and die weggelassenen Glieder sind rou mindestens der zweiten Dimen-
sion in R, R', 0'. Voranagesetzt ist dabei, daß sieb f(r^ + R) in eine
Pot»nzreilie Ton B entwickeln läßt.
Die cbarakteristische Gleichung

i-ä, 1,

j «, -0, ß -s'-(o + ^y)s-0

I 0, r, —'

hat unter der Voraoasetznng

r,r{r.) + 3r(r,}>0

auBer der Wureel £ •— die beiden koDJogiert imaginären Wurzeln
ti, —iX, wo

i_y^SCH+IEw

r.il-tfir.»

positiv genommen werden mdge. Durch die Substitution
R = x^ + ßZf, R'=-lXj, ^'-'j'Zi—aXf
geht unser Differentialgleichungssystem über in

j''-ii, -|-F,(s„ x„ X,),

^-F.(x„a4,a:.),

D,,,Jz'=db,Googlc

4 Weitere Beitrilge zur Theorie der kleinen Schwingungen.

wo Fl, Ff, Ff Potenzreihen von Xi, x^, x, mit Gliedern zweiter und
höherer Dimension sind.

Der FlächenBatz für die zy-^heua und der Satz Ton der lebendigen
Krafl; liefern zwei Integrale der Differentialgleichungen zweiter Ordnung
für r and 91:

Jj — r*»p' — Const-,

•^, = (1 + n(r))r'' + r>'» + 2gfir) - Conet
Unter Eiofilhraiig der Veränderlichen a;,, x,, x^ wird
Ji'" Xg + V{Xi, Xf, Xf) = Const.,

WO <^ und W Potenzreihen von x^, x^, x^ mit alledem von mindeHtens
zweiter Dimension sind.

§2.

Aufgabe II. Periodische Bewegungen eines vm einen festen Punkt
drehbaren schweren starren Körpers in der Nähe einer Gleichgewiehidage.
(Bemtigung der Ealer sehen Gleickungen.}^)

Die Hauptachsen des festen Punktes bezeichnen wir mit x, y, e,
die Haapttrügheitsmomente mit Ä, B, C, die Koordinaten des Schwer-
punktes S in bezug auf die Hauptachsen mit £, t], ^*), die Komponenten
der jeweiligen Winke^esch windigkeit m des Körpers in bezug auf die
Hauptachsen mit p, q, r und die Kosinus der Winkel, welche die Lot-
rechte (positiv nach oben) mit den Hauptachsen bildet, mit y, y, y".
Die Masse des Körpers sei 1.

Zu den Eulerschen Gleichungen

^'L

-(B-

C)qr + 9{ir

-vy"),

<f

-(C-

■i>p + 3(.ir'

-ir),

<^%

-(Ä-

S)pq + S(vr

-ty)

treten die

Gleichungen

hinzu:
if
dt
d.

-'■/' -iv",
-vy" -ry.

-äi-9r-Pr-

uth, Dynamik Bd. U, S. 161. - Lecornu, but les

peunt (Bnll. de la 80c. math. 1908).

IT denkeu uns die positiven Richtungen der Achsen

d'u

r Corps
2) W

X, y, . 10 gewUhll,

daß i, T], £ poiitiv oder Null sind,

D,,,i,z=db,Googlc

Von J. Howi,
Der ßleichgewichtsl^^ eiitaprecben die Werte
p-O, 9-0, r-0; Y- \, ?' = ] ,

die Entfernung des SchwerponkteB S vom festen Punkte 0, positiv
oder negativ zu nehmen iüt, je nachdem 8 oberhalb oder nnterfaalb
liegt, mit anderen Worten, je nachdem das Gleichgewicht labil oder
stabil ist

Znr Üntersnchung der Bewegungen in der Nähe der Gleich-
gewichtslage setzen wir

y-f + r, /-5 + r-, ,-_| + r-,

wodurch die Differentia^leichongen flbei^ehen in

Ä^,-s(.tr-nn + (B-c)qr,

By^-g(ir"-tn + lC-A)rp,

-,T -]<.'!'■ -ii) + rr-'-,r;
'^~T{tp-ir} + pr"-rr,
'-^-',(.ii-ip) + ir~pr:

Um das Differentialgleichnngssystem anf die kanonische Form zu
bringen, beginnen wir mit den auf die linearen Gheder reduzierten
Differentialgleichaugen

S-|({r"-fr),

-W-litp-ir),
AT" 1 ,t >

db,Googlc

6 Weitere Beiträge lur Theorie der kleinen Schwingnugen.

8ie besitzen eine Lösung

p = L sin (It + n) , q^Msm{lt + ii), r = N sia {U + ft),

r- L' CQa{Xt+ (i), r' =. M' coB (Xt + ii), r"~ N' cos {Xt + p),

worin l, (i; L, M, N\ L', M', N' Konstante sind. Die Einsetzung
in die Differentialgleicbnngen eigibt

Nl-iitiL'-iM-);
i'i-|«2lf-i,iV),
M-i-\(lN-tL),
N'l-\(riL-iM).
Durch Elimination von L', JU', N' erhält man

{-fi' + 1* + 5') i - iTi^f - UJf - 0,
-lSi+(yJ'+£'+t')jlf-ii{J'-0,
-ESL-S,Jf+(^l' + P-r.l')jf-0.
Dunus folgt fQr / die Gleichung 6. Grades

-i' + i' + i', -Iv,

-6E

^w-

-vi, f*' + t'+l',

-ni

-0,

-n, -tri,

'i'-'^l'^i'

welche in
und

die beiden Gleichungen

i'-O

zerfällt. Die quadratische Gleichung fOr X' hat reelle Wurzeln'), denn
ihre DiskriminaDte, welche wir unter der Voraussetzung Ä^B'^C
auf die Form

[A{B-C)V -B{A-C)n*-C{A-B)t']'+2AB(A~~C)iB-C)Vr]'
1) Vgl. Ronth Bd. H, 8. laS.

DigitizedbyGoOgIC

bringen, ist nicht negativ. Liegt der Schwerpunkt jS unterhalb 0, was
wir im folgenden annehmen, ist also l negativ, so sind zwei positive
Woizeln Ji\, i.\ vorhanden, denn die Summe nnd das Produkt von i.\
und i\ sind positiv. Die 6 Wurzeln der charakteristischen Gleichnug
mit der Unbekannten s '-il sind also

0, 0, tii, -•*!, »A,, -Ji,.

Damit Xj — X^ wird, mnS unter der Aimahme A'^]i> G

^-0, A{B - G)V - CiA - S)^

sein. Es sind dies zwei der drei Bedingungen, welche im Hessschen
Falle eri^Ut sind. Hieria sind die FSUa von Euler (|~i;^g^O)
und Lagrange (A = B, | = »j ■= oder li= C, i? =- £ =- 0) enthalten,
welche sich vermittels elliptischer Funktionen behandeln lassen. Wenn 8
nicht mit zusammeniallt, können ^ und ^ nicht verschwinden. Im
folgend^! nehmen wir i^, H^ reell, sowie voneinander nnd von Null
verschieden an.

Sind Lf, Mf, N, i'^i.i) die Unterdeterminanten einer Zeile der
Determinante ^{X^, so kann man, wenn

L[-

iMi — -nN,

gesetzt wird,

annehmen, wo p^ und (t^ ((=1,1) willkürliche Konstante sind. Demnach
besitzen die linearen Differentialgleichungen die partiku^ren Losui^en
j> — X.,p, Bin(^,i+fi(), q -•M^f^am(X^t + |i,), r = Jf,p, sin(A/+(t,),

r— i;.p(Cos(i,/+/c,), r' = 3f,'pjC08(A(i+(ti), r"— Jtf;(»,coB(i,i+^,.)

für i= 1,2.

Der Doppelwarzel A ^^ der charakteristischen Gleichung ent-
spricht die Lösung

P-|Cs, Q-V^k, r^^c,,

wo Cf, e^ willkürliche Konstante sind.

DigitizedbyGoOgIC

S Weiten Beitaftge zvx Theorie der kleinen Schwingungen.

Demnacli ist die allgemeine Löeimg der linearen Differential-
gleichtmgen

p- Zip, ein(A,i + p,)+ Aei8i»(ii« + ft) + l'^,
tf =. JfiPiSin(A,( + f»,) + jtf,p,8in(^* + fi,) + i?t^,
r= N^(,^Bia{3^t-i'(ii)+ JV.p^ sin (i,(+ ^) + gc,;
r— Lj p, coB (A, i + ft,) + LJpj co8(i,( + fi,) + lcj,
r' = if,'p, C08(ij( + fi) + Jfj'p, cos(;,i + ;*,) + J)Cj,

r" = jff/p, co8(Ai( + ^) + n;q, cob(^,( + ^) + gc;,

Setzen wir nun^)

Xi = Pt Bin (A, f + (i,) = c, coB A, < + c. Bin l^t,
*, = p, sin (A, f + ft,) = c, cos i, ( + ej sin ^ f ,

Ji — Pi coe (Aji + ft,) ^ — c. Bin A,i + cj cob A,(,
y, — Pj cos (A,i + |Uj) = — (^ sin Aj( + cj cos A,(,

80 ist

^.^y-i.«_ M

— ;i,j

dt =*"»»' dt ^^»'

und

p= ii «1 + L, a^ + 1 3-, ,

r"= Jf/y, + Jr;y, + ey,.

Die orBprünglichen nicht linearen Differentialgleichungen gehen
durch diese liuettre Substitution Ober in

«■-'1.!'. + ^.. ^'--'.^+S„

ii ■'" dl ""

1) DKb«i igt

b.GoogIc

Von J. Hob«. 9

wo Fl, . ..; G^, . . . ganze homi^dne Funktionen zweiten Orades von
*i> «i> 3!,; yi, y„ y, sind.
Die Relation

geht in

ir-\-^r' + ir" + -^ (r* + r* + r"»} - o

über; der Flächensatz und der Satz von der lebendif^en Kraft
Apy + Bqy' + Gry" — Const.,

A^ + Pa» + Cr* + 2</(|j/ + ijy' + gy") - Const.
werden

Mp + BiJ« + Cir + i(.4p r + B^r' + Crr") = Const ,
|r+ ijF' + er" + ^(.4p» + Sq* +Cr^- Const.

Dnrch EinfOhrung der neuen Veiäodwlichen x^, Xy, a\; y^, y,, y,
geht die ernte Qleichnng in

y.+ ^»(*., ■•■; yu •• ■)-<>,

die zweite in

aij + W^{xi, . . .; y„ . . .) — Const.

Qber, wo <F|, ?, ganze homogene Funktionen zweiten Grades der x
und y sind. Es ist nämlich

|r+ i?r' + er" -(!' + II» + s')y,

und

^Sp + Bi^S+Cgr

- Uli, + BijJf, + cgjfj)*] + {^ih + ^n^t + ceJV,)a:,

4- (^1* + Bt,» + C£'):r, = (^5» + Bij» + C£»):r,
w^en

^|Lj + B7|M^ + CgJV, - W-i. »).

Durch Subtraktion der ersten and dritten Qleichnng erhalten wir die
Gleichung

Ap* -j- Bq* + Cr* - gl{r* + T'» + T"*) - Const,
welche in

*(«,, Ä,, «j; y„ y„ j^) — Const.

Qbei^ht, wo 4^ eine ganze homogene Funktion zweiter Dimension
darstellt. Die Koeffizienten Ton a\ tmd 3\in ^,

AU^-\-BM\-^CN\, AUy + BM\+CN\

,l,.eJb.G00«^IC

10 Weitere Beiträge inr Thoorie der kleinen Schwingaugen.

sind sicher von Nwll verBchieden. Sie könnten nur verechwinden, wenn
L, = Jlfj = JVi - oder i, = Jf, = A, = 0, d. h. wenn

Aufgabe EU. Periodische Bewegtmgen eines um einen festen Punkt
drehbaren schweren starren Körpers in der Nähe einer GleickgewicMsltige.
(Benutzung der Lagrangeschen Gleickungeti.}^)

Neben dem Haoptacbsenkreuz x, y, e des Köipers fQhren wir ein
im Raame festes AchBeokreuz x^, y,, «, ein, wo die «j-Acbse lotrecht
aufwärts gerichtet ist. Die Koordinaten des Schwerpunktes S im festen
Achsenkreuz seien \^, i]^, ^. Die gegeuBeitige Lage der beiden Koor-
dinatensysteme wird durch die Enlerschen Winkel ^, ip, ip dargestellt.*)
Die doppelte leb^idige Kraft

2T--Ap* + Bq'+Cr*
geht unter Berücksichtigung der Formeln

p = fp' am & 8mip + ^' cos ip ,
2 — ((i' sin # cos 93 — ft' sin q>,
r = t' co9^+ fp'
über in

2T— (XcOB»9) + Bsin*9j)*'*+ Cqs'*
-(- {A Bin* * sin* ip + B sin* d cos* ip -j- C cos* 9)il>'*
+ 2(A — £) sin d- sin 91 cos y ■ v'*' + 2Cco8 * ■ ip'v'.
Die Kräftefunktion ist

[/■•- — ^g, =- — 1/(1 sin d sin y + 1) sin # cos y + £ cos fr).

1) Zu S B ""d S 11 vgl' <'b'> ScliluB der Note von Pftinlevä, sur lea petits
monTemenU p^riodiqueB des HjetömeB (Comptes rendus 124, S, ISSSff.)

S) Die Richtongskoiinna der Achsen x,, y,, e^ in bezng anf die HKuptacbeeD
X, y, I seien o, «', u" bezw. p, ff, ff' bezw. t, •/, ■/". 8etzt man dann
jF = ein # Bin ip , f— sin fr co» qo , y " ^ co* ft ,
a" ■= ein & Bin i(i , p" -=■ — «in ff cos ^ ,
Bo Bind, wann y" nicht ^1 ist, *, <p, i(j bis auf Vielfache von Ss mit der Maß-
gabe bestimmt, dafi sie durch — 9, qo -f- n, ^ -{- n ersetzt weiden dürfen. Da bei
Bewegnugen in der Nähe der Gleichgewichtslage y, 7', y" nahezu gleich
y , - , y lind, 80 ist bei geeigneter BeEeichnnng der Achseii x, y, t y" tod + 1
verschieden.

DigitizedbyGoOgIC

Von J. Horb. 11

Die Glflichgewichtsbedingungea

|§_o, |5_o, 1^-0

Bind bei beliebigem ^ fOr # =■ #,, 7 = 9>o erfüllt, wo

sin^Jo-i» coB^o- J,

sin fro ■" T ' *'**" *o =" T

ist. Dabei int i = ± Vr + ij*') and I = — V6*+i)* + S*. wenn, wie
wir im folgenden annehmen, i9 anterhalb liegt, das Gleichgewicht
also stabil ist. Zn den ang^ebenen Werten tp^, ^^ gehört
|, = 0, ,, = 0, g^-I.

Der Winkel ^ ist nnbestimmt, d. h. der Körper gelangt durch Drehung
um die Lotrechte OS in eine neue Öleichgewichtsl^e.
Wir fDhren Koordinaten

ein, welche in der Gleichgewichtslage verschwinden. Dann ist

WO an Stelle von . , . Potenzreihen von 9, 4^ ohne konstante Glieder
stehen. Femer ist (unter Weglsssnng eines unwesentlichen konstanten
Gliedes)

wo die we^elassenen Glieder von mindestens dritter Dimension in
9, 4> sind.

Wir setzen rorübei^ehend

»11 = — -fc-r > «M — *^> «M =■ -"" (T— '>

I

1) Nachdem du Toizeichen toh it beliabig fertgelegt iit, lind 9,, #, (bii
auf Vielfache von Ss) begtimint. Einer Zeichenänderung Tonit enUpricht die
EteetzoDg von 9,, #, durch gi, -|- «, — Ih,. Wir bezeichnen die Achsen so, daS S
nicht in die a-Ach«e fällt; dann iet Jt von Null votichied^.

l,.eJb.G00«^IC

12 Weitere Beiti^e zur Theorie der kleioen Schwingungen,

und führen die quadratischen Formen

durch eine lineare Substihition

"i-Afi + lS."!,

«,-yiP, + }-,«,+ Vi«.
in

F-rJ + fJ + t^,

G — i?pj - Ai«;

ober. Zunächst ist, wenn

gesetzt wird,

F _ .^ -L *'^> ' ^t — «?■)"? + K. '^ — "i») **! - 2
. *^+ ' ■>..

Damit

«»
wird, mlleeen J.*— ij nnd i* = AJ der Gleichung

»? + i.

genflgen, welche auf dieselbe Form wie in § 2 gebracht werden kann:

P4^ + ^ + ^i^f^- + ^'— :rac

,, ^£'+Ji'+CE' _o

nnd welche im Fall ! < zwei positive Wurzeln II , X\ besitzt, die
wir wie in § 2 ab verschieden TOransseUen. Die Sahstitutionskoef-
fizienten Of, ßf «— i.t) ergeben sich nun aus

L»tV

hiemach können wir z. B. setzen:

=, - i? ■Ci(Ai' + £,■) + '— (AV + Bl' + OP) ,
A-(^-B)0|,J.

D,,,i,z=db,Googlc

Von 1. Eon.

Ans

folgt, wenn

mim

«1

, w, dnreh »,, tj, ersetzt,

J-i-

,_?!

s5

+ °"'^ ,._ »..«, + »..»

ri-

'V"..

Flilirt man nun an Stelle ron 9, <^, W vermöge der Gleichongen
S — a^Xi + ec^Xt,

^"n^i + ra^^ + ya^

neae Yerind^che %, x^, a^ ein, ao wird

• r-i«' + fl:;' + + --. .

wo nnr die Glieder oiedr^^ter Dimension angeschrieben sind; V und
die Koeffizienten ron xä, Xp (a,,'(>-i, t, ij in T sind Potenzreilien von
Xi, Xf, hängen aber nicht von x, ab.

Wir hennm die beiden Integralgleichnngea
T- U~- Const.,
Apy + Bqy' + Gry" •— Consi
Die erste schreibt sich

»\a^ + iJ4 + x[* + x',' -i- x'^'' + Const

oder

4>(a:J, a:J, x,; «,, a;,) •- Const.,

wo 9 eine Potenzreihe der beigefSgten Aignmente ist, welche mit den
angeschriebenen quadratischen Gliedern beginnt. Die zweite wird nach
Einsetznng der bekannten Ansdrficke für p, q, r; y, y', y"

(-4 — -B) sin * sin 9 cos y ■ *' + G cos * ■ y'
+ [A BJn* * sin* 9» + S sin* * cos' v + C cos* *) ■ V' ™ Const.
'oder

*i + ''(«i, x\, a:^; x^, x^) ■- Const.,

wo W eine lineare homogene Funktion von x,', x^, x^ ist, deren Koef-
fizienten Potenzreihen von a;„ Xj ohne konstaute Glieder sind.

l,.eJb.G00«^IC

Weitet« Beitrftge "" Theorie der kleiuen Schwingiingen,

Die L&gr an gesehen Differentialgleichungen

schreiben eicli

jetzt')

dt

"*i>

dt "

-X'A

+ S,(^

«■»

'i,'.

<),

^-

-<.

dxi
dt

-Ajl

+ S5.(»,

T,,

«;. *;

K),

, ^=

-*;,

dx:
Tt-

5.(«,

^,

<, '',

<)\

3u 5jf 0» ^ü*"* Potenzreihen yon a:,, x,, «j, «j, x'^ ohne Glieder von
geringerer als der zweiten Dimension.

Wir scheiden die Differentialgleichung

dx,

ans und betrachten die fOnf Übrigen Differential^eicbnngen mit den
abhängigen Yeränderlichen x^, x^, x[, x'^, x'^. *

§4.

Au^be IV. Der S^tverpunkt eines schwerst starren Kärpers mit
dem festen Punkt liege auf einer Hemptaehse von 0. Der Körper
katm sieh mit Iconstanter Wmkdgesehmndigheit n um diese vertikal ge-
riektt^ Sauptaehse drehen. Wir untersuchen die benachbarten periodischen
Baeegaagen.^

Die am Anfang von § 2 eingefDhrten Bezeichnungen werden bei-
behalten; nur die Koordinaten des Schwerponktes iS in bezug auf die
Hauptachsen von sollen jetzt 1 = 0, i} = 0, £^0 sein.

Die EuIerschflU Gleichungen

Ä''J-(B-C)qr + gir\

C^-{A-Il)p,

in Yerbindiuig mit den Gleichungen

•'r -ty

dy ,. ,.,

1) Vgl Bd. A8, 8. 4M. S) Bouth Bd. U, 3. 16».

l„eäb,G00l^lC

haben die Lösung

p — O, 5 = 0, r — M; y — O, y' = 0, y" — 1,
wo n eine beliebige Koiutante ist

Zar UnteTBacbong der benocbbarteii Bewegungen setzen wir
p-P, q-Q, r-« + B; f - T, / - T', y" _ 1 -|- r",
wodnrcb die Differentialgleicbiuigen übergeben in

x^^ - (B- c)«e + jjr + (B - c)««,

B^-(C-X)»P-SSr+(C-A)BP,

|C_,r-e + Br-cr",
^-p-t>r+ pr" -Rr,

Die Intogralgleichai^n

-^i'7' + -Bsy' + '^Vy" = Const. ,
Ap* -I- ^9» + f^'r» + 2giy" - Const.
schreiben sieh

2r''-[-n + r» + r"»-o,

Cü + Cur' + APr + BQT' + CEF" = Const.,
2gtr" + 2€nS + AP* -i- BQ* + CR* ^ Const.
Um nnBer DifTereDtialgleicliuiigSByBteni »uf die kanoDiBche Form
zu bringen, zerlegen wir die anf die linearen Glieder reduzierten
DifFerentialgleichongen in die beiden Systeme

-9tr;

<?=

(C-

A)nP

dr

«r

-ft

dr-
dt ~

p-

»r

dR

-0,

dr-

-0.

db,Googlc

16 Weitere Beitrfige Kar Theorie der kleinen Schvingntigen.

Dan Bweite System hat die LOsnng

B-c, r'-ei,

wo Ci, Cg willkürliche Konstante sind. Das erste System besitzt eine
Lfisung

P—i sin (*( + (.), Q-Mixt(U + ii),

r - L' Bm{lt + fi), r^ M'coii(U + ii).
Durch Einsetzen erhält man

AIL-{B- C)nM + gilt',
BiM - (A - (J)«L + ffSi'i
IL' - nW -M,
IM-tiL-L;
die Elimination ron L, M ergibt

-(Ä + B- 0)ni ■ L' + (AI' + (B- C)»' + gi) -M'-O,
Ibi' + U- 0)»' + gt,)V-(,Ä + B- (TinK -M'-O.
Hieraus folgt fUr i* die quadratische Gleichung
(A + i) - 0)'«>1' -(ÄI.' + IB- Q»' + gtXBl.' + a - «»' + 17t)

oder

ABi' + (»'ac+ BC-C- 2 AB) + (Ä + B>gt)i'
+ HA - «»■ + gt)(!.B - O»' + gi) - 0.

Damit der«n Wurzeln AJ, t\ positir und verschieden sind, muB die

Diskriminante positiv, das konstante Qlied positiv und der Koeffizient

von A* negativ sein:

[n'(AC +BO-C'- 2 AB) + (A + B) ja'
> iAB[(A - C)»' + gtMB - C)»' + ,$] > 0,
«\AC+ BC-C- HAB!) + (A + B)gt < 0.

Im Falle A - £ sind

i,\ ±tlA-Cin±VC-»'-lÄst

i,r «•«

reell, voneinander and von Null verschieden, wenn

1) Vgl. Routh Bd. II, S. 100.

D.git.zedb/GoOglC

Von J. HoM

Xl

Tir-

B~0
-0"'+>£

Bl' + U-

C).
B-

^

L

-«i'

-ljr-(«-i<r)L',

und

if - njf' - iL' - («0 - i}L'.

Bezeichnet man mit ff, and ff, die Werte, welche für i ~ A, und für

X = i^ aonimnit, 80 hat das erste lineare System die allgemeine Losung

!>-(«- *,«,)(, sin (!,( + ft) + (n - i, «,)(., »in (i,( + ft),

C _ («o, _ J,)f, cos (X,t + II,) + (»«, — ;,)f, cos (;!,( + ft)i

r- (i,»in(»,( + ft) + (i,sin(l,( + ft),

r - (i, p, cos (1, ( + (1,) + (ijt, cos (J,« + (1,)

mit den villkfirlichen Konstanten p,, ^; fi,, /i,.
Setzt man

ar, -(., 8in(l,( + |i,), j, - f,co»(i,( + ^),
2j -p, sin (;,( + (!,), ü, -(.,coe(i,( + ft),

ar, = Cj , y» — Cj ,

so ist

" -0

P - (» - l,ff,)», + (« - X,a,)!c„

e -(«»,- *,)», + (««,-!,)»„

r— a;, +a^,

r - ff,», + «,»„

Die tmprfli^^licbeii nicht linearen DitFerentialgleichmigen gehen
durch diese lineare Sabatitution in

i^ — F ^Ä r

dt »' dt "»

7.*ilMlumtMaUMiuUkD Phjrilk. Dt Btid. IMfi. l.H»r>. 3 ^^

D.git.zedb/GOOglC

18 Weite« Beiträge zur Theorie der kleinen Sohwingimgeii.

über, wo F^, . . .; G^, . . . f^anze homogene Fanktionen zweiten Grades
von Xj, ^1,. a^ti ?■> ^1' t/i sind.

Die erste dfir drei oben angeschriebenen Int^mlgleichungen wird

Ht+^il'u ...■,s,-)-0.
Duicfa Addition der mit — : multiplizierten ersten und der mit ^
multipliziertet zweiten Qleicbimg OTbält man

3^ + %{Xt, . . .; y,, . . .) = Conat.
Die Addition der bezw. mit

Cn'-9t, 2n, 1
moltiplizieiteQ drei Gleichungen ergibt

C""* - 90(1^ + r» + r») - 2M(APr+ bqf' + csr")

+ (ÄP* + B^ + CR^ = ^(x„ Xt, x^; y„ y», y^) = Const

Hierbei sind 9, y,, ^, ganze homogene Funktionen zweiten Orades
von «„ X,, X,; y„ y„ y,.

Der Koeffizient von x\ in 4>,

kann unter den oben gemachten Vontussetzui^en (Jl, ^ i,) nicht ver-
Bchwiaden. Die Bedingung für das Verschwinden dieses Koeffizienten
stimmt nämlich, wenn man die Gleichui^ fQr J^ und die Formel f3r tf,
berücksichtigt, mit der Bedingung dafUr tiberein, daß die quadratische
Gleichung fQr i} zwei gleiche Wurzeln besitzt.

§6.
Wir geben einige Er^nzungen zu §§ 3 — 4 des Aufsatzes „Beiträge
zur Theorie der kleinen Schwingungen" im 48. Bd. dieser Zeitschrift.
Es handelt sich um ein DifFerentialglelchungssjstem
dx

wo

■X„ - «„.a;, + ■ ■ ■ + a„a;, + ■ ■ ■

eine Foteuzreihe von «,,... a:, darstellt, welche flir a;, = ■ ■ ■ = a:, =
verschwindet. Die charakteristische Determinante
I a,, — s, ... fl,.

ib.Goo«^Ic

Von 3. flow». 19

soll fSr s » nicht rerscliwmclen. Ee sei ein Integral
<I»(a;,, . , , scj = Const.

TOrlianden, wo <^ eine Potenzreihe TOn £j, • - - ^. darstellt
Ikmn fehlen in *(iF,, • . - «„) die linearen Glieder.
TJjD dies zu zeigen, bringen wir nnser Differentialgleichangssystem
dorcli lineare Transformation der abhängigen Veränderlichen auf die
kanonische Form, in welcher einem j)-fachen Elementarteiler (s — tt)''*)
der charakteristischen Detenninaote die p Differeotialgleichungen
dx' , ,

dx" » , , ,

entsprechen. Es sei

O = A'x' + A"x" H 1- ^WjW ^

In der Gleichung

welche aussagt, dafi <^ = Const. ein Integral isl^ müssen sich die linearen
Glieder fortheben, es muS also

A'ax' + A"(ax" + x') + ■ ■ ■ -\- AW(oa*'' + a;ö- ')) +

min. Daraus folgt

A- = 0, A"^0, ... ^(Pl = 0,
w. z. b. w.

Da sich in der obigen Oleichung auch die quadratischen Glieder
fortheben mOssen, so hat man, wenn man

* = ^i*; + SA^^x^Xt + A„xl + •■•

setzt und annimmt, daß die beiden ersten DifTerentialgleichungea

1) Hiwbei iit a reell oder komplex, p^l. /-> i

D,?Bzedb/G00glC

20 Weiten Beitiftge nu Theorie der kleinen Schwingungen.

des kanoniacheD SysteniB einfaclLen Wuraein s = a^ und .s — ■ o, der
chorakteristiBcheo Gleichung entsprecbea:

= a,i,(j4jia-, + Ay^xt H ) + o,ar,(^t,«, + A„Xt H ) + ■ ■ ■

■= A^iO^xl + -4,,(a, + fl»)iCia;( + A„aj3^ + ■ ■ -.

Da o, and Oj too Xull verschieden sein Bollen, ao mnß A^^ — 0,
A„ — sein; A^^ kann nnr dann von Null Terschieden sein, wenn
o, + n, = ist

Sind Ol — X + li, a^—x — ki konjugiert komplex, and setzt man

so wird

M..(t! + £!) + •■-,

nnd man

hat die

beiden ersten Differentialgleichungen

t-

- »e. + »6, + ■ ■ •,

%-

--«, + ««, + •■■.

SoU * wirklich ein Glied mit |J enÜidten, so muß der redle Teil x der
heiden honjugi&ieH Wureiin a,, o, versditcmde».

Wir ändern den Satz in § 4 der Arbeit Bd. 48 (S. 418) ttber die
periodischen Lösungen des Differentialgleichungsaystems

^^-x +■■■
dx„

dt

■= a„,a;, H h o„,a;.

welches die früheren Bedingungen erfQllt, etwas ab.

Eine LSsung Xgia = t,--n) ™'' ^^^ An&ngsbedingnngen
( =■ 0, iB, — (\, . . . a;, — c,

besitze die Periode 7 = 2n + d- Nach Bd. 48, S. 410 liefern die Be-
dingungen

a^(2Ä + d) - r, = 0, ... x,(2a + Ä) ~ c, -

r,, ... r_ als Potenzreihen Ton c,, (^, welche mit quadratischen Gliedern
beginnen und Potenzreihen von S zu Eoe^zienten haben. Die Funktion x^
Terecbwinde zum erstenmal fUr / — ^, zum zweitenmal für / ■= i^;
es aei Xy ^ c für t ^ t^ und x^ = c für l = i„. Die in der frOberen

. i.edb.Goo^^Ic

Von J. Kork. 21

Arbeit aufgeBtellteu Formeln amd hier uuweudbar, wenn man dun
dortige t durch t — i^ ersetzt.
Es ist

d = €jc* +jiCr' + ...-= j,c« + ajc» + ■ ■ ■

Für t — i^ hat man x, — (\t(c), ... x, =- q,(c) ala Potenzreihen von c
mit CtUedem mindeBten« zweiten Grades. Auf Grund der Integral-
gleichung ^(Xj, ... x^ ~ CojxbL setzen wir die Werte ron fOr
/ —= und i = ^ einander gleich, wobei wir <1> = «J + a^ + ■ ■ ■ an-
nehmen. Wir erhalten

*(c„ . . . O - *(c» 0, qj(c), . . . q,(c)) = c' + a,«^ + a,c* + ■ ■ ■;
hieians fo^t

c - v'fl'Cci, ■■■ c,) + b,<i>(ci, . . . O + ^V'<P('^. • ■ ■ cJ' + ■ ■ ■
= b,iP(c„ . . . o + ■ ■ ■ +l/*(cj, . . . 0(1 + 6,<&{c„ . . . c,) + . . .).

Durch eine Vorzeichenänderung der Quadratwurzel geht c in c Über.
Man hat also

l^-Aic,... c,} ±VB(c„...c,),

WO A und R Potenzreihen von c,, . . . c^ sind, welche mit quadratischen
Gliedern b^innen. Ea sind also

UBW^ Potenzreihen von c,, ... c„. Demnach ist auch d eine Potenz-
' reihe von c^, . . . c^, in welcher die Glieder von geringerer als der
zweiten Dimension fehlen. Setzt man hierin fQr c^, ... c„ die oben
gefundenen Fotenzreihen von q, c^, S, BO wird S eine Potenzreihe
Ton c,, Cj mit Gliedern mindestens zweiter Dimension, deren Koeffizienten
Potenzreihen yon it sind. Hieraus berechnet man S •=' T — 2x als
Poienareihe von c^, c^, tcdclte mit quadratischen Gliedern beginnt. Unter
Benutzung des gefundenen S erseheinen c, -= p,(f, , c,), . . . c„ ■= P.C^ii (^)
als Potenzreihen von e^, Cj ohne Glieder geringeren als zweiten Grades.
Ea ist noch zu zeigen, daß wir wirklich eine periodische Lösung
erhalten, wenn wir c,, e^ hinreichend klein, aber sonst beliebig annehmen.
Nach Bd. 48, S. 415 ist

*«■=«*-„,(«) + c*lC„,(w) 4- ■■■, c— i.-- -I

DigitizedbyGoOgIC

22 Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingongen.

wo

(tu = COBH, ir^i "= — sinu, (("si = 0, ... !(',, —
und

M f y- - *

ist, eine periodische Lösnng, welche die Bedingungen

i ^tot 3;, — c, Xf —
erfüllt Sollen

t — 0, Xi — c^, ai =■ c,

zusammengehSrige Werte sein, so ist

Ci*^ccob9 + c'tui— *) + ■■■»
£^ =csin* + cV«(— *) + ■■■.

Jedem Paar hinreichend kleiner (nii^t gleichzeitig- verschwiiidender)
Werte c,, c^ entspricht ein positiTor Wert von c und ein Wert Ton #
zwischen und 2x oder, was dasselbe ist, ein Wert ^ zwischen
und T. Also ist eine (und nach dem Obigen nur eine) periodische
Lösung vorbanden, welche die Bedingungen ^^^ ~ q, x, — i^ fOr ^ >-
erfüllt. Wir berechnen sie direkt aus dem Bifferentialgleichungsaystem.
Unter Einfilhrong der unabhängigen Yeränderitchen

2»(

gehen unsere Differentialgleichungen '

dx„
^-X.(x.,...«.)

über in

Tn-^.i',. ■■■'.>■ <"'■->

Die durch die Änfangsbediogungen

M, = 0, ar^ = Cj, I, = C, i, - p,(e„ e,), ... x^ = pjc^, c,)

bestimmten periodischen Funktionen x^, ... x^ mit der Pmode 2x
lassen sich in Potenzreihen von c^, c^ entwickeln, deren Koeffizienten
periodische Funktionen von w mit der Periode 2x sind. Man hat

a^n = *o' + scT -\ h a;i,'' H (..-i,....)

wo

x'\' — cicoBW + ct sin w,
x'J' — — ci sin w + Ci cos w,
x'l' =0, ... x'i' — O

DigitizedbyGoOgIC

Von J. IIoBH.

23

und a^^ eine ganze Itomogene Funktion vier Dimension von c, , c^ und eine
lineare Funktion von coaiitc, Bmiiu>{(i = 0, 1, . . . v) ist.

Zur direkten Berecbung der 3^^ und der Periode T aus den
Differentialgleichongen verfährt man ähnlicli wie in Bd. 48, S. 41Ö — 418.

Haben die beiden ersten Differentiajgleicbmigen des S^EteniB
die Form

^ - Aar, + ■ . -,

d;c,^

-lxi + -

wo X reell positiv ist, ho gelangt man zu dem bisher betrachteten Falle
zurück, wenn man kl als unabhängige Veränderliche einführt. Die
direkte Behandlung ohne Transformation von t ist eben bo einlach.
Jetzt ist r — I- eine mit quadratischen Gliedern beginnende Potenz-
reilte von Cj, (^.

§6.
Die Differentialgleichungen, auf welche wir durch die in §§ 1 — 4
gestellten dynamischen Aufgaben geführt wurden, sind in folgender
Form enthalten:

fe - ix, + F,(x„ . . . X,),
1^- -■". + ^.W. •■•■'-)'

(A)

2 — OijXj H h ö,„j;„ -(- F,{Xi, . . . 0>

" - ".•'> + ■ ■ ■ + o.."!. + ^.(«1, ■■■ xj
F.„(x„ . . . X.),

Die Gleichui^ (m

- 2)teD Qrades

soll keine Wuizel ± ikl {k ganze ZaU), keine mehrfache und keine
verschwindende Worzd besitzen. Die charaktaristische Gleichung titen

DigitizedbyGoOgIC

24 Weitere Beitrage zur Theorie der kleinen Schwingungen.

Omdes unseres DifferentialgleichungsBystems hat dann neben den beiden
Wurzeln ± iX keine Wurzel ± iki {k ganze Zahl) und nur die /* ■= n — m
Wurzeln s => 0, welchen n einfache Elementarteiler der charakteriatisclien
Determinante entsprechen; alle Wurzeln außer diesen Teracbwindenden
sind einfach. F^, . . . F^ sind Potenzreihen von x^, . . . x, ohne Glieder
von geringerer als der zweiten Dimension. *) Es seien die n+l—n~m+l
Integrale

*(«„ ... x^) = C,
(B) ..,.+ 5r,(x.,...x,) = i).,

^-+ 5'^(*n ■•■ 0--D^
vorhanden, •noC, D^, . . . D^ willkürliche Konstante sind und tf», S', . . , Ü*"^
Potenzreihen von Xi, . . x^, welche kein Glied von geringerer als der
zweiten Dimension enthalten; in <& soll das Glied mit x\ nicht fehlen.
Wir führm das DifferenHalgläckangssystem (A) mit den ItUegralen (B)
avf das in Bd. 48, S. 405ff. behandelte zurück.

Aus den (i letzten Integralgleichungen berechnet man
a:^^, = Z», + p,(a;,, . . . x„, D^, . . . DJ,

a;- " -0,. + ^^(3^1, .-.x^, D„ ... DJ,
wo f),, ... p^ Potenzreihen der beigefQgten Argumente mit Gliedern
zweiter und höherer Dimension sind. Unsere »i ersten Differential-
gleichungen werden

^

'-i3:,+ «,(j„ ... x^, D„ ... DJ,
lx^-\- G^(xi, ... x„, I)„ . . . D^),

-Jr-"~»^ + --- + '»"-^«+^"(^i' ■■■ ^»- A- ■■■ -DJ,

und die Integralgleichung 4> '^ C geht Über in

V{x^, ...«., D„ .. . D^) = Ü.

Dabei sind G,, •■■ G„ und ^ Potenzreihen von j;,, ... x„, D^, ■■. D
mit Gliedern mindestens zweiten Grades; in V kommt y^ wirklich vor.

1) Wir können anch die Ste, . . . mte Diffeteutialgleichnng auf die kanoniiohe
Form gebracht denken.

DigitizedbyGoOgIC

Von J. Hos». 25

Aus den Gleichangen
« lKt + a^{K„ ... K^, D„... D^),
~ - XK^ + G^iKi, ... K„, D^, ... DJ,
0-o,,Z, + --- + a„Ä-^+G„(Z„ ... K^, A, ■■■ -DJ

berechnet man K^, ... £"„') als Potenzreüien von Vi, ... D^, velche
mit Gliedern zweiter Dimemion beginnen. Setzt man nun

«,-jr. + x„...z.-jE. + x.,

Bo gehen die Difierentialgleichnngen über in
"^-iX,+g„X,+ -+g„X,+ H,(X„ ... XJ,

^- - lX,+si„X, + --+s,.X. + ff,(X„ . . . XJ,
dX

-jT -""»^• + ■■■ + «-^ + 1^-1^1 + ■■■ + 9a«:^ + Ki^u--^)

{«-1....»)

and die Integralgleichung 9^ — C in

H(X„...XJ-C.
Dabei ist

SGJK., ... K^, D., ... DJ
9„ - 9.,(.D„ ... 2),) - 8J 7^ ^-

eine Potenzreihe von D, , ... D , welche fBr D^ =• ■ • ■ ~ D^ = -ver-
scbwindet; Si, . . . H^ sind Fobenzreiben von X, , . . . X„ mit Gliedern
zweiter und höherer Dimension, welche Potenzreihen von Dj, . . . D^
za Koeffizienten haben. Nach dem am Anfang von § 5 bewiesenen
Satze fehlen in H die in X^, . . . X„ linearen Glieder; H ist also eine
Potenzreihe von Xj, ... X„ mit Gliedern mindestens zweiten Grades (X\
tritt wirklich auf) , deren Koeffizienten Potenzreihen von D^, . . . D sind.
Die charakteristische Gleichung
9u-S, i + i7,„ g^t, ..., ff,«

-^ + ?M, 9it~S, g„, ..-, 9t„

9iu 9a> <»»» + % — S, ..-, <hm + 9i„

9^1, 9^i, «»I + ffml- ■■■) O— + fl'»m-5

-0

1) Nach den oben gemachteD VoranaBetzangen ist

I Null verschieden.

:dbyG00«^Ic

26 Weitere Beitrige lur Theorie der kleinen Schwingungen.

bat m in Fotenzreihen vob D, , ... D entwickelbare einfache reelle
oder paarweise konjugiert komplexe Wnizeln S^, . . . S^, welche sich
für D, = ■ ■ ■ = D = auf die m Wurzeln der Oleichang

(s' + A»)

«.-

reduzieren. Durch eine reelle lineare Substitution

^« - A„iS. + ■ ■ ■ + A„«5«, t»-i. ... -)

deren Koeffizienten h„g Potenzreiheu von D^, ... D^ sind, erhalten
unsere Differentialgleichungen, wenn

gesetzt wird, die Form^)

Jet D, = ■ ■ ■ = D^ = 0, so ist Ä = 0, ji = X, und diese Form ist von
Tomherein Torhanden; fttr D, = ■■■ — i)„ = ist also X„ = g„ und
demnach h„^ = \, hg^=^0 (a^ß). Die Integratgleichui^ H -^ C geht
durch die obige Transformation in

a(e„-..u-c

flber, wo ß eine mit quadratiBch^i Qliedem bannende Potenzreihe
von I,, ... £„ ist, deren Koeffizienten Potenzreihen tou D^, . . . D
sind. Da das Glied mit gj in i2 nicht verschwindet, so maß nach dem
zweiten in § Ö bewiesenen Satze K fQr alle Werte von Dj, ... D
verschwinden. Die beiden ersten Differentialgleichungen sind demnach

ik

- - ^1. + ■

Wir haben also Differentialgleichungen von derselben Form wie in der
frflheren Arbeit; nur sind die Koeffizienten, welche &flher gegebene
Werte hatten, jetzt Potenzreihen von D,, . . . D .

DigitizedbyGoOgIC

Von ;. HoBN. 27

§7.
Dos DiffereatialgleifihnngBsjHtem mit den abhSngigea Veränder-
lichaD ^, ... £, besitzt nach § 5 eine periodisch« Lösung mit der
Periode

r = y + T, + rj + -..,

wo T, eine ganze homogene Fnnktion vten Grades von }>,, y^ and
eine Potenzreihe von i),, . . . J) ist; dabei soll 1^ ~^ yi, ^ ~ Yt ^
t — sein. Wenn

gesetzt wird, hat diese LSsnng die Form

8.-(t.X + (l.). + - + (ü, + ---i <•- "1

es ist

(i>\ C, »m m + y, co» «>,

(U-0, •••, (U-0;

(la)r '^ ^'"^ ganze homogene Funktion vter Dimension von y^, y^,
eine Potenzreihe von D^, ...D^ und eine lineare Funktion von coepw,

Biupw (/-O, 1.... »).

W^eu

j:„ = ä:„ + A„, I, + ■ ■• + A„„|„ (a-i, ... «)

wird

«« - -f- + {^„)i + iXa),+ ■■■ + (XX + - ■>

wo (x^ ein Ausdruck von derselben Form ist wie oben (t„X- Ins-
besondere ist

W, -*.,«■)■ + »..(£.)■

oder, da sich A„, A„ fSr Z>, = -- — D =0 auf 1, die übrigen Ä„„ Ä„,
anf Null redoziereu,

(*i)i "° J*! *^^ w + yj »in w + ■ • ■ ,
Ca^)i — — yi »in w + y, coe w H ,

(^).---, ■■■, (O.--,

wo die weggelassenen Glieder in Yi, y^ linear homogen sind und &lr

2)^=t ... a= D^ _ Terschwinden.

Ans

*-+i» - ö^ + ^(^- ... a:., A- ■■■ D^) ¥~U-M)

folgt

db,GoOi^lc

^8 Weitere Beitröge lur Theorie der kleinen Schwingungen.

K^^j ist eine mit quadratischen dliedem beginnende Potenzreihe von
2>i, ... D und (x„^J)y ein Anedmck von derselben Form wie oben

{x„\ i {x„^^\ venchwindet tOi D, D^ = 0.

Wir können auch scbreiben:

«, -y, C08w+ys8inw+--,
a;, — — yi Bin w + y, cos w + ■■■,
*s = ■ ■ ■ j ■ ■ " ) ^m'" '■'>

WO die nicht angeachriebenen Reihenglieder mindestens die zweite
Dimension in besag auf die Konstanten y^, y^, i),, ■ • ■ D^ besitzen.
Man kann diese Konstanten so bestimmen, daß für f =

wird. Dann ist nämlich

c, = y, + ..., c, = y,+ --, C„^j = i>j + ---, •■■, c, = Z>„ + ---,

wo die weggelassenen Glieder mindestens von der zweiten Dimension
in yi, Yiy -Di, ■ • • Du ^ind. Daraus berechnet man

yi-(^ + ---, y, = cj-f---, Z)i = c„+, + ---, ■■-, i)^-c, + ...

als Potenzreihen von c,, c^, c„^,, ... c,, von welchen nur die Glieder
niedrigsten Grades angeschrieben sind.') Demnach laasen sich x^, ...x^
in Potenzreihen von <\, Cj, c^+,, . ■ ■ c, umwandeln.

x^ - :c<:) + x(« + ■ ■ ■ + 3:«;' + ■ . ■ (-=1, ... .)

Hierbei ist

a;'j" — c, cos w + Cj sin i* ,

jrj' = — c, sin w -|- Cj cos w ,

4" = 0, ... 4!'-0,
icSlfi — c«+i, ... x'i' — c^;

1) Soll die va ermittelnde periodiBche LOnmg die Bedingung

erfüllen (vgl. Aufg. It and IT), bo lassen eich die Konstanten y^, j^, Z>,. ... D,,_j
ta beHtimmen, daß f^ 1 =

wird. An Stelle von .c„ tritt Jetst eine Potenureilie t
welche mit quadratischen Gliedern b^^inat.

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■Von J. HoBM, 29

3^_^') (»—»,» ...) ist eine ganze homogene Funktion vier Dimension von

<^ij <^j '^■-«■11 ■ ■ ■ "■ '*'*'' "•'^ lineare Funktion von cos ptv , ain pw
if—o, 1, ... r). Die Periode toird

T-~^ + Tt" + r«) + . . . + r(») + . . . ,

wo Tf" eine lineare homogene Funktion ton c„+i, . ■ ■ c, und T'''
[r=»,s,...) eme ^ture homogene Funktion vten Grades von c,, c^,
"b + U ■ ■ ■ c, ttfc

Eb können nämlidi aus Tj nnr Glieder zweiter und hßlierer Di-
menBion in den c hervorgehen, während .

?^-^ + a,A+ ■ + a^ö^ + - ■

— -p + fliC^+i + t-o^c, + •■■

ist.

§8.

IHe Seihen, deren Exisiene nachgewiesen ist, soU^ nun nebst der
Periode T aus dem Differenüa^leichungssystem (Ä) am Anfang von § 6
dirää heretimd werden.

wo ij<'> eine ganze homogene Funktion vter Dimension der Integrations-
konstanten ist, Bo schreiben sich die Differentialgleichungen

(,x+r+i"' + --)'S-^.<.'" ■■■'.)■

Dnrch Einsetzung der Reihen

X^-Xi^i + l^^) + .-. + a^-1 + . . . la-l, ... .)

und Tergleichnng der Glieder erster, zweiter usw. Dimension in den
Integrationskonstanten c Srhält man Differentialgleichungen ftlr die xj,",
x'S' usw. Znr Beetimmmig der Eonstanten beachtet man, daß fDr w ^

Dgt.zedb.GoOgIC

30 Weiten BeitzBge im Theori« der kleinen Schwingungen.

sein mnfi nnd daß BXmtliche x^') als Fiuiktionen von w die Periode 2x
besitzen müssen.^) Durch diese Bediogungen werden aacli ij'^', tj'", ...
beatimmt

Zniüchat hat man die Differentialgleichungen

dx[" _ ,„ rf4" __ _ ,„
dw ' ' dte ^ '

mit der Löeong

- — c, sin w + e^ co§ w ,
-0, ... <"-0,

Weiter iat, wenn Ji*'(«,, ...«,) die Glieder zweiter Dimension
in F^(Xi, ... xj darstellt,

^*- - 4» - (^V" eofl «> + c,V" sin «. + I J|"«, . . . <"),

^ „ _ a^^i' + c, V" cos » + cV" sin «> + ^F^'^i^^, ■ ■ ■ <"),

(J^ a» 8 I ' ata m I o V 1 • , " '

d^\.

i^_j«...(#, ...#).

1) IbI die Bedingung

D^-x,+ T^(ir„ ... a:,) =

vorgeschrieben, bo bleiben nat die IntegntioiiikoiiHtMiteii c, , c,, c„ j.i. . . . c,_i
beitehen. Die Bedingongen a4"~CH, ^^''-^O, ... für tc^O und zu eneUen
durch die folgenden: .

a!{,'>-0, «J»' ^^''Cc,, c,, 0, ... 0, c„^,, ... c^_i, 0). ...

fOr wvO. Dabei IbI 9"" die Summe der in V^ enthaltenen quadratischen
Glieder ~ Obrigens kOnnte man von vornherein x„ vermitteli der obigen Be-
dingung eliminieren.

D.git.zedb/GoOglC

Von J. Honr. 31

Die AuHdrQcke F^{!^", ... x'") (b=i,.,.ii) Bind homogene quadratische
Fonktioneo von c^, e,, g„^i, .., c^', cf, c^c^, cl haben als Koeffizienten
lineare Funktionen von cos 2tc, sin 2w und CjC^, c,c„, . . , c^c^, CjC^
lineare homogene Funktionen von cos w, sin w, während <^+i,
Cm+i^, • ■ ■ <i mit konstanten Koeffizienten multipliziert sind.

Damit sich ans den beiden ersten Differentialgleichungen x^', a^
als periodische Funktionen von w ergeben, muß der Koeffizient von
cofl tr in der ersten dem Koeffizienten von sin tv in der zweiten
Differentialgleichung gleich, femer moB der Koeffizient von sin w in
der ersten dem Koeffizienten von cos tc in der zweiten Differential-
gleichung entgegengesetzt gleich sein.*) So erhält man zwei Be-
dingnngen

deren rechte Seiten lineare homogene Funktionen von c, c , c^e
()■— ■ + !,... ■) sind Damit sich hieraus i;"' als lineare Punktion der e
ei^bt, muß die rechte Seite der ersten Bedingung durch c^, die rechte
Seite der zweiten durch c, teilbar sein, und man erhält ij'" als lineare
homogene Funktion von c^+i, •.■ c^- Aus den beiden ersten Diffe-
lentialgleiehnngen ergeben sich nun a/-^\ a^*' als linear« Funktionen
von coapw, sinpw ip—o, 1. 1); die Koeffizienten von costc, sinw folgen
aus der Bedingung «'," — 0, a^*' — far w — 0.

Ans den m — 2 folgenden Differentialgleichungen berechnet man
af", . . . 3^ als partikuläre Lösungen mit Benutzung der Bedingung,
daß sie die Periode 2x besitzen mfisaen. Damit x'm-\-fi (,''"■*■ ■f)
periodisch sein kann, muB in der Entwicklung von Fi*!^.^i(xl\ ... a^*,")

1) Durch Einietenng der AnBdrQcke

«, — fl,coB» + b, ainw + ---,

a;, — o, coB w + 6, Bin tc -1

1 die Di^rentialgleichniigeii

■^ — jüi + o, coBw + b, riii»+ ■

dx,_

« w + b. Bin to 4" '

nnd Ver^eichnng der Koeffizienten von cosw, tinto erh&lt man die Qleichnngen

6, — o, -" a, , «i + &i -■ — b, ,

«,+6,-0,, 6,— o, — b,,
welche nur beatelieii können, wenn

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32 Weitere Beiträge cor Theorie der kleinen SchiritiffTiRgeii.

als lineare Funktion von cos tc, sin w, cos 3w, ain2tii das konstante
Glied Ton seibat fort&llen; dann erscheint

als lineare Funktion von cos«;, sinw, C0B2ti', aia^tc})
So fortfahrend findet man ij'", ar",", . . . x^' usw.
Durch UmateUnng erscheint x„ als Fourierscke Beihe, deren Koef-
fizienten Polenereihen von c,, c,, c.+„ . ■ ■ c, sind:

x^ — A'* 4-^-^1"' cos VW +^^'" sin vw; «. = i, ... -)

-^l"'; &^^ {•=%! ■■■) b^;inn«a mit Gliedern vier Dimension in den c,
j4j«> (0 = 1, ...«) und A'^\ B5"* (o— >. ■■■ ■) mit Gliedern zweiter Dimension;
femer ist

4'"+"-«-+. + ---, ■■■. ^"' = c. + -.-,

wo die nicht angeschriebenen Glieder mindestens die zweite Dimension
haben.

§9.

Aufgabe I (vgl. § 1). Die Differentialgleichungen

^^ - Aa:, + . ■ -, ^j - Aa:, + ■ • -, j( - -I- ■ • ■

mit den Int^[ralen

x» + x» + ^4 + ■ ■ ■ - C,

i, + D

besitzen unter den Anfangsbedingungen

1 = 0, ij = c,, a^ — (^, x^ = Cg
die periodische Ldsnng

«„ - a:'i' + ar'J' + 1- ar"^ + ■ ■ •; ("-'■ *.«)

1) Ist die Bedingong D — Torge«chrieben , «o ist

..)dB-gr;«{c,, ..,)

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.-iyV..c^.,

Ton J. Hohn. 33

hierin ist x^'J ein© gtinze homogene Funktion i-ter Dimension von
c,, c^, fg oud eine lineare Funktion von caapw, Binjjic (j) = 0, 1, . . . v)
und insbesondere

i'J' = Cj cos w + c. Bin w,

^j' = -" *i Bin w + c, cos w,

die Periode ist

T~~ + TW + TW + . . .,

wo 7"''^ — 2xaCf und T''* eine homogene Funktion vter Dimension
von Cj, Cf, c, ist; es ist

Unter Berücksichtigung des Zusammenhangs zwischen R, R', <^' und
x^, Xj, Xg drücken wir c,, Cj, c^ durch die Werte R^, fi^, 0Ö »usi
welche R, R', (P' für i = annehmen:

Dann ist

J!-^(«).> '''-^m., »--Ic»').,

wo (B),, (■ß'),» (*')f ganze homogene Funktionen vter Dimension
von Rq, Bi, ^0 und lineare Funktionen vou coBpw, sinjJU' (p = 0,
1, . . . v) sind. Insbesondere hat man

(-fi)i -°-j, " -"cosm: + -j^srnw + -—- -]i - - '

(ü )t -= üo COS w H " ' ■--" am w,

(Oji = — ^.^ '—^^ coB m + --ji^Bin«; + — ^'- ^t-^-^-
Die Periode ist

T = — -f TC) -f Ti») -i- ■ • ■

wo 7''> von der vten Dimension in Sf,, Ri, *Pi und insbesondere

rm,

^a«a(rBo-*i)

ist'}

Weiter hat mau

smtp H

[len.

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I) Der konrtanto Faktor a kaDn noch g S berechnet nenlen.

ZritBihrift f. HsUwiMtlk u. Pbjilk. ftt-Baud. IMC l.ntft.

j^ Weitere Beiträge zur Theorie dei kleinen Schwingangen.

Der Mittelwert dieser periodisclien Funktion (die Summe der von cos
und ein freien lieihenglieder),

a-V + (^ + ?.) (»■«-»;) + ■••,

ist eine Pot«nzreihe vou ^oi -R«, *o-') Indem man

80 integriert, daß qp — qp^ für / = wird, erhält raai

9 - y„ = ßw + (*), + . . . + (0), + .

und (0)^ eine ganze homogene Funktion i'ter Dimension von Bo, ^i,
®ö nnd lineare Funktion tob cosptc, ainp«; (jJ ^ 0, 1, ... v) ist

Wir wählen jetzt den Anfangspunkt: der Zeit t so, daß fQr / ="
J{' = wird. Die in § 1 aufgestellten Differentialgleichungen mit der
unalihiingigen Veiüuderliohen t und den abhängigen Veründ erliehen
li, It', O' bleiben nngeändert, wenn man ( durch — t und H, W, 0'
durch Jt, — R', 0' ersetzt. Dabei bleiben die Anfangsbedingungen

i = 0, R = Ri, ü' = 0, O' -0i

ungeänderL Die so festgel^^n Funktionen R, *' bleiben also bei einer
Zeiehenäuderung von t nngeändert, während R' das Zeichen ändert.
Auf Qrund des Zusammenhanges zwischen x,, x^, Xg und R, R', *'
sind unter den Anfangsbedingungen

( — 0, x^ — c^, ar, = 0, x^ = c^

^\> ^t gerade Funktionen von t oder von w — '
ungerade Funktion von t ist. Die Fouricrschen Iteihen für R, *'
und x^, Xg enthalten also nur Kosiuusglieder, diejenigen für R' und
x^ nur Sinusglieder. Demnach verschwindet R' für w = 0, k, ... oder
für t — 0, - , . . .; diesen Werten von t entsprechen die Maxima und
Minima vou R.

l) Das Anfangairlied von ü irt % =l/'- '■^}-^l^^'^ .

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Von J. Hoio.

§10.

Aufgabe

II (vgl.

§2).

Die

chungen

»>!'.+

dy,
dt

-h'

+ •••.

t =

^!'.+

'H-

-J,x

+ ■■■.

dt

+

dy,_

dl

+ ■■■

mit den Integralen

O

- CoMt

, *.+

V,

-Dt, i

.+ «'.- A

besitzen, wenn j^ keine ganze Zahl ist, eine periodische Lösung mit
drei') Konstanten Ci, c',, Cj (ea sind dies die Werte ron «,, y,, x,
fflr / = 0), welche, wenn

w-"^-^, 2'-?^ + r(>»+T(»)+...
gesetzt wird, eiue Entwicklung

zuläßt, worin x^'J, »/^' ganze homogene Punktionen vter Dimension und
lineare Funktionen Ton cosfiw, fänfkui (/u — 0, 1, . . . v) sind. Ins-
besondere ist

a:*}' — c, C08 w + cisinM", y^j' «■ — c,8inMi + c[ cobw,

^i'-'O, yt^J-O, 3:<J> = c„ !/(>) = 0.
yi') ist eine ganze homogene Funktion wten Grades von c,, e[, t^;
T''' ist proportional c,.
Wenn fOr < =

^•-i'o, 9 = 9o, «--»-o; r=n, r-^r^, r' = n'

ist, BO ei^eben sich aus den Substitutionsgleichungen (§ 2)

p = L^Xi + L^x^ + %Xf usw.,

r — ii'yi -I- ij'yg + Sys u8w.
C|, <^i> C) als Potenzreihen von pg, ^g, /~^':

^ JX,JV,' ^ ' ■

c. - j^. + ■ ■ ■,

1) Wegen D, ^ sind die ADmerkuiigeu zu g 7 und § 8 zn berflclisichtigeii.

36 Weitere Beitiäge znr Theorie der kleinen Schwingungen.

Toransgesetzt, daß .^i ^ ist'); es ist ferner

^o-jfjJo + ■■■>

r-=;' + (T), + (T), + ...,

wo (T), eine ganze homogene Fuuktion vten Grades von Ci, c[, Cn
ttod insbesondere (IT), zu Li% — ^tPo proportional ist, und

p-,^(i>^« «-J(«'" '-.^W"

r-J(r),, r--2(r)„ r--^^(n.,

^o (p)r> • ■ -i (-Or' - ' - gKUze homogene Funktionen vten Grades
von Gosfitr, ain/iw (fi •= 0, 1, . . . v) sind. Es ist insbesondere

(p)i = LjC^cosMi + i,c,' sinw + fj£,
(}■), = Jf, c, cos tt> + -^f^i"! einw + Cgij,
(r), = N,Ci cos w + .?/','cJ sin w + Cjg;
(Ol = " L[Ci am w + Z.,'fiJ cosiv,
(r^)i = — JK,'c, sin u? + Jtf|c| cos u>,
(r"), = — iV,'»;, ainw + M[c[ cosw,
wo c,, Cj, (^ wie oben durch p^, q^, F" anszadrficken sind.

Wenn P keine ganze Zahl ist, erhalt man atif ähnlichem Wege
eine periodische Losung mit drei willkürlichen Konstanten, welche eioe
von -, wenig abweichende Periode besitzt.

Beiden Scharen periodischer Löstmgen gemeinsam sind die von
Staude') nachgewiesenen Drehungen um permanente Rotationsachsen,
80 weit die letzteren in der Nähe Ton OS liegen.

Die Differentialgleichnngen am Anfang von § 2 mit den abl^ngigen
Yernnderlichen p, q, r; y, y, y" werden immlich befriedigt, wenn man
j) == yoi, q — y'fij, r = y"e>

1) !■[, Jf,', ia[ können nicht gleichceitig verechirinden.

2) Stande, Aber penuauenteRotatioiiMchten bei der Bewegung eine« schweren
KCrpers am einen festen Punkt (Crellea Joom. 113). Routh ftl. II, S. 163. —
LecoTDu, a. a. 0.

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Von J. fiomt, 37

setzt, WO y, y\ y" uad m konstante Werte sind, welche durch die
Gleichnogen

(H- C)iy'y"m' = g(^r" - ty'),
(C - Ä)r}y"yw* - g(tr - |y").
(A — B)tyy'a* - (;(|y' - ijy)
verknüpft sind, woraus

{B - Cf)iy'y" + (C - Ä)y,y"y -\- {A - B)^yy' =

folgt. Es bandelt sich um gleichförmige Rotationen (Winkelgeschwindig-
keit m) nm lotrechte Achsen (Riditungskosinus y, y', y" in bezug auf
die Hauptachsen des Körpers). FOr uns kommen nur Achsen in der
Ißhe von OS in Betracht. Für die Achse OS ist o ~ 0, fOr be-
nachbarte, dem „Sdiwerponktskegel" angehSrige Achsen ist m klein.
Die obigen Gleichungen gehen, wenn man darin

f-T + r, y'_| + r, ,"_f + r'

setzt, in

usw. über. Verbindet man damit die durch Umformung
/* + y'* + y"^ = 1 erhaltene Gleichung

^r+7}r + tr'+ ^'(r» + r» + r") =

so ergeben sich

r-o"

(itB-At,'+IC-.l)C-i .

r-t>'

r" - a<

C(U~ClC + lB-(.1„-) 1

als PotenzreiLen von m'

und

, = > + .

., ,_;.. + ..., ,_!<» + .

schreiten nach ungeraden Potenzen von a fort.')

Diese Lösung mit konstanten Werten Ton p, g, r, V, F', F" muß
in der oben bestimmten periodischen Ldsung mit einer von -^ wenig

1) Liegt der Schwerpunkt S auf einer HanptachBe von 0, ist alio
s. B. { = »1 = 0, C^O', HO ist bei beliebigem co 7 = 0, y' — 0,j" = l,i. b. ee
iit eine gleichnirmiffe Rotation mit beliebiger WiakelgeHchwindigkeit am die lot-
rechte Hanptachie OS mOglich.

db,Googlc

38 'Weitere Beiti^ge zur Theorie der kleinen Schwingungeo.

abweichenden Periode als Spezialfall enthalten sein.') Die obige Losung
kann aber nur dann von t unahMngig sein, wenn c, — 0, C| — ist.
Da nun a:'|> = a^'J' = yj' = y(J> = ^J' — ist, so sind

i> — 6C|H , S— '!C>+---, r~^Ct-\ ,

«• - y? + ^ + f' -lct+-;

r= + ---, r = + ■■■, r" = + ---

potenzreihen von Cj, welche außer den angeschriebenen Gliedern nur
Glieder mindestens zweiten Grades enthalten. Stellt man hiemach

als Potenzreihe von oi dar, so sind auch

j, _!„ + ..., g _?„ + ..., r_ !» + •■.,

sowie r, r', r" Potenzreihen von a. Sie mÜBsen mit den im An-
schluS an Staude erhaltenen Potenzreihen von m tibereinstimmen, ihre
Koeffizienten müssen also von t unabhängig sein.

Wenn mui die Quadrate und Produkte kleiner Großen vernach-
lässigt, tritt an Stelle der Staudescheu Losung die folgende:

r-0, r'-o, r'-o,

welche eine Drehung nm die lotrechte Achse OS mit beliebiger Winkel-
geschwindigkeit to "Icg darstellt. In § 2 ist die allgemeine Lösung
der anf die linearen Glieder reduzierten Differentialgleichungen mit den
6 Konstanten c,, c,', c^, c^, c^, Cj oder p^, ^,, p,, [i^, c^, c'g dargestellt.
Wegen der Beziehung

welche durch Vernachlässigung von F*, . . . aus y* -|- y'* -\- y"* = 1
hervorgeht, muß aber c, — sein. Wir haben also die angenäherte
Darstellung der kleinen Schwingungen:

P = hlfi «n {^' + /*i) + Aft sin (A,/ -f /»,) -1- |cj,

wobei für t — 1, 2

Pi sin (Ift + fi^ — Cf cos l^t + c\ sin i^^,
(I, cos (iji -I- ^() — — c,8inA(*-|-c,'cosAji

1) Ebenso auch in der LSBong mit von — wenig veiicluedener Periode.

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Von j, HosK. ay

gesetzt wenlen kaim. Wir Laben die drei partikiilÜren LoBungon
p — Z^p, 8iii(Ai^ + ji,),. . .., r= L|p, C06{iit + [i,), . . .;
p= Z,p,Biii(^(-f Ht), ■ ■ ; r= L;pjCOb(A,(+ (*,), . . .;
p-ic,,..., r-0, ....

Die erste stellt eine Drehung mit periodischer Winkelgeschwindigkeit
um eine im Körper feste Achse dar, deren Richtungskosinus in bezug
auf die Hauptachsen sieb wie L^: M^: N^ verhalten, die zweite eine
periodische Drehung um eine feste Achse mit den Richtm^skosinus L,;
3f,: Nj, die dritte die oben erwähnte gleichförmige Drehung um die
Lotrechte 08.') Die Zusammensetzung der ersten und dritten Lösung
ei^bt eine periodische Lösung mit der Periode j- und mit den drei
Kon8taat«n c,, c[, c^, die Zusammensetzung der zweiten und dritten
eine periodische Lösung mit den drei Eonstanten c^, c^, c^. Wenn
man sich nieht auf die linearen Olieder beschränkt, sind diese perio-
dischen Ldsongen durch die oben gefundenen zu ersetzen.

Oben waren p, q, *■; F, F', V als periodische Funktionen von t
mit der Periode T-« --{-■- ■ und mit drei Konstanten c,, c[, c^ oder
Pf,, q^, r^' dargestellt. Wir berechnen jetzt die Euler sehen Winkel *, (p,il\

Aus den Oleiehungen

/ =■ sin d- sin 9, y' — sin d cos y, y" ■= cos ft
folgt

oder

C08(*o +

e)_- +r, tg(y, + «)_/ —

Aus

^> = «.'sin »sin 9) + »' COS y,

ergibt sich

,j = ^' sin d- cos 9 — *' sin 9

*•-'

y + qy- ](P^ + <l'i) + pr+9r-

' + '' _4- *fri.4-r'i.i-4-r"4- r'*

Man stellt hiernach

«-.j'.(,r-jr) + ...,

*' - jidp + >«) + ••■

1) Hiheiea b«i Lecoinn, R. a. 0. s) BMeichanng wie in § s.

Digiliz=db,G00glC

40 Weitere Beiträge zur Theorie der Itleiuen SchwinguD,':^n.

als Potenzreiheu von p, q, V, V V dar. Die Einsetzung der oben
fiir p, q, F, I*, F", gefnudenen Ausdrilckf ergibt

— -Ti(c, smw — c^eostv) + ■ • ■,

i)' — r-idA + V^i){^ coBw + c[amic) + lc^-\

Ist für * =
so hat man

ke;

kB. ,

Nun ist

{0\ = ©0 C08 W + :- »in KI,

(0)i = - — Vjv'''~~' t®" coe w + T-^ sin w),

und (ö),, (<&),, («(''). ganze homogene Funktionen vten Grades von ö^i
©g, ^g und lineare Funktionea von cosfiw (fi — ' 0, 1, ... v) sind.
Wenn man

<h^ = 2^* = i,- +■■■

integriert und ^ = ^^ für f = annimmt, so erhält man

t - (fo - Äw +(*), + ■■■ + (*'),+ ■ ■ -,
wo

1. kl\N[ • '"

eine Potenzreihe von ö^» ®oj ^oj

(*)' - ^ ''iö;*' [»o(»<» » - 1) + f «i» »1

und (<{'), eine ganze homogene Funktion vten Grades von S^, ©g, ifi^
und lineare Funktion von cos^ir, sin^tw (ß = 0, 1, ... v) ist.

Dql,.eJb.G00«^IC

Aufgabe III (rergl. § 3). Die Differentialgleichungen

dt~ + " ■

mit den Integralen

X\x\ + AJ4 + x'* + x'* + x'*+--= Const.,
*> + ■■■= Const.

besitzen, warn r^ keine ganze Zahl ist, eine periodische Lösung mit
drei Konstanten c,, c[, c'^ (den Anfangswerten von Xi, x[, x^)

^a-^3:^u, (« = «,«

^'<.^^^l\ (--1,1.»)

worin

a^}' -= c, coe w + ri sin w, xf\^ = 0,

y<j> -- — c, A, sin w + c[ cos w, y*J' = 0, yf^' = t,J

und {a:„)„ (y^), ganze homogene Funktionen vter Dimension von c,,
c[, Cg tmd lineare Funktionen tou coBfiw, sin ^w (/i — 0, 1, . . . v)
sind; dabei ist

äst

wo jT''' proportional cj und T^*'> eine ganze homogene Funktion vter
Dimension von c,, c^, c^ ist.
Nun ist
8 = «,«, + K,i( — o:,{c,co8W + j^sinw)+ • ■ -,

= (3,ar, + /^a^=/J,(c,cosw + ^8inMj) + ---,
8' «= «,a;,' + OfX'j — «, (— c^ Xj ain w + c^cosw) + ■ ■ ■,
0' = jSi^J + /SjÄj = ßi{~ Cil^eiaio + c^coatc) + • ■ ■,

V' ^yix[ + y^x'^+ Ytx'^ =■ )/,(— CiAisinM; + cj co8«i) + J-jC^ H ■

,l,.eJb.G00«^Ic

42 Weitere Beitri^ zur Theorie der kleinen Schwingungen.

Soll fttr ( =

» = ©0, «' = «;, i>' - ^ö

sein, so hat man

',-- + ■■■, <-iJ+--. )■.<•; -*;-l7»;+--

Die Eineetzung dieser Werte ei^ibt

®-Jl®),- *-J'(*X, ^'-^J'Cö'Ow

wo (#),, (<^),, (^')t dieselbe Bedeutung haben wie in § 10; jetzt
ergibt sich

(Ö), -8oC08W + *»Bin«;,

(*)i = f;(®oCoa«»+|^9inHO,
Ferner ist in

(T)i proportional i/i^ — — 8^ und (T), eine ganze homogene Funktion
f ten Grades von Qf„ @g, ^g. Durch Int^ration erhält man wie in § 10

^ - V-o - Äw + (*)j + ■■■ + (*), + ■■ ■,
wo

und

((Ii), = ^ [©o(coB (* — 1) + *° Bin it-j
ist "' . '

Wenn ' keine ganze Zafal ist, findet man ebenso eine von den
drei Konstanten abhängige periodische Lösung &, 0, ii', deren Periode
Ton -j- wenig abweicht.

§12.

Aufgabe IV (vgl. § 4). Die kanonischen DifFereiitialgleichungen,
die bekannten Integrale und die periodischen Losungen haben dieselbe
Form wie am Anfang von % 10. FOr ^ = sei

Aus dem Zusammenhang zwischen den ursprQi^lichen und den neuen
Veränderlichen folgt

'^. -.■/:,., + ■■■' <--^i, + - ■''^-•^■

Digiliz=db,G00glC

Hiemacli ist die Periode

wo (r)j proportional R^ und (2), eine ganze homogene Fonktion vter
DimenaioD von P^, Q^, B„ ist Ferner liat man

y_p_J(P)„ i-Q-2(M)„ r-n + R-«+ß(R)„

r - ''-2(n, f-r -^i.n., )-•■ - 1 + r" - i +ß(.n., ■

wo (P),, . . .; (r^,, - ■ . ganze homogene Funktionen vten Grades Ton
Pof 4^0) -^ ^"*^ lineare Funktionen von cos^w, sinfiu> (ji ^ 0, 1, . . . v)
sind. Insbesondere ist

CA - - ■P.r-;^^™«' + «•«'■«'.

Po

(Ol -„-/l^Y^ «!»<« + ;,

(O, - 0.

Der Körper ftihrt also, wenn ^ keine guize Zahl ist, eine Be-

2«
w^ung mit einer von j-- wenig abweichenden Periode aus, wenn ihm

eine nahezu lotrechte und von n wenig verschiedene Winkelgeschwindig-
keit in einer alsdann bestimmten Anfangsli^e erteilt wird. Ähnlich
findet man, wenn ^ keine ganze Zahl ist, die periodischen Bewegungen
mit von £- wenig verschiedener Periode.

Der Körper kann mit beliebiger Winkelgeschwindigkeit um die
durch den Schwerpunkt gehende vertikal gerichtete Hauptachse rotieren.
Unsere Differentialgleichungen (§ 4) besitzen in tTbereinstimmung damit
die Lösung

p = o, Q = o, Ä = c,j r=r-r" = o.

Diese Lösung muß aus der oben gefundenen periodischen Lösung mit

Digit,zed6yG00glC

44 Z<i' konstruktiven iDfinitesimalgBoinetTio der ebenen Kurven.

Znr konstruktiven Inflnitesimalgeometrie der ebenen Kurven.

Von RiCHAED V. M18E8 iß Wien.

Die TOrli^ende Arbeit versucht es, die konstruktiven Probleme
der infinitesimalen Geometrie von einem allgemeinen, einbeitlicben Ge-
eichtpunkt aus zu behandeln. Sie knüpft an gewisse in der Kinematik
Übliche AuBchauungen an, ohne jedoch, wie dies in bisherigen kinematisch-
geometrischen Untersuchangen meist der Fall war, die Betrachtung
starrer bew^ter Systeme zum Ausgangspunkte zu wählen. Die Grund-
l^e der folgenden Erörterungen bildet vielmehr die Aufstellung eines
neuen') Begriffes, der sich für die Lösung hierhei^ehör^er Aufgaben
nützlich erweist. Dieser B^p'ifT, die Charakteristik eines verändt^lichen
geometrischen Elemetites, fällt fOr den speziellen Fall des veröaderiichen
Punktes bezw. der veränderhchen Geraden wesenthch mit dem der
kinematischen Geschwindigkeit ') bezw. Winkelgeschwindigkeit zusammen.
Im allgemeinen kann er als geomdrisdies Äquivalent fUr den analytischen
Begriff der AUeüung einer veränderlichen Größe angesehen werden. Denn
der ökonomische Grundgedanke der Differentialrechnung — alle In-
finitesimalbetrachtungen im vorhinein zu erledigen, um sie im Einzelfalle
zu ersparen — war für die Begriffshildung in erster Linie maßgehend,
und durchweg bildete die Analogie unserer Probleme mit jenen der
Analjeis den leitenden Gesichtspunkt für die hier gebotenen Unter-
suchungen. Die Aufgaben, mit denen wir uns zu heschäftigen haben,
enthalten in ihren Daten in gleicher Weise analytische und rein geo-
metrische Beziehungen. Die Lösung erfordert in jedem Falle eine

J) Dnrch eine Besprechung im Jahrbuch ü. d. Fortschritte d. Mafbem. 1897
S. G0& f. erhielt Verfasset, knrz vor Abscblufi dieser Arbeit, Kenntnis von dem
Inhalte einer ihm unzugänglichen Abhandlung: Joh. Peteraen, Grundprtnctper
fvr den infinüesimale Desariptivgeovietri vifd Anwendelte paa Laeren om variabU
Figurer. InauguraldiBS. ^öb. 1697. Damach hat Hr. Petersen den hier ver-
wendeten Begriff zum Teil unter dem Namen Fluiion bereits eingeführt und in
amfassender Weise znr Anwendung gebracht Doch dürfte ihm ein großer Teil
der in vorliegender ünteranchimg gewonnenen Ergebnisse fehlen. — Einer ge-
BchUzten Mitteilang des Herrn Prof. Dr. R. Mehmke verdankt Verfasser femer
den Hinweis auf eine hierbergehOrige Stelle in: G. Peano, Applicazioni geome-
triehe del ealcoJo infinüetimale, Torino 1887. Daselbst ist der hier allgemein ver-
wertet« Gedanke für den Fall des Punktes, der Geraden und der Ebene durch-
geführt.

2) 8. Schadwill, Das Glieder vierseit als Grundlage der ebenen Kinematik.
Verhandl. d, Vereines zur Forderung d. GewerbefleiBes in Preußen. ie7S. Jah^. S6.
S. 378ff. § 4. Bnrmester, Lehrbach der Kinematik I. Leipdg 1888. 3. 18f.

DigitizedbyGoOgIC

Yon RiCQUD V. M1SE8. 4ö

Differentiatioii der ersteren; das Analoge ftlr die geometrischen Elemente
leistet die Bestimmimg ihrer Charakteriatiken. Damit sind zugleich
die Gebiete abgegrenzt, die in unserer Untersuchung einerseitB der
Rechnung, andererseits der geometrischen Konstruktion zufallen. Nie-
mals betrachten wir es als unsere Aufgabe, ein errechuetes Resultat
in eine Konstruktion umzusetzen.

Eine Erweiterung der hier dargelegten Betrachtungsweise für
räumliche Gebilde, sowie eine Spezialisierung derselben für das Gebiet
der algebraischen Kurven mSssen besonderen Arbeiten vorbehalten
bleib«!. ')

I. Zwei Fliasen des veränderliolieD S^Btems. Syntlietisclie Knrven-
deflnition erster Art

1, Wir betrachten eine Reihe von Punkten, Geraden und beliebigen
Kurven (Punkt- oder Geradenörtem), nennen jedes dieser Gebilde ein
Element und ihre Gesamtheit ein System. Yon jedem Elemente nehmen
wir an, es durchlaufe, sich stetig verändernd, eine einfache Mannig-
faltigkeit von Phasen und zwischen allen Elementen bestehe ein der-
artiger ZuBammenhat^f, daß mit der jeweiligen Phase eines einzigen
unter ihnen eine oder mehrere entsprechende Phasen jedes andern be-
stimmt sind. Ist die Beziehung zwischen den zusammengehörigen
Phasen eine mehrdeutige, so setzen wir voraus, sie lasse sich durch
Zerfällung in Zweige auf eine Anzahl eindeutiger Zuordnungen zurück-
fuhren, Bodafi wir unsere Betrachtungen auf die letzteren beschränken
können. Ein System, das den ausgesprochenen Bedingungen genügt,
woUen wir im allgemeinsten Sinne awangläufg veränderlich nennen.

Analytisch würde sich das folgendermaßen darstellen. Die Punkte
des Systems seien durch ihre Koordinaten

0) *i. Vi, »»,%.•■-

bezüglich eines unveränderlichen, in der Ebene fest^el^en Achsen-
systems bestimmt, die ilbrigen Elemente durch ihre Gleichungen in
bezog auf dasselbe Koordinatensystem:
(2) /;(«,») -C„ f,{x,y)-C„...

Dann sind alle :rj und y, von (1), sowie alle Cj von (2) stetige Funktionen

einer unabhängigen Yariablen t

(3) «,-X,(0, y,-Y,{t), C,-F,(tj.

I) Bei AnafQIirang vorlie^nder Arbeit iat mir von aeitea meineB verehrten
Lehren Heim Prof. Dr. E. Maller in Wien vielfache FCrderunf; zuteil geworden,
die mich lu beeonderem Danke veipflicbtet.

db,Googlc

46 '^^' konstniktiTeD Infinitesimalgeometrie der ebenen Earven.

Mit der Annahiue irgend eines x„ y, oder C, ist ans der entsprechenden
Oleichung (3) dae t, daher weiterhin jedes andere Xf usf. bestimmt. Hin-
sichtlich einer etwaigen Mehrdeutigkeit der f\inktionen (3) muß wieder in
analoger Weise die Auflösbarkeit in Zweige, oder was dasselbe ist^ Ein-
deutigkeit innerhalb begrenzter Gebiete zur Yoranssetznng gemacht werden.

Greift man zwei beliebige Phasen 8 und S, dee Systems heraus,
so bestimmen zunächst entsprechende Punkte p>) und p, sowie ent-
sprechende Gerade G und Ctj der beiden Phasen Yerbindungsgeraile
pPi und Schnittpunkte GG^ und mit diesen gewisse Längen and
Winkelgrößen pp, und GG,. Nähert sich die zweite Phase unaufhör-
lich der ersten, so nähern sich — von ainguläran Fällen, die wir aus
unserer Betrachtung ausschließen, abgesehen — Verbindongsgerade und
Schnittpunkte gewissen Grenzl^en und die Verhältnisse jener Längen
und Winkelgrößen bestimmten Glrenzwerten. Wir konstruieren nun

für jeden Punkt p, q auf der Grcmlage der Geraden pp^, qq^ . . .

je einen Funkt p', q' . . . und fOr jede Gerade G, S... durch die
Grenelage des Punktes GG^, HH^ . . . eine Gerade G', H' . .. derart,
daß die Verl^tuisse, welche die Str ecken pp', qq' . . . und die trigono-
metrischen Ttmgenten der Winkel GG', HIT . . . miteinander bilden,
den Grenzwerten der entsprechenden Yerhältnisse von pp^, qq^ . . .
GGi, HHy . . . gleichkommen.*) Alle Elemente sind nach der Wahl
eines einzigen unter ihnen eindeutig bestimmt. Wir nennen p' und
Cr' beziehentlidi die CharaJcterisHken von p und G'') und bemerken,
daß durch die Angabe einer Phase aller Punkte und Geraden des
Systems sowie der zugehörigen Charakteristiken zwei aufeinanderfolgende
Phasen dieser Elemente Tollkommen charakt^isiert sind. Offenbar ist
die Gerade pp' Tangente an den Ort (p) der Phasen von p und GG'
der Berührungspunkt von (6) mit seiner Tangente G.

£9 seien C und Ci (Fig. 1) zwei Phasen einer dem System an-
gehörigen Kurve und m ein Punkt von C. Wir legen durch m einen
beliebigen Strahl A, den wir uns in der Ebene unveränderlich denken,
und beschranken unsere Betrachtungen, um Mehrdeutigkeiten aus-
zuschließen, auf einen solch kleinen Teil von C in der Umgebung von

1) Sleine Bnchataben bezeichnen im folgenden in der Regel Punkte, große
Buchetaben Gerade. Immer bedeutet die Aneinanderreibiing ab die Verbindniigs-
gerade, ab die Entfernung der Funkte a nnd b; AB den Schnittpunkt, AB den
Winkel von A nnd B. Der in Klammer gesetzte Buchstabe (E) einet Elementes
bezeichnet den Ort, bezw. den Inbegri£F aller Phasen von E.

2) Der Fall, daB der Schnittpunkt GG' im Unendlichen liegt, wird ■{dter
seine Erledigung finden.

fl) Peteraen benützt nur p' als „Fluxio» rf« Punl-tcs p". Vgl. Jahrbuch
a. a. 0. S. 606, — Peano, a, a. 0, S. »21 nennt pp' „BerivierU von y".

ib.Goo«^Ic

Vob KiCHlBD V. M18B8.

47

\~;

tn

y ytt

•'S.

^^

m, daB weitere Schnittpunkte von C und Ä nicht mehr in denselben
&IIen. FasBen wir jetzt eine infinitesimale Fbaseuänderung von C ins
Auge, Bo gibt es nur einen unend- ^ ^

lieh nahe an m gel^enen Punkt von
Ä, der zugleich der Nacbbarpbase
von C angehört Es läßt sich daher
im allgemeinen ans der Mannig-
faltigkeit der Phasen von C ein
derartig begrenztes, die Ansgange-
phase selbst enthaltendes Gebiet
herausheben^daßinnerhalbderselben
zwischen den Phasen von C und den
Punkten von A eine eindeutige stetige Zuordnung besteht. Eine solche
Zaordnoug gestattet aber, den jeweiligen Schnittpunkt m^ von Ä und C
als Element des zwanglänfigen Systems an&nfassen, und damit ist nach
dem Yorangebend^i auch eine Charakteristik mä fQr denselben be-
stimmt, die notwendigerweise auf A liegen muß. Wir können auch
sagen, durch den Strahl A werde dem Punkte m von C ein Punkt m^
von C, zugeordnet, und dieser Zuordnung von a entspreche die Cha-
rakteristik mä von m. Läßt man A das ganze Büschel in m durch-
laufen, so erhält man eine Reihe von Punkten mä, m» . . ., deren Ge-
samtheit für das Verhalten vou C in der Umgebung von m und in
zwei aufeinanderfolgenden Phasen charakteristisch ist. Wir wollen nun
zeigen, welches der Ort der nia ist, wenn A das Strahlenbüschel in m
beschreibt. Bezeichnet man mit M und N Tai^ente und Normale von
C in m und zieht m„nto 1 M, so erkennt man, daß bei unbegrenzter
Annäherung von C, an V mit mm„ zugleich m^iü^, Bowie der Winkel
MM^ der Tangenten in m und m,, von gleicher Ordnung uneudlich
klein werden. Daher ist die Entfernung des Punktes m^ von Jlf,A'
und nmsomehr f»o»t, den genannten Größen gegenüber von höherer
Ordnung unendlich klein, d. h. f»„ nähert sich der Lage auf der durch
t»„ zu M gezogenen Parallelen. Da nun die Punkte m^ den m„ in
der Grenze ähnlich liegen, so folgt der Satz: JMe CharahterisHken ^nes
Punktes m einer Kwve C für aUe möglichen Zuordnungen liegen auf
einer Paraüelen M' «ir TangerUe M an C in m.') M' heißt die Cha-
rakteristik von C für den Punkt m.')

1) Eise analjtische Ableitung dieses Satze* unter Yerwendnug des Qe-
schwindigkeitibegiiffeB ^bt Q, S cheffers, Anwendung d.Differ. n.lQtegr.-Rechnung
»vi Geometrie. 1. Bd. Leipzig 190:. S. 86.

2) Die „Flvxionglmie" von Petersen. Tgt. Jahibncb a. &, O. S. 60«. — FOi den
Fall, daft C eine Oerade i«t, beiBt M nacb Peano a. a. 0. S. 321 „Polare von Cin m."

.A>oglc

48 Zur konstmktiven InfiniteBimoigeometrie der ebcneo Kurven.

Es seien wieder C und 0, (Pig. 1) zwei Phasen einer Kurve, die
jetzt als das Eraeugnis der Tangenten M aufgefaßt werde. Durch eine
der vorigen ganz ähnliche Betrachtung gelangt man zu folgender Auf-
fassung, Jeder Punkt a von M ordnet dieser Tangente eine Tan-
gente M^ Yon Gl zn, nnd jeder solchen Zuordnung a entspricht eine
Chu^teristik M'a von M, die durch a hindurchgeht. In derselben
Weise wie früher erkennt man, daß heim Übergange zu unendlich be-
nachbarten Phasen die Entfernung des Punktes m„ von M^N gegen-
über MM^ usw. verschwindet, daß daher die M^ sich der Lage auf
dem Busdiel mit m„ als ^heitel näJiem. Da die M^ den M^ in der
Grenze affin liegen, kann man den Satz aussprechen; Die CharaMeristiken
einer Tangente M einer Kurve C für alle möglichen Zuordnungen gejien
durch einen Punkt m' auf der Jformalen N von C in m. m' ist die
Charakteristik von C für ihre Tangente M.

Da das Ähnlichkeitsverhältuis im ersten and das ÄffinilütsTerhältnis
im zweiten Falle einander gleich sind, so folgt, daß für das Linieu-
element Mm einer Kurve tw' und M' vereinigt liegen. Wir werden
die Strecke mm' gleich dem Abstände der Geraden Jtf und Jtf' auch
die Charakteristik der Kurve C für ihr lAtüenelement mM nennen.

2. Die Charakteristiken einer Kurve (m) für alle ihre Punkte
bilden ihr eharaktcristisehes Geradengebilde {M"), die einer Kurve (M)
fOr alle ihre Ti^nten das charakteristische Punktg^Hde {m"). Ans den
gemeinsamen Tangenten von (m) nnd {M'), sowie den gemeinsamen
Punkten von (Jf) und {m"), erlwlt man die Linienelemente, in denen
(tn) bezw. (M) ihre Enveioppe berührt. Die beiden charakteristischen
örter einer Kurve C bezeichnen wir als deren Charakteristiken C. Wie
die Verbiudungsgerade pp' die Tangeute an {p\ der Schnittpunkt GQ'
den Berührungspunkt für (ß) lieferte, so stellen die gemeinsamen
Elemente (Punkte oder Geraden) CC die Qrundptml^, bezw. Gnmd-
tangenten jener linearen S^ar (Büschel oder Reihe) dar, mit der die
Schar (0) in erster Aniüherung als augenblidilich zusammenfallend an-
gesehen werden kann.^)

Für einen Punkt p als degenerierte« Punktg^nlde ist das BUschel
um p' der charakteristische Geradenort, für eine Gerade G als degene-
riertes Tangeniengebäde die Punktreihe G' der charakteristische Funktort.
Die duale Charakteristik besteht im ersten Falle aus den Punkten des

I) Hierbei itt von dem Falle abgeBeben wordeD, daB eine Charaktoriatik JT
von C für deren Punkt m die Kurve C in einem andern Punkt ab m berObren
kann. Eine strenge matbematiache DurchfabruDg der in diesem Äbachnitte an-
gedeuteten Untersuchung würde eine BeachrBnkong anf algebraische Kurven er-

DigitizedbyGoOglC

Von RicRAXD V. Hiau. 49

Aber pp' als Darchmesser arrichteten Kreises, im zveiten aus dan
Strahlen des FaraUdbüschds der Richtang G. Als CharakteriBtik einer
Geraden G, die za ihrer NachbarphoBe 6, parallel ist, erscheint dem-
gemäß eine zu G parallele Gerade G', deren Abstand G G' von G dnrch
den Qreiuirert der Verhältnisse bestimmt wird, die GGi mit den früher
betrachteten Läagen pp^ , ~qq^ usf. bildet.

Die Charakteristik Jf' einer Karre C fOx einen ihrer Funkte m
kann zugleich aufgefia0t werden als Charakteristik der Tangente M
fQr den ihr angehörigen Punkt m\ und in gleicher Weise der Punkt m
als Charakteristik des Punktes m fQr die durch ihn gehende Gerade Jtf.
Haben daher zwei Kurren C und E dauernd ein Linienelement Mm
gemeinsam, so &Uen auch ihre Charakteristiken m'M' für mJf zu-
sammen. Ist nun eine Karre C allgemein als Einhüllende eine« be-
hebigen Elementes E erzeugt, und trifft man zwischen ii^end einem E
einerseits und den unendlich benachbarten Elementen E^, E^ . . . der
Kachbarphase C^ von C andrerseits eine beli^ige Zuordnttng a, h . . .,
so haben alle so entstehenden Charakteristiken E'a, E't, . . . von E
jene Punkk oder Geraden getnein, welche den Geraden und Paukten
entsprechen, in denen E seine Einhüllende C berührt, bilden idso ein
Büschel bezw. eine Reihe. Es ist dies die YeraUgemeinerutig der in 1
für Punkte und Gerade als Elemente E bewiesenen Sätze. Wir be-
zeichnen demgemäfi als Charakteristik einer Kurve C für ihr Element E
jede der beiden linearen Scharen Eä, Ei . . . oder was auf dasselbe
hinaosläuft, deren Grundpnnkte, bezw. Grundtangenten. Die Gesamtheit
der letzteren für alle Elemente E von C bildet dann wieder einen der
beiden charakteristischen Orter, die wir oben mit C bezeichnet haben.

Die bisher betrachteten rein geomeb-ischen Elemente des reränder-
lichen Systems führen mittelbar zur Behandlung anderer, aneigentlicher
oder metrischer demente. £b sind dies zunächst die durch Punkt- oder
Geradenpaare des Systems bestimmten Längen und Winkd. Fafit man
zwei Phasen eines solchen Paares ins Axtge, so erhält man eine Gröfien-
differenz, die bei unendlicher Annäherung der Phasen aneinander zu-
gleich mit den früher betrachteten Größen ~pp^ ... GG^ ... von gleicher
Ordnung unendlich klein wird und mit ihnen Verhältnisse von be-
stimmten endlichen Grenzwerten bildet. Als Charakteristiken der
metrischen Elemente definieren wir Größen, also wieder metrieche
Elemtmte, deren Verhal^isse zu den bereits definierten GrSßen pp . . .
tgGG' . . . jenen Grenewerten gleichkommen.

Bestdireiben beide Ponkte eines Paares dieselbe Karre, so be-
stimmen sie auf dieser eine reränderhche Bogenlänge, deren Charak-
teristik in gleicher Weise wie die der anderen metrischen Elemente

ZdUohriftf.lIUhaiutlku. Phjalk. &£. Buid. IM». I.Haft. 4 , CiCH)Q|c

äO Zur konsti-aktiren Infinitenio^geometrie der ebeDW Kurren.

definiert wird. Man erkennt den Znaammenliang der hier g^ebenen
Definitionen mit jenen der Difierentialrechnung.

Allgemein können wir sagen, daß die Charakteristik E' eines be-
liebigen Elementes E mit E zusammen ein Äctuiixüent für ewei un-
endlich benachbarte Phasen von E bildet. Aus dieser Auffassung ergibt
sich der fQr das folgende grundlegende Satz, dafi die Charakteristik
eines Elementes mit den CharakieristiTum seiner Bestimmv/ngsstüdie ge-
geben ist.

Betrachtet man ein veränderlicheB Element otme Rücksicht auf
seine Zugehörigkeit zu einem zwuigläufigen System, so verliert seine
Charakteristik der Definition gemäß im Falle des metrischen Elementes
gänelick, im Falle des eigentlichen teüweise ihre Bedeutung. Unter der
Charakteristik eines unahhängig veränderlit^en (eigentlichen) Elementes E
hat man sonach nur jenes Gebilde zu verstehen, das im allgemeinen
mit EE bezeichnet werden kann, also fUr einen Punkt f die Tangente pp,
für eine Gerade G den Berührungspunkt GG', fllr eine beliebige Knrve C
die gemeinsamen Punkte bezw. Tangenten CC.

Wir gehen nun daran, die gewonnenen Begriffe auf die Lösnng
der allgemeinen Probleme der Inßmtesimcägeometrie anzuwenden.

3. Gegeben sei eine Reihe zunächst unveränderlicher Elemente
bestehend aus Punkten, Geraden, beliebigen Kurven, Längen- und
Winkelgrößen f^, F^ .. . F^_i und Aj. Alle diese Elemente mögen
nach einem ebenfalls g^ebenen Gesetze in irgend welcher Weise andere,
neue Elemente bestimmen, diese mit den früheren zusammen wieder
weitere usf., bis ein einziges letztes Element E^ als Endei^ebiils der
(ihrer Zahl nach endlichen) wiederholten Operationen erscheint. Unter-
wirft man nun eines der ursprünglich g^^benen Elemente, etwa f,,
fortgesetzter stetiger Veränderung, indem man es eine einfache Mannig-
faltigkeit von Phasen durchlaufen läßt, während das Operationsgesetz
erhalten bleibt, so ändern sich im allgemeinen alle späteren, sl^e-
leiteten Elemente £„ E^ . . . und bilden mit E^ zusammen ein zwang-
läufig veränderliclies System im Sinne unserer Betrachtung. Ist E^ ein
eigentliches (nicht metrisches) Element, so erzeugt es allgemein eine
Kurve Ä, die durch das Operationsgesetz definiert ist. Wir nennen
eine derartige Darstellungsweise einer Kurve eine synthetische Definition
erster Art und die Elemente fj, E^ ... E^ das ereeugende System der-
selben. Bestimmt wird die Knrve durch die Elemente jP„ i* j . . . F^
wenn F^ der Ort der Phasen von £j ist. Jedes F kann zugleich als
Ort der Phasen eines veränderhchen E des Systems angesehen werden.

Die Anwendung der oben gewonnen Begriife auf den vorliegenden
Fall ergibt nun Folgendes. Wenn für A'^ als unabhängig-veränderlichei

Von RioauD v. Uim. 5l

Element die Charakteristik E^ bek&imt ist, so läßt sich die Gkarak-
teristik dea die Kuire erzeugenden Elementes E^, also insbesondere
fQr einen Punkt die Tangente an seine Bahn, fQr eine Gerade der
Berflhmngspunkt mit seiner EinhQllenden, durch wiederholte Lösung
einer Gfundaufgabe von immer derselben Form ermitteln: Es ist die
Charakteristik eines ESemenies aus den Charakteristiken seiner BesHm-
mungsstüdce «w finden. Die Formen, in denen die im 6izeng«nden
Systeme aufeinanderfolgenden Elemente einander bestimmen, bilden das
Analc^on zu den einfachen Funktionen der Analjsis, and es handelt
sich jetzt darum, die Gtrundaufgabe för einzelne Bestimmungsformen
tatsächlich zu l&sen. Um jedoch zugleich einen Überblick über die
Anwendbarkeit des Ver&hrens zu erhalten, wollen wir zunächst eine
für nnaere Zwecke taugliche Einteilung der Kurren auf Grundlage
ihrer Definitionen Tomehmen,

Wir s^^n, eine Kurve A sei mit Hufe der Kurven B^, B^ ...
konstruierbta^ , wenn das. erzengende Sjst«m der A außer Punkten
und Geraden keine anderen Karren als solche der Gruppe B, und
die Definition keine anderen Bestimmongsformen als die folgenden
enthält; Jeder Punkt bezw. jede Gerade ist als gemeinsames Ele-
ment zweier Kurren, jedes metrische Element durch ein Punkte-
oder Geradenpaar, jede Kurve B durch gewisse ihr eigen tflmliche
normale Bestimmungsstüdce gegeben. Der gewöhnliche Begriff der Kon-
struierbarkeit würde noch eine Einsehiänkung bezüglich der fraten
Bestimmungsfitflcke von A und der Art des unabhängig veränderlichen
Elementes erfordern, die wir jedoch fortlassen können. Denkt man
sich anter B den Kreis, so fallen die mit Zirkel und Lineal konstruier-
baren Kurven unter den hier aufgestellten Begriff; dabei treten als
normale Bestimmnngselemente des Kreises Mittelpunkt und Halbmesser
auf. Naturgemäß ist immer der Fall schon eingeschlüssen zu denken,
dafi eine B unmittelbar durch andere als die normalen Stücke gegeben
erscheint, aus denen sich aber mittelbar die letzteren durch Kon-
struktionen, die wieder nur aus B usw. bestehen, ableiten lassen.

Wir sagen ferner, eine Kurve A sei mit Hilfe der Kurven 5„ B^ ...
explitite dm-steUbar, wenn zu den Bestimmungsformen, die bei den
konetmierbaren Kurven vorkommen, noch die eine hinzutritt: Ein
metrisches Element y des erzeugenden Systems ist aus anderen bereits
gefundoien ebeuBolcfaen Elementen durch eine explizite Gleichung von
der Form y ■= /"(i,, x^, ... 3;,) abgeleitet, wobei f eine differenzierbare
Funktion ist. Bedeutet B wieder den Kreis, so gehören zu den A die
durch explizite Gleichungen in Parallel- oder Polarkoordinatensystemen
g^ebenen Kurven usf. Alle bisher genanqten Bestimmungsformen

53 Znr koiubuktiven InfiniteiinialgAometrie der ebenen Enrren.

neimai wir explieite und wird in den folgenden beiden Abscimitten
die Löanng der Grondaufgabe fOr dieselben gebnu^t. In Abscimitt 7
behandeln wir acbließlich einen besonderen, wichtigen Fall der implieUen
Bestimmungsform eines Elementes, der in folgendem besteht Ein Pnnkt
oder eine Gerade ist als gemeinsames Element toq n Karren (n ^ 2)
gegeben, Ton denen jede eine einfitch unendliche Schar dnjchlänfi, und
deren zneammengehörige Phasen durch eine Bedingung miteinander
Terknflpft; sind. Eine solche Bedingung kann etwa in einer Gleichung
zwischen den n Parametern der Kurrenscharen oder darin bestehen,
daß zwei Kurven A und B, die aus jenen n Gebilden ableitbar sind,
einander fortdauernd berfihren sollen usf.

4. Ist ein Pnnkt »t (Fig. 2) als gemeinsamer Funkt zweier Karren 0,
und C, gegeben, so ist seine Charakteiistik m' der Sf^it^nrnkt der
Gharakterisüken M[ und M'^ von C, und C, för m.
Der Beweis folgt unmittelbar aus der Definition in 1. ^^■^■

Ebenso: Ist eine Gerade M (Fig. 3) als ge-

meinsame Taugente zweier Linien K^ und K^ g^ben, so ist ihre
Charakteristik M' die Verbindungsgenule der Charakleristiien m\ und
Mi; von i^ und JE, filr M. ^)

Bleibt im ersten Falle die eine Kurve C, unverändert, so ist M'
mit der Tangente M^ identisch und m' fällt nach m, (Fig. 2). Ebenso

1) WUuend die zweite der beiden dualen Aufgaben meineB Wiiaens noch
nirgends behandelt wurde, bildet« die erste den Kernpunkt aller auf eine allge-
meine konstiaktive LOanng dn Tangentenprablenu gerichteter Bcetrebongen. Der-
artige Versuche gehen (nach M. Cantoi, Vorles. fl. Qeschichte d. Mathematik.
Leipüg, B. U, 1900, S. 8T6ff. u. B. ÜI. 1901, 8. IWff.) auf Robeival (1608-1676)
und Batrow (1680—1677) Burflck. In neuerer Zeit hat Chr. Wiener, Lehrb, d.
darst. Geometrie, I. B., Leipiig 1884 S. 170f. ein Verfahren entwickelt, daa in
jedem einzelnen Falte die Vornahme von Orenzbetrachtangen fordert. Bespiele

,.Googlc

Von BiciuBD V. MiSE>. 58

kommt, wenn nur C, TerÖnderlich ist, m' nach m\ anf der Tangent« M^
an C, zu li^en, und man erkennt, daS sich die Strecke mm' als geo-
metriBche Summe von mm\ und mm'^ ergibt. Analog ist im zweiten
Falle die Ordinate von M', (Fig. 3) gemeasen normal zu M, gleich
der Snmme der entsprechenden Ordinaten der Geraden M[ und J£^, die
einer partiellen ÄDdening Ton f, bezw. JT, allein als Charakteristiken
fQr M entsprechen. Die hier auftretende Erscheinung ist ein spezieller
Fall eines allgemeinen, später ztt behandelnden Gesetzes.

Durch Spezialisierung der Toriiergehenden Angaben erh^t man
die Charakteristik m' des Sckmllpunktes m (Fig. 4) zweier Geraden A
und B als Schnittpunkt der beiden Cha-
rakteristiken A'„ und B'n Ton Ä und B
für m. Gleichzeitig erkennt man durch
eine einfache Infinitesimalbetrachtimg,
daß die Charakteristik des Winkds AB

durch die algebraische Summe — tgAA' + tgBB' gegeben ist^ beide
Winkel im Sinne der in betracht kommenden Drehung von A nach B
positiv, im entgegengesetzten negativ gerechnet. Dual ergibt sich die
Charakteristik M' (Fig. 5) der Vertntidungsgeraden M zweier Funkte a
und b als Yerbindungsgerade der Charakteristiken a'j, und b'it von a und
h fBr ihre Gerade M, sowie die Charakteristik der Länge ab als algebraische
Samme —aan+bb'//.

Die Charakteristik der Bt^enUnge ab ist — aa' -{■ bb' bei analoger
Festsetzung der Zeichen (Fig. 6).

Die gegebenen AusdrQcke für die Charakteristiken der metrischen
Elemenie bilden den wesenÜicheu Inhalt der ,/ormtUes fondametUak^,

<iUsn gibt Rohn a. Papperitz, Lehrb. d. daret. (ieometrie, Leipsig 1901, I. B.,
6. Kiq>. Fflr starre Kurven enthält viele Koaatniküonen L. Burmeeter, Lehrb. d.
Kinematik I. Leipzig 1884, 1. Kap. Tgl. ferner r, Mangoldt in der EnoyU. i.
mat Wim. m. D. 1, S (S) nnd SchOafiieß ebenda IV. S. (9). Petersen gibt
eine mit der hier gebrachten identische LOenng. (Vgl. Jahrb. f. Fortaohr. d. Math.,
18B?. S. 606.)

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M

7.UT konstruktiven iDfiniteBimalgeometiie der ebenen Kurven.

die zuerst Mannheim*) und nach ihm fl'Ocagafl*) uufgeetellt und
zur Grundlage der ganzen InfiniteBimalgeometrie der Ebene gemacht
P,_ , haben. Sie reichen auch tatsächlich zur Be-

wältigung aller auf metrische Beziehungen
gegründeten Aufgaben hin. Sind etwa (Fig. 7)
a und b zwäi Punkte, deren Abstand honstemt
ist, und Oj, üi, die Projektionen von a' und
b' auf ab, Bo ist öo, — bby Soll der Punkt
c von a und b unTeränderliche Entfernung haben, so ist seine Charakteristik
dadurch bestimmt, daß cc^ •= ää^ und de, = bb^ ist Man erkennt
leicht, daß die in a, b, c errichteten Normalen zu aa', bV und ce'
durch einen Punkt gehen, daß die von auf A, B, C gefällten Lote

die Berflhmngspunkte AA', BB', CC bestimmen, und daß A', B', C
miteinander dieselben Winkel einschließen wie A, B, C.*) Wir werden
von diesen bekuinten Sätzen in der Folge Gebranch machen.

Ist das metrische Elementy aus den metrischen Elementen:«',, 3-„...,a-,
durch die Gleichung ^ f/ \

1) A. Mannbeim, Priucipee et däveloppementB de güomütrie cinämatique,
PariB 1894. S. Uff.

2) H. d'Ucagne, Coura de geom^trie descriptive et de g^omätrie infinite
male, PariB isse. B. S68 ff.

3) Vgl. den Ähnlichen Gedankengang bei d'Ocagne, a. a. O. S. 3fi7,

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abgeleitet, so folgt durch Differenti^on die CharakteriBtik ?oa y:

»■-£'; +

dx,

wobei x\, *j, . . ., x'n die Charakteristiken der £lemeute x.^, x^, - -, «„ sind.

Eb Boll hier noch folgendes bemerkt werden. Gehört die Kurve C,
(Pig. 2) bezw. K^ (Fig. 3) zu den unveränderlichen Bestintmungs-
stücken F von A, so bedarf es zur Ermitfelung von m' bezw. M' be-
züglich Ci oder K^ nur der Kenntnis der Tangente M^ in ni. bezw.
des Berührungspunktes m^ in M. Allgemein kann man sagen, daS zur
Behandlung dee Tangentenproblews'^) für jedes unveränderliche Be-
stimmungsstQck F von A die Angabe zweier benachbarter Phasen jenes
Elementes E erforderlich ist, als dessen Ort F erscheint, oder mit
anderen Worten die Angabe der Charakteristik von E, das ^s iinab-
hängig veränderliches Element betrachtet wird. Dies stimmt auch da-
mit Hbereiu, daB prinzipiell jedes der E als Anfangspunkt für die
Erzeugung von A gewählt werden kann; es ändern sich dann nur die
in der Definition auftretenden Bestimmungsformen.

5, Es erübrigt nun noch, fflr die letzte der expliziten Bestimmungs-
fonnen eines Elementes die Löstmg der Grundaufgabe anzugeben: Die
Chu-akteristik einer veränderlichen Kurve B aus den Charakteristiken
ihrw normalen Bestimmungsstäcke zn ermitteln. Wir bezeichnen die
letzteren jetzt mit F^, F^ . . . nnd wollen sogeiL, eine Kurve B sei aus
ihren normalfn BesÜmmunffsstäcken explizite darsldlbar, wenn die i^,, F^...
die festen Elemente sind, welche gemäß dem in 3 Gesagten einer ex-
pliziten Definition von B entsprechen. Dann beweisen wir den Satz,
daß die eben aasgesprochene Grundaufgabe ffir eine Kurve B lösbar
ist, sobald B a\^ seinen normalen Bestimmungsstucicen mit Hilfe der
Kurven C„ CI, . . . explizite dargesieUt werden kann, und die Aufgabe für
die C als gelöst angesehen wird.

Es seien E^, E^, ... E^ zusammengehörige Phasen der veränder-
lichen Elemente des Systems, von denen speziell E^ den Ort B be-
schreibt. El sei das unabhängigverönderliche Element, und F^ der
Ort von E,. Nun werden die J', . . . F^ einer Änderung unterworfen,
die ihnen die gegebenen Charakteristiken F^, . . . F,\ erteilt; man soll
die Charakteristik der erzeugten Kurve B für ihr Element E^ ermitteln.
Zu diesem Zwecke denken wir uns zwischen den Elementen E^ der
zwei aufeinanderfolgenden Phasen von F^ eine beliebige Zuordnuilg a

1) Unter l'angeiitenprobleiu verstehen wir hier den Inbegriff aller jener Auf-
gaben, die ein einmaliges Eingehen in InfiniteninalbetracbtuDgen erfonleni, die
alw), analftiich gesprochen, doioh einmalige Differentiation gelOst werden.

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56

Zur koniitrnktiven IsfiniteEimalgeometrie der ebenen EniveD.

getrofifen, d. h. wenn £j ein Packi ist, so wöhleD wir £,', auf der
gegebenen Charakteristik E[ von F, für £, nsf. Da nun in jeder
Phase alle folgenden Elemente E^, E, . . . E^ sukzessive aus £, und
den F^i F^ . . . F^^^ en^mte ableitbar sind, so können der Voraus-
setzung gemäß (wonach fDr alle E die Qnindsufgahe gelöst, für alle F
Tangente usw. bekannt ist) ans den gegebenen Charakteristiken i^ . . .
und der gewählten E^^ die Charakteristiken E^^ . . . E'^a ermittelt werden.
Mit E!,a aber haben wir fSr E^ eine Charakteristik gefunden, die einer
gewissen Zuordnung a zwischen den erzeugenden Elementen E^ von B
in zwei Nachbarphasen entspricht. Ist etwa E„ ein Punkt, so liegt E^a
auf der gesuchten Charakteristik E'^ von M för E^. Eine Wiederholung
des Verfahrene bei anderer Wahl der Zuordnung liefert eine zweite
CharakteriBtik El,i„ die mit E^a zusammen die lineare Schar bestimmt,
die wir in 3 als Charakteristik E'^ von B für E^ bezeichnet haben.
Statt den Vorgang fSr eine zweite Zuordnung durchzuführen, genfigt
es auch, die Linienelemente, die E^ mit B gemein hat, aufzusuchen.
Wenn z. B. E^ ein Punkt ist, so braucht man außer Eia noch die
Kichtung der Taugente au B in E^.

Um jetzt einen Überblick über die Tragweite der gewonnenen Er-
gebnisse zu erhalten, betrachten wir ein einfaches hierhei^höriges
Beispiel, den Kreis, o (Fig. 8) sei der
Mittelpunkt, r — öm der Radius, o die
Charakteristik von o, und / = wm, die
von r. Femer sei om ^ N das un-
abhängig-veränderliche Element, dessen
Ort der Punkt o ist. Wir irählen, ent-
sprechend einer Zuordnung im unend-
lich fernen Punkte von iV, als seine
Charakteristik Nä die durch o' gehende
Parallele. Die zugehörige Charakteristik
m'a von m ergibt sich auf Grundlage
der Definitionsbestimmui^, daß öm-^r
ist, indem man durch m, die Parallele
zu oo' zieht. Denn es muB die Charak-
teristik von öm, also o'm\ — öm=r'
sein, Die Normale zu N durch mö ist
die gesuchte Charakteristik M' des
Kreises K ßlr den Punkt m. Man erkennt, daß (Jf) ein Kreis mit
dem Zentrum in o und dem Halbmesser r -\- r' ist, der Ort (m') aller
m' ^NM' eine Pascalsche Schnecke mit dem Qber oo' als Durchmesser
errichteten Kreise als Basis, o als Pol und r -|- r' als Parameter. Die

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Von RlL-HlHD V. MlBEB. 57

Punkte^, q, ia deoen K Beine Enveloppe berührt, findet man als Be-
rShmt^epunkt« der gemeinsamen Tangent«n an K und (M'), indem
man oä — o& = r' macht imd die durch a mid ft gehenden Radien zieht.

Die Anwendnng der {rOher entwickelten allgemeinen Betrachtungen
auf den jetzt behandelten SpeEial&Il fObrt unmittelbar za folgenden
%tzen. Isi eine Kurve ale Ort von Punkten, Geraden oder Kreisen (p, G, K)
in der Weise definiert, daß sidi aUe Phasen des ereeagenden Elementes
in steter Folge mit Zirkel ttnd Lineal konstruieren lassen, so kann man
mit dens^ben Hilfsmitteln die Tangente, bezw. die BerOhrungaponkte
konstmieren. Ist die Reihe der einander aufeinanderfolgend beBtinunenden
Elemente p, G, K ein- oder mehrmals ufUer&nwAen, und in den Lücken
die Verbindung durch gegebene explizite Gleichungen zwischen linearen
Größen des Systeme hergestellt, so hängt die Komtruterbarkat der
Tangenten usw. nur mehr von der Möglichkeit ab, die aus der Differen-
tiation jener Gleichungen sich ei^ebenden GrOBeu wieder konstroktiT
daiZQstellen. Schließlich können wir fDr alle explizite definierten
Punkt-, Geraden- nnd Kreisörter, deren erzeugendes System beliebige
Kurven enthält, die gick in letzter Linie auf p, G, K eurückfiihren
lassen, die betreffenden Aufgaben mit Zirkel und Lineal lösen, sobald
wir eine roUatändige Phase aller in betracht kommenden Element« als
gezeichnet vorli^end Toranssetzen. Damit ist wohl der größte Teil
aller Erzengnngsformen algebraischer nnd transzendenter Kurren er-
schöpft. Es braucht nicht erst hervorgehoben zu werden, daß auch
^le analytischen Kurvendefinitionen, insoweit sie in endlichen expliziten
Gleichungen zwischen zwei Variablen bestehen, hierin einbezogen sind.

6. An die in Nr. 4 gegebene Konstruktion der Charakteristik des
Schnittpunktes und der gemeinsamen Tangente zweier Kurven knOpfei)
wir die Ableitung eines allgemeinen Gesetzes, das nötigenfalls auch
direkt aus Infinitesimalbetrachtui^^ gewonnen werden kann.

Es sei zunächst der veränderliche Punkt m in seiner jeweiligen
Phase Ton n veränderlichen Elementen £, . . . E^ abhängig. Wir
teilen diese Elemente in zwei Gruppen A und B, von denen wir vor-
aussetzen, daß sie voneinander unabhängig seien, d. h. daß die Elemente,
die znr Gruppe A gehören, mit, denen der Gruppe B gar keine oder
nur unveränderliche Bestimmungsstücke gemein haben. Dann wird die
Rücksichtnahme auf die Elemente A allein die la^ des Punktes m
auf eine Kurve C^ beschränken und ebenso die bloße Rücksichtnahme
auf B auf eine zweite Kurve C,. Der Punkt m ist also wieder
wie in 4 als gemeinsames Element zweier veränderlicher Kurven Cj
und C, bestimmt. Denkt man sich jetzt die Elemente B unverändert
gelassen, wahrend die A die ihnen zukommenden Andemngen erhalten,

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58 Zur konstniktiven InfiiiiteBimaigeometrie der ebenen Kurven.

6o gewiont man als Charakteristik des Punktes m einen auf der
Tangente Mj an 0, gelegenen Punkt m^, und analog bei partieller
Änderung von B einen Punkt m^ auf der Tangente J^fj. Nach
der schon in 4 gemachten Bemerkung findet eich die tatsachliche
Charakteristik m' des Schnittpunktes m aus m[ und m'^ durch Zu-
sammensetzung von mm[ und rnntj nach dem PartdMogrammgeseti.
Wir nennen kurz einen Punkt m', der sich in dieser Weise aus m,
m[ und »ij ei^ibt, die Summe von m\ und m'^ hesäglidi m. Dann
können wir s^en, die totale Charakteristik von m, herrfihrend von der
Änderung amtlicher Bestimmui^setficke, sei gleich der bezflglich m
genommenen Summe der jiartidlen Charakteristiken, herrührend von
den partiellen Änderungen der Gruppen A und B. Beachtet man nun,
was als Charakteristik einer Kurve C für einen ihrer Punkte definiert
wurde, eo erkennt mau, daß ein ähnlicher Satz aach für die Charak-
teristik von Kurren gilt, sobald man als Summe zweier Paraüder M[
und M'^ bezüglich eines Punkfes m eine Gerade M erklärt hat, deren
Absta nd von m gleich der algebraischen Summe der Abstände
mMi + mM'j ist. Daraus folgt aber femer, daß man die vorher be-
trachteten Gruppeu A und B noch beliebig weiter spalten kann und
dabei immer m' ü» Summe aller partieller Charakteristiken erhält, —
sinngemäfie Begriffsbeatimniung fttr die Summe mehrerer Punkte voransr
gesetzt. Es ist daher, vorläufig für Punkte und PunktÖrter, der Satz
bewiesen: Die totale Charakteristik eines Elementes ist gleidt der Summe
der partielle» GharaMerisHken genommen in bezug auf dieses Element
selbst. Bedeutet (m) einen beliebigen Punktort, {M[) und {M'^) partielle
Charakteristiken desselben, so erhält man die totale Charakteristik
[M'), indem man jedes Paar zusammengehöriger, paralleler Geraden
M[ und M'^ bezüglich des entsprechenden Punktes m in der angegebenen
Weise summiert

Naturgemäß kann man dieselbe Betrachtung auf die Gerade als
veränderliches Element und beliebige Geradenörter anwenden. Denkt
man sich in den Schnittpunkten zweier Geradon M[ und M'^ mit einer
festen Geraden M parallele Vektoren errichtet, deren Längen pro-
portional den Werten von tg MM[ und tg MM'^ sind, sucht den
resultierenden Vektor und deutet ihn in entsprechender Weise als
Gerade M', so nennen wir .Af ' die Summe von M[ und M'^ hezüglich M.
Einfacher gelangt man zu M' auf Grund der Bemerkung, daß die
Ordinalen von M' in bezug auf M als Achse sich durch Addition der
zugehörigen Ordinaten von M[ und M'^ ergeben. Als Summe zweier
Punkte m[ und m'^ beeüglich einer auf m[m', senkrechten Geraden M
hat man schließlich den Punkt m' anzusehen, desseu Abstand von M

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Von HlCHlBU V. MlBKg. 59

gleich der algebraiBchen Summe der Abstünde m[M + ih^M ist. Auf
(irund dieser Defioitionen gilt dann der oben ausgeaprocliene Satz
nicht nur fOr veränderliche Gerade und Oeradenörter, sondern mit
Rflcksicht auf die in 4 gegebenen Konstruktionen auch für die
metrischen Elemente, sohin Überhaupt fQr alle tou uns in Betracht
gezogenen Gebilde. Freilich entfällt fDr den Fall der metrischen
Elemente der dann bedeutungslose Hinweis auf das Bezugselement der
Summe.

Die Analogie unseres Satzes mit dem vom totalen Differentiale einer
Funktion mehrerer Variabler ist unverkennbar.

7, Eine erfolgreiche Anwendung des vorangehenden Satzes ge-
schieht bei der Lösung der Grundaufgabe fSr die in Nr. 3 er-
wähnte implizite Bestimmnngsform eines Punktes oder einer Ge-
raden.

Es sei der Punkt m in allen seinen Phasen gemeinsames Element
der zusammengehörigen Phasen der » Kurven C^, C^ . . . C^. A und B
seien zwei weitere Kurven, die aus den C^ mit Hilfe gegebener, unver-
Miderlic^er Elemente auf Grund eines Konstniktionsgesetzes explizite
ableitbar sind und einander in allen ihren Phasen berühren sollen.
Nach dem in 3 Gesagten müssen die beiden Gebilde A und B, von
denen auch das eine in eine Gerade, das andere in einen Punkt aus-
arten kann, f^r ihr gemeinsames Linienelement gleiche Charakteristik
haben. Wir bezeichnen für die Kurve C, Tangente und Normale in m
mit Mf und N^, femer ihre Charakteristik für Jf, bezw. m, mit »»,', JU^'
und den Winkel, den C^ mit (m), also auch M^ mit mm' = M bildet,
mit q>i. Dann gilt, weil alle Ml durch den Punkt tn gehen, also alle
m'i auf dem Ober mm' als Durehmesser errichteten Kreise liegen,
(1) mm[ = mm' sin qoj , mm^ — mm' sin 91, . . . mm^ = mm' sin q?,.
Wir errichten nun zu jeder Tangente M, in m in einem beliebigen,
aber für alle gleichen, Abstand e eine Parallele M9, und denken uns
zunächst alle C, bis auf C, unverwidert und nur 6', einer Änderung
unterworfen, die ihr fllr 1» die Charakteristik Jlf^ erteilt und sie im
Obrigen ihrer gegebenen Schar angehören läßt. Dann entsprechen auf
Grund des vorgeschriebenen Zusammenhanges zwischen den C, einer-
seits und den A und B andererseits dieser Änderung gewisse Charak-
teristiken a\ und b'^ von A und B fDr ihr gemeinsames Linienelement.
Ebenso erlült man bei blofler Variation von C, die Größen a'^, V^ usf.
Bei der tatsächlich vor sich gehenden Phasenänderung des Systems ist
nun die Charakteristik von C^ fQr m nicht MJ, sondern 2tf,', daher die
zugehörige partielle Charakteristik von A nicht a',, sondern proportional
rfciM Produkte a[ ■ mmj. Die aufgestellte Bedingung, wonach die totale

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60 2"^ konstruktiven InGniteBinialgeometrie der ebenen tTurven.

Charakteristik Ton A jener Ton B (für das Berührungselement) gleich
sein muß, liefert daher die Gleichung

(2) a\ • ntml + oj ■ mm^ + ■ ■ ■ «^ ■ rnm^

— b[ ■ mm'^ + b'f ■ mm^ + ■ ■ ■ fc^ - mm^ .

Führt man die Werte aas (1) in diese Gleichung ein, so fällt mm'
lieraus, und es bleibt

(3) (a\ — b[) sin q», + (a, — 6j) sin y, + ■ ■ ■ (o^ — b',) ein qs« — 0.
Trägt man daher die Strecken (a'i — h'i) in den Richtungen der Tan-
genten 3t, in m auf^ so gelangt man durch geometrische Summierung
derselben zu einem Punkte der ffesw^äen Ttmgente M an (m). Man
erkennt nun auch leicht, daß das vorstehende Ver&hren fiberall An-
wendung finden kann, wo aus der gegebenen Bedingung, welche die
zusammengehörigen Phasen der Cf verknüpft, eine lineare Beziehung
zwischen den Größen mm\ gefolgert werden kann. Dies ist insbesondere
der Fall, wenn zwischen den n Parametern der Eurvenscharen eine
Gleichung

W /'(P„A---P,)-0

gegeben ist. Man hat hier zunächst das Verhältnis zwischen der

Charakteristik p, des Parameters und der Größe mm[ zu ermitteln,

was auf Grund der Definition der C^ mdglich sein muß. Es sei

(5) mm; = c, ■ p\ , m mj = t^ • pi ■ ■ ■ mm^ — c^ ■ K •

Durch Differentiation von (4) erhält man

und mit Berücksichtigung von (1) und (5)

i i) - — sin m, H — K — Bin qj, + ■ ■ ■ - = — sin «. = ,

woraus zu ersehen ist, daß jetzt die Größen - 3- in der früher an-
gegebenen Weise zu summieren sind.')

1) Den Eeim zu der hier entwickelten Konstruktion für den Fall, daS die
ge^bene Bedingung die Form einer Gleichung hat, enthält noch M. Cantor,
a.a.O. m. S. I68ff. u. S. 268». schon eine Abhandlung von Fatio de Dnillier
(1664— 17&S). Sie behandelt den Bpeiiellen Fall, in dem die KuTvenBChoren Bflschel
konsentriBcher Kreiie sind. Die Methode ist von Poinsot auf FaraUelicbareD
im allgemeinea ausgedehnt worden (Jonrn. de l'äcole polyt 1B06 cah. 18) tmd
nach ihm benannt in Eahlreiehe Lehrbfioher Qbergegangen. Tgl. Koeuigs, Iie9oiiB
de cinämatiqae, Paris 1897, S. 88ff., Scheffers, a. a. 0. S. 86. Hierher gehSren
auch einige Konstruktionen von d'Ocagne a. a. 0, S. 2G8ff., der auch einen dualen
Fall behandelt (8.877f.).

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Von KioBABD r. Hm». 61

Die ganze Untersuchung kann &8t unTerändert auf den dualen Fall
Obertn^n werden. Es sei M die gemeinsame Tangente der n Eurren
Of, m^ der Berührungspunkt, m'i, M[ die Charakteristik von C, fElr Jf^
bezw. ffij,- femer d^ der Abstand des Punktes m^ vom Berfibrungspunkt
m^ MM'. Dann tritt an Stelle von (1) wenn man statt des Ab-
standes MMi die Entfernung m^\ schreibt:

(1') m^mj — tg MM' -dl, m,m^"— tg MM' -dj ... m^m; = tg J^Jf-dt^

und ui Stelle von (3), da jetzt tg MM' herausfällt,

(3') (a.' - bl)d, + (ai-bi)d, + ---{a:- K)d, ~ 0.

Denkt man sich daher in den Berührungspunkten m'i de» Werten {a't — bi)
proportionale Massen wirksam, so ist ihr Schwerpunkt der gesuchte
Punkt m. Hat die Bedingung die Form der Gleichung (4), so sind
die («/ — b'i) durch — ^3— zu ersetzen. Die Konstruktion kann in der
Weise ausgeßlbrt werden, dafi durch die Punkte m^ Oerade M^ gezogen
werden, für die tgMMf einen der GrSBe (a'^ — h'^ bezw. — ü" pro-
portionalen Wert hat. Die Oerade, deren Ordinaten bezüglich M die
Summe der zugehörigen Ordinaten aller Mf sind, gebt durch den ge-
suchten Berührungspunkt tn.

n. Drei und mehr Phasen des Torftaderllohen Systems. Synthetische
Enrrendeflnition zvelter Art

8. Wir betrachten wieder ein zwangföufig veränderliches System
S und denken uns zu jedem seiner Elemraite E in einer bestimmten
Phase die Charakteristik E' ermittelt. Bei Festsetzung der Charak-
teristik des unabhängig veränderlichen Elementes £, konnte eine Größe,
die wir jetzt mit s bezeichnen, willkürlich gewählt werden. Fassen wir
jedoch s als gegeben auf, so bilden die E und E' zusammen wieder
ein zwangläufiges Sytsem — ea sei mit S + 8' bezeichnet — , das wir
der (Reichen Betrachtung nuterweifen können. Dabei sei vorausgesetzt
daß jetzt zur Bestimmung der Charakteristik E[ von E^, das wir
auch im Systeme S + S' als unabhängig vei^derliches Element bei-
behalten, dassäbe s gewählt werde, sodafi die E' Charakteristiken der
E bleiben. Es steht uns dann noch &ei, fSr s als metrisches Element
von S -^- S' eine willkOrliche Größe s', die auch Null sein kann, als
Charakteristik zu bestimmen, und wir erhalten nach Annahme ii^end
eines solchen s' für jedes Element E' von S + S' eine Charakteristik E".
Wir nennen die Elemente E", die von zwei willkürlich hestimmt«n

. i.edb.Goo^^Ic

63 Zqt konitraktiven Infinitcsimalgeometrie dsr ebttten Kuiran.

Größen s und s' abhängen, die Ch(a-dläa'isliken sweiier Ordnung der
demente E. In derselben Weise definieren wir die Charakteristtken
E"\ ^'^* . . , ^"' dritter, vierter , . . «ter Ordnung, die drei, vier . . . n
willkQrliche Grüßen enthalten. Es ist sofort klar, daß die £', £"...£<")
mit E zusammen ein Äquivalent für « + 1 aufeinandarf<Jgende Phasen
Ton E bilden. Die Cliarakteristikeii beliebiger Ordnung eines Punktes,
einer Geraden, eines metrischen Elementes sind immer wieder Elemente
derselben Art, Die eines Punkt- oder Geradenortes (m) oder (M) sind
abwechselnd Geraden- oder Punktörter (M')(m") . . . bezw. (m')(M") ...

Fflr alle im ersten Teile dieser Arbeit betrachteten Bestimmungs-
formen eines Elementes E, für die wir eine explizite Beßtimmungsform
Ton E' gefunden haben, können wir dieselbe Aufgabe auch bezüglich
der Charakteristiken höherer Ordnung E", E'". . . sofort lösen. Es
handelt sich noch darum, zu zeigen, in welcher Weise aus der Cha-
rakteristik »ter Ordnung eines Elementes jene Elemente gefunden
werden können, die in der Infinitesimalgeometrie zur Cltarakterisiening
von n+1 aufeinanderfdgmden Phasen eines als unabhängig veränderlich
betrachteten Elementes verwendet werden. Wir denken hier zunächst
an Scharen von Punkten und Geraden (m bezw. (3f), filr welche die
Angabe der Krümmungen bis zur (n — l)ten Ordnung ein allgemein
verwendetes Äquivalent für (« -1- 1) Nachbarphasen von m bezw. M
bildet.*) Nnn ist bekannt, daß der erste KrOmmungsmittelpunkt n
einer Kurve C nichts anderes als der Berührungspunkt der veränder-
lichen Kurvennormalen N mit ihrer Einhüllenden {N) bezw. (n) ist,
n, aus (JV) in derselben Weise abgeleitet wird usf. Da wir nun die
Normale N an (tn) und (M) mit Hilfe von m' oder M' konstruieren
können, so sind wir anch imstande, aus m" oder M" den KrOmmungs-
mittelpunkt n zn finden, also fQr alle Kurven, für die wir das
„Tangentenproblem" gelöst haben, auch die Probleme höherer Ordnung
eu erledigen. Insbesondere soll noch der Satz ausgesprochen werden:
Ist eine Kurve als Ort von Punkten, Geraden oder Kreisen in der
Weise definiert, daß sich alle Phasen des erzeugenden Elementes in
steter Folge mit Zirkel und Lineal konstruieren laasen, so kann man
mit denselben HUfsmittdn auch die KrütnmungsmiUelpuhkte hdtdnger
Ordnung finden.^)

Die am Ende von Abschnitt 4 gemachte Bemerkung bezüglich der
festen Bestimmungsstücke F einer durch eine synthetische Definition

1) Ein ähnliches Mittel, um mehr ala zwei Phasen eines beliebigen (unab-
blUigig) TerUnderlicben Eleaentes zu charaliteriaieren , ist nicht bekannt.

2) Dieter Satz findet sieb zum Teil Bcbon bei Petersen. Vgl. Jahrbuch'

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Von BicuKD V. IfiaSB, 63

eratfir Art gegebenen Kurve liat jetzt sinngemäße Ei^inzung dahin zu
er&liren, daB znr Ldaung der Infinitesimaiproblenie nter Ordnung stets
n+ l aufeinanderfolgende Phasen des Elementes E gegeben sein
müssen, als dessen Ort F erscheint. Tritt ein Punkt m oder eine
Oerade M als unabhängig veränderliches Element auf, so mtlBsen von
dem Ort (nt) bezw. (M) die n ~ 1 ersten Krtlmmungsmittelpunkte
n, M| . . . gegeben sein. DaS aus diesen bei willkürlichen Annahmen
über die a, s' . . . die Charakteristiken m', m" . . . bezw. M', M" . . .
gefunden werden können, lehrt die folgende Betrachtung. Für jeden
Punkt m mit der Charakteristik m' (Fig. 9) gewinnen wir ans m" zu-
nächst die Charakteristik M' der Tangente M^mm' an (m) und für
jede Gerade M mit ng. »

der Charakteristik
M' aus M" die Cha-
rakteristik m ' des Be-
rührungspunktes
ms MM' mit(3f).
In beiden F%Uen gibt ,^^r
die durch m' zu M' V _.
gezogene Senkrechte
A^'jdieCharskteristik
der Normalen N, in
ihrem Durchschnitts-
punkt mit N das
erste Krfimmungs-
zentr mn n von (m) bezw. (M) Umgekehrt kann man aus m und «,
wenn mm'=-s angenommen wird, den Punkt m' auf der Senkrechten
M zu »IM = N und weiter nach Verfügung Über die firöße s" auch
ffi" finden. Daher sind zur Bestimmung der Charakteristik m"' von
m" bloß die Charakteristiken von m, n und s" erforderlich. Man er-
hält aber «', das auf N liegen muß, mit Hilfe von N'^ _L N' aus «, ,
elienso n,' aus n, usf Es ist daher tatsächlicli möglich, ans », n,, v^
. . . «i die Punkte »»", »»'", m''^> . . . m'' + " zu finden.

Der Umstand, daß die Probleme höherer Ordnung sich durchweg
in solche der ersten Ordnung auflösen, zeigt wieder die Analogie der
vorliegenden Untersuchungen mit dem Gedankengang der Differential'
rechtutng.

9. Als synthetische KurvendeßniUon etceiter Art fahren wir die
folgende Besti mm ungs weise einer Kurve ein. Gegeben seien eine An-
zahl fester Elemente F,, F^ . . ., ferner n Phasen eines veränderlichen,
eigentlichen, Elementes E und ein Gesetz, nach welchem aus den

,l,zedb/G00glC

t>4 Zif koiutrnktiren Infinitesimftlgeometrie der ebenen Karren.

Elementen F und den « Phaseo von E eine und nur eine (n + l}t«
Phase des letzteren (oder auch eine endliche Anzahl solcher) abgeleitet
werden kann. Die gewonnene (« + l)te Phase bestimmt mit (n— 1)
der früheren eine (n'|-2)te usf., sodsß im allgemeinen eine ein&ch
unendliche Schar von Phasen definiert ist. Je nachdem das Operations-
gesetz nur explizite oder auch andere Bestimmungsformen enthält,
können wir die Definitionen zweiter Art explizite oder implizite nennen,
und ebenso auch den Begriff der Konetruierborkeit hierher übertn^n.

Uns soll nur der spezielle Fall beschäftigen, in dem die » + 1
Phasen von E alle unendlich benachbart liegen, somit die Definition
die Charakteristik n ter Ordmmg des unabhängig veränäerlieh gedachten E
liefert. Für den Punkt als Element E und n =^ 1 besteht die Definition
in der Angabe der Tangentenkonstruktion fUr die Kurve; ist n — 2,
so liefert sie zu jedem g^^benen oder willkfirlich gei^ilten Linien-
element den ersten ErOmmungsmittelpunkt usf. Das analytische Ana-
tc^n zu den jetzt betrachteten Kurrendefinitionen ist die Bestimmung
der Funktion einer Veränderlichen durch Differeneen- heew. DifferenÜal-
gldchu^en.

Die Aufgaben, welche der konstruktiTen Infinitesimalgeometrie mit
Rücksieht auf die Kurrendefinitionen zweiter Art erwachsen'), (un-
endlich nahe Lage der n + 1 Phasen vorau^esetzt) bestehen in der
Ermittelung der Charakteristiken (n -j- 2)ter und höherer Ordnung des
erzeugenden Elementes E. Diese erhält man aber durch die Charak-
teristiken erster, zweiter . . . Ordnung jenes Elementes, das zur Charak-
terisierung der (n -|- l)ten Phase von E diente und aus gegebenen
Stücken auf Grund der Definition ableitbar war. Daher sind die
hier auftretenden Aufgaben ebeniatls auf die früher behandelten zurück-
geführt.

Die Möglichkeit, eine Kurve in der genannten Weise durch eine
Infinitesimaleigensdiaft zu bestimmen und aus einer derartigen De-
finition die weiteren Infinitesimalkonstruktionen abzuleiten, gibt uns
ein für die praktische Behandlung vieler spezieller Aufgaben wichtiges
Prinzip. Haben wir nämlich für ii^nd eine Kurve eine Tangenten-
konetruktion abgeleitet, so können wir aus dieser, ohne erst auf die
ursprüngliche Definition der Kurve zurückzugehen, die Erflmmungs-
mittelpunkte ermitteln usf. Es ist dies ein tatsäclüidi vielfach ver-
wendeter, wenn auch nicht ausdrücklich hervoi^hobener Grundsatz.

10, Es sei C (Fig. 10) ein beliebiger Punkt- oder Geradenort,

1) Et ist hietbei dot an DiffeieDlaationHprobleme gedacht. Doch dOtfte die
Behandlung inTener Aufgraben auf Qmnil der hier abj^leitoteii Begriffe nicht
aiissichtaloB Min.

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Ton RtcoAXD T. UisBa.

66

Flff. 10.

mM ein Liuienelement deaselben, M'm' die zngehSrige Cltarakteristik.

Die dem mM entsprechenden Linienelemente der ersten^ zweiten . . .

Erolnte von C seien mit «JV, n^N^ . . . bezeichnei Da jede veränder-
liche Kurve mit der

Reihe ihrer sakzeBsi-

ven Evoluten ein

zwan^nfig verän-
derliches System

bildet, so entspre-
chen den genannten

Linienelementen der

letzteren ebenfalls

bestimmte Charak-
teristiken n'N',

n'^N^... Die Angabe

der m, », «1 . . . n,

and der zngehdrigen

m; n% Ni ... n:

(oder, was dassdb« ist, der M, N, N^ . . . N, and m', n', »i . . . nf)
ist ein Äquivalent fOr die Kenntnis zweiw aufeinanderfolgender Phasen
von 1 + 2 benachbarten Linienelementen der Kurve C.

Jede Qerade Mä durch m' ist nach Äbschn. 1 eine Charakteristik
von M entsprechend einer gewissen Zuordnung a zwischen den Tan-
genten der aufeinanderfolgenden Phasen von C. Eine jede solche Zu-
ordnung a zwischen den M zieht auch eine Zuordnung zwischen den
ersten, zweiten . . . Normalen N, N, . . . der Nachbarphasen von C nach
eich, die je einen Strahl IC, Ifla • • ■ dorch n',n{ . . . als Charakteristik
bedingt. Da aber die M, N, N^ . . . aufeinander sukzessive normal
stehen, bilden die Mä, Nä, Nia bei Änderung der Zuordnung a kon-
gmente Strahlenbflschel mit m' »' n^ . . . als Scheitel Die tangenten-
weise Zuordnung zweier Kurven bedingt nun immer auch eine be-
stimmte punktweise Beziehung zwischen ihnen, die im vorliegenden
Fall leicht abgeleitet werden kann, m ist der stete Schnittpunkt der
Oeraden M und N. Die Charakteristik von M fflr den Punkt m ist
immer M', die von N ist fQr jede Zuordnung mit Hufe von Nä ge-
geben. Die Chuakteristik mä ron m entsprechend der Zuordnung a
wird daher erhalten, indem man durch den Schnittpunkt MNä die
Parallele zu N zieht und sie mit M' zum Schnitte bringt In gleicher
Weise ei^bt sich mit Hilfe von .^i'^ der Punkt n^ auf N' usf. Die
Puuktreihen auf Jf' , N', N^ . . . sind sämtlich untereinander ähnlich
und mit den Strahlenbfischeln m', n', n[.. . projektiv.

Ziltashiiftf. HMhimitlka. Phifik. », Bud IX». l.HaA. 6

D.git.zedb/GoOglC

66 Zar konatcuktiTeii InfiniteBimal^eometrie der ebeaen Korven.

Die TorBtehenden B«tnichtungeiL finden ztmächst Terverhmg io
jenen F^en, in denen von einer Teränderlicheu Kurve dee Systems
zum Zwecke der Ableitung weiterer Elemente mehr als ein Punkt,
jj bezw. eine Tangente in

Betradit kommt. £b sei
z. B. (Fig. 11) tnM ge-
meinsames Linienelem^t
zweier einander stetig be-
rtüirender Eurren 0^ und
Oj; man soll die Charak-
teristiken von 1» und M
ermitteln. Zu diesem Be-
hufe mfissen von den
beiden Knrren die ersten
£rümmung8niittelpnukte
ftj und M, und die zugehörigen Charakteristiken der ersten Evoluten n,
und »j gegeben sein. Die Terbindungsgerade tt[n^ ist Charskteristik
N' der gemeinsamen Normale, die durch m[ ^ m^ gezogene Senkrechte
dazu ist Charakteristik M' von M, die Projektion von N'M auf
M[ = Mf liefert m'.

Es ist schließlich von Interesse, den Zusammenhang zwischen den
jetzt betrachteten Elementen n'N', n[N[ . . . (Fig. 10) und den Normalen,
Exflmmnngszentren usf, der charakteristischen Punkt- und Geraden -
Srter C von C kennen su lernen. Betrachtet man die Kurve C in
zweiter Annäherung als Kreis mit dem Zentrum in n, so entspricht
ihm nach Abschnitt 5 als Ort der M' ein Kreis, dessen Mittelpunkt
auf N' liegt. Daher ist N' die Normale von (M') im Berührungs-
punkt der Tangente M und ebenso N'^ Normale von {N') usf Man
erkennt also, dafi die Folge der (Seraden M', If, N[. . . tQr {M') die-
selbe Bedeutung hat, wie die der Qersden M, N, Ni . . . fZt (3f) selbst.
Minder einfach sind die analogen Beziehungen f&r (m'). Faßt man m'
in jeder Phase als Schnittpunkt von M' und N au^ so lassen sich auf
Omnd der in dieser Arbeit entwickelten Methoden Konstruktionen fSr die
Reihe der Krümmungsmittelpunkte von (m') ableiten. Um jedoch später zu
Besprechendem nicht vorzugreifen, sei hier nur angegeben: m'n' ist die
Normale von («'), n'n[ die von («') osf. Den ersten Krünmningamittelpunkt
von (w') erhält man, indem man in «' und m' die Senkrechten zu n'm'
zieht^ sie mit N bezw. N' zum Schnitte bringt und schließlich die Ver-
bindungsgerade der so erhaltenen Schnittpunkte mit m'n' schneidet.')
1] Tgl. dazu die Defitütioaea in Abschnitt 13. n' ist gediebte Chankteristik
von m', n'i 'die von n' usf., wenn n als gedr^te Chataktoristik von m an-

ib.Googlc

Ton RiCHiBD T. Ifiiu. 67

11. Brei aufeinanderfolgende Phasen einer Ter&iderlichen Karre (m)
Fig. 13 sind durch das charakteristische Geradengebilde (Jlf) und das
charakteristiBche Ptmkt^ebilde (m") des letzteren gegeben. Da N' die
jeveilige Normale von (Jf) ist, liegt jedes m" auf der zugehörigen N'.
Wir stellen uns zm^cfast die Aufgabe, die Charakteristik M" yon (m')
fQr das ins Auge gefaßte Element m' zu finden. Dem Vorangehenden
gemäS mnß Hf' xa m'n' normal
stehen, m' ist der stete Schnitt-
punkt Ton M' und N. Man
erhält also einen Punkt Ton
M", indem man M' und N

erteilt, das sind aber solche,

die zueinimder normal stehende

Charakteristiken bedingen. Wir

ziehen durch m" eine Gerade

JH^ normal zu der durch n'

gehenden Nä and finden in

bekannt«r Weise m'ä. Man erkennt, daß M", der Ort der mä, als

Erzeognis zweier ähnlicher Parallelstrahlbflschel entsteht und erstens

wirklich anf m'n' senkrecht ist, zweitens durch m" hindurchgeht.

Jedem Punkte mä von M' entspricht eine gewisse durch m" gehende

Gerade Ma als Charakteristik von M' gemäß der Zuordnung a; und

jedem Strahle M^ durch m' entspridit in dualer Weise ein Punkt

aof M". Beide Beziehungen, die durch den Punkt n' vermittelt werden,

sind, wie leicht einzusehen, linear.

Ist etwa der ErOmmungsmittelpunkt « (Fig. 13) des Ortes (m)
des Stdinittpunktes zweier beliebig veränderlicher Kurven C, und (7, zu
ermitteln, so hat man folgendermaßen Torzugehen. Die Definitionen
TOD C, und Cf eichen zunächst Konstruktionen der beiden Tangenten Jfj
und Mf sowie der ersten Krümmungamittelpnnkte n, und n,. Femer
erhält man nach dem in 5 ang^ebenen Verfahren fdr jede Kurve
einen Punkt ntai und f»^i der betreffenden Charakteristiken Jlf,' und Jf,,
deren Richtungen schon bekannt sind, und wendet man dieses Ver-
fahren auch auf die ersten Evoluten (^N^') und {N^) an, so gewinnt
man deren Charakteristiken »,' xmd n,'. Die Konstruktion, die zu den
Punkten m'ai nnd nia, geführt hat, liefert aneh deren Charakteristiken »tai
und tiCt. Projiziert man die letzteren auf die in niai nnd nCt zu M[
und M^ errichteten Kormalen, so erhält man je einen Punkt von Mä'i

gesebeo wird. Die Konstruktion dea ErQmmutigazentrama benützt die für die
Richtung von N versetzte Chuakterirtlk von n'm'.

D,,,iJ'db,Googlc

68

Zur konetroktiven InAmteaimalgeometrie dar ebenen Knrven.

and JH^i, d. s. CliEtrakteristiken von Ml bezw. M^ fO.T die Za-
ordnung in der Richtung mmlt bezw. mm'at. Die Richtung von 3fä'i
und M'ät findet man mit Hilfe Ton Näi nnd N^i, die n^ und n^ mit
den Projektionen von m'ai. und nt^i auf J/j und Jlf, verbinden. Da n[
nnd n^ bekannt sind, hat man nun auch die Punkte m^' und mj,', durch
welche alle Charakteriatiken von M'j und M^ hindurchgehen. Die

Dti;

^.

\

.i';--^

^-m»

P

r x^^'

Charakteristik m' von m ist der Schnittpunkt von M'^ tmd M^. Pro-
jixiert man m' auf die Tangenten M^ and ^j, Terbindet die Projek-
ttonen mit m| bezw. n^, so hat man in den Terbindui^ageradMi N^
and N^ Charakteristiken Ton N^ und N, gefunden, die der Zuordnung
in der Richtung mm' entsprechen. Die durch m'l und m'^ gehendoi
Normalen su N[ bezw. N^ sind die in Betracht kommenden Charakte-
ristiken M'j und JS£^ Ton M^ und M^, mit deren Hilfe man sofort m"
und daraus den Erümmungsmittelpankt n Ton (m) findet. Die ganze
Konstruktion kann auf den dualen Fall übertragen werden, and es hat

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Von RiCBABD V. M18BB, 69

prinzipiell k«ne Schwierigkeit, durch weitere „Differentiationen" zu
ErSmmnngsmittelpunkten höherer Ordanng zu gelangen.

12. Einer Erwähnung bedarf noch die Behandlung analytischer
Beziehungen in dem Falle, in dem Probleme faSherer Ordnung in Frage
kommen. Sind x,, x^ . . . x, n metrische Elemente, 2^, x\.. . xi, ihre
Charakteristiken, bo folgt, wie in 4 erwähnt, aus y — f{Xi, fc^, . . . x^)

Ebenso ergibt sich

UBW,

Zu den speziellen Fällen, in denen von dieser allgemeinen Gleidiung
Gebrauch gemacht wird, gehören namentlich die vtelfoch untersuchten
Eondioiden*), tüx die Funktion f die Form einer Summe von Gliedern
(^icher Dimension (meist plus oder minus eins) besitzt.

Ist n — 1, so hat man

y' =r(^)-x',

Enthält eine Knrvendefinition erster Art eine derartige Bestimmungs-
form eines Elementes y, so kann man durch Änderung der funktionalen
Beziehung f im allgemeinen jede beliebige Kurve mit Hilfe desselben
erzeugenden Systems darstellen. Man sogt dann auch, die Kurven
seien durch- ihre Gleichungen analytisch definiert, u. zw. bezQglich
eine« KoordinatensjBtemes, das eben durch das (zwangläufig) verändere
liehe erzengende System bestimmt wird. Was unsere üntersnchui^ in
diesem Falle leistet, ist gewissermafien eine Er^uzung zu den un-
mittelbaren Resultaten der Differential-Analysis. Sie zeigt, in welcher
Weise die geometrischen Charakteristiken der erzengenden Elemente
(Punkte oder Gerade) nämlich Tangente, bezw. BerOhrungsponkt,
KrOmmongazentra usf. aus den sukzessiven Ableitungen der Funk-
tion f sich ermitteln lassen.

Wählt man x als unabMngig-verändertiches Element des Systems,
so kann zur VereinEachnng x" = a;"' = - ■ • = gesetzt werden, also
jf — a — const-, 80 daB

m » -m,

(2) »'-«fW,

(3) s" - «TW »sf-

1) T)jl. such ÄbBcfaniti 16.

D,,,i,z=db,Googlc

70 Zur konstniktiTen InfinitesimKlgeometrie der ebenen Kurven,

Betrsclitet man di« Oleichimgen (3), (3) als Definition^eidiuiigen neuer
Knrven für dasselbe Koordinatensystem, fQr das (1) gilt, wobei die
y', jf" . . . an Stelle von y treten, so erhält man die sog. DifFerential-
kniren tod (1), die Sobobka^) mit vielem Erfolge zur Babandlong
konstruktiver Infinitesimalaofgaben benutzt hat.

Enthält eine Knrrendefinition enter Art die in Nr, 7 behandelte
implizite Beatimmungeform eines Elementes, so findet man auf Gnmd
der ang^ebenen expliziten Bestimmung der Tangente, bezw. des Be-
rOhrongspanktes den ersten Sjrfimmnngsmittelpunkt und die folgenden.
Hat die Boüehung, welche die zusammengdSrigen Phasen der n Eurren
verkofipft, die Form einer Oleichnng, so muß man die Charakteristiken
der an genannter St«Ue benützten Ausdrücke - «^ ermitteln. Das c,
ist durch Konstruktion gefunden, daher seine Charakteristik auf dem-
selben W^e bestimmbar. Die Ableitungen ^ mOssen total nach

sämtlichen Pf differenziert werden, wobei an Stelle der p'i die durch die
Konstruktion der Tangente (bezw. des Berührungspunktes) gefundenen
Werte einzusetzen sind.

III. BeiBpltie.

13. Die Hauptergebnisse der vorangegangenen Untersuchung sollen
durch einige Beispiele erläutert werden. Zoiwchst seien einige konstruk-
tive Hilfsmittel hervorgehoben, die bei Durchführung der Aufgaben
Verwendung fanden.

a) Die Charakteristik des titud)kängiff verändeHichen El&netUes. —
Wählt man die QrÖBen s, s', s" . . . (vgl. Abschn. 8) nidit völlig will-
kürlich, sondern in irgend einer Beziehung zu einem der Elemente des
veränderlichen Systems, so wird die ganze durdizuführende Konstruk-
tion oft sehr bedeutend verein&cht.*) Ist z. B. (Fig. 14) der Radius r
des Kreises K mit dem festen Mittelpunkte f unabhängig veriinderlieh,
so nehmen wir / — — r an, so daß das charakteristiache Tangenten-
gebilde fOx K das StrahlenbÜBchel in f wird. Der analoge Yoi^ang
bei analytischer Behandlung der Probleme besteht darin, da£ an Stelle
einer willkürlichen unabhängigen Variablen ein (metrisches) Element
gesetzt wird, das für die vorliegende Aufgabe bestimmte geometrische
Bedeutung hat.

1) J. Sobotka, Beitrag zur inGniteaimolen Geometrie der lutegralkarven.
Sitznngsbet. d. k. Äkad. Wien 1898. Bd. 107, Abt. 2 a.

S) Vgl. Burmeeter ». a. 0. S. 66ff., woselbBt zahlreiche namentlich mit
Zirkel und Lineal konatruierbaro Kurven in ftuBent eleganter WeiM behuidelt sind.

db/GoogIc

Von RiciuHD V. Misis. 71

b) AU gedrehte Charakia^tik einea PunliteB p definieren wir jenen
Punkt pi, der ans der Charakteristik p' dnrch eine in bestimmtem
Sinne vor eich gehende Vierteldrehong um p hervorgeht. >) In Über-
einstuDcmung mit den Definitiouen in 1 ergibt sich demgemäfi als ge-
drehte Charakteristik einer Kurve fOr einen ihrer Punkte eine zur
Enrvennorm&le N parallele Gerade M^ im Abstände NMi ^ MM'. Es
bedarf keiner besonderen Erwähnung, in wdcher Weise die einCnchen
Eonstruktioaen für die Charakteristik des Schnittpunktes zweier Eorren,
sowie tQi die der Länge einer durch ein Punktepaar gegebenen Strecke
sich mit Hilfe der gedrehten Charakteristiken ausführen lassen. Wichtig
ist, daB die gedrehten Charakteristiken A^, B^, C, . . . einer Geraden O
fOr ihre Punkte a, b, e . . . eia xvt a, h, e . . . ähnlicheB Parallelstrahl-
bfischel bilden and insbesondere alle in die im Drehpunkt GG' zu G
errichtete Normale fallen, sobald dies flir einen einzigen Punkt außer GG'
selbst zutrifft. Offenbar ist dies der Fall, sobald ig GG' — 1, GG' ~ 45*
ist-, dann stellen die Charakteristiken sämtlicher uneigentlicher Elemente
des Systems die Ableitungen dieser OrSfien nach dem Winkel # dar,
den G mit ii^end einer festen Geraden bildet. Ist z. B. die gedrehte
Charakteristik eines Punktes m der Erümmungamittelpunkt n von (m),
so ist das zweite Krümmungszentnim », gedrehte Charakteristik von n,, »,
die von »1 . . . usf. Gleichzeitig ist nh, die Ableitung von mh -~ g
nach dem Tangeutenwinkel #, n,K, die von nn^ •■ ^j nsw.

c) Die konstruktive Lösung der häufig wiederkehrenden Aufgabe,
aus den gedrehten Charakteristiken A,, B^ einer Geraden G fQr zwei
ihrer Punkte a und 6 die für einen dritten Punkt c tu ermitteln, er-
leichtern wir durch EinfOhrung der wrsetete» Charakteristik einer Ge-
raden. Bringt man nämlich die Strahlen Ä^, JB,, Cy... mit den ma,h, c...
zu irgend einer Richtung ^ gezogenen Parallelen zum Schnitte, so er-
hält man als Erzeugnis der beiden ähnlichen Parallelstrahlenbfischel
eine Gerade, die durch den Drehpunkt von G geht, und die ßr die
Bichtung von B versdgte Charakteristik von G heißen soU.^

14, Als erstes Beispiel diene die gewöhnliche Par<ä>el. Man ge-
langt zu einem ihrer Punkte m in folgender Weise. Um den festen
Punkt f als Zentrum (Fig. 14) wird ein Kreis K mit beliebigem ßadins
fnt ~ r beschrieben und dieser mit einer Parallelen A zur festen
Geraden A,, im Abstände AÄ,, — a geschnitten. Dabei ist

0) «-<■■

1) Die „gedrehte Oeadiwiiidigkeit'* wurde von Scbadwill eingeführt, a. a. 0.
% 13. Sie ist vielfach verwendet bei Burmeater a.a.O. S. 28ff.

S) Bei Verwendung der versetzten Chornkteriitiken lasBen nch die mebteo
MannheimBchui Konstraktioneti von nnserem Genohtaponkt ani deuten.

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72

Zur koDBtruktiTeii InfiniteHimalgeoniebrie der ebenen Kurven.

Die GharakteriBtik von r, dem unabhängig - veränderliclieii Element,
wählen wir r' ■-. mf, daher ist die Gharakteristik Ton K fflr m, die
durch f gehende Normale K'n zu mf. Aus (1) folgt durch Diffe-
rentiation
(!•) .'-r-,

daher ist A^ Gharakterietik von A fOr alle seine Punkte, m' = A^Ki,
ist ein Punkt der Tangente, und man erkennt, daS diese den Winkel
ron fm mit der Achsen-
^ "•■'*■ richtung halbiert,

Bezeichnet it den
Strahl mf, N die Kurren-
normale in m, X die
Achse, so haben wir zur
Bestimmung des Krtlm-
mungsmittelpunktes » die
Gleichung

(2) NX = \BX

als Kurvendefinition zwei-
ter Art. Betrachtet man m'
als Charakteristik von m,
80 ist -^fmm' — mam'
gleich dem Winkel, den R
mit seiner durch f gehen-
den Charakteristik R' ein-
schließen muÖ. Nun gibt
aber die Differentiation von
(S) mit Rücksicht auf die
Ergebnisse in Abschnitt i

—2^

«.

!

/a

''^'^^ — — -23i_

L

La

\9

^

V

y^

^^*l

*

U-

___A L

-ix.

(20

ig NN' -',tg er:

Macht man daher mn — 2äm, so ist m'n^N' die Gharakteristik
Ton N und n der gesuchte ErOmmungsmittelpunkt.
Ausgehend Ton der Beziehung

(3) m» — 2äm

konstruieren vrir n^, nachdem wir, die bisher^ Annahme fallen lassend,
n als gedrehte Charakteristik von m gewählt haben. Aus (3) folgt

(30

(mn)' — 2(om)',

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Von RlCBABD V. MlSBB. 73

und wir wissen bereite, daß (rnn)' nichts anderes als den zweiten
Krfimmuagshalbinesser »n, darstellt Die gedrehte Charakteristik a,
Ton a ei^bt sich als Schnittpunkt von B, der in a zu ^1^ errichteten
Senkrechten, mit der zweiten Normalen ^i. ö,» ist Charakteristik
der Strecke am. Wir haben in

(4) «^-20^')

zugleich den Ausgangspunkt fttr die Konstruktion Ton n^. Die ge-
drehte Charakteristik o, ron o, ist der Schnittpunkt von N^ mit C,
der gedrehten Charakteristik Ton B iBr deren Punkt o^. Da der
Drehpunkt von B unendlich fem liegt, hat man ö^ = öö^ zu machen
und durch r die Kormale zu B zu ziehen, o,», ist die Charakteristik
der Länge ö^, und aus

erhalten wir

(5) Hj», •- SajHj.

Die gedrehte Gharakieristik D ron C für a geht durch r,, wenn
o,r, — 2faf ist; denn fä^ ist die Charakteristik der Länge äa[, und C
ist eben dadurch bestimmt, daß sein Abstand von der festen Geraden A^
gleich 2ää^ ist. Der Schnittpunkt von D und N^ gibt o,. Wieder
ist »,(^ Charakteristik der Länge (i,n, und mit »^ = 2ä^ erhält
man den vierten ErQnunungsmittelpankt n^ der Parabel. Eine Fort-
setzung des Verfahrens bietet keine weiteren Schwierigkeiten.

16. Die höheren Krflmmungsmittelpunkte der zentrischen Kegel-
schnitte ermitteln wir auf Grundlage der von Maclaurin herrührenden
bekaimten Konstruktion des zweiten Krfimmungszentrums k,. Haben
IM, n, fti . . . (Fig. 15) dieselbe Bedeutung wie frOher, während o den
Mittelpunkt der Kurve bezeichnet, und errichtet man »p _L mn, so ist
nach Uaclaurin nn^ — Sp».*) Wählt man n als gedrehte Charakteristik
von m, so ist no die fSr die Richtung von N versetzte Charakteristik
von mo. Ihr Schnittpunkt s mit der durch p gehenden Parallelen
zu N ist ein Punkt der gedrehten Char^ieristik von ttto fSr den
Punkt p. Fäih man daher sp, _L tno, so ist pj auf N^ die gedrehte
Charakteristik von p, «jp, Charakteristik der Länge np. Daher gibt
n^ — Spj», den dritten Krünunungsmittelpunkt rtf.*)

1) Bis hierher iit die EonitroktioD bekannt. Man vgl. Mannlieim o. a. 0.
Seite 81.

3) Eine kinematiBche Abldtnng diecer Eonrtniktion b. Manoheim a. a. 0.
S. 88 f. und 8. «9 ff.

3) Eine andere Konstroktion gibt Hannbeim a. a. O. B. 61.

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74

Zui konstruktiven InfiDiteEimalgeometrle der ebenen Kurven.

Die durch p^ gezogene Nonoale zu N ist gedrehte Gharaktemtik
Ton ps fOr alle Punkte dieser Geraden, also auch für s. n^o ist die fiir
die Richtung von N, versetete Charakteristik ron no und gibt in ihrem
Schnittpunkte t mit der durch 3 zu N^ gesogenen Parallelen einen Punkt
der gedrehten Gh&rakteriBtik von no fOr den Punkt s. Ist daher ts^ A. no
Bo ist 8^ auf der durch j), gehenden Parallelen zu N^ gedrehte Cha-
rakteristik Ton s. Die Gerade sp^ ist dadurch bestimmt^ daß sie durch s
geht und zu mo normal ist Macht man ^u _L spj, so ist u ein Punkt
der für die Richtung von Ni versetzten Charakteristik von «;>,; diese
muß aber, wie man leicht erkennt auf 0» aormal stehen, da on die

3tt

1

V' \ /

3t

/"^^ 3t.

♦»»

"" «' V "-~3

\'

V*

für die Richtung von N versetzte Charakteristik von mo ist und der
Winkd zwischen mo und sp^ beständig ein Rechter ist Also hat man
uv_Lon und vpiXspj zu errichten; dann ist p, gedrehte Charakteristik
von p, und ^^ — 3p, »j.

Die hier g^ebene Konstruktion von n, ist auch umkehrbar und
kann in einfacher Weise zur konstruktiven LSsung der Aufgabe benfiizt
werden, den oskulierenden Kegelschnitt ftlr einen Punkt einer beliebigen
Kurve zu finden. Gegeben sind m, n, n^ und n,. Uan bestimmt zu-
nächst die Punkte p, und p, indem «jö, = y»,«j und np — j«,» ist,
zieht durch p die Parallele zu mn, durch p^ die Normale zu pm und
verbindet den Schnittpunkt s mit h. sn und pm schneiden einander
in o}) Die jetzt noch übrige Aufgabe kann auf Grund einer bekannten

1) Tgl. die analjtiBi^en Ableitungen von Godefroj (Joum. de Ttoile polyt.
II. sMe, 8. cah. 18ST. 8. 19ff.), der bu eiuei andern Konstruktion gelangt

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Von BiciuBii V, Uiess. 75

Konstruktion von n gelost werden.^) Man zieht og .L tRO, und zeichnet
mit dem Zentrum im Halbienii^punkt Ton gn einen Kreis durch o.
Er bestimmt auf der Normalen N deren Schnittpunkte mit den
Achsen. Diese liefern im Vereine mit m und N die Dbrigen Bestim-
mnngsst&cke. Man findet daher ans m, n, », und Rj auch den vierten
KrOmmungamittelpunkt n,. Der konstruktive Zusammenhang zwischen
den Punkten m, n, n^, n, und n, ist der geoAietrische Ausdruck fSr
die Ton Gesäro eingefilhrte KrümmungsinTariante*) der Kegelschnitte.
16. Gtegeben sei eineKeihe unveränderlicher KurTeii{j»,),(»(3)...(»»^)
nnd ein Punkt o. Auf jedem Strahl durch o bestimmt man einen
Punkt IM derart, daß

(1) ' c-om~^e,-

wobei sämtliche c bekannte Eonstante und die m, Schnittpunkte von o
mit (Mj) sind. Dann heißt (m) eine äügemeine Konchoide^) Man
könnte derart definierte örter bezeichnender Strecken- ÄdäiHonshurven
nennen und ihnen dual Wit^d-ÄddUionskumtn gegenüberstellen: Ge-
geben die Geradenörter (3f,), (Jlfj) . ^ . (JtfJ und eine Gerade 0.
Durch jeden Punkt o von bestimmt man eine Grerade M derar^ daß

(2) eÖM^^crÖM,,

wenn c dieselbe Bedeutung hat wie oben und 3f, die von o ausgehen-
den Tangenten an (JtfJ sind. Beide Gleichungen geben durch Diffe-
rentiation wieder Gleichungen derselben Form, und die allgemeine
Aufgabe, welche der konstruktiven Geometrie der betrachteten Kurven-
gattung g^^nDber erwächst, ist die folgende: Es sind ans der Tangente
und den aufeinanderfolgenden Krümmungsmittelpunkten einer (m,)
bezw. {M^ die sukzessiven Charakteristiken (öm)', (om)" ... von om
bezw. (OJK)', {OM)" . . . von OM konstruktiv abzuleiten und um-
gekehrL

In Fig. 16 ist die Konstruktion für den Fall der Konchoide bis
zum KrOmmungsmittelpunkt zweiter Ordnung durchgefOhrt. Unabhängig

1) Mannheim a. a. 0. S. 19 (4).

S) Ceaäro, Toile«. flb. NatOrlicfae Geometrie, deatsoh von Kowaleweki.
Leipzig IBOI. 3. 76f. Vgl. auch Godefroy a. a. 0.

S) Vgl, Cfar. Wiener, Lelub. d. danteil. Geom. Leipzig 1881. n.B. S. 181 ff,
nnd SSSff. Sobotka, Zur infinitetim. Geometrie der PlankiUTen. Sitznngsber.
d. k. bOhm. Akad. 1898 8. ISff. d'Ocagne a. a. 0. S. 886f. Uannheim a. a. 0.
S. Uff.

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76

Zur konstniktiveii InfiDiteiinialgeoinetrie der ebenen Kuirea.

Kg. !••

veränderliches Element ist der Strahl 0, als gedrehte Charakteristik
ftlr alle seine Punkte wählen wir den zu ihm senkrechten Strahl 0'.
Dann fällt m' (gedr. Ghar. TOn m) in den Schnittpunkt der Normalen N
mit 0' und es ist öm' — (öm)'. Die Normale 3fi zu N durch m' ist
gedrehte Charakteristik von N fOr den Punkt m; daher geht die fBr
die Riehtong von versetzte Gharskteristik N' Ton N auBer durch n
(ersten ErömmungBrnittelpunkt von (m) in m) noch durch den Schnitt-
punkt p^MjO. m'q I und qm" H M^ liefern den Punkt m" auf 0,
fttr den öm" ■■ (öm)".

Zur Bestimmung der gedrehten Charakteristik p' Ton p bedient
man sich der fOr die Richtung von 0' versetzten Charskterietik M[

von 3fi;> sie ist nor-
mal zu N' und
schneidet 0' in dem
Punkte, in dem diese
Gerade von der durch
m" gehenden Koi^
malen zn Mj, der
gedrehten Charak-
teristik von Ml fOr
j»', getroffen wird.
pr I 0' und rp' | N
geben den Punkt p'
auf 0'. Die ß\t die
Richtung von 0' ver-
setzte Ghar^teristik
If[ von N, geht durch
n, (zweiten Erüm-
mongsmittelpunkt
von (fn) in m) normal
zu N'; mit ihrer Hilfe findet man die gedrehte Charakteristik n' von «,
die auf Jf, liegt. Uacht man p'sJ^N' und ps^N^, so geht durch
n' und 8 die fKr die Richtung von N^ versetzte Charakteristik N" von
N'. qt I Jf,, ig' X JV' geben den Punkt q', der auf der Parallelen
zu 0' durch m" gelegen ist. Mit p' und q' ist aber «»" sofort ge-
funden; denn da pm'qm" ständig die Eckpunkte eines Parallelogramms
bilden, eo mufi dies, wie man leicht erkennt, auch für die gedrehten
Charakteristiken p'm"q'm"' der Fall sein. Man macht also p'm'" — m"q'
und hat in m'" den Punkt, filr den wieder om'" — (öm)"* gilt

Die Konstruktion ist durchwegs umkehrbar. Man erlmlt, wenn
m und m' g^eben ist, die Normale N; aas m, nt' und m" den ersten

^

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31.

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db,Googlc

VoQ RicHutt V. Mnn. 77

KrOnunangsmiUelponkt n, schlieBlich ans m, m', m" nnd m'" den
zweiten Krflminiiiigamittelpmikt n,.

17. Dreht mia jedee der <x>* Linienelemente einer ein&cli un-
endliehen Knrvenachar, indem man seinen Punkt festhält, um einen
besümmten Winkel <p, so erlült man ebensoriele neue Linienelemente,
die im allgemeinen sich Tcieder zu co Tiel Kurven einer Schar zu-
sammensetzen, Han nennt die letzteren die isogonalen TV^ehtorien
oder die Loocodromen des Winkels 91 zu der ursprünglich g^ebenen
Euirenscliar. Sind zirei aufeinanderfolgende Phasen einer Teränderlichen
Eurre gegeben, »0 muß es möglich sein, die ersten KrOmmungsmittel-
punkte der entsprechenden Loxodromen fQr 91 — bis 9 ~ ä zu finden.
Ea mdgen (Fig. 17) mM, m'M' dieselbe Bedeutung haben, wie &Qher,
imd es sei -^i»'inm^~90 — ip. Man bestinunt gemäß Abschnitt 10

die Charakteristik J^ der Normalen N,

welche der Zuordnung mm'^ entspricht

nnd mit ^ den Winkel IfN'^ - *

einschließt. Da die Nonnale «i« der ^.u- — \ V" ^- / Dft.

Loxodrome mit N den kottsüaiten "'

Winkel <p bildet, so mnfi anch die

Charakteristik von mn^ die durch m^

geht, mit dieser Geraden den Winkel 9

einschließen. Macht man daher den

Winkel mm^H, — 90 — #, so erhält

man in n^ den KrümmungsmiUei-

punkt der Loxodrome des Winkds ip

fOr den Punkt m. £iniacher ge-'

langt man jedoch zu n , indem man

durch den Sehnit^nnbt NN!^ = r

die Parallele zu Jlf zieht, wie man sich »uf Gmnd einfacher Überl^ung

leicht aberzeugt Denn es ist m»_ "- mm' - ctg fr — m'~m'' • ^-^ ,

während mr *• m'm' ctg d- ist. Aus dieser Konstruktion ersieht man,

daß bei Änderung des Winkels ip der Ort der Punkte n als Erzeugnis

zweier perspektiver Strahlbflschel erscheint, deren Scheitel beziehlich

in m und M' liegen. Die Knimmmigsmittdpui^eie aBer Loxodromen

für de» PwniU m liegen daher auf einer Geraden G, welche die Nonnale N

in n und die Tangente M in n« schneidet')

1) Diesei Sati ist von Q. Seheffer» analjtUch abgeleitet worden. Siehe
Iieipugec Berichte, 50, 1898, 8. seitT. Vgl. aach: Anwendung der Differential-
redurang uiw. S. 96.

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J8

Zur konitrnktiren Infiniteamwlgeoiiietrie dei ebenen Kurven.

yn.

3n.

Eb ist nim interessant, die duale Aufgabe zu behandeln. Verschiebt
man nämlich die ex:* Linieuelemente einer Kurrenschar Vämg^ ihrer
Geraden um eine bestimmte Strecke p, so erhält man oo' neue Linien-
elemente, die im allgemeinen eine neue Korrenschar bilden. Man
könnte sie etwa die Schar der Düaiorien nennen. Es sei (Fig. 18)
mm^=-p und M'f^^m'mp die Charakteristik der Geraden M für die
Zuordnung im Funkte ntj,, N'pA_Mp die zugehörige Charakteristik
Ton N. Dann mufi, weil die Normale m,«, der Dilatorie zu N im
konstanten AbsOmde p parallel bleibt, auch die Charakteristik von
f»j,n aus U'p durch ParallelTerschiebung
um die Strecke p in der Richtung tob M.
herroTgehen. Man erhält demnach den
Erümmungsmittelpunkt n^ in derBelben
Weise wie früher n , indem man durch
NNp=,r die Parallele zu M zieht, und
erkennt: DieKrümimmg^mUdpimiUe aUer
Düaiorien einer g^^tenen Kurvensehar
für eine Tangente M liegen auf einer
Geraden G. Die Gerade G ist, wie
leicht einzusehen, mit der Irüher ge-
ihndenen identisch. Man kann an diesen
Satz ähnliche Betrachtungen anknüpfen,
wie sie Scheffers fOr den dualen Fall
angestellt hat. So z. B. bestimmt die
Schar der Dilstoiien eine Geradeutrans-
formation der Ebene, in der jeder Geraden M eine Gerade P zugeordnet
ist, sodafi die Erümmm^kreise aller Dilatorien, die M berühreit, P zur
gemeinsamen Tangente haben usf. Es sei noch bemerkt: Die sämtlidien
Loxodromen einer Punktschar fallen mit dieser selbst zusammen, wobei
jedes der <x>* Linienelemente cwfach zu sahlen ist; ebenso sind die Dila-
torien einer Geradenschar mit dieser identisch. Die Loxodromen eines
Strahlenbüschels sind die logarithmischen Spiralen, die Dilatorien der
geraden Punktreihe die Traktorien der Geraden. Für jede Schar kon-
gruenter Kreise sind die Dilatorien zugleich Loxodromen einer eben-
solchen Schar mit gleicher Mittelpunktslinie und anderem Kreisradins.
18. Es sei wieder eine Reihe fester Kurven {A^, {A^ . . . (A^)
gegeben. Ein Punktort (fn) ist bestimmt durch eine Gleichung

worin die It die unter den Winkdn a, geme^enen Abstände^) eines

)) Diese Bezeichnoiig müde von d'Ocagne eingefühlt. Vgl.

a. a. 0. S. 8«tlff.

;Goo«^Ie

Von RicHAxo -v. Miau.

79

Wir

Punktes m ron (Ä^) bedeuten. Die o^ sind gegebene Konstante,
flachen znuädiat die Tangente von (m).

In Fig. 19 ist Af Erzeugende einer der gegebenen Kurren, üf der
Berührung»-, o^ der erste Erümmungsmittelpunkt, AfL, =- a^ und am — If.
m erscheint als gemeinBamer Punkt von » Kurven (m^), fSr die
l, — const., und es handelt sich zunächst um die Ermittlung der

Tangeute und der Charakteristik einer (m^. Nehmen wir Of als ge-
drehte Charakteristik von a^ an, so fällt fQr 2^ — const. w^;en der
Unvennderliehkeit von «, und l, auch die gedrehte Charakteristik
TOtt m in denselben Punkt. Daher ist mo, = N, Normale der Koordi-
natenlinie (m,), und ihre Charakteristik 3f/ fOr den Punkt f» moS zu mo^
senkrecht stehen. Einen Punkt Wgf der Charakteristik MI eriält man,
indem mau dem Punkte m von (m,) den auf derselben L^ gel^^en
Punkt der Nachbarphase zuordnet. Es ist d«m mmlai — I.' und

ib.Goo«^Ic

80 Zur konstniktiTeii InfiniterimalgeomBtne der ebenen Knrren.

mm'i ^ If COS Li Ni. Damit ist die in Abaclmitt 7 Gleicbnug (5) ein-
geführte Grdße Cf für den TOrliegenden Fall gleich cos Lflf^ gefanden.*)

Ist n=~2 und hat die Definition^leichnng die Form Ij — fQi), bo
bestimmt man den ErOmmongsmittelpnnkt entsprechend dem in 11
angegebenen Verfahren. Man braucht hierzu den Krümmungamittel'
punkt n, von (m,) sowie die Charakteristik der Evolute nj. Ist p^ das
g^ebene zweite Erfimmnngszentmm ron {Äf), so erhält man unter
Beibehaltung der rorigen Annahme, wenn o^s^ _L N^ and mSf || A^ ist,
in p^Sf die fOr die Richtung von Ä^ versetzte Charakteristik von JV^
und in deren Schnittpunkt mit N^ den gesuchten Funkt »^ Die
Charakteristik iCi von Nt für die Zuordnung mntoi in der Richtung L,
geht jedenftiUB durch 0(, und damit ist n'i ebenfalls gefunden. Die
Charakteristik mät von ittg i liegt auf Li u. zw. ist » t^<w>" < _ ^ 4- 2".
Wenn also V^^a, t^—0 gewählt wurde, hat man ni^m,'^-'miHlt + a'f" (t).
Alles Weitere findet man wieinll. Durch Spezialiaierung der Kurven (^
erhält man eine groBe Beihe gebräuchlicher Koordinatensysteme und
kann aus der angegebenen Konstruktion Ausdrücke für die Krünmmngs-
halbmesser herleiten. Ist ein Winkel «^ ■- 90", so fiülen 1*1 und n« in o,
zusammen.

In ganz derselben Weise wird die duale Aufgabe erledigt; Gegeben n
Kurven (a,), (o,) . . . (oj und eine Öleidiung F{i^, i, . . , i,) — 0.

Auf jeder Tangente Äf von (a^) wird eine konstante Länge Ofli — j),
abgetr^en, die von It ausgehende Tangente an die Kurve (M) schließt
mit A, den Winkel 1, ein. Haben 0, und jp, anal«^ Bedeutung wie
vorhin, so geht die Kormale N, der Kurve (Jf,), für die ;l, — const.,
durch Of, der KrQmmungsmittelpunkt »^ liegt auf der durch j), gehenden
Parallelen zu it. n^ und n'i findet man mit Hilfe einer Zuordnung im
Punkte If usf. Zu beachten isty daß tg MMÖi — i!i, aber

tg Müm. - i; + (»rc tg AI)' - X, + j^

zu setzen ist; also wenn X\ -■ o, X^ — 0, so ist fQr A, — f{^
tgJf;,Jf;',-tgS^, + a*f'{h)<io»*MMl.f

19. Es ist der ErOmmungsmittelpunkt einer durch ihre Gleichung
in brimdtischen Koordinatai gegebenen Kurve zu ermitteln.

Es sei (Fig. 20) m ein Funkt, dessen Abstände x„ a:,, x, von den
drei festen Geraden A^ A^, A, durch die Braiehung

(1) ri'v'^o-o

1) Zu denuelbeuBeBultate gelangt d'Ocagne auf auderam Wege a.a.O. S. Sil.

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Von RlCHAKD V. M18E8. gl

verbunden sind. Die Koordinatenlinien Xf ^ conBt. sind die durch m
gehenden Parallelen M^ zu jenen festen Geraden. Als positive Seit«
der Ä^ sei diejenige festgesetzt, auf der die Innenfläche des Dreiecks
li^;t; m&n hat dann auf jeder Koordinatenlinie jenen Durchlaufungseinn
als positiv zu betrachten, der sich aus einer bestimmten Umlegung
der positiTen Xormalenrichtung, in der die x^ wachsen, ei^ibt. Durch
Differentiation von (1) erlüilt man

Die Größen c, des Abschnittes 7 sind hier sämtlich gleich 1. Wir
tragen daher auf den Richtungen der M^ Strecken von der Länge e/j
auf, wobei s ein be-

liebiger Proportio-
nalitätsfaktor ist,

Flg. M

im.'

metrisch und erhal-

/XT? .

ten als Resultat einen
Punkt fx' auf der
Tangente M von (m).
Nun ist die Charak-
teristik m" von t»'
aufeuBuchen. Sie er-

/ a,

mr.

Ton m' aus zuerst ^

Voll ^

mm' der Größe und

^

Richtung nach und hierauf die Charakteristiken der Strecken e/) in
den Richtungen der M^ aufträgt und addiert Die letzteren ei^ben
sich durch Differentiation

(3) (*/;)' = s\f,,x\ + f,,x\ + f,^x\\

wofBr man auch schreiben kann

{sQ' = B ■ mm'lffi sin T^ -\- f.^ sin r, + /), sin r,],

wen 1, den Winkel von M mit JK, bedeutet. Trägt man daher die
Strecken e-mm'ff,, enini'f]^, smm'-f,j in den Richtungen der M^
auf, so ist die zu M senkrechte Komponente ihrer Summe gleich der
Charakteristik von c/). Die Bestimmung von m" und ii erfolgt dann
ohne Schwierigkeit. Man erkennt auch* daß das Hinzufügen des
Summanden mrn'') zur Ermittlung von ni" fflr das Endresultat belang-

1) In der Figur fort^laHsen.
Z>ll<cbrlftr.MMheni>t1ilku Physik S3. Pmd lUoft. 1. Hcfl 6

D.git.zedb/GoOglC

gg Zur honBtraktiven InfiniteMinalgeoiiietrie der ebenen Kurven.

loa bleibt. Aus der Konstruktion ergibt sidi für den Krammungs-
balbmeaser der Ausdruck

(*)

^f."

2f.,'

Äbnlicb gebt man vor, wenn eine Gleichung in trimetriscben Linien-
koordinaten
(5) y(«i, «i, Mj) =

vorliegt. Es sei (Fig. 21)
M eine Gerade, deren
Abstände von den festen
Punkten a,, o, und Oj
die M( sind. Als Koordi-
natenlinien Uj '= const.
erscheinen hier Kreise
mit üf als festen Mittel-
punkten, sämtliche e^
sind gleich 1. Der ge-
suchte Berührungs-
punkt m ist demnach
der Schwerpunkt der in
m^ vorhanden gedachten
Massen etp^. Die Kon-
struktion kann etwa in
folgender Weise ausge-
führt werden. Man wählt
zwei beliebige zu M

nonnale Gerade A und B, die M in a und b schneiden, und trögt

auf ihnen die Strecken

ää' = t(tnlä - 9), -|- m^ ■ ip^ + m^a ■ tp^),

bb' = e(m,6 ■ 95^ -f- m,6 ■ ip^ + tn^b • tpg)

auf. Dann geht die Yerbindungegerade ab' durch m und kann als
Charakteristik M' von Jlf angesehen werden. Will man jetzt den
Krümmnngsmittelpunkt n ihden, so handelt es sich zunächst um die.
Charakteristik von M', also um die von a' und b', m letzter Linie um
die der Längen aa' und bb'. In jedem Produkte öTm - y, sind beide
Faktoren veränderlich: die Charakteristik von mä erhält man unmittel-

db/Googlc

Von RlCHUtD V. MiSEB. 83

bar, indem man durch a^ die Senkrechte zu M' zieht und sie mit M
zum Schnitte bringt. In derselben Weise wie früher ei^bt Di£Feren-
iiation nach s&mtlicben ti^ die Charakteristik von e ■ tp^

(6) (fv.)' = iiMM'it,^,, + t,q>,, + (,y„],

wenn tf den Abstand m»if bedeutet. Daraus gewinnt man die Charak-
teristik von aa' und die vot\ bb', macht a'a"=oo'-|- iaa')', b'b"—bb'-i-{bb')',
und erMlt M". Man erkennt, daß zur Ermittelung von » statt M" auch
die Gerade a"b" ^ M"^ selbst benutzt werden kann, und daß das Hinzu-
ßlgen der Strecken aa' und bb' zur Bildung der Summen a'a" und b'b"
fOr das Endresultat belanglos bleibt. Der Ausdruck ^ die Länge
des Krümmungsradius in trimetriscfaen Linienkoordinaten lautet dann
s s

(7) 9'- r-

Ist die Gleichung (I) homogen in den x^, so kann m als der
S<diwerpunki der in den Eckpunkten des Fundamentaldreiecks AjA^A^
vorhandenen Massen x, angesehen werden. Aus der Eulerschen Be-
ziehung

(8) f,Xr + Ux,+f,x^ =

erkennt man, daß dann M Richtungslinie der Resultierenden der in den
Af angreifenden Kräfte ff ist.

Hat man eine homogene Gleichung in Linienkoordinaten, so kann
die durch die U) bestimmte Gerade M in derselben Weise durch Zu-
sammensetznng der in den Seiten des Dreieckes Oia^a^ liegenden
Strecken u^ gewonnen werden, desgleichen der Berührungspunkt m als
Schwerpunkt der in ilen a^ wirkenden Massen ip^. Damit sind wir zu
den bekannten Beziehungen zwischen homogenen Punkt- und Linien-
koordinaten gelangt..

Hat die Gleichung (1) die besondere Form

(9) c,arj + c^x; + c^^x; = ü,

so ateUt sie die vietfEich untersuchten symmetrischen Dreieckskurven ')
dar. Hau erhSlt

(10) f,j = 0, (.+»,

(11) fu-'"-^fi-

1} Tgl. Cesäto, Yorles. üb. Natürl. Oeom.
Leipzig IBOl. S. 129 fr.

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S4 Zur liODitruktiTen InfitiiteaimalgeometriB der ebenen Kurven.

Daraus ei^ibt sich auf Grundlage unserer KoQstrnktioa der Satz von
Jantet'): Berührea einander zwei Kurven, deren Gleichungen die Form
{9} haben, und aind ihre Exponenten n und »', so plt fUr die
Ertimmungsradien im gemeinsamen Linieneltment

(12) ft»-l)-f'(»-l).

Man erkennt, daß der Satz seine OClltigkeit behält, wenn in (9) an
Stelle jedes x^ eine beliebige Punktion X^ von x^ tritt*) Die Über-
tragung für Linienkoordinaten geschieht ohne Schwierigkeit.

20, Nach dem Oraßmannschen Hauptsatz*) über die Erseugang
der ebenen algebraischen Kturen entsteht die allgemeine Plankurre
nter Ordnung als Ort der Schnittpunkte von n veränderlichen Geraden,
deren zusammengehörige Phasen dadurch miteinander verknüpft sind,
daß ein Punkt und eine Gerade, die mit Hilfe jener n Strahlen lineal
konstruiert werden, ineinander liegen müssen. Wir haben es hier mit
einem besonderen Fall der in Abaclmitt 7 betrachteten impliziten Be-
stimmungsform eines Punktes zu tun und' können nach den daselbst
angegebenen Grundsätzen die Tangente an O konstruieren.

In Fig. 22 ist m der Schnittpunkt der drei um o,, a,, a, sich
drehenden Geraden A^, A^, A^. Die Schnittpunkte \ und b^ von vi,
und A^ bezw. mit den festen Geraden B^ und S^ bestimmen im Vereine
mit den fest«n Punkten c, und c, die beiden Geraden C^ und C,, deren
Schnittpunkt p auf Ä^ liegen muß.*) Wir suchen die Tangente
an die von m erzeugte Kurve dritter Ordnung. Es sei zunächst die
Gerade A^ allein ala veränderlich betrachtet; wir wählen als ihre Cha-
rakteristik für das Liuienelement in m (vgl. Abschn. 1) eine Strecke
gleich der Entfernung mä^. Dann ist ihre Charakteristik fQr das in
Betracht kommende Element in p gleich pä^. Faßt man den Schnitt-
punkt p von C, und Cj als Linie erster Klasse auf, so bildet die Ge-
rade A^ mit p ihr Linienelement, das zugleich der Geraden A^ an-
gehört, und die Projektion der Charakteristik p' von p auf die in p
zu Ä^ errichtete Kormale bestimmt die Charakteristik von p fQr dieses
Linien dement. Kun hat man einmal A^ und dann wieder A^ als allein
veränderlich anzusehen, in jedem Falle als Charakteristik von A^ bezw.

1) Annal. de l'flcole Nonu. aup^r. ^3) IV, 18gT Snppl.

U) Vgl. Pellet in Comptea RenduH, B. CXV. PariB 1892. S. 498.

3) Vgl. A^ S25 3 US. Ferner Crelleo Journal Bd. »1. GrundzQge zu einer
rein geometrinchtin Theorie der Kurven mit Anwendung einer rein geoinetriBchen

4) GraBmann, Über die Erzeugung der Kurven dritter Ordnung diircli ge-
rade Unien uaw. CrelleB Journal Bd. 36.

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?S-''

Von BlCBlBU V. HlEKB. g5

A^ für m eine Strecke gleich ma^ anzunehmen und demgemäß die Cha-
rakteristik p[ bezw. p^ von p zu bestimmen. Iti Fig. 23 ist mq~^ = ma^
gemacht, hierauf
ff,r, ± j4, errich- Oft

tet. a,»-, ist die ^

für die Richtnng "K^ „„ ,,

Ton Af Tersetzte

Gfaankteristik
von Aj. fc,5, pa-
rallel zu Af, s,b,'
normal zu A^, bfb[
normal zu S, gibt
in b[ die gedreht«

Charakteristik
von b. b'fCf ist die
f&r die Richtung
von b,b', versetzte

Charakteristik
von C„ p«, |i6,6,',
«ipi _L C\ und
pp, _L C, gibt in
p, die gedrehte

Charakteristik
von2> bei alle i n ver-
änderlichem Ai.
In gleicher Weise
erhält man in p,
die gedrehte Cha-
rakteristik von p fUr partielle Änderung von Aj. Die Projektionen pp',
und pp^ von pp^ und j>pj auf ..4, sind die partiellen Charakteristiken
von p fHr A^. Man hat daher ma = pa^, ab—pp'^, bc -^ pp!, zu
machen, wenn ah \\ A^ und bc | Aj ist, und erhält in c einen Punkt
der Tangente M. Das Verfahren ist allgemein fQr Kurven beliebiger
Ordnung und Klasse anwendbar.

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Nene RechenmaBChine.

Von Editakd Sellino in Wörzburg.

Schon bei der LeibniziBcten Rechenmsscliine war die Multipli-
kation mit 2, 3, ... 9 nicht wie bei der sonst dieselben Mittel be-
nfltzenden ThomaB-Burckhftrdtischen durch 2, 3, . . . 9maliges Um-
drehen einer Handkurbel auszuführen, sondern durch je eine einlache
nur Terschieden begrenzte Bewegung (S. die Beschreibung in Jordan,
Handbuch der VennesRungskonde 5. Auflage, Bd. 2, S. 142). Dasselbe
war bei der in Chicago prämiierten in meiner Broschüre £ine neue
Rechenmaschine (Berlin, Springer, 1887), auch in Dinglers Polyt.
Jonmal Bd. 271, bei Jordan u. a.a.O. beschriebenen Maschine, und
zwar hier ohne irgendwie lästige Reibungswiderstände erreicht. Aber
die mit der durchaus stetigen ZehnerQbertragung und Teilprodukten-
bildung dort verbundene Art der Ablesung, bei welcher am Indexfinden
nicht immer der Anfang, sondern, dem rechts folgenden Teil der Zahl
entsprechend, eine g^^n das Ende des betreffenden ZifieminterralU zu
abweichende Stelle desselben lag, wie auch z. B. bei gewöhnlichen
Uhren der Stundenzeiger nicht immer bei der ganzen Stunde, sondern,
der Minutenzahl entsprechend, schon bei einer späteren Stelle steht,
schien vielen Reflektanten in der Hand eines weniger geübten Personals
als zu gefährlich trotz der damals zuerst eiugefQhrten automatischen
Kopierung, welche allerdings auch nicht ganz nach Wunsch gelungen
war, und schließlich bei sonst vorzaglicher Ausführung vom Verfertiger
Max Ott f ganz weggelassen wurde. Alle diese MißstÄnde sind bei
der nun zu beschreibenden Maschine, wie sie als Fortbildung von
D. R. P. 149564 tod der Firma H. Wetzer in Fronten hergestellt
wird, vermieden. Zur Herstellung der Teilprodukte benützen wir bei
ihr noch immer ein Paar sogen. Nürnberger Scheren a in Fig. 1 und
der die wirkliebe pultförmige Aufstellimg darstellenden Fig. 2, nur
künftig in der vereinfachten in Fig. 3 dargestellten Form, welche nur
10 statt 20 Stäben nötig hat. Wird in ihr der Punkt festgehalten,
and entfernt sich von diesem der Punkt 1 um eine die Multiplikator-
ziffer darstellende Strecke, so stetlen die gleichzeitigen Vergrößerungen
der Strecken 02, 03, ... 09 das Produkt aus dieser Ziffer in 2, 3, ... 9
dar. Das Gleiche gilt bei entsprechender Lage zweier koi^ruenter solcher
Scheren von den zu diesen Strecken parallelen Bewegungen der Quer-
stäbe tP, ff, . . . iP; welche einander gleich und parallel, den Scheren
durch Stifte an den Punkten 1 und 1, 2 und 2, ... 9 und 9 ang^liedert

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Ton Eduaru Sblliho.

sind, wie die Ansicht tod rechta in Fig. 1 zeigt, und a. &. 0. gesauer
beechrieben ist. DieBelben sollen senkrecht gegen die beiderseitigen

parallelen Strecken 09 liegen, in deren Richtung einer derselben, in der
vorli^^den Maschine der d^, durch einen an den festen Stäben b" ge-

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Neue H«thenmaBchiiie,

fährten Scbieber c Bich selbst parallel gefflbrt wird, mihr«nd der ana-
loge Queretab tP mit dem nnbeweglicben Gestell b fest verbtinden bleibt.
Zwischen nnbewegUchen, auch mit b bezeichneten den Stäben h' parallelen
Längsstäben werden der von rechts 1., 2., 3., ... MultipUkandeostelle

entsprechend Kapseln e', e*, <^, . . . geführt, welche, je nachdem die be-
treffende Unltiplikandenzider 0, I, 2, . . . oder 9 ist, mit dem Querstab
d", (i^, (/*, ... oder rf* so Terbimden werden sollen, daß sie deren Be-
wegungen mitmachen. Diese Kapseln haben nämlich je iO mit Ü, 1, ... 9

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Von KotTABO SüLUNS. S9

bezeichnete Stifte, in deren VerlÜngening bei der in Fig. 1 und 2 an-
genommenen NuUloge je ein Spalt in den Qnerstäben r/*, rf', ... (V
liegt, aodflß, wenn einer und nnr einer der 10 Stifte wie eine Taste
seiner Länge nacb in die Kapsel eingedrückt wird, und dann auf der
anderen Seite aus ihr hinaus und in den Spalt oder das betreffende
Loch des betreffenden Querstabs (^, d^, ... oder iP bineinr^^, dnrdi
diesen Stift die Kapsel gezwungen wird die Bewegung des Querstabs
mitzumachen, welche bei der dann folgenden Öffnung
der Scheren proportional 0, 1, . . . oder und der
gemeinsamen Multiplikatorziffer ist. Mit dem Ein-
drücken einea solchen Stiftes springt der vorher in
derselben Kapsel eingedrückt gewesene wieder zu-
rück, dies alles wie in meiner früheren Maschine.

Mit dem Schieber c ist ein Riegel c' in der
Art verbunden, daß er an ihm nach rechts und
links eine Strecke weit verschoben werden kann.
Die rechts and links ans der Maschine heraus-
ragenden Enden dieses Riegels sind mit Handhaben
versehen für die die Maschine treibende Hand,
welche allein oder mit der anderen zusammen den
Riegel auch ihm selbst parallel in der Richtung
der Stabe h" rerschiebea und hierdurch dem
Schieber c die verlauft Bewegung mitteilen kann.
Zur Abmessung dieser Bew^ung dient ein vier-
kantiger fester den Stäben i" paralleler Stab b\ in
welchen 11 Nuten eingefräBt sind in gleichen Ab-
ständen (von in der vorliegenden Maschine 18 mm).
Um 1, 2, ... oder 9mal diesen Abstand hat sich
der Schieber c nach hinten oben zu bewegen,
wenn der durch die Kapseln eingesetzte Multiplikand mit 1, ä, . . .
oder 9 multipliziert werden soll. Gleichzeitig geht dann der am Quer-
stab (f* befestigte Zeiger B auf der rechts vom gelegenen Skala A
von dem Punkt, bei welchem in der rechten mit Jl/ (Multiplikation)
bezeichneten Zifferreihe die steht, auf den mit 1, 2, ... 9 bezeichneten
Punkt fort.

Während die bisherigen Rechenmaschinen die irgendwie gebildeten
Teilprodnkte je anf einen Zifferträger übertrugen, welcher, kreisfürmig,
nur in sich zurücklaufend bis 9 angab, und sprungweise oder stetig
mit jedem Durchlaufen dieser 10 Ziffern einen Fortgang des links
folgenden Zifferti^ers um t bewirkte, zerlegt sich in der hier zu be-
schreibenden Maschine von selbst jedes Teilprodnkt in einen durch 10

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90 Neue RechennuBcliine.

teilbaren Teil und einen positiren oder negativeD einzifl&igen Rest.
Dieser Raet geht auf den unmittelbar zugehörigen Zifierträger aber und
bestimmt sich so, daß dieser Ziffertrnger weder 9 noch zu überschreiten
braucht, und der Faktor von 10 in dem wideren Teil geht unmittelbar
auf den links folgenden ZLSertri^r über. Diese Einrichtong ermöglicht
den Gebrauch Ton Zifferstäben statt Zifferrädem, womit unter anderem
auch die Einrichtung automatischer Kopierung .erleichtert wird, und
leistet automatisch, was für bloße Addition und Subtraktion und mit
bewußter Unterscheidung zweier FäUe der von D'Oeagne (Le calcnl
simplifie, 1" ed. p. 6) beschriebene Apparat Ton Troncet leistet.

Entsprechend einer Äußerung ron Leibniz, welcher im Brief an
TschirnhauB, März 1694, eine Maschine sine rotis als wünschenswert
erklärt (Werke, herausgeg. you Gerhardt) wähle ich hier für die
zweierlei Maschinenelemente ron doppelter Bewegung, welche zu den
genannten Übertmgangen für jede Stelle nötig sind, zwei Storchschnäbel
wie, Fig. 1, den rechten Ci)'£'i^ und den linken mit den nur in der
Zeichnung zur Unterscheidung breiter angenommenen Stäben G^, B},
P, K}. Die Stifte h°, i', m', liegen immer in einer Ebene, die Mittel-
punkte der tu Fig. 1 sie darstellenden Kreise in einer Geraden, und
das Teilungsverhältnis r, — i, welches ich im allgemeinen mit ß be-
zeichne, ist konstant, in Fig. 1 gleich f. Das Analoge gilt von den
Stiften, beziehungsweise Punkten i', Ä', A;' im linken Storchschnabel,
dessen Stift h^ bei der angenommenen Lage in der Verlagerung des
Stiftes h" liegt, also in Fig. 1 verdeckt ist. Das sonst mit y bezeichnete
konstante Teilungsverhältnis .,, , ist hier — ". Mit je um 1 vei^ößerten
Indexen gilt das Gesagte auch je für die links folgenden Stellen, ab-
gesehen davon, daß Stift h^ allein am Gestell b fest ist wie auch der
dem k* analoge Stift in dem links letzten, dem G^IFI'K^ analogen
StfirchBchnabel am Gestell b fest ist. Die Stäbe und Stifte der links
auf das erste folgenden Storchscbnabetpaare sind bei der in Fig. 1 an-
genommenen Nulllage von den ei-sl^enannten gedeckt. Die Stifte m',
m*, m\ . . . sind in Schiebern »', n*, »',... fest, welche an festen den
Leitungsstäben b" parallelen Stäben gleiten können, ebenso sind die Stifte
k', h*, A', ... an Zackenstäben (?', (^, ^, . . ■ fest, welche ebenfalls au
zu den erst^nannten parallelen, am Gestell h festen Stäben gleiten
können. Durch die Stifte W und m*, h^ und m' usw. sind auch den
Stiften it*, lc\ usw. ihre W^e gewiesen, ebenfalls parallel den Stäben &",
dann durch die Stifte A' und h\ h* und h* usw. den Stiften i', i* usw.,
durch welche die Stäbe H^, H\ . . . den Kapseln e\ e*, . . , ai^^liedert
sind. Für den Fall, daß infolge kleiner Yerbiegungen oder sonstiger

Dql,.eJb.G00«^IC

Von £duird Sbllino. 91

Ungenanigkeiten die hiermit gegebenen zweierlei Fdlirtiiigeti der Stift«
i\ )*,... nic^t absolut genau übereinstimmen und dadurch Klemmungen
entst^ea sollten, ist senkrecltt auf die Führung den Stiften i', i*, ...
oder scboD den Kapseln e\ e*, . . . ein minimaler Spielraum frei gelassen.

Bleibt der Zackenstab g\ also auch der Stift k^, unbewegt, so ist
in der ersten Stelle nur eine Seweffungsart möglich, welche icb die
erste nenne. Mit der Bewegung der Kapsel e^ um eine W^einheit
(^mm) rerbindet sich dann die (1 — ^)fache, also bei dem angenommenen
Wert ** von y entg^engesetzt gerichtete Bewegung des Stiftes A', welcher
die zwei Storchschnäbel der ersten Stelle miteinander verbindet, durch
dessen Bewegung um 1 — y also eine Bew^ung des Stiftes m^ und Schiebers
n' nm ~-ß-_^, , wofür ich die Bezeiclmiuig « gebrauche, bewirkt wird.
Der Schieber «* besitzt nun einen nach oben vom abstehenden Zahn,
der zum Eingriff in die Verzahnung an dem Zifferstab /"*, wie in Fig. 2
angenommen, oder f*, f^, . . . bestimmt ist. Diese in einem seitlich
versdiiebbafen Rahmen f parallel den Stäben 6" geführten Zifferstäbe
tragen in Abständen von a Wegeinheiten, hier also von | - \ mm von
vom unten nach hinten oben fortlaufend die Ziffern 0, 1, ... 9 zur
Ablesung an der hinteren Kante der Platte f° am Rahmen /', bei
welcher in Fig. 1 die Ziffer 4 steht, und in der Verlängerung der Ziffer-
stäbe nach hinten oben sind in gleichem Abständen uochmals die gleichen
Ziffern aus weichem Kautschuk zur Kopierung angebracht Durch Be-
wegungen der ersten Art, gleichzeitig analog in allen Stellen mit der
Bewegung des Schiebers c verbunden, könnten also alle Teilprodukte
aus demselben Multiplikator gleichzeitig je zu den vorher durch die
Zifferstäbe f^, f,... dai^estellten Ziffern addiert oder von ihnen sub-
trahiert werden, könnte also das Produkt aus dem ganzen vielzif&igen
Mtdtipükanden in eine Multiplikatorziffer addiert oder subtrahiert werden,
wenn dabei auf den Zifferstäben nicht die 9 oder die überschritten
werden müßte.

Wenn dagegen Schieber n' mit Stift m' unbewegt bleibt, oder doch
von seiner Bewegnng abgesehen wird, so verbindet eich mit der Be-
wegung des Stiftes i^ die eweite Beiveguttgsart. Der Fort^ai^ von i*
um je eine der genannten Wegeinheiten (von 2| mm) bewirkt dann,
da auch k^ dann als ruhend anznnehmen ist, den Fortgang des Stiftes

Ä' and Zaokenstabes g^ um , (hier 2\ ■ *gmm), imd dieser, wenn

auch Stift h* als ruhend angenommen wird, den Fortgang des Stiftes
m\ Schiebers n* und des dem Obigen analog von diesem mitgenommenen
Zifferstabes p nm -- — ■ -_ . , (hier um 2{ ■ ,( ■ j", mm). Die Anpassung

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■J2 Nene Rech eomMcb ine.

an das Dezimalsystem erfordert nun, daß diese QrÖSe y^^o der

10. TeU der oben för /' gefundenen -1^1"' ä«£ aleo ß • y =• 10 wi,
Bodaß a, das Verhältnis der Ziffemabstiuide zu der Wegeinheit der
Kapseln, die Vergrößerung, = -g^ , (hier = — |) wird. Die Abstünde
der Zacken an den Zackenstäben g^, g*, ... sind so gewählt, daß bei
der zweiten Bew^ongsart dem Fortgang eines Stiftes wie t' um 10 W^-
einheiten, also dem (hier entg^engesetzten) Fortgang des zugehörigen
Zifferetabes wie /^ um einen ZiBerabstand der Fortgang des Zacken-
stabes g^ um einen Zackenabstand entspricht. Durch solche Bewegungen
zweiter Art kann der Faktor von 10 in einem durch 10 teilbaren Teil
des rechts ersten Teilprodukts unmittelbar auf den rechts zweiten Ziffer-
stah Dbertn^eu werden; und das Analoge gilt fQr je zwei benachbarte
folgende Stellen.

Eine dritte Bewegungsari, bei welcher der Stift t', also die Kapsel
v'- unbewegt bleibt, läßt sich als zusammengesetzt ansehen aus einer
Bewegung der ersten Art mit einer der zweiten, bei welcher die Kapsel
e' mit Stift i' wieder um ebensoviel zurQckgeht Die Bewegung des
Stiftes m' und des Tom Schieber n* tni^enommeneu Zifferstabea, etwa
/', ist dann en^egengesetzt gerichtet und lOm^ so groß als die des
Stiftes m', Schiebers »' und des von diesem mitgenommenen Ziffersttibes.
Diese dritte Bewegungsart, welche natQrlich nicht mit Bewußtsein ein-
geleitet zu werden braucht, sondera im Bedarfsfall von selbst eintreten muß,
dient dazu, Bruchteile von ZifFerab ständen. Zehntel derselben, um welche
bei der zweiten Bewe^ungsart der Weg des Zifferstabea /* von einer
ganzen Zahl abweichen kann, auf einen ganzen Zifferabstand zu er-
gänzen oder durch ROckbew^^ng zu beseitigen, je nachdem nämlich
in dem einen oder dem anderen Fall Stab /'' durch die entgegengesetzte
zehnfache Bewegung von einer der Ziffern 0, 1, . . . 9 wieder auf eine
derselben kommen kann. Da bei der zweiten wie auch der dritten Be-
wegungsart die ganze oder gebrochene Zahl von Zifferintervallen, um
welche im angenommenen Beispiel Stab /** fortgeht, mit der Zahl von
Zackenabständen übereinstimmt, um welche dabei in entgegengesetzter
Richtung Stab y' fortgeht, so kann der natui^emäße Wunsch, daß
schließlich alle ZifferstÄbe nnr um ganze Anzahlen von Zifferintervallen
fortgegangen sind, dadurch erfüllt werden, daß man bewirkt, daß bei
beiden BeVegungen zusammen, welche übrigens nicht nur nacheinander,
sondern auch gleichzeitig stattfinden können, die Zahl der Zackenabstände,
um welche Stab g^ fortgegangen ist, eine ganze wird. Da bei der
dritten Bewegungsart der Schieber c, also die Kapseln e', e*, . . . und

db/GoogIc

Ton Edu«bd Srlliho. 93

Stifte I*, t*, . . . ruhen, und dal ffir die erste Stelle Beschriebene ebenso
für die folgenden gilt, so muB fQr diese Bewegungsort noch eine be-
sondere, und zwar am besten eine jederzeit bereite Kraft mitwirken,
welche antomatisch im Bedarfsfall ausgelöst wird. Bei der Torliegenden
AosfUhrung ist dazu einfach die Schwere der ohnehin nötigen Maschinen-
teile gewählt. Dadurch, daß man dieselben nicht senkrecht fallen,
sondern in geneigten Richtungen gleiten läßt, wird die sonst zu lästigen
und schädlichen Stößen führende Geschwindigkeit gemildert und die
bequeme pultformige Aufstellung ermöglicht.

Zar Vermeidung nnnStigen Hin- und Hei^ehens der Zitferstäbe,
oUDÖtigen Ausrdckeus und WiedereinfaUens der die Zackeastäbe g*, .9', . . .
arretierenden Sperrhaken 2*, P, . . ., sowie dazu, daß man nicht für
Addition und Subtraktion der Teilprodnkte zweierlei die Zackenstäbe
ff', g', ... nach entgegengesetzten Richtungen hin sperrende Sperrhaken
nötig hat, dient noch eine vierte Betoegwngsart , bei welcher die Stifte
m', »«', . . . unbewegt bleiben, wie bei der ersten die A', h*, . . ., bei
der zweiten die k', k*, . . ., bei der dritten die t', i*, . . . unbewegt blieben.
Bei der Division könnte auf diese vierte Bewegungsart verzichtet werden,
weil die eingefflhrten Speirhaken /*, P, . . . unmittelbar die bei der
Subtraktion nöt^en Sperrungen ausführen, nicht aber bei der Multipli-
kation, wenn man nicht noch eine zweite Art von Sperrhaken einführt.
Ich beschränke mich nun hier darauf, das Verfahren mit Benützung
dieser vierten Bewegungsart zu beschreiben.

Bei der Multiplikation des eingesetzten Multiplikanden mit einer
Ziffer, zmüohst etwa der Einerziffer des Multiplikators, samt Addition
dee Produktes zu der durch die anfänglichen SteUnngen der Zifferstäbe
/*', f*, ■ . . dargestellten Zahl sollen die Zähne an den Schiebern n*, n',
«*,... in die Verzahnungen Mi den Zifferstöben /"', p, f*, , , . eingreifen
und ist der Schieber c mittels des Ri^els c', von der in Fig. 1 und 2
dargestellten Nnlll^^ aus nach hinten oben zu verschieben, bis der am
Querstab <f befestigte Zeiger B auf den der Maltiplikatorziffer ent-
sprecbendm Punkt der Skala A deutet, worauf der Ri^el c> in die
entsprechende Nute des Stabes b* einschl^en kann. Durch diese Be-
wegung des Schiebers c ist zwar die Bewegung der Kapseln e', e', e*, . . .
und Stifte 1', P, P, . . ., nicht aber die der Zifferstäbe vollständig be-
stimmt. Denn, da Bewegui^en der Zackenslübe g^, g*, </",... nach
oben hinten dnrch die Sperrhaken /', P, P, . . . nicht gehindert werden,
bleiben Bewegungen der zweiten Art neben oder anstatt Bewegungen
der ersten Art noch möglich. Es ist ntm am Gestell b am zwei hori-
zontale Zapfen wie M" drehbar ein Rahmen M angebracht und sind
auf den horizontalen runden Querstab p desselben in den gleichen Gnt-

db/G00«^Ic

94 Neue KechenmuchiDe.

fenrnngen (12 mm) wie die Kapseln e\ e*, . . . nnd Zifferstäbe f\ P, ■ ■ •
entsprechend durchlochte St&bchen P', F*, . . . aufgesteckt, welche nach
Bedarf durch Drehung um denselben in zweierlei Li^en, eine wirksame,
wie in Fig. 1, 2 die P' bis P" oder die unwirksame wie in Fig. 1, 2
die P", P", P'* gebracht werden können. In der wirksamen L^^
gleitet ihr hinterer Rand, wenn der Rahmen M nach hinten oben ge-
dreht wird, auf der schon genannten am Rahmen f festen Platte /",
welche für jeden der Zifferstäbe /"', /■*,... je einen Spalt besitzt, durch
den ein am vorderen Ende dieses ZiSerstabes befestigter Stift hindurch-
geht. Mittels dieses Sti^s wird dann durch das wirksame Stäbchen
der betreffende Zifferstab, wie er auch vorher gestanden sein mag, in
seine Nullstellung geschoben, was eine Bewegung der dritten Art in
jeder Stelle ergibt. Dann wird er in dieser Stellung gehalten, bis die
Bewegung des Schiebers c nach hinten oben vollende ist, mit welcher
sieh Bewegungen der Stifte i', i*, . . ., A', A*, . . ., A', fc*, . . . von der
vierten Art verbinden, wie sie anfangs auch gleichzeitig mit den eben-
genannten Bewegungen der dritten Art stattfaudeo. Bewirkt wird näm-
lich die Drehung des Rahmens M nach oben hinten schon mittels der
Bewegung des Schiebers c um das erste Nutenintervall, während welchu'
der Rahmen mittels eines beim Wiedervoigehen unwirksamen Sperr-
kegels von einem Ansatz des Riegels mitgenommen wird. Bis zur Er-
reichung der beschriebenen Endlage wird dann der Rahmen M von
einer Sperrfeder s festgehalten, sodaß die auf null geschobenen Ziffer-
stÄbe zunächst nicht wieder hinabsinken können.

Von den Stiften ilr*, k*, ... werden an ihnen feste, ebenso benannte
kleine runde Scheibcheu getragen, an welchen bei der in Fig. 1 und 2
dargestellte» Anfangsh^ der sonst auf dem festen Stab b* gleitende
Querstab des Rahmens Q anliegt. Dieser Rahmen Q ist an den Rahmen M
angegliedert, der um zwei am Gestell b feste Zapfen wie r etwas dreh-
bar ist. Die soeben beBchriebenen Bew^^ungen der dritten und vierten
Art konnten durch diesen Querstab nicht gehindert werden, weil bei
ihnen die direkt erzwungenen Bewegungen der Stifte n*, n*, ... und
t*, 1^, . . . nur nach hinten oben gingen und ebenso gerichtete Bew^ungen
der Stäbe g\ g\ ... nicht gehindert waren. Eben deshalb n^ren aber
auch die beschriebenen Bewegui^en dieselben geblieben, wenn während
derselben der Queratab mit dem Rahmen E nach vom unten ausgewichen
wäre. Dies maß non geschehen, wenn nach Erreichung der der Mul-
tiplikatorziffer entsprechenden Endlage des Schiebers c der Riegel c*
nach links geschoben wird, sodaß er in die Nute eintritt, und mit einem
nach oben gehenden Ansatz die Sperrfeder s ausrückt, oder, wie in
Fig. 1 und 2 einen Ober dem Stab b' liegenden um einen festen

DigitizedbyGoOgIC

Von Eddabd SsLLiMa. 96

Zapfen an Beinern vorderen Ende drehbaren, durch die schief laufende
Feder t^ noch rechte gedruckten Stab t nach links dreht, womit zagleich
durch den auf Stab t feststehenden Pfosten t* die Sperrfeder s aus-
gerückt wird. Der Rahmen M, der Wirkm^ der Schwere überlassen,
wird dann nach vom unten wieder in seine ursprüngliche Lage gehen.
Dann kSnnen auch die Zifferstäbe /'', f,... mit den Schiebern n', n^, . . .
der Wirkung der Schwere folgen. Die auf Null geschoben gewesenen
werden so weit nach vom unten gehen, bis die zugehörigen in derselben
Richtung gebenden Zackenatäbe g*, g', . • . je von dem aufli^enden
durch seine Schwere nach unten getriebenen Sperrhaken l^, P, . . . am
i^bsten Zacken gehemmt werden. Nicht auf Null geschoben gewesene
der ZiSerstäbe können dabei auch durch die rechts vorausgehenden mit
dem zehnfachen Moment sieb senkenden um einen Bmchteil eines ZifiFer-
abstandes gehoben werden. Die sämtlichen Zifferstäbe stellen sich so
genau auf eine der Ziffern 0, 1, ... 9, und diese Ziffern geben die ge-
suchte Summe der vorher eingesetzt gewesenen Zahl und des gebildeten
Produkts ans dem eingesetzten Multiplikanden und der Multiplikato]>
Ziffer. Denn, wie beschrieben, lassen sich die stattgehabten Bewegungen
der diitten und vierten Art als aus Bewegungen der ersten und zweiten
Art zusammengesetzt ansehen. Bei der Gesamtheit der dann anzu-
nehmenden Bew^ungen der zweiten Art sind aber die Zackenstäbe </*,
ff', . ■ . nur um ganze Anzahlen von Zackenabständeu, also die Ziäer-
atäb« f^, P, ■ ■ ■ nur um ganze Anzahlen von Zifferabständen fortgegangen,
entsprechend Vielfachen von 10 in dem rechts 1., 2., ... Teilprodukt,
und die den positiven oder negativen Resten dieser Teilprodukte ent-
sprechenden Bewegungen erster Art bei den Zifferetäben /*', /"*, ...
betragen auch nur ganze Anzahlen von Zifferabatänden. Die Anzahl
der ZifferabstÄnde, um welche ein Zifferstah /'', p, . . . zuletzt von
nach vom sinkt, kann nicht 10 erreichen, weil damit ein Voreinken
des Zackenstabes ^', g*, . . ■ um ein ganzes Zackenintervall verbunden
wäre und dies als unmöglich daraus erkannt wird, daß dann der Zacken-
stab schon weiter oben wäre festgehalten worden.

Es ist nun noch von der Beseitigung eines Fehlers zu sprechen,
welcher bei dem beschriebenen Verfahren sich einstellen könnte. Wenn
z. B. bei der richtigen Endlage /"', /'* und p auf 9 zu stdien kommen
sollen, so kaim man sich die Gesamtlage, bei welcher sie noch auf
standen, auch ans dieser Endlage durch solche Verschiebungen dieser
Zifferstäbe von 9 auf entstanden denken, bei welchen die Stifte i', >'*, i'
nnbew^ bleiben. Durch die Verschiebung des Stabes /"' von 9 auf
wird nun aber nicht nur Stab g^ um 0,9 Zackenabstände in derselben
Richtung verschoben, sondem, insoweit /'* und p rahen, auch Stab g'

Digiti

:dbyGOO«^IC _

96 Neu«) BecheniuMcbine.

utn 0,09 und iStab ^ am Ü,(X>9 Zackenabatände. Kommt tiaza darnach
oder gleichzeitig noch die Verschiebung deB Stabea f* von 9 auf 0, so
gehen <^ und g* um weitere 0,9, beziehuDgaweiee 0,09 ZackenahstSnde
in derselben Richtung fort und die Verschiebung des Stabes f* von 9
auf bewirkt noch einen dritten Fortgang des Stabes (/* um 0,9
Zackenabstände, sodoB also im ganzen /'*, /' und f^ um beziehungsweise
0,9; 0,99 und 0,999 Zackenabstände nach hinten oben gegaI^;en sind.
So genau läflt sich aber der MechanismuB nicht herstellen, daß nicht
der Erfolg so werden könnte als wenu hier 1 an Stelle von 0,999 stünde
und selbst bei 0,99 bestände die gleiche Gefahr, sod&B dann also f*
von der Stellung auf nicht herabsinken könnte, weil Stab y* Hilseb-
lich oben surilc^j^balten wfirde. Daß die Abweichung nicht ein volles
Zehntel des Zackenabstandes betragen kann, also im angenommenen
Beispiel nicht auch die Stäbe g^ und /'' fälschlich oben gehatten werden
können, ist d^egen leicht sicher zu erreichen. Um auch in den anderen
Fällen Abhilfe zu schaffen, gibt man je dem Sperrhaken /', V, . . .
außer dem den Stäben b" nahe parallelen die sperrende Kante tragenden
Arm noch einen zu diesem senkrechten, nach vorn oben abstehenden
und macht man die Zifferstäbe p,f*, ... wy lang daß, wenn sie die
Stellung auf nach hinten oben zu um einen kleinen Bruchteil S eines
Ziiferab Standes überschreiteo, sie an den genannten zweiten Arm eines
Sperrhebels wie f*, Z', ... anstoßen, die geeignete L^e des Rahmens f
vorausgesetzt, und daß sie bei einer solchen Überschreitung der um
einen gewissen größeren Bruchteil t eines Zifferabstandes die Ausrückong
des Sperrhebels vollenden. Wenn dann im angenommenen Beispiel
Stab p beim Wiedervor&llen des Rahmens M von auf 9 vorgleitet,
während infolge der fälschlichen Sperrung des Stabes </', also auch des
Stiftes h^ nicht auch Stift ni' mit Schieber n* und Stab f* vorgleiten
können, so bewirkt das Voi^leiten des Stabea g^ mit dem Stifl h* eine
Bewegung des Schiebers w* mit dem Stab f* nach oben hinten. Diese
Bew^ung wllrde im angenommenen Beispiel bis zu 0,9 Zifferabständen
reichen, wenn nicht schon bei dem kleineren Betr^ von c Zifferab-
ständen der Sperrhaken ?* durch den Stab f* angerückt würde, worauf
auch die Stäbe g^ und /"* wieder voreinken, der j;* um den ganzen
Zackenabstand, um den er fälschlicherweise anstatt um 0,99 desselben
gehoben worden war. Der Stab p geht nun mit dem Vorsinken des
Stabes g^ zunächst wieder in die Nulllage vor und mit dem Siuken desselben
um die ferneren 0,9 Zifterabstände vollends von auf 9. Mit dieser
Bewegung des Stabes /*' von auf 9 verbindet sich wieder, wenn auch
Stab (/* fälschlich gesperrt war, um 1 statt 0,999 Zackenabstände nach
hinten oben gegangen war, ein Fortgang des Stabes f* von ins

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Ton GdDARD äRLLIMa. 97

Kegatire, und wenn dieser For^jan^ auch nur e statt. 0,9 Zackeii-
»batände betragen bat, wird auch der Sperrhebel P ausgerfickt, und
geht Stab g' bis zum uächateu Zacken weiter vor, f von auf 9.
Daa Entsprechende gilt ebenso, wenn noch mehr als 3 benacbbaite
Stellen mit 9 besetzt sein sollen, Bei den Ziffern H, 7, ... 1 kommt
diese Schwierigkeit nicht vor. Bei aber kann die entgegengesetzte
Schwierigkeit vorkommen, daß ein Zacken eines Stabes g^, g*, ... bei
seiner Verschiebung nach hinten oben von dem betreffenden Sperrhaken
nicht mehr gefaßt wird, während er gefaßt werden eollte, daß er etwa
nur um 0,999 oder nur um 0,99 eines Zackenabstandes anstatt um
einen ganzen Terscboben worden ist. Diese Qefabr kann man dadurch
baseitigan, daß man die durch die Stäbchen P', P*, , . . auf zu
sebiebenden Zifferstäbe zunächst noch um einen kleinen Bruchteil d
eines Zifferabstandes weiter schiebt, indem man den Rahmen M stoß-
weise hebt.

Nachdem in der beschriebenen Weise das Produkt addiert ist,
mQBsen die Scheren, Kapseln und Storchschnäbel wieder in die Anfangs-
lage znrOckgebracbt werden, während die Zifferst&be ihre Lage im ßalunen f
behalten. Zu diesem Zweck zieht mau den Riegel c* wieder nach rechta,
sodaß er ans der Nute heraustritt. Mit dieser Verschiebung des Riegels c*
nach rechts verbindet sich nun in naheliegender einfacher, in den Figuren
aber nicht ersichtlich gemachter Weise eine Verschiebung des Rahmens f
nach links am den halben Abstand der Zifferstäbe (um 6 mm), wodurch
bewirkt wird, daß der Eingriff der Zähne an den Schiebern n*, n*, ...
in die Zifferstäbe {^, f*, . . . aufhört, wogegen andere seitlich zugeschärfte
an einem Querstab u in den gleichen Entfernungen (lamm) wie die
Zifferstäbe angebrachte Zahne seitlich in die Verzahnung der Zifferstäbe
eintreten und nicht nur eine Verstellung derselben verhindern, sondern
sc^ar kleine eiorai kleinen Bruchteil eines mit dem Zifferabatand (^ßb mm)
natSrlich flbereinstimmenden Zahnabstandes betn^ende Abweichungen
korrigieren, sodaß sich diese nicht im Lauf der länger fortgesetzten
Rechnung anhänfen können. Der Stab u ist ftlr gewöhnlich in seiner
Stelle dnrch eine Feder gehalten, kann jedoch mit Überwindung der-
selben um einen halben Stellenabstand nach links geschoben werden,
Bodaß seine Zähne genan hinter denen der Sdiieber n^, n*, ... liegen
und die ZifferstShe frei bewegt werden, insbesondere alle zugleich durch
den Rahmen M anf gestellt werden können. Damit, während die
Zifferstäbe durch Stab u festgehalten werden und die Kapseln e', e*, ...
mit dem Schieber e wieder in die Anfangsl^e, wie in Fig. 1 und 3
vorgeschoben werden, auch die durch ihre eigene und die Schwere der
Schieber n', n*, . . . getriebenen Stäbe g*, g\ ■ ■ ■ ungehindert vorsinken

ZMtHtutft r. MalhmiMk n. Ptuflk. M. Baal l*M. I.Hsfl T ,--^ t

Dql,.eJb.Cj.OO«^IC

gg Nene B«chenraaaciiine.

können, müssen die Sperrhaken ü', P, . . . ssmtlich ansgerückt werden,
was sich in einfacher Weise direkt mit der seitlichen VerBchiebnug
des Rahmena f verbinden \»it, wie es in Fig. 1 nnd 2 dai^estellt und
auch dann möglich ist, wenn die seitliehe Verschiebnng des R»hmens f
unabhängig vom Riegel c^ direkt mit der Hand ausgeführt wird. Die
Querstäbe T und ü bilden mit zwei Paaren von Stäben wie Iß und V*
einen starren Körper, welcher um dieselbe Achse wie die Sperrhaken
drehbar ist. An den vom Stab T nach vom abstehendan stumpfen
Keil r* drückt bei der geschilderten Zwischenlage des Rahmens f das
abgerundete hintere Ende von je einem der FühnmgsslAbe der Ziffer-
stäbe f*, P, . . ., and der dann mit dem Stab T nach hinten gedrflckte
Stab JJ nimmt die oberen Arme der sämtlichen Sperrhaken mit.

Während ntm die Zifferstäbe an&er Eingriff mit den Schiebern
m', «*,... sind, zum B^inn oder während der Wiedervorbew^nng des
Schiebers c muß der Qnerstab des Rahmens Q wieder nach hinten oben
in die Lage wie in Fig. 1 und 2 gebracht werden, sodaß dann unter
Mitwirkung der Schwere anch die Scheibchen und Stifte ¥, i*, . . ., also
auch die Zackenstöbe g*,^, ■ . ■ mit den Kapseln e*, ^, ■ ■ •, schließlich
wieder ihre ursprüngliche Lage annehmen. Dies geschieht bei der in
Fig. 1 und 2 dargestellten AusfQhmngsform erst im letiten Teil der
Yorbewegnng des Schiebers c, während der Zeiger B an der Skala A
von 1 auf geht, dadurch daß der Riegel c' beiderseits an untere
Fortsetznngen des Rahmens R stößt und dieselben mitnimmt Die
genaue Endlage des RahmeiiB R wird dabei durch Stellschrauben wie r*
reguliert.

Das bisher speziell Beschriebene bezog sich auf die Multiplikation
mit der rechts äußersten Ziffer, si^^n wir der Einerziffer des Multipli-
kators. Bei dem in den Schulen üblichen Verfahren wird erst mit der
Einer-, dann der Zehner-, dann der Himderterziffer usw. multipliziert.
Dies wäre hier ebenso möglich, es empfiehlt sich aber der Analogie
mit der Division wegen und behnfs sokzeBsiver Näherung mehr die
umgekehrte Reihenfolge. War z. B. mit der Hunderterziffer zu mul-
tipUzieren, so hatte man die Schieber n\ n\ . . . nicht^ wie bisher geea,^
mit den Zifferstäben /"', p,..., sondern mit den /*', /**,■-- in Eingriff
zu bringen, während die /"' und f* mit einer Leiste im Eingriff sind,
welche eine Fortsetzung des Stabes u nach rechts bildet. Nach der
beschriebenen Bewegung des Riegels c' nach hinten oben und nach
links, mit welcher die Multiplikation mit der Hunderterziffer vollendet
war, und der darauf gefolgteu Bew^^ng nach rechte und nach vorn
unten ist dann der Schieber c wieder in seiner ursprünglichen L^e,
und hierauf soll wieder eine Verschiebung des Rahmens f nach links

ngt.zedb.GoOglC

Von Bduabd SelliMs. 99

am einen halben Stellenabstand (nm 6 mm) folgen, durch welche dann
die ZiffentSbe f*,p . . . mit den Schiebern «', n*, . ■ ■ in Eingriff ge-
bracht werden, deren Zähne deshalb aucb seitlich zugescbärft aind, und es
ist dann alles vorbereitet wie erst beschrieben, nur jetzt für die Mul-
tiplikation mit der Zehnerziffer usw. Obgleich der Schieber c bei seiner
vordersten Lage auf einen festen Anschlag trifft, ist doch im Stab 6'
aucb die Nute angebracht und soll in diese der Riegel c' einschl^n.
Uit seinem Wiederaustritt läßt sich dann die eben genannte zweite
saitliche Verschiebung des Rahmens f ebenso mechanisch verbinden
wie die oben genannte erste.

Zur Division ist natürlich der Dividend, wenn er sich nicht ohne-
hin durch unmittelbar Torausgf^ngene Rechnung ei|;eben hat, in die
Zifferstäbe / ', f*, . . . einznfUhren, entweder direkt mit der Hand oder
nach vorheriger durch den Rahmen M auszufflbrender Nullstellung
in der vorstehend beschriebenen Art nach Einsetzung in die Kapseln
e^, e*, . . . Darnach ist in diese Kapseln der Divisor einzusetzen und
ist, während die Zifferstäbe durch den Stab u gehalten, die Schieber
K*, n', . . . von ihnen &ei sind, der Riegel c' von der Nute zur Nute
10 zu schieben. Der Punkt der Skala A, bei welchem dann der
Zeiger B steht, ist in der linken fOr die Division (JD) bestimmten
Zahlenreibe dieser Skala mit bezeichnet, die in der Reihe M (Mul-
tiplikation) mit 9, 8, . . ., 1 bezeichneten Punkte aber mit 1, 2, . . ., 9.
Nachdem der Riegel (^ dann in die Nute 10 eingeschoben, wieder
herausgezogen und dadurch analog wie bei der Nute der Rahmen f
in die L^ gebracht worden ist, daß die Schieber n*, it*, . . . mit den
Zifferstäben P,f*,... oder P,f,... oder P,f\... usw. in Eingriff
sind, wenn die links erste Quotientenziffer etwa Einer oder Zehner
oder Hunderter usw. bedeutet, ist der Schieber c nach vom unten um
1, 3, . . . oder 9 Nntenabstände zu schieben, wenn diese hier erst zu
suchende Quotientenziffer 1, 2, . . . oder 9 werden soll. Schon bei der
vorbeschriebenen Schiebung des Riegels c^ zur Nute 10 ist der Rahmen
R entweder durch Druck auf seinen Seitenarm Ü' in seiner Lage er-
halten oder, wie bei jeder anderen Schiebung zur Nute 10 wieder in
die Lage wie in Fig. 1 und 2 gebracht worden. Der Ri^el dreht
nämlich beim Übergang von Nute 9 zu Nute 10 den einarmigen Hebel
A' nach hinten, und dieser nimmt durch das Band S^ den Rahmen R
im gleichen Drehungssinn mit. Da also die Stifte ¥, i^, . . . ihre L^e
beibehalten oder wieder gewonnen haben, waren die Bewegungen nur
von der zweiten Art, und, weil die von den Stiften i\ i', , . . zurflck-
gel^ten Anzahlen Ton Wegeinheiten durch 10 teilbar waren, beengen
die Wege der Zackenstäbe nur volle Zackenabsiände. Während dann der

Vi Google

100 Neue Recfaemnaachiiie.

Riegel c' wieder toq Nute 10 bis Nute 9 vorgebt^ wird der Rabmen R
wieder frei und bewirkt der Riegel wieder eine Hebung des Rahmens M,
durch welche, iuBoweit deesen Stäbchen P', J^, ... in ihre wirksame Lage
gebracht worden sind, die betreffenden Zifferstäbe, wie oben bei der
Multiplikation beachriebcn, auf Null geschoben werden. Würde z.B. der
DiTisor, dreiziörig, in c', e', <^ eingesetzt sein und der Dividend, sechs-
ziffrig, in p bis f*, und würde man erkennen, daß der Quotient zwischen
100 und 1000 läge, so würde man, während «', n*, n^ mit f*, f*, f* in
Eingriff wären, diese drei Zifferetäbe auf Null schieben und zugleich so
lange den Riegel c^ von einer Nute zur folgenden Tor^chieben, wie da-
bei nicht der Stab f* die Null überschreitet. Es ist dabei also kein
Kopfrechnen oder sonstiges Nachdenken, sondern lediglich ein Beobachten
des durch die stetig sich vernndemde Stellung des Stabes f^ dai^estallten
jeweiligen Restes nötig. Die genannte Hebung des Rahmens M wird
hier durch den Doppelhebel M} bewirkt Dieser ist nämlicfa tmten
mit einem Sperrkegel M^ versehen, welcher dem nach hinten gehenden
am Riegel c^ festen Ansatz i? ausweicht, von dem nach vom gehenden
aber die geeignete Strecke weit mitgenommen wird. Der obere Arm
des Doppelhebels M^ nimmt dann durch ein Band M} den Rahmen M
mit. Nach Ankunft hei der voi-stehend bestimmten Nnte wird dann
der Riegel c* nach links in die Nute eingestoßen. Hiermit wird wie
bei der Multiplikation der Rahmen M wieder frei, mit ihm sinken die
anf geschoben gewesenen Zifferstäbe nach vom nnten und mit ihnen
die Schieber »', »', n' und Stäbe g^,ff',S^, diese so weit, bis sie am
nächsten Zacken von den Sperrhebeln V, f, P gesperrt werden. Diese
Zackenstäbe g\ 9*, ^ muBten im allgemeinen schon gleichzeitig mit dem
Schieber c vorgehen, auch am mehr als nur einen Bruchteil eines
Zackenabstandes. Die Sperrhebel /',!*,/* werden jedoch dabei von seibat
im Bedarfsfall durch die betreffenden Zifferstäbe, hier f',f*,f^ ausgerückt.
Ist nämlich, z. B. Stab 9* gesperrt, iriihreud Stift 1* nach vom unten
geschoben wird, so muß im gewählten Beispiel Stab f von seiner Nnll-
lage aus mit Schieber »' nach hinten oben ins Negative gehen, bis er
dabei den Sperrhebel I' ausgerückt hat. Dann aber wird der Stab f
entweder bei langsamer Bewegung des Schiebers c durch die Schwere
wieder in die Nulll^e getrieben werdenr sodaß der Sperrhebel {* wieder
vorfällt und der Stab 9', MIs er so weit kommt, am nächsten Zacken
wieder gesperrt wird und bei noch weiterem Vorgehen des Schiebers c
das Gesagte sich wiederholt, oder es wird der Stab f^ zunächst bei
rascher Bewegung des. Schiebers c jenseits der Kulllage bleiben und den
Sperrhaken V ausgerückt erhalten, äußersten Falle bis der Schieber c
stillgehalten wird. Die Eudlage wird nach Senkung des Rahmens AI

itizedbyGoOgle

Von Eduard Sbluko. 101

immer die Reiche werden. Sollte sicli zeigen, daß wider Erwartea der
bleibende Keet noch größer als der Divisor ist, so bat man eiu&ch nm
eise Note weiter nacli toth mit dem Riegel c^ zu geben, sollte man
dagegen zu weit gegangen sein, in welchem Falle die ZehnerDbertragung
bis an das linke Ende forttiefe, so gebt man unter TOrübergehender
direkter Wiederhehung des Rahmens M wieder nm einen Natenabstand
nach hinten. Der links letzte Zifferstab soll nie links Ton allen
Schiebern n', n', . . . zu liegen kommen und soll nie durch ein Stäbchen
wie die P\ P\ . . . auf geschoben werden, weshalb bei ihm der Leit-
stifl nicht Über die Platte f heraosreichi Bei ihm soU die Zifferreihe
noch jenseits der auf — 1, — 2, . . . fortgesetzt sein, wofür zum Ab-
lesen und Abdrucken dieselben Zifferstängcben, nur umgedreht ver-
wendet werden können, sodaß sie \,z,... fdr — 1, — 3, . . . geben.

Auf den Zifferstaben /*', f, . . . sind die Ziffern 0, 1, . . ., 9 in Links-
lettem aus weichem Gummi weiter hinten wiederholt zu direkt mecha-
nischer Eopiemng der Summen oder Differenzen der Produkt«. Bei
Senkung des dem Rahmen f angegliederten Rahmens V mit den das
Papier v führenden Walzen und Querstäben geben ersichtlich die für
jeden Zifferstab einzeln vorhandenen farbgebenden Röllchen wie v' nach
hint^i und wird durch eine am Rahmen f feste Feder F* und das mit
der treibenden Walze verbundene Zackenrad dns Papier je um eine
Zeile fortgeschoben. Ein ähnlicher schftälerer auch mit dem Rahmen f
verbundener Apparat W, welcher immer links von den Kapseln e\ (?,...
bleibt, dient. hauptsächlich zur direkten Kopierung der Quotienten, deren
Ziffern er einzeln bei Senkung je nach ihrer Feststellung aufnimmt.
Die zugehörig« Skala w mit LinkeJettem aus weichem Gummi ist am
Qaerstab ^ befestigt. Für die Multiplikatoren, welche gegeben waren,
hat diese direkte Kopierung nur den Zweck nachtrSglicher Kontrolliemn^
wozu, wenn man nicht wie auf der Skala Ä noch eine zweite Ziffem-
reihe anbringen will, auch die für die Quotienten dienen kann, wenn
man 9, 8, . . ., 1 statt 1, 3, . . ., 9 liest. Zur Kontrolle der eingesetzten
Multiplikanden oder Divisoren könnte man ähnliche Letterstreifen vorn
mit den Kapseln e', e*, . . . verbinden, ebenfalls mit Zifferabständen von
2 Wegeinheiten (4| mm) und, wie ich schon in D.R.P. 49121 be-
schrieben, an der geeigneten Qnerlinie abdrucken, vrährend der Riegel c'
in die Nnte 2 eingeschlagen ist Ersatz für diese im abgebildeten
Exemplar weggfdassene Einrichtung kann eine besondere Übertragung
in die Stäbe /"', f*, ■ ■ ■ geben.

Die mitgeteilten Prinzipien, namentlich der Zehnerübertragnng,
lasten sich anch bei bloßen Additions- nnd Subtraktionsmaschinen ver-
wenden, .aacb bei denjenigan, auf weldie nach iler BoU^esohen Ein-

DigitizedbyGoOglC

102 Neue Bechenmuchüie. Voo Ei>nuD 8bu.u(o.

ricUnng die allgemeinen K«chen-
maschineD zurückkommen. Die mit
der Rückfdliruug der Zifferträger /*',
f*y ■ . ■ auf Null verbundenen Be-
w^pmgeu lassen Bich wie bei der
BorroDgbsBcIien AdditionsmoGcbine
aucli wieder zur Darstellung der
SnmmBn der somit ausgelöBchteo
Zahlen verwenden. Gleitende Be-
wegungen werden künftig mehrfach
durch rollende ersetzt.

Will man die Verdoppelung der
Storcbschnäbel ersparen, so bringt
man an den Stäben «', n', . . . nur
vom einen Stift m*, m*, ... an und
läßt ihren hinteren, den Zahn tra-
genden Teil traf Rollen aufliegen,
welche einer gemeinsamen quer durch-
laufenden Achse aufgesteckt sind.
Durch Heben und Senken dieser
Achse kommen die Zähne in und
aufier Eingriff mit den Zifferstäben.
Gleichzeitig senkt nnd hebt eich eine
querlanfende Leiste, welche in der
Zwischenzeit, insbesondere während
der seitlichen Verscbiebui^ in die
Zifferstäbe eingreift Ebenso läßt man
dann die hinteren Teile der Stäbe
(7*, g*t ■ ■ ■ auf Stiften gleiten, welche
von den I^ngsarmea der Hebel l\
l*, . . . seitlich abstehen und in
lÄngsspalte der Stäbe g^, g*, . . .
hineinreichen, deren Zacken sich nun
auf ihrer Unterseite befinden, und an
eine feste qnerlanfeode scharfkantige
Leist« anstoßen, solange nicht Stab
(/', g*, ■ ■ ■ durch Hebrf i', /*,.■■ aus-
gerückt wird.
Fig. 4 gibt fUr 7 — 2 eine Einrichtung, bei welcher die Stäbe
g^, g*y . ■ . und n^ n*, . . . frei durch die oberen, hier verdoppelten nnd
paarweise durch StÄngchen wie e^ miteinander verkuppelten Storch-

DigitizedbyGoOglC

Numeiuche Ber«cbi»ing der Etauptachsen ntw. Von C. Runsb. 103

Schnäbel getri^ea werden, die Stifte i\ i^, . . . wie bisher und die hier
je drei Stifte t', ifc', . . . darch ebenfalls mit k^, k\ . . . bezeichnete
X^gsatangen, welche auf je zwei Rollen Liegen, die sämtlich auf zwei
festfl Achsen b aufgesteckt sind.

Würzburg, im Dezember 1904.

Niunerische Berechnung der Hauptachsen einer Fläche
zweiter Ordnung.

Von C. Runge in Hannover.

Um bei einer quadratischen Form der drei rechtwinkligen Raum-
koordinaten durch bloBe Drehung des Koordinatensystems die drei
Produkte der Vei^derlichen wegzuschaffen, sodaß nur die quadratischen
Glieder übrig bleiben, kann man auf die folgende Weise ver&hren.

Es sei

ax' + by* + ce* + dyg + eex + fxy

die g^ebene qaadratische Form der rechtwinkligen Koordinaten x, y, g.
Dreht man nun das Koordinatensystem z. B. um die «-Achse, so bleibt
c ungeändert; o, 6, d, e, f dag^en ändern sich. Wenn man mit d', e', f
die neuen Werte tob d,e,f und mit a den Drebnngswinkel bezeichnet,
positiv in dem Sinne von der positiven x- zur positiven y-Achse ge-
rechnet, so ist:

- . „ , i\ ■ o d' — d cos« — c sine,
^ e=asmtt + e cos a

(demnach d'* + e'* ■• d* + e").

Wenn man nun den Drehimgswinkel so bestimmt, dafi f verschwindet,
so wird

d'* + e'* + r» - d'' + c'* = d» + e*.

Nun sei f dem absoluten Betrage nach größer oder ^wen^stens
nicht kleiner als d und e. Dann ist — '^— ^ f* und mithin

d^ + e' + rSI(rf' +
und somit

d» + e» + /'>|(d''+c'» +/-»}.

Wäre eine der beiden Größen d oder e gleich Null, z, B, e = 0,
so würde sogar d'' + e'* + f* — d'* + c'* — d* und daher

d' + e* + f*'^2d* und d* + (!> + f^2(d' + e'* + f).

Dql,.eJb.G00«^Ic

104 Nomeriache Berechnung der Banptecbeen einer Fl&che sweiter Ordnung.

Wiederholt man die Operation, indem man das Koordtnatensystem
jedesmal um eine solche anter den KoordinatenachBen dreht, äB& der
grSflte Ton den Koe^zienten der Produkte der Veränderlichen znm
Verschwinden gebracht wird, ao vermindert sieb fortgesetzt die Summe
der Quadrate dieser Koeffizienten, und zwar, da ron dem zweiten
Schritt an immer einer der Koeffizienten Null ist, so vermindert sich
die Summe der Qnadrate bei jedem Schritt mindestens anf die Hälfte.

Auf diese Weise bringt man es in kurzer Zeit dahin, daÖ die
Glieder, welche die Produkte der Veränderlichen enthatten, gegen die
quadratischen Glieder vemacbUasigt werden können. Nacb einem ge-
eigneten Schema rechnend kann mim die Rechnnng bequem und rasch
auafShren.

Wenn am die «-Achse gedreht werden soll, so wird der Drehungs-
winkel a, .den wir zwischen — 4ö** und -]- 45" voraussetzen können,
aus der Gleichung ~^\ = tg^a gewonnen, a > & voransgeeetzt, wird
dann

-firt« h'^h—f-h

= o + itg«,

^tga, d'—dcosa — esino, e'— rfsina + ecoso.

Da tg a dasselbe Zeichen wie f hat, so ist ü tg a immer positiv. Daraus
fo^, daß bei der Transformation die Größen a und b auseinander-
rücken. Vom zweiten Schritte an ist eine der beiden Größen c, d
gleich Null, sodaß sich die Ausdrücke von d' und c' entsprechend
vereinfachen.

Ich verfahre dabei nach dem folgenden Schema:

tgicc'

Wenn t>a ist, so lasse ich x uud y die Plätze tauschen, sodaß die
Kolonne für y* vor die von x* und die Kolonne fBr ex vor die für ye
tritt. Dann steht immer die positive Korrektur ^ tg o^ links, die negative
— ^iga rechts. Dreht man um eine der andern Achsen, so gilt das
analere Schema, dos ich nicht besonders hinzusetzen brauche.

Ein Beispiel wird neigen, wie leicht man zum Ziele gelangt. Ich
nehme dabei an, daß die Genauigkeit des Bedienschiebers ansrMcbt

D.git.zedb/GoOglC

'■

V-

-^

y^

..

«y

a

b

e

d

e

f

|%«

dmstt
— etma

dsina
ecos«

a

b'

e

d'

Von C. RuBOB.

X-

tf'

>■

jff ax

xy

7.06

4.98

2.9J
-1.60

1.99 ] 6.03

4.01 tg2«

1.60

1.76
-1.88

0.93
j 3.64

8.66
1.06 1

4.98
-1.06

137

_ ai2 [ 0.00
-011 \ -0.06

4.47 Ig 2«

9.71 I

1.37 I -0.11 1 -0.05 I 0.00

Die fönenden Scfaritta ändern die drei ersten ZaUen in den bingesdiriebenen
Ziffern nicht mehr. Denn der lüicfaete Schritt gibt tg2a = -g-i"' *'^
„-tga<C 0.003. Das Resultat der Transformation ist also, wenn man
die nenen Koordinaten wieder mit x, y, e bezeichnet:
9.71:c» + 3.92y»+ 1.373«.

Die Konvergenz des Verfahrens ist im allgemeinen sehr viel rascher
als es die Formel d* + e* -|- /"»^ 2(d'* + c'« + /"») vermaten läßt.
Sobald i^mlich die Koeffizienten- ff, e, f klein gegen die Unterschiede
von a, b, c werden, so wird die Korrektur ^ ^ « von zweiter Ordnung.
Zugleich wird der Drehongswinkel klein von der erst^L Ordnung, und
damit wird, wenn z. B. /' zum Verschwinden gebracht wird nnd e =
ist, der neue Wert von d sehr nahe gleich dem alten und der neue
Wert von e ebenfalls Ton zweiter Ordnung klein. Nach einem weiteren
Schritt mQssen also die beiden nicht verschwindenden unter den GrS&en
d, e, f mindestens von zweiter Ordnung klein sein.

Nachdem man die Koeffizienten der quadratischen Glieder auf
diese Weise gefanden hat, werden die Richtungen der neuen Ko-
ordinatenachsen am besten aus den bekannten linearen Gleichungen
geftmden: .

wo i. zur Beetimmung der Richtung der x-A.e\ae gleich dem gefundenen
Koeffizienten von a^ zu setzen ist usw. Zur ÄnsfÜhrnng der Rechnung
sind nor zwei von den drei Gleichungen erforderlich. Die dritt« kann
zur Kontrolle dienen. 9o erhält man z. B. fQr den oben berechneten
Fall zur Bestimmung der j;-Aclue

DigitizedbyGoOgIC

106

Neue Literatur über das Greiugebiet der Biometrie.

— 2.663: + 2.00ff + 8.02^ = 0,
2.00a: - 4.73y -|- 1.00* = 0,
3.02a! + l.OOy - 6.74/ - 0.
Die ersten beiden Gleicliangen geben

x:y:z— 16.3:8.7:8.6,
was anch der dritten Gleichung genügt.

Mir scheint die hier voi^schlagene Behandlung des Hauptachsen-
problems der F^hen zweiter Ordnung aus zwei Gründen sich zu
empfehlen. EreteOB ist die Rechnung einfacher als die direkte Anf-
löBong der Oleichung dritten Grades, von der die orthogonale Trans-
formation auf eine Summe von Quadraten algebraisch abhängt. Zweitens
ist das Verfahren aber auch theoretisch von Int«resBe. Denn Sa es die
drei Wurzeln der Gleichung liefert, eo enthält es zugleich einen neuen
Beweis dafür, daß die Wurzeln reell sind.

Wie man ohne weiteres erkennt, ist das Verfahren auch auf qua-
dratische Formen Ton beliebig vielen Veränderlichen anwendbar.
Hannover, im Mai 1904.

Nene Literatur tlber das Orenzge1)iet der Biomefoie.

Von F. LimwiG in Greiz.

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S, F. C. Baker, ßib Variation in
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Hypennerie bei Anielia annta. Arcb. f.
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tativo deg^i organiami e gli indici di
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Ul r

-100,

Angel GaÜardo. Interpretation
dinamica de la divisiön cellulai, Doktor-
diaaertation. Buenoa Airea 1908. 103 p.
6 Fig.

88, I. W. Harshberger. The Limits
of Variation in Plant«. Froc. Acad. Nat,
Sei. Philadelphia 1901. Lm p. 808—819.

84, W. A. Kellermann. Variation in
Syndeemon thalictroidsB. Ohio Natura-
liat. 1901, p. 101-111, PI 0.

86. J*'. LttAeig, Zur Biometrie von
Chrysanthemum segetum. Aus derFest-
achnft zu P. Aschenona siebzigstem Oa-
burtetwe. Berlin. Gebr. Born träger.
1904, XXV p. 296-801.

W. F. Ludwig. Die Mathematik im
Walde. Greizer Zeitung 1904.

87. F. Ludwig. Der Aufbau dea
Waldea nach atatiaehen Gesetzen. Weitere
Abschnitte aua der Biometrie IX. Zeitschr.
f. Math. u. natorw. Cuterr. 1S05, Heft
2—4. (p. 106 ff.)

88. D. F. Macdouml. Mutanta and
Byhnds of the Oenotheiaa. Carnegie In-
stitution. Washington D. C. 1906. 67 S.
n. 13 Fig.

S9. Metzger. Der Wind als maß-

g übender Faktor fQr das Wachatnm der
äume. Hfindener Forstliche Hefte IH
1898, p, 86-86 mit 21 Fig.

40, Metzger. Stadien Über den Aufbau
der Waldbäume und Bestände nach ata-
tiacben Gesetzen. Hüudener Forstliche
Hefte. Heft6p.61— 74,Hefli6p.94— 119,
18941 Heft 7, 1896, p. 46—97 mit 18 Fig.

41. Mettger. Form und Wachstum der
Waldb&nme im Lichte der Darwinschen
Lehre. Allgem. Forat- und Jagdzeitung,
herausgeg. von Prof. Dr. Tnisao Lorey,
Frankfurt a. M., Jnli 1S96 p. 834—238.

DigitizedbyGoOgIC

108

Neue Liter&tnr über das Oienzgebiet der Biometrie.

42. J. J. Prine. De Hactnierende
TariabUiteit van mikroskopiiche Stnic-
tareo bij Plautem Groosiagen lOOJ
(J. B. Wolters) Dr.-DiBaert. 61 S.

48. L. Fhumbl'T, Mechanische Er-
UBron^en der Ärmlichkeit zwischen
masnetischeu KTaftlinieng^etomen und
Zellteilungsfiguren. Archiv för Ent-
wicklungsmechanik I90S, Bd. XVt,
p. *7ö— 6B5.

44. L. Bhvmbla: Zelleumechanik und
ZeUenleben. Vortrag geb. auf der Vers,
d. Hafairf. n. Ärzte tu Brealaa 1901.
(Umechan Vm 190i N. 89, p. 781—770
mit 8 ^gureo.)

45. H. Rodewald. Untersuchungen
über die Fehler der Samenprüfungen.
Arbeiten derDeutHchen Landwirifichafta-
ge<ellBcbaft Heß 101.

48, Frant ScAware. Physiologische |
Untenucbimgen über Dickenwachatuiu
and Holzqnalität von Finne silveatria.
BertiD 1S99, Parey, 371 S., 9 Taf. u.
& Teitfig.

47. George HarriMn Shi^l. Place
Constanta for Aster prenanthoides Con-
trib- from the Hjll Bot. Lab. XIT. Bol.
Gm. 38. Nov. 190*. 883—376.

48. P. Sonntng. Die Pflanze als Bau-
meiiteT.FrometbeuBN.766, 1904, p.698 ff.

49. Sonntag. Die Pflanze ata Baa-
meigter. Schriften der Naturforach. Qe-

! sellech. in Danaig.
1901. p. LXV— LXVI.

50. ^ Uechanieche ZweckmllBigkeiten
im Bau der Äete nnaerer Nadelbfilier 1. c.
p. 1S6— 188

&1. B. M. Strang. A Quantitative
Study of Yariation in the Smallei North-
American Shrikea. Amer. Nat. 1901,
XXXV, p. 871—288.

52. Tine Tammti. Ein Beitrag zJt
Kenntnis vonTrifolium pratensequiaqne-
folium de Viies. Bot Ztg. 1901. Abt. I,
8. 312- 2S6. Über die Periodizität mor-
phologiecber ErscbeinungeD. Natorw.
Rnndachau 1903. S. 118.

58. C. E. WagluU. Orer de liggiug
i der Muima in Variatiecurve en het
I voorkoinen der Fibonaccigetallen. Hand-
I linger von het Vlaamscb Natnnt en
1 Gieneesknndig Congrea gehouden te Gent,

87. Sept. 1803.
, 54. B. Wtber. Lehrbuch der Forat-
einrichtang mit besonderer Berücksich-
: tigong der Zuwachagesetze der Wald~
bäume. 1891.
55. 5. B. Wifliom*. Variation in Li-
< thobius forflcatuH. Amer. Nat. 1903,
'■ XXXVn, p. 299-312.
I '!,%, H.C.WmiaiMon. OntheMacke-
rel of the Eaet and Weat Coaata of
S cotla nd. Bep. Scottish Piaheriea Board
I XVin, 1900, p. Saö- 829.

Das kleine handliche Werkchea von Davenport (26) „über die sta-
tietisAen Methoden" mit besonderer BerGckdchtignng der biologischen Variation
sollte nach einem Begleitschreiben zur ersten Autlage (1899) als Handbuch
und Leitfaden zunächst für Anthropologen, Botaniker, Zoolc^n, Vertreter
der Anatomie, PhTsiologie, Psychologie dienen, die sich mit guanliiaiiven
Untersuchnngen der Spezies und der organischen Variation beschäftigen
wollen; es sollte weiter ein Hilfsmittel sein fflr Landwirte, Soziologen,
Meteorologen und andere statistische Praktiker. Es hat sich als solches
vorzflglieb bew&hrt, wie die nunmehr vorliegende um 75 Seiten Temtehtte
ewei'e Auflage beweist. In einfacher Sprache und ohne zu hohe mathe-
matische Anforderungen werden in den ersten Eapif«ln die statistischen
Methoden Oaltons und Pearsons mit Benutzung der zahlreichen neueren Ab-
handlungen des letetgenannten Foreohera erörtert, die Formeln zur Berechnung
der Frequenzkorven abgeleitet iind die Ermittelung der Zugehörigkeit der
Variationspoljgone zu den vemchiedenen Typen derselben an Beispielen ge-
lehrt Das IV. Kapitel behandelt die korrelative Variabilität and ein
V. Kapitel in nahezu vollständiger Übersicht die bisherigen Ergebnisse auf
den verschiedensten Gebieten der Biometrie bis auf die jüngeren Zweige
der Homotypose, der Telegonie und des Mendelismus etc. Die zahlreichen
EilMabellen bis zn den Logarithmen, trigonometrischen und Potenzt&feln
herab machen alle weiteren Hilfsmittel flberflüesig. Selbst einige Bl9tt«r
leeren Papieres und Eoordinatenpapieres zur direkten Eintragung von
Resultaten sind heigegeben. Bei dem niederen Preis (ß 1,50) wird daa

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Von F. LcDwio. 109

zierliclie mit dauerhaftem Einband in QoldschDitt versehene Taschenbuch bald
Besitztum aller Biometer werden.

Ein neues eigenartiges Qebiet behandelt die amfang- und inh&ltreiche
Arbeit Dunckers über Symmetrie und Asymmetrie beim Uenschen und den
Tieren (30J. Die bisher allein übliche stereometrische Betrachtungsweise
der SymmetrieTerh&ltuisse mit ihren Gleiohungen aus der Kristallographie
hat sich — wie dies bei den variabeln organischen Formen leicht ver-
standlich ist — als unzm'eicliend erwiesen. Nur Massen untorsuohungea mit
üilfe biostatistiseher Methoden ttlhreu zum Ziel. Die n&chste Aufg&be, die
sich Duncker stellte, bestand darin, ßir die bunte Mannigfaltigkeit des
Untersuchungsmaterials eine einheitliche Beschreibnngsform zu finden, die
übersichtlicher uod kürzer ist als die Nebeuein&nderst«llung etwa von Kom-
binationsschematen und doch die in Betracht kommenden Eigenschaften aus-
zudrücken vermag, wie bekanntlich für die typischeD Variationspolygone nur
wenige Bestimmungswerte ausreichen, auch ihre feineren Eigentümlichkeiten
zum Ausdruck zu bringen. Es genügen schon je 4 Bestimmungswerte zur
Kenuzeichnong der beiden Variatdonsreihen, der Einzelmerkmale und der
Differensreihe des Merkmalpaares, nämlich das arithm. Mittel A, der Varia-
bitit&tsindei E, der dritte ((3,) und vierte (ß^ Momentquotient der betr.
Reihe. Außer ihnen verwendet Duncker noch die prozentuale Differenz-
fl&cfae (d) der y&riationspolygone der Einzelmerkmale als Mafi der Ver-
schiedenheit ihrer TarlationBreihea , den Korrelationskoefßzienten (p), sowie
den Asymmetrieiudez (a) des Merkmalpaares (da der statistische Begriff
bilateraler Obereinstimmung zweier homologer Merkmale alle Übergangg-
stnfen von vollkommener Symmetrie zur vollkommen rechts- oder links-
seitigen Asymmetrie znlAftt). Duncker erörtert nach Ableitung der ent-
sprechenden Ausdrücke die Praxis der vorkommenden Rechnungen und die
Deatong der gefundenen Werte. Das üntersuchungsmaterial selbst erstreckt
sich über 32 Paare versohiedenartiger bilateral-homologer Merkmale:

Die beidseitige LKnge der proximalen Glieder von Zeigefinger, Mittel-
finger, Bing- und Eleinfinger bei 551 Engländerinnen (nach PearsoB und
Whitoley). — Aus dem Tierreich: Zahl der Uütlerschen Drüsen bei
2000 weibL Schweinen (nach Davenport und Bullard). Acerina comua
L., Zahl der Brustflossenstrahlen, Länge der Kop&eiten, LSnge der Mau-
dibeläste. Zeus faber L,, Zahl der Basalplatten der weichstrahligen Sücken-
and Afterflossen (nach Bryne). Cottus gobio L., Zahl der Brustflossen-
str&hlen. Pleuroneotus flesus L., (5 Merkmalpaare). Pimephales notatns
Rafin., Schnppenzahl der Seitenlinien (Voris) ; femer verschiedene Merkmale
bei den Krebsen: Gelasiinus pugilator Latr., Eripbia spimi&ons Herbst
und PortonnB depnrator L. und noch die Zahlen der Kiefemzähne des
Ringelwurmes Nereis limbata.
Wir wollen nur an dem ersten Beispiel, der Länge der entsprechenden
Fingerglieder an den 4 AuSenfingern der beiden Hände, zeigen, wie sich bei
der UnterBuchung der Asymmetrie Verhältnisse überall interessante Gesetz-
mäßigkeiten ergeben. Die Variationsreihen der paarweise zusammengehörigen
^^K^g^i^^Dg^ii unterscheiden sich bei allen 4 Fingern durch die Lage
ihrer Hanptgipfel. Ton den proximalen Gliedern der bilateral homologen
Finger ist das rechte durchschnitüich um eine halbe Varianteneinheit
(— % mm) langer als das linke und zwar differieren die Kleinfinger am

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110 Nene Literatur Aber das Orenigebiet der Biometrie. Von F. Lcswia.

meisten, die Mittelfinger am wenigsten. Die grüßte prozentuale Bifferenz-
Ö9ch€ ergibt dch für die Variationapolygone der Eleiufinger, die kleinste für
die Uittelfinger. Die in allen Beispielen sehr intensive Korrelation der
paarweise zusammengehörigen Merkmale erreicht bei den Mittelfingern den
höchsten Orad, bei den Kleinfingern ist sie ein wenig niedriger als bei den
anderen. Symmetrische Indiyiduen machen in jedem Fall nur 42,7 — i^fi^/a
der Gesamtheit aus und sind bezttgl. der Mittelfinger am zahlreichsten, bezOgl.
der Zeigefinger am wenigsten zahlreich. Die Asymmetrieindices sind ziemlich
hetr&cbtlich. Am niedrigsten ist der der Mittelfinger, ihm folgt der Ring-
finger, and die höchsten, die der Elein- und Zeigefinger, sind einander fast
gleich. Die rechte Hand ist die kräftigere; dies zeigt aucb die Prozentzabl
der asjmmetr. Individuen:

Prozentsatz. Zeigef, Mittelf. Ringf. Kleinf.

linksseitig asymmetr. Individuen 9,66 9,48 8.80 9,07 1^
rechtseitig „ „ 47,64 44,56 46,92 47,25 j '''

In einem weiteren Kapitel gibt Duncker einige Qesammtresultate nnd all-
gemeine Folgerungen; er legt die Ursache der Kollektivsymmetrie und
Kollektivasymmetrie, wie die der individuellen Symmetrie und Asymmetrie
dar und erörtert sodann die Beziehungen zwischen bilateral-homologen und
serial-homöotischen Merkmalen.

Teils Über die bisheri</en bioslaüsHsc/ien MeOtoden, teils über neue Bei-
trägt zur Theorie der Variationspo}ygone handeln femer die Arbeiten von
Davenport (20, 21), Engberg (31), Camerano (7 — 10) — meines Wissens
die ersten biostatistischen Arbeiten ans Italien — nnd W&steels (53).

Die Arbeit von Wasteels (Qent) bandelt Aber die Lage der Mazima in
polymorphen Yariationskurren und das Vorkommen der Fibouaccizahlen.
Verf. schlieBt sich meinem Erklärungsversuch fOr die Fibonaccipolygone und
verwandte Yariationspolygone (Zeitscbr. für math. u. naturw. ünterr. XIX,
p. 321 — 338) an und gibt noch weitere F&lle der von mir angedenteten
möglichen Reihen an, die er jedoch, ohne meine Arbeit damikls gekannt zu
haben, selbstBndig entwickelt hat. Es sind darunter auch die Reihen, die
die Eauptgipfel der Voglerschen Variationspolygoue, die Zahl der Bluten-
stände vom Comus mas, Cardamine pratensis etc. darstellen. Wir machen
besonders die FacfakoUegen, welche matbematischen Unterricht an höheren
Schalen erteilen, auf die interessante Arbeit aufmerksam.

Von den weiter axtfgefAbrten Abhandlungen, welche Kiditige Ergebnisse
der statistischen Methoden auf biologischem Gebiet zu Tage gefördert haben,
beziehen sich auf Antbropologie die von Baideen (.')), auf Zoologie die von
Camerano (lO); insbesondere auf Meerschweinchen und Kaninchen (ll), auf
Fische (56), auf Schmetterlinge (l) und (2), auf andere Arthropoden (51), (55),
auf Conohylien (3), (23), (24), Brachiopoden (19), Quallen (4), (26), auf
Pflanzen (33), (34), (36), (42), (45), (47), (52). Auf die Mendelsche
Lehre von den Bastarden und verwandte Gebiete beziehen sich die Arbeiten
(U), (12), (13), (14), (16), (16), (17), (18), (20), (26), (28), (29), (38).

Ein hochinteressantes Gebiet, dessen Bearbeitung bisher in der forst-
wiBsenscbaftli<^e& Literatur versteckt blieb, das aber verdient zum matbe-
matiscb-naturwissenschaftlichen Unterricht nach jeder Richtung hin heran-
gezogen zu werden, ist der Altbau des Wcddea vnd der Bäume nach

db/GoogIc

BOchenohftn. 111

mathemaUscb-statisehen Prinzipien. 8cboa Schwendener hatte erkannt, dafi
„schon gewacbaene groSe Fichtenstfimme" vOllig den Bau eiuea Tr&gers von
gleichem Widerstand haben. Kb ist aber d»s Verdienst von Metzger und
nach ihm von Frank Schwär«, gezeigt zu haben, daß der Wind der maß-
gebende Faktor für das Wachstum der Säume ist und daS der Aufban des
Waldes sich bis ins kleinste nach den Prinzipien der Statik verstehen und
erklären läßt. Die diesbezflglichen Arbeiten sind in den Abhandlungen
(37 — 41) und (46), (48 — 50), (64) niedergelegt Urnen schließen sich von
weiteren Anwendungen physikalischer Gebiete zur Erklärung pflanzlicher und
tierischer Formgestaltungan die Arbeiten von Rhumbler (4!)) und (44) an.
Aus der letztzitierten Abhandlung dieses Verfassers sei nur als Beispiel
hervorgehoben, daß der konstant« Bandwinkel von 125" der Kammerschalen
des WurzelfOßlers Hodosaria soluta Benfl ein prächtiges Beispiel flir das
,^weüe Kapiilaritäts^eset^' darstellt, nach dem die wandbildende fltkssige
Sarkode von der vorausgehenden Eammerwand festgehalten vrird.

Btlchersohan.

O. A. Vagglf Frinoipli di Btereodinamioa, ooeso boUs formasiond,
llnterpretailoiie e l'integrajdone deUe equazioni del movlinento
dei BoUdi. Milano, ülrico Hoepli, 1903. 263 8.
Im Jahre 1896 hatte Herr 0. A. Haggi eine Grundlegung der Mechanik:
Principü ddta teoria matematica dd movimenio dei corpi veröffentlicht, die
sich sowohl durch die mathematische Strenge der Untersuchungen als auch
durch die einheitliche Behandlung der festen, fl&ssigen und elastischen
Körper auszeichnete. Während er sich dort auf die Darlegung der allge-
meinen Theorie beschränkte, gibt er in dem vorliegenden Werke Einzel-
ausföhmngen für Systeme von starren Körpern.

Die Verbindungen, in denen die Teile eines Systemes starrer Körper
stehen, oder die Fessebmgen des Systemes, wie der Verfasser sagt, sind ent-
weder so beschaffen, daß zu ihrer Charakterisierung die Angabe der mög-
lichen Lagen der KOrper ausreicht, vrie znm Beispiel bei einem festen
KQrper, der sich um einen festen Funkt dreht, sodaß jeder seiner Funkte
von dem festen Punkte konstanten Abstand hat, oder daß sie sich auf die
Bewegung selbst beziehen, wie zum Beispiel bei einem festen Körper, der
auf einer festen Ebene rollt, sodaß die GeBchwindigkcit des Berührungspunktes
mit der Ebene stete Nall ist. Die Fesselangen können ferner von der
Zeit unabhängig sein oder sich mit der Zeit ändern; zum Beispiel kann
jene feste Ebene eine gegebene Bew^ung besitzen. Eine Fesselung der
ersten Art wird analytisch dargestellt durch eine endliche Gleichung zwischen
den je 6 Lagrangeschen Fositionskoordinaten jedes der Körper des Systems
und der Zeit. Bestehen daher nur Fesselungen der ersten Art, so läßt sich
die Lage des Systems selbst durch die Angabe der Werte gewisser L&grangescher
Positionskoordinaten bestimmen, zwischen denen keine Bedingnnggleichungen
bestehen und die der Verfasser freie Koordinaten nennt. Es ist bekannt,
wie man die Differentialgleichungen, denen die freien Koordinaten genttgen,
sofort herstellen kann. Ganz anders gestaltet sich die Sache, wenn Fes-

dbyGooglc _

112 BOoheTtchftQ.

seiungen der zweiten Art besteheo, auch ^enii man, wie es üblich igt und
wie es Herr Maggi tut, die EinschränkuDg maclit, daß diese Fesselungen
sich durch lineare, homogene Gleichungen zwiwhen den Differentialen der
Position sitoordinaten und den Differentialen der Zeit ausdrucken lassen sollen,
denn die Differeutialgleichougeu , zu denen man hier gelangt, euthaltea die
noch unbekannten, Ton den Fesselungen herrflhrenden Drucke. lu dem
ersten Abschnitte stellt und löst Herr Maggi die Aufgabe, dafi reine
Gleichungen der Bewegung hergeleitet werden sollen, Gleichangen also, in
denen jene Drucke nicht auftreten und die zur Bestimmung der sSmtliohen
Position skoordinsten als Funktionen der Zeit geeignet sind. Soviel dem
Referenten bekannt ist, sind diese Gleichungen zum ersten Male ron
Herrn Heun (Die Bedeutung des d'Aletnbertsehen Prineipcs für starre Sifsteme
ui>d QOenkmechanismen. Archiv d. Math, und Pigs. (3), 2 (1901/02), B. 67^77,
298—327) aufgestellt worden.

In dem eweiten Abschnitte werden die Umformungen untersucht, die
sich fllr die Differentialgleichungen der Bewegung aus den Prinzipien von
Hamilton, Haupertuis und Ganß ergeben und die es ermöglichen, deren
geometrisch-mechanische Bedeutung genauer zu erforschen. Der dritte Ab-
schnitt betrifft die Integration dieser Gleichungen vermCge der Methoden
von Hamilton und Jacobi. In diesen beiden Abschnitten werden die
betreffenden allgemeinen Theorien in sehr geistreieher Weise von ueuem
entwickelt und auf eine Reihe gut gewählter Beispiele angewandt.

Alles in allem ist das Werk tou Herrn Maggi eine wertrolle Be-
reicherung der Literatur über die Mechanik der Systeme starrer Körper,
das den deutscheu Mathematikern durch eine Übersetzung leichter zugäng-
lich gemacht zu werden verdiente.

Hannover. Paul Stäckeu

Sobloemiloha Handbaob der Mathematik, 2. Aufl. Herausgegeben
von Prof Dr. R. Henke, Eonrektor des Annen - Realgymnasiums in
Dresden und Dr. R, Heger, Hon. -Professor au der K. S. Technischen
Hochschule und Gymnasial-Oberlehrer iu Dresden. Leipzig 1904, J. A.
Barth. — Erster Band: Elementar- Mathematik. Mit 321 Figuren.
Xn u. 611 S. Pr. 20 M., geb. 22,50. M. — Zweiter Band: Höhere
Mathematik. I.Teil. Mit 281 Figuren und 12 Tafeln. 765 S. Pr. 20 M.
geb. 22,50 M.
Am ö. Febr. 1901 starb Schloemilch: es war ihm nicht mehr vergSnnt,
sein Handbuch der Mathematik, das als ein Teil der Encyclopüdie der Nafcur-
wisseuBChaften iu zwei B&nden 1879 bezw. 1881 erschienen war, in der ver-
änderten Gestalt zu sehen, in der es jetzt, durch HinzufHgung neuer Abschnitte
auf drei Bände erweitert, vorliegt An Stelle des ebenfalls verstorbenen
Dr. Ft. ßeidt in H&mm fibemahm Professor Dr. Henke in Dresden die
Elementar-Mathematik, während die höhere Mathematik wie früher von
Professor Dr. Heger bearbeitet wurde. Jeder der beiden Bände zerfKIlt in
vier Bficher, und es enthält dem entsprechend der erste Band: Arithmetik
und Algebra, Planimetrie, Trigonometrie, Stereometrie; der zweite Band;
Darstellende Geometrie, Analytische Geometrie der Ebene, Analytische Geo-
metrie des Raumes, Differential -Rechnung.

db/GoogIc

Bfichenchftii. — Neoe Metier. 113

Wir mflssen ans hier auf die Bespreohung des Abactmittes über äve-
stellende Geometrie beschrftoken. Zuerst wird in zum Teil origineller, zum
Teil eirwas umständlicher Weise die Darstellung der Grundgebilde , sowie
ebener ^Figuren und des Kreises in senkrechter Projektion erledigt Daran
sdiliefien sich die dreiseitige Ecke, die regelmSßigen Körper, Prisma,
Pyramide, der ümdrehungs- Zylinder, die Kugel, der Umdrehungs-Kegel und
Engelberührungs- Aufgaben, welch letztere in eingehender und übersichtlicher
Weise erörtert werden. Ein kurzer Abschnitt Aber Axonometrie, PerspekÜTe,
sowie über Schatten und Helligkeit bildet den Schluß des 105 Seiten
füllenden Abschnittes. Die Rechnung wird ziemlich aus^ebig zur Ableitung
von Besultaten herangezogen z. B. zur Eonstroktion der Doppelpnnkts-
Tangent«n, Aufg. 5, S. 58 und Aufg. 21, 8. 76, wobei bemerkt sei, daß
sich diese Aufgaben in einen geometrischen Zusammenhang bringen ließen.
Daß ein eigener Abschnitt über die Fundamental -Aufgaben fehlt, dürfte
kaum ein Vorteil sein, denn auf diese und nicht lediglich auf die Dreikants-
Konstruktioaen führen alle Aufgaben der Stereometne zurück. Die Figuren
Änd zum Teil auf Tafeln zusammengestellt, zum Teil, etwas skizzenhaft,
dem Text eingefügt. Folgende neue Bezeichnungen wendet der Verfasser
an: Mittenbild ^ Zentralprojektion, Abhildungs- Mitte °- Frojektions-Zeutrum,
Leitbild ^ Parallelprojektion, Bichtbild =^ Orthogonal-Projektion. Referent
ist der Anschauung, daß die Anwendung neuer Namen für so fundamentale
Begriffe nicht von einem Einzelnen ausgeben kann, sondern im Zusammen-
schluß mit weiteren Kreisen erfolgen mußte. Den Aasdruck isometrische
Projektion auch Ar die Kavalierperspcctive zu verwenden (S. 94), ist aber
jedenfalls unzweckmäßig und auch nicht gebrftuchlich. Lit^tur- Nachweise
irgend welcher Art sind in dem besprochenen Abschnitt nicht gegeben, wie
"überhaupt In beiden B&nden sich nur sehr wenig Angaben Über wichtige
Original 'Arbeiten oder andere Werke finden.

München, M&rz 1905. Kabi. DoEHLEit.uni.

Nene Bücher.')

ABaljfllfl.

1. Appell, F., Elämenta d'analjse mathämatiqne & l'nsage des ing&uenn et
phyiiciens. S* 6i. PaiiH, Gaathiei-VillarB. Fn. 31.

2. ExüaKs, L., Ober die Aosgleichong von bedingten Beobachtungen in zwei
Gruppen. (VerQfrentUchung E. preofi. geodät. Institut, neue Folge Nr. 18.)
Potedam. (Leipzig, Teubner). .

Astronomie ma.i GwM»it,

5. Bxmnr, Alb. t.. Die Säknlarbeeohlennignng dee Uondea. Qflttingeo, Vanden*
hoeck & Ruprecht. H. S.ao.

4. Jahresbericht, attronomiacher. Mit UntentOiung der aatronom. Geiellschaft
hisg. T. Walt. F. Wislicenua. 6. Bd., entb. die Literatur des_^J. 10Oi. Berlin,
Bdmet. M. l&.

6. PuuRTi, Paolo, Tcattato di geodesia teoretica. Bologna. L. 12.

]) Wo kein Encbeinnngajahr angegeben, ist ea ISOb.

ZMWctuint.HMhuutlka.PIvilk. fit. Band. I*0t. I. H«tk 8 ^— ■

DigitizedbyOOOglC

6. PoractKi, H., Le9onB de Mäcaniqae c^atie profesiäeH ä Ift Sorbonne. T. 1.
Thäorie gänättle des pertnrbations pl&näUires. Paria, Gaaüuec-Villan. Fn. 13.
s. auch Nr. 8.

7. Fkuuoh, E., On üke general Üieoiy of ekew correlatioD aod aon-lineu
regresBioQB. (DraperB Co. reeearch memoirB, biometric seriee. Hathematical
contribntioni to tbe Theorj of Evoluldoo.) London, Dalftu. 6 b.

DanMlende OeoHetrie.

8. MoTEH, I. A., Deecriptive geometrj foi studeata of engineeiing. 2d editdon,
New-Tork, Wiley. Cloth. « 8.

Gesehiehte.

9. SoLKi, Edmokdo, NuoTi Btodj solla filo^ofift natonle di Leonardo da Vinci. II
iii»todo Bperimeutale. L'utiaDomia. La teoria della Tiaione. Hodraa. L, 3.

Seehulk.

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problemB and practical examples, with nomeronB diagramB all drawn to scale.
London, Macntillan. i a.

11. ASCHKBI.MT, L. W. and Fsuson, Eibl, Ou the GraphicB of metal archee. With
ipecial leference to the relative strength of two-piroted, thiee-pivoted, and
bnilt-in-metal arches. London, Dalan. 6 s.

12> Bbaubb, Kbhht A., Feetigkeitalehre. Kurz gefaSton Lehrbuch nebat Sammliing
techniBcher Aa%aben. Leipzig, Eirzel. M. 8; geb. M. ü.

IS. Bnaa, W. H. and Falk, M. S., The giapbic method by influence linea for biidge
and roof compntatnonB. New- York, Wilej. Cloth. g 8.

11. JuiEB, O. 0., Elements of the Einematica of a point and tbe rational Mechanica
of a particle. New-Tork, Wile; & Sona. Cloth. $ 3.

15. Eomaa, U., Gmndzilge f. die atatiacbe Berechnnng der Beton- and Eisenbeton-
banton. 8. dnrcbgeaehene Anfl. Berlin, Eniat & Sohn. M. 1.20i

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Milano, Hoepli. L. 8.

17. , TT. Dinamica. Frincipi di Tdromeccanica. L. 3.

18. MüLLiB-BreHlan, Huvb,, Die graphische Statik der Bankonatmktionen. 1. Bd.
4., vermehrt© Anfl. Stuttgart, Kröner. M. 18; geb. in Halbfr, M. 30.

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Problema der drei EOrper. (Aatronom, Abb. Nr. 8.) Hambnrg, Hauke SOhue. H. 2.

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Teubner. U. 1; geb. in Leinw. M. 1.86.

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Digiti

dby Google

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wiaaenschaft iBt. Zum Gebrauch in den Übungen der Hochschule und in der
PrarJB. Leipzig, Thieme. Qeb. M. 6.

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GöBuhen Nr. 241.) Leipzig, GOachen, geb. in Leinw. M, —.80.

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(Hanuali Eoepli.) Milano, Eoepli. L. 8.

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(Sammlang GOachen Nr. 242.) Leipiig, GOachen. geb. in Leinw. —.80.

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dt&t u. des MagnetismuB (Erster Teil). Braunscbweig, Tieweg & Sohn, M. 12.

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Boyd. 6 B.

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mit der Atomgew ichtskommisaion der deutschen ehem. OesellBch. fQi den Ge-
brauch im Unterrichtalabetatoriumn. in der Piaxia berechnet u. mit ErUat«rangeii
versehen. 6. Aufl. Leipzig, Veit tc Co. geb. in Leinw. M. 2.

Tersckledeaeg.

47. Habexicbt, Bodo, Beiträge zur mathematischen Begründung einer Morphologie
der Blätter. BerUn, Solle. M. 1.60.

48. WisucDniB, F., Der Ealender. (Amt Natur u. Oeiateswelt 68.) Leipzig and
Berlin, Teubner. M. 1; geb. in Leinw. M. 1.86.

tz^edbyGoOglC

116 Eingduifene Schriften.

ElngelanfftSB SclirUten.

[In dieMi Abteilaug wetden alle ein^alftufenen 3clirifl:«n regelm&Big anfgefOhrt.

Die Besprechung geeigneter Schriften bleibt vorbebalten. Rflckaendnng findet
nicht atatt]

AuFsiss, 0. von. Die phjditcaliichen Eigenschaften der Seen, ■. N. B. („Nene BQcher")
Nr. 80.

BiBvcH, H., Hechaniecbe Wärmetheorie, g. N. B. as.

B01.TE1UNB, L., Le90Ds sur la tb^rie des gaz, e. N. B. 21.

Budes, G. A., Festigkeitslebi-e, s. N. B. 12.

DcDBUHD, BicHABV, Stetigkeit u. instiooale Zahlen. 8. Aufl. Braunachwflig,
Tieireg & Sohn.

FaöuoB, 0., Die Entwicklung der elektrischen UeiBungen, s. N. B. 36.

Omhsbhl, E., Angewandte Potential theorie. I. s. N. B. 38.

HuDBOH, R. W. H. T., Etmunei'i Qnartic nir&ce. Cambridge, üniTersitj Preu.

Cloth. 8 B.

Jahiu, G. 0., Elemente of the Einematica of a point ...,•. N. B. U.

Kbcoki, L., Über die Aosgleicbunif von bedingten Beobachtangen , a. N. B. ä.

LAacutac, Oeuvres de, publik eotu let aoBpices de l'Acadämie des Sciences par
H.M.Ch.Hennite, H. PoiocaräetE. Ronch^. T.n. Geometrie. Paris, Gantbiet-
Villars. Pra. 22.

Uaulbb, O., Physikalische Aofgabensammlnng, a. N. B. S6.

Mascolohoo, B., Heccanioa razionale, I e II, e. N, B. 16, 17.

MOLLim, FaiKi Jonjunr, Theorie dei Knickung in ihrer histerischen Entwiddang.
Udncben, Druck von Carl Gerber.

Seabanten, die, der kOnigUch Bachaiachen Hochscbnle ed Dresden. Teil A.
Banbeschreibnng (Auszug aus der Deutschen Bauzeitung). Teil B. Inuefe
Einrichtung (Zeitschrift dea Vereines deutacher Ingenieuie). Anhang; Ver-
sncbsanstolt in üebigan (Zentralblatt der Bauverwaltnng). '

Nbwist, Th., Die GravitetionBlehre ein Irrtum. Einige Weltprobleroe. Popnl&r-
wissenachafFtliche Abhandlung. Wien, Konegen. M. 1.85

Fonrcui, H., Le9onB de M^eanique eheste, T. I, s. N. B. 6.

TnOMSOH, L I., Elettricitä e materia, e, N. B. 39.

Tablbn, K. Tb., Abstrakte Geometrie. TJntersncbuiigen Aber die Grundlagen der
Euklidischen und Nicht-Euklidischen Geometrie. Leipzig, Teubner. geb. in
Leinw. M. 12.

WAonaiuaH, Addlv. Daa System der Welt. GrandzOge einer Physik des organischen
Lebens. I Band: Der Ursprung von Energie und Uaterie. Cannstatt, Selbst-
verlag. II. 8.

WALTBBk, E. und RÖTTiHou, M., Technische W&rmelehre, s. K. B. 40.

Wbustbin, B., ThermodTnamik u. Kinetik der KOiper, s. N. B. 12.

WisucBMCB, F., Der Kalender, s. N. B. 18.

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über die Zexleguiig «iner empinBchen Fauktion in SinuBwelleo. TonC. Rubob. 117

Über die Zerlegung einer empirisclien Funktion in Sinns-
wellen.

Von C. RuNOE in Hannover.

Ich habe tirüber*) eine Änordnnng angegeben, wie man eine
empiriscbe periodische Funktion auf zweckmäßige Weise in Sinuswellen
zerlegen kann. Wenn 12 gleichmäßig Über die Periode verteüte Ordinaten
die Funktion mit hinreichender Genauigkeit wiedergeben, so gestaltet
sich die Rechnung besonders einfach. Es kommt aber nicht selten
der Fall vor, daß 12 Ordinaten nicht ausreichen. Dann wird die Rechnung
eotsprechend verwickelter. Ich habe nun gefunden, daß sich die
Rechnung mit 34 Ordinaten auf eine wiederholte Anwendung der
Rechnung mit 12 Ordinaten zurQckf&hren läßt. Es wird damit eine
nicht unerhebliche Verein&cbung erzielt.

Es sei
y — «j + ßj coB^j + o, cos 2y + ■ ■ ■ + «1, cos lltp + fl,j cos 12y
+ 6, siuy + &, sin 2y + ■ ■ ■ + ^i, sin lly

die gesuchte Zerlegung, wo die 24 Konstanten a^a^ — a^; b^b^ — ti,,
so bestimmt werden sollen, daß an den 34 Stellen der Periode tp "Cfi,
15», 30«, 46", • ■ ■ 345* die verschiedenen Werte y^Piff, ■ ■ i/„ an-
genommen werden.

Wie früher gezeigt, hat man dann die Summen zu berechnen

j/o + y, cos (alö)« + y, cos (2«15)'> + ■ ■ ■ + y,, cos (23015)^
Tiud

y, sin («15)» + y, sin (2« 15)» + f- y„ sin (23k 15)",

oder wie wir knrz achreiben wollen

[ff^coB(Ao:15)''J und [yjsin(Aal5)»] 1=0,1,» -m-

Die erste Summe liefeii fOr a — und sc ~ 12 die Werte 24a,^
und 2ia^, und fllr a = 1, 2, - - 11 die Werte von 12a„, die zweite
Summe die Werte von 12&^ Um die Summen zweckmäßig zu be-
rechnen, wird die Reihe der y, wie fiHher gezeigt, zusammengefaltet,

1. 4S S. 143, Tgl. auch Bunge, Theorie und Pmi« der

ZdUohiin r Ihtbenitlk u. Ph^ilk. 6S. Band. 1«M. 1. Hatt

D.git.zLb/GoOglC

118 Über die Zerlegung einer empirischeD Ftmktion in SinuBwellen.

und es werden die Summen und Differenzen der untereinander stellenden
Ordinaten gebildet:

y^vi ytVt VtayiiVii

j'Mi'MyM yiift.

Summen: HjU^ m, m, "io**ii"is (««=».. »»^t»)

Differenzen: t'j u, v^ »,, r„

Diese beiden Reihen werden jede wieder zusammenge&ltet, und
wieder werden die Summen und Differenzen gebildet:

Summen: u^ u, % UsUjUsU« Summen: D, Bj BsD^Bs

Differenzen: ll^ 11,' u^ U|U4il( Differenzen: B,' bJ OjöjBg

Dajin ist fUr grade Werte von a

[i/,C08(>l«ir))»l = [u^cos(^«ir.}»], [y^Bm{kaXm = [»^sinO«15)"]

für ungrade Werte von «

[|/jC08(>l«15)''] = [u^cosOalS)»], [y^tim{Xu\bf] = [t;BinOtal5)t'j.

Der Vorteil dieser Zusammenlegung liegt darin, daß die Zahl der
Glieder vermindert ist. Der Index ^^, durchläuft nur die Werte 0, 1, 2, ■ ■ ■ 6.

Man kann nun noch einen Schritt weiter gehen. Was zunächst
die graden Werte von a betrifft, so werde a = 2ß gesetzt. Dann wird

[y^ C08 (Ictlb)"] - [u^ coe {(ißSOf] und |>^ sin {Xalbf] = [b/, sin 0*^30)"].

Man hat es also nicht mehr mit Vielfachen des Winkels von 15"
sondern mit Vielfachen des Winkels von SO'' zu tun, oder mit andern
Worten, man hat es zu tun mit Summen derselben Form, wie sie bei
der Einteilung der Periode in 12 Teüe vorkommen. Man kann daher
dos Schema anwenden, das ich für die Rechnung mit 12 Ordinalen
angegeben habe.

Zu dem Ende Verden die Reihen der Größen Ug, Ui - ' Ug und
^i> '°'t ' ^'i '^0^^ einmal zusammengefaltet:

lIoU,UjUs D,' Dg Bi

Summen : Uo Uj U, U, Summen : % iß, IC,

Differenzen: U;U,'U; Differenzen: Sö;a3;

und mit den so gewonnenen Zahlen geht man in das von mir aufgestellte
Schema ein:

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«i/s

-U,/J U,/2

m«;'m»i

mUi

U.U.

«i

u.-".

Ui

»,

Summen: P^P,

P,

P,

i", i".

p,

«, ft

e. c.

«,

(»1 b«deul«t tm 60")

p.

P,

P. P.

«■

«■ e.

p.

P,

P,

Snmmen :

«.
12(4

e.

24«.

12»,

12», 12»,

12t, 124,

24o„

12»,.

128,

Differenzen

12*,«

124.

Summen:
Diflerenzen:

Für die nngraden Werte tob a setze ich « = 2/J + 3, dann ist;
I \y, coe (XKlDf] = [u; cob((2^ + 3)^15)»]

= [u;coB(ft45)''eo8(/3M30)'>] - [u;BÜiO45)»Bin(/J^30)'']
U y,Bm(Ulbf] - [ö^8ia((2^ + 3)^15)«]

= [0^3inO45j''co8(/3^30)''] + [0,,co8{ft45)<'8in(j3^30)'*].

Auf der rechten Seite Imbeu wir nno wieder Summen von der-
selben Form, wie Bie bei der Einteilung der Periode in 12 Teile vor-
kommen. Um sie iiuHzurecliiieD , sind zunächst die Multiplikationen
mit coB((i45)'' und sin ((»45)'' auszuführen:
I

II

Auf jeden dieser beiden Sätze I und II wird jetzt das Schema
für 12 Ordiuateu angewendet, z. B. auf I

ii; u;/v^ -u,7i/2 ii,7v^ u; u;/v'2

-u^/V2 ~u; -u;/j/2

Summen: Uq Ü, U, Ü, Summen: 'ß^ SJ» SJj

DiflFerenzen: U; U,' U^ Differenzen: W^ S,

und mit den Zahlen U, fß wird grade so gerechnet, wie mit den ebenso
bezeichneten Größen bei den graden Werten von a. Aus den Größen U, %
erhalten wir wie oben die Größen P^Pi ■ • Pj und QiQj • ■ Q^-
Diese werden wie oben zusammen gelegt und tiefem durch ihre Summen
and Differenzen:

u;oos{(i45)":

K »i'/V^

-»;/V2

— u^

-u,/)^

u; ein 0,46)':

»,7Vä "i

u,/yä

-u./y2

V^ ein (/t45)":

njVi <,,

»./v^

-W2

l),(Jo>((i46)»:

»,/V2

-VV^

— b.

-»»^2

Digiti

:dbyGOO«^IC

über die Zerlegaog einer empiriaclieu Fnuktioa in SlnuBwellen.

Sammen: PtPi Pt Ps Snmmen: q^ q^ g,

Differenzen: p^p^Pi Differenzen: g^ g^

Dann ist im Falle I:

[u; COB {{lASyf cos 0»^3O)T - p^
[u; sin (ft 45)0 sin (/i/SSO)»] - g^.

Setat man statt ß die Er^inznog 12 — ß ein, so bleibt €08(^*^30)"
augeändert, välirend sin (^^30)** ins Entgegengesetzte Qbergeht. Daher
hat man pii_g =Prf niid ?ij_^ = ~ ?* Statt pj + g, kann man also
auch |)n — 3ii schreiben, statt i») + ?» auch p,o — g,^ usw.

Wir schreiben nun die Gröfien p und die Größen q je in eine
Reihe untereinander und bilden die Sammen und Differenzen der
untereinander stehenden Größen. Damit erhalten wir:

Po Pi ft A P* Ps P.
I Qi 9t 9* 9t 9t

Sammen: 12a, 12o, 12a, 12«, I2a^ 12«^ 12*,
Differenzen: 120^ 12(7, 12og 12o„ 12a,i

Denn es ist p^ — g^ — [y, coa{i.(.2ß + 3) 15)"] = 12a,^^.,; statt 2^ + 3
kann man aber auch 24~(2^-f3) oder 2^ + 3 — 24 setzen, da
cos (A(2/i + 3)15)* dabei ungeändert bleibt

FOr den Satz II Terfäbrt man analog mit dem einzigen Unter-
schiede, daß dann p^ + s^ — [yi8in(Jl(2ß + 3)15)"] = 124,^^, ist und
daß fr|Y+3 ^ ^»rf+s-M ^^ "~ ^i-.i4-s ^^''■

Wir erbalten somit fQr den Satz II:

p. Ä

ft

?.

Pi

ft

r>

il

9>

9i

li

&

12t, 12!.,

•12S,

12!.,

12J„

-12S„

-126,

: 12S,

-121,-

-12!.,

-m.

-126,

II Summen:
Differenzen:

Die Größen a, i> ergeben sich demnach fHr ungrade Werte von a
jede anf doppelte Weise. Man kann sich natürlich darauf beschranken,
jede nur einmal auszurechnen; aber es wird so wenig Mühe damit ge-
spart^ daß man ee vorziehen wird, sie doppelt zu berechnen and damit
eine Kontrolle auBzuQben.

Bei den Zerlegungen, mit denen wir es bei elektrotechnischen
Uoterauchungen zu tun haben, fidlen die Glieder grader Ordnung in

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Von C. EuMQE. 121

der Regel fort. Auch können unter umständen alle EoBÜiusglieder
wegfallen. Dann reduziert sidi die Rechnung auf die nicht ver-
schwindenden Glieder.

Das folgende Beispiel gibt die Zerlegung der Spannungskürve eines
Generators hei Leerlauf. Die Ordinalen habe ich in der Rechnung mit
entgegengesetztem Vorzeichen eingeführt^ um positive Zahlen zu erhalten.

— jf; 38 SS U «0 66 08 67 81 43 86 29
-88 -8» -46 -63 -70 -70 -69 -69 -44 -37 -81

Snnunen: m vemacUfissigen

Differenzen; 66 78 90 112 1S6 188 136 1S3 .88 TS «0

66 78 90 112 138 138

60 72 86 123 136

Summen B^: 126 150 176 235 274 138

Differenzen; zu vemachläBBigen

»^ sin (^45)«: 89 150 124 -194 -138

l),cil«045)«:

89

-124

-286 -

194

89

160 124

89

-124

-138

-194

-194
-105

-235
-235

Summen: —138

-106

150 124

-124

+ 283

150

+ 283

+ 236

db,Googlc

122 Über die Zerlegung einer empiriBcben Funktion in Sinuswellen. Von C. RrNOE.

75

-75 -52.5

-52.5

245

-204

245 204

-138 -105
+ 160 +124

138

-138 -124

138
-150

-124

-105
+ 124

12 19|213 245

-213 -176.5

- 12

-176.5-204

246 204;+ 19

12 213 -213 -12 -176.5 245 19

19 2 45 -1 76.6 -204 204

; 31 458 -389.5 -12 ?:- 380.5 449 19

- 1 - 32 - 36.5 27.5 41

p: 31 458 -389.5 -12, -36.5 -32 -7

q: -380.5 449 19 41 27.5^

31 77.5 59.5 7 +4.5 - 4'5 -7

+ 838.5 -838.5 -31 -77.5 -59.5

ßedult;at: — j/ = -^--91119) + T^sinS^) + -

+ jg8in99> + jg Hin lly.

12 ■

Auch die umgekehrte Rechnung kann mau in analoger Weise auf
das Schema mit 12 Ordiuaten zurückfuhren.

Eb seien af,a^af ■ ■ ■ Oj,, bib^b^ ■ ■ ■ 6,^ gegeben. Dann sind die
Summen :

[ajC0s(ial5)''] und [fe,Bia(Aalö)<*] i = o.i,s...u

zu berechnen, wobei « je einen der Werte von 0, 1, ■ ■ 23 hat. Setzt
man 24 — c an Stelle von a ein, so bleibt cos(ilal5)" ungeändert,
während Bin(<lal5)'' ins Entgegengesetzte übergeht. Man hat also nur
nötig die beiden Ausdrücke für a ^ 0, 1, 2 - - - 12 zu berechnen. Ihre
Summe gibt dann ^„, ihre Differenz 1/^4 _„. Man faltet zu dem Ende
wieder die Reiben der Größen a und 6 zusammen und bildet die
Summen und Differenzen der untereinander stehenden Größen:

a^ a, o, aja^dsöj

bubinb^bub.

Summen: Og a^ o, 0,0^050
Differenzen: 0^ 0,' Oj flaO^Oj
Für grade Werte von a hat man dann (« = 2^)
[fljCO8(Aal5)»] = [Q^co8(^jJ30)«J und [ftjSin(AKl5)''] = [b;8inO/ä30)''l

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- The Lobrication of Plane Snrfacee. By A. G. M. Michbll. 123

für ungrade Werte {a = 2ß + 3)
[o, cos (J«15)«] _ [a; cos ((.(2^ + 3) 16)»1 _ [o,', Co. (fHi)' co« (^^30)«]

- KBm(|i45)" sin ((1^30)»]

[i,Bm(iol6)«] - [6, sin (,.(2/) + 3)15)»] _ [6,>iiiO45)"cos&.^30)«]

+ [6,cos0.45)«.inO^3O)"],

und nun iet die Rechntmg dieselbe wie oben. Man findet die Werte
A^ = {aj.coa{Xalb)''], B^ = [biBm(iKlb)°] genau so, wie oben die
Werte Ton [i/^.cos{io;I5)''J und [yjsin(ail5)''3 gefunden wurden. Man
Bchreibt diese Größen wieder in zwei Reiben nntereinander. Die Summen
nnd Differenzen der untereinander stehenden Größen liefern dann die
zusammengefaltete Reibe der y:

A^A^ Ä^ ■ ■ ■ A^^A^^

Summen: y^ y^ */, ■ ■ - i/,i y„
Differenzen: y„ tf„ i/ij.

The Lnbrication of Plane Snrfaces.

ßy A. G. M. MiCHELL, Melbourne.

The improvements made by Sommerfeld*) in the mathematicol
treatment of Reynolds' Hydrodynamical Theory of Lnbrication hare
laid open the path to its practical applicstion.

In the caae of cyliudrical bearings, however, certain corrections
and approximations still require to be investigated, before a quite eatis-
factory camparison with experiment can be made. Tbe moat important
of these is perhaps that wbich arises from the fact that actual bearinga
are necessarily of limited lengtb, whereas in the mathematical theory
of Reynolds and Sommerfeld the length is supposed to be so great
that the motion can be treated as two-dimensional.

A further obstacle which preaenta itself to the experimental veri-
fication of the theory of the cylindrical bearing is the difficulty of
determining, even approximately, the very small difference between the
radii of the joumal and the bearing.

The present Paper discuaaes an application of the theory to a esse
for wbich tbe complete Solution in three dimensions can be obtained.

This is the case of a plane slide-block of finite lengtb and width,
1} Zeitacbrift füi Mathematik n, P&;rBi)i. Band 50, pp. 97— IGG.

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124 "^^^ Lnbrication of Plane SurfticeB.

sach se the crosshead slide-blocks of steam-engines. It will appear
that when auch a plane plate, of finite dimensiona, slides over a fixed
plane surface freel; Bupplied with oil, a pressure may be dereloped in
the oil tending to keep tlie planes apart. The general features of the
caBe are the same aa in the two-dimensional problem already treated
bj Reynolds.^) It is a necessary condition of the action that the
extemal load applied to the moving plate shall act at a point behiad
its centre of ^are. The plate will then set itself so that the oil-film
is thicker on its leading than on its rearward edge.

Under the influence of the fiuid pressure, the oil will flow ont of
the interspace between the planes partly at the rear and partly at the
aides. Unless the finite plate is of great width, the amount which
flowe out of the sides will be very considerable, and the pressure
which ia dereloped in the oil, will, other things being equal, be notably
lesa than in the caae of the plate of infinite width.

Not only is the case of the rectangular plane slide-biock of mach
practical importance, bat the posaibility of forming accurate plane
aurfacea greatly facilitatea the experimental Terification of the theory
of thia case.

Ät the end of the paper a short account ia given of a preliminary
experimental verification, not niade however directly, with fluid lubri-
canta, bat by the help of a phystcal analogy hereafter explained. This
experimental method ia of general applicability, and in the absence of
a mathematical theory of cylindrical benringa of finite length, may be
worthy of systematic use for the inTeatigation of that (practically the
most important) case.

SUde-Block of Finita Width.

Let the plane rectangle ABCD (Fig. 1) represent the lower sur-
face of a rectai^ular slide-block
moving with Telocity [7 over the
y „ plane xOs, the space between

/ -« cfbfibx) '^^ planes being fiUed with a

Z' - / liquid of viscosity i.
/ To preserre Sommer*

/ feld'a notation ü is taken aa

' ( positive in the direction xO,

and to simplify the expreasions
the planes AC,xObbx% asaumed to intei sect in the line Oe, and the planes
AC,xÖy in the line AB. The width, AD — BC, of the block ia taken aa«.
1) Ogborne RejnoldB. Scientific Papera, Vol. U, p. 2i6.

DigitizedbyGoOgIC

By A. G. M. MicHBLL. 125

Let h be the distance betw^een the planes at the point xy;
8 ™ xOB the angle between the planes, and put

c=Bine, OA^a, OB=b.
Theo, h being aesnmed small compared to OA,
h = xsiad = ex.
OA'-'OA-a, and OB'^OB^h.

Now, if p be the pressure of the liquid at the point xy, the boondary
conditions will be

P = 0, when x ^ a, ar x^h, for all values of z,
and j) — 0, wben ä ■= 0, or e~x, for all values of x.

Between the two planes, AC and xOz, p, given aa a fonction of x
and z, must satisfj the differential eqoation')

or since A = ca;

It is asdnined that there is a Solution of this eqnation of the form

and w„ is a function of x only.

The int^er m can have odd values only, sine« the valne of p is
symmetrica! about z = a/2.

Thus

where m is any odd int^er.

It is convenient to write equation (1) as

the smn of the series of sines being — - for all Talnes of e between

and X.

1) OibotD« RejaoldB. loc. cit. p. 361.

D.git.zedb/GoOglC

126 The LubricatioQ of Plane 8nriaceB.

, 2iXU ,

Writing also mx =• £, and

dp dp ^ |1 dv;,„ ir„,i .

d*p td*p * T' M 3'w„ 2 3w„ , atf^i .

äj" - "■ 8? - "»^ • I j • xf - £■ ■ ■»£ + -r I "" ""•

a ? = — 2^ ■ ■ ""' ■ sin mz,
(?«' t '

the differentiatioii of the series term by term with respeet to e being
permissible because p = 0, when s = 0, and £ = x.

The coefficient of ain mz in eqnation (3) now becomes

but every such coefficient must ranish, therefore

(4) |p.+ '.?;,_(i + ^)„._| = o.

The particular Integrals of

'-;(>-^+r-sr- 1 + F "'«"0

are the BesBel's Functions /i(£) and -Ä'i(£)- The complete Solution
of the eqnation (4) may therefore be sought in the forms

(6.) w. - ^./,(0 + B.K,(i) + (C + BE + JSS' + • . .)

and

(5b) w. - Ä,IM) + B.Z,(S) + (C'+ B'S-' + i"S-> + . . .).

Detennining the eoefficients C, J), E etc. in the uaual way, equa-
tions (na) and (5b) become

«•. = ^.A(0 + «.^,(£)-t(l + ? + s'3. + 7TP^.+ --)

the last series being BemicoDTergent for lai^e values of g.
Hence, finally, restoring the values of | and k,

(6) P=Pi'\-Pi + -- •+?,„ + •■'

where
,, , Biam/( ,,/ \ , -n V / \ 2HU /. , mx' , WS' , \i

Digiliz=db,G00glC

By A. G. M. MicHBLL. 127

or
(61>) P.-%l'{A.U»-') + KK(m')-J"J,i/'-+^<'''-'+^-^'«"-' + -)\
or, writing for convenience

L,{mx) - >- ■ |_^'^j,(l + 3»ix'-' + 6 . 3'mx'-' + • • )

(' ») i>.. - »i" m» j -1. - i"- + -B. "'^ß - ■ i, (m j) )

or

(Ib) -8in»,jJ.i|K) + a;,5^_C.l,(„;j)|,

the firet form being auited for calculatloa when mx is small, the
second when tn;i: is large. The coei^cients

A„ A„ ...A„ ....

B„ B,, ...B., ...

ete.

in these equations must be asBigned so as to make p^ vanish when
X "^ a, or ar = Ä for all values of r. They will, of courae, like C, be
multiples of — ,- , whicti will therefore be a factor in the final expreesion
for p. The nuraerical calculations will ehow that the sign of p i8
opposite to that of U, so that, to obtain a positive pressure in the
eil, the elide-block must movc in the oppoBite direction to that shown
fn Fig. 1.

The intensity, p, of the preasure at xg having been determined,
the total pressure

= / j pdxds

may be found by arithmetical or graphical summation.

The Tiscous resistance, or friction, on unit area at the poiat x, o, z
is given by

where u is the velocity of tbe fluid in the direction of x at the
point X, \j, e.

The total resistance for the whole block is therefore

DigitizedbyGoOgIC

(9)

The Labricfttion of Plane Surfaces.

= »/ ^•'^ + -lfjpdxds,
(10) ___log_ + _.

SpeolaJ Caees.

The width of tfae elide-block having beeu taken as n, its form
and Position will be completely defined wheu, in addition, the three
conetants a, b, e are giren.

Since, however, ö appearo as a factor throughout the expre&aion
for p, the peculiarities of an; special case depend upon the values of
the two Parameters a and h only.

The arithmetical work is sioiplified by tabit^ a and b simple
multiples or snbmultiplee of x.

The principal numerica) resnlts will be given for foiir cases, viz:
I. Square block, a " ar, b — 2x.
II. Block of leugth three timee its width, a — 3n, b = Qa.

III. The limiting case in which the length of the block is infinite
compared to its width.

IV. The other extreme case in which the width is infinite. The genentl
theory of this case has been giyen by Beynolds.

In all these cases, ezcept (111), the ratio — is taken as 2, as the
nearest whole number to the ratio 2 ■ 2 ■ - -, which Reynolds has
shown to give the greatest mean pressure for a given mutual inclina-
tion, c, of the surfaces, in case IV.
Ckise I. Sgwure Nack.

If a =^ — ^x, mx in equationa (7 a) and (7 b) will take for the
two ends of the block the series of v^ues

X, 3», &9t, ... at the rear end,
and 2x, &x, lOs, ... at the front end.
1) The luit term ü omitted by Reynoldi. loc. cit. p. S66.

DigitizedbyGoOgIC

Bj A. O. M. HicHSLi..

129

Since p^ mnst vanish st the ende, the constants Ä^, B^, etc. are
determined vben the volnes of the ftmctions /, K and L are known
for these Beries of values.

The fanction L^ will be used when mz<C or =2«, L^ when f>i3:>2«.

The Talues of the ratioB ^, -^, -^ and --^, thua found, are
given in the foUowing table.

Table I.

AJO

BJC

>»-l

2.0004

-4.2883

■KJO

BJC

»1-3

5
7
9
11

2.6167x10-'"
4.1788x10-»
8.7640x10-"
2.0886x10-"
6.3817x10-"

-4.3687x10'
-1.0718x10"
- 3.4647 X 10'
-1.2742x10'"
-6.0643x10"

The constantB A, B, etc. having been determined, the pressure at
any point, xe, is obtained from eqaations (6) and (7) by inserting in
them the values of I^fmx), K^(mx), and I^ijnx) or L^imx) for the
given value of x, and the values of aiume for the given value of z.
In this way the pressure has been calcnlated for all points of
intersection of the lines

x=~3cx\.\, x — »x\.2, ..., a; = «xl.9,
with the lines

« = «x0.1, z = xx0.2, ..., « = «X0.9.
As the first step in this calculation the values of the fonctiona
I, K and L, are reqnired fot odd multiples .of « X l.l, « X 1.2, . . .,
n X 1 . 9. The foUowing Table II gives the Briggian Ii^rithms of these
fanctions for such multiples up to the eleventh.

The values of the Bessel's Functions in this Table have been
calculated partly by interpolation in existing Tables*), but chiefly from
the semiconvergent series.

e* (, _z_ &j_h a-6-2i--.((ati — 1)' — i) 1

84

V2|

1-

1 +

86 |a

1) Report of Bridsh Äaaociatioti, 1893.

.(«6'

I»(8B" i '

S.5 ^

. 1.6.!1...|(!»-1)'-1| .^ 1

-■- H>iT ' )•

tion, 1893.

-Aldi?. ProceedmgsBo7BlSoci«t7,1898.

D,j,i,z=db,Googlc

The Lubrication of Plane SarfaceB.
.Table II.

log,.

I,{mx)

« = 1

M=3

m-.6

m = l

M=9

m = ll

1

.662.t9

8.18862

6.81404

8.47287

11.14877

13.83602

1

.77646

3.5790

6,4764

9.407

12.367

15.316

a

.89850

3.9708

7.1406

10.346

18.666

16.797

s

1.02260

4.3639

7.8060

11.283

14.776

18.281

4

1 . 14686

4.7582

8.4728

12.223

16.989

19.767

5

1.27161

5.1584

9.1410

13.158

17,202

21.253

6

1.89684

5.5494

9.809

14.104

18.41«

22.740

7

1.6226

6.9458

10.479

16.047

19.632

21.227

8

1.6486

6.3437

11.148

16.989

20.817

22.716

1.7763

6.7419

11.818

16,932

32.068

27.206

1.0022S

7.140GG

12.49087

17,87684

23,28063

28.69611

W,.(-

K,(mx))

«/,

M-1

«=3

M^6

»1 = 7

m —

».-U

1.0

2.630:l7

i ÖU22

8.68816

11,88362

18,09860

16 32626

1.1

2 3694-J

6.1028

9.9848

12,906

16.860

18.803

1.2

2.21109

6,6734

9.2886

13.932

16.603

19.984

1-3

2.064r>4

6.2467

10.6836

14,960

17.356

21.767

1.4

3.89979

7.81S4

11.8836

16.988

18.112

22,248

1.6

3 74680

7.394a

11.186

15.013

20.869

24.732

l.G

3.59399

8.9704

12.489

16.049

21.024

25.217

1.7

8-44281

8.6467

13.794

17.080

22.385

27.702

1.8

8.29250

8.1251

13.099

18.118

23.146

29.190

1.9

ti. 14306

Ü.7036

14,406

19.146

26.906

30.676

2.0

4.99129

9.28255

16.71070

20.17876

26.66590

3t . 16487

\ag„L,(mx

log,, L,ljnx

m^t

" «"s'

™=7

m = 7

m = 9

m-ll

.46333

3.20088

4.62216

4.08098

6.76248

5.49037

1

.54241

07266

4.39602

6.9B624

6.62791

6.3««03

2

.62636

95647

4.38283

5.84248

6.51438

6,26253

3

.71437

85011

4.17798

5.7S794

6.40987

6.14812

4

.80679

76193

4.08097

5.G4116

6.31317

6.06146

6

.90017

66085

5.09066

6.62110

6.22321

6.96150

6

.99711

67686

6.90627

6.48684

6.18903

Ü, 87736

7

1.096B1

49316

6.82702

6.38772

5.05996

6,798.13

S

1.19762

42100

5.76289

5.31317

6.98646

6.72383

9

1.30063

36009

6.68177

5.21266

6.91492

6,66834

1,40516

4

28282

6.61477

6.1757«

6.84804

6.68646

:db,Google

B7 A. a. U. Mtciin.L. 131

Inserting the valnes of 7, K and L from Table II, together with

the ralues of ^ and ^ from Table I, in equations 6, 7a and 7b, the

following Table III of the ratio of p/C is obtained.

The values are, of course, symmetrical about the line e ^ ■ , so

that onlj Talues for .^ J* y leed be given.

Table m.
Distribution of FreBBnie over Square Slide-block.

x/,t

'

1.1

1.2

1.3

1.4

1,6

IG

1.7

1.8

1,9

.1

— .00266 -

-.00342 -

-.00347 -

-.00321 -

-.00279 —

00231 -

-.00178 -

-.00120 -

-.00066

.8

406

663

677

641

474

394

301

218

110

.3

498

68a

7*8

688

60(J

60Ö

384

269

1S&

A

&3Ö

767

•809

768

680

567

430

299

146

.6

661

781

636

796

706

687

446

309

1B4

The series of lines of equal pressure is shown in Fig. 2, wliich
was plotted from Table III.

The mean pressure is found by arithinetical summation tn ho

Pä-^i -00356 xC .0213 x ^.

By another approzimate Integration the position of the resultant
pressure is found to be .420 of the length of the block from its rear end.
The coef^cient of friction, found from equation (10), is

Case II. Slide-hlock of tiidtfi one-third of its leniftk.
The general Solution is of course preci»ely the same as that of
Oase I, and equations (6), (7a) and (7b) apply without alteration.
The boundarj conditiona are now howeyer

p = 0, when if = 0, and « = a,
and p = 0, when z = Sac, and x •=- Gx.
The following table, corresponding to Table III for the square
block, gives the values of the ratio p/C for the pointa of interscction
of the lines

« — ;rx0.1, z = sx 0.2, . . ., js-~ XX 0,5,
with the lineB

j — nx3.3, x = xxZ.Q, ..., x = xx5J.

nqi,.eJb.GoO«^Ic

182

3«-

The Lubrication of Pl&ne Sarfacea.

Flg. I.

Table IV.
DiBtribution of PreBenre Dv«r Slide-block, Cam n.

x/«

'/*

S.8

8.«
— .00026 -

8.9

4.2

4.6

4.8

6.1

6.4

6.7

.1

-.00023

.00022

-.00019

— .00016

— .00018 -

-.00010

— .00008 -

-.00004

.2

42

46

40

34

88

23

16

I*

0»

.3

68

69

63

46

87

30

24

18

13

.1

60

67

69

61

41

34

87

21

14

.5

61

69

61

62

48

36

29

22

U

Fig. 3, correspooding to Fig. 2 for the sqaare block, shows the
lines of equal pressure.

Approtimate integratiou giTea tJie mean pressure as

p^ .00155-

D.git.zedb/GoOglC

%r

Bj A. G. U. UiCUBLL.

Pig. s.

■^r-jo 3<i ye ^9 ■^a .^ -^ s^ J* fi7 60

The reBultant pressure acte at .39 of the length of the block
fi-om the rear end, and the "coefficieat of frictioii" is

/t = c X 143,
about thirteen times greater than in the cose of the Square block.

Gase III. SUde-Uock of infinite length.

In Fig. 4 let the plane ADC represeat the lower stirface of a
slide-block of infinite length in the direction of x, moving in the
direction xO over the in- » fig. «.

finite plane x Oe. As before
let the planes ^DC and
xOs be indined at an angle
6 — sin- ' c. Let AD = x.

The boundarj condi-
tions become

3

aod also

= 0, when a: — 6 — oo,
when ^ =- 0, z = «.
I ?>.

In the general equation (1) ^" and ^ can be assumed small in
compariaon with s-^, ezcept near the end AD.
Therefore, except near AD,

(11) 1-^--"?

and consequently, obserring the bouodary conditions,
(12)

From equation (12) the mean pressure over a section of the slid«
extending firom a; = atoa:'=6iB ^

(■3) p.-J^'L-Jp^ä.ä,

ZaitKhrift r. Hathemilik a Phf alk. U. Band. IMS. i. Heft. tO

D.git.zedb/GoOglC

ZW . ,

134

Tlie LabricatioD of Plai

from which, puttiug a = Sa, h = Qn, we find for the mean pressure
over an area corresponding to the slide- block of Caee II

j.,_ -.00268^

as compared with — .00155 -j-
obtained Arom the ezact ez-
preBsion.

This resolt indicates that
the simple expreBsions fl2) and
(13) may uasd as approxima-
tions for slide-blocks whose
length is Beveral timea greater
thaa their widtt.

Gase IV. Slide-fdock of
infinite width.
The mathematicB of this case haa been giTea by Reynolds, (loc. cit.).
For the purpose of comparison with the for^oing cases, some numerical
results are here given for the same condition,

The mean pressure ie

6 = 2a.

.0506

snd is therefore greater than in the case of the aqoare-block (I) in
the ratio 1 : .422, showing the inäuence of the transrerse flow of the
fluid iu the latter case.

The pressure at a seriea of points along the block is shown hy
the following table which giTes the values of p/C.

Table V.
DiBtributiou of Pressure in Slide-block of Infinite Width.

-PIC

1.1

1.2

1.3

1.4

1.6

l.G

1.7

l.S

l.tl

.00793

.01180

,01320

.01806

.01185

.00966

.00770

.00532

.00204

The reaultant acta at ^ ^ k X 1 .433.

The "coeiBcient of friction" is /» — c X 4.86 ■ ■ ■ and is therefore
lese than half the coefficient for the square block, viz. c X 10.83 ■ ■ ■,

The distribution of the pressure in the direction of motion in
each of the above four casea is cleariy shown to the eye by Fig. 6.

The ordinatea of the curres I, II, III, IV, referred to the scales

DigitizedbyGoOgIC

By A. G. M. MicHBiL. 135

written at the aides of the figure, give the magnitudes of Uie ratio pjC
at all points along the middle lines {z = ^/2) of the four blocks above
discussed.

:t^

Experlmental Veriflcation by means of an Elastic Analogy.
The fundamental eqnations

etc.
and

etc.

for the Stresses on the faces of the element dx dy dz, are, ae ia well-
known, equallj applicable to the motion of an incompressible yiscous
fluid, and to the deformations of an incompressible elastic solid.

In the former case u, v, w are the velocities in the directions
of X, y, e, and A is the viscosity-coostant; in the latter caw u, v, w
are the component displacements and l the shear-modulus.

The wbole of the foregoing inrestigation Is therefore ralid for
the determination of the stresses in an incompressible elastic solid,
in the form of a rectangular wedge, enclosed between two rigid, nearly

„.eKGooglc

136

The Lubrication of Plane Surfacee.

parallel, plane snr&cea, one of which is displaced parallel to the
plane of the other aud in the direction of greatest mutual inclination.
Conversely, the results of experiment upon such an elastic solid
gire at the aame time informatioa upon a corresponding case of vis-
COQB-fluid motion.

New there ezists a large claae of elaetic BubetanceB, which admit
of coQsiderable (and therefore easily-observed) deforraations approx-
imately obeying Hooke's Law, and for which the assninption of in-
compresaibilit; is nearly correct. India-rubber is a solid of this
class, but still more conrenient for the purpose is gelatine, which

may, by Solution in
^'f- ^- a suitable propor-

tion of water, be
prepared of almost
any desired rigidity
and may easily be
moulded to any
desired shape.

An appafatns
for ezperiments of
this kind is shown
in Fig. 7.

Ä and B are
two planed square
plates of cast iron,
C is a third Square
plate of Tarying thickness, the inclinatioti of the eides being aboat
5 degrees. D and D' are two similar rectangular slabs of gelatine,
each having half the taper of the plate C, so that when D and D'
are in position between Ä and C, and C and B respectively, the
plates A and B are parallel.

The plate S is formed with a pillar E, which Supports the pivots
of a pulley G, and of the lever H. This lever carriea a movable
weight, J, and bas a movable folcmro, K, which rests on the plate A.
A roller, L, carried by the plate A, bears against a smooth vertical
Burface formed on the pillar, E.

A Cord M, attached to the yoke N, which is freelj hinged to the plate,

C, near its rear end, passes over the pulley G and Supports the weights F.

The purpose of the yoke, N, ie to ensure that the tension of the

cord is applied nearly borizontally to the plate, C, even if the latter

ia slightly displaced in a vertical direction.

D.git.zedb/GoOglC

Bf A. G. H. MicBGLL.

137

The apparatus is uaed in the following manner.

The weights F and the lever H are first removed. Any suitable
small weights are then placed on the plate Ä and adjasted nntil A
and B are parallel, which ma; be determined ^ith accuracj by
applying a gange at the foor comers.

The lever, H, with the weight J, and the weights F are then
applied, and the positions of J and of the falcmm K adjusted uutil
the plates Ä and S are again parallel, and the same distance apart
as before. In thie Operation the plote C is displaced horizontally
through a digtance JJ.

The doplication of the gelatine alahs D and D' insures, from the
aymmetry, that the displacement U is parallel to A and B, and aroids
the neceeaity of gnides for this purpose and the nncertainty in the
determination of the horizontal force on C which such guidee woold entail.

The displacement, D", corresponda to the velocity; the force applied
by the falcrnm, K, to the load; and the teuaion of the cord to donble
the frictional reaietance of a alide-block (represented by (T) working
on a fluid 61ni corresponding to one of the gelatine slabs.

The point of contact of K and A correaponda with the position
of the reaultant preaanre in the fluid fllm. The horizontal diatance
of thia point ^om the vertical line through the centres of the alabs
D and D' Ta&y be denoted by e.

The following short table gives the resnlta |of measnrements on
gelatine blocbs, 12.7 cm. square, and of tbickness rarying from
(i.O mm. at the thin to 12.0 mm. at the thick ends^ (the value of c
being consequently .047), as oompared with the reaulta of the tbeory,
GaseL

Table VI.

No.

P

gm.

Fit

gm.

i

F/2P.

obBwred

calculated

Dbwived I calcnlated

1
2
3

1499
1040
1827

646
476
873

.97 cm.
1.06
.75

12.7x.080
=- 1 .02 cm.

.43
.46
.47

.51
.51
.51

It would not be difilicult to dmign an antdogous apparatus for
the inveatigation of cylindrical bearings of finite width, and of other
cases for which mathematical solutions are not araÜable.

For nae in the laboratory the method presents ohriona adrant^es,
and avoids the well-known difHculties of direet experiment on the
lubrication of bearings.

db/GoogIc

138 Mathematische Theorie der Spiegelung in abwickelbaren Flächen,

Hathematlsche Theorie der Spiegelung in abwickell>aren
Flächen.

Von Ludwig Matthiessen in Rostock.

Problem: Gegeben sei ein Kreiskegel SMiM^, Benkrectifc stehend
auf einer Ebene. Außerhalb der Achse SM^ über der Kegelspitze S
befinde sich der feste Augenpunkt Ä (Fig. 1) des Beobachters, mit den
Koordinaten SB^a und AB = b, der spi^elnde Punkt F^ auf der
Leitlinie SW der Eegelfiäche. Femer sei S das Azimut der Leit-
linie SW gegen die Leitlinie SV der Ebene ABM^. Der halbe
Spitzenwinkel M^SV gleich M^ S W des Kegels sei y, der Winkel A SB
gleich A (A > y), der Abstand des Augenpunktes A vom Kegelscheitel
AS gleich d, die Entfernung dfs Punktes A vom Spiegelpunkte P^
(Gesichtslinie) gleich x, weiter der Abstand des Spiegels P^ von der
Kegelspitze gleich s, die Seite des Kegels s, seine Höhe /(, der Radius
der Basis r und die Objektdistanz des gespiegelten Punktes P der
Basisebene vom Spiegel Pq gleich a^^.

Um zu den Gleichaugen zwischen den Elementen der Nenmann-
sehen dioptrisch-katoptrischen Formeln 'J, enthaltend den Einfalls-
winkel fj des Strahles APf,, das Azimut j der Einfallsebene PP^S
gegen die Tangentialebene des Spiegels jSPg, seine beiden Krümniuugs-
radien q' und p", die Bilddistanzen x^ iind a-j der astigmatischen
Spiegelung, sowie die Azimute #, und OC-l-^j der Brenulinien, ku
gelangen, muß man von dem aus der Erfahrung gefolgerten Satze aus-
gehen, daß bei allen Fällen der Brechung oder Spiegelung in ge-
krümmten Flächen es im allgemeinen sehr schwierig, ja oft numögtich
erscheint

für einen gegebenen lenddenden Pitvht P die RkhtuDij desjenit/in
Stnihhs 3"o ^"^ (inden^ wehher in einem noch tinbekatmten Spiegel
Po nach einem festen AtigcnpKRktc gebrochen oder ijespiegelt wird,

wogegen es meistens gelingt, in entgegengesetzter Richtung, also
direkter Richtung der Lichtbewegung, für einen z, B. von einem ge-
gebenen Spiegel pQ nach dem Augenpunkte A gespiegelten Strahl x
den zugeordneten Objektpuokt P zu erhalten. Wir werden weiter
unten zt^igen, daß das erstere A^erfahren für den Kreiskegel und Kreis-
zylinder möglieh, für die übrigen abwickelbaren Flächen unmöglich
erscheint

1) L. Matthieflen, Ann. d, Phys. 9. S. 691. 1902.

DigitizedbyGoOgIC

Yon Luuwio Matthiebskm.

In schwierigen konkreten Fällen kann man auch, um weitUlnfige
mathematiache Entwickluageu za umgehen, mit Hilfe der deskriptiveD

s^

f

^^<?^Ö

i

//

tJ-^h \\

V'\\ \ \

Geometrie an Modellen die Elemente < und r^ durch Ausmessung dieser
Winkel suchen. Um dennoch eine allgemeine Lösung des Problems

db/GoogIc

140 Mathematische Theorie der Spiegelung in abwiokelbareD FlScbeD.

zu bewerkstelligen, kann man in entgegengesetzter Ricbtang der Licht-
bewegung für einen gegebenen Spiegel, z. B. die Leitlinie SPq, die
Gleichungen sie Funktionen deB AbstandeB SP^ — e tind der Elemente
des Kegels suchen und auf diesem Wege alle zugehörigen Objekt-
puukte F einer g^ebenen Fläche oder ihre Polargleichung (p, x)=-0
erhalten, wie im folgenden rersucht werden soll.

§ 1. Wir wollen zunächst in Berücksichtigung der Schwierigkeiten
des allgemeinen Problems den speziellen einfacheren Fall betrachten,
wo das Azimut d zwischen dem EauptachDitte, d. h. der durch den
Augenpunkt A und die Achse gelegten Ebene, und der B.eäexionBebeue,
also auch das Azimat c gleich NuU ist, folglich sämtliche Dimensionen

in der Hanptebene liegen, weil die allgemeinen

Gleichungen f Or d = hierauf stets znrUck-

fQhreu müssen.

Aus Fig. 2 ergeben sich mit Leichtigkeit

folgende Relationen:

e*+2decoB{X + y) + d';

drinq + y)
Vi' +2 dl coa{l+r) + d*'

(s-

«)«

-« 8inCe,-y)-'
j) = d sin (i + y);
q = d cos l sin y;

t) coae,

ÜWP " « = 90».

Aus (3) und (6) folgt, daß die Grenze des
sichtbaren Objektfeldes in dieser Richtung bestimmt wird durch die
Ungleichung ^ > y. Ist e, — y, so liegt P im Unendlichen. Der
nächstliegende Objektpunkt liegt stets an der Peripherie der Kegelbasis
in W] hier ist also x^ = 0. Für die auSerste Grenze des Sehfeldes ist
nach (2)

d Bin a + v)
cos e, = cos y = -— ^ ■■ ■ ' ■■■ ■ . ■

yr'-|-2drco8(l-l-].)-|-d'

Daraus ergibt sich der Ort des konjugierten Spiegelelementes P,
■ CO» 7

DigitizedbyGoOgIc

Von LUDWIO HlTTHIISSER. 141

Höher gelegene Spiegelpnokte geben keine Bilder. Die Konstruktion
der beiden astigmatischen Bilder von P, nämlich B^ und B^, erfolgt
am Ende.

§ 2. Der Spiegel S W sei nun allgemein um das Azimut 6 gegen
die Hauptebene geneigt; dano werden sämtliche Dimensionen räumlich.
Wir suchen znnüchst die Gesichtslime AP(,'^x zu bestimmen. Wir
denken uns an den Spiegel jS* W die Tangentialebene gelegt, auf welcher
die EinfallB' und Reflexionsebene senkrecht steht j,^^ ^

und in welcher das Azimut t der letzteren liegt.
Die Tangentialebene ist 8WQ (Fig 1), also
M^WQ = 90^. Um 3; zu finden, suchen wir den
Winkel ASN — ii in dem sphärischen Dreiecke
ANL {N liegt im Spiegel SW, L auf der Haupt-
leitlinie SV). An diesem spl^rischen Dreiecke der Ecke SAWV
liegt die gleichschenklige Ecke SM^WV; das gleichwertige sphärische
Dreieck dieser Ecke sei Pf^OR (Fig. 3). y,^ ^

Für seine Winkel und Seiten gelten folgende
Beziehungen:

COBl(i = C08J'* + si

H4!l__^jr

'^costf— 1 — 2sinj'*BinjÄ*,
Q it- — 2 ein y sin 5 d 1/1 — sin y' sin -J- d*,

tang

coH»

n^a«

Hieraus ergeben sich die Winkel des sphä-
rischen Dreiecks ANL (Fig. 4)
£-180»+(A + y),
cos ^ = coB E cos ^ ~ sin S sin 4' cos g.

Setzt man die gefundenen Werte ein, so

kommt

coBft=— co8Xcoej'+8inA8inj'cosd= — co3.i/.

Demgemäß ist nun

(8) x'= s'- 2decoB(i + d* =

Zu demselben Resultate gelai^ man, wenn man von x in § 1 ausgeht
und & um J am die AohBe dreht. In RQckbeziehnng auf die Formeln
in § 1 geht die Gleichung (8) für * = in (1) über.

§ 3. Es möge weiter eine Belation für den Einfaliswinkd e^
gesucht werden. Zu dem Zwecke projizieren wir den Augenpunkt Ä
auf die Tangentialebene SQW] die Projizierende AC sei |>. Ebenso

= z^ -\- 2 ds 009 ^ -\- d*.

db/GoogIc

142 Mathematische Theorie der Spiegelung tD abwickelbaren Flächen.

projizieren wir B auf diese Ebene; die Projizierende BK eei q. Ferner
verläcgern wir AB=h rQckwärts bis zum Durcbsclinittspunkte D mit
dereelben £bene; die ßückwärtsTerlIngerung Bei h. Daa zugehörige
rechtwinklige Dreieck ist dann A CD mit der Hypotenuse ^ Z* — i = 6 + Ä'.
Alsdann ist

Die Projizierende ;) läßt aber noch eine zweite Bestimmung zu, welche
sich ans dem Dreiecke A CD ergibt (Fig, 1). Zunächst ist 5 für alle
Werte von 3 eine konstante Gröfie, nämlich

(10) 2 — a sin j" = d cos X sin y-

Bezeichnen wir den Neigungswinkel Yon p gegen h, also CAB mit ij,
so ist der Winkel bei D gleich 90° — rj. Leicht ergeben sich folgende
Beziehungen :

^ = (6 + jt) coBi? = (fc + d """^^""^ ) COBIJ,
also

(11) p = d(sinA COS7J + cosX siny).

Dabei wird rj — 90" für 3 — 90", also p = q — d cos l sin y. Ist 3 Ton
Null verschieden, so ist weiter rj zu bestimmen. Eine Beziehung dafür
ergibt sich ans demQnadraBtendreieckeifB2'(Fig.5)
der Ecke BDKS, mit den Seiten ij, 90*— j- und
dem der ersteren gegenüberBtehenden Winkel 3.
Es ist

cosi; = cosycoBd.

Daraus findet man nun
p -^ d (cos A sin y + sin X cos y cos S) = d cos ß.

Sl ist demnach der Winkel, welchen die Projizierende j) mit der Linie
AS =^ d bildet. Man erhält also den Wert von e, aus

dcoea

008?»= -,-- ^ - ■ --=^-- --- ■

* V^' + 2 dx cos J + d'

Es ist demnach ^ desto größer, je großer s ist. In
RUckbeziehung auf % 1 geht die Gleichung für S —.0
in (2) über.

g 4. Wir haben femer eine Belation für das Azimut t
aufzustellen. Eine solche ergibt sich auB der Betrachtung des recht-
winkligen sphärischen Dreiecks SFG der Ecke P^SFC oder P^ WUT
(Flg. 6).

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Von Li^L,
Man findet
(14) cos c - sin c, = cos ß, i

tano => -:-'-.

Nun ist ß ein Winkel des ebenen Dreiecks ASP^, Trelcher der Seite
AS = d g^enüber liegt, also ist

.in^:Bin,.-

d:x, 1 -

COB/)'-(l

-cos^:.

Daiaos

folgt nunmehr

(15)

cos t ■ sin f

,-cos^-

2 + ,il

Ol J

Der Wert von sinp, ergibt sich aus

1 (13), nämlich

(16)

sin f j

d'

In Verbindung mit (15)

erhält man

i daraus

(17)

COB£ =

'_±<lco,J

yä' 4- a rfi coa J 4 rf' si;

.ii'

(18)

sin £ =

iin 1 sin J

.--

.B J + ri' *

Ans den Gleichungen (13), (Ifi), (18) folgt

(19) sinf ■ tan& = — , . — "-,— .-, , =cOüst.

Daraus ergibt sich weiter, daB nach (14) auch o ein konstanter Winkel
ist, also

coto — Bin« tan e,.

Das Äzimnt s erreicht ein Maximum tür z ^0, der Winkel e^ ein
Minimum. In Rdckbcziehung auf § 1 wird t ~ für tf = 0.

§ 5. Wir haben weiter eine lielatio»
für die (^ijehtahszme PgP = x^ zu sucben
Diese erhält man aus dem ebenen Dreiecke
PffPiV, wofür folgende Gleichung gilt:

(20) X,

(-'

•Bß -\- cot <a B

Um 6) zu finden, betrachten wir das spliä-

rische Dreieck der Ecke WFf,PU (Fig. 7), -yS^-

welches ein Quadrantendreieck ist. Man

findet daraus

(21) cot ca ■»• — tan y sinu, cotjt = coty coto = sin« ■ tanf, c

db/GoogIc

144 Mathematiicbe Theorie der Spiegelung in abwickelbaion Flächen
Daneben ist nach (14)

coBjJ = cos« ■ sine^, sin (3 = yi — cosi* sine|, sino = coscj : sin^.
Daraus folgt nnnmetir

In RttckbeBiehung auf § 1 wird « = fdr Ä = 0, also nach (3)

^ = iziü iirzAS^.

ein e, — tan y coa f, Bin (e, — y)

§ 6. Es läßt sich nun auch noch der Ort des Objektptinktcs P in
bezug auf die Tangente WQ bestimmen. Seine Polarkoordinaten in
der Basisebene sind WP= p und x. Es iet im ebenen Dreieck WP^P

p : a:^^ sinjS : sin©.
Nach (21) ist

cot to = — tan y - sin =-

Daraus folgt

(23) Q = x^yr~co3 £* t

l/ain ß' + tan y

_(»— z)(iyainzf'-{-tany'ci
t -^ d {co8 iJ — tan Y coi

n e| + tan y' cos (^ =

In Kückbeziehuug auf § 1 wird £ = für ä = und gemäS (3) und (6)

p : «D — cos Cj : cos y.
Der Polarwinkel a ergibt sich aus (21)

(24) cotjt -° sine ■ taue, coay = —yiTir r — *:■

^ ' ^ ' cot I tan y -j- coB S

In Rttckbeziehnng auf § 1 wird f = für * = 0, also gemäß (7) jr = 90".
AuB der Beschaffenheit der Gleichung (24)
geht hervor, daß sie von x oder e un-
abhängig ist, also zu einer bestimmten
spiegelnden Lettlinie der Kegelääche eine
geradlinige Objektknrve gehört.

Die Eigenschaft des Polarwinkels x
als einer konstauten Größe kann unu be-
nutzt werden, die umgekehrte Richtung
unserer Entwicklungen, also den direkten
Weg der Lichtstrahlen von einem ge-
gebenen Objektpunkte P nach dem Augen-
puukto A zu verfolgen. Es ist in der
Einleitung die Bemerkung gemocht, daß dies Tür den Kreiskegel, also
fluch fSr den Kieisz^linder, möglich sei. Es gelingt auch für die

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Yon LuDwia MiTraiKsgEir. 145

Eogelfläch«, dagegen wohl kaum für den elliptischen Kegel and
andere abwickelbare Flächen. Wir wollen unser Problem in dieser
entgegengesetzten Richtung verfolgen.

Es sei Mf, (Fig. 8) das Zentrum der Kegelbasis, r ihr Radius,
PM^ —u, SW der gesuchte Spiegel, also S sein gesuchtes Azimut, a
das Azimut vom Objekte P; dann lassen sieb d, n und alle übrigen
optischen Elemente finden. Es ist zunächst

oder

und gemäß (24)
cotar

= cosjT : COS (« -f- a — d)

eot« = -

Bin (a - d )

«*+»

cot Z tan 7 + C08 *

Drückt man alles durch tanS aus, so ergibt sich
,„„, (1 + tan d') { (cot i tan y — ^1 tan S — eotX tan }> sin o; |
= ( sin a tan d'-{-2 cos a tan d — sin a } *,

also eine biqaadratische Gleichung nach tan d. Derselben genügt iür
a = 0* (Hauptebene) der Wert J = 0". Setzen wir in einem konkreten
Falle A = 41''30', y = 30"30', « = 80», w= 25 cm, r= 12 cm, s = 24 cm,
so wird die Qleichimg (26) in numerischen Werten:
0,8370 tan d* + 0,2061 tan Ö'- 2,3818 tan ö'- 1,1619 tan* + 0,6398 - 0.

Ein Wurzelwert dieser Gleichung ist tanÄ= 1,7326, also d^ = 6(y0'.
Die übr^bleibende Gleichung ist

0,8370 tan d« + 1,6573 tan d» + 0,4896 tan Ä - 0,3126 = 0.

Ein zweiter Wnrzelwert ist tan d =- 0,2959, also d,'-16''30' oder
— 163" 30'. Die übrigbleibende quadratische Gleichung ist
0,8370 tan d» + 1,9050 tan d + 1,0533 = 0. '^

Die Wurzeln sind ebenfalls beide reell undnegatir, nämlich d,= ~ 43^30',
d^=- — ÖS^O'. Der einzig brauchbare Wert ist d, = 60'*0'; es entsprechen
entweder alle drei der inneren Inzidenz bei durchsichtigem Kegel, oder
vielleicht auch nur einer. Welcher Wert, darüber zu entscheiden, be-
darf einer besonderen Untersuchung.

Aus d^ berechnet man it und ff; dies aus
ff : II = sin (h — tf) : cos x.

D.git.zedb/GoOglC

146 Mathematische Theorie der Spiegeloog in abwickelharen Fl&cben.

Dabei findet man % = 53" 20', p = 14,1 cm, J — 61»30', U = 48» 20',
e (auB (23))= 10,5 cm, x (aus (8)) = 20 cm, ^ (aus (9)) = 65"0', «(ans (24))
= 23" 40', x^ (aus (22)) =- - 23,2 cm.

Um diese Werte zu berechnen, kann man auch auf folgende Weise
verfahren. Man verbinde den Objektpunkt P mit dem Augenpunkte Ä
durch die Gerade t. Es ist dabei

(27) (* = M* — lau sin i cos a + s* cos j-' + 2(?s cos i cos y + d*.

Die Linie t ist auf den Spiegel S^Y zu projiziren, wozu man noch
den Objektpunkt P auf denselben zu projizieren hat. Ist ;>, die
Projizierende und wie in (12) j) die Projizirende des Augenpunktes\^,
so ist

j) — d (cos / sin j" -|- sin A cos y cos d), P\^ ^ sin y sin st.

Ist (j die Projektion von t, so ist

Mau findet dann leicht durch Konstruktion (Fig. 9) und Berechnung
die Gesichtslinie A'Pf,=^ x, die Objektdistanz P^P^-ir^, den Ort Pp

des Spiegels und den Einfallswinkel e^.
^'' '' Das Azimut c der Einfallsebene gegen

den Spiegel BW ei^bt sich aus (19)

COB I sin 7 + sin I cos j- cos J

Die vorstehenden Untersuchungen führen
schließlich zu dem Satze, daß allgemein
für alle abwickelbaren Flächen bei einem festen Augenpunkte zu
einer Leitlinie als Spiegel krummlinige Objektkurven geboren, welche
auf einer beliebigen Ebene liegen. Das Problem läSt sich aber nur
punktuell für die abwickelbarea Flächen verallgemeinern, insofern als
an die Stelle der gemeinsamen Einfallsebene eine gewundene Fläche
eintritt, wobei sich die Elemente X, y, S fortwährend ändern. Die
Objektkurven auf irgend einer krummen Fläche findet man dadurch,
diiß man die Darchschnitte der EinfallsflUchen mit jener Flacjie kon-
struiert.

§ 7. Die streifende Inxidetiz. Wenn mnn vom Augenpunkte aus
die zwei Tangentiidebenen an die Kegelflüohe legt bis zum Durch-
schnitt mit der Basisebene (Objektebene), so begrenzen dieselben ein
ringförmiges Flächenstüek, in welchem sämtliche von A aus sichtbare,
gespiegelte Objektpunkte enthalten sind. Wir erhalten dasselbe in

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mathematiBchei Form, wcdb wir «j^öO" setzen (streifende Inzidenz)
Die BeetimmUDgagleicliuiig ist

(28) cofl (180 - d) = cot A tan y.

Diese Gleichung ist also von z imalihängig und das ringförmige
FlächenstUck nach beiden Seiten geradlinig begrenzt. Dasselbe folgt
auch aus der Formel (24) für den Polarwinkel %, indem- für alle
Spiegelpnnkte Pg bei der streifenden Inzidenz st = wird, also die
Objektkurve mit der Tangente der Kegelbasis koinzidiert. Abhängig
von SPq=s sind aber die Elemente e, x, x^ und p. Wir wollen die-
selben eiuzeln betrachten.

a) Das Aeiniut t hat ein Maximum für z = 0, ein Minimum fUr
g =- s.

Pttr £ — wird

Bio l sin S
'""--^.inS--

Setzt man den Grenzwert von d ein, so kommt

cos. = ^''\ si«._-|/l"r"(££liy.

Da wir i > y angenommen haben, so ist cos A : cos y ein echter Bruch
and c reell. Für « = s wird nach (17)

gj^dcOBd

~ ys' + 2 dg C08 ^ +~S'8Tq Ü'

Setzt man für $ seinen Wert ein, so wird

l/,i J- 2 rfs ^^ -t- d'

T COSy

Dies ist ein echter Bruch filr i> y, er ist größer als der vorher-
gehende, welcher g^O entspricht; es nimmt also t mit wachsendem g ab.

b) Die Objelidistang x^ hat ein Maximum für ^ — 0, ein Minimum
für :? = 5,

Für * = wird

Setzt man den Wert för 3 ein, so wird

x^=- s- ^^ ■
Für « — s wird «^ =• 0,

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148 MaUienatiBGlie Theorie der Spiegelung in abwickelbaren Pl&chea.

c) Der Badiusvektor 9 des &>jeJc^inktes iat ein Uaximam für
fr = 0, ein Uinimum für e — s.
Für « — ist

, « ' ain 1 Bin 4
f> •= staUE = — i — -,

und wenn man den Wert fQr d einsetzt

Ffir g — s wird p = 0, Der Polarwinkel « ist bei sbreifender In2ddenz
gleich 0.

§ 8. Die Berechnung der Bildweiten und ihres Astigmatismus.

Für die Berecl^lUI^; der beiden Bildweiten x^ and x^ gegebener
Objektpnnkte gelten die drei bekannten Nenmannschen Öleicbnngen *)
ßlr die Brechung oder Spiegelnag bei schiefer Inztdenz anf krumme
Flächen. Für den Fall, welcher hier vorliegt, daß das einfall«nde
Strahlenbflndel homozentriach ist, abo ^ — Xg, lauten dieselben

(29) y- n^-'-"V'. , -,|-^+^''».^('-'"^+"°*-)|-I,

^""1 (,,,in.-+,,co..').in(,,-,,)( ,.+.m,,\ ^ + ,, J}-^-

Hieraus berechnen sich 9^, Xj nnd a-, mittels folgender Gleichungen:
Es sei

a^ a^i " ^t ^1

f * — ' ] sin #, cos »,= E..
Daraoa erhält man

^ + i--p. + «.. (i-;-)«..2»,-e.-p.,

und weiter

(32) U«2»,-jiiSj-, ;:',_-?,«.-■'?•

Es sind also ^c^ und x^ die Wurzeln von

(33) (i - p.) (i - «.) - s;.

1) C. NenmaDD, Ber. d. S&chn. Qei. d. Wim., math.-plijd. Sl. (ISSO) S. 68.

DigitizedbyGoOgIC

Von Luawia MATTHlESaBK, 14Ö

Die dioptriBcIi'katoptriBchen Gleichungen lassen sich mit ROoksIclit auf
unser spezielles Problem noch Tereinfachen. Es ist der KrUmmnngs-
radius des Hanptnormalsclimttes Ton dem Spiegel SF^ W p, = oo, der
des Nebennormalsclinibtee p, •» 7^ (Normale) = « tan y; c^ = — ^ . Die
drei Gleicbnngen (29), (30), (31) redozieren sieb aaf folgende:

Hieraus ergeben sieb die Oleicbungen iüi die Bildweiten x^ nnd x,,
sowie die Drebung #, der einen Brennllaie gegen die Ein&llsebene
c, (l — COB f ' sin ej^ — 2 p, C08 e,

COS 2 dg =
tan2fr,=

Es sind dann :r, und % die Wnrzeln der qoadratiscben GleicbuDg
^- _ 2 ''«(^ - coB f'ain«;) — e, COB «, £

^^.(l -coBt-Bm. O -,.co,., ^

Dieser Gleichung genügt der eine Wert ^i =- — a^o, d. h. die erste
Brennlinie liegt immer ebensoweit jenseits des Spiegels Pg wie der
Objektpunkt. Die zweite Bildweite ist

x„ 0, coa <»____

(38) «.-- , , . „

2a^(l — cose' Bini-;) - „ ,

In RQckbeziebang auf § 1 ist « — fUr d =~ und

1 _ 9 a:. coaf, — N 1 _ ix^eoae, — N _ „
a;' '^" x^N ' X a^^N ~"'

also

fl?, Xg, a^i"2^c oB,.^.y ' Jf=«tan>'.

Für die Hauptebene wird femer tan 2 #j = 0, also fr, = 0".

ZMtKhrittr.M>lhoniaiIku Pli;illi. Sl.Baud 1W6. S. Heft. 1]

Digitizedb/GOO«^IC

150 ßie BewegungBgesetze der Teränderlichen MnsBe.

Wenn der Augenpunkt in der Achse liegt, glso in S, wird
Jl = 0» und

cos e, — ^._ _ - ■

Igt zugleich ^ der Polwinkel bei B, so ist

e = BiiTJ-'l^y) ">»<* «°*V = 77|J,y + coty.

Um die Orter der Brennlinien B, und ^ zu finden, berechne man
nacheinander z, e^, N, x^, x^ und x,. Man konstruiert B^, indem man
den Gegenpunkt von F (Fig. 2) zur Seite s sucht (ebener Spiegel);
das Bild B^ erhält man, indem man P mit V verbindet; der Schnitt-
punkt mit der Gesichtslinie ist der gesuchte (sphärische Spiegelung).

Wenn man der Kfirze wegen an einem Modell * und e^, sowie die
Dimensionen x^ und ^j ermitteln kann, führt die Auflösung der
quadratischen Gleichung (37) ebenfalls zur Bestimmung der beiden
Bilddifitanzen x^ und x^. Es ist dabei zu bemerken, daß in Beachtung
der Richtung der Lichtbewegung in den Neumannschen Gleichungen
x„ negativ zu setzen ist.

Für unseren Spezial&ll ergeben die Keumannschen Gleichungen
noch folgende Wette der katopbrischen Eonstanten ffir den Objekt-
punkt P.
Qt=N-' 0,618, a;j = — a;„ - 23,2 cm, x^ - 3,56 cm, *, =- 43" 57'.

Aus dem Werte von ^j folgt, daß sich die Fokajebenen Sb^ and S^a^
um 44° gegen die Normalebene der Leitlinie gedreht haben.

Die Bewegangsgesetze der veränderlichen Hasse.

Von Ferdinand Wittenbauer in Graz.

In gewissen Untersuchungen der technischen Mechanik ist es
manchmal notwendig, die Masse des bew^en Punktes oder Körpers
als veränderlich anzusehen. Man versteht darunter nicht immer eine
wirkliche Änderung der Masse, sondern die Veränderung des Einflusses,
den die Masse auf die Bewegung ausübt.

Fr^en dieser Art müssen mit Vorsicht behandelt werden; die
geläufigen Bew^ungsgesetze, welchen durchwegs eine unveränderliche
Masse zugrunde gelegt ist, gelten hier nur mit Einschränkungen und
bedürfen einer Überprüfung.

Eb ist vielleicht keine undankbare Aufgabe, die Bewegungs-

DigitizedbyGoOgIC

rTBMRAÜEl. l&l

gesetze der Teränderlichen Masee hier kurz zuBammenzuBteUen und an
einigen Beispielen zu erläutern; eine Reihe Ton Fehlem, die in
Arbeiten von sehr bedeutenden Autoren zu finden sind, kennzeichnen
die Schwierigkeit der Frage.

Die Veränderung der Masse eines bewegten Körpers kann auf zwei
grandBätzlich verschiedene Arten erfolgen.

L Wirklidie Zu- oder Abnahme der bewegten Masse;

II. Gedachte Veränderung der bewegten Masse.

Die erste Art, die n, a. beim Auf- und Abwickeln schwerer'
Ketten vorkommt, die zum Teil noch ruhen oder zum Teil wieder
in Ruhe gelangt sind, wurde in der Literatur vielfach, aber oft fehler-
haft behandelt.

Die zweite Art kommt vor bei Maschinengetrieben, deren bewegte
Masse nach einem ausgezeichneten Punkte der Maschine reduziert und
eben durch diese Reduktion veranderlich, d. h. von der. Stellung des .
Getriebes abhängig gemacht wird.

Diese beiden Arten weisen, so verschieden sie sind, gewisse Be-
ziehungen auf, die den Einblick in diese eigentümlichen Bewegungs^
geeetze erleichtern.

I. Wirkliche Za- and Abnabme der bewegten Hasas.
1) Es sei M eine in Translation begriffene Masse, v ihre Gft-
seh windigkeit, P die in der Bewegungsrichtung wirkende Kraft,' dt das
Zeitelement; dann ist nach dem Satze vom Antriebe
d(Mv) = P-dt

Tritt nun im Zeitelemente dt eine kleine Masse dM mit ier
Geschwindigkeit v' hinzu, so ist die Änderung der Bewegui^sgröße:
d {Mv) -Pdt-{-v'-dM (1)

Diese Gleichung, welche den Vorgang in einfacher xmd durch-
sichtiger Weise erklärt, wurde von Routh in seiner „Dynamik der
Systeme starrer Körper" (deutsche Angabe, Band L Seite 273) g^ehen.

Ist zufällig v' =~ V, dann geht Gleichung (1) über in
Mdv ^Pdt

d. h. es gilt das Beweguugsgesetz der unveränderlichen Masse
dv P

Ist hingegen v' nicht gleich v, so wird Gleichui^ (1) - -

Mdv + {v-v')-dM-P-dt

152 ^'6 Bewegungagesetze der vei^nderlichen Haad^.

und die Beschleunigimg

_ ■?_/,,_,'■, 1 rfJf
y M '> •' ' M' d(

oder

>■ »— - ^2)

Hier maß also die Veränderung der Masse bereits berücksichtigt werden.
Zu demselben Resultate gelaugt man auch mit Hilfe des Arbeits-
prinzipes. Zu Beginn des Zeitelementes ist die Bewegungsenergie
der Masse M: ^Mv*, jene der hinzutretenden Masse: irfJf-«'*; am
Ende des Zeitelementes ist die Enei^ie der vereinigten Massen:
^ (M -f dM) (v + dv)*. Berücksichtigt man, daß die Masse» M und dM
mit ungleichen Geschwindigkeiten v und v' zusammentreffen und ihre
Bewegung mit gleicher Geschwindigkeit v + dv fortsetzen, so erkennt
man das Eintreten eines unelastischen Stoßes, dessen Energieverlnst

ist. Das Arbeits-Prinzip liefert also die Gleichung

{{]if+dM){v + dvy-\Mv'-^dM-v-*+\dM(v-vy=P-ds-{3)

woraus

d(Mi}) = P-dt + dM-v'

also wieder Gleichnis (1) folgi

Es soll dies an einigen Beispielen erläutert werden.

2) Ein Wagen, mit Wasser oder Sand gefüllt, laufe auf hori-
zontaler Straße; er verliere durch einen Schaden des W^ens gleich-
förmig seine Masse, so daß

wenn Jtf^ die anfängliche Masse and k eine Konstante ist. Daon wird

Gleichung (1)

d {Mv) cMg -dt + v dM,

worin e die Konstante des Straßenwiderstandes ist und v' = v gesetzt
wurde, weil die abfließende Masse den Wagen in Richtung der Be-
weguag mit der Geschwindigkeit des Wagens verläßt.
Es bleibt also

dv = ~ cgdt
oder

f=-~cg

wie bei konstanter Masse. Das Abfließen der Masse hat also keinen
Einfluß auf die Bewegung des Wagens.

D.git.zedb/GoOglC

Von Ferdinuiu Wittenbaiteb. 153

3) Derselbe Wagen erhalte während seiner Bewegang den gleioh-
förmigen ZnflitS von Hasse ans eineoi in Ruhe befindlichen Rohre.
Dann ist

Findet der ZofloB vertikal statt, bo ist in Richtung der Bewegung v -^0
und Gleichung (1) wird

d(Mv)~-eMg-dt.

Die Int^ration dieser Gleichung liefert
sowie

r--«i;-i[Jif.''.-f «+«)<]•

Die Zeit, welche bis zum Stillstand des W^ens vergeht, ergibt
eich mit

-w

1 + -2-*i'« -

während sie ohne Vermehrung der Hasse, also tüi k = 0, den Wert
hätt

4) Resal behandelt in seinem Traite de mecanique generale,
T, I-, p. 339 folgende Aufgabe:

An dem einen Ende eines Fadens, der fiber eine Rolle mit hori-
zontaler Achse läuft (Fig. 1.), ist eine Hasse M befestigt, an dem
andern Snde eine ebenso schwere Kette, ^ie zum ^ ,

Teile auf einer horizontalen Ebene aufgehäuft liegt; y — ^

f gf]

n.

mui ermittle das Gesetz der Bewegong.

Ist X die Länge des bereits emporgehobenen Ketten-
stOckes, [i seine Hasse fSr die lÄngeneinheit, so ist,
wenn man von der Hasse der Rolle absieht, nach
Gleichung (1)

d[{M + iix)v] - (if - iix}g ■ dt

weil die Geschwindigkeit v' der neu hinzukommenden Kettenglieder
null ist. Diese Gleichung liefert also:

^v J + {M + iix) -^^ = {M~iix) g-

N^ennt man den Drebungswinkel der Rolle, so ist

ib.Goo«^Ic

154

und somit

Die Bewegongtgesetze der Teränderlichea Mmbc.

I"' (vi)' +(-11+1":)' -ii°F - (Jlf - C«) • »

die Differenz ialgleichnng der Bewegung.

Resal vei^ißt, die Teränderliclie Masse xa berücksichtigen; er
unterdrückt dadurch das erste Glied der obigen Gleichung und findet
bei YemachUissigung der Bollen-Maeee

dt'~' (.M+nx)r'

5) Herr Piarron de Mondeair beschäftigte sich in seiner Ab-
handlung: Sur la foree (M^moirea de la societe des ing^ieura civils 1887)
mit der Veränderlichkeit der bewegten Masse. Er zeigt, daß sich das
Gesetz der lebendigen Kraft auf veränderliche Massen ebenso anwenden
läßt, wie auf konstante Massen, vei^ßt aber, die bei Veränderung der
Masse auftretenden Stöße zu berSckBichtigen
und kommt ebenfalls zu unrichtigen Resul-
taten. Herr de Mondesir Tersncht folgendes
Beispiel zu lösen:

Die höchsten Enden zweier homogenen
Ketten, deren Massen fi und fi' für die
Längeneinheit sind, werden durch einen
undehnbaren, gewichtlosen Faden verbunden,
der über eine Rolle läuft (Fig. 2). Zu
Beginn der Bewegung ist die rechte Kette bis zur Höhe l auf-
gezogen, nährend die liqjce ganz auf einer horizontalen Ebene li^t;
nach der Zeit t ist die rechte Kette um 2 gesunken, die linke hat eich
um gehoben. Man suche die Bewegungsgleichung der Kette ohne
Rückaicht auf die Masse der Rolle und die Widersfönde.

Benützt man wieder die Gleichung (1) und setzt die ganze be-

/~\

wegte Masse

die bewegende Kraft

M-

: Zfl' + {l-

(l - e)gii -

und beachtet, daß die im Zeitelement hinzukommende Beweguogsgröße

n'v' ■ dz~- fiv ■ dx
und Überdies v' = o ist, so wird die Gleichung (1)

d\[x[i' + {l~B)(t]o\ = 1(1 — z) [t — z(t']gdt — (ivdz

oder

v*ii'dz + vdv{p,l + 0»' — ii.)z] = !f[iiJ -

Digiliz=db,G00glC

Von Fbkuinanp Wittenbaubb. 155

Geht man hingegen vom Arbeiteprinzipe aus, so müßte gesetzt werden:

Bewe^ungB-Energie der Kette + Enei^everlust durch Stoß (links tind

rechts) « Geleistete Arbeit
oder

Differenziert man diese Gleichung, so erhält man Gleichung (4) wieder.
Die Integration der Bewegungsgleichimg (4) liefert filr die Ge-
schwindigkeit d^n Ausdruck

,,j isi^l 1 _ 1 f'+f^ _ r c< 1 ;;^ l

Herr Piarron de Mondesir findet Gleichung (5), jedoch ohne
die beiden Integrale; er hat also die auftretenden Energie-Verluste
durch Stoß unberlickaichtigt gelassen.

Er findet demgemäß

(»' + (*»' — P)«

Haben beide Ketten gleichviel Masse in der Längeneinheit, d. h. ist
fi' ^ (i, so wird Gleichung (4)

v'dg -f- Ivdv = g(l — 2z) ■ dz
und

.■_2j([l--f-«-V],
während Herr Piarron de Mondesir in diesem Falle

findet. Er bemerkt, daß dieses Resultat auch aas der Gleichung von
Lagrange für konstante Masse entnommen werden könnte, weil die
gesamte bewegte Masse jetzt unveränderlich gleich (il bleibt; dies ist
richtig, allein es darf nicht vei^essen werden, daß trotzdem auch jetzt
noch wie früher rechts und links Energieverfuste durch Stoß auftreten,
welche das Resultat beeinflussen.

DigitizedbyGoOgIC

156 I^ic Bewegtmgsgeaetze der veränderlichen Maasc.

II. Oodaclite Verändernng der Masse.

(Reduktion der Masse.)

6) Ist dm ein Massenteilchen des bewegten Körpers, u seine
Geschwindigkeit, v die Geschwindigkeit eines bestimmten Punktes
ü des Körpers, so versteht man unter

:</«•

dm- (6)

die nach B. reduzierte Masse des Körpers und S. selbst nennt man
Reduktionspunki

Es ist ohne weiteres klar, daß die reduzierte MAsaq die gleiche
Bewegungsenergie haben wird, wie die wirkliche Masiie des Körpers;
ebenso ist aber aus Gleichung (6) auch zu entnehmen, daß 3D{ eine
veriinderliche Größe sein wird und als Funktion des tou B, zurück-
gelegten Weges s aufgefaßt werden darf.

Ist ferner P ii^end eine auf den Körper wirkende Kraft, w die
Geschwindigkeit ihres Augridspunktes, so versteht mau unter

$-A2;(p„)... (7)

das nach dem Beduktionspunkt R reduzierte Kraftsystem des Körpers.

Auch ^ wird veränderlich sein und kann als Fuuktioo von s auf-
gefaßt werden; man kann $ als Einzelkraft Ton
veränderlicher Größe denken, die auf die ver-
änderliche Mause ISÜ d^s Punktes B. einwirkt.

Wir wollen dies an einem Beispiele der
ebenen Bewegung näher beleuchten.

Ein homogener schwerer Stab AB (Fig. 3)
gleite aus der ruhenden Anfangslage <p ^^ ip^ aa
Wand und Boden abwärts. Wählt man das

Fußende A des Stabes als Keduktionapunkt und nennt s seinen Weg,

so ist die nach Gleichung (6) reduzierte Masse

2K= -^- = ^"*_.

3sm'q) 3(Z' — «*)

worin M die wirkliche Masse des Stabes und l seine Länge ist.
Femer wird nach Gleichung (7) die nach A reduzierte Kraft

db/GoogIc

Von Ferdimahd WrrrBNBAUBii. 157

wenn auf die Reibimg keine Rücksicht genommen wird. Das Fuß-
ende A bewegt sich also genau so, als wenn es ein freier Punkt von
der Masse -^ . -,— wäre, auf die die Kraft cotg <p wirken würde.

7) Dieser Ersatz der wirklichen Masse des Körpers nnd Beines
wirklichen Kraftsystems durch die reduzierte Masse 3ß eines Punktes
und die reduzierte Kraft $ gestattet, die Bewegung eines Körpers
auf die Bewegung eines Punktes mit reränderl icher Masse zurfick-
zuführen. Dies ei'weist sich vorteilhaft in dem Falle, daß die geo-
metrische Form der Bewegung vorgeschrieben ist, wie dies bei den
zwangläufigen Maschinengetrieben zutrifFt. Ich habe in meiner Ab-
handlung: „Graphische Dynamik der Getriebe" (diese Zeitschrift, Band 50)
gezeigt, wie man die erwähnte Methode benutzen kann, um die Be-
w^ung des ebenen Maschine ugetriebea mit KQcksicht auf Kräfte nnd
Massenverteilui^ zu untersuchen, und habe auch versucht, die Über-
legenheit dieser Methode gegenüber der rechnerischen Behandlung nach-
zuweisen, da sie gestattet, die wirkliche Massenverteilung des Getriebes
vollständig und genau zu berücksichtigen, ohne irgend eine Vernach-
lässigung oder Vereinfachung nötig zu machen.

8) Um zu dem Bewegun^gesetze der rednziert«n Masse zu ge-
langen, denken wir uns, der Weg s des Reduktionspunktes R habe
um ds zugenommen; die veränderliche Masse 3)2 nehme hiebei um d'SR
zu. Diese Zunahme an Masse erfolgt aber im Gegensalze zu I. ohne
Stoß, da sie nur gedacht ist; sie erfolgt im Zeitelemente dt und durch-
läuft alle Werte der Geschwindigkeit von bis v, liefert also einen
Zuwachs an Bewegungsgröße von | v • d3W; die Änderung der Be-
wegungsgröße ist demnach

d{m.v) = %-dt^-\vdm--- (8)

woraus

^l-dv + \vdm^%dt (9)

oder

nnd

jswü^- jaHoc^^/^-rfs-- (10)

folgt. Man entnimmt hieraus, daß das Arheitsprinzip auch fiir Punkte
mit gedachter veränderlicher Masse seine Geltung beibehält.

Zu demselben Resultate würde man mit Hilfe der Gleichung (3)
gelangen, wenn man sie folgendermaßen anschreiben würde:
J (9W + dW) {v -I- dvf - las ■ v' = 3ß ■ ds

nqi,.eJb.GoO«^Ic

158 Oie BewegangBgeBetse der veränderlicben Mawe.

d. h. wenn man die jEünergieverluete durch Stofi in Gleichung (3) unter-
drQcken würde, da sie hier nicht vorkommen können.

AuB Gleichung (9) folgt überdies noch nach Division durch dt

.=-;^-',- (11)

eine Gleichnngj die mit (2) Übereinstimmt, wenn man dort v' = ^ setzt

9) Nennt man L die Bewegungeenei^e des Getriebes, so kann
Gleichung (10) geschrieben werden

£ ^ia«„« = iWl^vl +/Sß . ds
oder auch

?-y/ ■■ (12)

Ferner kium Gleicbang (11) in der Form gesollrieben werden

oder, wenn man

--^■ = 2
9M ^

die spezifische Energie der Masse nennt:

y=_... (13)

Dies wäre eine Definition der Beschleunigung, welche die konstante
Masse mit der veränderlichen Masse gemein hat, während die gebräuchUdie
Definition

„_^^

' Mcvae
für veränderliche Massen nicht anwendbar ist, wie Gleichni^ (11) lehrt.

10) Die Beziehungen zwischen Energie der Bewegung L, ver-
änderlicher Masse 3Jl, Weg s, Kraft ^, Geschwindigkeit v und Be-
schleunigung y lassen sich sehr anschaulich durch ein räumliches Diar
gramm (Fig. 4) darstellen.

Der Zustand eines bewegten Getriebes sei fQr eine bestimmte
Stelle s des Weges durch die Bew^ingscnergie L und die reduzierte
Masse SR des Getriebes gegeben. Betrachtet man s, L, 3ß als recht-
winklige Koordinaten eines Punktes E, so schildert die Li^e dieses
Pimktes den augenblicklichen Bewegungazuatand des Getriebes. R^ sei
dessen Änfangszustandj die räumliche Kurve E^R gibt den Verlauf der

DigitizedbyGoOgIC

Von Ferdimind Wittenbiuer. 159

Zastandsänderm^en des Getriebes. Ihre Projektionen auf die drei
Koordinatenebenen sind: das Eaei^ie-Weg-Diagramm, das Massen-Weg-
Dii^ramm und das Energie-MaBBen-Diagranun.

Zieht man in dem Punkte P des ersten dieser Dit^amme die Tangente^
so ist die Neigung tt derselben gegen die s-Ächse nach Gleichui^ (12)

tgu

dL

ein Maß ftlr die reduzierte Eraft des Getriebes.

Verbindet man die Punkte R und S, so gibt die Neigung <p dieser
Geraden gegen die ^s-Ebene in

'^V = i = 2

ein Maß ftir die spezifische Energie der Masse. Legt man in der Ent-
fernung OJlf = Masseneinheit eine Ebene parallel der Ls-£bene, so

schneidet diese die Gerade RS in (?; der Ort aller dieser Punkte ist
das Diagramm G^G. Die Ordinaten dieses Di^ramms sind wegen

die spezifischen Energien oder die halben Geschwindigkeitequadrate; das Dia-
gramtn kann also als eine Art Geechwindigkeitsdiagramm aufgefaßt werden.
Die Neigung ß der in G gezogenen Tangente dieses Diagramms
gegen die SDIs-Ebene ist nach Gleichung (13)

I Maß fttr die Beschleunigung der Bewegung.

db/GoogIc

160

Die Bewegungtgesetze der veränderlichen Uaflse.

Zieht mtai an das Energie-Mas Ben-Diagramm TOn ans die Tan-
genten, BO findet man jene Zustände dee Getriebes, in denen die kleinitten
oder größten Geschwindigkeiten bestehen. Die Stellen v„,„ nnd v„„
sind im Geechwindigkeitsdiagrwnm angedeutet worden. Diese Eigen-
schaft des Energie-MasaeD-Diagramms habe ich benutzt, am eine neue
Art von graphischer Bestimmung des Schwungradgewichtes anzngeben
(Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1905).

Gewöhnlich wird man mit den beiden anderen Dii^rammen sein
Auslangen finden. Man klappt sie dann, wie es in der darstellenden
Geometrie üblich ist, in eine Ebene und arbeitet mit diesen beiden
Projektionen der Zustandskurre E^R Dies soll an einem der Getriebe-
lehre entnommenen Beispiele noch näher erläutert werden.

11) Die zwangläufigen Getriebe, die im Maschinenbau Verwendung
finden, durchlaufen immer wieder dieselbe Stellung. Darin ist es be-
gründet, daß die reränderliche Masse 9)1
immer eine periodische Funktion ist.

Ah Beispiel soll ein Paar kon^
gruenter elliptischer Räder behandelt
werden, die si(^ um ihre festliegenden
Brennpunkte 0^ 0, drehen (Fig. 5). Wir
wollen den beweglichen Brennpunkt Aj
des linken Rades als Reduktionspunkt
wählen und die Mt^se M des rechten
Rades dahin reduzieren. Bezeich-
nen wir

01^1-0,^,-26
und mit Mt^ das Trägheitsmoment des Rades um seinen Brennpunkt,

die nach A^ reduzierte Masse des rechten Rades. Die weitere Reduktion
von m nach Ai verlangt die Gleichung

oder

Die weitere Rechnung lehrt, daß

db/GoogIc

Von PsitbitfAilb WiTimraivBB. l8l

worm b Aie kleine H&lbacbse der Ellipse und x die veränderliche
Entfemting -4,0, ist; es wird also

worin X periodisch zwischen den Werten 2 (a — e) und 2 (a + e) schwankt.

Nehmen wir an, die An&ngsli^e des Iladpaares sei <P'^0, ili^ 180**,

die anfängliche Bewegongsenergie sei Lg, und die Räder wären sich

nun selbst Überlaseen. Sieht man von allen Widerständen ab, eo ist
die Arbeit, welche von den beiden gleichen Gewichten der Räder
geleistet wird:

A — Mge sin <p (—^ — l) ,

ebenfalls eine periodische Funktion.

Für das vorliegende Getriebe ist also

und weil 3)i, = m, ist:

. + 3B.,

L'= Lg-*- A ~ L^ + Mge sin tp (— j- — Ij ■

ili7eJb.G00«^Ic

162

Die BawegxmKBKeaeUe der veTänderlichen Muse.

Fig. 6 seigt die Diagramme Ls und fSRs. Der Kreisweg s ==■ 2egi
des Reduktion 3puDkt«B A^ wurde auf der s-Ächse abgewälzt und die

zngehSrigen Werte Ton
L und 3)1 wurden auf-
getragen. Aasdermam-
lichen Zustandskurre
Bgfi des Getriebes
wurde wie in Fig. 4 die
Geschwindigkeitakurre
Y konatruiert

In Fig. 7 iat die
ümkbtpptmg der beiden
Diagramme in die Bild-
ebene dargestellt, um
bier aus den beiden Ls-
und Ws-Diagrammen
die Geschwindigkeits-
linie ^ zn finden, ge-
nBgt es, den Punkt R
irgendwo, z. B. auf der
s - Achse anzunehmen,
ihn mit 3R und P zu
verbindens und den Li-
nienzug MG Gl hierzu
parallel zn ziehen; dann ist G^ ein Punkt des gewünschten Geschwindig-
keitsdiiu

12) Die ErmittluBg der reduzierten Masse eines Getriebes gibt
manchmal auch die Mittel in die Haad, über die MassenTerteiluDg im
Getriebe derart zu verfügen, daß, die
Masse ihren EinSuB auf die Bewegung
nicht veriindert.

Fig. 8 zeigt z. B. die gekoppelte
gleichschenklige Schubkurbel. Um
rotiert die Kurbel OA, während die
Endpunkte der Stange BAC, die in
ihrer Mitte A drehbar mit der Kurbel
verbunden ist, auf einem rechtwinkligen Achsenkreuze schleifen. Ea iat

OA^AB^AC.

db/GoogIc

Ton FERDINAKn WlTTIIMnAUlIR. 163

Wählt m&n die Karbeiwarze A als Reduktionspunkt und nennt
Ml die in der JC-Ricttung geführte Masse des Schiebers, so liefert die
nach Gleichung (6) vorgenommene Reduktion der Masse

a», = 4Jtf, 8in>

Ebenso gibt die Reduktion der Masse M^ des anderen Schiebers nach A

aB, = 4JlfjCOB*9)-

Nennt man femer JVfj die gleichförmig verteilte Masse der Stange AB
und reduziert sie nach A, so gibt Gleichung (U)

9R, - J(/, (i + 2 sinV)
und ebenso die Masse M^ des Stabes AC

Die gesamte veränderliche Masse des Getriebes ist demnach

a« = 3Äi + sn» + aRj -i- an«

- i {M, + M,) + sin> (4Jlf, + 2M3) + C08> (4M, + 2Jtf,).

Die Bedingung für uQTeränderlichen Einäuß der Masse auf die Be-
wegung wird also

und in diesem Falle wird die reduzierte Masse

m=2{M, + M,)-^i (jtf, + 3Q.

13) Bei dem in Fig. 9 dargestellten dreifach gekoppelten Parallel-
kurbelgetriebe haben die sechs Kurbeln unveränderlichen Eiaßuß auf
die Bewegung. Reduzieren

wir jedoch die Massen *"'«■ b-

Ml M^ Mf der drei hori-
zontal hin- und hergehen-
den Koppelstangen nach A^
80 wird mit Benutzung von
Gleichung (6) die reduzierte
Masse eine periodische
Funktion

3W = Jtf, sin* 9 + JK , sin' (g> + y) + -M, sin' (ip + y + a),

wenn ip den veränderlichen Kurbelwinkel von OA, aßy die konstanten
Winkel zwischen den drei Kurbeln bezeichnen.

db/GoogIc

164 Spannungön und FonDanderungen einer rotierenden Hohl- und VoUkngel.
Obigem Äusdrack kann die Fonu gegeben werden
3H = JM, BinV + Jtf» Bin*j3

+ 8in> (Jtf, + Jtfj cos 2y + M^ cos 2ß)
+ sin 9: cos qo (Jf, sin 2y — Jf, sin 2(5) .

Soll Htm z. B. der Einfluß der drei Stangenmassen auf die Bewegung
des Getriebes nuTeränderlicb bleiben, so muß Wl konstant, also von (p
nnabMngig sein. Dies erfordert die Bedingungen

Kg. 10. ^1 cos 2}- + M, cos 2^ Jf,

Jfjsing;' — üfjsin 2(3 =

- 180») + Jtf, cos (2(3 - 18(^) - afj

- 1 80») - Jtfa sin (2^ - 180") « 0,

woraus sieb folgende Regel filr die Wahl der
Kurbelwinkel aßy ei^ibt (Fig. 10):
Stellt man die gegebenen Stangenmaasen M^M^M^ durch Strecken
dar und bildet aus ihnen ein Dreieck, so sind die doppelten Eurbel-
winkel 2«, 2ß, 2y die um 180° vermehrten Dreieckswinkel.

Die konstante reduzierte Masse der drei Koppelstangen wird dann

Spannungen nnd Formänderungen einer rotierenden HoM-
tmd Vollkttgel.

Von Ingenieur älpons Vincenz Leon,
ABBiBtent ao der k. k. Techn, Hochacbale in Wien.

I. Schon bei rerhältnismäBig einfachen Aufgaben der Elastizitäts-
theorie kennt man die exakten Lösungen noch nicht, und man muß,
um zur Kenntnis der Größe der elastischen Kräfte und Formänderungen
zu gelangen, NäherungSTerfahren benützen. Zu diesen Aufgaben gehört
auch die Bestimmung des Spannungs- und Deformationszuatandes einer
um eine fixe Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden
festen, elastischen und isotropen Hohl- und Vollkugel. Dennoch lassen
sich die streng gültigen Lösungen dieser Aufgabe angeben.

Bei der Bestimmung des Gleichgewichts einer Kugelschale, in

db/GoogIc

Von ÄifONs TmOHiE Leo». 165

welcher die Temperator in besonderer Weise ron zwei Vari&blen ab-
liängt, hat J. Stefan einen eigenartigen Weg eingeechlagen. (Siehe
Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenachaften. Math.
Natorw. El. 1881, März, S. 565.) Derselbe führt auch bei dem vor-
liegenden Problem zam Ziele, wenn man ihn der Aufgabe anpaßt.

Bedeuteo K und 6* die Kirchhoff sehen Elastizitätskonstanteii,
r, 9), V die Polarkoordinaten eines Punktes der Hohlkugel (die Äquator-
ebene als Basisebene angenommen), ^r die Tersohiebnng dieses Punktes
in radialer Richtung, a^ die in dieser Richtong herrschende Normal-
spannung, ^t die Verschiebung normal zum Radius in der Meridian-
ebene, e, die tangentiale (meridionale) Xormalspannung, z/j> die Ver-
schiebung im FarallelkreiB, 6^ die entsprechende Spannung, so sind die
Beziehungen zwischen Spannungen und Formänderungen gegeben durch
die Gleichungen (Siehe G. Lam^, Lefons eur la th^rie math^maticjue
de r^asticite):

(1) .,-_24?|^ + ev]

(2) ,,_-^2^£r + ?^) + e,]

(3) ,,= _24£r_^j + s4

wobei V die kubische Dilatation ist, und dargestellt wird durch den
Ausdruck

(4) ^_?Wr?^?^r 8^_.j»,^,
^ ' dr r ' rdv eoeif r '

weil Jp natnrgemäB Null ist.

Die Schub Spannungen in den Meridianebenen verschwinden eben-
falls; die noch übrig bleibende Schubspannung gehorcht der Gleichung

Dabei sind die Druckkr^te positiv, die Zugkräfte negativ bezeichnet.

Bedeutet y das spezifische Gewicht des Materials, aus dem der
Körper besteht, g die Beschleunigung der Schwere und w die Winkel-
geschwindigkeit, so hat die Fliehkraft pro Masseneinheit in radialer
Richtung den Wert

(6) f^ = — r cos'9) = ^- — r(l — sin* 9),

die Flielikraft in der Richtung des Meridians ist gegeben durch

(7) fi~~ ^- — *■ WS (pwatp.

ZaltiohTlftr.Hstlinnitlkn. Fhyilk. Kl. Bud. 1IM». t.Batt. IS ^-~, ,

Digitizedb/GOOglC

166 SpODnangen und FonnbideTaDgen einer totiorenden Hohl- nnd Vollkngel.

Der Untersuchung liegt ein Yolmnelement von der Gestalt einee
EnppelgewölbeateinB zugrnnd& Die äleictgewichtsbedingungeu lauten:

rr + -Hi^ + — T^i-^+f'-"-

Daher erliält mim, wenn man in den TOrstnhenden Gleichnngen
die Kräfte mit Hilfe der Oleiolinngen (1), (2), (3), (6), (6), (7) eU-
miniert;

(8) 2K^l + 8)r'<xt<pp^ + K^+C~r-'-''-r,a'<f)r'cot<f-0

(9) 2£(l + e)eo.,>|^-4f->:iV.in^co.',.-0,
wobei

(10) ß^^,,[^j}^/^^^q.

Drückt man nun v durcti eine neue Größe r] aus, und zwar derart, daß

80 gehen die Gleichungen (8) und (9) in die folgenden Qher:
(12) r'oosfp^ + K^J-O

(18) c„.»|^-£|?-0,

welchen man dnrch die Funjitionen

(14) j) = X + Jlf ein'qo

(16) ß = Jf cos' 9 - ein ip

genSgen kann. L, M, N sind Funktionen TOn r nnd den Bedingungen

unterworfen , j r

ir-^ + KN-O

(16)

\2M-K^-0.
\ dr

Aus den Gleichungen (16) ergibt eich

(17) M-Ar' + f,

(18) KN-',Ä,'-?,

(19) L-C-iAr'-^.-
A, B, C sind konstante GrSSeiL

Digiliz=db,G00glC

Von Altoub ViNcurz Lboh. ^Q^

Ana (17) und (19) folgt ferner

(20) ZL+M^SC.

Die YerBcliiebimgeii eeien aaBgedrackt durch die Formeln

(21) ^r~G + HBm*g>

(22) jj t ^^ J ain ^ eo8 ^

O, ff, J sind Funktionen von r. Ans (4) und (10) ei^bt sich

(23) ß ~ coB* <p Bin ip\2S~r^~J^

(24) V - -^ + - + -^ + [-5^ + -- - -JflinV.

ß ist aber schon durch die Gleichnng (16) an^edrflckt. Ebenso
igt V gegeben, wenn man in der Gleichung (11) fSr ij den Wert ans
(15) einsetzt Man erMlt also zur Bestiminang der Funktionen G, 3, JT
die Gleichungen:

[ N-2E-r^-J.

AuB deD Torstehenden Äusdrückeii lasBen sich die folgenden entwickeln;

3G + ff=-

i>, £^, F, sind konstante GröBen.

Setzt man tüi M und ^ die Werte ein, so bekommt man:

C26^ ff_ r-'^^-' + i^-^H'-l— '-"-^ r»-l*+-^®'^

C971 ^HJ-ir TT*- _1+1®_,(,>J. 'J£!lL_ (4 + Z 9)B

(27) 2fl + 3J=J'-r-jj.^^_^^Xr>+ 47t(Tqr6ij^ " äxö+'ö)"»-"'

(28) 3G + fl= äifcrr«) '^r*~ iöW'^mh'

Die weitere Aufgabe besteht nun darin, aus den OberäädLen-
bedingungen die sechs Konstanten A, B, C, D, E, F zu bestimmen.
Gelingt dies, so bekommt man für die Formänderungen und Spannungen
die richtigen, weil einzigen Lösungen, da das Problem eindeuUg ist.

db/GoOgIc

]0g f^MUmmigMi and FonnAndennigeii einOT roÜerendeD Hohl- und Ttdlkd^.

Wir nennen den Badins der innerrai Begrenzongsfläche der Hohl-
kogel r^, denjenigen der anfieren r,. Wirken keine äoBeren Krsfle
nd den Körper ein, so mnB e^ = x = werden, wenn r d^i Wert r,
oder r uinimmt.

Denmacfa Unten die Oberfläebrnbadingnngen:

(ni) |2//-|-r^-^-0!. 'I;

Ersetzt man in den Tontelienden drei Doppel^eichongen G, H, J
dnrch die atu (26), (27), (28) zu folgernden Werte, L, M durch die
Werte aoa (17), (19), so erhält man sechs Gleichungen, welche die
Eonstanten Ä, B, C, D, E, i^-linear enthalten, sodaß deren Bestimmaug
keine prinzipiellen Schwierigkeiten macht.

Dieee Aufgabe kann jedoch erleichtert werden, wenn man aas den
Gleichangen (I), (11), (III) gewisse neue Beziehungen ableitet: Multi-
pliziert man die Gleichung (I) mit drei und addiert sie sodann zu (II),
BO folgt mit Brficksicht auf die Gleichungen (20) und (28):

' \iK(,l + »j r' 10 Ä(l -I- 0jg I ■ r=r^

Diese Doppelgleichung enthält bloB C und D.

Fahrt man femer in die Gleichungen (II) und (III) fUr -7- nnd
//^ die Werte ans (25) und für M, hezw. if die Werte aus (17)
und (18) ein, so bekommt man:

Bildet man nun die Wertrerbindungen H—J und 2H + ^J,

k-'-si[>+^T'']i ;:;:
|2H+3/-_5i[Vf+^V]| ;:;;,

Dijiliz=db,G00glc

Ton ÄuoHH TiNCBsc Lboh. 169

Mit Berücksichtigong ron (26) und (27) erhält man endlich

nr\ \^~- ** At* i i + 1B)jv,* . (l + ae ).B I r_r^

'>"-' 1 r' «£■(! + Ö)^*^ 112Z(l + ©)ff 4ff(l + S)r' ") •■=r_^

Ans der Doppelgleichung (H') läßt sich E, ans (III') J" eliminieren,
Bodaß zwei in A und S lineare Gleichungen Dbrig bleiben. Hat man
aber die Werte fOr A nnd B, so geben (II*) nnd (III') die Eonetanten
E und F. C und i> sind dnrch (I') für sich bestimnit.

IL Gh^ßere Wichtigkeit kommt zweien Sonder^len zn, bei denen
sich die Entwicklung Tereinfacht: dem Falle einer sehr dQnnen Kugel-
schale und dem Falle einer Yollkugel. Wir wollen zoiüchst auf den
letzteren genauer eingehen. Der Radius der Eugeloberfläche sei mit R,
welches an Stelle von r, tritt, bezeichnet r^ nimmt den Wert XnU an.

Es ist ohne weiteres klar, daß
(29) D-O, £-0, B-0

wird.

Für die BestimmuDg der noch fehlenden Eonstanten bringen die
Oleichnngen (I'), (U*), (III') keinen wesentlichen Vorteil, sodaß wir
Ton deren Benützung abseben. Die Ausdrücke in (26), (27), (28) gehen
in die folgenden über:

(31) M + iJ-F-r- ^^[0- + 2 9)4 - ■'^y

(82) 3e + S-,jgip^[0-'^V>.

Löst man diese Gleichungen nach Q-, S, J* auf, so bekommt man:

(SS) ff_i[-f + äjj^> + 5ti(i':p^[e4-!|^'],'

(M) lI-^r-j^j±^[2eA-'fy

„., T F i^ r ' + 1» « . r»'nj

(86) J-i'- üX(r+ e)L"~r- ^ - 57 J"^-

Ea lassen sich daher ans den Gleichungen (1), (11), (111) mit Hilfe von (17),
(18), (19) für die Konstanten folgende Bedingnngsgleichongen angeben:

»«' 4 , (e+7e)r»'ü ' „

■Uff(l + Ö) "^ 28ff(l + e)s

_ (1 + 168) «■ , »r»'«' n

21ff(l + »)^''" 14JC(I + e)y "■

db,Googlc

170 Spajimiiigea and Fonn&nderangen einer roti«ieadeii Hohl- und Vollkngel.
Man erhält also

(37)
(38)
(39)

8(a + 7»)yW

2(7 + 190)?

(S + S») yic'i{'

■ '5(1 + 3»)^

Die Oleicliaiigen (
Weise:

)), (34), (35) schreiben sich daher in folgender

(Äfh n — 7"-- p(B+ie#+a6« * +io e')Ji' i+ise+sg' .-i

'•^'' " ~6(l + e)(7 + i9e)K"jL 1 + 3(9 8 J

(41)fl-

^[_(3 + 8©)B» + (l + 3«)r>]r

i{7 + 19»)Kgl

(^2) J-- .(,T^^[- (3 + 88)^. + (2 + 5e)r']r.

Somit lauten die streng gültigen Formeln fiir die Yeracliiobnngen eines
Ponktee einer rotierenden Engel:

(^ä) ^'■= (i4.h»)KA wTmi TTTs ^ — n

(■") -" = ii 1 + U»iKe [- (8 + SS)» + (2 + 6e)r"]r siny tos ^.

Durch partielle Differentiation ergeben sich daher die folgenden, fOr
die Auistellnng der Spannni^fomielu wichtigen Differentialquotieuben :
g(tJr) yto' f 1 r 2(3 + 18«+26W'+10W)Ji' 8(4+18 »+69') ,-|

gr °"(7 + 19«)ÄjlB(l + e)L 1 + 88 2 ** J

+ [_ (3 + 8»)B» + 3(1 + 3»)^»]^)
'~^"(7+lä)ff5[-C3 + 8«)^* + (l+3e)r*]rsinvcosy

?^ = 2-a+'il^[-(3 + 8Ö)B*+(2 + 5«).'](l-28in»r.

Da wir die Werte der Konstanten kennen, lassen sich die Hilfs-
ftinktionen L^ M, N, somit aneh ij, ß nnd v angeben:
l(3 + 7 )>),«.' ,

2(7 + 198)9"^

Jlf_-

yto'r( 8 + 6 8)J'

J L6(l+äe) "^2(7 + 19«) J

db,Googlc

Yon Auroa» Tdtcbmz Lbon.

(l-SsinV)'^]

' g 16(1-1-88) ^2(7-1-196)'
. (5 + 7e)yw' . -

f--(i-+-iF»ft-/'^1"""l'

Schließlich könnea nudi dieflen Yorbereitangen die Formeln fOr
die Sp&nDiingeii in einfacher Weise entwickelt werden:

m " — < ! +it«), [ ~'t~i'+y*' ("'-»''')+<»+8»)i"'-'^)"°>]

-(l + äSjr'slnV)

III. Man sieht aua Torstehenden Formeln, dafi die elastischen
Kräfte und Fonnänderimgen proportional sind dem Faktor - — ; erstere
sind unabhängig vom Schubmodol K.

Die radiale Spannong e^ verschwindet einerseits, wenn r ^ R ist,
aiao an der Oberfläche, andererseits aber anch, wenn

, n/ia-l-49©-

|-i69'
»)(8 + 8©)'

und zwar für jedes r. 9 liegt zwischen ^ nnd 1. FOr diese Werte
ist der Nenner des anter dem Wurzelzeichen stehenden Braches größer
als der Zähler. Es gibt daher im allgemeinen einen Kegel mit dem
kleinen Öffiiongswinkel 90 — f>, dessen Spitze der Kngelmittelpuokt
nnd dessen Achse die Drehnngsachse ist, ^ngs dessen Mantel keine
Normalapannongen in der Richtung der Erzeagenden vorhanden sind.
Für die Drehui^jsachse erlüilt man durch Einsetzen von qo — 90**
folgende Formeln:

^'■- .0(l + 8)(i/.8)<7+,9eig/ -(3+368+l''58-+8Oe-)B»
+ (1 + 7® + 108^(1 + 89)r^r

r"' [■ (« + »«) «■ _ » + 1» j-l

'2(1 + 6)^^15(1 + 80) T + lSe'^J
(S + 68-i»'),»' ,„ -

6(l + e)(7 + 19e)s_'." '^!

-[(12 + 498 + 46S')S"

(60)

t-0.

6(i + e)(7 + i9e)j^^
-(9 + 43e + 50«^r']

,db,GoOi^lc —

172 Spanuimgea tmd FormäDdenuigen einer rotierenden Hohl- und Vollkngel.

Die dnrch vorstehende Formeln ausgedrückten Normalspiuiniingeii
sind zi]gleich Hanptspannungen, da Schubkräfte fehlen; sie werden
durch Parabeln dargestellt.

Die radiale Kontraktion Jt ist stets negativ; sie Terschwindet
im Kugelmittelpimkte und erreicht an der Oberfläche den numerisch

größten Wert gleich - Vo-(r+V») (v + I9e)-g/

Die kubische Dilatation im Kugelmittelpunkte ist TnTiirkui TTÖT^ '

«n dm Polen hingegen ^-jj,>-T____JI_„ ^^_^. .

Die Normalspannung längs der Achse ist stets positiv, d. h. ein
Dmck; an der Oberfläche Nnll, wächst sie g^en den Kugelmittelpnnkt
bis zur ürojle sfi _|_ gifT-tl " i Vai — *■*• ^'^ Spannungen in emer
Parallelkreisebene sind negativ, also Zugkräfte; für den Kagelmittel-
punkt smd sie — h{i. ■{- »)a A- i^ Wf^ ' K*^®^ "^^ ™« nehmen, sie
,. (8 + 6Ö— ße')yw'fi' , ri- T. . ■ j . j>

— VtW mcT-L-isaiö ' * Polspannongen smd also dem nume-

rischen Werte nach gerade so groß, wie die Spannung im Eugel-
mittelpunkt Ungs der Drehungsachse.

In der Äquatorebene gelten folgende, durch Einsetzen von tp =
erhaltene Beziehungen:

- (4 + 13® + i8^{l + aejrif
Jt — f)

_ r»' | -(8 + t 9)ii' a(i + 88),-i
2Ci + e)jrj,L6(i + 8e) i + iseH

(51)

(18 + *9 e -f-i6e ')y 1

^^fC^-'-)

_ (»4-a8-t9-),V _

- - 6-(rT^?qrT9«j-/f^2 + ^^® + ^®'^^*

-(4-f-288-|-35©V*J
-0.

tf^f '<} <^p sind Hanptspannungen. Die zur Äqnatorebene normale
Spannung verschwindet für r = y^B,- gegen das Innere der Kugel ist
es eine Druckkraft, gegen die Oberfläche ein Zug; die Druckspannung im
Mittelpunkte ist gende so groß, wie die Zugspannung an der Oberfläche.

Pur r =- erhalten wir die uns schon bekannten, fOr den Kugel-
mittelpunkt gültigen Formeln; nur die Bezeichnung ist eine etwas

D.git.zedb/GoOglC

Von Alfohs VorCBKi Lboh.

173

andere: ea wird e^ = 6^ und aicht wie früher ff, ^ ff^,, denn jetzt spielt
die radiale Spannung die Rolle derjenigen, die wir irOher als tangen-
tiale bezeiclmeten.

Für den Äquator ist r — B zu setzen. Man bekommt:

Jr

(B + sie + aoe*)/»?'.?!'

S0(l-|-8e)(7-|-19»)Ä'3

Jt-Q

_ (11-1- 328-1- 6g')yM'fi*

"" 10(l-i-e)(l+S9)(7 + l»e)Äy
ff, =

_ (8 4-6« — se' lyic'.R'

*'" B(i-|-e)(7-|-i9e)ff

_ 2(4 -I- 18 e -t- 6 »*) yw'E'

*p~ ~5(r+"»)X'"T"i3e)s~'

Die Überhöhung des Äquators gegenüber der ursprünglichen Be-
grenzongefläche des Körpers ist größer als die Abplattung der Pole.
Der Unterschied zwischen einem Durchmeeser des Äquatorkreises und
der Drehangsachae beträgt während der Drehung aj^rj^-^x' ' ^'®
an Kugeln von rerschiedenen Dimensionen nnd gleichen Stoffen durch
Drehungen von gleicher Winke^eschwindigkeit erzeugten Abplattungen
verhalten sich wie die dritten Potenzen der Radien.

Die Spannungen im Äquator und in der darauf senkrechten Riehtni^
sind uegativ; die erateren Übertreffen weitaus die letzteren.

Schließlich sollen noch die für die Eugeloberfiäche gültigen Formeln
entwickelt werden. Durch Einsetzen ron r -■ ij in die allgemeinen
Beziehungen erhält man:

^' - m+«m+^mx-ß-^ + si 8 + 268-)

- 6(1 + 88)(2 + 6e).m'?i]B'

(63)

Jt —

( 1 + S9),»-Ji
4(7 + 19 e)Ky

« - iö(r+-8)(r +»8)(T+i.9)f ,K'^ + '^® + ^*')

— 6(l + 8)(l + 3e)smV]
»,-0

_ (8 + e » —i»'j ym'R'
•■" 6(l+"e)(7 + l»S)ä

•.--i(r+-g'(^e7P(4 + i38 4
-5(i + e)(i + 8e)>mV]

t-O.

öS")

,db,GoOi^lc

174 Spannongan and Formandenuigea eines Eohbrlinden nnd einer Hohl kogel.
Somit geltea an der Oberfläclie folgende R^eln: _____^___

Die radiale Dilatation ist Null, wenn 8"*fl°"±l' 5fi"j-B«\X"jr6öi
ist; in höheren Breiten ist sie negativ, in geringeren positiv. Dieser
Winkel bestimmt die Lage der Dnrchschnittliiiien der Oberflächen des
Körpers vor and nach der Drehung. Die Verschiebung gegen die Pole
ist {Qr komplementäre Winkel gleich und proportional dem Faktor - „ ■
Sie erreicht daher bei q» = 45 den größten Wert gleich — 1(74719«^^" '

Die kubische Dilatation nimmt mit wachsender Breite ab.

Die ßichtmigen der Hauptspannungen sind die Tangenten an
Meridian und Parallelkreis.

Die NorTnalspannttng im JH&^tan ist an der gawsen Oberfläche
konstant und zwar ein Zug; die Spannung in der Richtung des Parallel-
kreises hingegen ist abhängig von der geographischen Breite und

wechselt bei siny = ± Vbj i j! wuiTi- a ftl ^ Zeichen. In geringeren
Breiten besteht eine Zugspannung, in höheren eine Druckspannung.

IV. Liegt eine Hohlkugel vor, deren Dicke gegen Null abnimmt,
so nähern sich, wie man aus den Doppelgteichungen (1'), (H'), (HI')
entnehmen kann, die Eonstanten B, E, B der Null; somit erhalten
die Übrigen Eonstanten die fSr die Yollkugel ermittelten Werte, wobei
S, nun den Radius der dünnen Eugelschale bezeichnet. Daraus fo^
der Satz: eine dünne ku^e^örtnige elastisehe Sdu^ gdangt in denselben
SpannungS' und Beftyrmationsisustand, wie die Oberfläche einer Kugd vom
gleichen Materied und Radius, wenn beide SSrper mit dersäben Winkel-
geschmndigJceit rotieren.

Spannmigeii und Formändenuigen eines Hohlzylinders und
einer Hohlkngel, die von innen erwärmt werden, unter
der Annahme eines linearen Temperatnrverteilnugsgesetzes,

Von Ingenieur Alpons Vincenz Leon,
Auistent am det Techn. Hochschule in Wien.

I. Will man die Größe der Spannungen abschätzen, welche in
Rohrieitungen fttr heiße Gase nnd Flüssigkeiten, in Oeschfltz- und
Gewehrläufen, in Schornsteinen und modernen Hochöfen deshalb auf-
treten, weil die Temperatur in den einzelnen Punkten dieser Eörper
verschieden ist^ so drängt sich die Frage auf: welchen Gesetzen g^orchen

db/GoogIc

ToQ Alfohs Vincehe Lbos.

176

die Sp&nnangen nud FormäoderuDgen in einem zylindrischen Rohre,
daa TOD innen erwärmt wird? Führt man aU Temperatur^esetz die
Reihe ein, welche Fourier fQr die konzentrische Verteilung der Tempe-
ratur in einem Hohlzylinder angegeben hat, oder auch nur deren erste
Glieder, so kommt man zu verwickelten, für Zwecke der Praxis wenig
brauchbaren Formeln. Nähenmgsweise kann man stets annehmen, daß
die Temperatur mit zunehmendem Radius gleichmäßig abnehme.

Jedes Element im Innern des Hohlzylinders wird sich deformieren.
Dies rfihrt von Kräften her, welche auf die Oberfläche des Elements
von den umliegenden Molekfllen geändert werden. Es ist ohne weiteres
klar, daß das zylindrische Rohr nach der Formänderui^ ein Drehungs-
körper sein wird. Daher eignet sich zur Untersuchung ein halbpolares
Koordinatensystem am besten. Es kommen drei Richtungen, die
axiale, tangentiale und radiale in Betracht; sie seien mit den Buch-
staben a, t und r bezeichnet Es kann sich ein Punkt nur in radialer
und axialer Richtui^ verschieben, und zwar müssen die Verrückni^^n
aller in demselben Parallfllkreise übenden Punkte gleich groß sein.
PPlPjP^ (^'g' 1) bleiben daher in derselben Meridianebene. Es stehen
also auch nach der Formänderung die
beiden durch PPi gehenden Seiten-
flächen des Volumelementes auf der
Seitenfläche PjPg senkrecht. Daher
können in den drei in P zusammen-
stoßenden Seitenflächen keine Sehub-
spannungen normal zu PP^ und PP^
bestehen. Solche gibt es also nur in
den beiden durch PPi gehenden Ebenen.
Nach dem Satze vom pauweieen Auf-
treten der Schubspannungen (Momenten-
satz) müssen die beiden in Betracht
kommenden schiebenden Spannungen
einander gleich sein; sie seien mit t
bezeichnet. Femer müssen die Summen der Komponenten der auf das
Volumelement wirkenden elastischen Kräfte in den drei Aohsenrichtungen
Kuli sein, woraus man folgende Beziehungen erhält:

.^4-

(1)

(2)

;+ä

-0,

(Siehe z. B. Winkler: t5ber die Festigkeit der Röhren . . . CiTiling.

1860, a. 336.)

Digiliz=db,G00glC

176 Spanaangen und Formäsdenm^n eiseB Eohlzylludera nnd einer Hohlkugel.

Es bedeuten Ga, Oi, «r die axiale bezw. die tangentiale und
radiale Spanuimg. Die relatiren Längenändeningen der drei Kanten PPi,
PF, und PP. sind ^, ^, ^, wenn Jr and Jx die Ver-

Tückungen des Punktes P in der radialen und axialen Biclituug
bedeuten, and fDr diese gelten nach dem Superpositionsgeaetze offenbar
fo^nde Gleichungen, da die Torhandenen Schubkräfte keine Längen-
änderungen der Kanten, sondern nur ein Schiefstellen derselben bewirken:

E ist der Elastizitätsmodal, m die sogenannte Poissonsche Kon-
stante. Die Druckkräfte sind positiv bezeichnet.

IJm auch T durch die Verrflckungen des Punktes P aaezudrOcken,
muß man die Üiidenuig des Winkels PjPP» Sachen, Ist nämlich K
der Schubmodul und y die Winke^nderung, so ist

Es kann y dargestellt werden als Summe der WinkelSnderongen,
welche entstehen, wenn P, and Pj sich gegen P rerschiebeiL
Das r imda^Ton Piet nach der Formänderung r+zir...x+Jx,
., „ .., P,„ „ „ „ r + i,r+dr + ?^dr...x + Jz + ?^d^,

,»»,,„ i"., „ „ „ r+^r + ?^dx...x + ^lx + dx + ^-i0!di,

Die beiden Winkeländeruageu sind also -^—dx : dr — ^ "' bezir.

'-^dx ,dx - ^-^, daher r - ¥- + ¥-^ "ä
ax ex ' ' OT ox

Hiermit sind alle Kräfte durch die Längemtnderungen aasgedrückt.

Diese Gleichungen wären gDltig, wenn die Temperatur sich nicht

änderte. Denken wir uns die Temperatur der mittleren Mantelschiehte,

d. i. deijenigen, deren Abstand tou der Achse r„ -■ -g— ist, als
Kormaltemperatur angenommen, so kann die Temperatorerlidhung i

DigitizedbyGoOgIC

a'(r-

-o,

»'(,■-

-O,

o-C--

-'•.),

Ton Alfonb Viscbic« Lkon, 177

einer Schichte im AbatÄnde r ansgedrückt werden durch ( = — -j- (r — - r^),
wenn ^Jt der geBftmte Temperatunmterachied zwischen Innen- and
AoBenmaatel nnd d, =- ra — n- die Bohrdicke bedeuten. Eb müesen
die reUtiTsn LängenändeniDgeii nach den drei Richtangen um a • t
yermehrt werden, wenn mit a der lineare AuedehnungskoefSzient
bezeichnet wird. Es ist also

(4) at ^^ (r — f-J o'C - O» ^obei

(?) <■ - t;--

Die gesamten relativen lÄi^en- und Wittkeländercngen sind also
gegeben durch folgende Qleichuogen:

(«) T'--i[».-s(»-+o]-

(«) '-r + r — ^^-

Es sind sechs Unbekannt« vorhanden: ^r, ^o:, 0„ tf^, ff^ und r.
Es stehen aber auch sechs voneinander unabhängige Gleichungen zur
VerfBgung: (1), (2), (6), (7), (8) und (9). Dadurch sind die Spannungen
und die VerBchiebmigen als Funktionen von r und x bestimmt. Da
außer den Unbekannten auch deren Differentialquotienteu vorkommen,
so wird sich die Notwendigkeit ergeben, Konstanten zu bestimmen.
Hierzu dienen die Bedingungen:

för « •— und für « — A maß ö^ = sein, unabhängig von r,

j> *■ = *■» » »''"''( w *r =° *^ » n » *>

weil wir annehmen, daß auf den Körper keine äußeren Kräfte ein-
wirken. (Fig. 2.)

Rechnet man ans den Gleichungen (6) bis (9) die Spannungen
als Funktionen der Formänderungen aus, so erhält man:

(8.)». — (S+|^,[f'+^ + (»-l)-4f' + ("'+l)«-('~'-.)l
™ ' 5(S+T)L-8- + T^J-

Digiliz=db,G00glC

178 Spatmungen tind PoTm&Dderungen eines Hohlz^linderB and einer Hohlkugel.
Würde man von vomherein Ton den Schabapanuimgeii abselieD,

rn

"

rn

^

i

1
1

-

-

'""

Ton X tmftbhängig sein. Da nun 6^
für den untersteo and obersten Quer-
schnitt verschwindet, wflrden dem-
nach im ganzen Körper keine axialen
Spannungen entstehen, während schon
die Anschauung zeigt, daß sie be-
deutend sein müsseu. Man darf also
nicht von Anfang an und in dieser
Weise die Sdiubspannungen ver-
nachlässigen. Dies schließt jedoch
nicht aus, daß t in ganz speziellen
Fällen 2u Null wird. Die Ursache
dieses Verhaltens ist folgende. Be-
trachtet man ein Element von neben-
stehender Form für sich allein, so
wird es sich so biegen, wie Fig. 3
andeutet, ohne daß Spaouangen ent-
stehen. Im körperhchen Zusammen-
hang wird aber diese tulpeuförmige
Ausweitung des Rohres durch die ßingfasem teilweise verhindert. Die
in halber Höhe befindlichen Ringfasem werden gedrückt, die oben und
unten beändlichen gezogen. Man kann also
, '' ' s^en: die Axialspannni^en werden erst

mittdbar erzengt. Unmittelbare Azialspan-
nungen fehlen.

Anders verhalten sich die tangentialen
Spannungen. Außer den mittelbaren inneren
Ei&ften dieser Art sind auch unmittelbare
vorhanden. Betrachtet man nämlich die tan-
gentiale Ausdehnung allein, so ergibt sich,
daß der äußere Umfang wegen der niedrigeren
Temperatur sieh zusammenzieht, während der
innere sich ausdehnt. Soll der Körper im
Zusammenhang bleiben, sollen also keine
Sprünge in radialer Richtung entstehen, so
muß auf jeden Teilquerschnitt ein Moment von
solcher Größe wirken, daß eine Vergrößerung des Winkels dip nicht
stattfindet. Die diesem Momente entsprechenden Spannungen können

-^

-«C3

Digiliz=db,G00glC

Von Alfobb Vincbnz Leon. 179

unmiti^iare Tangentialspannungen gemumt werden. (Fig. 4.) Die
Ringfasem werden also außen gezogen, innen gedrückt.

Ahnlich verhalten sich die Radialspannungen. In ihrer Richtung
dehnt sich das Material innen aus,
außen zieht es sich zusammen,
sodaß die inneren Mantelschichten
nach außen drücken and um-
gekehrt, die äufieren nach innen. U ^ ^--'^^^;^^^''-=~^ — -^'^•«Q

um die Formändemi^en in
die Gleichungen (1) und (2) einzuführen, berechnen wir folgende Aue-

drücke: — = — ,

daß r und x Tonelnander unahhängige Yariable, ^r und ^x Funktionen

dieser Größen sind:

tlO) -,^^ ÖM^)lS'-=2)L"T8r+73^+t"'-l)-äH^+ä^-g7+(w+l)0 — ^}

*-^^J 3¥ (m + !)(«- 2) Lrax "^ dr-dx"^ '^'^ ~ ^J dx' }

C191 £l Em r d\Jx) d'jJrn

'■^■*-' dx~' 2(m + l)ldr-dx'^~^^J

^^'*-' r9r" a(m+l)Lra»- "*" rdx "^ dr* '^dx-drX

Diese Werte und die ans den Gleichungen (6^) bis (9,) in die
Gleichungen (1) und (2) eingesetzt, geben folgende Beziehungen, welchen
die Yerrüokui^en genügen müssen:

(1,) {m+l)a +(»'-l)7gr+(™-l)-^.-4-2^'ß^+' — ^^^,' --('»-1)^-0,

••^i) --^-ö^ ■*- üfTu + ('" ^ ^-'"91*" + ~27ä;^ — + — 2äH — =ö-

Diese Formeln gelten aber nicht fflr den Zylinder allein. Ihre
Bedeutung ist eine weitergehende: sie erscheinen bei allen Warme-
spaonungsprob lernen der Rotationskörper, wenn die Temperator sich
so verteilt, wie angenommen wurde. Es dürfte daher auch außerordent-
lich schwierig sein, die allgemeinen Lösungen von ^r und jJx zu
finden, das heißt diejenigen, welche alle Probleme der Drehungskörper
als spezielle Fälle enthalten. Andererseite kann man aber durch Yer-
sucbe, durch Reihenentwicklungen usw. Funktionen itir ^r und ^dx
öndeD, welche den Gleichungen (IJ und (2,) genügen. Aus den Ober-
äächenbedingungen läßt sich »u jedem so gefundenen Integralsystem
der dazu gehörige Drehungakörper finden.

:dbyG00«^Ic

180 Spanniingen and FormSjidenmgen einei Eohlz^linden und emer Hohlbigel.

Man kann die TOTStehenden Gleiehtmgen auch umformen and in
folgender Weise anschreiben:

(1,) (« + iy + (™_i).l_^^|LJ^.l^il^L_^«_J_0.

(A) ;^7 h (« — 1; — gj— -- »■

11. Für zwei Sonderfälle des Torliegenden Zylinderproblems lassen
sieb die Losungen unschwer entwickeln. Ist nämlich der Hohlzylinder
sehr kurz, so kann man sowohl die axialen Spannungen, aU auch die
Schubepannnugeu Temaehläflsigen. Dann kann luan in einfacher Weise
die tangentialen und radialen Spannungen erhalten

Ist hingegen das Rohr unendlich lang, so müssen die Spannungen
von X unabhängig sein, da in allen Punkten mit demselben r der gleiche

8a, d(f^ de^ g^
Spannungszustand herrschen muß, so daß s— ~ 3— = -^- =■ ^ = ist;

femer muß auch - „ — = 0, also auch „ „ — -4-%^ — sein.

Da wir die Temperaturerhöhungen auf die Temperatur der mittleren
Mantelschichte bezogen haben, können wir femer annehmen, daß das
Rohr bei der Deformation seine Länge nicht ändert, also A-~ — ist.
Ganz korrekt ist diese Annahme nicht. Ihre Berechtigui^ ist aber
gewiß 80 groß, wie die früher gemachte eines linearen Temperatur-
TerteiluDgsgesetzes; beide gelten unter denselben Verhältnissen. Strenge
genommen müßten wir —3-- •-= konstant nehmen und den Wert dieser
Eonstanten so bestimmen, daß das / ^a^f ^^^ positiven auf einen Rohr-
querschnitt wirkenden axialen Spannungen gleich ist dem der negativen.
df bedeutet ein Flachenelement des Rohrquerechnittes. Im übrigen
beeinflußt diese Annahme in keiner Weise die Werte für die Tangential-
und Radialspannungeu, so daß es in sehr einfacher Weise möglich ist,
nachträglich die — ^Lnzlich unbedeutende ^ Korrektur der axialen
Spannungen Yorzunehmea. Die SpaonungBliDie — eine Gerade — ist
eben so lange parallel zu sich selbst zu verfichieben, bis Gleichgewicht
au einem Querschnitte herrscht.

TJA.11 ■ j d\Jx) d^Jas) „ .

JedenMls wird ^-^ — i . •- sein.

Daher sind die Gleichnngeu 1 und 2 fflr diesen Sonderfall so su
schreiben: ., .

Digiliz=db,G00glC

Ton Alpoks Yihcehz Leon. 181

Die OleichnngeQ (6) bis (9) lantea:
(«.) f 4[<'.-i(<'r + 0]-»'(r-'-.),

PO -'^'--i[»,-s("- + <>.)]-«'('-0,

(8.) {,[.. - i(», + »,)]- o'C-- - -•.),

Die GlelcliTuigen (6,) bis (9j) und (1,) sowie (2,) lauten:

(«.•) •. - - sT+w-- -«) ['"• - ^) >' + -^:- + (» + 1)«'(' - o]

(V) », - - (iT+'r^^ [v + (» - 1) T? + (" + iJ'-C' - o],

(8.0 '. — 5ir+|^--y,['? + ^ + (» + !)»'(' - O],
(1..) (-» + 1).' + (» - 1) '^^ + («. - 1) ""if J _ („ - 1 ) f ; _

AoB den zuletzt angescliriebenen Gleieliungen erhält man durch
Integration:

(") ^'—'wi-^'' +<=•'+';

(15) dx - C logn r + C"
C^^CfC'C" Bind KonstaDten.

AuB (14) und (15) ei^eben sicli folgende Ausdracke:

(16) ^ = -W^' + c, + %

(") ■^'t''— ^f'+«.-^

(18) -'yü-f

Diese Werte aind in die Gleichungen (ß^.) bis (9^.) einzusetzen:

(iä)».--r»>4l^)r-H»-^--+"''.-("+')°''-+'"'^-]'

/nr.\ ^»n r(™ + l>(™ — 2)a' , -1 , , ,-. r (m—2)C,-\

(20) "- (, + iy(S::-T)[^-T(i=I, '—-+«'C,-(.<«+ 1)» ■•,-'--■,' •],

rail« ■^" [("MX»-')"' , ofi /„iii^vT

(21)0. — (ir+T)(s;r!jL- i,:;i— >- + 2c,-('» + i)a>-»J

Zaltoolirlft (ar Hmthsmftttk D. Ph/ilk. El-Buid. I«OS. I. Haft

,l,.eJb.G00«^Ic

182 Spannnngen und Fonn&oderuii^n äines Hohlzylinden nnd einer Hohllnigel.

Gleichung (22) folgt auch direkt aus (2,); wenn - j— — ist, muß
T • r konstant sein.

Es sind nun zunächst die Konstanten C, und C, zn beetimmen.
Für r — ff und r =-r^ ist tf, ■- 0; darsns folgen die Gleichungen:

(« + !)(»»

B{nf.

a(m— 1)

Z^ r, + «c, ~ (fB + l)oV, - ^- C, - 0,
r, + mCi - (»t + 1)«V. - '^^ C, = 0.

Aus diesen Gleichuagen rechnen sich folgende QröSen:
(28) C. - iiüi^-S^, [(•" + !)'■. + ^<.«- !)•■•'•■ + (»■ + I)'^].

(26) mC, — (iB + l)o>„ =

Hit Hilfe dieser Werte lassen sich nnn die Normalspanniuigeil
als Funktionen von r bestimmen. Es ist

8(m-l)(r. + rJ

"-»l r.+ r

K+'i''

(2') '- — i(S^rT)L -■ - r. + r, + (i^TRpJ'

(28) .. _-^^-_-jr+ S«(».-l)(r, + ,i f-J'

Die Gleichungen (26) nnd (27) stellen eine Art höherer Hyperhein,
Gleichung (28) stellt eine Gerade dar.

Die relative Volumänderung v, welche durch die Summe
— + "V + -l -- hezw. durch den Aasdruck — tT— (ff, + ff, + ffj ge-
geben ist, hängt Ton r linear ab. Es ergibt sich;

(..-|-l ).'r „ 2(i» + l)r' + i(2m-l)r,r,j-2(m+>yn

S(».-1)L »'+ - - -2„(r. + rf ]■

Die Schubspannnng t muß für r = r^ und für r = r, Terschwinden ;
dies ist nnr möglich, wenn C =0 ist. Es ist daher in allen Punkten
des elastischen Körpers

(29) » _ 0.

Schließlich läßt sich noch die radiale Verrückung ^r als Funktion
Ton r angeben:

raO).:)r . '" + ''''? ,.■ |' "+'''''+''""-''^-'''+ '''+'''?r 'i'' 1
(''"'■^'-»(m-dL '+ »-(r.+ rj ' (r. + r,jrj-

Digiliz=db,G00glC

YoQ Alfoits Vinobiiz Leok.

Dies iat der Fall, wenn a oder jdt Null wird.

Obwohl die Formelu (26), (27), (28) . . . schon der Annahme eines
linearen TemperatarrerteilungegeBetzeB wegen nur näherungBweiee gQltig
sind, and zwar umsomehr, je kleiner das Yerhältnis zwischen Robr-
dicke Tind mittlerem Radius ist, sollen sie doch f(lr einen Sonder&U
umgeformt werden, hei dem diese Bedingong nicht erfüllt ist, aber
sich merkwürdige Beziehiu^en ergeben.

Ist nämlich n = 0, so wird

(26.)

•■ — 51^,(2- O.

(2'.)

•.=-s|'L^,('-o,

(28.)

•.=-f?^.-[^'+3^4'r,

(30.)

^-'^-l'-^[-'-+'=ti'--']-

Die drei Normalspammngen verteilen sich also geradlinig; die
Verseliiebung in radialer Richtung nach einer Parabel. Die Spannungen
in einem Funkte der Achse bekommt man, wenn man fSr r Null
einsetzt:

(26>) •.~ + ^(^f'

(2'0 ».- + ^Pt?.

(28b) tf, ^:2~L8.»(«,-1) - ij'

(30b) ^r = 0.

Es ist zu beachten, daß diese Spannungen unabhängig sind Ton r^.
Es kommt nur auf den Temperaturunterschied 'dt au, dem sie propor-
tional sind.

Die Spannungen für die Oberfläche erhält man, wenn man für
r . . .r^ einsetzt:

(26-) «.--«I^JITT)'

(21.) 0, - 0,

(28.) ,, .(„_i,(»-l)^'

(»0.) Jr~- '-'"\^l"" r,.

Die Spannungen sind wieder Ton r, unabhängig-, dr ist propor-
tional f..

DigitizedbyGoOgIC

184 Spatinnngen nnd Form&iidernngeii eineR Hohlzylinders und einer Hohlkugel.

ZableubeiBpiel: Ffir eine im unteren Teil eines Schornsteins befind-
liche, als Hofaizylinder zu betrachtende Trommel sei folgendes teils
gegeben, teils angenommen:

r„ - 150 cm,
r, = 100 cm,
df =■ r^ — rj — 50 cm,
^i-125 Grad Cels-,
a = 0,00005 Grad-',
£=45000 at,

Daher iet:

31^-0-26 kg cm-',

'A±i

- 190 e

'. + ',

_^!äi- _ 900000 em',

1% - 1126 kg cm-',

ä«(«-l)(r. + ä '3 61 em.

Eingesetzt in die Gleichungen (26), (27) und (28):
»,_-0-25[2,-190-?H??°]at,
., 0-25[r-19O + '-5iJ5?].l,

o, 1126[|r - 83-61] at,

fflr r - r, «, - 20-0 «t, », - 0, o, - 190 «t,

„ r = r^ ff, 0-6 at, ff,, = 1-7 at, ff„ — 0-3 »t,

„ •■ - V ff. 17-5 at, ff, - 0, 0. - 18-4 at

Da diese Spannungen znm größten Teile weit fiber der Elastizitäts-
grenze liegen, sind die hier angegebenen Werte an sich unrichtig nnd
lassen nur die Überschreitung dieser nnd die Wichtigkeit der durch
die ungleiche Temperaturrerteilung entsteheuden iimeren Kräfte er-
kennen.

Für Metalle wird f» =■ y gesetzt Dann lauten die Gleichungen (26),
(27), (28) und (30):

Digiliz=db,G00glC

Ton AuoNB TiNCKNE Lboh. 186

(26.) ,, = _i;j5„-[2._l±^'!_Ji_,],

(27.) ,, = -..E„.[.-'l±3^ + -t|'L],

(28.) ,. = _. £,.[., + '^^^»^._^],

Kehren wir wieder zu den Gleichungen (1,) und (2,) zorfick.
Folgendes Fnnktionenpaar genügt denselben:
/ir — a^r + o,r* 4- a\rx,
^ ^ z/a: = 6, + fc'a + ^»^ + 6'V,

(Oj, O}, ■ ■ . sind Eonstanten), aber auch das folgende:
■är — a,r + a^r* + ojra: + "s''' + '*'i''*a; + a'^rx*,
^ ^ Jx = ba + h'x + htr' + h'ix* + ftgr" + fty x + 6;'ra;> + &;'V.

Diese, durch eine Potenzreihenentwicklung gefundenen Lösungen
lassen sich natOrlicb beliebig erweitem. Merkwürdig ist nun, daß auch
folgende, von (31) nur durch ein Glied verschiedene Funktionen Inte-
grale von (1,) und (2j) sind:

(33) ^r-C,r^ + G,r+^;- + C,rx,

Jx^C^ + C,x + C.a^ + G,r'.

Dabei mflssen aber folgende Bedingungen zwischen den Konstanten er-
füllt werden;

Diese Lösungen lassen sieh aber dnrch Entwicklung in Potenz-
reihen nicht erweitem. Die zu den Gleichungen (31), (32), (33)
gehörigen Drehnngskörper lassen sich aus den OberflÄchenbedingungen
finden. Der zn (33) passende Körper enthält den unendlich langen
Hohlzylinder als speziellen Fall.

III. Das dem hier behandelten Wärmespaunungsproblem analoge
der ,/einen" Elastiztfätstheorie ist das folgende: ein Hohlzjlinder aus
isotropem Materiale gehorche dem Hookschen und dem Superpositions-
gesetze; auf seinen Innen- and Aoßenmantel wirke der Druck p^
bezw. p; es sind die Spannungen und Formänderungen sm bestimmen!
Die Gleichge wich tsbedingungen fUr ein tonuengewölbsteinionniges Volum-

dbyGoOglc

186 Spannnngen and Formänderungen eines flohlzylinders and einer Eoblkogel.

element sind wieder durch (1) und (2) f^egebec. Die Spaonungen bic-
gegen, ausgedrückt dorcli die epez. Längenänderungen, lauten:

\.^^i) «-- {,n+l){m~2)V'*^ ^> r ^ dr + ^ITJ'

(VUJ ,, („ + !)(„- 8) Lv + (*» - ') -W- + VJ'

(¥m,) ». - - ,,„^i)(„_ a) Lt + -TT + (•" - 1) -Si J'

Ersetzt mui in den Gleichungen (1) und (3) die Spannungen
dorch die lÄngenändemngen, so bekommt man:

(Ii) {™-l)7är + ^"'-^> "aV +Td:.dr-+ -^23T' (»»-l)-p-=0.

V""-* 2r9a "*" 20r9a;"''"^*'* ^'' ga;* ■•■ 8r3r + 2SP ""'
Ist das Rohr unendlich lang und wird es der Beanspruchung
unterworfen, so wird im allgemeinen seine Länge sich ändern. Die
Spannungen sind Ton as unabhängig. Ist der Körper sptumungslos
montiert und verhindern die Befestigungen eine Bewegung der Mole-
küle längs der Achse, so liängen auch die Fonnändertmgen in keiner
Weise von x ab. Es wird also g— ' = 3— = /" " ä~ = '^j femer

ex Sx ' ox-cr ox^ dx-dr ox*

werden. Somit lauten die Gleichungen (I^) und (Ü^):

\^^*) rrfr ■•■ rfr' ~ r' " "'

("..) . "^st' + ^^-o-

Durch Integration erhält man nun:

(XIV) ^r = C,»- + ^,

(XV) ^a:-=C'lognr + C".
Daher lauten die Spannungsformeln wie folgt:

(XIX)

■'.--(„+i)(.-2)L"'C. + ("'-g)?_

(XX)

"- ,„+^(:-.,['»c. (» 2)5.

(XXI)

(XM)

2(» + l)|-

Digiliz=db,G00glC

Von Alfoss ViHcn.1 Liom. 187

Die kubische Dilatation v = 2C^ ist also konstant. Ans den
Oberflächenbedingungeu bekommt man die Konstanten. Setzt mau sie
in die TorBtehenden Gleichungen ein, so wird;

(XXVI)

' »■•-»? (r;-rf)r' '

(XXVII) <r, = ^4^2^ + "44^^^\

(XXVffl)

(XXIX) T = 0.

Ein anderer (sehr oft behandelter) Sonderfall ist der folgende:
ein Hohlzylinder ist oben and unten abgeschlossen. Nimmt man an,
daB die axiale Spannnng sieh gleichmäßig Über den ganzen Quer-
schnitt verteilt, so mnß, soll äußeres Gleichgewicht herrschen,

sem.

Femer wird t ^^ gesetzt. Rechnet man auf Gmnd dieser An-
nahmen die tangentiale nnd radiale Spannung, so erhält man wieder
die Formeln (XXVI) und (XXVII). In diesem Falle sind sämtliche
Spannungen unablüngig von den Elastizitätekonstanten. ESnnte m
den Wert zwei annehmen, so wären beide Sonderfälle identisch.

Zu den Gleichungen (Ij), (II,) gehören wieder den Systemen (31),
(32) und (33) analoge Lösungen. Speziell lauten die letzteren:

jr~C^r + ^+ G,rx,

(xxxm) '

^ix~C, + C,x + C,x' - [2(£:ri) C. + ^2 Cj r».
Zu diesem Integralsystem gehören folgende Spannungsformeln:
•■- - ( „+^;-.) K + 0. + (» - 2)5; + (»C. + 20.)»],
<-'- - (»+|^,['»C. + C. - (» - 2)1 + (»0, + 2C.)4

"(.» + !)(.

r^jPC, + (»I - 1)C, + 2|C. + (™ -1)0,1»],

"" K[>»C.-2(».-l)C,]r

Zu diesen Formeln gehört bei gegebener Belastung ein ans den
Oberäachenbedingungen zu ermittelnder DrehnngskSrper und umgekehrt:
ist die Kßrperform gegeben, so kann man den Belaatungszustand be-

,db,GoOi^lc

188 Spanaon^eti und Fonnänderangen eine« Hohlzjlinden und einer Hoblkugel.

stimmen. Ist z. B. ein naeudlich langer Zylinder gegeben, so ezgibt
sich eine Belastougsart, welche den liier besprochenen Fall eines kon-
stanten inneren und äußeren Druckes als Sonderfall enthält. Ist aber
ein konstanter Oberflächendmck p^ bezw. p' gegeben, so erhalten wir
einen Drehungskörper, welcuer unter Umständen in einen nnendlich
langen Hohlzyünder übergehen kann.

Ein weiteres Integralsystem der Gleichungen (Ij) und (IIj) ist
folgendes:

Cr Bxr

(XXXIV) '■"ä-(x + ^ + ■«'-•

wobei B* = a:* + r».

A, B und C sind Eonstanien, die folgender Bedingung genfigen
müssen:

2B + -^2 (ß + C — ^) = (Boussinesq.).

Wenn Drehungskörper um ihre Achse rotieren, so lauten die
Oleichgewichtsbedingnngen :

?£,•-) _l. + |_'_f_%_o,

Tdr T ' ex g '

Sx ^ rdr "■

y ist das spez. Gewicht, g die Beschleonigung der Schwere, m die
Winkelgeschwindigkeit. Die Spannungsformeln sind identisch mit (IV])
bis (IX^). Setzt man sie in die vorstehenden Gleichungen ein, eo bekommt
man Ausdrücke, welche sich von (Ij) und (2j) nur dadurch unterscheiden,
daß (m + l)a' ersetzt ist durch Cr, wobei C nur abhängig ist von m,
E und ^— ■ Es lassen sich den Gleichungen (33) analoge Lösungen
angeben; au Stelle des Gliedes Co»*' tritt ein solches mit r*.

IV. Ein&cher sind die Verhältnisse bei einer Hohlkugel. Alle
elastischen Kräfte normal zur radialen Richtung sind einander gleich und
mit <f, bezeichnet. Die radiale Spanuung sei wieder 6^ genannt. Schub-
spaunungen in radialer oder tangentialer Richtung fehlen. Betrachtet
man ein Element, welches die Form eines Knppelgewölbsteines hat,
und bestimmt die Bedingung fttr das Gleichgewicht aller in radialer
Richtung wirkenden Kräfte, so bekommt man die Gleichung:

(35) *^'+;(»,-«,)-0.

Digiliz=db,G00glc

Darana ei^eben sich folgende, in Gleichung (35) vorkommende
Aaadrficke:

Von AlPOHS YlHCEHl LtON. 1S9

Unter Beibehaltimg der den b-üheren analogen Bezeichnougen iat
der Znsammenhang zwischen Formändemngen nnd SpauDnngen gegeben
dnrch die Qleichnngen:

T-- ib.- "«('■ + '')]+"

'-?f'=-i['--sC. + '.)] + «'

(86) f ^[E=l,,_lr]_„-(._o

(") -s"=-i[».-:-.]^«'(-o-

Berechnet mau aas den vorstehenden Gleichungen die Spannangeo,
so erhält man:

h folgende, in Gleicliung (35) v

"'-''--jt+tL-t + tt-J'

welche dort eingesetzt, folgende Differentialgleichung liefern:

(40) -?^' + !|gr) + ^j€ö + <»±i>i-_o.

Eis ist daher

und

,.„, Hd,-, (»+l)a' C SC.

C^ und C, sind die Integrationskonstanten.

Die Gleichungen (38) und (39) gelien nun über in die folgenden:

•' (S-+i)rm=!jL - 8(^-1) '• + ^-C.-(«H-l)» r.-2(t«-2);,J.

Bestimmt man C^ und C, aua der Bedingung, daß die radiale
Spannung für r -=r^ und r — r^ Terschwindet, bo bekommt man;

/441 /i (m + lja'H.rf

^'^^ ^" 4(«-«Irt4-r.i-, + f!1'

,db,GoOi^lc

190 Spannnjigen and Fonnänderougen luw. Von Ai-Fone Tihcdiz Lioh.
80 daft endlich

und

.*'^ ^' 4(m-l)L '+ (m + llM + V.-l-rl) i-ä + '.'i + 'l '"J

Die i^lative YolmnäDderung ist

fiS^ „ t^r d(ar}_(m+J)„-r „. . »(■-. + '■,)Li-i + 1» - 1 r.r , + m
(48) » - — + -,- - -(^— -j |_- 2r + - - -(^+T5(,, + ,^,, + ,,,-- -}

MaSgebend fQr die Beanspruchung ist immer die tangentiale

Spannung^ welche ui der (äußeren und inneren) Oberääcfae die größten
Werte erreicht:

j^ . Ema-{r' + r'?-, + r^rj — Br\)

^'^-r, m«<r, ,i„_,^;;_^^J^^iP' -

Daher sind die reduzierten Tangentialepannnngen;

min a, red >

^«•Pl + rli- i + r.ri — a.) )

mal »,red -.(,,-^,_,^-^-,j-

Hätten die Formen auch für den Greuzf all r ^ = Otlltigheit, so wäre:
Erna /n n \

^'-jCS— „L-'^ + s+r'-J-

Die Spannungen wären also lineare Funktionen von r. Natarlich
ist a' gleich — — . Für die Eugeloberfläche ist
Ema^t

^r = \a^tr^

und fOr den Eogelmittelpunkt

EmaJt

,dr-0

D,,,i,z=db,Googlc

Eorrektiousapiegel zu psnboIischeD Beflektorao. Von F. Biske. 191

Korrektionsspiegel zn parabolischen Reflektoren/)

Von F. B18KE in Straßbui^ i. E..
I. Aberr&tioD p&rabolieolier Spiral.

Wenn OP den Durcliachiiitt eines Rotationspar ab oloides mit der
Achse OX. darstellt, F seinen Brennponkt mit der Brennweite f,
P einen Pnnkt seiner FUche mit den rechtvrinkligen Koordinaten X, Y
und den Polartoordinaten 8, R, ond wenn auf dieses Faraboloid unter
dem Winkel a gegen seine Achse ein Strahlenbüschel s fällt, das vom
Zentrum in der Kicbtung OF^ und vom Punkte P in der Richtung
PFg reflektiert wird, so ist die Distanz OFg—f^ eine Funktion der
Variablen a, und kann folgendermaßen entwickelt werden:

Ans dem A OLF« ist:

da aber

OL = X+ Yaote(0+a)

und die Gleichung der Parabel

r» = 4fX,
aufierdem

sind — 3-

nnd die Polargleichnng der Parabel

sLbo

(1) J'-Sftgf,
SO wird

(2) oi-i'+rctg(e + o)

nnd folglich ist

(3) /•,__^.[c„,(8 + „)+ltg|.in(8 + «)].

1) Bei dieser ÜHtennchoiig woiden die Arbeiten berflckgichtigt : „The abberation
of parabolic mirron", Ch. L. Pooi (Afltron. Jauru. 120); „The parabolio minoi",
C. W. Crookett (Aetroph. Jonm. VH).

DigitizedbyGoOgIC

1 ii!«

W

EoirektionsBpiegel zu parabolischen Reflektoien.
Für « - ist

f,-f;

dies ist die FandamentaUigeiischaft des Faraboloides.
Für Ö = ist

/ö — /■ cos « ;

dies ist die PoltH^leichang eines Kreises mit dem Darch-
messer f. Wenn also 6 bis Xull abnimmt, so nahem sich
die seitlichen Brennpunkte hie zn einem geometrischen Orte,
der hier eine Kngel mit dem Durchmesser gleich der Breim-
weite ist und die Fokalfläche des Faraboloides bildet.

Die lineare Aberration in der Richtung des Zentral-
strahles ist nach Substitution von (3) und (4)

(5)

f.~f.--

-T'gV«'

^./■.-/•.üi»lg|/H---^\.

Die lineare Aberration senkrecht zum Zentralstrahl in der
^jf Fokalfläcbe ist nach der Figur

r ^./".-^./■«■tgö

; ! und die winkelige Aberration vom Zentrum aus

folglich nach Substitution von (4) und (5)
tgj- = i^at«- tgÖ

'V^'

■^. oder bei kleinem a und 8
(7) tgy=6t«f .tg'|.

n. Anfttellimg lUd Anftösimg der DifferentialglelolLniig
des Korrektionssplegels.

— T . Bei der Brennweite /"= 10 m und dem EinMls-

winkel a = 1" ist /"tg* = 0,75 mm; sei ig ^ eine
/»'J— -— kleine Größe 1er Ordnung.
; " Beim VerhaltniBse der Öffiiung zur Brennweite nach (1)

DigitizedbyGoOgIC

ir ., e ii , , ('■5'».,,..» (0.76mm

- - "8T = = \f_ »■""'= (lo m '•' f'^^- I0.I6 mm' "«"

Qüliert derselben OrdmiDg wie ftg'i^; &1bo tg ^ eine kleine Größe

-fer Ordnung im Maximum.

Die winkelige Aberration vom Zentrum aus ist nach (7)
tg y — 6 tg ö ^' ^ i ''O™ Punkte F ans ist der Winkel y angenähert
von derselben Größe; vom Punkte P„ angenähert in halber Entfernung,
ist der Aberrationswinkel <s &Bt zweimal größer als y, aber tg^ ist
nngeiahr derselben Ordnung wie 6tg— tg*^; also 1^^^ eine kleine
Öröße 2jer Ordnung im Maximum.

Die Ordinate des Punktes P, ist y = SL\^{$ + a); für a = ist
angenähert tf = \OFtg0=OFt^^, bei endlichem a ist y kleiner;
also y eine kleine Größe |er Ordnung im Maximum.

Die Abazisae x dea Punktes P, ist bei kleinem Winket ^, den
die Tangente in P^ mit y einschließt, augei^hert gleich J/tg^; also
X eine kleine Größe 3 er Ordnui^ im Maximum.

Gegen endliche Großen wie / '= 1 können die kleinen Größen
2 er Ordnung und höherer Temach^ssigt werden.

Stellt man sich in der Entfemong Oo = a senkrecht zur Achse
einen Planspiegel eingeführt vor, so würden die Strahlen OFa, PF»
nach EFI. und JUFg reflektiert.

Die Entfernung der Punkte K, -F« bleibt nach (5)

(8) F:F; ~f:-f'B^~\- (ain « sin Ö - A tg J 008 Ö sin «) =

-i/-.k«igf (3+ v!)-f'Bf '81(8 + '«■§)■

Wird das Spiegelelement ds vom Punkte M in der Richtung des
Strahles PM parallel zu sich selbst bis zum Funkte P, mit den Koor-
dinaten X, y verschoben, so wird der reflektierte Strahl MFä parallel
zu sich selbst in die L^e P^K verlegt.
Sei NK II JtfPi, so wird

(9) NK=MP^'

coa(fl-|

db/GoogIc

X94 Korrektionaipiegel zu paraboliaclien Beflektoien.

da anüerdem aus dem A Fä NK
^'^- .».(e+V-i.» -^-^('»■'■tgä-i""''« 2 + ■"■"■)-
--'j('g°-tg;t«'| + tg|),

*«!
SO wird die lineare Aberration in der Richtung des Korrektiona-
strahles jetzt

(10) F^K = f;f; + f;k -

;'t«2tg'^(8-i-t«'|) + 2ar(tg^-tg|tg»| + tg^)

Aus dem A MoL and nach (2) hat man

[/■*«■ f + 2/- 1« J ctg (Ö + a)-a]
coa (ö + a)
_ [(-(sl ,;— .t;. .g-|)-.(.^-| + .8 — %.vf)](l + t8- 1) _
('Ig| + l8<.-l8.le'')(™ — c«..<g-|-!"..lg|)

[/(t,:-a*f..'|)-.(%^^|-.8 >■■»)](,+„. J)

(t«"+%°-t8|l«'°)(l-l«'J-«'B'l8|)

nnd aaßerdem ans dem A £ OF und nach (3)

/■[coe (6 + «) + itg I sin (9 + «)] «n a •
LFe=^ — ■ — ■ „ - =

/■(«-»Igatg|)(l4l«'°).m. /■(l-alg°tg|)(l + lg'J)lg°

ä('e" + «i«"-'B«'e'|) (i8|+i«f-i«ftg'-j-)

also

(1 1) ^Fi - MF, - ML + LF, ,

und aus dem A NF'gK und nach (9)

^ «( tg°+ ii«f -«gftg-y)(i+ig-f)

Digiliz=db,G00glC

Von P. BisKt, 195

folglich wird ans der Figur und nach (11)
(12) P^K-MN-MFi-FiN-ML + LF.-^NFi-
_ (! + »«■ g)[f(t«-f + t«|«»f-4%|>»-D-.(t<.-| + »8;.%|-^i ^|]

lg5('8| + ig|-friV0(i-l«i-»i8>5

•gf (l8| + %|-tgf%-D(l-.8i-Wl*|) ■

Die winkelige Aberratioo vom Punkte Pj aus, e = i F'gPiK, läßt sich
jetet ermitteln aas dem A i^Pi^

, aiptf f;k_

Bin (ö — ff) "" P, Ä '

l«|(i + K-|)

'■D'

wenn in den Koeffizienten die Glieder vom größten bis zu 3er höherer
Ordnung ansschließlich mitgenommen werden, nach Substitution von
(10) nnd (12) ist

\'-°) 'Bg'" ~ / e a e a .e\ / 6 a 6 a e\

{;'-a)(tg^+t«^ + 2tg'-+t«^t«'-) + x(tg.+t«--tg»--24tg-tg'-)

_ 2^(tg'f + 2t8|tg| + t8' |-tg- | -etgg t8-g

a-o)(tg^+tg|+2tg'?+tg|lB'g + a:(tg?+tg|-tg'?~-28tg|tg"?)'

Wird jetzt dem Spiegelelement tfs im Punkte P^ eine Drehung
um die Hälfte der winkeligen Aberration erteilt, so wird der Strahl PPi,
statt in früherer Richtung PiK, nach PiF!, reflektiert und die Aber-
ration korrigiert

Da die Verlängerung des Elementes ds die Tangente P^T bildet,
BO ist

Digiliz=db,G00glc

193 KoirektiooMpiegel m parabolischen BeSektoteu.

Die winkelige Aberration ist anBgedrKckt in der Funktion von 6
nach (13); aas dem A F,SL ist aber

y » tg(e + o)[;^tg»| + 2/-tg^ otg(Ö + a) - a- *].

und wenn diese Gleichnng nacli Potenzen von tg^ geordnet wird:

2/^tgltg*f + [2tg|(3/--«)-2tg|^-y]tg'|-

- 2[(/-- o) - a; + 2tg|y] tg^ + 2tg^ö + 2tg|a: + y - 0,

oder da das Glied mit der 4ten Potenz um melir als 2|'er Ordnung
kleiner als das konstante ist, so kann tg z aus der quadratischen
Gleichung bestimmt werden, d. h.

(16) tgi-^^yf^,

wo

a = 2tg|(3/-- a)-2tgl^-y, ß = -(f~a) + x-~ 2tg"ff,
(16) „ „

Wenn tg^ in (13) und (14) substituiert wird und die Glieder
mit und ohne die Wurzel gesondert Tereinigt werden, so ist

/^•-.y («•«■((/•-«)[(«■+ 8^- - 2.y) - 2ß^ lg I]

+ ![(«■- 24^' + 6«,) + 46.^tg|])

- I f lg i [(3.^ - 32^ + 24o^V + ^-'f- Sofßr- 3«V)
+ (136<.^'-6«'(J-68..'^r)lgg
+ 2a:[(8«^'-2i<'^-4o'^ri + (2«'-32«'/i'+8«V)tg|]) )
--!'.■ j if- a)[(- a'ß -if+6aßr) + ii'' + 2aß' - «V) Ig^]

+ a;[(-<t'^+24;)'-18i.|Sy) + (o'-46«^'+23«V)tg3)
+ j rig? [(32^' - 12«'^' - 40.^V + ^"'ßr + 10«'/J/)

+ (6o'|S'-3«'j.-nny-136«^+136oV')')'gä]
+ 2»[(2|S' -tfy- Saß' + 8<t"|SV - «V')

+ (- 2«^ß + 32„>/i" - 24»-(i,)tg| + «'tg-g) •

Digiliz=db,G00glC

Von F. Bis«. 197

Werden beim Quadrieren, nacli Aufhebung gleicher Glieder, in allen
£oef&2ieiiten die Glieder vom größten bis zu 2 er höherer Ordnung
ausschließlich mitgenommen, so ist die Gleichui^:

[l2rt«'l(,,'ß' + a'^r) - 16/-»lgf . ß"]

+ «'[8«f- «) tgK««^ + u'ß'y) - 4(/-- «)« . a'ß'] - 0.

Nach (16) sind hier die Glieder mit größeren Potenzen von ß die
größten; da die größten Potenzen Ton y durch ß und teilweise durch a
geliefert werden, in ß aber das Glied mit y kleiner als das konstante
ist und wenn noch in « mö^ichst

(17) Maximum y < 2(3/ — a) igj

wird, so werden allgemein die konstanten Glieder die größten und die
mit wachsenden Potenzen von jf allmählig kleiner sein.

Die einzelnen Oheder, bis zu den angenommenen Ordnungen ent-
wickelt, werden:

«T-Z'W-«)'^-«)'^'! - 2'{3f " »)(/■- o/tglsi+tf-»)'»',

..^V__2'(3/--o)'(/— «)'«V?

+ [2>(3/-- »)(/■- a)'«lg>| - 2«(3/-- «)>(/•- »J'tg'JJy

+ [2'(3/-- »)(/•-«)'%!- 2(/-- »)'<• tgg,,' -(/■- <.)y,

.'^•-2'(3f- »)'(f- a)' tg"!- 2'(3/-- o)'tf- o^tg-l,

+ 3.2'(3f-o)'(/'-»)'tg'|»'-2'(3f-»)V-.)'lg?!,'+(/--o)y,

«</JV 2'(3f-a)<(f-<.)'atg»5

+ [2'(S/-- «)•(/■- «)•» tg-? - 2'(3/-- «)'(/■- «)' tg"!],
+ 2'[(3/-- a)'(/-~ »)' bg'f - 3 ■ 2'(3/-- <.)•{/■- <.)>»lg>gs'
+ [2'(3/-- »)(/■- a'}a tg'| - 3 ■ 2\3f~ a)\f - af tg''^f
+ [2'(3/- - <.)(f - a)> tg I - 2(/- - a)'« lg g »• - (Z' - a) V.
Nach Substitution ist die gesuchte Differentialgleichung:

ZsluahrUtr. Muthamitikn. Pbjiik, Ei. B*nd. IVX.. I.Haft 14 ^-^ .

Dql,.eJb.GOO«^IC

lyg EorrektionBspiegel zu parabolüchett Reflektoren.

(18) I [+ a- . 3(3/-- afif- a)'f lg- | - 2'.3(3/-- «)(/■- a)V'lg' |
-2'.3(3/--o)V-«)r»'g'| +2'.3(8f-»)(/--«)r«tg'|
-2'.3(3/--o)'(/--»)/''l«'i
+ 2'.3(/--a)V't«'| '»• -2'-8(/--o)rig'|j»']-[+2'tf-')'/'tgf>l

-2-.3(/--o)r«Vf
+ 2'.3(S/--o)(f-o)rtg''

+ |[+2'.3(3/-- »)'(/■- »jZ-tg«^
-2'.3(3/--o)Y«lg'|

-2'.3(3/--.)'(/--«)/'l«'|!»
+ 2'.3(3f-a)Y»tg'f
-2'.3(3/--«)'/-|g»?

+ 2'.3'(3/--o)'(/--«)/-tg'|!!/' -2'.3(3/--a)(f-<.)/tg'5

-2'.3'(3/'-o)Y»tg<|
+ 2'. 3(3/-- <.)•/■ tg«!

+ 2'.3(3/'~a)/-olg-^
-2'.3>(3/--»)Vtg'|

+ 3(/--<.)/-tgf V -3ftg||y']-[+2'(3/-- «)<(/■- »)'tg>?|

-2.3/-.«t«'?

+ 2--3(3/--a)/-tg'|

-2'(3/--<.)(/-.)'lg°|j, +2V-a)'|»']«j^-0.

Diese Differentialgleichung ist ron der Form:

sie kann Dach Division durch den Koeffizienten bei . dargestellt

werden in der Form

(19)

n = ||

DigitizedbyGoOgIC

Von P. BiBKE. 199

In einzelnen Teilen der äleichang (18), und dadurch auch in (19) nehmen
die Glieder mit wachBonden Potenzen Ton y allmählich ab, nach (17);
wenn noch die Ordnung Ton x berQckBichtigt wird, so kann der Teil Y
in Gleichni^ (19) bis zum konstanten Gliede abgekürzt werden, und
die resultierende Gleichung kann dai^estellt werden iu der Form:

(20)

Die Gleichungen (19) and (20) können int^riert werden durch
die Substitution x =^uv. Die aufgelöste Gleichung (20) ist:

(21) «-(.->")(.-/y/*"..,).

Da Y ein Aggregat Ton konstanten und nach Potenzen vou y geord-
neten Gliedern darstellt, so ist das hier vorkommende allgemeine Inte-
gral von der Form:

/r«-M,-[^-'^^ + "S.ri)»r_'... + (^l).-('»rfc-].„

Soll f&r ^ — 0, ä: = werden, so ist die Konstante der Gleichung (21):
= - (- l)-=^5!l^äl^ + (- l)""^T^ + ■■■•

Für allmählich wachsende y ist es möglich die zugehörigen x zu
berechnen.

m. Diskussion.

Mb Kontrolle der Gleichung (18) oder (19) ergibt eich für a = 0,
onahhängig von ö, -, — 0, d. h. ein Planepiegel.

In der Gleichung dieses Korrektions Spiegels sind die Koordinaten x, y
in Funktion der Konstanten f, a, a au^edrückt. Die Aberration ist
für einen bestimmten Winkel a korrigiert, denn sie wird nach (7)
für wachsende a größer. Ans der Figur ist aber ersichtlich, daß es
dnrch axiale Bewegung des Korrektionsspiegela in der Richtung zum
parabolischen Spi^el möglich ist den reflektierten Strahl bei größerem cc
vom Elemente des Korrektionsspiegels mit größerer Neigung, dagegen
durch Rückwärtsbewegung bei kleinerem « vom Elemente mit kleinerer
Neigung, reflektieren zu lassen. Es wird durch diese Verschiebungen
in den Grenzen für et, iu welchen die Neigung der Elemente des
Korrektionsspi^els von o bis P, dazu ausreicht, eine im richtigen
Siune wirkende Korrektion der Strahlen ermöglicht.

Bei gleich dem mittleren Winkel des Gesichtsfeldes gewähltem a

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200

EorreHioiiHspiegel zu paraboÜBchen Reflektoren.

ist die Yorteilhafteste Höhe und die mittlere Eatfemung a des Eor-
rebtioDsspiegels bestimmt durch den Tom Punkte des parabolischen
Spiegels mit größtem 6 reflektierten Strahl und dadurch, daß der zaim
axialen Funkte des Eorrektionsapiegels reflektierte Stmhl noch eben
am Rande dieses Spiegels vorher vorbeigehen soll. An dem reflek-
tierten Strahle PL soll also der Punkt M so bestimmt werden, daß
der eiu&llende Strahl MG nach seiner Reflexion durch den FnBpunkto
des Lotes von M zur Achae hindurchgehen wird.

Es ist dann aus A MLo und A MGo bei Berücksichtigung von (1)

(22) oJlf- «L (g((i + «) -f tg|[tg2 lg(9 + «) + 2] - o tg (9 + o)
und

ojtt- 2^tg*- ctg(» + <.)[tg« + lg(9 + «)],

wo L OFG = 9, und nach (2)

(23) »-flg*[lg|+2ctg(» + .)];

es läßt sich, durch Vergleichung der Werte von oM, ■& in Funktion
von f, 6, a bestimmen. Da tga = 1er Ordnung, tg ~—yer Ordnung,
tg(d -{- a) — ^er Ordnung, so ist es möglich, bei Berücksichtigung der
Glieder bis zu 2er höherer Ordnung, 9 aus der quadratiBchen Gleichung
zu berechnen:
(24)

, +2(m — »)tg- + wt|

- /■'s"[»g° tgC« + «) + 2], » -f [lg(9 + «) + 2tg.],
J)-«3(g(e + «)tg<.-4].

h den Dimensionen f =

10

m, -f- — 0.1 ist aus

(24), (23), (22)

1"

128 'ICH

0.3195/'

tilr o-

30',

»

- ! 39' 46"4, « -

0.5700/,

15-

|33- 2"9

0.6878/

1 0.0286/-

0.0468/'

. ji< Mo < j 0.0165^,

dagegen nach (17) Max. y< 1 0,0212/'.

k

.0126/'

0.0101/

Das Beobachten mit dem Korrektionsapiegel iat erm^licht durch eine
Öfl'nung bei im parabolischen Spiegel, oder durch Reflexion der korri-
gierten Strahlen von einem 45** zur Achse geneigten Spiegel, der in H,
wo der äußerste korrigierte Strahl den innersten schneidet, gesetzt wird.

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Von F. B18KB. 201

Darfih den Meridian o P' dee Korrektaoasspiegels werden die
Strahlen korrigiert, welche ron dem Meridiane OP des paraboÜBchen
Spiegels reflektiert eiud, der in derselbeti Ebene durch die Achse liegt
und welche Ton dem Punkte dee Objektes ausgehen, der in demselben
Meridiane eich befindet; dasselbe gilt auch für andere Meridiane. Die
Intensität des korrigierten Bildpnnktes wird also in dem Verhältnisse
größer sein, als die mit dem Aoge gesehene, in welchem die Fläche
des elementaren Meridians des parabolischen Spiegels größer als die
der ÄugenpupiUe ist. Da die Strahlen, welche von einem Punkte des
Objektes ausgehen, der in einem bestimmten Meridiane sich befindet^
. und welche durch den ganzen parabolischen Spiegel reflektiert sind,
ein Bildchen erzeugen, das eine bestimmte Flächenausdehnung hat, eo
wQrde fßr Korrektion aller dieser Strahlen eine Fläche dee Korrek-
tionsBpiegels nötig und die gleichzeitige Korrektion für Punkte des
Objektes in anderen Meridianen nicht möglich sein. Es wäre möglich
eine eukzeseire Korrektion fQr Punkte des Objektes in allen Meridianen
durch die Rotation um die Achse eines solchen Korrektionsspiegels fQr
alle Strahlen zu erreichen. Die enkzessive Abbildung des Objektes
könnte aber einfacher dorcb eine spiralförmige Rotation der Achse des
parabolischen Spiegels selbst am das Zentrum erreicht werden. Dazu
mQfite aber Tor der unbew^lichen photographischen Platte in i^ ein
durch die Achse mitgefQhrtes Diaphragma angebracht werden, damit
nur der zentrale Lichtkegel zur Platte gelangen kann. Wenn diesw
Lichtkegel von einem hyperbolischen Spiegel h reflektiert wird, der
einen Brennpunkt in F hat, möglichst nahe an ihm liegt und nur die
Strahlen dieses Kegels aufnimmt, so werden die nicht axialen Strahlen
größtenteils am hyperbolischen Spiegel vorbeigeben und noch durch ein
Diaphn^ma im Zentrum des parabolischen Spiegele abgegrenzt, zur
pbotographiechen Platte, die im zweiten Brennpunkte dee hyperbolischen
Spiegels sich befinden sollte, nicht gelangen. Die Rotation der Achse
des parabolischen Spiegels kann dann um das Zentrum des hyper-
boUscbeo Spiegels erfolgen. Die Punkte des Objektes werden dann
durch die fundamentale Eigenschaft dee parabolischen Spi^els in
Punkten und durch die sukzessive Einstellung der Achse des Spiegels
winkeltreu abgebildet.

Zürich, im Oktober 1902.

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202 Über das natflrliche ErhaltangspiiuEip.

Über das jiatttrliclie Erhaltongsprinzip.

Von S, Wellisch, Oberingenieur der Stadt Wien.

Bie mechanische Begrilndong der Methode der Ueinsten Quadrate
hat so vielerlei Wege genommen, daß ein Rückblick auf die wichtigsten
Entwicklungsstadieb des mit dieeer Methode verwandten mechanischen
Prinzips der möglichsten Erhaltong des Naturzustandes von einigem
Interesse sein dürfte.

In Anlehnung an die Ton Galilei in seiner Hauptschrift: „Dis-
corsi e dimostrazioni matematicbe", Leiden 1638, festgestellte Wirkungs-
weise der Schwere, wonach Hebnngen und Senkungen durch die Quadrate
der Geacbwindigkeiten dargestellt werden, hat Huygens in dem Werke:
„Horologinm oscillatorinm/' Paris 1673, fQr das Erhaltnngsprinzip das
erste Fundament gelegt, indem er der erste war, welcher erkannt hat,
daB dasjenige, was in der Natnr erhalten bleibt, durch die Summe der
Produkte aus den Massen und den Quadraten der Geschwindigkeiten
auszudrücken sei. Der mit diesem Produkte verbundene Begriff der
„lebendigen Kraft", welcher sj^t«r vonGarteBiuB(1686), Leibniz(1695)
und den drei Bernoulli (1686 — 1748) eine bestimmtere Ausbildung
und Aufklärung gefunden bat, wurde in dem Erhaltungsprinzip zum
Gegenstand verschiedener Variationen gemacht.

In seinem Werke: „Varia opera mathematica", Tolosae 1679, hat
Fermat zum ersten Male den Satz ausgesprochen, „daß die Natur
immer auf den kürzesten Wegen tätig sei," oder mit anderen Worten,
daß die Natur mit dem „möglich geringsten Kraftaufwand" auskomme,
d. h. im Sinne des „geringsten Widerstandes" vorgehe. Diesen Gedanken
hat im Jahre 1740 und einige Jahre später Maupertuis auf-
gegriffen, um in der Mechanik ein neues Gesetz an&ustellen, welches
in seiner Abhandlung: „Les lois du mouvement et du repos deduitea
d'un principe methapbysique" (Histoire de l'academie de Berlin, 1746)
folgenden Wortlaut hat: „Wenn in der Natur eine Veränderung vor-
geht, so ist die für diese Veränderung notwendige Tätigkeitsmenge die
kleinst mögliche." Die für die Veränderung eines Bewegungznstandes
erforderliche Tätigkeitemenge ist als Produkt von der Form

zu denken, worin m die Masse, v die Geschwindigkeit und s den zu-
rückgelegten Weg bedeutet. Unter der Veränderung, die in der Natur
vor sich gehen und ein Minimum werden soll, wird die Differenz zwischen

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Von S. WBLI.18CH. 20S

zwei Tätigkeitamengen verstaiideii , deren eine dem Zustande vor dem
Ereignis, die andere demjenigen nach dem Ereignis entspricht, gleich-
viel, oh das letztere ein wirklicher oder nur ein denkbar mSglicher, ein
virtueller Vorgang sei.

Da diese Darstellung des Prinzips der möglichsten Erhaltung dea
Naturzustandes, welches man auch als das „Prinzip der kleinsten Wirkung"
(prinoipium minimae actionis) hezeichnet, nicht klar genug durchsehen
läßt, wie im allgemeinen eine unendlich kleine oder doch eine sehr
geringfDgige Veränderung eines Systems in der Nähe des Gleichgewichte-
zostandes — worauf es am meisten ankommt — zu behandeln sei, s»
erscheint die von Euler gegebene Fassung in differentieller Form viel
exakter und deutlicher. In seiner Schrift: „Methodua inTenieodi lineas
curras," Lansanne 1741, stellt er fBr die Formulierung des Prinzips
der kleinsten Wirkung das Produkt

m v ■ ds

auf. Dieses Produkt, worin die BewegungsgrÖße mv mit dem differen-
tiellffli Wegelement ds multipliziert erscheint, bezeichnet er als die
augenblickliche lebendige Kraft, und das Integral dieser augenblicklichen
lebendigen Kräfte zwischen zwei entsprechenden Zeitgrenzen läBt er ein
Minimum werden. Mit Bezug auf die Relation

""dt
könnte der Eulersche Ausdruck auch geschrieben werden wie folgt:

tn-1^ • dt oder m -^
und unter Zugrundelegung der Zeiteinheit:

m ■ V* oder m • ds*.

In der Schrift: „Traite de dynamique," Paris 1743, gibt d'Alem-
bert den elementaren Wirkungen die Form
m v ■ dv.

Setzt man hierin m =» - , p ~ j j ond dv -t g • dt, wo p die Kraft nnd
g die zugehörige Beschleunigung bedeutet, so hat mau
m ■ V ■ dv — - • j- ■ g • dt — p • ds

d. i. das Element der Arbeit.

Nach Lagrange, welcher in seiner „Mecauiqne analytique"
Paris 1788, die Ealersche Formel analytisch insofern ausdehnte, als

DigitizedbyGoOgIC

204 ^ber das natürliche Erhaltungspriazip,

er an die Stelle des eindeutigen MinimumB die doppelte Möglichkeit
von Maximum und Minimum einfQlirte, könnte man dieses Prinzip als
dasjenige „der größten und kleinsten lebendigen Kraft" bezeichnen, in
welcher Ansdrucksweise es sich auch unmittelbar anf den Qrenzfell des
Gleichgewichtes anwenden läBt, indem Lagrange nachgewiesen hat,
daß unter allen Lagen eines hew^en Systems die der größten und
kleinsten lebendigen Kraft entsprechende auch diejenige sei, in welche man
es bringen mQßte, damit es sich im Zustande des Gleichgewichtes befände.

Laplace drfickt sich in seinem Werke: „Exposition du Systeme
du monde" wie folgt ans: Ji)aa Integral der mit dem Zeitelemente
multiplizierten lebendigen Kraft eines Systems ist ein Minimum, sodaß
also die wahrhafte Ökonomie der Natur diejenige der lebendigen Kraft
ist." Dieser Anpassung, welche der Enlerschen Formulierung toII-
kommen entspricht, schließen sich später auch Poisson (Trait^ de
m^caniqae, 1833), Hamilton (Philosophical Transactions, 1834) und
Jacobi (Vorlesungen, 1842) an, jedoch unter erweiterten Gesichtspunkten,
die in der analytischen Bearbeitung des Prinzips zum AuBdmcke gelangen.

Carnot läßt in seinen „Principes fondamentaux de l'equilibre et
du mouTement", Paris 1803, den Verlust an lebendiger Kraft zu einem
Minimum werden and nähert sich damit wieder der d'Alembert-
Bchen Form.

In dem Aufsatze: „Über ein neues allgemeines Grundgesetz der
Mechanik", (Grelle, Journal für Mathematik, Bd. IV, 1829) hat Gauß
einen mit dem Prinzip der geringsten Wirkung verwandten Satz dahin
formuliert: „Die Bewegung eines Systems materieller, auf was immer
iiXr eine Art unter sich verknüpfter Punkte, deren Bewegungen zugleich
an was immer für äußere Beschränkungen gebunden sind, geschieht in
jedem Augenblicke in möglich größter Übereinstimmung mit der freien
Bewegung oder unter möglich Meinstem Zwange, indem man als Maß
des Zwanges, den das ganze System in jedem Zeitteilchen erleidet, die
Summe der Produkte aus dem Quadrate der Ablenkung jedes Punktes
von seiner freien Bewegung in seine Masse betrachtet." Unter der
Ablenkung du, welche ein materieller Punkt von der Masse m in jedem
Zeitteilchen erleidet, wird jener Unterschied in der Bewegung verstanden,
welcher eintreten wUrde, wenn die Bewegung anstatt nnter dem Ein-
Öusse der vorgeschriebenen Bedingungen unter demjenigen der frei
wirkenden Kräfte, also ohne das Vorhandensein dieser Bedingni^en
ausgeführt werden würde. Kach dem Oaußschen Satze findet also die
zwangloseste Bewegung unter der Bedingung statt, daß die sogenannte
Ablenku i^sum me

^m ■ da*

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Von 8. WlLLIBCH. 205

ein Minimum wird. — Ist dae anter dem Einäusse der freien Bew^pmg
zurückgelegte Wegelement df, das imter dem Einflüsse der gezicungenen
Bewegong ds, bo erklärt das Prinzip der geringsten Wirkung aber den-
jenigen Ch-enz&U als den GleichgewichtszuBtand, für welchen die Summe
der Produkte m ■ ds* ein Minimum ist Oder betroclitet man melu-ere
materielle Punkte m^ m^ m, , , ,, welcte im freien Znstande von den
angreifenden Kräften um d/j df, df^ . . ., im verbundenen Zustande aber
am (j^ ds^ dSf . . ., verschoben werden, sodaß sie vermöge ihrer Ver-
bindungen die seitlichen Ablenkungen da^ da^ da^ . . . erleiden, so er-
fo^ die wirfdiche Bewegung unter der Minimumsbedii^pmg:

^ni ■ ds* = min.

Führt man die freiwirkenden Kräfte F, die von der freien Be-
wegung ablenkenden, durch die vorgeschriebenen Bedingni^en wach-
gerufenen Ablenkungskräfte A und die tatsächlich zur Wirksamkeit

da
kommenden Bicsul tierenden Jf* ein, welche sich nach vorstehender
F^ur zusammensetzen; bezeichnet man ferner die den verschiedenen
Kräften nnd dem gleichen Zeitteilchen ä^ entsprechenden Beschleunigungen
mit ip, a und ic, sodaß die Beziehungen bestehen:

F^mip df = tp-~-
A "= ma da = a -^-
i'= mst ds = 31 - - ,
so erMlt man die Arbeitsgleichungen:

"^m ■ da' = -y^ff» a ■da= -^^A ■ da

Digiliz=db,G00glC

206 Über du natüiliche EihaltoDgapriDEip.

Wenn im Terbundeoen Zustande -g-^^' ^f'"^ o^*' daher
^A-da"^^ • ds = mm ist, dann kann man s^en: Ee findet die
wirkliche Bewegung nach dem Prinzip des kleinsten Zwanges so statt^
wie nach dem Prinzip der geringsten Wirkung, nämlich derart, daß die
Summe der von den Ablenktmgskrilften remchteteu Arbeiten ein Minimom
wird. Andemfalls mQßte man, um das Gaußsche Prinzip mit dem
natOrlichen Erhaltungsprinzip in Übereinstimmung zu bringen, den
Einfluß der freiwirkenden Kräfte in Berücksichtigung ziehen, oder es
müßte das Prinzip des kleinsten Zwanges mit dem Tri^heitsgesetze in
Verbindung gebracht werden. (Mach: „Die Mechanik in ihrer Ent-
wicklung"; Hertz: „Die Prinzipien der Mechanik") In dieser Ver-
bindung erscheint das Minimumsprinzip in der aUgemein8t«n Form, und
in dieser erhielt es die vollkommenste imd verständlichste Fassung von
Castigliano durch seinen „Lehrsatz von der kleinsten Arbeit", welchen
er zum ersten Male im Jahre 1873 in seiner Diplomarbeit als Ingenienr
und später in seinem klasBischen Werke: „ThÄ)rie de l'^uilibre des
systemes elastiques et ses applicationa," Turin 1879, gegeben hat, B&-
gründet durch die Theorie des Gleichgewichtes elastischer Systeme nnd
als eine Folgerung seiner berühmten Sätze über den Differentialquotienten
der Arbeit, lautet dieser Lehrsatz wie folgt: „Die elastischen Kräfte,
welche nach der Deformation des Körpers oder des Systems zwischen
den Molekülen auftreten, sind jene, welche die Deformationsarbeit zn
einem Minimum machen, insofern man die Bedingungsgleichungen be-
rücksichtigt, welche ausdrücken, daß zwischen diesen Kräften um jedes
Molekül Gleichgewicht herrscht."

Der Zusammenbang des mechanischen Minimumsprinzips mit dem
geometrischen Minimumsprinzip wurde schon zur Zeit der Auffindung
der methodischen Ausgleichungsrechnung geahnt. Legendre, welcher
die Methode der kleinsten Quadrate in einem Anbange zu seinem Werke:
„Nouvelles m^thodes pour la determination des orbites des com^tes,"
Paris 1805, zuerst dffentUch behandelt hat, findet die Analogie des
Ausgleichungsprohlems mit den Eigenschaften des Schwerpunktes be-
merkenswert, indem er zeigt, daß der nach seiner Methode berechnete
Mittelpunkt eines beliebigen Punktsystems mit dessen Schwerpunkt zu-
sammenfällt. Berührungspunkte zwischen der Bestimmung des Minimums-
punktes und den Gesetzen der Natur finden sich auch bei Laplace
(Th^rie analytiqae des probabilit^s, Paris 1813) und Ganß (Theoria
combinationis, Göttingen 1831); Versuche zur Begründung der Methode
der kleinsten Quadrate aus mechanischen Prinzipien hat die Literatur
seit Ivorys Vergleich mit dem Hebelgesetze (Tilloch's Philosoph.

DigitizedbyGoOgIC

Von S. Weluscb. 207

Magaz. 1825 und 1826) nicht wenige anzuweisen; in besonders zu-
treffender Weise tat Henke in seiner Inangural-DissertatiiAi: „Über
die Methode der kleinsten Quadrate" Dresden 1868 und 1894, die
Meinung von der Möglichkeit, daß das Äusgleichungsproblem eine ganz
allgemeine BedeatUBg für die Auffassung von Natnrvor gangen haben
könne, mit den Worten zum Ausdrucke gebracht: Die durch äußere
Einflüsse bewirkten Yeränderongen geschehen stets so, daß die rer-
änderten Zustände denjenigen, aus welchen sie herroi^egangen, immer
möglichst nahe liegen — und daß man als mathematischen Ausdruck
dieses Prinzips den Fundamentalsatz der Methode der kleinsten Quadrate
zu betrachten habe.

Nach den jAngsten Untersuchungen ist man im a%emeinen zu der
Behauptung berechtigt, daß die Anwendung des natürlichen Erhaltungs-
prinzipB auf die Äusgleichungsrechnung zu der allgemeinen Theorie
der kleinsten Summen fährt. Wird nun im besonderen ohne Rücksicht
auf die Bedingangsgleichungen für das Gleichgewicht die Summe der
von den Ablenkungskräften allein verrichteten Arbeiten, die „Ah-
lenkungsarbeit" zu einem Minimum gemacht, dann ist auch der mathe-
matische Ausdruck dieses Prinzips das Fnndamentalgesetz der kleinsten
Quadratsummen, und es entspricht das hierbei in Andbndung kommende
Rechenverfahren der Gauflschen Methode der Umnsten Quadrate. Wird
aber die Summe der zur Erlangung des Gleichgewichts notwendigen
Arbeiten, die „Deformationsarbeit", auf ein kleinstes Maß gebracht, so
erweitert sich das Rechenverfahren zur Methode der Ueinsten Produkte,
wie sie zum ersten Male in der „österr. Zeitschrift ftir Vennesstings-
wesen", Wien 1904, unter denj Titel: „Fehlerausgleichnng nach der
Theorie des Gleichgewichtes elastischer Systeme" vom Verfasser aus-
führlich behandelt worden ist.

Da diese erweiterte Methode durch Einfiihning entsprechender, von
den vorgeschriebenen Gleichgewichtsbedingungen abhängender Gewichts-
zahlen immer auf die Gaußsche Methode zurückgeführt werden kann,
so findet die eine wie die andere — unabhängig von der Wahrschein-
lichkeitstheorie — nach der strengen Theorie des Gleichgewichtes
elastischer Systeme oder allgemein durch das natürliche Erhaltungs-
prinzip ihre mechanische Begründung.

:dbyG00«^Ic

Znt Haasenbeieclinimg' im Wegbas,

Znr Hassenberecbnimg im Wegban.

YoQ LiTDwio Schleiermacher in Aschaffenbnrg.

Zur Berechnung der Massen bedient man sich im Wegban der
Formel

(1) r=HQ, + Q,)i,

in welcher Qg, Q, die Flächeninhalte des Anfangs- und Endprofils einer
Station bedeuten, l aber den Horizontalabstand dieser Profile, die
Stationslänge. In der PraxiB erweist sich die Formel als hinreichend
verlässig. Es soll untersocht werden, wie weit sie genau ist für Weg-
körper, welche von ebenen Fläcben begrenzt, also Polyeder sind.
Dementsprechend wird vorausgesetzt, daß der Weg geradlinig ist nnd
das Gelände eben, aber von beliebigem Längs- und Quergefalle. Den
Ausgangspunkt bildet eiu gewisses Polyeder, für welches die Formel (1)
strenge richtig ist Es wird eich zeigen, daß sämtliche Wegkörper-
tjpen, die unter ^en genannten Voraussetzungen möglich sind, hin-
sichtlich ihrer Greetalt nur wenig von ihm abweichen.

Als rein empirische Formel ist (1) wohl nicht anzusehen. Offen-
bar entspringt sie der Absicht, den i. A. unregelmäßig gestalteten
Wegkörper zu ersetzen durch ein Prisma tob gleicher Länge, dem
dann das arithmetische Mittel der Grenzprofile näherungaweise und aus
BilligkeitsgrOnden als Basis zuerkannt werden muß. Diese Absicht
wird durch die räumliche Vorstellung gerechtfertigt, solange ein Weg-
körper TOrliegt, der nur aus Auftrag, oder nur aus Abtr^ besteht.
In andern Fällen vers^ die Vorstellung, Nehmen wir einmal das
Extrem: einen Wegabechnitt ^), hei welchem das An&ingsprofil nur Auf-
trag, das Endprofil nur Abtrag aufweist; nie will man sich zwischen
diesen Profilen ein Prisma von gleicher Länge denken, welches den
Wegkörper annähernd ersetzt? äleichwohl liefert in diesem Falle die
Formel (I) ebenfalls und zwar dann ein brauchbares Ergebnis, wenn
man den Inhalt des Abtn^profils negativ nimmt. Sie ei^bt nämlich
ungeßihr die Masse, welche zur Herstellung des Wegabschnittes , an-
zufahren ist. Man wird hier nicht einwenden, daß die Änderung eines
Vorzeichens eine wiUkQrliche Modifikation der Formel sei, nnd daß
durch derlei Wülkürlicbkeiten für irgend einen gegebenen Fall immer
ein „ui^efUhr richtiges" Ergebnis erpreßt werden könne. Die Änderung

l) Figur 7.

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Yon Ldswio Scslbibruaohbr, 209

erschemt mit Bücksicht auf den Gegensatz von Aufta:^ und Äbtr^
doch mindeeteiiB als plausibel; ihre Znlässigkeit aber läßt einen Übergang
ahnen vom ein&chen Anftragskörper zu solchen Gebilden. Mau beachte
die unterscheidenden Merkmale beider Gebilde! Ein Körper im ge-
wöhnlichen Sinne ist dorch eine geschlossene Fläche als durch seine
Oberfläche bestimmt und umschlossen; es gibt ein „innen" und ,^uBen";
der Begriff Inhalt bt klar. Solche Körper sollen schlug heißen. Hin-
gegen ist ein Raumgebilde, wie es oben gedacht und z. B. in Fig. 7
abgebildet ist, zwar gleichfalls durch eine geschlossene Fläche bestimmt,
jedoch nicht von ihr als Oberfläche umschlossen. Denn die Fläche
dnrchsetzt sich selbst in der sogenannten Ühergangslinie^'), da wo Auf-
trag und Abtrag keilförmig in der Oberfläche des natürlichen Geländes
zuaammenstoBen. InfolgedesBen kann man Ton einem Inneren dieses
Gebildes nicht reden. Auch ein solches' GebQde soll Körper, jedoch
Zicerch^ genannt werden. Seit Möbius steht fest, daß und wie man
einem zwerchen Körper einen Inhalt, ein Volnm zuzuerkennen hat.
Auf eine allgemeine Entwickelung des Inhaltsbegrifl'es aller Raum-
gebilde einzugehen, ist nicht Zweck dieses Aufsatzes. Insoweit aber
der Begriff hier hereinspielt, wird er erläutert Schon im voraus sei
bemerkt, daß flir den oben geschilderten zwerchen Wegkörper dasjenige,
was als sein Yolum anzusehen ist, sich genau mit der GröBe deckt,
die der Praktiker zu ermitteln hat, nämlich dem Überschüsse des Auf-
trages über den Abtn^.

§ 1. Der Klotz.

Ein Sechsflächner mit zwei Paaren paralleler Gegenflächen heiße
Klotz.

Die beiden Paare paralleler G^enflächen fOr sich allein b^renzen
einen prismatischen Raum, welcher ron jeder anderen Ebene in einem
Parallelogramm durchschnitten wird. Insbesondere ist also das Normal-
proSl des prismatischen Raumes ein Parallelogramm. Daher kann der
Klotz auch erklärt werden als ein beliebig (schief) abgeschnittenes vier-
seitiges Prisma mit einem Parallelogramm als Profil. Als äußerliche
Kennzeichen fallen an dem Klotz (Fig. 1) zonächst ins Auge die vier
parallelen Prismenkanten AE, BF, CG, DH, in welchen ein ParaUel-
flächenpaar das andere durchschneidet. Femer bemerkt man die beiden
Parallelogramme ABCD und EFGH, welche die Endpunkte der
Prismenkanten zu Ecken haben. Die fibrigeu Flächen sind Trapeze.

i] Enotenlinie, Doppelkorre.

2} d. h. verwachsen oder durch wacheen. Die Kürze und die ii
Erzeugung solcher Qebilde mQge diese Benennung rechtfeitigen.

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210 Zur Hassenberechaung im Wegbau.

Ein Prismqjioid, d. h. ein Poljeder, desBeo Ecken anf zwei parallele
Grundflächen Terteilt sind, ist der Klotz in doppelter Hinsiclit, je nach-
dem man nämlich zn Grondöüchen das eine oder andere Parallel-
flächenpaar -mhlt.

Bezeichnet man mit Q^, Q, die Inhalte eines PaiallälMchenpaares,
mit l ihren Abstand, so ist das Volum V des Klotzes

(1) y-i(Q,+Qdi-

Man beweist dies zunächst für den schlichten Körper, Typus St (Fig. 1),
wie folgt.') Grnnd^chen seien BFGC und AE3D. Dnrch den
Mittelpunkt einer Seitenkante AB föhre man zu den Grundflächen
die Parallelebene, welche die Obrigen Seitenkanten DC, HG, EF in
den Punkten F, B, S hälftet- Sodann führe man parallel zu den
Seitenkanten EF, HG durch OP die Ebene, welche die Priamenkauten
des Klotzes ÄE, BF, CG, DH in den Punkten X, Y, Z, U schneidet
Dann kann der Klotz aus Prismen additiv so zusammengesetzt werden*) :

T^ , BFGC n- YFQZ OBT , OAX

^""^ AEBD = ^™" XEBU'PCZ + PDU

Die beiden letzten Prismen sind aber Tolumgleich und heben sich weg.
Folglich ist das Volum V des Klotzes gleich dem des ersten Prismas,
welches mit ihm die Höhe l (Abstand des Gmndflächenpaares) und den

1) Den folgenden Beweis, sowie die Bescfareibnng des schlichten Klotzes, als
eines „Obelisken, in welchem auBer den Grandflächeu zwei weitere GreozSächen
einander parallel sied", findet man bei Heis und Eschweilec, Lehrbnch der
Geometrie (2. Teil, Stereometrie). Er dieut dort eui Herleitong der Talumformel
des allgemeinen Obelisken (Koppeschen Satzes) auf Grand einer Zerlegung, die
noch einfacher ist als die bekannte Steinerscbe. Schon tun deswillen ist der
EOrper fOr die Stereometrie wichtig nnd verdient einen besonderen Namen, Wir
haben den Namen Klotz gewilhlt, weil er kurz ist nnd weil solche Körper ent-
stehen, wenn der Zimmermann einen Balken zersägt, etwa um Schifter herzostellen.
Man begegnet übrigens dem Klotze in seinen vielfältigen Formen häufig genug.

3) Der Bezeichnung der Polyeder liegt hier und ferner folgende Vorstellimg
zagrunde. Man denke «ich das Polyeder zwischen zwei Ebenen eingespannt,
ein Frismatoid z. B. zwischen die Ebenen der Grundflächen, Nun bewege sich
eine dritte Ebene aus der Lage der ersten in die der zweiten, indem sie den
KOrper immer schneidet. Es sollen dann
1. Ecken, welche detfielben Lage der beweglichen Ebene angeboren, auf dieselbe

ZeUe,
'i. Ecken, die auf einer Kante Uegen, welche von der 1. Ebene bis zur 2. Ebene
reicht (Seitenkante) nntereinandei gesetzt werden.

Im Texte gestatten wir nns statt der üntereinimderstellung die Neben-
einanderstellung mit Trennnng durch ein Komma.

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211

MitteUclmitt OPSS gemein hat. Wir bezeichDen den Inhalt des
MittelschnitteB mit Q, und haben:

(2) r- Q^i.

Nun gilt aber fSr die Orundfiächen des Klotzes nnd dieses Priamas:

BFOC+AEBD- SSpT Jx^D - + S^- 2x "««?
oder:
(8) «.+ C, -2«^,

womit die Übereinstimmnng von (1) uod (2) erwiesen ist:

Das Vdam des Klotees ist Hohe mal Mittelscknitt, oder Höhe mal

dem arithmeti3che» Mittel der GrundfläeheH.

Dasselbe Ei^ebniB liefert auf Grand Ton (3) auch die bekannte

Simpsonsche Formel:

welche fdr jedes Prismatoid gilt.

§ 2. &e8taItB&iidenuigeii.
Ii^end eine Ebene, welche die Priemenkanten schneidet, zerlegt
den Klotz in zwei Körper derselben Art. Insbesondere trennt (Fig. 2)
die Ebene GHE'F" von dem Klotze das gleichhohe dreiseitige Prisma
Aber der Grundfläche FFG ab, das als Klotz angesehen werden kann,
in welchem die dorcb G nnd S laofenden Prismenkaateu anendlich
klein sind. Wir bezeichnen das Volam des Prismas mit V*. Es er-
scheint dann der fibrigbleibende Klotz — er beiße SesScmyer — als
Differenz von zwei gleichhohen schlichten Klötzen, nämlich
,,, BF-GC BFGC WFG

W AE'HD AEBD WEB

oder, wenn F' das Yolam des Restkörpers
(4a) r-V-V*.

Gmudflächen und Mittelschnitt des Bestkörpers sind gleichfalls Diffe-
renzen, z. B.
(5) BF-GC ^ BFGC - F'FG

oder, wenn wir mit ^ den Inhalt des Dreiecks F'FG bezeichnen und
die Inhalte der Grundflächen nnd des Mittelschnittes des KestkÖrpers

■»i* «., e;, «;:

p») e.-«.-^, e,-«,-^, e;-«,-^

Digiliz=db,G00glC -"

212 Zur Haagenbeiecbnung im Wegban.

and deawegen gelten fDr den R«stkörper auch die Beziehungen (2) nnd
(3) in der Form:

(6) ^'=<i'^^' Qo + Qi-^Q'^-

Dreht man jetzt die Ebene GHE'F" nm GH, so bleiben fflr alle ihre
La^en die Tontehenden Gleichungen (4), (4a), (5), (5a), (6) in Geltung:
zm^hat solange wie in Fig. 2 der Punkt F" zwischen F tmd H,
S' zwischen S und 0, E' zwischen E und A verharrt, aber auch dann
noch, wenn diese Punkte einer nach dem andern das betreffende Inter-
rall überschreiten, wie in Fig. 3 und 4 — sofern man nur die Inhalte
der Grundflächen, des Mittelschnittes und des RestkÖrpers, welche dabei
teilweise oder sämtlich zwerche Gestalt annehmen, im Anhalte an die
Gleichungen (4), (4 a), (5), (6 a) erklärt.

Demzufolge hat man in Fig. 3 mit Rücksicht auf (5) als Inhalt
des zwerchen Trapezes BF'GC aneusehen die Differenz der Dreiecke
GCL und LF'B, da bei dieser Lsge von F" Minuend und Subtrahend
in (5) den Flächenteil BFGL gemein haben, der also von beiden ab-
gezogen werden darf.

Der Restkörper in Fig. 3 hat eine Übergangslinie IL erhalten,
längs welcher sich seine Oberfläche durchsetzt, ist aber gleichwohl im
Sinne der Erklärung des § 1 ein Klotz geblieben. Wir bezeichnen diese
Gestalt des zwerchen Klotzes fernerhin als Typus W. Sein Volum V
muß im Anhalte an (4) erklart werden als Differenz der beiden schlichten
Körper, welche längs IL zusammenstoßen, nämlich^)

BF'GC LGO _ SFL

ÄE'SD " AE' HD J '

welche übrig bleiben, nachdem Minuend und Subtrahend in (4) befreit
sind von dem ihnen gemeinsamen schlichten Körperteil
LGFB
HE E"

Rückt bei weiterer Drehung der Ebene GHE'F" auch E' über A
hinaus, wie in Fig. 4, so werden beide Grundfiächen und der Mittel-
schnitt des Bestkörpers zwerche Trapeze, deren Inhalte wie oben zu
verstehen sind.

Der Restkörper (Fig. 4} verliert dabei nicht die definierenden
Eigenschaften eines Klotzes; doch ist seine Gestalt, die wir als Typus S"
des zwerchen Klotzes bezeichnen, wesentlich verschieden von der des
Typus Ä'. Er wird gebildet von den beiden dreiseitigen Pyramiden,

1} Li der Fignrentafel sind positive nud negative Teile zwercher EOrper
durch rote ond gelbe Farbe unteraohieden.

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Von LUPWIO SCHLEIEBIUCBIB. 213

welche in der ÜbergangsUnie NL zasammenhängen, und sein Yolum
iat ihrer DiSerenz gleiehznseisen, ds die Oleichung (4) nach Beeeitigung
des dem Minuenden nnd Subtrahenden gemeinsamen Körperteiles

LGFB

NBEA

(eines sclüichten Klotzes) die Fonn annimmt:
BF'GC LGC _BLF'
AE'BD " NBD ANE' '

Als unterscheidende Merkmale der drei Typen ft, St', Ä" heben wir

hervor:

bei A besteht jedes Paar paralleler GFegenöächen (Prismenflächen) ans

schlichten Trapezen,
bei A' ist von jedem Paare eine Fläche ein schlichtes, die andere ein

zwerches Trapez,
bei S.' besteht ein Paar ans schlichten, das andere aus zwerchen Trapezen.
Man beachte, daß in diesem Pan^raphen der Typus St" tmt dem
Paare der zwerchen Trapeze als Grund^ohen aufgestellt ist.^)

§ 3. Fortaotziuig.
Bei den vorstehend geschilderten Gestaltsänderui^en des Klotzes
wnrde die Ebene EFGH nm die Seitenkaut« GH gedreht nnd dies
hatte zur Folge, daß gleichzeitig beide Qmndfläcfaen ihre Oeatalt rer-
änderten. Man kann aber die Ebene auch nm eine Gmndkante, z. B.
um 3E drehen, dann bleibt die zugehörige Gnmdääche, hier AEHD,
ungrändert. Sei nun REF'G' (Fig. 2) eine Lage der sich drehenden
Ebene, so zerlegt auch sie den schlichten Klotz A, von dem wir
wiederum ausgehen, in zwei Klötze. Davon ist ^er eine dreiseitige
Pyramide, nämlich derjenige, dessen durch E und H laufende Prismen-
kanten null sind: sein Volum sei Fg. Der andere heiße Restkörperi
sein Volum sei V. Es ist:

,-, B rO- C BFG _ F'FG C

*■'-' AEBD^ AEHD EEHB

Sei 77 der Inhalt des Parallelogramms FFGO', so ist -^77 der Inhalt
des Parallelogramms S"SRR'. Bezeichnet man ferner die Inhalte der

1) Über einem zwercKen Trapeze aU Oruudfl&che l&Bt sich BelbBtTenUudlich
aach ein Prisma emchten. Man kann alao die oben geecbilderte TeAndenuig des
Inhaltes auct am Prisma Hludieren.

Zaltubriftf lUthtmalhlka. Fhjikk. M. Bud. ItOü. I. Httl. H

D.git.zedb/GOOglC

214 Zur MaBHCnberechunaK >■" Wf^liau.

änmclflacliea and des Mittelscbnittes des R«3tk5rpers mit Q^, Q^, Q'

HO ist:

Qa = BrC'C - BFGC-F-FGQ-~ Q^- U

(8) e; = OS"R'P^ OSBP - S-SRR' - Q - iff

Bomit

(9) V-Q,l, «+ft-2e^.

Diesen GleicbnngeD erteilen wir nun wieder dauernde Gültigkeit fQr
jede Li^e der sieb drebenden Ebene, so für Fig. 5 wie ftlr Fig. 6,
■welche, wie man leicbt siebt, wiederum den Typus St' bezw. fi" dar-
stellen. Im Gegensätze zu § 2 und Fig. 4 bat jedocb Jt" hier das
scblicbte Parallelfläclienpaar zu Grundfläcben.

Man erkennt im Anbalt« an (7), daß die Volume dieser Körper
genau wie oben bei Fig. 3 und 4 zu erklären sind. Dasselbe gilt mit
Rücksiebt auf (8) ancb für ibre Grundflächen und den Mitt«lschnitt.
Besondere Bescbtnng aber verdient dabei, daß in Fig. 6 die Grundfläche
BF'G'C (yergt. 8), als Diflerenz, deren Subtrahend den Minuenden
gerade um diese Fläche übertrifFt, einen negativen Inhalt ^^ gewinnt')
Bei weiterer Drehong der Ebene kann auch der Mittelschnitt und
somit das Volum V' negativ werden.

Hiermit ist jetzt dai^etan, daß die Volumlörmel (1) und (2) § 1
^r alle drei Typen jt, A', ft" gilt*), und v-a.s darin in jedem einzelnen
dieser drei FäUe V, Q^, Q„ Q bedeaten.

Über den Klotz noch folgende Bemerktmgen: er ist offenbar das
stereometrische Analogen des Trapezes und kann (wie dieses dem
Parallelogramm) dem Parallelepiped, als ein Stück von ihm, angereiht
werden. luvend ein Parallelscbnitt zu den Gmndflädien, dessen Ab-
stand von Qo sieb zur Höhe l verMlt wie | : 1, bat den Inhalt
«.+ («>- !?.)£■

I) Hau beachte, daB der negative Charakter der Fläche sich venAt in dem
Sinne de« Umlauf», welcher der ^botueqaent beibehaltenen Beseichnong BFQC
(Fig. 1), B F'G'C (Fig. 2, 6, 6) folgt. Wenn nämlich aof der wagrecht gedachten
Qrand&äcbe eine Penon in Fig. 1 den Weg BFGCB znrQcklegt, bleibt ihr die
umUnfene Fläche zur Böchten. Dagegen bleibt ihr in Fig. 6 die umlanfene
Grundfläche BF'G'C zur Linken. Den Obetgang bildet Fig. 6: hier bleibt auf
dem Wege BF'G'CB die Plüohe BF'L lur Linken, LG'C txu Rechton des Um-
laufenden. Es entapiicht dies der Tatsache, daB als Inhalt des zwercben TrapeEea
BF'G'C die Differeni LG'C — BF'L wegen (8) in betrachten ist

!) Sio gilt auch fSt die Zwigcbenfoimen dieeei Typen, auf welche hier
ebensowenig eingegangen werden boII, wie auf andere Spezialisierungen des Klotze«.

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Von LuDWlO SCBLBIKAIUCHEH. 315^

Da der Klotz zwei Mittelsclmitte aud zugehörige Höhen hesitzt,
besteht zwischen diesen vier Orößen eine Gleichung. Sie sagt nichts
anderes ans, als daß das Profil, ein Parallelogramm, zweierlei Gmnd-
linie nebst Höhe hat. Dies ergibt sich, wenn man durch einen Punkt
der Schnittlinie beider Mittelschnitt«, der sogenannten Schwerachse, den
Frofilscbnitt führt. Man findet dabei, daß das Volum des Klotzes auch
gleich dem Produkte aus Schwerachse und Profil ist, wie es der schöne
Sata Ton Meier-Hirach fOr alle schie&bgeschmttenen PriBmen fordert.

Der Klotz ist übrigens nicht das allgemeinste vierseitige Prismatoid,
dessen Volum durch (1) gegeben ist. Dieses hat folgende Eigenschaft:
L^ man durch einen Punkt auf einer der Grundflüch«^ zu jedem
Paare gegen {Iberstehender Seitenkanten die Paralldebene, so schneiden
diese die Grnndfiäche in derselben Oeraden.

§ 4. WegkSrperformen.
Auf dem ebenen Gelände ABTCDS (Fig. 7) Ton beliebigem
Längs- und Quergefälle werde ein geradliniger Weg mit wagrechter
Krone (Kronenbreite EF= HG = w) erbaut zwischen dem senkrechten
Anfangsprofil ABFE (Auftr^) und dem Endprofil DCGH (Abtr^).
Das Böschungsverhältnia sei sowohl zu beiden Seit«n, wie auch für
Auf- und Abtrag das nämliche und gleich ^.') Die Geländeebene ABCD
durchsetzt die Wegfläche EFGHY&a^fi der Übergangslinie ST. Irgend
ein Zwischenproäl, welches ST nicht triflt, zeigt nur Anftn^ oder nur
Abtrag; trifit es aber ST, so entsteht ein ^iwercbes Viereck, in welchem
gleichzeitig Auf- and Abtrag vorhanden ist, Durch Einschaltung Ton
mehr Zwischenprofilen kann man Stationen abgrenzen, für welche die
zugehörigen Wegkörper einen der folgeuden vier Typen aufweisen,
welche hexw. dargestellt sind in Fig. 8, 9, 10, 7:
I. Beide Grenzprofile sind gleichzeitig Auftrag oder Abtrag,
II. Ein Grenzprofil hat nur Auftrag (oder Abtrag), das andere ist
gemischt,

III. Beide Grenzprofile sind gemischt aus Auftrag und Abtr^

IV. Ein Grenzprofil hat nur Auftrag, das andere nur Abtrag.

Es mögen diese Typen in ihrer Reihenfolge einzehi betrachtet und
ihr Volum berechnet werden. Der Abstand der Grenzprofile, die
Stationslänge, sei durchgehends mit l bezeichnet.

1) Dies trifil in det Praxia nicht immac z?. Es boU nicht unerwähnt bleiben,
daS die TOistehenden Annahmen anch die Orfibea l&ngB der ÄbtragabOBchnngen
nicht berflckaichtigen.

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216 Zut MasaenberechnTing im Wef^bao.

Wegkörper I.
Legt man in Fig. 8, welche einen Auftn^körper vom Tjpns I dar-
stellt, durch C zur BÖBchnngsebene AEHD die Parallelebene CLM
und erweitert beide BöBchnngsebenen bis zur Schnittkante JK, bo kann
der Wegkörper wie folgt zusammengesetzt werden:

DCGB -^ . DCCK T^ BGK , t, C

ABFE = ^•'*^ AMLJ - P™«^* EFJ + P?™™- MBL'

Die rechts stehmden Prismatoide haben i^r die angeschriebenen Ornnd-
öächen alle dieselbe Höhe l. Bezeichnet man die absolnten Werte der
Inhalte der vorgenannten Gmudflilchen des Wegkörpers bezw. mit D„ Dg,
des Prismas mit J, der Pyramide mit d% so ergibt sich für das Volum V
des W^kÖrpers:

y- i[0» + ^ - *) + (D, + ^] I - z/i + \ai

oder:

(1) F-J(D.+ D,)I-iJI.

Man vernachlässigt also iei Anwendung der herkömmlichen Formd
den Betrag ^dl, d. h, die Hälfte der ohengenantUen Pyramide. Um
i^or ^it y durch die Abmessungen der Profile auBzudrflcken, projiziere
man die Punkte A, B,C, D in die betreffende Krone nach A\ f, C, D'
und bezeichne:

AA'=a, BB'=h, CC'-c, DD'^d, EF=HG~w,
so ist unter Benutzung des BöschnngsverbältniBses ß:

A'E = ßa, B'F - ßh, CG = ßc, D'H= ßd.

Durch Zerl^ung des Profiles ABFE in die Differenz des Trapezes
ABB'A' und des Dreieckspaares AEA', BB'FGndet man seinen Inhalt:
(10) £i^~\{a + b)(ßa + w + ßb)-^ßaa-\ßbb='jw(a + b) + ßab.
Um jDj zu bilden, hat man hierin a uod h bezw. durch d und c zu

(11) D, -}»(<! + «) + /!(!«.

Planimetrische Konstruktionen zur Berechnung von 6 Tenueidend
betrachte mau den Wegkörper als Prismatoid mit den Grundflächen
Dg, jQ, und der Höhe / und bestimme seinen Inhalt nach der bekannten
Simpsonschen Formel (§ 1, (S))
r- i p.+ IQ. + 4C1J l,

1) Den Hittekohnitt der Pjiamide, also dea 1. Teil von d nennt Koppe
„Etf^zuDgafigni" ,

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Von Li;Dwia Sculeibkmicubi.

man leicht sielit, ans Da ei^bt, wenn man darin a darch n — ^{a+d)
und 6 durch p " j (6 + c) ersetzt, alao:

BO ist:

Co+Ci-2C =i^(fl-(0(6-c) oder 4D^'~2(D^+D,)-ß(a-d)(b~c),

mithin, wenn man diesen Wert in die Simpsonsche Formel bringt:
(la) >'- ^^0+ äö,)l-ijS (o- rf) (& - c)l.

Durch Vei^leichnng dieses ErgebuiBseB *) mit (I) erkennt man, dafi
3 = ß(a — d)(b — c) ist, was sich auch direkt bewahrheiten läfit.

Zwischen a, b, e, d, w, ß besteht übrigens eine Gleichung, die man
erhält, indem man das Qnei^Mle des Geländes in jedem der beiden
Grenzprofile bildet und die beiden Werte gleichsetzt, i^mlioh:

(b-a):[aß + ti! + bß-\ = (c~d):[dß + w + cß]
oder:
(12) w {b — a — c + d) = 2ß (ac ~ bit).

Wegkörper U.
Fig. 9 gibt das Bild eines .ilu/'frajrkörpers vom Typas II.*)
Die linkseitige Äbtragböschtingsebene DHS ist zur rechtseitigen
Anttr^böschungeebene GCBF parallel. Erweitert man die erster«, so
trennt sie vom Auftrage die Pyramide S, AKE ab, und es bleibt ein
lowercher Klotz, Typus Ä', übrig mit den Prismenkaoten KE, BF,
CG, DH, d. h. man hat folgende Zerlegung des W^körpers:

o ABFE _KBF£; , S
^D COH ~ DCGB '^ AKE'

1) B. TOD DambrowBhi, InhaltebeTechnung bei ErdbaotoD, Teubner 1816,
gibt dieae Formel für den apeKiellen Fall, wo das Gel&nde kein Qa«^efUle be-
Bttzi Auf die Zerlegung dieaes Tjps in Prisma und Keil weist nea«rdinga Heer
Chr. Nielaen hin in den Untorrichtsbiatteni filr Math. n. Nat. 1903, IX Nr. 6.
Fenei enchienen nach Druck vorli^ender Arbeit swei Anfa&tEe, deren Verfaseer
sich mit Ansdebnong des Eoppeachen Satzes auf Prismatoide mit windschiefen
Seiten befassen und solche za ErdmasHenennitteliing benfltzenj nKmlich Herr
Ch. A, Vogler, Zeitschr. f. Termessungswesen, Bd. XXXIV, B. 169 and Herr In-
genieni Puller, Zentralbl. d Banverwaltung, Jahrg. XXT, S. !07. Solche ESrper
behandelt Herr Lnoke unter dem Namen ZentralkOrper (Leitf. der Stereometrie.
Teubner ISBO).

S) Das Qegenstflok hierzu, einen WeghOrper 11 mit flberwiegendem Abtrag,
würde in Fig. T ein Qnerprofil, welches ST achneidet, zusammen mit dem End-
pro£l'! DVGH begrenzen.

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218 Zur MMsenbenchnung im Wegebau.

Wird der ÜI>erBcliii& des Aaftragea Ober den Abtng für die Station
mit V bezeichnet^ der absolute Inhalt des Auftragprofilefl AB FE mit
0«, des Dreiecks AKE mit S, des zwerchen Trapezes DCGB, d.h.
der Überschoß dee Dreiecks TCG aber THD, mit C„ ferner die Höhe
der Pyrainide mit x, so ist

oder:

(n) »""-i CCI0+ ci,)/ + * (ii - ix).

Bei AnvendoDg der Erfahrungsformel (I) Temachlässigt man also
den Unterschied zwischen der Hälfle eines Prismas von der Höhe l and
der Pyramide ron der Höhe x, beide Ober derselben Grandfläche S.

Es soll die Formel (ü) in den Abmessungen des Wegkörpers aua-
gedrfickt werden. Wenn man wie oben die Punkte A, B, C, D, K iu
die Kronen projiziert aod

AA'-a, BB'=h, CC'=c, DD'^d, KK' = }c
setzt, so ist wieder (vei^l. 10)
(10) D.-|(a + i,) + ^«i.

Zieht man durch D, E in deu Profilen die Horizontalen DD*, KK*,
welche CG', CG, BS in D*, G*, C* schneiden, so ist

Q, _ TCG - THD = DCG* - DHGG* = \w(c + ^-wä
oder
(13) C,-^(c-i).

Der Wert von J ei^ht sich aus dem Wette Ton Dj,) wenn man ic =
nnd i an Stelle von h schreibt, was man geometrisch durch Parallel-
Terschiebung von BF in die Lage von KE erläutern kann. Also ist
(U) S -= ßak.

Da KB±DC, ist KBK*c^DGD*, aho BK* = CD* oämb-k~c+d,
■''"* k~b-c~d, k + d~b-c.

FaAt man den Punkt S als Teilpunkt der Strecke EH ins Auge und
denkt sich durch ihn die Stationsläi^e geftlhrt, so findet man — aod
weiterhin mittels ähnlicher Dreiecke:

X SK _BK KJC _ k

l — x^SH Hü^ DD' d '

db/GoogIc

Von Ll'DWIO tJCHLKIKUUCUEB, 319

Hiermit erhält man BcUieBlich
(IIa) F-i(0. + D.)i-l^i» "-''-;'J^-' + "^ .

Wie bei Wegkörper I besteht ancb hier zwiscbea a, b, c, d, w, ß eiae
Gleichung, die QuergefäUrelaUon, die miia wie dort findet Sie laatet hier:

(15) „(6 _ rt _ c - d) - 2ßa{c + d).

Wegkörper HI.

Der Wegkörper III (Fig. 10) ißt ein zwercher Klotz, Typns Ä",
mit den Priamenkanten AE, BF, CG, DH. Zwei Qegenfiächen, nämlich
die BÖschungBebeuen, sind schlichte Trapeze; die beiden anderen, nämlich
die Orenzprofile, sind zwerche Trapeze. Als Parallelogrammflächeo
treten die WegSäche und die Geländeääche hervor.

Wir berechnen, wie bei (II), die für die Station erforderliche
Maaae, den Überschuß V des Auftrages über den Abtrag. Wie im § 3
gezeigt wurde, irt V nichts anderes ala das Volum des zwerchea
Klotzes. Bezeichnet man also die Inhalte der zwerchen Trapeze ABFE,
DC6H bezw. mit iDo und D^ und nimmt hierbei den Auftrag positiv,
den Abtrag also negativ, so ist:

(in) r--K0.+ c.)i.

Die Erfahrungsforrnel ist für den Wegkörper III in aller Strenge
genau. Das Endprofil von II stimmt in der Form überein mit den
Grenzprofilen von III, also ist bei analoger Bezeichnung (vei^l. 13)

D, — Jw(fe — a), Ol — |mj(c — d).

Um die Qnei^fallrelation zu bilden, ziehe man in den Grenzprofilen
die Horizontalen AJ und DK. Die Ebene AJKD wird dann von
den Böschungaebenen in den parallelen Kanten AD, JK geschnitten,
die GeUiadeebene in den parallelen Kanten AD, BC. Der Körper

ÄBJ
DCK

ist also ein Prisma und die Höben in den Grundflächen sind gleich, d. h.

(16) a-\-h = c + d.

Dies ist die QuergefäUrelaii<»i\ sie ist hier von w und ß nnabbängig.
Man kann sie zur Vereinfachung der Volumformel benutzen und findet
folgende gleichberechtigte Werte für V:
(IHa) V= \u!{c - a)l = ^w{b - d)l.

DigitizedbyGoOgIC _ '

220 ^^ HaeBenberechnung im Wegban.

Eb ist hier leicht, diese Fonnel aofeiuteUen, ohne die Begriffe de« § 2
zu benutzen. Man denke sich nämlich den Wegkörper vie folgt
hergeBtellt: zunächst werde anf das Oe^nde ÄBCD das obenerwähnte
Prisma ^^JiDCZ" aufgetragen, sodann von dem hierdurch nmgeformt«a
(unebenen) Gelände der achlichte Klotz

ÄEFJ

DBOS

abgetr^en. Der Unterschied zwischen Prisma nnd Elotz ist dann die
erforderhche (anzu&hrende) Masse, oben mit V bezeiclmet. Die Orund-
fläche des Prismas hat den Inhalt ^u)(a + b) — {w(c + S), die Qmnd-
flächen des Klotzes bezw. tva, wd; die Hdben beider Körper sind
gleich l, folglich ist:

V -^ \w{a + b)l - J[wa + H;d]i= l«!(6 - d)i.

Wegkßrper IV.

Erweitert man in Fig. 7 die linkseitige Abtragböscbnngsebene
DHS bis zum Schnitte EK^ mit dem Änfangsprofil, bringt ebenso
die zu ihr parallele Auftragböschuugsebene £FT in GK^ znm Schnitte
mit dem Endprofil, so zerlegen diese Böschungsebenea den Wegkörper
in einen zwerchen Klotz, Typus Jt", mit den Prismenkanten Sf^JS, BF,
KiG, BH, außerdem in die Pyramiden S,AK^E und T, K^GC.

Sei Dq der absolute Inhalt des Anfangsprofiles ABFE, C, des
Endprofils DHQG, df^ aud ft^ bezw. der Pyramtdeubosis AE^E und
K,GC, sei femer x, und x, bezw. die zugehörige Pynunidenhöbe, so
sind Co — dj, Dl — Sj die absoluten Inhalte des schlichten Parallel-
flächenpaares genannten Klotzes, dss wir als GrundfUichenpaar wählen.
Nach § 3 ist das Volum des Klotzes dann gleich dem halben Produkt
aus der Differenz der absoluten Inhalte dieser Grundflächen in die
Höbe l, wobei als Minuend die Auftragsgrundfläche zu nehmen ist,
wenn das Volum als UberschuS des Auftn^es Aber den Ahtrag be-
rechnet werden soll. Fflr den ganzen Wegkörper soll dieser Überschuß
wieder mit V bezeichnet werden, dann ist:

K- i[(o. - «,) - (O, - a,)]i + j«,i. - ■; J,i,

oder

(iv) V - KO. - ß,)i + -! (ä, - J.)! + -; «.*, - i«,',.

die genaue Massenformel, welche mit der Erfahrungsformel KCg — 0,)2
zu Tergleichen ist

Projiziert man die Punkte A, S, C, B, K^, JT^ bezw. nach A', B, C,
B', K'^, JCj in die betreffende Krone nnd setzt:
AA'=a, BB'=h, CC'=c, DB'=d, K^K;^^k^, K^K\^k^,

DigitizedbyGoOgIC

i^O'-l^s:n S :;ch^-f?T,:.ivi;7;q.

ili7eJb.G00«^IC

Digiliz=db,G00glC ]

1 ScnLEUSBNACHBft.

80 ist (tergl. 10)

Do"=|M'(a + 6) + /Ja6, C^~^u!(c + ä) + ßcd.
Weil die beiden Pyramiden spi^elohnlich sind, gilt die Proportion:

Denkt man sich auch die linke Anftr^- und die rechte Ahtrag-
bSschnngBebene mit dem End- bezw. Anfangsprofil zum Schnitte ge-
bracht, BO entstehen zwei weitere Pyramiden, die nnter eich spiegel-
ätuiUch sind, und für diese gilt ebenso:
I — «j_ d
i — «, b>
femer gilt fOr die spiegelähnhcheo Pyramiden mit der gemeinsamen
Spitze S, and f&r die mit der Spitze T:

X, _ K _3r._ _ t,

I — «0 d ' 1 — x, b'

Wie man erkennt, bleiben die vier Proportionen nngeandert, wenn

gleichzeitig a mit c, b mit d, der Index mit 1 vertauscht wird.

Diese Vertauschung ist also auch auf jede Gleichung anwendbar, die

ans den Proportionen abgeleitet werden kann. Han findet nun

und hieraus unter Benatzung i

(17)

«.-

ed-ab'

*.-?^:

mithin ist:

(18)

*■-

^-4z-t

Nun geht durch Parallelverschiebung der Geraden BF in die Lage
von S^E die Fläche D^ in Äo, b in k^ über, während w verschwindet;
also ist

(19) da= ßaka= ßa*f^ und d,-/Sc'^^-
So findet man:

oder

V~\(ß,-i:i^)l+^ßl^-^^ldic + a){cd-ab)-2(d-b)(c»+ca+a^]

und da der Ausdruck in [ ] für c = a verschwindet, also den Faktor
c~- a besitzen muß

(iva) r-i(a.-D.)i + i)»; <''-"'°-°"^"^'+;f +'■"'+"'" ■

Die QaergeföUrelation lautet hierbei:

(20) wl(d _ c) _ (S _ „)] _ 2ß{hc - ad).

db,Googlc

Digiliz=db,G00glC

Von LuDWio Schlei ERiucHEB.

io iat (verj^ 10)

Do-Xo + J) + ^a&, D,-iK.-(c + d) + ^cd.
Weil die beiden Pyramiden Hpiegelähnlich sind, gilt die Proportion:

Denkt man aicli auch die linke Auftrag- und die rechte Abtrag-
bÖBchnngsebene mit dem £nd- bezw. AnfangsprofU zum Schnitte ge-
bracht, so entstehen zwei weitere Pyramiden, die unter sich spiegel-
ähnlich sind, und für diese gilt ebenso:

femer gilt für die spiegelähnlichen Pyramiden mit der gemeinsamen
Spitze S, und fflr die mit der Spitze T:

i-xt ä' i-^l b'

"Wie man erkennt, bleiben die vier Proportionen angeändert, wenn
gleichzeitig a mit c, b mit d, der Iudex mit 1 vertauscht wird.
Diese Yertauschung ist also auch auf jede Gleichung anwendbar, die
ans den Proportionen abgeleitet werden kann. Man findet nun

und hieraus unter Benu^ung von

(17) :,._(.!|bl«, K-'t^,,
mithin ist:

(18) »i-';?^' *>-«i-V

I4^un geht durch ParaUelrerschiebung der Geraden BF in die Lage
von K„E die Fläche Oq in dg, b in k^ über, während w verschwindet;
also ist

(19) d^-- ßak^=- ßa'j^~ und d,-^c»^-
So findet man;

oder

V-\(t;.„~C,)l+^ßl^^[^ic + aXcä-ab)-2(d-b)(c*+ca+a^]

und da der Ausdruck in [ ] fUr c^ a verschwindet, also den Faktor
c — a besitzen muß

(IV.) r-i(c.-D.)i + i^i '''-'""—"°jl;f +""'+""' .

Die Qaergefällreltltioii lautet hierbei:

(20) w[(d -e)-(b- a)] - 2ß(ba - ad).

db,Googlc

2f^2 Kleinere Hitteilungen. — Büchcncliau.

Kleinere Mitteilungen.

Anfrage.

P. 8., H. Wo findet man Tafeln des InUgräUogarUhmus? Ist
Soldners Tafel, Mflnchea 1809, brauchbar? In der Enzyklopädie der
mathem. Wiss., Bd. II, 8. 175, lieiQt es: „Tafeln sind von Bessel und
Gauö berechnet worden." Wo stehen diese Tafeln? In GauB' Werken,
II, S. 438—443, finden sich nur einzelne Werte.

Bücherschan.

SehftBler, B., Orthogonale Axonometrie. Ein Lehrbuch zum Selbst-
Studium. Mit 29 Figurentafeln in besonderem Hefte. 8", VIT u. 170 ~
Leipzig 1905, B. G. Teubner. Preis geb. M, 7.
Das seltene Erscheinen von Lehrbüchern der darstellenden Geometrie,
die von den ausgetretenen und schon etwas langweilig gewordenen Hongi
sehen Pfaden nach irgend einer nichtiing abweichen, rechtfertigt wohl den
Ausdruck, daß ich das vorliegende eigenartige BUchlein freudig begrüße
Sein Grundgedanke, sämtliche Konstruktionen im axonometrischen Bildi
ohne Zurückgehen auf eine zweite orthogonale Projektion durchzuführen,
sowie die Angabe von Wegen, auf denen man zu diesem Ziele gelangen
kann, stammen freilich von C. Pelz. Dem Verfasser gebührt jedoch das
Verdienst, die einfachen Lösungen, zu denen Pelz in seinen Abhandlungen
gelangt ist, einmal so dargestellt zu haben, daß jeder ohne besondere Vor-
kenntnisse aus der darstellenden oder projektiven Geometrie sich mit ihnen
bekannt machen kann, femer ibre Anwendung auf die verschiedensten Auf-
gaben, insbesondere der Schattenkonstruktion, gezeigt zu haben. Daß der
Verfasser mit Liebe und Sorgfalt an diesem Werkchen gearbeitet hat, er-
siebt man ans jeder Seite; es soll ja auch wohl, mehr als es der Schluß
der Vorrede betont, einem Liebliagsgedauken zur Verwirklichung verhelfen,
nämlich der oiihogonalen Axonometrie wegen der Anschaulichkeit ihrer
Bilder und Konstruktionen eine bevorzugtere Stellung im darsteiiend- geo-
metrischen Unterricht zu erringen.

Was den Stoff anbetrifft, so behandelt der Verfasser nach Erklärung
der Methoden zum Zeichnen aionometrischer Bilder die Darstellung der
Orundgebilde, die Aufgaben aber ihre Lagenbeziehungen und als Anwendung
die Schattenbestimmung an ebenflächig begrenzten KSrpem. Letztere so-
wohl als das S. 19 n. 20 erwähnte Konstniieren mit Punkten oder Linien,
die außerhalb der Zeichenfleiche liegen, ist der Beachtung zu empfehlen.
Die „Aufgaben der Geometrie des Maßes", insbesondere die Über das Senk-
rechtstehen von Geraden und Ebenen werden nach 0. Pelz durchgefBhrt,
wobei bekanntlich der Satz Aber die Höben eines Dreiecks die Hauptrolle
spielt. Bei manchen Lösungen dieser Aufgaben sehe ich keinen Vorzug
gegenüber der Benutzung einer zweiten orthogonalen Projektion.

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BOcherschaa. 233

Besondere eingehende Behaadlung erfahrea der Kreis und die Kegel-
schnitt«, Bei der Darstellung der ersteren kommt der Satz zu wiederholter
Verwendung, daß das Bild einer zur Kreisebene senkrechten und mit dem
Radius gleich langen Strecke der linearen Exzentri/.itSt der Bildellipse gleich
ist. Vielleicht hat in diesem, und manchem anderen Abschnitt (z. B. Kugel
und Halbkugel) die Liebe zur Sache den Verfasser verfiilirt, fSr eine und
dieselbe Aufgabe zu viele LöHungsarten anzugeben, was ich vom pSda-
gogischen Standpunkte aus für bedenklich halte, obgleich den fertigen dar-
stellenden Geometer die wirklich hübschen Konstruktionen sicherlich erfreuen
werden. Auch auf manchen der ganz elementaren Beweise von Sätzen sei
aufmerksam gemacht; der Beweis des Satzes jedoch, dafi jede Zentral-
projektion eines Kegelschnittes wieder ein solcher ist, scheint mir noch einer
Erg&nzung zu bedürfen.

Eine ähnlich liebevolle Behandlung erfahren die Zflinder- und Kegel-
^ohen 2. Grades, ihre ebenen Schnitte und Durchdringungen, die Kugel
und die Drehflächen (insbesondere die 2. 0.), wobei wieder auf die Schatten-
konstmktionen ein Hanpt^wicht gelegt wird. Für sehr lehrreich halte ich
die auf Tafel 28 gezeichneten und S. 156 n. 157 erläuterten Bilder einer
Hohlkehle. Auf 8. 153 (zu Fig. 186b) wird versehentlich erwähnt, eine
Kurve besitze in einem Wendepunkt eine Unstetigkeit der KrUmmung, die
Eigonschattengrenze der durch die Kurve (als Meridian) erzeugten Dreh-
flSche daher auf dem zugehfirigen Farallclkreis eine Ecke, während sie
doch in dem Punkte die Erzeugende des (längs des Parallelkreises) um-
schriebenen Kegels berührt.

Besondere lobend muß noch der schönen und korrekten Ausführung der
29 beigegebenen Tafeln gedacht werden, die der Verfasser selbst ge-
zeichnet hat.

Betreffs der Bezeichnungsweise sei erwBhnt, daB der Verfasser Punkte
mit kleinen lateinischen, gerade Linien (aber auch Flachen) mit großen
lateinischen, Ebenen mit kleinen griechischen Buchstaben («*, t' Spuren von e)
und den Schatten eines Gebildes durch den seinem Buchstaben oben an-
gefügten Zeiger s bezeichnet; die Raumgebilde unterscheidet er von ihren
Bildern durch den unten angefügten Zeiger r. Er befindet sich damit in
ziemlicher Übereinstimmung mit den von C. Pelz (vgl. Zur klinog. Daist,
d. BotationsflRchen, Sitzgsb. Böhm. Ges. Pr£^ 1895, Fußnote 2) gehrauchten
Bezeichnungen.

Wien, im Juni 1905. E. Müi.ij;r.

H. Becker, Architekt und Lehrer an der Bangewerkschnle in Magdeburg,

Geometriaohes Zeichnen. Neu bearbeitet von Professor J.Vonderlinn,

dipl. und staatlich geprüftem Ingenieur in Breslau. Dritte (der

Neubearbeitung I.) Auftage. Mit 290 Figuren und 23 Tafeln im Text.

Sammlung Göschen, Leipzig 1903. Pr, 80 Pf.

Das klar geschriebene, praktisch angelegte und mit guten Figuren

ausgestattete Buch gibt ohne Beweis die wichtigsten Konstruktionen für

den Kreis, die Kegelschnitte, die bekannteren höheren und transzendenten

Kurven, femer behandelt es die einfachen Bogenformen, geometrische Oma-

ib.Goo«^Ic

224 llficheTBchau.

ment«, UaBstäbe und das YergrOBem and Verkleinern von Fluren. An
Stelle der wenig eleganten Hyperbel -Konstruktion auf S. 66 könnte die
weit einfachere angefahrt werden, die sich aus der Asymptoten -Gleichung
xy = const. ei^bt. Zu Seite 96 wBre zu bemerken, daB na«b der Auf-
fassung der Mathematiker die Eonchoide in jedem Falle durah den Pol
hindurchgeht, wenn audi dem isolierten Punkt eine praktische Bedeutung
nicht zukommt.

München, März 1905. Karl DoEHLBUAXti.

Bemerkmig m. der Kritik in Bd. 46, S. 495.

Solange ich noch selbst Erdmessungskommiesär war, hielt ich es nicht
fOr passend, auf die Kritik des Herrn Prof. Dr. Barsch über mein (erstes)
,^strononiisches NiTellement" durch Württemberg , Stuttgart 1 90 1 , zu
erwidern; nachdem dies seit kurzem nicht mehr der Fall ist, möchte ich mir
erlauben, mit einigen Worten auf die Sache zurückzukommen.

1. Herr Prof. Dr. Börsch sagt, die „relativen Lotabweichungen" (in
der Richtung des Meridians) gegeneinander „durften" „etwa mit einem
mittleren Fehler von hSchstens 0,7" behaft«t sein, der wohl auch noch ffir
eine hinreichend genaue Konstruktion des Geoidprofils . . . genügen wird."
Die gemessenen Polhöhen sind aber tatsächlich genauer als Herr Prof. Dr.
Börsch angibt; der m. F. einer PolhOhe beträgt nicht '/, bis '/j", sondern
Vs bis '/« "> durchschnittlich sicher nicht über '//'. Die Angabe des Herrn
lütikers wird in d. Z. Bd. 47, S. 508 berichtigt; es ma& daselbst
aber statt „etwa '/, bis '/» Sekunde" beißen „y^ bis % Sekunde." Dabei
ist nicht zu vergessen, dafi bei diesem m. F. die periodischen und zu-
fälligen Teilungsfehler des HShenkreises nicht zuvor eliminiert sind. Da
Herr Prof. Dr. Börsch übrigens einen m. F. von im Max. 0,7" in der
(nichtellipsoidischen) relativen Lotkonvergenz zweier benadibarter Punkte
noch zulassen will, der Fehler bei mir in der Tat aber wenig über die
Hälfte betragt, so ist auf die Genauigkeit der direkt gemessenen Polhfihen
hier nicht weiter einzugehen. Ich meinerseits halte in einem „astronomischen
Nivellement" Polböhen mit '/(" m. F. (in dem oben angegebenen Sinn) fix
ausreichend genau. Wenn mir ein größerer Höhenkreis oder ein Zenitfemrohr
zur Yerfttgung gestanden hätte, h&tte ich aber selbstverständlich mein
kleines Instrument nicht verwendet, nicht um die Genauigkeit zu erhöhen,
sondern um zu sparen an Arbeit und Kosten, obgleich diese geringer sind,
als bei allen andern mir in dieser Beziehung bekannt gewordnen ähn-
lichen Arbeiten; mit 20 Punkten von ± 0,2" m. Fehler in der Polhöhe
auf einem bestimmten meridionalen Geoidprofil läßt sich mehr leisten, als
mit 10 Funkten von J; 0,1" m.F, Übrigens wird der Begriff der „hinreichenden
Genauigkeit" in der Konstruktion eines Geoidprofils auch heute noch diskutabel
sein. Auch auf dem zweiten von mir noch (1902 und 1903) ausgeführten
vrürttembergischen Geoid-Meridianprofil, auf etwa 8'/," F. Gr., habe ich in
den direkten Polhöhen eine größere Genauigkeit als in dem ersten gar
nicht angestrebt.

2. tadelt Herr Prof. Dr. Börsch, da8 der „Endzweck der ganzen Arbeit"
insofern nicht erreicht sei, als die Konstruktion des Groidprofils, obwohl

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BflcheTBCban 325

^ehr em&ch" zu erledii^n, nicht aosgefQhrt sei. Ich hätte mich an die
KoDstruttion des Profils auch gewagt, wenn sie weniger einfach w&re; aber
ich wollte alte vier Profile am Schlafi der ganzen Arbelt Kusammenstellen,
wie ich wohl genügend deutlich mitgeteilt habe und wie auch Herr Prof.
Dr. Börsch zitiert, und wobei dann die „wahre" und die „korrigierte"'
GeoidflOche getrennt und in Linien gleicher Erbebung über dem Heferenz-
ellipeoid dargestellt werden sollten.

3. Daß ich durch ungenaue Ausdrucksweise Herrn Prof. Dr. Bßrscb
za der Annahme Veranlassung gegeben habe, ich wollte entweder „ost-
westliche" Lotabweichungskomponenten oder ihren Einfluß auf die Azimut-
bestimmungen leugnen, bedaure ich. Ich hielt und halte es noch für zweck-
mäßig, statt mich auf die Bobnenbergerscbe einzige Aslmutmessung zur
Orientierung des die geodfiüschen geographischen Breiten liefernden Trian-
gnlierungsnetzes zu stützen, die Lage dieses Netzes dadurch zu bestimmen,
daß auf einer nicht zu kleinen Anzahl von Punkten an Terschiednen
Stellen des Netzes (selbstverständlich nicht nur auf der Linie dieses ersten
astronomischen Nivellemente, sondern im ganzen Gebiet der Bohnenberger-
schen Triangulierung) bei Gel^enheit der direkten Polhöbenm essungen auch
direkte Azimntm essungen gemacht werden und daß diese Azimutmessungen
mit den „geodätisch übertragnen" (deren Unsicherheit ich nicht unterschätze)
verglichen werden, um zu einem möglichst guten Wert des „Yerdrehungs-
winkels" ß zu kommen. Vom „wirklieben" Wert dieses Winkels ß zu reden
(S. 113) ist natürlich nicht statthaft; daß der (statt des Bohnenberger-
scheu) wirklich anzuwendende oder plausibelste gemeint war, brauche ich
wohl nicht nachzutragen. Ich denke mir auf 12 — 15 schicklich gewählten
Stetionen unseres Netzes ( — vorbanden sind davon bereits: Bussen,
Solitude, Katzenbuckel; neuerdings Tübingen, Stuttgart — ) Aaimute weit
entfernter und im Trianguliemngsnetz ebenfalls festgelegter Zielpunkte direkt
gemessen. Die Abweichungen a zwischen diesen direkt gemessenen Zahlen
und den aus den Bohnenb erger sehen Landesvermessongskoordinaten der
Stand- und Zielpunkte zu berecbenden Azimuten, setzen sich aus drei Teilen
zusammen: 1. ans dem zu ermittelnden plausibelsten Wert von ß (der, wenn
auch nicht streng, doch sehr genBhert als konstant in den u enthalten
ist), der als Gesomtverdrebung des Bobnenbergerschen Koordinatensystems
gegen den Ueridian des Nullpunkts anzusehen ist; 2. aus den in verschiednen
Teilen des TrianguJiemngsnetzes verschiednen Fehlern des Netzes in sich
(gleichsam wechselnde Belage ß' der Verdrehung der einzelnen z. T. bekannt-
lich sehr schlecht verbundnen Netzstücke gegen einander); 3. aus den Be-
tragen rj ■ tg q>, die mit den Lotabweichungskomponenten ti senkrecht zum
Meridian von Punkt za Punkt wechseln.

Die mir im wilrttemhergischen Netz Bis jetzt bekannten Abweichungen
a zwischen direkt gemessuen und aus den linearen geodätischen Koordinaten
berechneten Azimuten stimmen iimerhalb ungef&hr 7' überein ; trotz der
Fehler der alten Bobnenbergerschen Horizontalwinkel ein Zeichen dafür,
daß auf dem Gebiet, auf dem bis jetzt direkte Azimutbestimmungen gemacht
sind, ^oße t) nicht vorkommen (wie auch beti^chtliche £ nirgends vorhanden
sind). Im ganzen glaube ich schon jetzt als zweckmäßigsten Wert von ß
die Zahl von etwa 12" angeben zu kSnnen, die sich aber selbstverständlich
noch um mehrere " Bndeni kann. Ob ß um einige " größer oder kleiner

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226 fiacherschau. ~ Neue Uücher.

augenommeti wird, war für das erste astronomische Kivellement lilii^ dem
Meridian des Nnllptmkts ganz gleichgültig; eine Verilnderung in ß um nur
6" ändert aber für die aordGstlich8t«n und südSstlichsten Teile Wflrttem-
bergs, die durch das Geoidprotil auf 10" £. Or. erfafit werden sollten, die
geodätischen geographischen Breiten und damit die (vorläufigen) g um mehr
als 0.1". E. Hammeb.

Nene Bilcher.')

Geodäsie.

1. Dom., H. und Nb«tlb, P., Lehrbnch der praktischen Geometrie. 2. erweiterte
n. umgearb. Anfl. Leipzig u. Berlin, Teubner. H. 3.20; geb. H. S.80.

Daratellende Osonetrie.

2. Bbbhbabd, Mai, Darstellende Geometxie mit Einschlnfi der Schattenkonstruktionen
a. der Perspektive. Als Leitfad«i f. den Unterricht an techniachea Lehr-
anstalten, Oberrealscbnlen u. Kealgynmasien, «owie mm Selbststudium hrsg.
8. rerb. u, starlc verm. Aufl. Stnt^fart, Enderlen. geb. in Leinw.

8. Hbvdrha«, W. J., Beginselen der beschrijvende meetkunde. Amsteidam,
Ahrend & Zoon. geb. Fl. 5.60.

Loglkreohnuug.

4. CoDTUKAT, Louis, L'algibre de la logiqae. (Scientia Ni. 24.) Paris, Qanthier-
Villars. cart. Frs. 2.

MeclUkBlk.

5. Ai-KiiNDEE, T. and Thombon, A. W., 26 gradnated «lerciHes in Graphic Statics.
London, Macmillan £ Co. 10 s.

6. Appell, P. et Chappuis, J., Lefons de m^anique äliSmentaiie ä l'usage des
^lives des classes de roatb^matiques A et B. Conform^ment aux programmea
du 21 mal 1902. Paris, Gauthier-ViUars. Fn. i.

7. DoNADT, A., Lehrbuch der Mechanik in elementarer Daretellung f. technische
MittetBchulen u. hOheie Lehranstalten, inabea. zum Selbatunterricht m. Rück-
sicht auf die Zwecke des praktischen Lebens. (&, Aufl. der Einleitung in die
Mechanik t. H. B. Lübsen.) Leipzig, Brandatetter. M. 9; geb. M. 9.70.

8. FüFFL, Auo. , Voilesnagen über techniachu Mechanik. I. Bd. Einführung in
die Mechanik. 3. Aufl. Leipzig, Tenbner. geb. M. 10.

9. Nkohahn, Ebnbt Rich., Studien über die Methoden v. C. Nemnann n. G Robin
zur Losung der beiden Randwertaufgaben der Potentialtheorie. Gekrflute
Preiaschrift (Freisschriften der ftirstl. Jablonowskischen Gesellschaft ku
Leipzig, mathem.-naturw. Sektion Nr. XV.) Leipaig, Teubner. M. lü.

10> R^iuTu, Edwabd Joun, The adranced part of a Treatise ou de Dynamics of
a System of rigid bodies. Being pait 2 of a Treatise on tbe wbole subject.
Wfaith numeroua examples. Gth ed., tevised and enlarged. London, Mac-

FhTBik.

11> Balv, K C. C, Spectroscopj. London, Longmans. 10 s. 6 d.

12. BucHBBBB, A. H., Elemente der Vektor- Aualysis. Mit Beiapiuleu aus der theo-
retischen Physik, 2. Anfl, Leipzig, Teabnei. geb. M. 2.40.

18. Geitlir, Jobef Ritter vom, ElektiomagnetiBche Schwingungen n. Wellen.
(„Die Wissenschaft" Heft 6.) Braunachweig, Vieweg (c Sohn.

M. 4.60; geb. H. 6.80.

]) Wo kein Erscheinung^ ahi angegeben, ist es 1905.

DigitizedbyGoOgIc

Neue Bacher. 227

14. Habeb, f., Therm odjaamik technischer O&arcaktionen. T Vorlesgu, München,
Old«iihoiirg. geb. in Leiuw. M. 10.

16. Huai, Hkkm., PhjEikaliflche Freibaadverimche. Unter Benutzung dea Nachlaswa
T. Bemhftrd Schwalbe. I. TeU: Nützliche Winke. HaB n Mesaen. Mechanik
der festen Kflrper. Seilin, Salle. M. :i.

16. JXqrb, GrsTAV, Theoretische PhjBik, II, Licht u. W&rme. (Sammlung Güechon
Hr. 77.) 8., verb. Aufl. Leipzig, GOBchen. geb. in Leinw. M. — .80,

17. , dasaelbe, m, Elektriiit&t u. MagnetiamuB. (Sammlung GSschcn Nr. 78.)

S., verb. Anfl. Ebenda. geb. in Leinw. M. —.80.

18. Kohlbausch, F., Lehrbuch der praktiachen Phjaik. 10. verm. AuQ. dea Leit-
fadens der praktiachen Phjsik. Leipzig n. Berlin, Teubner.

geh. in Leinw. H, 9

19. LAHDOLT-BüBHaTETK, PhjaikalLEch- chemiache Tabellen S. nmgcarb. u. verm.
Aufl. unter Mitwirkung zahlreicher Gelehrter u. mit L'nteratützung der Königl.
preuBischen Akad. d. Wiaa. hrsg. v. Eichard Bömstein u. Wilhelm Meyerhoffer.
Berlin, Sphntter. geb. M. 36.

20. Lu»MTZ, H. A., ErgebniBse n. Probleme iti Elektronentheorie. Vortrag.
Berlin, Springer. M. l.QO.

21. MüLLtB, M., Flot u, WitteroDg. Eine neue Theorie atmoaphäriacher Flut- u.
Ebbebetregung, abgeleitet f. nOrdlichc geographische Breiten u. deren Anwendung
auf die Gestaltung der Witterung. Braunschweig, Limbach. M. 1.

22. RiGHi, AuoiiRTo, II meto dei ioni nelle ecariche elettriche. S* ediz. ampliata.
Bologna. L. 3.

2S. Thousok, J. J. , ElektiizitUts-Dorchgang in Gasen. Deutsche autorisierte Aus-
gabe unter Mitwirkung des Autors besorgt und er^nzt v. Erich Marx. In
3 Lfgn. 1. Lfg. Leipzig, Teubner. M. 6.

TaielHf Nomographie.

24. LXsEA, W., Wjktadj Nomograßi. Opracowai' i vrjdai' Fr, [IlkowBki, (Autogr,)
Lvr6w ]!(ai^'0&. PölTocze liotnie.

86. WiLDA, Dia^amm- und Fiächenmesser, Tolhtändiger Ersatz f. das Plani-
meter zum schnellen und genauen Ausmeaaen beliebig begrenzter Flächen,
Dampfdiagramme oew. Mit Qebrancbaanweiaong, Hannover, Gebr. Jänecke.

M. 2.
TenchtciencB.

2$. FwTKcnBirT, Adolf Willlner gewidmet zum sicb/igsten Geburtstage IS, Juni
I'Mj von der KOnigl, technischen Hochschule zu Aachen, ihren früheren u.
jetzigen Mitgliedern, Mit dem Bildnis A.Wüllners in Heliogravüre. Leipzig,
Teubner. M. 8.

27. GoDPBBT, C. and Bell, G. M., A uotc book of Eii>crimejital Mathematica.
London, Arnold. 2 s.

28. Kabkniout, Bodo, Beitrüge zur matbemati sehen Begründung einer Morphologie
der Blätter. Berlin, Salle. M. 1.6U.

29. Jahnkb, E., Vorleanngen tther die Yektorenrechnang. Mit Anwendungen auf
Geometrie, Mechanik n. mathematische Phjaik. Leipzig, Teubner.

geb. in Leinw. M. G.60.

50, Ehaekb, A., Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongreaaes
in Heidelberg vom 8. bis 13, Augnat 1901. Herausg. von dem äcbriftföhrer
des Kongresses. Leipzig, Teubner. geb, in Leinw, M, itj.

51. LüBCBNEB, Hahs, ÜbcT SouneniihreD, BeitAge zu ihrer Qeschit'hte u. Kon-
struktion nebst Aufstellung einer Fehlertheorie, Graz, Leuschncr & Lubenskj.

M. 6.

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228 Eingelaafene Sohrifteii.

Eisgelaufene Sphriften.

[In di«Her Abteilung werden slte eingelaufenen Schriften regelmäßig an^j^efOhrt.
Die Beaprechnng geeigneter Schriften bleibt Torbehalten. BückHendnng findet

nicht Btatt]
Appkl et Chaffuis, Lc^db de märaniqne äl^mentaire, b. N. B. („Nene BOofaei") Nr. 6
Baohhann, Phil, Zahlantheorie. 5. Teil. Allgemeine Arithmetik der ZaUenkOrper.

Leipzig, Tenbner. geb. in Leinw. IC. 17.

BiBNHAzD, IC., Daratellende Geometrie, ■. N. B. 2.
Bdohubb, A. H., Elemente der Vektor-Annljsis, b. N. B. 12.
CoHTBiBVTTOHB &om the Jeffenon Pbyeical Labomtoiy of Harvard UniTerail; for

the year 1901. Vol. II. Cambridge, Mam.
CocTUBAT, L'alg^bre de la logiqne, b. N. B. 1.

Doli. ii. NsaTLK, Lehrbnoh der praktiBchen Geometrie, S. A., s. N, B. 1.
DoHADT, A., Lehrbuch der Mechanik, b. N. B. 7.
Fbmkrcb, Euao; ArithmetiBche Aufgaben, unter bcBondeter BerQckBichtignng der

Anwendungen aus dem Gebiete der Geometrie, Physik, Chemie. Ausgabe A.

Teil I. 6. verb. Aufl. Beriin, Salle. H, 2.20.

FÜFFL, A., Voriesungen fib. technische Mechanik, I, 3. A., a. N, B. 8.
GsiTi-BB, TOH, Elektromagnetische Schwingungen und Wellen, s. N. B. IS.
Habbhicht, B., Beifafige zur mathem. BegrQnduug einer Morphologie dei Bl&tter.

Berlin, Salle. M. l.«0.

Hahn, H, , PhjaikaliBche Freihandvenache, a. N. B, 16.

HiDTOH, C. HowABD, The fourth dimenBion. London läOi, Swan Sonnenschein & Co.
JiOKB, G., TheoretiBche Physik, II, UI, s. N. B. ja, 17.
Jabhkk, E,, Vorleanngen Aber die Vektoreniechnnng, ». N. B. 29.
JvHKaB, Fh., Repetitorinm u, Anfgabensammlnng zor Differenti^rechnuug, (Si

lung GOscben Nr. 146.) &., verb. Aufl. Leipzig, Göschen, geb. in Leinw. M. -
KoHLHAuscn, F., Lehrbuch der praktiacheti Physik, 10. A., ». N. B. 18.
Eraeir, A., Verhandlungen des 3. iateinationalen Mathematiker -KongresBes,

s. N. B. 80.
EüBLER, J., Die natürliche Entwicklang der Materie im Weltraum u. die daraus

herrorgebenden Weltgesetze. Leipzig 19M, Tenbner. M. — .SO.

LANDOLt-BöansTKni, Physikaliach-chemische Tabellen, 8. A., a. N. B, 19.
LAjrKEa, Alois, Die wisaenschaftlichen Grundlagen des ersten Rechennnterrichts.

Wien n. Leipzig, Fromme. K. 1.80.

Labia, W., Wyklftdy Nomogtafii, s. N. B. 2i.
LiHDKi.<)r, Ernst, Le calcul des räsidns et «es applications ä la thäoria det fonctJona.

Paris, Gauthier-ViUars. Pra. 3.60.

Mbvsb, W, Frahe, Differential- und Integralrechnung. II. Band: Integralrechnung.

(Sammlung Schubert XI,) Leipzig, Göschen. geb. in Leinw. M. 10,

ScHRÜDRK, Alvrid, Zur LöBung des Schwerkraftproblems. Ein physikalischer Ter-

Buch. Ala Manuskript gedruckt. Guacht (Nenmaik), Selbstverlag. M. —.60.
ScaimiBT, H., Beiapiel-Sammlung zur Arithmetik n. Algebra. (Sammlung GSscheo

Nr. 4S,) 8., durchgesehene Aufl. Leipzig, GOschen. geb. in Leinw. M. —.80.
SMrrn, David Edoenb. .K portfolio of portraits of eminent MathematicianB. Des-

cart«B, Pythagoras, Archimedes, Fermat, Leonardo of Pisa, Euclid, Csrdan,

Leibnitz, Napier, Vieta, Newton, Thaies. Chicago, The Open Court Publishing

Company.
Thohboh-Mari, Elektrizitata-Durchgang in Gasen, s N. B. 38.
WiLDA, Diagramm- nnd Flächemneeser, s. N. B. 26.
WüLLma- Festschrift, a. N. B. 26.

ZiTEBCHB, E. Ed., Ebene nnd räumliche Geometrie. 4. Anfl. (Webers ül. Kate-
chismen. Bd. 69.) Leipsig, Weber. geb. in Leinw. M. t.

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Durstellnng aller E leinen tarbewegnngeu usw. Von Äkton EUühw^d. 229

Daratellnng aller Elementarbewegiingen eines starren
Körpers von beliebigem Freiheitsgrad.

Uatersncbungeii, ansgefülut mit Unterstützung der Gtesellschaft zur
Förderang dentecher Wissenschaft, Konet and Literatur in Böhmen

TOD ÄNTON Grünwald in Bubentsch bei Pr&g.

'Ought we not tirst to itudy carefiillj the natme
of the freedom wbicli the hodj poBseaseB? Oaght
we not to make an inventorj of evei? distinct move-
ment of wbich the Lody ie capaLle? Until thia haa
been obtained I do not aee bov we can malce anj
progresB in tbe djnamical part of onr bneiueaa.'
Sir Robert Ball.')

Wir stellen uns die Aufgabe, in Kürze für jeden Freiheitsgrad
eines starren Körpers Modelle einfacher Mechanismen aozogeben, welche,
in geeigneter Weise angebracht, dazu dienen können, die oft höchst
unübersichtlichen, die Bewegungsfreiheit des Körpers einschränkenden ^
Bedingungen zu ersetzen.

An der Grenzfläche der zusammeugekoppelten Teile dieser Mecha-
nismen soll nur die Wirkung von Widerstandskräften, welche in die
Flächennormale fallen, in beliebig hohem Ma0e beansprucht, dag^en
TOD Reibung und dgl. gänzlich abgesehen werden. Bei jedem Modelle
soll an das System der Achsen und zugehörigen Parameter [Steigungen,
(2 Jt)~' fachen Ganghöhen^)] einerseits jener Schraubm^en erinnert werden,
welche das mit den instantanen Bewegungsbedingungen Tertn^liche
lineare Sehraubengebiet R/, erfüllen, sowie auch an die Schraubungen

1) Bezüglich der Literatur verweisen wir auf den „Treatite on the tfaeorf
of acrewB" von Sir Robert Ball, Cambridge l'JOO, und auf die iwei Abhandlungen
des Verfasaera in der Zeitschrift für Mathematik ondPhjaik („Sir Robert S. BalU
lineare Schrauben gebiete" im 48. Bd., 1. Heft, 1602, S. 49- 108 mit iwei Fignren-
tafeln nnd „Zm VeranRcbaolicbucg des Schranbenbündela" im 49. Bd., !. Heft,
1903, S. 211—245 mit zwei Figurentofeln ; Leipzig, B. 0. Teubner.) Zur Einführung
sei iiubeHondere die (in der Sammlung Schubert, Leipzig I90S erschienene} „Linien-
geometiie" Zindlera empfohlen. Von allgein einen Oesichtapnnkten aus: E. Study;
„Geometrie der Djnamen", Leipzig 1908. Tgl. dort insbeeondere S. 6SG naw.

2) Der Poiametei kann anch aufgefafib werden aU Entfernung jener Punkte
von der Achse, deren Translation sstrablen (Tangenten an die Bahiuchraubenlinian
dieser Funkte) mit der AchB& die Winket 46' einschlieBen.

ZtitHhrin f. Mkthamatik B. Phralk. M. Bund. IVO. S. Hsfl. 10

D.git.zedb/GoOglC

230 UarBtelluDf; aller Elementftrbewegnngen einea atanen KOrpen usw.

des fOr die Bewegung imwirks&meu ÜDearen Reziprokalgebietes *) Pit^n,
welchem die Widerstandsdynamen des Sjstema entoommen aind.

Eb wird 50 fQr jeden Grad der Bewegungsfreiheit ein TOlIstSndiges
iDTentar (S. 370) aller Typen von instantanen BewegungsmÖglichkeiten
zuBamui engestellt werden, wobei jeder Typus durch einen einfachen,
genan beBchriebenen BewegungsmeehaDismuB eich verwirklichen läßt
Für jeden Freiheitsgrad ordnen wir die Typen nach der Zahl der dem
beweglichen Körper gestatteten von einander unabhängigen Translationen,
da dieser Einteilungsgmnd sich bei der praktischen Ausführung von
Beweglichkeitsmodetlen als der zwockmäfiigste erweist. Vgl. die Tabelle
S. 274

Die TOD uns aufgezeichneten typischen Mechanismen gestatten es,
einm Apparat — allerdings mit auswechselbaren Bestandteilen — auf-
zubauen, welcher alle (an einem starren Körper zulässigen und in einem
bestimmten Augenblick die Bew^ung bis auf jeden beliebigen I<>eiheitfi-
grad) beschränkenden Bedingungen zu ersetzen imstande igt

So wenig es wohl gewöhnlich beachtet werden mag, bietet doch
die tägliche Erfahrong und auch der menschliche Körper instruktire
Beispiele von Bew^Uchkeiten — auch höherer Freiheitsgiade — dar,
deren Verständnis wir fördern wollen'), indem wir in Hementarer Weise
in jenen neuen Abschnitt der Kinematik einführen, Ton welchem
£. Study in seiner klassischen „Geometrie der Dynamen" bemerkt
(S. 555), mau sei in mancher Richtung über gewisse Beispiele und
tastende Versuche, etwas Ordnung in die sich darbietenden Einzelheiten
zu bringen, nicht hinausgekommen.

Freiheitsgrad L
Jede Elementarbewegnng eines Starren Körpers kann durch eine
Schranbenbewegung ersetzt werden, welche aus einer Drehung um eine

1) Beeiprok beißen Scbianbangebiete, welche eh eiuuider polar nnd bft-
süglioh de« (im linearen Schiunbenraom B^j enthaltenen) qnadratiBohen Oebietea
aller Oeroden.

i) Wer denkt denn — um einen einfachen Fall za w&hlen — i. B. daran,
daß er bei einer EiHenbahn&hrt, indem er bei atarr in beliebig achrftgei Richtnog
gehaltenem Uaterann die Fauat bloß im Handwurzelgelenk dreht, in jedem
Augenblick dieae Faaat nur um Achsen im featen AuBenranm (nnd zwar unter
Kinbaltnng Ton gen&u angebbaren OanghOhen) sehraubt, welche einen genau be-
stimmten Kegel zweiter Ordnung umhüllen und zu einer Fokalachae deaaelben
aenkreoht itehen? Wer denkt dabei dann, dafi hierbei nur gewisse DTuamea
unwirkaam bleiben, deren Ächaen denaelben Kegel berühren und zur anderen
Fokalachae senkrecht sind? [Ea liegt der von una unter !) beim Preiheitsgrade IH
anzutiahrende Fall vor.]

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Von Ahtok OrObwald. 2S1

Achse und einer zu dieser Drehong proportjonalen Transiation (Parallel-
Terschiebnng) in der AchsenrichtoDg sich zusammensetzt *)

Ale typisches Modell für die ausschließlidie Znlaastmg einer solchen
Bew^ung ist bekannt

1) eine Schraube DmDtter, welche um eine Spindel von der
Achse G und dem Parameter p beweglich ist. Ebensogut könnte bei
festgelegter Mutter die Spindel bewegt werden. Insbesondere ergibt sich

1') fllr den Spezialfall p — ein starrer Körper, welcher wie etwa
ein Bad um eine zylindrische feste Achse G (unter Versicherung gegen
Weitergleiten an derselben) einfach drehbar ist.

2) Entsprechend p = oo haben wir einen Schieber, d. h. einen .
Körper, der etwa wie eine Schublade mit Hilfe prismatischer Grenz-
flächen in entsprechenden festen Lagern gleitet (Oleitstflck im Schub-
rahmen). Alle seine Punkte verschieben sich parallel um gleich lange
Strecken.*)

Geeignete Kombinationen mehrerer (höchstens ö) dieser einfachen
Mechanismen werden es uns gestatten, jeden möglichen Fall von
beschränkten Betregungsmöglichkeiten eines starren Körpers za ver-
wirklichen.

Der Begriff der Gra ssm an n sehen Schraube*), welche eindeutig
darstellbar ist dnrch einen „Stab'' und ein zu ihm senkrechtes „Feld"
kann in der passendstea Weise, sowohl einer Schraubungsgeschwindigkeit
oder „Windung" L (Rotations gesch windigkeit um die Stabachse G mit
der durch die Stablänge angegebenen Winkelgeschwindigkeit, verbanden
mit einer Parallelverschiebung senkrecht zum Felde, d. h. parallel zu

1) M. ChaaleB, „Propriät^ gäomätriqueB relatives an mourenient ia&uiment
petit dana un corpe lolide libre dans l'espace" Paris ]89S, Comptef rendaa, rol. XYI,
pag. HtO~US2. Aach dessen schoD 1S30 in Färuseacs Bulletin, vol. SIT, pag.
321 — 826 eiHcbienene Note. L. Foinaot, „Tbtorie nouvelle de la lotation des
Corps" in Liouvilles Joiunal vol. XVI, pag. 9—139, 289—886. H. Wienet, „Die
Znaammenaetzung sireiet endlicher Schraubangen ed einer einzigen" nnd „Zur
Theorie der Uinwendungea" in den Leipziger Berichten 1890 S. 13 n. 71. E. Stndj,
„Qeometrie der Djnamen" Leipzig, 1903.

2) Zu 1), 1'), S) Tgl. etwa m,m„mx in der Fig. 1, wenn dort — entgegen
onaerer apäteren Annahme — I festgehalten wird. Zu S) auch die Bestandteile a
(Schubrahmen) und b Qleiistfick der Fig. 2. Wir schreiben 3 statt etwa 1" für
den Schieberfall, da wir nach der Zahl der bei der Beweglichkeit geatatteten
Translationen einteilen wollen.

8) H. Oraaamann „ Schraub cnrechnung nnd Nullajatem"^ Halle 1809 nnd
E. W. Hyde „The directional theory of screws" in den Annals of mathematica,
vol. IV, N. 6, pag. 187, 18S8 Maaa. U. S. A Im „The directional calculna" des-
selben Verfassers Boston, U. S. A. 1890 ist u. a. der Schraubenbegriff dargelegt.
Et findet sich Qbrigena schoa in der Aoadehnnogslehre H. Graaamanns desi. 18S8.

D.git.zedb/GoOglC

232 Dantellnng oller ElementarbewegaDgen eines starreD KCrpera naw.

G und mit der durch den FeldiDhalt dargestelltieu Qeschwmdigboit) ala
auch einer Dyname ji (Kraft auf einer Achse r, rerbonden mit einem
Drehmoment in dem zu F eenkrechteti Felde, wobei der Feldinhalt
p'mal so groß ist als die Stahlänge der Kraft) zugrunde gelegt werden.

QiassmaniiB „eingewandtes" Produkt der Schraube mit einem ebenen
Blatte gibt den „Nallpuakt^' der betraSieaden Ebene beiüglich der dnrcb die
Schraube L dargestellten Schraubnng S^ an. (Das Wort „Schraubnng" bedeutet
die Gesamtheit der durch eine ZahlgrSBe ans L ableitbaren Scbmuben.) Das
„äuBere" Produkt einer Schraube mit einem Pankte p gibt das „Nullblatt" dieses
Punktes, welches einen Teil der betreffenden Nnllebene bildet und dessen QrOBe
und Sinn bei der enteren der beiden obigen Deutungen der Scbraube die Trans-
lationigeBchwindigkeit Tonjianf dem durchgelegten mni Nullblatte (pX) senkrechten
Stabe bestimmt, wübiend es bei Annahme der letzteren Deutung <ler Schraube
als Djname A, das Moment (j)A) der Djname bezüglich des beliebigen Punktes,
p TOrstellt.

Das GrasHmansche „äußere" Produkt einer Windung L und einer
Dyname j1 gibt die Arbeitsgeschwindigkeit der Dyname jt bezflglich
der Windung L an.^) Es zeigt durch sein Verschwinden, daß in diesem
Falle L und ji linearen Reziprokalgebieten angehören, was bezüglich
des Winkels & der Achsen G und F von L und ^ und der Parameter
p und p' dieser Schrauben die Beziehung
p + p'-etg#

zur Folge hat, wenn man mit e den kürzesten Abstand von G nnd f
bezeichnet.

Im obigen Falle 1) wird jede Windung L eindeutig dargestellt durch einen
Stab l der Schraubeuachse f? und ein hierzu senkrechtes Feld f, dessen Inhalt
ymal so groß ist als die LBjige von I

L-l + f,

wobei das Vorzeichen des Parameters angibt, ob die Schraube „links" oder „rechts"
gewnnden ist. Im Falle 1') einer Drehungsacbse ist insbesondere f und im Falle
2) eines Schiebers ist I zu Kuli geworden, wilhrend p bei 1') den Wert 0, bei S)
den Wert oo annimmt.

Als Achse F einer Schraube ^ im linearen Beziprokaigebiete zu L,
bezw. zu Ri, im „Schraubengewebe" Py, kann jede Gerade des Raumes
auftreten; der zugehörige Parameter p' bestimmt sich aus der angegebenen
Bedingung p + p' -= c ^ ©■, wobei auch das Vorzeichen von & zu beachten
ist. Die senkrechten Transversalen der Achse G der Schraubnng Ri
sind als Achse f im „Schraubengewebe" Py mit einem beliebigen
Parameter belegbar. Zu Py gehört auch das Feldbüschel parallel zu G.
Jedem konstanten Werte von p' entspricht ein zur Zentralacbse G
gehöriger linearer Komplex von Achsen T.

1) Vergl. Zindlera oben angefahrt« Liniengeometrie S. 109.

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Von ÄNTOH Ghühwxld, 233

Im G^eneatz zum Falle 1) eiBcbBpft im Falle 1') sowohl als !) die Schiauba
J.(<^I, bezw. ^^ f) samt den Scbraubea ihres linearen Beziprokolgewebes doa
Gesamtscliriiuben gebiet £yj des Raumes nicht, aoudem L (d. h. auch R^ ist in
Py enthalten. Im Falle 2) ist jede zum Felde f parallele Achse F in Py mit
einem lieliebigen Parameter versehbar; andere als zu /^parallele Achsen T braucht
man nicht anzuerkennen, es wäre denn, daß maa ihnen den Parameter oo (neben
der Stablange 0) zuachriebe: Jedes Feld des ßanmes gehOrt so Py.

Umgekehrt ist bei 1') nnd ::) L{'=1, besw. =•() das — wie bemerkt in Py
enthaltene — Reiiprokalgebiet von Py; als Ergänzung von Py zum voUatändigen
Tl-stufigen Schraubangebiet des Hanmea, als ein „ergänzende» Gebiet" von Py
ist dagegen im Falle 1') f nnd im Falle 2) I Irauchbar. Diese verschiedenen
Begriffe eines „reziproken" und eines „ergänzenden" Gebietes sind bei allen linearen
Schraubensj'Stemen um ao sorgtUltiger zu unterscheiden, als sie oft, — aber wie
wir schon jetzt bemerken — nicht immer gleichen Umfang haben; bei 1) hatten
sie z. B. gleichen Umfang, die darch L bestimmte Schraubnng R^ nnd das Ge~
webe Py waten zugleich Reziprokal- nnd Ergänznngsgebiete von einander.

FreilLeitsgrsd 11.
AIb typischen MechaniemuB zur Verwirklichong aller Glementar-
bewegungen stellen wir im allgemeinen Falle

1.
wo Achsen Terschiedener Richtungen im zugehörigen linearen Schrauben-
bilschel B^ auftreten, eine Verallgemeinerong des gewöhnlicheD (durch
seine oft zulässige BenStzang als UniTersalgelenk bekannten) Hookschen
Schlfissels auf, nämlich den

Scbraubenzwilling (Figur 1).

Dieser besteht ans dem Kreuzkörper h und zwei Gabelkörpem
mit den zylindrischen Schäften z und z'. Der Kreuzkörper trfigt zwei
Sdirauben-Spindeln s, (mit der Fortsetzung s|) und s^^ {s^^, deren be-
liebig wählbare Ganghöhen das (2«)" 'fache der „Hauptpnrameter" p,
und pu sind. Die im Arme xx' bezw, y^ des Kreuzkörpera zu denkenden
Spindelacbsen G^ (von SiSJ) 6rjj (von s^s^ nehmen wir zueinander
senkrecht') und sich in p schneidend an.

Den Schraubenspindeln entsprechen Mutterlager in den beiden
Gabeln, in welche sich der Krenzkörper möglichst reibungslos ein-

1) Wenn wir noch weiter verallgemeinem und diese Forderung fallen lassen
wollten, wobei )} und p nicht mehr die Hanptparameter des Schraubenbüschels
wären, so hätten wir wohl den Torteil, durch geeignete Adjustierung des derart
verallgemeinerten Instnimentes auch die später zu besprechenden zum Freiheits-
grade IT gehörigen speziellen Mechanismen (Schraub-, bezw. Drebschieber und
Muff) ersetzen zn kOunen. Dieser Vorteil wäre zu tensi erkauft durch die geringe
Cbersichtlichkeit und schwierige Konstruktion der Mechuiismen.

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234 Daratellnng Aller Elementarbewegongen

1 Körper

sduauben kaim. Halten wir die eine Oabel z Tollkommea fest, bo hat
die andere Gabel / den Freiheitfigrad 11; sie ist samt jedem mit ihrer
Schaftstange s starr verbundenen Körper beweglich nm jede Schrsubung

deB|^dQrch";die .^aaptschraubnngen" s^ (Achse öj, Parameter Pr) und
Sj, {Gxi, l^n) bestimmten linearen Schrauhenbaschelfi R^.

Sind die Parameter pj and p^ der beiden Hanptschraubungen
gleich, d. h. die Schranbenspindeln s^ und s^ entweder beide „rechts"

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Von Ahton Gsühwald.

235

oder beide j^iaks" gewnnden und tou gleicher OongliÖhe, so nennen
wir den SchraubenznilÜDg „gleiehsteigend". Wird insbesondere diese
Steigung Pi = Pn =■ 0, so sind statt der Spindeln S] und 5„ oud der

zugeb9rigen Mutterlnger gewöhnliche Zapfen und Achseoli^er angebracht
za denken, und wir haben es mit einem „gewöhnlichen" Hookschen
Schlüssel zu tun.

Wäre dagegen der eine Hanptparameter oder wären gar beide oc,

:dbyG00«^Ic

336 Daratelliuig aller Glementarbew-egnngen eines at&rren KSrperB usw.

so hätten wir ans die entsprechende Spindel durch ein Prisma mit
Kanten parallel zor Spindelachse, verschiebbar in einem kongraenten
Lager der Gabel, ersetzt zu denken und luttten einen Normalschraub'
Schieber oder gai: einen Doppelschieber vor uns, wie wir solche später
in bequemeren Formen zu erwähnen haben- werden.

Denken wir uns den Schraubenzwilling (Figur 1) mit einer Mus-
kulatur') umkleidet. Bei der Vorführung des Instrumentes helfen wir
mit unserer eigenen Muskulatur ans, um einige der oo^ Terschiedenen *)
Instantanschranbungen wirklich auszuführen, welche bei fester Gabel e
die bewegliche Gabel b uud jeden mit der letzteren starr Terbundenen
Körper aus der Anfangsl^e der Figur in eine benachbarte nene Über-
führen. Die Achsen der so ausführbaren, zu unserem linearen Schrauben-
bflschel JIq gehörigen Schraubungen liegen auf einem Zylindroide^,
welches G^ und (?jj, die durch p gelegte x- und y-Achse, zu Haupt-
erzeugenden hat und die (gegenseitige Entfernung der beiden symmetrisch
zur a:y-Ebene und auf der hierzu senkrechten «-Achse Gju gelegenen
Zwickpunkte oder pinch-points der Fläche, die sog.) „Spannweite"
Pii ~ Vi besitzt.

Von dieser F^he mit der Gleichung

(j;»-|-j/V-(Pn-Pi)«y

sind viele Konstruktionen angegeben worden. Eine der einfachsten ist
wohl die durch Bestimmung ihrer Erzeugenden als kürzeste Transversale
der auf Gjjj fallenden «-Achse imd einer beliebigen Geraden des ytrahlen-
bßscfaels mit dem Zentrum iVu~Vii ^i 0) in der Ebene y — « = 0.
Letzteres Strahlenbüschel kann man Übrigens ersetzen durch ein jedes
andere, dessen Zentrum in einem beliebigen Punkte p^ einer beliebigen
Zjlindroidkante 6, (nur nicht anch auf G^^ liegt und dessen Ebene

1) Vgl. S. 239 Anm. 2 und z. B. den verwickeiteren, auf S. 867 als Beispiel
eicea besonderen Freiheitugiades Y heraogezogenen Fall der Gelenkigkeit und
nud Musknlatni der anegestreckten Hand bei festem Schutteiliiatt, um die Nützlich-
keit dieser wobl anfangs befremdlichen Uilfsvorstellnng zuzugeben. Eg sei hier
insbesondere anf die iDteTCBsante Studie „Kinematik im Tierreiche" 8. 781 in
P. Benleanx' Kinematik n. Bd. (Braonachweig 1900) hingewiesen.

2) Indem wii etwa eine und dieselbe kleine Schraubung toh t um s der
der Ueihe nach mit verschiedenen Schraabungen um s zusammensetEen.

S) Wir müBsen anf Anm, 1, S. 229 Terweiaen. Ein achCnea Beispiel dieser
Begelflikche S. Oradea, deren bei scbiefor Parallele ttabloDg auf die Ebene &.<?_
entworfenes Bild eine Steineische dreispitzige Hypoxjkloide ist, ziert das Tit^
blatt des oben erwähnten Bauschen Werkes (1900). In diesem Bilde erscheinen
die ZjiindioidkanteQ als Tangenten der dreispitzigen Steiaerscben Zykloide.
Bezgl. de« Namens „Zjlindroid" vergL ebenda Seite SO Anm.

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Von AkTO.1 GBÜMtTALD. 237

Pi mit der zu G, (bezüglich der Hauptkanten Gj nnd Gj,) Byinmetriscben
lürzeugendeii Gj der FUlche verbindet

Um die aaf alle beliebigen Zylindroidkanten G als Schraabenachsen
im Bflschel E^ entfallendeB Parameter (und damit die Gangböhen der
Sctiraubnngen wm G) zu übersehen, trage man von einem Punkte, z. B.
vom Anfange p aus anf Parallelen zu den Zylindroidkanten, also nur
in den RichttmgeB der Ebene z — die zugehörigen Schraubeaparameter
ab. Man erhält als Ort der Endpunkte die Farameterkurve

(i'+ J7- (p, I- +!)„<,')=- 0,

deren verschiedene Konstruktionen (direkte Auffindungen der obigen
Elndpunkte) und Gestalten der Verfasser an anderer Stelle*) angegeben
bat. Wegen der Symmetrie der Parameterkurve gehören jene zu
einander windschiefen Zylindroidkanten zu gleichen Parametern, welche
bezüglich der Haupterzeugenden GjGj^ symmetrisch liegen. Speziell
die beiden gegen Gj und G^ unter 45" geneigten und gegen einander
senkrechten, zu den Zwiekpunkten gehörigen Zylindroidkanten, die
„Zwickkanten" oder wegen ihrer größten Entfemui^ c = (pjj — pj)
,^ußersten" Kanten sind im SchraubenbOschel R^i mit dem Parameter
i(Pi+Pn) z« belegen.

Wie jedes Achsensystem eines linearen Scbraubengebietes, bleibt
auch unser Zylindroid die Achaenfläche jenes — wieder linearen —
Seh raub enbiiechels, dessen aaf die einzelnen Achsen (Zylindroidkanten)
entfallende Parameter sich von den früheren nur um einen algebraischen
Summanden unterscheiden, wobei aus der früheren Parameterkurve eine
ihrer Eonchoiden wird.*)

Sind insbesondere die beiden Hauptparameter entgegengesetzt gleich*),

Pi4-Pn=0,

so haben wir uns die beiden Schrauben SuSu am Schraubenzwilling
(Pig. 1) von gleicher Ganghöhe, aber die eine links, die andere rechts
gewunden zu denken. Die zum Parameter gehörigen auf dem
Zylindroide bezüglich der Hanpterzeugenden GjGjj symmetrisch ge-
legenen Kanten G,G, sind in diesem Falle zu einander senkrechte
Windschiefe. Durch Drehungen um diese könnte man die Gabel /

]] In der ersteti seiner anf S. 229, Aam. 1 erw&hnten ÄbhandlangeD in der
Zeitscbiift f. M. u. Ph., S, 68, Hierzu die dortigen Figuren 2', ^, 4' speziell auch
ö. identisch mit der Linie 1 der Figur 71, S. 2SH in Zindlere LinieDgeomctrie.

2) Die Fignr T in der obigen Abb. d, Terf. veranochanlicbt die dergeetalt
bei einem ZjÜndroid mSglicben Farameterverteilungen. Ebenio die Linien 2, S, 4
der eben erwähnten Figur Zindlers.

S) Parameterkuire ($*) Fig. 6 ebenda, Zindlers Linie 1 der Fig. 71.

ib.Goo«^Ic

338 Darstellung aller ElemeDtaibewegongen einsB Btorren KOrpera ubw.

ebensogut wie darch den Schran1>enzwilLing in jede durch den letzteren
erreichbare Nachbarlage bringen. Praktisch verwirklicht ist dieser
Spesialtjpus der Beweglichkeit II durch jede Türklinke, welche nicht
bloß um ihre eigene Achse G,, sondern auch samt dem Türflflgd um
die Vcrbindnngsachse Gf der Türangeln drehbar ist Die gleiche Be-
w^lichkeit der Türklinke und die gleichen Nachbarli^en könnte man
erreichen, wenn man diese Klinke mit der Gabel / eines mit
Vu='-~Vi= 2 (* ^^ kürzeste Abstand der Achsen (?j G,) als Hanpt-
parameter versehenen Schraubenzwillings starr verbinden, die Achsen
G^G^ des Kreuzkörpers in die gehörige Lage aU Symmetrieachsen
von Gl und (r, bringen, und die Gabel g vollkommen befestigen würde.

Ist dagegen einer der beiden Hauptparameter, etwa pj, gleich Kuli '),
so ist die eine Spindel s^ (sj) am Kreuzkörper durch einfache Zapfen,
und sind entsprechend die Mutterwindungen in der Gabel g durch ein-
fache Ächaenlager, zu ersetzen. Ist der Wert ron Pn hierbei so geändert
gedacht, d. h. die Spindel s^ und ihr Mutterli^er derart gewunden,
daß die algebraische Differenz der Hauptparameter dieselbe bleibt wie
früher, so ist wohl die alte Parameterkurve in eine ihrer Konchoiden*)
bezüglich des Anfanges p übergegangen, das als Achsenflache zu denkende
Zylindroid aber unveHindert geblieben. Das zu B^ gehörige lineare
Reziprokalgebiet, das „Schraubei^ebüsch" Pjy hat nun mit Ru (pi — 0,
Pii^O) die den Stäben anf G^ (d. h. den Winkelgeschwindigkeiten
bei einfacher Drehung um Gj) entsprechende ausgeartete Schraubung
Rj gemein, umfaßt also zusammen mit Rjj nicht mehr wie im allgemeinen
Falle das gesamte Schraubengebiet Bvi des Raumes, sondern nnr ein
Sehr aubeuge webe P-v, dasselbe, welches Piv mit der Hauptschranbung
der Spindel % (Achse G-ji, Parameter p^) verbindet. Die Reziprokal-
gebiete Sn und Prv sind nicht mehr im allgemeinen Falle Er^nzungs-
gebiete zu einander bezüglich des Schraubenraumes.

Beim gleichsteigenden Schraubenzwilling (vgl. S. 335) ist die
Regelschar G des zu i^ gehörigen Zylindroides gemäß
fi-PnC^O)

zum Büschel der Strahlen G mit dem Anfange p als Zentrum und in
der Ebene G^ Gj, (s = 0) ausgeartet. Gemäß

P = Pi - Pn
wird die Farmeterkurve ein Kreis, alte zu den Büschelstrahlen G als

1) Hiereti die Parameterkiiive Fig. S' der eben erwBimten Abhandloiig des
TerT. u. Zindlers Linie 3 in Fig. 71.

2) Vgl. S. 237 Anm, S.

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Von Anton Osünwald. 239

Achsen gehörigen und durch den gleichste! gendeu Zwilling ausfahrbaren
reellen Schraubenbewegungen haben denselben Parameter p.
Die hUufgste Form, entsprechend

P - Vi = Pn = 0,

ist der gewöhnliche Hooksche Schlüssel, der bei fester Gabel e der
anderen / eine einfache Drehung um jede zum Büschel GjGn gehörige
Achse zu erteilen geeignet ist.') Sein lineares Schrauhengebiet Jtjj ist
zum Stabbüschel G geworden, also im reziproken SchraubengebOsch Piv
Tolls tändig enthalten.

Genau wie dieser Schlüssel dient am menschlichen Körper bei
festem XJnterarmknochen das Haadwurzelgelenk, welches dann alle
Drehungen der Mittelhand (metacarpus) und damit eines in der Faust
gehaltenen G^enstandes um die durch das ideale Gelenkszentrum
gehenden und zur Richtung des Unterarmes senkrechten Achsen —
und in diesem Augenblicke um keine anderen — zuläßt,')

£in anderes Beispiel: Bewegen wir die absichtlich samt Handwurzel
(carpns) starr gehaltene Faust durch Drehung (Pronation oder Supination)
um die ideale Achse (?j des Unterarmes hei gleichzeitiger Inanspruch-
nahme der Drehmöglichkeit um die Achse G^i des Ellenbogengelenkes !
Ein gewöhnlicher Hookscher Schlüssel mit nach 6^ und Gj^ gebrachten
Krenzarmen xx' und y^ würde bei starr mit dem Oberarmknochen
Terbondener Gabel e der mit / (dem zweiten, in der Verlängerung
des Oberarmes befindlichen Gabelschafte) starr verbunden gedachten
Faust genau dieselbe Beweglichkeit sichern, d. h. genau dieselben ,
Nachbarlagen erreichbar machen.

Die zu einem beliebigen Parameter ))' gehörigen Achsen F des

1) In der techuiBchen Praxis wird der gewShuliohe Hooksche Schlflasel nur
bei der sog. CardaDischen AnfhSngniig (z. B. eines Kompasses oder einer ühr)
mit fester, sonst stets mit einer um ihre Achse O einfach drehbaren Oabel z
verwendet, welche diese Drehnng auf die Sohaftatange der Gabel *' la übertragen
hat (Fig. 1), auch wenn die Schaftachsen beider Gabeln einen Winkel to mit
einander einschlieSen. Diese Brauchbarkeit als Universalgelenk wird indessen fQr
viele Zwecke dadurch beeinträchtigt, da& das Verhältnis der Drebgesch windigkeiten
beider GabelstanjKeQ periodisch zwischen 1 and cobo schwankt; auch darf a dem
Werte 80' nicht zu nahe kommen. Vgl. F. Beuleaui, Theoretische Kinematik
I. Bd. Braanschweig 1875. S. 386 und 612.

2) Nehmen wir die Drehbarkeit des Unterarmes (Pronation oder Supination)
um seine ideale Achse z hinzu, so sind wir genan wie bei der eben (Anm. 1)
geschilderten technischen Anwendung des Hookschen Schlüssels als Universal-
gelenk imstande bei festem Oberarm nnd ohne Beausptucbung des BObogengelenkes
eine in der Hand auch nchief gegen z gehaltenen Stange z' nm ihre eigene Achse
EU drehen. Häufig ist i' die Achse eines Hahnes, den wir drehen.

db,Googlc

240 Daratellmig aller Elcmentaibeweguiigoii eine^ Btarrcn Eörpen dbw.

Bflziprokalgebflsches Piv, i. h. die ÄchBen jeuer Stiä)e, welche a]a
Kräfte gedeutet verbimden mit einem Drehmoment« (Felde) um diese
Achse, das p'mal so groß ist als die (dnrch die Stablänge gegebene
Größe der) Kraft selbst, erfQllen für jeden konstanten Wert von p' die
lineare Eowjruem der Transrersaleo jener beiden Zylindroidkanten
(r,(p) und Gs(p), welche znin Parameter p = — p' gehören und dem-
gemäß bezDglicb der Haupterzengenden G^ und G„ aymmetrisch liegen.
Zu reellem Parameter können hierbei auch imi^inäre Leitstrahlen Gfi^
der Kongruenz und deshalb doch wieder reelle KongmenzstrabJen ge-
hören.') Diese F treffen das Zylindroid außer im Punkte p, anf 6,
und p, auf (t, noch in einem reellen dritten Punkt« Po*), dort aber
senkrecht zur durchgehenden FlScbenkante.

Die Achsen r aller hei unserem Sckrawbemtvillinfj untcirksamen
Dynamen schneiden eine Kante der zugehörigen Zjlindroidfläche senkrecht.

Alle r erfüllen für alle möglichen Werte von obigem p' den
quadratisdien Komplex der senkrechten Transversalen der Zylindroid-
kanten. (Im Falle pi ^ pn des gleichsteigenden oder eines gewöhn-
lichen Hookseben Schlüssels treten hierbei an Stelle dieser Kanten
Strahlen des Büschels GiGu.)

Dnrch jeden Punkt allgemeiDCr Lage geht ein Kegel '■'. Ordnang von Achsen T
des i*jv. desBen elliptische Basis auf dem Zylindroid des üjj durch jenen
Botationszjlinder auageschnitlen wird, welcher die j-Achae Cjii' ^^ Doppelkantc
des Zfliadroide, und die durch p zu ihr gelegte Parallele eu diametral gegen-
fiheiliegenden Kanten hat (und weicher beim gleich» teigcn den Zwilling und apeiiell
beim gewöhnlichen Hookschen SchlÜBaol ein Orthogonalkegel iat). Der Kegel
. zerfUllt, wenn sein Scheitel unendlich fem oder auf dem Zjlicdroide liegt (p,)
und zwar im letzteren Falle außer in dae ebene Büschel der Notmalen zur Kante G,
des Pouktes ;, noch in dasjenige, dessen Ebene der Punkt p, mit der zu G, be-
züglich Gl und Gii sjrmmotriachcu Kante ff, vcrbiudet. Das letztere BQschsl
wurde in der S. 236 erwähnten Zjlindroidkonatruhtioa benatzt.

Der zu jeder Achse F in Pjy gehörige Parameter p' kann stets
in reeller Weise aus des Keziprokalrelation

(e sei die kürzest« Entfernung Ton F und Gm, imd & der Winkel
dieser Geraden) gegen jene Schraube des Hn (mit dem Parameter p)
berechnet werden, deren Achse parallel zu der Projektion von f anf
die Hauptebene GiGn ist.

1) lu Zindlers „Liniengeometrie" ist eine solche reelU lineare Strahlen-
kongruenz mit imaginären, windschiefen Leitetrahlen in einer sehr flbenichtlicheu
Pigui (17 8. 176) dargestellt. Sie sind a^n zn den Eongruenzen der.Anm. 1 der
aUchsten Seite.*

2) Tgl. die Tiansverealkonstniktion der Zrlindroidkanten (S. SSO) mit Hilfe
eines StrablenbüecheU, dessen Zentrum ein beliebiger FlUchenpunkt p, ist.

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Von Antos Qrünwald. 241

Zur j;-Acfase Gru selbst gehört im Gebüsche Piv jeder beliebige
Parameter ))'; auch das Feld senkrecht zu dieser „Hauptachse des Ge-
büsches" gehört zu Piv, es ist das einzige Feld im Gebüsche. Gj — Fi
und Gii — Fa sollen ^ebenachsen" des Pry heißen, sie gehören in Piv
zu den „Grundparametern" pi — — pi, bezw, pä = — pn-

Im Falle pi = pu eines gleichsteigenden Zwillings (und des
gewöhnlichen Hookschen Schlüsseis) gehört zum Spezialwerte
p'— — p^= — pn (=0 beim Hookschen Schlüssel) eine ausgeartete
Kongruenz von Achsen F, bestehend sowohl aus den Strahlen des
Bündels mit dem Anfange p als Zentrum als such aus allen Strahlen
der Hanptebene GiGji. Allen übrigen Parameterwerten p' entsprechen
in diesem Falle zirkuläre lineare Kongruenzen^), welche durch Botation
der die 6111 als Scheitelgerade enthaltenden Regelschar eines gleich-
seitigen hyperbolischen Paraboloides [mit der anderen Scheitelgeraden Gj
und der Verteilungskonstante *) (p'— pi)] um Gm erzeugbar sind.

Die bisherigen durch auseren Schraub enzwilliog and Beine Abarten datBt«ll-
baren Pulle haben in Äjj Achsen G verschiedener Richtungen und das GemeinSBiue,
daß im reziproken Gebüsche Pjy eine und nur eine Gerade r*, nämlich gerade
die zur «-Achse gew!Uilte (7-^^, mit beliebigem Parameter versehen werden kann;
wir nanntea üe Hauptachse des Gebüsches; in dem nun noch fiii den FreiheiU-
giad II zu erörternden Falle 8. bezw. 2'. werden alle Strahlen eines Parallel-
bttBchels, im Falle S". sogar alle aenkrecbten Transversalen einer Geraden, im
Falle 3. wiedenun alle Strahlen eines Parallelbfludels diese auszeichnende Eigen-
Bchaft teilen.

Jene Bew^lichkeit vom Freiheitsgrade II, bei welcher ein starrer
Körper nicht nm Achsen verschiedener Richtungen, sondern nur um
die Parallelstrahlen einer Ebene schraubbar wird, können wir in typischer
Weise durch die (schiefe) Scbubschraube oder den (schiefen)

Schranbschieber (Figur 2)

erreichen. Dieser stellt nichts anderes als eine Schraubenmutter vor,
deren Spindel in einer (zu ihrer Achse Gi) schiefen Richtung ver-
schoben werden kann. Eine bequeme Form desselben erhalten wir aus
dam Schranbenzwilling dadurch, daß wir von der in der Figur 1 ge-
zeichneten Anfangslage ausgehend, die Gabel / um Qn herum um

1) EongTucnzen, deren imagiofire windschiefe Leitstrablen durch die Kreis-
punkte der Hauptebene e 3= o gehen,

2) Die Verteilungskonstante bedeutet die kOrzest« Entfernung der unter 46°
gegen die Zentralebene geneigten Paraboloidkante von der in dieser Schar ent-
haltenen Scheitelgeraden.

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242 Darstellung aller Elementarbewegungcn eineB atarreii Kärpera na«.

einea Winket a dreheu, bo daß die neue Lage Ton Gi mit Gm und
der Ebene v = Gu Gm den Winkel a = 9(1° — a einBchüeßt.») Hieranf
machen wir die Spindel Sj, dadurch unwirksam, daß wir den Kreuz-
körper k mit der Qabel g starr Terbinden. Statt zu diesem Zwecke
beide Körper etwa bei % (sj,) zuBammenzalöteo, benutzen- wir einen
an s^ und s^ aDsebraubbaren Halbring r, welcher in einer paseenden
Auanebmuug r an dem Schafte der Gabel z, worin er sonst gleiten
könnte, mit Hilfe der Stellschraube k für beliebige Werte von oc fest-
gestellt werden kann.

Damit dies auch ffir u ^ mOgboli aoi, ist eiueiseits zwischen den Gsbel-
zinken beim ScboAe t der nOtige Baum geUsBen worden und sind andereneit.i
die Terl&ngertea Enden von r in der Nähe der Anscbraubstellen etwas verbogen.
Um die Starrheit des Systems ki veiläßlich zu wahren, wird der Querschnitt des
Ringes r nicht nui grCBer als diea in der Figur der ÜbeiBichtlichkeit wegen ge-
schah, soudem auch nicht wie dort kreiefürmig, eher etwa in Form einea Recht-
eckes za wUileu sein, dessen langete Seiten zu G senkrecht steheD; auf dei zn
G senkrechten Qrenzfiäche des Halbringes ist dann auch leicht eine Qrad-
einteilnug zur Eiostellnng l'iii verschiedene a aniubringen.

Zum Ersatz für die so verlorene Schraubbarkeit um s^ bringen
wir ü in starre Yerbindung mit dem Gleitstücke b, welches im festen
zugehörigen Kahmen a bew^lich ist, also dem System die zum Felde
der Ebene Gudu senkrechte Translation ff (Parallelverschiebbarkeit)
sichert.

Ist hierbei speziell der Parameter Pj von Sj (sj) Null, d. h, die
Gabel / um die Achse Gj von Sj {sä) einfach drehbar, was etwa durch
die zylindrlBche Äbglättong der Kontaktstellen der Spindel Sj (sj) und
der Gabel z' nebst Anbringung von zylindrischen WUlsten als Hindernis
g^en eine Seitenver Schiebung der Gabel zu erreichen ist, so nennen
wir unsere Vorrichtung Dreksdiieber. Wenn wir den Schraubschieber
fSr cc = einstellen, d. h. so, daß die Schraubenachse Gi nach Gm
fällt, also zur gestatteten Translation senkrecht wird, können wir ihn
als aufrechte Scfiubsckraahe, bezw. aufrechtes Schnbrad (pj > 0, bezw.
Pi — 0) bezeichnen.

Indem wir die zulüssige Schraubung und die durch ein zu <s senk-
rechtes Feld f dargestellte Schiebui^ in verschiedenen Verl^ltnissen
zusammensetzen, erhalten wir alle Scbiaubungen des zugehörigen für
die Beweglichkeit charakteristiBcben linearen Schraubenbündela Ru. Die
Achsen G desselben sind die zu Gi parallelen Strahlen der Ebene
;* — GiGa, d. h. durch Komponierung der gestatteten Gmndbewegungen

I) Wii nehmen hier m ^ 0°; et ^ 0° soll sogleich unter 2'.,
S" erOrteit werden.

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Von Ahton Übüswald. 243

schrauben wir st«ts — bei festem Scbubrabmen a — die Gabel /

und jeden mit ihr starr TerbundeneD Körper um eine Achse G des

obigen ParallelbdeehelB und zwar schrauben \tii um diese Achse mit

einer Ganghöhe t) -^ ^^9, welche wie der Parameter p selbst nach der

einen Seite von (?i zu-, nach der anderen abnimmt, proportional der

Entfemni^ e Ton G und Gi; denn es gilt

p-p, -e^«,

p-
das „Parametei^fälle'' --

Winkels a.

Da a > 0'), gibt es im Büschel auf der einen Seite von Gi in
der Entfernung e = (— ) Pj cotg a (entsprechend p = 0) einen Strahl G^,
um welchen als Achse die Beweglichkeit unseres Sehraubschiebers der
Gabel z' eine einfache Drehung gestattet.

Die gleichen Bewegungen eines Körpers wie durch den SdiratA-
schieber, kann man also ebenMls durch einen ftlr dasselbe tc ein-
gestellten JVeAschieber erhalten, welcher bei gleicher Schubrichtung {a)
mit seiner Drehungsachse G, nach G^ gebracht wird: Beide Vor-
richtungen in dieser Parallelstellung biet«n dem starten Körper die
gleichen Nachbarlagen, die gleiche Beweglichkeit, nur sind die beiden
unteren Gabeln beider an anderen Stellen des beweglichen Körpers
festgemacht.

Das Eeziprokal^ebüsch Pi\ hat zu Achsen F alle (zum Felde f
der Ebene v = GuGm parallelen, also) zu a senkrechten Geraden, jede
behaftet mit einem Parameter p', Welcher entgegengesetzt gleich ist
dem Parameter p der von ihr getroffenen Geraden G des obigen als
Achsenort zn Ru gehörigen ParallelbOschels GjG^ in der Ebene
(i — GiGii- Von allen Geraden der Ebene fi, oder auch nur parallel
zu ihr, zählen nur die (senkrechten gemeinsamen Transversalen aller
Strahlen des Parallelbflschels, nämlich die) in [i gelegenen Parallelen
r* zu Gu Bis Achsen F der an e' unwirksamen Dynamen, jede be-
legbar mit jedem beliebigen Parameter. Zu Piy gehört auch das
Büschel der zn Gi parallelen Felder ip; diese stellen die bezüglich g'
unwirksamen Drehmomente vor. Jedem konstanten Werte von p' ent-
sprechen in Piv als zugehörige Achsen F die zu f parallelen Trans-
versalen jener Achse G im obigen Parallelbüschel, welche im Gebiete
Rii zum Parameter p = — p' gehört. Unwirksam sind hiernach von
den eiuEachen Kräften (p' =- 0) nur jene zu f parallelen — d. h. zu 9
senkrechten — Kräfte F^, welche G^ schneiden.

1) Veigl. S. 24S Anm. 1.

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244 Darstellung aller Elernrntaibewegungeu einon BlarreD ECipen uaw.

Ein hierher pasBendes Beispiel iat die Drehung der Pappend eckslbl&ttei eines
Bilderbuchea, welches ein Eiod im Eisenbahnwagen anf einem schrögen Pulte
liegen hat und mnblättert. Setzt man die Ttanslation o des Wagens mit der
Drehbewegung einea Blattes um die im Buchtücken gelegene Äohse G, in ver-
achiedenen Verhältniaaen sasammen, so kann man in einem bestimmten Augenblick
dem Pappendeckel dieselbe Beweglichkeit sicheni, d. h. dieselben Nachbarlagcu
zn^nglich machen, wenn man sich den Wagen nnd das Pult wegdenkt und das
Blatt starr mit der Gabel z eines durch e und (r = G, vOUig orientierten Dreh-
scbiebers verbindet, deaaen Rahmen a man feststellt.

2'.

losbesoadere bei dem für a = 0, alao ,^ufrecht^' eingeetellteu
Schraubschiebet (aufrecht« Schubachiaube) gelangt Q\ nach Gm, utiil
es gehört im Gebiete liw zu allen Achsen G des ParallelbüscheLs (tou
Gj in (S — /* = w = GjGii = öjiGni) derselbe Parameter; das Feld /*
liegt jetzt in der Ebene /t ^ v = @ und ist hiemach ün und Piv ge-
meinsam, weshalb beide Gebiete jetzt im Gegensätze zum allgemeinen
Falle 2. in einem Gewebe ilv enthalten sind.

Als Achsen V von Dynsmen des ReziprokalgebOsches Piv, welche
bezüglich der Gabel ^ unwirksam sind, treten alle') zu @ parallelen
Geraden auf. Ist e der Abstand einer solchen Geraden von & und fr
ihr Winkel mit G^, so gilt

p'-|-Pi-etg#,

woraus sich für jede solche Achse der Parameter f)' ergibt

Zu einem bestimmten Werte dieses Parameters p' gehören als
Achsen T die Strahlen einer besonders ausgearteten linearen Kongruenz
mit in unendlidier Femt (an /) Busammengerückt^ Leitlinien:

Ihre Strahlen erhalten wir durch Paralielveracbiebung in der Sichtung G
(oder einer anderen Kicbtnng von S) ans den Kanten einer gleichseitig-parabolischen
Begelachar, nämlich der zu C parallelen auf einem (jeden) Paraboloide mit 6
(oder einer anderen 'm <B m G parallelen r*) und einer diese schneidenden Ge-
raden 3 — von der zu Q senkrechten Richtung a — als Scheitelgeraden und
mit der Terteilongakonslante *)

P' + Pi.

Die SM p'=0 gehörige unter diesen Kongruenzen gibt uns die
sämtlichen in endlicher Entfernung befindlichen einfachen Kräfte an,
welche auf die Gabel z' ebensowenig wirken können als die p'^oo
entsprechenden Felder qo (Drehmomente) der zu Gj parallelen Ebenen.

I) AuDei den nicht in <E gelegenen Parallelen nn G^,, welche wir als zum
Parameter oo gehörig nicht als eigentliche Achsen ansehen, während die derart
in C liegenden P* zn beliebigem Parameter gehOren.

S) Vergl. 8. Sil Anm. 2.

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Von AxTON G»OirwAi,D. 245

Insbeeonderfl zoin Parameter p^ = ~ Pi gehören alle Geraden der
Ebene @ und alle im ßaume zu 6j gellten Parallelen, vobei wieder
^ wie bei 2. die in der Ebene 6 (p bei 2.) za G^i gelegten Parallelen
r* mit beliebigem Parameter belegbar sind.

Für Pi > paßt bierber als bequemste Form der

aufrechten Sohubschranbe
die ans der Figur 1 entnommene Schraubenmutter m, angebracht (etwa
wie beim oberen Teile der Fig. 2) an dem mit Windungen versehenen
Teile der mit h starr verbundenen ZjUnderstange t, wenn 6 im Schub-
rahmen a als Gleitstück beweglich und die Richtung der Stangenachse {t)
zur Gleitriohtung <r senkrecht steht, m hat gegen a die verlangte
Beweglichkeit

Aufrechtes Schubrad mg.

Ftlr pi'= Q konnten wir "den als Bad nm ( (an dem glatten Zjlinderteil
Fig. 3) drehbaren Muff Mg aus der Figur 1 verwenden, wenn wir die Verschiebnogen
in der RichtoDg p der Achse von t verhinderten. Letcterea tnn wir etwa einmal
durch einen Wubt und nach der anderen Seite hin dnrch einen in der Richtung p
durch eine Nnt an t gefühlten GleitkOrper e. Letztere Anordnung hat ffir nns
u. a. den Vorteil, daß wir nig sp&tei als Huff ni* am Stift t verwenden und in
den Figuren 2 und 4 mehrfach achieben kSnnen, falls wir c emporheben und dort
etwa durch die StellBchianbe h fixieren.

Ähi zu ti, ^ hierher pansende Beispiele haben wir: Eine nm die Angel-
achae G^ drehbare Tür in einem in der Richtung o verschiebbaren ElMobohn-
wagen, da G^ zu c senkrecht steht, oder ein Riegel mit wagrecht«T Piismen-
fObrung, angebracht am Flügel eines Haustores.

Muff am Stift
Der Fall a. = 90" beim Schranbechieber macht die Gabel e'
der Figur 2 tun die durch M in der Richtung <s gelegte Achse @
— unter Hinzunahme der Translation — mit beliebigem Parameter
schraubbar (@ » G*), also drehbar (gen^ß p — und dem Stabe l
auf Cr*) und parallel verschiebbar (entsprechend p =^ oo und dem
Felde f senkrecht zu 6*). Diese Beweglichkeit ist sicherlich bequemer
veranschaaliclit. durch einen hohizjlindrischen Muff m* (Fig. 3), einen
Körper mit zylindrischer Ausbohrung'}, der um einen angepaßten
zylindrischen Stift t sich bewegen kann wie ein Ring am Finger.
Ebensogut kann man natürlich den Muff fest und den Stift bew^-
lich denken.

1) Dieser £Orper kann ^twa der in Fig. 1 ab Diehiod verwendeten hohl-
sylindtischen Scheibe m, kongruent aein.

Z^tKhrlft f. Uathaiutik D. Fhjilk. U.Band. 1905. S.Haft. 17 ,—. ■

Digitizedb/GOOglC

346 D&ratellniig allei ElemeDtaibewegongen eines starren JCOrpers usW.

Ändere Achsen ß als G* kommen beim hierhergehörigen Scbraaben-
büschel üfj nicht vor.

Die Achsen F des Reziprokolgebüsches Piy reduzieren sich aaf
die zu beliebigem Parameter gehörigen senkrechten Tnauversalen F*
der Achse G* von m und t Das Feldbüschel parallel G* gehört auch
zu PiT- Ru nnd Pjv ergänzen sich zum Schraubengebiete des Ranmes.

3.
Südlich kann jede der beiden ein SchrauhenbQschel R^ bestimmenden
Gtrundschrauben ein Feld sein und es wird Üq zum Feldbfischel, wo
man von gar keinen eigentlichen SchranbenachBen G zu sprechen hat.
Za Piv gehören als Achsen r alle mit beliebigem Parameter beleg-
baren zur Achse des Feldbilschels R^ parallelen Geraden, sowie alle
Felder: Itu ist in Piy enthalten. Als Beispiel diene ein Riegel mit
PrismenfOhrnng an einer Schuhlade oder ein Schubfenster im beweg-
lichen Eisenhahnwagen. Unser typischer Repräsentant soll der

Doppelschieber
sein, den wir erhalten, wenn wir den Rahmen a, in welchem ein Gleit-
stück b in der Richtung 6 Terschiebbar ist (Fig. 4, dort ohne b), selbst
als — etwa in der zu ff senkrechten Richtung t bew^liches — Gleit-
stück in einem festen Rahmen a, verwenden Jedem an b befestigten
Körper Z kann man nun bequem eine jede aus den Translationen
{b in a) und t (b samt a in a^) zueammengesetzte, zur Doppelrahmen-
Normalen Q senkrechte Schiebung erteilen und nur eine solche.

Hiermit sind alle möglichen Fälle einer Beweglichkeit II erschöpft,
wir gehen Über zum

FTeiheitsgr&d III.

1.
Sollen Achsen G aller Richtungen in dem ftlr die Beweglichkeit
charakteristischen „Schraubenbündel" Mj^^ vorkommen, so verwenden
wir als typischen Repräsentanten den

Schranbendrilling
(Fig. 1, m an 2', k, z), welchen wir aus einer zu belieb^m Parameter
gehörigen Schranbenmatter m dadurch erhalten, daß wir sie an der
Schaftstange t der Oabel n' des Schraubenzwillings (an der Stelle, wo
i mit einem gemäß p^^^ ansteigenden Gewinde versehen ist) möglichst
reibungslos beweglich machen; m und jeder damit verbundene Körper
er&eut sich nun der gewünschten Freiheit III, indem er um die sich
in p senkrecht schneidenden (Hauptachsen oder) Achsen der Haapt-

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Von Ahioh Gbühwuld. 247

scIiraabeD Gj (Pj), Gjj (pn), Ghi {Pm) bew^lich wird. Setzen wir diese
znlÖBsigea Hauptschraiibimgeii in Terschiedenen Yerbältniesen zusammen,
30 erhalten wir Schrauben nm Achsen G aller Richtungen.

Za jeder Richtung gehört nur eine Achse G. Diese geht im
Falle verschi^encr Hauptparameter p^ (i ^ I, Jl, III) allerdings nicht
mehr wie die Hauptachsen G^, die Achsen unseres Koordinatensystems,
durch den Ursprung p; wir werden die Lagen aller G alsbald be-
sprechen, können uns aber auf den dnrch p zu den G gelegten
Parallelen sogleich den in ifj^i jeweilig auf die zugehörige G ent-
fallenden Parameter p vom Anfange p aus abtragen und erhalten so
die Parameterfläche')

(¥)... (X' +y'+ zy - (p,ar» + v^y* + 'p^zy =

als Ort aller Endpunkte.

Zum mittleren der nach ihrer algebraischen Größe geordnet ge-
dachten Hauptparameter pj, gehört nicht G-^ allein, sondern ein Büschel-
paar mit Gji (der y-Acbse) als gemeinsamem Strahle; die Zentren M
und N dieser reellen sog. „Basisbttschel" liegen auf G^ im Abstände

% - ± y-^((>n-Pin)(Pn-^
vom Anfange p und ihre Ebenen ji, bezw. v

{Pm - Pn)*'- (Pn - Pi)«'-
gehen dundi Ctq symmetrisch zu den Koordinatenebenen.

Als Achsenort gehören hierher die Kongruenzen Waelschs*) K{G),
die „linke" Kongruenz, erfQllt von den Achsen G des um, um welche
z' geschraubt werden kann, und die ,pwhte" Kongruenz K{r) der
unwirksamen Dynamen im Reziprokalgebiete P^j^. Beide sind zu-
einander bezüglich der Koordinatenebenen symmetrisch. Wenn wir
feststellen, daß bei der Spiegelung einer Schraube G(p) an einer'
Ebene nicht bloß die Achse in ihr Spiegelbild übergeht, sondern auch

1) Fig. n in der Abhandlung des VerfABBers in der Zeitschrift ffii Math. n.
PhjB., Bd. 49, Heft 1 gibt ein Büd dieBei Fläche. Ebenda S. Sia wird die
Konohoidenfichar der ($) bezüglich des Mittelpunktea p besprochen, welche sq
jenen linearen Schi&nbenhaDdeln if^j gehOien, die sich aus dem onBCTen durch
BinzufBguRg gleicher olgehraiacher Summuiden zu den PaTaraet«in der Schrauben
mit den alten AchBen G ergeben. Bezüglich der direkten KouatruktioD der auf
($) fallenden Endpunkte auf den dutch M gelegt«n Parallelen vergleiche S. tOfi
im 48. Band dieser Zeitschrift, 1. Heft. Wir gebrauchen das Wort „Paiametei-
fl&che" in ganE anderem Sinne als Studj.

2) E. Waelsch „Über eine Stiahleukongnienz beim ÜTprabokiide", Wiener
SitznngBberiohte 1887, 96. Band, S. TSl.

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248 DarBtellung aller ElemeiitarbewegtiDgeii emes atairen KOrpen usw.

der Parameter p dea entgegengeaetzt«!! Wert annimmf:, bo können
wir si^en:

Die R«uprokaIbUndel Bj^ tind P,n eind bezagUeh der Haupt-
ebenen symmetrifich. Beide haben im allgemeinen, dnrcb Verschieden-
heit der Hauptparameter gekeimzeiclmeten Falle Dtir die Achsen
Gi=- Pf (i •» I, n, HI) der Hanptachranben gemein, wobei die zn-
gebörigeu Hauptparameter p, und pj der ReziprokalbOndel durch die
Gleicbongen Pj + p] Terbnnden sind. .Bm und P^ sind daher ergänzende
Gebiete voneinander bezfiglich des Schraubenranmeg und sind es nnr
dami nicht, wenn einer dieser Hanptparameter Null wird, da sie im
letzteren Falle die dann zum Stabe ausgeartete Hauptscbraube gemein
haben; im letzteren Falle liegen R^^ und i*ni "^ einem „Gewebe" By

Die znm Hauptparameter Pn im Pm gehörigen reellen Basis-
büschel, die beiden „rechten" M{y) and N(ji), haben im Vergleiche
mit zu jenen des Ri^, den beiden „linken" M^fi) und N{v) vertauschte
Zentren oder Ebenen.

Die einfachste Konstrufction der Geraden der Kongruenzl „: '[,

welche als Achsen im Schraubenbiindel \ J^ | , d. h. als zu bestimmten

Parametern gehörige Achsen von I ^ I auftreten, welche

[durch die Beweglichkeit] , ■.jni.i'i lj v-

I of die Be e trabel starr verbundenen Körpers

^ . . I sind, ist die Konstruktion als kürzeste Transverstde zweier
beliebiger Strahlen der verschiedenen, zum mittleren Haoptparameter
[1^ = -,,] gehörig» ( .--•: 1 B„i.bü.ch.l ip Zt "Sl-

Die zu einem bestimmten Parameter l?'} in p"" gehörigen Achsen
„1 erfüllen hierbei die { , } Segelschar des — bei Geltung der
Gleichung p -|- p'<>= mit dem Träger der zu |M gehörigen ßeziprokal-
achsen identischen — Byperbdoides F{p)

-F(p) = (p-Pi)a;H(p-Pn)y'+(p-Pin)«H(p-Vi)(p-fc)(p-Pni)=0,
welches ffir alle zwischen den extremen Hauptparametem p^ und p^^
gel^enen Werte von p reell ist. Einige der Gestalten dieser zu uef-
schiedenen Werten von p gehörigen, sog. „gleichbiindigen" Hyperboloide
hat der Verfasser nebst dem Bilde der von ihnen eingehüllten Syde-
schen Brennßäche an anderer Stelle gegeben.^) Letztere Fläche wird

I] In der zweiten »nrS. 22S,Aiiiii. 1 erwähnten AbhuidlangdesTerf. im 49. Bd.
dieiei ZeitBchiüt, S. Heft. Die dortigen Figuren IV bis X sind Oeataltea gleich-

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Von ksToa QrOkwald. 349

Toa allen G und J^ doppelt berührt nnd außerdem noch doppelt
dnrclisetzt

Die „ Gleichbündigkeit" zweier Hyperboloide ist hierbei rein
geometrisch am einfacheten dadurch gekennzeichnet, daß beide Flächen
2. Ordnnng ihre Krasschnitisebenen (ft, v) und das zu diesen Kreis-
Bchnittsebenen senkrechte Fokalacksen- Quadrupel (die Lote zn ft und v
durch M und N) gemein haben.

Statt des oben znr TransrerBalenkonstruktion der { | benutzten
Büschelpaares (p = Pnr analog Pn = ~ Vn) könnte man dort auch die
I link I ^^^^' ^^''^^ beliebigen der gleichbOndigen Hyperboloide
benutzen.

Darch jeden Raumpnnkt gehen drei Achsen G und F, deren
Parameter zu den drei Hyperboloiden J'{p) gehört, welche den Punkt
enthalten, entsprechend den drei Werten der obigen in p kubischen
Gleichung. Alle drei sind reell fflr die Punkte innerhalb und nur eine
ist reell f^r Punkte außerhalb der Brennfläcbe: Diese drei jl können
konstruiert werden als gemeinsame Kanten jener beiden Orthogonal-
kegel, welche von den Loten ans dem Raumpunkte auf die Strahlen
der beiden Büschel I^J"! °"^ ^''''l erfilllt werden.

Bin einfaches Beispiel hierher gehöriger Beweglichkeit bietet die Fanst eines
in einem drehbaren Bingelspielwagen Sitzenden , wenn er dieselbe bei Bchrflg ge-
haltenem starren Unterarm nur um eine beliebige der (zur Unterarmachae senk-
rechten) Achsen des Handwnrzelgelenkes dreht. Sei MN^ 6 die durch du
Handwonelzentram M gehende, znr Unterarmachse Benkrechte TiuuTerBale der
RingeUpielachse 6 und N ihr Schnittpunkt mit der letzteren. M nnd N sind
die Zentren der BansbAschel in den Ebenen (t (Ebene der Achsen des Hand-
wDizelgelenkes) und v (Ebene MG); G^ nnd G^^ sind die Geraden, welche senk-
recht an MN=^ G durch den Mittelpunkt p der Sbecke MN (Lluge 2e ) in
den Richtongen der Halbierenden dea Winkels a von fi nnd * gezogen weraen.
Weist man G^ den Fatametez pj^ — O, Q^ nnd G^^ aber die Parameter
p^= — e cotg — , bezw. p — <L tg — - (nach den Gleichungen S. 247) zu und
prieutieit einen Schraubendrilling gen^fi den so angegebenen Hanptschranben
Giip,) (t = 1, 9, 3), BO kOunte man noch starrer Verbindung der Schranbenmntter m

bflndiger Hyperboloide, welche die Hydesche Fl&che Fig. XI einheilen. Ton der
letzteren Fl&che bat E. W. Hyde: „Ün a anrface of the aixth order which is
tonched hj the axea of all screws reciprocol to three given acrewa" in den Annais
of MathematicB, II. aer., vol. 2, F 4, Juli IQOl, Mosa. U. S. A, die anaführlicbe Dis-
kosaion and die Zeichnungen der drei Hauptachnitte gegeben. E. Study achmflokt
doa Titelblatt aeiner „Thtorie der Dj/namen" (Leipzig 190S) mit dem Bilde dieser
FUche. („BrennflOche einer aplanaren Ketten kongnienz" zu S, 460 etc.) Ver^.
Anm. 1 S. 260.

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250 DarateUnng aller Elementarbev^;uEigeti eiacH Htarreu Earpen uaw.

mit dem festen Erdboden, der Fanrt durch Terbindong mit der Oabel e' dieeelbe
Beweglichkeit Bichem, welche aie vordem bloß infolge der Funktion sfUügkeit der
Handwoizelgelenke und der Ringelgpielachse besaß.

Durch die Orientierung und vollzogene HauptparameterbeBtimmung des
Drillings iat die Frage nach der Lage aller Schranbenachsen G und Dyuamen-
achseu T, sowie nach deren Parametern mit beantwortet und damit erst dem
BedOrfiiia nach Übersicht s&mtlicher gentatteter Bewegungen genflgt.

Ist einer der drei Haaptparameter Noll, so wird die entsprechende
zum Stabe auageartete Hanptschraube den R«ziprokaIgebieteD Bni und
-^m gemeinaamj beide Scbrsnbeablladel sind dann in einem Gewebe B.^
enthalten. Die am die Achse G^^ tod Z in der Figur 1 drehbare
Scheibe m^ zeigt gegen die feste Gabel z diese Beweglichkeit.

Wird Pn °" 's (Pi + Pra) imgenommen, so werden die Ebenen (t, v
der Basisbiischel zueinander senkrecht and stellen neue Symmetrie-
ebenen der sich als BrennSäche ergebenden Hydescheu Stemballfläche
dar, deren zweiter Hauptschnitt eine Ästrois ist')

Sind speziell zwei der Hanptparameter p^ einander gleich, etwa

Pi = Pn (^ Pm).
so wird der Schranbendrilling „gleichstehend" bezüglich Gf und G^,
welche sich in ihrem Büschel Ton den anderen Paaren Senkrechter gar
nicht mehr auszeichnen; die gleichbilndigen J'(p) werden Umdrehungs-
0ächen, er^engbar durch Rotation der Kanten des zu (^i(Pi) und
^m (Pm) gehörigen Zylindroids um seine Haupterzeugende Gm- Hierbei
nmhüUen sie die Hydesche Rotationsfläche.^ Die Parameterfläche
entsteht dann durch Rotation ans einer Parameterknrve. Yei^. S. 237,
Anm. I.

Ist hierbei insbesondere Pi = Pn = 0, d. h. der Drilling ein ge-
wöhnlicher, aber um G^a schraubbarer Hookscher Schlüssel, so hat
ifj^ mit Pjjj das die Drehungen des Schlüssels darstellende Stah-
büschel Üjj gemein, nnd beide sind zusammen in jenem Schrauben-
gebüsche enthalten, welches R^ mit den Schraubungen beliebigen
Parameters um G-^ rerbindet.

30 ist der Drilling „rollkommen" gleichsteigend, alle Achsen | | der
{p"[sind mit dem gleichen Parameter { „.^ „J ^ _ p | belegte Gerade

1) Tergl. in der Abbandlong des Verfassers im 49. Bd. dieser Zeitschr., S. Heft
die Fig. XIY zu diesem Sonderfalle. Dort ist S. 286 auch im allgemeinen Falle
beliebiger p, eine kinematische Eoostniktion der drei Hjdeschen Hauptschuitte
(Fig. Xni) gefunden worden.

3) Deren Meridiauschnitt ebenda Fig. XV EinematiEche Eonstroktion S. S16.

db/GoogIc

Von Artoh Gbühwald. 251

des StrahleDbündels durch den Anfang p. Andere Achsen oder reelle
Achsen anderen Parameters kommen überhaupt nicht vor. Wird hier-
bei inebeBondere dieser Parameter Null, bo haben wir ea mit der in
dar Praxis gendhnlichen Verwendung des HookBchen Schlüssels zu
tun, bei welcher die Schaftstange der Gabel z um ihre eigene Achse
frei drehbar ist'); die andere Gabel e' kann jede Drehung um jede
Achse G durch den Mittelpunkt p des Kreuzkörpers k ausführen.
Der 80^) beweglich gemachte Hooksche Schlüssel ist geeignet, ein
Kugelgelenk zu ersetzen, wie z. B. das zwischen Schulterblatt und
Oberarmknochen befindliche Schultergelenk der Hand oder das Htiftr
gelenk des Fnßes. Auch bei festem Oberarm und unbenutztem Ell-
bogengelenk ist das Handwurzelgelenk imstande, im Vereine mit der
(Prouation oder Supination genannten) Drehui^ des Unterarmes um
die eigene ideale Achse, der Faust und jedem darin gehaltenen Gegen-
stände dieselbe Beweglichkeit, nämlich die Drehbarkeit um jede durch
das Zentrum p gehende Achse zn sichern.

Wir gehen nun über zu jenen F^en, wo nicht mehr Achsen aller
Richiungen im Schraubenbündel vorkommen.

{l'_) 2t.

Flacher Schraubendrilting (rrix an e', Ic, z in der Figur 1).

Wird bei Pi > Ph der dritte Hauptparameter Pm"'^')) ^ ist
der zur Verwirklichung verwendete Drilling dadurch abzuändern, daß
statt der Schraubenmutter m ein hohlprismatischer Körper ntoo um den
prismatischen Teil der Stange t gelegt und in der Richtung Gjj^ ge-
führt wird (Fig. 3). Das Prisma mu hat gegen die feste Gabel e
die hier verlangte Beweglichkeit- wir nennen den so spezialisierten
Drilling einen flachen.

1) So doQ sie eiue ilu etwa erteilt« Znaogsdrehong ujn die Eigenbchie
inneihalb geniagei Grenzen nnd allerdingB ohne deren gewöhnlich an^nommene
OleichfOnnigkeit auch anf die schief gestellte Gfthelitange e' Qbertragen konnte.

3) Ohne Zwangsdiehung der Stange i'l Vergl. Anm. 1.

3] Durch die Zateilang dieses SpezialfolleB lu 1. wQiden wir nui einer In-
konsequenz in Hinsicht auf unseren sonst stets festgehaltenen Einteilungsgrond
dodorch schuldig machen, doS wii 1' nicht schon zn 2 nehmen. Wir finden es
aber durch BSckstchtnahme anf die Einfachheit der Beschreibung gerechtfertigt,
dieiea Fall als 2^ (und lieber nicht 1) gleich hier zu behandeln. Die Paiametet
p^ und pjj werden wir nun in den folgenden Fallen 2 (Hanptfall, speziell 2" oder 2")
and auch stets in der zugehörigen Figur 2 als gleich votaussetaeu dürfen. Hier-
von hätten wir sonst abgehen mGssen, um diesen Fall 2'*' noch später bei 2 unter-
bringen zu können. Vergl. S. 257 die Schlofibemerkong zu 8".

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2b2 DaiflteUang altet Elementubewvgnngen eines rturan KSrpors oaw.

Die Parameterääche redoziert sich auf die Parametfirkuire des
zom Drilliag Je gehörigen linearen Schisubenbandela Rai^iiPi)) ^nCfn)]?
cU es Adisen anderer Richtoug als senkrecht za Gm nicht gibt.

Eb kommen nur jene Achsen G im Schranbenbündel ,B^ vor,
welche in den Ebenen e = eonst. (Grenzli^ der gleichbündigen Hyper-
boloide F(p)) liegen, nnd zn einer der beiden in eine solche Ebene
fallenden Kanten des Zylindroids von B^ parallel sind.*) Sie gehören
zam gleichen Parameter wie die puallelen Zylindroidkanten in Bj,.
Die r gehen aus den G durch Spiegelung an der Ebene e = hervor
nnd rerhaltes sich analog zam Spiegelbilde des obigen Zylindroides,
wobei man zugleich mit der Spiegelung zum negativen Parameter
überzugehen hat, so daß jedes der beiden in eine Ebene g ^ const.
fallenden Parallelbüsohel F zu einem der dorthin fallenden Parallel-
btlschel G normal steht und den entg^engesetzten Parameter von dem
der Achsen G des anderen Parallelbüschels hat. Beide Parallelbttschel-
paare sind nnr reell, wenn die Ebene e = const. zwischen den beiden
Grenzebenen ^ _ ^ j_(p^_ p^-,

liegt, wo die Büschel beider hineinfallender Paare von G (und normal
hiezu von F) in eine der zu GjGj^ symmetralen Bichtougen zusammen-
rücken.

Das Feld f=if> der Parallelebenen e = const. ist i^ nnd Pj^i
gemeinsam, ao daß beide in einem Gewebe Ry liegen.

Die beiden Grenzebenen stellen die Überbleibsel der reellen Teile
der Hydeschen Brennfläche vor. Als die eine Symmetrieebene der
letzteren haben wir e ^0 anzusehen, während von den beiden anderen
nnr die parallele Lage zu GjG^j^, bezw. Gj^Gj^^ feststeUbar ist.

Wird einer der beiden Hauptpaiiimeter, etwa p^, ^ 0, so haben Bjjj
und PjQ das Büschel der zu 6, in der Ebene .; ^ (G^Gx,) parallelen
Stäbe noch außer dem Felde dieser Ebene gemein, E^^ und Pj^ liegen
in einem Gebüsche Rtv.

Als Beispiel gehört hierher ein hohlprismatiacber Ring verschiebbar
an einer prismatischen Türklinke, wobei auch Klinke und Türflügel
um ihre Achsen G^G^ drehbar sind. Die Hauptachsen GiGjj sind
hierbei durch beliebige ParaUelverschiebung der Symmetralen von G^ G^
in der eigenen Ebene, welche von Gj und 0^ um — abstehen möge,
zu erhalten und es ist (vgl. 8. 238) Pn ~ ~ Pi "^ "ö"'

1) DieM Zylindroidkanten schließen mit G, den durch aiaSfr —

beetimmten Winkel & ein und den iwei sich ergebenden d'-Werten entspiechend

findet man den zngehOrigeD Puometei aus der Oleichnog p = f coa' & -\- p »in* 9.

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Ton ÄHTOB OeOmwald. 253

worden wii p -^p^O, des bei m^ in PriBmenfaLrnng vetBchiebbaren
Drilling gleicbsteigend auueliiiieu, so wfitde der planare Drilling zum PlanBclir&ubei
(S. !öT), es fielen beide Qrenaflbenen in z =< zusammen, und wii erhielten den
ap&ter nocli unter Tjpns S" (S. 3&6) za arwUmenden Spezialfall von Schraubbotheit
nm alle ÄcliBen gleicher OangbObe (Pr. fi ) in einer Ebene (f) = 0. Wir kHnnen
desbalb ßr unseren Typus 1' den FhII vei'schiedener endlicher Hanptparameter
(p^p ) reeerrieren, denn auch der Fall des Unendlich werdena »on p (oder gar
auch noch von p_) findet später ohnedies beim normalen SchranbdoppelBchieber
(S. 268, Fall 3") und Schiebeldrilling (S. 250, Fall 4) Berackaichtignng. Vgl. die
ScUafibemerkung bei S" 8. Ut.

In den nun folgenden FUlen ist eine Panuneterfläche (S. 247, Änm. 1) über-
haapt nicht mehr in gebrauchen,

2.

Kommen in dem für die Bew^lichkeit charskteristisclien Schranben-
bündel ^jq nor Schittabenachaen G der rerschiedenen zu einem ebenen
Felde q> parallelen Ricbtungen Tor, wobei aber nicht mebr wie bei 1' (S. 251)
das zu B^^ gehörige Feld f (Direktionsfeld der Achsen F des reziproken
Bündels Pqj) mit dem zn P^ gehörigen Feld qo identiüch werden
soll, so verwenden wir als typisches Modell zur Verwirklichung dieser
Bewegungen den (schiefen)

Schraub z will in gs-Schieber.

Dieser liegt schon in unserem Schraubschieber (Figur 2 und S. 241) vor,
falls wir — durch Entfernung der Stellschraube h und des Halbrings r —
die Spindel Sii(%) befreien und so dem Kreuzkörper k die früher vor-
huiden gewesene Beweglichkeit g^en die Gabel e zurückgeben, den
Parameter Pjj von Sq als dem von s^ gleich:

annehmen und den so als gleichsteiffenä vorausgesetzten Schrauben-
Zwilling (2' an h an zb in a) in der gemäß 0:') adjustiert gezeichneten
Lt^e belassen denken. Durch ein etwa am Fortsatze » von / an-
gebrachtes Gewicht oder durch sonstige z. B. elastische Unterstützung
können wir zur Bequemlichkeit / in dieser Lage ein stabiles Gleich-
gewicht verschaffen. / hat gegen den festen Rahmen a die verlangte
Beweglichkeit.

Vor allem bemerken wir nun im Rjjj die zu V =' Va g^örigen
Schraubenachsen des Büschels G^Gj^ durch den Mittelpunkt M des
Kreuzkörpers k in der Ebene 11 der Spindelachseu GtG^f desselben;
ebenso die Achsen der ans s^ (p^i) und dem (zur Translation des

1) In der Fignr 3 ist der Winkel <t (vergl. S. 24S) beliebig fest; die Fftlle
a ^ 90* und 0: ^ 0* aollen später nnter 2' besw. 2" erOrtert werden.

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254 Daietellnng aller Elementarbewegongen eines starieii E&rpera aar.

SchieberB b Benkrechten) Felde f der Ebene v ^ f^ii^ni abzuleitenden
Schraaben des ParallelbüBchelB zu 0,^ in v (Figur 3*, dort und die G
Toll, die r geBtrichelt),

In Rjjj gehören zu ;) == Pjj die Strahlen der ^inken Basisbfischel"
M(it) und N{v), wenn mit N der unendlich ferne Punkt tdd £rj[ und
mit fi die Ebene GiG-^ bezeichnet wird. HierauB folgt, daß im '
Reziprokalgebiet P^ zum Parameter p' = — Pn ^^^ Strahlen der
j^rechten BaeisbUscbel" M{v) und A'(m) gehören, welche im Gegensatz
zu den vorigen in der Figur 2" durch gestrichelte Linien angedeutet
sind. Das linke BSschelpaar geht ins rechte über bei einer Spiegelang
an einer der beiden Symmetrieebenen von p, und v; hierbei spi^elt
flieh Gi(pn) Bach ri(— p^) ab.

Hieraus ei^ibt sich die Konstruktion aller Achsen I im | p^
als zum Felde j ? der Ebene I parallele Gerade, welche die Strahlen
des BüecheU \Jf\ eenkrecht schneiden, und es folgt:

Die in unserem Falle auggeartete Kongruenz { J-J von Achsen
I _ des Schrauben bOnd eis besteht aus den zur Tangentialebene I
parallelen Tangenten des Kegels 2. Ordnung Äj, welcher die Lote
durch M zn ^ und v za Fokalachsen hat.*) Uit anderen Worten:

Alle {_ berühren den festen Kegel fl^ und sind senlTccht bu den
F6k(dachsen desselben,

1) FokalacliBen sind Gerade, durch welche zwei (imag.) Tangentialebeneu dei
Kegels gehen, welche auch den unendlich fernen (absoluten) Eugellcieis berOfarea.
Oder: Gerade mit durchlegbaren dorcbweg« zu einaader aeukrechten Paaren kon-
jugierter Ebenen. In den derzeit vorliegenden Darateilungen au&er in E. Study«
„Geometrie der Dynameu" acheint dieser Kegel K^ (Reyeg Eatbegorie d deTSpecial-
kegel 2. 0. mit ziceizu dm Fokalaiäisen eenkreehten Tangentiahbetttnuv) als Brennflftche

der ausgearteten Eongmenz | j^-rpi 'on Achsen j nicht Beaehtong gefnnden sn

habet). Dies iit umso auffallender, als er offenbar als Rudiment der kegelfUrmigen
Partie der Hydescben Brennfl&che (vgl. S. 24S) in der Umgebung der reellen
Knotenpunkte M und N anzusehen ist, wenn nilinlich der Mittelpunkt p der
gleichbündigen Hyperboloide auf (7 in die Feme rückt, wobei G und G^^ dies
ebenfalls in den Symmetrie ebenen von ji und v tun. (Die auf G,(7„ bei diesen
Grenzübergang entfallenden Hauptparameter haben wir uns von p nach ver-
schiedenen Seiten um derartige stet« wachsende Differenzen abweichend zn denken,
daB der Quotient dieser Differenzen gleich tg* bleibt, wenn a den Winkel von
fi nnd r bedeutet.)

DigitizedbyGoOgIC

Ton ÄHTOH UbOvwald. 255

Ordnet man die Achsen I „ nach den ihnen im SchraubenbQndel
zakommenden Parametern, bo ei^bt sich:

Zo jedem Parameterwerte | ?■ ^ _ h | gehört ein hyperboliechee
flinke |
l rechte I

I „ dieses Parameters p erföllt ist. Jedes dieser Paraboloide ist dem
Kegel St^ längs einer Hyperbel &') nmschrieben und besitzt Scheitel-
gerade Gi(p) nnd ri{p' = — (>), welche aus den Berührungskanten Gj
und f\ des R^ mit fi und v durch Parallelverschiebung um

e = iv- Vn) cotg «
hervorgehen.

Eines dieser „gleiehbündigeu" Paraboloide gehört zum Werte p = 0,
die Erzeugenden der !,,ft^t^} Schar desselben sind 1%^ TramTd™
welche die Qabel e' des ScbrauboDzwillint^a-ScMebera (a) einfach drehbar ist. |
einfachen KrKfte, welche nicht imataade sind, auf die Qabel n' zu wirken.]
Fällt der Kullvert des Parameters auf p^, so treten an Stelle dieser

I "^w^ 1 Schar die beiden { °. " } BasisbOschel; der diesen gemein-
same Stab auf G^ ist dann auch den Bündeln ifj,j und Pj^ gemein,
weshalb sich die letzteren nicht mehr zum Schraubengebiet des Baumes
ei^tnzeD, sondern in einem Qewebe Itv liegen.

Außer dem Felde \ der Ebene f ist kein anderes mehr in

(^° enthalten, d. h. keine andere als die zu f senkrecht« Translation e
in
ist der Gabel / gestattet^ und jedes Drehmoment wirkt auf die Gabel /
außer dem einzigen Momente <p in der Ebene (t der Spindelachsen des
Kreuzkörpers.

Ein einfaches hierher gehöriges Beispiel wurde S. 230 Anm. 2
erwähnt.

Stellen wir insbesondere den Schraubzwillings-Schieber (Figur 2)
far « == SO" ein, d. h. bringen wir G^ in die .zu ff parallele Lage ®,

1) Zwm solche „gleichbflndige" Paraboloide F(p) durchdringen «ich in einer
Hyperbel S, deren Ebene znr Haoptachae G^ senkrecht steht und welche die
Spuren von (t und v zu Asymptoten hat. Diese treten an die Stelle der bezüglich
fi und V konzjkliachen sphärischen Kurven 4. Ordnung <&, in welchen sich heim
vorigen Falle zwei gleichbQndige Hyperboloide F(p) durchsetzten.

db,Googlc

256 Daratellung aller Elementarbeweguiigeii eiueB Btarren EOrpen mw.

Bo wild das Feld I der Ebene ( Henkrecht zu { /.^ r- . es entfällt
' v * f l ''in = S

also aaf diese Achse im Bündel I 's™ jeder beliebige Parameter.
t in
Wir können mit dem so erhaltenen Instrumente, dem

normalen Schranbzwillings-8chieber (« = 90"),

jene Fälle der Beweglichkeit III herstellen, bei welchen alle Achsen {

des Ip™ dieselbe kürzeste Tranerersale {^' haben. Der obige Kegel

R^ ist in dieses Paar Senkrechter G^Fi ausgeartet. Alle gleichbflndigen
Paraboloide F(p) werden für alle Werte p gleichseitig mit Gi und Jl
als gemeinsamen Scheitelgeraden and der Yerteilungskonstante (rgL
S. 241 Anm. 2^ p - p,,.

Der Nullfall von Pj, hat die gleichen Folgen wie oben bei 2; er
gehört zum gewöhnlichen, an b befestigten Hookschen Schlüssel, dessen
Gabelstangenachsen gemäfi a = 90** anf dieselbe Gerade (r^ fallen.

Auf I p^ entßillt im j »'" jeder beliebige Parameter, sie ist die
einzige Gerade von dieser Eigenschaft (p^^ptj im Bündel.

Die gleiche BeTegHchkeit hat bei vollkommen featgeatellter Gabel e auch
die Gabel 2* eines modifiziertet) Hookscheu SchlüaeeU, desBen eine Spindel '■,(/,)
am ErenzkSrpei k dmcb einen zjlindri Beben Stifl ersetzt wurde, welcher in den
hohliyUndrischen Gleitlagern vod i innerhalb eines gewiagen Spielraames diehbor
und Terachiebbar ist. Die Stiftacbae spielt dieselbe Rolle wie soeben G ■= G*
(p beliebig) und die andere SpindelacliBe an i jene TOn G^fp^,

Ebenso ist es etwa mit einem Ring, den man bei fester Mittelhand am
untersten Pingerglied drehen und verschieben kann (fi = G*}, während der Finger
selbst sich um die durch die Fiugerwurzeln gehende Achse ^rrC^'n'^'^^ bewegt.

Zn pjj = gehört hier anch die Beweglichkeit der Klinke einer Tür, welche
in ihren Angeln noch nm ein gewisses Stflck gehoben werden kann. Gj=^G*
Angelachse, G parallel zw Elinkeiiachse dnrch den zat letzteren nächsten Pnnkt
von (?j.

2".

Stellen wir andererseits den Schraubzwillings- Schi eher — bei wie
oben (pj = Pj^) gleichsteigendeu Schraubspindeln des Kreuzkörpers —
gemäß a = ein, also derart, daß (Figur 2) G, in die Lage G^ = Gj
kommt, die Translationsrichtong e zur Ebene @ der Spindelachsen am
Kreuzkörper Ic senkrecht wird, so werden aUe Geraden ! der Ebene S
Achsen des Schraubenbündes { jP^ , belegt mit dem gleichen Parameter

(i, — », — »„1

Digiliz=db,G00glC

Von Ajitom Gkünwald. 257

Andere AdiBan oder Achses anderen Parameters kommen nicht
Tor. Den für et — eingestellten Schraubzwillings-Scliieber nennen wir
deshalb einen mit Bezug anf @ ab Hanptebene und Pj als Parameter
orientierten

Planschrauber.

Eine andere Form desselben stellt auch die längs der Stange t
an e' verschiebbare Scheibe m^ am gleichsteigend gedachten Zwilling
der Figur 1 Tor.

Das Feld Ton @ wird den ReziprokalbQndeln jBqj und Pj^, gemeinsam,
so daß beide in einem Gewebe enthalten sind, ja sogar im Nnll&lle
des Parameters geometrisch identisch werden. Letzterer Fall trifft zu
bei den Handwurzelbewegungen der Faust im Eiaenbabnwagen, wenn
wir den Unterarm starr in der Richtung der Fahrt ausgestreckt halten.

Der Fall 3" Ut ebensogut oU ein besonderer Fall Ton 1' als von 2 (nicht
aber von 2') aninseben; vgl. S. 251. Wollte man den allgemeinen Fall 1' (pT^Vri)
anch hier nntetbriugen, eo hätte dies keine Schwierigkeit; ei dflrften aber die
Spindeln s «^ am Erenzkfirpei der Figur 2 nicht gleicbateigend angenommen
werden, was wir jedoch bei 2 (2', S") durchweg taten und woran wir feathalteu
wollen. Tgl. S. 2B1 Änm. 3.

3.

Kommen nor Achsen einer Richtung im Bündel if^ vor und
liegen diese nicht in einer Ebene'), so erfüllen alle G ein FaraUd-
strahlenbündel imd der Parameter jeder G kann durch lineare Interpolation
ans den Parametern dreier nicht in einer Ebene gelegenen Strahlen
des Bündels erhalten werden. Zur Verwirklichui^ benutzen wir den
schiefen (zu a gehörigen)

Schraub -Doppelschieber.

Diesen erhalten wir in der Figur 2, wenn wir einerseits mit Hilfe
des Halbringes r und der SteUschraube k wie beim Schraubschieber
(S. 241) den Kreuzkörper k starr mit der Gabel e verbinden'), andrer-
seits aber die Beweglichkeit dadurch erweitem, daß wir den Schub-
rahmen a des Gleitstückes b selbst wieder als Gleitstück in der
Richtung t im festen Rahmen a^ der Figur 4 verwenden.

Ebenso wie G^ im Schranbenbündel R^ zu dem Parameter pi
gehört, ist die mit der Gabebtange O^j zusammenfallende Achse f\

1) Letzterer Fall soll unter 8" betrachtet werden.

2) Hierbei kann wieder wie beim einfachen Schzaabschiehet mit Hilfe der
Gtadeinteilnng am Halbringe r der Winkel a von G mit F = G^^ beliebig fest-
gestellt werden; die FUle cr^O und <t>= 90* kommen sogleich unter 8' nnd S"
SOI BeBprechnng.

DigitizedbyGoOgIC

258 Daratellnng aller Elementorbewegungen einee st&rren KOrpen naw.
im Bsziprokalbündel Pj^ mit dem enf^egengeaetzten Parameter p'j'= —p^
zu belegen. Zum Ip*^ gehören alle zu lg} parallelen Felder; beiden
Bündeln R^^^ und Pj,^ ist also stets das zu G^ senkrechte Feld f der
Ebene @ = <?i^i gemein, Rjj^ und P^j liegen in einem Gewebe R\.

W^en dieses Feldes f gehört zum Parameter I ]3 ^^ _ i, 1 im BOndel
I p™ nicht ! ^ allein, sondern aüe zu { ^^ paralldm Geraden f pfJl

der Ebene @. Alle übrigen Achsen F in P^j sind parallel zu Fj, wie
die G des R^j^ zu 6^^, gehören aber zu anderem Parameter:

Alle zum beliebigen konstanten Parameter „'„_„! gehörigen

^ , I G, um welche bei feitein Rfthmen o, die Gabel / geschiaabt werden kann, i

l r, welche bezäglich der Gabel z" onwirksame Dynamen vorat«11eD, I

sind parallel zu ( p^ und liefen in einer zu @ -^ ^(Pi) pctTdUelen £bene
@(p) = @(p'}r welche aus @ durch Parallelverschiebang in der Richtung
6q um das Stück

c (P - Pi) cotg «
hervorgeht.

Auf eine dieser Ebenen S^ entfällt der Nullwert des Parameters
p = p' =-- 0, ihr Parallelbüschel { enthält die bezüglich t^ \' ■ ^
Diebougaachaen. 'i
einfachen Ki&fte. t

3'.

Bei der Einstellung des Schraub-Doppelschiebers für a ^ 0, in
welcbem Falle er

normaler Schraub-Doppelschieber

genannt werden kann, weil die erlaubten Schiebungen zur Schraubenachse

normal stehen, fällt G^ mit F^ zusammen: Aüe Achsen j „ des Bündels

sind zu dieser Hichtong parallel Überall im ßaum verteilt und mit

demselben zum Kreuzkörper k der Figur 2 gehörigen Parameter ! „-^ 2. t, \

zu belegen. Wir können auch die Mutter m ans der Figur 1 an den
mit Gewinden versehenen Teil von t in der Figur 2 bringen, dann hat
ni[an ^(f&) in a inoj] die verlangte Beweglichkeit. Die Reziprokal-
bfischel Jtjjj und Pg^ haben das ganze Feldbüschel parallel zur Bichtnng
der Achsen gemein und liegen im Gebüsche Piv, welches ifni (oder
Pqi) mit dem zur Achaenrichtuug senkrechten Felde verbindet.

Speziell für den Nullwert von p^ beim normalen Dreh-Doppd-

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Von Aston Gkühwald. 359

scJiieber werden beide Bündel identisch mit dem Stabbandel der Acbsen-
richtung. Für diesen Fall könnten wir auch in der Figur 2 den Stell-
körper c derart hersbetellen (SteUsehraube ÄJ, daß der aus Figur 1
an den glatten Teil der Stange t in der Figur 2 unter c gebracht zu
denkende Drehkörper mg nicht mehr in der Stangenrichtung rerachiebbar
wird: m^ [an (tb) in a in a,].

Hierher gehört auch die Beweglichkeit eines schweren Eörpera mit ebener
BaBisQ&che, welche auf einer horizontaleii Eisfläche ruht, von welchei der KOrper
nicht abgehoben werden boU; statt zu letzterem Zwecke die Schwerewirkuug zu
beanspruchen, würde man diesen Körper besser Ewischen zwei pUnportülele Ei«-
ffikhan legen.

Die EinsteUnng des Schraub-Doppelschiebers für a = 90* (G^ nach
@) würde die Gabel / scbraubbar mit beliebigem Parameter — also
dreh- und schiebbar — machen um jede zu G^ parallele Achse G*
der Ebene @= ^i^nit g^u^ glßichg^l^igi welches der Parameterwert
Pi bei Sj{si) an der Achse G^ sein m^. Deshalb könnte man sich
^emäß ip-^ ^ 0) bei Sj{s'j) auch eine gewöhnliche zylindrische Drehachse
mit ihren Zapfen in / eingelf^rt denken. Andere Achsen G als
diese G* gibt es nicht.

Die Achsen F der unwirksamen Dramen gehören ebenfalls zu
beliebigen Parametern {r= P*) und liegen in @ zu den G senkrecht.
Andere Achsen r ron unwirksamen Dynamen als diese r* gibt es
ebenfalls nicht. Das Feld f von @ ist Üq^ und Pj^ gemeinsam,
weshalb beide in einem Gewebe Rv enthalten sind.

Hierher gehört z. B. Beweglichkeit eines MufiFes m* (Figur 3),
dessen Stift t (etwa die Stange der Gabel e bei der Figur 2) in normaler
Stellung mit dem Gleitstücke b verbunden wird, wenn b in seinem fest ■
gedachten Eahmen a in der Richtung gleitet. Die Achsen G des B^^
werden die Parallelen zur Achse G* des Stiftes in der durch G*
senkrecht zu a gelegten Ebene:

Das tf'pische, diese Bewegung möglich machende Instrument
könnte man hiemach als

Muffschieber
bezeichnen, m*, aus Figur 3 an t(tb) in Figur 2 gebracht, wobei
Je, r, g' we^^dacht werden können, gibt wohl die einfachste Form
desselben.

Endlich können einem Körper alle Translationen, aber keine
Drehungen geetottet sein. Dies ist durch den

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260 DMstelluDg aller Elementarbewe^iingen emea atarreu KOipeia naw.

Schieberdrilling
rerwirklicht, welchen man erhält, indem man den zweiton Eahmen o,
des Doppels chiebers n&a^ (Figur 4) selbst noch in einer etwa zu den
dortigen Richtungen ttt senkrechten dritten Richtaug p beweglich
macht; z. B. dadurch, daß man a, horizontal an einem gewöhnlichea
Auizng befestigt oder eich einen dritten Rahmen o, konstniiert, in
dessen prismatischer Höhlung mit zq q parallelen Flächen a, samt o
und h gleiten kann. Auch der in der Figur 2 an / zu anderen Zwecken
angebrachte und durch prismatische Nutäächen in der Richtung p yer-
schiebbare Eöi-per c hat [in (eh) in a in a^] g^en aj diese Beweglichkeit.
Reziprok sind nur alle Drehmomente, um ist hier ebenso wie Pju
identisch mit dem Bündel aller Felder des Raumes.

Freiheitsgrad 17.

Hier können wir die vorkommenden Fälle am bequemsten nach
jenen beim Freiheitsgrade U ordnen. Die Achsen 6 und F tauseben
nun ihre Rollen, ebenso die Zeichen R und P der Reziprokalgebiete
und die Zeichen f) ip'; d. h. es ist der bei lY im Riv auftretende Kom-
plex Ton Achsen G, die mit gewissen Parametern p belegt sind,
geometrisch identisch mit dem oben bei U ab Ort der unwirksamen
zu p' gehörigen Dynamenachsen F im Piv.

Zur Übersicht aller Achaenlagen könnten wir uns darauf beschränken,
die Hauptelemente des reziproken Scbraubenbündels Pq anzugeben, da
wir dann unseren obigen Ausführungen gemäß nicht bloß mit der Lage
aller Achsen P der unwirksamen Djnamen des P^ und deren Parametern,
sondern auch mit der Lage aller Achsen G (der bei der Beweglichkeit
erlaubten Schraubungen im Schraubengebttsche Siv und deren Gang-
höhen vertraut sind. Wir wollen indessen stets der Vollständigkeit
wegen in Kürze auch auf die Li^ aller gestatteten Schranbenachsen
und deren Parameter hinweisen, damit bei jedem Mechanismus kein
besonderes Xachsuchen nötig sei.

1.

Zur Terwirklichung des allgemeinsten Falles hierher gehSriger
Beweglichkeit benützen wir den

Muff am Zwilling
(Figur 1 m* an (t/) an k tai z), d. h. einen Körper m*, welcher ähnlich
wie vordem in der Figur 3, nun in der Figur 1 um die Achse G'jjj
(Verlängerung von Gm) <^er zylindrischen Schaftstange t der Gabel /
dreh- und schiebbar ist; hierbei setzen wir wieder die Oabel e als
fest voraus.

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Von AirrOH Obüitwami. 261

Die Spmdfllachsen Gj — J^ und Gj^ = T^j am Zwilling sind die
sogenannten ^^ebenachsen" (vgl. S. 241) unsereB für die Beweglichkeit
chsrakteristischen Gebascbes iftv, belegt mit den bezUglicbeu durch
die Spindelwindungen gegebenen Parametern p, bezw. pjj.

Die Achsen F des reziproken SchraubenbQndels Pjj gehen ans denen
des oben (bei 11^ S. 236) beschriebenen auch hier zu j: gehörigen Zylindroides
durch Spiegelung an der Hauptebene Gi Gj^ hervor, wobei alle Parameter
den entgegengesetzten Wert annehmen. Insbesondere erbalten wir
durch Spiegelung der zum Parameter Null gehörigen beiden Zylindroid-
kanten r^r^ jenes einzige Geradenpaar, dessen Kräfte auf eioeoi mit
dem Muffe m starr verbundenen Körper gar keine Wirkung ansfiben können.

Der ,,Muff m* am Zwilling" (Figur 1) ist schraubbar um jede
Gerade G des quadratischen Komplexes der senkrechten Transversalen
der Kanten r des durch Spiegelung erhfdtenen Zylindroides.

Zu einem bestimmten Parameter p gehören die Transversalen der
beiden zu p'= — p gehörigen Kanten des Spiegelzy lindroidei. ^) Speziell
fBr p'= p = erhalten wir:

Dem Muff am Zwilling sind die Drdmngen um die TnuLSversalen
G^ der beiden Geraden ^^1^^ gestattet, sonst keine.

Dieses Paar von Windschiefen r^r^ kann auch imaginär werden;
für Pi = (oder pj, = 0) ist es an der Hauptachse 6j (bezw. G-^ des
Zylindroides zusammengerückt, und die erlaubten Drehungsachsen G^
berühren in diesem Falle das Zylindroid*) ISugs dieser Hauptkante.

Hierher, und zwar speziell zu f^i + f^n — 0, (t)i ^ 0), gehört das
JBeispiel eines gewöhnlichen hohlzylindrischen Ringes, der am passenden
Zylindrischen TUrklinkengriff sich drehen und verschieben kann, während
auch die Klinke selbst und die Tür um ihre betreffenden Achsen
drehbar sind. Die Nebenachsen in ifrv sind hierbei aus den beiden
Symmetralen der windschiefen Tür- und Klinken-Achse durch Parallel-
verschiebung in der eigenen Ebene [so weit, bis ihr Schnittpunkt auf
die (verlängerte) Achse des zylindrischen Griffes gelaugt] zu erhalten.

Ist der benützte Zwilling gleichsteigend:

Pi = Pn.
so sind auf diesen Körper ausschließlich die zum Parameter pf — — p^
gehörigen Schraubungen um die Achsen F des Büschels I^Tn un-

1) Diese TransTersalen Bchneidea von selbst eine diitte ZjUndroidkante
senkrecht. Yj^l. S. 28S u. 210.

2) D. h. auch desaeii gleichseitiges Taagentialpaiaboloid mit der Verteilongs-
konstantan (vgl. 8. 841 Anm. S) (i — p^ and der betreffenden Haaptkante nebst

Ojju als Scheitelgerade.

ZaltHhrlfl f. Malhtmktlk D. Fhjiik. M.Baud 1806. J.Heft. 18 ^-^ ,

D,,,l,z=db,(jOOglC

§6d DftnteÜDiig aller Elementubewegnngen eines itureD EOipen tuv.
wirksam; einfache Klüfte dieser EigeuBcbaft gibt es gar nicht, ao&er
es sei gerade Pi = pn = 0,

d. h. der Schranbenzwilling eio gewöhnlicher Hookscher SchlOsael.
Auf den an diesem wie oben angebrachten Moff m* können natürlich
die Kräfte des Büschels FjF^^ - — und diese allein — nicht wirken.

Im Falle p, -> Pn wird der aus der Figor 3 um die Stange t der
Gäbet / (in der Fignr 1) geschoben zd denkende Muff m* mit diesem
Parameter schraabhar, — also im Falle Pi"~Pn""0 drehbar — - um
jede A<^e G, welche entweder durch den Schnittpunkt p der Spindel-
adisen des Krenzkörpers geht (Strahlenbündel p) oder in der Ebene @
dieser Spindelachsen liegt. Zu den anderen Farameterwerten p gehSren
zirkoläre lineare Kongruenzen von gestatteten Achsen G (vgl 8. 241
Anm. 1). Diese Kongruenzen sind enthalten im quadratischen Komplexe
der senkrechten Transrersalen der Strahlen des Btlacheb I^Fn- Durch
jeden Baumpnnkt geht ein Orthogonalk^el dieses Komplexes.

Fflr Pi — Pn *~ () gehört hierher die Bew^Ucbkeit der Faust hei
festem Oberarm nuter Benützung des Ellbogei^elenkea, der Drehung
(Pronation oder Supination) des Unterarmes nm die ideale Eigenachse,
sowie unter Inanspruchnahme der Achsen des Handwuizelgelenkes.
Der Faust sind alle instantanen Drehungen um Achsen erlaubt, welche
entweder durch das Zentrum p des Handwurzelgelenkes gehen oder in
jener Ebene € liegen, welche p mit der Achse des EUhogengelenkes
verbindet.

Während bei dieier allgemeiniteu Beweglichkeit IT die HuSactuie (^^
die einzige Oemde vontellt, um welche Drehungen und Schrnnbungen des (mit m
veibuudenen) KStpen mflglich Bind, erfOlleu die mit dieser Eigenecbaft begabten
Qenden O* in den folgenden FUlen
S. (ipei. ■/) ein Parallelbüeohel,
S". die Uesamtheit allet eenkiechten Trsnaversalen einet Geraden, ein sogeuauntea

,JformEÜnetz",
3. ein ParalleUtrahlenbfindel.

Bei 2 nnd Bpeiiell 8', 8" werden alle 3chraubenacbBen G xn einem ebenen
Felde ip parallel, bei 3 sogar (zu allen Feldern eines BOschela parallel also) alle
gkichgeriAtet sein; es wird im Uegenaatze zum eben geschüdeiten Falle 1 auch
Drehmomente geben, welche bezüglich des starren KOrpera mit der Beweglichkeit IT
unwirksam sein weiden.

2.
Zur Verwirklichung der übrigen Fälle des Freiheitsgrades IV
können wir den schiefen

Krenz-Doppelschieber
benutzen, den wir aus dem in der Figur 2 dargestellten, an b befestigten
Schraubschieber erha]t>en, indem wir ihn nicht nur (wie bei HI, S. 257)

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Von Anton Gküitwalii. 363

durch HmeinBchieben des Rahmens a in den anderen, festen Hahmen o^
(der Figur 4) wie dort zum Schraub-Doppelschieber machen, aondern
auch noch unter Bonstiger Beibehaltung der gezeichneten Lage den
Halbring r entfernen, so daß jetzt die beiden gleichsteigenden Schrauben
des Kreuzkörpers wirkungsßihig werden. (Letzteres wie beim Schraub-
zwillings-Schieber HI, S. 253).

Eb sei bei der in det Figur 3 gezeichneten L^e der Winkel a
des ApparateB beliebig') angenommen und es sei femer zur Bequemlichkeit
das Gleichgewicht der Gabel s' in dieser Stellni^ (a), wo wir die Be-
weglichkeit illustrieren wollen, stabil gemacht. Letzteres kann etwa
durch ein am Stangenfortsatze u der Qabel / in verschiedenen Stellnngen
fest anschraubbares Gegengewicht oder durch anderweitige, etwa elastische
Unterstützung erreicht werden.

Zum Keziprokalgeb&sch P^ der unwirksamen Djnamen gehört
oöenbar die mit dem Parameter Pj " — Pi belegte Achse i"], = Gjji and
das Feld (Drehmoment) 9 der Ebene fi =^ G^Ga. ^^ Ereuzkörpere k,
also auch jede /m Tj paraüde Achse F der Ebene v = F^G-^. Sei e der
Normalabstand dieser F von F^, so entfällt auf sie im Pq der gemäß

P'-Vi etgß

zu bestimmende Parameter p'. AmI einen f^trahl r),*) des Farallelbflschels
der r der Ebene v entfällt der Nullwert des Parameters; fj, ist die
einzige Gerade, auf welcher Kräfte angenommen werden dürfen, welche

— ebenso wie unter den Drehmomenten das einzige der Ebene p, — G^G^

— nicht auf / wirksam sind.

Tg w&re mit V^ Enaanunengefalten, wenn wir einen gewöhnlichen Hookachen
Schlfirael (mit gewObnlicbem Acheenlaget au den Gabeln, pj^p^^O) in der in
Fignx,3 gezeicbneten , demnelben Winkel entsprechenden Lage bei statrer Ver-
bindung Beinet oberen Qabel mit b verwendet h&tten. Die« w&re hier nicht einmal
eine BeBchränkong der Allgemeinheit, da man den so adjustierten Apparat nur um
e =3 Pl ootg tt in der Richtung 6^ verschoben denken mnB, um seine nnter«
Qabel genau gleichbeweglich zu machen wie jene {z") des fflr allgemeines
p^ konstruierten Apparate«. Anders ist es im folgenden Falle S', wo (Vj^^')
keine Djname anderen Parameters als p' in P vorkonmit; hier wird der Booksche
SchlQsiel nicht verwendbar, atißer wenn p = ist, wo ein ganzes ParallelbOscbel
onwiiksanieT Er&fte auftritt

Die Gabel e des Kreuzdoppelschiebers ist schraubhar um jede*)
zur Ebene ft = GiG^ parallele Achse G und zwar mit einem Para-

1) Erat in den folgenden Fällen 2' des aufrechten Kreuz-DoppeUchiebers und
2" des (ilort bequemer benutzbaren) Doppelstiftes soll n = 0° bezw. BO" genommen
werden.

S) Tg ist bestimmt durch e c^ ])^ cotg 0; ^ — p^ cotg cc gemäß ti<~0.

8) Man beachte die sogleich folgende kleine EinichrBinkun^!

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264 Daratellnug aller BleMeotarbewegiingen einei itorren EOrpura naw.

meter, welcher entgegengesetzt gleich ist jenem der von G getroffenen C
des ParaJlfllbüechels zu Tj in v, am die zo Gj^ parallelen Qoraden G*
in V mit beliebigem Parameter^ um die nicht in v gelegenen Pandlelen
zu Cq d^egen flberhaapt nicht.

Letzteies schliefit eine KiuschAnkimg der obigen Behauptoog ein; üe «r&re
e« nicht, wenn wii lagen wollten: der Parameter w&re hier oo, von solchen Oe-
raden ala eigentlichen Achsen za aprechen, lehnen wii aber ab.

Die Achsen G der gestatteten Schranbangen eines bestimmien
Parameters p erfQllen hiemach in obigem aoBgearteten linearen Kom-
plexe die lineare Kongruenz der zu fi parallelen Transversalen jener i^,
welche zn p' = — v gehört I^ z. B. gehört zn p' — 0:

Der Gabel / sind alle Drehungen um die zu (i parallelen Trans-
versalen von r^ gestattet, sonst keine.

Der aufrechte Kreuzdoppelachieber (« =- 0).

Wir stellen den Ereuzdoppelschieber fOr o: — ein. unwirksam
hezflglich e' sind jetzt bei festem Rahmen a, (Fig. 2 und 4) nur alle
Dynamen von dem einzigen Parameter Vi = ^ 9i), deren Achsen parallel
zu JTi — Gj — Gin ™ d^ Ebene Fj G^ — ;* = v = @ liegen, und das
Drehmoment (Feld) f—ip dieser Ebene. Unwirksame einfache Kräfi«
gibt es nicht.

Nur faUs gerade Vi =~ 0> ^üid alle obigen unwirksamen Dynamen
selbst za einfachen Kräften des ParallelbQschels der F geworden.
P[i ist dann in Brt enthalten, während sich beim schiefen Krenz-
schieber B„ und Pq ergänzten. Da in diesem Falle der Erenzkörpw-
eines gewöhnlichen Hookschen Schlüssela verwendet wird, könnten
wir den Kreuzschieber fUr Px ™ ^ auch aufrechten (Hookschen)
SchlOsselschieber nennen.

Das für die Beweglichkeit charakterietische Schraubengebflsch Biv
besagt, daß folgende Bewegungen zulässig sind: die Gabel / und jeder
mit ihr starr verbundene Körper wird bei festem Rahmen a^ parallel
verschiebbar in allen zu Fj senkrechten Richtongen und schrauhbar um
jede eur EboK @ parallele Gerade G — mit der einzigen EinsohriLnkung
bezüglich der zu Gq parallelen Geraden, welche nicht als Achsen
zählen können (weil ihr Parameter oc), wenn sie nicht in @ liegen;
dafdr aber, wenn sie in @ liegen (sie bilden das Büschel der G*)
eines jeden beliebigen Parameters fähig sind.

1) El iit im Auge lu behalten, daB fir^'t'Ti die Spindeln am KreuikOrper it
der Figur 2 gleichateigend ündl

db/GoogIc

Yon Aktoh ObCkwiLd. 3Q5

Die Achsen G oräneD sicli nach dem ümeii zukommenden Para-
meter V ii lineare parabolische Kongruenzen, deren Leitlinien Mngg
der durch das Feld f dargestellten nnendlioh fernen Geraden von @
znsammengerückt sind. Die Straten einer solchen zu einem bestimmten
p gehörigen Eosgmenz sind durch ParallelTerschiehnng in eiser zu ®
gehörigen Richtung ans der zu |S parallelen Schar jenes gleichseitigen
hyperbolischen Paraboloides erhältlich, welches G^ nebst der etwa
durch Jf zu @ gellten Senkrechten ® zu Scheitelgeraden hat and
die Yerteilnngekonstante ') (p — Pi) besitzt

Die hierbei zu p ^ gehör^ Kongruenz enthält die Achsen aiest
der Gabel ji' erlaubten. Drehungen.

Speziell .zum Parameter p^ gehören als Strahlen einer ganz be-
sonders ausgearteten Kongruenz aUe zu F^ (~ Gj — = ^ni) p&rallel^i
Achsen des Raumes und aUe in der Ebene @ gelegenen Geraden; be-
züglich der zu Gn parallelen G* unter den letzteren wurde schon
bemerkt, daß sie eines jeden beliebigen Parameters fähig sind.

Wegen des gemeinsamen Feldes f liegen ßiy und F^ in einem
Gewebe Ry, ja im Xullfalle von pj — wo der gleichsteigende Zwilling
des loatrumeutes im gewöhnlichen Hookschen Schlüssel ist und als
erlaubte Drehachsen alle zu f, parallelen Strahlen im Räume, sowie
alle Geraden von @ auftreten — ist Pn in Brv enthalten.

Dieselbe Beweglichkeit wie der beschriebene auixeclite Kreuz-
schieber hätte auch in der Figur 1 der prismatische Körper m»
gegen a, falls die Spindel % (s^) an Gjj durch einen in Zylinderlagem
der Gabel e dreh- und gleitbareq Stift t ersetzt wUrde.

Auch würde mx in der Figur 1 so beweglich, falls e ohne Ein-
tanechung der Spindel gegen den Stift nicht festgemacht, sondern mit
der Schaftstange der Gabel e in der Richtung p an den Rahmen a
der Figur 4 starr angebracht würde, wenn a im festen Kahmen a^
gleiten kann.

Würde man dagegen die Spindel s^ (s^ der Figur 1 bei fest be-
lassener Gabel g durch eine prismatische, in den Ausnehmungen von e
bloB in der Eigenricbtnng verschiebbare Stange ersetzen (p,^ — oo), so
hätte der aus der Figur 3 um die Stange t der Gabel z' geschoben ge-
dachte Muff m* gegen die feste Gabel e genau dieselbe hierher ge-
hörige Beweglichkeii (GiGj^ = @, der Parameter p, gehört zu allen
Geraden G dieser Ebene und zu den Parallelen zu G^ im Räume; die
Partdielen zu öin = Gm in 6 spielen die Rolle obiger G*, um welche
mit beliebigem Parameter geschraubt werden kann).

1) Veigl. 8. 211 Änm. 31

DigitizedbyGoOgIC

266 D«ntellatig aller ElementubeirepiDgen eiaee starren KOrpen nsw.

2".
Der Doppelstift.

Er wird aus dem Zwilling der Figur 1 erhalten, indem beide
Spindeln am Ereuzkcirper gegen zylindrische in den Gabelarmlagem
dreh- und innerhalb eines gewissen Spielranmes Terschiebbare Stifte
au^ewechselt werden. Bei fester Qabel e erfreut sich / der Freiheit,
welche oar dadurch beBchiänkt ist, daß die erlaubten Schraubnngeu
(im ^it) reziprok sein sollen g^en die Schraubungen um 0„j = Fj.

Auf Fj gelegene Eiäfte sind also ebenso unwirksam auf / wie
das hierzu senkrechte Drehmoinent.

Schraabbar ist / mit bdiebigem Parameter nur xaa Jede senk-
rechte Tranarersale G* ron Fj, sonst um keine. Von Translationen
sind nur die zu Gj^ senkrechten gestattet.

Die gleiche Beweglichkeit hat in der Figur 2 (und 4) die Gabel /
gegen «1, falls der Ereazdoppelschieber für « = 90" eingestellt wird.

Ändere Beispiele: Machen wir bei fester Qabel e die Stange t an
der anderen Gabel e' bei einem gewöhnlichen Hookschen Schlüssel
gleichzeitig zur Änfangsstange einra ebensolchen Hookschen Schlüssels
unter FaraUelstellnng beider Ereuzkörperebenen, so hat die neue Gabe! /'
am letzteren genau die gleiche Beweglichkeit gegen e, wie z' gegen g
beim obigen Doppelstifte. Wir wollen diese Verbindung zweier
Hookscher Schlüssel besonders in der Anfangslage, wo die Schaft-
stangen der Gabeln g e' e" die Gerade Gm = JT, zur gemeinsamea
Zylinderaehse haben, ein

Hooksches SchlQsselpaar

nennen. Ebenso beweglich wäre bei festem Schulterblatt die Faust
an der ausgestreckten Hand bei Inanspruchnahme der Drehbarkeit um
die Achsen des Handwnizelgelenkes und des Kugelgelenkes beim
Schulterblatte, falls man beim letzteren 1, jede Drehung des Oberarmee
um die Achse von der Richtung der susgestreckten Hand ebenso aus-
schließen könnte, als 2. die Drehung des Unterarmes (Pronation oder
Supination) um dieselbe Achse. Die Drehbarkeit im Ellbogengelenk
kötmte ebenfalls als überzählig ausgeschlossen werden, aber dies müßte
nüiht geschehen, da die iustantanen Drehungen um dieselbe im System
ohnehin dorch Verbindung anders gestalteter Drehungen ersetzt werden
können.

3.

Der Muffdoppelschieber.
Wir erhalten ihn, indem wir den Stift / der Figur 3 bei Belassung
der Richtung p seiner Achse 6* starr mit dem in a befindlich zu

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Von AktOH GBÜHWiLD. 267

denkeDden GleitstDcke b Terbiuden (Fig. 2), wobei a noch im festen
Bahmen a, der Fignr 4 vencbiebbar ist. Der am / imgebmchte
Muff m* er£rent sich dann der Beweglichkeit beliebigen Parameters um
alle zur Achse des Stiftes t parallelen Achsen O* des Raumes.
ünmrksam sind nur die Drehmomente der zu Gx parallelen Ebenen,
während die übrigen Momente ebenso wie alle übrigen DyiLamen und
Kmfte Wirkung haben.

Anch die za anderem Zwecke in dei Figur 3 bui c angebrachte SteUnchranbe %,
bat gegen o, (Fig. 4) die Beweglichkeit eines MuffdoppebchieberB , wenn a in a,
geschoben itt. (A, in e an (tb) in a in o,.)

Freiheitsgrad V.
Um diese durch ein Schranbengewebe Bv gekennzeichnete Be-
weglichkeit zu Terwirklichen, beachten wir, daß Rr reziprok sein mu&
za einer festen Schraubung Pj.

1.
■ Wir benutzen die

Schraabenmutter m am Doppelstift

der Figur 1 bei fester Gabel ts (yergl den Fall 2" bei IV, S. 266; wo
beide Spindeln am Zwilling der Figur 1, s, (s^) und Sj^ (%) durch Stifte
ersetzt zu denken sind). Wirklich ist bezüglich der — ■ an t mit dem
Parameter p^ ansteigenden — Matter m in der dargestellten L^e nur
die Dyname Pj um die Achse O-^ = Crm == F^ mit dem Parameter
Pj = — Pi reziprok, d. h. auf m wirkt eine an i"*^ angebrachte Kraft
nur dann nicht, wenn sie unbrennbar verbunden ist mit einem ipl mal
größereu Drehmomente um diese Achse Vj.

Statt des Doppelstiftes könnte man am dieselben Instantanscfaran-
bnngen zu erzielen, auch ein Hooksches SchlQsselpaar {yestgl. S. 266)
verwenden, wenn die erste Gabel e fest und m nm die Endetange /'
der zweiten Gabel schraubbar isL^)

m ist schraubbar am jede*) Gerade G des Baumes und zwu mit
dem ans der ReziprokaJrelation

P + Pl = P-Pi = etg*
(e die kOrzeete Entfernung von G and Tj, d der Winkel dieser Ge-

1) Die w> dnrchgefflhrte Hentellung dei Beweglichkeit V ist — alB daa
einzige Beispiel einer Terwirklicbung von Beweglichkeit bei einem höheren
Freiheitsgiade — lohon angegeben worden in der bekannten Physik von Thomson
und Tait.

3) Man beachte die sogleich folgende kleine Eiiwohrftnkangl

db/GoogIc

268 DanteUaug oller ElemenUrbewegongeii einei Htairen SSrpen aew.

rsden) berechneten Ponmeter ^ = Pi + eig&. Die Orte der Achsen G
gleichen Parameters p — const sind hiemach lineare Komplexe mit
JTj als Zentralachse. Insbesondere um die seoikrechten Transversalm
von Fj ist e schraabbar mit jedem Parameter; die Obrigeo windschiefen
Senkrechten zu V^ lassen wir nicht als Achseoi gelten, weil sie sam
Parameter oo gehören würdra; Ton den instantanen Translationen sind
nur die zu F^ senkrechten erlaubt.

1'.
Rad f»g am Doppelstifte.

Wird Pi — 1> =- 0, so rerwenden wir ebenso beim Doppelstift der
Figur 1 (ersetzbar durch ein Hooksches Schlüsselpaar) statt m den
radartig nm i bew^lichen Drehkörper m,.

Die reziproke Dyname P^ ist zur ein&chen Kraft auf F ausgeartet,
diese allein wirkt nicht auf mg.

Beweglich ist m^ am jede Gerade des Raumes mit dem Parameter
p '— etgO, hierbei wieder um die senkrechte Transversale G* von F^
mit beliebigem Parameter, um die windschiefen Senkrechten zu Fj
dagegen nicht mit endlichem Parameter. Erlaubt sind dieselben zu
Fl senkrechten, instantanen Translationen wie oben.

Ein schönes hierher gehöriges Beispiel bietet am menschlichen
ESrper die Faust m^ an der ausgestreckten Hand, wenn das Schulter^
blatt festgehalten wird. Das Ellbc^engelenk und die Unterarmdrehnng
um die ideale Eigenadiae (Pronation oder Supination) ist hierbei gar
nicht notwendig, da ihre Wirkungen schon ohnedies durch die Ge-
lenkigkeit des Handwurzel- und des Euge^elenkes am Schnlterblatt
erreicht werden. Die Achsen des Handwurze^^eleokes und die za ihnen
parallelen dorcfa den Mittelpunkt p des Kugelgelenks am Schalterblatte
wirken wie die Gelenke am gewöhnlichen Hookschen Schlflaselpaar,
die Drehbarkeit im Schnltergelenke um die Achse der ausgestreckten
Hand tritt an Stelle der Drehbarkeit der Radscheibe m^ beim (Doppel-
stifte in Figur 1 oder beim vertretenden) Schldsselpaare.

Die als hier nicht notwendig bezeichneten Gelenke wirken nor
akzessorisch, d. h. sie können mit herangezogen werden, um eine bestimmte
Naohbarlage der Faust zu erreichen; geschieht dies aber, so ist durch
die Nachbarlage der Faust nicht wie sonst die Anteilnahme aller
wirkenden Gelenke genau bestimmt, sondern diese AnteQe kann man
in der mannigfaltigsten Weise zusammensteUen, um dieselbe Nachbar-
l^e zu erreichen.')

1) Da« Schnltetblatt mnBten wir feetstellen. WSie ea in der Ammchtnng
parallel venchiebbar, was (am beiten bei der etwas seiüichen, sog. „Fechter-

db,Googlc

Von Antos GrOhwalii. 2$9

Hierher gehört auch dos Beispiel eines gewöhnlichen hohkjlin-
drischen Binges, der am passenden zylindrischen Tfirklinkengriff sich
drehen tind rerechieben kann, während die Klinke selbst und die TOr
am ihre betrefifenden Achsen drehbar sind, wimn hierbei die Tfir auch
noch an ihren Angeln innerhalb eines gewissen Spielranmee gehoben
werden kann. Die Rolle von Fj spielt hierbei die kOrzeste Traosrersale
der Angelachse und der Achse des zylindrischen Griffes.

Prisma (m») am Doppelstifte.

Ist dagegen Pi °- Pi — oo, so benutzen wir beim Doppelstifte oder
dem Tertretenden gewöhnlichen Hookschen Schlflsselpaare an der
Stange der letzten beweglichen Gabel den prismatischen £örper mai
zur Verwirklichung der Bewegung.

Die einzige unwirksame Dyname ist jetzt zum Drehmomente um
die gemeinsame Achse F^ der Gabelstangen ausgeartet, eigentliche
Achsen unwirksamer Djnamen gibt es nicht mehr.

Beweglich ist »too und zwar mit beliebigem Parameter um alle zu
Fj senkrechten (im allgemeinen auch windschiefen) Geraden G* des
Raumes, d^egen nicht um Achsen anderer Richtungen. Gestattet sind
femer alle Translationen.

Ein am Doppelstifte (Fig. 1) statt der betrachteten m, m^, m»
um t beweglicher Muff m* (Fig. 3) wQrde z. B. schon einen zum

Freiheitsgrad VI
gehörigen, also Tollkommen beweglichen

Muff am Doppelstifte
darstellen. Er wäre, genau als ob der Qbrige Apparat nicht vorhanden
wäre, um jede Achse des Raumes mit jedem Parameter echraubbar uiid
in jeder beliebigen Richtung parallel verschiebbar.

Jede Dyname (Kraft, Drehmoment) wOrde d^egen auf ihn von
Einfluß sein.

Wir stellen nun noch die sämtlichen typischen Vorrichtungen zur
Verwirklichung aller m^lichen Beweglichkeit jedes beliebigen i^eiheits-
grades zusammen. Links und rechts in der gleichen Zeile haben hier-
bei — liTilfH das f^r die Beweglichkeit eharakteristische und rechts das
am Körper unwirksame — Schraubengebiet geometrisch die gleiche Gestalt.

Btellun^' des Bompfea und des übrigen EOrpers) durch die MuBknlatoT des
SchalterblatteB geschieht, so wflrde schon dadarch allein und ohne weitere Rnmpf-
bewegong die Fanit vollkommen, d. h. in allen Schranbnngen des Banmes be-
weglich weiden, es w&ie ibr keine einsige Nochbailage mehr unia^nglicb.

Digiti

:dbyGOO«^IC

270 Darstelliirig aller ElementarbewegungeD eines Btairen EOrpen n

FreilLeltsgrad

VL

Vollkommen hefestigter Körper.

VoUkommen beweglicher Körper.

FrellieltagTad

L

(Seite 280-)
SohraubeniuTitteT, an der Spin-
del geführt, p der Parameter.
(Fig. 1 m an festgedachter
Stange.)

Speziell
1'. Sad, an der Xebenachse dreh-
bar (p = 0) nnd (Fig. 1 »i(, an
fest^edachter Stange i).

2. Schieber, im Gleitstück, im
Schubratmen (Seite 231) Fig. 2
und 4. ii in a oder a in Oj)
oder mittels anderer Prismen-
fühmng verBcliiebbar (p = oo;
in der Fig. 1: ma> an fest-
gedachter Stange f).

V.
(Seite 267.)

1. Sohranbemniitter am Doppel-
aüfte (»1 in Fig. 1 mit dem
Parameter Pj steigend an / ui
k aa g, wenn die Spindeln bei
k durch gleitende Stifte ersetzt
sind).

Speziell
1'. Bad am Doppdstiße (pj = 0)
(»Ig in Fig. 1 an ü' an /: an r,
wenn statt der Spindeln an k
Stifte da sind).

2. FiiBinBainDopp6lBtifte(p,^oc)
(Seite 269) (»t^ in Fig. 1 an £
an k an n, wenn Btatt der Spin-
deln an k Stifte da sind).

Preilieitagrad

II.

SohranbeiuwtUing (Seite 233).
(Fig. l. / BJi k B,a £, PiPji als
Hanptparameter .

SohiefiBT BohraubsoIiiebeT
(Schiefe SchnbBchranbe; S. 241 ).
(Fig.2./an(i«&)^) ina, Einstell-
winkel a^0j""g„,

O'föhrtsua' j\

Hnff am ZwUliag (Seite 260)
(tn* aus der Fig. 3 an die ver-
längerte Stange t in Fig. 1 ge-
schoben).

Sohiefer EreoadoppelBoliieber
(Seite 262) (Fig. 2. r entfernt;
e' an k an (eb) in a in Oj Ein-
stellwinkel ( * ~ ll!^^^ '^^ l. ) ).

1) Derart in IQammei geeetste Zeichen sollen andeuten, daS die betreffendnu
Bestandteile starr Teibonden worden sind, z. B, ist hier it mit t mittels r nnd h,
und t und b ans einem Stfick.

DigitizedbyGoOgIC

Von Ahton Ga&MWALD.

Speziell:

S*. Aufrechte Schub-
scÄroM6e(a=0,S.244).
(Auch m, ans der
Fig. ] an den mit
Windungen versehe-
nen Teil der Stange i
in der Fignr 2 ge-
bracht, hat gegen a
diese Beweglichkeit
m an (tb) in a.)
Parameter 0: Auf-
rechtes Schabrad.

2". Muffam8Hß(S.24b).
Ana 2 för « = 90".
(Fig. 3. »B*an/dreh-
und schiebbar.)

3. DoppelBOhieber (Seite 246).
(Fig. 2 nnd 4. & in a in o,.)

Speziell:

2". Doppclstift (S. 266;

Aus 2 für a = 90'

(Fig. \. z «ah aa z,

wenn statt der

dein au Tc' Stifte sind,

welche in den Gabel-

l^em anch gleiten

können.)

Hnffdoppelsohiflber (Seite266).

(Muff m* aus Fig. 3 an den

glattzylindriscben Teil der

Stange t (tb) in Fig. 2 unter c

gebracht^ wobei kz'uBw. entfernt

gedacht werden können: m* an

(th) in o in a,.)

Fraiheltsgrad in.

1, SohranbeadriUiiig (Seite 246). (Hanptpanuneter PiPnPni)' ■(^'%- 1-
m an z' an k an z.)

Speziell:
P. Flacher Briüing*) (Seite 251). (Hauptparameter p,, pj,; p^ = oo.)
(Fig. 1 m-x, an f' an i an z.)

2. Sohlefer SohraabzwillingSBOhletrar (Seite 253). ^Fig. 2. r entfernt

= 90° führt

271

Aufrechter Kreuz-
doppelsciii^)&- (a — 0,
S. 264). Wenn der
Parameter am Ereuz-
körper 0: Au&echter
(Hookscher) Schlfis-
selschjeber.

1 k an (zb) in a. Einstellwinkel « I

1) Veigl. S. 261, Anm. 8. Ei igt ein dadurch Teiallgemeinerter PlanachranbeT
(S. S&e, i"), dsS die Panmetei p p an G^O im Falle 2" (Fig. 3, « — 0} migleicb
ingelMsen werden.

1>

□ogli

byGoo«^Ic

272 D&nrtelliuig aller ElementstbewegungeD einea itftrren EBipere ojv.

SpeziflU:
2'. Normaler SdtraubeunUingssi^ieber {« — 90", Seite 265).
2". ^ansckrauber (a = 0°, Seite 256).

(Auch als fiacher Drilling (1') fOr ))[ ~ p^ anzuseilen. Fig. 1: ma,

aa e aa h aa e, fall» Pj -= Pn.)
3. Bobiefer BohranbdoppelBoUeber (Seite 257). /Fig. 2. Einstell-

«inkd a durch r und h fixiert.

cc — tSbrt EO S' I

I a in a,)-

3'. J/ormafer iScArauMi^fjpelscAtf&er (Seit« 258). (a = 0, alle Parameter ))
gleich. Auch m, aus der Figur 1 an den mit Gewinden versehenen
Teil der Stange t in Figur 2 gebracht, ist gegen Oj (Fig. 4) der-
art beweglich: m an {tb) in a in Oj.)

Normaler Drehdoppelsehieber (Seite 258). (« — 0, alle Parameter
p — JVttil. fftj (auB Fig. 1) drehbar um / (Fig. 2, c an t», herab-
gestellt), falls tb in a, geschoben (Fig. 4), ist gegen % derart be-
weglich: m an (ib) in a in a,.)
3". Muffschieber (Seite 259). (Für a — 90" aus dem Schranbdoppel-
Bchieber 3; bezw. auch m*, aus der Figur 3 an t(tb) in Figur 2
gebracht; dort c emporgestellt , um Spielraum zu schaffen:
m* an ((6) in a in a,).
4. SoUebeTdrilling (Seite 259). (Fig. 2. c bei unbenutzter Stell-
schraube hl in (f&) in a in o^.)

Im Wesen haben wir also bei den Freiheit^;radeD I und Y nur
ewei Typen (1, 2), bei II und IV drei (1, 2, 3), beim Freiheitagrade III
dagegen vier Typen (1, 2, 3, 4) von Mechanismen nötig gehabt, auf-
gestellt nach der Zahl der beim beweglichen £€rper auftretenden un-
abhängigen Translationen.

Eb h&tte keine Schwierigkeit, diese zur Hentellnng aller tTpischen InitantaneD
BewegnngamOglichkeiten eine« etarreii KOrpets dienenden HeoboulBmea in einem
Apparate zu vereinigen, indem einfach die Spindeln am Krenikßrper Jt (Fig. 1 o. 8)
nebst den aatgebohrten Teilen der betreffenden Gabelzinken aoBwechBelbar ge-
staltet und die KOrpei m ans der Figur 1 aacb an die Schaftitange der Qabel «*
in Fig. 2 anbringlich gemacht würden.

Wir haben nnr der besseren Übenicht wegen die Qlastrotion der Haapt-
ifpen mit Hilfe det ^iret Grondfonnen des Apparates (Figuren 1 nnd S) tot-

Andere Möglichkeiten Ton Elementarbewegungen, die einem starren
KSrper in einem bestimmten Augenblick gestattet wären, außer doi
durch unsere typischen Mechanismen herstellbaren, gibt es nicht Die

DigitizedbyGoOgIC

Von Ajttob GBÖHnALD. 273

iiotweadigen') l^pen stellen wir nun noch In einer Tabelle zusammen,
wobei wir die — [oben durch Striche (2*, 2", 3', . .) rechts oben bei
der Typdsz^ n (1, 2, 3 . . .) angedeuteten] — Spezialtjpen fortlassen,
da dieselben nichts anderes leisten, als die dann noch übrigbleibenden
Typen anch, wenn wir sie nämlich besonders — fUr Speeialicerte z. B.
0', 90* Ton tt — einstellen oder die Hanptparameterwerte p^ (» = 1, 11, III)
bei Belastung der Endlichkeit derselben speziell ahändem. Hierbei
wollen wir bei jeder Typuszahl n (in arabischer Ziffer) des Freiheits-
grades f (in römischer Ziffer) beifügeD:
Die Zahl t der bei der betreffenden Bew^lichkeit gestatteten Ton

eioonder onsbl^gigen Translationen,
die Zahl b der hei der betreffenden Beweglichkeit unwirksamen ron-

eiuander onabhängigen Drehmomente,
die Zahl r der bei der betreffenden Beweglichkeit voneinander unab-
hängigen Achsenrichtongen Ton Bewegungaschranben,
die Zahl I der bei der betreffenden Beweglichkeit voneinander unab-
hängigen AchseniichtuDgen unwirksamer eigentlicher Dynamen.
Bezeichnen wir mit f* eine Hilfszahl (positiv, ganz), welche
— f — 3, odet aber, wenn sie nämlich negativ wOrde, statt dessen ist,
und mit v* eine Hil&zahl (positiv, ganz), welche =3 — f, oder aber,
wenn sie nämlich negativ würde, statt dessen ist, so haben wir
folgende Beziehungen in der Tabelle:

I fc=-l +n + B*| It+t-f I

t= l + f_n-t* U + I=6-f|

Die Einflihrui^ der von uns hier gewählten Typusnummem tt
(in arabischen Ziffern) erscheint durch deren angegebene Beziehungen
zu den bemerkenswerten Zahlen t (b; r, I) gerechtfertigt

Damit iat auch die Abweichung eineneits von dei eigenen Namerierang
der FUle in der (1902 in dieier Zeitschrift, 18. Bd. 1. Heft erEohieaenen) Abband-
lang Aber „Lineare Schiaubengebiete" wie auch zum Teile von der Einteilnng
E. StadjB iu aeinei' bewtiuderaaweiten (IBOS in Leipzig erBchieneneu) „Geometrie
der Dynamen" begrOndet.

1) Die apetiellen in den allgemeinnn enthalteneu Typen haben wir obm aos-
fflhilich beipiochen; gerade sie finden in der Technik die meiate Anwendung odei
werden sie TieUeicht am eheiten finden — wie in der Regel gerade daa Staditun
and die Anweadong bewnderer FUle der allgemeinen Betrachtang vwangehk

db/GoogIc

274 DareteUnng aller ElemeDtarbewegmigen usw. Ton AaroH QbOstuld.

Frei-
heit«.

t

TjpUB

Hl

hl

••

Name dei t^iechen Apparat«»

Seiten- j

in der Ab- '
handlang

k

t

1

1 fo

>

ToUkommen fester KOrper

8

^r

'

230

2

1

Sefci«l>er

281 ' 1 1 8

SehraabeDEwiUl&g (Haaptpaiameter pj, p^

sss 11

s

u

'

atellvinkel t,)

211

1

1

BoppelsdUeber

24S 11 2

Pi' Pn- Cm)

«

t

lU

FUeker DriUlng (Hanptpaiameter pp^
Behieber Btellwinkel a)

261
868

1

3

--

Scbranbicppel^blebertS-PSS^J"'- ""'

267

'

*

1

Stkleberdrllllns

86» 3

-

Hoff am ZwllUn; (Uauptparametei p^, p^j)

260 |1

s

•

IT

"^■^ Htellwinkel «) 362

2

2

KiffdoppelBckleber See ||S|2

1

T

2

2

8

2

PrlHma am Doppelstifte See

S

1

2

TI

1

S

Vollkommen freter Körper

2S9

»

»

«

*

Da jetzt dieae „Huearen Schraubengebiete" Bamt den nun vorgelegten Aos-
fOhrnngeu alB Einleitung in das Studium des StndjBchen Werkes — beHOnders
fSt Leser, welche mit der Oraßmannsohen AusdehnungBlehre vertraut sind —
gelten kOnneo, geben wir noch eine Zuiammenstellang der Typuabezeichnongen
nnd der Sonderßille, sowohl bei Stadj als auch in den „linearen Schranben-
gebieten" nebst Angabe der Seitenzahlen in beiden Abhandlungen.

E. Stndj hat als der erste alle Spezialfälle gehOtig hervorgehoben, während
in des Verfaaseta „Linearen Schiaubengebieten" der sog. „allgemeine Fall" bei
jedem Freiheitegrade ebensowenig eine Nummer erhielt als die doroh oo-werden
•einer Hauptparameter sich ergebenden Sonderfalle heirotgehoben wurden.

D.git.zedb/GoOglC

über die Etäatizit&t der Erde usw. Von Q. Ebuolotz.

Vorliegimde

Abhandlung

E. StudjB „Geometrie der
Dynamen" (1908)

Die ^LDearen Schranben-
gebiete" in dieser Zeit-
acbxiit (190!, iS.Bd. l.Hft.)

I 1 (8. 280)

V 1 (S. 267)

la (S. 640)

Va (8. 668)

I (ß. 62) ~] V (S. 62)

! (8. Ml)

2 (8. 269)

b (S. 641)

b (8. 668)

. . . fttr p — oo »M dem
Hwptfall

U 1 (S. 288)

IV 1 (8. 260^11» (8.641)

IVa (S.649>

U (9. 67) IV (S. 81)

8 (8.241)

2 (8. 262

bt.(8

642)

b(.(B

660)

2* (8. 66) 2* (S. 67)

2* (8. 244)

2- (8,264

1|!(8

642)

i(i(8

652;

... (8. 66, «7)

2"(S. 246;

2"(S. 266

(8

643)

c (8

S62)

l'(8-86)l l'(S. 66)

8 (8. 246)

8 (8.266

d (8

64!)

d (8

66B)

... für p =p =00 SO*

dem Haupt&U

m 1 (8. 246)

ina (8. 648)

m (S. B6)

»♦ (8. 261)

b f (8. 646)

...farbj = ooau.

2 (S.268)

tt (S. 646)

i* (S. flO)

2- (8. 266)

C (8. 647)

8» (3. 87)

2" (8. 26«)

b , (8. 647)

(8. 91 — Eine Be-

S (S. 267)

dja (S. 646)

f (8. 86)

«' (8. 269)

iß (S. 649)

(8. 87)

8" (S. 26»

e (8. 649)

1' (S. 86)

4 (S. 261)

f (8. 64»)

...mp^=p^=9^=ao

MB dem Haapt&U

Über die Elastizit&t der Erde
bei BerückBichtigmtg ihrer variablen Dichte.

Von 0. EebOlotz in äöttingen.

Die elastisclie Nachgiebigkeit dea ErdkÖrpers wnrde zuerst von
Lord EeWiii (Phil Trans. 1863) in den Bereich der Diskuasion gezofi^n,
nnd fOr sie ans der Theorie der Meeresfluten eine obere Grenze be-
HtimmL Die Dichtezunabme gegen das Erdinnere hin wurde dabei
anßer acht gelassen und die Erde als homogen voraaagwetzt. Äaf
diese Lficke wies Darwin hin (Mess. of Math. 1878) und versuchte
gleichzeitig eine Schätzung des EinSusses der Inhomogeneität auf diese
obere Grenze zu machen, indem er sich plausibler Annahmen über die
Art dieses Einflusses bediente. Später stellte Love (Treatise on elasti-
city I.) bloß das als wahrscheinlich hin, daß eine Dichtezunahiue gegen
den Erdmittelpunkt, In Analogie zu den Eigebnisaen der Laplaceachen
Theorie der flüssigen Erde, die scheinbare Festigkeit derselben gegen
änSere deformierende Kräfte vergrÖBere.

Digitizedb/G00«^lc

276 t^r die Elastiiität der Erde bei Beiücknichtigung ihrer vkriablen IKchte.

Eine wicht^ Anwendang fand die Theorie der elastischen Erde,
als S. Newoomb (Montbly notices 1892) die I^ichtUberemstimmang
der berechneten und beobachteten Periode der Polschwankungen auf
die durch ümlagemng der Rotationsachse erzeugten elastischen Defor-
mationen znrOckföhrte. Die genaaere theoretische Ausführung dieses
Qedankens durch S. S. Hough (Phil. Trans. 1896) ergab, daß die
Ghandlersche Periode herauakommt, wenn man der Srde ungefähr
die Nachgiebigkeit des Stahles zuerteilt. Die hierbei eingeschlagene
Methode besitzt jedoch einen Mangel, der darin besteht, daß zunächst
das Vergrößerungsverhältnis der Eulerschen Periode für eine homogene
Erde berechnet wurde, nnd mit diesem dann die fQr eine inhomogene
starre Erde gültige Eulersche Periode multipliziert wurde, um dieselbe
OrÖfie für die nichtstarre Erde zu erhalten, während man strenge ge-
nommen jene Periode zugrunde zu legen hätte, die der Elliptizität -^^
einer im Gleichgewicht befindlichen fiüssigen homogenen Erde zukommt.
Diesen Mangel zu beseitigen, hätte man die durch Verl^erung der
Rotationsachse erzeugten elastischen Deformationen anter der Yoraus-
setzung der Inhomogeneität bestimmen müssen. Schon der Umstand,
daß die Gleichgewi chtstheorie einer flüssigen homogenen Erde für die
Abplattung und Elliptizität (— —^ — J den gleichen Wert -^ ei^bt^
während die beobachteten Werte jj^ bezw. ^^ sind, läßt erkennen, daß
man unter Voraussetzung der Homogeneität nicht zu einer einwnrfs-
&eien Schätzung der Nachgiebigkeit der Erde gelangen dürfte.

Es ist daJiier im folgenden das elastische Gleichgewicht einer in-
homogenen der eigenen Schwere unterworfenen Engel, die durch äußere
Kräfte deformiert wird, uutersacht worden. Es ergab sich dabei, daß
die Dichtezunahme gegen den Erdmittelpunkt die scheinbare Festigkeit
erhöht Speziell beträgt für die Erde bei der Nachgiebigkeit des
Stahles, und bei Zugrundelegung des Rocheschen Dichtigkeitsgesetzes,
die durch die Suterzeugende Kraft entfernter Körper bewirkte Hebong
oder Senkung des Erdbodens im Falle der Inhomogeneität etwa 080
Ton der im FaUe der Homogeneität statthabenden. (Darwin schätzte
diesen Bruchteil auf 0'97.) Es kann daher Lord Kelvins obere
Grenze für die Nachgiebigkeit der Erde noch etwas weiter herab-
gedrOckt werden.

Was nun die Bestimmung der VerläI^;er^ng der Eulerschen
Periode angeht, so beseitigte die Berücksichtigung der Inhomogeneität
den erwähnten der Theorie von Hough anhaftenden MangeL Es
liefert nämlich das Rochesche Gesetz für das Gleicl^ewicht der flüssigen
Erde die Abplattung =^ - - und die Elliptizität — . , welche Werte

DigitizedbyGoOgIC

Von G. Hbrolotk. 277

mit den beobachteten äußerst nahe fibereinBtinimen, und welche zugleich
diejenigen sind, welche der Rechnung in Strange zugrunde zu legen
sind. Ferner fand sich das VergröBeruDgsverhältnis der Enlerschen
Periode gleich 1'57 statt des für die homogene Erde bestimmten Ver-
hältnisses 1-47. Dadurch wird die Eulersche Periode für eine Erde
vom Elagtizitätegrade des Stahles um etwa 1 Monat länger als die
von Hough bestimmte, und daher läßt sich anch mit Rücksicht aaf
die Periode der Polschwankongen, die obere Grenze ftir die Nach-
giebigkeit, durch Berücksichtigung der InhomogeneitÄt weiter herunter-
setzen.

Zum Schlüsse wurde auch noch die von E. Wiechert über die
Dichtigkeitsverteüung im Erdinnem aufgestellte Hypothese an Stelle
des Roohescben Gesetzes angewandt Für dieselbe et^ab sich der
von dem vorigen nur wenig verschiedene Wert 1'59 fttr das Ver-
größerungsverhältnis der Enlerschen Periode. Soll dieses Verhältnis
den durch die Beobachtungen geforderten Wert von 1'39 erhalten, so
hat man bei Zugrundelegung des Wiechertecbe Dichtegesetzes der
Erde die Elastizitätskonstante e—^ 11'68.10'^ (^?^) ^^ erteilen, wahrend
die Annahme einer homogenen Erde auf die Elastizitäts konstante
e = 9-19.10'i führt.

I. Über die Deformation einer elastisoben, gravitierenden tmd
Inhomogenen Engel dnrcb änßere Kräfte,

Zunächst handelt es sich darum, die von Thomson*) und
Darwin angegebenen Resultate bezüglich der Deformation des elasti-
schen homogeueu Erdkörpers nun auch auf den Fall einer variablen
Dichte Buäzudehnen. Man wird dabei, gestützt auf die von Thomson*)
hervorgehobene Geringfügigkeit des Einflusses der Kompressibilität des
Erdkörpers, anch hier unbedenklich ein inkomprcssibles Material vor-
aussetzen dürfen. Die zu behandelnde Aufgabe ist dann des mihem
diese: die Deformationen zu finden, welche eine elastische Kugel aus
inkompressiblem, gravitierendem Material, dessen Dichte eine bekannte
Funktion der Entfernung vom Kugelmittelpunkt ist, durch kleine,
körperlich angreifende Kräfte erleidet. Die Behandlung dieser Frage
wird sich natürlich der Laplaceschen Theorie*) der Figur der Planeten
analog gestalten, da man ja gerade zu dieser zurücl^elangt, wenn man
die Elastizitätskonstante gleich Null setzt.

1) Natural philoBOpli;. part II. art. 832 ff.

2) Natural philoBophy. pari II, art. 838.

3) Laplace, Hie. cel. tom. II.

ZeltHtiilft t. Mathsmstlk u. Fhf lik. 5!. BiDd. ISOJ. B.H*». 19 /~- I

Digtizedb/LiOOglC

278 über die EUatititftt dei Erde bei BetOcksichtignng ilu-er vuiftblen Dichte.

Seien u, t>, w die Yerrücknngeo einee FimkteB x, y, g der Kagel,
also kleine Orö&en, deren Quadrate bereite Temschlässigt Verden sollen,
und verde gesetzt:

(1) q'-ax + vy + ws,

sodsB -q die Yerrackung in Riditung des Radius r daratellt, so
werden die deformierten Flächen gleicher Dichte durch die Gleichung
bestimmt sein:

(2) Ji-r + i«,

in der r als Parameter anzusehen ist. Speziell wird, nnter a den
Kugelradius verstanden, die Gleichung der deformierten Oberflilche sein:

(8) J!-«+ig,

wofern ein Querstrich aber einer Größe anzeigt, daß ihr Wert an der
Kogelober^che (für r — a) za nehmen ist.

Endlich wird hiemach die Dichte tf im Punkte xye den Wert
haben:

(4) «-p-

. t^

wahrend if^fir) die Dichte der Kugel vor der Deformation war.

Bezeichnen nun weiterhin V das Gravitationspotential der defor-
mierten Kugel, 77 den Druck im Innern derselben, c ihre Etastizitäts-
konstante und K das Potential der deformierenden Kräfte, so sind die
Bedingungen des innem Gleichgewichtes bekanntlich diese:

(5) " «»

8» a. 8» .

«it + Sj + 8. "■

Die Komponenteii des Druckes auf ein normal zmn Badins stehendee
Ftäctenelement, haben ferner die Werte:

Digiliz=db,G00glC

Von 0. HsBaLon. 279

Nim wirken auf die Oberfläche keine aoSeren Drucke, daher müssen
an derselben die F, G, B^) verechwinden, und man hat die Grenz-
bedingungen :

(7) F=G = H^O, fttr r^-a + ^q.

Nunmehr soll, wie es bei der Anwendung stets der Fall ist, an-
genommen werden, daS sich das Potential der äußeren Kräfte in die
R«ihe entwickeln lasse:

(8) I!:-2KK(':,!/,'),

in der die K^ räumliche Eugelfunktionen iiten Grades, die ft, aber
Eonstante sind. Man kann dann fOr g den, wie sich zeigt, aus-
reichenden Ansatz machen:

(9) ?-2'«.W--^.(*.!''')'

wo die g,{r) noch zu bestimmende Funktionen Ton r allein sind. Mit
Hilfe desselben läßt sich der Ausdruck des Potentials V leicht auf-
stellen. Offenbar setzt er sich zusammen aus dem Potential einer
Engel des Kadius a und der Dichte ff und aus dem Potential einer
dieselbe Überdeckenden Massenbelegung der Dichte: —gq. Dement-
sprechend erhält man, anter f die Gravitationskonstante verstehend:

^ r(r) + i^f2-^„^,[fQdq,f''' + ' +ßdqS)K,{xy,)

a r

(11) r(r) - 4i/-(i A.r'dr + /",rrfrj

Setzt man also: ^ ^

(12) «.(r) - ^-- (^ßdq,^-+' +ß<lq.)

(13) »-2'<'- + ''-)^(*'*'')'

1) Jlan Mite hiet noch die Teränderte KiclitiiDg der Oberfläch entiormale lu
berOckaichtigen; dies gibt aber bei einem tnkompEMBibJen Haterial ntu Korrek-
tionen n. Ordnung.

DigitizedbyGoOgIC

280 t^bei die EJMtizität der Eide bei Berückaichtigiiiig ihier vuiableo Dichte.

80 wird:

(14) V+K~rir) + St,

worin aber jetzt S toq der Ordnang der VerrQckangen klein ist. Bei
YemscliläsBigang der Quadrate derselben, wird man daher, nach Ein-
fDhrang von;

m ' .

die Orandgleicliuiigeii (5) und (6) in der Form sclireibea könDen.

cJu +rqil + ll + ( '.-^ -

(16)

(17) o = („+/pir)» + ;(r»; + f|-.)

Aus den Gleichungen (16) leitet man nun zwei neue Beziehongen ab,
die bloB p und q enthalten, indem man das eine Mal mit bezw. x, y, g
mtJtipliziert nnd addiert, und das andre Mal nach bezw. x, y, z differen-
ziert, nnd ebenfalls wieder addiert Man erhält hierdurch:

cJq + »"^^ + pr^- + yqr* =

'"^ ^. + <.'|^.^-« + 3« = 0.

Dem Ansätze für q entsprechend, läßt sich nnn anch für p analog
setzen :

(19) i'-^'^W^-^^'"'')-

Digiliz=db,G00glC

Von Ö. Hbholotz. 281

Führt man jetzt die Entwickliingeii (9), (13), (19) in die Gleichungen
(18) ein, und vei^leicht die Koeffizienten der einzelnen Kugelfanktionen
desselben Grades, bo finden sich die beiden Gleichungen für p„(r)
und q,(ry.

c (q: + 2 - J- g:) -i-r[p: + '^^ p„) + gr (xj + .^^ x.) +

+ «pi, + yr*g„ =
(20) ^,. ^ 2 i±i^. ^ ^ (,., ^ 2 .._+ . ,.) _^ ^. (,. ^ . ,_) ^

+ -" f '*. + J"-«; + ('r' + (» + S)rtg. - 0.

Um endlich eine Gleichnng für ff„ allein herzustellen, hat man
bloß nötig, aas den beiden Gleichungen (SO) die Komhination
(/,'. + 2°^J.^)/-(rl; + n + 2)/7zu bilden. Dieselbe ergibt:

cDq, + «(n + 1) ['' (1-, + ».) - rqjl -

Die Funktion p„ stellt sich dann durch q^ ausgedruckt in der
Form dar:
(22) p, + (.(/■ +«,) = - - — - , .,^r^+'^r^^q^.

Qleichnng (21) besitzt nun noch den Übelstand, daß sie wegen des in
ihr auftretenden x, das q^ nnter dem Integralzeichen enthält. Derselbe
wird einfach dadurch beseitigt, daS man ans (21) x, bestimmt, und in
die aus (12) folgende Relation:

einträgt. Darnach ergibt sieh für q^ die lineare Differcutialgleichiuiff
6ter (hrdtamg:

p3)- '"^'"':+'"^ r--[,:-+2C;:+?^>:+2(»-i)('j-^j,.]

M^ßr'd

FOr c ■» geht dieselbe in die bekannte Differentialgleichung der
Laplaceschen Theorie der Planetenfigur über.

db/GoOgIc _

282 Ober die Eltwtiiität der Erde bei Berackaichtiping ihrer variablen Dichte.

Was nun die Bestimmung der in g^ willkürlichen Konstanten an-
belangt, so bemerke man, daß von den 6 PsrtikolarlSaimgen der
Gleichung (23) bloß die drei für r = endlich bleibenden Löstmgen
brauchbar sind. Ton den drei hierdurch auftretenden Eonstaiiten be-
stimmt sich die eine durch die Forderung, daß q^ auch der Qleichung (21)
Genüge leisten soll, die beiden anderen dagegen durch die Bedin-
gungen (7). Um diese letzteren explizite zu formulieren, hat man
u, v, w durch q auszudrücken, und daraus F, G, H abzuleiten. Die
Verrflckungen i/, v, w lassen sich direkt aus den Gleichungen (16) be-
stimmen, in denen mau p, q, A jetzt als bekannt anzusehen hat. Es
enreben sich die Werte:

?ührt man dieselben in die Ausdrücke (17) von F, G, H ein, so
findet sich ohne weiteres:

^_.«/;,r+2(.."" + '.«^.)

(26) s_jJ(,ir+2(..^ + ..!,£■.)

H - -J'fdr +2(0. IT + '.'^.)
CT «. -^fiiTTU^ (>■'«: +2»'-3; + 2(«'- 1)3.)

'.-~p.- sr+V^c-^«: - 2>-s;).

Damit diese Werte für t- — a-f-5 verschwinden, ist offenbar ans-
reichend, daß:

(28) ».-0, f"«.-?«,^ für •■-«■

Dies sind die beiden nocb fehlenden Gleichungen mr Bestimmung der
Konstanten, die man auch in der Form schreiben kann;
^■5: + inrq. + 2(»' — l)g. — Ol

(29) Sc, , , ( fBr r-o.
!>. + flW- + <»-!>«■) + '■?''«.■■ °

db,Googlc

IL Die Rocliesolie Hypothese iltwr die DlobteverteilTuig
Im Erdinnern.
Eür die DichteTerieilimg im Innern der Erde möge nnn das von
Lipscliitz') gebranchte and im Falle der Laplaceschen Theorie der
Erdfigor aasfalirlich stadierte Gesetz angenommen werden:

(1) »-».(i-i«^)-

Damit et^ibt sich zunächst:

^ = i».'"('-rTs'')-

Hiermit wird die Differentialgleichui^ für g^:

dr dr dr dr dr dr^" ' f^i+i dr dr^"

(3) = ßr-+'-*(r*q: + 2(« + A + l)rq-, + 2X(n - l)c/„)

FCtr r = a hat i/„ die beiden Bedingungen I. (39) zu erfüllen, die
sich hier noch etwas becjuemer gestalten lassen. Berechnet man näm-
lich aus der Qleichung 1. (21) die Größe h^ -\- x, und setzt sie in dem
Ausdruck (22) fSr p„ ein, so erhält man:

/ . i\/ pf" \ CO 1 d 1 d „. , , d i d

- T^dr''* d'r'^d-r''--

Dadurch kann man die beiden Grenzbedingungen schreiben:

r*«;' + 2nrq'^ + 2(«» - l)q^ =

,-, f dr dr dr dr '" dr dr dr "■

+ 2«(« + l)»*"+»^f"-»2, =
für r^a.

Die 3te zur Bestimmung der 3, in q, auftretenden willkOrlichen
Konstanten noch nötige Bedingung besteht, wie bereits erwähnt, darin^

1) Grelle LXn. 1968. Tgl. anoh TiBBerand Mäc. c^. chap. XT.

DigitizedbyGoOgIc

284 Über die EÜaatizität der Erde bei BerücIcBichtiguug ihrer Tatiablen Uichte.

daß g^ auch der Gleichung L (21) genügen muß. — Es reicht dazu
aus, daß dies bloß für einen speziellen Wert Ton r etwa f = der
Fall ist, weil dann q^ schon von selbst jener Gleichung für alle Werte
von r genügen wird.

Die Konstanten im Dichtigkeitsgesetz (1) hat man nun bei der
Anwendung auf die Erde so zu bestimmen, daß man erstens die durch
die Beobachtungen bekannte mittlere Dichte erhält, und daß zweitens
die Laplacesche Theorie der Figur der Erde anter Zugrundelegung
eben dieses Gesetzes die beobachteten Werte der Abplattung oud der
EUiptizität (= ,; — A, C . . Trägheitsmoment«! ergibt. Roche')
zeigte, daß fQr k = 2 eine befriedigende tTbereinstimmung zu erhalten
ist, während Lipschitz X ^ 2'39 &nd. Im folgenden soll nun das
spezielle Gesetz ron Boche festgehalten, also A = 2 gesetzt werden.
Dann wird aber die noch fehlende Hte Bedingui^ die Form erhalten:

wobei man bemerke, daß: (i)^^^ — 8(2M + 3)(2n + 5) dem Koeffizienten
Tön t* m q„ ist. Femer sind die bei der Erde vorzugsweise in Be-
tracht kommenden äußeren Kräfte die Zentrifugalkraft der Erdrotation
und die Anziehung eines im Yerhäitnis zum Erdradius weit entfernten
Himmelskörpers. In beiden Fällen hat man als Potential eine i^nm-
liche Kugelfnnktion 2ten Grades zu nehmen.

Es möge deshalb fQr da3 folgende jetzt n = 2 gesetzt werden.
Man hat in diesem Falle:

und wenn man noch folgende Größen einführt:

m '-^, «-^. « = ^

so folgt für 9,, wofür nunmehr einfach g geschrieben werde, die

Gleichui^:

^ df* rfjS wt6 j*6 Jt6

■ irfa 1 ^ M^. =

(8) ^ df* di^ dk^ dp di^ di "^ dl* di

= imV + ms' + 42).
Zur Integration setze man:

1) Acad. des sciences d. Moutpeltier 1858; Compt. B. tom. 89 (1854); vgl. auch
Belmert, Habere GeodlLueJI, pag. 478—492.

DigitizedbyGoOgIC

Von G. Hebolotü. ■ 28Ö

dann sind die A', durch folgende einfache itekui-sioii beBtimiiit:

(10) N, + N,_, = 2ff(2v» - 3v - 7)A;_j.

Hierbei bleiben N^NiN^ willkürlich, und dementsprechend erhält man
die 3 ganzen, transzendenten Partikularintegrale:

(11)

■'«.5"

(2r + 5)1
(,+JK. + S)

.(S)-J'-

^,1'%

wobei die Werte der ersten Koeffizienten a^ßy-y, sind:

1

al

Pl

7»

%

1

1

2

1

3

a

-2

4

26»

-1

6

— «

1

565

6

94«"

-1205

1

7

ff

- 1 + 36405'

-1965

8

- 288«'

3145

- 1 + 108645"

9

- « + 240645'

1 - 343605'

4525

10

6i4(>'

- 640ö + 1186645'

1 - 747605'

Die allgemeinste für % = endlich bleibende Lösnng ist also

(12) s - Ä^(l) + B*(i) + Cid).
Man bemerke nun, daß ftlr | = 0:

(13) (i).--^,^, (J'!).-5lV.C
ist, sodaS mit diesen Werten und den Bezeichnnngen :

die drei znr Bestimmung von A,S,C dienenden Gleichungen (5) und (6),
für n = 2 übergehen in:

:dbyG00«^Ic

386 t^ei die ElutiziUt der Erde bei BerOckaichtigaDg ihrer variablen Dichte.

«■'i' + ^^^ + Sä-» I

^, (1^ + 2t') - ,^_ M + 2<,ßm + ».

Hier hat man jetzt den Äusdrack (12) fOr q einznBetzen. Zn diesem
Zwecke bilde man die folgenden Punktionen:

Mi) -2!<^^'' + 3- + 8)5'^Pi'.6-

(16) *'*^'~^^">» + «'"^'-"^ +

+ '"•/•i:C2v + 1)(2.' + 6. - 6)'^+;«-,+ «Ae-

Dann gehen die drei Grleichongen (15) Aber in folgende:
^9,(1,) +»♦,(£,) + Cz,(l,)-0

(17) ^9,(1,) + B*,(S,) + t'j,({,) -

Av,(i,) + B*,(l,) + Cz,(£,) + i (* + =^ «) - 0.

D,,,i,z=db,Googlc

AoB diesen 3 Gleiclitmgea sind A, B, C zu bestimmcD, wobei man zn
beachten hat, daß

f-A,f({,)+B*.a,) + cj(i,)

ist Trägt man hierauf die gefundenen Werte in (12) ein, so folgt:
wobei gesetzt ist:

^,- ».(I,), *,(W, z,(li) ^.-1 ?>.(«.), *.(ü, z.a.)

(19)

9,(U, *■(£■), z,(l,)l lv,(i,), ♦•.«,), «.«.)

9>(t), *(l), Z(l)

9.«), hd), «.(1)

An der Oberfläche, für £ = g^, ist speziell:

Die Schiebten gleicher Dichte haben die Gleichung:

(21) M~,{i+q{i)-?--^l^^), t-^,

WO r der mittlere Radius der betreffenden Schiebte ist.

Wenn im besonderen K^ = ^ {x* + !/* + ^*) — ^* ist, so sind die
Schichten Rotationsellipsoide und ihre Abplattung ist gerade 2(|).

III. Nnmerische Anwendung auf den Fall der Erde.
Die erhaltenen Formeln mögen nun eine znblenmäSige Auswertung
für den Fall der elastischen Erde finden.

Für die Konstanten im Dichtigkeitsgeaetz: ^ = q^{1 — »jr*) werde
mit Roche genommen:

Po =10.1, 1)"^, also p = 2-384,

femer möge der Erde der Elastizitätsgrad des Stahles beigelegt werden,
Bodaß also zu nehmen ist:

c = 7-65.10" (cffs).

Da nun a — 6-37.10« cm, so wird:

<f = 0-0389, li- 3-432.

Digtizedb/GoOgIC

288 l^ber die Elastizität der Eide bei Berackaichtigtmg ihrer variablen Dichte.

Mit diesen Werten lasBen sich die Funktionen tp^x ■■• leicht berechnen,
Mod zwar genügen etwa 10 Glieder jeder Reihe, nm die ersten fOnf
geltenden ZifTem des betreffenden Funktionawertes richtig zn erhalten.
Man findet:

<p%) = 0-004198 ! vid,) = 0-01344
^(1,) =- 0-01330 I i(-j(|,) = 0.09234
Z(E,) = 0-004510 ! 2,(gi) = 0-07472

f,(s.) -

-001481

?>.(E,) - -

- 0-004915

*>«,) -

- 01830

*.«,) -

0-000825

X.«.) -

0-4377

Uli,) - -

- 0<I3486

eiterhin:

J, - 00001292

A

0-0002765.

Bezeichnet nun g die Beachleunigang der Erdschwere, so findet
sich för h:

li^{\~ I «a») -> = 0'5416 "*' ■

Mit Rücksicht auf das Spätere, soll jetzt ^ — |g)' (o... Rotations-
geschwindigkeit der Erde) genommen werden, was man unbeschadet
der Allgemeinheit tun darf, da K^{xy£) ja ebenfalls einen willkürlichen
Faktor enthält. Dann folgt sofort:

h - 0-0009303
und:

„_ l_

* ~ 89H-4 '

Man hat also das folgende BesvUat:

Wird der Erde der Elastizitätsgrad des Stahles beigelegt, und die-
selbe' durch äußere Kräfte deformiert, die ein Potential besitzen, das
eine räumliche Kugelfunktion 2ten Gerades ist:

so ist die deformierte Gestalt der Oberfläche gegeben durch:

Betrachtet man speziell die durch die eigene Rotation erzengte
Deformation, so sind die äußeren Kräfte die Zentrifugalkräfte, fOr die
man zu setzen hat:

K,-i(x= + s' + >')->'.

db,Googlc

Yon G. Eebolotz. 289

Daraus folgt sofort, daß die Oberfläche ein Rotationsellipsoid mit der
AbplattoDg: ^^ wird. —

Zam Vergleiche mögen nun die analogen Zahlen fQr die homogene
Erde hier Platz finden. Man hat in diesem Falle

wo non för 9 die mittlere Erddichte zn nehmen ist.

Mit den obigen Zahlenangaben findet sich fQr k^ = ,

Es wird also bei demselben äußeren Storungspotential wie vorhin jetzt
die deformierte Gestalt der Oberfläche gegeben sein durch:

Die durch die eigene Rotation erzengte Abplattung ist: ^öti'
Der Vergleich von (A) und (B) gibt folgendes Resultat:
Bei dem Nacbgiebigkeitsgrade des Stahles ist die durch ein

Potentiftl 2ten Grades erzengt« Deformation bei der inhomogenen Erde

nur 0*807 oder etwa */^ von jener bei der homogenen Erde.

Das Verlültnis ist also ein erheblich geringeres, als es von Darwin

geschätzt wurde, der es gleich 0970 fand.

IV. Die Eolorsehe Perlode der nlohtstarren Erde.

Bewegt sich die instautaue Rotationsachse relativ zum Erdkörper,
so bewirkt die hierdurch erzeugte Verendemi^ der Zentrifugalkraft
eine elastische Deformation der Erde,' mithin eine Variation des Träg-
heitsellipsoides, welche nun ihrerseits bekanntlich wieder die Ver-
engerung der Periode der freien Rotation zur Folge hat.

Welches ist nun ztmäcbst die durch Verlagertmg der Rotationsachse
erzeugte elastische Deformation?

Man hat bei der Beantwortung dieser Fr^e von der natiirlidien
Vorstellung auszugehen'), daß bei der gleichförmigen Rotation der
Erde am ihre Figurenachse die elastischen Kräfte durchaus nicht be-
anspmcht werden, daß also auch noch Gleichgewicht bestände, wenn
die Erde plötzlich verflüssigt würde. In diesem Falle aber muß die

1) Vgl. Klein-Sommerfeld, Kniieltheorie III. pag. 687 ff.

nqi,.eJb.GoO«^Ic ^^

290 Über die Elastizität der Erde bei Berückaicfatigung ihrer variablen Dichte.

Laplaceache Theorie gelten, d. Ii es muß die Abplattung der Schichten
gleicher Dichte den ans derselben folgenden Wert besitzen.

Ist aber nnn diese VoransBetzang eingeführt, dann ist man be-
rechtigt, die durch Verlagerung der RotatioDsachse entstehende neue
Form der Flächen gleicher Dichte fo^endermaSen zu bestimmen: Man
sucht erst die Deformation, welche die durch Ablenkung der Rotations-
achse erzeugte Variation der Zentrifugalkraft bei einer Kugel mit
gleicher DicbteTerteilung hervorrufen würde, und bringt dieselbe dann
an der alten Form der FUchen gleicher Dichte an.

Sind nun l, m, 1 (unter /, m kleine Größen verstanden) die Rich-
tungskosinusse der gestörten RotationHachse bezogen auf das alte, in
der Erde festhegende System der Hauptachsen, so ist die Variation des
Zentrifngalkraftpotentials :

(1) E^-(ü\lx-\- my)z.

Dies erzeugt als störendeB Potential genommen nach III. eine Defor-
mation der Schichten gleicher Dichte:

(2) 8r^ - rq{l aQi<p -\- m Bin.<f) im2e ,

wenn tp die geographische Läi^e und ö die Nordpolardistanz anf der
Erde ist.

Ist also e die Abplattung der Schichten gleicher Dichte bei der
gleichförmigen Rotation um die Figurenachse, so wird nach der Ver-
l^erung der Rotationsachse die Gleichung dieser Schichten sein:

(3) R^r\\-\- e{\~cos?&)--q(lcaB^ -|- m siny) sin2ö}.

Die Tri^heitsgrößen dieser neuen durch (3) bestimmten Gleichgewichts-
figur hat man nun behufs Aufstellung der Rotationsgleichungeu fSr
das alte System der Hauptachsen zu ermitteln. Zu diesem Zwecke
bezeichne man mit A, A, C die Trägheitsmomente der ungestörten,
also durch:

(4) i?=-ril-|-e(|-C08*Ö)}

gegebenen Figur. Dann findet man sofort:

i\y* + e*)dm = A, f{x> + z*)dm = A, f{x* -}- y*)dm = C,

fygdm^ '—jgdqr', j xedm = — ^"jpdgr^, ixydm^O.

Beachtet man nun, daß: „

(tj) G-A^^^fffdef^,

DigitizedbyGoOgIC

Von 6. HEmoLOTE. 291

ist, and setzt zur Abkürzung:

/""'■
m ---. — ,

BO sind die 6 Ti^heitsgrößen (5) der Figur (3) auch gegeben durch:

(8) A Ä C
^' -vm(C-Ä), -vI(C-.4), 0.

Bezeichnen jetzt p, q, r = m die Rotationsgeschirmdigkeiten dee alten
HeuptacliBenBystemes, so irird selbstTerständlicli zu setzen sein:

(9) ;_?, »_|,

und der Impulsvektor wird den Wert haben:
J,-Ap + vlti(p-J.)

(10) J,-Äq+vm„(,C-Ä)
J, - Cr.

Nun wird die Konstanz des Impulses ausgedrückt durch:
dJ.

(11) ^-vJ.-'J.

"■
-^-qJ.-pJ,,

and diese Gleichungen gehen jetzt, mit Hilfe von (9) und (10) einfach
Ober in: j_

(12) ^-<».(l-v)j,-0, .-^

Ans diesen Gleichungen entnimmt man sofort das Resultat, da£ die
Periode der freiem Kutation gegeben ist durch:

Beachtet man aber, daß für die starre Erde diese Periode:

(") '.-''

Digiliz=db,G00glC

292 Über cUe Elastizität der Erde b«i Berückttchtigimg ihrer varüblen Dichte,
beträgt, so hat man also schlieSHch die Endformel:

(15) ■ r = '■■,,

J Qdqr-

Um die beiden hier auftretenden Integrale auszuwerten, hat maa
sich noch die Formeln der Gleichgewichtstheorie der flüssigen Erde zn
vergegenwärtigen. Man kann dieselben leicht dadurch erhalt«», daß
man in den Gleichungen von Nr. II einfach c = setzi

Bezeichnet man iür diese Annahme den Wert von q wie schon
vorhin mit e, so gilt zunächst die Gleichung:

während die Grenzbedingung Übergeht in:

(17) c(0) = h +. 1(2 + 2i]Jerdr\
Setzt man jetzt: _

Bo erhält man analog wie früher die für £ — endliche Lösung von
(10) in der Form:

(18) '■-'V^'-tJ+oli''«.?' -''*>'«.
WO eich die a^ aus der Uekursion bostimmcu:

(19) „, _ (i,.' + »« - r,)ß._„ «._!,

und y aus der Grenzbedingung (17) zu berechnen ist. Diese wird
aber hier:

i.V. * + -v(ä° f «,) +/!P(0{<'s]-

(20)

Schreibt man daher abkürzungsweise:

+ <•}!

Digiliz=db,G00glC

(il) 'pAt)-i,-lt'2,',Xl}i'''^"'

Voa G. HsBat^Ti. ^^

80 wird:

(22) e !U« ,

WO für Jt, = Y wieder A — fl y-J -~ ist.

Betreffs des Integrals i pder' bemerke man non, daA nach I (12)

.-S-r>»^

wird, nnd daß andrerseits die Gleichung I (2b) fdr r~ d, c*0 Qber-
sebt in:

Ans diesen beiden Beziebnugen ergibt sich:
(23) /,d.^_»^'(._'^).

C—Ä
Da weiter: 6= — 7^— — - — - — ist, so hat man anch:

Um die analoge Formel für das Integral 1 ftdqf^ za gewinnen, bat

/"

man wieder zn bemerken, daß fUr r •- a die beiden Gleicbnngen I (12)
nnd (21), wo jetzt aber nicht mehr c •" ist, für >' — o übergeben in:

.-'^.ß^,''

^ + i"'-iJ + iS-v

worans folgt:

80

D.git.zedb/GoOglC

. Phrrih. n. Band. 1»0.V 1. Han.

394 t^ber die ElutisitU der Erde bei BerifckeicbtigiiDg ihrer variablen Dichte.

Eb läßt sich nun leicht QbeiBehea, daß bei EinfQhrung der drei neaen

Fniiktioneii: «

„ „N ■^T (. + !)(. + 3) .. „,

(26)

und Bildung der DeteTminimte;

»■(W, ♦>(£■), i,(li)

(2') ^.- ?>.(«, *.(li), i:,«,)

?>.({.), *.«,), 1.(1,)

sich die Oleicliiuig ergibt:

Durch DiTision von (23) imd (25) folgt sIbo:

(29) V - «- iLlzjiriHf? aJLm .

FQr die Periode der freien Nutation der eUtatischen Erde ei^bt sich
daraas endlich: „„*

(30) .-T. ^"-

'-l'^F#^]

Die Aasßlbruiig der numerischen RechnuDg liefert jetzt unter Zugrunde-
legung der in III ang^ebeneu Daten fönende Werte:
£, = 09576,
9)(£,)- 0-02002,
9),(g,)= 0008369,
h - 0-0009303.

Dies gibt nach (22) und (24) die mit der Beobachtung ■ehr naba flber-
Btimmenden Werte: i i

*" QQT'I ' * ^ DAR.* *

Digiliz=db,G00glC

Ton 6. BaKGLO«. ^96

Zur BeBtimmimg TOD A^ hat man zunächst
5>,(t,) - 0-OOO6272,

*,({,) 0008956,

1,(1,) - 001396
and damit:

ä^ - 0-00007587.

Hiermit ergibt sich schließifh das EndresuUai:

X, = 305-3 Tage,
^ ' T - 481-0 Tage.

Zum Vetgleich mSgen wieder die auf die hamogene Erde bezüglichen'
Angaben hier Platz finden. Für dieselben hat man

(32) ^3jp«

Oder au^erechnet:

1 _ 1

/ggj c — * — 232. j , q — 7254 ,

To- 232-9 Tage, t = 3430 Tage.

Man bemerke, daß der VergrdBenmgBJaktor für die EulerBche Periode
im Falle der homogenen Erde 1*473, im Falle der inhomogenen Erde
aber 1-575 betragt. Würde man also in der inkonsequenten Weise Ton
Hongh die Enlersche Periode der nachgiebigen Erde Termittels des
für die homogene Erde gültigen VergrSBerungsfaktors aus der fUr die
inhomogene starre Erde gültigen bereclmen, so erhielte man:

T = 449-7 Tage,
was also um einen vollen Monat Tom richtigen Wert verschieden ist.

V. Die Wleohertsohe Hypothese fiher die DlohteTerteüimg im ErdinnenL
Es soll femer noch jene Annahme über die Konstitntion des Erd-
körpers der Rechnung zugrunde gelegt werden, welche zuerst von
E. Wieohert') aufgestellt und ausfahrlich diskutiert worden ist
Mach derselben besteht der Erdkörper ans einem Metallkem der Dichte
9, — 8*206 und einem darüber geleerten Gesteinsmantel der ebenfalls
konstanten Dichte f/ — 3-2. Der Radius (— a^ des Eemea beträgt

1) OUUinger Nkchriditeti IS&T.

D,g"'b/G00glC

29(> Über die Blutintftt der Erde bei BurflckBichtigang ihrer variablen Dichte.

dabei etwa das O'TSfache des ganzen ErdradioB (>" a). Legt man nun
außerdem noch Kern und Mantel die rerschiedenen Elastizitatakonstanten
<\ bezw. c bei, so lassen sieb die in I abgeleiteten allgemeinen Formeln
auch leicht auf den Fall einer derartig zusammengeaetzten Engel an-
wenden.

Zunächst erhält man bei Einföhnrng von

(1) v-'-^,

für die Gxö&en x,{f) and r{r) die Werte:

lr(r) - 2«/j[o' + ij»! - 1(1 + vyi,

(3) Mantel , , , ^ ,

Die Gleichaiig I (21) fflx q^(r) geht hier einfach Qber in:

(4) Dq. - 0.

Da nun 9,(r) für r •> notwendig endlich bleiben muß, HO kann man
für Kern nnd Uantel sofort die beiden Lösungen ansetzen:

Kern: q, — Ur' + Jf,

W Mantel: S, - t^ + t^t + C'' + D.

Denselben entsprechen nach l (22) die folgenden Ausdrücke Ton p,(r);

Kern; p, 2«, '-^^-If -<>,(*, + «0.

Mantel: p. __ 2<:[*^ -jA- + 'J!±i o] -,(*. + «,)■

Die in ^(r) noch willkQrlichen Konstanten Ä. . . N bestimmen sich
nun zum Teil aus den an der Oberfläche ebenso wie Mber geltenden
Grenzbedingungen, zum Teil aber ans den an der Berührungsfläche
zwischen Mantel und £em zu erfüllenden Stetigkeitsbedingungen. Offen-
bar wird man nämlich fordern mQ^sen, daß: u, v, w, F, 6, H*) an dieser
flädie stetig eeiea.

1) Bezfiglich der TeAnderteik NormaleDrichtuug ist daa Gleiche wie in I. su

DigitizedbyGoOgIC

Yon G. Hbboioti. 297

Beachtet man nun, daß die Qleicliiuig dieser Trennui^fläche ist:
(') r-a,Jr'-'2ql'^)K.(x,V,'),

so wird man den Gleichongen (24) und (26) I zufolge diese Stetigkeits-
bedingongen augenscheinlich anch dahin formnliereo können, daö die
vier GtöBoo:

(8) c(r"5." + 2nrs; + 2(»" — Dg.) stetig fOr r - o,

P. - 5^. (-•'«:- 2»'-«.') +-• ,^ r«J

Bein solleiL Die Grenzbedingungen an der Oberfläclie sind dagegen
onverändert wie frfiher:

»•*«; + 2«r3; + 2(«»-l)s,-0 I ■

Hierdarch bat mau aber gerade sechs Beziehungen zur Bestimmong

der sechs Konstanten A N erbalten. Die ireitere AusfQhrung

möge wieder speziell bloß fttr den Fall n — 2 erfolgen and hierbei der
Efitze halber statt 9i(a), ?i(ai) einfach q bezw. 9, geschrieben^ werden
Ferner sollen g, g, die Beschleonigungen der Schwere an der Mantel-
bezw. Kernoberfläche, (f„ die mittlere Dichte des ErdkSrpere bezeichnen:

(10) (,_l5|y(i + ,<^, ,,_iiäa(, + ,)_ ,._p(i + ,,^)

und hierbei die Abkürzungen eingefKhrt werden:

(H) «-^, d-^, *-— , -i---

Trägt man jetzt die Werte (2), (3), (5) and (6) in die Gleichungen (8)
und (9) ein, so kann man denselben, indem man sie untereinander
passend verbindet, sehr leicht die Form geben:

»['4«] - 4^ + '•H^ - *4^] - »tI^ Ci + V?) + ^ - ".

«K + m - T'] - 4-':^-^ - .-:■ (" + '^ - ^ = 0.

(12) ^,JrD-H ^JrD^ + Ma'd-'-^^i,,

? + 6o' I4,, I + C«! -Ma\l-\(S- l)ä„

D,,,i,z=db,Googlc

über die Elastizität dei Erde ii

Von G. Hbeomiti,

Drückt man rermSge der letzten fOnf Gleicbongen A nnd B durch
q, 9j ans nnd führt die gewonnenen Werte in die beiden ersten
Gleichangen ein, so erhält ^an zur Berechnung von g, g^ die beiden
Relationen :

(18)

B,-H+r-i-

ir,t-B,,,-'-^-o.

>B(8 — So») — Sf64— 21a' + 21c<» — 84«') '

4 — To' + Stt'— 2(1

a,-Ci+hM+5i

(14)

^.-l-l'+F

19+«' -

19(«-1)

7(8

:•)(■-.•) —
175-2(48 + 81 o'-64o')
4 — 7«'+8o'
«")' — 2(64 — 21.

2(1-0(1-0')-
-4».,tJ

* — 7o'+8o' — 2(1 — ttiXI— Ä*)-

Legt man jetzt die oben angeführten Wiechertschen Zahlenangaben
der Rechnung zugrunde und setzt forncr die Elastizitätekoeffizienten
von Kern nnd Mantel als gleich roraus, so erhält man:

1-088 + 47-69

ü :r • srz^;

(16)

g O-666 + 31'i<f-|-1160'
oA, 1 + 62-6 ff

g~ ' 0-668 + 31-4a + 116ff'

Sind dann weiter e und c, diejenigen Werte, in welche q bezw. j, för
tf — übergehen, so ist nach IV (15) das Vei^rÖßerangSTerMltniB der
Enlerschen Periode:
(16)

g 4-1 "'gl

{7-19 + 208-4 fl)tf

oder gemäß den obigen Werten:
(17) f-l +

FUr die im Falle des Rocheschen Gesetzes angenommene Elastizitäte-
konstante des Stahls (c — 7-65.10") erhält man:

i = 1-59,

(18)

was Ton dem in jenem Falle gefundenen Werte 157 nur wenig ab-
weicht.

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über kiaematiache Erzeugung von Begelflichen 4. Ordn. Ton E. Wsikholdt. 299

Um die beobachtete CbandlerBche Periode za erbalten, mOßte
'- = 1-39 werden, was für c — 11-68.10" der Fall ist Würde d^^en
die Erde homogen angenommen, so erforderte dies nach TV (32) die
Mastizilätskonstante c = 919.10".

Göttingen, November 1901.

Über kinematische Erzengang von Begelflftchen 4. Ordnnng.

Von E. Wbihnoldt in KieL

Die Rflgelfl&oben 4. Ordnnng sind von Cbasles'), Gayley'),
Schwarz'), Cremona'), Bohn*) und Holgate") klaasifiziert and be-
handelt worden. Von Bormester*) nnd Blake^) sind einfache Be-
wegimgamechanismen ebener Bewegongeu beaprocben worden, bei welchen
eine Gerade eine Regelfläche 4. Ordnnng erzengte. Burmester hat
die dem Ellipsographen entsprechende Bewegung benatzt, Blake hat
aaBerdem die nmgekebrte Bewegung, welche Ereiskonchoiden als Ponkt-
bahnknrren bat, behandelt, nnd dann den Fall, daß die Polkniren
diejenigen dee AntiparallelogrammB sind. Die von ihm und anch hier
angewandte Methode ist die, daß maa eine Ebene a sich in einer
festen Ebene a' bewegen läBt nnd die Fläche nntersncht, welche von
einer Geraden l^ beschrieben wird, die mit 6 fest verbanden ist. Die
Eigenschaften der entstandenen Begelfläche werden ans denjenigen ihrer
zn 9 parallelen Scbnittfiguren hergeleitet, die als Bahnkorven der Pro-
jektionen P die einzebien Pankte f, der Erzeugenden ^ auf ff be-
trachtet werden. Aus den Gleichungen von I, in dem mit ff fest
verbundenen Koordinatensystem £, ij, £

1) Salmoo Fiedler, ÄDtljtiacbe Geometrie des Kaumes. II. Teil, S. Aufl.,
S. XrV. 169.

2) Rohn, Die verachiedenen Arten der Kegelfl&cheu i, Ordnung. Math.
Aoaalen, 28. Bd., 1881.

S) Holgate, Od certaiu mied gurface« of the fonrüi Oidet. American Joonud
of MathematicB, 15. Bd. ISQS u. 32. Bd. 1900.

4) Burmester, Kiueiuatisclie FUchenenengong Termittela zjlindriicher
Rollnng. Diese Zeitichr. 88, Jahrg. 1888.

5) Blake, Upon the Rnled Surfacee generated b; the plane movemeA, etc.
A. J. of H. 21. Bd. 1899 und 22. Bd. 1900.

DigitizedbyGoOgIC

300 Ol>ei kmematische Erzeagnng von ItogeU&ciieii 4. Or^tinng.

und ftUB der Gleichung der Balmktirve eines Punktes P^ in dem mit a'
Tsrbandeneii Koordinatensygtem x^ y, e:
(2) y(»,»,|,,)-0

ei^bt sich die Gleichong der RegelÖäche durch Elimination von |, tj,
ans (1) and (2) and aus der Beziehung £ -~ z. Die Doppelpunkt« der
Bahnkurven der Projektionen aller Punkte P, tou /, eichen die
Doppellinien der Fläche. Ob dieselben isoliert verlaufen oder auf der
Fläche liegen, erkennt man aus der Natur der Doppelpunkte als
Knotenpunkte oder isolierte Doppelpunkte. Aus dem Satze daß die
Punkte der beweglichen Polkorven p im allgemeinen Bahnkurven mit
Spitzen et^ben, schließt man auf die Zwickpunkte der B^elfläch^
d. h. auf die Punkte der Doppelkurve, in welchen die beiden in den
Übrigen Punkten der Doppelknrve getrennt übenden beiden Tangen-
tialebenen zusammengefallen sind. Wie vi«le Zwickpunkte vorhanden
sind, ob zwei oder mehrere von ihnen zusammenfallen, ei^bt sich ans
der Zahl und der Natur der Schnittpunkte, welche die Projektion I der
Erzeugenden l^ auf a mit der Polkurve p hervorbringt.

Die von Bnrmester und Blake genommenen Mechanismen er-
gaben nur verhältnismäßig wenige Arten von Regelflächen 4. Ordnung. .
Ich habe mir roi^enommeu, mit einer allgemeineren Bewegung den
großen Formeureichtnm dieser F^hen sar Anschauung zu bringen
und dadurch, daß ich Polknrven von, höherer als der 2. Ordnung be-
nutzte, Flächen mit einer Doppelkurve und 4 Zwickpunkten zu eizengen.
Die Bewegungsmechanismen, bei denen die Bahnkurven von der 4. Ord-
nung sind, geben jedoch im allgemeinen zu Regelflächen höherer Ord-
nung TeranlasBung. Ton allen Mechanismen, die Dingeldej*) unter-
sucht hat, geben außer den erwähnten, von Barmester und Blake
verwendeten Bewegungen, die ja Spezialfälle des Kurbelgetriebes sind,
nur noch zwei andere Bewegungen, die auch Spezialfälle des allgemeinen
Enrbelgetriebes sind, Regelflächen 4. Ordnung. Dies sind:

l.Das gleichschenklige Doppelkurbelgetriebe bezw. seine ümkehrung
das gleichschenklige Schwii^kurbelgetriebe und

2. Die allgemeine Eonchoidenbewegang, hervorgebracht durch das
Schleifschiebei^etriebe oder die doppeltgescfaränkte Winkelschleifen-
kette. Da diese beiden ebenen Bewegungen inbezug auf ihre Bahn-
korven und deren Doppelpunkte ziemlich vollständig bekannt sind, so
gen^ es, die Ei^ebnisse der Untersuchungen früherer Autoren zu-
sammenzu stellen and ihnen ein^ wenige Er^nzungen hinzuzofligen,

I) Diugeldej, Über die Erzeugung der Kurven 1. Ordnniig durch Be-
wegnagimechaDiameu. Leipzig, 1886,

db/GoogIc

Von E. WKiin(oij)T,

301

um Anfsclilaß fiber die Art der mit dieeen Getrieben erzeugbaren R^el-
flächen zu erhalten.

Es zeigt sich, daß man mit ihnen von drei Hauptklassen der
Regelfläcben 4. Ordnung Beispiele erzeugen kann, und daß nur R^el-
flöcben mit einer dreüachen Geraden nicht darstellbar sind. Die drei
anderen Hauptklassen kommen aber in ihren verschiedenen Unterarten
ziemlich vollständig zur Anschauung.

§ 1. Bas gleüAsdienklige Doppdkurbdgetriebe^) (Fig. 1) ist der
besondre Fall des Eorbelgetriebes, bei welchem die Stabe OA und
ÄAf, bezw. 00, und 0,.^, einander gleich sind und daher der vom
Punkte Ai um 0, mit dem
Kadiufi Tf beschriebene
Kreis k^ durch den Mittel-
punkt des vom Punkte Ä
durchlaufenen Kreises k
vom Radius r geht. OOi
sehen wir als festen Stab
an und verbinden mit ihm
die Ebene tf und das
Koordinatensystem xye,
und zwar den Anfangs-
punkt in und die
+ a;- Achse nach 0^ ge-
richtet. Das Koordinaten-
system |i]S bringen wir
so an dem Stabe ÄAi an,
daß Ai der Nullpunkt ist
und A^A die Richtung der
-|- 1 Achse ist; die -|- 1]- und
-|- f-Achse werden so gelegt, daß sie, wenn die + I-Achse and die
-f- ic- Achse zusammenfallen, in die Richtung der -f* y und 4- «-Achse
zeigen. Für eine Phase der Bewegung, in der die -|- I-Achse mit der
+ X-Achse den Winkel a bildet und die Punkte A und Ai die Ko-
ordinaten u, V bezw. Uj, v^ im festen Koordinatensystem haben, gelten
für einen Punkt f die Transformationsgleichungen:

it — I cos a — ij sin a + Mj

ff=^Biu.a + 7] cos a + Vi

« — (6 — r) cos « — j; sin c + tt
____^_ y ^ (X — r) ma a + ■!} coBU + V

1) Roberts, On tbe pedala of couic sectioni. Proceedings of the London
Mathematical Societ; Bd. 3, 1871. B. SS.

Digitizedb/G00«^lc

302 Cber kiuematieche Erzeugung von UegelfläcKen i. Ordnung.

und die Ereisgleichungen:

(»,-r,)' + .;-r;
„■ +„>-r',

ans denen dnrch Elimination von Uj, v^, u, v und dann von a unter
Abspaltung des Kreises a:' + y* = E* -t- ij* die Gleii^uttg der BaJmhirve
eines Punktes P:

,„ l'-(»^ + sO + '-.(l» + 1!')-2'-'-.ä')*

-lr.«* + .l') + KU + w)-2'-'-|ll'-('^-'5)('(«-{»)'-0

fol^ Eliminiert man hieraus und ans den Gleichungen (2) der Gerades
!, , die mit dem Koordinatensystem |i;g fest verbunden bewegt wird,
I tmd f] und setzt g = ir, so erhält man die Ton der Geraden ^ be-
schriebene Regdfläcke. Man erkennt, daß sie in der Tat Ton der
4. Ordnta^ ist.' Je miclidem r größer oder kleiner als r^ isi^ werden
die erzeugten Balinkarven und Hegelfläcben TerBchieden voneinander
sein. Beide Fälle können aber mit demselben Mechanismus eraeugt
werden, wenn man im zweiton Fall !, mit 00, in feste Verbindung
bringt, AA^ festhält, dag^en OOi bew^, da die Gleichung (3) in-
bezag anf (g, ij) und (x, y) ganz gleichartig gebaut iat, nar daß r
und fj gegeneinander vertauscht sind,

§ 2. Die Fdkurven der Bewegung sind Paskalsche Schnecken.'^)
Die bew^liche Polknrve p hat in Polarkoordinaten B und (p die
Gleichung:
(4) B — ,— ' -= (r — f, cos ip),

die feste Polknrve p' d^egen:

(5)

Dabei ist A^ bezüglich der Nullpunkt der Polarkoordinaten, nnd
die +1 bezw. + a:- Achse die Polarachse. Wenn »•>r, hat p' eincoi
Knotenpunkt, di^egen p einen isolierten Doppelpunkt; wenn >-<rj ist,
findet das Umgekehrte statt. Wenn AAi in die Richtung von OOi
fSllt, berühren sich die Polkarven mit den Sclieitelpnnkten H nnd H',
bezüglich K nnd K' ihrer Symmetrieachsen. In Figur 2 sind fBr
r — b, r, — 3 die beiden Polkurven für die Phase gezeichnet, daß die
+ I-Aohse in die Richtung der — a:-Achse zeigt; dasselbe ist in Figur 3
für r = 3 nnd r, >> 5 dargestellt. Wenn in Figur 2 p einmal an p'

1) Ca^lej, On Ute mechanicftl detcription of a nodal bicircnlar quartic.
L. M. Societj Proc, 3. Bd. 1871, p. 101.

DigitizedbyGoOgIC

Von E. WsiBKOLDT, SOS

abgerollt ist, hat A den Kreis k einmal, dagegen A^ den Kreis X',
zweimal darcUaofen. In Figur 3 durclitäaft A^ nur einen Teil von £,
zweimal. Er kehrt vaa, wenn A^ bis zu einem Punkt E gelangt ist,
80 daß OA und ÄAi^ eine Gerade 06E bilden. In dieser Li^ ist
E der momentane
DrehongBpol, inibm
wird p' Ton p mit
dem Knotenpnnki»
A^ berührt. Femer
folgt noch aas
cos £00, -p

daB die Linie OE
die Polkurve p in
der gezeichneten
Phase berührt.

Wenn »'>»',
ist, können die
Stiibe 00, and 0,^,

eine Gerade bilden. Dies tritt ein, wenn A^ in B^ auf der Ver-
längemng von 0, liegt. Dann ist der Knotenpunkt Ton p der mo-
mentane DrehtmgB-
punkt. Wegen der
Beziehung
cos BOBi - ^i

ist OB die Tangente
von p' in und der
Schnittpunkt E von
p mit der Verlänge-
rung von BO über
hinaus der Punkt,
mit dem p die Kurve
p' in berührt. Die
Punkte E sind auch
die Scbnittponkte
TOD p mit dem Kreise A',, der mit dem Radius r um den auf der
+ {-Achse gelegenen Punkt von k geschlagen ist.

§ 3. Die Bahnkurve (2) hat die Kreisponkte zu Ihppdpuvkten nnd
außerdem den Doppe^unkt P' im Endlichen, dessen Koordinaten sich
mit Hilfe der ersten Differentialc|uotienten von (2) aus den Gleichungen:

DigitizedbyGoOgIc

^ ' ' ryg' + y'

304 Über kjnematische Eizenguug von Regelflüchen i. Ordaung.

>-(l' + K*) + r,(Si + 1») - 2rr^x -

-il-l» -0

ZU

(4) ' «■ + ^' '

1»- r {• + ,•

et^ben. Die Koordinafen xy des Systemponktes P ei^eben sich
andrerseits aas desjenigen seines Doppelpunktes P' dnrcli die Be-
ziehungen:

y' — 2 r,g
^• + !''

Aus den zweiten Differentialqnotienten der Gleicliung (2) erkennt
man, daß solche Punkte F, welche innerhalb der beweglichen Folknrre
p liegen, Surren mit Knotenpunkten erzei^n, daß dagegen Punkte,
welche außerhalb p oder fQr r, > r anch innerhalb der kleinm Sdüeife
Ton p sich befinden, Kurven mit isoliertem Doppelpunkt beschreibfln.
Die Funkte der Polkurre p selbst dagegen geben Kurven mit Rflck-
kelirponkt

Die Punkte P der bew^ten Ebene stehen nach den Gleichungen (4)
und (4a) mit den Doppelpunkteoi P' ihrer Bahnen in 0' in einer
än^ndmtigen Verwandtsdiafl"), mit der Ausnahme, daß dem Punkte
^(£ •» 0, 1^0) der Koppel AÄ^ alle Fnnkte des Bahnkreises ^ als
Doppelpunkte entsprechen, während dem Punkte 0(a: — 0, Jf-O) des
Steges OOi alle Pnnkte des Kreises ^

r + V-2r6-0

als erzengende Punkte zugeordnet sind, k^ ist die Bahn, welche bei
der amgekehrten Bewegung beschreibt
Ans der Beziehung

(5) l-l

folgt, daß Geraden dnrdi Aj Gerade durch entsprechen. In den
Dorclisclilagslagea (Figur 2 und 3) liegen daher erzeugender Punkt P
und Doppelpunkt P' auf derselben Geraden durch 0, im besonderen

I) A. a. 0. S. 103.

3) R. Müller, Über die Doppelpunkte der Eoppelknrve. Diese Zeitachrift,
86. Jahig. 1891 S. 6fi.

DigitizedbyGoOgIC

Von E. WEiHNOLr.-. 305

jeder Punkt von p' mit dem Paukt von p, mit dem er im Laaf der Be-
wegung von p berührt wird.

Da femer fQr alle Punkte der Geraden tj ~mi:

(6.)

ist, 60 muß, wenn P eine Geraden durch A^ dnrclililaft, P' eine
ähnliche Punktreihe auf einer Geraden daroh beschreiben. Wenn
daher die Projektion l auf tf der Geraden I„ welche unsere Regelflache
erzeugt, durch A^ hindurch geht, so müssen die Doppelpunkte der
Bahnkurven der einzelnen Punkte von f, eine Doppelgerade bilden.

Bei der dnrch die Gleichungen (4) und (4 a) vermittelten ein-
deutigen Beziehungen zwischen 6 und e' ist das Gebiet a außerhalb p
und außerhalb i^ auf das Gebiet a' außerhalb p' und außerhalb /;,
abgebildet, ebenso das Gebiet ß außerhalb p und innerhalb ^ auf ß'
außerh&lb p' und innerhalb ki, y innerhalb p und außerhalb Jc^ auf y'
innerhalb p' und außerhalb ki, und endlich das Gebiet d innerhalb p
und innerhalb h^ auf das Gebiet 6' innerhalb p' und innerhalb k^.

Dabei wird unter dem Gebiet
außerhalb p oder außerhalb p' bei einer ^'' *"

Polkurve mit Schleife auch das Gebiet
innerhalb der Schleife verstanden.
(Figur 4 und 5.)

§ 4. Es soll jetzt noch der geo-
metrische Ort der Doppelpunkte der-
jenigen Bahnkurven bestimmt werden,
welche von einer beliebigen in a liegenden
Geraden l herrühren. Indem man aus
der Gleichung der Geraden l und den
Gleichungen (4) und (4 a) | und i; eli-
miniert, findet man eine Kurve 3. Ord-
nung Cf, die, wenn l durch A^ geht, in
den Kreis k^ und eine Gerade durch
zerfällt Auf Grund der Gleiehui^n (&)

und (5 a) kann die c^ folgendermaßen konstruiert werden (Figur 4 und 6).
Man zieht in «' eine Gerade l' ebenso gegen die -{-x-Achse geneigt wie
l in gegen die -|- I-Achse, aber in einem Abstände von 0, der im

DigitizedbyGoOgIC

306 t^ber kinematiHche Erzeaguiig von BegeI9h;h«ii i. Ordnong.

Verhältnis — gegea den Abstand der Qeraden l tod A^ verkleinert oder
rergröBert ist. Durch zieht man Leitstrahlen nach l' und ver-
längert oder TerkOrzt jeden Leitstrahl am das Stück deaselben, welches
innerhalb des Kreises /:, liegt, je nachdem ea aaf den Leitstrahl selbst
oder anf< seine Yerlänge-
1* ^ mng fiber hinaosfälli.

Die neaen Endpnnkte des
Leitetrahls sind die Punkte
der Cf. V ist ihre einzige
Asymptote ihr Doppel-
punkt. Er ist ein Knoten-
punkt, ein isolierter
Doppelpunkt oder ein
BQckkehrpankt, je nadi-
dem l den Kreis li^ in
reellen oder imaginären
Punkten schneidet oder
in einem Punkte berflhrt.
Hit Hilfe der in §4
g^ebenen Aufeählung
der einander in und e'
zugeordneten Oebietsteile
ist es leicht aus der Lage
von l gegen f und A:, den
Verlauf von c, gegen p' lu Qbersehen. In Figur 4 and 5 ist eine Ge-
rade l senkrecht zur |-Achse und die entsprechende c, zur Anschanung
gebracht.

§ 5. Herr B. Müller^} hat gezeigt, daß diejenigen Punkte P', welche
in einer bestimmten Phase der Bewegung mit ihrem Doppelpunkte zu-
sammenfallen, eine gewisse Fokalkurve 3. Ordnung aosfOllen. In den
beiden Totpnnktlagen, in denen AA^ in der Geraden 00, liegt, zer-
fällt die Kurve 3. Ordnung in eine Gerade und je einen Kreis, von
denen für tmsre Bewegung nur die Kreise in Betracht kommen.

Wenn man die Gebiete 9 und tf' so übereinander zeichne!^ wie ea
den beiden TotpunkÜagen entspricht, so daß ^ in liegt und die
-|-g- Achse in die Richtung der 4- x- Achse, oder in der andren Lage
in die Richtung der — x- Achse zeigt, erhält man die Punkte P, welche
mit ihren Doppelpunkten P' zusammenfallen, aas den Gleichungen (4),

j) Ä. K. 0. 8. 66.

DigitizedbyGoOgIC

Von E. Wkikiioldt. 307

indem man a; — + |, y = + i) bezw. a: — — |, y = — V setzt. Es er-
geben aich in der Tat die beiden Kreise k^ und k^ von den Qleicbnngen:

Beide geben durch Ay-, der eine berührt j) in dem einen Endpunkt der
Symmetrieachse, der andre in dem andren Eudponkt.

In den Figuren 4 and Ö sind die beiden Kreise eingezeichnet
l bnSt h^ zweimal im Gebiete y; daher wird l die c, in der einen
Totpunktlt^e ebenfalls zweimal und zwar im Oebiet y' schneiden, nnd
zwar kann man von dem einen Schnittponkt zum anderen darch
stetiges Fortschreiten auf der e^ nnr gelangen, indem man isolierte
Knotenpunkte trifFt.

§ 6. Wir gehen nunmehr zur näheren Betrachtui^ der Regelfläc/ten
4. Oränang über, welche nach § 1 von einer Cteraden l^,- die mit « fest
verbunden ist, eraengt wird. Die Fälle, daß Ij senkrecht oder parallel
zu a ist, schließen wir aus. Dagegen setzen wir, ohne daß dadorcfa
die Allgemeinheit beechiänkt wird, voraus, daß der kürzeste Abstand
der Geraden I^ und der £-Achse in der Ebene a liegt. Die BegelSäche
gehört einem inbezug auf die Beschaffenheit ihrer Doppelkurre wesent-
lich verschiedenen Typus an, je nachdem \ durch den Punkt A^ geht
oder nicht.

Wenn nämlich die Gerade l^ den Punkt A^ enthält, beschreibt A^
den Kreis \ ganz oder zum Teil doppelt, femer liegen nach § 3 S. 305
die Doppelpunkte der Bahnkurven der einzelnen Punkte von Ij auf
einer Geraden cf,. unsere Fläche hat also einen Doppelkreis Jc^ und
eine Doppdgerade di- Beide schneiden sich in einem Punkte S, den
man erhält als Schnittpunkt des Kreises ft, und einer Geraden, die
durch in 0' ebenso gegen die -|- a^-Achse Uegt, wie die Projektion l
von li in. 6 gegen die -}- g- Achse. Wenn l mit der + i;-Achse zu-
sammenßllt^ liegt fi in 0; wenn l im Falle r^ > r p in .4, berührt^ ist
S nach S. 303 der eine Schnittpunkt E von k^ und p'. Nach der all-
gemeinen Theorie der Begeläächen 4. Ordnui^ mit Doppelgeraden und
Doppelk^elschnitt können sowohl auf dem Doppelkreise als auch auf
der Doppelgeraden zwei Zwickpunkte vorkommen Sie sind auf dem
Kreise imaginär, wenn Ti-Cr ist, da ja der Punkt d^ den Kreis k,
zweimal vollständig durchläuft, der Kreis k^ daher ganz auf der Fläche
li^i Ist dagegen r^ > r, so sind die Zwickpunkte auf k^ reell; sie
sind die Punkte E, in welchen der Punkt A^ in seiner Bewegung um-
kehrt, also kl die feste Polkurve p' trifft. Derjenige Teil voni], welcher
den Punkt enUiält, verläuft reell auf der Fläche, der andere liegt
isoliert

DigitizedbyGoOgIC

308 ^y^i kinematische Exzeugvoig von RegelfiiLcben i. Ordnung.

Di« Zwickpniikte der Doppelgeraden d^ werden von solchen Punkten
Ton l^ erzeogt, deren Projektionen auf e Rückkelirpunkte hervorbringen,
also auf p liegen. Da nun t die bew^liche Polkurve p außer in Ai
nur noch in zwei Punkten und immer in zwei Punkten schneidet, ao
hat die Doppelgerade d^ stets zwei Zwickpunkte. Derjenige Teil Ton ä,,
weldier von Punkten herrührt, deren Projektion innerhalb p, d. b.
innerhalb der Gebiete y und d von e liegen, ist eine wirkUche Durch-
sohnittslinie der Fläche; der übrige Teil von d^ dagegen li^ isoliert.
£e fit^ sich noch, auf welchem der beiden Teile von d^ der Schnitt-
punkt 8 von Doppelgerade und Doppelkreis liegt. Wenn r^^r ist,
liegt S stets anf der Fläche, da ja sein erzeugender Punkt A, und die
seiner Nachbarpunkte innerhalb p fallen.

Wenn dagegen r,>r ist, befindet sieb S nur dann auf der
FUche selbst, falls l die kleine Schleife von p nicht durchsetzt, da der
erzeugende Punkt A^ nur in diesem Falle den Übergang zwischen
Punkten bildet, die zu dea Gebieten y ^^"^d ä von a gehören. Oebt
aber l durch die Schleife, so erzeugen die beiderseitigen Kacbbarpunkte
von A^ isolierte Doppelpunkte, S bildet daher einen Punkt des aoBer-
halb der Fläche Uzenden Teils von d^.

Der eine Sonder&ll, welcher bei Regelflächen 4. Ordnung mit
Doppelk^lschnitt und Doppelgeraden in bezug auf die Zwickpunkte
vorkommen kann, ist der, daß je ein Zwickpunkt der Qeraden und des
Kc^lBchnittes in den DurchBchnittspunkt S beider hineinrttckt. £r
wird bei unserem Mechanismus hervoigebracbt, wenn r, > r ist und l^
so gelegt wird, daß ihre Projektion l die Polkurve p in. Ai berührt.
Der dem Punkte Ai entsprechende Doppelpunkt ist dann seibat ein
Zwickpunkt; er fällt nach S. 303 und 307 in der Tat mit dem einen
Zwickpunkt E von k, zusammen.

Der andere Sonderfall, daß die beiden Zwickpunkte der (3e-
roden zusammenrücken und die Doppelgerade zugleich eine Er-
zeugende ist, kann hier nicht eintreten. Ich erwähne, daß nach
ßobn*) eine solche Fläche in zwei Flächen 2. Gbs4eB zerfallen
müßte'), ein Ergebnis, welches mit Salmon*) und Blake*) nicht
übereinstimmt.

§ 7. In den Figuren 6a, b und 7a, b sind die beiden einzigen durdi
unser Getriebe herstellbaren Regel^chen des bebandelten Typs, die
eine Symmetrieebene haben, daigestellt. Sie entstehen, wenn die

1) A. a. 0. 8. soe.

8) Saluon Fiedler, Anal. Oeom. d. Bantnea S. Teil, a. Äofl. 1880. S.440.

s) A. J. of H 8. aes.

DigitizedbyGoOgIC

Von E. WsimioLDT. . 309

Gerade l mit der I-Acbse zasammenfEllt Die Gleichungen von 2,

sind dann „

i)-0

l-s»,

wenn s die Eotangente des Winkels ist, die ^i mit der I-Acbee bildet.
Die R^elfläche bat die Gleichung:

[r{x* + y*) -i- TiSXt — 2rrix]' — {tiS's' + rsxi — 2rriSey

- (r» - rf)s'e*y' - 0.
Die Sfmmetrieebene ze schneidet die Fläche in:

{rsc* + r^Bxe — 2rr^xy - sV(r,SÄ + rx - 2rri)* -
oder:

(jz^ — s*g*)(rx + r^sf - 2r»-,)» - 0,

d.h. in den beiden Erzengenden ^i and l^i
tmd in der Doppelgeraden ä,:

Wenn r, < r ist, ecbneidet die Doppelgerade d^^ den Doppelkreis k,
im Ponite S (x — 2r„ y — 0), der reell anf der Fläche liegt. Im Falle
r j > r ist 8 außerhalb der F^he.

Der scheinbare Umriß der Fläche in der a:«-Ebene ist der Schnitt
dieso- Ebene mit dem berOhrenden Zylinder der Fläche, dessen Achse
parallel der y-Achse geht. Seine Gleichung ei^bt sich durch Elimination
aus der FUichengleiehung und der Bedingung ^^ — 0, d. i.:

4rt/{r(x' + y') -i- ViSXg - 2rr^x] ~ 2^(1^ — ff)s^t* — 0.
Diese Bedingung zerfällt in y =" 0, welche Gleichnng mit der Flächen-
^eichung auf die Geraden I^, l^ und c^ fQhrt, und in:

»* - - X» - ^ «aif + 2r,a: + ^^^ s"**.
Hieraus folgt durch Elimination ron y:

j,^ij(!l±^sV + r\x» + ':l±^r,sxis - 2r^{r' + rj)*
- 4rrlsi + 4r»rJ ) =0,

d. l die Doppelebene e=0 und ein paraboHBcher Zjlinder. Die jcü-Ebene
schneidet den Zjlinder in einer Parabel Ton derselben Gleichung, welche
die ir-Achse in den Punkten:

a^j — — ■ tmd Xf — 2^1

Digitizedb/GOOglC

310 .Über kinematiBehe Eneugang Ton lUgelflAchen 4. Ordanng,

trifit Fflr r>ri liegt der dorcli a^ beetucmte Punkt, fBr r < rj der
dorcli Xf beBtimmte außerhalb der Fläche. Die Geraden a; -• ± sj be-

rOhren die Parabel in den Punkten mit den AbsziBHen x —

*f.r*

das

ist dort, wo die zur xy-Eben« parallelen Qaerscbnitte der F^che anf-
bdren reelle Doppeltangenten parallel der y-Ache zu haben. Ferner

wird die UmriBparabel Ton der Doppelgeraden e — : (* ~ ^^i) '^

Punkte £ — 0, x^2r, berührt, der nur im Falle r>ri auf der Fläche
selbst li^.

Diesen Resultaten entsprechend ist der Aufriß der beiden Fliehen
filr r — 5, ri — 3 (Figur 6a) und r — 3, fi — B (Figur 7a) und s — |

gezeichnet. Außerdem sind die Fachen in Parallelperspektiye skizziert
(Figur 6 b und 7 b). Dabei geht der scheinbare Umriß in eine Kurre
6. Ordnui^ und 4. Klasse über. [Zum Vergleich sind zwei symmetrische
B^elflächen 4. Ordnung in Parallelperspektive gezeichnet, welche
durch die Antiparallelogrammbewegung entstehen. Sie haben eben&Us

DigitizedbyGoOgIC

Von £. Wbihkoldt.

311

eine Doppelgerade, aber einen Doppelkreis im ünendlichan. Bu- Bchein-
barer UmriS in der + «-Ebene enthält zwei Eizeagende, die Doppel-
gerade nnd im gekrammten Teile StUcke einer Hyperbel. Figur 7 b
entsteht durch kongruente Ellipsen aJe Polkarren, Pigor 7c durch
koI^^ente Hyperbeln. Die Analogie zwischen den Figuren 6 b nnd 6e
bezw. den Figuren 7 b und 7 c ist unrerkennbar. In 6 c und 7 c U^
der Doppelkreis k^ im Unendlichen.

Fl». 71l.

In Figur 6d ist die R^elfläche 4. Ordnung mit Doppelkreis und
Doppe^rade zur AuBchaunng gebracht, welche bei der umgekehrten
Mlipsographenbewegui^ entsteht, wenn die erzeugende Oerade durch
den Mittelpunkt des beweglichen Kreises gebt. Sie ähnelt der
Fläche 6b. Die Doppelgerade steht aber auf der Ebene des Doppel-
kreises senkrecht]

§ 8. Yon nun an lassen wir die Erzeugende /, nicht mehr durch A^
hindurchgehen. Die von ihr beschriebene BegelBäche hat dann eine
Raumkurre 3. Ordnung als Doppelkurre, deren Projektion auf a' die
in § 4 untersuchte e, ist. Ans den Eigenschaften der c^ tolgb, daß die

db/GoogIc

312

'Pl>eT kinematiBche Eraengung Ton Begelfl&eheo 4. Ordnang.

Doppelkorve nur eine Asymptote hat und daher eine kahisehe Ellipse
ist. Femer geht aus § 3 harror, daß die Doppellnure gans tob der
Fläche isoliert verlaofen tnnS, wenn die Projektion l von Ij die Pol-
knrre p nicht schneidet. Ebenan folgt, daß sie zwei oder Tier redle
Zwickpnnkte hat, je nachdem l die Karre p in zwei oder vier reellen
Punkten schneidet, daß zwei von diesen Zwickpunkten in einen Pnnkt
zusammenrücken, wenn l eine gewShnliche Tangente von p ist, daß

dasselbe mit drei Zwickpunkten geschieht, wenn { Wendetangente ist,
and daß zweimal zwei Zwickpunkte in je einen Punkt fallen, wenn l
Doppeltangente von p ist. Man braucht daher 2j nur so mit der
Ebene tf za Terbinden, daß l eine der aufgezählten L^en zu p hat,
um mit unserem Mechnnismas die verschiedenen von Bohn an-
gegebenen Unterarten dar Regelflächen 4. Ordnung mit Doppelkurre
3. Ordnung zu erhalten. Mit Ausnahme deijenigen Flächen, bei
welchen die Doppelkorve ganz und gar auf der Fläche selbst liegt,
bekommt man alle Flächen; man kann auch die Unterscheidung be-

DigitizedbyGoOglC

Von E. 'WsiHBOIJ>T.

813

rücksicbtigen, die Rohn*) in bezog darauf macht, ob alle EtzengendeiL
der Regelfläcbe die Doppelknrre wirklich Bchneiden, oder ob einige
sie nicht treffen. Weou z. B. die Doppelkurve Tier reelle Zwiekpnnkte
hat, Bind nach Rohn noch folgende beiden Fläcbenarten zn trennen:

1. Bolche Flächen, bei denen alle

Erzeugenden reelle Doppelkanten der "b- sd.

Raamknrre sind und gleichzeitig die
beiden Schnittpnnki« so liegen, daß sie
durch Zwickpunkte getrennt sind;

2. solche Flächen, bei denen es
aeben reellen Doppeleekaoten auch ideelle
gibt und gleichzeitig die beiden Schnitt-
punkte jeder reellen Sekante der Raum-
knrre nicht durch Zwickpunkte getrennt
sind, sondern sich auf einem und dem-
selben auf der Fläche liegenden Stück
der Doppelkurre befinden. Da bei beiden
Flächenarten stets die eine angegebene
Bedingung die andere nach sich zieht,
Bo erhalten wir eine Fläche der eraten
Art, wenn wir eine Erzeugende so legen,
daß sie die Doppelknrre in Punkten
schneidet, welche Zwickpunkte zwischen
sich haben. Dies wird durch die ünter-
euchong § 5 ermöglicht Wir brauchen l
nur so zn ziehen, daS es p in vier Punkten
schneidet, damit die Doppelkurre vier Schnittpunkte erhält, und außerdem
den Kreis k^ oder k^ so trifft, daß die Schnittpunkte zwei Teile von l
b^;renzen, die zum Teil in dem Gebiete a oder ß liegen. In einer der
Totpnnküagen findet dann enteprechendea mit l und c^ statt, und
daher Bchneidet in dieser Phase der Bewegung /^ die Doppelknrre
in der gewünschten Weise. Nur wenn ri'> r ist, kSnnen wir diesen
Bedingungen genügen, und zwar ist ihnen immer genügt, wenn l die
kleine und die große Sdileife von p in je zwei Punkten durchsetzt

Eine Fläche der zweiten Art ergibt sich, wenn nur eine Er-
zeugende eine ideelle Sekante ist Dazu wird l so angeordnet, daß
es p viermal schneidet, ohne kg oder k^ zu erreichen, denn in diesem
Falle wird in einer der Totpunktlt^en kein Punkt von l mit seinem
Doppelpunkt zusammenfallen, und daher l^ die Doppelkurve nicht

1) A. a. 0. 3. SOO.

DigitizedbyGoOgIC

314 t^er kinematiBcbe Enengnng von ß«gelflS,cheD i. Ordnong.

treffen. Eine solche Anordnnag von l ist mSglich fOr ri < r und
fBr rj > r.

Wenn man bei den Flächeneizeugungen mit vier Zwickpontten
l so Tersehiebt, daß es p berührt, erhält mau Flächen mit zwei reellen
and zwei zusammenfallenden Zwickpnnkten, und zwar kommt man anf
Flächen mit ausschließlich reellen Doppelsekanten, wenn mau von dem
ersten der oben besprochenen Fälle aasgeht, dt^egen Flächen mit
reellen und ideellen Doppelsekanten, wenn eine dem zweiten Falle 6nt^
sprechende Lage von l als Ausgang gewählt wird.

Interessant ist es, za beobachten, wie die in 3 erwähnten Flächen
durch passende Lagenrerändemi^ von l allmählich in Flächen des
Abschnittes 7 übei^efllhrt werden können. Da die Pascalsche Schnecke
p eine reelle Doppeltangente hat, so lange r < 2r, ist, und zwei
Wendepunkte, wenn r zwischen 2ri and r, li^, so kSnnen alle in 7
und 8 aufgezählten Flächenerzeugangen mit einem und demselben Me-
chanismus hervorgebracht werden, wenn man »*i > «■ «nd < r wählt
und die umgekehrte Bewegung mit benutzt.

Zur Verwirklichnng des Falles, daß alle vier Zwickpunkte za-
sammenrücken, bedarf man aber der besonderen Anordnung r^ — ^-
Dann lallen in p die Wendepunkte nnd die Berührungspunkte der
Doppeltangente in einem Flachpunkt zusammen. Nimmt man die
Tangente in diesem Flachpnnkt als Projektion l der Erzeugenden i„
so mQssen vier Zwickpunkte in dem singnlären Punkte der Bahnkurve
zusammenfallen. Es entsteht auch hier wiederum die Fläche nicht,
welche sich längs einer Doppelkurre wirklich durchsetzt, sondern man
kommt anf eine solche, bei der die Doppelkurre bis auf den singn-
lären Punkt, in welchem sie die Fläche berührt, isoliert Terläuft.

§ 9. Eine Anzahl der mit dem gleichschenkligen Doppelkurhel-
getriebe nicht erhaltbaren Regeläächen 4. Ordnung und eine Anzahl
der mit ihm darstellbaren, aber in neuen Formen, liefert das S<Aleif-
schiebergetri^e})

Ein rechter Winkel, dessen Schenkel als |- und i;-Achse genommen
werden, bewegt sich so, daß der eine Schenkel, die -j-l-Achse, bestandig
durch den Punkt Ä' der Ebene ö' hindurchgeht, während der Punkt A
des anderen Schenkels, der -{- ^-Achse, auf einer Geraden g' entlang
gleitet. Mit der Ebene a des rechten Winkels wird eine Gerade ^ fest
verbunden, es fragt sidi, welche Art R^elfläche die Gerade I, beschreibt,
wenn sie sich mit dem Schleifschiebergetriebe bew^. Zunächst soll

1) Roberts, London MaÜi. Society Ptoc. 7. ISTS. S. 816.

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VOD 1

316

die .SoAnAurve eines Punktes P der Ebene bestimmt werden. Beim

festen KoordinatenBjBtem falle die y-Acbse waSg' nnd gebe die -|- x-Acbse

dnrcb Ä, femer sei OA ^ v, und O'A' = ». In einem bestimmten

Augenblick der Bev^pmg sei die + I-Acbse gegen die + ^c-Aobse nm

den Winkel k gedreht, dann ist gleichzeitig der Anfangspunkt gegen

0' nm — B tg« + -TT- — in Richtung der + ^-Achse (Figur 8 und 9)

nnd um v sin a in Riebtang der + a^Acbse Tersoboben. Zwisdien

den Koordinaten %i} and xy bestehen daher die Qleicbongen:

:>; = g cos cc — 1] sin cc 4- V sin a

y — g sin « f ij cos a — « tg « + "-^^

oder: . . , ...

X sm 0: — g sin a cos a ~\ri ~ v) sin* a

y cos a = 6 sin « cos a + ij cos* a — « sin a + v sin* «,
aus denen durch Subtraktion:

(i — n) sin a — jf cos a — — 1)
nnd in Terbindung mit der ersten Gleichung:

(i; — v) sin a — I cos a = — a;

durch Elimination TOn « fOr die Bahnkurve yon P die Gleichung
4. Ordnung:

(6) {in - ^yy-^{n{n - v)-x{x - n)}» -{y(i)

folgt. Scbsüt man hieraus
mit Hilfe der Gleiebongeu (1)
der Geraden ^ S nnd 17 fort
tmd setzt wiederum J =- ä, so
bleibt die Gleichung inbezug
auf X, y, M yon der 4. Ord-
nung; die Gerade I, beschreibt
also auch bei diesem Mecha-
nismus ein« Regelfläche 4.
OrdnoDg. Die Bahnkurven
und Regelflächen werden ver-
schieden ausfallen, je nach
dem « > oder < v ist. Da
aber die Gleichung (6), wenn
man xy konstant, %, ij ver-
änderlich nimmt^ so weit un-
verändert bleibt, nur daS n

DigitizedbyGoOgIC

316 Dbei kinematiache Brzengaiig Ton It«gelflB«hen i, Ordnimg.

und V ihre Plätze taaecbctn, bo kann, wenn der Mflcluniamns für
» > v Torhanden ist^ dar Fall n < v dorcli UmkehruDg ersetzt werden.
§ 10. Die Pdhwrvengleichimgen ergeben eich daraus, daß der mo-
mentane DrehnngBpunkt G der Schnittpunkt der Bahunormal^i AC
Ton A und der EnTeloppenuormaleD A'C der |-AchBe ist Ffir aeine
Koordinaten ^ij ist daher:

£ — wtira

* coaa ^

Bin tt ^ - — :

Hieraus folgt durch Elimination von a die Gleichung der bewegliohen
Polkurre p:

(t._„(,_„)|._„.j|.+ (,_,).|;

die der festen Polkorre p' iat daher:

jj,._„(i_„))._„.i^+(i_„).).

Die Polkorre p bat den Puakt A and den unendlich fernen Punkt in
Richtnng der i^-Achse zu Doppelponkten und wird im letzteren Punkt
von der unendlich fernen Qeraden vierpunktig berührt.') Der Ausdruck:

[(i^r-?;^-m=.,..-^»>"-)

zeigt, daß der Doppelpunkt A im Endlichen ein Knotenpunkt ist, wenn
y > ff ist, di^^eu ein isolierter Doppelpunkt, wenn v <n. Ist v ■— n,
so zerfallen die Polkurren, ebenso die Bahnknrren und die R^elflächen.
Da dieser Fall auch in bezugauf die RegeläachenTon Blake') behandelt
worden ist^ soll nur gelegentlieh auf ibo hingewiesen werden.

Wir autersuchen die ReellitätsTerhältnisse der p-Eurreo zmüchst

fOr v < «. Es ist: ,

,-.- -f±..iVlM-.--.- _

also 1) nur reell, wenn g ^ + ^^ff* — v* oder ^ — ]/»* — v* ist Femerist:

£ - ±]/i {«' + 2v(,-j/)}±f )/«* + 4i?(i) - v) = ± Vä

Für V <n iat »' + 4i?(ij — v) stets positiv und der absolute Wert von
B* + 2t'(7) — v) w^^n der Ungleichheit:
n* + 4n*v{7} — *) 4- iv*{-^ — v)' < »^ + 4n*v(7} ~ ») + 4«*(ij — v)*

1) B. HQUer, Über die l^eataltang det Doppelkorveu für beiondere Hüls
dei Eurbelgetriebes, diese Zeitacbrift. SS. Bd. (1891) S. 18.

2) BUke, American Journal of Math, 21. Bd. 1899. S. 867.

DigitizedbyGoOgIC

Von £. Wukmoldt.

317

kiemer als der absolnte Weit von n V'»' + ^V {^ ~ **)■ R iat also, weiiD
das obere YoTzeichen tmter der Wurzel gilt, stets positiv, wenn das
untere Votaeiehen ge-
nommen wird, stets ne- Fig. s.
gaÜT. Von den i Werten
TOD S sind daher zwei
imaginär. Die p-Kurre
bestellt ans zwei ge-
trennten Zogen ttofier-
halb der Parallelen

die sich von ij — — oo
bis i; — + 00 erstrecken.
Sie durchsclmeiden die
Gerade ij — w an den
Stellen S "• ± n mit
der Neigoi^ t« « — ± ^
and lanfen zur «i-Achae
paralle l für t ; — und
6-±V^^=^'. (Fig. 8.)

Wenn v > n ist, gibt es für alle Werte TOn | reelle Werte Ton tj.
Da n' + 4i;(»j — v) negativ wird, wenn ij zwischen ^ (v + Yv' — n*)
und ~(v —-Yv* — Tj*) liegt, 80 ist | für solche Werte von tj sicher
imagiiür. Femer ist jetzt der absolute Wert von w' + 2j'(jj — v)
größer als der von «yn* + 4i;(i) + v) und daher E negativ, wenn
n* + 2v(t)~v) negativ ist, dagegen sicher positiv, wenn n'-}-2t'(i) — v)
positiv, d. h. jj > » — j- ist. Die Bedingangen für die Reellität von |
sind daher:

ij > » — g- und j) auSerhalb j(v ± Y'"* — "*)■

Beiden wird genügt durch:

ij ^ j(v + yr* — n*).
Fflr ^-{(v+Yv^-n") ist |-±"|/^

,{v+Yv'-n') ist l~±y^- + '^Yv^-n' und
dar RichtungskoefSzient der Tangente gleich Null. Die p-£uTve
(Figur 10) besteht daher aus zwei Teilen, die sich im Knotenpunkt
dorchschneiden, sich wie zwei Parabeln mit zur + »j-Achse parallelen
Achsen ins Unendliche erstrecken nnd die Gerade ii~ ^{v+ Yv' — n*)

nqi,.eJb.GoO«^Ic

818

Über kmematiacbe Eneag^oug tod Begelfiftcheo 4. Ordonng.

znr Doppeltangente haben. Für die äoBeren KarvenzQge big za den

Scheitelpunkten gilt in den Werten 1

I unter der Wurzel das obere
Zeichen, für die inneren
das untere Zeichen.

Für v—n zerfällt p
in die Gerade | — und die
Parabel 6» = 2n())-^};

entsprechendes findet mit
p statt*) und für n —
reduziert sich p auf die
doppelt zählende Parabel
I* — v(i] — v). Dasselbe
erfolgt mit der j)'-EurTe
für v = 0.

§ 11. Inbezog auf die
Doppelpunkte der Bahn-
karren folgt aoa den ersten
Differentialquotienten der
Gleichung (6), daß ein
Doppelpunkt im Unendlichen li^ in Richtung der y-Achse, und dail die
Koordinaten zweier andern Doppelpunkte P,' und Pj den Gleidiongen*):

(7) x(x - «) =- r}(ii — v)

y(n ~ v) = i(x - n)
oder:

v)

yi,t

genügen.

Die Gleichnngen (8) bestimmen zwischen den Systempunkten P
und den Doppelpunkten Pi,j eine eteei-jna^deutige Verwandtschaft dritten
Grades.

Ausnahmen bilden die Punkte P | — 0, i} — v und | = oo, »j ■= 0,
denen alle Punkte der Geraden 3^ — bezw. x = n entsprechen, und
andererseits die Doppelpunkte P'x — n, y = und « = 0, y — oo, denen
alle Punkte der Geraden ij — beaw. ij =- v als Systemponkte zu-
geordnet sind.

1) Blake, A. J. of M. 21. Bd. 8. 367.

2) Ebd. Bobeits n. Müllet.

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Von E. WniiHOLi«, 319

DurcUänfb P in der bewegten Ebene tf eine Qerode parallel znr
I-Achse, 80 erzeigen P[ and P'^ ähnliche Punktreiheo auf zwei Parallelen
zur y-Achse. Man kann daraus bereits schließen, daß, wenn die bewegte
Gerade l^ so liegt, daß ihre Projektion parallel zur I-Achse geht, die
Ton ihr erzeugte Fläche zwei Doppelgeraden enthalten maß. Wenn P
auf der äeradon r] = v liegt, entspricht ihm ein Funkt P'Ay — — ) auf
x^n und als Pj der unendlich ferne Funkt auf x — 0, dagegen, wenn
P auf i; — fiÜlt, der Funkt auf a: — » als Pj und ein Funkt
(y _ + !?IJ auf « = ala P',.

Die Doppelpunkte P^ and P, sind imagii^ fOr Punkte P, fOr
welche;

1)» - ri) + i" >

ist, welche also zwischen den Geraden g^ und ff^,
V "= ^{v ±yv* ~ n*)

li^en. Dieser Fall kann nur eintreten, wenn v > n ist. Dann gibt
es auch die beiden Parallelen zur |-Achse g^ und g^, die Mfiller')
Übergangsgeraden genannt hat, die solche Systemptmkte P enthalten,
fQr welche die beiden Doppelpunkte znsammenrflcken. Ebenso sind
für f < n die Systempunkte Pj ^ imaginär, welche den Punkten Pi, »
zwischen den Parallelen g'^ und 3^:2: — ^(n ±y^n' — v") entsprechen
wfirden, d. h. tQi v < n liegen zwischen g^ and g^ keine Doppelpunkte.
§ 12. Die Doppelpunkte der Bahnen aller Punkte einer Geraden l:
I cos * + j? sin * — j) -=
bilden eine Kurve, deren Gleichung sich aus:

nnd;

j,(-6ctg» + ,^-v)-|{i-«)
durch Elimination Ton | zu:
(9) a:(a; sin* + y eos* — m sinfr1'= (p — f sin*)(pa; — pn + vy cos*)

ei^bi Sie ist eine Kurve 3. Ordnung mit einem Doppelpunkt im
Unendlichen in Kichtung der Geraden ä^ sin # + 9 cos & — und den
drei Asymptoten: x = und:

a; sin ■&■ + y cos * — M sin * ± (p — v sin fr) •" 0.
1} B. Müller: Ebd.

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330 Über kinenuitücbe Yxxemgaag ron BegelflAcliBn 4. Ordnong.

Ist V — n, Bo tritt ein 2. Doppelpunkt

n p — iMaint

auf und die e^ zerfallt in die Gerade

ZBiii# + Sf cos* — p=-0
and in die Hyperbel:

a:(a:Bind + yco8# — 2«Bin*+j>) — (p — h ain *)» — 0.

Geht die Gerade I durcli den Punkt A, so trennt sicii toq der
Oleicliung (9) die Gleichung x = der von A doppelt durdüanfenen
Geraden ab, und es bleibt die Gerade d':

xainS- + y coe * — » sin fr =

als Ort der Doppelpunkte der Bahnknrren TOn l abrig. Die Doppel-
punkte liegen daher auf einer Geraden dnrch A', wie sich auch on-
mittelbor aus der Gleichang

* — « 1] — »

ergibt. Da aber die Abszissen der Doppelpunkte auf d noch durch
eine quadratische Gleichung mit den Ordinalen der Sjstetnpunkte zu-
sammenlagen, werden die Doppelpunkte der Bahnen der räumlichen
Geraden I, keine Gerade, sondern eine Kurve 2. Grades bilden.

§ 13. Um die Natur der Doppeipankie P, und P^ zu untersachen,
bilden wir fOr die Gleichung (6) den Ausdruek:

J~

3'f\* d'f d'f

Unter Benutzung der Bedingung fOr die Doppelpunkte erhalten wir:

j_ 4|«- + 4,(, _ „)) I j. - "J - v(>, - ») T \yiTi^(ir^)\-

Hierin ist, wenn PJ und P'^ getrennt und reell sind, »i*-|-4i)(i; — w)
positiv und von Null verschieden. Das Vorzeichen von J ist daher
durch daa von:

bestimmt Das obere Toizeichen bezieht sich auf den Doppelpunkt P,',
das untere auf Pj.

Zunächst sei v < ti. Dann kann, wenn das untere Vorzeichen gilt,
nach § 10 l*~E niemals Null sein, sondern muß immer positive
Werte bähen. Daher ist P'^ fQr jede Lage des erzengenden Punktes P

db/GoogIc

Von E. Wedöioldt.

321

ein Enotenpontt. Nimmt man dagegen das untere Vorzeichen, bo ist
I' — ij gleich NnU, wenn P auf der p-Eurre liegt. Dann ist Pj ein
Rflckkehrpnnti Weil ferner för | — nnd j? — v der Auadmi^ £' — -ß
einen negativen Wert bat mid er seine Yoraeiehen nnr aof der J>-Ear7e
wechseln kann, so ist P^ ein isolierter Doppelpunkt, wenn P mit dem
Paukte S — 0, i; = v anf derselben Seite der ji-Eurre liegt, dagegen
ein Enotenpnnkt, wenn P in daa Gebiet fällt, welches durch die
j>-EQrTe vom Punkte A getrennt ist.

Im Falle v > n ist, wenn P auf den äußeren Zfigen der p-Karvo
angenommen wird, nach § 10 i* — B = und daher P^ ein Itdokkehr-
punkt, dagegen P| ein solcher, falls P auf den inneren Zügen liegt.
Femer ist, wenn tj < j(y 4- Yv^ — »*) wird, R negativ und daher J"
positiv und zwar för beide Vorzeichen. Dasselbe gilt für i; — und
£ — ± oo. Dagegen ist J negativ fOr £ -= und ij > j (v + Yv' ~ n*)-
Daher ist Pf ein isolierter Doppelpunkty wenn P innerhalb der äußeren
Zöge der j>-Enrve und oberhalb der Übergangsgeraden ^, tj=\(v+Yv'—n*)
angenommen wird und P, eben&llB ein solcher, wenn sich P innerhalb
der inneren ZOge

von p oder zwi- "'■ ^''

sehen ihnen und
der Geraden ^g be-
findet. In allen an-
deren f^en sind
PJ nnd P^, wenn
sie nicht im^inär
werden, Knoten-
punkte.

§ 14. Die ge-
wonnenen Resul-
tate lassen sich am
besten abersehen,
wenn man die zwei-
zweideutige Ver-
wandtschaft zwi-
schen den Sjstempunkten P und den Doppelpunkten P, ^ auf zwei
Doppelebenen tf und «' zur Anschauung bringt (Figuren 8 — 11).

Die Punkte P, sofern sie die Doppelpunkte P[ erzeugen, bleiben
anf dem oberen Blatt, sofern sie aber die Doppelpunkte P^ hervor-
bringen, werden sie auf dem unteren Blatt auf tf angeordnet Wenn
nun V < n ist, bedecken die Systemptinkte Pj , die Doppelebene ff
TOllstÄDdig (Figur 8 nnd 9). Im oberen und unteren Blatt werden

DigitizedbyGoOgIC

322 Über kmematiBohe Eneugnng von lUgelflächen i. Ordnnng.

dann die Geraden g^^ und g^ (i} ~ --) gezogen. Hierdorcli entstehen im
oberen Blatt die Gebietsteile i, und I^, im unteren 11^ und 11^ und
zwar I^ und /i„ nach der + ij- Achse hin, I^ und 11^ um die — i;- Achse.
Die Gebiete des obereren und unteren Blattes hängen nicht im Eud-
licheu zusammen, dagegen gehen I^ und I^ in t?,, 11^ und 11^ in ^j in
einander fiber.

In tf' entsprechen den Geraden g^ und ^, die Geraden <7J und g'^
zwischen denen Doppelpunkte nicht liegen. Die von g'^ nach außen
befindlichen Doppelpunkte werden tou Punkten von /„ und i^ hraror-
gebracht^ und zwar Terweisen wir die I^ entsprechenden ins obere Blatt,
und nennea ihr Gebiet lä dingen die I^ entsprechenden ins untere
Gebiet U und lassen 2^ und i^ in ^^ zusanunentüngen. Analoges
machen wir mit ii, und Jlä, 11^ und U'^ Dann sind die Doppel-
ebenen tf und a' in den Teilen /„ und /g, i^ und H usw. durch die
Gleichungen (8) eindeutig aufeinander abgebildet mit Ausnahme der
Binguläreu Punkte:

I — oo, ij = in /j,

£ - 0, n-v mll^

x=-n, y — inj;,

JE — 0, y — oo in IZ,
denen alle Punkte der Geraden:

«•-»inJJ, a; = Oin It^, ij ■= in 7^ und ij = v in JI^

zugeordnet sind.

Wenn f > n, findet entsprechendes statt (Figur 10 und 11), nur
erföllen die Sjstempunkte P, j die Doppelebene ff allein außerhalb
der Geraden g^ und g^ Ihnen entsprechen dann in ff' die Geraden g'^
und g'n \x =- -j im oberen und unteren Blatte. J^ und I^ sind nun
getrennt, ebenso //„ und 11^ dagegen hängen I^ und /j in t;^ I^ und
11^ in g^ zusammen. In ff' stoßen lä und H'^ in gä aneinander und
füllen das obere Blatt ToUständig aus, ebenso im unteren Blatt I^ und
IIb in gi

Die p-Kurve Toriäuft, wenn v<» ist (Figur 8 und 9), ganz im
oberen Blatt, die ihr zugeordnete p'-Eurre mit den äußeren Zfigen im
oberen Blatt in I'a, mit den inneren Zügen im unteren Blatt in H,.
Die Gebiete 11^ und Ili, sind ganz, die Gebiete lä und 11 sind außerhalb
der p'-Eurre tou Knotenpunkten erfüllt.

Ist V > H (Figur 10 and 11), so liegen die äußeren Züge der
ji-Eurre im oberen Teil von ff im Gebiet i,, die inneren Züge im

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Von E. Weinkoldt. 323

anieren Teil im Gebiet 11^, d&g^^ erstreckt eich die p'-Kurre gttnz
im oberen Blatte durch die Teile lä and Jlä- Hier ist das ganze untere
Blatt Ton ff Tollstandig tod Knotenpunkten bedeckt, das obere aber
nur außerhalb der Kurve p'.

§ 15. Zar Diskussion der durch eine Gerade l, erzeugten B^elääche
nehmen vir den kürzesten Abstand p der Geraden 2^ und der g-Achse
wiederum in der 0-Eb«ie an; er bilde mit der ■+ g-Ächse den Winkel
# und die Gerade Z, mit ihrer Projektion l auf ff einen Winkel % dessen
Kotangente s ist. Dann lauten die Gleichungen von l^:
6 — p cos # — s£ sin *
1] •= p Bin & + 3i cos *.
Wir verzichten anch hier darauf die Gleidiung der Regelfläche
anzofOhren. Die Doppelkorre 3. Ordnung hat als Projektion auf die
Knrre c^ mit drei Asymptoten und als Projektion auf die irx^Ebene
die Hyperbel:

x(x — «) — (p sin* + seßoa&)(p sin * + s« cos fr — v).
Sie ist daher eine kabische Hyperbel Die Gleichungen der einen
Asymptote lauten; . ,_„iin#

' « cos # '

die der Asymptoten 2 und 3 (S. 319):

ZBin» + ycoB»~ n sinfr ± (p — vBinfr) —
ß«0OB*T (« — -jj — ^ + p8in» — 0.

Die Doppelkurve zerfällt, wenn zwei oder alle Asymptoten sich
schneiden. Dies tritt in Übereinstimmnng mit S. 320 ein, wenn p » v sin fr
ist, also l durch A geht Dann schneiden sich die beiden letzten
Asymptoten. Ferner rücken alle drei Asymptoten in die unendlich
ferne Ebene, wenn cos fr ~ 0, also l zur ^-Achse parallel läuft. Endlich
treffen sich noch in dem nicht näher zu besprechenden Fall v — n die
Asymptoten 1 und 3 Ar alle Geraden l,. In allen Übrigen Fällen hat
die Regelfläche eine wirkliche Doppelkurve 3. Ordnung.

§ 16. Wir behandeln sniüchst den l'all, daß die Projektion / von
Ij zur £-Achse parallel l Vmlt, cos fr •- 0, also:

i--s,
n — p

ist. Sofern l iia oberen Blatt von liegt, hat die Fläche die Doppelgenule

Digiliz=db,G00glC

324 t^ec IdnematiBche Eraeimniii^ von R^elfl&cheo i. Ordnnng.

und sofem l im anteren Blatt TerlÄuft, die Doppelgarade:

i-V-T^

WeQ l durch den singalären Piiakt | — oo, i; — hindorchgdlit,
ist auf der Fläche noch die dritte Doppelgerade z » n, :e => oo TOr-
handeu, d. h. eine Doppelgerade in der unendlich fernen Ebene in
RichtuDg der yg-Ehen». Diese Doppelgerade ist die Doppelerzeugende,
in deren Lage Zj zweimal kommt, wenn A dae Ende der x-Achee er-
reicht. Die Doppelerzeagende schneidet nach der allgemeinen Theorie
jede der beiden eigentlichen Doppelgeraden in einem Doppelzwickpunkt.
Daher kann jede Doppelgerade außerdem nur noch zwei reelle Zwick-
punkte enthalten. In der Tat schneidet l diese p-Knrre in jedem der
beiden Blätter hScbstens in zwei Punkten. Man Übersieht leicht, daß,
wenn v < n ist, die eine Doppelgerade stets zwei reelle Zwickpunkte
hat, die zweite nie solche besitzt, aber ganz ans Kuoteapnnkten be-
steht und daher in ihrer ganzen Ausdehnuag eine DurchBetzongalime
der Fläche ist. Wenn dag^en v > n ist, sind entweder anf beides
Geraden zwei reelle Zwickpnnkte vorhanden, dann nämlich, wenn l
durch die Gebiete I^ und 11^ geht, oder beide Gerade sind ^i von
Zvickpunkten im Endlichen und verlaufen ganz auf der Fläche. Bei
allen Flächen, die bei cos # — entstehen können, enthalten die reell
anf der Fläche liegenden Teile der Doppelgeraden die unendUch fernen
Funkte, eo daß die im TJaendliohen li^ende Doppe] erzeugende anch
reell anf der F^he ist und bei der Bewegung mit durchlaufen wird,
zum Unterschied von den Flächen, die nach Bnrmester nnd Blake bei
der EUipBOgraphenbewegung entstehen.

Flächen mit zwei imagiiüren Doppelgeraden werden von I, be-
schrieben, wenn { im Falle v> n zwischen den Geraden g^ und g^, Meigt
Die tmendlicb ferne Doppelgerade ist aber auch dann reell und auf
der F^he.

Wenn p = ^(v +yv' — n*) oder ^(v — Vv» - »») ist, bleibt die
unendliche Doppeleizeugende bestehen und die beiden Doppelgeraden
rücken in eine Selbstberührungsgerade zusammen, auf der im ersten
Falle zwei reelle Zwickpunkte rorhanden sind, zwischen denen das end-
liche Stflck isoliert ist, während im unendlichen Stück sich die Fläche
wirklich selbst berührt Im zweiten Falle schneidet l die p-Kurre nicht
und die Fläche berührt sich in der ganzen Ausdehnung der Geraden.

Die einfachsten anter den bisher au^ezählten Flächen sind:
(1) v-O;p-0.

Digiliz=db,G00glC

Ton B, WannioLDT. 336

Die QleichnDg der Fläche ist:

jij,i + (ar _ „y(x' - s«^) - a

Die zur :Ey-£bene parallelen Schnitte sind gewöhnliche Eonchoiden,
die Bahnkurren der eiazelnen Punkte von 1^. Die eine Doppelgerade,
die Bahn des Punktes A, ist die y- Achse ohne Zwickpunkte im End-
lichen, in der die Fläche sich Tollstilndig durchsetzt. Die andere
Doppelgersde geht durch A' parallel der «-Achse, ist zwischen den
Zwickpnnkten ä ■- ± - isoliert, im übrigen reell auf der Fläche. Die
Schnittebenen parallel der xe-Eheae geben wie bei allen FUchen diesen
Abschnittes, da sie durch die nnendlidi ferne Doppelerzengende gehen,
anßerdem noch Schnittkorren zweiten Grades, in diesem Falle Hy-
perbeln. Der Schnitt der Fläche mit der a;z-Ebene besteht ans den
Doppelgeraden (x ~ a)' ~0 und den beiden Erzeugenden x — ±s».
Der scheinbare Umriß in derselben Ebene enthält anßerdem nur noch
die Projektion der unendlich fernen Doppelerzeugenden x* — 0.

(2) n — Oip- V.
Die Gleichung der Fläche ist:

«* + (xy + vsBf — s'x*^ — 0.

Die Schnitte parallel der xj/-Ebene sind zwei Toneinander isoliert
verlaufende parabelfSrmige Kurvenzüge, die sich in der :i;y-Ebene
zur Selbstberührungseraden, der y-Achae zusammenziehen; diese ist
zwischen den beiden Zwickpnnkten isoliert

(3) n = 0; p = 0.
Die Gleichung lautet:

a^ + x*y» - isxz ~ vy)' = 0.

Auch hier bestehen die Bahnkurven der einzelnen Punkte von I,
aus zwei parabelförmigen Stücken, die sich aber nie zu einer Geraden
verengen, und sich in je einem Punkte der «-Achse, der Selbst-
berflhrungsgeraden der Fläche, die ganz auf der FUtche liegt, ber&breiL

§ 17. Wenn die Erzeugende ij durch den Punkt A hindurchgeht,
also ;> = V sin & ist, im übrigen die Richtung von 2j und l beliebig
ist, liefert l, sofern sie durch den singulären Punkt A ]S.aR, die Doppel-
gerade a; — 0, t -, anßerdem aber Doppelpunkte, denen im

Baum die Gleichungen:

x{x — n) — (k sin* 9' + sB gob #)(v sin' * + sg cos & — v)
arsind + ycosfr — nsin* —

D,-,,i,*db, Google

326 Vt>et kinematuche Enengimg von ß«gelfl&chen 4. Ordnung.

zukommen, also eixtfin DoppelkegelBchnitt. Er liegt in einer zur Ebene
senkrechten Ebene, and ist nach der Oleicbong seiner Projektion in
der xz-Eh&ae:

(x — jj — (sß COB» + VWl'» — j\ =• ■ " 'J-—

eine Hyperbel Von der Doppelgeraden wird sie in dem Pnnkt« <S,

(a: = 0; g'—- ; y — ntg*j getroffen. Ist » > v, so länft die

reelle Adise der Hyperbel mit der xy-Ebene parallel, ist d^^^
n < V, 80 ist diese Achse parallel der ^Ächse.

Mit Hilfe der § 14 g^ebenen Abbildong übersieht man die folgen-
den Resultate. Im Falle v<n besteht die Doppelgerade ans lauter Enoten-
ponkten, da ja die Qerade a: — in 11^ die dem Punkte | = i; —V
entspricht, sich ganz im Gebiet solcher Punkte erstreckt, l schneidet
die p- Kurve außer im singularen Punkt Ä des unteren Blattes stete
noch in zwei Punkten des oberen Blattes. Also entl^t die Doppel-
hyperbel zwei reelle Zwickptinkte. Der eine Ast der Hyperbel dehnt
sich über und unter den Gebieten li und H von ö' ans und rührt
daher von Systempnnkten des oberen Blattes von a her, enthält also
die beides Zwickpunkte und Terlauft mit dem endlichen Teil isoliert.
Der andere Ast der Hyperbel gehört ganz zu den Gebieten Ili nnd IH,
demnach wird er von Systempunkten P des unteren Blattes von a
erzeugt, besteht aus lauter Knotenpunkten, liegt ganz reell auf der
Flache und enthält den Schnittpunkt der Doppelgeradeu und des Doppel-
k^elschnittes.

Tült l mit der ij-Achse zusammen, dann rflcken die Zwiekpunkte
ins unendliche und der eine Ast der Hyperbel ist TÖllig isoliert

Im Falle v > n enthält auch die Doppelgerade zwei Zwick-
punkte, deren Lage sich aus ihrer Projektion x = in IIa vsA
deren Schnittpunkten mit p' ergeben. Der endliche Teil der Doppel-
geraden ist isoliert. Femer erstreckt sich jeder Ast der Doppel-
hyperbel über die ganze Ausdehnung der Ebene ff'; an der Entstehung
des einen sind daher die Gebiete /„ und 11^, an der des anderen J^
und 11^ Ton ff beteiligt. Der zweite Ast, welcher von Systempunkten
in I^ und 11^ herrührt, die ganz außerhalb des Bereiches der p-Kurre
liegen, wird ron lauter Knotenpunkten gebildet, gehört demnacdi der
Fläche an. Der erste Ast d^egen enthält die Zwickpunkte und, im
endlichen Teil zwischen ihnen, das isolierte Stück der Hyperbel, außer-
dem, da .^ in //, liegt, ihren Schnittpunkt iS^ mit der Doppelgeraden.
In derselben Weise wie in (6) folgt^ daß S, auf die Fläche fällt, wenn l
beim Durchgang durch A außerhalb der p-Kurre des unteren Blattes

itizedbyGoOgle

Ton E. WinnroLM. 337

bleibt, daß S^^ aber einen Paukt des isolierten Teiles der Hyperbel und
damit aach der Doppelgeraden bildet, wenn l im unteren Blatt inner-
halb der j>-Knrye verläuft, d. b. in den Teilen, die auch die ij- Achse
enthält. Berührt l die ji-Knrye in A, so rQcken wie in g 6 der Punkt
S^ und der eine Zwickponkt Z^ der DoppeUiyperbel zusammen. In «'
(Figur 11) ist 8', die Projektion von Sj, der Schnittpunkt tou a; — 0,
dem A entsprechenden Gebilde von a', und von der Geraden {' durch
A'. Die Projektion Z' von ^, ist der Schnittpunkt von V und p'. Fallt
nun Z' auf 8', bo muß die Projektion W des einen Zwickpunktes der
Doppelgeraden als Schnittpunkt von x = und p' in denselben Funkt
faUen. In der Tat ist nach § 10 tg 0' WA' — T * - ebenao groß

wie der Richtnngskoeffizient der Tangenten in A, also die Gerade A' W
nach § 11 mit V identisch. Es sind also auch hier wiederum ein Zwick-
punkt der Doppelgeraden und des Doppelkegelschnittes in den Schnitt-
punkt beider DoppelgebÜde bineingerQokt.

Die Scheitelpunkte der Hyperbel werden von den Punkten von ff
herrorgebracbt, in denen l die Geraden g^ und ^^ und, wenn v < n
iat, die Geraden p, und ^, schneidet. Aue der Lage dieser Schnitt-
punkte in ff kann man ohne weiteres erkennen, daß der eine Scheitel-
punkt stets einen Punkt der Fläche bildet, ferner ob er ein Zwickponkt
ist und ob der andere Scheitelpunkt der Hyperbel znm isolierten Teil
der Doppelkurre gebort oder nicht.

Die einzige symmetrische FUcbe mit Doppelgerade und Doppel-
kegelschnitt entsteht, wenn l mit der ij-Achse zusammenfällt. Dann
sind am.& und p Null; der Doppelkegelschnitt li^ in der x«-Ebene,
der eine Ast ganz isoliert, der andere ganz auf der Fläche. Ihre Gleichung
lautet nach § 9 und 15: n^y' + {se(s3 — v) — x(x — n)}' = y'{se—v)K
Der Schnitt mit der x^-Ebene ist der Doppelk^elscbnitt. Der scheinbare
Umriß in der X£-Ebene iat, wie bei allen FUicben dieses Kapitels, die Pro-
jektion des Kegelscbnitts auf die £2-Ebene, in unserem Falle der Kegel-
schnitt selbst, und das doppelt zu zählende Strahlenbüschel, welches als
Schnitt der x^Ebene und des Büschels I. Ordnung von DoppeltaDgeutial-
ebenen der Fläche mit der Doppelgeraden als Achse entsteht. Von diesem
Strahlenbüscbei zahlen znm scheinbaren Umriß allerdings nur die beiden
Strahlen, welche die reellen von den imt^inären trennen, das sind die
Projektionen deijenigen beiden Erzeugenden der Fläche, welche von
der Doppelgeraden, also in der Projektion von x = 0, 80 =- v, nach den
Zwickpunkten der Hyperbel, in unserem Falle parallel den Asymptoten
gehen. Der Schnitt mit der yx-Ebene enthält die Doppelgerade und
außerdem zwei Erzeugende, der Schnitt mit der Ebene sz ^'V eben-

**' ^oo«^Ic

328 ^ei Unematitohe Enengung von Regelffiteben 4. Oriixang.

dieselbe Doppelgerade <md einen auf dem isolierten Teil der Doppel-
hyperbai liegenden iBolierten doppelt zn ^blenden Punkt der Fläche.

Ist femer n = 0, so fällt die Achse der Doppelhyperbel auf die
«-Achse, die Fläche wird anch noch symmetrisch znr yx-Ebene. Daher
wird der Büschel 2. Ordnni^ der Doppeltaugentialebenen der Fläche
ein Zylinder mit der Achse senkrecht zur yt-Ebeae, nnd die Projektion
der Fläche auf diese Ebene hat als scheinbaren Umriß eine Parabel
und zwei Erzeugende als Tangenten dieser Parabel, außerdem die
Doppelgerade.

Eine Fläche, die außer zur «a-Ebene noch symmetrisch znr
j;y-EbeDe ist, entsteht, wenn v ~ ist. Die Achse der Hyperbel ist
dann die x- Achse. Der Büschel 2. Ordnung der Doppeltangentialebenen
ist ein parabolischer Zylinder senkrecht zur xy-Ebene, der scheinbare
Umriß in ihr die vollständige Parabel y* — inx, die Ton der + I-Achse
umhüllt wird.

§ 18. Im allgemeinen Fall, wenn l weder durch A noch znr I-Adise
parallel ^uft, gibt unsere Bewegung der Geraden 2, eine FUche mit
einer kubischen Hyperbel als Doppelkorre.

Alle Arten dieser Fläche, welche durch die Zahl and das Zusammen-
fallen der Zwickpunkte bedingt sind und welche wir mit dem Torigen
Mechanismus erhalten haben, können wir auch hier durch passende
Anordnung von l gegen die p-Kurre enceogen. Der Fall, daß vier
Zwickpunkte zusammenfallen, ist allerdii^ nicht erreichbar, da der
Selbstberühmngspnnkt der p-Kurre, wenn er überhaupt reell ist, im
Unendlichen liegt und die unendlich ferne Gerade zur Tangeute bat,
ebenso wenig können wir dahin gelangen, zweimal zwei Zwickpunkte
snsanunenrücken zu lassen, da dann l mit g^ zusammenfallt oud statt
der allgemeinen Doppelkorre eine Selbstberühmngsgerade entsteht

Dagegen können wir Flächen herTorbringen mit rier imaginären
Zwickpnukten und ganz auf der I'^^che verlaufender Doppelkorre,
Flächen, die bei dem vorigen Mechanismus ausfielen, wenn wir { so
l^eu, daß sie nicht dordi die j>-Eurve hindurchgeht Dies ist, wenn
v > n ist, mißlich, bei v < n niemals mögüch. Auch bei diesen letzten
Fachen hat Rohn') noch unterschieden zwischen solchen mit nur
reellen und solchen mit reellen und ideellen Doppelsekauten der Raum-
korve. Um die Möglichkeit der Entstehnng beider FUichenformen zu
zeigen, und um es in der Hand zu haben, die eine oder die andere
Art entstehen zu lassen, betrachten wir die Kurve, in der der erzeugende
Ponkt mit einem der Doppelpunkte F[ und P^ zusammeDfäUt. Diese

1) Ebd. 3. S02.

DigitizedbyGoOgIC

Von E. Wii)nrt>u>T. g29

Enrve ist, in der Lage der Bewegung, wo die + g-Achse auf der
+ x-AciiBe, die + i?-Achae auf der + y-Achse liegt, besonders einfacli.
Ihre Gleichnng exgibi sich aas (7) S. 318, wenn man | =^ ;r, ij = y
setzt, zu

{i-D'-b-i)'--'^'

eis die einer gleicIiBeitigen Hjperbel (Fig. 8 n. 10). Schneidet l weder die
PoUrarre p noch die Hyperbel, so erhalten wir eine Fläche, die sicher
ideelle DoppeUekauten hat. Schneidet l die PoUcurre nicht, wohl aber
die Hyperbel in dem Zweige, der ganz frei von der Polkorve liegt, so
ergibt sich eine Fläche, deren Erzeugende sämtlich die Doppelknrve
schneiden. Wir können nämlich durch Drehen von l um ihren einen
Schnittpunkt mit der Hyperbel, bis l zur |-Acbse parallel wird, zu einer
Fläche mit zwei ganz auf ihr verlaufenden Geraden mit lauter reellen
Sekanten gelangen. Wir schließen daraus, da& auch die Doppelkurre,
aus der die Doppelgeraden entstanden sind, nur reelle Sekanten hat.

Im Falle von vier reeUen Zwickpwikien können wir ähnliche Unter-
scheidungen, wie in § 8 machen, l kann auch bei vier Schnittpunkten
mit p so angebracht werden, daB es die Hyperbel nicht schneidet, da
der eine Scheitelpunkt der Hyperbel außerhalb des Stückes der Doppel-
tangente der j)-Eurve liegt, welches sich zwischen den beiden Berührungs-
punkten befindet. Wenn l die Hyperbel schneidet, sind wir imstande
zn bewirken, daß die Schnittpunkte tos l mit der Hyperbel Doppel-
punkte hervorbringen, die auf demselben St&ck der Doppelkurve li^en.
Wir brauchen l nur so zu legen, daß es die -|- ij-Acbse oberhalb A
trifft. Schneidet I dt^gen die i^-Achse zwischen A und 0, so fallen
die beiden Doppelponkte auf getrennte Stücke der Doppelkurve, nur
in diesem Falle haben wir Flächen mit vier Zwickpxmkten und aus-
schließlich solchen Erzeugenden, welche die Doppelknrve sehneiden.
Wenn zwei Zwiokpuukie zusammenrücken, tritt gegen § 8 die Ver-
vollständigung ein, daß F^tohen mit ganz auf ihnen liegender Doppel-
knrre ebenfalls erzengt werden können.

Durch die beiden in vorliegender Arbeit verwendeten Uechauismen
können daher die reellen Regelflächen, welche Kohn aus der zwei-
zweideutigen Verwandtschaft herleitet, in den verschiedenen von ihm
aufführten Arten beschrieben werden mit folgenden Ansnabmen;

1. Bei den Flädien mit zwei Doppelgeraden oder einer Selbst-
berührungsgeraden oder zwei imaginären Doppelgersden fehlen solche,
bei denen außerdem nicht noch eine Doppelerzengende vorhanden ist.
Dies Ergebnis war von vornherein zu übersehen, da ja bei den Bahn-
kurven unserer Mechanismen stets drei Doppelpunkte vorhanden sind.

DigitizedbyGoOgIC

iJ30 Über eise neue geometriHch-mechanische Erzengungsweise des EreiseB uair.

2. Bei den Flächen mit Doppelkegelsclinitt und Doppelgerade fielen
die aas, bei denen anf keinem der beiden Doppelgebilde Zwictpnnkte
Torkommen, und die Flachen, die Robn nicht mit erwähnt, bei denen
auf einem, aber nur auf einem Doppelgebilde ein Doppelzwickpunkt
vorhanden ist. Fachen dieser Art entstehen nach Blake bei der
Äntip arsUelogrammbe wegung.

3. Bei den Flächen mit Doppelkurre 3. Ordnung sind alle Arten
und Spezialfälle rertreten ausgenommen die FUche mit vierfachem
Zwickpnnkt and reell auf ihr li^ender Doppelkorre.

Die Flächen mit dreifacher GFemden können nicht gewonnen werden,
da bei unseren Bahnkurven die drei Doppelpunkte nicht in einen zu-
sammenfallen können.

Über eine nene geometrisch -mechanische Erzengnngsweise
des Kreises nnd der sphärischen Kegelschnitte.

Von Felix Beehstedt in Halle a. 8.

1. Die kinematischen Erzeugungsweisen der einfachsten algehni-
schen Kurven haben von jeher das Interesse der Geometer auf sich
gelenkt und zum Ausgangs-
punkt zahlreicher und wich-
tiger Untersuchungen gedient
Die kinematische Er-
zeogung des Ereisee, welche
hier bebandelt werden soll,
scheint, obwohl sehr elementar
und merkwürdig, bisher nicht
gefonden worden zn sein.

Die Vorrichtung (Fig. 1.)
besteht aus einem ge-
echlosBenen Faden von der
unveränderlichen Länge 2s
und zwei Stäben OB und
C, welche den sp^en Winkel
^COB=gmiteinander bilden.
Auf den Schenkeln OB und OC gleiten zweckmäBig zwei Ringe
y und ß, durch welche der Faden geschlungen iat. Wird derselbe nun
durch einen in a angehaltenen Schreibstift, der seinerseits an dem
Faden entlang frei verachieblich ist, gespannt, so orientieren sich die
Binge y and ß auf den Schenkeln OB und OC, und es bleibt fOr den

DigitizedbyGoOgIC

Ton Fblix BBBHaTKn. 331

Punkt ec oin Qrad der Freiheit Es bewegt sich der Punkt a auf einem
Kreistagen um 0, welcher durch den Schreibst^ aufgeeeiehnet wird.
ä. ZunäcliBt wollen wir den Beweis geben, welcher durch die
mechaniBche Betrachtung nah^el^t wird. Es sind die drei in den
Seiten aß, ßy, ya entstehenden Fadenspannungen ^elch; infolgedessen
kann fQr die Ringe ß und y nur Gleichgewicht bestehen, wenn

(1) -^Oyß-^Byu
^Oßr--^ctßC

ist. Es sind also OyB und OßC Halbierende zweier Außenwinkel
des Dreiecks aßy and sie gehen daher mit der Halbierenden des dritten
DreieckBwinkels ^ ßay zusammen durch den festen Punkt 0. Die
Resultante der beiden gleichen auf cc wirkenden Fadenspannongen liegt
in der Winkelhalbierenden tod ^ßay und geht also stets durch 0.
Die Yerschiehni^ tou a erfolgt nun ohne Arbeitsaufwand, da der
Faden seine LSnge 2s nicht ändert. Der W^ ist also stets senkrecht
zu Oa und daher ein Kreis um 0.

3. Für einen rein geometrischen Beweis mfissen wir die Bedin-
gungen (1) und aaßerdem die Beziehui^en

(2) ^ + ß^ + ^ — 28,

(3)

zugrunde legen.
Es ist

^por-

-«s.

f = s-

i+i.

.-l-

.^Oßy

ü-l-

<Orß

^Oßr + ^0,ß

-2Ü-

^ßOr

(4) \^R^^ßOy-B-t

Es ist also sc während der Bewegung konstant

Fällt man von ein Lot OD auf aß, so ist, da Mittelpunkt
des an ßy anbeschriebenen Kreises ist, bekanntlich

aB-s;
und also

Ott • cos ä — S-

DigitizedbyGoOgIC

332 Übet eine neue geometrisch-mechanisohe EnsngongiweUe des EreiaeB naw.

Also ist, ireim wir Ott — r setzen, mit RQcksicM aaf (4)

(I) rsinE^s.

Bei konstantem f und s ist also r konstant.

Aas der Grleichong (4) folgt, daß a dann und nnr dann Ton Tiall
rerachiedeii sein kann, wenn

R-t>0

ist, was nach Voraussetzung der Fall ist
Wenn

ist, so ist 0! — und ß nnd y fallen in zusammen.

In diesem Falle geht die Kreiserzeugimg in die getvohnliche über, in
der der Kreis mittels et««s — hier doppdt genommenen — Fadens ion-
stanter Lange heschri(^)en wird.

Wird g weiter Tei^fröBert, so bleiben ß und y in 0. Es gibt keine
andere Gleichgewichtsfigur, wie man sich leicht überzeugt, und es bleibt
auch in diesem Fall bei der gewöhnlichen Ereiaerzeugung.

4. Wenn man bei gegebenem k die Punkte ß und y finden will,
so errichtet man am einfachsten in a auf Oa das Lot nnd bringt es
in B und C mit OB und 00 zum Schnitt. Das Dreieck aßy ist
dann in dem spitzwinkligen Dreieck OBO das Dreieck der Bohenfuß-
punkte und demgemäß sind dann ß und y die FuBpunkte der von B
und auf OG and OB gefäUtea Lote.

Unter aUen Breiecken, wache einem spitemnUigen Dreieck OSO
eitibeschrieben sind, hat das Dreieck der HShenfußpunkte die kleinste
S^tensumme. Dies ist zuerst von J. Steiner (Werke, Bd. II, S. 45,
No. 7 u. S. 238, No. 64. II, 3) bemerkt worden. Einen eleganten Be-
weis des Satzes hat H. A. Schwarz (Qes. Math. Abhandlungen. Bd. II,
S. 344) gegeben. Endlich hat R. Sturm (Bemerkongon und Zusätze
zu Steiners Aufsätzen über Uazimum und Minimum, Grelle Bd. 96 p.62)
gezeigt, daß in einem stumpfwinkligen Dreieck das Lot von der stumpfen
Ecke auf die Qegenseite die Minimalfigor darstellt. Maa kann sich
vorstellen, daß der Streckenzng aßy der W^ eines Lichtstrahls ist,
der gemäß dem Prinzip der kleinsten Wirkung den kQrzesten Weg
zwischen den spiegelnden Cfraden OB, BC, CO einsch^gt. Aus dieser
Vorstellung ist wohl der Schwarzsehe Spiegdungsbeweis herror-
gegangen. Man kann jedoch auch, wie es in unserer Betrachtung
naheliegt, die Vorstellung eines elastischen gespannten Fadens aßy
heranziehen, dessen Ecken «, ß, y resp. auf den Seiten OB, BC, CO
gleiten.

DigitizedbyGoOgIC

Yon Faux BuuiaTini.

888

Wie eraiohtlict kann GHeicHgewicht nur eintreten, wenn einerseita
die Fadenläi^^e ein Minimum ist. uidererseitB wenn auf die Ecken des
Dreiecks aßy gleicke Kräfte wirken und also die Fäden, die in einer
Ecke zusammenlaufen, gleiche Winkel mit den entepreohenden Seiten
des festen Dreiecks OBC bilden. Es ist also notwendig, daß OB,
BC, CO Halbierende der Außenwinkel des Dreiecks aßy sind, und
das letztere ist daher in OBC das Dreieck der EöhenfuBpunkte. Be-
kanntlich ist diese Analogie zwischen statischem und dynamischem
Problem ein Spezialfall der allgemeinen von Möbins (Statik 2. Teil)
entdeckten Analogie.

6. Allgemein bekannt ist die Erzeugung der Ellipse mittels des
gespannten Fadens der Länge 2s, welcher um die Brennpunkte ge-
schlungen ist Steht diese nun in irgend

einem Zusammenhang mit unserer Kreis- "'' *'

erzeugung? Einen solchen Zusammenhang
habe ich durch räumliche Betrachtung her-
gestellt

Wir nntersuclien die Bew^ong des
Ponktee a, wenn er die Ebene OBC vet-
läßt. (Fig. 2).

Wir wollen den Winkel ßOy mit £,
den Winkel aOß mit tj und d^i Winkel
aOy mit 6 bezeichnen.

Es ist dann wieder
(1) -^Orß-^^yB,

JHOßr-^nßC;

(2)

nß + ßr + rß- 2s.

Wir Dehmen zunächat an, fla existiere eine QLeicligewichtsfigiU' aßy,
deren drei Pnnkte a, ß, y anf Oa, Oß, Oy liegen.
Da

^ Oay = -^ayB — ^aOy~-^(tyB—9,
imd ebenso

■^Onß-^aßC-^itOß-^itßO-^

ist, nnd ferner infolge Ton (1)

■^uyB + ^aßO-iR-t
ist, so folgt

.^ 0«j. + * 0«^ - 2Ü - (S + 9 + ,).
Damit also

Digiliz=db,G00glC

334 tJ^)» eine nene geometr.-mech. Erzengiui^weiM osw. Ton Fxux BEMisnai.

Bei, mnß

(3) 2ü>g + Ö + ij

sein. Diese notwendige Bedingnng ist aadi hinreidiend, wie später
gezeigt wird.

Wir projizieren den Punkt senkrecht auf die Ebene aßy. Die
Projektion 0* wird der Mittelpunkt des dem Dreieck aßy an der
Seite ßy anbeechriebenen Kreises sein, de offenbar Oß nnd Oy sicli
als Winkelbalbierende der Außenwinkel in ß nnd y projizieren

Dementsprochend ist aacli

^ 0*ay - -^ 0*tiß

und somit

w

<0.,-*0.^,

also

(6)

^Oaß-S ' + ', + "

Bedeutet D den Fnßpunkt des Ton anf aß gefSllten Lotes, so
ist dasselbe zugleich Fnßpnnkt des von 0* anf aß gefällten Lotes,
und also ist

(6) ^ - s.

Femer ist

« — aZ>— Oa ■ OOB Ottß,
oder
(n) s_,Binf+|+^.

Die Gleidiung (II) 2eAf-f, daß bei konstantem s und iei konstanter der
Bedingung (3) genügender Sttmme 2tf = g + ij + Öd»- Funkt « sich auf
einer Kugdoberfläehe vom Baditts r bewegt Er beschreibt dort eine»
s^iäris<^en Kegdschnitt, dessen Brennpunkte die Schnittpunkte B und F
von OB und OC mit der Kugdoberfläche sind.

Man realisiert diese Erzeugung, indem man einen in mittels
UniTersalgelenk frei drehbaren Stab Oa von der Länge r anbringt,
dessen Länge sich durch Anszieben einer Hülse Tariieren läßt nnd der
an seinem £nde einen Bing tiügt, dorcb den die Solmur laufen kann.

Man bat in dieser Erzeugung ein bequemes Mittel, einen sphä-
riechen K^elschnitt auf das Innere einer Engeloberääche zn zeichnen,
während bei der gewöhnlichen Erzeugung des Kegelschnitte auf der
Sphäre nur auf der Außenfläche gezeichnet werden kann, da die sämt-
lichen Seiten des Fadendreiecks \B Fee von der Länge 2 a durch den
Widerstand der Oberfläche die Krflmmnng erhalten. Wir wollen die
hier gegebene Erzeugong mittds eines gradlinigen Fadendreiecks mit

DigitizedbyGoOgIC

Bficbenchan. 886

bewegliclieQ Ecken als innere Eizflugnog, die andere alB äußere Er-
zengnog des sphärisclten Eegelschnitte bezeiclmen.

Beide Erzeagangea werden identiscli, wenn wir ldb Unendlidie
rücken lassen nnd gehen in die ebene Erzeugnsg der Ellipee mittels
des Fadendreiecks von konstanter Länge über.

unsere Kreiserzeagui^ entspricht dem Qrenzfall der Erzei^ung
sphäriselier Ellipsen, iümlich dem Fall, wo die Ellipse die doppelt
dnrchlaofene Entfemnng der Brennpunkte wird.

6. Es erübrigt noch zu bemerken, daß die Bedingung (3) Atn-
reichend dafür ist, daß eine Gleichgewichtsfigor mit getrennten a, ß
und y besteht. In der Tat, ans (II) ergibt sich bei gegebenem s
sofort r und somit bei gegebenem £, i; nnd 9 auch der Punkt a.

Von a aus werden die Winkel a Oß und a Oy gleich jB ''

angetragen, woraus sich ß und y ergeben.

Wird

so wird

^ttOß = ^aOy^0

nnd ß nnd y fidlen in zusammen. Wir haben dann fOr die Lage
Ton a eine Engelfläche Tom Radios s.
Ist

2It<t + e + ti,

so bleiben ß und y in 0, und es bleibt bei der Erzeugung einer Eugel-
oberöäche mittels eines doppelt genommenen Fadens.
Halle a. S., den 1. Dezember 1904.

Btlchersehan.

L, Boltzmann, VorleBnngen über die Prliulpe der Heohanik. H.

Teil enthaltend: Die Wlrlnmgsprliuipe, die Iisgrangesohen Glei-

ohnngen nnd deren Anwendungen. Leipzig, J. A. Barth, 1904.

X u. 336 S.

Dem ersten 1897 erschienenen Bande, von dem man in Band 44 dieser

Zeitschrift (Hiat.-Lit. Abt. S. 172) eine Anzeige findet, ist nach längerer

Pause der zweite gefolgt, in dem dieselben Bestrebangen znm Ausdmck

kommen, die sieb bereits in dem ersten geltend machen, nämlich einenteils

die Darstellung der Mechanik in ihrer alten, klassischen Form möglichst

beizubehalten, jedoch die Dunkelheiten, die die moderne Kritik mit Becht

gerOgt hat, zu vermeiden and die S&tze möglichst zn prKzisteren, anderen:

DigitizedbyGoOgIC

336 B^chenohaa.

teils Gewicht auf den physikalischen Sinn tud dea Zusammenhang mit der
theoretischen Physik zu legen; Terdonkt doch das ganze Werk seine Ent-
stehung dem umstände, daß Herr Boltzmann die fOr den zweiten Teil der
Gastheorie erforderlichen Einschaltungen über Mechanik ihres grofien üm-
fanges wegen in eis selhstOndiges Buch verwiesen hat.

Der Zusammenhang mit der Fhjsik tritt besonders in diesem zweiten
Teile hervor, in dem der Yerfasser sich die Behandlung des Frinzipes der
kleinsten Wirkung, der Hamiltonschen Prinzipe sowie der damit za-
sammenhangenden Arbeit«n Ton Helmholtz, Hitlder, VoQ und anderen
zur Aufgabe gemacht hat, wobei die Beziehungen der Wirkungsprinzipe zur
Gastheorie, Warmetheorie und Elektrizitfttslehre sowie die SStze von Mai-
well, Helmholtz and Hertz aber zyklische Systeme Berücksichtigung
gefunden haben. Ton großem Interesse sind die Ausführungen in § 35,
wo Herr Boltzmann seine Ansichten über die Stellung der Mechanik^zoi
Physik entwickelt.

Zu der allmShligen Ausbildung der Mechanik in ihrer^ heutigen Gestalt
habe, offener oder versteckter, die Vorstellung von Zentrikräften zwischen
materiellen Punkten geführt. Daraus dürfe man jedoch nicht"den Schluß
ziehen, daS diese Yorstellung deswegen auch immer Ideren Basis bleiben
mfisse. Es könnten vielmehr die Prinzipien der Mechanik ebenfalls unter
Bedingungen gelten, die sich nicht durch ZentrikrElfte realisieren lassen, man
konnte ^SO die Torstellung der Zentrikrftfbe ganz fallen lassen und an
ihrer Stelle irgend eines ior allgemeinen Prinzipe zur Glrundlage der Mechanik
machen, zum Beispiel das Pnnzip der stationären Wirkung, das die Glei-
chungen der Mechanik in ihrer Gesamtheit liefert. Dabei kOnnte sogar der
Fall ins Auge gefaßt werden, daß der Zustand von Systemen durch andere
Koordinaten bestimmt sei, als solchen, welche die Lage im Baume angeben,
man kOnnte also als generalisierte Koordinaten etwa die Temperatur, den
elektrischen Zustand usw. nehmen, um das Auftreten solcher Gleichungen,
die denen der Mechanik analog sind, in der Theorie der WUrme, der Elek-
trizität usw. zu erklären, bestehe die MögUchkeit, diese PhSnomene durch
verborgene mechanische Bewegung verursacht zu denken. Es wOre sicher
klarer, wenn wir nicht nur alle Bewegungserscheinungen an festen, tropf-
baren und gasförmigen Körpern, sondern auch Wärme, Licht, Elektrizität, Mag-
netismus, Gravitation, alles durch ein einheitliches Prinzip erklären könnten,
als wenn wir für jedes dieser Agentlen wieder ein ganzes Inventar voll-
kommen iremdartiger Begriffe wie Temperatur, elektrische Ladung, Potential
usw. brauchen. Freilich gebe er gern zu, daß es vermessen sei zu hoffen,
daß das heutige mechanische Weltbild sich in alle Ewigkeit erhalten werde,
und er sei daher weit entfernt, von Versuchen, allgemeinere Gleichungen
zu suchen, von denen die mechanischen nur spezielle Fälle sind, gering zu
denken. Nur dem Leichtsinn möchte er entgegenarbeiten, der, bevor ein
anderes derartiges Weltbild von der ersten Grundlage bis zur Anwendung
auf die wichtigsten Erscheinungen, die schon solange durch das alte Welt-
bild erschöpfend dargestellt sind, detailliert ausgearbeitet vorliegt, ja ohne
von den Schwierigkeiten der Konstruktion desselben eine Ahnung zu haben,
das alte WeltJ>ild der Mechanik für einen überwundenen Standpunkt erklärt.
Tor allem dürfe man, wenn man das Bild materieller Punkte vermeiden
wollte, nicht doch wieder später materielle Punkte einfuhren, sondern man

:dbyG00«^Ic

Bficheiichra. 337

mOsse TOD anders beBchaffenen Einzelwesen oder Elementen ausgehen, deren
Eigenschaften so klar wie die der materiellen Funkte za schildern wären.

„Ich schrieb das Vorstehende vor etwa sieben Jahren nieder", achließt
Herr Boltzmann. „Was ich dort nach Jahrhunderten oder nach Jahr-
tausenden erwartete, ist in sieben Jahren zur Hälfte geschehen. Aber nicht
von der Energetik, nicht von der Phänomenologie ging der Hoffnuagsstrahl
einer njchtmechaniguhen Natur erkläning aus, sondern von einer Atomtheorie,
die in phantastischen Hypothesen die alte Atomtlieorie ebenso übertrifft,
wie ihre Elementargebilde an Kleinheit die alten Atome übertreffen. Ich
brauche nicht zu sagen, daß ich die moderne Elektronentheorie meine.
Diese strebt gewiß nicht, die Begriffe der Uaese und Kraft, das Trägheits-
gesetz usw. aus Einfacherem, leichter Yeratändlichem zu erklSren, ihre ein-
fachsten Grundbegriffe und Gesetze werden sicher ebenso unerklBrlich bleiben,
wie fUr das mechanische Weltbild die Mechanik, Aber der Vorteil, die
gesammte Mechanik aus anderen, für die Erklärung des Elektromagnetismus
ohnehin notwendigen VorsteUungen ableiten zu können, w&re ebenso groß,
als wenn umgekehrt die elektromagnetischen Erscheinungen mechanisch er-
klärt werden könnten. Möge das erstere gelingen und dabei meine vor
sieben Jahren gestellte Forderung erfüllt werden!"

Vielleicht bietet der in Aussicht gestellte dritte Teil, der die Elastdzi-
lAtslehre und die Hydrodynamik behandeln soll, Herrn Boltzmann Gelegen-
heit, in einigen Jahren auf die elektromagnetisdie Begründung der Mechanik
zurückzukommen, deren Durchffihmng inzwischen erhebli^e Fortachritte
gemacht hat und wohl auch weiter machen wird.

Kiel. Vjlvl StIckei»

Astronomisoher Kalender für I90B. Berechnet fOr den Meridian
und die Polhähe von Wien. Herausgegeben von der k. k. Sternwarte.
8». 138 8. Wien, K. Gerolds Sohn. Pr. kart 2.40 M.
Inhalt und Anordnung des Kalenders sind unverilndert geblieben (vgl.
diese Ztscbr. Bd. 51, p. 171). unter den Anlagen ist die bemerkenswerteste
Nr. VIII: Die Figur der Planeten auf Gmnd der Theorien Über das Gleich-
gewicht rotierender Flüssigkeitsmassen, von A. Frey. Der Aufsatz enthUt
eine gemeinverständliche Darstellung der Lehre von den rotierenden Gleich-
gewiohtsfiguren. Die Diapoaition folgt der historischen Entwickelung, mit
Maclaurin und d'Alembert anfangend bis auf die Darwin -Poincarescben
Theorien unserer Tage; weder die Korrektheit der Fassung noch die Zahl
der Quellennachweise läßt zu wünschen übrig.

Straßburg i. E, 0. W. Wirtz.

G. Eewitsch, Zweifel an der BBtronomleolien und geometrischen

Qmndlage des eO-Systems. B". 23 S. Ztschr. f. Assyriologie. Bd. 16.

Straßburg 1904.

Die Zweifel, die Herr Kewitsch gegen die astronomische und geometrische

Entstehung des Sexc^aimalsystenis erhebt, gründen sich auf die Überlegung,

daß Zahlen dem Messen voranging und daß man einem Naturmaße zu liebe

nie daran denken würde, das einmal entwickelte ZÜüsystem aufzugeben.

db/GoogIc

338 IT«ne Bücher.

Mit Tataachen atis Ethnologie und Philologie belegt der Verf. seine These,
dafi anch das Zihbystem der fiabylonier, gleich dem der heutigen nnkulü-
vierten Völker, aus dem reinen Fingerzählen entstand; fflr die Art dieses
Fingerzfihlens werden zwei durch Argumente aus Völkerkunde und Sprache
gestützte Möglichkeiten offen gelassen. Es ist u. E, nicht lei(dit, den fiber-
zeugenden Darlegungen des Aufsatzes gleich stichhaltige EinwSnde entgegen-
zusetzen.

Straßburg i. E. C. W. Wirtz.

Kene Bücher.^)

Arithmetik lui Analysls.

1. BnsMAKH, Otto, Vorleanngen über mathematisohe mhemngsmethoden. Brann-
Bchweig, Vieweg & Sohn. U. 6; geb. in Leinw. U. 8.80.

2. Nkuhakh, Embi Rioa&BD, Stadien Qber die Methoden von C. Nenmaon und
Q. Robin znr Lösung der beiden Baodwertanfgaben der PotentdalUieorie.
(PreiBschiüten der Fflrstl. Jablonowskischen Oesellsch. Nr. XXXVII.) Leipzig,
Teabner.

Astronomie nnd fleodlsle.

t. IfAxonsB, Adolf, Handbuch der geographischen Ortsbestimmung fOr Geographen
nnd Foraohnngereisende. Braunschweig, Vieweg & Sohn.

i, SoHMiRi., Chk-, Die Elemente der aphärischen Aatronomie und der mBthematigchen
Geographie. Nebst einer Sammlung gelOater und ungelöster Aufgaben mit
den Besnltaten der ungelösten Aufgaben. Zum Gebrauche an höheren Lehr-
anstalten nnd zum Selbststndinm. QieSen, Roth. M. l.SO; geb. M. S.

Sraphlsehe Metboden.

&, PoDsaiK, R., Sur l'application des proc^äa graphiques anx calonls d'assnrances.
Paris, GauUiier-VillarB. Frs. 10.

S. anch Nr. 1.

fiesehlchte nnd Biographien.

6. Lahm, E., Guido Eanck. Rede zur Qed&chnisfeiei für Guido Hauck am
17. Mai 1906 in der Halle der technischen Hochschule zn Charlottenbn^.
(Sondeiabdmck ausdem 14. Band des Jahresberichte der Deatachen Uathemaüket-
Vereinigung.) Nebst der Bede am Sarge in der Halle des Friedhofes der
ZwÖlfapOütelgemeinde, gehalten am 28. Januar 190Ö von A, Fuisiaa. Mit
einem Bildnis von G. Hanck als Titelbild, Leipzig, Teubner.

Kristallographie.

7. BiuitHAijaB, B., Die neuere Entwicklung der Kristallographie. (,J)ie Wissen-
Bohaft" Heft 7.) Braonachweig, Vieweg b Sohn.

M. 4; geb. in Leinw. M. 4.60.
Heebanlk.

8. FöFPL, Ana., Vorlesungen Aber teohnieche Mechanik. S. Bd. Festigkeitslehre.
S. Anfl. Leipdg, Tenbner. geb. in Leinw. M. 13.

9. QiBBB, J. WiLLAsn, Elementare Grundlagen der statistischeD Mechanik, ent-

i) Wo kein Erscheinungsjahr angegeben, ist es 1906.

l,.eJb.G00«^IC

Nene Bfichor. 339

wickelt besonders im Hinblick auf eine rationelle Begrflndnog der Tbermo-
djnamik. Deutsch beaib. y. E. Zermelo. Leipzig, Barth.

M. 10.— ; geb. in Leinw. M. 11.

10. HiLLEs, A. E., Sttesaes in stractnrea and Uie occompanjing deformationa.
Colnmbiia, O. Heller. g S.50.

11. Sachs, L., Zttf Bereohiiimg i&mnliclieT Fachweike. Allgemeine Formdn fOi
statisch bestimmte nnd insbosondeie statisch nnbestinunte Kuppel-, Zelt- nnd
Tonndächer. Berlin, Ernst & Sohn.' M. 2.60.

12. Tinu., L., Mannel pratiqoe de cinämatique navale et maritime, k l'nsage de
1a marine de gnerro et de la marine de commerce. Paris, Gauthiärs-Vülars.

Prg. 7.60.
S. auch Nr. 3.

FhjBlk nsd Meteorologie.

15. Butn, Fbbd., Über drahtlose Telegraphie und neuere physikalische Forschungen.
Bektoraterede. StraQburg, Heitz. H. 1.20.

14. Chwouoh, 0. D,, Lehrbuch der Phjsik, übersetzt von E. Berg. 3. Bd. Die
Lehre von der Wärme. Brauuacbweig, Vieweg b Solm.

16. FoaTscBsiTTB, die, der Physik im J. 1901. Dargestellt von der deutschen
phjsikal. Gesellscb. 60. Jahrg. 1. Abtlg. Allgem. Phjeik, Akustik, physikal.
Chemie. Brauuschweig, Vieweg & Sohn. M. SO.

18. Hack, EIasl, Physikalische Hypothesen nnd ihre Wandlungen. Akademische
Festrede. Mit Anmerkungen nnd Literaturnachweisen. Leipzig, Barth. M. 1.

13. BüMXLur, Gdst., Ober die TerdflnnnngswSjme konzentrierter Lteongen. Disa.
Freibnrg i. B., Speyer & Kämer, M. 1.

15. ScHWARzsoaiij), K., DntersuchungOD zur geometrischen Optik. I. Einleitung
in die Fehlertheorie optischer lustnunente auf Qrund des Eikonalbegriffs.
II. Theorie der Spiegelteleskope. (Abh. der KgL Ges. der Wise. zu GSttingeo,
math.-phjsikal. Klasse, Neue Folge. Bd. IT Nr. 1 n. 3.) Berlin, Weidmann.

Je H. 2.

19. Tbabut, Wilbslh, Meteorologie n. KUmatologie. („Die Erdknnde", Xni. Teil )
Leipzig n. Wien, Deaticke. Preis für Abnehmer des ganaen Werkes M. 1,
itlr den Einzelverkauf U. 6.

20. WmBLMAaa, A., Handbuch der Physik. 2. Aufl. IT. Bd. S. HUfte. Elektrizität
u. Magnetismus. I. Leipzig, Barth. M. 20.

S. auch Nr. 2, 7, S.

Tafeln.

21. Bxz, Fu>B. Wn.H., Tierstellige Logarithmen -Tafeln. Schul-Ausg. S. Aufl.
Stuttgart, Hetzlei. H. —.SO.

22. ROHLKAinr, M, u. M. R., Logarithmisch-trigonometrische u. andere f. Rechner
nOtzllche Tafeln, zonächst f Techniker eowie f. den Schulgebrauch u. t. prak-
tische Reebner übediaupt. IS., verm. u. verb, Aufl. Leipzig, Klinkhardt.

geb. in Leinw. M. >.60.
2S. WcaurBB, A., Die Afonsinischen Tafeln f. den Gebrauch eines modernen
Rechnen. Diss. Berlin.

S. auch Nr. b.

TeneUedenes.

24. BsLL, W. W., Haüiematical tecreations and essays. 4thed. London, Maomill an.

7 s.
2B. NRD1IATB&, Q. VON, Anleitung zn wissenschaftlichen Beobachtongen anf Reisen.

Unter Mitwirkung zahlreicher Oelehrter hrsg. In zwei Bänden. S. Aufl.

(In etwa 18 Lfgn. zu S M.) Hannover, Jänecke.

db/G00«^Ic

340 Eiugelaofene Sohiiflen.

Elngel&nfene Sohriften.

[In dieser Abt«iluiig werden alle eingelaufenen Schriften regelmAflig aufgeführt.
Die Beaprechnng geeigneter Schriften bleibt vorbehalten. Rfickiendong findet

nicht statt.]
Ahbbohh, L , Die HeBHnngen des SonnondorchmesBerH an dem RepBoldflchen 6-ittll.

Heliometer der Sternwarte lu GOttingeD, ansgeiahrt Ton W. Sohur u. L, Amhronn.

(Äbh. der Egl. Qea. der Wias. zu OOttiogen, ntath.-phjaikal. Xlagse, Nene

Folge Bd. in Nr. 3.) Berlin, Weidmann. M. 12.

Baunhaubb, E., Die neuere Entwicklung der Kristallographie, ■. N. B. („Nene

Bflchar") Nr. 7.
BiEBiuiiH, 0., Hathematiflohe N&hemngsmetboden, ■. N. B. 1.
Chwolbon, 0. D., Lehrboch der Physik, 8. Bd.. b. N. B. 14.
Föppi,, A., Technische Uechttnik, 3. Bd , a. N. B. 8.
FsicKx, Bobbbt, Haupteätse der Differential- und Integralrechnung. Als Leitfaden

zum Gebrauch bei Vorieanugen zusammengestellt. 4. Anfl. Braunschweig,

Tieweg & Sohn. M. 6; geb. H. &.S0.

EioKEB, , Seismometrische Beobachtungen in Potsdam in der Zeit vom 1. Januar

bis 31. Dezember 1904. (Veröffentlichung de« Egl. Pcenft. geod&t. Institnte

Neue Folge Nr. 81.) Berlin, Stankiewicz.
Lamfb, E., Guido Eanck, s. N. B. 6.

IiUboijsb, A., Handbuch der geographischen Orttbestimmong, s. N. B. 8.
NamuNK, E. K., Studien aber die Methoden von C. Neumann a. 6. Bobin cor

LOmng der beiden Randwertaufgaben der Potentialtheorie, b. N. B. 8.
NiDiuYBR, T-, Anleitung zu wissenschafU. Beobachtungen auf Reisen, Lfg, 2,

8. N. B. 26.
PolhOhb von Potsdam, die, HI. Heft. (Veröffentlichung des Egl, FreuB. geod&tischeu

Instituts, Neue Folge Nr. SO.) Berlin, StenMewicc
ROsLiunN, Logarithmisch -trigonometrische Tafeln, a. N. B. 39.
äoHUBHi., Chu., Elemente der aph&riachen Astronomie ond der mathematischen

Geographie, a. N. B. 4.
8csoi.zB, Edhiihd, n. Pahi., Franz, Mathematische Aufgaben. Ausgabe f. Ojnmaaien.

1. Teil. Aufgaben aus der Planimetrie u, Arithmetik f. die Unterstufe (Quarta

bis TJntecaekunda einschl.). Leipzig, Darr. geb. in Leinw, H. S.40.

SoHWABEscBiLD, E., Untersuchungen zur geometrischen Optik, L n. H., b. N. B. 18.
Tunm', W., Meteorologie u. Elimatologie, s. N. B. 19.

Bertcbtigwig.

In der Abhandlung; „Spannungen und Foradndeningeu einer rotierenden
Hohl- und Vollkogel" von Ing. A. V. Leon in Bd. 62 Heft 3 dieBflr Zeiteehr. mnfl
Satz IV auf S. 174, Z. 16—^4 v. o. gestrichen werden. Er ist der Schriftleitnng
schon vor längerer Zeit vom Verfasser als nnriohtig bezeichnet wordan, aber aus
Tenehen stehen geblieben.

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Ein kiuen&tiaehea Prinzip und Beine Anwendung. Von Rvnoir Schikk^cx

Ein kinematisches Prinzip und seine Anwendung zn einem
Eatenographen.

YoQ Bddolf Schdouck in GöttängeD.

Es ist bekannt, dtiß eine Rolle Ton horizontaler Acheenatellong,
welcLe mit ihrem messerscharfen Bande in die horizontale Ebene des
Zeichenpapiers ein wenig eingepreßt wird, bei ihrer Bew^ung in jedem
Angenhlick nnr in Richtong ihrer eigenen Drehongsebene rollen kann.
Aus der mehrfachen sinnreichen Verwendung dieser scbarfrandigen
Bolle bei der Konstruktion kinematischer Apparate*) ei^b sich die
Anregung, durch Kombinationen mehrerer solcher Rollen nach neuen
Möglichkeiten zu suchen.') Im fönenden soll Ton einer besonderen
Art der Kombination zweier Rollen die Rede sein, die anscheinend ein
spezielles Interesse verdient; sie weist nämlich einen Weg nur Konstrvktwtt
mehTtruf neuer Apparate für Idnematische Ereeugangen von Kurven.

1) Nach Hitteilnng von Eerm Prof. R. Hehmke hat schon Qiov. Poteni
17Se eine echar&andige Rolle zur Eonatmktion geineB Traktoriograplien benutzt;
Zeitschrift f. Math. n. Phja. 48 (1898), S. 317. Ton neueren Apparaten, die
ebenfalls weaentJich auf dem Prinzip der scbarfrandigen Bolle beroben, sei ein
(weniger bekumtes) Fl&mmeter von J. Amsler und der lutegraph von Abdank-
Abakanowicz angefOhft Tgl. J. Atugler, Ober die mechauiscbe BeBÜmmnug
des FUchen Inhalts, der statischen Momente nnd der Trägheitsmomente ebener
Figuren, insbesondere über einen nanen Plaoimeter, Vierteljahrsschiift der natnrf.
Ges. in Zürich I (iSfiS), S, 41— 70, 101—140, bes. 80; Br. Abdank-Abakano-
wioE, die Integraphen, die Integralkurre und ihre Anwendungen, denfech beacb.
von E. Bitterli, Leipzig (Teubnet) 1&89; die neueste Form dee Integraphen ist in der
von der Firma Q. Coradi-Zürieh heraiugegebeDen Broeohöre beschrieben: H. Lossier,
L'Intägraphe Abdank-Abakonowics, 190S, sowie in dem Referat von Hammer
Aber diese Broschüre, Zeitschrift für Instnunentenkunde 21 (1904), 3. SIS— SIT.

2) Herr Oeheimrat P, Klein hat in einer Torlesnug (vom Sommer 1897) die
Idee angegeben, daB man mittels mehrerer Integraphen, deren Lanfschlitten in
geeigneter Weise miteinander verbunden werden, Apparate zur Integration irgend-
welcher spezieller gewöhnlicher DÜferentialgleichnngen höherer Ordnnug müsse
konstruieren kOnnen.

Z*lUolirUlf.ltatbaiDatlkD.Pbjilk Sl.Bud. IMS. *.S*n. SS ^-~, .

Digitizedb/CjOO«^IC

B43 Ein kinemfttiBchea Prinzip und seine Anwendimg ra einem Katenogiaphen.

1. Das Prinzip der Rollenkoppel nnd die Idee eines

Eatenographen.
Eb mögen zwei Rollen der oben geBchilderten Art R^, R^ so mit-
einander verbunden sein, daß die A<Ase der RoUe JR, beständig in die
Ebene der Rolle B, fäUt (Fig. 1), während der Abstand R^ der
Mittelpunkte beider Bollen znnäcbst be-
liebig Teränderlich sein mag. Läßt man
ein solches System — wir mögen es knrz
eine„Rollenkoppel'' nennen — sich anf
der Zeichenebene bewegen, so beschreiben
die Rollen B^, R^ je eine Enrre A,, ^,,
und zwar in folgender charakteristischen
Weise. In jedem Augenblick ist, wie un-
mittelbar einleuchtet, der Ort von i^ der
Erammongsmittelpunkt der Kurve ^ fOr
den instantanen Ort von .Bj, der Abstand RiR^ allemal der zugehörige
Krümmungsradiaa q der Kurve k^ ; die Kurve ^ stellt die Kvolnte der
Kurve i, dar. Wir formulieren also den Satz:

■Unsere Rollenkoppel hat d ie Eigenschaft, sich ntw so bewegen ea
kimnen, daß der Abstand R^ Rj fortgesetet den Krümmvng^adius der von
J!j durcfdaxrfenen Kurve darstellt.

Das hiermit gewonnene kinematische Prinzip findet eine einfache
Anwendung zur Konstruktion eines Apparates, der Kettenlinien
zeichnet: eines Katenographen. Es wird dabei von der bekannten
Eigenschaft der Kettevlinie Gebrauch gemacht, daß fOx jede Stelle ihr
KrBmmnogsradius gleich ist dem Stücke der Normalen, das zwischen
der Kurve und ihrer Leitlinie liegt
Man betrachte in der Fig. 2 die
Gleichheit der Strecken MR and
RL, bezw. M'P' und R'L'.

Denken wir uns jetzt auf diese
Figur die vorhin betrachtete Rollen-
koppel aufgesetzt, und zwar so,
daß sich die RoUe ü, im Punkte P,
« 2, i' die Rolle R^ im Punkte M befindet;

dann wird R^ offenbar zwang-
läafig auf der Kettenlinie entlangrollen, wenn wir Sorge tr^en, daß
der Punkt L, der ja in jeder Lage der Koppel (durch die Verlängerung
der Strecke MF über R hinaus um sich selbst) ideell bestimmt ist,
sich nur auf der Leitgeraden l bewegen kann. Dies gelingt nun sehr

db/GoogIc

Von RüDou SoHnaucK. 343

einfacli dadurch, da& wir in der Weise, wie es die Fig. 3 aadentet,
mittels eines Storehachnabels für deo Punkt L eine kinemaiis^
Realisierung actaffen, und daim den in
diesem Punkte befindlichen Fahistift aof
der Geraden l entlang führen.

In dieser Vereinigung unserer BoRen-
koppel mit dem Storchs<^nabd haben toir
daher einen Apparat, der mit seiner BoBe
ilj unsere Ke^enlinie besehreibt Von
einer beliebigen Anfangslage aus erhalten

wir stets Eettenlinien, sobald wir den Fahrstifl: in L auf einer Geraden
bewegen. Und der Apparat gestattet offenbar im Prinzip auch jede
Kettenlinie zu zeichneu. Schreiben wir etwa die Leitlinie l und den
Wert des Parameters a (Abstand des Scheitels von der Leitlinie) Yor,
so ergibt sich fQr>die Anfangseinstellung des Apparates die Be-
dingnng:

(f sin' H'^a,

worin q den Abata nd d er Rollen 7i,i^ und n den Winkel der gerad-
linigen Verbindung B^L mit der Leitlinie l (Fig. 3) bei der Einstellung
bedeutet.

3. Die technische Ausführung des Eatenographen.

Die Fig. 4 zeigt den Eatenographen in fertiger Ausführung.*)
Wir sehen zunächst den Storchschnabel mit seinen vier Gelenkpunkten
A, B, C, D and seinen beiden &eien Enden E, F; der Punkt B hal-
biert die Strecke AE, L die Strecke AF.

In den Gelenken bei A, B und D bewegt sich jedesmal der eine
Stab zwischen zwei einander gegenüberstehenden Spitzenschrauben, die
der andre Stab mittels eines Bügels trägt.

Das Gelenk bei G wird durch eine drehbare verOkate Achse ge-
bildet, welche die hier zusammentreffenden Stäbe BC und DC durch-
bohrt. Diese Achse trägt an ihrem unteren Ende die Gabel, in der
die scharfrandige Rolle ß, lauft; am oberen Ende ist sie mit einer
horizontalen Lenkstange CG starr verbunden, von der wir sogleich
noch reden werden.

1) Der hier abgebildete Apparat ist uaoh den Angaben des Yerf. von der
.Mechanischen Wetkstätte Spindler & Boyer" in OOttingen mit Sorgfalt ane-
geführt worden und funktioniert gnt Ei war bereits anf dem III. Inter-
nationalen Mathetnatikerkongreß zu Heidelberg, im August 1904, aDsgeatellt und
ist seitbeT nnr in einigen tecbuiBchen Details abgeBLndert norden. (Wegen etwaiger
Beetellungen wolle num sieb »n die genannte Werkatiltte wenden.)

DigitizedbyGoOgIC

344 Bin Icinematiaabea Priiuip und aeine AaweDdong m einem Eatenognphen.

Im Punkte E hält der StorchBchnabel eben&Ua eise eh-ehbare ver-
tikale Achse. Diese läaft an ihrem unteres Ende in eine Oabel mit
der Bcharfrandigen Rolle i^ aus; an ihrem oberen Ende trigt sie ein
längUchea horizontales Tischolien t, das Heinarseits der Ti^er zweier
kleiner LaufroUen rr ist. Diese Lanfrollen besitzen eine gemeinsame
Tertikai gestellte Drehungsebene, die zugleich durch die Seele der
Achse in E hindurchgeht.

Auf den Lanfrollen rr liegt nnn die Lenkstange CG mit einer an
ihrer Unterseite befindlichen, Ton C bis ö reichenden Eille auf. (Ein
an dem Tischchen befestigter Bflgel b bewirkt, daß die Laofirollen

überhaupt nicht aus der Rille herausspringen kOnnen). Infolgedessen
realisiert die Lenkstange, bezw. ihre Rille, fortgesetzt die geradlinige
Verbindung der Punkte C und E; und gleichzeitig hat auch das Tisch-
chen relativ zu der geraden Linie CE stets dieselbe Orientierung, wie
man auch den Storchschoabel bewegen mag. Mit der Lenkstange und
dem Tischchen sind aber (wie schon gesagt) die Gabeln der beiden echarf-
randigen Bollen bezüglich fest verbunden, und zwar (wie wir nun hin-
zufügen) so, daß die Drehungsebene der Rolle R^ senkrecht zur Längs-
richtung der Lenkstange CG orientiert ist, und die Ebene der Rolle
Rj mit der Ebene der erwähnten Lao&oUen zusammenfällt. Indem
also die LewksUmge mit ihrer Rille atif den LaufrcMen aufliegt, heäten
die RtMen it,, R^ in der Tat die gewünschte Orientierung und hätaUen
sie in jeder Lage des Storchschnabels iei.

In F befindet sich der Fahrstift, den man längs fsxaei geraden
Linie zu fuhren hat, wenn man den Apparat als Eetteulinienzeichner
benutzen will. Dieser Fahrstift ist in einer mit dem Stabe AF var-
bundenen Hülse vertikal verschiebbar. Bei F wird infolgedessen der
Apparat auf die Zeichenebene nicht gestützt. Er liegt vielmehr zunächst
nur an den Stellen C und E mittels der Rollen R,, R, auf. Um aber
den Storchsohnabel in horizontaler Lage zu halten, ist an dem Stabe
AF eine kleine Siäise s angebracht, die bei Bewegung dee Apparates
aber das Zeichenpapier hingleitet.

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Von Bddou Sobdouox. 345

Zur Benntzang des Eatenographeti ist noch erforderlich, anf die
Lenkstange bei dem Stift u (ein wenig seitlich von C) ein Gewicht
S£ aa&usetzen (das wieder abgehoben wird, sobald der Apparat anBer
Tätigkeit ist). In der Fig. 4 erscheint es der besseren Sichtbarkeit der
Details wegen abgehoben und an die Seite gerückt. Dieses Gtewicht
sorgt einerseits dafür, daß die Lenkstai^e mit ihrer Rille auf den
Lan&oUeu rr fest aufliegt, wie es ja erforderlich ist (der Bügel b be-
rOhrt dann die Lenkstange gar nicht). Andererseits aber gibt es den
beiden Rollen B^, R, diejenige Belastung, die sie zu ihrer richtigen
Funktion nötig haben, d. h. wenn sie in das Zeichenpapier ein wenig
einschneiden und stets nnr in Richtung ihrer Drehungsebene rollen,
nicht aber auf dem Papier ii^endwie mtsdien sollen.

Dabei hat die Änderung des BelastungSTerhältnisses der
beiden Rollen, welche bei Bewegungen des Apparates nach dem Hebel-
gesetz eintritt, ihren bestimmten Zweck. Benutzt man nämlich den
Apparat als Kettenlinienzeichnrä, indem man den Fahrstift F längs
einer Geraden fahrt, so erleidet die RoUe E^, wenn sie verMltuismäßig
weit Tom Scheitel der Kettenlinie entfernt ist (also bei gespreiztem
Storchschnabel), einen starken seitlichen Druck, sodaß durch eine
größere Belast,ung der Rolle verhindert werden muß, daß sie ratscht.
Die Bolle- i^ d^egen bedarf in dieser Lage einer besonders geringen
Belastung.

Ein kleines Gewicht m ist auf der Stange AE befest^^; es -rex-
hiudert, daß der Apparat, wenn er das Gewicht M trägt, allzuleicht um
die Gerade EF umkippt.

Die Reibung in den Gelenken, in den Bollenl^em usw. ist durch
sorgfältige mechanische Ausführung auf ein Minimum reduziert. Die
Stütze 5 trägt unten eine hochglanzpolierte St^ilkappe, die beim
Gleiten auf dem Papier einen so geringen Reibnngswiderstand findet,
daß die Wirkung der scharfrandigen Bollen nicht beeinträchtigt wird.

Sollen Qbrigens die zu erzeugende Enrreu (die Kettenlinien sowie
ihre Evoluten) von den scharfrandigen Rollen nicht bloß in das
Zeichenpapier eingedrückt, sondern auch farbig aufgezeichnet werden,
so betupft man vor dem Gebrauch des Apparates den Rand der Rollen
(mittels eines Korkes oder eines Stempelkissens) mit ein wenig Stempel-
farbe, — ein praktisches Verfahren, das sauber gezeichnete Kurven liefert

3. Hinweis auf weitere Anwendungen des obengenannten
Prinzips.
Im vorhergehenden haben wir das unter 1 ang^ebene Prinzip der
Rollenkoppel in ganz spezieller Durchführung angewendet. Wir haben

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346 ^üi kinomatdBches Piinsip und seine Anwendung z

1 Eatenographen.

onsere ßollenkoppel mit einem Storchschnabel rerbmiden, hei dem der
Abstand der beiden Rollen -Rj, i^ durch den Pahrstift F äußerlich in
dem konstanten Yerhältnis geteilt wird

BjF _ ^_

In ähnlidier Weise läßt sich nno jeder beliebige Taupunkt F,
der den Abstand der Rollen ^, ^ in konstantem Verhältnis x iimer-
iich oder äußerlich teilt, mittels eines geeigneten Storchschnabels Idne-
tnatisch realisieren (Fig. 5).
Führt man an einem der-
artigen, hier im Schema
ang^ebenen Apparat den
Funkt F längs einer ge-
raden Linie, so beschreibt
die Rolle R^ eine sog.
RibaaconrscheKurre^),
d. h. eine Knrre von dex
Eigenschaft: daß in jedem
Punkte ihr Krümmangs-
radias ^ proportional ist dem Stück » der Normalen, das zwischen
der Kurre und einer festen Geraden l lit^.

In der zweiparametrigea Schar der Ribauconrsohen Knrren —
kongmeute Kurven je nur als eine einzige ge^hlt — sind außer der
einparametrigen Schar der EettenJinien (x = ~'^) bekanntlich auch die

einparametrige Schar der gemeinen Parabeln (x |) und die der

gemeinen Zykloiden (x= + 1) enthalten. Auf Grund des angegebenen
Prinzips läßt sich also wie der £atenograph ebenso ein Parabolograph
und ein Zykloidograpb konstruieren. Man könnte auch mittels eines
verstellbaren Storchschnabels einen Universalapparat fOr beliebige Ribau-
coursche Kurven herstellen. Nur der geringeren Einfachheit der
technischen AusfOhrung w^en wurde darauf verzichtet. —

Unser Prinzip der RoUenkoppel gestattet indes noch weitere
Aasblicke. Das Charakteristische der Rollenkoppel war, daß der Ab-
stand der Rollen fortgesetzt den Krümmungsradius g der von it^ durch-
laufenen Kurve realisierte. Durch den Storchschnabel vrurde der
Krümmungsradius mit einer anderen Ortsfnnktion n der zu erzeugenden

1) Q. Loria, Speziolle algebiaiBche nnd tnmazendente ebeae Kurven; Theorie
and Qeichicbte. Devtscbe Ausgabe von F. Schütte. Leipzig (Tenbuer) 1902,
S. 621—630. Auch Eneyklopädie der mathematischen WigMtwtAaften IH« D4:
Q. Scheffera, Beiondeie transzendente Enrven (1903), ttt

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Yon Rudolf Schimhack. 347

Kurve in ein&che Terbindang gesetzt. Die Idee wird also sein, weitere
solche Ortsfunktionen von Eorren heranznzielien, die sich ebenfalls in
bequemer Weise kinematiBcb realisieren lassen.

Dies ist z. B. mit der Bogenlänge s der Fall. Sie wird an dei
ßoUenkoppel obne weiteres durch den Drehimgswinkel der ßoUe iZ^
(und ihren Radius) gegeben. Setzt man daher g und s in eine bestimmte
kinematische Beziehung, so gewinnt man einen Apparat zur Erzeugung
aller der Kurven, für welche diese Ablüingigkeit

f-m

charakteristisch ist. Hieraus erhellt, daß man auf diese Weise kine-
matische Erteugungsapparaie für aile solche Kurven her^dlen kann, deren
natürliche Qleichimg hinreichend einfach ist, hezw. sieh durch einfache
Me(^umismen kinematiseh darstellen läßt.

Als ein&chster Spezialfall sei die logarithmisohe Spirale an-
geführt, fOr welche if — as + ß ist (a, ^ — const). Wir können diese
Abhängigkeit etwa so realisieren

(Fig. 6).>) Die Drehung der "« •■

Kolle B, Tun ihre horizontale
Achse wird durch Anwendung
zweier Winkelräder ic^tCj in eine
Drehung um eine vertikale Achse
Terwtmdelt; und diese Drehung
übersetzt sich dann einfach
mittels eines Fadens ff in die Hin- und Herbewegui^ eines Schlittens 09,
der die Rolle E, trägt. Der Schlitten wird in zwei Gleitachienen so
gefQhrt, daß die Ebene der Bolle i^ beständig die Achse der Rolle ^
in sich enthält. Ein nach diesem Schema konstruierter Apparat zeichnet
offenbar logarithmische Spiralen von einem bestimmten a.

Mit diesen Andeutungen mögen wir uns hier begnügen.

Gattingen, Ostern 1905.

1) FteÜidi ist za bemerken, dafi der von Abdank-Abakanowici (Die
Integtaphen naw., S. 8f.) asgegebeae Apparat zur Erzengnng logarithmiBcher
Spiialen weaenüicb eiofiiobei «racheint

db/GoogIc

348 Probleme der SpannnDgBTert^ang in ebenen SjEtemen, oaw.

Probleme der Spannnngsverteilong in ebenen Systemen,
emfach gelöst mit Hilfe der Airyschen Funktion.

Von A. TucPB in GSttingen.
Elnleitong.

Die elastischen Probleme, die in der vorliegenden Arbeit be-
handelt werden, sind gelöst auf Örund der folgenden fondomentalen
Voraussetzungen:

1. Die Körper, mit deren Spannungszastand wir uns beadüftigen,
sind Tollkommen isotrop, ihr elastisches Verhalten wird bestinmit
durch das Hookesche Gesetz.

2. Hinsichtlich der Verschiedenheit der nirklicben und der theo-
retischen Randbedingungen gilt das von de Saint-Venant aufgestellte
und Ton Boussinesq noch mehr begründete Prinzip: „Zwei Systeme
von Kräften, deren Angriffspunkte fiber ein kleines Stück a der Be-
grenzung eines Körpers verteilt sind und die dieselbe Resultante be-
sitzen, rufen in ihm, ron „lokalen Störungen" in der N'&he von at ab-
gesehen, merklich den gleichen Spannungszuatand herror."

3. Hierzu tritt noch die schon in dem Titel der Arbeit znm
Ausdruck gebrachte wichtige Beschränkung, daß es sich um sogenannte
ebene Systeme'} handeln soll.

Was die praktische Brauchbarkeit der erbetenen Lösungm ins-
besondere im Hinblick auf technische Anwendungen (Balken- und
Gewölbeprobleme usw.) anbetrifft, so sind, ron der Beschränkung auf
das „ebene Problem" abgesehen, folgende Umstände wohl im Auge zu
behalten:

1. Vom Eigengewicht, das jedenfalls bei Gewölben, Bogen-
trägem usw. für den Spannuugszutand von primärer Bedeutung ist, ist
überall abstrahiert.

2. Die Widerlager sind nicht, wie bei manchen Autoren üblich,
als starr behandelt, sondern es ist die Fiktion gemacht, daß (etwa
durch Sjmmetriebetrachtungen und ähnliche Überl^ungeu) die auf

1) Tgl. die Aumerkung S. 6.

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Von A. Taam. 949

die einzelnen Widerlager übertragenen Eräfbe bekajint sind. Nimmt
ein Widerl^er nur ein kleines Stück der B^renzong des ebenen
Systems ein, so genügt, dem Ssint-Yenantscben Prinzip znfolge, die
Kenntnis der Resultante b^^ter Kräfte. — Immerhin ist im Äuge za
behalten,' daß in det R^^l die Bedingung des Gleichgewichts in der
Annahme der einzelnen Resultanten noch Spielraum ^t; bei deu ge-
gebenen speziellen Lösungen z. B. handelt es sich also nur nm eine
statisch mögliche Beanspruchung der Wideriager, von der zweifelhaft
bleibt, ob sie in der Natur verwirklicht ist.

Die Beschickung auf das „ebene Problem" ist für die anzu-
wendende Methode von entscheidender Bedeutung: sie ermöglicht die
EiofElhrung der Airyschen Spannungsfunktion und damit die
ZurückfOhrui^ aller Probleme auf die Integration einer einzigen linearen
Differentia^eichuug. Diese Methode, die merkwOrdigerweiee noch
ziemlich unbekannt zu Bein scheint und auf die ich Ton meinem
■ hochrerehrten Lehrer Herrn Prof F. Klein hingewiesen wurde,
erweist sich als äußerst fruchtbar. Insbesondere gestattet sie, wie
J. H. Michell*) gelehrt hat, ähnlich einem bekannten Yer&hren der
Mektrizitntslehre, die Heranziehung des Prinzips der Inversion, ver-
möge dessen aus jeder erhaltenen Lösung ohne weiteres neue gewonnen
werden können. — Um den Qang der Entwicklungen nicht zu häufig
mit Er^uterungen unterbrechen zu müssen, erscheint es angezeigt, in
einem ersten, hauptsächlich referierenden Teil der Arbeit einige für die
Äirysche Funktion in Betracht kommenden Tatsachen zusammen zu
stellen. Im weiteren verweise idi dabei auf die Abhandlung von F. Klein
und E. Wieghardt, ,,Über SpannangsSäcben und reziproke Diagramme ...."
im Archiv, d. Math. u. Phys., 8. Bd., 1. u. 2. Heft. (1904.)

L TeiL

Ei^Hsehaftf n der Airyschen Funktion.

§ 1. EinflUurang der Spannangsfanktlon; Differentlalgletolinng.

In der Elastizitätstheorie ist es Brauch, auch dann, wenn die
Randbedingungen sich auf die Kräfte beziehen, nicht mit den Span-
nungen, sondern mit den Verzerrungen zu operieren. Der Grund hieiv
ftir dürfte darin zu suchen sein, daß eich bei dieser Methode durch
Einführung der Verschiebungen die Zahl der Variabein verringern läßt.

1) „The invwiioii of pUa« itieH", Lond. H. 3. iVoo. U (1001/09),

Dgt.zedb.GoOgIC

350 Problsme der Spannuiigaverteilniig in ebeueo Sjetemeu, aew.

Beim „ebeueo Problem"') bietet sioli nun aber, wie zuerst Airy*) ge-
zeigt bat, auf dem andern Wege eine viel bervorragendere Verein-
facbnng dar, die auf der eleganten Darstellung der drei Spannungs-
komponenten P, Q, ü') durch eine einzige Funktion F, die von Maxirell*)
Bogeuannte Airjscbe Spannungsfunktion, bembt. In der Tat folgt ans
den etatiscben Gleicbungen bei fehlender Massenkraft:

(1)

817 , i
8i- + -

iT»

(2)

„ ST

Kombiniert man nun (2) mit den „stress-Btrain-äleicbiingen"

(3) «- ''■|| + (*'+2c)f|.
^= "(1^ + 13.

so ergibt sieb:

(4) JJF^O,^)

wo ^ = ^— i + 3-1 ■ — Nun geborcht bekanntlicb die Terrückong w
der senkrecht zu ihrer Ebene gebogenen Platte derselben Differraitial-

1) Das „ebene Problem" liegt bekanntlich in zwei wobl so nuteracheidendeti
Fällen Tor:

a) beim nnendlich langen Zjlinder, der jede seiner Eneogenden entlang gleich-
m&fiig za ihr senkrecht beanspracbt wird;

b) bei dei unendlich dünnen Scheibe.

Im Fall a) gelten die Ol. (3) ftr 1' — 1, im Falle b) fQr 1' = ^^t - ■

2} Brit. Abboc Report, Cambridge, 1662, S. 82 nnd Pbilos. TranaaotionB 1868,
S. 4B.

3) In der Beseichnnngsweise schliefie ich mich an den „Treatise on Uie Theory
of Klosticity" von A. B. H. Lore an.

4) „Scientific Papera", vol. II, p. 102. Zu den Hazwellschen üntei-
anchnngen veigleiche man den bersits zitierten Aufsatz TOn F. Klein nnd
K. Wieghardt.

6) J. H. Micbell, „On the direct detetmination of stress in an elastic solid",
Lond. H. S. Proc. 81 (18OT).

DigitizedbyGoOgIC

Von A. TmPB: 361

gleichung. Somit gewinnen vrir mit Hilfe der Airyschen Fnnktion
ein äußerst anechaiüicheB Bild von dem in unserem ebraien System
herrschenden Spanuangszustande

Unterwerfen wir eine Lamelle den für F in einem be-
stimmten Falle geltenden Randbedingungen, so biegt sie
sich von selbst zu der der Airyscben Fläche si = F(xy) eig-
nenden Form; die Krümmungen an einer Stelle der Lamelle
repräsentiereii die Spannungen in dem entsprechenden
Punkte des ebenen Systema. Außerdem stimmt die in letzterem
herrschende potentielle Energie bis auf einen konstanten
Faktor Qberein mit der (gleichsam fühlbaren) Energie der
Biegung an der entsprechenden Stelle der Lamelle.

Leteteres fo^ ohne weiteres durch Vergleich der betreffenden
aus Bayleighs „Theoiy of Sound" und A. £. H. Loves „Treatise on tbe
Theory of Elasticitj" zu entnehmenden Ausdrücke bei Berücksichtigung
der Relationen (2).

§ 2. Die LSsungen der Differentliilgleioliaiig ^JF = als
Spannangsfnnktloaen.

Wie wir gesehen haben, ist die Lösung des al^emeinea ebenen
Spaonungsproblems gleichbedeutend mit der Integration der Differential-
gleichung jd^F-'O. Mit der Theorie dieser Oleichung und ihren An-
wendungen beschäftigt sich eine umfangreiche Literatur, von der im
Anhang eine Zusammenstellung g^eben ist, auf welche die im fol-
genden in Klammem beigefügten Nummern Bezug nehmen. Es wird
gezeigt (Nr. 15, Nr. 12), daß die in einem beliebigen Gebiete überall
reguläre LSsung von J^F — eindeutig bestimmt ist, sofern auf dem
Rande die Wert« von F und -jr— vorgeschrieben sind. In unserm
Falle lassen sich nun tatsächlich die ßandwerte F und -^r— aus den
gegebenen Komponenten Q und H der^am Rande angreifenden Kräfte
ermitteln; nach Michell (Nr. 17) ist:

1) Zur Bestimmnng der KonsliMiten a, ^, r an jedem Bande dienen drei Be-
dingongen, die Hichell (Nr, IT) aas der Forderung der Eindentigfceit der Ver-
■chiebnngen ableitet

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S52 Probleme der SpannTutgsverteilung in ebenen STstemen, nsw.

wo $ die B(^nliuige und 61 = f Gds; Hl = j Sds. Jedoch üt die

Randwertaufgabe der Differentialgleiclimig /IdF'^O allgemein erat
für eine besduänkte Anzalil ron GFebiet«n gelöst, n'ämlicli f3r den
Kreia (Nr. 1, Nr. 11), den Ereisriag (Nr. 6, Nr. 17), die durch eine
Gerade begrenzte Halbebene (Nr. 1, Nr. 12) und fOr die durch Poly-
nome auf den Ereis konform abbildbaren Gebiete, wie z. B eine Klasse
Tön Epizjkloiden (Nr. 4, Nr. 5). Wollen wir darOber hinaus die Me-
thode der Airyscben Funktion bei ebenen Spannungsproblemen an-
wenden, 80 sind wir darauf angewiesen, gewisaermaflen einen umge-
kehrten Weg einzuflchl^en, i^mlich: bekannte partikuläre Lö-
sungen der Differentialgleichung AAt ^ (und deren gibt es
eine ziemlich groÖa Zahl) als Spannungsfunktionen zugrunde
zu legen und zu versnchen, ob bei geeigneter Kombination
derselben sich Randwerte erzielen lassen, die den in der
Praxis vorkommenden Belastungsfällen möglichst genau ent-
sprechen. Man könnte diesen Weg, als Gegenstück zu der semi-
inrersen Methode de Saint-Venants bei seinem bekaunteo Balken-
problem, geradezu als die inrerse Methode bezeichnen.

Mehr oder minder versteckte Anwendungen derselben liefern be-
reits die Arbeiten Michells „Elementary DistribntionB of plane Stress"
(Nr. 18) und „The Inversion of plane Stress" (Nr. 19); den dort b^
handelten interessanten Spannnngsverteilungen liegen Airysche Funk-
tionen zugrunde, die im Gebiete selbst eine Singularität aufweisen und
so zu „konzentrierten" Kräften*) Anlaß geben. — Allgemein sind als
Lösongen d» Differentialgleichung ^JF= bezw. als fOr die Defini-
tion von Spannungszuständen geeignete Funktionen zu nennen:

1. Die Gmndlösnngeu: const., Igr, r*, f*]gr und die daraus abge-
leiteten „zweiten Potentiale" 1 1 p(*i,yi)T(^~lgO'^i*^!'i "'^ '^*° Stellen
von der Dichte p = (Nr. 16), analog natürlich alle logarithndschen
Potentiale.

2. Die Funktionen von der Form {ax + hy) ■ *p{x, y) oder
(«* -|- y*) ■ <p{x, y), wo fp{x, y) eine beliebige Lösnng von jdip •=
(Nr. 6).

1) Uui spricht Ton einer konzentrierten Kraft m einem PnnHe, wenn da-
selbst die Spannung bezogen anf die Ungeneinlieit unendlich groß, ihre Resol-
tdnte aber endlich ist. FQr die physikoliBche ReHÜBiernng hat man natürlich die
Umgebung eines solchen Punktes ansEnsondern bezw, dnicb eine starre FOllnng

DigitizedbyGoOgIC

Von A, Tuff«. 353

3. Die trigonometriHclieD Lösnngen (Nr. 20)

r-coBnÖ, »-"Binwe; r"+»C08«ö, f" + *BiiinÖ;
coBn0 BmnO cosnO bIhmÖ

(bezv. die entsprechenden einfachen ntdoDalea Funktionen von x, y),
aowie 8, r'Ö (Nr. 19). Wir notieren beiläufig, daß umgekehrt jede
Lösung TOn ^^F=0 sich darstellen Uifit:

1. als Summe eines logarithmischen oud eines zweiten Potentials;

2. in der Form {ax + iy)fp{x, y) + i){x, y)

oder (a;* + y') ■ q){x, y) + i>{x, y)
wo ^(x, y) und iii(x, y) Lösungen von .Jqi — bezw. j4ii> = 0.

3. Demgemäß im Kreise und Ereisringe durch trigonometrische
Reihen.

§ 3. Inversion von SpannnugsvertellTingen.
Von großer Bedeatnng ist schließlich noch die von Leri-Civita
(Nr. 14) und Micheü (Nr. 19) bewiesene Tatsache, daß die Differential-
gleichung iJ/lF — gegen&ber der Substitution

invariant ist, daß man also aus jeder AirjBchen Funktion F vermöge
obigen Inrersionsprozesses eine neue Spannui^funktion F' ableiten
kann. Wie Midiell weiter beweist, ist der ZuBammenbaiig der beiden
durch F und F' definierten Spannongszustände äußerst einfach.

Legt man nämlich Polarspannungskomponenten ^, C, U zognmde,
so gilt

^ = - ^ — |- -j jzi (radiale Normalspannung),

(7) O — -n-f (peripherische „ ),

^ rr{T~S} (Sctubspannung).

Die radiale Tersehiebung u und die peripherische Verschiebung D
sind mit den Spannungen durch die Formeln verknüpft:

Digliz=db,G00glC

354 Probleme der SpannangsTeiteüiuig in ebenen Sjitomen, nsw.

Es zeigt sicli ntm, daß die aus der Fanktion f abgeleiteten
SpannuDgen ^', C, U' mit den ^,0,11 durch die Formeln zustoamen-
hängeQ:

(9) D' = r*-D + 23f,

U' - - r» ■ U.

Hier hat M~ F- r~ = -r» ■ (l" -r'^^) den Wert des
resultierenden Moments der Spannungen, die längs einer beliebigen von
einem festen Punkte bis zu (r, 0) erstreckten £urve hemdieD. — In
Worten lautet (9):

Siekt man von einer hydrostatischen (d. h. an einer Stelle
allseitig gleichen) Spannung 3J(f ab, so verhält sich der stress
bei der Inversion invariant: auf korrespondierende Linien-
elemente ds und ds' — -^ wirkt die gleiche Spannung in
korrespondierender Richtung; die Spannungstrajektorien
gehen in Spannungstrajektorien Über.

Zudem wird bewiesen:

Ein gleichförmig gespannter, z. 6. spannungsfreier Rand
geht bei der Inversion stets wieder in einen gleichförmig
gespannten Rand Aber.

Wir werden von diesen %tzen im zweiten Teil der Arbeit eine
Reihe wichtiger Anwendungen machen.

II, Teil,

Probleme der SpannnDgsrerteilaiig in eheoen Systemen.

1. Kapitel: Der gerade Streifen and der von sich berührenden
Kreisen begrenzte krtuni&e Streifen.

A. Die Hauptlösungen.
Bemerkung. Als Hauptlösungen fQr einen Streifen bezeichnen
wir jene Spannongsverteilungen, bei welchen nur seine beiden Schmal-
seiten von äußeren Kräften beansprucht werden, während die beiden
Langseiten frei sind.*)

1) Von einer „uDsigenÜichen" HanpÜOaung wollen wir beim krammen 8la«ifen
Bprechen, wenn die Laugeeiteu je nnter gleicbmäBiger Spannung itehen.

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Ton A. Tum. 366

§ 4. Zog oder Drnok an den Solunalselten.

a) Die Spannnngsfonktion

(1) r-|-»'

liefert in kartiesiBclieii Komponent«i:

cn e-o,

Ü-O.

Diea entspricht dem Em den SchmalBeiten x ~a und x= ~a
gleicbfönnifi; auf Zag oder Drnckbeaospnichten geraden Streifen, (Fig. 1.)
Als einfachste YeraUgemeinenuig sei erwähnt:

(2) D-«'
U-0.

Für X » x' erhalten wir den Fall der gteichmäSigen Spanniuig x.

b) Wir wollen nau den dnrch (1) de&iierten Spanuungsznstand
invertieren. Bei Anwendung von Folarkoordinateu erhält man offenbar:

(3) F' = ^sin»e';

(3') D' = 0,

" 2 r '

Spannungstrajektorien sind jetzt (vgl. § 3) die ans den Geraden y — const.
and x ^ coost. hervorgegangenen EreisBcharen ij und $, die die
Achse y = bez. x = in zur ge- ^ ^^

meinsamen Tangente haben; längs jedes ^

dieser Kreise herrscht konstante Span- » ( -{ x- ]^

Dong. Haben z. B. die als Begrenzong i

gewählten t^- Kreise 1 und 2 die DurchmMser d, und d^, so
wirkt normal auf ihnen die Spannung — ^ bezw. — = ■ Wir können
nun dnrch Überl^erung einer konstanten Spannung j, den Kreis 2
spannungsfrei machen; die Lösung ist dann:

D.git.zedb/GoOglC

356 Problen

(4)

e der SpanunngsTerteilong in ebenen B^Btemen,

"■+9-.

.(*')

U'-

(lins«'

^--- + «(J, + i

Die Beacspracliiuig des Kreisea I ist pro Längeneinheit:

Wahlen wir rechte und links als Begrenzung StQcke von zwei
(symmetrischen oder onsymmetriachen) I-Ereiseu, so üben diese auf
ihre Widerlager pro Längeneinheit die normal gerichtete Kraft

(6)

aus, wo r', 0' sich auf die anf 1 gelegene Ecke beziehen. Damit haben
wir die Lösung fDr einen krammen Streifen, der längs seiner einen
^^ j Langseite senkrecht zu ihr gleich-

mäßig gespannt wird (Fig. 2). —
Eine interessante Ausartung er-
halt«! wir, wenn wir als Kreis 1
die X-Achee wählen und aus dem
TOD 1 und 2 begrenzten Gebiet
an der EinschnfirungssteUe ein
Stück herausschneiden. Offenbar
wird dann in eine konzen-
trierte Kraft K— ^ Qbertr^en
(wovon man sich am ein&chsten
durchZurückgehenauf denParolIel-
atreifen aberzeugt). Nehmen wir
den Fall, daB Kreis 2 spannungs-
frei ist, die X-Achse aber eine gleichförmige vertikale Last W trägt,
BO gelten die Gileichnngen (4), (4'), (6) für d^ — oo:

1

1 1
1 1
\ 1
\ !
\\
\v

f — * — ^
1 1/

W

(')

$- _ w[l + '-
ß'- w,
U'-

V ^

Digiliz=db,G00glC

(T) D-Tr(l+||),

wenn 21 die Spannweite auf der X-Achse,
und periplieriscten Verschieb ongeu Bind:

Die zugehörigen radialen

(8)

4)i r

g !i ^?'gB.'iiMa .

Diese Löani^ entspricht in
etwa einem ToUwandigen Bogen- Uli
träger mit Scharnier, der eine
gleichmäB^^ Vertikallast W trägt
(Fig. 3). Die Eämpferfugen sind
80 geschnitten, dsS in ihnen
keine Schubspannnngen entstehen.
Schneiden wir dagegen gerade und
Tertikai im Abstand -j- 1 nnd — l ab, so werden die Reaktionen

tr

(9)

(xx)- W[l +^.cos'e'(co«"e'-8 8in'ö')],

(»»)-

C08*Ö' ■ 8in46'.

Endlich mdg« noch erwähnt werden, daß damit zugleich das
Problem der „geschärften^) Schneide" (Fig. 4) erledigt ist.
In der Tat, wenn wir den Farallelstreifen invertieren, der von
den Geraden * = Ji nnd y = — « begrenzt
wird, und sodann durch Überlagerung der
gleichförmigen Spannung ^^ die ausjenen berror-
gegangenen Kreise spannungs&ei machen, so
werden wir auf dieselbe Lösung gefOhrt.

Angenähert läßt sich unsere Formel natür-
lich auch für Bockgerüste mit schmaler
First (Fig. 5) usw. verwenden. Die auf die

bewirkt eine Reaktion des Bodens tooi

Spitze wirkende Kraft K
Betn^:

Norm&lreaktion = öj- [l + ^

i'(cos»e'-3sin>e'}],

Schabkraft = ^ ^ cos» 8' sin 4,0%

1] Beiflglich der kouTexen und der geiaden Schneide vgl. .Michell (Nr

ZdUobrlA I. HMIwmiUk q. Phjilk. 51. Bud. IMt. t. HeR. 34

oglc

358 Probleme der Spannungsvertoiltuig in ebenen STstemen, agw.

wo die NormtJreaktion jed^tfalls solange mit K gleichen ZeicheoB ist
als $■ < 30».

§ 5. Reine Biee;niig des geraden Streifens and Inversion dersriben.

a) Die Spannungefonktion

(10) F-\^

liefert in kartesischen Komponenten:

(10') e - 0,

P-O.

Nehmen wir einen von den Geraden y = -\-'b nad y = — h be-
grenzten Streifen, ao reeoltiert Ober jeden Querschnitt die Kraft und
das konstante Moment M — -| x^. Demnach haben wir den Fall der
reinen Biegni^ des geraden Streifens Tor uns (Fig. 6); es gilt das
lineare Spanuangsgesetz, d. h. das
\ in der technischen Literatur so be-

■ zeichnete Gesetz, daß die Normal-

'' Spannungen Ober einen Qnerechnitt

linear verteüt sind. Die Yerschie-
bnngen u,b sind wieder nach Einsetzen von (10") in die stress-stmin-
Gleichnngen durch ein&che Quadraturen zu berechnen. Nehmen wir
die beiden Geraden y = c^b und y — c~b als Begrenzung, so kommt
zu dem konstanten Moment M noch eine in der Mittellinie (y = c)
wirkende Kesnltaote K=2xbc hinzu.

b) Wir fahren nun Poiarkomponenten ein und invertieren den
durch (10) bestimmten Spanaux^zustand:

(") F'-l^-i

$■ - j^,(3siii »'• CO«'»' — äsm'»'),

(»■) o'-äf,-.m'e',

U'-^.«m'«'co8r.

SpaonimgatrE^ektorieTi Bind DAtKrlidi wieder die beiden Ereiascbaren |
und 71, nnd zwar findet man leicht, daß anf den ij-Ereisen mit den Durch-
meaaem d die konstanten Spannungen — ^j, lierreclien. Somit können
wir (vgl § 4, b) das Problem des etwa auf der Oberseite gleichmäßig

:;eE

Digiliz=db,G00glC

Von A. TrupK. 359

beanHpr achten krammea Streifens lösen, wenn dieser au den
Schmalsditen durch ein Moment und eine jener Beanepnichnng
korrespondierende Kraft angegriffen wird; letztere wird im allgemeineii
nicht mehr in die HitteUinie des Streifens fallen. Non wollen wir
diejenige Verteilung (4), (4*)
fiherlflgem, die mit der vor-
liegenden Lösung kombiniert
den oberen Rand gleich&lls
spannungs&ei macht. Wir er-
halten dann die Lösnog fßr den unbelasteten, auf Biegung be-
anspruchten krammen Streifen, an dessen Enden noch zwei
gleiche nnd entgegengesetzte horizontale Kräfte angreifen.
(Letzteres lehrt die statische Betrachtung). (Fig. 7)

(12) F- _ _ _^ + i ^ - 8 -d,-dr(C+^) i + ^i'

?' - sp-. ■ (SsinÖ' co8»Ö' - 2ein»e') + \~

» i.d,(d,-|-d.) V r- ^ d\) >
(12') t}.' = ~9inH

U'-.l.sin^ö'

"d.d.Cd.-l-d.)'
» rfj -f. d , (f, + dj

Die horizontalen Resultanten haben den Betr^:

^^'^> -^ G <i,-|-a, ä\d\

Das Moment beträft an der höchsten Stelle:

'■^*-' "^ 12 d\d\

Allgemein ist das Moment Ober einen Querschnitt gleich dem
Produkte aus K und dem Abstand des Mittelpunktee von der X-Achse.

§ 6. Das dB Salnt-Venantsohe Problem doB geraden Streifens nnd
InTenton desselben,
a) Ein an einem Ende x =- eingeklemmter Streifen') von der
Höhe 2A wird au der Stirnfläche x = a mit der Kraft K belastet

1) Bin Streifen beißt im Punkte a; — y = eingeklemmt, '
Befeatignagsbedingangen m ^ v •= x- ^0 erfüllt sind.

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360 Probleme der Spftonnn^Torteilang in ebenen Sjitemen, tuw.

(Fig. 8). Die Airysclie Fnnttion, die dem dadurch herroi^enifetieii
Spannui^zuBtuLd enteprichi, muß folgenden Bedingungen genügen;
5—5- und %-T mttSBen fttr w — + 6, „- -,■ muß fQr a; — o verBchwinden.
Man Teriflziert, daß diese Bedingungen nebst der Diflferentialgleichung
JJF — erfüllt werden von
(15) J'= X • (y* - 3ft«y)(a - xy).

P = 6xy(o — a:),

(15') e-0,

£;-3*(y»-6^.

In der Tat sind der obere and untere Rand spannungsfrei; Ober
jeden Schnitt x = const. resultiert aus den Kormalspannungen, fltr die
das lineare Gesetz gilt, ein Moment
"« *■ M'-b'4ii(a~x) und eine Vertikal-
kraft K 46' ■ x. Nach dem Saint-

Yenautschen Prinzip realisiert eine am
freien Ende angebrachte Kraft K den
diskutierten Spannunga zustand , wenn
von lokalen Störungen abgesehen wird. — Führt man die gefundenen
Werte der Spannungen in die streas-etrain-^leichungen ein, so erhält
man durch bloße Quadraturen das Saint -Venantsche Resultat fflr
die Verschiebungen, falls die Balken breite rerscb windend klein ge-
nommen wird.

b) Invertieren wir diese Lösung, so erhalten wir z. B. den Fall
des auf Biegung beanspruchten krummen Streifens, dessen obere
Kante ^eichmäßig gespannt ist, während fOr die freie Stirnfläche sich
eine im allgemeinen nicht in die Richtung der Mittellinie &llende
Resultante ergibt Kombiniere wir nun die uneigentlichen Haupt-
löaungen b) der §g 4, 5 und 6 mit einer konstanten gleichmäßigen
Spannung, so können wir fQr unseren krummeu Streifen offenbar
die (vier) Bedingungen aufstellen, daß die beiden Ränder eine vot-
geschhebene gleichförmige Spannung erfidiren und an der freien
Stirnfläche das Moment einen bestimmten Betr^, die durch de
Mittelpunkt gehende Resultante eine vorgeschriebene Richtung habe.
Soll letztere auch eine bestimmte Größe haben, so mflsseu wir etwa
die Stärke der gleichmäßigen Spannung des einen Randes disponibel

.HHHEEEEE^^^

1) 9. Abhuidlnog von F. Klein und K. Wieghardt (Nr. 9).

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B. Die LdBnngen für den stetig belasteten Streifen. *)
Bemerkung: Bei den folgenden Lösungen ist das Augenmerk
stets nur auf die Befriedigung der auf den beiden Langseiten vor-
geBctriebenen Bedingungen gerichtet. Die an den Schmalseiten ge-
forderte Beanspmchnng ist dann stets gemää dem Saint-Venantschen
Prinzip durch Überlagerung der Hauptlösungeu zu realisieren. Beim
geraden Streifen nämlich, der ev. eine vertikale Last tri^^ können,
wie die statische BebKchtui^ zeigt, nur folgende Tier ElementarMl«
hinsichtlich der Bedingangeu an den Schmalseiten vorliegen:

a) zwei gleiche und entgegengesetzte horizontale Resultanten;

b) zwei gleiche und entgegengesetzte Momente;

c) zwei vertikale Resultanten gleicher Richtung;

d) eine vertikale Resultante eiuerseits, eine gleiche und entg^en-
gesetzte vertikale Resultante nebst einem equilibrier enden Moment
andererseits.

a) und b) lassen sich immer mit Hilfe der ersten und zweiten
Hanptlösung regulieren, während c) und d) sowohl beim beiderseitig
unterstützten als auch beim einseitig eingeklemmten Streifen durch die
dritte Hanptlösung den g^ebeuen Bedingungen angepaSt werden. —
Bei dem durch Inversion erhaltenen krummen Streifen müssen wir
noCb eine vierte uneigentlicbe Hanptlösung hinzunehmen, die aus der
in § 7 a) gegebenen Lösung durch Inversion hervorgeht. Durch Heran-
ziehung einer gleichmäfiigen konstanten Spannimg können wir dann in
der Tat aufier der Bedingung der Spannungsfreiheit der beiden Laugseiten
noch die drei Bedingongen an der einen Schmalseite: Resoltante nach
Richtoi^ und Größe und gegebenes Moment, befriedigen. Wenn aber
das snperponierte Hauptlösungssystem für die ErfOUung der Vorschriften
auf der einen Schmalseite Sorge trägt, so muß aus statischen Gründen
am andern Ende die richtige Beanspruchung von selbst eintreten.

g 7. Der gerade Stnifen unter gleiolm&Bl^r, lüie&r oder qaadratlBcIi
waohsender Belastung.
a) Die Funktion

(16) f_ ^ . :,.(j^ _ SJ'ä, - 26«) - ^ . »■(,• + Sa")

genfigt der Differentialgleichung ^JF=0 tmd definiert folgenden
Spannungszustand :

1) In die Almannacben Arbeiten über Balkenprobleme , von denen ich kon
vor Dmoklegong dieaei Arbeit erfuhi, konnte ich leider niobt mebr Emüoht nehmen.

DigitizedbyGoOgIC ^

362 Probleme der SpannungaTerteiluiig in ebenen Systemen, luw.

P=5x-y(x* - a») - 2xy'',
(16') e_x-(y»-36»j,-2&»),

Für y—±b verBchwindet ü", ftlry= — 6iaty=.0; fflry=: + 6
^ wird § = — 4x ■ Ä". Unsere

Lösung entspricht alao dem eine
gleichmäßige Lnst

(17) TT 4xi'

pro Längeneinheit tragenden

geraden Streifen (Fig. 9). Das

lineare Spamtnngageaetz, das in der technischen Literatur f^ alle Be-

lastungefiUle als richtig angenommen wird, gilt nnr noch in erster An-

nähenmg, insofern das Zuaatzglied in y von dritter Ordnung ist

Die Terechiebnngen werden:

{iS'[(A'+2,*)(x»-3o*)-(3^'+4^)/+3i'ft*]+2A'6'a!},

(18)

*f (!'+»')

4pCl'+C)

|(3r + 2^)^ - |y'[(i' + 2t.)ft» + A'(^ - «')]
- 2(A'+ 2/.) ft^t, + f a:»[(A'+ 2**) a' + (3A'+ 4^)fc'- (A'+ 2^) • ^') ,

wobei als Befestigungsbedingnngen u = v = ^-- = tür x = y =
geirahlt sind.

b) Die Funktion

(19)

'i'ff-

x^-^b'.^S + '-.xs-'^-^]

gentigt der Differentialgleichung jöJF—d nnd defini^ folgenden
Spannnngsznstand :

T~x-xy{x*-2y%
aSO Q-jca;(j,»-36V-26»),

f;-=x-(-^V-6') + i(/-6*)|.

Für

f b vergeh windet U.
sig. 10.

Für y b wird C — 0, für

j/ -= + 6 wird Q=. — Ax- b*x.
Demnach stellt onsere Lösung
den Spaimungszostand in einem
geraden Streifen dar, der eine
. stetige^IinearwachsendeBelas-
tungtri^(Fig.lO). Wiederum
gilt das lineare Spannnngsgeeetz nur in erster Am^erong, insofern
das Zusatzglied in y von dritter Ordnung ist

db/GoogIc

Von A. Tiiip«. 363

Die VersdüebiiDgeii werden:

"-Jircr+r,) • |('' + ^rt • «'"ö"'' - »■) - *'|V - 3»V - zs-)

(20) , " \. "'

+ (81- + 4rti.'- !'-(»' + 2rt|„'},
wobei wieder die Befestigangsbedingangen u = tJ=;-=0 für x = y'—0
gewählt sind.

c) Die FanktioD

(21) ii-_x.(il'/-»j.-j,-'jV-A^/+|'«'j + |V+l,ft'«'+|^>' + itl»')
genügt der Differentialgleicbung ^JF=Q und definiert folgenden
Spannongsznetand :

P = X ■ (iic'y - 2a:V + 26V + »V + hf),
(21 e - " ■ (a^y* - 3ft*^y - 2fc*2:» - ly* + 6*y + ^6'),
ü--x.{-a^(y'-6') + :r(y*-6*)(.

Für y = ± 6 verBchwindet D"; für y 6 ist § = 0, filr y = + 6

erhalten wir

(22) . e = -4x-&»a:* + y«.6>.

Den konstanten Teil von Q können wir, wenn wir wollen, dnrch
Überlagerung einer Löaui^ (16)
zum Verschwinden bringen und

haben dann die Lösung fOr einen llilii i i ^'^'TTni i ■hiiiit" ■'' ■' ■

geraden Sbvifen, der eine qua- p 7 — ^^^^

draÜBch wachsende stetige Belas-
toDg trägt (Fig. 11). Das lineare

Spaonungsgesetz kann noch als in erster Annäherung gültig bezeichnet
werden, da das in y quadratische Glied mit dem Koeffizienten &' behaftet ist.
Die zu (23') gehörigen Verschiebungen werden:

(28) +[f.(6J'+6rt- »• + (!' + 2rtiy(»+2i)-«V-^"']-»l,

" -IRf+S • 1- «'*' + ^'')'^ + i^^*' + ^l*^ ■ ''"^ - !"='»■

- (3 J'+4rt jV + i(3i + 2rtx'»' - (J' + 2,L)Vx'y ■ (|j( + 26)

- (»'l' + <C) ■ t - ■''(iV + ä»V) + a- + 2rt» . g"» + i J') }
bei den Befestignngsbedingungen u == v — g- ■>- für x — y — 0.

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364 Probleme der SpaimQngtverteilDiig in ebenea SjBtemen, usw.

§ 8. Der gerade oder bnunme Streifen imter beliebiger Be&impraaliimg.
a) Wir nehmen an, daß sich die beliebige normsle Belastung eines
geraden Streifens in Form einer Fourier- Entwicklung darstellen
lasse. Dementsprechend setzen wir zunächst F als Prodokt eines all-
gemeinen Sinnsgliedes in x, smaz, und einer reinen Funktion Y roa y
an und sehen zu, in welche Bedingung für T dann die Differential-
gleichung dii^F—0 übeigeht Wir erhalten die Gleichung:

ro*- r-2<D».r"-i-r"'=o

deren allgemeine Lösung gegeben ist durch l'=x,c*'''-f ä(,c-"' + «jye"»
+ x^ye~''''. Somit erhalten wir:

(24) F=Bia4ax-{xie''» + x^e—'' + x,ye'''' + x^ye-'-f};

P — sinroa:' {x,(i)*c"'-|-Xja)'e~"''+2)e,i»e"'— 2x^(06-'"+ X(Oj*ye"'
+ x^m'ye-''},

C24"l ^ at* •ainax- {x^e"' + x^e-"' + x^ye"' + x^ye--*],

ü=~<a ■ cosraa; ■ {x^toe"' + x^toe'"* + x^e"* + x^e~'" + XfOye"'
— Xtaye-""].
Schreibt man nun die Randbedingungen: U = (Sr 'y = und
y~2b und Q — fftr y =- 0, Q — const. ainiox fllr y = + 2fc Tor,
so erhillt man fQr die Konstanten die Werte:
Xj — — )(, — c,

— l + iab + e^""

X, = CO ■ ■ ■ T— j ,

^ 1 - 2»6 — (1 + arnft)«*""*

X -CO -i + ^*'" + i<'be*-''
* 1 — 2 mfc — (1 + 3 0)6) e*™*

Ist nun die Belastung des Streifens (Fig. 12) von der Länge 2a
daigest^t etwa durch die Reihe W = ^-Af sin m^, wo o, — ^ , so
lautet die Lösung: '

(25) F— Vcjainw^a;- (c*." — e""** + y,rajye".» + j-^m^y ■ e"".-»};
P — Vc,o?Bin m,x { e"'» — e— <» + y^ • (2e"* 4- »,-ye"*»)

(25') Q ^Ciaj3ma,x\^i'' ~ e-^i' + y,(Oiye™'*+ yjffljye""'»'),

Ü ^CirofcoBro,a;-{c"*»+c--rt'+yi(l+flj^)e".*+j',(l— ra4/)e-"<»|.

DigitizedbyGoOgIC

Von A. TiMFB.
Dabei ist gesetzt:

und

**» ^ i_2„.b_(i.|.8„^t)e*°'(*'

***"" l — 8«.j6- (1 + 261(6)«*"'*

Die BerechniiDg der Yerschiebungeii TermitteU der stresB-strain-
Gleidiuiigen bietet in einem speziellen Fall keine Schwierigkeiten dar,
sodaB das Problem des eine beliebige normale Belastong tr^enden
Streifens als erledigt angesehen werden kann. — Man sieht übrigens,
daß unser Verfahren gleichfalla zum Ziele föhrt, wenn Q auch auf der
Geraden y =- und U anf y —

und y — 2 fe beliebig Torge- , ^rtjifrtll ^*'' "'

schrieben ist, wenn also der ^■ gl^l'.iC 1 ISfgl

allgemeinate BelastungsfaU vor-
liegt.') Dies deckt Bich mit
der Lösung der allgemeinen
Kandwertanfgabe der Differen-

tialgleicbnng ^/lF—0 im ParaUelstreifen. — Nebenbei bemerkt be-
darf es zur Bewältigung des (außer dem diskutierten) in der Praxis
wobl noch am häufigsten vorkommenden Falles, daß nämlich auch die
Unterseite des Streifens eine beliebig verteilte normale Last triigt, keiner
neuen Rechnungen mehr: wir haben dann nur zwei LSeui^en vom
Typus (36) zu überlagern.

b) TJm die Spannungsverteünng in dem mehrfach betrachteten
krummen Streifen bei beliebiger Beanspruchung zu ermitteln, trans-
formieren wir ihn durch Inversion in einen geraden Streifen; bezüglich
der Umformung der durch die Beanspruchung voigesehriebenen Rand-
bedingungen sind die Sätze von § 3 anzuwenden. Da M und mithin
die beiden HauptepUnnungen nur bis auf eine additive Eonstante be-
stimmt sind, so haben wir zum Schluß, wenn wieder auf den krummen
Streifen truisformiert wird, eventuell noch eine gleichmäßige konstante
Spannung zu überlagern.

1) In die«em Fall üt natOrlich da« in der Yorbemerkong, 8. SSI, Aber die
Bedingnngen an den Sdunüseiten Qetagte zu modifizieren.

DigitizedbyGoOgIC

Probleme der SptumiiDgaverteiluttg in ebenen Sjetemeu, ubw.

2. Kapitel: Der von sioh nicht Mbnetdenden,
Itubesondere von kouentriflohen Kreisen begreoEte StreUini.

A. Die Hauptlfisangen.
§ 9. Die reine Blegnng des Erelsiingaektors.

Um für den von konzentrischen Kreisen begrenzten Streifen die
HauptlÖBungen, d. 1l diejenigen Lösungen zu erhalten, die die Kreis-
i^der spannungsfrei lassen, greifen wir zuiuichst die Äiryschen
Fanktionen heraus, die nicht vom Winkel 9 abh&ngea und deshalb bei
Benutzung von Polarkomponeuten keine Schubspannungen liefern, also
die Grandlösungen der Differentialgleichung ^^jP=0.

Wir setzen an:

(1) J'=)(,.lgf + x,-r»lgr-f x,.r».

Die zugehörigeD radialen und peripherischen Verschiebtingen werden:

Da b im VoUringe unendlich vieldeutig sein würde, so erkennen
wir, daß wir den mit Xj mnltiplizierten Term nur solange beibehalten
dfirfen, als wir ea mit einem Rii^sektor zu tun haben.

Wir bestimmeD unter dieser Voraussetzung die Verhältnisse der
Konstanten *i,x%,*i so, daß auf den beiden Kreisrändem r^a und
r » 6 die Nonnalspannungen Terschwinden. Es ergibt sich;

(2) F^.. {2a'6'^^.^lgr + r'lgr-(^^2^^?-^i)r');

C2')0 = ..|-?^.^-^^+2(lgr+l)-2?!i^5|;'«*), .

U-0.

"■■ '*■ Wie die statische Betrachtung zeigt,

maß ans (2), (2*) den Fall der reinen
Biegung des Kreisringsektors (Fig. 13)
repräsentieren, was durch Resultanten-
bildung über einen Querschnitt B = consL
in der Tat bestätigt wird. Fflr das Moment ergibt sich

(3) M - « . (2«'!,'SSi^^«.' _ ?■=_»■) .

Digiliz=db,G00glC

Von A. TiMPK. 367

Baß wir bei nnserm Ansatz eine von verschiedene HanpÜSsnng
erhielten, verdanken wir offenbar der Existenz ron mehr als zwei
Orundlöaungen der Gleichang JJF= 0. ^_ _

Dementsprechend gibt ee auch, wie hier
nebenbei erwähnt sei, unendlich viele
Lösungen von der Form (1), die dem
Fall des ein- oder beiderseitig belas-
teten Ringsekton entsprechen. Erst
wenn wir eine weitere Bedingung för die

Schmalseiten vorschreiben, etwa daß kein Moment auftreten soll
(Fig. 14), ist das Resultat eindeutig bestimmt. In dem bezeichneten
Falle ergeben sich, falls die Seite r '^ a unbelastet ist, fSr die Kon-
stanten x,,]^,x, die Werte:

6■(lg8-lg6)-^a

(5':

X, W-

(4)

2(lg<.-lg6)H-~-

*(lg°-lg6)'-8 ^'''~6r"

a*lga~6*lg6 + a

21ga(lea
W

§. 10. Das de Saint-VenuitsotLe Problem des EreisringsektorB.

Wie sich in § 11 bei Behandlung des allgemeinen Belastungs-
problems fSr den Ereisring mit Hilfe der trigonometrischen Lösungen
der Gleichungen J^F — im Zusammenhang herausstellen wird,
müssen die niedrigsten trigonometrischen Terme passend kombiniert
gleichfalls eine Hauptlösung liefern. Macben wir jetzt einfach den
Anaatz:

wo ^JF-^Q erfallt ist Di© zagehörigen Verschiebungen werden:

Da die mit x, multipliziertoi Tenne im Yollringe unendlich viel-
deutige Verschiebungen veranlassen wttrden, so ist dort immer Xj —
SU setzenu Nur im Ringsektor kann x^ + beibehaltai werden.

db/GoogIc

S68

Probleme der SpannunggTerteilung in ebenen Systemen,

Wir IteBtimmen nun in letzterem die Eonstanten bo, daß die
Schubspannungen &ber die EreiBränder r = a und r = i Terschwinden;
dann zeigt sich, daß dort gleichzeitig die Nonualapannungen reischwinden,
und man erhält:

(6)

F-x

(6')

-^-8r],

Die B«8nltante Über die längs eines Schnittes 9 ^ 8^ virhenden
Schubspanunngen ist

(7) Z, = Zo-sinÖo,
die Qher die Kormalspanuungeu

(8) Kt — K^coee^,

wo Ä, = a;[lg&-lga-|^r]-

Beide gehen durch den Mittelpunkt des Einges. Fflr 9^ — 9Cfi
erhält man den Fall ein» senkrecht zur
Achse des krummen Streifens angreifenden
Kraft K^ (Fig. 15). Soll auf der Außenseite
r '—b eine konstante Normalspannung lasten,
so haben wir nur etwa die Löstmg

mit x' — TT- ,^. i zu überlt^m und den-
jenigen Querschnitt zu bestimmen, fdr den
jetzt die Resultante der Normalspannnngen rerschwindet Uan erhalt:

(10)

COB öj — -

"■ T.tLX. + '8'-'»«

1) Dieee Larang Sniet eich bereite, auf vOllig anderem Wege abgeleitet, in
dem noch unTerOffeutlichteo ManaBkript des Herrn Prof, Pr&ndtl („Spannonggini-
stand eines gekrSnunten Stabes nach der strengen Blastizit&tstheorie"), in das ich
Bchon vor längerer Zeil durch die gütige Vermittlnng toq Herrn Piof. Klein
Einsicht erhielt. Es ist jene Abhandlung, aaf die Fdppl in seiner „Festi^eits-
lehie", 3. Anfl., g 70a (S. 45S) Bezog nimmt. Wie ich nachtaAglich er&hre, ist
Ben Prof. PrandÜ anch bereits im Beiits einer LOsnng fOr den Fall der reinen
Biegtmg im Bingiektor.

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(Das anSerdem auftretende Biegungsmomeiit wird durch Überlagerung
einer Hanptlöeung (2) entfernt.) Die BeBultante der Schubspannungen
über diesen QueiBcbnitt ist

(U) Z,=|/(^-_^j^-ig<. + igt)»i:'-t'W^-

Gibt man Z", and W vor, so ist x und
x' za berechnen. Damit ist das Problem
des krahnähnlichen Streifens, der anf der
Außenseite eine konstante Normalbean-
spmoliung erfährt and am Ende eine verti-
kale Last tnigt (Fig. 16), gelöst.

Wählen wir beide Stirnflächen gemäß
den zwei aus (10) zu entnehmenden Werten von 8^, so erhalten wir
den Fall des eine konstante radiale Beanspruchung er&hrenden Sektors,
der an den Enden durch Transrersalkräfte
gehalten wird (Fig. 17).

Dnreh Inversion gelangen wir von hier
zu einem Streifen, der auf der einen Seite
von einer Geraden begrenzt ist, die eine
gleichnüßige normale Spannung erfährt,
während die Stirnflächen durch zwei symme-
trische Kräfte gestützt werden. Wir haben damit in etwa die Lösung
tüx ein Gewölbe unter gleichmäßiger vertikaler Belastung, also einen
praktisch recht bedeutsamen Fall, ge-
wonnen (Fig. 18). In der Tat steUen '^ '"■

uns die Lösungen (1) und ,6) im E':^ll\^^nn 'f'""!'!!""!''!!'!!'' 'Ifir Tlllili

ganzen vier unabhängige Konstante

zur Verfügung, so daß wir folgende „-''^ ' ~— ^

vier Bedingungen erfüllen können:

die Unterseite des Gewölbes sei unbelastet, die Oberseite trage eine
gleichmäßige normale Last W; an den Stimäächen habe die Resultante
durch den Mittelpunkt gegebene Richtung und das Moment einen ge-
gebenen Betrag.

B. Die allgemeine Lösung.

Bemerkung. Das zuletzt behandelte Beispiel zeigt bereits, wie
man auf Grund des Saint-Yenantschen Prinzips durch Kombination einer
den Bedingungen auf den Kreisrändem genügenden Lösung mit den
Hauptlösungen (im eigentlichen und uneigentlichen Sinn) auch die fi)r
die Schmabeiten vorgeschriebenen Bedingungen befriedigt. Wie schon
in unserer Bemerkung im 1. Kapitel (S. 361) hervorgehoben, genügt

D.git.zedb/GoOglC

370 Prableme der SpHnnnnf^vetteUang iu ebenen S;Btemen, nnr.

es im allgemeinen, für die B^alisierung der an der einen Schmalseite
geforderten Beanspruchnng Soi^e zu tragen, da die entepredtende
Lösnng dann aus statischen Qründen den Vorschriften an der andern
Schmalseite von selbst nachkommt. — um nun hier die transrersale
Resultante zu regnlieren, haben wir nur eine geeignete HaupÜösnng (6)
zu überlagern, fQr die an der betr. Schmalseite das Moment Ter-
Bchwindet — Axiale Resultante und Moment werden durch Kom-
bination einer Haaptlösung (2) und einer Eauptlösung (6) geliefert,
welch letztere au der Schmalseite verschwindende Schubspannungen
haben mufi. — ■ Auch fDr den durch Inversion erhaltenen allgemeinen
kmmmeo Streifen gilt Entsprechendes. Man transformiert ihn zunächst
in einen von honzentriBchen Kreisen begrenzten Streifen, wobei be-
zfiglich der Umformnng der Randbedingungen die Sätze von § 3 zu
beachten sind, löst die Aufgabe in diesem Gebiete und geht dann auf
den ursprünglichen Bereich znrOck. Nunmehr überlagert man jene
Kombination von Hauptlösungen, die an sich den unteren Rand
spannungsfrei läßt und die Bedingungen an der Schmalseite re^siert.
Um die damit hereinkommende konstante normale Spannung des
oberen Bandes zu eliminieren, ist man genötigt, von vornherein ein
einer gleichmäßigen Beanspruchung des oberen Randes entsprechendes
Zusat^lied mit unbestimmtem Koeffizienten hinzuzufügen und letzteren
zum Schluß Bo zu bestimmen, daß nach Überlagerung der Haupt-
lÖBungen sich der tatsächliche Belastungsfall ergibt.

§11. Der Erelaring UEd der Ereisringsektor unter beliebiger

Be&napmahuiig.
Wir geben aas von der allgemeinen Lösung der Differential-
gleichung JjJF=-0 fQr den £reisring*):

(12) F=a^ Igr + b^r' + c^r* Igf + a^e

+ ^ rÖ ■ sin Ö + (ö^r« + a,f^' + ßir igr) cmß
- ^ rÖ . cosö + (rfir" + y,r-^ + »i»- Igr) sin 9
+ yj(_air^ + &,r" + * + u^r^'" + ft»-"**) cosmö

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Von A. TntPE. 371

Setzen wir F als Spumungsfiinlttiotl au, 80 würde sich er-
geben;

*-°; + 24. + '-.(21g>-+l)
+ (°'+-^ + 26,r-'^')eo89
+ (?._+i + 2i,r-^';-).m«
+^'["■(1 - >»)«.»""' + (»• + 2 - m')b„f-

— »»(1 + »»)fi„r-"-» — (m — 2 + m")^,»-"] cosmO
+2''"'' ~ i»)«:.!"-' + (>» + 2 - »i')ii,r"

— »i(l +m)j/^r—-*— (»» — 2 + m')r-"]8in»ifl,
D-- 5 + 2'. + '',(2 lg' + 3)

+^'[(»1 - 1)». ■ o.i— > -I- (m -H)(m J- 2)J.r-

+ «(ff» -{- l)a^ ■r-"-»-t- (m — 2)(i» — l)(J,r-"]coiimö

+2[(™ - 1)*" ■ c„»""' + (wt + l)(»i + 2) ■ d^r"

+ m(m+ !)■ y, ■ »-"•-»+ (m — 2)(m~l)iJ,r— jainmö,
U - "; + (2i,r - ^ + 1^') «in 9

-(2V-^':'+t')""'

+ S'[(wt — l)tBa,r"-* + i»(m + l)&,f*

— m(» + l)a^r- — ' - »»(nt - l)/ä„r-"] sinmö

n— I

— m{m + l)j'«»'~"~'— («t — 1)»» ■ *■*■""] cosmö.

Seien nun andererseits die Spannungen ^ und U anf den RSndem
r '^ a und r=b voi^^^ben durch die Entwicklungen:

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372 Probleme der SpumnngSTerteilimg in ebenen Sjetemeu, oiv.

^ — A, +^A. 'xtme + '^S, sinn«.

U - C, +2". 00» m» + '^D,mim9;

W --K +2''^"' »»»"' +5-Bi sim»»,

ir - C; +2'"» i»"»' +5-Di «mm«.

(13)

(13-)

Setzt man nun die «as (12') sich ^ r ^ a nnd r -^ & ergebenden
Werte von ^ und U gleich mit (13) und (13') und identifiziert die
Koeffizienten entsprechender trigottoroetrischer Terme, so erhält man
ein unendliches System von achtböpggen Oleichnngsfamilien zur Be-
stimmung dera^,6^,c^,d^, a^,/3^, y^, Jg,. Diese Bestimmung gelingt ohne
weiteres fDr alle m ^ 2. Für m -^ nnd n> » 1 dag^en treten ex-
zeptionelle Fälle ein.

a) Was den Fall m-=0 angeht, so sondern sich die vier Oleichungen
*in zwei, die nur a^,\,c^ enthalten, und zwei, in denen nur Og vorkommt.

Die letzteren beiden sind mit einander verträglich, da aus den statischen
Bedingungen fiir den Ring (Verschwinden der Drehmomente um 0)
folgt: o'Cj^fc'C^. Das erste Paar ist unterbestimmt; die damit ge-
gebene WillkHr wird, wie wir weiter unten sehen werden, beseitigt
durch die Forderung, daß die Verschiebungen im Ringe eindeutig
resultieren mfissen.

b) Was den Fall m = 1 angeht, so haben die beiden Oleichnngs-
quadrupel niu- dann Lösungen, wenn a{Ä^ — Z),) = h{A[ — Z>J) nnd
a{B^ -\- C,) — h{li[ + C[). Da-s sind aber gerade die beiden weiteren
aus den Gleich ge wich tsbedingungen fKr den Ring folgenden Relationen.
Es wird:

c. = «(A + 6\).

Wenn z. B. an jedem Rande für sich die angreifenden Spannungen
im Oleichgewicht stehen bezw. ein Kräftepaar ei^eben, so ist Ä^ -^ D^,
B^^ — C^, folglich o, =■ Ci = 0, — Für die Bestimmang der Konstanten-
tripel l>^,tt^,ß^ und (J^, J'i, 4, verbleiben dann nur noch je zwei Gleichungen;
hierzu treten aber wieder die Bedingui^en, die aus dem Verlangen
nach Eindeutigkeit der Verschiebungen entspringen.

J. H. Michell hat diese bei mehrfach zusammenhängenden Qebieten
zu berücksichtigenden Bedingungen allgemein diskutiert (Nr. 17). Wir

db/GoogIc

Von A. TorPB. 373

Trollen emüich die den einzelnen ElemeotarlÖBimgen entBpieehenden
Verschiebni^en friscbw^ bereelmen und hinterher die Koeffizienten
der mehrdeutigen Glieder gleidi Knll setzen. Wir erhalten:

(14) K.di.lv„,»ii,b.»g „ _ - ^ + [j^^- - i]r

(15) Peripherische Verschiebung ü — Cr — -^

uDter^ JS,C Integrationskonstanten y erstanden, die durch die Befeatigungs-
bedingungen zu bestimmen sind. — Damit alle Tenne eindeutig werden,

1 man setzen:

ZaltHhrUi f. lUthamatik u. Fbjilk. U.Bud. 1*M. ^ H»rt.

!db/G00glC _

ä74 ^obleme der Spannnhga Verteilung in ebenen Systetoen, ttsw.

(16) c, -

la dem besouderea Fall, daß die Spannungea längs jedes Randes im
Gleichgewielit sind oder ein Kräftepaar ergeben, wird Oj = c, = und
daher auch ß^^d^ — 0. Wir haben damit das wichtige Resultat gewonnen:

Satz: Beim geschloBsenen Ringe fällt ans dem Aus-
druck (12) für die Spannungsfunktion F das Glied c^r'lgr
stetB ganz heraus. Die Koeffizienten der Terme r^sind,
rlgrcosdj rdcosd, rlgrsind sind durch die die Blastizitäts-
moduln enthaltenden Relationen (17) mit einander verUnDpft,
sodafi sich der Spannangszuatand im Vollringe im allgemeinen
als TOu den elastischen konstanten abhängig erweist. Nur
in dem Falle, wo die äußeren Kräfte längs jedes Randes im
Gleichgewicht sind oder ein Eraftepaar liefern,, besteht eine
solche Abhängigkeit nicht.

Diese Ergehnisse bestätigen Michells aligemeine Sätze.

Künstliche Selbstspannungen.')
Die Beschränkungen, die infolge der bei mehrfiwih zusammen-
hängenden Gebieten zu berücksichtigenden Bedingungen in den Formeln
(14), (15) bez. (12) eintreten, £allen natürlich beim ungeschlossenen
Ringe fort. Dies wird von höchster Bedeutung dann sein, wenn es
möglich ist, das nicht geschlossene Ringgebiet in einen Yollring zu
deformieren; denn dann eröf&iet sich ftlr letzteren die Möglichkeit
wesentlich neuartiger Spauuangszustande. — Es geuQgt offenbar zu
untersuchen, welche Arten toq Selbstspannungen man durch
einen derartigen Prozeß im Ringe herstellen kann; die diesen ent-
sprechende Lösung F° kann man dann stets im allgemeinen Falle über
die durch die Randkräfte bestimmte Lösung superpouieren.

Die Funktion
(18) F~a^igr + b^r' + c„rngr

definiert die Spannungen

¥-J + 2J. + c,(21gr+l),
(18-) 0--^i + 26, + c,(2Igr + S),

U-0

1) Nach AbBcbloB dieser (ele DiBeertation vom 11. Dez. 1901 datierenden)
Ailieit enchieu eine eingetiende Untenncliniig Aber Selbetepen n nn g en von
V. Volterra, Atti Acc. Line. Rend. (5) vol. U (1905).

Digiliz=db,G00glc

und die Verachiebongen;

I^ß + C) ^
Alle Quaraclmitte 6 =' const. bleiben eben uud werden um einen
mit proportionalen
Winkel gedreht. Ein
nicht ganz geschlos-
sener Ring (Fig. 19)
bezw. ein äolcher mit
einander etwas Ober-
decfcenden Enden (Fig.
20) wird sich daher
in einen VoUring de-
formieren lassen. Wir
wollen die Ereisriinder epannnngsfrei nehmen; dann bestimmen sich
(vgL § 9) die Verlwltnisse der Konstanten a,, b^, c^ so, daß wir för F
erhalten:

(20) -F? - 'S 1 2«'*' "^^j? % r + r» Igr

_ / a'lgg-ft'lg t _|_ ^\ ^,1 _

Der Sektor sei begrenzt von den Schnitten 6 — und 8 — 2a — t,
wo £ Ton der Größenordnung der Verscbiebnngen sein soll. Die
Stimfiäche $ = 2x — e wird bei der Deformation gedreht am

" + y:a^(2"-')-

Wählen wir « so, daß dieser Ausdruck -= e wird, so geht der
Sektor durch die Deformation in einen Vollring über. In der Be-
rührnngslinie 6 = müssen zu beiden Seiten Element fQr Element
entgegengesetzt gleiche Spannungen herrschen. Die radialen Ver-
schiebungen sind beiderseits gleich. Denken wir uns aber jetzt die
beiden Stimäächen mit einander befestigt (verlötet oder vernietet), so
erhalten wir einen geschlossenen Hing, in dem die durch (20) definierten
Selbstspannungen herrschen. Wir schließen:

In einem Vollring kann der durch (20) definierte soge-
nannte konzentrische Selbstspannnngszustand herrschen.

Die Funktion
(21) F - (d^r' + y^t^ ^ + d^r lg r) Bin 6

Dql,.eJb.G00«^IC

376 Probleme der Sp&nniuigsTeitoilnDg; in ebenen Sjrtemen, luw.

({«finiert die SpanDnngen :

U--(4 + 2<i,r-«;i)oo.«
and die Versduebnngra:

Sind speziell die Ränder Bpannangsfirei, so lautet die Lösung:

(23) f;-x iq^j,[(«'.+ 6')' lg' + '^ - ?]■

Spannangen und yerschiebungen DefameD fQr 0—0 und 6=2x gleiche
Werte an, mit Äusiialime von u. Der an dieser Stelle
aufgesclmittene Ring wird also so deformiert, daß
dieSclinittfläclien zwar an tind für sich aufeinander
passen, aber an einander verschoben sind (Fig. 21).
Diese Diskontinuität rührt her Ton den Termen

" - - Ull^) "''""'>■■ »-Ärl^*.»"»».

die eine Translation jedes Schnittes ß = const.
parallel X um — - - ,7^ . ■ SiO repräsentieren.
Wir machen nun folgende Überlegung.
Nach den QruadvorauaaetzQiigen der Elastizitätstheorie sind die Ver-
schiebni^en u, u als unendlich klein gegen die Dimensionen des
^ ^ deformierten Gebiets anzusehen. Wir können

daher die für den Kreisringsektor geltenden
Formeln anwenden auf ein von dieser Form in
demselben Sinne unendlich wenig abweichendes
Gebiet; dabei werden wir fOr die Spannungen einen
Fehler erhalten, der gegen diese selbst Ton erster
Ordnung unendlich klein ist, für die Verschie-
bungen einen Fehler, der gegenüber den Dimen-
sionen des Gebiets von zweiter Ordnung unendlich
klein ist. — Wenden wir dies an, indem wir statt
des Kreisringsektora ein Gebiet nehmen, das ans jenem durch Translation
der Schnitte ö — const. I X nm j^_f^ . Äj fl erhalten wird (Fig. 22). Die

DigitizedbyGoOgIC

Von A, Tmp-». 877

beiden Stirnflächen = und ß = 2a werden dann noch der Deformation,
von unendlich kleinen Größen zweiter Ordnung abgesehen, auf einander
passen und sich gegen einander legen. Die Spannungen beideneits werden
Element für Element entg^engesetzt gleich sein, wenn tod unendlich
kleinen Größen erster Ordnung al^esehen wird. Wenn wir also jetzt die
beiden Stirnflächen mit einander vernieten oder verlöten, so erhalten
wir einen Vollring, in dem sich alle Spannungen und VeTSchiebungen
eindeutig und bis auf nnendlich kleine Sprünge stetig verhalten Wir
erhalten somit das Resnltafc:

In einem Vollring kann der durch (33) definierte soge-
nannte diametrale Selbstspannungszustand herrschen, bei
dem entlang $ = und 9 = s nur Schnbspannungen auftreten.

Der diametrale Selbstspannungazustand, bei dem entlang 0-°=^
und 9 — -S- "oxa Schubspannungen herrschen, ist natOrlich definiert durch:

(24) ^ -" ,n^T- ■[('•* + »>'«' + "4^" -?]■

Im ganzen erhalten wir fflr den geschlossenen Ring cc'
Seibetspannungen, entsprechend der Funktion

(25) F>^F;+F^+F^.

Dies Etgebnis bildet genau das Analogon zu dem Resultat, das
von F. Klein und £. Wieghardt für mehrfach zusammenhängende
Pachwerke erhalten wurde (Nr, 9).

Kreisringsektor. Wir haben schließlich noch das Problem
des Ringsektors zu erledigen, der Ujigs der Kreisränder beliebige
Normal- und Scbubspanmii^^ erleidet
(Fig. 23). Um auch hier in den eizeptio- ""' ""

Hellen Fällen t« = und m = 1 die
Bestimmung der Unbekannten zu er-
möglichen, haben wir nur an die ent-
sprechenden Ausführungen ffir den
Vollring anzuknüpfen. Demgemäß
haben wir die Randspaunungen an
dem fehlenden Ringstficke, wo sie
durch die Aufgabe nicht definiert sind,
so festzusetzen, daß für den Voll-
ring ein Gleichgewichtssystem resul-
tiert. — Die überzähligen Konstanten werden hier durch die hinzu-
tretenden Bedingungen an den Schmalseiten des Sektors bestimmt (rgL
Vorb emerknng) .

DigitizedbyGoOgIC

378 Probleme der Spamurngsrerteituiig in ebenen Systemen, «»w. ■

3. Ke/pttel: Der von dob Mtbneldenden KrelMn bogrenste Streifen.

g 12. Zentrlsclie Verteilungen.

Nachdem die Spannongsprobleme fQr eicli berührende und sieb

nicbt schneidwide Kreise erledigt sind, ersclieint es natm^^emäß, nun

auch fltr das ron sich schneidenden Kreisen begrenzte Gebiet eine

LSsnug zu TerBDchen. Da aber f&i den einiachsten Bereich, in den

jenes darch Inversion übei^eführt werden kann, nämlich den Keil, eine

einwandfreieLÖBnngderRand-

wertan%abe der Differential-

gleichoDg ^JF'-O z. Z.

meines Wissens nicht ror-

^^S^0> ^ müssen wir nns

darauf beschränken, anf einige

spezielle hierher gehörige

Airysche Fonktionen von

Interesse hinzuweisen. Zu-

i^hst stellen wir den nnmittel-

bar einleuchtenden Satz auf:

Bei einem Spannungszustand, der ans einer zentrischen

Verteilung durch Inversion von einem beliebigen nicht mit

dem Zentrum derselben zusammenfallenden Punkte 0' ans

abgeleitet wird, sind Spannuagstrajektorien die beiden durch

0' und den Bildpunkt 0" von als Grundpunkte definierten

KreisbfiBchel (Fig. 24),

Als zentriscbe Verteilungen bezeichnen wir dabei die dnrch die
Airyscben Funktionen F — "rö sin 6; F-^ xr' Igr*) und F-= xlgr
bestimmten Spannungszustände, bei denen die Spannungstrajektorien
von den Systemen der konzentrischen Kreise und der Radien gebildet
werden, und die im Zentrum zu einer kou zentrierten Kraft Anlaß geben.

1) Zq der LOsung Venaltes in den GOttinger Nochricbten I89I bemerkt
Len-Civita (Nr. 11): „Tale (te. nna soluzione completa) uon pnb dirai certamente
quella aboEzata dal Big. Venske loc. cit., tanto piü che, per i] cwo dello Bpaiio
angolore l'aatote ä appoggia lopra la awerzione ineaatta che certa ftmzione W
(p. 29] aia armonica."

2) Bei beiden Funktionen darf, wie wir im S. Eap. gesehen haben, das
in Betracht gezogene Gebiet den 0- Punkt nicht umschlie&en, wenn die Ver-
Bcbiebungen eindeutig leinltieren NoUen; dies ist besonders bei der Inversion zu
beachten.

DigitizedbyGoOgIC

Von Ä. TiKPK. 379

Für die sog. „einfaclie radiale Verteilung" F -• ^rd eiaB hat bereits
Michell (Nr. 18, 19) obigen Satz in zwei speziellen Fällen aasgesprochraL
Da bei ihr die Badiea Bpannungstrei ^^ ^

sind, 80 geht durch Inyersion aus ihr
offenbar eine Lösung hervor, bei der
die in den beiden Grundpunkten sich
Bobneidenden Kreise nnter gleichmäßiger
Spannung stehen. Diese liefert ans in Verbindung mit einer kon-
stanten gleichförmigen Spannong den Fall eines auf der einen Seite
unbelasteten, auf der andern gleichmäßig ge- ^^ ^^

spannten krummen Streifens, dessen Schmalseiten
symmetrisch beansprucht werden (Fig. 25). Die
beiden andern zentriscben Verteilungen fBhren
durch Inversion offenbar zu kfinetlichen Belas-
tungsföUen besagten krummen Streifens, Als
künstlich zu bezeichnen ist auch die in Fig. :
augedeutete Kombination von drei in den Ecken
eines gleichseitigen sphärischen Dreieclia ent-
springenden einfachen radialen Verteilungen, bei
der die drei Seiten zwar Spannungstrajektorien sind, aber nicht unter
gleichmäßiger Spannung stehen.

§ 13. LÖBtmg fUr zwei auf einander senkreolit Btehende Kreise.
Von zwei zu einander senkrechten Kreisen soll der eine beliebig
vorgeschriebene Spannungen erleiden, während von dem andern nichte
weiter verlangt wird, als daß er nnr Normal- ^

Spannungen fiherträgt. — Wir invertieren
das von den Kreisen begrenzte Gebiet in
einen Halbkreis, de^en Durchmesser wir
zur X - Achse machen (Fig. 27). Wir
nehmen an, daß die längs dieses Durch-
messers vorgeschriebenen Spannungen durch Potenzreihen darstellbar

Andererseits setzen wir als Spannungsfunktion an;
(2) F-6.r' + i.,t'cos9 + (i,r"sin9

+^K'" + i*»»"*']] 'mme,

Digiliz=db,G00glC

(2-)

380 Ptobl^ne dei SpaiiDangsTerteUnng in ebenen Sjetemea, obw.

woraus flieh e^bt:

+ V[(l — in)jnc„r"-» + (»» + 2 - iB*)d„»*] sinrnff,
= 26j + 66,r coBfl + et^rginö

+^[(»» -!)»•«*'""* + (™+ !)(»» + 2)ö„r"]coB»»fl

+2[('» - l)'«c.f"-' + (m + l)(m + 2)((„r"] sinme,
U — 2\r flin e — 2d,r cos ö
+ V[(r»— l)»(0,r»-* + »»(»i+ l)6„r"Binme

_ V[(tw — l)m ■ c„f— * + m(m + l)d«»"] cosiwö.

Nun soll U für r ^ R Terechwinden', daraas ergibt sich das
CtlflicbnngsBystem :

ft, = d, =

(3) __

(m - l)a„ + (JB + i)b^R* = (m - l)c„ + (m + l)d.ü* -
Andererseitfl geben Q and U für ö — und 9 = 180^ Über in:

G-2(fto + o,) + 6(6,+o,)ir+--+(m + l)(m + 2)(6„ + o„^,>i?-+--

Identifizieren wir diese Reiben mit den g^ebenen Potenzentwick-
lungen (1), 60 erhalten wir das GleiobungSBysteni :

(*)

6(S, + o,)-i,

-2«,-'.
-2(Ä, +3c,)-i,

12(i, +..^-4,
(». + IX» + 2)(S. + «.,.,)-*, - (•» + l)[>»<i.+ (m + 2)c,^,]-l,

Digiliz=db,G00glC

Von A. TiMP«. 381

Aus (3) und (4) folgen die B«kuTeionBfoTmeln:

i m— Ifl

P) ».-S(,^)-'— i *---iH^Jp>

axisgehend von 6, >= und o, = const.,

axi^Iiend von (^ = und c^ — — ^'

DaB die damit für ^, O, U erlialtciiea Reihen konvei^erett, folgt
unter VoranaBetzung der absoluten EonTeigenz der gegebenen Potenz-
reihen (1) ohne weiteres ans der Tatsache, daS sich zu den nach den
Vorzeichen zusammenge&fiten Partiaireiben stete konveigente (dem
Argument 6 = entsprechende) Majoranteo angeben lassen.

Durch geeignete Eombination bezw. ev. Spaltung der disbutierteii
Spannungsfunktionen, verbanden mit dem wichtigen Hilfsmittel der
Inversion würden sich natürlich noch mancherlei LS Bungen von
größerem oder geringerem praktischen Interesse ableiten lassen. Aller-
dings wird unsere inverse Methode auch oft zu „künstlichen" Ver-
teilungen führen. Als Beispiel hierfür sei erwähnt, daß die Funktion
f — ^(a;* — 6x*y' -i~ y*) einen Znstand definiert, bei dem die beiden
Orthogonalsjsteme der gleichseitigen Hyperbel die Spannungstrajek-
torien repräsentieren, während die Spannung selbst dem Quadrat des
Abstandes vom 0-Punkte proportional ist. Die Lösungen F— 6 und
F=r*$ (natürlich nur für ein den O-Punkt nicht umschließendes Ge-
biet brauchbar) liefern als Spannungstrajektorien die Systeme logarith-
mischer Spiralen r ' e* — const. und r ■ tr^ =^ const., während die
Hauptspannungen in dem einen Falle mit dem Quadrat der Entfernung
abnehmen, im andern Fall mit 26 — 1, bezw. 30 -f- 1 proportional sind.
Dagegen gewinnt man, wie Michell (Nr. 19) gezeigt hat, durch Über-
lagerung zweier Lösungen r*6 mit verschiedenem Koordinatenan&ng
unmittelbar eine praktisch bedeutsame Lösung: die Verteilung in einer
von einer Qeraden begrenzten Halbebene, die eine über ein Stück der
Grenzgeraden gleichmafiig verteilte normale Last trägt. Von hier ge-
langt man übrigens direkt zur Darstellung des Falle beliebiger normaler

Belastung W der Halbebene durch den Ansatz F— ^ f rjöj ■ -^— - dar.
Man sieht jeden&Us, daß das Studinm der Lösnngen der Diffetential-

DigitizedbyGoOglC

382 Probleme der SpaDiiUQf;everteilnng in «benen Sjatemon, u«w. Von A. Timfe.

gleiehnog jJ^F~0 noch manche interaasante Anwendnngeii auf ebene
elastische Probleme versprieht.

Es erscheinfc mir nnn nicht zweifeUuift, dsfi eise in ähnlicher
Weise dnrchgef&hrte Unt«rsachnng der Lösungen der Lam^hen Re-
lationen für die YerBchiebongen, ^i*^« — 0, ^i^e — 0, ^^mj— 0')
gleichfalls sich als recht lohnend erveiBen wQrde. So leuchtet z. B.
ein, doB eich mit Leichtigkeit mSgliche Formen rerbogener
Platten angeben laseen, wenn die Begrenzung von Karren nicht zu
hoher Ordnung gebildet wird. Bei elliptischer Begrenzung z, B. können
die NiTeaukorren durch (~t + p — ^) ^ const. gegeben sein^), bei
lenmiBbatiacher Begrenzung durch x* -\- ^ — 2e* - , ^ — const, bei
Begrenzung durch Kreis und gleichseitige Hyperbel durch

(a;» + y» - Jil)(a;> _ yJ _ i^) _ coDSt. USW.

Anhang.
Utwatnr m Differeiüalgleiehnj; ^JF-^ o (Thforie nd AHwei4oseB).
1. E. Almansi, „Süll' lutegiftzione dell' eqoazioDe J'J'u ^= 0", Atti dells R. Acc.
di Torino XXXI (1895/96).

5. — , „Sulla deformazione dell& efera elaatica", Memorie di Torino XLTU (1897).
8. — , „Snlla integiazione dell' eqnazione jJ'jJ'u = 0", Atti della R. Acc. di

Torino XXXIV (1898/99).
4. — , „Soll' integtazione dell' equacione differenziale ^'J* — 0", Atti della
R. Acc. dei Liacei, Eendiconti, Homa Sei. G, vol 8, 1 (1899).

6, — , „Sulla ricerca delle funcioni poli-armoniche in an' area aemplicemeote
conneBBa pet date condlzioni nl contorno", Reudiconti del Circolo Hatem. di
Palermo XIH (1899).

6, — , „Soll' iotegiazione dell' eqnazione diffeienziale ^" ^ 0'^ Annali di Hate-

matica S. U (1899).
T. — , „Integrazione della doppia equazione di Laplace", Atti della R. Acc dei

Lincei, Reudiconti, Roma Ser. ö, rol 9, 1 (190U}.

8. Gonreat, „Sni l'^qnation ^^u = 0", Bnll, de la Soc. Hath^m. de France
XVI (1898).

9. F. Klein und E. Wieghardt, „Über SpannnngBfi&chen ond TCiiproke Dia-
gramme, mit besonderer Berfickaicbtigung der Maxwellachen Arbeiten", Archiv
d. Math. n. Ph;g. 3. Reibe VIH (1901).

1} Bezw. der dafOi eintretenden gleichen Relationen fUr die erzeugenden
Funktionen Somiglianaa (Nr. SO, St).

2) tc = (—f\-^,-~l\ const liefert offenbar den Fall der gteichmUig be-
lasteten, am Rande horizontal eingeklemmten elliptiflchen Platte (J^w^'C, am
Rwide w = ~ -= 0).

DigitizedbyGoOgIC

über dia elast. Deformation eine« kreiefSrnugeu Rings. Von Th. Weitbbecbt. 383

10. Lama, .,LefOnH mr U tbäorie mathämatique de räUaticitä des corps Boljdee",
Paris 1808.

11. G. Lanricella, „Integiaiione dell' equasiDiie .J'^'-^O in nn campo di forma
drcolare", Atti della R. Acc di Torino XXXI (1896/96).

IS. ~, „Soll' eqnatione delle Tibradoni delle placcbe iccaetrate", Hern, di
Tonne 2, XLVI (189C).

15. F. Levi Cirita, „Soll' integrazione dell' eqnazione J'.d* ^ 0", Ätti della R.
Acc. di Torino XXXHI (1697/98).

14. — , „Sopra una traaformuione in ah atogsa della eqnasiooe JJ = 0", Yeae-
Eia 1893 (Tip. fenari).

16. E. Mathiea, „Sor le moQTement ribiatoire dei plaques", Journal de Math.
2, "XIV (1869).

16. — , Memoire enr l'^qnation anx diffäreuces paitialles da quatribme ordre
.(J^tt — et rar l'^qnilibre d'älasticit^ dW corps solide", Journal de Math,
a, XIV (1869).

17. J. H. Hichell, „On tbe direct deteimination of Btress in an elastic Bolid,
with applicfttions to the theory of plates", Proo. Lond . M. Boc. 81 (1899).

19. —, „Elementar^ distribntions of plane Btxeu", Proc. Lond. H. Soc. 88 (1900).

19. — , „The lutersion of plane staress", Prac. Lond. Jl Soc. U (1901/02).

80. Somigliana, „Sülle eqnazioni della elasticitä", Annali di Hat. 2, XVIU

(1889/90).
21. — , „Sopra gli intefprali della equaüioni della isotropia elastica", Nuovo Ci-

mento 8, XXXVI (1894).
23. 0. Venske, „Zur Integration der Differentialgleichung ^^u = 0, Gott.

Nacbr. 1891.
88. E. Wieghardt, Über ein Verfi^reo, verwickelte theoretische SpannnngsTet-

teilangen auf experimentellem Wage tn finden. Vortrag im Aachener Beziika-

verein dentschec Ingenieuxe S. Mai 1906.

Über die elastische Deformation eines kreisförmigen Rings.

Von Th. Weitbbecht in Tübingen.

Ein kreisförmiger Ring, dessen Qaerschuitt geg^iOber seinem
Radius sehr klein und zur Mittelebene des Rings symmetriscli sein
möge, werde von Kräften angegriffen, die in dieser Ebene wirken.
Das Material des Bings setzen wir als homogen Torans. Das Problem
ist damit auf ein ebenes bescliriiDkt. An einem solchen Ring denken
wir uns, gleichförmig verteilt, zablreicbe homogene radiale Zugstangen
angebracht, die auf einer Nabe im Mittelpunkt aufsitzen und in einen
Zustand der Spannung versetzt sind, so daß der Ring nach ihrer An-
spannung einen etwas kleineren Radius erhalt, als in seinem natOr-
lichen Zustand. Die Anzahl der Zugstangen wollen wir so grofl an-
nehmen, daß sich die Summe ihrer Wirknngen auf ein endliches StQck
des Rings durch das Integral Qber ein diesem Biugstück entsprechendes

D.git.zedb/GoOglC _

384 über die elutische Deformation einea kreiBfilnnigen Kiiif^.

InteiT&U «netzen läßt Diese gespannten Zugstangen, die aicli bei der
Deformation des Ringe verlängern bezw. verkOrzen, bedingen einen
gewissen Zustand der Starrheit dee ganzen Systems, so daB nur kleine
Deformationen desselben in Betracht zn ziehen sind. Dabei ist zu be-
rücksichtigen, daß die Terlängerungen and Verkfirzongeo der Zugstangen
in dem Ring selbst beträchtliche Kräfte faerrorrufen, welche Kompo-
nenten in der Richtung der Tangente an die kreisförmige Achse des
Rings besitzen. Sie reranlassen Liingenänderungen der Achse, die
gegenüber der geringen Änderung der KrQmmung nicht von Tomherein
zu. vemachläsüigen sind. Man darf daher auf das vorliegende Problem
nicht ohne weiteres die gewöhnlichen BiegungsformelQ für gekrümmte
Stäbe anwenden. Wohl aber sind gewisse zuerst von Winkler') fQr
gekrümmte Stäbe angegebene Beziehungen zwischen den in einem
Querschnitt wirkenden Kräften und den Formänderungen, die sie
hervorrufen, auch auf unser Problem anwendbar. Diese Formeln dien^i
zur Herstellung der Differentialgleichungen fOr die Yerschiebungs-
grSBen der Pnnkte der Ringachse. Wir werden diese zunächst für
den Fall ern)itteln, daß der Kreisring an den Endpunkten eines Durch-
messers von zwei gleich großen in der Richtung nach dem Hittelpunkt
wirkenden Kräften angegriffen wird. Dann werden wir den Fall unter-
suchen, daß ein Druck von der Nabe ans nach einem festgehaltenen
Punkt der Peripherie hin wirkt, so daß der Ring in derselben Weise
beansprucht wird, wie etwa ein Fahrrad beim Gebrauch.

Das Nachfolgende ist die Umarbeitung einer Preisschrift, welche
1904 der naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Tübingen
vorgelegt war; meinem verehrten Lehrer, Herrn Professor von Brill,
sage ich meinen herzHchsten Dank für die mannigfaltige Anregung
und Förderung, die ich von seiner Seite erfahren durfte.

t 1. Herleltung der SUTerentialBleiohangeii.
Der Mittelpunkt des Krei^rings sei der Anfangspunkt eines Polar-
koordinatensystems (r, qo); 93 = entspreche dem obersten Punkt der
Ringachse, <p wachse im Sinne der Bewegung des Uhrzeigers. Wir
denken uns, nachdem durch äußere Kräfte, die etwa im Zentrum oder
an der Peripherie wirken, die Deformation eingetreten ist, aus dem aus
Ring and Zugstangen bestehenden System durch zwei Querschnitte an
der Stelle y — und an der beliebigen Stelle 9 ein endhches Ringstück
mit Teilen der daran befestigten Zugstangen herausgeschnitten; die vor
dem Durchschneiden an den durchschnittenen Stellen wirkenden Drucke

1} Winkler, Elastizität und Festigkeit g S8S.

DigitizedbyGoOgIC

Von Th, Wbitbkbcht.

385

ersetzen wir durch Kräfte, die in den Schwerpunkten der nun frei
genoideneu Qaerschnitte angreifen, und durch Eräftepaare, welche die
Krümmung der Ringachse an diesen Stellen zu vergrößem streben.

An dem Querschnitt bei <p =-0 bringen wir eine nach dem Mittel-
punkt gerichtete Kraft V an; senkrecht xa ihr, in der Richtung der
Ringoohse, den horizontalen Zug H,
dazu ein Kräftepaar Mf^ An dem
Querschnitt in 9> wirke in der
Richtung der Tangente an die Ring-
achse der Zug P, senkrecht dazu
die Kraft Q, und das Kräftepaar M.
Die Deformation eines an der Stelle
91 befindlichen Ringelements, das
wir uns durch zwei senkrecht anf
der Ringachse stehende, einen sehr
kleineu Winkel einschließende
Ebenen begrenzt denken, hangt ab
von den an dieser Stelle wirkenden
Klüften P und Q und dem Kräfte-
paar M; der Einfluß der an dem Element angebrachten Zt^^stangen auf
die Deformation ist gegen die Wirkung Ton P, Q und M zu Temach-
^sigen. Nwäi dem Vorgang von Kirchhoff') wollen wir statt des
gekrümmten Ringelements das eines ursprünglich zylindrischen Stabes
antersuchen, und an der gefundenen Formel nachträglich eine der
orsprünglichen Krümmung des Rings entsprechende Verändenmg an-
bringen.

P ist die Resultante der zur Ringaehse parallel wirkenden Span-
nungen N der zur Achse parallelen Fasern pro Flächeneinheit des
Querschnitts tp. Da das Hookeache Gesetz gilt, so setzen wir

N^E^-

£4fr

dabei bedeutet -—^ die Verlängerung der betrachteten Paser pro
Längeneinheit, y ihren Abstand von einer zur Ringebene senkrechten,
die Achse des Elements enthaltenden Ebene, wo die y von der Innen-
nach der Außenseite des Rings wachsen mögen, E den Elastizitäts-
modul Am Rings. Femer gilt bei sehr kleinen Querschnitten die Be-
ziehung')

(A)

A da

da

+ -.

1) Kirchhoff, Mechanik, 28. Vorl. 8 2 a. E.
2} GraBhof, Elaat. a. Festk. Ni. SS. Winklei

ili7eJb.G00«^Ic

^86 Über ilie elaatische Defonnatioii eines kreiißJmiigeD Rings.

WO —j — die relatiTe YerlSugening der AcliBe, — ihre Krttmmung ntuih
der Deformation bedeatet. Diese Formel drückt bub, daß die Längs-
ÜDdeniDgeii der Faaem bo Tor sich geben, alB ob ursprünglich ebene
Qnerschnitte bei der Deformation eben blieben. Man geht zn einem
Bing mit der urBprünglichen KrQmmung - Ober, indem man die An-
nahme macht, daS auch für diesen jede zur Achse p&rallele Faser für
sich jenem Gesetz folgt, daß .also nur an die Stelle yon - die And&^ung

der Krümmung, tritt^), für die man —,- setzen kann, wo

rd^ — * ds ist. Für einen Ring von der nrsprünglichen Krümmung — ist

und w^en N= ^-j^ geht (A) dann Über in

Bildet man nun*)

P = fNdf und M=CNydf,

wo df ein Element des Querschnitts bedeutet und die Integration sich
über den ganzen Querschnitt erstreckt, und berücksichtigt man dabei,
daß die Achse des Ringelements durch den Schwerpunkt des Quer-
schnitts geht, sowie daß y klein gegen r ist, so erhält man, wenn man
die so entstehenden Gleichimgen nach -j— und -j- auflöst nnd dabei

Jdf~F, fy*df=W

(1)

dB EFr ^ EFr* ^ EW

+ ^

Dies sind die Winklerseben Formeln.') Sie verwandeln sich in die
Differentialgleichungen des Problems, indem man für s, (p Polwkoordi-
naten und für P, M die der Annahme über die Zugstangen und die
äußeren Kräfte entsprechenden Werte einsetzt.

Die Ringachse denken wir uns zunächst durch die Zugstangen
gespannt, aber immer noch kreisförmig. Ein Punkt deraelben, (r, tp),

1) Kirchhoff 1. c. 2) Winkler, % 68.

3) Winkler, % 38B; Orashof Nr. 168.

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Von Th. Whitbhbcht. 387

werde dum durch die Deformation an den Ort (r + q, tp +--\ ver-
setzt, ao da& also q die Zniialmie des Radius Vektor, - die ZuDahme
des Winkels g> bedeutet. Die Deformation des Rings ist Tollkommen
beschrieben, wenn p und q als Funktionen von tp bekannt sind. Zu-
nächst sind also die linken Seiten der Gleichungen (1) als Funktionen
von p, q und <p auBzudrQckeD. Nennt man die Bc^enlänge der un-
deformierten (aber gespannten) Achse des Rings s, die der deformierten s',
Ton 9> — an gerechnet, so läßt sich mit Vernachlässigung von Äus-
drQcken zweiter Ordnung in p und q und ihren Ableitungen nach «p
setzen

^ds = (r + q)d((f> -|- M —rdip = qd<p + p'd^,

ler AI
(2)

wo der Akzent eine Differentiation nach 9> bedeutet; hieraus

Jdt 3 + 1»'

In ähnlicher Weise läßt sich zeigen, daß

(3) ^f-^-^^

ist

Weiter sind die Größen P und M aJs Funktionen dee Winkels ip
und gewisser Konstanten (Belastung, ursprünglicher Spannung, Ab-
messungen und Materialkonstanten des Rii^) auszudrücken.

Die Zugstangen denken wir uns, bevor die äußeren Kräfte an-
gebracht werden, also vor Eintritt der Deformation, bereits in ge-
spanntem Zustand derart, daß sie (senkrecht) auf die Längeneinheit
der Ringachae den Zug Z^^ ausOben, während der hierdurch in der
Richtung der Längsachse des Ringes hervorgerufene Gesamtdruck P,
sein möge. Es ist nun leicht zn sehen, daß
Pi Z^r

ist. Ein durch die Querschnitte ~ q) und -f ^ begrenztes Stück des
Rings nämlich ist in diesem gespannten Zustand nur dann im Gleich-
gewicht, wenn "~ ,

2 P, sin 9 = — 1 Zo cos iprdip -= — 2Zg sin 9: ■ r
-9
ist Der gesamte Druck P' an einer Stelle ip nach der Deformation
setzt sich zusammen ans P, und dem durch die Deformation hervor-
gerufenen Druck P, sodaß man hat

P' ^P-i-P^.

DigitizedbyGoOgIC

388 Über die elutiBche Deformation eines kieiBFQrmigen Bings.

Da die Defonnation des Bings als Bfihi klein yoraasgesetst wird,
BO werden die Kräfte Z, welche die Zugstangen auf den Ring ausüben,
anch nach der Deformation noch senkrecht auf den Singelementen
stehen und den Yerlängenmgen der Zugstangen proportional sein, so-
dafi man hat

Z — 2o + aq.

Die Bedeutung der GrSBe a ergibt sich folgendermaSen. Der
Ring werde dadurch in den gespannten Zustuid versetzt, daß die
Speichen, die ntsprünglich, vom Mittelpunkt des Rings aus gerechnet^
die Länge r^ < r besaßen, an dem Ring mit dem nrsprfinglicben Radius
r, >r befestigt wurden, wobei sie sich nimtlich auf die lÄnge r tot-
längerten, während sich der Ring zusammenzog. Die Kabe im Mittel-
punkt des Rings habe den Radius p, der Ringquerschnitt bilde etwa
ein Quadrat von der Seitenlänge b, derjenige der Zugstangen sei ein
aohmales Rechteck, dessen größere Seite eben&lls die Länge b haben
möge. Nennt man nun den Qnerschnitt einer Zugstange m, die An-
zahl der an der Längeneinheit der Peripherie angreifenden Zug-
stangen n, und denkt man sich dieselben auf der Nabe so befestigt^
daß sich je zwei Uings der Seite 6 berühren, so hat man, wenn E^ der
Elastizitätsmodul der Zugstangen ist,

" ^ r, — ?

Werden nun äußere Kräfte angebracht, so erfolgt eine Deformation
des Rings, durch welche Zf, in Z, r in r + q und » in , oder, da
q gegen r sehr klein ist, wieder in n übei^eht, und man hat aus
Z-'Za+aq,

r, — p

Nnn ist -r ■ n = -'- , daher a = ^-i— -'— , ■
6 r ' r(r, -- p)

Setzt man jetzt die Kräfte, die an dem von den Querschnitten
^ = und <p begrenzten Ringstück und an den (stetig yerteilt ge-
dachten) Speichen wirken, ins Gleichgewicht, zuerst hinsichtlich der
Richtung P', so erhält man

P' + Tsin <p — HaoB fp -^ j Zain (tp — t) rdH> = 0,

wo ^ einen veränderlichen' Winkel zwischen und <p bedeutet. Mit
Rücksicht aof die Gleichung

i*! - - Z,r,

Digiliz=db,G00glC

Von Tb. WBiTBRBoar.

sowie auf die Beziehui^en

P' = Pi + P und Z=Z^ + aq
wird

P— .ff cos 9! — Vsia<p + Z^rcoago + ar cos tp f qän^dq)

m / °

— ar sin 9 / g cos <pdg>.

Die Qleichsetzang der Momente ergibt

3f — Jtfo + Fr sin 9 + Hr{l — cos y) + / Zr»dt sin (q» — ip),

oder

3f _ A/(, + Frsin y + Hr{l — cos qo) + Z^r^il — coBip)

+ ar* sinqp / gcosqofJ?) — cos 9) / gsin^K^q;

Mit Hilfe der in (4) und (5) angegebenen Werte von P nnd M
ergibt sich aus (1) und (2)

(6) (q+p')EF=M^ + Hr + Zy.

Multiplizieren wir die Gleichung (3) mit r und subtrahieren sie von
(2), so erhalten wir mit Rücksicht auf (1)

(q + q")EW Mr*.

Differeoziert man diese Gleichung zweimal nach tp und addiert, so er-
hält man mit BOcksicht auf (5)

(, + 25" + jiT ~^-- (M, + Hr + Zy + ar'q),

und hieraus, wenn man ,

setzt, durch nochmalige Differentiation

(7) a^q- + 2g'" + q^^0.

Aus dieser DifferenHalgleidiung und den Gleichungen (5) und (6)
lassen sich p und q als Funktionen von <p berechnen. Sie gilt fSr jede
Deformation eines mit gespannten Zugstangen Tersehenen Rings; wenn
an mehreren Stellen äußere Kräfte angreifen, so ist sie fQr jedes freie
RingstQck besonders anzusetzen. Dem Fall, daß keine Zugstangen
wirken, entspricht o^ = 1. In diesem Fall wird die Längenänderung

ZattHhrin f. Ibtbanialili D. Phyilk. U. Bksd. IWM. 4. Haft.

db/Goo«^Ic —

390 tJber die elastisclie DeforinatioD eiau kreiafOrmigen Rings.

der Achse außerordentlich klein sein; setzt maa also in (2) jdds= O,
so wird

« P\

und (7) geht über in

Diese eingm^Reif ohne Zugstangen «itsptecbende DifFereuldalgleichniig
hat schon Herr Lamb*) aufgestellt und behandelt

% a. SrBte Anwendnng.

Wir beschäftigen uns zmuchst mit dem Fall, daß der Ring in den

Punkten 9g « und tf = x von zwei gleich großen entgegengesetzt

gerichteten radialen Dmcken 2V angegriffen wird. Dann ist

gö — 0; q'„— 0; 3; = 0;

J)o=-0; J)«=0; pn = 0.

Mit Hilfe der SubstitutioD
erhält man zunächst aus (7)

^-±y-i±y^?;

setzt man ^ — 1 + ' V e^ =■« + */*, so kommt
(8) „.-^. 1; 2«^-]/|^

-y-i + K^äP; ^-Vi+y^

i.EW
Die Tier Werte yon t sind

f, = a + i^; t^ = a-iß; t^ a + iß- f^ ^ ~ « - »/}.

Dem f^all eines ron Zugstangen freien Kings entspricht « — 0. Dann
werden je zwei Werte von t einander gleich. Um trotzdem die nötige
Zahl TOn Eonstanten zu erhalten, setzen wir

g' _ e"v(c . e<(«9. + d ■ e-'i'v) + ^ -^ (f ■ efi'v + g . e-'f*),

wo c, d, f und j? willkürliche Konstanten sind. Wegen q'a^O ergibt
sich hieraus mit Hilfe neuer Konstanten A, C, D:

(Ö) 3' — 4.e"«'Biu(39J + ~"^— [CcoB/Jy + i)8in/3y],

1) Ptoc. Lond. Math. Soa XIX, ISBB, pa«. se9f.

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Von Th. W«lTBKliOIIT. 391

and hieraus wegen q'a — und q'n^O
t

* ^~ ©ladt» > -^ ©tnor).

Setzt man znr Abkfirzung

a* + yS* = (* und a — fcost; jS = ^sinr,
und berflckaichtigt, daß

efv Bin ßipdq> = ~^- 6in(fi<p — t)
&"fcioa ßipdip "'^ coe(j3y — t)
ist, so erhält man dorch Int^^ation Ton (9)

q ^ A^ am (ß<p ~ t) + f,i{acoa ß<p<&o\a<p -i-ß Bin ß9 ein a<p)
(11) ' "'

+ ^,{ii8inßtp<S,o\a^ — ßcoBß(p<Biaait,) + C,

wo C eine noch zu bestimmende Integrationskonstante bedeutet. Dieaer
Aosdrack geht mit Hilfe von Beziehnngen wie:

©in«« ■ e" '«-*) — 6of«(« — v) ■«*" = — Sof«?"
in die Form Über

^= tTs- — " [«(sin^yüEof a(« — tp) + Q,o\a^Biaß(x — tp))
*• "^ + ß (©in tt^ C08 (3 (JT — v) -H cos ß^ ©in alx — tp))] + C.

Für p finden wir mit Rücksicht anf (6)

{

wo D' eine" neue Konstante bedeutet. Diese bestimmt sich mit Rück-
sicht auf Po = 0, Sowie auf (10) und (11) zu:

©in an
Mit Hilfe derselben Beziehungen, welche auf Gleichoug (IIa) führten,
erhält nun p die Form

/M.-^'Sr-^-Z.r* „A "iAaä , a n t \

(12) " " ^ ~^^^~^ - c) (P - jr^s7r,'f^^' - '^»f »'■)

- i'®^« [^ (M «(<■-?>) CO! (I» - cos ßi^-f) So| «»)

— ©in a(Ä ~ v) Bin /S^D + 8in/((;t — y)©inay],

Digil"=db,G00glC

3Uä Über die elutische Deformation einea kreiafljnuigen Rings.

wo die Konstanten M^, H, C , A noch za beatimmen sind. Die Be-
dingungen p« = Tind pH-=0 fflhrea beide auf die Gleicbting
7

(13) (*^S^-'- - C)" + p^JiCM «- - CO.H») = 0.
Bildet man die Qleicbung

{q-\-q")EW Mr*

ftlr qp ^ und fSr ip '^ n, bo erhält man

(14) _jif._0-^r+^i=44?.'^-5^f-''i^^'.

BerOckeichtigt man weiter, dafi

5o — q„ und q^ =• i^ ist,

und subtrahiert man die eine der b«iden fOr 91 — und <f — n gebil-
deten Gleichungen von der andern, so kommt

(15) 2fl^+22',r + ar/ffBin9)dy — 0.
Da

J qBia^dip — 2b + 3o + /«'coBydqo

ist, so ist zunächst das Int^ral

/ q' iios<pd<p

zu berechnen. Zu dem Zweck fuhren wir die Bezeichnungen ein
f e"r Bia ß^ am rpdqi — X,
f e'vsiaß^ cos ydy — 7,
f C^coeß^emipdq) — X',
f effco&ß^ cos (pdqi = ¥',
j^fR\n.ßtfdfp — ü,

f eff eoB ßqidtp — ü',

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a Tb. Wbitbsecbt.

(7' — -t-cobOSt) — t)

ist Darch partielle Integration der Ausdrücke X bis T' erhalten wir
Beziebongen wie:

X — Csin 9 — / t/ coa y dtp,
welche auf die Bdationen fahren:

+ r +|x' - FooBy

^,Y +X' +Jr-£7'Binv
-3X' +Y'=U'coa>p.

Aus diesen vier Gleichungen ergibt sich mit Rücksicht aaf (8)
X- I7.in»- Pcos,l;+-t4■i^7 + ^•
V' iTf ■ IT ''+1 Utinip ü'coaq)

¥' = C7' eoB ip + Vemip

Uänq>
2P

Nun läßt sich

jq'eosipdfp i

in der Form Bchreiben

fq'oo,g>d,p - A[T] + ^[rf- ^[Yij + ^[r]"~ ^[r_„L

WO der Index — a bedeutet: gebildet fQr — a statt fOr a, und die
eckigen Elanunem mit den angesetzten Grenzen die Differenzen fUr die
obere und untere Grenze bedeuten. Berechnet man diese ans den an-
gegebenen Ansdrflcken, so erhält man mit Rüt^icht auf (10) den ein-
fachen Ausdruck

jq'eoBipdf = ~o-gi5 — («©inaw + ^Bin^sr).

db/G00«^Ic

394 Über die elastiBche Defoimatioa etnes kreisförmigen Rings.

Gleichung (15) erliält daher die Form

(15a) H Z^r-ar {Ak + C),

wo zur Abkürzung

p Bin pg — ttSing « _ .
So^C ©in tot ~ ~
gesetzt wurde.

Andererseits findet sicL durch Elimination Ton Jlfg aus (13) und (14)

(16) ff z,r-Äf + 0-{i^ + ?f),

WO zur AbkfirzTing

gesetzt wurde. Die Elimination Ton H aus (15s) und (16) liefert

4g(ir'JSF.d(gof tt« — coH p»)

*-j. ^W^- £Fr' (ar' + EW+r'i'F)«

Es ist noch A als Funktion von V zu bestimmen. Aas der
Gleichung

iq + q")EW Mr*

folgt mit Rücksicht auf qi,'=-Q

nun findet mau aber aus (5)

femer ist nach (9) mit Rücksicht auf (10)

daher

^ 2i:woß 6"oi««-«i8p«

Die Größen p und q stellen sich somit folgendermaßen dar:

(17)

+ ß{®ma<f,eoBß(x-<p) + coBßfS\na(x-<p))] + .-^-^_^_-^^^^^j^—,\

EWt*\2aß(^P:a-ll0\a:

-A2aß(iS.o\a(x-^)i:oBß<p-coaß{:X-<p)iS,o]a^)

~ fi(®m a{:X ~ Ip) Blaß <p — Sin/S(Ä — ip) IBin CUp)] — -- + ll-
OigitizedbyGoOglC

Von Th. Weitbekcht. 395

Da die GHeichnngen (4) and (5) ntir fdr ein Riagstück gelten, an
dem außer V keine änßeren Kräfte angreifen, ao gelten anch die
gefandenen Ausdrücke für p nnd q nur fQr Werte von ip zwischen
und X. Offenbar aber wärd& man für die Deformation des andern
Halbringa genau dieselben Ausdrücke in ^ erbalten, wenn man tp — X"^
setzte, also den Anfangsradius nach <p = x l^te. Die GrSBen p und q
für Werte Yon <p zwischen « und 2ä geben also aus (17) hervor durch
Vertauschung von 95 mit ip — «.

Dafi die Ausdrücke (17) als Funktionen von ip nicht die Periode 2ii
besitzen, ist ein Mangel, den sie bekanntlich mit den Lösungen aller
derjenigen elastiscben Probleme teilen, welche diskontinuierlich wirkende
endliche Kräfte, wie hier die auf die Peripherie wirkende Angriffs-
kraft 2 V, voranssetzen. ') Die Diskontinuität, die an den Stellen qo —
und Ip = ]i auftritt*), macht sich übrigens erst bei q" und p" bemerk-
lich. Es wird

I 8. Zweite Anwendung.

Wir behandeln noch die Deformation eines Rings, auf den im
Punkte qn ™ eine Last 2V gegen die Nahe hin drückt, w^rend diese
festgehalten wird und keine weiteren Kräfte angreifen.

Weil wieder , .

ist, wird:

q' -^ A-^f%iaßtp-\-'^^^^{Ca(i6ßtp + Ds\

'•'ß<p\

Statt 3; = und 9; = hat man jetzt

q'„ = Q und jj« = 0,
und es wird

C -•J.-™»?-"; j,_A.{^,f,-i

■r).

Sin San ' ein 3«

Mit Rücksicht auf diese Werte erl^lt man

« - ciÜi^tt, to;(sin^qp©ofa(2« - <p) + ffiof avsin^(2Ä - tp))
+ j3(©inavcos/S{2«- v) + co3/Jv3ina(2K — y))] + C,
wo C noch zu bestimmen ist. Femer ergibt sich aus
M,-irHT + Z.r* C , 2D'aB

1) cfr. z. B. Love, treatiee on the theoiy of elaaticit; 11, arU. 2l9f.
3} cfr. Qraahof, Nr. 48.

DigitizedbyGoOgIC

396 Über die elastische Deformation eiuea kreiefltnuigeu Rmga.

wegen Pj, =

D-='Ä'

>b2|}« — goI2gB

Die Bedingungen

Px = und Pi„ =

ffihren beide zu der Gleichung

Zur Bestimmung der Eonstanten Jlfg, ^, C und A bilde man
wie beim vorigen Problem die Gleichmig

{q + q'-)EW=-MT^

für qo = und ftlr (p = x. Berechnet man mit Hilfe der fOr q' und q
gefundenen AusdfQcke die Größen qa, q!,', q„ und q'^, so erhält man
fttr y —

und für y — «

(20) - {q„ -\-q;.')~ = M^+ 2Hr+2Z^r* + ar^ j qamq>dfp.

f

j qsmipd^ = 3« + So + / q'cosipd^
ist, so haben wir zunächst das Integral
/ q' aos^d^

zu berechnen. Wir verfahren so wie im vorigen Fall und erhalten
mit Benutzung der Werte von C und D

I q'co8q>d<p

«•-g^2^[jS8inj3aeD(an + aco8/S«@tna«+{(a@m2ß3r+j3sin2^3r)].
Mit Rücksicht auf die Beziehung

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Von Th. Wj
gabt nun G leiclnmg (20) über in

(20a) Anr-

+ 5i?Äi;r,tf'^2^'-«®ta2.»)-o.

Aue (18) fiodet man

ff-(^i+C')??-^-Z„r,
vo zur AbkOrzung

gesetzt wurde. Trägt Dian H iu (30&) ein und eliminiert Jf^ aus (20a)
und (19), BO erMlt man

™ _ iaßr'EFA {üo\ 8c« — COB ap«)

Zur Bestimmung von A bilden wir wieder
,„EW „

-So ~^-y

und finden

. Fr" Stn2ajt

Man erbält schliefilicb filr p und q AusdrGcke, die aus den ent-
Bprecbenden Ausdrücken (17) dadiircb berrorgehen, daß man 2a an
die Stelle von x setzt.

8 4. DiBknsslon der Boraltate.
Um ein Bild von den Deformationen unserer Kreisringe zu ge-
winnen, und um den Einfluß der Zugstangen beurteilen zu können,
wollen wir zuuäcbst die Resultate des § 2 auf den Fall anwenden, daß
keine Zugstangen vorbanden sind. In diesem Falle ist
Zo-Oj a-0; « = 0; (3 = 1,

und man erhält nacb Ausfahrung einiger ein&cber Grenzübergänge
filr < 9) < a

2 Fr' / Bing; cob y /x _ \ ^_^__\

* EW\ i + 4 U ''y 5.(r'l'+TKV'

Für ff < ^ < 2;r ist in diesen Ausdrücken qg — s an Stelle von ip zu
setzen. Speziell wird')

1) Winklei, § 869.

DigitizedbyGoOgIc ^

398 Über die eUitiscbe Deformation eiuei krtiBförmigen Rings.

_ * ^''' («' — a)r*y +"*'^

*"> ~ EW 8«(r»F+Tr) '
(^^) _8rr' (4-it)r'F-:i y

Wir Trollen an einem Zahlenbeispiel diese Größen, welche die
größte Verlängerung und die größte Verkürzung eines Radius darstellen,
Tergleichen mit denjenigen, welche die Formeln des §2 liefern. Wir
wählen fDr den Ring ein solches M&terial, daß seine elastische Reaktion
auf Zug und Druck durch denselben Elastizitätsmodal charakterieiert
ist, etwa Stahl. Femer müssen wir den Voraussetzungen der R«chnung
gemäß den Radius des Rings sehr groß wählen gegen die Dimensionen
des Qaerechnitts. Wir setzen dementsprechend

»■=1000mm; 6 = 1 mm; e = lOmm; F-l; W-^;
£= 24000 kgmm-»; £, - 20 000 kgmm" ».

Was die Festsetzung der ursprünglichen Spannung der Zugstangen
betrifft, so machen wir die Annahme, das Material des Rings sei so
beschaffen, daß eher die Deformation der Zugstangen als die des Rings
die Proportionaliiätsgrenee *) überschreite; wir haben dann bei der Fest-
setzung der oberen Grenze dieser Spannung nur die Proportionalitäts-
grenze der Zugstangen zu beriloksichtigen. Wir nehmen sie zu
lOkgmm"' an.*} Setzen wir

80 wird r — r j — 0,495 mm, woraus sich als obere Grenze für a

a =- 0,20212126

ei^bt. Die untere Grenze füt o ergibt sich aus r — r,:

a = ""'-^? - 0,20202020 . . .
r — e

Wir wollen sehr n^e an beide Grenzwerte herangehen und noch
für einen mittleren Wert die Deformation berechnen. - Setzt mui

Oml^ " 0,i

HO findet eich a und ß annähernd gleich 71; infolgedessen sind die hyper-
bolischen Funktionen von an nicht mehr von ie"* zu unterscheiden;

1) Cfi. Bach, Elast, n. Fe«tigk. § 2.

2) Baoh, § 9 S.81, Probeatab IV c.

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Von Th. Weitbhecht. 399

ihnen gegenüber dürfen endliche Größen als verschwindend klein an-
gesehen werden. Dadurch vereinfacht sich die Rechniuig bedeutend;
es wird ..

C-

iitßr'EFA

A~

Vr^

Die numerischen Werte der in der Rechnung auftretenden Größen sind
in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

Drapr, SpaoDang

minimal

mittel

maximal

a

0,2020202021

0,20207

0,20212126

r-rt

4- 10-*

0,244

0,495

Z,:mn

80,808081 . 10-'

4,930608

10

a

70,8843

70,8895

70,8939

ß

70,89139

70,8966

70,900967

3« : - 9.

9>446 ■ 10-'

9,5418 • 10-'

9,5392 ■ 10-'

2F

22,8188 . 10-'

1,39224

2,825

Die Längen sind in mm, die Kraft« in hg, die Drucke in kgram~'
angedrückt. Die in der letzten Horizontalreihe . ai^egebenen Gewichte
2 V sind diejenigen, welche bei der jeweiligen ursprünglichen Spannung
der Zngstangen genügen, um der Zugstange <p = ihre ursprüngliche
Länge r, wieder zu geben.

Fehlen dem Bing die Zngstangen, während alles übrige gleich
bleibt, so ergibt sich ans (21)

3« : - So = 0,9183.

Dieses Verhältnis, beim Ring ohne Zugstangen nahezu gleich 1,
wird also durch Anbringen der Zngstangen auf etwa |^ heral^edrückt.

Was die Größe der Gewichte betrifft, welche die Deformationen
hervotrofen, so zeigt die folgende Tabelle, daß dieselbe Verkürzung q^
bei den Ringen mit Zugstangen ca. 2 - lO^msl größere Gewichte er-
fordert, als bei dem Ring ohne Zugstangen, und daß andererseits das-
selbe Gewicht bei dem Ring ohne Zugstangen eine 2 ■ lO'mal größere
Verkürzung q^ hervorbringt, als bei den Ringen mit Zugstangen.

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400 Über die elast Deformation e

s kreiaffirmigeQ Ring». Von Th. Wutbikcht.

Ring
otme Zogst mit Zngst.

nnpr. Spumong

%

0,849- 10- ■

4 10-'

2F-22,8-10-'

minimsl

2V

6,66- 10-'

1,392

«.-0,244

mittel

2F

13,31 ■ 10-'

2,826

J.- 0,496

maximal

Auch bei der in § 3 beliandelten Belaatungsweise des Ringe wird

«. - C

^f.

i.-C'\

d^egen wird in diesem Fall

Die grdfite Verlängerung einer Zugstange {q^ ist also nur halb
80 groß, wie im Fall des g 2 (^lA, vi^hrend die Verkürzung (— ^g)

feflt genau denselben Wert behält, Sie wird nur sehr wenig gtSBer,
als bei der froheren Belastungsweise. Infolgedessen werden die Ge-
wichte 2V, die der Zugstange 9) ^ ihre ursprüngliche Länge wieder
geben, jetzt etwas kleiner sein, als früher, Sie erhalten die Werte
22,8075 ■ 10-* kg; 1,3915 kg; 2,8236 kg.

Obgleich wir die Diskussion unserer Resultate nur an einem Zahlen-
beispiel durchgeföhrt haben, wird sich doch folgendes aUgemeiu sagen
lassen.

Die Tragfähigkeit eines Rades wird durch Anbringen von Zug-
stangen erheblich gesteigert, und ist, wenn der Druck im obersten
Punkt dar Peripherie wirkt, etwas größer, als wenn er an der Nabe
angebracht wird; die Tri^fShigkeit ist der ursprünglichen Spannung
der Zugstangen nahezu proportional, wächst jedoch ein wenig rascher
als 4ie8e. Die Deformation erfolgt, je stärker die Zugstangen angespannt
werden, um so mehr in der Weise, daß sich der Durchmesser, der in
die Druckricbtung fallt, verkürzt, ohne daß der Ring seitlich merklich
ausweicht.

Nachtrag. Längere Zeit nach Beend^puig des Manuskripts wurde
ich auf einen Aufsatz von Herrn Linaemann aufmerksam gemacht
über „Die elastische Linie von Drehstrommaschinen mit großen Durdi-
messem".') Da auch bei diesem Problem die stet^ über die Ring-

1) Elektrotecbn. Zeitiohtüt. XXm. Jahrg. 1903, 8. 81 ff.

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Die voiieilhafteBte PfeilbOhe naw. Yon B. J. W. Retbeb. 401

fläche verteilten m^netischen Zugkri^e lioeare Funktionen der radialen
Deformation §') sind, die aber, zum Uoterschied von den Kräften in
den Zugstangen mit wachsendem q abnehmen, so werden die Differen-
tialgleichungen fflr g bei beiden Problemen einander älmlich. Doch
gestalten sich, bei der ^nzlichen Verschiedentieit der Aufgabe sowie
bei den verscbiedeaen Integrationsbedingungen und w^en der von
Herrn Linsemann gemacbten Annahme, daQ die Peripherie des Rings
ihre ursprQngliche Länge behalte, die endlichen Ausdrücke ißr q dorch-
aus verschieden.

Die vorteilhafteste Ffeilhöhe eines gleiclmäBig belasteten

symmetrischen Dreigelenkbogens mit kreisförmiger

Hittellinie.

Von Dipl. Lig. B. J. W. Redser in Goes (Niederlande).

In der folgenden Untersuchung sind:
l — die Spannweite des Bogens (horizontale Entfernung der Eampfer-

gelenke) ,
f = die Pfeilhöhe des Bogens (Hohe des Scheitelgeleuks über den

Eämpfergelenken) ,
R = der Halbmesser der kreisförmigen Bogenmittellinie ,
J = das Trägheitsmoment des Bogenquerschnittes ,
W = das Widerstandsmoment „ „

F — der Inhalt „ „

^=- ~ = der Kemstrahl „ „

N^ = die Längskraft für den Qnerschnitt X, positiv wenn Zugkraft,
Jlf,= das Moment „ „ „ „, „ „ rechtsdrehend.

Sonstige Benennungen sind aus der Figur 2 zu entnehmen.
Die erste Aufgabe ist, den Querschnitt zu finden, in welchem die
Maximalspannung auftreten wird. Suchen wir dazu N^ und M^ fßr
einen beliebigen Quersclmitt X der rechten Bogenhälfte (vgl. Fig. 2):

N^=— ~ HcoB i> — I pda sin S
M,~ Bh

— j pda si
~ I pdai.

1) Die radiale Deformation bsEeioluiet Herr Linsemann mit p, die i
;nkrechte VBiBchiebnng p berechnet er nicht

db,Googlc

Die TorteilhaftMt« PfeilhQhe u

In diese Formeln ist einzoBetzen:

fl" gy (au8 den GleichgewichtabediDgungen folgend)

a — Beiny, und folglich da = licosipdf

A-B(l — ooad)

l — R (sin S — ein <p)
Dann ergibt sich;

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Von B. J. W. Rbusbb.

-fpR

COS <p sin dd^
i
M^ = ^Ä(I — cosd) — fpS'GQatp(8md — B'ni<p)d^.

Die Äaafahrang der Integration ergibt folgende Gleichu^fen :

(I) N, ^GOB S-pR sin« S

ja,- ^R(l-coBd)-^pR*fün'd.

Es wird zwar auch eine Querkraft Q auftreten; jedoch wollen wir die
durch diese hervorgerufenen Schubspannungen vemachlässigen. Die
Normalspannungen ff, welche durch N^ und M^ erzei^^ werden, sind
aniüihenid dieselben wie bei geraden Stäben, vorausgeeetzt daß: 1" die
Höhe des Qnerschnittes gering ist im Verhältnis zum Bogenhalbmesser;
2" daß der Stab symmetrisch ist in bezug auf die durch seine Mittel-
linie gelegte Ebene (TgL z. B. M tili er- Breslau, Graphische Statik der
Baukonstruktioneu). Die größten Spannungen e im betrachteten Quer-
schnitte gehen aus der Formel:

hervor, in welche die oben unter (1) und (2) gefundenen Werte ein-
gesetzt werden müssen. N^ ist immer n^atir. Es soll gezeigt werden,
daß audi M^ negativ ist fttr jeden beliebigen Wert der veränderlichen
Größe d. Es ist

M^^O, wenn ^(1 — costf) ^ jüsin'J,

(Der in bezug auf d konstante Faktor pR ist fortf^elaesen);

•BS^\R-\RcoB'd,

iß COB* d - g^cos d ^ iÜ - ^ ,

COsM-^-j;^C08tf^l-^^,

oder (zu beiden Öliedem (aTp) addiert)

»fBj ■

D,,,i,z=db,Googlc

404 I>ie Torteilhsfteate PfeilhOhe usw.

Denkt man sich einen Augenblick diese Ungleichheit in der Fonn dar-
gestellt: p*^9*, dann kann miui aach schreiben:

{j' + ?){p-«)^0;
das gibt:

Jlf,^0; wenn (costf + 1 ~ j^)(costf ~ 1) ^0.

Die Bedingungen, unter welchen Jf, =• , lassen sich hieraus unmittel-
bar finden:

oder ff = a (Eämpfergelenk)',
20 „ cos d = 1 oder (f = (Scheitelgelenk) .

(Diese beiden Ergebmase hätte man sofort hinschreiben können: es ist
selbstTerstöndlich, doB bei VemachläAngung der B«ibung in den Ge-
lenken keine Momente auftreten).

Für jeden Wert von coaS eteiscken — -^ und 1 ist folglich der
erste Faktor positiv, und der zweite n^;ativ; somit der ganze Ansdruck
negativ.

Wir haben also festgestellt: 3f, ist negativ für jeden QaersehnUi.
Gin negatives Moment ruft in der oberen Hälfte eines (horizontal)
symmetrischen Qnerschuittes positive, in der unteren negative Spannungen
hervor. Weil auch N^ negative Spannungen erzeugt, sind die maximalen
Spannungen in einem Querschnitt Druckspannungen und lassen sieb
in absolutem Wert darstellen durch:

In diesem Ausdruck sind die ahsoluten Werte der negativen Größen
N^ und M^ einzusetzen, waa ei^ibt;

(3) s^5 „„-i^ ^ + 1 W~—-

1) Weil die Bogenlinie kreiifDnnig iat, and die Bogeosehne senkrecht m
dem vertikalen DnrchmesBer, ist - da« geometriache Mittel aus f and Sit — f,
\=-=f{iS~f). folglich:

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Von J. B. Reobeb. 405

Wir kenneQ jetzt den Wert der maximalen Spannong f^r einen be-
stimmten Querschnitt., angedrückt darcb ein bestimmtes d. Wir vollen
jetzt untersuclien, fQr welchen Wert der veränderiichen QrSße S diese
Spannnng (gleich der znlassigen DruckBpannnng f") ein Maximum
wird. Führen wir die QrÖße | ') ein I — -p\ ; dann können wir schreiben :

(4) ^s = f{d) = g-^co8 S + RBiaH + ^ j-JÜ'sin'd - ~ (1 - cosd)]

(;")) fiS) |^ein(J + 2BBinÄcosiJ+ ^(i^ sind cos d-'-^ Bin«)

(6) f'{S) ^coatf + 2JicoB2J + |(B>co8 2d - g^cosd).

Wird f{S) ein Maximum, dann mnß f(S) = Q and zugleich f"(i>)
negativ sein. Es wird

rw-o,

1^ wenn sin d = oder S = (Scheitelgelenk).

Dann sind cosd und cos2d=l nnd wird f"(d) = ~~ ^-.-i- 2R

+ j (R* — -^f . Und weil 07 ~ -^ ~ o ' ^*^' ^'*^ ^^' Ausdruck um-
ändern in:

rm-B + i + ^f.

Weil dieser Ausdruck positiv, entspricht der Wert sin d = nicht einem
Maximum, sondern einem Minimum.

20. wenn - ^-^ -i- SBcos* -)- *(Bcosd - ^^J - 0.

Aus dieser Gleichung finden wir:

Berechnet man hieraus den Wert für cos2d(" 2cos'd — 1), nnd setzt
man die Größe in Gleichung 6 ein, dann «rgibt sich nach kleiner Um-
rechnung:

'" W - i(n1^{(' - >x)'(2'' + ^'^ + ^'>~ '^S' + läfi + B-)! ■

1) Die Werte von £ und mit aehi groBer ÄauHheiung den nachBtehenden
Formeln zu entneliioen: (vgl. anch 3. 406, Z. 1 t. u.)

£ = 0,80 h 4- 0,01 cm, fOi [-EiBen D. N. P. No. 8—30 •,

' h = Profilhohe in cm.

i = 0,307 h + 0,J5 cm, „ I-Eisen D. H. P. No. 8—40 i

ZdtHhrlflf. HathnnaMkn. Fh^ilk. M Bud. 1909. 4. Hart. 87

D.git.zedb/GoOglC

406 I>ie Totteilbaftest« PfeilhOhe uaw.

Führt man ein: ^ — ö^ = «ffi ^ **' "^l**^ Größe < 1 und positiT
ist; dann läßt eich der Äuednick fQr f"{i) omgeatalten in:

f'W - - j(sT+-^|2£'(2 -«') + 2t-R(2 - ^ + «•(! - «■))■

Der AoBdmck in der Elammer ist positiv, folglich ist f (9) negaäv
und f{d) ein Maximum. Die Größe des Maiimalwertee ffir f(S) er-
mitteln wir jetzt, indem wir den Wert für cosd aus Formel (7) in die
Gleichung (4) einsetzen. Bequemer ist es, diese etwas umznänd^n
(sin'd = 1 — coB*tf):

^,-rtä)-»,ä(i;+';^^co.M(j!+Q+{ü+f;-^D.

Führen wir die Substitution aus, und bedenken wir, daß die Beziehung
g-^ = i{ — ^ besteht, dann kommen wir zu der verhäitnismäßig ein-
fachen Formel:

(8) fw -!/•(*)).

Die Formel wird bedeutend vereinfacht, wenn man ^ g^en B,
^S g^sii 2-^ *^<^ ^% g^^n B vemachlässigt, was mit Rücksicht auf
die Verhältnisse dieser Größen zulässig ist. Es ergibt sich dann:

Wird im Zähler das Glied A%*f gestrichen, dann bekommt man:

R,

und weil ü = ^ + xt., so wird die Formel schließlich:

(8') ,^--h + i + k

Aus dieser Formel wäre F zu bestimmen, wenn sich zwischen F und
i eine Beziehung aufstellen ließe. Das ist aber unmöglich, weil Träg-
heitsmoment, Widerstandsmoment und damit | = -^ von der Form des
Querschnittes und folglich von der Einsicht des Konstruktenra abhängen,
und diese läßt sich nicht in funktionelles Gewand kleiden. Wir können
uns aber helfen, wenn wir bedenken, daß in der Praxis die Höhe des
Quersdinities gewcäUt wird. Bei den Ttägerquerschnitten üblicher Form
sind nach Müller-Breslau | und Ag, Kemstrahl und Höhe des Steh-
bleches, proportional, und zwar: li-^^^Ä,,.')

1) Müller-Breslau, Graphische Statik der Baukonstcnktionen. Bd. I. S. 207.

DigitizedbyGoOgIC

Von J. B. Rbusbb. 407

Wir sind also imstande, F ans der Formel (8a) zu bestimmea als
Punktion bekannter GröBen und der PfeilkÖhe fi

Setzen wir jetzt vorauB, daß F für die ganze Bogenlänge honstant sei,
dann ist die erforderliche Materiahnenge:

3R ^ Bogenquerechuitt x totale Bogenlänge.

Die Bogenlänge ist -gj.«- ■ Hierin sind einzusetzen:

R-C + II und «• = Winkel sin f-^)

= Winkel ein

G+^

Mithin ist die Bogenlänge:

_Arcsm(^^^^,).

In SR'^FxL, die Werte ans (Hb) and (9) einsetzend, bekommen wir:

Dieser Ausdruck läßt sich noch etwas umändern und TereiufacheD. Die
Multiplikation der beiden zwischen Q stehenden Faktoren wird aus-
geführt, und dürfen wir dabei die entstehenden Glieder mit ^ und
^ streichen:

Führen wir jetzt ein: A^t- (bekannte Größe) und i]^ — , dann wird
unsere Foimel:

Digiliz=db,G00gle

408 Di« TorteUhftftMt« Pfeilhohe \uiw.

3ß läßt sicli also in der Fonn Bclireiben:

9W = Konstante X f(i}),
and hierin ist dann:

(11) rt,)_(,i + 8 + i)A«,ui(.-J;-^).

Ist 3R ein Hinimiun, dann igt anch f(i}) Hinimnm, und es maß f{fj) =
sein. Dabei braacbt f'{^) nicht unterBocbt za werden, weil ein Hazi-
mom natürlich auageschlossen ist.

(12) m - (l' + 8 + i) i^ + (i - I-.) An,.,n (^) - 0.

Aas dieser Gleichung ist i; zn beatinuneQ. Za diesem Zweck habe ich

sie amgefonnt zn:

(.3) A,csi.(^) = l« + 1H_«.-)

Nach Wahl eines bestimmten X können fDr Terschiedene Werte von t]
das erste nnd das zweite OUed der Öleicfanng berechnet werden. Stellt
man diese Beenltate in Tabellenform zusammen, dann \i&t eich dorch
Interpolation bestimmen, welcher Wert fdr t] der Gleichung genügt.
Es hat natürlich keinen Zweck, den Lesern dieser Zeitschrift alle von
mir berechneten Zahlen vor Augen za führen. Ich will nur einen
kurzen Auszug geben, und zwar fSr 3 Terschiedene Werte von A,
nämlich A = 50, 100 und 200.

2-nn-i-sn'

Differenzen des \
eraten n. zweiten l fOr 1
OleichuDgsgliedee 1

Die gesuchten Werte für ij, bei denen f(rj) = wird, ergeben eich
durch Interpolation und betragen:

1 =

0,12

0,14

0,16

0.18

0,80

0,22

n' + iJ

0,«1

0,646

0,618

0,692

0,782

0,880

, 50

_

_

-

0,717

0,818

= {100

—

_

0,676

0,788

—

ts90

0.892

— 1

0,688

-

-

-

1 w

_

_

+ 0,046

—0,088

= 100

— 1

—

+ 0,048

— 0,098

—

Uoo

+ 0,079 1

-0,042

-

-

-

V-

;i-

0^08
0,170 ~ i

wenu;

60
100

0,134

200

1) Im Neuner ist dai TemachliUsiglMre Qlied — iii*l geBtrichen.

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0,10

o,is 1

«4,6

8M '

46.6

4!,8

60,1

47,7

Ton J. B. BiusKB. 409

In dem folgenden Auszug sind einige Wert« fSr f(ri) zusanunengestellt,
berechnet aus Formel (11). Die Zahlen müssen noch mit ^ —

moltipliziert werden, um nach Formel (10s) die Werte für 371 zu
liefern, sie sind aber proportional damit.

0,14 I 0,1G 0,18 0,30 I 0,32 | 0,34

Se,l ' 84,1 33,2 82,8 Sa,S ! 3S,6

SS,8 , S»,l I S»,8 40,S I ~ —

47,6 I 49,0 j Gl,8 66,6 | — | —

Zwei wichtige Folgerungen lassen sich hieraas ziehen:

1" bei abnehmenden Werten von X, oder (weil ^ = j) bei zu-
nehmenden Werten von ^, wächst das Verhältnis >j = y , bei dem der
Materialverbrauch ein Minimum wird, und kann also der Pfeü größer
werden.

2" Trotzdem der Pfeil und damit die Lange des Bogens größer
werden, wird der Materialverbrauch kleiner. (VgL die fettgedruckten
Zahlen für firjj).

Die von Konstrukteuren befolgte Wahl einer möglichst großen
QuerschnittsbÖhe ist hiermit als eine durchaus richtige erwiesen
(vgl. S. 406).

Schlüsse. Der Wert von V ^ j> ^ ^^^ ^^^ Materialverbrauch ein
Minimum wird, ist zwar für jeden Fall ein anderer, weil abhängig von
A — -.- ; jedoch läßt sich bemerken, daß, wie es eich ans den von mir an
gegebenen Zahlen zeigt, der Wert von f(rf) sich in der Nähe des
Minimums praktisch nur sehr wenig ändert and man BchlieBen darf:

Bei einem gleichmäßg heiasteten symmeb-iscken Dreigelenkbogen mit
kräsförmiger Mittellinie und konstantem Querschnitt ist die günstigste
Ffeilhohe f'^j von der Spannweite l.

In einem folgenden Aufsatz werde ich untersuchen, wie es sich
bei demselben Bogenträger verhält im Falle einer mobäen gleichmäßigen
Belastui^, welche weit ungünstigere Spannungen erzeugt.

Goes, Juli 19a5.

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410 tfhei eine Anwendung der FehlerwahrBcheinlichkeitBtheorie aof GröBen, naw.

Über eine Anwendung der Fehlerwahrscheinlichkeitstheorie
anf Größen, welche sich nicht rein zufällig ändern.

YoB 0. HoLTSHARE in Aas (Norwegen).

Bei den Feldversuchen mit Ackeigewächsen, Düngung usw. wird
gewöhnlicli ein gröBeres Feld in kleinere PaizelleQ geteilt; diese werden
mit den yerscliiedenen Yersuchsgegenständen beschickt, nud Bclüießlich
werden die Ernten der einzelnen Parzellen miteinander ret^IicheD.
Mehrere Yersachsfehler werden sich dahei geltend machen. Erstens
werden die Parzellen nicht Tollstänüg gleichmäßig besät, zweitens
werden bei der Ernte beim Einsammeln und Wägen des Ertrages
Fehler unterlaufen, drittens iat die Ausmessung der Parzellen mit
Fehlern behaftet, und endlich sind die Böden und Überhaupt die natür-
lichen Wachstum sbedingungen auf den einzelnen Parzellen etwas ver-
schieden. Erfahrungsgemäß sind die Fehler, welche die letzterwähnte
Ursache haben, die bedeutendsten. Andererseits macht sich hier die
Nachbarschaft der Parzellen in der Art geltend, daß zwei Parzellen,
die unmittelbar aneinander grenzen oder sich in relativ kleinem Ab-
stand voneinander befinden, sich weniger in den Wachatumsbedingungen
unterscheiden, als zwei solche, die relativ weit voneinander entfernt
sind.

Will man zwei Yersuchsgegen stände so vergleichen, daß man sie
auf je einer Parzelle prüft, so darf man natürlich diese Parzellen un-
mittelbar nebeneinander wählen, damit die Bodenverschiedenheiten
möglichst wenig einwirken. Oewöhnliidi wird man aber, um einen
sichereren Yergleich zu erlangen, die zwei Yersuchsg^enstände nicht
auf je einer, sondern auf mehreren Parzellen prüfen und somit dorch
Wiederholung den Fehler vermindern; außerdem wird man in Praxi
gewöhnlieh eine größere Anzahl von Gegenständen gleichzeitig auf
einem größeren Felde miteinander vei^leicben. Je größer das Feld
nun wird, um so mehr werden die einzelnen Parzellen darchscbnittUch
voneinander entfernt. Und will man dann mit Hilfe der Fehlerwahr-
Bcbeinlichkeitstheorie ein Maß für die Genauigkeit der Yersnchsresul-
tate ermitteln, so tritt die Schwierigkeit auf, daß die Abweichungen
der einzelnen Parzellen von dem Mittelwerte nicht rein zufällig, sondern
zu einem gewissen Grade von der geometrischen Yerteilut^ der Par-
zellen abluingig sind, wodurch die direkte Anwendung der Fehler-
Wahrscheinlichkeitstheorie unzulässig wird. Diese setzt nämlich voraus,
daß die Verteilung der Elemente, deren Abweichung von einem soge-

DigitizedbyGoOglC

Von G. HoLTSiuM. 411

nannt«!! wahren Werte in Rechnnag gezogen wird, eine rein zu-
fällige ist, dann wird man denselben mittleren Fehler finden, ob dieser
ans einer kleineren oder einer größeren Anzahl von einzelnen Elementen
berechnet wird. Dagegen wird in dem von ans betrachteten Falle der
berechnete mittlere Fehler um so kleiner ausfallen, je kleiner das
Yersnchsfeld und damit die Anzahl der Parzellen ist Wie der mittlere
Fehler mit der Ausdehnung des Feldes wächst, werde ich in dieser
Arbeit unterBuchen. Außerdem werde ich theoretisch eine Methode
begründen, durch welche man bei Versuchen auch auf größeren
Feldern angemlhert dieselbe Genauigkeit zu erreichen vermag, wie auf
kleineren. Diese Methode ist schon längst von meinem Kollegen
Herrn Bastian R. Larsen, dem Leiter der norwegischen staatlichen
Versuche mit Ackergewächsen, ersonnen lud von ihm seit mehreren
Jahren bei den Feldversuchen mit Erfolg benutzt worden. Obwohl
die Untersuchung aus einem speziellen Bedürfnis der Praxis entsprungen
ist, glaube ich doch, daß die Resultate auch ein allgemeines Interesse
besitzen, weshalb ich die mehr tbeoretischen Ausführungen hier mit-
teilen möchte. Die spezielle Anwendung gehört in die Yersuchspraxis,
und wird anderswo mitgeteilt werden.^)

I. Der Einfloß der Größe dea Versaolufeldes auf den
mittleren Fehler.
Es sei ein rechteckiges Feld in eine Anzahl gleich großer qua-
dratischer Parzellen geteilt. Die Seitenlänge des Quadrates sei = 1,
die Seiten des rechteckigen Feldes seien n^ und n,. Das Rechteck
enthält dann fl,n, = n quadratische Parzellen. Jede Parzelle stelle eine
gewisse Größe dar, z. B. den Ertrag eines Gewächses. Die Größen,

welche die einzelnen Parzellen darstellen, seien a, b, c k. Das

arithmetische Mittel - .T^rj ■_: ■ J^ <, nennen wir den „wahren" Wert.
Weiter bezeichnen wir mit „wahrem Fehler" die Größen:

/» + > + . .- + 6

1) TidBskrift foi Landbrngetfl Planteatl, redi^tet af E. Rostrap, Bd. 13,
KjöbenluiVD, 1906, 8. 880—361.

Digiliz=db,G00glC

413 Über eine Änwendniig der Fehlerwahncheiulichkeitathoorie aaf GiSfien, uaw.

Denken vir niia TorlänEg die Verteilung der Elemente rein znföUig,
so ist Dach der FehlerwabrBcheinlichkeitatbeorie der BOgenannte mittlere
Fehler (die mittlere Abweichung):

Wir werden uns Torstellen, wie diese GröBe tn ans den einzelnen
QröBen o, b . . .k au^ebant ist.

Nehmen wir zunächst an, es seien nur zwei GrÖfien a and h,
n = 2. Wir haben dann:

Seien jetzt n = 3 GröElen a, b, c vorhanden, dann wird

3

(a-b) + (e~b)

3

(ß-e) + (b-c)

„)=t

= f

I.K" -')■ + (» -«)■ + (*-»)■].

1) OewChulich werdeo das arithmetiBche Mittel als der trahT»ckeinli<Atte
Wert, die Abweichungen *i, , ^^ . . . . vom ftrjthmetiachen Mittel ab scheinbare
Fehler angesehen, and dar mittlere Fehler der eineeinen Beobachtungen aoB einer

Anzahl TOD n solchen nach der Formel m = +T/_L J berechnet. Wenn hier

der mittlere Fehler nach der Formel m = +l/Lf!J berechnet wird, indem die

Abweichungen vom arithmetischeii Mittel als wahre Fehler betrachtet weiden,
HO hat das den folgenden Gmnd : Bei einem Yeranche werden die Parzellen mit
einer Anzahl verschiedener YertucbBgegenstände beschickt. Nnn sind die natür-
lichen Vegetation Bbedingnn gen auf den Parzellen verschieden, und die Unterschiede
in den Ernten rähren nicht nnr von der verechiedenen Ertragfähigkeit der ein-
celnen Venncbsgegenstände , londem anch von diesen Verschiedenheiten in den
Vegetationsbedingongen her. Die letzteren geben zu den „Fehlem" VeranlaasuDg.
Um alles gleich zu halten, mfiBte man sämtliche Versuch agegenst&nde gleichzeitig
Ober das ganze Feld prüfen, was selbstverständlich unmöglich ist. Statt dessen
werden die einielnen Gegenat&nde je auf einzelnen Parzellen geprüft. Man kann
sich nnn denken, daS mau aas der Ernte einer einzigen Parzelle schlieflt, welche

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Von 0. HOLTSVASE. 413

Mit den Größen a, b, c, d, also « = 4, wird

m» -= |,[(a - 6)» + (a - c)* + (a - d)» + (6 - c)« + (& - rf)^ + (c - d)*]
usw.
Und mit n Größen:

(1) »»* = ^ = i[(fl-&)' + (a-c)' + ].

Die Anzahl der Sammanden zwieclien den Klammem ist offenbai

3

Bezeichnen wir mit + ,u' die mittlere Differenz zwischen zwei be-
liebigen Größen a,b, . . . i, d. h.

Wenn n eine große Zahl ist, wird somit
/i'» = 2 m»,

was mit der Fehlerwahrscheinlichkeitatheorie übereinstimmt.

Kehren wir non zn dem anfangs betrachteten Rechteck zurück.
Wenn wir die Formel (1) anf die Größen, welche die quadratischen
Parzellen repräsentieren, anwenden, so wird n =- n^Wj. Nehmen wir
mm an, daß die mittlere Differenz zwischen zwei Größen eine Funktion
des Äbstandes der quadratischen Parzellen, zu welchen die Größen ge-
hören, ist, so lassen sich die Differenzenquadrate in (1) nach den Ab-
standen der zugehörigen Parzellen klassifizieren. Die Seite jedes
Quadrates haben wir gleich eins gesetzt. Rechnen wir als Abstand
zweier beliebiger Quadrate den Abstand ihrer Mittelpunkte, so sehen

Ernte man auf dem ganzen Felde erhalten haben würde, falls das ganze Feld
mit dem betreffenden Gegenstände beschickt gewesen wilre. Das kann man nur
mit Atmäherung schließen. Um diese AnnElhemng kennen zn lernen, muB man
einmal das ganze Feld glttckartig beschicken. Die Emte des ganzen Feldes, oder
Tieimehr desselben ist dann ein „wahrer" Wett. Die Ernte einer Parzelle

ist ein „beobachteter" Wert. Und die Differenz Ewischen beiden ist ein „wahrer"
Fehler.

:dbyG00«^Ic

414 Üb« eine Anwendnng der FeblenrahiBchBinlichkeiUtltetirie auf GiOBen, utw,

wir leicht bei BetraclituDg einer Figur, mit welchen Abeiämden wir
zu lechnen haben.

■ ' I "IZ" "Z "

' j ' ' ■ ' k

ÄbstaDd 1 z. B. zwischen a und b

„ V^ „ ., " „ <■

„ 2 „ „ 1 „ c

„ V'ö „ „ 1 „ f

; V8 » „ <• „ •

Eine einfache Aufzählung ergibt die Anzahl der Differenzen von
den verschiedenen Ordnnngen.

Für den Abstand ^^ 1, Anzahl der Dilferenzen (% — l)jt, + (H^~l)», = ^

Vi 2(»,-l)(ii,-l) -B

2 («,-2)«, + (i^-2)»,-C

yS 21(«,-2)(,i,-l) + (n,-2)(»,-l)]_7J

VS 2(«,-2)^n,— 2) -E

usw.

Bezeichnen wir mit + ft die mittlere Differenz für den Abstand = 1,

mit +PII für y2, mit ± 9ft fUr 3 usw. Bo läßt eich der mittlere Fehler

der einzelnen Parzellen in folgender Form ausdrücken:

(2)

1^ [A + Bp' + Cq' + Dr' + J.

' («1«.)'

. B+ C+ =**'-3j!^'*^-r_*?.

Bei der praktiBchen Anwendung dieser Formel wird man sicli wohl
gewöhnlich damit begnügen, die zwei ersten Glieder der Reibe abzn-
Bondem, welche Differenzen zwischen unmittelbar benachbarten GröBen

DigitizedbyGoOgIC

enthalten, also die Glieder A und Bp'. Bei den fibrigen Gliedern
setzen wir dann, um zu Tereiufachen :

= r>^-

c + i> + = p"'^%"'- ?^-u+B)]

= i[(»ini)* - 9«in> + 6«! + 6«, - 4]
-ff.

Die Formel (2 ) wird dann vereinfacht und mit angenäherter Gültigkeit
geechrieben:

(8)

Die Größen fi, p nnd u sind gewisse für das Versuchsfeld eigen-
tümliche Konstanten. Sie mögen auf den verschiedenen Teilen des
Feldes verschieden sein, sind aber von der Ausdehnung des Feldes un-
abhängig und werden sich im allgemeinen aus einer relativ geringen
Anzahl von Vergleichungen zwiscben Eiern entargrößeu mit hinreichender
Genauigkeit ermitteln lassen. Somit erlaubt die Formel (3^1 zu erkennen,
wie der berechnete mittlere Fehler mit der Ausdehnung des Feldes zu-
nehmen wird.

Zur Prüfung dieser Theorie 1^ ein älterer Versuch von B. ß. Larsen
vor.') Eine drei Jahr alte Wiese mit Phleum, 200 m lang, 30 m breit,
wurde in 240 quadratische Parzellen von je 0,25 ar Inhalt geteilt und
jede Parzelle für eich abgeerntet. Auf dem ganzen Felde betrug die
Ernte 4270 kg, also auf jeder Parzelle von 0,25 ar durchschnittlich
17,8 kg. Die 240 Ernten der einzelnen Parzellen eichen direkt:
m* = 8,518,

Aus den 434 Differenzen d^, d^, . . . ä^g, zwischen zwei Parzellen, welche
Ungs einer Seite aneinanderstoßen, wurde berechnet

** =434^^95-

Aus den 390 DifiFerenzen rfj, rf, . . . d^ zwischen Parzellen, welche in
einem Eckenpunkte aneinanderstoßen, wurde berechnet:

Um die Konstante u' zu erhalten, bemerken wir, daß ± Uli die mittlere
Differenz zwischen zwei beliebigen, weit voneinander bel^enen Paraellen

1) BerfttteUe öfver Andra nnrdiaka LandtbrukakongieBeeo i Stockhobn isti7.
I. S. 17 ff,

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416 tlber eine Anwendung der Feblerwahncheinlichkeitatheorie auf Größen, dbw.

ist. Nach der FelilerwalirscheiiiliclLkeitatlieorie ifit, wie schon frflher
bemerkt, mit großer Annäherung:

«V* = 2m* = 17,037.

Wir haben nun zur Berechnung des mittleren Fehlere bei Terschiedenen
Feldgrößen die Konstanten:

(i» = 6,495,

p» = 1,369,

u' = 2,623.

Mit Hilfe dieser Eonstaaten und der Formel (3) sind die Werte für m*
fBr einige Terschiedene Feldgrößen berechnet und in der beistehenden
Tabelle unter „m' theoretisch" zusammengestellt. Nebenbei sind unter
„m* empirisch" die unmittelbar aus dem Versoclismatenal berechneten
mittleren Fehler zusammengestellt. Bei der Berechnung der letzteren
ist das folgende Verfahren benützt: Das Feld ist in eine Anzahl kleinere,
gleich große Felder geteilt. Für jedes der kleineren Felder ist die
Mittelemte der Parzellen berechnet, und sind die Differenzen zwischen
dieser Mittelemte und den £mt«n der einzelnen Parzellen ermittelt.
Die Summe der Quadrate dieser Differenzen für das ganze Feld, durch
deren Anzahl geteilt, gibt dann das Quadrat des mittleren Fehlers,
welcher der kleineren FeldgröBe entspricht

«.

n,n,

A

B

H m' theoratisdi

m'empmicb

2

4

4

2

2,74

2,47

2

12

16

10

40

6,09

6,66

5

30

49

40

346

7,30

7,15

10

60

104

90

1576

7,87

8,09

20

120

214

190

6736

8,19

8,37

40

240

434

390

27856

8,36

8,62

n. LsTHena ICethode.
Wenn eine größere Anzahl von verschiedenen Yersuchsgegenständen
miteinander verglichen werden sollen, so wie es bei Feldversuchen
häufig gemacht wird, muß man ein hinreichend großes Feld in kleinere
Parzellen von je z. B. 0,25 ar Inhalt teilen. Anstatt sämtliche
Parzellen mit den zu vergleichenden Versuchsobjekten zu beschicken,
wird ein Teil derselben, z. B. jede dritte Parzelle, mit einem bestimmten
Vers uchsgegen stand beschickt. Diese Parzellen wollen wir Maßpare^len
nennen. Die übrigen Parzellen werden mit den zu vergleichenden Ver-
auchsgegenständen beschickt. Nun werden die £mten dieser letzteren

DigitizedbyGoOgIC

Von G. HoLTlMiRK. 417

Puzelleti nicht unmittelbar miteinander verglichen. Statt der wirk-
lichen Ernte einer Parzelle wird eine „ideale" in folgender Weise
berechnet: Man ermittelt die dnrcbschmttliche Ernte der unmittelbar
an die Parzelle angrenzenden MaBparzellen, sucht die Differenz zwischen
diesem Durchschnitt und der wirklichen Ernte der Parzelle. Diese
Differenz wird dann addiert zu bezw. subtrahiert von der fQr sämtliche
Maßpaizellen berechneten Durchschnittsemte. Die so für die Parzellen
ermittelten ,^dealen" Ernten werden dann in gewöhnlicher Weise mit-
einander reigUchen.

Larsen verteilt die Parzellen nach folgendem Schema, wo die k
Mabparzellen bezeichnen.

a b k c d k

f k ff h k l

k p k q r

u V k X y i

Die Parzelle g z. B. grenzt an drei Maßparzellen k. Die Differenz
zwischen dem Mittel aus diesen drei und der Parzelle g wird zu dem
Mittel der sämtlichen k sammiert. FSr die am Rande des Feldes
belegenen Parzellen, z. B. o, b, . . ,, f . . ., muß die ^^deaie" Ernte in
etwas abweichender Art berechnet werden. Wie das geschieh^ ist Ton
Laraen in der Beschreibung seiner Methode dai^estellt und wird hier
äbei^ngen.

Untersuchen wir nun, wie der mittlere Fehler dieser „idealen"
Ernten sich mit der FeldgrSBe ändern muß. Wir wollen annehmen,
daß alle Ver^eichsparzellen gegenQber den angrenzenden MaBparzellen
in derselben Weise orientiert sind. Die Differenz (/,■ zwischen einer
Veigteichspsrzelle nnd dem Durchschnitt der angrenzenden Maßparzellen
ist dann von der Größe des Feldes unabhäi^pg. Die „ideale" Ernte
einer Vergleichsparzelle ist, wenn wir die durohBohoittliche Ernte der
Maßparzellen mit M bezeichnen: M + d^. Die wahren Fehler:

U«±M_^M + ^

werden sich nur unwesentlich von <I, unterscheiden. Der mittlere Fehler
wird deshalb von der Feldgröße unabhängig sein. Eine Prüfung mit
dem froher benützten Material bestätigt dies vollständig. Von den
240 Parzellen worden 80 als Maßparzellen angesehen. Unter „Ii'eld-
große" ist die Anzahl der Versocbspaizellen angegeben.

Digiti

:dbyGOO«^IC

über eine Änwendong nsw. Von 0. Holtbhisk.

Fddgrtße

Qnairet dw mitUeren Fehlern

8

3,81

40

3,86

80

3,90

160

3,88

Diese Berechnnngeweise ist indessen nnznlässig, wenn man den
mittleren Fehler der nach Laraens Methode berechneten idealen Ernten
mit dem mittleren Fehler sämtlicher Parzellen vergleichen will Als
„wahren" Wert duf man nicht den Dnrohschnitt der berechneten
„idealen" Ernten ansehen, sondern rielmehr den Durchschnitt sämtlicher
Parzellen, sei es, daß die Parzellen als Versuchs- oder daß sie als
MaBpaizellen benützt worden sind.

Es sei t die Ernte einer gewissen Yersncbaparzelle. Das Mittel
der angrenzenden Maßparzellen sei ft,, and i - k^ = df Wenn M der
Durchschnitt asmtlicher MaSparzellen ist, so ist die „ideale" Ernte der
betrachteten Parzelle M + d,. tJm den mittleren Fehler zu berechnen,
nehmen wir die Differenz zwischen jeder einzelnen „idealen" Ernte und
dem Durchschnitt D sämüicher Parzellen:

Wir bemerken jetzt, daß, wenn überwiegend t > ib^, dann wahrscheinlich
anch D > Jlf ist. Denn M ist ansacbließUch aus denselben Parzellm
wie die k^ gebildet, aber D ist aus sämtlichen Parzellen gebildet, so-
wohl den i als den Ernten der Maßparzellen (in unserem Beispiel Qber-
wiegeud den r). Die zwei Summanden (M — D) und (i — ij) mflssen
also vorwiegend entgegengesetzte Vorzeichen haben. Das ei^te Glied
wird mit wachsender Feldgröße sich rasch der Null nähern. Das
zweite Glied, i — ft( =- d., ist aber von der Feldgröße unabhängig. Der
Zahlenwert von i/,' — und bei der Berechnung dea mittleren Fehlers
kommt es auf das Vorzeichen nicht an — muß deshalb mit wachsender
Feldgröße zunehmen, und der mittlere Fehler wird sich dem Qrenzwert
± d nähern. Das Gesetz, nach welchem dieses Auwachsen stattfindet,
habe ich nicht festgestellt, und es Eßt sich wohl auch schwer auf
ein&cbe Gestalt bringen. Wie das Anwachsen bei dem von uns be-
trachteten Verauchsfeldo stattfindet, habe ich beispielsweise berechnet.
Der dritte Teil der Parzellen ist als Maßparzelle benfltzt, die übrigen |
als Versuchsparzellen. Die Kolumne „Feldgröße" gibt die Anzahl n
der Versuchsparzellen an, die zweite Kolumne das aus Vergleich mit

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Die Perspektive der Brader van Ejck. Von Kabi. Doehleuink. 419

dem Darchschnitt G sämtlicher Parzellen des Feldes bereclmete Quadrat
des mittleren FeUers.

FeldgttSBe Qaadrat des mittleren Fehlers

« = 8 3,38

20 3,77

40 3^2

80 3,96

160 4,12.

Ergebnisse.

1. Bei Anwendung der FelilerwahrscIieiiilicIikeitBtbeorie auf Ele-
mente, welche in einer bestimmten geometrischen Lage festgehalten
sind, und bei welchen der Unterschied zwischen zwei beliebigen Ele-
menten mit wachsender Entferanng zunimmt, nimmt der berechnete
mittlere Fehler mit wachsender Anzahl der Elemente zu. Das Gesetz
des Anwachsens ist in dem von uns betrachteten Falle durch die
Formel (2) gegeben.

2. Durdi Anweoidung von „Maßpaizellen" nach Larsens Methode
läßt sich der mittlere Fehler bedeutend herabdrflcken. Bei dieser
Methode wird auch der mittlere Fehler mit wachsender Anzahl der
Elemente zunehmen, er nähert sich aber rasch einer Grenze, welche
nur Ton der Differenz zwischen den zusammenstoßenden Elementen
abMogi.

Die Perspektive der Brüder van Eyck.

Von Karl DoEHLEMAini in München.

1. Auch unter den großen Künstlern aller Zeiten wird es wenige
geben, die durch ihre Werke den Streit der sich oft direkt wider-
sprechenden Meinungen in gleichem Maße herauf beschworen haben,
wie die Brüder Hubert und Jan van Eyck. Welche Partien an
dem berühmten Genter Altar von dem älteren der Brüder, Hubert,
herrühren, wie die nicht bezeichneten Bilder sich unter die beiden
Brüder verteilen und chronologisch zu ordnen sind, in welchem Um-
fange beide Künstler von ihren Vorgängern abhängen und wieviel von
ihren Entdeckungen auf ihre Schüler übei^ing, alles das sind Fr^en,
die sich bei dem Mangel genauer geschichtlicher Angaben fast nar
durch das sor^ältigste Studium der vorhandenen Werke beantworten
lassen. Da ist es denn sicher mit Freude zu begrüßen, wenn zu den

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420 ^Ü Penpektive der Brflder yan Ejck.

mehr oder minder doch auf subjektivem Empfinden beruhenden Kriterien,
-wie sie die künstlerische Analyse eines Bildes liefert, ein neues hinKO-
gefügt wird, das rein formaler Natur ein objektives Moment berQck-
sichtigt: das tat die perspektivische Zeichnung. Herr Dr. Q.Josef Kern*)
hat sich der dankenswerten Arbeit unterzogen, die Bilder der Brüder
Ejek, welche durch das Vorhandensein von Architektur eine Kontrolle
der genauen perspektivischen Konstruktion ermöglichen, in dieser
Richtung zu untersuchen, was auch deswegen wünschenswert war, weil
über diesen Punkt die Anschauungen ebentallB weit auseinander gehen.
Auch die Zeit vor den Eycks (Broederlam), sowie Petras Christus, ein
Schüler Jan van Eycks, finden Berücksichtigung. Der Abhandlung
sind 14 Tafeln beigefügt, welche in starker Verkleinerung Umriß-
Zeichnungen wiedergeben, die der Verfasser nach den größten erhält-
lichen Photographien der betreffenden Werke, meistenteils anter gleich-
zeitiger Benatzung der Origiaale, angefertigt hat. In den Tafeln finden
wir die Konstruktionslinien eingetr^en, außerdem sind die Redaktion
gegenüber dem Original, sowie die Koordinaten der Flucht- oud
Schnittpunkte angegeben.

Nach der Richtigkeit der Konstruktion ordnet der Verfasser die
Bilder der Eyck in eine Reihe und kommt zu dem Schlüsse, dafi unter
den datierten, bzw. dem Jan van Eyck ziemlich allgemein zu-
geschriebenen Werken die Madonna des Kanzlers Rolin (Paris, Louvre)
als perspektivisch beste Leistung an das Ende dieser Entwicklui^ zu
setzen ist, wobei er noch weiter folgert, daß dieses Bild jedenfalls
später als 1436 gemalt sein müsse.') Den Fortschritt, den die perspek-
tivische Darstellung im 15. Jahrhundert in den Niederlanden gemacht
hat, faßt Kern in folgende Resultate zusammen: Die Eyoksche Linear-
perspektive nimmt eine MittelsteUung zwischen der Perspektive Broeder-
lams und der Perspektive Masaccioe ein. Die Flandrischen Quattro-
oentisten haben wahrscheinlich die Brunellescosche Lehre nicht gekannt,
und die Entwicklung hat sich bei den Gebrüdern van Eyck und bei
Petrus Christus, soweit wir sie an ihren Werken verfo^en können,
unabhängig von Italien vollzogen. '

Um femer darzutun, daß die Verbindung von Theorie und Praxis
kein Vorrecht der italienischen Renaissance, daß vielmehr auch Jan

1) Die GrondsSge der linear-peispektiTischen Dantellung in der Kanat der
Gebrüder ran Ejck und ihrer Schule. I. Die perspektivüiche Projektion. Mit
3 Zeichnungen im Text und 14 Tafeln. 36 S. Leipzig. E. A. Seemann. 1901.
Preis geb. 6 Mark.

2) Die Un Wahrscheinlichkeit dieser Datierung habe ich an anderer Stelle
besprochen: Mitt«ilangen der Gesellschaft für vervielfältigende Eunit, Okt. 1906:

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Ton Kam. Doehi^hahii. 421

van Eyck eicli mit Studien Über die Perapettire beeehäftiigt habe, weist
der Verfasser darauf bin, daß man kein Kecht Habe, dem OeBcbichts-
sebreiber Bartholomaeas Facius, der 1456 eine Lebensbeschreibung der
berShaitesten Männer jener Zeit schrieb, jede Yerlassigkeit abzusprechen.
Dieser erwähnt aber, daß sich Jan ran Eyck besonders mit der ßeotnetrie
und mit den Efiosten beschäftigt habe, die ihm als Hilfsmittel für die
Malerei diesen konnten. Wenn wir auf dem Amolfini -Bilde einen
Konrexapiegel und in ihm das Spiegelbild des Gemaches dargestellt
sehen, so spricht dies ja allerdings für diese Auffassung. Der letzte
Abschnitt des Buches ist der mittelalterliehen Wissenschaft der Per-
spektive und ihrer Verbreitang in Nordeuropa gewidmet. Hier wird
namentlich auf den Polen Vitellio hingewiesen, der im 13. Jahrhundert
die Optik des Arabers Alhazen (etwa 1000 n. Chr.) ins Lateinische
tibertrug and dadurch die PerspektiTe Euklids dem Norden überlieferte.
Interessant ist folgende Stelle aus diesem Buche: „Parallele Linien
scheinen nach der Tiefe zuaammenzufliehen, niemals aber wird man sie
sich wirkUch schneiden sehen." Der Verfasser bemerkt mit Recht, daß
diese Ansicht der Verbreitung der Perspektive, d. h. der Lehre vom
Fluchtpunkt nur hinderlich sein konnte. In der Tat haben ja noch
Alberti und Lionardo da Vinci, trotz ihrer Kenntnis des Mueht-
punktsatzes, hierin Schwierigkeiten gefunden. Ich möchte hinzufügen,
wie geeignet diese Betrachtungen sind, um die gewaltige Abstraktion
erkennen zu lassen, die in der Einführung der unendlich fernen Elemente
enthalten ist. Denn durch Einführung des unendlich fernen Punktes
umgeht doch der moderne Mathematiker formal diese große Schwierigkeit.
2, Wwi nun die soeben erwähnten, etwas allgemein gehaltenen
Sätze betrifft, in welche Kern das Resultat seiner üntersachungen
über die Eycksche Perspektive (im wesentlichen) zusammenfaßt, so
sind sie wohl als richtig anzuerkennen. Etwas präziser könnte man
die Eycksche Perspektive vielleicht dadurch definieren, daß er die Tiefen-
hnien im Bilde im allgemeinen von außen nach innen verlaufen oder
sich drehen läßt (wobei unter Tiefenhnien die auf der Bildebene senk-
recht stehenden Geraden verstanden sein mögen), und daß er parallel-
perspektivische Konstruktionen vermeidet. Mit den Behauptungen und
Schlußfo^ernngen aber, die sich im eimelnen in dem Buche finden,
kann ich mich nicht einverstanden erklären. So folgert z. B. der Ver-
fasser (S. 18) aus der Zeichnung der Fußböden des Genter Altars, daß
Jan van Eyck ^b Gesetz von der Flucht der Tiefenlinien, sofern sie
einer Ebene angehören, im Jahre 1433 gekannt habe. Kon könnte
man allerdings meinen, es sei nichts leichter als das zu konstatieren:
man hat ja nur nötig, sich mit einem Lineal zu bewaffnen, die Linien

ZlitHlirin f. Uilbamstik n. Vbjiik. M. Bud. IWS. 4. Haft. 8S ^^

D.git.zedb/GOOglC

422 Die Peripektive der Brüder van Eyck.

auf der Photographie naGhznzeichnen und zu sehen, ob sie dnrch einen
Pankt gehen oder mcht. Praktisch Torhält sich die Sache aber doch
anderB und es verliert dies Eriteriam etwa« von seiner mathematischen
Schärfe, ja es tritt auch hier ein gewisser subjektiver Faktor aof. Denn
wenn die KonstruktionBlinien auf dem Bilde bzw. aof der Vorzeichnnng
auch mathematisch richtig gezeichnet waren, so werden sie schon dnrch
den Farbenaaftrag etwas ungenau. Weiter verzieht sich die Leinwand,
die Holztafel wirft sich. Endlich werden die Linien ja auf der photo-
graphiacben Reproduktion nachgefahren. Lassen wir die etwaigen
Fehler des Objektivs außer acht, so werden doch die Kopien in den
Bädern verzerrt und zwar nach verschiedeoen Richtungen verHcbieden
stark und schließlich bildet das Aufziehen der Kopien eine letzte
Fehlerquelle. Es ist also kein Wunder, daß das nachprOfende Lineal
in seinen Stellungen Abweichungen erleidet und daß ein noch so genau
konstruiertes Bild kleine Üi^;enauigkeiten zeigt. Indes wird die Kon-
trolle von Bildern, die sicher perspektivisch richtig gezeichnet sind,
den Anfanger bald belehren, welchen Grad von Genauigkeit er ver-
nünftigerweise von den Konstruktionslinien verlangen darf, sodaß er
sich von Pedanterie imd Optimismns gleichzeitig ferne hält.

3, Hat non Jan van Eyck das Gesetz vom gemeinsamen Flucht-
punkt der Tiefenlinien einer Ebene, 2. B. einer Bodenfläche, gekannt?
Solche Fußbodenmuster finden wir auf zahlreichen Bildern des Künstlers
und ich habe die Nachmessungen an den Photographien selbst durch-
geführt: viele lassen sich sogar auch an den Kemschen Tafeln schon
vornehmen.

Betrachten wir zunächst die Außenseiten des Genter Altars, so
zeigt uns das linke innere Bild — es stellt einen Durchblick anf eine
Straße dar — den am hestea konstruierten Fußboden, welchen Kern
merkwürdigerweise nicht abbildet und auch nicht erwähnt Dieses
System von Tiefenlinien darf wohl als mathematisch richtig konstruiert
bezeichnet werden. Der Fußboden rechts daneben — wir sehen in dem
Bilde eine gotische Nische mit Waschgeriit and Handtuch -~ zeigt
schon ein^ Abweichungen, indem die äußerste Tiefenlinie rechts
jedenfalls nicht mehr durch den gemeinsamen Schnittpunkt der andern
geht; auf ihn bezieht sich Kern bei seiner oben zitierten Behauptung.
Betrachten wir weiter die beiden äußeren Bilder links und rechts, also
den Engel der Verkündigung und die betende Maria, so stimmen die
beiden Fußböden auch nicht angenähert.

Von der Innenseite des Altars erwähnt Kern noch den Boden in der
Darstellung Gottvaters; aber schon die beigegebone Tafel läßt erkennen,
daß hier von einem Gesetz bei der Konstruktion nicht die Rede sein kann.

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Ton ElKL DOBBLEIUNH. 423

Besser BÜiuint wieder der FaSbodeu in dem Bilde dee AmoMni
and seiner Fraa (London, Nationalgalerie), aber hier kann man nnr
wenig Tiefenlinien verfolgen. Die Tirfenlimen der Decke zeigen nach
der Kernechen Tafel keinen gemeinsamen Fluchtpunkt (die Decke ist
30 dnnkel, daß ich auf der Photographie diese Linien nicht mehr sehe).
Endlich können wir diese ermüdende, aber notwendige Betrachtung
damit abscblieBen, dafi wir konstatieren, daß auch auf der Bolin-
Madonna des Lourre, sowie auf der Uadonna des Kanonikus Pala
(Brügge, Akademie) datiert von 1436, die Tiefenlinien der Bodenflächeu
das mathematische Gesetz vom Flnchtpunkt nicht erfüllen.

Kun könnte man hier allerdings einwenden, daß Jan van Eyck
daa Gesetz vom Fluchtpunkte kannte, daß er aber vielleicht mit Über-
legni^;, also ans ästhetischen Gründen, von ihm abwich. Das halte ich
aber, wie auch Kern richtig bemerkt, für sehr wenig wahrscheinlich.
Später, im 16. Jahrhundert, haben die Künstler oft sich solche Frei-
heiten gestattet. Daß aber Jan van Eyck ein Gesetz entdeckt, um es
nach kurzer Zeit schon nicht mehr zu beachten, liegt gewiß nicht im
Sinne jener Zeit. Dann bleibt mir aber kaum etwas anderes übrig, als
anzunehmen, daß Jau das Gesetz vom Flnchtpnnkt der Tiefenlinien
einer Ebene, das heißt dessen mathematisch präzisen Ausdruck, Über-
haupt nkkt gekannt hat. Daß der zuerst erwähnte Fnßboden ziemlich
genau mit der Theorie in Übereinstimmung sich befindet, muß ich für
ein Spiel des Zufalls halten. Hatte der Künstler die Anschauung sich
ausgebildet, daß die Tiefenlinien im allgemeinen gegen eine mittlere
Stelle zusammenlaufen, so konnte er g^ebenen Falles diese Stelle anch
einmal zu einem Punkte znsammensehnmipfen lassen.

4. Natürlich hat Jan dann das Gleaetz vom Fluchtpunkt der Tiefen-
linien im Saume auch nicht erkannt und die Rohn-Madonna gibt dafür
doch einen unanfechtbaren Beweis. Petrus Christus dagegen scheint
das genannte Gesetz zu kennen. Für Jan van Eyck aber kann ich
aus der von Kern g^benen Reihe keine eigentliche Entwicklung
herauslesen: gewiß zeigt das eine Bild größere perspektivische Verstöße
als das andere, aber die tastende Unsicherheit des Empirikers geht
durch alle hindurch und statt einen stetigen Fortschritt in der Per-
spektive zu beobachten, habe ich eher den Eindruck, daß der Künstler
probiert und tastet. Wenn dann Jan an Stelle eines Augpunktes ein
ganzes Gä>iet annahm, so trat natiu^emäß an Stelle eines Horizontes
ein ganzer Streifen und so erkläre ich die verschiedenen Horizonte, die
Kern konstatiert, der eben in betrefiF der mathematischen Genauig-
keit doch zu geringe Anforderungen an eine perspektivische Zeich-
nung stellt

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424 Die PerepektiTe der Brüder van Ejck. Von Eaki. DoBaLBtunt.

Überhaupt möchte ich der Zeit dar Brüder van Eyck in besag
auf Darstellung noch ein ziemliches Maß von XaivitÄt zaschreiben und
deswegen scheint mir nach die folgende Auffassung Kerns etwas
gewagt: aof dem Yerkündignngsbild (Petersburg, Eremitage) laufen
die Tiefenlinien der Seitenwand gegen eine andere „Stelle" hin als die
des FußbodenB; wo beide Ebenen zusammenstoßen; da ergibt sich f^
unser Auge eine Unzuträglicbkeit. Sem spricht nun die Ansicht aus
(S. 13), dafi der Klinstler der Schwierigkeit, die Ebene des Fußbodens
mit der Ebene der Wand in einen räumlichen Zusammenhang zu
bringen, durch eine geschickte Anordnung des Engels begegnet Der-
selbe soll also diese Übei^ngsstelle verdecken. Ob da nicht dem
Künstler ein größeres Raumgefühl zugeschrieben wird, als seine ganze
Darstelloi^ in bezog aof die Linienfllhrung verrät? In perspektivischer
Hinsicht beleidigten offenbar diese Linien das Auge des Eünstlers nicht;
er hatte also keinen Grund, die Übergangsstelle durch den Engel zn
maskieren, wie er ja auch den Zusammenhang zwischen Seitenwand
und Decke durchaus frei ließ.

6. Was endlich noch die Bedeutung der Perspektive Euklids be-
trifft, BO wird meines Erachtens dieselbe leicht Überschätzt. Euklid
und seine Nachfolger im Mittelalter geben nur eine Theorie der Er-
scheinung, das heißt Betrachtungen über die Gesichtswinkel, unter denen
die Gegenstände z. B. gleich lange Strecken erscheinen. Den wesent-
lichen Schritt, die Sehstrahlenpyramide mit einer Ebene zu schneiden
und statt der Winkel den auf dieser Ebene sich ausbildenden SchniU
zu studieren, tat erst Brunellesco. Die ^tze, welche sich auf die
Gesichtswinkel beziehen, sind aber sehr verschieden von denen, welche
über das Bild in der schneidenden Ebene ausgesagt werden können.
Mancher moderne Künstler, der einen Menschen an dem Fnß eines
Turmes und einen gleich großen in der gleichen Tiefe auf der Platt-
form des Tnnues zu zeichnen hat, zandert vielleicht einen Moment, ob
nicht der Mann auf dem Turme im Bilde kleiner sein müsse. Er ist
doch weiter vom Beschauer entfernt! Aber wir heb-acfUen ja das Bild
und dann entspricht dem Manne oben auch der kleinere Gesichtswinkel.
Um also über die theoretischen Kenntnisse des Kordens ins klare zn
kommen, müßte man wissen, wer hier den Übeigang von den Gesichts-
winkeln zur Bildebene und damit zur wirkliehen Abstraktion der
Perspektive ansgefülut hat, sofern dies unabhängig von Brunellesco
geschehen ist

Wenn zum Schlüsse Christian Wiener in seiner- vorzüglichen
Darstellung der Entwicklung der Perspektive (Lehrbnch der darstellenden
Geometrie 1. Bd. S. 9) über Jan van Eyck bemerkt: „in der Linien-

nqi.zedb.GoÖglc

EfttoptischeB Oknlar. Toa Felix Bibib. 425

perepektiTe zeigt er die Kenntnie des Fluchtpunktes, der freilich nicht
immer einheitlich gewahrt ist, eine maÜiemcUische Eenntnig der Per-
apektiTe hesaß er nicht", so k&on ich das nur so verstehen, d&fi der
Begriff Fluchtpunkt nicht im mathematischen Sinne, 'sondern als ein
größeres oder kleineres Qebiet aufgefaßt wird, und dann geben meine
Ausfährungen fiir diese Behauptung geradezu den Beweis. Man wird
Jan Tan Eyck in bezog auf die Perspektive als einen Praktiker be-
zeichnen müssen, der mit nngewöbnlich scharfer Beobachtungsgabe
ausgestattet, aber doch nur auf empirischer Gfrandlage, das parallel-
perspektivische System seiner Yorgäuger verließ und die perspektivische
Zeichnung insofern verbesserte, als er die Bilder paralleler Geraden um
einen Eluchtpanktbezirk sich drehen ließ.
München, Jan 1905.

Eatoptrisches Oknlar.

Von Felix Biske in Straßburg j. E.

Unter Verwendung eines Reäektors wird die aufgehobene chromatische
Aberration selbst durch die achromatischen dioptrischen Okulare teil-
weise wieder eingefQhrt. Ein vollständig achromatisches kann nur ein
katoptrisches Oknlar sein. Ein solches könnte nach demselben Prinzipe
wie die Reflektoren konstruiert werden.

Vom großen Spiegel des Reflektors wird ein reelles Bildchen des
Objektes gebildet, das durch den kleinen konvexen oder konkaven
Spiegel in den Scheitel des großen, oder durch den kleinen ebenen Spiegel
iu eine um 90" gegen die Achse geneigte Richtung, im allgemeinen in
Cc entworfen sei (Figur). Es sei vom konkaven Spiegel Sy mit dem
Fokus F^ ein zum letzten Bildchen konjugiertes in CiC, gebildet and
dieses vom konkaven oder konvexen Spiegel S^ mit dem Fokus F^ in
ein imaginäres Bildchen in C,(^ verwandelt, welches zur Beobachtung
gelangt Die Dimensionen des Okulares ei^eben sich folgendermaßen.

Es seien zuerst die Strahlen von dem Punkte des entfernten Ob-
jektes, der in der Achse des Reflektors liegt, berücksichtigt. Von diesen
Strahlen werden die von der Peripherie des großen Spiegels refiek-
tierten hinter dem Bildchen Cc einen Lichtkegel bilden, dessen Ööiiung
Ä^CS^ = a bekannt ist; d^egen werden die von der Peripherie des
kleinen Spiegels abgegrenzten Strahlen einen Schattenkegel bilden,
dessen Öffnung A^ CB = ß auch bekannt ist. Der Spiegel £, sei in
den Lichtkegel in der Entfernung CA, = a, hingestellt, sodaß er dessen

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426

£atoptrieche8 Okular.

(1)

Dnrchsclmitt anefOllt und der Spiegel S^ in den Scbattenkegel, in der
£ntfernang -A^Ä^ = l, aodaB er auch dessen Dnrchscluutt ansfOllt.

Soll die Entfenmng des Achsenpanktos des
Bildchens C,c, von .4, gleich der deatlichen Seh-
weite d aein, so ergibt sich folgende Bedingu^;:
\^ Die EntfernuD^ des Bildchens C,Ci vom

Spiegel 5„ dessen Fokalweite /i und desBen Höhe Aj
, wird')

o,/; l/a,~ifA'>h\

"' a,-Ä sU.-rJ f,'
fQr den Achsenstrahl ist sie ohne das zweite Glied im
zweiten Teile.

Da C^Af = l — bi, so wird die Entfemong des
Bildchens CjC, vom Spiegel S^, dessen Fokal weite f^ und
dessen Höhe h^ sei, fQr den Achsenstrahl
, (1-6.)/ .

'^(1-6,) + /,'
WO das obere Zeichen fQr konkaven, das untere für kon-
vexen Spi^el gilt, und da diese gleich :p (f2 — 2) sein
soll, BO ergibt sich nach Substitution

(I)

«./',

-f,^

±f.

■ ^(d-t).

Sollen noch die peripherischen Strahlen nach der Reäezioo
vom Spiegel iS', durch Spiegel S^ aufgefangen werden und
die Größe des letztem dem Durchschnitte des Schatten-
k^ele höchstens gleich sein, so ei^ibt sich noch folgende
Bedingung:

Es ist mit genügmder Genauigkeit

oder da Ä( = %tgc und Ä, ^ («^ — i) tg (5 sein soll, so
ist nach Substitution

(II)

±(.-

■o,tge:^(Oi-r)tg/3.

Sollen weiter die peripherischen Strahlen nach der EefieTion von S,
und S, durch die Öffnung des Scbatteukegels im Spiegel S, austreten,

1) Handw. d. Aatron. Bd. I S. 743 (1897).

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Von Felh Biskb. 427

und diese Öffnung die Größe der Augenpupille }) nicht überschreiten^ so
mnß der Achsenpnnkt des Bildchens C^e^ hint«r oder mindestens in
C liegen, was weitere folgende ßedit^ping ei^bt

(UI) a,Zd,

und es muß

Es seien die Strahlen vom Bande des Objektes berOcksichtigt, so werden
diese hinter dem Bildchen Cc einen Lichtkegel bilden, der durch c
geht und mit der Achse einen Winkel AjGD = a' einschließt, und
einen Schattenkegel, der durch c geht und mit der Achse einen Winkel
Ä^EB' = ß' bildet. Der Spiegel S^ soll den neuen Lichtk^el, der
Spiegel S^ den neuen Schattenkegel ausfüllen.

Die Bedingung der deutlichen Sehweite des Bildchens 6jC^ gibt
dieselbe Gleichung (I).

Die Bedingung der gleichen Oröße des Spiegels S^ mit dem Durch-
schnitte des Schattenk^els ergibt auch die Gleichung (II), in welcher
aber der zweite Teil gleich wird:

(II') ^ ^.^tg^' ^ (o, - Z + Ccctgß'}tsß-.

Die Bedingung noch, daß die peripherischen Eandstrahlen des Bildchens

C,c^ durch die Öffnung des Schattenkegels im Spiegel S, austreten sollen,

die kleiner als die Augenpupille sein muß, ergibt, daß der Durchschnitt

dieser Strahleu c^ B' mit der Achse hinter oder in £ liegen muß,

folglich

(inO a,^d-{Cc + C.c,)ctgß'

und

(IV)

- C,c. ctg p'-

Die Bedingung weiter, daß die VergröBemng des Okulares ein be-

»timmtes Maß ilberschreiten soll, ergibt, daß die Größe des Bildcheus

CgCj, da die des Bildchens Cc g^eben ist, größer als t» ' Cc sein muß.

Die Größe des Bildchens C^c,, das nahe vom Fokus F^ entsteht, ist

da C^Ci auch nahe dem Fokus F^ liegt, so ist;

^^-^'^i^fl'

Digiliz=db,G00glC

428 EatoptriBohes Okalar.

und da diese if m • Cc sein muS, bo ergibt sieb nacb SubstittitioD:

f.

(V) ±;''^~'f;r--^-<^-

Die Gleichungen beaw. Ungleichnngen (I) bis (IV) oder {!') bis (V)
enthalten die Tier Unbekannten Oy, l, f^, fy Damit die eplwrische
Aberration der Kugelspiegel nicht sehr störend wirkt, muS A, gegen f^
und \ gegen /j rerhältnismaSig klein sein, infolge der Grleichong (I);
oder es muß der Spiegel S, elliptisch, dagegen der Spiegel S, hyperbo-
lisch angeBchliffeD werden.

Beispiel. Es seien die folgenden Dimensionen des großen Reflek-
tors zu Melbourne, der nach Cassegrainschem Typus eingerichtet ist,
genommen ^)

Öffnung des Hauptspiegels 22! = 1.219 m

„ des kleinen Spiegels 2r = 0.203 „

Brennweite des Hauptspiegels F=9.14 „

„ des kleinen Spiegels f -^ 1.9 „

Entfernung des kleinen Spiegels vom großen D ~ 7.6 „

Öflnung in der Mitte des großen Spiegels 2q = 0.203 „ .

Es sei der Fall des unendlich entfernten Punktes, der in der Achse
des Eeflektors li^t, berücksichtigt. Die oben entwickelten Formeln
gelten für den allgemeinen Fall, daß der Winkel ß des Schattenkegels
groß genug sein kann und dann a, < d, zufolge der Gleichungen (UI)
und (IV), sein müßte; in dem genommenen Beispiele wird der Winkel
ß klein sein, und es ist nötig in der Gleichung (lU) a^ = d zxk nehm^,
wodurch in der Gleichnng (U) Aj ^{d — l)igß wird, und die Gleichung (IV)
d tg jj ^ p ergibt, was die Größe des nötigen Schattenkegels beschränkt,
da p und d bekannt sind. Die übrig gebliebenen Gleichungen (I) und
(H) enthalten noch die Unbekannten l, /',, fj, erlauben folglich will-
kürliche Annahme einer von diesen.

Die Entfernung des Bildchens C vom Cassegrainschen Spiegel
im großen Reflektor ist 6 = ^-^= — 7.125 m, weil d=F'-D=\.bm
ist. Da der peripherische Lichtstrahl des Objektirspiegels am Rande
des Cassegrainschen Spiegels zum Bildchen C reflektiert wird, so ist
die Öfinung des Lichtkegels gegeben durch tg o: ^ , ; und die Höhe

1) Dr. L. Ambronn: „Handbuch d. ÄBttonom. Instram.kunde" S. 1164.

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Von FiLix BiBKE. 429

des Okularspiegels S,, zufolge h^ = dtga, wo d = 25 cm, ergibt eich zn
3.6 mm. Nimmt man den Radius der Pupille des Auges zu 3 mm an,
und beziehe sich die willtürliche Annahme auf die Höhe des kleinen
Spiegels S^, die Äj = 1.75 mm sei, so ist (d — T) = hfCt^ß^— — ,
wovon ergibt sich l = 31.3 mm.

Im Falle des konkaven Spiegels S^ ist &i ^ r

folglich 0^ = 1 — bi = 10.3 mm und somit /", = - , 1- = 19-4 mm, da-

gegen fj = — \J^ =•= 10.8 mm, wo b^^ — (d ~l) ^ — 218.7 mm. Im
Falle des konvexen Spiegels S^, der von derselben Höhe A, nnd in der-
selben Entfernung l wie der konkave Spiegel sei, ist &,=^— ^i" = 61.6mm,
folglich o, = Z — 6, = — 30.3 mm und somit /", = 49.4 mm, dagegeu
f» = -^*£^ = 26.6 mm, wo b, = d — l-' + 218.7 mm.

In diesem Beispiele ist das Verhältnis der Offiiung des Lichtkegels
zu der des Schattenkegels, h,:p^ 1.8 im Okulare und zufolge der Ähn-
lichkeit dieser Kegel auch im Objektiv. Da der Radius des Lichtkegels
im Objektiv E — 0.609 m ist, so hätte der Radius des Schattenkegels
im Objektiv zn sein s = 0.342 m. Die Öffnung des geometrischen
Schattens vom kleinen Spiegel am groSen Spiegel hat den Radius
r — 0.102 m; es entstehen aber hinter dem kleinen Spiegel Diffraktions-
ringe, die einen größeren zentralen Kegel des unbrauchbaren Lichtes verur-
sachen. In speziellen Fällen wäre es vorteilhafter, die Größe des kleinen
Spiegels im Reflektor so auszuwählen, daß die Größe seines geome-
trischen Schattens im großen Spiegel der OffunDg des für das Okular
nötigen Schattenkegels nahe gleich wäre. Ist im obigen Beispiele der
Radius eines solchen kleinen Spi^els x, seine Entfemnng vom Fokns F
des großen Spiegels y nnd der Radius des für das Okular nötigen Schatten-
kegels in diesem kleinen Spi^l ü, so ist ^ = -, - = ^ und folgUch
%? - cF-i - rcW^F.- y>CF-,-b + (F-D)-S.'2 m.

Es ergibt sich aus der quadratischen Gleichung

-W+>fB)' + S,^^-0.17.

folglich brauchte der Radius des kleinen Spiegels nur wenig größer zu
sein, nnd das Verhältnis des Lichtkegels zum Schattenkegel im Ob-
jektiv wäre B-.x ^ 3.6, wodurch auch die Oknlarspiegel vergrößert
werden könnten.

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430 Graphisoh-anftljtJBche Ätugleichimg eines ebenen Linieumges nsw.

Da bei den cölestiBchen Objekten, die flineo Geeichtswinkel haben,
die Größen der Bildchen klein Bind, so wQrden die Dimensionen der
Oknlarspi^el nicht wesentlich geändert.

Bei Einstellung auf die deutliche Sehweite können die Spiegel £,
und Sf gemeinsam ein wenig fQr Vergrößerung derselben vom Bildchen Cc
entfernt^ fSr Verkleinerung df^egen diesem Bildchen genähert werden.

In der Photometrie, speziell bei den kolorimetrlschen Unterauchangen
der Qestime sind katoptrische Okulare prinzipiell notwendig, weil hier
keine chromatische Aberration bleiben soll, damit die wiridiche ge-
samte Farbe des Objektes beobachtet werden kann.

Graphisch-analytische Anagleichnng eines ebenen
Linienznges nach der Methode der kleinsten Clnadrate.

Von J. ScHNÖCKEL in Aachen.

Unter den zahlreichen Reibenentwickelungen nach der Methode der
kleinsten Quadrate, welche I. P. Gram im Journal fQr Mathematik,
Band 94, S. 41 und folgende aufführt, hat die Fouriersche Beihe für
praktische Zwecke im besonderen Bedeutung erlangt, da sich ihre
Koeffizienten mit Hilfe eines harmonischen Analysators leicht bestimmen
lassen. Wesentlich schwieriger gestaltet sich die graphisch-analytische
Darstellung eines ebenen Linienzuges in Form tou Potenzreihen, deren
Koeffizienten Momente veiBcbiedener Ordnung der zu beBtimmenden
Kurve sind.') Diese Aufgabe kann zwar mit dem Integraphen von
Abdank-Abakanowitz gelöst werden, erfordert aber dann eben so
viele Kurrenbefahrungen, wie die gesuchte Reihe Glieder enthalten soll.

Liegen m + 1 durch eine Potenzreihe zu interpolierende Beobachtungs-
werte t; = f{x) vor und tri^ man sie nach Koordinaten auf Milli-
meterpapier auf, 80 lassen sich nach einem vom Verfasser in dieser
Zeitschrift 51. Band (1904), Heft 1, S. 42 u. flg. angegebenen Ver-
fahren*) die Momente verschiedener Ordnung des durch geradlinige
Verbindung der m + 1 Punkte entstehenden Polygons in einfacher kon-
struktiver Weise ermitteln. Eine zu integrierende Kurve ersetzt mau
zweckmäßig durch eine eckige Figur, welche sich ihr mögliehst gut an-
schließt, und erreicht dann eine größere Genauigkeit als mit verwickelten

1) Vergl. Enzyklopädie dw mathetnatiHclien Witsenschaften Band I, Teil 2,
S. S19 und Band 11, Teil 1, S. 689. Ferner Bnuu, AetrononÜBCIie Nachriobteu,
JahrR. 1898, S. 161.

S) Vergl. ferner ScbnOckel, diese Zeüscbrift ii. Band (1908), Heft S, S. 8T2f.

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Von J. SCBDÖCKBL.

431

Apparaten. Die folgendeo zur Ermitteliing der Koeffizienten dienenden
Formeln stützen sich anf die bekannten und Ton Qram hergeleiteten
Reihenentwicklungen^) nach den Kugelfunktionen X^'1 and Bchließen sich
der erwähnten konstruktiven Lösung des Momentenproblems eng an.
Soll die Gleichung des Linienzuges K^ K^ . . . K^ (für m = 3, siehe
die Figur) derart dargestellt werden, daß ZU = 2(if — rj)* ein Minimum
wird, 80 hat man das Polygon von K^ aus gegeo die Achse A Y nach
dem Moment fTjxfdx auszugleichen. Macht man der Beihe nach

L

r*

//

Y
B

r

\

^

[/

"}'•■

'■

t

i

^^/X 1*

X 1

h^ —

^ i

A

i

'

KiR^ II KjK^ Ä^Bj 1 Äj Äo, . . ., £,B, II K,Bl,^iy, so ist K^R, Gradiente
Hter Ordnung für K^^K^K^. Nach (»t ~ l)maliger Ausführung dieser
Konstruktion wird Kg, K^ . . . R^ durch die Gradienten n-t«r Ordnung
OKg, IKf, . . ., nK^ ersetzt. Wird An = r„ und '"o — *"« = ^n gesetzt,
so werden die ^ in der Regel kleiner als die r sein, da sich die
Punkte n um den Punkt zu gruppieren pÖegen. Durch Einführui^
der ^„ gestalten sich aber auch die folgenden Formeln einfacher.
Nach vollzogener Ausgleichung bestimmt man die Größe g nach den
Formeln

1) Tergl. M. Pltur, Comptes readus des i^uicea de rftc»däime de« e
18I>7, S. 981. Femer B. Sobninuia, PoteiuteiheiieDtwiokltmg nnd Methode der
kleiDaten Quadrate, Leipzig 1905 (Teabnera TerUg).

db/GoogIc

432 Qntphisch-oukljtiBche Anagleichung «inei ebenen Linioizugei luv.

*j = 5(2^1 ~ ^,)

(1) *,= 14(2^, -2^^, + ^*,)

«4 - 30(2z*i - 4,5^, + 4^-4, — 1,4^,)

Setzt man A'Ä = AK„^\ und betrachtet XA'Y' aU ersten
Quadranten des Koordinatensystems ;c, y, so sind die z Koeffizienten
einer Reihenentwickelnng von E^ K, . . . K^ nach Kugelfnnktionen

(2) 2y = z^XO) - z, Jt«') + Ä, Xt») - ^, X«») + h (- 1)-^. XW.

Um die Gleichong des gegebenen Linienzngee in Form einer
Potenzreihe darzustellen, legt man die OHÜnatenachse passend durch S^
und erlult dann fQr die Koeffizienten der Reihe

y = -i^o - «^.(f) + 3a,(^)' - 10o,(f)' + 35o.g)*

- + ---(-l)-i(2«),-«.(^)"

die nachher zu beweisenden Formeln;

Oo = ?0 + «I + ■*! + «S + ^1 + ■ ■

ff, = ^, + Zz^ + 6ifj + 10^4 -f ■ ■

ff, = ^j -f bZf + 15:84 + ■ ■

«S= ^8+ ?**+■■

(4) 0.= ^. + --

«, = (.2«)o*- + (2« + l)i «(,+,) + (2» + 2),?„^,j + {2«+ 3),r„+,>+ - ■■
In den Gleichungen (1), (3) und (4) kann die Abszisse AK^ °- c
jeden beliebigen Wert haben. Bricht man die Reihe (3) mit dem
Gliede a^l^f ab, so werden in (1) und (4) die ^, z und a mit dem
Index (i + 1), (j + 2) ... zu Null.

Beispiel
Der in der Figur verzeichnete Linienzug K,^. . .K^ wird durch die
Gradienten Of,, \S.^, 2£,, 3£, ausgeliehen. Es ergeben sich in
Millimetern

r„ = ^j = -i- 45,6, ^1 - + 13,0, .^, = + 21,5, ^, = + 26,3

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Von J. SCBHÖCKKI.. 433

Nach (l) werden Uerous berechnet

«(,= + 45,6, e^^ + llß, ir, = f22,5, i^, = - 20,3
Da c ^ 100 mm ist, folgt aas (4) in Verbindung mit (3)

y = + 59,7 - 0,173a; - 0,02371* + 0,000203a:'.
Um nach Bestimmni^ des Punktes 4 in der Figur diese Gleichung
noch aof den rierten Grod zu bringen, l^tte man noch (3) nnd (4)
den Koeffizienten der Reihe nach die Korrekturen ä^«^, — z^, -jll^, -jg^,
—z^ hinzuzufügen.

Der Kontrolle nnd Vergrößerung der Genauigkeit halber ist es
erwähnenswert, daß man die Ausgleichung tod K^K^ auch in bezog
auf die Achse K^L vomehmen darf, ohne die Formeln (1) bia (4) zu
verändern. Nur e^, e^, sSi^ usw. wechseln das Vorzeichen. Um schräge
Lagen der Gradienten gegen die Achse K^L zu vermeiden, ist in der
Figur die Ausgleichung des Zuges RfK^K^K^ A in Kf, abgebrochen,
sodafi man zu den Längen 0'£,, l'-£^, 2' K^, 3'£', die Größen AK^,
2-ÄKf^, 'i ■ AE^, ^-ÄKf, zu addieren hat, um r^, r,, r, und r, und
daraus die J za erhalten. Für das Beispiel findet sich

AKa - 51,5 Ö% 6,2 Fr, = + 0,8 2% == + 12,2

3% = + 24,2
und daraus

^0 = + 45,3, ^, = - 58,5 usw.
«0 = + 45,3, e^= + 71,7 usw.
Die Mittelbildung aus den beiden auf verschiedenen W^n ei>
haltenen z vergrößert die Genauigkeit der Analysierung sehr erheblich.

Ableitung der Reihen (1) bis (4).
Die Beatimmuogsgleichnng für die Koeffizienteu z in (2) lautet
nach Gram (s. o.)

Setzt man fDr die Eugelfunktion X'"' den aus der Ivoryscheu
Gleichung entwickelten Ausdruck

XW- ~U.2»).e ~ «,(2» - 2).E— + ■ ■]
ein, so erhält man

(5) ». - '" '^+-^r(2»)./'lP'iE - «, (2» - 2).j,£--'ä! + - ■ vj ■

Digiliz=db,G00glC

434 Orsphisch-anolytiiclie Ansgleichang nsw. Von J. Scexöcebi..

Mit EUtfe des binomiBchen Satzes kann man fOr £ » AA' — 1
= X— l das Moment f i^^f^E als liaeare Fimbtioa der Homeate
j fjx^dx von der nallten Hb pten Ordnnng darstellen und findet in

RfickBicht auf die in Anmerkung 3) 8. 430 erwähnte Abhandlung

(6) /,U=(-l^2(«-¥^+¥:^- + .. i,^L^).

Nach Einseteen in (5) ergibt sich, wenn alle mit r, behafteten
Glieder zusammengefaßt werden, fUr den KoeMzienten von r, in g^

+ »,.(«-4),(2»-4).- + ...l.

Hiemach sind die Gleichungen (1) zu berechnen, wenn r^ ■= ''o — -^i
geeetzt wird.

Aus (6) folgt auch, daß sieh die Gleichungen (1) und (7) nicht
ändern, wenn die Momentenachse AY mit K^L Tertauscht wird, weil
AA' — KfA' ist.

Um die Reihen (3) und (4) zu entwickeln, ersetzt man in der
lyoryschen Formel g durch ir — 1:

Jp-)_ J_i)-(_3;)•(2-a;)-
und erhält nach dem binomischen Satz

jCW = '^„1^1^"' (:r" - Jaf + 1 + J.a!"+« - + . - ■ ^«-t')
Durch Differenzieren wird, wenn man alle Glieder summiert,

*-'-'-^2'(-')'».("+'>'(f)'

-(-i)-2'(-i)'(2A(»+'').,(fy-

Die Summierung von (3) nach n ergibt nun

2» -(-l)'(2.-),(f)'_2'(" + •■).,'.•

Setzt man nach der R«ihe i-^n^ n+1, . . ■, so folgt fdr die
Eoefßzienten der Gleichung

y — «0 — 043: + a^x* — Oja;^ -\ (- l)"a,af

Dgt.zedb.GoOgIC

Tangentenkoiuitniktioii mit Hilfe dea Spiegellineftls. Von K. Mick. 435
aUgemein

«■ - J?" K2«V. + (2« + l),».« + (2» + 2),»,t, + ■ ■ ■]

Hieraus ei^ebes sich die Formeln (S) nod (4) für

(2n)

Die Einführnng des MaSstabverliältnisses Äff, = c wird durch Ein-
setzea von — anstatt x erreicht.

Tangentenkonstrnttlon mit Hilfe des Spiegellineals.

Von K. Mack in HoheDheim.

Der Zweck des von dem verstorbenen Prof. E. Rensoh in Tübingen
ang^ebenen SpiegellineaU'} ist die Konstruktion der Normalen ii^end
einer Kurve in einem beliebigen Punkt. Das Instrumentchen besteht im
wesentlichen in einer geeigneten ebenen spiegelnden FUlche, die ^gs
der Kante eines kleinen Lineals senkrecht zum Zeichnungsblatt an-
gebracht ist. Die Normale einer Kurve im Punkt P wird dadurch
erhalten, daß die Liuealkante durch P hiudurehgelegt und das Lineal
durch Drehung um P in diejenige Stellung gebracht wird, in welcher
das vor dem Spiegel liegende Kurrenstück und sein Spi^elbild sich
ohne Knickui^ aneinander anschließen.

Handelt es sich um die Tangente der Karre im Punkte P, so
kann man natürlich derart verfahren, daß man zunächst mit Hilfe des
Spiegellineals in der eben geschilderten Weise die Normale zeichnet
und sodann dorch P die zu ihr Senkrechte zieht. Die Aufgabe läßt
sich aber auch ganz direkt mit Hilfe des Spiegellineals lösen, und es
nimmt beinahe Wunder, daß Reusch in seiner oben zitierten Notiz
nicht auf diese Möglichkeit hingewiesen hat Man denke sich in
Punkt P (s. Fig. 1) das Spi^ellineal MN so angelegt, daß seine
Kichtung angenähert in die Richtung der Tangente fällt; wenn, wie
wir voraussetzen, beide Richtungen nicht genau zusammenfallen, so
wird die Liuealkante die Kurve in einem benachbarten Punkte P^ zum
zweiten Mal schneiden. Da das Kurvenstück PP^ vom SpiegeUineal ver-

1) E. Bausch. Das SpiegeUineal. Carla Bep. f. Exp. Fkj». 16, 860, 18S0.

Digtizedb/GoOgIC

X

iv^-

Iff

436 TangeDtenkoDstmktioa mit Hilfe des Spiegellineala. Von E, ATack.

deckt ist, und in letzterem die nicht verdeckten beiiaclibart«ii Kurven-
tette sich spiegeln, so wird der Anblick der in Fig. 2 wieder^gebene
Bein. Man braucht non bloß
'■ '■ ' '■ ■ mit dem Spi^ellineal diejenige

kleine Drehung um P aas-
zuführen, welche bewirkt, daß
die Länge des Stückes PP,
gleich Null wird. Es läßt eich
dies mit aller Genaoigkeit er-
reichen, Toransgesetzt daß die
auf dem Zeichnongsblatt aaf-
IS, ruhende Kante des Spiegel-
lineals ganz scharf ist, d. h.
daß die spiegelnde FlSche bis
an das Zeichnongsblatt henmterreicht. Träfe letztere Bedingmig
nicht zu, wäre vielmehr, wie dies bei mancheD AasfQhmngen des
Spiegellineals der Fall ist, jene Kante abgestumpft, so würde das
Spiegelbild gerade von den dem Lineal zunächst liegenden Enrrenteilen
fehlen; die Reduktion der I^nge PPi auf Null ließe sich dann nicht
genOgend genau durchfahren. Ich möchte vermuten, daß bei dem ur-
sprünglichen Reusohschen Modell diese untere Spi^elkante nidit in
genügender Schärfe hergestellt war, und daß deshalb Reusch von der
direkten Benutzung des kleinen Apparats zur Tangentenkonstraktion
absah. Heutzutage ist es mit Hilfe einer Glaaschleifmaschine leicht
möglich, für genügende Schärfe jener Kante zu sorgen.

In Fig. 3 ist das Spiegellineal in richtiger tangentialer Stellung
gezeichnet; das Spiegelbild des Eurreuteils PA sei PAj^, dasjenige
von PB sei PB^. Faßt man nun die Linienzüge APBi und AiPB
ins Auge, ao ist klar, daß beide in P einen Wendepunkt' haben. Mau
hat also für die richtige tangentiale Stellung des Lineals P das weitere
Kriterium, daß die Kuryenteile AP und Pß, einerseits, AyP und PB
andererseits, im Punkt P ohne Knickung ineinander übergehen.
Hohenheim, den 3. Dezember 1904.

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Kleinere Mitteilungen

Kleinere Hitteilnngen.

Quocia-Uedallle.

Der Circolo Matematico di Palermo (Via Ruggiero Settimo 30) gibt
in einem Kundschreiben vom 1. November 1904, unterzeichnet von seinem
Präsidenten M. L. Albeggiani, folgendes bekannt. Er wird bei dem IV. inter-
nationalen Mathematiker-KongreB, der im Jahre 1908 in Eom stattfinden
soll, einen internationalen Preis für Geometrie erteilen. Dieser Preis, der
nach seinem Stifter „Guccia-Medaille" heißt, wird ans einer kleinen tragbaren
Goldmedaille und einer Summe von 3000 Lire bestehen.

Die Theorie der algebraischen Kaiunfeurven ist bekauntlich seit den
Arbeiten, die durch den Steinerschen Preis von 1882 hervorgerufen wurden,
vernachlässigt worden. Die großen Fortschritte der Geometrie, welche durch
die synthetischen, algebraischen und fnnkiionentheoretischea Metboden
erreicht wurden, haben diese Theorie nicht berührt, sodaB weder die funda-
mentalen Betrachtungen, die in den erwähnten Arbeiten begonnen wurden,
noch andere Fragen, die man stellen könnte, Gegenstand späterer Arbeiten
gewesen sind. Geht man ferner vom dreidimensionalen Baume zu höheren
Itäumen aber, so begegnet man f&r die algebraischen Kurven (insbesondere
was ihre Einteilung, das Studium der kanonischen Kurven gegebenen Geschlechts
usw. angeht), einer Menge von wichtigen Fragen, mit denen sich bis jetzt
noch niemand beschäftigt hat. Auch kennt man über die algebraischen
Kaumkurven nur wenige Satze, welche die Realitäts Verhältnisse oder einen
gegebenen Ration alitätsbereich betreffen. Betrachtungen dieser Art haben
den Circolo Uatematico di Palermo bewogen, in Übereinstimmung mit den
Absichten des Stifters, die Guceia- Medaille

einer Abhandlung zu erteilen, welche die Theorie der tAgebratSchcn

Raumkurven wesentlick färderl.
Hierbei sollen jedoch in keiner Weise die Probleme und Methoden der
Untersuchung im voraus beschränkt werden.

Wenn keine der zur Bewerbung eingesandten, auf die genannte Theorie
bezüglichen Arbeiten des Preises würdig befunden wird, so kann er

einer Abhandlung zugesprochen nei-dtn, die einen teesentlichcn Foti-

sckritl in der Theorie der algebraischen Kurven oder anderer aJgebraiseher

Mannigfaltiglceitcn bezeichnet.

Die eingereichten Ahhandlungen dürfen noch nicht veröffentlicht sein.
In einer der vier Sprachen: italienisch, französisch, deutsch oder englisch
abgefaßt und, abgesehen von den Formeln, mit der Schreibmaschine geschrieben,
sind sie dem Präsidenten des Circolo Matematico di Palermo vor dem
1, Juli 1907 in drei Kxemplaren einzureichen. Sie müssen mit einem Motto
versehen und von einem verschlossenen Umschlag begleitet sein, der außen
duS Motto und innen Namen und Wohnort des Verfassers zeigt. Die gekrönte

db/GoogIc

438 Eleinera Hitteilnugen. — BücheracbBm.

Abhandlung wird in den „Bendioonü" oder einer anderen Publikatian des
Circolo U&tematico di Palermo abgedruckt. Der Ver&sser erhält 200 Sonder-
abdrücke kostenfrei.

Wenn überhaupt keine der eingereichtea Abhandlungen des Preises
würdig befunden wird, so kann dieser einer schon veröffentlichten Arbeit
zugesprochen werden, die sich auf die oben genannten Theorien bezieht, falls
sie zwischen dem Zeitpunkt der Veröffentlichung dieses Programms und dem
1, Juli 1907 erschienen ist.

Den Preis erteilt der Circolo Matematico di Palermo (femBß der Ent-
scheidung einer internationalen Kommision von drei Mitgliedern, die aus
den Herren: Hax Nötber, Professor an der Universitfit Erlangen, Henri
Poincare, Professor an der Universität Paris, Corrado Segre, Professor an
der Universität Turin besteht. In einer der Sitzungen des IV. intemationaleQ
Mathematiker-Kongresses, der 1908 in Rom tagt, wird der Bericht der
Kommission verlesen, der Preis erteilt und der Name des gekrönten Gelehrten
bekannt gegeben werden.

Btcherschan.

R. MarCOlongO, Uecoanica Taaloiiale, Parte I: Cinematica, Statica,

Vn u. 271 S., 3 Lire; Parte U: Dinamica, Principii di idrodina-
miea, VI u. 324 S., 3 Lire. Milano, Ulrico Hoepli, 1905.
Die von der Verlagsbuchhandlung Ulrico Hoepli herausgegebene Samm-
lung kleiner, billiger Handbücher enthielt bereits ausgezeiclmete Werke aus
der höheren Mathematik und der Phj'sik, es fehlte jedoch eins über theo-
retische Mechanik. Diese LOeke ist jetzt durch die beiden Bindchen der
Meceanica rationale von Herrn Marcolongo in trefflicher Weise ansgeflUlt
worden. Die Bandchen sind bestimmt, den Studierenden der Universitäten
und technischen Hochschulen, Anstalten, die in Italien vereinigt sind, ab
Führer zu dienen, und decken sich dementsprechend zum großen Teil mit
dem Inhalt der Vorlesungen, die der Verfasser in Messina gehalten hat.
Der Reibe nach wird die Kinematik, Statik und Dynamik materieller Punkte
und starrer Körper behandelt, und den Schluß bildet ein kurzer Abriß der
Hydrostatik und Hydrodynamik. Man findet darin nicht nur eine knappe,
aber recht klare Übersicht über die klassischen Theorien, sondern es sind
auch die neueren und neuesten Forschungen herangezogen worden. Da es
in Italien an einer Sammlung von Aufgaben aus der Mechanik fehlt, hat
der Verfasser den einzelnen Kapiteln Aufgaben hinzugefilgt, im ganzen über
200; die Lösungen sind teils angegeben, teils angedeutet. Sehr dankenswert
sind auch die zahlreichen Zitat« und historischen Anmerkungen, die, wie
Herr Marcolongo in der Vorrede mit Recht bemerkt, geeignet sind, das
Interesse des Studierenden zu erwecken und zu beleben. Was die Methode
der Darstellung betrifft, so ist von den Begriffen und Bezeichnungen der.
Vektorrechnung ein glücklicher Gebranch gemacht worden, wobei dem Ver-
fasser das Vorbüd von F. Castellano, Leitioni di meceanica razionale,
Turin lH9t und A. Föppl, Vorlesungen über technische Meclianih zu statten

DigitizedbyGoOgIC

Bücherachau. 439

gekommen ist, bildet doch ohne Zweifel gerade die Mechanik fOr die ÄD'
weuduDg der Vektorrechnung eines der schönsten und dankbarsten Gebiete.
Daß in dem ersten Kapitel der Kinematik die Grundlagen der Vektorrechnung
auseinandergesetzt werden, ist freilich nur ein unter den gegenwärtigen Um-
standen erklärlicher Notbehelf, denn diese Grundlagen gehören nicht in die
Mechanik, sondern in die Geometrie; es ist dringend zu wünschen, daß über-
all diese jedem Mathematiker unentbehrlichen Kenntnisse entweder durch
eine kleine selbständige Vorlesung oder durch entsprechende Abschnitte in
den Vorti^gen Sber analytische oder synthetische Geometrie zng&nglich ge-
macht würden.

Hannover. Faul 8tÄokex>.

Bndolf Länimel. Untersuchtuigen über äie Ermittlnng von Wahr-
BOheinlictakolten. (80 S.) Zflrich, Jean Frey, 1904.

Die kleine Schrift, von der mathematisch-naturwissenschaftlichen Sektion
der Züricher philosophischen Fakultät als Inauguraldissertation approbiert,
stellt sich im wesentlichen als eine erkeuntnistheoretische Studie im Gebiete
dfr Wahrscheinlichkeitsrechnung dar. Ihr Verfasser halt eine Prüfung und
Berichtigung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie für umso not-
wendiger, als diese Lehre bei dem heiitigen Streben nach Mathe matisiemng
der Natur wissense haften immer mehr un Bedeutung gewinnt und selbst auf
die Festlegung der Fundamente der exakten \VissenschafteD Einfluß zu
nehmen berufen ist.

Nach einer Kritik des v. Kriesschen Wahrscheinlichkeitsbegriffes,
den der Verfasser ablehnt, einmal weil er sich nicht streng verwirklichen
lasse und zum andern das Anwendungsgebiet der Wahrscheinlichkeits-
reehnung zu eng begi-enze, sucht er die Paradoxie, die er darin erblickt,
daß hierher gehörige Probleme häufig mehrfache Lösungen zuließen, als
eine notwendige Folge der Natur der Sache nachzuweisen. Er geht nun
daran, ku zeigen, wie man trotzdem brauchbare numerische Wahrscheinlich-
keiten ennitteln könne. Von den drei Methoden, die er unterscheidet, gibt
die erste, die intuitive, da sie auf bloßen subjektiven, jeder Kontrole unzu-
gänglichen Erwägungen beruht, zu einer weiteren Untersuchung keinen An-
laß. Umso ausfiihrlieher behandelt der Verf. die zweite Methode, die er
als Methode der Hypothesenbildung bezeichnet; in der richtigen Durch-
führung des Prozesses, den sie erfordert, erblickt er mit Recht die eigent-
liche Schwierigkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung und schreibt Wahr-
scheinlichkeiten, die nach dieser Methode gefunden worden, den relativ
größten Erkenntniswert zu. Er zerlegt den Hypothese oprozeß, der zur
Lösung des Problems: „Welches ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein ge-
wisses A die Eigenschaft x habe?" führt, in drei Akte: H^, Feststellung der
Menge jener Ä, die überhaupt in Betracht kommen; H^, Feststellung jener
Teilmenge der A, welcher das Prädikat x eigen ist; H,^, Bewertung der
einzelnen Ä durch Zuordnung einer in der Natur des Problems begründeten
Valenz. Was die Durchführung dieses Gedankenganges kennzeichnet, das
ist die Einführung des Cantorschen M engen begriffs. Von der Natur der
Mengen, welche die sämtlichen A (mögliche „F&lle") und die mit dem Merk-
mal X begabten unter ihnen (günstige „Fälle") bilden, hängt die Wahr-

DigitizedbyGoOglc

440 Bacherachau

acheinlichkeitsdefinition ab. Durch Komhinierung der Mengeneigensehaften:
abzahlbar, nicht abzählbar; oirgends dicht, stellenweise dicht, überall dicht;
ohne Inhalt, mit Inhalt - werden 12 verschiedene Mengenarten konstruiert,
und durch paarweise Verbindung dieser (nach dem Prinzip der Variationen
mit Wiederholung) würden sieb 144 Typen von Wahrseheinliehkeitsauf gaben
ergehen; davon entfallen aber manche als praktisch unmöglich. Eine Aus-
wahl dieser Typen wird nun der speziellen Behandlung zugeführt, so der
Typus (a, n): beide Mengen abzahlbar; (c, c): beide Mengen von der
Mächtigkeit eines Kontinuums (geometrische Wahrscheinlichkeiten); (r, a):
die mögliche Menge von der Mächtigkeit eines Kontinuums, die gänstige
abzählbar usw. Vieler dieser Typen werden sich nur im Gebiete der Zahlen-
theorie verwirklichen lassen.

Wo nun der Hypothesenprozeß unausführbar ist, und es ist dies bei
dem größten Teile der praktischen Anwendungen der Tall, da tritt die
dritte Methode in Wirksamkeit, die der Verf. als die statistische bezeich-
net: es ist die Beobachtung des Geschehens unter Trennung der be-
obachteten Fälle nach ihren durch das Problem unterschiedenen Eigen-
schaften.

Den Abschluß der erkenntnistheoretischen Untersuchung bildet ein Ver-
such der Aufätellang eines Uinimalsystems (von Aidomen und Definitionen)
der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wie solche Versuche in unserer Zeit auf
verschiedenen Gebieten der Mathematik unternommen worden sind.

Im zweiten Teile werden einige spe7.ielle Probleme behandelt; das erale
betrifft Fragen über die durch einen unendlichen Kottenbruch erzeugbaren
Zahlen; das zweite ein nach Gjlden benanntes, auf die Konvergenz ge-
wisser Reihen bezügliches Problem; das dritte ist eine Verallgemeinerung
des Nadelproblems dahingehend, daß die Nadel vermöge ihrer die
Distanz der Parallelen flbertreffenden Länge mehrere Parallelen zugleich
kreuzen kann.

Die Schrift ist der Aufmerksamkeit der an der Wahrscheinlichkeits-
theorie Interessierten zu empfehlen.

Wien. . _. . CzuBEE.

Josef F. Heller, k. k. Direktor der deutschen Staatsrealschule in Pilsen,

UetliodiBoh geordnete Sammlung Ton Aofgaben und Beispielen

ans der darBtellenden Oeometrie für Bealsohnlen, I. Teil für die

5. Klasse. 2. nach dem Lehrplan vom Jahre 1899 umgearbeitete Auflage.

Mit 5 Tafeln, enthaltend 127 Figuren, 103 S. Wien 1Ü03, Holder.

Pr. geh. 1 K 68 h, geb. 2 K 18 h.

Diese durchweg einfaehen, aber ganz instruktiven Elemcntaraufgaben,

welche in rechtwinkliger Projektion durchzuführen sind, beziehen sich auf

Punkte, Gerade und Ebenen und ihre gegenseitigen Beziehungen, auf die

Einführung neuer Projektionsebenen, Drehung um eine Achse, Schatten

ebener Figuren und Darstellung des Kreises. Die zu verwendenden Element«

sind dui-cb ihre Koordinaten gegeben.

München, Msrz 1905. Karl Doi^ilemann.

dbyGoogIc

Nene Bticher.')

irlthmettk.

1, KooEi,, Franx, Das Kecbnen mit Torteil, Eine gemeinfaßliche, duich zahl-
eahbeiche liciBpiele erläuterte DarRtellung empfelitenK werter Vorteile und
abkürzender Verfahren. Leipiig, Teubner. M, — .80.

Astronomie und Geodisle.

s!. BAustHiNOKR, Julius, Die Bahnbeatimniung der HimmelBkerper. Leipzig 1906,
Engelmann. M. 34,- ; geb. M. 37,- .

8. ÜAKT, Paul, Über Luftapiegelungen im Simplon-l'unael. HabiUtalionsBcbritl
Darmstadt. Stuttgart 1904, Wittwer.

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(Astronom, Abhandlungen Nr. 10.) Kiel. (Hamburg, Mauke SChae,) M. 2.60.

Darstellende Geometrie.

5. Haktwk!, Tu., Leitfaden der konstruierenden Stereometrie. Darstellung der
Rftumformen im Schrägbilde , nebat einigen Anwendungen von Schragbildern
auf dem Gebiete der theoret. und rechn. Stereometiie, datutell, Geometrie,
Mineralogie, matbem. Geographie u, PhTsik. Wien, Fromme. M. 1. —

(I. KüuBER, Strahlendiagramm zur vereinfachten Herstellung perspektiviBcber
Zeichnungen. Zum Gebrauch f Architekten, Ingenieure, Kunstgewerbetreibende
und Landschaftsgärtner. (1 Bl. auf Pauspapier m. Fig.) Berlin, Ernst ft Sohn.

M. 1.60.

7, Rbois, Dcikknico, Corso di applicazioni della geometria deacrittiva uella i,
BCuola d'applicazione per gl'ingegneri in Torino. Fase. V. Torino. L. 8.- .

8. VoNDERLiNN, J., PaiallelperBpoktive, Bechtwinklige und schiefwinklige Axono-
metrie. (Sammlung Göschen Nr- 260.) Leipzig, Göschen. Geb. in Leinw, —.80.

Mechanik.

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matiques Bpeciales, Üeme ^d. Paris, Gauthier-Villara. Frs. 12.—

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geb. in Leinw, M. 18. — .

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bereehnung der Bauwerke. 2. verm. Aufl., neu bearb. t. Ludw. Hotopp. 1, 'J'eil.
Hannover, Helwing. M. 8.— ; geb. in Leinw. M. 9. —

13. LiHDEBE, Olof, Zar Klarstellung der Begriffe Masse, Gewiobt, Schwere und
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k Wentiel.

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numeiouB examples. Tth ed. revised and enlarged. London, Macmillan. 14 b.

1) Wo kein Erscheinungsjahr angegeben, ist tu 1905.

l,.eJb.G00«^Ic

FliTBlk.

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M, 3.80; geb. in Leinw. M. t.~

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achaunngen fflr höhere Schalen und znra Selbatnnterricht. 3, Term. und um-
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Optik des gesamten Spektrums, Wfifme. Braunschweig, Yieweg&Sohn, M. S2.— .

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aowie zur Selbatberatellung einfacher Demonatrationsapparate. 1., vollkommen
umgearbeitete nad atark vermehrte Aufl. t. Otto Lehmann I. Bd. 2. Abtlg,
Braunschweig, Vieweg k Sohn. M. ii. -; geb. M. 26,—.

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gemeinsten Ausdruck der XatuTgeset7.1ichkeit. Jurjew-Dorpat, Krflger. M. 1.80.

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Eine EinfBhrung in die neueren optischen Theorien. (Abhandlungen zui
Didaktik und Philosophie der NaturwissenBchaft, Heft 5.) Berlin, Springer.

M. 1.60.

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Elektrizität. 2,, verb. ii. verm. Aufl. Berlin, Springer. M. 3. — ; geb. in Leinw. 3.80,

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troduotioaäl'Stude des mach ines therm iques. Paris, Gauthier-Villara. Fra. 6.— .

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Halle, Knapp. M. 8.— .

, MüLLEB-Potii,LET, Lehfbuch der Physik nnd Meteorologie. (In 4 Bdn.) 10, um-
geaib, u, vem), Aafl, hrsg, v. Leop. Pfaundler, 1. Bd. Mechanik nnd Aknatik.
1. Abtlg, Braunachweig, Vieweg & Sohn, M. 7,—,

. PoTiTTiNO, J, H., and Thomso.v, J. J., A textbook of Phyaics. Properiäea of
matter. 3 rd ed. carefullj reviaed. London, Grifflu. iO a. 6 d.

. Riecke, Eduabd, Lehrbuch der Physik zum eigenem Studinm and zum Gebrauche
bei Vorlesungen. 2 Bde, 3, verb. n, verm. Aufl. 1. Mechanik, Molekular-
erscheinuDgen nnd Akustik, Optik, 2. Magnetiamua und Elektrizität, W&rme,
Leipzig, Veit & Co. zus. M. 25,-- : geb. in Leinw, M. 27,—.

. BioHi, Aus,, Die moderne Theorie der phy alkalischen Erscheinungen (Radio-
aktivität, Jonen, Elektronen.) Aus dem Ital. v. B. Dessau, Leipzig, Barth.

kart. M. 8.80.

DigitizedbyGoOgIC

Nene Bacher. — Eingelaufene Sduiften. 443

86. Bohr, M. v., Die optiachen Instroment«. i'„Aiir Natu ond Qeisteswelt'* Ni. SS.)
Leipzig, Teubner. M. 1. — ; geb. in Leinw. M. 1.3G.

37. ScBBEBEB, K., imd SpftiHOMjufN, P , Experimentierende Ph;aik. Zugleich voll-
aUudig umgearb. Ausg. t. Heori AbTahamB Recueil d'exp^riences älämeotaireB
de phTsiqne. 1. Bd. Leipzig, Barth. M. 3.60; geb. in Leinw. 4.40.

88. WiKK, W., Über ElektroDen. Vortrag, gehalten auf der 77. Veraanunlnng
Deutachei Naturforscher und Äizte in Meran. Leipzig, Tenbner.

8». WmcKKLiuNK, A., Eaadbucb der Physik. 2. Aufl. T. Bd. 1. l^lfte. Elektrizität
und Magnetismus, n. Leipeig, Barth. M. 16.—

S. auch Nr. 3.

Tafeln.

40. BiDHCBOF, Fbdr., und Vital, Abth., Fünfstellige matbematische und astrouo-
tnische Tafeln. Zum Gebrauche für Mathematiker, Astronomen, Geographen
und Seeleute zutammengesteUt und mit Formelsammlungen versehen. Ster.-
Ausg. Wien, Deuticke. geb. in Leinw. M. 7.60.

Tersckiedenes.

41. SoBUBERT, Hbbiuiin, Auslese aus meiner Unterrichts- und VorlesungspiaiiB. I.
Leipzig, Gflachen. geb. in Leinw. M. 4.

Eingelsiifeiie Schriften.

[In dieser Abteilung weiden olle eingelaufenen Schriften regelmafiig aufgeführt.

Die Besprechung geeigneter Schriiten bleibt vorbehalten. Rücksendung findet

nicht statt]

Abbaeam, U., et Lahoivih, P., Les quantitäa ^lämentaires d'älectricitä, Ions, älectrooB,
corpuscules. 1" et 8* faacicules, s, N. B. („Neue Bücher") Nr. 16.

Abbahah. M., Ilieorie der Elektrizit&t, II, s. N. B, 17.

Affkll, P., Conrs de m^canique, s. N. B. 9.

BuLLiHD, B., et BouaoET, H., Correspondance d'Hermite et de Stielttjes. Avec
une prgface de Emile Picard. Tome 11. (IB octobre 1889 — lö däcembre 1894.)
Paris, Oauthier-Villars. Frs. 16.-.

BAuscaiHctsR, J., BabnbeHtimmong der Himmelskörper, s. N. B. 2.

BuL-ASBE, H., Easais des matäriaui, s. N. B. 19.

Clabben, J., ZwOlf Vorlesungen über die Natur des Lichtes, s. N. B. 21.

Dbbssbl, L., Elementares Lehrbuch der Fbjsik, s. N. B. 22.

Di-Bsu, F., Les origines de la statique, s. N. B. 11.

Fbiok, J., Physikalische Technik. 7. Aufl. I. Bd. 2. Abtlg., a, N. B. 24.

(lABT, P., Über Luftspiegelungen im Simplon-Tunnel, s. N. B. 3.

Gj.eichbn, A., Vorlesungen Qber photographische Optik, s. N. B. 28.

Glinzeb, E., Lehrbuch der Elemeutargeometrie. 1. Tl. Planimetrie. 9. verb.
Leipzig, Degen er. M.

GoL'RSAT, Edouabd, Cours d'analyee mathämatique. Tome II. Theorie des fonctions
analjtiques, Equations diffärentielles ^quations aux d^riväee partielles
flMments du calcul des variattona. Paris, Qanthier-ViUars. Fra, 30. —

GuicBABD, C, Sur lee Hjst&mes triplement indetermin^ et sur lea sjst^mes triple-
ortbogonaux. („Scientia" Nr. 26.) Paris, Gauthier-VillarB. Cartonn^ Frs. 2.-

Hefftbr, L., und Kühler, C, Lehrbuch der analytischen Geometrie. 1. Bd. Ge<

metrie in den Grundgebilden erster Stufe und in der Ebene. Leipzig, Teubner.

geb. in Leinw. M. :

Hkhuttb, CRAiü.Ea, Oeuvres. Publieea sous les auspices de l'Acadt-mie dex Seit

Tome I. Paria, Gauthier-Villara. Fra. 18.-,

DigitizedbyGoOgIC

444 Eingelanfene Sebriften.

H01.EHÜU.BS, Gustav, Die Planimetrie für das Gymnasium. 1. Tl. Ton Quaita bis
Cntersekimda einschlieBlicli reichend. 8. Aufl. Letpsig und Berlin, Teubner.

geb. U. 3.10.

Jebbkn, K,, und Qisndt, M., Leitfaden der Baustofflehre fOr Bangewetkachalen.
Leipzig nnd Berlin.

Wien, W., Über Elektronen, b. N. B. 88.

Ebeikastbin, H., Strahleugang und Ter^Qerung in optischen Inatramenteii,
B. N. B. S8.

EöBBSB, Strablendiagrunme, s. N. B. 6.

ScKDBBRT, H., ÄnBlese, B, N. B. 41.

LiNDEBB, 0., Zur Klarstellung der Begriffe Masae usw., a. N. B. IS.

LoBATBCHBWBKV, N. J., Pangdometne, ou pr^cis de gäometrie fondäe rar une th^rie
gänänUe et rigonreuBe des paralleles. Räimpression too-Bimilä conforme fi
r^ition originale, P&riB, Hermann. Fre. '>. — .

MucHia, M. L., Thermodynamiqne. U. s. N. B. 30.

Marti, C, The weatbet-forces of the planetarj atmoBpherea. Printed aa mannscript.
Nidau, Printer E. Weber.

MiLAHKovTTCH, M., BetoneiscnttSf^er, b. N. B. 14.

MüLLRR, H. , und Plath, J,, Lehrbach der Mathematik zur Vorbereitung auf die
Mi ttelachu Hehrer- Prüfung und auf daa Abitun entenexamen am lUalgymnaalum.
Leipzig und Berlin 190B, Teubner.

Müi,LHji-Pouii,LKT, Lehrbuch der Phyaik und Meteorologie, a. N. B. 32.

Nbwbst, Th., Gegen die Wahn vors bellung vom heißen Erdinnem. Einige Welt-
Probleme. 11. Teil, Populär - wisBenscbaftlicfae Abhandlnng, Wien 1906,
Konegen. U, l.CiO.

RoaBi., Fkanz, Das Rechnen mit Vorteil, a. N. B. 1.

iloHB, M, V., Die optiachen Instrumente, b. N. B. 36.

HuBSELL, John Wku.mlbv, Elementajy treatiae on pure Geometry. With nnmeioua
eiamples. New and revised editiou. Oiford, Clarendon Preaa. Cloth. 9 a.

ScHouTK , P. H. , Mehrdimensionate Geometrie. II. Die Polytope, [Sammlung
Schubert XXXVI.) Leipzig, GüBchen. geb. in Leinw. M, 10. — .

ScHBüDEB, KicHABD, Dic AnfaugBgTüude der Differentialrechnung und Integral-
rechnung. Für Schüler von höheren Lehranstalten und Fachaobalen , sowie
zum Selbstunterricht. Leipzig, Teubner. kart. M. 1,60.

Schütte, Fbiie, Anfangagründe der darstellenden Geometrie fQr Gymnaaien.
Leipzig und Berlin, Teubner. M. — 90.

Stolz, Otto, und Gheimke, J. Ahtom, Einleitung in die Funktioneutheorie. 3. nm-
gearb. u. verm. Aufl. der von den Verfassern in der „TheoretiBchen Arithmetik"
nicht beriicksichtigten Abschnitte der „Vorlesungen über allgemeine Atitli-
metik" von 0. Stolz. (Teubners Lehrbücher, Bd. XIV,) 2. Abtlg. Leipzig,
Teubner. geb. in Leinw. M. 3.-. (Vollständig in 1 Bd. geb. M. 15,—,)

Wkbeb, Beihr., und Weluthn, Jos., Enzyklopädie der Elementarmathematik.
Ein Handbuch für Lehrer und Studierende. 2. Bd, Elemente der Geometrie,
Leipzig, Teubner, geb, in Leinw. M. 1

WiBLRiTHBii, Heinrich, 6ibli<^apbie der höheren Blgebraiechen Kurven fSr den
Zeitabschnitt von 1890 — 1004, Beilage zum Jahresbericht des KOnigt. hnma-
nigtiachen Gymnasinne za Speyer für das Schuljahr 1904/0.5, Leipzig, Gesehen.

brosch. M, 1.60.

WiBLBiTMEK, HsisE, , Theorie der ebenen algebraischen Kurven höherer Ordnung,
(Sammlung Schubert XLHI,) Leipzig, GöBchen. geb, 10,

Wilson, J, Cook, On the traversing of geometrical fignrea, Oxford, Clarendon Preai

Cloth 1

l,.eJb.G00«^IC

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